Dynamique du vol et commandes

Stabilité et contrôle des aéronefs et des engins spatiaux : axes et moments, stabilité statique et équilibrage, stabilité latérale-directionnelle, modes dynamiques, fonctions de transfert, réponse temporelle, rétroaction et commande PID, marges de stabilité et contrôle d’attitude des engins spatiaux, avec six TP. Gratuit, à votre rythme, et lié au X-59, à Hubble et à Dragonfly de la NASA.

NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASANASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

Cours › AERO 420

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À propos de ce cours

Ceci est le plan d’un cours gratuit en autonomie rédigé par Saving Planets. Ce n’est pas un cours universitaire : il ne donne aucun crédit académique et aucun établissement n’y participe.

Son contenu suit un cours semestriel de dernière année en dynamique du vol et commande pour ingénieurs aérospatiaux. Il reprend les thèmes et le niveau de MIT 16.333 Aircraft Stability and Control, MIT 16.06 Principles of Automatic Control et MIT 16.30 Feedback Control Systems (gratuits sur MIT OpenCourseWare), et s’appuie sur le Beginner’s Guide to Aeronautics gratuit de NASA Glenn, que nous citons quand il aide. Aucun de ces auteurs, établissements ou organismes ne cautionne cette page.

Ce que nous ajoutons : chaque module est relié à un travail réel avec une source publique citée (les essais en vol du X-59 de la NASA, le système de pointage de Hubble et le giravion Dragonfly), chaque nombre de la page est recalculé par un script de vérification avant la mise en ligne, et chaque TP dispose d’une simulation gratuite ou d’un tableur.

Suivez-le dans l’ordre. Chaque unité comporte des objectifs, des notions clés, des équations, des exemples pas à pas, des exercices corrigés en détail, des erreurs fréquentes, des cartes mémoire et un quiz. Votre progression est enregistrée uniquement dans ce navigateur.

Comment ce cours aide à sauver la planète

Des véhicules stables et bien contrôlés suivent des trajectoires efficaces, et les mêmes idées de commande orientent les satellites d’observation de la Terre et les télescopes avec assez de précision pour mesurer notre planète et l’univers.

L’automatique rend aussi possibles des aéronefs nouveaux, plus silencieux et plus autonomes. Chaque module se termine par une courte section sourcée. Les valeurs qui ne proviennent pas d’une source sont indiquées comme valeurs d’exemple ou de manuel.

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Avant de commencer

Prérequis

Dynamique : rotation des corps rigides, moments d’inertie et moment cinétique.
Équations différentielles : EDO linéaires et transformée de Laplace.
Algèbre linéaire : matrices et valeurs propres.
Aérodynamique I et Performances des aéronefs : portance, traînée, moments et vol en virage.

Comment étudier

Tracez les axes avion et le centre de gravité avant d’écrire toute équation de moment.
Gardez les angles en radians dans les formules ; ne convertissez en degrés que pour la réponse.
Distinguez la stabilité statique (la première tendance après une perturbation) de la stabilité dynamique (ce qui se passe au fil du temps).
Placez les pôles dans le plan s pour chaque système rencontré.
Vérifiez chaque réponse par le bon sens physique : les systèmes stables se stabilisent, les instables divergent.
Faites chaque exercice sur papier avant d’ouvrir la réponse, et refaites les quiz quelques jours plus tard.

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

Un ordinateur ou une tablette pour les simulations PhET gratuites Balancing Act et Masses and Springs.
Un tableur (n’importe quel tableur gratuit), ou Python.
Les pages du Beginner’s Guide to Aeronautics de NASA Glenn dans un navigateur web.
Une calculatrice.

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Programme suggéré sur 15 semaines

Environ 6 à 9 heures par semaine : lecture, exercices et, les semaines de TP, le TP.

Semaine	Unité	Thèmes	Lecture
1	Axes, rotations et moments	Axes, cg et moments ; TP A	NASA Glenn
2	Stabilité statique longitudinale	Stabilité statique longitudinale	MIT 16.333
3	Équilibrage et commande de profondeur	Équilibrage et profondeur ; TP B	NASA Glenn
4	Stabilité latérale-directionnelle et virages	Stabilité latérale-directionnelle et virages	MIT 16.333
5	Équations du mouvement et modes dynamiques	Équations du mouvement et linéarisation	MIT 16.333
6	Équations du mouvement et modes dynamiques	Modes dynamiques ; TP C	MIT 16.333
7	Transformées de Laplace et fonctions de transfert	Fonctions de transfert ; entraînement pour le partiel	MIT 16.06
8	Réponse temporelle du second ordre	Réponse du second ordre ; TP D	MIT 16.06
9	Rétroaction et commande PID	Rétroaction et PID	MIT 16.06
10	Rétroaction et commande PID	Conception de pilote automatique ; TP E	MIT 16.30
11	Analyse de stabilité : Routh, lieu des racines et marges	Routh, lieu des racines et marges	MIT 16.06
12	Détermination et contrôle d’attitude des engins spatiaux	Dynamique d’attitude et capteurs	MIT 16.30
13	Détermination et contrôle d’attitude des engins spatiaux	Roues de réaction et manœuvres de basculement ; TP F	NASA Hubble
14	Détermination et contrôle d’attitude des engins spatiaux	Autonomie et réponse aux pannes	NASA Dragonfly
15	Détermination et contrôle d’attitude des engins spatiaux	Révision ; entraînement à l’examen final	MIT 16.06

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Votre progression

Cochez les unités et les TP à mesure que vous les terminez, et faites les quiz. La progression et les scores sont enregistrés uniquement dans ce navigateur et ne nous sont jamais envoyés.

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Le laboratoire (Flight dynamics and controls lab)

Le labo est la partie pratique du cours. Ici, il est gratuit et sert uniquement à s’entraîner, sans crédits.

Chaque TP se fait dans une simulation gratuite ou un tableur ; il n’y a donc aucun danger physique. Ne construisez ni ne faites voler de drones ou de maquettes pour ce cours. Faites des pauses d’écran, tenez-vous bien assis et gardez les câbles hors des passages.

Référence de sécurité : OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

TP A : Équilibrer des moments et trouver le cg

Semaine 1

Objectif : Équilibrez des masses sur une planche dans PhET Balancing Act, puis calculez un centre de gravité de type aéronef dans un tableur.

x_{cg}=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}

Centre de gravité

Mode opératoire

Dans PhET Balancing Act, placez 10 kg à 1 m d’un côté et trouvez où 5 kg l’équilibre.
Notez moment = masse × distance de chaque côté.
Dans un tableur, listez les masses et distances du module 1 et calculez x_cg.
Ajoutez 200 kg à 10 m et recalculez.

Tableau de données

Cas	Σm (kg)	x_cg (m)
Base	1800	4.44
+200 kg à 10 m	2000	5.00

Valeurs d’exemple calculées.

Exemple de calcul

8000/1800 = 4.44 m.
10,000/2000 = 5.00 m.

Sécurité

Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

N’importe quel navigateur et tableur conviennent.

PhET : Balancing Act · NASA Glenn Beginner’s Guide: Center of gravity

Lien avec la planète : NASA Glenn : en vol, les avions et les fusées tournent autour de leur centre de gravité. NASA Glenn Beginner’s Guide: Center of gravity

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

TP B : Marge statique et balayage d’équilibrage

Semaine 3

Objectif : Faites varier la position du cg et calculez la marge statique, C_mα et l’incidence d’équilibrage à profondeur nulle.

\alpha_{trim}=\frac{C_{m_0}}{C_{L_\alpha}SM}

Incidence d’équilibrage à profondeur nulle

Mode opératoire

Utilisez x_np = 0.35c̄, C_Lα = 5.5 /rad, C_m0 = 0.05 (valeurs d’exemple).
Faites varier x_cg de 0.20 à 0.40 c̄.
Calculez SM, C_mα et α_trim.
Notez ce qui se passe au point neutre et au-delà.

Tableau de données

x_cg/c̄	SM	C_mα (/rad)	α_trim (rad)
0.20	0.15	−0.825	0.0606
0.25	0.10	−0.55	0.0909
0.30	0.05	−0.275	0.182

Valeurs d’exemple calculées ; pas d’équilibre stable au point neutre ou en arrière.

Exemple de calcul

C_mα = −5.5 × 0.15 = −0.825.
α = 0.05/0.275 = 0.182 rad.

Sécurité

Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

N’importe quel tableur convient.

NASA Glenn Beginner’s Guide: Aircraft elevator interactive

Lien avec la planète : La NASA indique que la marge de stabilité du X-59 a correspondu aux prédictions en vol. NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

TP C : Oscillation amortie comme mode du second ordre

Semaine 6

Objectif : Observez une oscillation amortie dans PhET Masses and Springs et comparez-la aux formules du second ordre.

\omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}

Masse-ressort-amortisseur

Mode opératoire

Dans PhET Masses and Springs, suspendez une masse, ajoutez un peu d’amortissement et tirez-la vers le bas.
Chronométrez plusieurs cycles et estimez la période et la décroissance.
Dans un tableur, calculez ω_n, ζ, la période et le dépassement pour m = 0.5 kg, k = 20 N/m, c = 1 N·s/m (valeurs d’exemple).
Expliquez le lien avec l’oscillation d’incidence.

Tableau de données

Grandeur	Valeur
ω_n	6.32 rad/s
ζ	0.158
Période amortie	1.006 s
Dépassement	60.5%

Valeurs d’exemple calculées ; les relevés de simulation différeront.

Exemple de calcul

ω_n = √40 = 6.32.
ζ = 1/(2√10) = 0.158.

Sécurité

Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

N’importe quel navigateur et tableur conviennent.

PhET : Masses and Springs

Lien avec la planète : La NASA indique que le X-59 n’a montré aucune instabilité inattendue ni vibration excessive. NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

TP D : Réponses indicielles par pas de temps

Semaine 8

Objectif : Simulez des réponses indicielles du premier et du second ordre avec de petits pas d’Euler et comparez-les aux formules.

x_{k+1}=x_k+\Delta t\,\dot x_k

Pas d’Euler

Mode opératoire

Simulez ẏ = −2y + 5 à partir de y = 0 avec Δt = 0.001 s.
Simulez ÿ + 2.8ẏ + 16y = 16 à partir du repos.
Trouvez y(0.5) pour le premier, et le pic et le temps de pic pour le second.
Comparez avec les formules exactes.

Tableau de données

Grandeur	Exacte
Premier ordre y(0.5)	1.580
Pic du second ordre	1.309
Temps de pic	0.838 s
Temps de réponse (2%)	2.86 s

Valeurs calculées ; de petits pas concordent étroitement.

Exemple de calcul

2.5(1 − e⁻¹) = 1.580.
1 + 0.309 = 1.309.

Sécurité

Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

N’importe quel tableur ou Python convient.

MIT OpenCourseWare 16.06 Principles of Automatic Control (Fall 2012)

Lien avec la planète : L’équipe du X-59 de la NASA compare les données de vol à un jumeau numérique en temps réel. NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

TP E : Réglage d’un pilote automatique d’assiette

Semaine 10

Objectif : Comparez par simulation les commandes P et PD du procédé 1/(s(s + 2)).

s^2+(2+K_d)s+K_p=0

Boucle fermée avec PD

Mode opératoire

Simulez θ̈ + 2θ̇ = u avec u = K_p(θ_cmd − θ) − K_dθ̇.
Essayez K_p = 16, K_d = 0 ; puis K_p = 2.04 ; puis K_p = 16, K_d = 3.6.
Notez le dépassement et le temps de réponse.
Choisissez la meilleure conception et justifiez.

Tableau de données

Conception	Dépassement	Temps de réponse (s)
K_p = 16	44.4%	4.0
K_p = 2.04	4.6%	4.0
K_p = 16, K_d = 3.6	4.6%	1.43

Calculé à partir des formules du second ordre.

Exemple de calcul

ζ = 0.25 ⇒ 44.4%; t_s = 4/(0.25 × 4) = 4.0 s.
PD: t_s = 4/(0.7 × 4) = 1.43 s.

Sécurité

Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

N’importe quel tableur ou Python convient.

MIT OpenCourseWare 16.30 Feedback Control Systems (Fall 2010)

Lien avec la planète : NASA : Dragonfly doit voler de manière autonome sur Titan sans aide en temps réel depuis la Terre. NASA Science: Dragonfly completes first simulated flight (Oct. 23, 2026)

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

TP F : Planificateur de basculements par roues de réaction

Semaine 13

Objectif : Planifiez des basculements en tout-ou-rien pour un engin spatial et vérifiez les vitesses maximales et le moment cinétique des roues.

t=2\sqrt{\theta/\alpha}

Durée d’un basculement en tout-ou-rien

Mode opératoire

Prenez I = 1000 kg·m² et τ = 0.5 N·m (valeurs d’exemple).
Calculez les durées de basculement pour 30°, 90° et 180°.
Calculez la vitesse maximale et le moment cinétique que les roues doivent absorber.
Discutez de la façon dont la perte d’un capteur modifierait la planification.

Tableau de données

Basculement	Durée (s)
30°	64.7
90°	112.1
180°	158.5

Valeurs d’exemple calculées.

Exemple de calcul

t = 2√(0.5236/0.0005) = 64.7 s.
t = 2√(3.1416/0.0005) = 158.5 s.

Sécurité

Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

N’importe quel tableur convient.

NASA Science: NASA to change how it points Hubble Space Telescope (June 4, 2024)

Lien avec la planète : NASA : en mode à un gyroscope, Hubble a besoin de plus de temps pour basculer et s’accrocher aux cibles. NASA Science: NASA to change how it points Hubble Space Telescope (June 4, 2024)

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

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Séries d’entraînement aux examens

Chronométrez-vous : environ 10 minutes par problème. Comparez ensuite avec les solutions complètes.

Série d’exercices de mi-parcours (unités 1–5)

Masses de 600 kg à 3 m et 400 kg à 8 m. Trouvez le cg.
Afficher la solution complète
1. (1800 + 3200)/1000.
Réponse : 5.0 m.
x_np = 0.40c̄, x_cg = 0.28c̄, C_Lα = 5 /rad. Trouvez SM et C_mα.
Afficher la solution complète
1. SM = 0.12.
2. −5 × 0.12.
Réponse : SM = 0.12 ; C_mα = −0.60 /rad.
C_m0 = 0.04, C_mα = −0.6, C_mδe = −1.0. Trouvez δ_e pour équilibrer à α = 0.05 rad.
Afficher la solution complète
1. 0.04 − 0.03 − δ_e = 0.
Réponse : δ_e = 0.01 rad (0.57°).
Inclinaison pour un virage de rayon 1500 m à 80 m/s ?
Afficher la solution complète
1. tan φ = 6400/14710.
Réponse : 23.5°.
Trouvez ω_n et ζ pour s² + 3s + 25.
Afficher la solution complète
1. ω_n = 5; ζ = 3/10.
Réponse : ω_n = 5 rad/s ; ζ = 0.3.

Série d’entraînement finale (modules 1–10)

Réponse indicielle de 4/(s + 4) à t = 0.25 s ?
Afficher la solution complète
1. 1 − e⁻¹.
Réponse : 0.632.
Dépassement et temps de réponse pour ω_n = 5, ζ = 0.3 ?
Afficher la solution complète
1. exp(−0.3π/√0.91).
2. 4/1.5.
Réponse : 37.2%; 2.67 s.
K sur 1/(s(s + 4)) pour ζ = 0.5 ?
Afficher la solution complète
1. 2ζω_n = 4 ⇒ ω_n = 4.
Réponse : K = 16.
K maximal pour s³ + 3s² + 2s + K ?
Afficher la solution complète
1. 3 × 2 > K.
Réponse : K < 6.
Durée de basculement de 60° avec α = 0.001 rad/s² ?
Afficher la solution complète
1. 2√(1.0472/0.001).
Réponse : 64.7 s.
Moment cinétique d’une roue de 0.05 kg·m² à 400 rad/s ?
Afficher la solution complète
1. 0.05 × 400.
Réponse : 20 N·m·s.

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Fiche de formules

x_{cg}=\sum m_ix_i/\sum m_i,\ M=Fd

SM=(x_{np}-x_{cg})/\bar c,\ C_{m_\alpha}=-C_{L_\alpha}SM

\delta_e=-(C_{m_0}+C_{m_\alpha}\alpha)/C_{m_{\delta_e}}

\tan\phi=V^2/(gR),\ n=1/\cos\phi,\ \tau_r=1/|L_p|

s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2,\ \omega_{ph}\approx\sqrt2g/V

y=K(1-e^{-t/\tau}),\ y(\infty)=G(0)

M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}},\ t_p=\pi/\omega_d,\ t_s\approx4/(\zeta\omega_n)

u=K_pe+K_i\int e+K_d\dot e,\ T=G/(1+GH)

PM=180^\circ+\angle G(j\omega_c),\ \zeta\approx PM/100

\tau=I\alpha,\ H=I\omega,\ t=2\sqrt{\theta/\alpha}

Constantes

Constante	Valeur
Pesanteur normale	g₀ = 9.80665 m/s²
1 radian	57.2958°
1 ft	0.3048 m
Règle du temps de réponse (manuel)	t_s ≈ 4/(ζω_n) pour un temps de réponse à 2%
Échelon du premier ordre	63.2% de la valeur finale à t = τ
Masse volumique de l’air au niveau de la mer (atmosphère standard)	1.225 kg/m³

Source : NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

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Textes et simulations gratuits

Utilisez ces cours gratuits, guides de la NASA et simulations en parallèle du cours.

MIT OpenCourseWare 16.333 Aircraft Stability and Control (Fall 2004): Cours gratuits du MIT sur la stabilité et le contrôle.
MIT OpenCourseWare 16.06 Principles of Automatic Control (Fall 2012): Cours et exercices gratuits du MIT sur l’automatique.
MIT OpenCourseWare 16.30 Feedback Control Systems (Fall 2010): Cours gratuit du MIT sur la commande par rétroaction.
NASA Glenn Beginner’s Guide: Aircraft rotations: Explication gratuite de la NASA.
NASA Glenn Beginner’s Guide: Center of gravity: Explication gratuite de la NASA.
PhET : Masses and Springs: L’oscillation amortie en interactif.

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Glossaire

Aileron: Gouverne de roulis.
Centre de gravité: Position moyenne de la masse.
Taux d’amortissement: ζ, la vitesse de décroissance des oscillations.
Roulis hollandais: Oscillation couplée lacet–roulis.
Gouverne de profondeur: Gouverne de tangage.
Marge de gain: Augmentation de gain jusqu’à l’instabilité.
Gyroscope: Capteur qui mesure la vitesse de rotation.
Pulsation propre: ω_n d’un mode non amorti.
Point neutre: Position du cg à stabilité neutre en tangage.
Dépassement: Pic au-dessus de la valeur finale.
Régulateur PID: Commande proportionnelle-intégrale-dérivée.
Marge de phase: Retard de phase supplémentaire jusqu’à l’instabilité.
Phugoïde: Mode lent vitesse–altitude.
Roue de réaction: Roue en rotation pour le contrôle d’attitude.
Lieu des racines: Trajectoires des pôles en boucle fermée avec le gain.
Gouverne de direction: Gouverne de lacet.
Oscillation d’incidence: Mode de tangage rapide.
Marge statique: Distance du cg au point neutre rapportée à la corde.
Fonction de transfert: Sortie sur entrée dans le domaine de Laplace.
Équilibrage (trim): Moment net nul.

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Grille d’autoévaluation

Aucune note ni aucun crédit ne sont attribués. Utilisez cette grille pour juger honnêtement où vous en êtes dans chaque unité.

Niveau	À quoi cela ressemble
4 · Maîtrise	Trace axes et schémas-blocs, choisit le bon modèle, vérifie pôles, amortissement et marges, et explique en langage clair les compromis de pilotabilité et de sécurité.
3 · Compétent	Résout les exercices avec des erreurs occasionnelles de signe ou d’unité.
2 · En progression	Suit les exemples résolus mais confond stabilité statique et dynamique, ou ω_n et ω_d.
1 · Débutant	Remplace des nombres dans des formules sans schéma ; doit revoir l’unité.

Pondération suggérée si vous voulez une note

Partie	Poids
Exercices	20%
Travaux pratiques	25%
Série d’entraînement de mi-parcours	25%
Série d’entraînement finale	30%

Visez le niveau 3 ou mieux dans chaque unité avant de passer au cours suivant.

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Dynamique du vol et commandes

À propos de ce cours

Comment ce cours aide à sauver la planète

Avant de commencer

Prérequis

Comment étudier

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

Programme suggéré sur 15 semaines

Votre progression

Axes, rotations et moments

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Stabilité statique longitudinale

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Équilibrage et commande de profondeur

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Stabilité latérale-directionnelle et virages

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Équations du mouvement et modes dynamiques

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Transformées de Laplace et fonctions de transfert

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Réponse temporelle du second ordre

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas