La physique pas à pas

Lois de Newton et conservation

• Premier cycle (DUT/BTS)
• Licence (L1–L3)

Parcours : physique · Environ 25 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},\qquad \mathbf p=m\mathbf v$$
   Deuxième loi sous forme de quantité de mouvement.
2. $$\mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21}\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}(\mathbf p_1+\mathbf p_2)=0$$
   Troisième loi : les forces internes s’annulent, la quantité de mouvement totale est conservée.
3. $$W=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Delta\left(\tfrac12mv^2\right)$$
   Théorème de l’énergie cinétique.
4. $$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},\qquad v_2=\frac{(m_2-m_1)u_2+2m_1u_1}{m_1+m_2}$$
   On résout ensemble la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique pour un choc élastique.

m1, u1, m2, u2 = 2.0, 3.0, 1.0, 0.0
v1 = ((m1-m2)*u1 + 2*m2*u2) / (m1+m2)
v2 = ((m2-m1)*u2 + 2*m1*u1) / (m1+m2)
print(v1, v2, m1*v1 + m2*v2, 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2)

Exercices corrigés automatiquement

1. Un chariot de 1 kg à 4 m/s heurte un chariot de 3 kg au repos (choc élastique). Vitesse du chariot de 3 kg ensuite, en m/s ?

   m/s Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   v₂ = 2·1·4/4 = 2,0 m/s ; le chariot léger repart en arrière à -2,0 m/s.

Exercices

1. Une balle tombe de 20 m sans vitesse initiale (sans air). Quelle est sa vitesse en bas ?

   Voir la solution

   mgh = ½mv², donc v = √(2gh) = 19,81 m/s, indépendamment de la masse.

Références

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• MIT OpenCourseWare, 8.01 Classical Mechanics and 8.02 Electricity and Magnetism.

Projectiles avec traînée (EDO numérique)

• Licence (L1–L3)
• Master

Parcours : physique · Environ 40 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$m\dot{\mathbf v}=m\mathbf g-\tfrac12\rho C_DA\,|\mathbf v|\,\mathbf v$$
   Traînée quadratique, opposée à la vitesse.
2. $$\dot v_x=-k|\mathbf v|v_x,\quad \dot v_y=-g-k|\mathbf v|v_y,\qquad k=\frac{\rho C_DA}{2m}$$
   Couplées par |v| : pas de solution élémentaire.
3. $$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_DA}}$$
   Vitesse limite : la traînée équilibre le poids.
4. $$\mathbf s_{n+1}=\mathbf s_n+\tfrac{\Delta t}{6}(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4)$$
   RK4 : l’erreur globale décroît comme Δt⁴.

import math
m, d, cd, rho, g = 0.145, 0.074, 0.35, 1.225, 9.80665
k = 0.5*rho*cd*math.pi*d*d/4/m
def f(s):
    x, y, vx, vy = s; v = math.hypot(vx, vy)
    return [vx, vy, -k*v*vx, -g - k*v*vy]
s, dt = [0, 0, 40*math.cos(math.radians(35)), 40*math.sin(math.radians(35))], 1e-3
while s[1] >= 0:
    a = f(s); b = f([s[i]+dt/2*a[i] for i in range(4)])
    c = f([s[i]+dt/2*b[i] for i in range(4)]); e = f([s[i]+dt*c[i] for i in range(4)])
    s = [s[i]+dt/6*(a[i]+2*b[i]+2*c[i]+e[i]) for i in range(4)]
print(s[0])

Exercices corrigés automatiquement

1. Même balle et même vitesse, lancée à 45° : portée avec traînée, en m ? (Utilisez le Physics Lab ou le Python ci-dessus.)

   m Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   R(45°) = 94,8 m, contre 93,9 m à 35° et 163,2 m dans le vide à 45°.

Exercices

1. Pourquoi la balle redescend-elle plus raide qu’elle n’est montée ?

   Voir la solution

   La traînée retire de la vitesse horizontale tout le temps, tandis que la gravité redonne de la vitesse verticale à la descente : l’angle de descente est plus raide.

Références

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• W. H. Press et al., Numerical Recipes, 3rd ed., Cambridge University Press, 2007.
• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.

Oscillateurs : simple, amorti et valeurs propres

• Licence (L1–L3)
• Master

Parcours : physique · Environ 35 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$m\ddot x+c\dot x+kx=0$$
   Loi de Newton avec force de rappel et amortissement visqueux.
2. $$x=e^{st}\;\Rightarrow\;s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0,\quad \omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}$$
   Équation caractéristique.
3. $$s=-\zeta\omega_n\pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(\zeta<1)$$
   Sous-amorti : paire complexe ; partie réelle = taux de décroissance, partie imaginaire = pulsation amortie.
4. $$\dot{\mathbf x}=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega_n^2&-2\zeta\omega_n\end{pmatrix}\mathbf x,\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}$$
   Même chose sous forme de système du premier ordre : les valeurs propres de la matrice sont les racines s. C’est exactement l’analyse du mode d’incidence d’un avion.

import numpy as np
m, c, k = 1.0, 2.0, 16.0
A = np.array([[0, 1], [-k/m, -c/m]])
s = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(k/m); z = c/(2*np.sqrt(k*m))
print(s, wn, z, 1/(2*z))

Exercices corrigés automatiquement

1. m = 0,5 kg, k = 8 N/m, c = 1,2 N·s/m. Amortissement ζ ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   ζ = 1,2 / (2·2) = 0,30 ; ω_n = 4 rad/s.

Exercices

1. À quoi ressemble l’amortissement critique (ζ = 1), et où l’utilise-t-on ?

   Voir la solution

   Une racine réelle double : le retour au repos le plus rapide sans dépassement. Les ferme-portes et les aiguilles d’instruments sont conçus près de cette valeur.

Références

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.

Mécanique lagrangienne et hamiltonienne

• Master
• Doctorat / recherche

Parcours : physique · Environ 45 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$S=\int L(q,\dot q,t)\,dt,\quad \delta S=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$
   Le principe de Hamilton donne l’équation d’Euler–Lagrange.
2. $$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta\;\Rightarrow\;\ddot\theta=-\frac{g}{\ell}\sin\theta$$
   Pendule, avec l’angle comme coordonnée.
3. $$T=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_0}{2}\;\Longleftrightarrow\;T=\frac{2\pi\sqrt{\ell/g}}{\operatorname{AGM}(1,\cos\frac{\theta_0}{2})}$$
   Période exacte par conservation de l’énergie ; la moyenne arithmético-géométrique calcule rapidement l’intégrale elliptique K.
4. $$H=\sum_i p_i\dot q_i-L,\quad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q};\qquad \frac{\partial L}{\partial q}=0\Rightarrow p=\text{const}$$
   Équations de Hamilton. Noether : une coordonnée cyclique implique un moment conservé (par ex. le moment cinétique dans un champ central).

import math
def agm(a, b):
    while abs(a-b) > 1e-15: a, b = (a+b)/2, math.sqrt(a*b)
    return a
L, g, th0 = 1.0, 9.80665, math.radians(60)
T0 = 2*math.pi*math.sqrt(L/g)
print(T0, T0/agm(1, math.cos(th0/2)))

Exercices corrigés automatiquement

1. Pendule ℓ = 2 m lâché à 90°. Période exacte, en s ?

   s Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   T₀ = 2,8375 s ; T = 3,3492 s (18 % de plus).

Exercices

1. Dans un problème à force centrale en coordonnées polaires, quel moment est conservé et pourquoi ?

   Voir la solution

   L ne dépend pas de l’angle φ (symétrie de rotation), donc p_φ = mr²φ̇, le moment cinétique, est constant : c’est la deuxième loi de Kepler.

Références

• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2002.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.

Électromagnétisme, équations de Maxwell et plasma spatial

• Licence (L1–L3)
• Master

Parcours : physique · Environ 40 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$\nabla\!\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\!\cdot\mathbf B=0,\quad \nabla\!\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\!\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$
   Équations de Maxwell (SI).
2. $$\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\;\Rightarrow\;c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$
   Dans le vide, on prend le rotationnel de la loi de Faraday : équation d’onde de vitesse c.
3. $$m\dot{\mathbf v}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\;\Rightarrow\;r_g=\frac{mv_\perp}{|q|B},\quad \omega_g=\frac{|q|B}{m}$$
   Force de Lorentz : giration circulaire perpendiculaire à B.
4. $$f_{pe}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
   Fréquence plasma électronique : les ondes radio en dessous ne traversent pas le plasma.

import math
mp, e, me, eps0 = 1.67262192369e-27, 1.602176634e-19, 9.1093837015e-31, 8.8541878128e-12
v, B, n = 4.0e5, 5e-9, 5e6
rg = mp*v/(e*B); wg = e*B/mp
fpe = math.sqrt(n*e*e/(eps0*me))/(2*math.pi)
print(rg/1e3, 2*math.pi/wg, fpe/1e3)

Exercices corrigés automatiquement

1. Un électron à 1000 km/s perpendiculairement à un champ de 30 μT (à peu près le champ terrestre en surface). Rayon de giration, en m ?

   m Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   r_g = 9,109e-31 · 1e6 / (1,602e-19 · 3e-5) = 0,190 m.

Exercices

1. Pourquoi ∇·B = 0 est-il important physiquement ?

   Voir la solution

   Il n’y a pas de monopôles magnétiques : les lignes de champ ne commencent ni ne finissent, elles se referment. Les codes numériques de plasma doivent le respecter, sinon ils créent de fausses forces.

Références

• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press, 2017.
• F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, 3rd ed., Springer, 2016.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Thermodynamique et physique statistique

• Premier cycle (DUT/BTS)
• Licence (L1–L3)
• Master

Parcours : physique · Environ 35 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_BT)}$$
   Distribution des vitesses de Maxwell–Boltzmann.
2. $$\tfrac12m\langle v^2\rangle=\tfrac32k_BT\;\Rightarrow\;v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}},\qquad \bar v=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}$$
   Moments de la distribution (équipartition).
3. $$dU=\delta Q-\delta W,\qquad dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$
   Premier principe (énergie) et deuxième principe (entropie).
4. $$\eta\le\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}$$
   Aucun moteur entre deux sources ne dépasse Carnot.

import math
kB, NA = 1.380649e-23, 6.02214076e23
R, M, T = kB*NA, 0.0280134, 300.0
print(math.sqrt(3*R*T/M), math.sqrt(8*R*T/(math.pi*M)))

Exercices corrigés automatiquement

1. Vitesse quadratique moyenne du dioxygène O₂ (31,9988 g/mol) à 300 K, en m/s ?

   m/s Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   v_rms = √(3RT/M) = 483,6 m/s (contre 516,8 m/s pour N₂).

Exercices

1. Un moteur fonctionne entre 600 K et 300 K. Quel est le meilleur rendement possible ?

   Voir la solution

   η_C = 1 − 300/600 = 0,50, soit 50 %. Les moteurs réels font nettement moins à cause des frottements et des transferts de chaleur à vitesse finie.

Références

• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics, Addison-Wesley, 2000.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Fluides : Navier–Stokes et nombre de Reynolds

• Licence (L1–L3)
• Master
• Doctorat / recherche

Parcours : physique · Environ 40 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\!\cdot\mathbf u=0$$
   Navier–Stokes incompressible et continuité.
2. $$\mathbf u^*=\frac{\mathbf u}{U},\ \mathbf x^*=\frac{\mathbf x}{L}\;\Rightarrow\;\ldots=-\nabla^*p^*+\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\mathbf u^*,\quad Re=\frac{\rho UL}{\mu}$$
   L’adimensionnement ne laisse qu’un paramètre : le nombre de Reynolds.
3. $$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\;\Rightarrow\;Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}$$
   Écoulement permanent en conduite : solution exacte (Hagen–Poiseuille), valable tant que Re reste sous environ 2300.
4. $$\mu(T)=\frac{1.458\times10^{-6}\,T^{3/2}}{T+110.4}\ \ \text{Pa·s}$$
   Loi de Sutherland pour la viscosité de l’air (celle de l’atmosphère standard de 1976).

rho, U, L, T = 0.363918, 250.0, 5.0, 216.65
mu = 1.458e-6*T**1.5/(T + 110.4)
print(mu, rho*U*L/mu)

Exercices corrigés automatiquement

1. Air au niveau de la mer (ρ = 1,225 kg/m³, T = 288,15 K) à 30 m/s sur une maquette de corde 0,2 m. Nombre de Reynolds ? (Entrez le nombre complet, par ex. 123000.)

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   Re = 1,225 · 30 · 0,2 / 1,789×10⁻⁵ ≈ 410757 : environ 80 fois plus petit que l’aile en croisière.

Exercices

1. Doubler le rayon d’une conduite à perte de charge égale multiplie le débit laminaire par combien ?

   Voir la solution

   Q ∝ R⁴, donc par 16. Exemple : R = 0,5 mm, L = 10 cm, Δp = 1 kPa, eau μ = 1,0 mPa·s donne Q = 0,245 mL/s.

Références

• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.

La relativité pour les orbites : horloges GPS et Mercure

• Master
• Doctorat / recherche

Parcours : physique · Environ 45 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$\frac{d\tau}{dt}\approx1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2},\qquad \Phi=-\frac{GM}{r}$$
   Rythme d’horloge en champ faible : terme de potentiel (RG) plus terme de vitesse (RR).
2. $$\left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{GR}=\frac{GM}{c^2}\left(\frac1{R_\oplus}-\frac1a\right),\qquad \left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{SR}=-\frac{GM}{2ac^2}$$
   Satellite contre sol, orbite circulaire v² = GM/a (mouvement de l’horloge au sol négligé ici).
3. $$\Delta\varpi=\frac{6\pi GM_\odot}{c^2a(1-e^2)}\ \text{per orbit}$$
   Avance du périhélie en RG, à partir de l’équation de l’orbite de Schwarzschild.

GM, c, R, a = 3.986004418e14, 299792458.0, 6378137.0, 26561750.0
gr = GM*(1/R - 1/a)/c**2*86400e6
sr = -GM/(2*a*c**2)*86400e6
print(gr, sr, gr + sr, (gr + sr)*1e-6*c/1e3)

Exercices corrigés automatiquement

1. Avance relativiste du périhélie de Vénus (a = 1,0821×10¹¹ m, e = 0,006772, période 224,701 jours), en secondes d’arc par siècle ?

   ″/century Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   Δϖ ≈ 8,62″ par siècle pour Vénus, contre 42,98″ pour Mercure (Will 2014 donne 42,98″ pour Mercure).

Exercices

1. Pourquoi la RG modifie-t-elle plus l’orbite de Mercure que celle de la Terre ?

   Voir la solution

   L’avance par orbite varie comme 1/(a(1−e²)), et Mercure fait environ 4 fois plus d’orbites par siècle : l’effet par siècle est donc bien plus grand près du Soleil.

Références

• N. Ashby, “Relativity in the Global Positioning System”, Living Reviews in Relativity 6, 1 (2003).
• C. M. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Reviews in Relativity 17, 4 (2014).
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

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