الفيزياء خطوة بخطوة

قوانين نيوتن وقوانين الحفظ

• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الفيزياء · نحو 25 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},\qquad \mathbf p=m\mathbf v$$
   القانون الثاني بصيغة الزخم.
2. $$\mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21}\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}(\mathbf p_1+\mathbf p_2)=0$$
   القانون الثالث: القوى الداخلية تلغي بعضها، فيُحفظ الزخم الكلي.
3. $$W=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Delta\left(\tfrac12mv^2\right)$$
   مبرهنة الشغل والطاقة.
4. $$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},\qquad v_2=\frac{(m_2-m_1)u_2+2m_1u_1}{m_1+m_2}$$
   نحل حفظ الزخم والطاقة الحركية معًا في التصادم المرن.

m1, u1, m2, u2 = 2.0, 3.0, 1.0, 0.0
v1 = ((m1-m2)*u1 + 2*m2*u2) / (m1+m2)
v2 = ((m2-m1)*u2 + 2*m1*u1) / (m1+m2)
print(v1, v2, m1*v1 + m2*v2, 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. عربة 1 كغ بسرعة 4 م/ث تصطدم بعربة 3 كغ ساكنة (مرن). ما سرعة عربة 3 كغ بعد التصادم بالمتر في الثانية؟

   m/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   v₂ = 2·1·4/4 = 2.0 م/ث؛ وترتد العربة الخفيفة بسرعة -2.0 م/ث.

تمارين

1. تسقط كرة من ارتفاع 20 م من السكون (بلا هواء). ما سرعتها في الأسفل؟

   عرض الحل

   mgh = ½mv²، إذن v = √(2gh) = 19.81 م/ث، بغض النظر عن الكتلة.

المراجع

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• MIT OpenCourseWare, 8.01 Classical Mechanics and 8.02 Electricity and Magnetism.

المقذوفات مع مقاومة الهواء (معادلة تفاضلية عددية)

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الفيزياء · نحو 40 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$m\dot{\mathbf v}=m\mathbf g-\tfrac12\rho C_DA\,|\mathbf v|\,\mathbf v$$
   سحب تربيعي معاكس للسرعة.
2. $$\dot v_x=-k|\mathbf v|v_x,\quad \dot v_y=-g-k|\mathbf v|v_y,\qquad k=\frac{\rho C_DA}{2m}$$
   مرتبطتان عبر |v|: لا حل أولي مغلق.
3. $$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_DA}}$$
   السرعة الحدية: يوازن السحب الوزن.
4. $$\mathbf s_{n+1}=\mathbf s_n+\tfrac{\Delta t}{6}(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4)$$
   RK4: يتناقص الخطأ الكلي مثل Δt⁴.

import math
m, d, cd, rho, g = 0.145, 0.074, 0.35, 1.225, 9.80665
k = 0.5*rho*cd*math.pi*d*d/4/m
def f(s):
    x, y, vx, vy = s; v = math.hypot(vx, vy)
    return [vx, vy, -k*v*vx, -g - k*v*vy]
s, dt = [0, 0, 40*math.cos(math.radians(35)), 40*math.sin(math.radians(35))], 1e-3
while s[1] >= 0:
    a = f(s); b = f([s[i]+dt/2*a[i] for i in range(4)])
    c = f([s[i]+dt/2*b[i] for i in range(4)]); e = f([s[i]+dt*c[i] for i in range(4)])
    s = [s[i]+dt/6*(a[i]+2*b[i]+2*c[i]+e[i]) for i in range(4)]
print(s[0])

تمارين بتصحيح تلقائي

1. الكرة والسرعة نفساهما، بزاوية 45°: ما المدى مع السحب بالمتر؟ (استخدم مختبر الفيزياء أو شيفرة Python أعلاه.)

   m تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   R(45°) = 94.8 م، مقابل 93.9 م عند 35° و163.2 م في الفراغ عند 45°.

تمارين

1. لماذا تهبط الكرة بانحدار أشد مما صعدت؟

   عرض الحل

   السحب ينزع السرعة الأفقية طوال الوقت، بينما تضيف الجاذبية سرعة رأسية أثناء الهبوط، فتصبح زاوية الهبوط أشد انحدارًا.

المراجع

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• W. H. Press et al., Numerical Recipes, 3rd ed., Cambridge University Press, 2007.
• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.

المذبذبات: البسيط والمخمَّد والقيم الذاتية

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الفيزياء · نحو 35 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$m\ddot x+c\dot x+kx=0$$
   قانون نيوتن مع قوة النابض والتخامد اللزج.
2. $$x=e^{st}\;\Rightarrow\;s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0,\quad \omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}$$
   المعادلة المميزة.
3. $$s=-\zeta\omega_n\pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(\zeta<1)$$
   تخامد ناقص: زوج مركب؛ الجزء الحقيقي = معدل الاضمحلال، والتخيلي = التردد المخمَّد.
4. $$\dot{\mathbf x}=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega_n^2&-2\zeta\omega_n\end{pmatrix}\mathbf x,\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}$$
   الشيء نفسه كنظام من الرتبة الأولى: القيم الذاتية للمصفوفة هي الجذور s. وهذا بالضبط تحليل الدورة القصيرة للطائرة.

import numpy as np
m, c, k = 1.0, 2.0, 16.0
A = np.array([[0, 1], [-k/m, -c/m]])
s = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(k/m); z = c/(2*np.sqrt(k*m))
print(s, wn, z, 1/(2*z))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. m = 0.5 كغ، k = 8 نيوتن/م، c = 1.2 نيوتن·ث/م. ما نسبة التخامد ζ؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   ζ = 1.2 / (2·2) = 0.30؛ ω_n = 4 راديان/ث.

تمارين

1. كيف يبدو التخامد الحرج (ζ = 1)، وأين يُستخدم؟

   عرض الحل

   جذر حقيقي مضاعف: أسرع عودة إلى السكون دون تجاوز. وتُصمم مغالق الأبواب وإبر الأجهزة قريبًا منه.

المراجع

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.

ميكانيكا لاغرانج وهاملتون

• الدراسات العليا
• الدكتوراه / البحث

المسار: الفيزياء · نحو 45 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$S=\int L(q,\dot q,t)\,dt,\quad \delta S=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$
   مبدأ هاملتون يعطي معادلة أويلر-لاغرانج.
2. $$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta\;\Rightarrow\;\ddot\theta=-\frac{g}{\ell}\sin\theta$$
   البندول، باستخدام الزاوية إحداثيًا.
3. $$T=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_0}{2}\;\Longleftrightarrow\;T=\frac{2\pi\sqrt{\ell/g}}{\operatorname{AGM}(1,\cos\frac{\theta_0}{2})}$$
   الدور الدقيق من حفظ الطاقة؛ ويحسب الوسط الحسابي-الهندسي التكامل الإهليلجي K بسرعة.
4. $$H=\sum_i p_i\dot q_i-L,\quad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q};\qquad \frac{\partial L}{\partial q}=0\Rightarrow p=\text{const}$$
   معادلات هاملتون. نويثر: الإحداثي الدوري يعني زخمًا محفوظًا (مثل الزخم الزاوي في قوة مركزية).

import math
def agm(a, b):
    while abs(a-b) > 1e-15: a, b = (a+b)/2, math.sqrt(a*b)
    return a
L, g, th0 = 1.0, 9.80665, math.radians(60)
T0 = 2*math.pi*math.sqrt(L/g)
print(T0, T0/agm(1, math.cos(th0/2)))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. بندول ℓ = 2 م أُطلق عند 90°. ما الدور الدقيق بالثواني؟

   s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   T₀ = 2.8375 ث؛ T = 3.3492 ث (أطول بنسبة 18%).

تمارين

1. في مسألة قوة مركزية مكتوبة بالإحداثيات القطبية، أي زخم يُحفظ ولماذا؟

   عرض الحل

   L لا تعتمد على الزاوية φ (تناظر دوراني)، لذا p_φ = mr²φ̇، أي الزخم الزاوي، ثابت: وهذا قانون كبلر الثاني.

المراجع

• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2002.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.

الكهرومغناطيسية ومعادلات ماكسويل والبلازما الفضائية

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الفيزياء · نحو 40 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\nabla\!\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\!\cdot\mathbf B=0,\quad \nabla\!\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\!\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$
   معادلات ماكسويل (SI).
2. $$\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\;\Rightarrow\;c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$
   في الفراغ نأخذ دوران قانون فاراداي: معادلة موجية سرعتها c.
3. $$m\dot{\mathbf v}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\;\Rightarrow\;r_g=\frac{mv_\perp}{|q|B},\quad \omega_g=\frac{|q|B}{m}$$
   قوة لورنتز: دوران دائري عمودي على B.
4. $$f_{pe}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
   تردد البلازما الإلكتروني: موجات الراديو الأدنى منه لا تعبر البلازما.

import math
mp, e, me, eps0 = 1.67262192369e-27, 1.602176634e-19, 9.1093837015e-31, 8.8541878128e-12
v, B, n = 4.0e5, 5e-9, 5e6
rg = mp*v/(e*B); wg = e*B/mp
fpe = math.sqrt(n*e*e/(eps0*me))/(2*math.pi)
print(rg/1e3, 2*math.pi/wg, fpe/1e3)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. إلكترون بسرعة 1000 كم/ث عموديًا على مجال 30 ميكروتسلا (قرابة مجال الأرض عند السطح). ما نصف قطر الدوران بالمتر؟

   m تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   r_g = 9.109e-31 · 1e6 / (1.602e-19 · 3e-5) = 0.190 م.

تمارين

1. لماذا تهم المعادلة ∇·B = 0 فيزيائيًا؟

   عرض الحل

   لا توجد أقطاب مغناطيسية أحادية: خطوط المجال لا تبدأ ولا تنتهي بل تنغلق على نفسها. ويجب أن تحافظ برامج محاكاة البلازما على ذلك وإلا أنتجت قوى زائفة.

المراجع

• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press, 2017.
• F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, 3rd ed., Springer, 2016.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية

• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الفيزياء · نحو 35 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_BT)}$$
   توزيع السرعات لماكسويل-بولتزمان.
2. $$\tfrac12m\langle v^2\rangle=\tfrac32k_BT\;\Rightarrow\;v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}},\qquad \bar v=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}$$
   عزوم التوزيع (تساوي التوزيع).
3. $$dU=\delta Q-\delta W,\qquad dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$
   القانون الأول (الطاقة) والقانون الثاني (الإنتروبيا).
4. $$\eta\le\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}$$
   لا يتفوق أي محرك بين مستودعين على كفاءة كارنو.

import math
kB, NA = 1.380649e-23, 6.02214076e23
R, M, T = kB*NA, 0.0280134, 300.0
print(math.sqrt(3*R*T/M), math.sqrt(8*R*T/(math.pi*M)))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. سرعة الجذر التربيعي المتوسط للأكسجين O₂ (31.9988 غ/مول) عند 300 K بالمتر في الثانية؟

   m/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   v_rms = √(3RT/M) = 483.6 م/ث (مقابل 516.8 م/ث للنيتروجين).

تمارين

1. محرك يعمل بين 600 K و300 K. ما أقصى كفاءة ممكنة له؟

   عرض الحل

   η_C = 1 − 300/600 = 0.50، أي 50%. وتحقق المحركات الحقيقية أقل بوضوح بسبب الاحتكاك وانتقال الحرارة بسرعة محدودة.

المراجع

• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics, Addison-Wesley, 2000.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

الموائع: معادلات نافييه-ستوكس وعدد رينولدز

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا
• الدكتوراه / البحث

المسار: الفيزياء · نحو 40 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\!\cdot\mathbf u=0$$
   نافييه-ستوكس غير الانضغاطية ومعادلة الاستمرارية.
2. $$\mathbf u^*=\frac{\mathbf u}{U},\ \mathbf x^*=\frac{\mathbf x}{L}\;\Rightarrow\;\ldots=-\nabla^*p^*+\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\mathbf u^*,\quad Re=\frac{\rho UL}{\mu}$$
   يترك التحجيم معاملًا واحدًا: عدد رينولدز.
3. $$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\;\Rightarrow\;Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}$$
   جريان مستقر في أنبوب: حل دقيق (هاغن-بوازوي)، صالح ما دام Re أقل من نحو 2300.
4. $$\mu(T)=\frac{1.458\times10^{-6}\,T^{3/2}}{T+110.4}\ \ \text{Pa·s}$$
   قانون ساذرلاند للزوجة الهواء (المستخدم في الغلاف الجوي القياسي 1976).

rho, U, L, T = 0.363918, 250.0, 5.0, 216.65
mu = 1.458e-6*T**1.5/(T + 110.4)
print(mu, rho*U*L/mu)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. هواء عند مستوى سطح البحر (ρ = 1.225 كغ/م³، T = 288.15 K) بسرعة 30 م/ث فوق نموذج وتره 0.2 م. ما عدد رينولدز؟ (أدخل العدد كاملًا، مثل 123000.)

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   Re = 1.225 · 30 · 0.2 / 1.789×10⁻⁵ ≈ 410757: أصغر بنحو 80 مرة من جناح التحليق.

تمارين

1. مضاعفة نصف قطر أنبوب مع ثبات فرق الضغط تضاعف معدل الجريان الصفائحي بكم؟

   عرض الحل

   Q ∝ R⁴، أي بمقدار 16. مثال: R = 0.5 مم، L = 10 سم، Δp = 1 كيلوباسكال، ماء μ = 1.0 مللي باسكال·ث يعطي Q = 0.245 مل/ث.

المراجع

• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.

النسبية للمدارات: ساعات GPS وعطارد

• الدراسات العليا
• الدكتوراه / البحث

المسار: الفيزياء · نحو 45 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\frac{d\tau}{dt}\approx1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2},\qquad \Phi=-\frac{GM}{r}$$
   معدل الساعة في المجال الضعيف: حد الجهد (النسبية العامة) زائد حد السرعة (الخاصة).
2. $$\left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{GR}=\frac{GM}{c^2}\left(\frac1{R_\oplus}-\frac1a\right),\qquad \left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{SR}=-\frac{GM}{2ac^2}$$
   القمر مقابل الأرض، مدار دائري v² = GM/a (مع إهمال حركة الساعة الأرضية هنا).
3. $$\Delta\varpi=\frac{6\pi GM_\odot}{c^2a(1-e^2)}\ \text{per orbit}$$
   تقدم الحضيض في النسبية العامة من معادلة مدار شفارتزشيلد.

GM, c, R, a = 3.986004418e14, 299792458.0, 6378137.0, 26561750.0
gr = GM*(1/R - 1/a)/c**2*86400e6
sr = -GM/(2*a*c**2)*86400e6
print(gr, sr, gr + sr, (gr + sr)*1e-6*c/1e3)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. ما التقدم النسبي لحضيض الزهرة (a = 1.0821×10¹¹ م، e = 0.006772، الدور 224.701 يومًا) بالثواني القوسية لكل قرن؟

   ″/century تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   Δϖ ≈ 8.62″ لكل قرن للزهرة، مقابل 42.98″ لعطارد (يذكر ويل 2014 القيمة 42.98″ لعطارد).

تمارين

1. لماذا تغيّر النسبية العامة مدار عطارد أكثر من مدار الأرض؟

   عرض الحل

   يتناسب التقدم لكل دورة مع 1/(a(1−e²))، ويكمل عطارد أيضًا نحو 4 أضعاف عدد الدورات في القرن، فيكون التأثير لكل قرن أكبر بكثير قرب الشمس.

المراجع

• N. Ashby, “Relativity in the Global Positioning System”, Living Reviews in Relativity 6, 1 (2003).
• C. M. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Reviews in Relativity 17, 4 (2014).
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

اختبر فهمك