La fisica passo dopo passo

Leggi di Newton e conservazione

• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: fisica · Circa 25 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},\qquad \mathbf p=m\mathbf v$$
   Seconda legge in forma di quantità di moto.
2. $$\mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21}\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}(\mathbf p_1+\mathbf p_2)=0$$
   Terza legge: le forze interne si annullano, la quantità di moto totale si conserva.
3. $$W=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Delta\left(\tfrac12mv^2\right)$$
   Teorema dell’energia cinetica.
4. $$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},\qquad v_2=\frac{(m_2-m_1)u_2+2m_1u_1}{m_1+m_2}$$
   Si risolvono insieme conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica per un urto elastico.

m1, u1, m2, u2 = 2.0, 3.0, 1.0, 0.0
v1 = ((m1-m2)*u1 + 2*m2*u2) / (m1+m2)
v2 = ((m2-m1)*u2 + 2*m1*u1) / (m1+m2)
print(v1, v2, m1*v1 + m2*v2, 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2)

Esercizi con correzione automatica

1. Un carrello da 1 kg a 4 m/s urta uno da 3 kg fermo (elastico). Velocità del carrello da 3 kg dopo, in m/s?

   m/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   v₂ = 2·1·4/4 = 2,0 m/s; il carrello leggero rimbalza a -2,0 m/s.

Esercizi

1. Una palla cade da 20 m da ferma (senza aria). Con che velocità arriva in fondo?

   Mostra la soluzione

   mgh = ½mv², quindi v = √(2gh) = 19,81 m/s, indipendentemente dalla massa.

Riferimenti

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• MIT OpenCourseWare, 8.01 Classical Mechanics and 8.02 Electricity and Magnetism.

Proiettili con resistenza dell’aria (EDO numerica)

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: fisica · Circa 40 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$m\dot{\mathbf v}=m\mathbf g-\tfrac12\rho C_DA\,|\mathbf v|\,\mathbf v$$
   Resistenza quadratica, opposta alla velocità.
2. $$\dot v_x=-k|\mathbf v|v_x,\quad \dot v_y=-g-k|\mathbf v|v_y,\qquad k=\frac{\rho C_DA}{2m}$$
   Accoppiate tramite |v|: nessuna soluzione elementare.
3. $$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_DA}}$$
   Velocità limite: la resistenza bilancia il peso.
4. $$\mathbf s_{n+1}=\mathbf s_n+\tfrac{\Delta t}{6}(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4)$$
   RK4: l’errore globale cala come Δt⁴.

import math
m, d, cd, rho, g = 0.145, 0.074, 0.35, 1.225, 9.80665
k = 0.5*rho*cd*math.pi*d*d/4/m
def f(s):
    x, y, vx, vy = s; v = math.hypot(vx, vy)
    return [vx, vy, -k*v*vx, -g - k*v*vy]
s, dt = [0, 0, 40*math.cos(math.radians(35)), 40*math.sin(math.radians(35))], 1e-3
while s[1] >= 0:
    a = f(s); b = f([s[i]+dt/2*a[i] for i in range(4)])
    c = f([s[i]+dt/2*b[i] for i in range(4)]); e = f([s[i]+dt*c[i] for i in range(4)])
    s = [s[i]+dt/6*(a[i]+2*b[i]+2*c[i]+e[i]) for i in range(4)]
print(s[0])

Esercizi con correzione automatica

1. Stessa palla e velocità, lanciata a 45°: gittata con resistenza, in m? (Usa il Physics Lab o il Python sopra.)

   m Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   R(45°) = 94,8 m, contro 93,9 m a 35° e 163,2 m nel vuoto a 45°.

Esercizi

1. Perché la palla scende più ripida di come è salita?

   Mostra la soluzione

   La resistenza toglie velocità orizzontale per tutto il tempo, mentre la gravità aggiunge velocità verticale in discesa: l’angolo di discesa è più ripido.

Riferimenti

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• W. H. Press et al., Numerical Recipes, 3rd ed., Cambridge University Press, 2007.
• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.

Oscillatori: semplice, smorzato e autovalori

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: fisica · Circa 35 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$m\ddot x+c\dot x+kx=0$$
   Legge di Newton con forza elastica e smorzamento viscoso.
2. $$x=e^{st}\;\Rightarrow\;s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0,\quad \omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}$$
   Equazione caratteristica.
3. $$s=-\zeta\omega_n\pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(\zeta<1)$$
   Sottosmorzato: coppia complessa; parte reale = tasso di decadimento, parte immaginaria = pulsazione smorzata.
4. $$\dot{\mathbf x}=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega_n^2&-2\zeta\omega_n\end{pmatrix}\mathbf x,\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}$$
   La stessa cosa come sistema del primo ordine: gli autovalori della matrice sono le radici s. È proprio l’analisi di corto periodo di un aereo.

import numpy as np
m, c, k = 1.0, 2.0, 16.0
A = np.array([[0, 1], [-k/m, -c/m]])
s = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(k/m); z = c/(2*np.sqrt(k*m))
print(s, wn, z, 1/(2*z))

Esercizi con correzione automatica

1. m = 0,5 kg, k = 8 N/m, c = 1,2 N·s/m. Smorzamento ζ?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   ζ = 1,2 / (2·2) = 0,30; ω_n = 4 rad/s.

Esercizi

1. Com’è lo smorzamento critico (ζ = 1) e dove si usa?

   Mostra la soluzione

   Una radice reale doppia: il ritorno a riposo più rapido senza sovraelongazione. Chiudiporta e lancette degli strumenti sono progettati vicino a questo valore.

Riferimenti

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.

Meccanica lagrangiana e hamiltoniana

• Laurea magistrale
• Dottorato / ricerca

Percorso: fisica · Circa 45 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$S=\int L(q,\dot q,t)\,dt,\quad \delta S=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$
   Il principio di Hamilton dà l’equazione di Eulero–Lagrange.
2. $$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta\;\Rightarrow\;\ddot\theta=-\frac{g}{\ell}\sin\theta$$
   Pendolo, con l’angolo come coordinata.
3. $$T=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_0}{2}\;\Longleftrightarrow\;T=\frac{2\pi\sqrt{\ell/g}}{\operatorname{AGM}(1,\cos\frac{\theta_0}{2})}$$
   Periodo esatto dalla conservazione dell’energia; la media aritmetico-geometrica calcola in fretta l’integrale ellittico K.
4. $$H=\sum_i p_i\dot q_i-L,\quad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q};\qquad \frac{\partial L}{\partial q}=0\Rightarrow p=\text{const}$$
   Equazioni di Hamilton. Noether: una coordinata ciclica implica un momento conservato (ad es. il momento angolare in una forza centrale).

import math
def agm(a, b):
    while abs(a-b) > 1e-15: a, b = (a+b)/2, math.sqrt(a*b)
    return a
L, g, th0 = 1.0, 9.80665, math.radians(60)
T0 = 2*math.pi*math.sqrt(L/g)
print(T0, T0/agm(1, math.cos(th0/2)))

Esercizi con correzione automatica

1. Pendolo ℓ = 2 m lasciato a 90°. Periodo esatto, in s?

   s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   T₀ = 2,8375 s; T = 3,3492 s (il 18 % in più).

Esercizi

1. In un problema a forza centrale in coordinate polari, quale momento si conserva e perché?

   Mostra la soluzione

   L non dipende dall’angolo φ (simmetria di rotazione), quindi p_φ = mr²φ̇, il momento angolare, è costante: è la seconda legge di Keplero.

Riferimenti

• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2002.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.

Elettromagnetismo, equazioni di Maxwell e plasma spaziale

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: fisica · Circa 40 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\nabla\!\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\!\cdot\mathbf B=0,\quad \nabla\!\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\!\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$
   Equazioni di Maxwell (SI).
2. $$\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\;\Rightarrow\;c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$
   Nel vuoto si prende il rotore della legge di Faraday: equazione d’onda con velocità c.
3. $$m\dot{\mathbf v}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\;\Rightarrow\;r_g=\frac{mv_\perp}{|q|B},\quad \omega_g=\frac{|q|B}{m}$$
   Forza di Lorentz: girazione circolare perpendicolare a B.
4. $$f_{pe}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
   Frequenza di plasma elettronica: le onde radio al di sotto non attraversano il plasma.

import math
mp, e, me, eps0 = 1.67262192369e-27, 1.602176634e-19, 9.1093837015e-31, 8.8541878128e-12
v, B, n = 4.0e5, 5e-9, 5e6
rg = mp*v/(e*B); wg = e*B/mp
fpe = math.sqrt(n*e*e/(eps0*me))/(2*math.pi)
print(rg/1e3, 2*math.pi/wg, fpe/1e3)

Esercizi con correzione automatica

1. Un elettrone a 1000 km/s perpendicolare a un campo di 30 μT (circa il campo terrestre in superficie). Raggio di girazione, in m?

   m Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   r_g = 9,109e-31 · 1e6 / (1,602e-19 · 3e-5) = 0,190 m.

Esercizi

1. Perché ∇·B = 0 è importante fisicamente?

   Mostra la soluzione

   Non esistono monopoli magnetici: le linee di campo non iniziano né finiscono, si richiudono. I codici numerici di plasma devono rispettarlo, altrimenti producono forze false.

Riferimenti

• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press, 2017.
• F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, 3rd ed., Springer, 2016.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Termodinamica e meccanica statistica

• Corso post-diploma
• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: fisica · Circa 35 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_BT)}$$
   Distribuzione delle velocità di Maxwell–Boltzmann.
2. $$\tfrac12m\langle v^2\rangle=\tfrac32k_BT\;\Rightarrow\;v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}},\qquad \bar v=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}$$
   Momenti della distribuzione (equipartizione).
3. $$dU=\delta Q-\delta W,\qquad dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$
   Primo principio (energia) e secondo principio (entropia).
4. $$\eta\le\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}$$
   Nessun motore tra due sorgenti supera Carnot.

import math
kB, NA = 1.380649e-23, 6.02214076e23
R, M, T = kB*NA, 0.0280134, 300.0
print(math.sqrt(3*R*T/M), math.sqrt(8*R*T/(math.pi*M)))

Esercizi con correzione automatica

1. Velocità quadratica media dell’ossigeno O₂ (31,9988 g/mol) a 300 K, in m/s?

   m/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   v_rms = √(3RT/M) = 483,6 m/s (contro 516,8 m/s per N₂).

Esercizi

1. Un motore lavora tra 600 K e 300 K. Qual è il massimo rendimento possibile?

   Mostra la soluzione

   η_C = 1 − 300/600 = 0,50, cioè 50 %. I motori reali ottengono sensibilmente meno per attrito e scambi di calore a velocità finita.

Riferimenti

• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics, Addison-Wesley, 2000.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Fluidi: Navier–Stokes e numero di Reynolds

• Laurea triennale
• Laurea magistrale
• Dottorato / ricerca

Percorso: fisica · Circa 40 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\!\cdot\mathbf u=0$$
   Navier–Stokes incomprimibile e continuità.
2. $$\mathbf u^*=\frac{\mathbf u}{U},\ \mathbf x^*=\frac{\mathbf x}{L}\;\Rightarrow\;\ldots=-\nabla^*p^*+\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\mathbf u^*,\quad Re=\frac{\rho UL}{\mu}$$
   L’adimensionalizzazione lascia un solo parametro: il numero di Reynolds.
3. $$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\;\Rightarrow\;Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}$$
   Flusso stazionario in condotta: soluzione esatta (Hagen–Poiseuille), valida finché Re resta sotto circa 2300.
4. $$\mu(T)=\frac{1.458\times10^{-6}\,T^{3/2}}{T+110.4}\ \ \text{Pa·s}$$
   Legge di Sutherland per la viscosità dell’aria (quella dell’atmosfera standard 1976).

rho, U, L, T = 0.363918, 250.0, 5.0, 216.65
mu = 1.458e-6*T**1.5/(T + 110.4)
print(mu, rho*U*L/mu)

Esercizi con correzione automatica

1. Aria al livello del mare (ρ = 1,225 kg/m³, T = 288,15 K) a 30 m/s su un modello di corda 0,2 m. Numero di Reynolds? (Scrivi il numero intero, es. 123000.)

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   Re = 1,225 · 30 · 0,2 / 1,789×10⁻⁵ ≈ 410757: circa 80 volte più piccolo dell’ala in crociera.

Esercizi

1. Raddoppiare il raggio di un tubo a pari caduta di pressione moltiplica la portata laminare per quanto?

   Mostra la soluzione

   Q ∝ R⁴, quindi per 16. Esempio: R = 0,5 mm, L = 10 cm, Δp = 1 kPa, acqua μ = 1,0 mPa·s dà Q = 0,245 mL/s.

Riferimenti

• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.

Relatività per le orbite: orologi GPS e Mercurio

• Laurea magistrale
• Dottorato / ricerca

Percorso: fisica · Circa 45 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\frac{d\tau}{dt}\approx1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2},\qquad \Phi=-\frac{GM}{r}$$
   Ritmo dell’orologio in campo debole: termine di potenziale (RG) più termine di velocità (RR).
2. $$\left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{GR}=\frac{GM}{c^2}\left(\frac1{R_\oplus}-\frac1a\right),\qquad \left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{SR}=-\frac{GM}{2ac^2}$$
   Satellite contro suolo, orbita circolare v² = GM/a (moto dell’orologio a terra trascurato qui).
3. $$\Delta\varpi=\frac{6\pi GM_\odot}{c^2a(1-e^2)}\ \text{per orbit}$$
   Avanzamento del perielio in RG dall’equazione dell’orbita di Schwarzschild.

GM, c, R, a = 3.986004418e14, 299792458.0, 6378137.0, 26561750.0
gr = GM*(1/R - 1/a)/c**2*86400e6
sr = -GM/(2*a*c**2)*86400e6
print(gr, sr, gr + sr, (gr + sr)*1e-6*c/1e3)

Esercizi con correzione automatica

1. Avanzamento relativistico del perielio di Venere (a = 1,0821×10¹¹ m, e = 0,006772, periodo 224,701 giorni), in secondi d’arco per secolo?

   ″/century Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   Δϖ ≈ 8,62″ per secolo per Venere, contro 42,98″ per Mercurio (Will 2014 riporta 42,98″ per Mercurio).

Esercizi

1. Perché la RG cambia l’orbita di Mercurio più di quella della Terra?

   Mostra la soluzione

   L’avanzamento per orbita va come 1/(a(1−e²)), e Mercurio compie circa 4 volte più orbite per secolo, quindi l’effetto per secolo è molto maggiore vicino al Sole.

Riferimenti

• N. Ashby, “Relativity in the Global Positioning System”, Living Reviews in Relativity 6, 1 (2003).
• C. M. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Reviews in Relativity 17, 4 (2014).
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

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