פיזיקה, צעד אחר צעד

חוקי ניוטון ושימור

• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: פיזיקה · כ-25 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},\qquad \mathbf p=m\mathbf v$$
   החוק השני בצורת תנע.
2. $$\mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21}\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}(\mathbf p_1+\mathbf p_2)=0$$
   החוק השלישי: הכוחות הפנימיים מבטלים זה את זה, ולכן התנע הכולל נשמר.
3. $$W=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Delta\left(\tfrac12mv^2\right)$$
   משפט העבודה–אנרגיה.
4. $$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},\qquad v_2=\frac{(m_2-m_1)u_2+2m_1u_1}{m_1+m_2}$$
   פותרים יחד את שימור התנע ושימור האנרגיה הקינטית עבור התנגשות אלסטית.

m1, u1, m2, u2 = 2.0, 3.0, 1.0, 0.0
v1 = ((m1-m2)*u1 + 2*m2*u2) / (m1+m2)
v2 = ((m2-m1)*u2 + 2*m1*u1) / (m1+m2)
print(v1, v2, m1*v1 + m2*v2, 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. עגלה של 1 kg ב-4 m/s פוגעת בעגלה של 3 kg במנוחה (אלסטית). מהירות העגלה של 3 kg לאחר מכן, ב-m/s?

   m/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   v₂ = 2·1·4/4 = 2.0 m/s; העגלה הקלה ניתזת לאחור ב-‎-2.0 m/s.

תרגול

1. כדור נופל 20 מ' ממנוחה (ללא אוויר). מה מהירותו בתחתית?

   הצגת פתרון

   mgh = ½mv², ולכן v = √(2gh) = 19.81 m/s, ללא תלות במסה.

מקורות

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, מהדורה 12, Wiley, ‏2021.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• MIT OpenCourseWare, ‏8.01 מכניקה קלאסית ו-8.02 חשמל ומגנטיות.

קליעים עם גרר אוויר (פתרון נומרי של משוואה דיפרנציאלית)

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: פיזיקה · כ-40 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$m\dot{\mathbf v}=m\mathbf g-\tfrac12\rho C_DA\,|\mathbf v|\,\mathbf v$$
   גרר ריבועי, בכיוון הפוך למהירות.
2. $$\dot v_x=-k|\mathbf v|v_x,\quad \dot v_y=-g-k|\mathbf v|v_y,\qquad k=\frac{\rho C_DA}{2m}$$
   מצומדות דרך |v|: אין צורה סגורה אלמנטרית.
3. $$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_DA}}$$
   מהירות סופית: הגרר מאזן את המשקל.
4. $$\mathbf s_{n+1}=\mathbf s_n+\tfrac{\Delta t}{6}(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4)$$
   RK4: השגיאה הכוללת קטנה כמו Δt⁴.

import math
m, d, cd, rho, g = 0.145, 0.074, 0.35, 1.225, 9.80665
k = 0.5*rho*cd*math.pi*d*d/4/m
def f(s):
    x, y, vx, vy = s; v = math.hypot(vx, vy)
    return [vx, vy, -k*v*vx, -g - k*v*vy]
s, dt = [0, 0, 40*math.cos(math.radians(35)), 40*math.sin(math.radians(35))], 1e-3
while s[1] >= 0:
    a = f(s); b = f([s[i]+dt/2*a[i] for i in range(4)])
    c = f([s[i]+dt/2*b[i] for i in range(4)]); e = f([s[i]+dt*c[i] for i in range(4)])
    s = [s[i]+dt/6*(a[i]+2*b[i]+2*c[i]+e[i]) for i in range(4)]
print(s[0])

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אותו כדור ואותה מהירות, משוגר ב-45°: טווח עם גרר, במטרים? (השתמשו במעבדת הפיזיקה או בקוד ה-Python שלמעלה.)

   m בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   R(45°) = 94.8 m, לעומת 93.9 m ב-35° ו-163.2 m בריק ב-45°.

תרגול

1. מדוע הכדור יורד בתלילות רבה יותר מאשר עלה?

   הצגת פתרון

   הגרר מסיר מהירות אופקית כל הזמן, בעוד הכבידה ממשיכה להוסיף מהירות אנכית בדרך למטה, ולכן זווית הירידה תלולה יותר.

מקורות

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• W. H. Press et al., Numerical Recipes, מהדורה 3, Cambridge University Press, ‏2007.
• F. M. White, Fluid Mechanics, מהדורה 8, McGraw-Hill, ‏2016.

מתנדים: פשוטים, מרוסנים וערכים עצמיים

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: פיזיקה · כ-35 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$m\ddot x+c\dot x+kx=0$$
   חוק ניוטון עם כוח קפיץ וריסון צמיגי.
2. $$x=e^{st}\;\Rightarrow\;s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0,\quad \omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}$$
   המשוואה האופיינית.
3. $$s=-\zeta\omega_n\pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(\zeta<1)$$
   ריסון חסר: זוג מרוכב; החלק הממשי = קצב הדעיכה, החלק המדומה = התדירות המרוסנת.
4. $$\dot{\mathbf x}=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega_n^2&-2\zeta\omega_n\end{pmatrix}\mathbf x,\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}$$
   אותו דבר כמערכת מסדר ראשון: הערכים העצמיים של המטריצה הם השורשים s. זהו בדיוק ניתוח התנודה הקצרה של מטוס.

import numpy as np
m, c, k = 1.0, 2.0, 16.0
A = np.array([[0, 1], [-k/m, -c/m]])
s = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(k/m); z = c/(2*np.sqrt(k*m))
print(s, wn, z, 1/(2*z))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. m = 0.5 kg, ‏k = 8 N/m, ‏c = 1.2 N·s/m. יחס ריסון ζ?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   ζ = 1.2 / (2·2) = 0.30; ω_n = 4 rad/s.

תרגול

1. איך נראה ריסון קריטי (ζ = 1), והיכן משתמשים בו?

   הצגת פתרון

   שורש ממשי כפול: החזרה המהירה ביותר למנוחה ללא חריגה. מחזירי דלתות ומחוגי מכשירים מתוכננים קרוב לכך.

מקורות

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, מהדורה 12, Wiley, ‏2021.

מכניקה לגרנז'יאנית והמילטונית

• תואר מתקדם
• דוקטורט / מחקר

מסלול: פיזיקה · כ-45 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$S=\int L(q,\dot q,t)\,dt,\quad \delta S=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$
   עקרון המילטון נותן את משוואת אוילר–לגרנז'.
2. $$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta\;\Rightarrow\;\ddot\theta=-\frac{g}{\ell}\sin\theta$$
   מטוטלת, כשהזווית משמשת כקואורדינטה.
3. $$T=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_0}{2}\;\Longleftrightarrow\;T=\frac{2\pi\sqrt{\ell/g}}{\operatorname{AGM}(1,\cos\frac{\theta_0}{2})}$$
   זמן מחזור מדויק משימור אנרגיה; הממוצע האריתמטי–גאומטרי מחשב במהירות את האינטגרל האליפטי K.
4. $$H=\sum_i p_i\dot q_i-L,\quad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q};\qquad \frac{\partial L}{\partial q}=0\Rightarrow p=\text{const}$$
   משוואות המילטון. נתר: קואורדינטה שאינה מופיעה פירושה תנע נשמר (למשל תנע זוויתי בכוח מרכזי).

import math
def agm(a, b):
    while abs(a-b) > 1e-15: a, b = (a+b)/2, math.sqrt(a*b)
    return a
L, g, th0 = 1.0, 9.80665, math.radians(60)
T0 = 2*math.pi*math.sqrt(L/g)
print(T0, T0/agm(1, math.cos(th0/2)))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. מטוטלת ℓ = 2 m משוחררת ב-90°. זמן מחזור מדויק, בשניות?

   s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   T₀ = 2.8375 s; ‏T = 3.3492 s (ארוך ב-18%).

תרגול

1. בבעיית כוח מרכזי הכתובה בקואורדינטות קוטביות, איזה תנע נשמר ומדוע?

   הצגת פתרון

   L אינו תלוי בזווית φ (סימטריה סיבובית), ולכן p_φ = mr²φ̇, התנע הזוויתי, קבוע: זהו החוק השני של קפלר.

מקורות

• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, מהדורה 3, Addison-Wesley, 2002.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.

אלקטרומגנטיות, משוואות מקסוול ופלזמה בחלל

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: פיזיקה · כ-40 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\nabla\!\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\!\cdot\mathbf B=0,\quad \nabla\!\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\!\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$
   משוואות מקסוול (SI).
2. $$\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\;\Rightarrow\;c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$
   בריק, לוקחים את הרוטור של חוק פאראדיי: משוואת גלים עם מהירות c.
3. $$m\dot{\mathbf v}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\;\Rightarrow\;r_g=\frac{mv_\perp}{|q|B},\quad \omega_g=\frac{|q|B}{m}$$
   כוח לורנץ: הסתחררות מעגלית בניצב ל-B.
4. $$f_{pe}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
   תדירות הפלזמה של האלקטרונים: גלי רדיו מתחתיה אינם יכולים לעבור דרך הפלזמה.

import math
mp, e, me, eps0 = 1.67262192369e-27, 1.602176634e-19, 9.1093837015e-31, 8.8541878128e-12
v, B, n = 4.0e5, 5e-9, 5e6
rg = mp*v/(e*B); wg = e*B/mp
fpe = math.sqrt(n*e*e/(eps0*me))/(2*math.pi)
print(rg/1e3, 2*math.pi/wg, fpe/1e3)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אלקטרון ב-1000 km/s בניצב לשדה של 30 μT (בערך השדה על פני כדור הארץ). רדיוס ג'ירו, במטרים?

   m בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   r_g = 9.109e-31 · 1e6 / (1.602e-19 · 3e-5) = 0.190 m.

תרגול

1. מדוע ל-∇·B = 0 יש משמעות פיזיקלית?

   הצגת פתרון

   אין מונופולים מגנטיים: קווי שדה לעולם אינם מתחילים או מסתיימים, ולכן הם נסגרים על עצמם. קודים נומריים של פלזמה חייבים לשמר זאת, אחרת הם יוצרים כוחות מדומים.

מקורות

• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, מהדורה 4, Cambridge University Press, 2017.
• F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, מהדורה 3, Springer, 2016.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית

• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: פיזיקה · כ-35 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_BT)}$$
   התפלגות המהירויות של מקסוול–בולצמן.
2. $$\tfrac12m\langle v^2\rangle=\tfrac32k_BT\;\Rightarrow\;v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}},\qquad \bar v=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}$$
   מומנטים של ההתפלגות (חלוקה שווה).
3. $$dU=\delta Q-\delta W,\qquad dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$
   החוק הראשון (אנרגיה) והחוק השני (אנטרופיה).
4. $$\eta\le\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}$$
   שום מנוע בין שני מאגרים אינו עולה על קרנו.

import math
kB, NA = 1.380649e-23, 6.02214076e23
R, M, T = kB*NA, 0.0280134, 300.0
print(math.sqrt(3*R*T/M), math.sqrt(8*R*T/(math.pi*M)))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. מהירות RMS של חמצן O₂ ‏(31.9988 g/mol) ב-300 K, ב-m/s?

   m/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   v_rms = √(3RT/M) = 483.6 m/s (לעומת 516.8 m/s עבור N₂).

תרגול

1. מנוע פועל בין 600 K ל-300 K. מהי הנצילות המרבית שיכולה להיות לו?

   הצגת פתרון

   η_C = 1 − 300/600 = 0.50, כלומר 50%. מנועים אמיתיים משיגים פחות באופן מורגש בגלל חיכוך ומעבר חום במהירות סופית.

מקורות

• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics, Addison-Wesley, 2000.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, מהדורה 12, Wiley, ‏2021.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

זורמים: נאוויה–סטוקס ומספר ריינולדס

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם
• דוקטורט / מחקר

מסלול: פיזיקה · כ-40 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\!\cdot\mathbf u=0$$
   נאוויה–סטוקס לזרימה בלתי דחיסה ומשוואת הרציפות.
2. $$\mathbf u^*=\frac{\mathbf u}{U},\ \mathbf x^*=\frac{\mathbf x}{L}\;\Rightarrow\;\ldots=-\nabla^*p^*+\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\mathbf u^*,\quad Re=\frac{\rho UL}{\mu}$$
   שינוי קנה מידה משאיר פרמטר אחד: מספר ריינולדס.
3. $$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\;\Rightarrow\;Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}$$
   זרימה יציבה בצינור: פתרון מדויק (הגן–פואזיי), תקף כל עוד Re קטן מכ-2300.
4. $$\mu(T)=\frac{1.458\times10^{-6}\,T^{3/2}}{T+110.4}\ \ \text{Pa·s}$$
   חוק סאת'רלנד לצמיגות האוויר (כפי שבשימוש באטמוספרה התקנית של 1976).

rho, U, L, T = 0.363918, 250.0, 5.0, 216.65
mu = 1.458e-6*T**1.5/(T + 110.4)
print(mu, rho*U*L/mu)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אוויר בגובה פני הים (ρ = 1.225 kg/m³, ‏T = 288.15 K) ב-30 m/s מעל דגם עם מיתר 0.2 m. מספר ריינולדס? (הזינו את המספר המלא, למשל 123000.)

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   Re = 1.225 · 30 · 0.2 / 1.789×10⁻⁵ ≈ 410757: קטן בערך פי 80 מזה של כנף השיוט.

תרגול

1. הכפלת רדיוס צינור באותו מפל לחץ מכפילה את ספיקת הזרימה הלמינרית בכמה?

   הצגת פתרון

   Q ∝ R⁴, ולכן פי 16. דוגמה: R = 0.5 mm, ‏L = 10 cm, ‏Δp = 1 kPa, מים μ = 1.0 mPa·s נותנים Q = 0.245 mL/s.

מקורות

• F. M. White, Fluid Mechanics, מהדורה 8, McGraw-Hill, ‏2016.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, מהדורה 6, McGraw-Hill, ‏2017.

יחסות למסלולים: שעוני GPS וכוכב חמה

• תואר מתקדם
• דוקטורט / מחקר

מסלול: פיזיקה · כ-45 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\frac{d\tau}{dt}\approx1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2},\qquad \Phi=-\frac{GM}{r}$$
   קצב שעון בשדה חלש: איבר הפוטנציאל (יחסות כללית) ועוד איבר המהירות (יחסות פרטית).
2. $$\left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{GR}=\frac{GM}{c^2}\left(\frac1{R_\oplus}-\frac1a\right),\qquad \left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{SR}=-\frac{GM}{2ac^2}$$
   לוויין לעומת קרקע, מסלול מעגלי v² = GM/a (תנועת השעון הקרקעי מוזנחת כאן).
3. $$\Delta\varpi=\frac{6\pi GM_\odot}{c^2a(1-e^2)}\ \text{per orbit}$$
   התקדמות הפריהליון לפי היחסות הכללית ממשוואת המסלול של שוורצשילד.

GM, c, R, a = 3.986004418e14, 299792458.0, 6378137.0, 26561750.0
gr = GM*(1/R - 1/a)/c**2*86400e6
sr = -GM/(2*a*c**2)*86400e6
print(gr, sr, gr + sr, (gr + sr)*1e-6*c/1e3)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. התקדמות הפריהליון היחסותית של נוגה (a = 1.0821×10¹¹ m, ‏e = 0.006772, זמן מחזור 224.701 ימים), בשניות קשת למאה?

   ″ למאה בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   Δϖ ≈ 8.62″ למאה עבור נוגה, לעומת 42.98″ עבור כוכב חמה (וויל 2014 מצטט 42.98″ עבור כוכב חמה).

תרגול

1. מדוע היחסות הכללית משנה את מסלול כוכב חמה יותר מאת מסלול כדור הארץ?

   הצגת פתרון

   ההתקדמות לכל הקפה משתנה כמו 1/(a(1−e²)), וכוכב חמה גם משלים בערך פי 4 הקפות למאה, ולכן ההשפעה למאה גדולה בהרבה קרוב לשמש.

מקורות

• N. Ashby, “Relativity in the Global Positioning System”, Living Reviews in Relativity 6, 1 (2003).
• C. M. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Reviews in Relativity 17, 4 (2014).
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

בדקו את ההבנה שלכם