מתמטיקה של הנדסת אווירונאוטיקה, צעד אחר צעד

האטמוספרה התקנית

• בני נוער
• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-20 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$dp=-\rho g_0\,dh,\qquad p=\rho RT$$
   שיווי משקל הידרוסטטי ועוד חוק הגז האידיאלי.
2. $$\frac{dp}{p}=-\frac{g_0}{RT}\,dh$$
   מחלקים כדי להפריד משתנים.
3. $$T=T_0-Lh\;\Rightarrow\;\frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{g_0/(LR)},\quad L=0.0065\ \text{K/m}$$
   טרופוספרה: הטמפרטורה יורדת באופן ליניארי.
4. $$T=\text{const}\;\Rightarrow\;p=p_{11}\,e^{-g_0(h-h_{11})/(RT)}$$
   מעל 11 ק"מ (עד 20 ק"מ): איזותרמי, דעיכה מעריכית.

import math
g0, R, L, T0, p0 = 9.80665, 287.05287, 0.0065, 288.15, 101325.0
h = 11000
T = T0 - L*h
p = p0 * (T/T0)**(g0/(L*R))
rho = p / (R*T)
print(T, p, rho, math.sqrt(1.4*R*T))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. צפיפות ISA בגובה 5000 מ', ב-kg/m³?

   kg/m³ בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   p = 54020 Pa; ρ = 0.7361 kg/m³.

תרגול

1. מדוע הנוסחה משתנה בגובה 11 ק"מ?

   הצגת פתרון

   הטמפרטורה במודל מפסיקה לרדת (הטרופופאוזה); כאשר T קבוע, האינטגרל של dp/p נותן פונקציה מעריכית במקום חוק חזקה.

מקורות

• NOAA, NASA, USAF, U.S. Standard Atmosphere, 1976, U.S. Government Printing Office, 1976.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, מהדורה 8, McGraw-Hill, ‏2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

עילוי, פרופיל הכנף ותורת פרופיל הכנף הדק

• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-25 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$L=\tfrac12\rho V^2 S\,C_L$$
   משוואת העילוי (הגדרת C_L).
2. $$\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\frac{\gamma(\theta)\sin\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}\,d\theta=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)$$
   משוואת האינטגרל של פרופיל הכנף הדק עבור עוצמת יריעת המערבולות γ.
3. $$\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\;\Rightarrow\;c_l=\frac{2\Gamma}{V_\infty c}=2\pi\alpha$$
   פתרון לפרופיל כנף סימטרי וקוטה–ז'וקובסקי.
4. $$V_{s}=\sqrt{\frac{2W}{\rho S C_{L,\max}}}$$
   מהירות הזדקרות: העילוי שווה למשקל ב-C_L המרבי.

import math
m, S, clmax, rho, g0 = 1100, 16.2, 1.6, 1.225, 9.80665
Vs = math.sqrt(2*m*g0 / (rho*S*clmax))
print(Vs, Vs/0.514444, 2*math.pi*math.radians(5))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אותו מטוס בגובה ISA של 1500 מ': מהירות הזדקרות (מהירות אוויר אמיתית) ב-m/s?

   m/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   ρ(1500 m) = 1.0581 kg/m³, ולכן V_s = 28.05 m/s (מהירות ההזדקרות המוצגת נשארת זהה).

תרגול

1. מדוע תורת פרופיל הכנף הדק נכשלת מעל כ-12–15°?

   הצגת פתרון

   היא מניחה זרימה צמודה וחסרת צמיגות וזוויות קטנות; ב-α גבוה שכבת הגבול ניתקת (הזדקרות).

מקורות

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, מהדורה 6, McGraw-Hill, ‏2017.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, מהדורה 8, McGraw-Hill, ‏2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

כנפיים סופיות: תורת קו העילוי וגרר מושרה

• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-30 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\Gamma(\theta)=2bV_\infty\sum_{n}A_n\sin n\theta,\qquad y=-\tfrac b2\cos\theta$$
   טור פורייה עבור הסירקולציה לאורך המוטה.
2. $$C_L=\pi AR\,A_1,\qquad C_{D_i}=\pi AR\sum_n nA_n^2=\frac{C_L^2}{\pi e AR}$$
   העילוי זקוק רק ל-A₁; כל איבר אחר מוסיף גרר (e ≤ 1).
3. $$a=\frac{a_0}{1+a_0/(\pi e AR)}$$
   שיפוע העילוי של כנף סופית (תיקון מסוג אליפטי).

import math
AR, e, CL, a0 = 9, 0.8, 0.5, 2*math.pi
print(CL**2/(math.pi*e*AR), a0/(1 + a0/(math.pi*e*AR)))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אותה כנף, AR מוגדל ל-12 (e = 0.8, ‏C_L = 0.5): C_Di?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   C_Di = 0.25/(π · 0.8 · 12) = 0.00829, פחות ב-25% מאשר ב-AR = 9.

תרגול

1. איזו התפלגות עילוי לאורך המוטה נותנת e = 1?

   הצגת פתרון

   ההתפלגות האליפטית (רק A₁ ≠ 0), שנותנת גם זרימה כלפי מטה אחידה.

מקורות

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, מהדורה 6, McGraw-Hill, ‏2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

ביצועי מטוס: גלישה מיטבית ומשוואת הטווח של ברגה

• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-30 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$C_D=C_{D_0}+kC_L^2,\qquad k=\frac{1}{\pi eAR}$$
   פולרת גרר פרבולית.
2. $$\frac{d}{dC_L}\!\left(\frac{C_L}{C_D}\right)=0\;\Rightarrow\;C_{D_0}=kC_L^2,\qquad \left(\frac{L}{D}\right)_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{kC_{D_0}}}$$
   מקסום L/D: גרר החיכוך שווה לגרר המושרה.
3. $$-\frac{dW}{dt}=c\,T=c\,\frac{W}{L/D}\;\Rightarrow\;R=\int V\,dt=\frac{V}{c}\frac{L}{D}\ln\frac{W_i}{W_f}$$
   קצב שריפת הדלק c ‏(TSFC) ב-V ו-L/D קבועים; מבצעים אינטגרציה.

import math
AR, e, CD0 = 9, 0.8, 0.02
k = 1/(math.pi*e*AR)
print(1/(2*math.sqrt(k*CD0)), math.sqrt(CD0/k))
V, c, LD, wr = 230, 0.6/3600, 17, 1.25
print(V/c*LD*math.log(wr)/1000, "km")

תרגול שנבדק אוטומטית

1. עם C_D0 = 0.015 (גוף מטוס נקי יותר), אותם AR ו-e: ‏(L/D)max?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   (L/D)max = 19.42, שיפור של כ-15%.

תרגול

1. מדוע c מחולק ב-3600 בדוגמה הפתורה?

   הצגת פתרון

   TSFC מצוטט לשעה; V הוא ב-m/s, ולכן c חייב להיות לשנייה כדי ש-R ייצא במטרים.

מקורות

• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, מהדורה 8, McGraw-Hill, ‏2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

זרימה דחיסה וגלי הלם ניצבים

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-35 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$c_pT+\tfrac12V^2=c_pT_0\;\Rightarrow\;\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
   משוואת אנרגיה יציבה עם a = √(γRT).
2. $$\frac{p_0}{p}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
   האטה איזנטרופית עד עצירה.
3. $$\rho_1u_1=\rho_2u_2,\quad p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\quad h_1+\tfrac12u_1^2=h_2+\tfrac12u_2^2$$
   שימור על פני גל ההלם.
4. $$M_2^2=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\frac{\gamma-1}{2}},\qquad \frac{p_2}{p_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_1^2-1)$$
   יחסי גל הלם ניצב (פותרים את שלוש המשוואות).

import math
g, M1 = 1.4, 2.0
t = lambda M: 1 + (g-1)/2*M*M
M2 = math.sqrt(t(M1) / (g*M1**2 - (g-1)/2))
p21 = 1 + 2*g/(g+1)*(M1**2 - 1)
p0r = p21 * t(M2)**(g/(g-1)) / t(M1)**(g/(g-1))
print(t(M1), t(M1)**3.5, M2, p21, p0r)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. לחץ סטטי ללחץ כולל: p₀/p ב-M = 1 ‏(γ = 1.4)?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   p₀/p = 1.2^3.5 = 1.8929 (היחס ה"קריטי", כ-1.89).

תרגול

1. האם גל הלם ניצב יכול להתרחש בזרימה תת-קולית?

   הצגת פתרון

   לא: עבור M₁ < 1 היחסים היו מחייבים ירידה באנטרופיה, בניגוד לחוק השני.

מקורות

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, מהדורה 6, McGraw-Hill, ‏2017.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

הנעה סילונית: דחף ומחזור ברייטון

• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-30 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$F=\dot m\,(V_e-V_0)+(p_e-p_0)A_e$$
   מאזן תנע על המנוע (בהזנחת מסת הדלק).
2. $$\eta_{th}=1-\frac{q_{out}}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$
   חום נכנס בלחץ קבוע (2→3), יוצא (4→1).
3. $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}=\pi_c^{(\gamma-1)/\gamma}\;\Rightarrow\;\eta_{th}=1-\pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma}$$
   דחיסה והתפשטות איזנטרופיות חולקות אותו יחס לחצים.

g, pic = 1.4, 30
print(1 - pic**(-(g-1)/g))
mdot, V0, Ve = 100, 250, 600
print(mdot*(Ve - V0)/1000, "kN")

תרגול שנבדק אוטומטית

1. נצילות ברייטון אידיאלית ב-π_c = 40?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   η = 1 − 40^(−0.2857) = 0.6514.

תרגול

1. מדוע לא להעלות את יחס הלחצים ללא הגבלה?

   הצגת פתרון

   גם טמפרטורת היציאה מהמדחס עולה, וכך נשאר פחות מקום להוספת חום לפני מגבלת הטמפרטורה של חומרי הטורבינה.

מקורות

• J. D. Mattingly, Elements of Propulsion: Gas Turbines and Rockets, AIAA, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

יציבות ובקרה: אופן התנודה הקצר

• תואר מתקדם

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-45 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\begin{bmatrix}\dot\alpha\\ \dot q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_\alpha/V & 1\\ M_\alpha+M_{\dot\alpha}Z_\alpha/V & M_q+M_{\dot\alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ q\end{bmatrix}$$
   קירוב התנודה הקצרה (המהירות נשמרת קבועה).
2. $$\det(s\mathbf I-\mathbf A)=s^2-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)s+\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha\right)=0$$
   המשוואה האופיינית.
3. $$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\;\Rightarrow\;\omega_n=\sqrt{\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha},\quad \zeta=\frac{-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)}{2\omega_n}$$
   התאמה לצורה התקנית מסדר שני.

import numpy as np
ZaV, Mq, Mad, Ma = -1.0, -1.5, -0.3, -8.0
A = np.array([[ZaV, 1.0], [Ma + Mad*ZaV, Mq + Mad]])
lam = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(np.prod(lam).real); zeta = -lam.sum().real / (2*wn)
print(lam, wn, zeta)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אותו מטוס עם M_q = −0.5 s⁻¹ (ריסון עלרוד חלש יותר): יחס ריסון ζ?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   ζ = 0.309: מתחת ל-0.35, ולכן יוצא מרמה 1 (הטייסים היו מרגישים את האף מתנדנד).

תרגול

1. מה המשמעות הפיזיקלית של חלק ממשי חיובי של ערך עצמי?

   הצגת פתרון

   ההפרעה גדלה באופן מעריכי: המטוס אינו יציב באופן זה.

מקורות

• B. Etkin, L. D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, מהדורה 3, Wiley, 1996.
• משרד ההגנה האמריקאי, MIL-STD-1797A, Flying Qualities of Piloted Aircraft, 1990 (אושר לפרסום לציבור).
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

כלי טיס בעלי רוטור: תורת התנע ותורת אלמנט הלהב

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם
• דוקטורט / מחקר

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-45 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$T=\dot m\,w,\qquad \dot m=\rho A v_i$$
   תנע: הדחף שווה לספיקת המסה כפול מהירות העקבה הרחוקה w.
2. $$Tv_i=\tfrac12\dot m\,w^2\;\Rightarrow\;w=2v_i$$
   אנרגיה: ההספק בדיסקה שווה לשטף האנרגיה הקינטית בעקבה.
3. $$v_i=\sqrt{\frac{T}{2\rho A}},\qquad P_{ideal}=Tv_i=\frac{T^{3/2}}{\sqrt{2\rho A}},\qquad FM=\frac{P_{ideal}}{P_{actual}}$$
   מהירות מושרית, הספק אידיאלי, מקדם ביצוע.
4. $$dT=\tfrac12\rho\,(\Omega r)^2\,c\,a\,(\theta-\phi)\,N_b\,dr,\qquad \phi\approx\frac{v_i}{\Omega r}$$
   תורת אלמנט הלהב: כל רצועה של להב היא פרופיל כנף קטן בזווית θ − φ, כאשר זווית הזרימה הנכנסת φ נובעת מהמהירות המושרית.
5. $$C_T=\frac{\sigma a}{2}\left(\frac{\theta_{0.75}}{3}-\frac{\lambda}{2}\right),\qquad \sigma=\frac{N_b c}{\pi R},\quad \lambda=\frac{v_i}{\Omega R}$$
   מבצעים אינטגרציה מהשורש לקצה עם זרימה נכנסת אחידה: מקדם הדחף במונחי המלאות σ, שיפוע העילוי a והזווית ב-75% מהרדיוס.
6. $$\lambda=\sqrt{C_T/2}\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{\sigma a}{16}\left(\sqrt{1+\frac{64\,\theta_{0.75}}{3\sigma a}}-1\right)$$
   תורת אלמנט הלהב והתנע המשולבת (BEMT): משווים את דחף אלמנט הלהב לדחף מתורת התנע ופותרים את המשוואה הריבועית עבור λ.
7. $$C_P=\frac{C_T^{3/2}}{\sqrt2}+\frac{\sigma C_{d0}}{8},\qquad FM=\frac{C_T^{3/2}/\sqrt2}{C_P}$$
   הספק = חלק מושרה + חלק פרופיל מגרר הלהב. זו הסיבה ש-FM נשאר מתחת ל-1.

import math
m, R, rho = 2700, 5.1, 1.225
T = m*9.80665; A = math.pi*R*R
vi = math.sqrt(T/(2*rho*A)); P = T*vi
print(T/A, vi, P/1000, P/1000/400)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. אותו מסוק עם R = 6.0 m: הספק ריחוף אידיאלי ב-kW?

   kW בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   A = 113.10 m²; ‏P_ideal = 258.8 kW (לעומת 304.5 kW ב-R = 5.1 m).

2. תורת אלמנט הלהב והתנע, ריחוף: מלאות σ = 0.08, שיפוע עילוי a = 5.73 /rad, זווית להב ב-75% מהרדיוס 8°. מהו מקדם הדחף C_T?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   θ = 0.13963 rad, ‏λ = 0.04980, ‏C_T = 0.00496. עם C_d0 = 0.011: ‏C_P = 0.000357, ‏FM = 0.692. בזווית 10°: ‏C_T = 0.00670 ו-FM = 0.779: רוטור בעומס גבוה יותר יעיל יותר.

תרגול

1. מדוע FM לעולם אינו יכול להגיע ל-1 במציאות?

   הצגת פתרון

   רוטורים אמיתיים מוציאים הספק גם על גרר הפרופיל של הלהב, זרימה נכנסת לא אחידה, הפסדי קצה וסחרור, שתורת התנע מתעלמת מהם.

2. ב-BEMT, מדוע מציינים את זווית הלהב ב-75% מהרדיוס?

   הצגת פתרון

   הדחף גדל עם r², ולכן החלק החיצוני של הלהב שולט; בלהבים בעלי פיתול ליניארי, הזווית ב-0.75R נותנת את אותו C_T כמו התפלגות הפיתול המלאה בזרימה נכנסת אחידה.

מקורות

• J. G. Leishman, Principles of Helicopter Aerodynamics, מהדורה 2, Cambridge University Press, ‏2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

יסודות CFD: הפרשים סופיים, דיוק ויציבות

• תואר מתקדם
• דוקטורט / מחקר

מסלול: הנדסת אווירונאוטיקה · כ-45 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$f(x\pm h)=f\pm hf^{\prime}+\tfrac{h^2}{2}f^{\prime\prime}\pm\tfrac{h^3}{6}f^{\prime\prime\prime}+\dots$$
   פיתוחי טיילור סביב x.
2. $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}+O(h),\qquad \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{\prime}+O(h^2)$$
   הפרש קדמי הוא מסדר ראשון; הפרש מרכזי הוא מסדר שני.
3. $$u_t=\nu u_{xx}:\quad u_j^{n+1}=u_j^n+r\left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right),\quad r=\frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12$$
   שיטה מפורשת לדיפוזיה; ניתוח פון נוימן נותן את גבול היציבות.
4. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\cdot\mathbf u=0$$
   נאוויה–סטוקס לזרימה בלתי דחיסה: איבר הצמיגות הוא אותו אופרטור דיפוזיה.

import math
x, h = 1.0, 0.1
fwd = (math.sin(x+h) - math.sin(x)) / h
cen = (math.sin(x+h) - math.sin(x-h)) / (2*h)
print(fwd, cen, abs(fwd - math.cos(x)), abs(cen - math.cos(x)))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. שיטת דיפוזיה מפורשת עם ν = 1×10⁻⁵ m²/s ו-Δx = 1 mm: מהו Δt היציב הגדול ביותר, בשניות?

   s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   Δt ≤ 0.5 · 10⁻⁶ / 10⁻⁵ = 0.05 s.

תרגול

1. חציית Δx בשיטת הדיפוזיה המפורשת משנה את Δt המרבי בכמה?

   הצגת פתרון

   הוא מחולק ב-4, כי Δt_max ∝ Δx². שיטות סתומות (implicit) עוקפות את הגבול הזה.

מקורות

• J. D. Anderson Jr., Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill, 1995.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, מהדורה 6, McGraw-Hill, ‏2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

בדקו את ההבנה שלכם