Mathématiques du génie aéronautique, pas à pas

L’atmosphère standard

• Ados
• Premier cycle (DUT/BTS)
• Licence (L1–L3)

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 20 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$dp=-\rho g_0\,dh,\qquad p=\rho RT$$
   Équilibre hydrostatique et loi des gaz parfaits.
2. $$\frac{dp}{p}=-\frac{g_0}{RT}\,dh$$
   Diviser pour séparer les variables.
3. $$T=T_0-Lh\;\Rightarrow\;\frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{g_0/(LR)},\quad L=0.0065\ \text{K/m}$$
   Troposphère : la température baisse linéairement.
4. $$T=\text{const}\;\Rightarrow\;p=p_{11}\,e^{-g_0(h-h_{11})/(RT)}$$
   Au-dessus de 11 km (jusqu’à 20 km) : isotherme, décroissance exponentielle.

import math
g0, R, L, T0, p0 = 9.80665, 287.05287, 0.0065, 288.15, 101325.0
h = 11000
T = T0 - L*h
p = p0 * (T/T0)**(g0/(L*R))
rho = p / (R*T)
print(T, p, rho, math.sqrt(1.4*R*T))

Exercices corrigés automatiquement

1. Densité ISA à 5000 m, en kg/m³ ?

   kg/m³ Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   p = 54020 Pa ; ρ = 0,7361 kg/m³.

Exercices

1. Pourquoi la formule change-t-elle à 11 km ?

   Voir la solution

   La température du modèle cesse de baisser (tropopause) ; à T constant, l’intégrale de dp/p donne une exponentielle au lieu d’une loi de puissance.

Références

• NOAA, NASA, USAF, U.S. Standard Atmosphere, 1976, U.S. Government Printing Office, 1976.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Portance, profil et théorie des profils minces

• Premier cycle (DUT/BTS)
• Licence (L1–L3)

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 25 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$L=\tfrac12\rho V^2 S\,C_L$$
   Équation de portance (définition de C_L).
2. $$\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\frac{\gamma(\theta)\sin\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}\,d\theta=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)$$
   Équation intégrale des profils minces pour l’intensité γ de la nappe.
3. $$\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\;\Rightarrow\;c_l=\frac{2\Gamma}{V_\infty c}=2\pi\alpha$$
   Solution du profil symétrique et Kutta–Joukowski.
4. $$V_{s}=\sqrt{\frac{2W}{\rho S C_{L,\max}}}$$
   Vitesse de décrochage : portance = poids au C_L maximal.

import math
m, S, clmax, rho, g0 = 1100, 16.2, 1.6, 1.225, 9.80665
Vs = math.sqrt(2*m*g0 / (rho*S*clmax))
print(Vs, Vs/0.514444, 2*math.pi*math.radians(5))

Exercices corrigés automatiquement

1. Même avion à 1500 m d’altitude ISA : vitesse de décrochage (vitesse vraie) en m/s ?

   m/s Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   ρ(1500 m) = 1,0581 kg/m³, donc V_s = 28,05 m/s (la vitesse indiquée de décrochage reste la même).

Exercices

1. Pourquoi la théorie des profils minces échoue-t-elle au-delà d’environ 12–15° ?

   Voir la solution

   Elle suppose un écoulement attaché, non visqueux et de petits angles ; à forte incidence la couche limite décolle (décrochage).

Références

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Ailes finies : ligne portante et traînée induite

• Licence (L1–L3)

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 30 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$\Gamma(\theta)=2bV_\infty\sum_{n}A_n\sin n\theta,\qquad y=-\tfrac b2\cos\theta$$
   Série de Fourier de la circulation le long de l’envergure.
2. $$C_L=\pi AR\,A_1,\qquad C_{D_i}=\pi AR\sum_n nA_n^2=\frac{C_L^2}{\pi e AR}$$
   La portance ne dépend que de A₁ ; chaque autre terme ajoute de la traînée (e ≤ 1).
3. $$a=\frac{a_0}{1+a_0/(\pi e AR)}$$
   Pente de portance de l’aile finie (correction de type elliptique).

import math
AR, e, CL, a0 = 9, 0.8, 0.5, 2*math.pi
print(CL**2/(math.pi*e*AR), a0/(1 + a0/(math.pi*e*AR)))

Exercices corrigés automatiquement

1. Même aile, AR porté à 12 (e = 0,8, C_L = 0,5) : C_Di ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   C_Di = 0,25/(π · 0,8 · 12) = 0,00829, 25 % de moins qu’à AR = 9.

Exercices

1. Quelle répartition de portance en envergure donne e = 1 ?

   Voir la solution

   La répartition elliptique (seul A₁ ≠ 0), qui donne aussi une déflexion uniforme.

Références

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Performances : finesse maximale et équation de Breguet

• Licence (L1–L3)

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 30 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$C_D=C_{D_0}+kC_L^2,\qquad k=\frac{1}{\pi eAR}$$
   Polaire parabolique.
2. $$\frac{d}{dC_L}\!\left(\frac{C_L}{C_D}\right)=0\;\Rightarrow\;C_{D_0}=kC_L^2,\qquad \left(\frac{L}{D}\right)_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{kC_{D_0}}}$$
   Maximiser L/D : traînée de frottement = traînée induite.
3. $$-\frac{dW}{dt}=c\,T=c\,\frac{W}{L/D}\;\Rightarrow\;R=\int V\,dt=\frac{V}{c}\frac{L}{D}\ln\frac{W_i}{W_f}$$
   Débit de carburant c (consommation spécifique) à V et L/D constants ; intégrer.

import math
AR, e, CD0 = 9, 0.8, 0.02
k = 1/(math.pi*e*AR)
print(1/(2*math.sqrt(k*CD0)), math.sqrt(CD0/k))
V, c, LD, wr = 230, 0.6/3600, 17, 1.25
print(V/c*LD*math.log(wr)/1000, "km")

Exercices corrigés automatiquement

1. Avec C_D0 = 0,015 (cellule plus propre), mêmes AR et e : (L/D)max ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   (L/D)max = 19,42, environ 15 % de mieux.

Exercices

1. Pourquoi c est-il divisé par 3600 dans l’exemple ?

   Voir la solution

   La consommation spécifique est donnée par heure ; V est en m/s, donc c doit être par seconde pour obtenir R en mètres.

Références

• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Écoulement compressible et chocs droits

• Licence (L1–L3)
• Master

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 35 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$c_pT+\tfrac12V^2=c_pT_0\;\Rightarrow\;\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
   Équation de l’énergie stationnaire avec a = √(γRT).
2. $$\frac{p_0}{p}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
   Ralentissement isentropique jusqu’à l’arrêt.
3. $$\rho_1u_1=\rho_2u_2,\quad p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\quad h_1+\tfrac12u_1^2=h_2+\tfrac12u_2^2$$
   Conservation à travers le choc.
4. $$M_2^2=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\frac{\gamma-1}{2}},\qquad \frac{p_2}{p_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_1^2-1)$$
   Relations du choc droit (résoudre les trois équations).

import math
g, M1 = 1.4, 2.0
t = lambda M: 1 + (g-1)/2*M*M
M2 = math.sqrt(t(M1) / (g*M1**2 - (g-1)/2))
p21 = 1 + 2*g/(g+1)*(M1**2 - 1)
p0r = p21 * t(M2)**(g/(g-1)) / t(M1)**(g/(g-1))
print(t(M1), t(M1)**3.5, M2, p21, p0r)

Exercices corrigés automatiquement

1. Rapport p₀/p à M = 1 (γ = 1,4) ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   p₀/p = 1,2^3,5 = 1,8929 (le rapport « critique », environ 1,89).

Exercices

1. Un choc droit peut-il se produire en subsonique ?

   Voir la solution

   Non : pour M₁ < 1 les relations exigeraient une baisse d’entropie, contraire au second principe.

Références

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Propulsion à réaction : poussée et cycle de Brayton

• Licence (L1–L3)

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 30 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$F=\dot m\,(V_e-V_0)+(p_e-p_0)A_e$$
   Bilan de quantité de mouvement sur le moteur (masse de carburant négligée).
2. $$\eta_{th}=1-\frac{q_{out}}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$
   Chaleur reçue à pression constante (2→3), rejetée (4→1).
3. $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}=\pi_c^{(\gamma-1)/\gamma}\;\Rightarrow\;\eta_{th}=1-\pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma}$$
   Compression et détente isentropiques ont le même rapport de pression.

g, pic = 1.4, 30
print(1 - pic**(-(g-1)/g))
mdot, V0, Ve = 100, 250, 600
print(mdot*(Ve - V0)/1000, "kN")

Exercices corrigés automatiquement

1. Rendement idéal de Brayton à π_c = 40 ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   η = 1 − 40^(−0,2857) = 0,6514.

Exercices

1. Pourquoi ne pas augmenter le taux de compression sans limite ?

   Voir la solution

   La température en sortie de compresseur augmente aussi, laissant moins de marge d’apport de chaleur avant la limite de température des matériaux de la turbine.

Références

• J. D. Mattingly, Elements of Propulsion: Gas Turbines and Rockets, AIAA, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Stabilité et contrôle : le mode d’incidence (short period)

• Master

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 45 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$\begin{bmatrix}\dot\alpha\\ \dot q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_\alpha/V & 1\\ M_\alpha+M_{\dot\alpha}Z_\alpha/V & M_q+M_{\dot\alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ q\end{bmatrix}$$
   Approximation du mode d’incidence (vitesse constante).
2. $$\det(s\mathbf I-\mathbf A)=s^2-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)s+\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha\right)=0$$
   Équation caractéristique.
3. $$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\;\Rightarrow\;\omega_n=\sqrt{\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha},\quad \zeta=\frac{-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)}{2\omega_n}$$
   Identifier à la forme standard du second ordre.

import numpy as np
ZaV, Mq, Mad, Ma = -1.0, -1.5, -0.3, -8.0
A = np.array([[ZaV, 1.0], [Ma + Mad*ZaV, Mq + Mad]])
lam = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(np.prod(lam).real); zeta = -lam.sum().real / (2*wn)
print(lam, wn, zeta)

Exercices corrigés automatiquement

1. Même avion avec M_q = −0,5 s⁻¹ (amortissement en tangage plus faible) : ζ ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   ζ = 0,309 : sous 0,35, hors du niveau 1 (le pilote sentirait le nez osciller).

Exercices

1. Que signifie physiquement une partie réelle positive d’une valeur propre ?

   Voir la solution

   La perturbation croît exponentiellement : l’avion est instable dans ce mode.

Références

• B. Etkin, L. D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed., Wiley, 1996.
• U.S. Department of Defense, MIL-STD-1797A, Flying Qualities of Piloted Aircraft, 1990 (approved for public release).
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Giravions : théorie de Froude et de l’élément de pale

• Licence (L1–L3)
• Master
• Doctorat / recherche

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 45 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$T=\dot m\,w,\qquad \dot m=\rho A v_i$$
   Quantité de mouvement : poussée = débit massique × vitesse du sillage lointain w.
2. $$Tv_i=\tfrac12\dot m\,w^2\;\Rightarrow\;w=2v_i$$
   Énergie : la puissance au disque égale le flux d’énergie cinétique du sillage.
3. $$v_i=\sqrt{\frac{T}{2\rho A}},\qquad P_{ideal}=Tv_i=\frac{T^{3/2}}{\sqrt{2\rho A}},\qquad FM=\frac{P_{ideal}}{P_{actual}}$$
   Vitesse induite, puissance idéale, facteur de mérite.
4. $$dT=\tfrac12\rho\,(\Omega r)^2\,c\,a\,(\theta-\phi)\,N_b\,dr,\qquad \phi\approx\frac{v_i}{\Omega r}$$
   Théorie de l’élément de pale : chaque tranche de pale est un petit profil à l’incidence θ − φ, où l’angle d’entrée φ vient de la vitesse induite.
5. $$C_T=\frac{\sigma a}{2}\left(\frac{\theta_{0.75}}{3}-\frac{\lambda}{2}\right),\qquad \sigma=\frac{N_b c}{\pi R},\quad \lambda=\frac{v_i}{\Omega R}$$
   Intégration du pied au bout avec entrée uniforme : coefficient de poussée en fonction de la solidité σ, de la pente de portance a et du pas à 75 % du rayon.
6. $$\lambda=\sqrt{C_T/2}\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{\sigma a}{16}\left(\sqrt{1+\frac{64\,\theta_{0.75}}{3\sigma a}}-1\right)$$
   Théorie combinée élément de pale–quantité de mouvement (BEMT) : on égale la poussée des éléments de pale à celle de la théorie de Froude et on résout l’équation du second degré en λ.
7. $$C_P=\frac{C_T^{3/2}}{\sqrt2}+\frac{\sigma C_{d0}}{8},\qquad FM=\frac{C_T^{3/2}/\sqrt2}{C_P}$$
   Puissance = partie induite + partie de profil due à la traînée des pales. C’est pourquoi FM reste sous 1.

import math
m, R, rho = 2700, 5.1, 1.225
T = m*9.80665; A = math.pi*R*R
vi = math.sqrt(T/(2*rho*A)); P = T*vi
print(T/A, vi, P/1000, P/1000/400)

Exercices corrigés automatiquement

1. Même hélicoptère avec R = 6,0 m : puissance idéale en stationnaire, en kW ?

   kW Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   A = 113,10 m² ; P_idéale = 258,8 kW (contre 304,5 kW pour R = 5,1 m).

2. BEMT en stationnaire : solidité σ = 0,08, pente de portance a = 5,73 /rad, pas à 75 % du rayon 8°. Quel est le coefficient de poussée C_T ?

   Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   θ = 0,13963 rad, λ = 0,04980, C_T = 0,00496. Avec C_d0 = 0,011 : C_P = 0,000357, FM = 0,692. À 10° de pas, C_T = 0,00670 et FM = 0,779 : un rotor plus chargé est plus efficace.

Exercices

1. Pourquoi FM ne peut-il jamais atteindre 1 en réalité ?

   Voir la solution

   Les rotors réels dépensent aussi de la puissance en traînée de profil des pales, écoulement non uniforme, pertes en bout de pale et rotation du sillage, que la théorie de Froude ignore.

2. En BEMT, pourquoi donne-t-on le pas à 75 % du rayon ?

   Voir la solution

   La poussée croît comme r², donc l’extérieur de la pale domine ; pour une pale à vrillage linéaire, le pas à 0,75R donne le même C_T que la répartition complète, en entrée uniforme.

Références

• J. G. Leishman, Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Bases de la CFD : différences finies, précision et stabilité

• Master
• Doctorat / recherche

Parcours : ingénierie aéronautique · Environ 45 min · Nombres vérifiés à la génération: 2026-10-16

Pas à pas

1. $$f(x\pm h)=f\pm hf^{\prime}+\tfrac{h^2}{2}f^{\prime\prime}\pm\tfrac{h^3}{6}f^{\prime\prime\prime}+\dots$$
   Développements de Taylor autour de x.
2. $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}+O(h),\qquad \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{\prime}+O(h^2)$$
   La différence avant est d’ordre 1 ; la centrée d’ordre 2.
3. $$u_t=\nu u_{xx}:\quad u_j^{n+1}=u_j^n+r\left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right),\quad r=\frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12$$
   Schéma explicite pour la diffusion ; l’analyse de von Neumann donne la limite de stabilité.
4. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\cdot\mathbf u=0$$
   Navier–Stokes incompressible : le terme visqueux est ce même opérateur de diffusion.

import math
x, h = 1.0, 0.1
fwd = (math.sin(x+h) - math.sin(x)) / h
cen = (math.sin(x+h) - math.sin(x-h)) / (2*h)
print(fwd, cen, abs(fwd - math.cos(x)), abs(cen - math.cos(x)))

Exercices corrigés automatiquement

1. Schéma explicite de diffusion avec ν = 1×10⁻⁵ m²/s et Δx = 1 mm : plus grand Δt stable, en secondes ?

   s Vérifier Afficher un indice
   Solution complète

   Δt ≤ 0,5 · 10⁻⁶ / 10⁻⁵ = 0,05 s.

Exercices

1. Diviser Δx par 2 dans le schéma explicite change le Δt maximal de quel facteur ?

   Voir la solution

   Il est divisé par 4, car Δt_max ∝ Δx². Les schémas implicites évitent cette limite.

Références

• J. D. Anderson Jr., Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill, 1995.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

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