Matematica dell’ingegneria aeronautica, passo dopo passo

L’atmosfera standard

• Ragazzi
• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 20 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$dp=-\rho g_0\,dh,\qquad p=\rho RT$$
   Equilibrio idrostatico e legge dei gas perfetti.
2. $$\frac{dp}{p}=-\frac{g_0}{RT}\,dh$$
   Dividere per separare le variabili.
3. $$T=T_0-Lh\;\Rightarrow\;\frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{g_0/(LR)},\quad L=0.0065\ \text{K/m}$$
   Troposfera: la temperatura cala linearmente.
4. $$T=\text{const}\;\Rightarrow\;p=p_{11}\,e^{-g_0(h-h_{11})/(RT)}$$
   Sopra gli 11 km (fino a 20 km): isoterma, decadimento esponenziale.

import math
g0, R, L, T0, p0 = 9.80665, 287.05287, 0.0065, 288.15, 101325.0
h = 11000
T = T0 - L*h
p = p0 * (T/T0)**(g0/(L*R))
rho = p / (R*T)
print(T, p, rho, math.sqrt(1.4*R*T))

Esercizi con correzione automatica

1. Densità ISA a 5000 m, in kg/m³?

   kg/m³ Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   p = 54020 Pa; ρ = 0,7361 kg/m³.

Esercizi

1. Perché la formula cambia a 11 km?

   Mostra la soluzione

   La temperatura del modello smette di calare (tropopausa); con T costante l’integrale di dp/p dà un esponenziale invece di una potenza.

Riferimenti

• NOAA, NASA, USAF, U.S. Standard Atmosphere, 1976, U.S. Government Printing Office, 1976.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Portanza, profilo e teoria del profilo sottile

• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 25 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$L=\tfrac12\rho V^2 S\,C_L$$
   Equazione della portanza (definizione di C_L).
2. $$\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\frac{\gamma(\theta)\sin\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}\,d\theta=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)$$
   Equazione integrale del profilo sottile per l’intensità γ dello strato.
3. $$\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\;\Rightarrow\;c_l=\frac{2\Gamma}{V_\infty c}=2\pi\alpha$$
   Soluzione del profilo simmetrico e Kutta–Joukowski.
4. $$V_{s}=\sqrt{\frac{2W}{\rho S C_{L,\max}}}$$
   Velocità di stallo: portanza = peso al C_L massimo.

import math
m, S, clmax, rho, g0 = 1100, 16.2, 1.6, 1.225, 9.80665
Vs = math.sqrt(2*m*g0 / (rho*S*clmax))
print(Vs, Vs/0.514444, 2*math.pi*math.radians(5))

Esercizi con correzione automatica

1. Stesso aereo a 1500 m ISA: velocità di stallo (vera) in m/s?

   m/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   ρ(1500 m) = 1,0581 kg/m³, quindi V_s = 28,05 m/s (la velocità indicata di stallo resta uguale).

Esercizi

1. Perché la teoria del profilo sottile fallisce oltre circa 12–15°?

   Mostra la soluzione

   Presuppone flusso attaccato, non viscoso e angoli piccoli; ad alto α lo strato limite si separa (stallo).

Riferimenti

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Ali finite: linea portante e resistenza indotta

• Laurea triennale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 30 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\Gamma(\theta)=2bV_\infty\sum_{n}A_n\sin n\theta,\qquad y=-\tfrac b2\cos\theta$$
   Serie di Fourier della circolazione lungo l’apertura.
2. $$C_L=\pi AR\,A_1,\qquad C_{D_i}=\pi AR\sum_n nA_n^2=\frac{C_L^2}{\pi e AR}$$
   La portanza usa solo A₁; ogni altro termine aggiunge resistenza (e ≤ 1).
3. $$a=\frac{a_0}{1+a_0/(\pi e AR)}$$
   Pendenza di portanza dell’ala finita (correzione di tipo ellittico).

import math
AR, e, CL, a0 = 9, 0.8, 0.5, 2*math.pi
print(CL**2/(math.pi*e*AR), a0/(1 + a0/(math.pi*e*AR)))

Esercizi con correzione automatica

1. Stessa ala con AR = 12 (e = 0,8, C_L = 0,5): C_Di?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   C_Di = 0,25/(π · 0,8 · 12) = 0,00829, il 25% in meno che con AR = 9.

Esercizi

1. Quale distribuzione di portanza lungo l’apertura dà e = 1?

   Mostra la soluzione

   La distribuzione ellittica (solo A₁ ≠ 0), che dà anche downwash uniforme.

Riferimenti

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Prestazioni: massima efficienza ed equazione di Breguet

• Laurea triennale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 30 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$C_D=C_{D_0}+kC_L^2,\qquad k=\frac{1}{\pi eAR}$$
   Polare parabolica.
2. $$\frac{d}{dC_L}\!\left(\frac{C_L}{C_D}\right)=0\;\Rightarrow\;C_{D_0}=kC_L^2,\qquad \left(\frac{L}{D}\right)_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{kC_{D_0}}}$$
   Massimizzare L/D: resistenza d’attrito = indotta.
3. $$-\frac{dW}{dt}=c\,T=c\,\frac{W}{L/D}\;\Rightarrow\;R=\int V\,dt=\frac{V}{c}\frac{L}{D}\ln\frac{W_i}{W_f}$$
   Consumo c (TSFC) a V e L/D costanti; integrare.

import math
AR, e, CD0 = 9, 0.8, 0.02
k = 1/(math.pi*e*AR)
print(1/(2*math.sqrt(k*CD0)), math.sqrt(CD0/k))
V, c, LD, wr = 230, 0.6/3600, 17, 1.25
print(V/c*LD*math.log(wr)/1000, "km")

Esercizi con correzione automatica

1. Con C_D0 = 0,015 (cellula più pulita), stessi AR ed e: (L/D)max?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   (L/D)max = 19,42, circa il 15% meglio.

Esercizi

1. Perché c è diviso per 3600 nell’esempio?

   Mostra la soluzione

   Il TSFC è dato all’ora; V è in m/s, quindi c deve essere al secondo perché R esca in metri.

Riferimenti

• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Flusso compressibile e urti normali

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 35 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$c_pT+\tfrac12V^2=c_pT_0\;\Rightarrow\;\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
   Equazione dell’energia stazionaria con a = √(γRT).
2. $$\frac{p_0}{p}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
   Decelerazione isentropica fino all’arresto.
3. $$\rho_1u_1=\rho_2u_2,\quad p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\quad h_1+\tfrac12u_1^2=h_2+\tfrac12u_2^2$$
   Conservazione attraverso l’urto.
4. $$M_2^2=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\frac{\gamma-1}{2}},\qquad \frac{p_2}{p_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_1^2-1)$$
   Relazioni dell’urto normale (risolvere le tre equazioni).

import math
g, M1 = 1.4, 2.0
t = lambda M: 1 + (g-1)/2*M*M
M2 = math.sqrt(t(M1) / (g*M1**2 - (g-1)/2))
p21 = 1 + 2*g/(g+1)*(M1**2 - 1)
p0r = p21 * t(M2)**(g/(g-1)) / t(M1)**(g/(g-1))
print(t(M1), t(M1)**3.5, M2, p21, p0r)

Esercizi con correzione automatica

1. p₀/p a M = 1 (γ = 1,4)?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   p₀/p = 1,2^3,5 = 1,8929 (il rapporto «critico», circa 1,89).

Esercizi

1. Può verificarsi un urto normale in flusso subsonico?

   Mostra la soluzione

   No: per M₁ < 1 le relazioni richiederebbero una diminuzione di entropia, contro il secondo principio.

Riferimenti

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Propulsione a getto: spinta e ciclo Brayton

• Laurea triennale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 30 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$F=\dot m\,(V_e-V_0)+(p_e-p_0)A_e$$
   Bilancio della quantità di moto sul motore (massa di carburante trascurata).
2. $$\eta_{th}=1-\frac{q_{out}}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$
   Calore entrante a pressione costante (2→3), uscente (4→1).
3. $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}=\pi_c^{(\gamma-1)/\gamma}\;\Rightarrow\;\eta_{th}=1-\pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma}$$
   Compressione ed espansione isentropiche hanno lo stesso rapporto di pressione.

g, pic = 1.4, 30
print(1 - pic**(-(g-1)/g))
mdot, V0, Ve = 100, 250, 600
print(mdot*(Ve - V0)/1000, "kN")

Esercizi con correzione automatica

1. Rendimento ideale di Brayton a π_c = 40?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   η = 1 − 40^(−0,2857) = 0,6514.

Esercizi

1. Perché non aumentare il rapporto di compressione senza limite?

   Mostra la soluzione

   Sale anche la temperatura all’uscita del compressore, lasciando meno margine per aggiungere calore prima del limite di temperatura dei materiali della turbina.

Riferimenti

• J. D. Mattingly, Elements of Propulsion: Gas Turbines and Rockets, AIAA, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Stabilità e controllo: il modo di corto periodo

• Laurea magistrale

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 45 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\begin{bmatrix}\dot\alpha\\ \dot q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_\alpha/V & 1\\ M_\alpha+M_{\dot\alpha}Z_\alpha/V & M_q+M_{\dot\alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ q\end{bmatrix}$$
   Approssimazione di corto periodo (velocità costante).
2. $$\det(s\mathbf I-\mathbf A)=s^2-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)s+\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha\right)=0$$
   Equazione caratteristica.
3. $$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\;\Rightarrow\;\omega_n=\sqrt{\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha},\quad \zeta=\frac{-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)}{2\omega_n}$$
   Confrontare con la forma standard del secondo ordine.

import numpy as np
ZaV, Mq, Mad, Ma = -1.0, -1.5, -0.3, -8.0
A = np.array([[ZaV, 1.0], [Ma + Mad*ZaV, Mq + Mad]])
lam = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(np.prod(lam).real); zeta = -lam.sum().real / (2*wn)
print(lam, wn, zeta)

Esercizi con correzione automatica

1. Stesso aereo con M_q = −0,5 s⁻¹ (smorzamento in beccheggio più debole): ζ?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   ζ = 0,309: sotto 0,35, fuori dal livello 1 (il pilota sentirebbe il muso oscillare).

Esercizi

1. Cosa significa fisicamente una parte reale positiva di un autovalore?

   Mostra la soluzione

   Il disturbo cresce esponenzialmente: l’aereo è instabile in quel modo.

Riferimenti

• B. Etkin, L. D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed., Wiley, 1996.
• U.S. Department of Defense, MIL-STD-1797A, Flying Qualities of Piloted Aircraft, 1990 (approved for public release).
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Elicotteri: teoria impulsiva e dell’elemento di pala

• Laurea triennale
• Laurea magistrale
• Dottorato / ricerca

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 45 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$T=\dot m\,w,\qquad \dot m=\rho A v_i$$
   Quantità di moto: spinta = portata × velocità della scia lontana w.
2. $$Tv_i=\tfrac12\dot m\,w^2\;\Rightarrow\;w=2v_i$$
   Energia: la potenza al disco è uguale al flusso di energia cinetica nella scia.
3. $$v_i=\sqrt{\frac{T}{2\rho A}},\qquad P_{ideal}=Tv_i=\frac{T^{3/2}}{\sqrt{2\rho A}},\qquad FM=\frac{P_{ideal}}{P_{actual}}$$
   Velocità indotta, potenza ideale, figura di merito.
4. $$dT=\tfrac12\rho\,(\Omega r)^2\,c\,a\,(\theta-\phi)\,N_b\,dr,\qquad \phi\approx\frac{v_i}{\Omega r}$$
   Teoria dell’elemento di pala: ogni striscia di pala è un piccolo profilo all’angolo θ − φ, dove l’angolo d’afflusso φ viene dalla velocità indotta.
5. $$C_T=\frac{\sigma a}{2}\left(\frac{\theta_{0.75}}{3}-\frac{\lambda}{2}\right),\qquad \sigma=\frac{N_b c}{\pi R},\quad \lambda=\frac{v_i}{\Omega R}$$
   Integrando dalla radice all’estremità con afflusso uniforme: coefficiente di spinta in funzione della solidità σ, della pendenza di portanza a e del passo al 75 % del raggio.
6. $$\lambda=\sqrt{C_T/2}\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{\sigma a}{16}\left(\sqrt{1+\frac{64\,\theta_{0.75}}{3\sigma a}}-1\right)$$
   Teoria combinata elemento di pala–quantità di moto (BEMT): si eguaglia la spinta degli elementi di pala a quella della teoria impulsiva e si risolve la quadratica in λ.
7. $$C_P=\frac{C_T^{3/2}}{\sqrt2}+\frac{\sigma C_{d0}}{8},\qquad FM=\frac{C_T^{3/2}/\sqrt2}{C_P}$$
   Potenza = parte indotta + parte di profilo dovuta alla resistenza delle pale. Per questo FM resta sotto 1.

import math
m, R, rho = 2700, 5.1, 1.225
T = m*9.80665; A = math.pi*R*R
vi = math.sqrt(T/(2*rho*A)); P = T*vi
print(T/A, vi, P/1000, P/1000/400)

Esercizi con correzione automatica

1. Stesso elicottero con R = 6,0 m: potenza ideale in hovering, in kW?

   kW Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   A = 113,10 m²; P_ideale = 258,8 kW (contro 304,5 kW con R = 5,1 m).

2. BEMT in hovering: solidità σ = 0,08, pendenza a = 5,73 /rad, passo al 75 % del raggio 8°. Qual è il coefficiente di spinta C_T?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   θ = 0,13963 rad, λ = 0,04980, C_T = 0,00496. Con C_d0 = 0,011: C_P = 0,000357, FM = 0,692. A 10° di passo C_T = 0,00670 e FM = 0,779: un rotore più caricato è più efficiente.

Esercizi

1. Perché FM non può mai arrivare a 1 nella realtà?

   Mostra la soluzione

   I rotori reali spendono potenza anche per resistenza di profilo, flusso non uniforme, perdite d’estremità e rotazione della scia, che la teoria ignora.

2. Nella BEMT, perché si indica il passo al 75 % del raggio?

   Mostra la soluzione

   La spinta cresce con r², quindi domina la parte esterna; per pale a svergolamento lineare, il passo a 0,75R dà lo stesso C_T della distribuzione completa con afflusso uniforme.

Riferimenti

• J. G. Leishman, Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Basi di CFD: differenze finite, accuratezza e stabilità

• Laurea magistrale
• Dottorato / ricerca

Percorso: ingegneria aeronautica · Circa 45 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$f(x\pm h)=f\pm hf^{\prime}+\tfrac{h^2}{2}f^{\prime\prime}\pm\tfrac{h^3}{6}f^{\prime\prime\prime}+\dots$$
   Sviluppi di Taylor attorno a x.
2. $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}+O(h),\qquad \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{\prime}+O(h^2)$$
   La differenza in avanti è del primo ordine; quella centrata del secondo.
3. $$u_t=\nu u_{xx}:\quad u_j^{n+1}=u_j^n+r\left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right),\quad r=\frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12$$
   Schema esplicito per la diffusione; l’analisi di von Neumann dà il limite di stabilità.
4. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\cdot\mathbf u=0$$
   Navier–Stokes incomprimibile: il termine viscoso è lo stesso operatore di diffusione.

import math
x, h = 1.0, 0.1
fwd = (math.sin(x+h) - math.sin(x)) / h
cen = (math.sin(x+h) - math.sin(x-h)) / (2*h)
print(fwd, cen, abs(fwd - math.cos(x)), abs(cen - math.cos(x)))

Esercizi con correzione automatica

1. Schema esplicito di diffusione con ν = 1×10⁻⁵ m²/s e Δx = 1 mm: massimo Δt stabile, in secondi?

   s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   Δt ≤ 0,5 · 10⁻⁶ / 10⁻⁵ = 0,05 s.

Esercizi

1. Dimezzando Δx nello schema esplicito, di che fattore cambia il Δt massimo?

   Mostra la soluzione

   Si divide per 4, perché Δt_max ∝ Δx². Gli schemi impliciti evitano questo limite.

Riferimenti

• J. D. Anderson Jr., Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill, 1995.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

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