رياضيات هندسة الطيران خطوة بخطوة

الغلاف الجوي القياسي

• المراهقون
• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: هندسة الطيران · نحو 20 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$dp=-\rho g_0\,dh,\qquad p=\rho RT$$
   الاتزان الهيدروستاتيكي وقانون الغاز المثالي.
2. $$\frac{dp}{p}=-\frac{g_0}{RT}\,dh$$
   نقسم لفصل المتغيرات.
3. $$T=T_0-Lh\;\Rightarrow\;\frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{g_0/(LR)},\quad L=0.0065\ \text{K/m}$$
   التروبوسفير: تنخفض الحرارة خطيًا.
4. $$T=\text{const}\;\Rightarrow\;p=p_{11}\,e^{-g_0(h-h_{11})/(RT)}$$
   فوق 11 كم (حتى 20 كم): ثبات الحرارة وتناقص أسي.

import math
g0, R, L, T0, p0 = 9.80665, 287.05287, 0.0065, 288.15, 101325.0
h = 11000
T = T0 - L*h
p = p0 * (T/T0)**(g0/(L*R))
rho = p / (R*T)
print(T, p, rho, math.sqrt(1.4*R*T))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. كثافة الغلاف الجوي القياسي عند 5000 م، بوحدة كغ/م³؟

   kg/m³ تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   p = 54020 Pa؛ ρ = 0.7361 كغ/م³.

تمارين

1. لماذا تتغير الصيغة عند 11 كم؟

   عرض الحل

   تتوقف حرارة النموذج عن الانخفاض (التروبوبوز)؛ ومع ثبات T يعطي تكامل dp/p دالة أسية بدل قانون قوة.

المراجع

• NOAA, NASA, USAF, U.S. Standard Atmosphere, 1976, U.S. Government Printing Office, 1976.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

الرفع والمقطع الجناحي ونظرية المقطع الرقيق

• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: هندسة الطيران · نحو 25 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$L=\tfrac12\rho V^2 S\,C_L$$
   معادلة الرفع (تعريف C_L).
2. $$\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\frac{\gamma(\theta)\sin\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}\,d\theta=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)$$
   معادلة المقطع الرقيق التكاملية لشدة صفيحة الدوامات γ.
3. $$\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\;\Rightarrow\;c_l=\frac{2\Gamma}{V_\infty c}=2\pi\alpha$$
   حل المقطع المتماثل وقانون كوتا–جوكوفسكي.
4. $$V_{s}=\sqrt{\frac{2W}{\rho S C_{L,\max}}}$$
   سرعة الانهيار: الرفع يساوي الوزن عند أقصى C_L.

import math
m, S, clmax, rho, g0 = 1100, 16.2, 1.6, 1.225, 9.80665
Vs = math.sqrt(2*m*g0 / (rho*S*clmax))
print(Vs, Vs/0.514444, 2*math.pi*math.radians(5))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. الطائرة نفسها على ارتفاع 1500 م قياسي: سرعة الانهيار (السرعة الحقيقية) بوحدة م/ث؟

   m/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   ρ(1500 م) = 1.0581 كغ/م³، إذن V_s = 28.05 م/ث (وتبقى سرعة الانهيار المؤشرة كما هي).

تمارين

1. لماذا تفشل نظرية المقطع الرقيق فوق نحو 12–15°؟

   عرض الحل

   تفترض جريانًا ملتصقًا وعديم اللزوجة وزوايا صغيرة؛ وعند α كبيرة تنفصل الطبقة الحدية (الانهيار).

المراجع

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

الأجنحة المحدودة: نظرية خط الرفع والسحب المستحث

• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: هندسة الطيران · نحو 30 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\Gamma(\theta)=2bV_\infty\sum_{n}A_n\sin n\theta,\qquad y=-\tfrac b2\cos\theta$$
   متسلسلة فورييه للدوران على امتداد الجناح.
2. $$C_L=\pi AR\,A_1,\qquad C_{D_i}=\pi AR\sum_n nA_n^2=\frac{C_L^2}{\pi e AR}$$
   يعتمد الرفع على A₁ فقط؛ وكل حد آخر يضيف سحبًا (e ≤ 1).
3. $$a=\frac{a_0}{1+a_0/(\pi e AR)}$$
   ميل رفع الجناح المحدود (تصحيح من النوع الإهليلجي).

import math
AR, e, CL, a0 = 9, 0.8, 0.5, 2*math.pi
print(CL**2/(math.pi*e*AR), a0/(1 + a0/(math.pi*e*AR)))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. الجناح نفسه مع رفع AR إلى 12 (e = 0.8، C_L = 0.5): كم C_Di؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   C_Di = 0.25/(π · 0.8 · 12) = 0.00829، أقل بنسبة 25% منه عند AR = 9.

تمارين

1. أي توزيع للرفع على الامتداد يعطي e = 1؟

   عرض الحل

   التوزيع الإهليلجي (A₁ فقط لا يساوي صفرًا)، وهو يعطي أيضًا تيارًا هابطًا منتظمًا.

المراجع

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

أداء الطائرات: أفضل انزلاق ومعادلة بريغيه للمدى

• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: هندسة الطيران · نحو 30 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$C_D=C_{D_0}+kC_L^2,\qquad k=\frac{1}{\pi eAR}$$
   القطبية القطعية المكافئة.
2. $$\frac{d}{dC_L}\!\left(\frac{C_L}{C_D}\right)=0\;\Rightarrow\;C_{D_0}=kC_L^2,\qquad \left(\frac{L}{D}\right)_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{kC_{D_0}}}$$
   نعظّم L/D: سحب الاحتكاك يساوي المستحث.
3. $$-\frac{dW}{dt}=c\,T=c\,\frac{W}{L/D}\;\Rightarrow\;R=\int V\,dt=\frac{V}{c}\frac{L}{D}\ln\frac{W_i}{W_f}$$
   معدل حرق الوقود c (الاستهلاك النوعي) مع ثبات V و L/D؛ نكامل.

import math
AR, e, CD0 = 9, 0.8, 0.02
k = 1/(math.pi*e*AR)
print(1/(2*math.sqrt(k*CD0)), math.sqrt(CD0/k))
V, c, LD, wr = 230, 0.6/3600, 17, 1.25
print(V/c*LD*math.log(wr)/1000, "km")

تمارين بتصحيح تلقائي

1. مع C_D0 = 0.015 (هيكل أنظف) وبنفس AR و e: كم (L/D)max؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   (L/D)max = 19.42، أفضل بنحو 15%.

تمارين

1. لماذا نقسم c على 3600 في المثال؟

   عرض الحل

   يُذكر الاستهلاك النوعي لكل ساعة؛ و V بوحدة م/ث، لذا يجب أن تكون c لكل ثانية ليخرج R بالأمتار.

المراجع

• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

الجريان الانضغاطي والصدمات العمودية

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: هندسة الطيران · نحو 35 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$c_pT+\tfrac12V^2=c_pT_0\;\Rightarrow\;\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
   معادلة الطاقة المستقرة مع a = √(γRT).
2. $$\frac{p_0}{p}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
   تباطؤ متساوي الإنتروبيا حتى السكون.
3. $$\rho_1u_1=\rho_2u_2,\quad p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\quad h_1+\tfrac12u_1^2=h_2+\tfrac12u_2^2$$
   الحفظ عبر الصدمة.
4. $$M_2^2=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\frac{\gamma-1}{2}},\qquad \frac{p_2}{p_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_1^2-1)$$
   علاقات الصدمة العمودية (بحل المعادلات الثلاث).

import math
g, M1 = 1.4, 2.0
t = lambda M: 1 + (g-1)/2*M*M
M2 = math.sqrt(t(M1) / (g*M1**2 - (g-1)/2))
p21 = 1 + 2*g/(g+1)*(M1**2 - 1)
p0r = p21 * t(M2)**(g/(g-1)) / t(M1)**(g/(g-1))
print(t(M1), t(M1)**3.5, M2, p21, p0r)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. كم p₀/p عند M = 1 (γ = 1.4)؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   p₀/p = 1.2^3.5 = 1.8929 (النسبة «الحرجة»، نحو 1.89).

تمارين

1. هل يمكن أن تحدث صدمة عمودية في جريان دون صوتي؟

   عرض الحل

   لا: عندما M₁ < 1 تتطلب العلاقات تناقص الإنتروبيا، وهذا يخالف القانون الثاني.

المراجع

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

الدفع النفاث: الدفع ودورة برايتون

• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: هندسة الطيران · نحو 30 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$F=\dot m\,(V_e-V_0)+(p_e-p_0)A_e$$
   توازن الزخم على المحرك (بإهمال كتلة الوقود).
2. $$\eta_{th}=1-\frac{q_{out}}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$
   حرارة داخلة عند ضغط ثابت (2→3) وخارجة (4→1).
3. $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}=\pi_c^{(\gamma-1)/\gamma}\;\Rightarrow\;\eta_{th}=1-\pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma}$$
   الانضغاط والتمدد المتساويا الإنتروبيا لهما نسبة الضغط نفسها.

g, pic = 1.4, 30
print(1 - pic**(-(g-1)/g))
mdot, V0, Ve = 100, 250, 600
print(mdot*(Ve - V0)/1000, "kN")

تمارين بتصحيح تلقائي

1. كفاءة برايتون المثالية عند π_c = 40؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   η = 1 − 40^(−0.2857) = 0.6514.

تمارين

1. لماذا لا نرفع نسبة الضغط بلا حدود؟

   عرض الحل

   ترتفع أيضًا حرارة خروج الضاغط، فيقل الهامش المتاح لإضافة الحرارة قبل حد حرارة مواد التوربين.

المراجع

• J. D. Mattingly, Elements of Propulsion: Gas Turbines and Rockets, AIAA, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

الاستقرار والتحكم: نمط الدورة القصيرة

• الدراسات العليا

المسار: هندسة الطيران · نحو 45 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\begin{bmatrix}\dot\alpha\\ \dot q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_\alpha/V & 1\\ M_\alpha+M_{\dot\alpha}Z_\alpha/V & M_q+M_{\dot\alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ q\end{bmatrix}$$
   تقريب الدورة القصيرة (السرعة ثابتة).
2. $$\det(s\mathbf I-\mathbf A)=s^2-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)s+\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha\right)=0$$
   المعادلة المميزة.
3. $$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\;\Rightarrow\;\omega_n=\sqrt{\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha},\quad \zeta=\frac{-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)}{2\omega_n}$$
   نطابقها مع الصيغة القياسية من الرتبة الثانية.

import numpy as np
ZaV, Mq, Mad, Ma = -1.0, -1.5, -0.3, -8.0
A = np.array([[ZaV, 1.0], [Ma + Mad*ZaV, Mq + Mad]])
lam = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(np.prod(lam).real); zeta = -lam.sum().real / (2*wn)
print(lam, wn, zeta)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. الطائرة نفسها مع M_q = −0.5 ث⁻¹ (تخامد أضعف في الانحدار): كم ζ؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   ζ = 0.309: أقل من 0.35، فتخرج من المستوى 1 (سيشعر الطيار بتأرجح الأنف).

تمارين

1. ماذا يعني فيزيائيًا جزء حقيقي موجب لقيمة ذاتية؟

   عرض الحل

   ينمو الاضطراب أسيًا: الطائرة غير مستقرة في هذا النمط.

المراجع

• B. Etkin, L. D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed., Wiley, 1996.
• U.S. Department of Defense, MIL-STD-1797A, Flying Qualities of Piloted Aircraft, 1990 (approved for public release).
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

الطائرات العمودية: نظرية الزخم وعنصر الشفرة

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا
• الدكتوراه / البحث

المسار: هندسة الطيران · نحو 45 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$T=\dot m\,w,\qquad \dot m=\rho A v_i$$
   الزخم: الدفع = معدل تدفق الكتلة × سرعة الأثر البعيد w.
2. $$Tv_i=\tfrac12\dot m\,w^2\;\Rightarrow\;w=2v_i$$
   الطاقة: القدرة عند القرص تساوي تدفق الطاقة الحركية في الأثر.
3. $$v_i=\sqrt{\frac{T}{2\rho A}},\qquad P_{ideal}=Tv_i=\frac{T^{3/2}}{\sqrt{2\rho A}},\qquad FM=\frac{P_{ideal}}{P_{actual}}$$
   السرعة المستحثة، القدرة المثالية، معامل الجدارة.
4. $$dT=\tfrac12\rho\,(\Omega r)^2\,c\,a\,(\theta-\phi)\,N_b\,dr,\qquad \phi\approx\frac{v_i}{\Omega r}$$
   نظرية عنصر الشفرة: كل شريحة من الشفرة مقطع جناحي صغير بزاوية θ − φ، حيث تأتي زاوية التدفق φ من السرعة المستحثة.
5. $$C_T=\frac{\sigma a}{2}\left(\frac{\theta_{0.75}}{3}-\frac{\lambda}{2}\right),\qquad \sigma=\frac{N_b c}{\pi R},\quad \lambda=\frac{v_i}{\Omega R}$$
   بالتكامل من الجذر إلى الطرف مع تدفق منتظم: معامل الدفع بدلالة الصلابة σ وميل الرفع a والخطوة عند 75% من نصف القطر.
6. $$\lambda=\sqrt{C_T/2}\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{\sigma a}{16}\left(\sqrt{1+\frac{64\,\theta_{0.75}}{3\sigma a}}-1\right)$$
   نظرية عنصر الشفرة والزخم المدمجة (BEMT): نساوي دفع عناصر الشفرة بدفع نظرية الزخم ونحل المعادلة التربيعية في λ.
7. $$C_P=\frac{C_T^{3/2}}{\sqrt2}+\frac{\sigma C_{d0}}{8},\qquad FM=\frac{C_T^{3/2}/\sqrt2}{C_P}$$
   القدرة = جزء مستحث + جزء مقطعي من سحب الشفرة. ولهذا يبقى FM أقل من 1.

import math
m, R, rho = 2700, 5.1, 1.225
T = m*9.80665; A = math.pi*R*R
vi = math.sqrt(T/(2*rho*A)); P = T*vi
print(T/A, vi, P/1000, P/1000/400)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. المروحية نفسها مع R = 6.0 م: القدرة المثالية في التحويم بالكيلوواط؟

   kW تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   A = 113.10 م²؛ P_ideal = 258.8 كيلوواط (مقابل 304.5 كيلوواط عند R = 5.1 م).

2. نظرية BEMT في التحويم: الصلابة σ = 0.08، ميل الرفع a = 5.73 /راديان، خطوة الشفرة عند 75% من نصف القطر 8°. ما معامل الدفع C_T؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   θ = 0.13963 راديان، λ = 0.04980، C_T = 0.00496. مع C_d0 = 0.011: C_P = 0.000357، FM = 0.692. عند خطوة 10° يكون C_T = 0.00670 و FM = 0.779: الدوّار الأكثر تحميلًا أكفأ.

تمارين

1. لماذا لا يمكن أن يصل FM إلى 1 في الواقع؟

   عرض الحل

   تستهلك الدوّارات الحقيقية أيضًا قدرة في سحب مقطع الشفرات وعدم انتظام التدفق وفقد الأطراف ودوران الأثر، وكلها تتجاهلها نظرية الزخم.

2. في BEMT، لماذا نذكر خطوة الشفرة عند 75% من نصف القطر؟

   عرض الحل

   ينمو الدفع مع r²، فيهيمن الجزء الخارجي من الشفرة؛ وللشفرات ذات الالتواء الخطي تعطي الخطوة عند 0.75R قيمة C_T نفسها التي يعطيها التوزيع الكامل مع تدفق منتظم.

المراجع

• J. G. Leishman, Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

أساسيات ديناميكا الموائع الحسابية: الفروق المحدودة والدقة والاستقرار

• الدراسات العليا
• الدكتوراه / البحث

المسار: هندسة الطيران · نحو 45 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$f(x\pm h)=f\pm hf^{\prime}+\tfrac{h^2}{2}f^{\prime\prime}\pm\tfrac{h^3}{6}f^{\prime\prime\prime}+\dots$$
   مفكوكات تايلور حول x.
2. $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}+O(h),\qquad \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{\prime}+O(h^2)$$
   الفرق الأمامي من الرتبة الأولى؛ والمركزي من الرتبة الثانية.
3. $$u_t=\nu u_{xx}:\quad u_j^{n+1}=u_j^n+r\left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right),\quad r=\frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12$$
   مخطط صريح للانتشار؛ ويعطي تحليل فون نويمان حد الاستقرار.
4. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\cdot\mathbf u=0$$
   نافييه–ستوكس غير الانضغاطية: الحد اللزج هو مؤثر الانتشار نفسه.

import math
x, h = 1.0, 0.1
fwd = (math.sin(x+h) - math.sin(x)) / h
cen = (math.sin(x+h) - math.sin(x-h)) / (2*h)
print(fwd, cen, abs(fwd - math.cos(x)), abs(cen - math.cos(x)))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. مخطط انتشار صريح مع ν = 1×10⁻⁵ م²/ث و Δx = 1 مم: أكبر Δt مستقرة بالثواني؟

   s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   Δt ≤ 0.5 · 10⁻⁶ / 10⁻⁵ = 0.05 ث.

تمارين

1. بأي عامل يتغير أقصى Δt عند تنصيف Δx في المخطط الصريح؟

   عرض الحل

   يُقسم على 4، لأن Δt_max ∝ Δx². والمخططات الضمنية تتجنب هذا الحد.

المراجع

• J. D. Anderson Jr., Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill, 1995.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

اختبر فهمك