Matemáticas de la ingeniería aeronáutica, paso a paso

La atmósfera estándar

• Adolescentes
• Ciclo técnico (college comunitario)
• Grado (1.º–4.º)

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 20 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$dp=-\rho g_0\,dh,\qquad p=\rho RT$$
   Equilibrio hidrostático y ley de gases ideales.
2. $$\frac{dp}{p}=-\frac{g_0}{RT}\,dh$$
   Dividir para separar variables.
3. $$T=T_0-Lh\;\Rightarrow\;\frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{g_0/(LR)},\quad L=0.0065\ \text{K/m}$$
   Troposfera: la temperatura baja linealmente.
4. $$T=\text{const}\;\Rightarrow\;p=p_{11}\,e^{-g_0(h-h_{11})/(RT)}$$
   Por encima de 11 km (hasta 20 km): isoterma, caída exponencial.

import math
g0, R, L, T0, p0 = 9.80665, 287.05287, 0.0065, 288.15, 101325.0
h = 11000
T = T0 - L*h
p = p0 * (T/T0)**(g0/(L*R))
rho = p / (R*T)
print(T, p, rho, math.sqrt(1.4*R*T))

Práctica con corrección automática

1. ¿Densidad ISA a 5000 m, en kg/m³?

   kg/m³ Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   p = 54020 Pa; ρ = 0,7361 kg/m³.

Práctica

1. ¿Por qué cambia la fórmula a 11 km?

   Ver la solución

   La temperatura del modelo deja de bajar (tropopausa); con T constante la integral de dp/p da una exponencial en vez de una potencia.

Referencias

• NOAA, NASA, USAF, U.S. Standard Atmosphere, 1976, U.S. Government Printing Office, 1976.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Sustentación, perfil y teoría del perfil delgado

• Ciclo técnico (college comunitario)
• Grado (1.º–4.º)

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 25 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$L=\tfrac12\rho V^2 S\,C_L$$
   Ecuación de sustentación (definición de C_L).
2. $$\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\frac{\gamma(\theta)\sin\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}\,d\theta=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)$$
   Ecuación integral del perfil delgado para la intensidad γ de la lámina.
3. $$\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\;\Rightarrow\;c_l=\frac{2\Gamma}{V_\infty c}=2\pi\alpha$$
   Solución del perfil simétrico y Kutta–Joukowski.
4. $$V_{s}=\sqrt{\frac{2W}{\rho S C_{L,\max}}}$$
   Velocidad de pérdida: sustentación = peso con C_L máximo.

import math
m, S, clmax, rho, g0 = 1100, 16.2, 1.6, 1.225, 9.80665
Vs = math.sqrt(2*m*g0 / (rho*S*clmax))
print(Vs, Vs/0.514444, 2*math.pi*math.radians(5))

Práctica con corrección automática

1. Mismo avión a 1500 m ISA: ¿velocidad de pérdida (verdadera) en m/s?

   m/s Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   ρ(1500 m) = 1,0581 kg/m³, luego V_s = 28,05 m/s (la velocidad indicada de pérdida no cambia).

Práctica

1. ¿Por qué falla la teoría del perfil delgado por encima de unos 12–15°?

   Ver la solución

   Supone flujo adherido, no viscoso y ángulos pequeños; con α alto la capa límite se desprende (pérdida).

Referencias

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Alas finitas: línea sustentadora y resistencia inducida

• Grado (1.º–4.º)

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 30 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$\Gamma(\theta)=2bV_\infty\sum_{n}A_n\sin n\theta,\qquad y=-\tfrac b2\cos\theta$$
   Serie de Fourier de la circulación a lo largo de la envergadura.
2. $$C_L=\pi AR\,A_1,\qquad C_{D_i}=\pi AR\sum_n nA_n^2=\frac{C_L^2}{\pi e AR}$$
   La sustentación solo usa A₁; los demás términos añaden resistencia (e ≤ 1).
3. $$a=\frac{a_0}{1+a_0/(\pi e AR)}$$
   Pendiente de sustentación del ala finita (corrección de tipo elíptico).

import math
AR, e, CL, a0 = 9, 0.8, 0.5, 2*math.pi
print(CL**2/(math.pi*e*AR), a0/(1 + a0/(math.pi*e*AR)))

Práctica con corrección automática

1. Misma ala con AR = 12 (e = 0,8, C_L = 0,5): ¿C_Di?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   C_Di = 0,25/(π · 0,8 · 12) = 0,00829, un 25 % menos que con AR = 9.

Práctica

1. ¿Qué distribución de sustentación en envergadura da e = 1?

   Ver la solución

   La distribución elíptica (solo A₁ ≠ 0), que además da deflexión uniforme.

Referencias

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Actuaciones: máxima eficiencia y ecuación de Breguet

• Grado (1.º–4.º)

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 30 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$C_D=C_{D_0}+kC_L^2,\qquad k=\frac{1}{\pi eAR}$$
   Polar parabólica.
2. $$\frac{d}{dC_L}\!\left(\frac{C_L}{C_D}\right)=0\;\Rightarrow\;C_{D_0}=kC_L^2,\qquad \left(\frac{L}{D}\right)_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{kC_{D_0}}}$$
   Maximizar L/D: resistencia de fricción = inducida.
3. $$-\frac{dW}{dt}=c\,T=c\,\frac{W}{L/D}\;\Rightarrow\;R=\int V\,dt=\frac{V}{c}\frac{L}{D}\ln\frac{W_i}{W_f}$$
   Consumo c (TSFC) con V y L/D constantes; integrar.

import math
AR, e, CD0 = 9, 0.8, 0.02
k = 1/(math.pi*e*AR)
print(1/(2*math.sqrt(k*CD0)), math.sqrt(CD0/k))
V, c, LD, wr = 230, 0.6/3600, 17, 1.25
print(V/c*LD*math.log(wr)/1000, "km")

Práctica con corrección automática

1. Con C_D0 = 0,015 (célula más limpia), mismos AR y e: ¿(L/D)max?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   (L/D)max = 19,42, cerca de un 15 % mejor.

Práctica

1. ¿Por qué se divide c entre 3600 en el ejemplo?

   Ver la solución

   El TSFC se da por hora; V está en m/s, así que c debe ir por segundo para obtener R en metros.

Referencias

• J. D. Anderson Jr., Introduction to Flight, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Flujo compresible y ondas de choque normales

• Grado (1.º–4.º)
• Máster

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 35 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$c_pT+\tfrac12V^2=c_pT_0\;\Rightarrow\;\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
   Ecuación de la energía estacionaria con a = √(γRT).
2. $$\frac{p_0}{p}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
   Deceleración isentrópica hasta el reposo.
3. $$\rho_1u_1=\rho_2u_2,\quad p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\quad h_1+\tfrac12u_1^2=h_2+\tfrac12u_2^2$$
   Conservación a través del choque.
4. $$M_2^2=\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2-\frac{\gamma-1}{2}},\qquad \frac{p_2}{p_1}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_1^2-1)$$
   Relaciones del choque normal (resolver las tres ecuaciones).

import math
g, M1 = 1.4, 2.0
t = lambda M: 1 + (g-1)/2*M*M
M2 = math.sqrt(t(M1) / (g*M1**2 - (g-1)/2))
p21 = 1 + 2*g/(g+1)*(M1**2 - 1)
p0r = p21 * t(M2)**(g/(g-1)) / t(M1)**(g/(g-1))
print(t(M1), t(M1)**3.5, M2, p21, p0r)

Práctica con corrección automática

1. ¿p₀/p a M = 1 (γ = 1,4)?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   p₀/p = 1,2^3,5 = 1,8929 (la razón «crítica», unos 1,89).

Práctica

1. ¿Puede haber un choque normal en flujo subsónico?

   Ver la solución

   No: con M₁ < 1 las relaciones exigirían que la entropía baje, contra el segundo principio.

Referencias

• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Propulsión a chorro: empuje y ciclo Brayton

• Grado (1.º–4.º)

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 30 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$F=\dot m\,(V_e-V_0)+(p_e-p_0)A_e$$
   Balance de cantidad de movimiento en el motor (masa de combustible despreciada).
2. $$\eta_{th}=1-\frac{q_{out}}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$
   Calor aportado a presión constante (2→3), cedido (4→1).
3. $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}=\pi_c^{(\gamma-1)/\gamma}\;\Rightarrow\;\eta_{th}=1-\pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma}$$
   Compresión y expansión isentrópicas comparten la misma razón de presiones.

g, pic = 1.4, 30
print(1 - pic**(-(g-1)/g))
mdot, V0, Ve = 100, 250, 600
print(mdot*(Ve - V0)/1000, "kN")

Práctica con corrección automática

1. ¿Rendimiento ideal de Brayton con π_c = 40?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   η = 1 − 40^(−0,2857) = 0,6514.

Práctica

1. ¿Por qué no subir la compresión sin límite?

   Ver la solución

   La temperatura a la salida del compresor también sube y deja menos margen para aportar calor antes del límite térmico de los materiales de la turbina.

Referencias

• J. D. Mattingly, Elements of Propulsion: Gas Turbines and Rockets, AIAA, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Estabilidad y control: el modo de periodo corto

• Máster

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 45 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$\begin{bmatrix}\dot\alpha\\ \dot q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_\alpha/V & 1\\ M_\alpha+M_{\dot\alpha}Z_\alpha/V & M_q+M_{\dot\alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ q\end{bmatrix}$$
   Aproximación de periodo corto (velocidad constante).
2. $$\det(s\mathbf I-\mathbf A)=s^2-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)s+\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha\right)=0$$
   Ecuación característica.
3. $$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\;\Rightarrow\;\omega_n=\sqrt{\tfrac{Z_\alpha}{V}M_q-M_\alpha},\quad \zeta=\frac{-\left(\tfrac{Z_\alpha}{V}+M_q+M_{\dot\alpha}\right)}{2\omega_n}$$
   Identificar con la forma estándar de segundo orden.

import numpy as np
ZaV, Mq, Mad, Ma = -1.0, -1.5, -0.3, -8.0
A = np.array([[ZaV, 1.0], [Ma + Mad*ZaV, Mq + Mad]])
lam = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(np.prod(lam).real); zeta = -lam.sum().real / (2*wn)
print(lam, wn, zeta)

Práctica con corrección automática

1. Mismo avión con M_q = −0,5 s⁻¹ (menos amortiguamiento en cabeceo): ¿ζ?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   ζ = 0,309: por debajo de 0,35, fuera del nivel 1 (el piloto notaría el morro oscilar).

Práctica

1. ¿Qué significa físicamente una parte real positiva de un autovalor?

   Ver la solución

   La perturbación crece exponencialmente: el avión es inestable en ese modo.

Referencias

• B. Etkin, L. D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed., Wiley, 1996.
• U.S. Department of Defense, MIL-STD-1797A, Flying Qualities of Piloted Aircraft, 1990 (approved for public release).
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Helicópteros: teoría de cantidad de movimiento y del elemento de pala

• Grado (1.º–4.º)
• Máster
• Doctorado / investigación

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 45 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$T=\dot m\,w,\qquad \dot m=\rho A v_i$$
   Cantidad de movimiento: empuje = gasto másico × velocidad de la estela lejana w.
2. $$Tv_i=\tfrac12\dot m\,w^2\;\Rightarrow\;w=2v_i$$
   Energía: la potencia en el disco iguala el flujo de energía cinética de la estela.
3. $$v_i=\sqrt{\frac{T}{2\rho A}},\qquad P_{ideal}=Tv_i=\frac{T^{3/2}}{\sqrt{2\rho A}},\qquad FM=\frac{P_{ideal}}{P_{actual}}$$
   Velocidad inducida, potencia ideal, figura de mérito.
4. $$dT=\tfrac12\rho\,(\Omega r)^2\,c\,a\,(\theta-\phi)\,N_b\,dr,\qquad \phi\approx\frac{v_i}{\Omega r}$$
   Teoría del elemento de pala: cada franja de pala es un pequeño perfil con ángulo θ − φ, donde el ángulo de entrada φ viene de la velocidad inducida.
5. $$C_T=\frac{\sigma a}{2}\left(\frac{\theta_{0.75}}{3}-\frac{\lambda}{2}\right),\qquad \sigma=\frac{N_b c}{\pi R},\quad \lambda=\frac{v_i}{\Omega R}$$
   Integrando de raíz a punta con flujo uniforme: coeficiente de empuje en función de la solidez σ, la pendiente de sustentación a y el paso al 75 % del radio.
6. $$\lambda=\sqrt{C_T/2}\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{\sigma a}{16}\left(\sqrt{1+\frac{64\,\theta_{0.75}}{3\sigma a}}-1\right)$$
   Teoría combinada elemento de pala–cantidad de movimiento (BEMT): se iguala el empuje del elemento de pala al de la teoría de cantidad de movimiento y se resuelve la cuadrática en λ.
7. $$C_P=\frac{C_T^{3/2}}{\sqrt2}+\frac{\sigma C_{d0}}{8},\qquad FM=\frac{C_T^{3/2}/\sqrt2}{C_P}$$
   Potencia = parte inducida + parte de perfil por la resistencia de la pala. Por eso FM se queda por debajo de 1.

import math
m, R, rho = 2700, 5.1, 1.225
T = m*9.80665; A = math.pi*R*R
vi = math.sqrt(T/(2*rho*A)); P = T*vi
print(T/A, vi, P/1000, P/1000/400)

Práctica con corrección automática

1. Mismo helicóptero con R = 6,0 m: ¿potencia ideal en estacionario, en kW?

   kW Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   A = 113,10 m²; P_ideal = 258,8 kW (frente a 304,5 kW con R = 5,1 m).

2. BEMT en estacionario: solidez σ = 0,08, pendiente a = 5,73 /rad, paso al 75 % del radio 8°. ¿Cuál es el coeficiente de empuje C_T?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   θ = 0,13963 rad, λ = 0,04980, C_T = 0,00496. Con C_d0 = 0,011: C_P = 0,000357, FM = 0,692. Con 10° de paso, C_T = 0,00670 y FM = 0,779: un rotor más cargado es más eficiente.

Práctica

1. ¿Por qué FM nunca llega a 1 en la realidad?

   Ver la solución

   Los rotores reales también gastan potencia en resistencia de perfil, flujo no uniforme, pérdidas en punta y giro de la estela, que la teoría ignora.

2. En BEMT, ¿por qué se da el paso al 75 % del radio?

   Ver la solución

   El empuje crece con r², así que domina la parte exterior; para palas con torsión lineal, el paso a 0,75R da el mismo C_T que la distribución completa con flujo uniforme.

Referencias

• J. G. Leishman, Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2006.
• NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aeronautics.

Fundamentos de CFD: diferencias finitas, precisión y estabilidad

• Máster
• Doctorado / investigación

Itinerario: ingeniería aeronáutica · Unos 45 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$f(x\pm h)=f\pm hf^{\prime}+\tfrac{h^2}{2}f^{\prime\prime}\pm\tfrac{h^3}{6}f^{\prime\prime\prime}+\dots$$
   Desarrollos de Taylor en torno a x.
2. $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}+O(h),\qquad \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{\prime}+O(h^2)$$
   La diferencia hacia delante es de primer orden; la centrada de segundo.
3. $$u_t=\nu u_{xx}:\quad u_j^{n+1}=u_j^n+r\left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right),\quad r=\frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12$$
   Esquema explícito para la difusión; el análisis de von Neumann da el límite de estabilidad.
4. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\cdot\mathbf u=0$$
   Navier–Stokes incompresible: el término viscoso es este mismo operador de difusión.

import math
x, h = 1.0, 0.1
fwd = (math.sin(x+h) - math.sin(x)) / h
cen = (math.sin(x+h) - math.sin(x-h)) / (2*h)
print(fwd, cen, abs(fwd - math.cos(x)), abs(cen - math.cos(x)))

Práctica con corrección automática

1. Esquema explícito de difusión con ν = 1×10⁻⁵ m²/s y Δx = 1 mm: ¿mayor Δt estable, en segundos?

   s Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   Δt ≤ 0,5 · 10⁻⁶ / 10⁻⁵ = 0,05 s.

Práctica

1. ¿En qué factor cambia el Δt máximo al dividir Δx entre 2 en el esquema explícito?

   Ver la solución

   Se divide entre 4, porque Δt_max ∝ Δx². Los esquemas implícitos evitan este límite.

Referencias

• J. D. Anderson Jr., Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill, 1995.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• MIT OpenCourseWare, 16.100 Aerodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

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