מתמטיקה של מכניקה מסלולית, צעד אחר צעד

מסלולים מעגליים, זמן מחזור ומהירות מילוט

• בני נוער
• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-15 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$$
   כבידה = מסה × תאוצה צנטריפטלית.
2. $$v_c=\sqrt{\frac{\mu}{r}}$$
   מצמצמים את m ופותרים עבור v.
3. $$T=\frac{2\pi r}{v_c}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu}}$$
   זמן מחזור = היקף / מהירות.
4. $$\tfrac12 v_{esc}^2-\frac{\mu}{r}=0\;\Rightarrow\; v_{esc}=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}=\sqrt2\,v_c$$
   מילוט: האנרגיה הכוללת מגיעה בדיוק לאפס.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
r = RE + 400
v = math.sqrt(mu / r)
T = 2 * math.pi * r / v
print(v, T / 60)   # km/s, min

תרגול שנבדק אוטומטית

1. מהירות מעגלית בגובה 800 ק"מ, ב-km/s?

   km/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   r = 7178.137 km; v = √(398600.4418/7178.137) = 7.4518 km/s.

2. זמן המחזור של אותו מסלול בגובה 800 ק"מ, בדקות?

   דק' בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   T = 2π√(7178.137³/398600.4418) s = 100.87 דקות.

תרגול

1. מצאו את רדיוס המסלול שזמן המחזור שלו הוא יום כוכבי אחד (86 164.09 שניות).

   הצגת פתרון

   r = (μ T²/4π²)^(1/3) = 42164 ק"מ (גאוסטציונרי), שם v_c = 3.075 km/s.

מקורות

• NASA, Basics of Space Flight.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.

שלושת חוקי קפלר

• בני נוער
• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-15 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$dA=\tfrac12\,|\mathbf r\times d\mathbf r|\;\Rightarrow\;\frac{dA}{dt}=\tfrac12|\mathbf r\times\mathbf v|=\frac{h}{2}$$
   השטח הנסרק ליחידת זמן הוא חצי מהתנע הזוויתי הסגולי h.
2. $$\dot{\mathbf h}=\dot{\mathbf r}\times\mathbf v+\mathbf r\times\left(-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r\right)=\mathbf 0$$
   בכוח מרכזי h קבוע, ולכן dA/dt קבוע (החוק השני).
3. $$T=\frac{\pi ab}{h/2},\quad h=\sqrt{\mu a(1-e^2)},\quad b=a\sqrt{1-e^2}$$
   השטח הכולל של האליפסה מחולק בקצב סריקת השטח.
4. $$T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$
   החוק השלישי: תלוי רק ב-a, לא ב-e.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
a = 42164.17
T = 2 * math.pi * math.sqrt(a**3 / mu)
print(T / 3600)   # h

תרגול

1. לשני מסלולים אותו a אבל e = 0 ו-e = 0.7. לאיזה מהם זמן מחזור ארוך יותר?

   הצגת פתרון

   אף אחד מהם: T תלוי רק ב-a.

מקורות

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, מהדורה 2, Dover, ‏2020.

בעיית שני הגופים ומשוואת המסלול

• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-30 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\ddot{\mathbf r}=-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r,\qquad \mu=G(m_1+m_2)$$
   משוואת התנועה היחסית.
2. $$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h=-\frac{\mu}{r^3}\,\mathbf r\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r})=\mu\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\mathbf r}{r}\right)$$
   מכפילים וקטורית ב-h הקבוע ומשתמשים ב-BAC-CAB.
3. $$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h-\mu\frac{\mathbf r}{r}=\mu\,\mathbf e$$
   מבצעים אינטגרציה פעם אחת: e הוא וקטור קבוע המצביע אל הפריאפסיס.
4. $$\mathbf r\cdot(\dot{\mathbf r}\times\mathbf h)=h^2=\mu r+\mu r e\cos\nu\;\Rightarrow\; r=\frac{h^2/\mu}{1+e\cos\nu}$$
   מכפילים סקלרית ב-r: משוואת חתך החרוט.

import numpy as np
mu = 398600.4418
r = np.array([7000., 1000., 500.]); v = np.array([-1.0, 7.4, 1.0])
h = np.cross(r, v)
e = np.cross(v, h) / mu - r / np.linalg.norm(r)
eps = v @ v / 2 - mu / np.linalg.norm(r)
print(np.linalg.norm(h), np.linalg.norm(e), -mu / (2 * eps))

תרגול

1. הראו ש-e < 1 נותן מסלול סגור ו-e > 1 מסלול פתוח.

   הצגת פתרון

   המכנה 1 + e cosν נשאר חיובי לכל ν רק אם e < 1; עבור e > 1 הוא מתאפס ב-cosν = -1/e, ולכן r → ∞.

מקורות

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, מהדורה 2, Dover, ‏2020.

אנרגיה ומשוואת vis-viva

• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-20 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\dot{\mathbf r}\cdot\ddot{\mathbf r}+\frac{\mu}{r^3}\,\mathbf r\cdot\dot{\mathbf r}=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\right)=0$$
   מכפילים סקלרית את משוואת התנועה במהירות.
2. $$\varepsilon=\frac{v_p^2}{2}-\frac{\mu}{r_p},\quad r_p=a(1-e),\quad v_p=\frac{h}{r_p}$$
   מחשבים בפריאפסיס, שם v ניצב ל-r.
3. $$\varepsilon=-\frac{\mu}{2a}$$
   מפשטים בעזרת h² = μa(1-e²).
4. $$v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$
   vis-viva.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
rp, ra = RE + 300, 42164.17
a = (rp + ra) / 2
vv = lambda r: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a))
print(vv(rp), vv(ra), rp*vv(rp), ra*vv(ra))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. למסלול a = 10 000 ק"מ. מה המהירות כאשר r = 8000 ק"מ, ב-km/s?

   km/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   v = √(398600.4418 × (2/8000 − 1/10000)) = 7.7324 km/s.

תרגול

1. מה הסימן של ε במסלול מילוט (פרבולי)?

   הצגת פתרון

   אפס (a → ∞). למסלולים קשורים ε < 0, להיפרבולות ε > 0.

מקורות

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, מהדורה 2, Dover, ‏2020.

יסודות מסלול מתוך וקטור מצב

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-30 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\mathbf h=\mathbf r\times\mathbf v,\quad \mathbf n=\hat{\mathbf k}\times\mathbf h,\quad \mathbf e=\frac{\mathbf v\times\mathbf h}{\mu}-\frac{\mathbf r}{r}$$
   שלושה וקטורים מרכזיים.
2. $$a=-\frac{\mu}{2\varepsilon},\quad \cos i=\frac{h_z}{h},\quad \cos\Omega=\frac{n_x}{n}\;(n_y<0\Rightarrow\Omega=360^\circ-\Omega)$$
   גודל, נטייה, צומת (עם בדיקת רביע).
3. $$\cos\omega=\frac{\mathbf n\cdot\mathbf e}{ne}\;(e_z<0\Rightarrow 360^\circ-\omega),\quad \cos\nu=\frac{\mathbf e\cdot\mathbf r}{er}\;(\mathbf r\cdot\mathbf v<0\Rightarrow 360^\circ-\nu)$$
   פריאפסיס ומיקום נוכחי.

import numpy as np
mu = 398600.4418
r = np.array([7000., 1000., 500.]); v = np.array([-1.0, 7.4, 1.0])
h = np.cross(r, v); n = np.cross([0, 0, 1], h)
e = np.cross(v, h) / mu - r / np.linalg.norm(r)
i = np.degrees(np.arccos(h[2] / np.linalg.norm(h)))
W = np.degrees(np.arccos(n[0] / np.linalg.norm(n))); W = 360 - W if n[1] < 0 else W
print(i, W)

תרגול

1. מדוע Ω ו-ω אינם מוגדרים במסלול מעגלי משווני?

   הצגת פתרון

   n = 0 (אין קו צמתים) ו-e = 0 (אין פריאפסיס); השתמשו במקום זאת באורך האמיתי.

מקורות

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.

משוואת קפלר וניוטון–רפסון

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-30 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$M=n(t-t_p),\qquad n=\sqrt{\mu/a^3}$$
   האנומליה הממוצעת גדלה באופן אחיד בזמן.
2. $$M=E-e\sin E$$
   משוואת קפלר.
3. $$E_{k+1}=E_k-\frac{E_k-e\sin E_k-M}{1-e\cos E_k}$$
   ניוטון–רפסון: f/f′.
4. $$\tan\frac{\nu}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac{E}{2}$$
   המרה לאנומליה אמיתית.

import math
def kepler_E(M, e, tol=1e-10):
    E = math.pi if e > 0.8 else M
    while True:
        dE = (E - e*math.sin(E) - M) / (1 - e*math.cos(E))
        E -= dE
        print(E, abs(dE))
        if abs(dE) < tol:
            return E
kepler_E(3.6029, 0.37255)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. פתרו את M = E − e sin E עבור E (ברדיאנים) עם M = 1 rad, ‏e = 0.2.

   rad בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   ניוטון–רפסון מתכנסת בכמה צעדים ל-E = 1.185324 rad.

תרגול

1. מדוע M ו-E חייבים להיות ברדיאנים בתוך האיטרציה?

   הצגת פתרון

   כי האיבר E והאיבר e sin E חייבים לחלוק יחידות; e sin E חסר ממדים (רדיאנים).

מקורות

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, מהדורה מתוקנת, AIAA, 1999.

התפשטות נומרית עם RK4

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-35 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\mathbf y=\begin{bmatrix}\mathbf r\\ \mathbf v\end{bmatrix},\qquad \dot{\mathbf y}=\mathbf f(\mathbf y)=\begin{bmatrix}\mathbf v\\ -\mu\mathbf r/r^3\end{bmatrix}$$
   משוואה דיפרנציאלית מסדר שני הופכת למערכת מסדר ראשון בת 6 מצבים.
2. $$\mathbf k_1=\mathbf f(\mathbf y_n),\ \mathbf k_2=\mathbf f(\mathbf y_n+\tfrac{\Delta t}{2}\mathbf k_1),\ \mathbf k_3=\mathbf f(\mathbf y_n+\tfrac{\Delta t}{2}\mathbf k_2),\ \mathbf k_4=\mathbf f(\mathbf y_n+\Delta t\,\mathbf k_3)$$
   ארבע דגימות שיפוע.
3. $$\mathbf y_{n+1}=\mathbf y_n+\frac{\Delta t}{6}\left(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4\right)$$
   ממוצע משוקלל (בדומה לסימפסון).

import numpy as np
mu = 398600.4418
def f(y): r = y[:3]; return np.r_[y[3:], -mu * r / np.linalg.norm(r)**3]
def rk4(y, dt):
    k1 = f(y); k2 = f(y + dt/2*k1); k3 = f(y + dt/2*k2); k4 = f(y + dt*k3)
    return y + dt/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

תרגול

1. חציית Δt מקטינה את השגיאה הכוללת של RK4 בערך בכמה?

   הצגת פתרון

   בערך פי 2⁴ = 16.

מקורות

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• MIT OpenCourseWare, 16.346 Astrodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

מעבר הוהמן

• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-25 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}$$
   אליפסת המעבר נוגעת בשני המעגלים.
2. $$\Delta v_1=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_t}\right)}-\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}$$
   בעירה בפריגיאה (vis-viva פחות המהירות המעגלית).
3. $$\Delta v_2=\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_t}\right)}$$
   בעירה באפוגיאה.
4. $$t_{t}=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{\mu}}$$
   חצי מזמן המחזור של מסלול המעבר.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137          # km^3/s^2, km
r1, r2 = RE + 300, 42164.17
at = (r1 + r2) / 2
vv = lambda r, a: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a))
dv1 = vv(r1, at) - math.sqrt(mu/r1)
dv2 = math.sqrt(mu/r2) - vv(r2, at)
tof = math.pi * math.sqrt(at**3 / mu)
print(dv1, dv2, dv1 + dv2, tof/3600)   # km/s, km/s, km/s, h

תרגול שנבדק אוטומטית

1. Δv הוהמן כולל ממסלול מעגלי בגובה 400 ק"מ למסלול בגובה 1000 ק"מ, ב-km/s?

   km/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   Δv₁ = 0.1608, ‏Δv₂ = 0.1575; סך הכול 0.3183 km/s.

תרגול

1. מדוע משימות GEO אמיתיות זקוקות ליותר מסך זה?

   הצגת פתרון

   אתרי השיגור אינם על קו המשווה, ולכן נדרש גם שינוי מישור (ראו שינויי מישור).

מקורות

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, מהדורה 2, Dover, ‏2020.
• NASA, Basics of Space Flight.

מעבר דו-אליפטי

• תואר ראשון (שנה א'–ד')
• תואר מתקדם

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-20 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$a_1=\frac{r_1+r_b}{2},\qquad a_2=\frac{r_2+r_b}{2}$$
   שתי אליפסות מעבר.
2. $$\Delta v=\big|v_{p1}-v_{c1}\big|+\big|v_{a2}-v_{a1}\big|+\big|v_{c2}-v_{p2}\big|$$
   בעירה ב-r₁, ב-r_b וב-r₂, כל אחת מ-vis-viva.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
vv = lambda r, a: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a)); vc = lambda r: math.sqrt(mu / r)
r1 = RE + 300; r2, rb = 20*r1, 40*r1
a1, a2 = (r1+rb)/2, (r2+rb)/2
dv = (vv(r1,a1)-vc(r1)) + (vv(rb,a2)-vv(rb,a1)) + (vv(r2,a2)-vc(r2))
print(abs(dv))

תרגול

1. עבור LEO ל-GEO ‏(r₂/r₁ ≈ 6.3), האם כדאי להשתמש במעבר דו-אליפטי?

   הצגת פתרון

   לא: מתחת ליחס של כ-11.94 הוהמן תמיד זול יותר.

מקורות

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.

שינויי מישור

• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-20 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$\Delta v=\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\Delta i}$$
   חוק הקוסינוסים על שני וקטורי המהירות.
2. $$v_1=v_2=v\;\Rightarrow\;\Delta v=2v\sin\frac{\Delta i}{2}$$
   שינוי מישור טהור במהירות קבועה.

import math
va, vg, di = 1.6078, 3.0747, math.radians(28.5)
comb = math.sqrt(va**2 + vg**2 - 2*va*vg*math.cos(di))
sep = (vg - va) + 2*vg*math.sin(di/2)
print(comb, sep)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. שינוי מישור טהור של 10° ב-7.5 km/s עולה כמה Δv, ב-km/s?

   km/s בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   Δv = 2 × 7.5 × sin 5° = 1.3073 km/s.

תרגול

1. היכן במסלול אליפטי שינוי מישור זול ביותר?

   הצגת פתרון

   באפואפסיס (המהירות הנמוכה ביותר), ויש לבצעו בצומת.

מקורות

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.

משוואת הרקטה

• בני נוער
• מכללה קהילתית
• תואר ראשון (שנה א'–ד')

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-15 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$m\,dv=-v_e\,dm$$
   מאזן תנע לאורך בעירה קצרה (ללא כבידה או גרר).
2. $$\int_{0}^{\Delta v}dv=-v_e\int_{m_0}^{m_f}\frac{dm}{m}$$
   מפרידים משתנים ומבצעים אינטגרציה.
3. $$\Delta v=v_e\ln\frac{m_0}{m_f},\qquad v_e=I_{sp}\,g_0$$
   ציולקובסקי; g₀ = 9.80665 m/s².

import math
dv, isp, g0 = 3.8926, 450, 9.80665e-3   # km/s, s, km/s^2
mr = math.exp(dv / (isp * g0))
print(mr, 1 - 1/mr)

תרגול שנבדק אוטומטית

1. יחס מסות m₀/m_f עבור Δv = 2 km/s עם I_sp = 300 s?

   בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   m₀/m_f = exp(2/2.942) = 1.974.

תרגול

1. הכפלת Δv ב-I_sp קבוע עושה מה ליחס המסות?

   הצגת פתרון

   הוא מועלה בריבוע, לא מוכפל: e^(2x) = (e^x)².

מקורות

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.
• NASA, Basics of Space Flight.

הפרעות J2 ומסלולים סינכרוניים לשמש

• תואר מתקדם

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-40 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$U=-\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{R_\oplus}{r}\right)^2\frac{3\sin^2\phi-1}{2}\right]$$
   פוטנציאל עם האיבר האזורי J2 ‏(φ = קו רוחב).
2. $$\dot\Omega=-\frac{3}{2}\,n\,J_2\left(\frac{R_\oplus}{p}\right)^2\cos i,\qquad p=a(1-e^2)$$
   קצב הצומת החילוני לאחר מיצוע על פני המסלול (משוואות לגרנז').
3. $$\dot\Omega_{SSO}=\frac{360^\circ}{365.2422\ \text{d}}\approx 0.9856^\circ/\text{d}\;\Rightarrow\;\cos i=\frac{\dot\Omega_{SSO}}{-\tfrac32 nJ_2(R_\oplus/p)^2}$$
   סינכרוני לשמש: הצומת עוקב אחרי השמש פעם בשנה.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
J2 = 1.08262668e-3
a = RE + 700; n = math.sqrt(mu / a**3)
target = 2*math.pi / (365.2422*86400)
print(math.degrees(math.acos(-target / (1.5*n*J2*(RE/a)**2))))

תרגול שנבדק אוטומטית

1. נטייה (במעלות) של מסלול מעגלי סינכרוני לשמש בגובה 800 ק"מ?

   ° בדיקה הצגת רמז
   פתרון מלא

   cos i שלילי ו-i = 98.60°, מעט יותר מאשר בגובה 700 ק"מ.

תרגול

1. מדוע מסלולים סינכרוניים לשמש הם מעט רטרוגרדיים (i > 90°)?

   הצגת פתרון

   הצומת חייב לנוע מזרחה (קצב חיובי); בנוסחה יש ‎-cos i, ולכן cos i < 0.

מקורות

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• N. K. Pavlis et al., "The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)", J. Geophys. Res. 117, B04406 (2012). doi:10.1029/2011JB008916
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, מהדורה מתוקנת, AIAA, 1999.

בעיית למברט

• תואר מתקדם
• דוקטורט / מחקר

מסלול: מכניקה מסלולית · כ-60 דקות · מספרים שאומתו בבנייה: 2026-10-19

צעד אחר צעד

1. $$A=\sin\Delta\nu\sqrt{\frac{r_1r_2}{1-\cos\Delta\nu}},\qquad y(z)=r_1+r_2+A\,\frac{zS(z)-1}{\sqrt{C(z)}}$$
   קבוע הגאומטריה A והפונקציה העזר y(z) (שטומפף C, ‏S).
2. $$\sqrt{\mu}\,\Delta t=\left(\frac{y}{C}\right)^{3/2}S+A\sqrt{y}$$
   משוואת זמן הטיסה: פותרים עבור z במציאת שורשים.
3. $$f=1-\frac{y}{r_1},\quad g=A\sqrt{\frac{y}{\mu}},\quad \dot g=1-\frac{y}{r_2},\quad \mathbf v_1=\frac{\mathbf r_2-f\mathbf r_1}{g},\quad \mathbf v_2=\frac{\dot g\,\mathbf r_2-\mathbf r_1}{g}$$
   מקדמי לגרנז' נותנים את המהירויות.

# universal-variable Lambert (Curtis Alg. 5.2): see scripts/learn_calc.py lambert()
from learn_calc import lambert, propagate
v1, v2 = lambert([7000, 0, 0], [0, 8000, 0], 3600)
print(v1, v2)

תרגול

1. מחקר: מה משנה איזו (2015) בהשוואה לשיטת המשתנים האוניברסליים?

   הצגת פתרון

   משתנה יחיד חסר ממדים x עם ניחוש התחלתי טוב ואיטרציות האוסהולדר (מסדר שלישי), שמטפלות במקרים של הקפות מרובות באופן חסין ובמעט מאוד איטרציות.

מקורות

• D. Izzo, "Revisiting Lambert’s problem", Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 121, 1–15 (2015). doi:10.1007/s10569-014-9587-y
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, מהדורה מתוקנת, AIAA, 1999.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, מהדורה 4, Microcosm Press, ‏2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, מהדורה 4, Butterworth-Heinemann ‏(Elsevier), ‏2020.

בדקו את ההבנה שלכם