Matematica della meccanica orbitale, passo dopo passo

Orbite circolari, periodo e velocità di fuga

• Ragazzi
• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 15 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$$
   Gravità = massa × accelerazione centripeta.
2. $$v_c=\sqrt{\frac{\mu}{r}}$$
   Semplificare m e ricavare v.
3. $$T=\frac{2\pi r}{v_c}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu}}$$
   Periodo = circonferenza / velocità.
4. $$\tfrac12 v_{esc}^2-\frac{\mu}{r}=0\;\Rightarrow\; v_{esc}=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}=\sqrt2\,v_c$$
   Fuga: l’energia totale arriva esattamente a zero.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
r = RE + 400
v = math.sqrt(mu / r)
T = 2 * math.pi * r / v
print(v, T / 60)   # km/s, min

Esercizi con correzione automatica

1. Velocità circolare a 800 km di quota, in km/s?

   km/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   r = 7178,137 km; v = √(398600,4418/7178,137) = 7,4518 km/s.

2. Periodo di quell’orbita a 800 km, in minuti?

   min Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   T = 2π√(7178,137³/398600,4418) s = 100,87 min.

Esercizi

1. Trova il raggio di un’orbita con periodo pari a un giorno siderale (86 164,09 s).

   Mostra la soluzione

   r = (μ T²/4π²)^(1/3) = 42164 km (geostazionaria), con v_c = 3,075 km/s.

Riferimenti

• NASA, Basics of Space Flight.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

Le tre leggi di Keplero

• Ragazzi
• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 15 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$dA=\tfrac12\,|\mathbf r\times d\mathbf r|\;\Rightarrow\;\frac{dA}{dt}=\tfrac12|\mathbf r\times\mathbf v|=\frac{h}{2}$$
   L’area spazzata per unità di tempo è metà del momento angolare specifico h.
2. $$\dot{\mathbf h}=\dot{\mathbf r}\times\mathbf v+\mathbf r\times\left(-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r\right)=\mathbf 0$$
   Con forza centrale h è costante, quindi anche dA/dt (2ª legge).
3. $$T=\frac{\pi ab}{h/2},\quad h=\sqrt{\mu a(1-e^2)},\quad b=a\sqrt{1-e^2}$$
   Area totale dell’ellisse divisa per la velocità areolare.
4. $$T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$
   Terza legge: dipende solo da a, non da e.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
a = 42164.17
T = 2 * math.pi * math.sqrt(a**3 / mu)
print(T / 3600)   # h

Esercizi

1. Due orbite hanno lo stesso a ma e = 0 ed e = 0,7. Quale ha il periodo più lungo?

   Mostra la soluzione

   Nessuna: T dipende solo da a.

Riferimenti

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.

Il problema dei due corpi e l’equazione dell’orbita

• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 30 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\ddot{\mathbf r}=-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r,\qquad \mu=G(m_1+m_2)$$
   Equazione del moto relativo.
2. $$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h=-\frac{\mu}{r^3}\,\mathbf r\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r})=\mu\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\mathbf r}{r}\right)$$
   Prodotto vettoriale per h costante e doppio prodotto.
3. $$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h-\mu\frac{\mathbf r}{r}=\mu\,\mathbf e$$
   Integrare una volta: e è un vettore costante diretto al periasse.
4. $$\mathbf r\cdot(\dot{\mathbf r}\times\mathbf h)=h^2=\mu r+\mu r e\cos\nu\;\Rightarrow\; r=\frac{h^2/\mu}{1+e\cos\nu}$$
   Prodotto scalare con r: l’equazione della conica.

import numpy as np
mu = 398600.4418
r = np.array([7000., 1000., 500.]); v = np.array([-1.0, 7.4, 1.0])
h = np.cross(r, v)
e = np.cross(v, h) / mu - r / np.linalg.norm(r)
eps = v @ v / 2 - mu / np.linalg.norm(r)
print(np.linalg.norm(h), np.linalg.norm(e), -mu / (2 * eps))

Esercizi

1. Mostra che e < 1 dà un’orbita chiusa ed e > 1 una aperta.

   Mostra la soluzione

   Il denominatore 1 + e cosν resta positivo per ogni ν solo se e < 1; per e > 1 si annulla a cosν = -1/e, quindi r → ∞.

Riferimenti

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.

Energia ed equazione vis-viva

• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 20 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\dot{\mathbf r}\cdot\ddot{\mathbf r}+\frac{\mu}{r^3}\,\mathbf r\cdot\dot{\mathbf r}=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\right)=0$$
   Prodotto scalare dell’equazione del moto con la velocità.
2. $$\varepsilon=\frac{v_p^2}{2}-\frac{\mu}{r_p},\quad r_p=a(1-e),\quad v_p=\frac{h}{r_p}$$
   Valutare al periasse, dove v è perpendicolare a r.
3. $$\varepsilon=-\frac{\mu}{2a}$$
   Semplificare con h² = μa(1-e²).
4. $$v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$
   Vis-viva.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
rp, ra = RE + 300, 42164.17
a = (rp + ra) / 2
vv = lambda r: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a))
print(vv(rp), vv(ra), rp*vv(rp), ra*vv(ra))

Esercizi con correzione automatica

1. Un’orbita ha a = 10 000 km. Velocità quando r = 8000 km, in km/s?

   km/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   v = √(398600,4418 × (2/8000 − 1/10000)) = 7,7324 km/s.

Esercizi

1. Qual è il segno di ε per una traiettoria di fuga (parabolica)?

   Mostra la soluzione

   Zero (a → ∞). Le orbite legate hanno ε < 0, le iperboli ε > 0.

Riferimenti

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.

Elementi orbitali da un vettore di stato

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 30 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\mathbf h=\mathbf r\times\mathbf v,\quad \mathbf n=\hat{\mathbf k}\times\mathbf h,\quad \mathbf e=\frac{\mathbf v\times\mathbf h}{\mu}-\frac{\mathbf r}{r}$$
   Tre vettori chiave.
2. $$a=-\frac{\mu}{2\varepsilon},\quad \cos i=\frac{h_z}{h},\quad \cos\Omega=\frac{n_x}{n}\;(n_y<0\Rightarrow\Omega=360^\circ-\Omega)$$
   Dimensione, inclinazione, nodo (con quadrante).
3. $$\cos\omega=\frac{\mathbf n\cdot\mathbf e}{ne}\;(e_z<0\Rightarrow 360^\circ-\omega),\quad \cos\nu=\frac{\mathbf e\cdot\mathbf r}{er}\;(\mathbf r\cdot\mathbf v<0\Rightarrow 360^\circ-\nu)$$
   Periasse e posizione attuale.

import numpy as np
mu = 398600.4418
r = np.array([7000., 1000., 500.]); v = np.array([-1.0, 7.4, 1.0])
h = np.cross(r, v); n = np.cross([0, 0, 1], h)
e = np.cross(v, h) / mu - r / np.linalg.norm(r)
i = np.degrees(np.arccos(h[2] / np.linalg.norm(h)))
W = np.degrees(np.arccos(n[0] / np.linalg.norm(n))); W = 360 - W if n[1] < 0 else W
print(i, W)

Esercizi

1. Perché Ω e ω non sono definiti per un’orbita circolare equatoriale?

   Mostra la soluzione

   n = 0 (nessuna linea dei nodi) ed e = 0 (nessun periasse); si usa la longitudine vera.

Riferimenti

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

Equazione di Keplero e Newton–Raphson

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 30 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$M=n(t-t_p),\qquad n=\sqrt{\mu/a^3}$$
   L’anomalia media cresce uniformemente.
2. $$M=E-e\sin E$$
   Equazione di Keplero.
3. $$E_{k+1}=E_k-\frac{E_k-e\sin E_k-M}{1-e\cos E_k}$$
   Newton–Raphson: f/f′.
4. $$\tan\frac{\nu}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac{E}{2}$$
   Passare all’anomalia vera.

import math
def kepler_E(M, e, tol=1e-10):
    E = math.pi if e > 0.8 else M
    while True:
        dE = (E - e*math.sin(E) - M) / (1 - e*math.cos(E))
        E -= dE
        print(E, abs(dE))
        if abs(dE) < tol:
            return E
kepler_E(3.6029, 0.37255)

Esercizi con correzione automatica

1. Risolvi M = E − e sin E per E (radianti) con M = 1 rad, e = 0,2.

   rad Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   Newton–Raphson converge in pochi passi a E = 1,185324 rad.

Esercizi

1. Perché M ed E devono essere in radianti nell’iterazione?

   Mostra la soluzione

   Perché E ed e sin E devono avere la stessa unità; e sin E è adimensionale (radianti).

Riferimenti

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, rev. ed., AIAA, 1999.

Propagazione numerica con RK4

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 35 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\mathbf y=\begin{bmatrix}\mathbf r\\ \mathbf v\end{bmatrix},\qquad \dot{\mathbf y}=\mathbf f(\mathbf y)=\begin{bmatrix}\mathbf v\\ -\mu\mathbf r/r^3\end{bmatrix}$$
   L’EDO del secondo ordine diventa un sistema del primo ordine a 6 stati.
2. $$\mathbf k_1=\mathbf f(\mathbf y_n),\ \mathbf k_2=\mathbf f(\mathbf y_n+\tfrac{\Delta t}{2}\mathbf k_1),\ \mathbf k_3=\mathbf f(\mathbf y_n+\tfrac{\Delta t}{2}\mathbf k_2),\ \mathbf k_4=\mathbf f(\mathbf y_n+\Delta t\,\mathbf k_3)$$
   Quattro valutazioni della pendenza.
3. $$\mathbf y_{n+1}=\mathbf y_n+\frac{\Delta t}{6}\left(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4\right)$$
   Media pesata (tipo Simpson).

import numpy as np
mu = 398600.4418
def f(y): r = y[:3]; return np.r_[y[3:], -mu * r / np.linalg.norm(r)**3]
def rk4(y, dt):
    k1 = f(y); k2 = f(y + dt/2*k1); k3 = f(y + dt/2*k2); k4 = f(y + dt*k3)
    return y + dt/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

Esercizi

1. Dimezzando Δt, di che fattore si riduce circa l’errore globale di RK4?

   Mostra la soluzione

   Circa 2⁴ = 16.

Riferimenti

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• MIT OpenCourseWare, 16.346 Astrodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

Trasferimento di Hohmann

• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 25 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}$$
   L’ellisse di trasferimento tocca entrambi i cerchi.
2. $$\Delta v_1=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_t}\right)}-\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}$$
   Accensione al perigeo (vis-viva meno circolare).
3. $$\Delta v_2=\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_t}\right)}$$
   Accensione all’apogeo.
4. $$t_{t}=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{\mu}}$$
   Metà del periodo dell’orbita di trasferimento.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137          # km^3/s^2, km
r1, r2 = RE + 300, 42164.17
at = (r1 + r2) / 2
vv = lambda r, a: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a))
dv1 = vv(r1, at) - math.sqrt(mu/r1)
dv2 = math.sqrt(mu/r2) - vv(r2, at)
tof = math.pi * math.sqrt(at**3 / mu)
print(dv1, dv2, dv1 + dv2, tof/3600)   # km/s, km/s, km/s, h

Esercizi con correzione automatica

1. Δv totale di Hohmann da un’orbita circolare di 400 km a 1000 km, in km/s?

   km/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   Δv₁ = 0,1608, Δv₂ = 0,1575; totale 0,3183 km/s.

Esercizi

1. Perché le missioni GEO reali richiedono di più?

   Mostra la soluzione

   I siti di lancio non sono all’equatore: serve anche un cambio di piano (vedi Cambi di piano).

Riferimenti

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.
• NASA, Basics of Space Flight.

Trasferimento bi-ellittico

• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 20 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$a_1=\frac{r_1+r_b}{2},\qquad a_2=\frac{r_2+r_b}{2}$$
   Due ellissi di trasferimento.
2. $$\Delta v=\big|v_{p1}-v_{c1}\big|+\big|v_{a2}-v_{a1}\big|+\big|v_{c2}-v_{p2}\big|$$
   Accensioni a r₁, r_b e r₂, ciascuna con vis-viva.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
vv = lambda r, a: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a)); vc = lambda r: math.sqrt(mu / r)
r1 = RE + 300; r2, rb = 20*r1, 40*r1
a1, a2 = (r1+rb)/2, (r2+rb)/2
dv = (vv(r1,a1)-vc(r1)) + (vv(rb,a2)-vv(rb,a1)) + (vv(r2,a2)-vc(r2))
print(abs(dv))

Esercizi

1. Da LEO a GEO (r₂/r₁ ≈ 6,3), conviene un bi-ellittico?

   Mostra la soluzione

   No: sotto un rapporto di circa 11,94 Hohmann è sempre più economico.

Riferimenti

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

Cambi di piano

• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 20 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$\Delta v=\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\Delta i}$$
   Teorema del coseno sui due vettori velocità.
2. $$v_1=v_2=v\;\Rightarrow\;\Delta v=2v\sin\frac{\Delta i}{2}$$
   Cambio di piano puro a velocità costante.

import math
va, vg, di = 1.6078, 3.0747, math.radians(28.5)
comb = math.sqrt(va**2 + vg**2 - 2*va*vg*math.cos(di))
sep = (vg - va) + 2*vg*math.sin(di/2)
print(comb, sep)

Esercizi con correzione automatica

1. Quanto Δv costa un cambio di piano puro di 10° a 7,5 km/s, in km/s?

   km/s Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   Δv = 2 × 7,5 × sin 5° = 1,3073 km/s.

Esercizi

1. Dove è più economico un cambio di piano su un’ellisse?

   Mostra la soluzione

   All’apoasse (velocità minima), e in un nodo.

Riferimenti

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.

L’equazione del razzo

• Ragazzi
• Corso post-diploma
• Laurea triennale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 15 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$m\,dv=-v_e\,dm$$
   Bilancio della quantità di moto in una breve accensione (senza gravità né resistenza).
2. $$\int_{0}^{\Delta v}dv=-v_e\int_{m_0}^{m_f}\frac{dm}{m}$$
   Separare le variabili e integrare.
3. $$\Delta v=v_e\ln\frac{m_0}{m_f},\qquad v_e=I_{sp}\,g_0$$
   Tsiolkovsky; g₀ = 9,80665 m/s².

import math
dv, isp, g0 = 3.8926, 450, 9.80665e-3   # km/s, s, km/s^2
mr = math.exp(dv / (isp * g0))
print(mr, 1 - 1/mr)

Esercizi con correzione automatica

1. Rapporto di massa m₀/m_f per Δv = 2 km/s con I_sp = 300 s?

   Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   m₀/m_f = exp(2/2,942) = 1,974.

Esercizi

1. Raddoppiando il Δv a I_sp fisso, cosa succede al rapporto di massa?

   Mostra la soluzione

   Si eleva al quadrato, non raddoppia: e^(2x) = (e^x)².

Riferimenti

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• NASA, Basics of Space Flight.

Perturbazioni J2 e orbite eliosincrone

• Laurea magistrale

Percorso: meccanica orbitale · Circa 40 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$U=-\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{R_\oplus}{r}\right)^2\frac{3\sin^2\phi-1}{2}\right]$$
   Potenziale con il termine zonale J2 (φ = latitudine).
2. $$\dot\Omega=-\frac{3}{2}\,n\,J_2\left(\frac{R_\oplus}{p}\right)^2\cos i,\qquad p=a(1-e^2)$$
   Velocità secolare del nodo dopo la media (equazioni di Lagrange).
3. $$\dot\Omega_{SSO}=\frac{360^\circ}{365.2422\ \text{d}}\approx 0.9856^\circ/\text{d}\;\Rightarrow\;\cos i=\frac{\dot\Omega_{SSO}}{-\tfrac32 nJ_2(R_\oplus/p)^2}$$
   Eliosincrona: il nodo segue il Sole una volta all’anno.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
J2 = 1.08262668e-3
a = RE + 700; n = math.sqrt(mu / a**3)
target = 2*math.pi / (365.2422*86400)
print(math.degrees(math.acos(-target / (1.5*n*J2*(RE/a)**2))))

Esercizi con correzione automatica

1. Inclinazione (gradi) di un’orbita eliosincrona circolare a 800 km?

   ° Verifica Mostra un suggerimento
   Soluzione completa

   cos i è negativo e i = 98,60°, poco più che a 700 km.

Esercizi

1. Perché le orbite eliosincrone sono leggermente retrograde (i > 90°)?

   Mostra la soluzione

   Il nodo deve muoversi verso est (velocità positiva); la formula ha -cos i, quindi cos i < 0.

Riferimenti

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• N. K. Pavlis et al., "The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)", J. Geophys. Res. 117, B04406 (2012). doi:10.1029/2011JB008916
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, rev. ed., AIAA, 1999.

Il problema di Lambert

• Laurea magistrale
• Dottorato / ricerca

Percorso: meccanica orbitale · Circa 60 min · Numeri verificati in fase di generazione: 2026-10-16

Passo dopo passo

1. $$A=\sin\Delta\nu\sqrt{\frac{r_1r_2}{1-\cos\Delta\nu}},\qquad y(z)=r_1+r_2+A\,\frac{zS(z)-1}{\sqrt{C(z)}}$$
   Costante geometrica A e ausiliaria y(z) (Stumpff C, S).
2. $$\sqrt{\mu}\,\Delta t=\left(\frac{y}{C}\right)^{3/2}S+A\sqrt{y}$$
   Equazione del tempo di volo: risolvere in z con ricerca di radici.
3. $$f=1-\frac{y}{r_1},\quad g=A\sqrt{\frac{y}{\mu}},\quad \dot g=1-\frac{y}{r_2},\quad \mathbf v_1=\frac{\mathbf r_2-f\mathbf r_1}{g},\quad \mathbf v_2=\frac{\dot g\,\mathbf r_2-\mathbf r_1}{g}$$
   I coefficienti di Lagrange danno le velocità.

# universal-variable Lambert (Curtis Alg. 5.2): see scripts/learn_calc.py lambert()
from learn_calc import lambert, propagate
v1, v2 = lambert([7000, 0, 0], [0, 8000, 0], 3600)
print(v1, v2)

Esercizi

1. Ricerca: cosa cambia Izzo (2015) rispetto alle variabili universali?

   Mostra la soluzione

   Una sola variabile adimensionale x con una buona stima iniziale e iterazioni di Householder (terzo ordine), che gestisce in modo robusto i casi multi-rivoluzione con pochissime iterazioni.

Riferimenti

• D. Izzo, "Revisiting Lambert’s problem", Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 121, 1–15 (2015). doi:10.1007/s10569-014-9587-y
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, rev. ed., AIAA, 1999.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

Verifica la comprensione