رياضيات الميكانيكا المدارية خطوة بخطوة

المدارات الدائرية والدورة وسرعة الإفلات

• المراهقون
• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 15 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$$
   الجاذبية = الكتلة × التسارع المركزي.
2. $$v_c=\sqrt{\frac{\mu}{r}}$$
   نحذف m ونحل لإيجاد v.
3. $$T=\frac{2\pi r}{v_c}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu}}$$
   الدورة = المحيط ÷ السرعة.
4. $$\tfrac12 v_{esc}^2-\frac{\mu}{r}=0\;\Rightarrow\; v_{esc}=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}=\sqrt2\,v_c$$
   الإفلات: تصل الطاقة الكلية إلى الصفر بالضبط.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
r = RE + 400
v = math.sqrt(mu / r)
T = 2 * math.pi * r / v
print(v, T / 60)   # km/s, min

تمارين بتصحيح تلقائي

1. السرعة الدائرية على ارتفاع 800 كم، بوحدة كم/ث؟

   km/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   r = 7178.137 كم؛ v = √(398600.4418/7178.137) = 7.4518 كم/ث.

2. دورة هذا المدار على 800 كم، بالدقائق؟

   min تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   T = 2π√(7178.137³/398600.4418) ث = 100.87 دقيقة.

تمارين

1. أوجد نصف قطر مدار دورته يوم نجمي واحد (86164.09 ث).

   عرض الحل

   r = (μ T²/4π²)^(1/3) = 42164 كم (المدار الثابت بالنسبة للأرض)، حيث v_c = 3.075 كم/ث.

المراجع

• NASA, Basics of Space Flight.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

قوانين كبلر الثلاثة

• المراهقون
• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 15 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$dA=\tfrac12\,|\mathbf r\times d\mathbf r|\;\Rightarrow\;\frac{dA}{dt}=\tfrac12|\mathbf r\times\mathbf v|=\frac{h}{2}$$
   المساحة الممسوحة في وحدة الزمن نصف الزخم الزاوي النوعي h.
2. $$\dot{\mathbf h}=\dot{\mathbf r}\times\mathbf v+\mathbf r\times\left(-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r\right)=\mathbf 0$$
   في القوة المركزية يكون h ثابتًا، إذن dA/dt ثابت (القانون الثاني).
3. $$T=\frac{\pi ab}{h/2},\quad h=\sqrt{\mu a(1-e^2)},\quad b=a\sqrt{1-e^2}$$
   المساحة الكلية للقطع الناقص مقسومة على معدل المساحة.
4. $$T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$
   القانون الثالث: يعتمد على a فقط لا على e.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
a = 42164.17
T = 2 * math.pi * math.sqrt(a**3 / mu)
print(T / 3600)   # h

تمارين

1. مداران لهما a نفسه لكن e = 0 و e = 0.7. أيهما دورته أطول؟

   عرض الحل

   لا أحد منهما: T يعتمد على a فقط.

المراجع

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.

مسألة الجسمين ومعادلة المدار

• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 30 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\ddot{\mathbf r}=-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r,\qquad \mu=G(m_1+m_2)$$
   معادلة الحركة النسبية.
2. $$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h=-\frac{\mu}{r^3}\,\mathbf r\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r})=\mu\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\mathbf r}{r}\right)$$
   نضرب اتجاهيًا في h الثابت ونستخدم متطابقة الضرب الثلاثي.
3. $$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h-\mu\frac{\mathbf r}{r}=\mu\,\mathbf e$$
   نكامل مرة: e متجه ثابت يشير إلى الحضيض.
4. $$\mathbf r\cdot(\dot{\mathbf r}\times\mathbf h)=h^2=\mu r+\mu r e\cos\nu\;\Rightarrow\; r=\frac{h^2/\mu}{1+e\cos\nu}$$
   نضرب نقطيًا في r: معادلة القطع المخروطي.

import numpy as np
mu = 398600.4418
r = np.array([7000., 1000., 500.]); v = np.array([-1.0, 7.4, 1.0])
h = np.cross(r, v)
e = np.cross(v, h) / mu - r / np.linalg.norm(r)
eps = v @ v / 2 - mu / np.linalg.norm(r)
print(np.linalg.norm(h), np.linalg.norm(e), -mu / (2 * eps))

تمارين

1. بيّن أن e < 1 يعطي مدارًا مغلقًا وأن e > 1 يعطي مدارًا مفتوحًا.

   عرض الحل

   يبقى المقام 1 + e cosν موجبًا لكل ν فقط إذا e < 1؛ وإذا e > 1 ينعدم عند cosν = -1/e فيؤول r إلى ∞.

المراجع

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.

الطاقة ومعادلة فيس-فيفا

• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 20 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\dot{\mathbf r}\cdot\ddot{\mathbf r}+\frac{\mu}{r^3}\,\mathbf r\cdot\dot{\mathbf r}=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\right)=0$$
   نضرب معادلة الحركة نقطيًا في السرعة.
2. $$\varepsilon=\frac{v_p^2}{2}-\frac{\mu}{r_p},\quad r_p=a(1-e),\quad v_p=\frac{h}{r_p}$$
   نقيّم عند الحضيض حيث v عمودية على r.
3. $$\varepsilon=-\frac{\mu}{2a}$$
   نبسّط باستخدام h² = μa(1-e²).
4. $$v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$
   معادلة فيس-فيفا.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
rp, ra = RE + 300, 42164.17
a = (rp + ra) / 2
vv = lambda r: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a))
print(vv(rp), vv(ra), rp*vv(rp), ra*vv(ra))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. مدار له a = 10000 كم. ما السرعة عندما r = 8000 كم، بوحدة كم/ث؟

   km/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   v = √(398600.4418 × (2/8000 − 1/10000)) = 7.7324 كم/ث.

تمارين

1. ما إشارة ε لمسار الإفلات (القطع المكافئ)؟

   عرض الحل

   صفر (a → ∞). المدارات المقيدة لها ε < 0 والقطوع الزائدة ε > 0.

المراجع

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.

العناصر المدارية من متجه الحالة

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 30 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\mathbf h=\mathbf r\times\mathbf v,\quad \mathbf n=\hat{\mathbf k}\times\mathbf h,\quad \mathbf e=\frac{\mathbf v\times\mathbf h}{\mu}-\frac{\mathbf r}{r}$$
   ثلاثة متجهات أساسية.
2. $$a=-\frac{\mu}{2\varepsilon},\quad \cos i=\frac{h_z}{h},\quad \cos\Omega=\frac{n_x}{n}\;(n_y<0\Rightarrow\Omega=360^\circ-\Omega)$$
   الحجم والميل والعقدة (مع تحديد الربع).
3. $$\cos\omega=\frac{\mathbf n\cdot\mathbf e}{ne}\;(e_z<0\Rightarrow 360^\circ-\omega),\quad \cos\nu=\frac{\mathbf e\cdot\mathbf r}{er}\;(\mathbf r\cdot\mathbf v<0\Rightarrow 360^\circ-\nu)$$
   الحضيض والموضع الحالي.

import numpy as np
mu = 398600.4418
r = np.array([7000., 1000., 500.]); v = np.array([-1.0, 7.4, 1.0])
h = np.cross(r, v); n = np.cross([0, 0, 1], h)
e = np.cross(v, h) / mu - r / np.linalg.norm(r)
i = np.degrees(np.arccos(h[2] / np.linalg.norm(h)))
W = np.degrees(np.arccos(n[0] / np.linalg.norm(n))); W = 360 - W if n[1] < 0 else W
print(i, W)

تمارين

1. لماذا تكون Ω و ω غير معرفتين لمدار دائري استوائي؟

   عرض الحل

   n = 0 (لا خط عقد) و e = 0 (لا حضيض)؛ نستخدم خط الطول الحقيقي بدلًا منهما.

المراجع

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

معادلة كبلر وطريقة نيوتن–رافسون

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 30 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$M=n(t-t_p),\qquad n=\sqrt{\mu/a^3}$$
   يزداد الشذوذ المتوسط بانتظام مع الزمن.
2. $$M=E-e\sin E$$
   معادلة كبلر.
3. $$E_{k+1}=E_k-\frac{E_k-e\sin E_k-M}{1-e\cos E_k}$$
   نيوتن–رافسون: f/f′.
4. $$\tan\frac{\nu}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac{E}{2}$$
   التحويل إلى الشذوذ الحقيقي.

import math
def kepler_E(M, e, tol=1e-10):
    E = math.pi if e > 0.8 else M
    while True:
        dE = (E - e*math.sin(E) - M) / (1 - e*math.cos(E))
        E -= dE
        print(E, abs(dE))
        if abs(dE) < tol:
            return E
kepler_E(3.6029, 0.37255)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. حل M = E − e sin E لإيجاد E (راديان) مع M = 1 راديان، e = 0.2.

   rad تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   تتقارب نيوتن–رافسون في خطوات قليلة إلى E = 1.185324 راديان.

تمارين

1. لماذا يجب أن تكون M و E بالراديان داخل التكرار؟

   عرض الحل

   لأن الحد E والحد e sin E يجب أن يكون لهما الوحدة نفسها؛ و e sin E عديم الأبعاد (راديان).

المراجع

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, rev. ed., AIAA, 1999.

الانتشار العددي بطريقة RK4

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 35 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\mathbf y=\begin{bmatrix}\mathbf r\\ \mathbf v\end{bmatrix},\qquad \dot{\mathbf y}=\mathbf f(\mathbf y)=\begin{bmatrix}\mathbf v\\ -\mu\mathbf r/r^3\end{bmatrix}$$
   تتحول المعادلة من الرتبة الثانية إلى نظام من الرتبة الأولى بست حالات.
2. $$\mathbf k_1=\mathbf f(\mathbf y_n),\ \mathbf k_2=\mathbf f(\mathbf y_n+\tfrac{\Delta t}{2}\mathbf k_1),\ \mathbf k_3=\mathbf f(\mathbf y_n+\tfrac{\Delta t}{2}\mathbf k_2),\ \mathbf k_4=\mathbf f(\mathbf y_n+\Delta t\,\mathbf k_3)$$
   أربع عينات للميل.
3. $$\mathbf y_{n+1}=\mathbf y_n+\frac{\Delta t}{6}\left(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4\right)$$
   متوسط مرجّح (يشبه قاعدة سيمبسون).

import numpy as np
mu = 398600.4418
def f(y): r = y[:3]; return np.r_[y[3:], -mu * r / np.linalg.norm(r)**3]
def rk4(y, dt):
    k1 = f(y); k2 = f(y + dt/2*k1); k3 = f(y + dt/2*k2); k4 = f(y + dt*k3)
    return y + dt/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

تمارين

1. بأي عامل تقريبًا ينخفض الخطأ الكلي لـ RK4 عند تنصيف Δt؟

   عرض الحل

   نحو 2⁴ = 16.

المراجع

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• MIT OpenCourseWare, 16.346 Astrodynamics (CC BY-NC-SA 4.0).

انتقال هوهمان

• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 25 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}$$
   القطع الناقص الانتقالي يلامس الدائرتين.
2. $$\Delta v_1=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_t}\right)}-\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}$$
   دفعة الحضيض (فيس-فيفا ناقص الدائرية).
3. $$\Delta v_2=\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_t}\right)}$$
   دفعة الأوج.
4. $$t_{t}=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{\mu}}$$
   نصف دورة مدار الانتقال.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137          # km^3/s^2, km
r1, r2 = RE + 300, 42164.17
at = (r1 + r2) / 2
vv = lambda r, a: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a))
dv1 = vv(r1, at) - math.sqrt(mu/r1)
dv2 = math.sqrt(mu/r2) - vv(r2, at)
tof = math.pi * math.sqrt(at**3 / mu)
print(dv1, dv2, dv1 + dv2, tof/3600)   # km/s, km/s, km/s, h

تمارين بتصحيح تلقائي

1. Δv الكلي لانتقال هوهمان من مدار دائري 400 كم إلى 1000 كم، بوحدة كم/ث؟

   km/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   Δv₁ = 0.1608، Δv₂ = 0.1575؛ المجموع 0.3183 كم/ث.

تمارين

1. لماذا تحتاج بعثات المدار الثابت الحقيقية إلى أكثر من هذا المجموع؟

   عرض الحل

   مواقع الإطلاق ليست على خط الاستواء، لذا يلزم أيضًا تغيير المستوى (انظر تغيير المستوى).

المراجع

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• R. R. Bate, D. D. Mueller, J. E. White, W. W. Saylor, Fundamentals of Astrodynamics, 2nd ed., Dover, 2020.
• NASA, Basics of Space Flight.

الانتقال ثنائي القطع الناقص

• البكالوريوس (السنة 1–4)
• الدراسات العليا

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 20 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$a_1=\frac{r_1+r_b}{2},\qquad a_2=\frac{r_2+r_b}{2}$$
   قطعان ناقصان انتقاليان.
2. $$\Delta v=\big|v_{p1}-v_{c1}\big|+\big|v_{a2}-v_{a1}\big|+\big|v_{c2}-v_{p2}\big|$$
   دفعات عند r₁ و r_b و r₂، كلٌّ منها من فيس-فيفا.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
vv = lambda r, a: math.sqrt(mu * (2/r - 1/a)); vc = lambda r: math.sqrt(mu / r)
r1 = RE + 300; r2, rb = 20*r1, 40*r1
a1, a2 = (r1+rb)/2, (r2+rb)/2
dv = (vv(r1,a1)-vc(r1)) + (vv(rb,a2)-vv(rb,a1)) + (vv(r2,a2)-vc(r2))
print(abs(dv))

تمارين

1. من المدار المنخفض إلى الثابت (r₂/r₁ ≈ 6.3)، هل نستخدم انتقالًا ثنائي القطع؟

   عرض الحل

   لا: تحت نسبة نحو 11.94 يكون هوهمان دائمًا أرخص.

المراجع

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

تغيير مستوى المدار

• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 20 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$\Delta v=\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\Delta i}$$
   قانون جيب التمام على متجهي السرعة.
2. $$v_1=v_2=v\;\Rightarrow\;\Delta v=2v\sin\frac{\Delta i}{2}$$
   تغيير مستوى خالص بسرعة ثابتة.

import math
va, vg, di = 1.6078, 3.0747, math.radians(28.5)
comb = math.sqrt(va**2 + vg**2 - 2*va*vg*math.cos(di))
sep = (vg - va) + 2*vg*math.sin(di/2)
print(comb, sep)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. كم يكلف تغيير مستوى خالص بمقدار 10° عند 7.5 كم/ث من Δv، بوحدة كم/ث؟

   km/s تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   Δv = 2 × 7.5 × sin 5° = 1.3073 كم/ث.

تمارين

1. أين يكون تغيير المستوى أرخص على مدار ناقصي؟

   عرض الحل

   عند الأوج (أدنى سرعة)، ويجب أن يتم عند عقدة.

المراجع

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.

معادلة الصاروخ

• المراهقون
• كلية المجتمع
• البكالوريوس (السنة 1–4)

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 15 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$m\,dv=-v_e\,dm$$
   توازن الزخم خلال دفعة قصيرة (دون جاذبية أو سحب).
2. $$\int_{0}^{\Delta v}dv=-v_e\int_{m_0}^{m_f}\frac{dm}{m}$$
   نفصل المتغيرات ونكامل.
3. $$\Delta v=v_e\ln\frac{m_0}{m_f},\qquad v_e=I_{sp}\,g_0$$
   تسيولكوفسكي؛ g₀ = 9.80665 م/ث².

import math
dv, isp, g0 = 3.8926, 450, 9.80665e-3   # km/s, s, km/s^2
mr = math.exp(dv / (isp * g0))
print(mr, 1 - 1/mr)

تمارين بتصحيح تلقائي

1. نسبة الكتلة m₀/m_f لـ Δv = 2 كم/ث مع I_sp = 300 ث؟

   تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   m₀/m_f = exp(2/2.942) = 1.974.

تمارين

1. ماذا يحدث لنسبة الكتلة عند مضاعفة Δv مع ثبات I_sp؟

   عرض الحل

   تُربَّع ولا تتضاعف: e^(2x) = (e^x)².

المراجع

• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.
• NASA, Basics of Space Flight.

اضطرابات J2 والمدارات المتزامنة مع الشمس

• الدراسات العليا

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 40 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$U=-\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{R_\oplus}{r}\right)^2\frac{3\sin^2\phi-1}{2}\right]$$
   الجهد مع الحد النطاقي J2 (φ = خط العرض).
2. $$\dot\Omega=-\frac{3}{2}\,n\,J_2\left(\frac{R_\oplus}{p}\right)^2\cos i,\qquad p=a(1-e^2)$$
   المعدل القرني للعقدة بعد التوسيط (معادلات لاغرانج).
3. $$\dot\Omega_{SSO}=\frac{360^\circ}{365.2422\ \text{d}}\approx 0.9856^\circ/\text{d}\;\Rightarrow\;\cos i=\frac{\dot\Omega_{SSO}}{-\tfrac32 nJ_2(R_\oplus/p)^2}$$
   المتزامن مع الشمس: تتبع العقدة الشمس مرة في السنة.

import math
mu, RE = 398600.4418, 6378.137   # km^3/s^2, km
J2 = 1.08262668e-3
a = RE + 700; n = math.sqrt(mu / a**3)
target = 2*math.pi / (365.2422*86400)
print(math.degrees(math.acos(-target / (1.5*n*J2*(RE/a)**2))))

تمارين بتصحيح تلقائي

1. ميل (بالدرجات) مدار دائري متزامن مع الشمس عند 800 كم؟

   ° تحقق أظهر تلميحًا
   الحل الكامل

   cos i سالب و i = 98.60°، أعلى قليلًا منه عند 700 كم.

تمارين

1. لماذا تكون المدارات المتزامنة مع الشمس تراجعية قليلًا (i > 90°)؟

   عرض الحل

   يجب أن تتحرك العقدة شرقًا (معدل موجب)؛ والصيغة فيها -cos i، إذن cos i < 0.

المراجع

• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• N. K. Pavlis et al., "The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)", J. Geophys. Res. 117, B04406 (2012). doi:10.1029/2011JB008916
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, rev. ed., AIAA, 1999.

مسألة لامبرت

• الدراسات العليا
• الدكتوراه / البحث

المسار: الميكانيكا المدارية · نحو 60 دقيقة · أرقام متحقق منها عند البناء: 2026-10-16

خطوة بخطوة

1. $$A=\sin\Delta\nu\sqrt{\frac{r_1r_2}{1-\cos\Delta\nu}},\qquad y(z)=r_1+r_2+A\,\frac{zS(z)-1}{\sqrt{C(z)}}$$
   الثابت الهندسي A والدالة المساعدة y(z) (دوال ستومبف C و S).
2. $$\sqrt{\mu}\,\Delta t=\left(\frac{y}{C}\right)^{3/2}S+A\sqrt{y}$$
   معادلة زمن الرحلة: نحل لإيجاد z بأداة إيجاد الجذور.
3. $$f=1-\frac{y}{r_1},\quad g=A\sqrt{\frac{y}{\mu}},\quad \dot g=1-\frac{y}{r_2},\quad \mathbf v_1=\frac{\mathbf r_2-f\mathbf r_1}{g},\quad \mathbf v_2=\frac{\dot g\,\mathbf r_2-\mathbf r_1}{g}$$
   تعطي معاملات لاغرانج السرعات.

# universal-variable Lambert (Curtis Alg. 5.2): see scripts/learn_calc.py lambert()
from learn_calc import lambert, propagate
v1, v2 = lambert([7000, 0, 0], [0, 8000, 0], 3600)
print(v1, v2)

تمارين

1. بحث: ما الذي يغيّره إيزو (2015) مقارنة بطريقة المتغيرات الشاملة؟

   عرض الحل

   متغير واحد عديم الأبعاد x مع تخمين ابتدائي جيد وتكرارات هاوسهولدر (من الرتبة الثالثة)، يعالج حالات الدورات المتعددة بمتانة وبعدد قليل جدًا من التكرارات.

المراجع

• D. Izzo, "Revisiting Lambert’s problem", Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 121, 1–15 (2015). doi:10.1007/s10569-014-9587-y
• R. H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, rev. ed., AIAA, 1999.
• D. A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed., Microcosm Press, 2013.
• H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, 4th ed., Butterworth-Heinemann (Elsevier), 2020.

اختبر فهمك