Física paso a paso

Leyes de Newton y conservación

• Ciclo técnico (college comunitario)
• Grado (1.º–4.º)

Itinerario: física · Unos 25 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},\qquad \mathbf p=m\mathbf v$$
   Segunda ley en forma de momento.
2. $$\mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21}\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}(\mathbf p_1+\mathbf p_2)=0$$
   Tercera ley: las fuerzas internas se anulan y el momento total se conserva.
3. $$W=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Delta\left(\tfrac12mv^2\right)$$
   Teorema trabajo–energía.
4. $$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},\qquad v_2=\frac{(m_2-m_1)u_2+2m_1u_1}{m_1+m_2}$$
   Se resuelven juntas la conservación del momento y de la energía cinética en un choque elástico.

m1, u1, m2, u2 = 2.0, 3.0, 1.0, 0.0
v1 = ((m1-m2)*u1 + 2*m2*u2) / (m1+m2)
v2 = ((m2-m1)*u2 + 2*m1*u1) / (m1+m2)
print(v1, v2, m1*v1 + m2*v2, 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2)

Práctica con corrección automática

1. Un carro de 1 kg a 4 m/s choca con uno de 3 kg en reposo (elástico). ¿Velocidad del carro de 3 kg después, en m/s?

   m/s Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   v₂ = 2·1·4/4 = 2,0 m/s; el carro ligero rebota a -2,0 m/s.

Práctica

1. Una pelota cae 20 m desde el reposo (sin aire). ¿A qué velocidad llega abajo?

   Ver la solución

   mgh = ½mv², luego v = √(2gh) = 19,81 m/s, sin depender de la masa.

Referencias

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• MIT OpenCourseWare, 8.01 Classical Mechanics and 8.02 Electricity and Magnetism.

Proyectiles con resistencia del aire (EDO numérica)

• Grado (1.º–4.º)
• Máster

Itinerario: física · Unos 40 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$m\dot{\mathbf v}=m\mathbf g-\tfrac12\rho C_DA\,|\mathbf v|\,\mathbf v$$
   Resistencia cuadrática, opuesta a la velocidad.
2. $$\dot v_x=-k|\mathbf v|v_x,\quad \dot v_y=-g-k|\mathbf v|v_y,\qquad k=\frac{\rho C_DA}{2m}$$
   Acopladas por |v|: sin solución elemental.
3. $$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_DA}}$$
   Velocidad terminal: la resistencia equilibra el peso.
4. $$\mathbf s_{n+1}=\mathbf s_n+\tfrac{\Delta t}{6}(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4)$$
   RK4: el error global baja como Δt⁴.

import math
m, d, cd, rho, g = 0.145, 0.074, 0.35, 1.225, 9.80665
k = 0.5*rho*cd*math.pi*d*d/4/m
def f(s):
    x, y, vx, vy = s; v = math.hypot(vx, vy)
    return [vx, vy, -k*v*vx, -g - k*v*vy]
s, dt = [0, 0, 40*math.cos(math.radians(35)), 40*math.sin(math.radians(35))], 1e-3
while s[1] >= 0:
    a = f(s); b = f([s[i]+dt/2*a[i] for i in range(4)])
    c = f([s[i]+dt/2*b[i] for i in range(4)]); e = f([s[i]+dt*c[i] for i in range(4)])
    s = [s[i]+dt/6*(a[i]+2*b[i]+2*c[i]+e[i]) for i in range(4)]
print(s[0])

Práctica con corrección automática

1. Misma pelota y velocidad, lanzada a 45°: ¿alcance con resistencia, en m? (Usa el Physics Lab o el Python de arriba.)

   m Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   R(45°) = 94,8 m, frente a 93,9 m a 35° y 163,2 m en el vacío a 45°.

Práctica

1. ¿Por qué la pelota baja más empinada de lo que subió?

   Ver la solución

   La resistencia quita velocidad horizontal todo el tiempo, mientras la gravedad añade velocidad vertical al bajar, así que el ángulo de bajada es más empinado.

Referencias

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• W. H. Press et al., Numerical Recipes, 3rd ed., Cambridge University Press, 2007.
• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.

Osciladores: simple, amortiguado y autovalores

• Grado (1.º–4.º)
• Máster

Itinerario: física · Unos 35 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$m\ddot x+c\dot x+kx=0$$
   Ley de Newton con fuerza elástica y amortiguamiento viscoso.
2. $$x=e^{st}\;\Rightarrow\;s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0,\quad \omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}$$
   Ecuación característica.
3. $$s=-\zeta\omega_n\pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\quad(\zeta<1)$$
   Subamortiguado: par complejo; parte real = tasa de decaimiento, parte imaginaria = frecuencia amortiguada.
4. $$\dot{\mathbf x}=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega_n^2&-2\zeta\omega_n\end{pmatrix}\mathbf x,\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}$$
   Lo mismo como sistema de primer orden: los autovalores de la matriz son las raíces s. Es exactamente el análisis de periodo corto de un avión.

import numpy as np
m, c, k = 1.0, 2.0, 16.0
A = np.array([[0, 1], [-k/m, -c/m]])
s = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(k/m); z = c/(2*np.sqrt(k*m))
print(s, wn, z, 1/(2*z))

Práctica con corrección automática

1. m = 0,5 kg, k = 8 N/m, c = 1,2 N·s/m. ¿Amortiguamiento ζ?

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   ζ = 1,2 / (2·2) = 0,30; ω_n = 4 rad/s.

Práctica

1. ¿Cómo es el amortiguamiento crítico (ζ = 1) y dónde se usa?

   Ver la solución

   Una raíz real doble: la vuelta al reposo más rápida sin sobrepasar. Cierrapuertas y agujas de instrumentos se diseñan cerca de ese valor.

Referencias

• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

• Máster
• Doctorado / investigación

Itinerario: física · Unos 45 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$S=\int L(q,\dot q,t)\,dt,\quad \delta S=0\;\Rightarrow\;\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$
   El principio de Hamilton da la ecuación de Euler–Lagrange.
2. $$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta\;\Rightarrow\;\ddot\theta=-\frac{g}{\ell}\sin\theta$$
   Péndulo, con el ángulo como coordenada.
3. $$T=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_0}{2}\;\Longleftrightarrow\;T=\frac{2\pi\sqrt{\ell/g}}{\operatorname{AGM}(1,\cos\frac{\theta_0}{2})}$$
   Periodo exacto por conservación de la energía; la media aritmético-geométrica calcula rápido la integral elíptica K.
4. $$H=\sum_i p_i\dot q_i-L,\quad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q};\qquad \frac{\partial L}{\partial q}=0\Rightarrow p=\text{const}$$
   Ecuaciones de Hamilton. Noether: una coordenada cíclica implica un momento conservado (p. ej., el momento angular en una fuerza central).

import math
def agm(a, b):
    while abs(a-b) > 1e-15: a, b = (a+b)/2, math.sqrt(a*b)
    return a
L, g, th0 = 1.0, 9.80665, math.radians(60)
T0 = 2*math.pi*math.sqrt(L/g)
print(T0, T0/agm(1, math.cos(th0/2)))

Práctica con corrección automática

1. Péndulo ℓ = 2 m soltado a 90°. ¿Periodo exacto, en s?

   s Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   T₀ = 2,8375 s; T = 3,3492 s (un 18 % más).

Práctica

1. En un problema de fuerza central en coordenadas polares, ¿qué momento se conserva y por qué?

   Ver la solución

   L no depende del ángulo φ (simetría de rotación), así que p_φ = mr²φ̇, el momento angular, es constante: es la segunda ley de Kepler.

Referencias

• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2002.
• J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.

Electromagnetismo, ecuaciones de Maxwell y plasma espacial

• Grado (1.º–4.º)
• Máster

Itinerario: física · Unos 40 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$\nabla\!\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\!\cdot\mathbf B=0,\quad \nabla\!\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\!\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$
   Ecuaciones de Maxwell (SI).
2. $$\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\;\Rightarrow\;c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$
   En el vacío, se toma el rotacional de la ley de Faraday: ecuación de onda con velocidad c.
3. $$m\dot{\mathbf v}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\;\Rightarrow\;r_g=\frac{mv_\perp}{|q|B},\quad \omega_g=\frac{|q|B}{m}$$
   Fuerza de Lorentz: giro circular perpendicular a B.
4. $$f_{pe}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
   Frecuencia de plasma electrónica: las ondas de radio por debajo no atraviesan el plasma.

import math
mp, e, me, eps0 = 1.67262192369e-27, 1.602176634e-19, 9.1093837015e-31, 8.8541878128e-12
v, B, n = 4.0e5, 5e-9, 5e6
rg = mp*v/(e*B); wg = e*B/mp
fpe = math.sqrt(n*e*e/(eps0*me))/(2*math.pi)
print(rg/1e3, 2*math.pi/wg, fpe/1e3)

Práctica con corrección automática

1. Un electrón a 1000 km/s perpendicular a un campo de 30 μT (aproximadamente el campo terrestre en superficie). ¿Radio de giro, en m?

   m Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   r_g = 9,109e-31 · 1e6 / (1,602e-19 · 3e-5) = 0,190 m.

Práctica

1. ¿Por qué importa físicamente ∇·B = 0?

   Ver la solución

   No hay monopolos magnéticos: las líneas de campo no empiezan ni terminan, se cierran. Los códigos numéricos de plasma deben respetarlo o producen fuerzas falsas.

Referencias

• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press, 2017.
• F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, 3rd ed., Springer, 2016.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Termodinámica y mecánica estadística

• Ciclo técnico (college comunitario)
• Grado (1.º–4.º)
• Máster

Itinerario: física · Unos 35 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_BT)}$$
   Distribución de velocidades de Maxwell–Boltzmann.
2. $$\tfrac12m\langle v^2\rangle=\tfrac32k_BT\;\Rightarrow\;v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}},\qquad \bar v=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}$$
   Momentos de la distribución (equipartición).
3. $$dU=\delta Q-\delta W,\qquad dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$
   Primer principio (energía) y segundo principio (entropía).
4. $$\eta\le\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}$$
   Ningún motor entre dos focos supera a Carnot.

import math
kB, NA = 1.380649e-23, 6.02214076e23
R, M, T = kB*NA, 0.0280134, 300.0
print(math.sqrt(3*R*T/M), math.sqrt(8*R*T/(math.pi*M)))

Práctica con corrección automática

1. ¿Velocidad cuadrática media del oxígeno O₂ (31,9988 g/mol) a 300 K, en m/s?

   m/s Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   v_rms = √(3RT/M) = 483,6 m/s (frente a 516,8 m/s para N₂).

Práctica

1. Un motor funciona entre 600 K y 300 K. ¿Cuál es el mayor rendimiento posible?

   Ver la solución

   η_C = 1 − 300/600 = 0,50, es decir, 50 %. Los motores reales consiguen bastante menos por rozamiento y transferencia de calor a velocidad finita.

Referencias

• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics, Addison-Wesley, 2000.
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021.
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Fluidos: Navier–Stokes y número de Reynolds

• Grado (1.º–4.º)
• Máster
• Doctorado / investigación

Itinerario: física · Unos 40 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u,\qquad \nabla\!\cdot\mathbf u=0$$
   Navier–Stokes incompresible y continuidad.
2. $$\mathbf u^*=\frac{\mathbf u}{U},\ \mathbf x^*=\frac{\mathbf x}{L}\;\Rightarrow\;\ldots=-\nabla^*p^*+\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\mathbf u^*,\quad Re=\frac{\rho UL}{\mu}$$
   El escalado deja un solo parámetro: el número de Reynolds.
3. $$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\;\Rightarrow\;Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}$$
   Flujo estacionario en tubería: solución exacta (Hagen–Poiseuille), válida mientras Re esté por debajo de unos 2300.
4. $$\mu(T)=\frac{1.458\times10^{-6}\,T^{3/2}}{T+110.4}\ \ \text{Pa·s}$$
   Ley de Sutherland para la viscosidad del aire (la usada en la Atmósfera Estándar de 1976).

rho, U, L, T = 0.363918, 250.0, 5.0, 216.65
mu = 1.458e-6*T**1.5/(T + 110.4)
print(mu, rho*U*L/mu)

Práctica con corrección automática

1. Aire a nivel del mar (ρ = 1,225 kg/m³, T = 288,15 K) a 30 m/s sobre una maqueta de cuerda 0,2 m. ¿Número de Reynolds? (Escribe el número completo, p. ej. 123000.)

   Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   Re = 1,225 · 30 · 0,2 / 1,789×10⁻⁵ ≈ 410757: unas 80 veces menor que el ala en crucero.

Práctica

1. Duplicar el radio de una tubería con la misma caída de presión multiplica el caudal laminar por cuánto?

   Ver la solución

   Q ∝ R⁴, así que por 16. Ejemplo: R = 0,5 mm, L = 10 cm, Δp = 1 kPa, agua μ = 1,0 mPa·s da Q = 0,245 mL/s.

Referencias

• F. M. White, Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016.
• J. D. Anderson Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.

Relatividad para órbitas: relojes GPS y Mercurio

• Máster
• Doctorado / investigación

Itinerario: física · Unos 45 min · Números verificados al generar: 2026-10-16

Paso a paso

1. $$\frac{d\tau}{dt}\approx1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2},\qquad \Phi=-\frac{GM}{r}$$
   Ritmo de reloj en campo débil: término de potencial (RG) más término de velocidad (RE).
2. $$\left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{GR}=\frac{GM}{c^2}\left(\frac1{R_\oplus}-\frac1a\right),\qquad \left.\frac{\Delta f}{f}\right|_{SR}=-\frac{GM}{2ac^2}$$
   Satélite frente a suelo, órbita circular v² = GM/a (aquí se desprecia el movimiento del reloj en tierra).
3. $$\Delta\varpi=\frac{6\pi GM_\odot}{c^2a(1-e^2)}\ \text{per orbit}$$
   Avance del perihelio en RG a partir de la ecuación de la órbita de Schwarzschild.

GM, c, R, a = 3.986004418e14, 299792458.0, 6378137.0, 26561750.0
gr = GM*(1/R - 1/a)/c**2*86400e6
sr = -GM/(2*a*c**2)*86400e6
print(gr, sr, gr + sr, (gr + sr)*1e-6*c/1e3)

Práctica con corrección automática

1. ¿Avance relativista del perihelio de Venus (a = 1,0821×10¹¹ m, e = 0,006772, periodo 224,701 días), en segundos de arco por siglo?

   ″/century Comprobar Mostrar una pista
   Solución completa

   Δϖ ≈ 8,62″ por siglo para Venus, frente a 42,98″ para Mercurio (Will 2014 da 42,98″ para Mercurio).

Práctica

1. ¿Por qué la RG cambia más la órbita de Mercurio que la de la Tierra?

   Ver la solución

   El avance por órbita va como 1/(a(1−e²)), y Mercurio completa unas 4 veces más órbitas por siglo, así que el efecto por siglo es mucho mayor cerca del Sol.

Referencias

• N. Ashby, “Relativity in the Global Positioning System”, Living Reviews in Relativity 6, 1 (2003).
• C. M. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Reviews in Relativity 17, 4 (2014).
• E. Tiesinga et al., “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

Comprueba lo que entendiste