Équations différentielles

Modéliser le changement : équations du premier ordre, oscillations et résonance, transformées de Laplace, systèmes et plans de phase, stabilité, méthodes numériques et équation de la chaleur, avec quatre TP sur ordinateur consacrés aux épidémies, aux prédateurs et aux proies, au climat et aux vibrations des éoliennes.

NASA Blue MarbleNASA/JPL-CaltechNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)CNES (PIA25623)

Cours › MATH 220

Télécharger le guide d’étude en PDF (anglais)

À propos de ce cours

Ceci est le plan d’un cours gratuit en autonomie rédigé par Saving Planets. Ce n’est pas un cours universitaire : il ne donne aucun crédit académique et aucun établissement n’y participe.

Son contenu suit un cours de deuxième année d’équations différentielles ordinaires, sur le modèle des thèmes et du niveau de MIT OpenCourseWare 18.03 et des manuels gratuits de Jiří Lebl (Notes on Diffy Qs) et de William Trench, ainsi que des programmes de cours comme Georgia Tech MATH 2552 et Stanford Math 53. Nous renvoyons aux ressources gratuites tout au long du cours. Aucun de ces auteurs ni aucune de ces organisations ne cautionne cette page.

Ce que nous ajoutons : chaque unité est reliée à un vrai problème planétaire avec une source publique citée (lacs, méthane, pêcheries, carbone, climat, épidémies, éoliennes), chaque nombre de la page est recalculé par un script de vérification avant sa mise en ligne, et quatre TP sur ordinateur résolvent numériquement de vrais modèles.

Suivez-le dans l’ordre. Chaque unité comporte des objectifs, des notions clés, des équations, des exemples pas à pas, des exercices corrigés en détail, des erreurs fréquentes, des cartes mémoire et un quiz. Votre progression est enregistrée uniquement dans ce navigateur.

Comment ce cours aide à sauver la planète

Presque tout modèle de la planète vivante est une équation différentielle : la vitesse à laquelle un lac évacue un polluant, la reconstitution d’un stock de poissons, les échanges de carbone entre l’air et la mer, la rapidité du réchauffement de la Terre quand son bilan énergétique change, la propagation d’une épidémie et l’oscillation d’un mât d’éolienne.

Chaque unité se termine par une courte section sourcée montrant comment ses idées aident à la fois les humains et la nature. Les paramètres de modèle qui ne viennent pas d’une source sont signalés comme valeurs d’exemple.

Haut de page

Avant de commencer

Prérequis

  • Analyse I et II : dérivées, intégrales, décomposition en éléments simples, séries de Taylor.
  • Matrices, déterminants et valeurs propres des matrices 2 × 2 (vus brièvement dans l’unité 6).
  • L’analyse III aide pour l’équation de la chaleur mais n’est pas obligatoire.

Comment étudier

  • Vérifiez chaque solution en la réinjectant dans l’équation.
  • Faites chaque exercice sur papier avant d’ouvrir la réponse.
  • Esquissez un champ de directions ou un portrait de phase avant de résoudre ; sachez à quoi la réponse devrait ressembler.
  • Demandez-vous pour chaque modèle : quelles sont les unités, et le comportement à long terme a-t-il un sens ?
  • Résolvez aussi numériquement un problème de chaque unité, et comparez avec la formule.
  • Refaites les quiz quelques jours plus tard. La pratique espacée vaut mieux qu’une longue séance.

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

  • Un ordinateur ou une tablette avec un tableur.
  • Une calculatrice graphique gratuite comme Desmos.
  • Facultatif : Python avec NumPy (gratuit dans Google Colab).

Haut de page

Programme suggéré sur 15 semaines

Environ 6 à 9 heures par semaine : lecture, exercices et, les semaines de TP, le TP.

SemaineUnitéThèmesLecture
1Équations du premier ordreChamps de directions ; équations à variables séparablesLebl 1.1–1.3
2Équations du premier ordreÉquations linéaires et exactes ; existence et unicitéLebl 1.2, 1.4, 1.8
3Modélisation avec des équations du premier ordreModélisation : mélange, décroissance, croissance logistique, prélèvementLebl 1.6
4Équations linéaires du second ordre et oscillationsÉquations linéaires du second ordre ; équation caractéristiqueLebl 2.1–2.2
5Équations linéaires du second ordre et oscillationsVibrations mécaniques et amortissementLebl 2.4
6Vibrations forcées et résonanceCoefficients indéterminés ; oscillation forcée et résonance ; TP DLebl 2.5–2.6
7Transformées de LaplaceTransformées de Laplace ; résolution de problèmes de CauchyLebl 6.1–6.2
8Transformées de LaplaceFonctions échelon, impulsions, convolution ; entraînement au partielLebl 6.3–6.4
9Systèmes linéaires, valeurs propres et plans de phaseSystèmes ; matrices et valeurs propresLebl 3.1–3.4
10Systèmes linéaires, valeurs propres et plans de phasePortraits de phase et classificationLebl 3.5
11Systèmes non linéaires et stabilitéSystèmes non linéaires, linéarisation ; proies-prédateurs ; TP BLebl 8.1–8.3
12Systèmes non linéaires et stabilitéStabilité ; épidémies SIR ; TP ALebl 8.2–8.3
13Méthodes numériquesMéthodes numériques ; modèle de bilan énergétique ; TP CLebl 1.7, Trench 3
14Solutions en séries, séries de Fourier et équation de la chaleurSolutions en séries ; séries de Fourier ; équation de la chaleurLebl 7.1–7.2, 4.2, 4.6
15RévisionRévision et série d’exercices finaleToutes les unités

Haut de page

Votre progression

Cochez les unités et les TP à mesure que vous les terminez, et faites les quiz. La progression et les scores sont enregistrés uniquement dans ce navigateur et ne nous sont jamais envoyés.

Activez JavaScript pour suivre votre progression.

Haut de page

Unité 1 · Semaines 1–2

Équations du premier ordre

Champs de directions, équations à variables séparables, équations linéaires avec facteur intégrant, équations exactes, et conditions d’existence et d’unicité d’une solution.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Lire un champ de directions et esquisser des solutions.
  • Résoudre des équations du premier ordre à variables séparables et linéaires.
  • Reconnaître et résoudre des équations exactes.
  • Énoncer le théorème d’existence et d’unicité et repérer quand il ne s’applique pas.

Notions clés

  • Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées ; une solution est une fonction qui la rend vraie.
  • Variables séparables : dy/dx = g(x)h(y). Divisez et intégrez les deux membres.
  • Linéaire : y′ + p(x)y = q(x). Multipliez par le facteur intégrant μ = e^(∫p dx) pour que le membre de gauche devienne (μy)′.
  • Exacte : M dx + N dy = 0 avec M_y = N_x s’écrit dF = 0, donc F(x, y) = C.
  • Si f et ∂f/∂y sont continues près de (x₀, y₀), alors y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ a exactement une solution au voisinage. Les solutions peuvent néanmoins exploser en temps fini.

Équations clés

dyh(y)=g(x) dx\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx
Équation à variables séparables
μ=e∫p dx,(μy)′=μq\mu=e^{\int p\,dx},\quad(\mu y)'=\mu q
Facteur intégrant
My=Nx⇒F(x,y)=CM_y=N_x\Rightarrow F(x,y)=C
Équation exacte
y′=f(x,y), y(x0)=y0y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0
Problème de Cauchy

Exemples résolus pas à pas

Exemple 1.1 Résolvez dy/dx = xy, y(0) = 2, et calculez y(1).

Afficher les étapes
  1. dy/y = x dx, donc ln|y| = x²/2 + C.
  2. y = 2e^(x²/2).
  3. y(1) = 2e^0.5.

Réponse : ≈ 3.297.

Exemple 1.2 Résolvez y′ + 2y = 4, y(0) = 0, et calculez y(1).

Afficher les étapes
  1. μ = e^(2t), donc (e^(2t)y)′ = 4e^(2t).
  2. e^(2t)y = 2e^(2t) + C ; y(0) = 0 donne C = −2.
  3. y = 2(1 − e^(−2t)).

Réponse : y(1) ≈ 1.729, qui tend vers l’état stationnaire 2.

Exemple 1.3 Résolvez 2xy dx + (x² + 2y) dy = 0 avec y(0) = 1, et calculez y quand x = 1.

Afficher les étapes
  1. M_y = 2x = N_x : exacte.
  2. F = x²y + y²; F(0, 1) = 1.
  3. En x = 1 : y + y² = 1, donc y = (−1 + √5)/2.

Réponse : ≈ 0.618.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Résolvez y′ = y², y(0) = 1. Où la solution existe-t-elle ?

    Afficher la réponse

    y = 1/(1 − t) ; elle explose en t = 1, bien que y² soit régulière partout.

  2. Résolvez t y′ + y = t² pour t > 0.

    Afficher la réponse

    (ty)′ = t², donc y = t²/3 + C/t.

  3. Résolvez y′ = −y/τ.

    Afficher la réponse

    y = y₀e^(−t/τ).

  4. (y cos x) dx + (sin x + 2y) dy = 0 est-elle exacte ? Résolvez.

    Afficher la réponse

    M_y = cos x = N_x ; F = y sin x + y² = C.

  5. y′ = √y, y(0) = 0 a-t-elle une solution unique ?

    Afficher la réponse

    Non : y = 0 et y = t²/4 conviennent toutes deux ; ∂f/∂y = 1/(2√y) n’est pas continue en y = 0.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Toute équation du premier ordre est à variables séparables.

    En réalité : y′ = x + y ne l’est pas ; elle est linéaire.

  • Idée reçue : Oublier +C jusqu’à la fin ne pose pas de problème.

    En réalité : Ajoutez C au moment d’intégrer, avant d’isoler y, sinon la condition initiale donne un mauvais résultat.

  • Idée reçue : Un second membre régulier signifie que la solution existe pour toujours.

    En réalité : y′ = y² explose en temps fini.

Cartes mémoire

  • À variables séparables

    dy/dx = g(x)h(y).

  • Linéaire du premier ordre

    y′ + p y = q.

  • Facteur intégrant

    μ = e^(∫p dx).

  • Exacte

    M_y = N_x; F = C.

  • Problème de Cauchy

    Une EDO plus y(x₀) = y₀.

  • Existence et unicité

    f, f_y continues ⇒ une solution locale.

Quiz d’autocontrôle

1. Le facteur intégrant de y′ + 3y = x est…

Afficher la réponse

e^(3x). e^(∫3 dx).

2. M dx + N dy = 0 est exacte quand…

Afficher la réponse

M_y = N_x. Les dérivées croisées de F coïncident.

3. y′ = ky a pour solution…

Afficher la réponse

y₀e^(kt). À variables séparables.

4. L’unicité peut échouer quand…

Afficher la réponse

∂f/∂y est discontinue. par ex. y′ = √y en 0.

Comment cela aide à sauver la planète

L’équation du premier ordre la plus simple, y′ = −y/τ, décrit comment un polluant s’élimine d’un lac bien mélangé ou comment un gaz quitte l’atmosphère. Son seul paramètre, l’échelle de temps τ, décide si une erreur s’estompe en quelques années ou dure des siècles (unité 2).

Sur Saving Planets : Page Rivières

Sources : U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · Lebl, 1.4 Linear equations and the integrating factor

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 2 · Semaine 3

Modélisation avec des équations du premier ordre

Traduire une situation en équation : mélange et pollution des lacs, décroissance et durées de vie, refroidissement de Newton, croissance logistique, prélèvement, et équilibres avec leur stabilité.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Construire des modèles « débit entrant moins débit sortant ».
  • Interpréter les constantes de temps et les durées de vie.
  • Trouver les équilibres d’équations autonomes et classer leur stabilité.
  • Utiliser le modèle logistique avec prélèvement pour trouver le rendement maximal durable.

Notions clés

  • Taux de variation = débit entrant − débit sortant. Écrivez les unités de chaque terme.
  • Un lac bien mélangé de temps de séjour τ perd un polluant au rythme C/τ dès que l’apport est propre.
  • Pour une équation autonome y′ = f(y), les équilibres vérifient f(y) = 0 ; un équilibre est stable si f′(y) < 0.
  • La croissance logistique P′ = rP(1 − P/K) se stabilise à K. Avec un prélèvement constant H, le plus grand prélèvement durable est rK/4, en P = K/2.

Équations clés

dxdt=(rate in)−(rate out)\frac{dx}{dt}=(\text{rate in})-(\text{rate out})
Loi de bilan
C(t)=C0e−t/τC(t)=C_0e^{-t/\tau}
Renouvellement avec un temps de séjour τ
P′=rP(1−PK)−HP'=rP\left(1-\frac PK\right)-H
Croissance logistique avec prélèvement
Hmax⁡=rK4H_{\max}=\frac{rK}{4}
Rendement maximal durable

Exemples résolus pas à pas

Exemple 2.1 Le temps de séjour du lac Érié est de 2.6 ans et celui du lac Supérieur de 191 ans (EPA). Si l’apport d’un polluant cesse, combien de temps faut-il pour que la concentration de chaque lac tombe à 10 %, en supposant chaque lac bien mélangé ?

Afficher les étapes
  1. C/C₀ = e^(−t/τ) = 0.1, donc t = τ ln 10.
  2. Érié : 2.6 × 2.303 = 5.99 ans.
  3. Supérieur : 191 × 2.303 = 440 ans.

Réponse : Environ 6 ans pour l’Érié mais environ 440 pour le Supérieur. La prévention compte le plus là où le renouvellement est lent.

Exemple 2.2 L’EPA indique que le méthane reste en moyenne une dizaine d’années dans l’atmosphère. Traitez une impulsion de méthane comme décroissant avec τ = 10 ans. Quelle fraction reste-t-il après 30 ans ?

Afficher les étapes
  1. Fraction = e^(−30/10) = e^(−3).

Réponse : Environ 5 %. Réduire les fuites de méthane porte donc ses fruits en quelques décennies, contrairement au CO₂, qui persiste bien plus longtemps.

Exemple 2.3 Un stock de poissons suit P′ = 0.4P(1 − P/10000) − H (tonnes, années ; valeurs d’exemple). Trouvez le rendement maximal durable.

Afficher les étapes
  1. La croissance rP(1 − P/K) est maximale en P = K/2 = 5000 t.
  2. Elle y vaut rK/4 = 0.4 × 10000/4.

Réponse : 1000 tonnes par an. Prélever davantage mène le stock à l’effondrement.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Un café à 90 °C refroidit dans une pièce à 20 °C selon T′ = −0.1(T − 20) (minutes). Calculez T(10).

    Afficher la réponse

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. Une cuve de 100 L d’eau douce reçoit une saumure à 0.5 g/L à raison de 2 L/min et se vide à 2 L/min. Calculez la quantité de sel au bout de 50 minutes.

    Afficher la réponse

    x′ = 1 − x/50, x = 50(1 − e^(−t/50)); x(50) = 50(1 − e^(−1)) ≈ 31.6 g.

  3. Trouvez et classez les équilibres de y′ = y(1 − y).

    Afficher la réponse

    y = 0 (f′ = 1, instable) et y = 1 (f′ = −1, stable).

  4. Dans l’exemple de la pêcherie, que se passe-t-il si H = 1200 t/an ?

    Afficher la réponse

    rP(1 − P/K) − H < 0 pour tout P, donc le stock décline jusqu’à zéro.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Le temps de séjour est le temps nécessaire pour éliminer tout le polluant.

    En réalité : Après un τ, il en reste 37 % ; la décroissance exponentielle n’atteint jamais tout à fait zéro.

  • Idée reçue : Plus d’effort de pêche signifie toujours plus de prises.

    En réalité : Au-delà du rendement maximal durable, prélever davantage réduit le stock et les prises futures.

  • Idée reçue : Un équilibre est toujours l’état final du système.

    En réalité : Seuls les équilibres stables attirent les solutions voisines.

Cartes mémoire

  • Loi de bilan

    Entrée − sortie.

  • Constante de temps

    τ dans e^(−t/τ) ; 63 % du changement est accompli après τ.

  • Temps de séjour

    Volume du lac ÷ débit sortant.

  • Équilibre

    f(y*) = 0.

  • Test de stabilité

    f′(y*) < 0 stable.

  • Rendement maximal durable

    rK/4 en P = K/2.

Quiz d’autocontrôle

1. Avec τ = 5 ans, la fraction restante après 5 ans est…

Afficher la réponse

e^(−1) ≈ 0.37. e^(−t/τ) en t = τ.

2. Le rendement maximal durable de la croissance logistique est…

Afficher la réponse

rK/4. Maximum de rP(1 − P/K).

3. y* est un équilibre stable de y′ = f(y) si…

Afficher la réponse

f′(y*) < 0. Les solutions voisines sont ramenées.

4. Quel lac se remet le plus vite d’une pollution ?

Afficher la réponse

Érié (2.6 ans). Temps de séjour plus court.

Comment cela aide à sauver la planète

L’EPA indique des temps de séjour des Grands Lacs allant de 2.6 ans (Érié) à 191 ans (Supérieur), c’est pourquoi les substances toxiques qui entrent dans le lac Supérieur sont un problème sur plusieurs générations.

Les halieutes de la NOAA évaluent les stocks avec des modèles de population fondés sur ces idées ; le rendement maximal durable du modèle logistique est le point de départ classique.

Sur Saving Planets : Pôle Océans · Page Rivières

Sources : U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · U.S. EPA: Understanding global warming potentials · NOAA Fisheries : évaluations des populations

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 3 · Semaines 4–5

Équations linéaires du second ordre et oscillations

Équations linéaires à coefficients constants, équation caractéristique et vibrations libres : non amorties, sous-amorties, à amortissement critique et sur-amorties.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Résoudre ay″ + by′ + cy = 0 avec l’équation caractéristique.
  • Traiter les racines réelles, doubles et complexes.
  • Modéliser des systèmes masse-ressort-amortisseur.
  • Classer l’amortissement et calculer la pulsation propre et l’amortissement critique.

Notions clés

  • Essayez y = e^(rt) : ar² + br + c = 0. Deux racines réelles donnent deux exponentielles ; une racine double donne (c₁ + c₂t)e^(rt) ; des racines complexes α ± iβ donnent e^(αt)(c₁ cos βt + c₂ sin βt).
  • Superposition : les sommes de solutions d’une équation linéaire homogène sont des solutions.
  • mx″ + cx′ + kx = 0 a pour pulsation propre ω₀ = √(k/m).
  • Un amortissement c < 2√(mk) oscille en décroissant (sous-amorti) ; c = 2√(mk) revient le plus vite sans dépassement (critique).

Équations clés

ar2+br+c=0ar^2+br+c=0
Équation caractéristique
y=eαt(c1cos⁡βt+c2sin⁡βt)y=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)
Racines complexes α ± iβ
mx′′+cx′+kx=0, ω0=k/mmx''+cx'+kx=0,\ \omega_0=\sqrt{k/m}
Masse-ressort-amortisseur
ccrit=2mkc_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}
Amortissement critique

Exemples résolus pas à pas

Exemple 3.1 Résolvez y″ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. Quelle est la période ?

Afficher les étapes
  1. r² + 4 = 0, r = ±2i.
  2. y = cos 2t.
  3. Période 2π/2.

Réponse : y = cos 2t, période π ≈ 3.14.

Exemple 3.2 Résolvez y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, et calculez y(1).

Afficher les étapes
  1. r = −1 ± 2i.
  2. y = e^(−t)(cos 2t + ½ sin 2t) satisfait les deux conditions.
  3. y(1) = e^(−1)(cos 2 + ½ sin 2).

Réponse : ≈ 0.0142 : l’oscillation s’est presque éteinte.

Exemple 3.3 Une masse de 2 kg est suspendue à un ressort de k = 50 N/m. Calculez ω₀, la fréquence en hertz et l’amortissement critique.

Afficher les étapes
  1. ω₀ = √(50/2) = 5 rad/s.
  2. f = 5/(2π) = 0.796 Hz.
  3. c_crit = 2√(2 × 50) = 20 N·s/m.

Réponse : 5 rad/s, 0.80 Hz, 20 N·s/m.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Résolvez y″ − 3y′ + 2y = 0.

    Afficher la réponse

    r = 1, 2: y = c₁eᵗ + c₂e^(2t).

  2. Résolvez y″ + 2y′ + y = 0.

    Afficher la réponse

    Racine double r = −1 : y = (c₁ + c₂t)e^(−t).

  3. Classez x″ + 6x′ + 5x = 0.

    Afficher la réponse

    r = −1, −5 : sur-amorti (c = 6 > 2√5).

  4. Calculez la période de x″ + 9x = 0.

    Afficher la réponse

    ω = 3, période 2π/3 ≈ 2.09.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Des racines complexes signifient des solutions complexes.

    En réalité : Les parties réelle et imaginaire donnent des solutions réelles : e^(αt)cos βt et e^(αt)sin βt.

  • Idée reçue : Une racine double ne donne qu’une seule solution.

    En réalité : La seconde est t e^(rt).

  • Idée reçue : Plus d’amortissement signifie toujours un retour à l’équilibre plus rapide.

    En réalité : Les systèmes sur-amortis reviennent plus lentement que ceux à amortissement critique.

Cartes mémoire

  • Équation caractéristique

    ar² + br + c = 0.

  • Superposition

    Les sommes de solutions sont des solutions (linéaire homogène).

  • Racine double

    (c₁ + c₂t)e^(rt).

  • Pulsation propre

    ω₀ = √(k/m).

  • Sous-amorti

    Oscille en décroissant.

  • Amortissement critique

    c = 2√(mk).

Quiz d’autocontrôle

1. Les racines 2 ± 3i donnent les solutions…

Afficher la réponse

e^(2t)cos 3t, e^(2t)sin 3t. α = 2, β = 3.

2. Pulsation propre de mx″ + kx = 0 :

Afficher la réponse

√(k/m). r² = −k/m.

3. L’amortissement critique c vaut…

Afficher la réponse

2√(mk). Discriminant nul.

4. y″ + 2y′ + y = 0 est…

Afficher la réponse

à amortissement critique. Racine double.

Comment cela aide à sauver la planète

Toute structure élevée, d’un mât d’éolienne à un pont, a des fréquences propres fixées par sa raideur et sa masse, exactement ω₀ = √(k/m) dans le modèle le plus simple. L’amortissement décide de la vitesse à laquelle s’éteignent les oscillations dues aux rafales, ce qui influe sur la fatigue et la durée de vie de la structure.

Sur Saving Planets : Physique I, unité 8 : oscillations

Sources : DOE des États-Unis : comment fonctionnent les éoliennes ? (en anglais) · Lebl, 2.4 Mechanical vibrations

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 4 · Semaine 6

Vibrations forcées et résonance

Équations non homogènes, coefficients indéterminés, réponse en amplitude d’un oscillateur forcé, battements et résonance.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Trouver des solutions particulières par la méthode des coefficients indéterminés.
  • Écrire la solution générale comme solution homogène plus solution particulière.
  • Calculer l’amplitude en régime permanent d’un oscillateur amorti forcé.
  • Expliquer la résonance et comment les ingénieurs l’évitent.

Notions clés

  • Solution générale = solution homogène + une solution particulière.
  • Devinez la forme à partir du forçage : pour cos ωt, essayez A cos ωt + B sin ωt.
  • Forcé à la pulsation ω, un oscillateur amorti s’installe dans un mouvement permanent d’amplitude X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
  • Près de ω = ω₀, l’amplitude passe par un pic ; avec le taux d’amortissement ζ = c/c_crit, l’amplification dynamique maximale vaut environ 1/(2ζ). Sans amortissement, la réponse croît sans limite.

Équations clés

y=yh+ypy=y_h+y_p
Solution générale
X=F0(k−mω2)2+(cω)2X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}
Amplitude en régime permanent
XF0/k=1(1−r2)2+(2ζr)2, r=ωω0\frac{X}{F_0/k}=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\ r=\frac{\omega}{\omega_0}
Amplification dynamique
y′′+ω2y=cos⁡ωt⇒yp=tsin⁡ωt2ωy''+\omega^2y=\cos\omega t\Rightarrow y_p=\frac{t\sin\omega t}{2\omega}
Résonance pure

Exemples résolus pas à pas

Exemple 4.1 Trouvez une solution particulière de y″ + y = cos 2t.

Afficher les étapes
  1. Essayez y_p = A cos 2t : −4A + A = 1.
  2. A = −1/3.

Réponse : y_p = −⅓ cos 2t (en opposition de phase, car le forçage est au-dessus de la fréquence propre).

Exemple 4.2 Modélisez un mât d’éolienne comme un oscillateur unique de fréquence propre 0.30 Hz et de taux d’amortissement ζ = 0.01 (valeurs d’exemple). Le rotor tourne à 12 tr/min = 0.20 Hz, et trois pales passent devant le mât à 0.60 Hz. Calculez l’amplification dynamique dans chaque cas, et à la résonance.

Afficher les étapes
  1. At 0.20 Hz, r = 0.667: 1/√((1 − 0.444)² + (0.0133)²) = 1.80.
  2. At 0.60 Hz, r = 2: 1/√(9 + 0.0016) = 0.333.
  3. At r = 1: 1/(2ζ) = 50.

Réponse : 1.8 et 0.33, mais 50 à la résonance. C’est pourquoi les concepteurs éloignent la fréquence propre d’un mât des fréquences du rotor et de passage des pales.

Exemple 4.3 Résolvez y″ + y = cos t, y(0) = y′(0) = 0.

Afficher les étapes
  1. Le forçage coïncide avec la fréquence propre, donc essayez y_p = t(A cos t + B sin t).
  2. En substituant, on obtient A = 0, B = ½.
  3. y = ½ t sin t.

Réponse : L’amplitude croît comme t/2 sans limite : résonance pure.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trouvez y_p pour y″ + 3y′ + 2y = 4.

    Afficher la réponse

    y_p = 2.

  2. Trouvez y_p pour y″ − y = eᵗ.

    Afficher la réponse

    eᵗ est solution de l’équation homogène, donc y_p = ½ t eᵗ.

  3. Une masse de 1 kg, k = 100 N/m, c = 2 N·s/m est forcée par 10 cos 10t N. Calculez l’amplitude permanente.

    Afficher la réponse

    k − mω² = 0, donc X = 10/(2 × 10) = 0.5 m.

  4. Pour ζ = 0.05, quelle est l’amplification maximale ?

    Afficher la réponse

    Environ 1/(2 × 0.05) = 10.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La résonance nécessite une force importante.

    En réalité : Une petite force périodique à la fréquence propre produit une forte réponse.

  • Idée reçue : L’amortissement supprime la résonance.

    En réalité : Il plafonne le pic à environ 1/(2ζ), ce qui reste élevé pour les structures peu amorties.

  • Idée reçue : Les coefficients indéterminés fonctionnent pour tout forçage.

    En réalité : Seulement pour les polynômes, exponentielles, sinus et cosinus et leurs produits ; sinon, utilisez la variation des constantes ou Laplace.

Cartes mémoire

  • Solution particulière

    N’importe quelle solution de l’équation forcée.

  • Coefficients indéterminés

    Deviner la forme du forçage.

  • Réponse en amplitude

    X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).

  • Taux d’amortissement

    ζ = c/(2√(mk)).

  • Résonance

    Forte réponse près de ω₀ ; pic ≈ 1/(2ζ).

  • Battements

    Deux fréquences proches créent une enveloppe lente.

Quiz d’autocontrôle

1. Solution générale =

Afficher la réponse

y_h + y_p. Linéarité.

2. La résonance se produit quand la fréquence de forçage est proche de…

Afficher la réponse

la fréquence propre. Dénominateur minimal.

3. Avec ζ = 0.01, l’amplification maximale vaut environ…

Afficher la réponse

50. 1/(2ζ).

4. Un forçage bien au-dessus de ω₀ donne une amplification…

Afficher la réponse

inférieure à 1. ≈ 1/r².

Comment cela aide à sauver la planète

Les éoliennes sont de plus en plus grandes et hautes pour capter plus d’énergie, et leurs mâts et pales sont peu amortis. Éviter la résonance entre la structure et le rotor en rotation est essentiel pour que ces machines d’énergie propre restent sûres et durables. Le TP D l’explore avec un modèle d’exemple.

Sur Saving Planets : Physique I, unité 3 : énergie éolienne

Sources : DOE des États-Unis : comment fonctionnent les éoliennes ? (en anglais) · Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 5 · Semaines 7–8

Transformées de Laplace

Transformer les équations différentielles en algèbre : la transformée et sa table, les dérivées, les fonctions échelon pour les entrées commutées, les impulsions et la convolution.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer des transformées de Laplace à partir de la définition et d’une table.
  • Résoudre des problèmes de Cauchy avec les transformées et les éléments simples.
  • Modéliser des entrées commutées avec des fonctions échelon unité et des décalages.
  • Modéliser des impulsions soudaines avec la fonction delta.

Notions clés

  • L{f}(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt transforme les dérivées en multiplications par s, avec les valeurs initiales intégrées.
  • Résolvez en Y(s), décomposez en éléments simples, puis inversez avec la table.
  • Un interrupteur basculé à l’instant a s’écrit u(t − a) ; la règle de décalage est L{u(t − a)f(t − a)} = e^(−as)F(s).
  • Un choc instantané s’écrit δ(t − a), avec L{δ(t − a)} = e^(−as).

Équations clés

L{f}=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f\}=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
Définition
L{y′}=sY−y(0), L{y′′}=s2Y−sy(0)−y′(0)\mathcal L\{y'\}=sY-y(0),\ \mathcal L\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0)
Dérivées
L{eat}=1s−a, L{sin⁡ωt}=ωs2+ω2\mathcal L\{e^{at}\}=\frac1{s-a},\ \mathcal L\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
Entrées de la table
L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
Règle de décalage

Exemples résolus pas à pas

Exemple 5.1 Résolvez y′ − 2y = e^(3t), y(0) = 1.

Afficher les étapes
  1. sY − 1 − 2Y = 1/(s − 3).
  2. Y = 1/((s − 2)(s − 3)) + 1/(s − 2) = [1/(s − 3) − 1/(s − 2)] + 1/(s − 2).
  3. Y = 1/(s − 3).

Réponse : y = e^(3t). Vérification : 3e^(3t) − 2e^(3t) = e^(3t).

Exemple 5.2 Un lac propre commence à recevoir un apport constant de polluant à t = 2 : y′ + y = u(t − 2), y(0) = 0. Calculez y(3).

Afficher les étapes
  1. (s + 1)Y = e^(−2s)/s.
  2. 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1), donc y = (1 − e^(−(t − 2)))u(t − 2).
  3. y(3) = 1 − e^(−1).

Réponse : ≈ 0.632 du niveau final, une constante de temps après la commutation.

Exemple 5.3 Un oscillateur au repos y″ + 4y = δ(t − 1) reçoit un choc à t = 1. Calculez y(1 + π/4).

Afficher les étapes
  1. (s² + 4)Y = e^(−s).
  2. y = ½ sin(2(t − 1)) u(t − 1).
  3. En t = 1 + π/4 : ½ sin(π/2).

Réponse : 0.5, le premier pic.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Calculez L{t}.

    Afficher la réponse

    1/s².

  2. Inversez 3/(s² + 9).

    Afficher la réponse

    sin 3t.

  3. Résolvez y′ + y = 0, y(0) = 4.

    Afficher la réponse

    Y = 4/(s + 1), y = 4e^(−t).

  4. Résolvez y″ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.

    Afficher la réponse

    Y = 2/(s² + 1), y = 2 sin t.

  5. Calculez L{u(t − 3)}.

    Afficher la réponse

    e^(−3s)/s.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : L{fg} = L{f}L{g}.

    En réalité : Le produit des transformées correspond à la convolution, pas au produit.

  • Idée reçue : Les conditions initiales s’appliquent à la fin.

    En réalité : Elles interviennent immédiatement via L{y′} = sY − y(0).

  • Idée reçue : Les fonctions échelon exigent une résolution par morceaux.

    En réalité : Laplace traite les commutations en une seule fois.

Cartes mémoire

  • Transformée de Laplace

    ∫₀^∞ e^(−st) f dt.

  • L{y′}

    sY − y(0).

  • L{eᵃᵗ}

    1/(s − a).

  • Échelon unité

    u(t − a) : éteint puis allumé.

  • Delta

    δ(t − a) : impulsion instantanée ; L = e^(−as).

  • Convolution

    L{f * g} = FG.

Quiz d’autocontrôle

1. L{y′} =

Afficher la réponse

sY − y(0). Intégration par parties.

2. L{e^(−2t)} =

Afficher la réponse

1/(s + 2). a = −2.

3. Un interrupteur activé à t = 5 s’écrit…

Afficher la réponse

u(t − 5). Échelon unité.

4. L{δ(t)} =

Afficher la réponse

1. e^(−0s).

Comment cela aide à sauver la planète

Les apports environnementaux réels s’allument et s’éteignent : un rejet d’usine commence, un lâcher de barrage s’arrête, une éruption volcanique injecte des aérosols en une seule bouffée. Les entrées échelon et impulsion avec les transformées de Laplace donnent la réponse à chacune en un seul calcul, la méthode qu’utilisent les ingénieurs pour la régulation des réseaux électriques et des stations d’épuration.

Sur Saving Planets : Page Rivières

Sources : Lebl, 6.1 The Laplace transform · Lebl, 6.4 Dirac delta and impulse response

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 6 · Semaines 9–10

Systèmes linéaires, valeurs propres et plans de phase

Systèmes x′ = Ax, méthodes des valeurs propres, plan de phase et classification des équilibres en nœuds, cols, foyers et centres.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Écrire des équations couplées et des équations d’ordre supérieur sous forme de systèmes du premier ordre.
  • Résoudre x′ = Ax avec les valeurs propres et les vecteurs propres.
  • Esquisser des portraits de phase.
  • Classer l’origine avec la trace et le déterminant.

Notions clés

  • Si Av = λv, alors x = e^(λt)v est solution de x′ = Ax ; la solution générale combine un tel terme par valeur propre.
  • Valeurs propres réelles de signes opposés : un col. Toutes deux négatives : un nœud stable.
  • Valeurs propres complexes α ± iβ : des foyers (stables si α < 0) ; des centres si α = 0.
  • Pour une matrice 2 × 2, λ² − (tr A)λ + det A = 0.

Équations clés

x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x
Système linéaire
det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
Valeurs propres
x=c1eλ1tv1+c2eλ2tv2\mathbf x=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf v_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf v_2
Solution générale (valeurs propres réelles distinctes)
λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0
Polynôme caractéristique (2 × 2)

Exemples résolus pas à pas

Exemple 6.1 Un modèle du carbone à deux compartiments : l’atmosphère A et l’océan O échangent du carbone selon A′ = −0.2A + 0.1O, O′ = 0.2A − 0.1O (par an ; taux d’exemple). On part de 3 unités dans l’air et aucune dans l’océan.

Afficher les étapes
  1. Valeurs propres : tr = −0.3, det = 0, donc λ = 0 et −0.3.
  2. λ = 0 a pour vecteur propre (1, 2) : la répartition à l’équilibre est 1 : 2. Le carbone total (3) est conservé, donc A → 1, O → 2.
  3. A(t) = 1 + 2e^(−0.3t).

Réponse : L’air garde un tiers de l’impulsion dans ce modèle jouet, avec une échelle de temps de 1/0.3 ≈ 3.33 ans.

Exemple 6.2 Classez l’origine pour A = [[1, 2], [2, 1]].

Afficher les étapes
  1. λ² − 2λ − 3 = 0, λ = 3, −1.

Réponse : Signes opposés : un col (instable).

Exemple 6.3 Classez l’origine pour A = [[−1, −2], [2, −1]].

Afficher les étapes
  1. tr = −2, det = 5 : λ² + 2λ + 5 = 0.
  2. λ = −1 ± 2i.

Réponse : Un foyer stable : les solutions s’enroulent vers l’intérieur en décroissant comme e^(−t).

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Écrivez y″ + 3y′ + 2y = 0 sous forme de système.

    Afficher la réponse

    x₁ = y, x₂ = y′: x₁′ = x₂, x₂′ = −2x₁ − 3x₂.

  2. Valeurs propres de [[2, 0], [0, −3]] ?

    Afficher la réponse

    2 et −3 : un col.

  3. Classez [[0, 1], [−4, 0]].

    Afficher la réponse

    λ = ±2i : un centre (oscillation non amortie).

  4. Classez [[−3, 1], [0, −2]].

    Afficher la réponse

    λ = −3, −2 : un nœud stable.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Les vecteurs propres sont uniques.

    En réalité : Tout multiple non nul convient.

  • Idée reçue : Une valeur propre nulle signifie aucun mouvement.

    En réalité : Elle signifie une droite d’équilibres ou une quantité conservée, comme dans le modèle du carbone à compartiments.

  • Idée reçue : Des valeurs propres complexes ne donnent que des solutions complexes.

    En réalité : Les parties réelle et imaginaire donnent des solutions réelles.

Cartes mémoire

  • Système linéaire

    x′ = Ax.

  • Méthode des valeurs propres

    x = e^(λt)v.

  • Col

    Valeurs propres réelles de signes opposés.

  • Nœud

    Valeurs propres réelles de même signe.

  • Foyer

    Valeurs propres complexes, α ≠ 0.

  • Trace–déterminant

    λ² − tr λ + det = 0.

Quiz d’autocontrôle

1. Les valeurs propres 2 et −1 donnent…

Afficher la réponse

un col. Signes opposés.

2. Les valeurs propres −1 ± 3i donnent…

Afficher la réponse

un foyer stable. α < 0.

3. Pour A de taille 2 × 2, la somme des valeurs propres est…

Afficher la réponse

tr A. λ₁ + λ₂ = tr A.

4. Un centre a des valeurs propres…

Afficher la réponse

imaginaires purs. α = 0.

Comment cela aide à sauver la planète

Les modèles du cycle du carbone sont des systèmes linéaires de compartiments (atmosphère, océan de surface, océan profond, terres) qui échangent du carbone. Leurs valeurs propres sont les échelles de temps sur lesquelles une impulsion de CO₂ est absorbée : certaines rapides, d’autres prenant des siècles ou plus. La présentation du cycle du carbone par la NASA décrit les cycles rapide et lent que représentent ces compartiments.

Sur Saving Planets : Pôle Océans

Sources : NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 7 · Semaines 11–12

Systèmes non linéaires et stabilité

Équilibres des systèmes non linéaires, linéarisation par la jacobienne, cycles proies-prédateurs et modèle épidémique SIR.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Trouver les équilibres de systèmes non linéaires.
  • Linéariser avec la jacobienne et classer les équilibres.
  • Analyser le modèle proies-prédateurs de Lotka–Volterra.
  • Utiliser le modèle SIR : R₀, seuil d’immunité collective et taille finale.

Notions clés

  • Près d’un équilibre, un système non linéaire se comporte comme sa linéarisation x′ = J x, où J est la jacobienne (sauf si la linéarisation est un centre).
  • Lotka–Volterra : proies x′ = ax − bxy, prédateurs y′ = −cy + dxy. L’équilibre est (c/d, a/b) ; les populations tournent autour de lui.
  • SIR : S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI. Le nombre de reproduction de base est R₀ = β/γ ; une épidémie ne croît que si R₀S > 1.
  • Le seuil d’immunité collective est 1 − 1/R₀ ; la part finale non infectée s∞ vérifie ln s∞ = R₀(s∞ − 1).

Équations clés

J=(fxfygxgy)J=\begin{pmatrix}f_x&f_y\\g_x&g_y\end{pmatrix}
Jacobienne
x′=ax−bxy, y′=−cy+dxyx'=ax-bxy,\ y'=-cy+dxy
Lotka–Volterra
S′=−βSI, I′=βSI−γI, R′=γIS'=-\beta SI,\ I'=\beta SI-\gamma I,\ R'=\gamma I
Modèle SIR
R0=β/γ, ln⁡s∞=R0(s∞−1)R_0=\beta/\gamma,\ \ln s_\infty=R_0(s_\infty-1)
Nombre de reproduction et taille finale

Exemples résolus pas à pas

Exemple 7.1 Proies et prédateurs suivent x′ = x − 0.02xy, y′ = −0.5y + 0.005xy (valeurs d’exemple, années). Trouvez l’équilibre de coexistence et la période des petits cycles.

Afficher les étapes
  1. x′ = 0 exige y = 1/0.02 = 50 ; y′ = 0 exige x = 0.5/0.005 = 100.
  2. La jacobienne y a pour valeurs propres ±i√(ac) = ±i√0.5.
  3. Période 2π/√0.5.

Réponse : 100 proies et 50 prédateurs ; les petits cycles durent environ 8.9 ans, les prédateurs étant en retard sur les proies.

Exemple 7.2 Une épidémie a β = 0.3 par jour et γ = 0.1 par jour. Calculez R₀, le seuil d’immunité collective et la part finale de personnes infectées.

Afficher les étapes
  1. R₀ = 3.
  2. Seuil 1 − 1/3 = 0.667.
  3. Itérez s = e^(3(s − 1)) : s∞ = 0.0595.

Réponse : R₀ = 3 ; une immunité de 67 % stoppe la croissance ; sans intervention, environ 94 % finissent infectés, plus que le seuil car l’épidémie le dépasse.

Exemple 7.3 Classez l’équilibre P = K de la croissance logistique P′ = rP(1 − P/K).

Afficher les étapes
  1. f′(P) = r − 2rP/K; f′(K) = −r < 0.

Réponse : Stable : les petites perturbations décroissent au taux r.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trouvez les équilibres de x′ = x(3 − x − y), y′ = y(2 − x − y).

    Afficher la réponse

    (0, 0), (3, 0), (0, 2) (aucun intérieur : les droites x + y = 3 et x + y = 2 sont parallèles).

  2. Linéarisez x′ = sin x près de x = 0 et x = π.

    Afficher la réponse

    f′(0) = 1 (instable), f′(π) = −1 (stable).

  3. Si R₀ = 2, quel est le seuil d’immunité collective ?

    Afficher la réponse

    1 − 1/2 = 50%.

  4. Dans l’exemple proies-prédateurs, qu’arrive-t-il aux proies si l’on retire les prédateurs ?

    Afficher la réponse

    x′ = x : croissance exponentielle (jusqu’à ce que d’autres limites interviennent).

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La linéarisation prédit toujours le comportement.

    En réalité : Pas quand elle donne un centre ; ce sont alors les termes non linéaires qui décident.

  • Idée reçue : L’immunité collective signifie que l’épidémie s’arrête aussitôt.

    En réalité : Les infections diminuent après le seuil mais peuvent encore le dépasser.

  • Idée reçue : Les cycles proies-prédateurs signifient que le modèle est instable.

    En réalité : Les orbites de Lotka–Volterra sont fermées : neutralement stables, ni croissantes ni décroissantes.

Cartes mémoire

  • Jacobienne

    Matrice des dérivées partielles premières.

  • Linéarisation

    x′ ≈ J x près d’un équilibre.

  • Lotka–Volterra

    Cycles proies-prédateurs autour de (c/d, a/b).

  • SIR

    Susceptibles, infectés, rétablis.

  • R₀

    β/γ, nouvelles infections par cas.

  • Seuil d’immunité collective

    1 − 1/R₀.

Quiz d’autocontrôle

1. R₀ = β/γ = 4 donne un seuil de…

Afficher la réponse

75%. 1 − 1/4.

2. Le niveau des proies à l’équilibre de Lotka–Volterra est…

Afficher la réponse

c/d. y′ = 0 exige x = c/d.

3. La linéarisation utilise…

Afficher la réponse

la jacobienne. Dérivées partielles premières.

4. Une épidémie croît au début si…

Afficher la réponse

R₀S > 1. I′ = (βS − γ)I.

Comment cela aide à sauver la planète

Sur l’île Royale, dans le lac Supérieur, le National Park Service suit les effectifs de loups et d’élans depuis 1980, une longue série proies-prédateurs. Leurs hauts et bas liés, et la décision du Park Service d’introduire de nouveaux loups sur l’île, sont exactement le type de système que les modèles de Lotka–Volterra commencent à expliquer.

Les mêmes mathématiques SIR qui guident la réponse de santé publique servent pour les maladies de la faune qui menacent les écosystèmes.

Sur Saving Planets : Pôle Océans

Sources : National Park Service: Wolves of Isle Royale · Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 8 · Semaine 13

Méthodes numériques

Méthodes d’Euler, d’Euler amélioré et de Runge–Kutta, pas et erreur, et un modèle climatique de bilan énergétique résolu numériquement.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Appliquer Euler, Euler amélioré (Heun) et RK4.
  • Expliquer l’ordre d’une méthode et comment l’erreur varie avec le pas.
  • Résoudre numériquement des systèmes.
  • Construire et résoudre un modèle climatique de bilan énergétique à zéro dimension.

Notions clés

  • Euler avance selon la pente : y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). Son erreur globale est proportionnelle à h.
  • Euler amélioré fait la moyenne de deux pentes (erreur ∝ h²) ; RK4 de quatre (erreur ∝ h⁴).
  • Diviser h par deux réduit l’erreur de RK4 d’environ 16 fois, c’est pourquoi c’est la méthode de référence.
  • Bilan énergétique : C dT/dt = lumière solaire absorbée − εσT⁴. Son équilibre et son échelle de temps découlent directement de l’équation.

Équations clés

yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
Méthode d’Euler
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1}=y_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
Runge–Kutta 4
CdTdt=S(1−α)−εσT4C\frac{dT}{dt}=S(1-\alpha)-\varepsilon\sigma T^4
Modèle de bilan énergétique
λ=4εσT3, τ=C/λ\lambda=4\varepsilon\sigma T^3,\ \tau=C/\lambda
Rétroaction linéarisée et échelle de temps

Exemples résolus pas à pas

Exemple 8.1 Approchez y(1) pour y′ = y, y(0) = 1 avec h = 0.1 par Euler, Euler amélioré et RK4.

Afficher les étapes
  1. Chaque pas d’Euler multiplie par 1.1 : 1.1¹⁰ = 2.5937.
  2. Euler amélioré multiplie par 1.105 : 2.7141.
  3. RK4 multiplie par 1.1051708 : 2.7182797.

Réponse : Vraie valeur e = 2.7182818. Erreurs : 0.12, 0.0042 et 0.000002.

Exemple 8.2 La Terre absorbe 340 × (1 − 0.29) = 241.4 W/m² de lumière solaire (NASA). Si elle rayonnait comme un corps noir (ε = 1), quelle température l’équilibrerait ? Quel ε effectif donne la moyenne actuelle d’environ 288 K ?

Afficher les étapes
  1. σT⁴ = 241.4 donne T = (241.4/5.67 × 10⁻⁸)^(1/4) = 255 K.
  2. ε = 241.4/(σ × 288⁴) = 0.619.

Réponse : 255 K (−18 °C) sans effet de serre ; une émissivité effective de 0.62 représente l’effet de serre qui rend la Terre habitable.

Exemple 8.3 Avec ε = 0.619 à 288 K et une couche de mélange océanique de 50 m (C = 1000 × 4186 × 50 J/(m²·K) ; profondeur d’exemple), calculez λ, l’échelle de temps et le réchauffement sans rétroaction pour un forçage de 4 W/m² (valeur d’exemple).

Afficher les étapes
  1. λ = 4εσT³ = 3.35 W/(m²·K).
  2. τ = C/λ = 6.24 × 10⁷ s ≈ 1.98 an (environ 2).
  3. ΔT = 4/3.35.

Réponse : Environ 1.2 K de réchauffement, atteint sur une échelle de temps de 2 ans dans ce modèle simple. Les rétroactions réelles (vapeur d’eau, glace) augmentent le réchauffement, comme l’évalue le GIEC.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Un pas d’Euler pour y′ = t + y, y(0) = 1, h = 0.1.

    Afficher la réponse

    y₁ = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1.

  2. Si l’erreur d’Euler vaut 0.12 pour h = 0.1, estimez-la pour h = 0.05.

    Afficher la réponse

    Environ 0.06 (premier ordre).

  3. Si l’erreur de RK4 vaut 2 × 10⁻⁶ pour h = 0.1, estimez-la pour h = 0.05.

    Afficher la réponse

    Environ 2 × 10⁻⁶/16 ≈ 1.3 × 10⁻⁷.

  4. Quelle température d’équilibre le modèle de bilan énergétique donne-t-il avec ε = 1 et un albédo de 0.29 ?

    Afficher la réponse

    Environ 255 K.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Des pas plus petits sont toujours meilleurs.

    En réalité : Les erreurs d’arrondi et le coût augmentent ; une méthode d’ordre supérieur vaut généralement mieux que de minuscules pas d’Euler.

  • Idée reçue : Une réponse numérique est exacte si le code s’exécute.

    En réalité : Vérifiez toujours la convergence en divisant h par deux.

  • Idée reçue : Le résultat de 255 K signifie que le modèle est faux.

    En réalité : Il montre de combien l’effet de serre réchauffe la Terre : environ 33 K.

Cartes mémoire

  • Méthode d’Euler

    y + h f.

  • Euler amélioré

    Moyenne de deux pentes ; ordre 2.

  • RK4

    Quatre pentes ; ordre 4.

  • Pas

    h ; vérifiez la convergence en le divisant par deux.

  • Modèle de bilan énergétique

    C T′ = S(1 − α) − εσT⁴.

  • Échelle de temps climatique

    τ = C/λ.

Quiz d’autocontrôle

1. L’erreur globale de la méthode d’Euler est proportionnelle à…

Afficher la réponse

h. Premier ordre.

2. RK4 est d’ordre…

Afficher la réponse

4. Erreur ∝ h⁴.

3. Sans effet de serre, la Terre aurait une moyenne d’environ…

Afficher la réponse

255 K. σT⁴ = 241 W/m².

4. Diviser h par deux dans RK4 réduit l’erreur d’environ…

Afficher la réponse

16. 2⁴.

Comment cela aide à sauver la planète

Tout modèle climatique, de ce bilan énergétique d’une ligne aux modèles globaux évalués par le GIEC, est un système d’équations différentielles résolu numériquement. Le bilan énergétique de la NASA fournit les données : 340 W/m² de lumière solaire arrivent en moyenne et 29 % sont réfléchis.

Sur Saving Planets : Introduction à la programmation, unité simulation

Sources : NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Unité 9 · Semaine 14

Solutions en séries, séries de Fourier et équation de la chaleur

Solutions en séries entières des EDO, séries de Fourier des fonctions périodiques et séparation des variables pour l’équation de la chaleur.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Trouver des solutions en séries entières à partir d’une récurrence.
  • Calculer les coefficients de Fourier de fonctions périodiques simples.
  • Résoudre l’équation de la chaleur sur une tige par séparation des variables.
  • Estimer jusqu’à quelle profondeur les ondes de température saisonnières pénètrent dans le sol.

Notions clés

  • Substituer y = Σaₙxⁿ, identifier les puissances et obtenir une récurrence pour les coefficients.
  • Une fonction périodique est une somme de sinus et de cosinus ; pour une fonction impaire sur (−π, π), bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
  • L’équation de la chaleur u_t = α u_xx diffuse la chaleur ; chaque mode sinusoïdal décroît comme e^(−α(nπ/L)²t), les modes rapides d’abord.
  • Une température de surface périodique pénètre dans le sol avec une profondeur d’amortissement d = √(2α/ω).

Équations clés

y=∑anxny=\sum a_nx^n
Solution en série entière
bn=2π∫0πf(x)sin⁡nx dxb_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx
Coefficient de Fourier en sinus
ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}
Équation de la chaleur
d=2α/ωd=\sqrt{2\alpha/\omega}
Profondeur d’amortissement d’une onde de température périodique

Exemples résolus pas à pas

Exemple 9.1 Résoudre y″ + y = 0 par série entière.

Afficher les étapes
  1. Σ(n + 2)(n + 1)aₙ₊₂xⁿ + Σaₙxⁿ = 0.
  2. aₙ₊₂ = −aₙ/((n + 2)(n + 1)).
  3. Les termes pairs forment cos x, les impairs sin x.

Réponse : y = a₀ cos x + a₁ sin x, retrouvé à partir de la récurrence.

Exemple 9.2 Trouver la série de Fourier du signal carré f = 1 sur (0, π), −1 sur (−π, 0).

Afficher les étapes
  1. Impaire, donc seulement des sinus : bₙ = (2/π)∫₀^π sin nx dx = (2/(nπ))(1 − cos nπ).
  2. bₙ = 4/(nπ) pour n impair, 0 pour n pair.

Réponse : f = (4/π)(sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …) ; b₁ ≈ 1.273.

Exemple 9.3 Un sol de diffusivité α = 5 × 10⁻⁷ m²/s (valeur d’exemple) subit un cycle annuel de température en surface. Trouvez la profondeur d’amortissement.

Afficher les étapes
  1. ω = 2π/(3.156 × 10⁷ s) = 1.99 × 10⁻⁷ s⁻¹.
  2. d = √(2 × 5 × 10⁻⁷/1.99 × 10⁻⁷).

Réponse : Environ 2.24 m : l’amplitude annuelle diminue d’un facteur e tous les 2.2 m de profondeur, si bien que le sol profond réagit lentement au réchauffement, sur de nombreuses années.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trouver la récurrence pour y′ = y par série entière.

    Afficher la réponse

    aₙ₊₁ = aₙ/(n + 1), donc y = a₀eˣ.

  2. f(x) = x² est-elle paire ou impaire ? Quels termes de Fourier apparaissent ?

    Afficher la réponse

    Paire : seulement des cosinus (plus une constante).

  3. Un mode de tige décroît comme e^(−α(π/L)²t). Comment doubler L change-t-il son temps de décroissance ?

    Afficher la réponse

    Le temps de décroissance est multiplié par 4.

  4. Trouver b₃ pour le signal carré.

    Afficher la réponse

    4/(3π) ≈ 0.424.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Les séries de Fourier ne marchent que pour les fonctions lisses.

    En réalité : Elles marchent aussi avec des sauts, en convergeant vers le point milieu du saut.

  • Idée reçue : La chaleur diffuse à vitesse fixe.

    En réalité : Le temps de diffusion croît comme le carré de la distance.

  • Idée reçue : Les solutions en séries valent toujours mieux que les formules.

    En réalité : Elles sont surtout utiles quand il n’existe pas de forme close, comme pour les équations d’Airy ou de Bessel.

Cartes mémoire

  • Méthode des séries entières

    Substituer Σaₙxⁿ ; obtenir une récurrence.

  • Série de Fourier

    Somme de sinus et de cosinus.

  • Coefficient de Fourier

    bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.

  • Équation de la chaleur

    u_t = α u_xx.

  • Séparation des variables

    u = X(x)T(t).

  • Profondeur d’amortissement

    √(2α/ω).

Quiz d’autocontrôle

1. Dans l’équation de la chaleur, les modes supérieurs décroissent…

Afficher la réponse

plus vite. Taux ∝ n².

2. La série de Fourier d’une fonction impaire ne contient que des…

Afficher la réponse

sinus. Les intégrales impair × pair s’annulent.

3. Doubler la période d’un cycle de température en surface modifie la profondeur d’amortissement de…

Afficher la réponse

√2. d ∝ 1/√ω.

4. b₁ pour le signal carré vaut…

Afficher la réponse

4/π. 4/(1·π).

Comment cela aide à sauver la planète

Selon la NASA, le pergélisol de l’hémisphère Nord contient environ 1672 milliards de tonnes de carbone organique. La vitesse à laquelle le réchauffement de surface l’atteint est un problème d’équation de la chaleur, et la profondeur d’amortissement montre pourquoi les couches profondes réagissent lentement mais continuent de réagir longtemps après le réchauffement de la surface.

Sur Saving Planets : Analyse III

Sources : NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · Lebl, 4.6 PDEs, separation of variables, and the heat equation

Ressources d’apprentissage gratuites

Haut de page

Travaux pratiques sur ordinateur

Quatre travaux pratiques sur ordinateur : une épidémie SIR résolue par Euler et RK4, un plan de phase proies-prédateurs, un modèle climatique de bilan énergétique et un balayage en fréquence d’un modèle de mât d’éolienne.

Les paramètres d’exemple sont signalés comme tels ; chaque TP renvoie à une source publique sur le système réel.

Référence de sécurité : Lebl: Notes on Diffy Qs (free textbook)

TP A : une épidémie SIR avec Euler et RK4

Semaine 12

Objectif : Résoudre le modèle SIR numériquement, trouver le pic et comparer Euler et RK4 à la taille finale exacte.

S′=−0.3SI, I′=0.3SI−0.1I, R′=0.1IS'=-0.3SI,\ I'=0.3SI-0.1I,\ R'=0.1I
SIR avec R₀ = 3 (taux d’exemple par jour)

Mode opératoire

  1. Partir de S = 0.999, I = 0.001, R = 0 (fractions de la population).
  2. Lancer Euler avec h = 1 jour et h = 0.1 jour jusqu’au jour 160, puis RK4 avec h = 1 jour.
  3. Noter le R final, le pic de I et sa date ; comparer avec la théorie.

Tableau de données

MéthodeR final (jour 160)
Euler, h = 10.9467
Euler, h = 0.10.9411
RK4, h = 10.9405
Taille finale exacte (théorie)0.9405

Valeurs calculées pour des taux d’exemple ; pas une épidémie réelle.

Exemple de calcul

  1. Le pic est de 30.1 % d’infectés simultanément, vers le jour 38.4 ; la théorie donne I_max = 1 − (1 + ln R₀)/R₀ = 0.300.
  2. Euler avec h = 1 surestime la taille finale de 0.006 ; RK4 avec le même pas rejoint la théorie à 4 chiffres près.

Sécurité

  • Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • Un tableur convient ; Python est plus simple pour RK4.

Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems

Lien avec la planète : La même structure de modèle sert pour les épidémies chez l’humain et chez la faune.

TP B : le plan de phase proies-prédateurs

Semaine 11

Objectif : Intégrer le modèle de Lotka–Volterra avec RK4 et tracer l’orbite fermée dans le plan de phase.

x′=x−0.02xy,y′=−0.5y+0.005xyx'=x-0.02xy,\quad y'=-0.5y+0.005xy
Lotka–Volterra (valeurs d’exemple)

Mode opératoire

  1. Partir de 150 proies et 50 prédateurs.
  2. Utiliser RK4 avec un petit pas (0.001 an en Python, ou 0.01 dans un tableur) pendant 40 ans.
  3. Tracer y en fonction de x et noter l’intervalle des proies et la période.

Tableau de données

GrandeurValeur
Équilibre(100, 50)
Intervalle des proies62.6 à 150
Période8.99 ans
Période des petits cycles (théorie linéaire)8.89 ans

Valeurs calculées ; paramètres d’exemple.

Exemple de calcul

  1. L’orbite se referme : les populations se répètent tous les 8.99 ans, un peu plus que les 8.89 ans prévus par la théorie linéaire pour les petits cycles, car ce cycle est grand.
  2. Les prédateurs culminent après les proies, un décalage observé dans de nombreux relevés réels proies-prédateurs.

Sécurité

  • Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • Desmos peut tracer le champ de pentes du plan de phase.

Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)

Lien avec la planète : Les séries longues comme celles des loups et des élans de l’île Royale mettent ces modèles à l’épreuve. National Park Service: Wolves of Isle Royale

TP C : un modèle climatique de bilan énergétique

Semaine 13

Objectif : Faire avancer dans le temps un modèle climatique à une boîte après un forçage soudain et trouver son échelle de temps.

CdΔTdt=F−λ ΔTC\frac{d\Delta T}{dt}=F-\lambda\,\Delta T
Modèle de bilan énergétique linéarisé

Mode opératoire

  1. Utiliser C = 2.09 × 10⁸ J/(m²·K) (50 m d’océan), λ = 3.35 W/(m²·K) de l’unité 8 et un forçage soudain F = 4 W/m² (valeur d’exemple).
  2. Avancer par Euler avec des pas mensuels pendant 10 ans.
  3. Comparer avec la solution exacte ΔT = (F/λ)(1 − e^(−t/τ)).

Tableau de données

AnnéeΔT (K)
10.48
20.77
51.10
101.19

Valeurs calculées par le modèle ; aucune rétroaction autre que le rayonnement.

Exemple de calcul

  1. Équilibre ΔT = F/λ = 1.19 K ; τ = C/λ ≈ 2.0 ans, donc le réchauffement est réalisé à environ 63 % après 2 ans dans ce modèle.
  2. Le climat réel réagit plus lentement et se réchauffe davantage, car la chaleur se mélange dans l’océan profond et les rétroactions l’amplifient.

Sécurité

  • Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • Un tableur suffit.

NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget

Lien avec la planète : Les modèles de bilan énergétique sont le premier pas vers les projections climatiques évaluées par le GIEC. IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis

TP D : balayage de résonance d’un modèle de mât d’éolienne

Semaine 6

Objectif : Calculer l’amplification dynamique d’un modèle de mât à un oscillateur sur une gamme de fréquences d’excitation.

A(f)=1(1−r2)2+(2ζr)2, r=f/f0A(f)=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\ r=f/f_0
Amplification dynamique

Mode opératoire

  1. Utiliser f₀ = 0.30 Hz et ζ = 0.01 (valeurs d’exemple).
  2. Tabuler A pour des fréquences d’excitation de 0.1 à 0.6 Hz.
  3. Marquer la fréquence du rotor (0.20 Hz à 12 tr/min) et la fréquence de passage des pales (0.60 Hz), puis juger la conception.

Tableau de données

Fréquence d’excitation (Hz)Amplification
0.101.12
0.201.80
0.253.27
0.3050.0
0.352.76
0.600.333

Valeurs calculées pour un modèle d’exemple, pas pour une éolienne précise.

Exemple de calcul

  1. Les deux fréquences de fonctionnement sont bien éloignées du pic à 0.30 Hz, où la réponse serait 50 fois la déflexion statique.
  2. Si le rotor accélérait jusqu’à 18 tr/min (0.30 Hz), il exciterait le mât à la résonance ; c’est pourquoi les concepteurs comparent la fréquence propre à toute la plage de vitesses.

Sécurité

  • Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • Un tableur suffit.

PhET : Masses and Springs

Lien avec la planète : Éviter la résonance permet aux éoliennes de produire une énergie propre en toute sécurité pendant des décennies. DOE des États-Unis : comment fonctionnent les éoliennes ? (en anglais)

Haut de page

Séries d’entraînement aux examens

Chronométrez-vous : environ 10 minutes par problème. Comparez ensuite avec les solutions complètes.

Série d’exercices de mi-parcours (unités 1–5)

  1. Résoudre y′ = −2ty, y(0) = 3, et trouver y(1).

    Afficher la solution complète
    1. dy/y = −2t dt; y = 3e^(−t²).

    Réponse : 3e^(−1) ≈ 1.104.

  2. Un lac avec un temps de rétention de 4 ans : combien de temps avant qu’un polluant baisse de moitié une fois l’apport arrêté ?

    Afficher la solution complète
    1. t = 4 ln 2.

    Réponse : ≈ 2.77 ans.

  3. Résoudre y″ + 6y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, et trouver y(1).

    Afficher la solution complète
    1. y = (1 + 3t)e^(−3t).

    Réponse : 4e^(−3) ≈ 0.199.

  4. Résoudre y′ + y = 1, y(0) = 0 par Laplace et trouver y(2).

    Afficher la solution complète
    1. Y = 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1).

    Réponse : 1 − e^(−2) ≈ 0.865.

Série d’entraînement finale (toutes les unités)

  1. Classer l’origine de x′ = [[0, 1], [−2, −2]]x.

    Afficher la solution complète
    1. λ² + 2λ + 2 = 0, λ = −1 ± i.

    Réponse : Foyer stable.

  2. Une épidémie SIR a β = 0.5, γ = 0.25 par jour. Trouver R₀ et le seuil d’immunité collective.

    Afficher la solution complète
    1. R₀ = 2.

    Réponse : R₀ = 2, seuil 50 %.

  3. Deux pas d’Euler avec h = 0.5 pour y′ = −y, y(0) = 1.

    Afficher la solution complète
    1. Chaque pas multiplie par 0.5.

    Réponse : y(1) ≈ 0.25 (valeur vraie e^(−1) ≈ 0.368).

  4. Un système masse-ressort avec m = 1 kg, k = 16 N/m, c = 0.4 N·s/m. Trouver ω₀ et ζ.

    Afficher la solution complète
    1. ω₀ = 4 rad/s ; c_crit = 8.

    Réponse : ω₀ = 4 rad/s, ζ = 0.05 (amplification au pic d’environ 10).

Haut de page

Fiche de formules

μ=e∫p dx\mu=e^{\int p\,dx}
My=Nx⇒F=CM_y=N_x\Rightarrow F=C
C=C0e−t/τC=C_0e^{-t/\tau}
Hmax⁡=rK/4H_{\max}=rK/4
ar2+br+c=0ar^2+br+c=0
ω0=k/m, ccrit=2mk\omega_0=\sqrt{k/m},\ c_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}
X=F0/(k−mω2)2+(cω)2X=F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}
L{y′}=sY−y(0)\mathcal L\{y'\}=sY-y(0)
L{eat}=1/(s−a)\mathcal L\{e^{at}\}=1/(s-a)
L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0
R0=β/γ, 1−1/R0R_0=\beta/\gamma,\ 1-1/R_0
yn+1=yn+hfy_{n+1}=y_n+hf
C T′=S(1−α)−εσT4C\,T'=S(1-\alpha)-\varepsilon\sigma T^4
ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}
bn=2π∫0πfsin⁡nx dxb_n=\tfrac2\pi\int_0^\pi f\sin nx\,dx

Constantes

ConstanteValeur
Constante de Stefan–Boltzmann σ5.67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
Ensoleillement moyen au sommet de l’atmosphère340 W/m²
Fraction de la lumière solaire réfléchie29%
Temps de rétention du lac Supérieur191 ans
Temps de rétention du lac Érié2.6 ans
Durée de vie moyenne du méthaneenviron une décennie

Source : NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget

Haut de page

Textes et outils gratuits

Utilisez ces manuels et outils gratuits en parallèle du cours.

Haut de page

Glossaire

Équation autonome
y′ = f(y), sans t explicite.
Équation caractéristique
ar² + br + c = 0 pour les EDO à coefficients constants.
Amortissement critique
Retour le plus rapide sans dépassement.
Valeur propre
λ avec Av = λv.
Modèle de bilan énergétique
Modèle climatique équilibrant la lumière solaire absorbée et la chaleur émise.
Équilibre
Solution constante.
Méthode d’Euler
Avancée numérique d’ordre un.
Équation exacte
M dx + N dy = 0 avec M_y = N_x.
Série de Fourier
Développement en sinus et cosinus.
Équation de la chaleur
u_t = α u_xx.
Facteur intégrant
Multiplicateur qui rend exacte une EDO linéaire.
Jacobienne
Matrice des dérivées partielles premières servant à linéariser.
Transformée de Laplace
∫₀^∞ e^(−st) f dt.
Lotka–Volterra
Modèle proies-prédateurs.
Portrait de phase
Trajectoires dans le plan d’état.
Résonance
Forte réponse quand l’excitation coïncide avec une fréquence propre.
Runge–Kutta (RK4)
Méthode numérique d’ordre quatre.
R₀
Nombre de reproduction de base.
Modèle SIR
Modèle épidémique susceptibles–infectés–rétablis.
Équation à variables séparables
dy/dx = g(x)h(y).

Haut de page

Grille d’autoévaluation

Aucune note ni aucun crédit ne sont attribués. Utilisez cette grille pour juger honnêtement où vous en êtes dans chaque unité.

NiveauÀ quoi cela ressemble
4 · MaîtriseConstruit des modèles à partir d’une description, les résout par formule et numériquement, vérifie les unités et le comportement à long terme.
3 · CompétentRésout les exercices d’entraînement avec quelques erreurs occasionnelles.
2 · En progressionSuit les exemples résolus mais peine à poser des modèles ou à choisir une méthode.
1 · DébutantApplique des formules sans vérifier les solutions ; doit revoir l’unité.

Pondération suggérée si vous voulez une note

PartiePoids
Exercices30%
Travaux pratiques sur ordinateur15%
Série d’entraînement de mi-parcours25%
Série d’entraînement finale30%

Visez le niveau 3 ou mieux dans chaque unité avant de passer au cours suivant.

Haut de page

Aider / Faire un don