Equazioni differenziali
Modellare il cambiamento: equazioni del primo ordine, oscillazioni e risonanza, trasformate di Laplace, sistemi e piani delle fasi, stabilità, metodi numerici ed equazione del calore, con quattro laboratori al computer su epidemie, predatori e prede, clima e vibrazioni delle turbine eoliche.
Corsi › MATH 220
Scarica la guida di studio in PDF (inglese)
Informazioni sul corso
Questo è lo schema di un corso gratuito di autoapprendimento scritto da Saving Planets. Non è un corso universitario, non dà crediti accademici e nessuna scuola è coinvolta.
Il programma segue un corso del secondo anno di equazioni differenziali ordinarie, sul modello degli argomenti e della profondità di MIT OpenCourseWare 18.03 e dei libri di testo gratuiti di Jiří Lebl (Notes on Diffy Qs) e William Trench, e dei programmi di corsi come Georgia Tech MATH 2552 e Stanford Math 53. Rimandiamo ai materiali gratuiti in tutto il corso. Nessuno di questi autori o organizzazioni approva questa pagina.
Cosa aggiungiamo: ogni unità si collega a un problema reale del pianeta con una fonte pubblica citata (laghi, metano, pesca, carbonio, clima, epidemie, turbine eoliche), ogni numero della pagina viene ricalcolato da uno script di verifica prima della pubblicazione, e quattro laboratori al computer risolvono numericamente modelli reali.
Seguilo in ordine. Ogni unità ha obiettivi, idee chiave, equazioni, esempi passo per passo, esercizi con soluzioni complete, errori comuni, flashcard e un quiz. I tuoi progressi sono salvati solo in questo browser.
Come questo corso aiuta a salvare il pianeta
Quasi ogni modello del pianeta vivente è un’equazione differenziale: quanto velocemente un lago smaltisce un inquinante, come si riprende uno stock ittico, come il carbonio si sposta tra aria e mare, quanto rapidamente la Terra si scalda quando il suo bilancio energetico cambia, come si diffonde un’epidemia e come oscilla la torre di una turbina eolica.
Ogni unità termina con una breve sezione con fonti che mostra come le sue idee aiutano sia le persone sia la natura. I parametri dei modelli che non provengono da una fonte sono indicati come valori di esempio.
Prima di iniziare
Prerequisiti
- Analisi I e II: derivate, integrali, fratti semplici, serie di Taylor.
- Matrici, determinanti e autovalori di matrici 2 × 2 (trattati brevemente nell’unità 6).
- Analisi III aiuta per l’equazione del calore ma non è obbligatoria.
Come studiare
- Verifica ogni soluzione sostituendola di nuovo nell’equazione.
- Svolgi ogni esercizio su carta prima di aprire la risposta.
- Disegna un campo di direzioni o un ritratto di fase prima di risolvere; sappi che aspetto dovrebbe avere la risposta.
- Chiediti per ogni modello: quali sono le unità, e il comportamento a lungo termine ha senso?
- Risolvi anche numericamente un problema di ogni unità e confronta con la formula.
- Rifai i quiz qualche giorno dopo. La pratica distribuita batte una lunga sessione unica.
Attrezzatura di laboratorio (per i laboratori reali)
- Un computer o un tablet con un foglio di calcolo.
- Una calcolatrice grafica gratuita come Desmos.
- Facoltativo: Python con NumPy (gratis in Google Colab).
Programma suggerito di 15 settimane
Circa 6-9 ore a settimana: lettura, esercizi e, nelle settimane di laboratorio, il laboratorio.
| Settimana | Unità | Argomenti | Lettura |
|---|---|---|---|
| 1 | Equazioni del primo ordine | Campi di direzioni; equazioni a variabili separabili | Lebl 1.1–1.3 |
| 2 | Equazioni del primo ordine | Equazioni lineari ed esatte; esistenza e unicità | Lebl 1.2, 1.4, 1.8 |
| 3 | Modellare con equazioni del primo ordine | Modellazione: miscelazione, decadimento, crescita logistica, prelievo | Lebl 1.6 |
| 4 | Equazioni lineari del secondo ordine e oscillazioni | Equazioni lineari del secondo ordine; equazione caratteristica | Lebl 2.1–2.2 |
| 5 | Equazioni lineari del secondo ordine e oscillazioni | Vibrazioni meccaniche e smorzamento | Lebl 2.4 |
| 6 | Vibrazioni forzate e risonanza | Coefficienti indeterminati; oscillazione forzata e risonanza; laboratorio D | Lebl 2.5–2.6 |
| 7 | Trasformate di Laplace | Trasformate di Laplace; risoluzione di problemi di Cauchy | Lebl 6.1–6.2 |
| 8 | Trasformate di Laplace | Funzioni a gradino, impulsi, convoluzione; esercitazione per il compito intermedio | Lebl 6.3–6.4 |
| 9 | Sistemi lineari, autovalori e piani delle fasi | Sistemi; matrici e autovalori | Lebl 3.1–3.4 |
| 10 | Sistemi lineari, autovalori e piani delle fasi | Ritratti di fase e classificazione | Lebl 3.5 |
| 11 | Sistemi non lineari e stabilità | Sistemi non lineari, linearizzazione; preda-predatore; laboratorio B | Lebl 8.1–8.3 |
| 12 | Sistemi non lineari e stabilità | Stabilità; epidemie SIR; laboratorio A | Lebl 8.2–8.3 |
| 13 | Metodi numerici | Metodi numerici; modello di bilancio energetico; laboratorio C | Lebl 1.7, Trench 3 |
| 14 | Soluzioni per serie, serie di Fourier ed equazione del calore | Soluzioni per serie; serie di Fourier; equazione del calore | Lebl 7.1–7.2, 4.2, 4.6 |
| 15 | Ripasso | Ripasso ed esercitazione finale | Tutte le unità |
I tuoi progressi
Spunta unità e laboratori man mano che li finisci, e fai i quiz. Progressi e punteggi sono salvati solo in questo browser e non ci vengono mai inviati.
Attiva JavaScript per seguire i tuoi progressi.
Unità 1 · Settimane 1–2
Equazioni del primo ordine
Campi di direzioni, equazioni a variabili separabili, equazioni lineari con fattore integrante, equazioni esatte, e quando una soluzione esiste ed è unica.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Leggere un campo di direzioni e disegnare le soluzioni.
- Risolvere equazioni del primo ordine a variabili separabili e lineari.
- Riconoscere e risolvere equazioni esatte.
- Enunciare il teorema di esistenza e unicità e capire quando non vale.
Concetti chiave
- Un’equazione differenziale lega una funzione incognita alle sue derivate; una soluzione è una funzione che la rende vera.
- Separabile: dy/dx = g(x)h(y). Dividi e integra entrambi i membri.
- Lineare: y′ + p(x)y = q(x). Moltiplica per il fattore integrante μ = e^(∫p dx) così che il membro sinistro diventi (μy)′.
- Esatta: M dx + N dy = 0 con M_y = N_x è dF = 0, quindi F(x, y) = C.
- Se f e ∂f/∂y sono continue vicino a (x₀, y₀), allora y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ ha esattamente una soluzione nelle vicinanze. Le soluzioni possono comunque esplodere in tempo finito.
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 1.1 Risolvi dy/dx = xy, y(0) = 2, e trova y(1).
Mostra i passaggi
- dy/y = x dx, quindi ln|y| = x²/2 + C.
- y = 2e^(x²/2).
- y(1) = 2e^0.5.
Risposta: ≈ 3.297.
Esempio 1.2 Risolvi y′ + 2y = 4, y(0) = 0, e trova y(1).
Mostra i passaggi
- μ = e^(2t), quindi (e^(2t)y)′ = 4e^(2t).
- e^(2t)y = 2e^(2t) + C; y(0) = 0 dà C = −2.
- y = 2(1 − e^(−2t)).
Risposta: y(1) ≈ 1.729, che tende allo stato stazionario 2.
Esempio 1.3 Risolvi 2xy dx + (x² + 2y) dy = 0 con y(0) = 1, e trova y quando x = 1.
Mostra i passaggi
- M_y = 2x = N_x: esatta.
- F = x²y + y²; F(0, 1) = 1.
- In x = 1: y + y² = 1, quindi y = (−1 + √5)/2.
Risposta: ≈ 0.618.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Risolvi y′ = y², y(0) = 1. Dove esiste la soluzione?
Mostra la risposta
y = 1/(1 − t); esplode in t = 1, anche se y² è regolare ovunque.
Risolvi t y′ + y = t² per t > 0.
Mostra la risposta
(ty)′ = t², quindi y = t²/3 + C/t.
Risolvi y′ = −y/τ.
Mostra la risposta
y = y₀e^(−t/τ).
(y cos x) dx + (sin x + 2y) dy = 0 è esatta? Risolvi.
Mostra la risposta
M_y = cos x = N_x; F = y sin x + y² = C.
y′ = √y, y(0) = 0 ha un’unica soluzione?
Mostra la risposta
No: y = 0 e y = t²/4 funzionano entrambe; ∂f/∂y = 1/(2√y) non è continua in y = 0.
Errori concettuali comuni
Mito: Ogni equazione del primo ordine è a variabili separabili.
In realtà: y′ = x + y non lo è; è lineare.
Mito: Dimenticare +C fino alla fine va bene.
In realtà: Aggiungi C quando integri, prima di ricavare y, altrimenti la condizione iniziale viene sbagliata.
Mito: Un secondo membro regolare significa che la soluzione esiste per sempre.
In realtà: y′ = y² esplode in un tempo finito.
Flashcard
A variabili separabili
dy/dx = g(x)h(y).
Lineare del primo ordine
y′ + p y = q.
Fattore integrante
μ = e^(∫p dx).
Esatta
M_y = N_x; F = C.
Problema ai valori iniziali
Una EDO più y(x₀) = y₀.
Esistenza e unicità
f, f_y continue ⇒ una soluzione locale.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
L’equazione del primo ordine più semplice, y′ = −y/τ, descrive come un inquinante viene smaltito da un lago ben mescolato o come un gas lascia l’atmosfera. Il suo unico numero, la scala temporale τ, decide se un errore svanisce in anni o dura secoli (unità 2).
Su Saving Planets: Pagina Fiumi
Fonti: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · Lebl, 1.4 Linear equations and the integrating factor
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 1.3 Separable equations: Sezione di un manuale gratuito.
- Lebl, 1.4 Integrating factor: Equazioni lineari.
- Lebl, 1.8 Exact equations: Equazioni esatte.
- Lebl, 1.2 Slope fields: Esistenza e unicità.
Unità 2 · Settimana 3
Modellare con equazioni del primo ordine
Trasformare una situazione in un’equazione: miscelazione e inquinamento dei laghi, decadimento e tempi di vita, raffreddamento di Newton, crescita logistica, prelievo, ed equilibri con la loro stabilità.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Costruire modelli “tasso in entrata meno tasso in uscita”.
- Interpretare costanti di tempo e tempi di vita.
- Trovare gli equilibri di equazioni autonome e classificarne la stabilità.
- Usare il modello logistico con prelievo per trovare il rendimento massimo sostenibile.
Concetti chiave
- Tasso di variazione = tasso in entrata − tasso in uscita. Scrivi le unità di ogni termine.
- Un lago ben mescolato con tempo di ricambio τ perde un inquinante al ritmo C/τ una volta che l’afflusso è pulito.
- Per un’equazione autonoma y′ = f(y), gli equilibri risolvono f(y) = 0; un equilibrio è stabile se f′(y) < 0.
- La crescita logistica P′ = rP(1 − P/K) si stabilizza a K. Con un prelievo costante H, il massimo prelievo sostenibile è rK/4, in P = K/2.
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 2.1 Il tempo di ricambio del lago Erie è 2.6 anni e quello del lago Superiore 191 anni (EPA). Se l’afflusso di un inquinante si ferma, quanto tempo serve perché la concentrazione di ciascun lago scenda al 10 %, considerandoli ben mescolati?
Mostra i passaggi
- C/C₀ = e^(−t/τ) = 0.1, quindi t = τ ln 10.
- Erie: 2.6 × 2.303 = 5.99 anni.
- Superiore: 191 × 2.303 = 440 anni.
Risposta: Circa 6 anni per l’Erie ma circa 440 per il Superiore. La prevenzione conta di più dove il ricambio è lento.
Esempio 2.2 L’EPA afferma che il metano dura in media circa un decennio nell’atmosfera. Tratta un impulso di metano come decadente con τ = 10 anni. Che frazione resta dopo 30 anni?
Mostra i passaggi
- Frazione = e^(−30/10) = e^(−3).
Risposta: Circa il 5 %. Ridurre le perdite di metano dà quindi frutti entro decenni, a differenza della CO₂, che persiste molto più a lungo.
Esempio 2.3 Uno stock ittico segue P′ = 0.4P(1 − P/10000) − H (tonnellate, anni; valori di esempio). Trova il rendimento massimo sostenibile.
Mostra i passaggi
- La crescita rP(1 − P/K) è massima in P = K/2 = 5000 t.
- Lì vale rK/4 = 0.4 × 10000/4.
Risposta: 1000 tonnellate all’anno. Prelevare di più porta lo stock al collasso.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Un caffè a 90 °C si raffredda in una stanza a 20 °C con T′ = −0.1(T − 20) (minuti). Trova T(10).
Mostra la risposta
T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.
Un serbatoio di 100 L di acqua dolce riceve salamoia a 0.5 g/L a 2 L/min e si svuota a 2 L/min. Trova il sale dopo 50 minuti.
Mostra la risposta
x′ = 1 − x/50, x = 50(1 − e^(−t/50)); x(50) = 50(1 − e^(−1)) ≈ 31.6 g.
Trova e classifica gli equilibri di y′ = y(1 − y).
Mostra la risposta
y = 0 (f′ = 1, instabile) e y = 1 (f′ = −1, stabile).
Nell’esempio della pesca, cosa succede se H = 1200 t/anno?
Mostra la risposta
rP(1 − P/K) − H < 0 per ogni P, quindi lo stock cala fino a zero.
Errori concettuali comuni
Mito: Il tempo di ricambio è il tempo necessario a eliminare tutto l’inquinante.
In realtà: Dopo un τ ne resta il 37 %; il decadimento esponenziale non arriva mai del tutto a zero.
Mito: Più sforzo di pesca significa sempre più pescato.
In realtà: Oltre il rendimento massimo sostenibile, più prelievo riduce lo stock e il pescato futuro.
Mito: Un equilibrio è sempre il punto in cui il sistema finisce.
In realtà: Solo gli equilibri stabili attraggono le soluzioni vicine.
Flashcard
Legge di bilancio
Entrata − uscita.
Costante di tempo
τ in e^(−t/τ); il 63 % del cambiamento avviene entro τ.
Tempo di ricambio
Volume del lago ÷ portata in uscita.
Equilibrio
f(y*) = 0.
Test di stabilità
f′(y*) < 0 stabile.
Rendimento massimo sostenibile
rK/4 in P = K/2.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
L’EPA riporta tempi di ricambio dei Grandi Laghi da 2.6 anni (Erie) a 191 anni (Superiore), ed è per questo che le sostanze tossiche che entrano nel lago Superiore sono un problema di più generazioni.
Gli scienziati della pesca della NOAA valutano gli stock con modelli di popolazione basati su queste idee; il rendimento massimo sostenibile del modello logistico è il classico punto di partenza.
Su Saving Planets: Sezione Oceani · Pagina Fiumi
Fonti: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · U.S. EPA: Understanding global warming potentials · NOAA Fisheries: valutazioni delle popolazioni
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 1.6 Autonomous equations: Equilibri, crescita logistica, prelievo.
- Lebl, 1.4 Integrating factor: Problemi di miscelazione.
- OpenStax Calculus 2, 4.4 The Logistic Equation: Modello logistico.
Unità 3 · Settimane 4–5
Equazioni lineari del secondo ordine e oscillazioni
Equazioni lineari a coefficienti costanti, l’equazione caratteristica e le vibrazioni libere: non smorzate, sottosmorzate, con smorzamento critico e sovrasmorzate.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Risolvere ay″ + by′ + cy = 0 con l’equazione caratteristica.
- Gestire radici reali, ripetute e complesse.
- Modellare sistemi massa-molla-smorzatore.
- Classificare lo smorzamento e calcolare la pulsazione naturale e lo smorzamento critico.
Concetti chiave
- Prova y = e^(rt): ar² + br + c = 0. Due radici reali danno due esponenziali; una radice doppia dà (c₁ + c₂t)e^(rt); radici complesse α ± iβ danno e^(αt)(c₁ cos βt + c₂ sin βt).
- Sovrapposizione: le somme di soluzioni di un’equazione lineare omogenea sono soluzioni.
- mx″ + cx′ + kx = 0 ha pulsazione naturale ω₀ = √(k/m).
- Uno smorzamento c < 2√(mk) oscilla e decade (sottosmorzato); c = 2√(mk) ritorna nel modo più rapido senza sovraelongazione (critico).
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 3.1 Risolvi y″ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. Qual è il periodo?
Mostra i passaggi
- r² + 4 = 0, r = ±2i.
- y = cos 2t.
- Periodo 2π/2.
Risposta: y = cos 2t, periodo π ≈ 3.14.
Esempio 3.2 Risolvi y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, e trova y(1).
Mostra i passaggi
- r = −1 ± 2i.
- y = e^(−t)(cos 2t + ½ sin 2t) soddisfa entrambe le condizioni.
- y(1) = e^(−1)(cos 2 + ½ sin 2).
Risposta: ≈ 0.0142: l’oscillazione si è quasi spenta.
Esempio 3.3 Una massa di 2 kg è appesa a una molla con k = 50 N/m. Trova ω₀, la frequenza in hertz e lo smorzamento critico.
Mostra i passaggi
- ω₀ = √(50/2) = 5 rad/s.
- f = 5/(2π) = 0.796 Hz.
- c_crit = 2√(2 × 50) = 20 N·s/m.
Risposta: 5 rad/s, 0.80 Hz, 20 N·s/m.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Risolvi y″ − 3y′ + 2y = 0.
Mostra la risposta
r = 1, 2: y = c₁eᵗ + c₂e^(2t).
Risolvi y″ + 2y′ + y = 0.
Mostra la risposta
Radice doppia r = −1: y = (c₁ + c₂t)e^(−t).
Classifica x″ + 6x′ + 5x = 0.
Mostra la risposta
r = −1, −5: sovrasmorzato (c = 6 > 2√5).
Trova il periodo di x″ + 9x = 0.
Mostra la risposta
ω = 3, periodo 2π/3 ≈ 2.09.
Errori concettuali comuni
Mito: Radici complesse significano soluzioni complesse.
In realtà: Parte reale e immaginaria danno soluzioni reali: e^(αt)cos βt ed e^(αt)sin βt.
Mito: Una radice doppia dà una sola soluzione.
In realtà: La seconda è t e^(rt).
Mito: Più smorzamento significa sempre assestamento più rapido.
In realtà: I sistemi sovrasmorzati ritornano più lentamente di quelli con smorzamento critico.
Flashcard
Equazione caratteristica
ar² + br + c = 0.
Sovrapposizione
Le somme di soluzioni sono soluzioni (lineare omogenea).
Radice doppia
(c₁ + c₂t)e^(rt).
Pulsazione naturale
ω₀ = √(k/m).
Sottosmorzato
Oscilla mentre decade.
Smorzamento critico
c = 2√(mk).
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
Ogni struttura alta, dalla torre di una turbina eolica a un ponte, ha frequenze naturali fissate da rigidezza e massa, esattamente ω₀ = √(k/m) nel modello più semplice. Lo smorzamento decide quanto velocemente si spegne l’oscillazione causata dalle raffiche, e questo influisce sulla fatica e sulla durata della struttura.
Su Saving Planets: Fisica I, Unità 8: oscillazioni
Fonti: DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese) · Lebl, 2.4 Mechanical vibrations
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 2.1 Second-order linear ODEs: Teoria.
- Lebl, 2.2 Constant coefficient equations: Equazione caratteristica.
- Lebl, 2.4 Mechanical vibrations: Smorzamento.
- PhET: Masses and Springs: Simulazione.
Unità 4 · Settimana 6
Vibrazioni forzate e risonanza
Equazioni non omogenee, coefficienti indeterminati, risposta in ampiezza di un oscillatore forzato, battimenti e risonanza.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Trovare soluzioni particolari con i coefficienti indeterminati.
- Scrivere la soluzione generale come omogenea più particolare.
- Calcolare l’ampiezza a regime di un oscillatore smorzato forzato.
- Spiegare la risonanza e come gli ingegneri la evitano.
Concetti chiave
- Soluzione generale = soluzione omogenea + una soluzione particolare.
- Ipotizza la forma dalla forzante: per cos ωt prova A cos ωt + B sin ωt.
- Forzato alla pulsazione ω, un oscillatore smorzato si assesta in un moto stazionario di ampiezza X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
- Vicino a ω = ω₀ l’ampiezza ha un picco; con il rapporto di smorzamento ζ = c/c_crit, l’amplificazione dinamica massima è circa 1/(2ζ). Senza smorzamento, la risposta cresce senza limite.
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 4.1 Trova una soluzione particolare di y″ + y = cos 2t.
Mostra i passaggi
- Prova y_p = A cos 2t: −4A + A = 1.
- A = −1/3.
Risposta: y_p = −⅓ cos 2t (in opposizione di fase, perché la forzante è sopra la frequenza naturale).
Esempio 4.2 Modella la torre di una turbina eolica come un singolo oscillatore con frequenza naturale 0.30 Hz e rapporto di smorzamento ζ = 0.01 (valori di esempio). Il rotore gira a 12 giri/min = 0.20 Hz, e tre pale passano davanti alla torre a 0.60 Hz. Trova l’amplificazione dinamica in ciascun caso e alla risonanza.
Mostra i passaggi
- At 0.20 Hz, r = 0.667: 1/√((1 − 0.444)² + (0.0133)²) = 1.80.
- At 0.60 Hz, r = 2: 1/√(9 + 0.0016) = 0.333.
- At r = 1: 1/(2ζ) = 50.
Risposta: 1.8 e 0.33, ma 50 alla risonanza. Per questo i progettisti tengono la frequenza naturale della torre lontana dalle frequenze del rotore e del passaggio delle pale.
Esempio 4.3 Risolvi y″ + y = cos t, y(0) = y′(0) = 0.
Mostra i passaggi
- La forzante coincide con la frequenza naturale, quindi prova y_p = t(A cos t + B sin t).
- Sostituendo si ottiene A = 0, B = ½.
- y = ½ t sin t.
Risposta: L’ampiezza cresce come t/2 senza limite: risonanza pura.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Trova y_p per y″ + 3y′ + 2y = 4.
Mostra la risposta
y_p = 2.
Trova y_p per y″ − y = eᵗ.
Mostra la risposta
eᵗ risolve l’equazione omogenea, quindi y_p = ½ t eᵗ.
Una massa di 1 kg, k = 100 N/m, c = 2 N·s/m è forzata da 10 cos 10t N. Trova l’ampiezza a regime.
Mostra la risposta
k − mω² = 0, quindi X = 10/(2 × 10) = 0.5 m.
Per ζ = 0.05, qual è l’amplificazione massima?
Mostra la risposta
Circa 1/(2 × 0.05) = 10.
Errori concettuali comuni
Mito: La risonanza richiede una forza grande.
In realtà: Una piccola forza periodica alla frequenza naturale genera una risposta grande.
Mito: Lo smorzamento elimina la risonanza.
In realtà: Limita il picco a circa 1/(2ζ), che resta grande per strutture poco smorzate.
Mito: I coefficienti indeterminati funzionano per qualsiasi forzante.
In realtà: Solo per polinomi, esponenziali, seni e coseni e loro prodotti; altrimenti usa la variazione delle costanti o Laplace.
Flashcard
Soluzione particolare
Una qualsiasi soluzione dell’equazione forzata.
Coefficienti indeterminati
Ipotizzare la forma della forzante.
Risposta in ampiezza
X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
Rapporto di smorzamento
ζ = c/(2√(mk)).
Risonanza
Risposta grande vicino a ω₀; picco ≈ 1/(2ζ).
Battimenti
Due frequenze vicine creano un inviluppo lento.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
Le turbine eoliche diventano sempre più grandi e alte per raccogliere più energia, e le loro torri e pale sono poco smorzate. Evitare la risonanza tra la struttura e il rotore in rotazione è una parte essenziale per mantenere sicure e durature queste macchine di energia pulita. Il laboratorio D la esplora con un modello di esempio.
Su Saving Planets: Fisica I, unità 3: energia eolica
Fonti: DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese) · Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 2.5 Nonhomogeneous equations: Coefficienti indeterminati e variazione delle costanti.
- Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance: Risonanza.
- MIT OCW 18.03SC, Unit II: Equazioni del secondo ordine, lezioni ed esercizi.
Unità 5 · Settimane 7–8
Trasformate di Laplace
Trasformare le equazioni differenziali in algebra: la trasformata e la sua tabella, le derivate, le funzioni a gradino per ingressi commutati, gli impulsi e la convoluzione.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Calcolare trasformate di Laplace dalla definizione e da una tabella.
- Risolvere problemi ai valori iniziali con trasformate e fratti semplici.
- Modellare ingressi commutati con gradini unitari e traslazioni.
- Modellare impulsi improvvisi con la funzione delta.
Concetti chiave
- L{f}(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s, con i valori iniziali già inclusi.
- Ricava Y(s), scomponi in fratti semplici, poi antitrasforma con la tabella.
- Un interruttore azionato all’istante a è u(t − a); la regola di traslazione è L{u(t − a)f(t − a)} = e^(−as)F(s).
- Un colpo istantaneo è δ(t − a), con L{δ(t − a)} = e^(−as).
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 5.1 Risolvi y′ − 2y = e^(3t), y(0) = 1.
Mostra i passaggi
- sY − 1 − 2Y = 1/(s − 3).
- Y = 1/((s − 2)(s − 3)) + 1/(s − 2) = [1/(s − 3) − 1/(s − 2)] + 1/(s − 2).
- Y = 1/(s − 3).
Risposta: y = e^(3t). Verifica: 3e^(3t) − 2e^(3t) = e^(3t).
Esempio 5.2 Un lago pulito inizia a ricevere un afflusso costante di inquinante a t = 2: y′ + y = u(t − 2), y(0) = 0. Trova y(3).
Mostra i passaggi
- (s + 1)Y = e^(−2s)/s.
- 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1), quindi y = (1 − e^(−(t − 2)))u(t − 2).
- y(3) = 1 − e^(−1).
Risposta: ≈ 0.632 del livello finale, una costante di tempo dopo la commutazione.
Esempio 5.3 Un oscillatore a riposo y″ + 4y = δ(t − 1) riceve un colpo a t = 1. Trova y(1 + π/4).
Mostra i passaggi
- (s² + 4)Y = e^(−s).
- y = ½ sin(2(t − 1)) u(t − 1).
- A t = 1 + π/4: ½ sin(π/2).
Risposta: 0.5, il primo picco.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Trova L{t}.
Mostra la risposta
1/s².
Antitrasforma 3/(s² + 9).
Mostra la risposta
sin 3t.
Risolvi y′ + y = 0, y(0) = 4.
Mostra la risposta
Y = 4/(s + 1), y = 4e^(−t).
Risolvi y″ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.
Mostra la risposta
Y = 2/(s² + 1), y = 2 sin t.
Trova L{u(t − 3)}.
Mostra la risposta
e^(−3s)/s.
Errori concettuali comuni
Mito: L{fg} = L{f}L{g}.
In realtà: Il prodotto delle trasformate corrisponde alla convoluzione, non al prodotto.
Mito: Le condizioni iniziali si applicano alla fine.
In realtà: Entrano subito tramite L{y′} = sY − y(0).
Mito: Le funzioni a gradino richiedono una soluzione a tratti.
In realtà: Laplace gestisce le commutazioni in un solo passaggio.
Flashcard
Trasformata di Laplace
∫₀^∞ e^(−st) f dt.
L{y′}
sY − y(0).
L{eᵃᵗ}
1/(s − a).
Gradino unitario
u(t − a): spento e poi acceso.
Delta
δ(t − a): impulso istantaneo; L = e^(−as).
Convoluzione
L{f * g} = FG.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
Gli ingressi ambientali reali si accendono e si spengono: inizia uno scarico industriale, si ferma un rilascio da una diga, un’eruzione vulcanica immette aerosol in un’unica emissione. Ingressi a gradino e a impulso con le trasformate di Laplace danno la risposta a ciascuno in un solo calcolo, il metodo che gli ingegneri usano per il controllo delle reti elettriche e degli impianti di depurazione.
Su Saving Planets: Pagina Fiumi
Fonti: Lebl, 6.1 The Laplace transform · Lebl, 6.4 Dirac delta and impulse response
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 6.1 The Laplace transform: Definizione e tabella.
- Lebl, 6.2 Transforms of derivatives and ODEs: Risoluzione di problemi ai valori iniziali.
- Lebl, 6.3 Convolution: Convoluzione.
- Lebl, 6.4 Dirac delta: Impulsi.
Unità 6 · Settimane 9–10
Sistemi lineari, autovalori e piani delle fasi
Sistemi x′ = Ax, metodi degli autovalori, il piano delle fasi e la classificazione degli equilibri in nodi, selle, spirali e centri.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Scrivere equazioni accoppiate ed equazioni di ordine superiore come sistemi del primo ordine.
- Risolvere x′ = Ax con autovalori e autovettori.
- Disegnare ritratti di fase.
- Classificare l’origine con traccia e determinante.
Concetti chiave
- Se Av = λv, allora x = e^(λt)v risolve x′ = Ax; la soluzione generale combina un termine di questo tipo per ogni autovalore.
- Autovalori reali di segno opposto: una sella. Entrambi negativi: un nodo stabile.
- Autovalori complessi α ± iβ: spirali (stabili se α < 0); centri se α = 0.
- Per una matrice 2 × 2, λ² − (tr A)λ + det A = 0.
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 6.1 Un modello del carbonio a due compartimenti: atmosfera A e oceano O si scambiano carbonio con A′ = −0.2A + 0.1O, O′ = 0.2A − 0.1O (all’anno; tassi di esempio). Si parte con 3 unità nell’aria e nessuna nell’oceano.
Mostra i passaggi
- Autovalori: tr = −0.3, det = 0, quindi λ = 0 e −0.3.
- λ = 0 ha autovettore (1, 2): la ripartizione di equilibrio è 1 : 2. Il carbonio totale (3) si conserva, quindi A → 1, O → 2.
- A(t) = 1 + 2e^(−0.3t).
Risposta: L’aria trattiene un terzo dell’impulso in questo modello giocattolo, con scala temporale 1/0.3 ≈ 3.33 anni.
Esempio 6.2 Classifica l’origine per A = [[1, 2], [2, 1]].
Mostra i passaggi
- λ² − 2λ − 3 = 0, λ = 3, −1.
Risposta: Segni opposti: una sella (instabile).
Esempio 6.3 Classifica l’origine per A = [[−1, −2], [2, −1]].
Mostra i passaggi
- tr = −2, det = 5: λ² + 2λ + 5 = 0.
- λ = −1 ± 2i.
Risposta: Una spirale stabile: le soluzioni girano verso l’interno, decadendo come e^(−t).
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Scrivi y″ + 3y′ + 2y = 0 come sistema.
Mostra la risposta
x₁ = y, x₂ = y′: x₁′ = x₂, x₂′ = −2x₁ − 3x₂.
Autovalori di [[2, 0], [0, −3]]?
Mostra la risposta
2 e −3: una sella.
Classifica [[0, 1], [−4, 0]].
Mostra la risposta
λ = ±2i: un centro (oscillazione non smorzata).
Classifica [[−3, 1], [0, −2]].
Mostra la risposta
λ = −3, −2: un nodo stabile.
Errori concettuali comuni
Mito: Gli autovettori sono unici.
In realtà: Va bene qualsiasi multiplo non nullo.
Mito: Un autovalore nullo significa nessun moto.
In realtà: Significa una retta di equilibri o una quantità conservata, come nel modello a compartimenti del carbonio.
Mito: Gli autovalori complessi danno solo soluzioni complesse.
In realtà: Parte reale e immaginaria danno soluzioni reali.
Flashcard
Sistema lineare
x′ = Ax.
Metodo degli autovalori
x = e^(λt)v.
Sella
Autovalori reali di segno opposto.
Nodo
Autovalori reali dello stesso segno.
Spirale
Autovalori complessi, α ≠ 0.
Traccia–determinante
λ² − tr λ + det = 0.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
I modelli del ciclo del carbonio sono sistemi lineari di compartimenti (atmosfera, oceano superficiale, oceano profondo, terre emerse) che si scambiano carbonio. I loro autovalori sono le scale temporali su cui un impulso di CO₂ viene assorbito: alcune rapide, altre di secoli o più. La panoramica della NASA sul ciclo del carbonio descrive i cicli rapido e lento che questi compartimenti rappresentano.
Su Saving Planets: Sezione Oceani
Fonti: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 3.1 Introduction to systems: Sistemi.
- Lebl, 3.4 Eigenvalue method: Autovalori.
- Lebl, 3.5 Two-dimensional systems and their vector fields: Ritratti di fase.
Unità 7 · Settimane 11–12
Sistemi non lineari e stabilità
Equilibri dei sistemi non lineari, linearizzazione con la jacobiana, cicli preda-predatore e il modello epidemico SIR.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Trovare gli equilibri di sistemi non lineari.
- Linearizzare con la jacobiana e classificare gli equilibri.
- Analizzare il modello preda-predatore di Lotka–Volterra.
- Usare il modello SIR: R₀, soglia di immunità di gregge e dimensione finale.
Concetti chiave
- Vicino a un equilibrio, un sistema non lineare si comporta come la sua linearizzazione x′ = J x, dove J è la jacobiana (a meno che la linearizzazione non sia un centro).
- Lotka–Volterra: prede x′ = ax − bxy, predatori y′ = −cy + dxy. L’equilibrio è (c/d, a/b); le popolazioni ruotano attorno a esso.
- SIR: S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI. Il numero di riproduzione di base è R₀ = β/γ; un focolaio cresce solo se R₀S > 1.
- La soglia di immunità di gregge è 1 − 1/R₀; la quota finale di non infetti s∞ risolve ln s∞ = R₀(s∞ − 1).
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 7.1 Prede e predatori seguono x′ = x − 0.02xy, y′ = −0.5y + 0.005xy (valori di esempio, anni). Trova l’equilibrio di coesistenza e il periodo dei piccoli cicli.
Mostra i passaggi
- x′ = 0 richiede y = 1/0.02 = 50; y′ = 0 richiede x = 0.5/0.005 = 100.
- Lì la jacobiana ha autovalori ±i√(ac) = ±i√0.5.
- Periodo 2π/√0.5.
Risposta: 100 prede e 50 predatori; i piccoli cicli durano circa 8.9 anni, con i predatori in ritardo rispetto alle prede.
Esempio 7.2 Un’epidemia ha β = 0.3 al giorno e γ = 0.1 al giorno. Trova R₀, la soglia di immunità di gregge e la quota finale di infettati.
Mostra i passaggi
- R₀ = 3.
- Soglia 1 − 1/3 = 0.667.
- Itera s = e^(3(s − 1)): s∞ = 0.0595.
Risposta: R₀ = 3; un’immunità del 67 % ferma la crescita; senza interventi circa il 94 % viene infine infettato, più della soglia perché l’epidemia la supera.
Esempio 7.3 Classifica l’equilibrio P = K della crescita logistica P′ = rP(1 − P/K).
Mostra i passaggi
- f′(P) = r − 2rP/K; f′(K) = −r < 0.
Risposta: Stabile: le piccole perturbazioni decadono con tasso r.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Trova gli equilibri di x′ = x(3 − x − y), y′ = y(2 − x − y).
Mostra la risposta
(0, 0), (3, 0), (0, 2) (nessuno interno: le rette x + y = 3 e x + y = 2 sono parallele).
Linearizza x′ = sin x vicino a x = 0 e x = π.
Mostra la risposta
f′(0) = 1 (instabile), f′(π) = −1 (stabile).
Se R₀ = 2, qual è la soglia di immunità di gregge?
Mostra la risposta
1 − 1/2 = 50%.
Nell’esempio preda-predatore, cosa succede alle prede se si eliminano i predatori?
Mostra la risposta
x′ = x: crescita esponenziale (finché non intervengono altri limiti).
Errori concettuali comuni
Mito: La linearizzazione prevede sempre il comportamento.
In realtà: Non quando dà un centro; decidono i termini non lineari.
Mito: Immunità di gregge significa che l’epidemia si ferma subito.
In realtà: Le infezioni calano dopo la soglia ma possono ancora superarla.
Mito: I cicli preda-predatore significano che il modello è instabile.
In realtà: Le orbite di Lotka–Volterra sono chiuse: neutralmente stabili, né crescono né si riducono.
Flashcard
Jacobiana
Matrice delle derivate parziali prime.
Linearizzazione
x′ ≈ J x vicino a un equilibrio.
Lotka–Volterra
Cicli preda-predatore attorno a (c/d, a/b).
SIR
Suscettibili, infetti, guariti.
R₀
β/γ, nuove infezioni per caso.
Soglia di immunità di gregge
1 − 1/R₀.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
Sull’Isle Royale, nel lago Superiore, il National Park Service registra il numero di lupi e alci dal 1980, una lunga serie preda-predatore. I loro alti e bassi collegati, e la decisione del Park Service di trasferire nuovi lupi sull’isola, sono esattamente il tipo di sistema che i modelli di Lotka–Volterra iniziano a spiegare.
La stessa matematica SIR che guida la risposta sanitaria pubblica si usa per le malattie della fauna che minacciano gli ecosistemi.
Su Saving Planets: Sezione Oceani
Fonti: National Park Service: Wolves of Isle Royale · Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 8.1 Linearization, critical points and equilibria: Linearizzazione.
- Lebl, 8.2 Stability and classification: Stabilità.
- Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems: Preda-predatore e altro.
Unità 8 · Settimana 13
Metodi numerici
Metodi di Eulero, Eulero migliorato e Runge–Kutta, passo ed errore, e un modello climatico di bilancio energetico risolto numericamente.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Applicare Eulero, Eulero migliorato (Heun) e RK4.
- Spiegare l’ordine di un metodo e come l’errore scala con il passo.
- Risolvere sistemi numericamente.
- Costruire e risolvere un modello climatico di bilancio energetico a zero dimensioni.
Concetti chiave
- Eulero avanza lungo la pendenza: y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). Il suo errore globale è proporzionale a h.
- Eulero migliorato fa la media di due pendenze (errore ∝ h²); RK4 di quattro (errore ∝ h⁴).
- Dimezzare h riduce l’errore di RK4 di circa 16 volte, ed è per questo che è il metodo di riferimento.
- Bilancio energetico: C dT/dt = luce solare assorbita − εσT⁴. Il suo equilibrio e la sua scala temporale derivano direttamente dall’equazione.
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 8.1 Approssima y(1) per y′ = y, y(0) = 1 con h = 0.1 usando Eulero, Eulero migliorato e RK4.
Mostra i passaggi
- Ogni passo di Eulero moltiplica per 1.1: 1.1¹⁰ = 2.5937.
- Eulero migliorato moltiplica per 1.105: 2.7141.
- RK4 moltiplica per 1.1051708: 2.7182797.
Risposta: Valore vero e = 2.7182818. Errori: 0.12, 0.0042 e 0.000002.
Esempio 8.2 La Terra assorbe 340 × (1 − 0.29) = 241.4 W/m² di luce solare (NASA). Se irradiasse come un corpo nero (ε = 1), quale temperatura la bilancerebbe? Quale ε effettiva dà la media attuale di circa 288 K?
Mostra i passaggi
- σT⁴ = 241.4 dà T = (241.4/5.67 × 10⁻⁸)^(1/4) = 255 K.
- ε = 241.4/(σ × 288⁴) = 0.619.
Risposta: 255 K (−18 °C) senza effetto serra; un’emissività effettiva di 0.62 rappresenta l’effetto serra che rende abitabile la Terra.
Esempio 8.3 Con ε = 0.619 a 288 K e uno strato di rimescolamento oceanico profondo 50 m (C = 1000 × 4186 × 50 J/(m²·K); profondità di esempio), trova λ, la scala temporale e il riscaldamento senza retroazioni per un forzante di 4 W/m² (valore di esempio).
Mostra i passaggi
- λ = 4εσT³ = 3.35 W/(m²·K).
- τ = C/λ = 6.24 × 10⁷ s ≈ 1.98 anni (circa 2).
- ΔT = 4/3.35.
Risposta: Circa 1.2 K di riscaldamento, raggiunto su una scala di 2 anni in questo modello semplice. Le retroazioni reali (vapore acqueo, ghiaccio) rendono il riscaldamento maggiore, come valuta l’IPCC.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Un passo di Eulero per y′ = t + y, y(0) = 1, h = 0.1.
Mostra la risposta
y₁ = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1.
Se l’errore di Eulero è 0.12 con h = 0.1, stimalo con h = 0.05.
Mostra la risposta
Circa 0.06 (primo ordine).
Se l’errore di RK4 è 2 × 10⁻⁶ con h = 0.1, stimalo con h = 0.05.
Mostra la risposta
Circa 2 × 10⁻⁶/16 ≈ 1.3 × 10⁻⁷.
Quale temperatura di equilibrio dà il modello di bilancio energetico con ε = 1 e albedo 0.29?
Mostra la risposta
Circa 255 K.
Errori concettuali comuni
Mito: Passi più piccoli sono sempre meglio.
In realtà: Arrotondamento e costo crescono; un metodo di ordine superiore di solito è meglio di minuscoli passi di Eulero.
Mito: Una risposta numerica è esatta se il codice gira.
In realtà: Controlla sempre la convergenza dimezzando h.
Mito: Il risultato di 255 K significa che il modello è sbagliato.
In realtà: Mostra quanto l’effetto serra riscalda la Terra: circa 33 K.
Flashcard
Metodo di Eulero
y + h f.
Eulero migliorato
Media di due pendenze; ordine 2.
RK4
Quattro pendenze; ordine 4.
Passo
h; controlla la convergenza dimezzandolo.
Modello di bilancio energetico
C T′ = S(1 − α) − εσT⁴.
Scala temporale climatica
τ = C/λ.
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
Ogni modello climatico, da questo bilancio energetico di una riga ai modelli globali valutati dall’IPCC, è un sistema di equazioni differenziali risolto numericamente. Il bilancio energetico della NASA fornisce i dati: in media arrivano 340 W/m² di luce solare e il 29% viene riflesso.
Su Saving Planets: Introduzione alla programmazione, unità di simulazione
Fonti: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 1.7 Numerical methods: Euler’s method: Eulero ed errore.
- Trench, Ch. 3: Numerical methods: Eulero migliorato e RK4.
Unità 9 · Settimana 14
Soluzioni per serie, serie di Fourier ed equazione del calore
Soluzioni in serie di potenze di EDO, serie di Fourier di funzioni periodiche e separazione delle variabili per l’equazione del calore.
Obiettivi di apprendimento
Alla fine di questa unità saprai:
- Trovare soluzioni in serie di potenze da una ricorrenza.
- Calcolare i coefficienti di Fourier di semplici funzioni periodiche.
- Risolvere l’equazione del calore su una barra per separazione delle variabili.
- Stimare quanto in profondità arrivano nel suolo le onde di temperatura stagionali.
Concetti chiave
- Sostituire y = Σaₙxⁿ, uguagliare le potenze e ottenere una ricorrenza per i coefficienti.
- Una funzione periodica è una somma di seni e coseni; per una funzione dispari su (−π, π), bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
- L’equazione del calore u_t = α u_xx diffonde il calore; ogni modo seno decade come e^(−α(nπ/L)²t), prima i modi veloci.
- Una temperatura superficiale periodica penetra nel suolo con profondità di smorzamento d = √(2α/ω).
Equazioni chiave
Esempi svolti passo passo
Esempio 9.1 Risolvi y″ + y = 0 con le serie di potenze.
Mostra i passaggi
- Σ(n + 2)(n + 1)aₙ₊₂xⁿ + Σaₙxⁿ = 0.
- aₙ₊₂ = −aₙ/((n + 2)(n + 1)).
- I termini pari formano cos x, i dispari sin x.
Risposta: y = a₀ cos x + a₁ sin x, ricavata dalla ricorrenza.
Esempio 9.2 Trova la serie di Fourier dell’onda quadra f = 1 su (0, π), −1 su (−π, 0).
Mostra i passaggi
- Dispari, quindi solo seni: bₙ = (2/π)∫₀^π sin nx dx = (2/(nπ))(1 − cos nπ).
- bₙ = 4/(nπ) per n dispari, 0 per n pari.
Risposta: f = (4/π)(sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …); b₁ ≈ 1.273.
Esempio 9.3 Un suolo con diffusività α = 5 × 10⁻⁷ m²/s (valore di esempio) subisce un ciclo annuale di temperatura in superficie. Trova la profondità di smorzamento.
Mostra i passaggi
- ω = 2π/(3.156 × 10⁷ s) = 1.99 × 10⁻⁷ s⁻¹.
- d = √(2 × 5 × 10⁻⁷/1.99 × 10⁻⁷).
Risposta: Circa 2.24 m: l’escursione annuale si riduce di un fattore e ogni 2.2 m di profondità, quindi il suolo profondo risponde al riscaldamento lentamente, nell’arco di molti anni.
Esercizi
Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.
Trova la ricorrenza per y′ = y con le serie di potenze.
Mostra la risposta
aₙ₊₁ = aₙ/(n + 1), quindi y = a₀eˣ.
f(x) = x² è pari o dispari? Quali termini di Fourier compaiono?
Mostra la risposta
Pari: solo coseni (più una costante).
Un modo della barra decade come e^(−α(π/L)²t). Come cambia il tempo di decadimento raddoppiando L?
Mostra la risposta
Il tempo di decadimento si moltiplica per 4.
Trova b₃ per l’onda quadra.
Mostra la risposta
4/(3π) ≈ 0.424.
Errori concettuali comuni
Mito: Le serie di Fourier funzionano solo per funzioni lisce.
In realtà: Funzionano anche con salti, convergendo al punto medio del salto.
Mito: Il calore si diffonde a velocità fissa.
In realtà: Il tempo di diffusione cresce con il quadrato della distanza.
Mito: Le soluzioni in serie sono sempre migliori delle formule.
In realtà: Sono più utili quando non esiste una forma chiusa, come per le equazioni di Airy o di Bessel.
Flashcard
Metodo delle serie di potenze
Sostituire Σaₙxⁿ; ottenere una ricorrenza.
Serie di Fourier
Somma di seni e coseni.
Coefficiente di Fourier
bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
Equazione del calore
u_t = α u_xx.
Separazione delle variabili
u = X(x)T(t).
Profondità di smorzamento
√(2α/ω).
Quiz di autoverifica
Come questo aiuta a salvare il pianeta
Secondo la NASA, il permafrost dell’emisfero settentrionale contiene circa 1672 miliardi di tonnellate di carbonio organico. Quanto velocemente il riscaldamento superficiale lo raggiunge è un problema dell’equazione del calore, e la profondità di smorzamento mostra perché gli strati profondi rispondono lentamente ma continuano a rispondere a lungo dopo che la superficie si è riscaldata.
Su Saving Planets: Analisi III
Fonti: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · Lebl, 4.6 PDEs, separation of variables, and the heat equation
Risorse di apprendimento gratuite
- Lebl, 7.1 Power series: Serie di potenze.
- Lebl, 7.2 Series solutions of linear second-order ODEs: Soluzioni in serie.
- Lebl, 4.2 Trigonometric series: Serie di Fourier.
- Lebl, 4.6 The heat equation: Equazione del calore.
Laboratori al computer
Quattro laboratori al computer: un’epidemia SIR risolta con Eulero e RK4, un piano delle fasi preda-predatore, un modello climatico di bilancio energetico e una scansione in frequenza di un modello di torre eolica.
I parametri di esempio sono indicati come tali; ogni laboratorio rimanda a una fonte pubblica sul sistema reale.
Riferimento per la sicurezza: Lebl: Notes on Diffy Qs (free textbook)
Laboratorio A: un’epidemia SIR con Eulero e RK4
Settimana 12
Obiettivo: Risolvi numericamente il modello SIR, trova il picco e confronta Eulero e RK4 con la dimensione finale esatta.
Procedimento
- Parti da S = 0.999, I = 0.001, R = 0 (frazioni della popolazione).
- Esegui Eulero con h = 1 giorno e h = 0.1 giorno fino al giorno 160, poi RK4 con h = 1 giorno.
- Registra la R finale, il picco di I e quando si verifica; confronta con la teoria.
Tabella dei dati
| Metodo | R finale (giorno 160) |
|---|---|
| Eulero, h = 1 | 0.9467 |
| Eulero, h = 0.1 | 0.9411 |
| RK4, h = 1 | 0.9405 |
| Dimensione finale esatta (teoria) | 0.9405 |
Valori calcolati per tassi di esempio; non è un’epidemia reale.
Calcolo di esempio
- Il picco è il 30.1% di infetti contemporaneamente, vicino al giorno 38.4; la teoria dà I_max = 1 − (1 + ln R₀)/R₀ = 0.300.
- Eulero con h = 1 sovrastima la dimensione finale di 0.006; RK4 con lo stesso passo coincide con la teoria fino a 4 cifre.
Sicurezza
- Nessuna, oltre al normale uso del computer.
Alternativa a casa o virtuale
- Va bene un foglio di calcolo; Python è più comodo per RK4.
Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems
Legame con il pianeta: La stessa struttura di modello si usa per le epidemie nelle persone e nella fauna.
Laboratorio B: il piano delle fasi preda-predatore
Settimana 11
Obiettivo: Integra il modello di Lotka–Volterra con RK4 e traccia l’orbita chiusa nel piano delle fasi.
Procedimento
- Parti da 150 prede e 50 predatori.
- Usa RK4 con un passo piccolo (0.001 anni in Python, o 0.01 in un foglio di calcolo) per 40 anni.
- Traccia y in funzione di x e registra l’intervallo delle prede e il periodo.
Tabella dei dati
| Grandezza | Valore |
|---|---|
| Equilibrio | (100, 50) |
| Intervallo delle prede | da 62.6 a 150 |
| Periodo | 8.99 anni |
| Periodo dei piccoli cicli (teoria lineare) | 8.89 anni |
Valori calcolati; parametri di esempio.
Calcolo di esempio
- L’orbita si chiude: le popolazioni si ripetono ogni 8.99 anni, poco più degli 8.89 anni previsti dalla teoria lineare per piccoli cicli, perché questo ciclo è grande.
- I predatori raggiungono il picco dopo le prede, un ritardo visto in molti dati reali preda-predatore.
Sicurezza
- Nessuna, oltre al normale uso del computer.
Alternativa a casa o virtuale
- Desmos può disegnare il campo di pendenze del piano delle fasi.
Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)
Legame con il pianeta: Serie lunghe come quelle dei lupi e delle alci dell’Isle Royale mettono alla prova questi modelli. National Park Service: Wolves of Isle Royale
Laboratorio C: un modello climatico di bilancio energetico
Settimana 13
Obiettivo: Fai avanzare nel tempo un modello climatico a una scatola dopo un forzante improvviso e trova la sua scala temporale.
Procedimento
- Usa C = 2.09 × 10⁸ J/(m²·K) (50 m di oceano), λ = 3.35 W/(m²·K) dall’unità 8 e un forzante improvviso F = 4 W/m² (valore di esempio).
- Avanza con Eulero a passi mensili per 10 anni.
- Confronta con la soluzione esatta ΔT = (F/λ)(1 − e^(−t/τ)).
Tabella dei dati
| Anno | ΔT (K) |
|---|---|
| 1 | 0.48 |
| 2 | 0.77 |
| 5 | 1.10 |
| 10 | 1.19 |
Valori calcolati dal modello; nessuna retroazione oltre alla radiazione.
Calcolo di esempio
- Equilibrio ΔT = F/λ = 1.19 K; τ = C/λ ≈ 2.0 anni, quindi il riscaldamento è compiuto per circa il 63% dopo 2 anni in questo modello.
- Il clima reale risponde più lentamente e si riscalda di più, perché il calore si mescola nell’oceano profondo e le retroazioni lo amplificano.
Sicurezza
- Nessuna, oltre al normale uso del computer.
Alternativa a casa o virtuale
- Basta un foglio di calcolo.
NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget
Legame con il pianeta: I modelli di bilancio energetico sono il primo passo verso le proiezioni climatiche valutate dall’IPCC. IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis
Laboratorio D: scansione di risonanza di un modello di torre eolica
Settimana 6
Obiettivo: Calcola l’amplificazione dinamica di un modello di torre a un solo oscillatore al variare della frequenza forzante.
Procedimento
- Usa f₀ = 0.30 Hz e ζ = 0.01 (valori di esempio).
- Tabula A per frequenze forzanti da 0.1 a 0.6 Hz.
- Segna la frequenza del rotore (0.20 Hz a 12 giri/min) e la frequenza di passaggio delle pale (0.60 Hz) e valuta il progetto.
Tabella dei dati
| Frequenza forzante (Hz) | Amplificazione |
|---|---|
| 0.10 | 1.12 |
| 0.20 | 1.80 |
| 0.25 | 3.27 |
| 0.30 | 50.0 |
| 0.35 | 2.76 |
| 0.60 | 0.333 |
Valori calcolati per un modello di esempio, non per una turbina specifica.
Calcolo di esempio
- Entrambe le frequenze di esercizio sono ben lontane dal picco a 0.30 Hz, dove la risposta sarebbe 50 volte la deflessione statica.
- Se il rotore accelerasse a 18 giri/min (0.30 Hz), forzerebbe la torre in risonanza; per questo i progettisti confrontano la frequenza propria con l’intero intervallo di velocità.
Sicurezza
- Nessuna, oltre al normale uso del computer.
Alternativa a casa o virtuale
- Basta un foglio di calcolo.
Legame con il pianeta: Evitare la risonanza permette alle turbine eoliche di produrre energia pulita in sicurezza per decenni. DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese)
Serie di esercizi per gli esami
Cronometrati: circa 10 minuti per problema. Poi confronta con le soluzioni complete.
Esercizi di preparazione all’esame intermedio (unità 1–5)
Risolvi y′ = −2ty, y(0) = 3, e trova y(1).
Mostra la soluzione completa
- dy/y = −2t dt; y = 3e^(−t²).
Risposta: 3e^(−1) ≈ 1.104.
Un lago con tempo di ricambio di 4 anni: quanto tempo serve perché un inquinante si dimezzi dopo l’arresto dell’afflusso?
Mostra la soluzione completa
- t = 4 ln 2.
Risposta: ≈ 2.77 anni.
Risolvi y″ + 6y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, e trova y(1).
Mostra la soluzione completa
- y = (1 + 3t)e^(−3t).
Risposta: 4e^(−3) ≈ 0.199.
Risolvi y′ + y = 1, y(0) = 0 con Laplace e trova y(2).
Mostra la soluzione completa
- Y = 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1).
Risposta: 1 − e^(−2) ≈ 0.865.
Serie di esercizi finale (tutte le unità)
Classifica l’origine di x′ = [[0, 1], [−2, −2]]x.
Mostra la soluzione completa
- λ² + 2λ + 2 = 0, λ = −1 ± i.
Risposta: Fuoco stabile.
Un’epidemia SIR ha β = 0.5, γ = 0.25 al giorno. Trova R₀ e la soglia di immunità di gregge.
Mostra la soluzione completa
- R₀ = 2.
Risposta: R₀ = 2, soglia 50%.
Due passi di Eulero con h = 0.5 per y′ = −y, y(0) = 1.
Mostra la soluzione completa
- Ogni passo moltiplica per 0.5.
Risposta: y(1) ≈ 0.25 (valore vero e^(−1) ≈ 0.368).
Un sistema massa-molla con m = 1 kg, k = 16 N/m, c = 0.4 N·s/m. Trova ω₀ e ζ.
Mostra la soluzione completa
- ω₀ = 4 rad/s; c_crit = 8.
Risposta: ω₀ = 4 rad/s, ζ = 0.05 (amplificazione di picco circa 10).
Formulario
Costanti
| Costante | Valore |
|---|---|
| Costante di Stefan–Boltzmann σ | 5.67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) |
| Luce solare media alla sommità dell’atmosfera | 340 W/m² |
| Frazione di luce solare riflessa | 29% |
| Tempo di ricambio del lago Superiore | 191 anni |
| Tempo di ricambio del lago Erie | 2.6 anni |
| Vita media del metano | circa un decennio |
Fonte: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget
Testi e strumenti gratuiti
Usa questi libri e strumenti gratuiti insieme al corso.
- Lebl: Notes on Diffy Qs: Libro di testo gratuito e completo per questo corso.
- Trench: Elementary Differential Equations (free text): Libro gratuito con molti esercizi.
- MIT OpenCourseWare 18.03SC Differential Equations: Lezioni, esercitazioni e problemi del MIT, gratuiti.
- Calcolatrice grafica Desmos: Traccia soluzioni e campi di pendenze.
- PhET: Masses and Springs: Intuizione su smorzamento e oscillazioni.
Glossario
- Equazione autonoma
- y′ = f(y), senza t esplicito.
- Equazione caratteristica
- ar² + br + c = 0 per EDO a coefficienti costanti.
- Smorzamento critico
- Ritorno più rapido senza sovraelongazione.
- Autovalore
- λ con Av = λv.
- Modello di bilancio energetico
- Modello climatico che bilancia luce solare assorbita e calore emesso.
- Equilibrio
- Soluzione costante.
- Metodo di Eulero
- Avanzamento numerico del primo ordine.
- Equazione esatta
- M dx + N dy = 0 con M_y = N_x.
- Serie di Fourier
- Sviluppo in seni e coseni.
- Equazione del calore
- u_t = α u_xx.
- Fattore integrante
- Moltiplicatore che rende esatta un’EDO lineare.
- Jacobiana
- Matrice delle derivate parziali prime usata per linearizzare.
- Trasformata di Laplace
- ∫₀^∞ e^(−st) f dt.
- Lotka–Volterra
- Modello preda-predatore.
- Ritratto di fase
- Traiettorie nel piano degli stati.
- Risonanza
- Grande risposta quando la forzante coincide con una frequenza propria.
- Runge–Kutta (RK4)
- Metodo numerico del quarto ordine.
- R₀
- Numero di riproduzione di base.
- Modello SIR
- Modello epidemico suscettibili–infetti–guariti.
- Equazione a variabili separabili
- dy/dx = g(x)h(y).
Griglia di autovalutazione
Non si assegnano voti né crediti. Usala per valutare onestamente a che punto sei in ogni unità.
| Livello | Come si presenta |
|---|---|
| 4 · Padronanza | Costruisce modelli da una descrizione, li risolve con formule e numericamente, controlla unità e comportamento a lungo termine. |
| 3 · Competente | Risolve gli esercizi con qualche errore occasionale. |
| 2 · In sviluppo | Segue gli esempi svolti ma fatica a impostare modelli o a scegliere un metodo. |
| 1 · Principiante | Applica formule senza verificare le soluzioni; deve rivedere l’unità. |
Pesi suggeriti se vuoi un punteggio
| Parte | Peso |
|---|---|
| Esercizi | 30% |
| Laboratori al computer | 15% |
| Serie di esercizi di metà corso | 25% |
| Serie di esercizi finale | 30% |
Punta al livello 3 o superiore in ogni unità prima di passare al corso successivo.