Ecuaciones diferenciales

Modelar el cambio: ecuaciones de primer orden, oscilaciones y resonancia, transformadas de Laplace, sistemas y planos de fase, estabilidad, métodos numéricos y la ecuación del calor, con cuatro prácticas de computadora sobre epidemias, depredadores y presas, clima y vibración de aerogeneradores.

NASA Blue MarbleNASA/JPL-CaltechNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)CNES (PIA25623)

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Sobre este curso

Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.

Su alcance sigue un curso de segundo año de ecuaciones diferenciales ordinarias, basado en los temas y la profundidad de MIT OpenCourseWare 18.03 y de los libros gratuitos de Jiří Lebl (Notes on Diffy Qs) y William Trench, y en los programas de cursos como Georgia Tech MATH 2552 y Stanford Math 53. Enlazamos a los materiales gratuitos a lo largo del curso. Ninguno de esos autores u organizaciones respalda esta página.

Lo que añadimos: cada unidad se conecta con un problema real del planeta con una fuente pública citada (lagos, metano, pesquerías, carbono, clima, epidemias, aerogeneradores), cada número de la página se vuelve a calcular con un script de verificación antes de publicarse, y cuatro prácticas de computadora resuelven modelos reales numéricamente.

Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

Casi todo modelo del planeta vivo es una ecuación diferencial: qué tan rápido un lago expulsa un contaminante, cómo se recupera una población de peces, cómo se mueve el carbono entre el aire y el mar, qué tan rápido se calienta la Tierra cuando cambia su balance energético, cómo se propaga una epidemia y cómo oscila la torre de un aerogenerador.

Cada unidad termina con una breve sección con fuentes que muestra cómo sus ideas ayudan tanto a las personas como a la naturaleza. Los parámetros de modelo que no provienen de una fuente se marcan como valores de ejemplo.

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Antes de empezar

Requisitos previos

  • Cálculo I y II: derivadas, integrales, fracciones parciales, series de Taylor.
  • Matrices, determinantes y valores propios de matrices 2 × 2 (se ven brevemente en la unidad 6).
  • Cálculo III ayuda con la ecuación del calor, pero no es obligatorio.

Cómo estudiar

  • Comprueba cada solución sustituyéndola de nuevo en la ecuación.
  • Resuelve cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta.
  • Esboza un campo de pendientes o un retrato de fase antes de resolver; ten claro cómo debería ser la respuesta.
  • Pregunta en cada modelo: ¿cuáles son las unidades y tiene sentido el comportamiento a largo plazo?
  • Resuelve también numéricamente un problema de cada unidad y compáralo con la fórmula.
  • Repite los cuestionarios unos días después. La práctica espaciada es mejor que una sesión larga.

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

  • Una computadora o tableta con una hoja de cálculo.
  • Una calculadora gráfica gratuita como Desmos.
  • Opcional: Python con NumPy (gratis en Google Colab).

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Calendario sugerido de 15 semanas

Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.

SemanaUnidadTemasLectura
1Ecuaciones de primer ordenCampos de pendientes; ecuaciones separablesLebl 1.1–1.3
2Ecuaciones de primer ordenEcuaciones lineales y exactas; existencia y unicidadLebl 1.2, 1.4, 1.8
3Modelado con ecuaciones de primer ordenModelado: mezclas, decaimiento, crecimiento logístico, cosechaLebl 1.6
4Ecuaciones lineales de segundo orden y oscilacionesEcuaciones lineales de segundo orden; ecuación característicaLebl 2.1–2.2
5Ecuaciones lineales de segundo orden y oscilacionesVibraciones mecánicas y amortiguamientoLebl 2.4
6Vibración forzada y resonanciaCoeficientes indeterminados; oscilación forzada y resonancia; práctica DLebl 2.5–2.6
7Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace; resolución de PVILebl 6.1–6.2
8Transformadas de LaplaceFunciones escalón, impulsos, convolución; repaso para el parcialLebl 6.3–6.4
9Sistemas lineales, valores propios y planos de faseSistemas; matrices y valores propiosLebl 3.1–3.4
10Sistemas lineales, valores propios y planos de faseRetratos de fase y clasificaciónLebl 3.5
11Sistemas no lineales y estabilidadSistemas no lineales, linealización; depredador-presa; práctica BLebl 8.1–8.3
12Sistemas no lineales y estabilidadEstabilidad; epidemias SIR; práctica ALebl 8.2–8.3
13Métodos numéricosMétodos numéricos; modelo de balance energético; práctica CLebl 1.7, Trench 3
14Soluciones en series, series de Fourier y la ecuación del calorSoluciones en series; series de Fourier; ecuación del calorLebl 7.1–7.2, 4.2, 4.6
15RepasoRepaso y serie de práctica finalTodas las unidades

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Tu progreso

Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.

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Unidad 1 · Semanas 1–2

Ecuaciones de primer orden

Campos de pendientes, ecuaciones separables, ecuaciones lineales con factor integrante, ecuaciones exactas, y cuándo una solución existe y es única.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Leer un campo de pendientes y esbozar soluciones.
  • Resolver ecuaciones de primer orden separables y lineales.
  • Reconocer y resolver ecuaciones exactas.
  • Enunciar el teorema de existencia y unicidad y detectar cuándo falla.

Conceptos clave

  • Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con sus derivadas; una solución es una función que la hace verdadera.
  • Separable: dy/dx = g(x)h(y). Divide e integra ambos lados.
  • Lineal: y′ + p(x)y = q(x). Multiplica por el factor integrante μ = e^(∫p dx) para que el lado izquierdo se convierta en (μy)′.
  • Exacta: M dx + N dy = 0 con M_y = N_x es dF = 0, así que F(x, y) = C.
  • Si f y ∂f/∂y son continuas cerca de (x₀, y₀), entonces y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ tiene exactamente una solución cerca. Aun así, las soluciones pueden explotar en tiempo finito.

Ecuaciones clave

dyh(y)=g(x) dx\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx
Ecuación separable
μ=e∫p dx,(μy)′=μq\mu=e^{\int p\,dx},\quad(\mu y)'=\mu q
Factor integrante
My=Nx⇒F(x,y)=CM_y=N_x\Rightarrow F(x,y)=C
Ecuación exacta
y′=f(x,y), y(x0)=y0y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0
Problema de valor inicial

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1.1 Resuelve dy/dx = xy, y(0) = 2, y halla y(1).

Ver los pasos
  1. dy/y = x dx, así que ln|y| = x²/2 + C.
  2. y = 2e^(x²/2).
  3. y(1) = 2e^0.5.

Respuesta: ≈ 3.297.

Ejemplo 1.2 Resuelve y′ + 2y = 4, y(0) = 0, y halla y(1).

Ver los pasos
  1. μ = e^(2t), así que (e^(2t)y)′ = 4e^(2t).
  2. e^(2t)y = 2e^(2t) + C; y(0) = 0 da C = −2.
  3. y = 2(1 − e^(−2t)).

Respuesta: y(1) ≈ 1.729, acercándose al estado estacionario 2.

Ejemplo 1.3 Resuelve 2xy dx + (x² + 2y) dy = 0 con y(0) = 1, y halla y cuando x = 1.

Ver los pasos
  1. M_y = 2x = N_x: exacta.
  2. F = x²y + y²; F(0, 1) = 1.
  3. En x = 1: y + y² = 1, así que y = (−1 + √5)/2.

Respuesta: ≈ 0.618.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Resuelve y′ = y², y(0) = 1. ¿Dónde existe la solución?

    Ver la respuesta

    y = 1/(1 − t); explota en t = 1, aunque y² es suave en todas partes.

  2. Resuelve t y′ + y = t² para t > 0.

    Ver la respuesta

    (ty)′ = t², así que y = t²/3 + C/t.

  3. Resuelve y′ = −y/τ.

    Ver la respuesta

    y = y₀e^(−t/τ).

  4. ¿Es exacta (y cos x) dx + (sin x + 2y) dy = 0? Resuélvela.

    Ver la respuesta

    M_y = cos x = N_x; F = y sin x + y² = C.

  5. ¿Tiene y′ = √y, y(0) = 0 solución única?

    Ver la respuesta

    No: y = 0 e y = t²/4 sirven ambas; ∂f/∂y = 1/(2√y) no es continua en y = 0.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Toda ecuación de primer orden es separable.

    En realidad: y′ = x + y no lo es; es lineal.

  • Mito: Olvidar +C hasta el final no pasa nada.

    En realidad: Añade C al integrar, antes de despejar y, o la condición inicial saldrá mal.

  • Mito: Un lado derecho suave significa que la solución existe para siempre.

    En realidad: y′ = y² explota en un tiempo finito.

Tarjetas de estudio

  • Separable

    dy/dx = g(x)h(y).

  • Lineal de primer orden

    y′ + p y = q.

  • Factor integrante

    μ = e^(∫p dx).

  • Exacta

    M_y = N_x; F = C.

  • Problema de valor inicial

    Una EDO más y(x₀) = y₀.

  • Existencia y unicidad

    f, f_y continuas ⇒ una solución local.

Cuestionario de autoevaluación

1. El factor integrante de y′ + 3y = x es…

Ver la respuesta

e^(3x). e^(∫3 dx).

2. M dx + N dy = 0 es exacta cuando…

Ver la respuesta

M_y = N_x. Las derivadas cruzadas de F coinciden.

3. y′ = ky tiene solución…

Ver la respuesta

y₀e^(kt). Separable.

4. La unicidad puede fallar cuando…

Ver la respuesta

∂f/∂y es discontinua. p. ej., y′ = √y en 0.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La ecuación de primer orden más simple, y′ = −y/τ, describe cómo se elimina un contaminante de un lago bien mezclado o cómo un gas sale de la atmósfera. Su único número, la escala de tiempo τ, decide si un error se desvanece en años o dura siglos (unidad 2).

En Saving Planets: Página de Ríos

Fuentes: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · Lebl, 1.4 Linear equations and the integrating factor

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Unidad 2 · Semana 3

Modelado con ecuaciones de primer orden

Convertir una situación en una ecuación: mezclas y contaminación de lagos, decaimiento y tiempos de vida, enfriamiento de Newton, crecimiento logístico, cosecha, y equilibrios con su estabilidad.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Construir modelos de tasa de entrada menos tasa de salida.
  • Interpretar constantes de tiempo y tiempos de vida.
  • Hallar los equilibrios de ecuaciones autónomas y clasificar su estabilidad.
  • Usar el modelo logístico con cosecha para hallar el rendimiento máximo sostenible.

Conceptos clave

  • Tasa de cambio = tasa de entrada − tasa de salida. Escribe las unidades de cada término.
  • Un lago bien mezclado con tiempo de residencia τ pierde un contaminante a razón de C/τ una vez que el aporte es limpio.
  • Para una ecuación autónoma y′ = f(y), los equilibrios resuelven f(y) = 0; un equilibrio es estable si f′(y) < 0.
  • El crecimiento logístico P′ = rP(1 − P/K) se estabiliza en K. Con una cosecha constante H, la mayor cosecha sostenible es rK/4, en P = K/2.

Ecuaciones clave

dxdt=(rate in)−(rate out)\frac{dx}{dt}=(\text{rate in})-(\text{rate out})
Ley de balance
C(t)=C0e−t/τC(t)=C_0e^{-t/\tau}
Renovación con tiempo de residencia τ
P′=rP(1−PK)−HP'=rP\left(1-\frac PK\right)-H
Crecimiento logístico con cosecha
Hmax⁡=rK4H_{\max}=\frac{rK}{4}
Rendimiento máximo sostenible

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 2.1 El tiempo de residencia del lago Erie es de 2.6 años y el del lago Superior de 191 años (EPA). Si cesa el aporte de un contaminante, ¿cuánto tarda la concentración de cada lago en bajar al 10 %, suponiendo cada uno bien mezclado?

Ver los pasos
  1. C/C₀ = e^(−t/τ) = 0.1, así que t = τ ln 10.
  2. Erie: 2.6 × 2.303 = 5.99 años.
  3. Superior: 191 × 2.303 = 440 años.

Respuesta: Unos 6 años para el Erie pero unos 440 para el Superior. La prevención importa más donde la renovación es lenta.

Ejemplo 2.2 La EPA dice que el metano dura en promedio una década en la atmósfera. Trata un pulso de metano como si decayera con τ = 10 años. ¿Qué fracción queda después de 30 años?

Ver los pasos
  1. Fracción = e^(−30/10) = e^(−3).

Respuesta: Alrededor del 5 %. Por eso reducir las fugas de metano rinde frutos en décadas, a diferencia del CO₂, que permanece mucho más tiempo.

Ejemplo 2.3 Una población de peces sigue P′ = 0.4P(1 − P/10000) − H (toneladas, años; valores de ejemplo). Halla el rendimiento máximo sostenible.

Ver los pasos
  1. El crecimiento rP(1 − P/K) es máximo en P = K/2 = 5000 t.
  2. Allí vale rK/4 = 0.4 × 10000/4.

Respuesta: 1000 toneladas por año. Cosechar más lleva la población al colapso.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Un café a 90 °C se enfría en una habitación a 20 °C con T′ = −0.1(T − 20) (minutos). Halla T(10).

    Ver la respuesta

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. Un tanque de 100 L de agua dulce recibe salmuera de 0.5 g/L a 2 L/min y se vacía a 2 L/min. Halla la sal tras 50 minutos.

    Ver la respuesta

    x′ = 1 − x/50, x = 50(1 − e^(−t/50)); x(50) = 50(1 − e^(−1)) ≈ 31.6 g.

  3. Halla y clasifica los equilibrios de y′ = y(1 − y).

    Ver la respuesta

    y = 0 (f′ = 1, inestable) e y = 1 (f′ = −1, estable).

  4. En el ejemplo pesquero, ¿qué pasa si H = 1200 t/año?

    Ver la respuesta

    rP(1 − P/K) − H < 0 para todo P, así que la población cae a cero.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: El tiempo de residencia es lo que tarda en eliminarse todo el contaminante.

    En realidad: Tras un τ, queda el 37 %; el decaimiento exponencial nunca llega del todo a cero.

  • Mito: Más esfuerzo pesquero siempre significa más captura.

    En realidad: Pasado el rendimiento máximo sostenible, más cosecha reduce la población y la captura futura.

  • Mito: Un equilibrio es siempre donde termina el sistema.

    En realidad: Solo los equilibrios estables atraen a las soluciones cercanas.

Tarjetas de estudio

  • Ley de balance

    Entrada − salida.

  • Constante de tiempo

    τ en e^(−t/τ); el 63 % del cambio se completa tras τ.

  • Tiempo de residencia

    Volumen del lago ÷ caudal de salida.

  • Equilibrio

    f(y*) = 0.

  • Criterio de estabilidad

    f′(y*) < 0 estable.

  • Rendimiento máximo sostenible

    rK/4 en P = K/2.

Cuestionario de autoevaluación

1. Con τ = 5 años, la fracción que queda tras 5 años es…

Ver la respuesta

e^(−1) ≈ 0.37. e^(−t/τ) en t = τ.

2. El rendimiento máximo sostenible del crecimiento logístico es…

Ver la respuesta

rK/4. Máximo de rP(1 − P/K).

3. y* es un equilibrio estable de y′ = f(y) si…

Ver la respuesta

f′(y*) < 0. Las soluciones cercanas son empujadas de vuelta.

4. ¿Qué lago se recupera más rápido de la contaminación?

Ver la respuesta

Erie (2.6 años). Menor tiempo de residencia.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La EPA indica tiempos de residencia de los Grandes Lagos desde 2.6 años (Erie) hasta 191 años (Superior), por eso las toxinas que entran en el lago Superior son un problema de varias generaciones.

Los científicos pesqueros de la NOAA evalúan las poblaciones con modelos basados en estas ideas; el rendimiento máximo sostenible del modelo logístico es el punto de partida clásico.

En Saving Planets: Centro de Océanos · Página de Ríos

Fuentes: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · U.S. EPA: Understanding global warming potentials · NOAA Fisheries: evaluaciones de poblaciones

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Unidad 3 · Semanas 4–5

Ecuaciones lineales de segundo orden y oscilaciones

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes, la ecuación característica y las vibraciones libres: no amortiguadas, subamortiguadas, críticamente amortiguadas y sobreamortiguadas.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Resolver ay″ + by′ + cy = 0 con la ecuación característica.
  • Tratar raíces reales, repetidas y complejas.
  • Modelar sistemas masa-resorte-amortiguador.
  • Clasificar el amortiguamiento y calcular la frecuencia natural y el amortiguamiento crítico.

Conceptos clave

  • Prueba y = e^(rt): ar² + br + c = 0. Dos raíces reales dan dos exponenciales; una raíz repetida da (c₁ + c₂t)e^(rt); raíces complejas α ± iβ dan e^(αt)(c₁ cos βt + c₂ sin βt).
  • Superposición: las sumas de soluciones de una ecuación lineal homogénea son soluciones.
  • mx″ + cx′ + kx = 0 tiene frecuencia natural ω₀ = √(k/m).
  • Un amortiguamiento c < 2√(mk) oscila y decae (subamortiguado); c = 2√(mk) vuelve lo más rápido posible sin sobrepasar (crítico).

Ecuaciones clave

ar2+br+c=0ar^2+br+c=0
Ecuación característica
y=eαt(c1cos⁡βt+c2sin⁡βt)y=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)
Raíces complejas α ± iβ
mx′′+cx′+kx=0, ω0=k/mmx''+cx'+kx=0,\ \omega_0=\sqrt{k/m}
Masa-resorte-amortiguador
ccrit=2mkc_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}
Amortiguamiento crítico

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 3.1 Resuelve y″ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. ¿Cuál es el periodo?

Ver los pasos
  1. r² + 4 = 0, r = ±2i.
  2. y = cos 2t.
  3. Periodo 2π/2.

Respuesta: y = cos 2t, periodo π ≈ 3.14.

Ejemplo 3.2 Resuelve y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y halla y(1).

Ver los pasos
  1. r = −1 ± 2i.
  2. y = e^(−t)(cos 2t + ½ sin 2t) cumple ambas condiciones.
  3. y(1) = e^(−1)(cos 2 + ½ sin 2).

Respuesta: ≈ 0.0142: la oscilación casi se ha extinguido.

Ejemplo 3.3 Una masa de 2 kg cuelga de un resorte con k = 50 N/m. Halla ω₀, la frecuencia en hercios y el amortiguamiento crítico.

Ver los pasos
  1. ω₀ = √(50/2) = 5 rad/s.
  2. f = 5/(2π) = 0.796 Hz.
  3. c_crit = 2√(2 × 50) = 20 N·s/m.

Respuesta: 5 rad/s, 0.80 Hz, 20 N·s/m.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Resuelve y″ − 3y′ + 2y = 0.

    Ver la respuesta

    r = 1, 2: y = c₁eᵗ + c₂e^(2t).

  2. Resuelve y″ + 2y′ + y = 0.

    Ver la respuesta

    Raíz repetida r = −1: y = (c₁ + c₂t)e^(−t).

  3. Clasifica x″ + 6x′ + 5x = 0.

    Ver la respuesta

    r = −1, −5: sobreamortiguado (c = 6 > 2√5).

  4. Halla el periodo de x″ + 9x = 0.

    Ver la respuesta

    ω = 3, periodo 2π/3 ≈ 2.09.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Raíces complejas significan soluciones complejas.

    En realidad: Las partes real e imaginaria dan soluciones reales: e^(αt)cos βt y e^(αt)sin βt.

  • Mito: Una raíz repetida da solo una solución.

    En realidad: La segunda es t e^(rt).

  • Mito: Más amortiguamiento siempre significa asentarse más rápido.

    En realidad: Los sistemas sobreamortiguados regresan más lentamente que los críticamente amortiguados.

Tarjetas de estudio

  • Ecuación característica

    ar² + br + c = 0.

  • Superposición

    Las sumas de soluciones son soluciones (lineal homogénea).

  • Raíz repetida

    (c₁ + c₂t)e^(rt).

  • Frecuencia natural

    ω₀ = √(k/m).

  • Subamortiguado

    Oscila mientras decae.

  • Amortiguamiento crítico

    c = 2√(mk).

Cuestionario de autoevaluación

1. Las raíces 2 ± 3i dan las soluciones…

Ver la respuesta

e^(2t)cos 3t, e^(2t)sin 3t. α = 2, β = 3.

2. Frecuencia natural de mx″ + kx = 0:

Ver la respuesta

√(k/m). r² = −k/m.

3. El amortiguamiento crítico c es igual a…

Ver la respuesta

2√(mk). Discriminante cero.

4. y″ + 2y′ + y = 0 es…

Ver la respuesta

críticamente amortiguado. Raíz repetida.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Toda estructura alta, desde la torre de un aerogenerador hasta un puente, tiene frecuencias naturales fijadas por su rigidez y su masa, exactamente ω₀ = √(k/m) en el modelo más simple. El amortiguamiento decide qué tan rápido se extingue el balanceo causado por las ráfagas, lo que afecta a la fatiga y a la vida útil de la estructura.

En Saving Planets: Física I, Unidad 8: oscilaciones

Fuentes: DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés) · Lebl, 2.4 Mechanical vibrations

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Unidad 4 · Semana 6

Vibración forzada y resonancia

Ecuaciones no homogéneas, coeficientes indeterminados, respuesta en amplitud de un oscilador forzado, pulsaciones y resonancia.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar soluciones particulares por coeficientes indeterminados.
  • Escribir la solución general como homogénea más particular.
  • Calcular la amplitud en estado estacionario de un oscilador amortiguado forzado.
  • Explicar la resonancia y cómo la evitan los ingenieros.

Conceptos clave

  • Solución general = solución homogénea + una solución particular.
  • Propón la forma según el forzamiento: para cos ωt prueba A cos ωt + B sin ωt.
  • Forzado a la frecuencia ω, un oscilador amortiguado se asienta en un movimiento estacionario de amplitud X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
  • Cerca de ω = ω₀ la amplitud alcanza un pico; con la razón de amortiguamiento ζ = c/c_crit, la amplificación dinámica máxima es de aproximadamente 1/(2ζ). Sin amortiguamiento, la respuesta crece sin límite.

Ecuaciones clave

y=yh+ypy=y_h+y_p
Solución general
X=F0(k−mω2)2+(cω)2X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}
Amplitud en estado estacionario
XF0/k=1(1−r2)2+(2ζr)2, r=ωω0\frac{X}{F_0/k}=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\ r=\frac{\omega}{\omega_0}
Amplificación dinámica
y′′+ω2y=cos⁡ωt⇒yp=tsin⁡ωt2ωy''+\omega^2y=\cos\omega t\Rightarrow y_p=\frac{t\sin\omega t}{2\omega}
Resonancia pura

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 4.1 Halla una solución particular de y″ + y = cos 2t.

Ver los pasos
  1. Prueba y_p = A cos 2t: −4A + A = 1.
  2. A = −1/3.

Respuesta: y_p = −⅓ cos 2t (en contrafase, porque el forzamiento está por encima de la frecuencia natural).

Ejemplo 4.2 Modela la torre de un aerogenerador como un único oscilador con frecuencia natural 0.30 Hz y razón de amortiguamiento ζ = 0.01 (valores de ejemplo). El rotor gira a 12 rpm = 0.20 Hz, y tres palas pasan frente a la torre a 0.60 Hz. Halla la amplificación dinámica en cada caso y en resonancia.

Ver los pasos
  1. At 0.20 Hz, r = 0.667: 1/√((1 − 0.444)² + (0.0133)²) = 1.80.
  2. At 0.60 Hz, r = 2: 1/√(9 + 0.0016) = 0.333.
  3. At r = 1: 1/(2ζ) = 50.

Respuesta: 1.8 y 0.33, pero 50 en resonancia. Por eso los diseñadores mantienen la frecuencia natural de la torre lejos de las frecuencias del rotor y de paso de las palas.

Ejemplo 4.3 Resuelve y″ + y = cos t, y(0) = y′(0) = 0.

Ver los pasos
  1. El forzamiento coincide con la frecuencia natural, así que prueba y_p = t(A cos t + B sin t).
  2. Al sustituir se obtiene A = 0, B = ½.
  3. y = ½ t sin t.

Respuesta: La amplitud crece como t/2 sin límite: resonancia pura.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla y_p para y″ + 3y′ + 2y = 4.

    Ver la respuesta

    y_p = 2.

  2. Halla y_p para y″ − y = eᵗ.

    Ver la respuesta

    eᵗ resuelve la ecuación homogénea, así que y_p = ½ t eᵗ.

  3. Una masa de 1 kg, k = 100 N/m, c = 2 N·s/m es forzada por 10 cos 10t N. Halla la amplitud estacionaria.

    Ver la respuesta

    k − mω² = 0, así que X = 10/(2 × 10) = 0.5 m.

  4. Para ζ = 0.05, ¿cuál es la amplificación máxima?

    Ver la respuesta

    Aproximadamente 1/(2 × 0.05) = 10.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: La resonancia necesita una fuerza grande.

    En realidad: Una pequeña fuerza periódica a la frecuencia natural produce una respuesta grande.

  • Mito: El amortiguamiento elimina la resonancia.

    En realidad: Limita el pico a cerca de 1/(2ζ), que sigue siendo grande en estructuras poco amortiguadas.

  • Mito: Los coeficientes indeterminados funcionan con cualquier forzamiento.

    En realidad: Solo con polinomios, exponenciales, senos y cosenos y sus productos; si no, usa variación de parámetros o Laplace.

Tarjetas de estudio

  • Solución particular

    Cualquier solución de la ecuación forzada.

  • Coeficientes indeterminados

    Proponer la forma del forzamiento.

  • Respuesta en amplitud

    X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).

  • Razón de amortiguamiento

    ζ = c/(2√(mk)).

  • Resonancia

    Respuesta grande cerca de ω₀; pico ≈ 1/(2ζ).

  • Pulsaciones

    Dos frecuencias cercanas producen una envolvente lenta.

Cuestionario de autoevaluación

1. Solución general =

Ver la respuesta

y_h + y_p. Linealidad.

2. La resonancia ocurre cuando la frecuencia de forzamiento está cerca de…

Ver la respuesta

la frecuencia natural. Denominador mínimo.

3. Con ζ = 0.01 la amplificación máxima es de aproximadamente…

Ver la respuesta

50. 1/(2ζ).

4. Forzar muy por encima de ω₀ da una amplificación…

Ver la respuesta

menor que 1. ≈ 1/r².

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los aerogeneradores son cada vez más grandes y altos para captar más energía, y sus torres y palas están poco amortiguadas. Evitar la resonancia entre la estructura y el rotor que gira es parte esencial de mantener seguras y duraderas estas máquinas de energía limpia. La práctica D lo explora con un modelo de ejemplo.

En Saving Planets: Física I, unidad 3: energía eólica

Fuentes: DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés) · Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance

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Unidad 5 · Semanas 7–8

Transformadas de Laplace

Convertir ecuaciones diferenciales en álgebra: la transformada y su tabla, derivadas, funciones escalón para entradas conmutadas, impulsos y convolución.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Calcular transformadas de Laplace a partir de la definición y de una tabla.
  • Resolver problemas de valor inicial con transformadas y fracciones parciales.
  • Modelar entradas conmutadas con funciones escalón unitario y desplazamientos.
  • Modelar impulsos repentinos con la función delta.

Conceptos clave

  • L{f}(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt convierte las derivadas en multiplicación por s, con los valores iniciales incorporados.
  • Despeja Y(s), separa en fracciones parciales y luego invierte con la tabla.
  • Un interruptor accionado en el instante a es u(t − a); la regla de desplazamiento es L{u(t − a)f(t − a)} = e^(−as)F(s).
  • Un golpe instantáneo es δ(t − a), con L{δ(t − a)} = e^(−as).

Ecuaciones clave

L{f}=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f\}=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
Definición
L{y′}=sY−y(0), L{y′′}=s2Y−sy(0)−y′(0)\mathcal L\{y'\}=sY-y(0),\ \mathcal L\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0)
Derivadas
L{eat}=1s−a, L{sin⁡ωt}=ωs2+ω2\mathcal L\{e^{at}\}=\frac1{s-a},\ \mathcal L\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
Entradas de la tabla
L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
Regla de desplazamiento

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 5.1 Resuelve y′ − 2y = e^(3t), y(0) = 1.

Ver los pasos
  1. sY − 1 − 2Y = 1/(s − 3).
  2. Y = 1/((s − 2)(s − 3)) + 1/(s − 2) = [1/(s − 3) − 1/(s − 2)] + 1/(s − 2).
  3. Y = 1/(s − 3).

Respuesta: y = e^(3t). Comprobación: 3e^(3t) − 2e^(3t) = e^(3t).

Ejemplo 5.2 Un lago limpio empieza a recibir un aporte constante de contaminante en t = 2: y′ + y = u(t − 2), y(0) = 0. Halla y(3).

Ver los pasos
  1. (s + 1)Y = e^(−2s)/s.
  2. 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1), así que y = (1 − e^(−(t − 2)))u(t − 2).
  3. y(3) = 1 − e^(−1).

Respuesta: ≈ 0.632 del nivel final, una constante de tiempo después de la conmutación.

Ejemplo 5.3 Un oscilador en reposo y″ + 4y = δ(t − 1) recibe un golpe en t = 1. Halla y(1 + π/4).

Ver los pasos
  1. (s² + 4)Y = e^(−s).
  2. y = ½ sin(2(t − 1)) u(t − 1).
  3. En t = 1 + π/4: ½ sin(π/2).

Respuesta: 0.5, el primer pico.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla L{t}.

    Ver la respuesta

    1/s².

  2. Invierte 3/(s² + 9).

    Ver la respuesta

    sin 3t.

  3. Resuelve y′ + y = 0, y(0) = 4.

    Ver la respuesta

    Y = 4/(s + 1), y = 4e^(−t).

  4. Resuelve y″ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.

    Ver la respuesta

    Y = 2/(s² + 1), y = 2 sin t.

  5. Halla L{u(t − 3)}.

    Ver la respuesta

    e^(−3s)/s.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: L{fg} = L{f}L{g}.

    En realidad: El producto de transformadas corresponde a la convolución, no al producto.

  • Mito: Las condiciones iniciales se aplican al final.

    En realidad: Entran de inmediato a través de L{y′} = sY − y(0).

  • Mito: Las funciones escalón requieren resolver por tramos.

    En realidad: Laplace maneja las conmutaciones de una sola vez.

Tarjetas de estudio

  • Transformada de Laplace

    ∫₀^∞ e^(−st) f dt.

  • L{y′}

    sY − y(0).

  • L{eᵃᵗ}

    1/(s − a).

  • Escalón unitario

    u(t − a): apagado y luego encendido.

  • Delta

    δ(t − a): impulso instantáneo; L = e^(−as).

  • Convolución

    L{f * g} = FG.

Cuestionario de autoevaluación

1. L{y′} =

Ver la respuesta

sY − y(0). Integración por partes.

2. L{e^(−2t)} =

Ver la respuesta

1/(s + 2). a = −2.

3. Un interruptor encendido en t = 5 se escribe…

Ver la respuesta

u(t − 5). Escalón unitario.

4. L{δ(t)} =

Ver la respuesta

1. e^(−0s).

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Las entradas ambientales reales se encienden y se apagan: empieza un vertido industrial, se detiene una descarga de una presa, una erupción volcánica inyecta aerosoles de golpe. Las entradas escalón e impulso con transformadas de Laplace dan la respuesta a cada una en un solo cálculo, el método que usan los ingenieros para el control de redes eléctricas y plantas de tratamiento.

En Saving Planets: Página de Ríos

Fuentes: Lebl, 6.1 The Laplace transform · Lebl, 6.4 Dirac delta and impulse response

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Unidad 6 · Semanas 9–10

Sistemas lineales, valores propios y planos de fase

Sistemas x′ = Ax, métodos de valores propios, el plano de fase y la clasificación de los equilibrios en nodos, sillas, espirales y centros.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Escribir ecuaciones acopladas y ecuaciones de orden superior como sistemas de primer orden.
  • Resolver x′ = Ax con valores y vectores propios.
  • Esbozar retratos de fase.
  • Clasificar el origen con la traza y el determinante.

Conceptos clave

  • Si Av = λv, entonces x = e^(λt)v resuelve x′ = Ax; la solución general combina un término así por cada valor propio.
  • Valores propios reales de signo opuesto: una silla. Ambos negativos: un nodo estable.
  • Valores propios complejos α ± iβ: espirales (estables si α < 0); centros si α = 0.
  • Para una matriz 2 × 2, λ² − (tr A)λ + det A = 0.

Ecuaciones clave

x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x
Sistema lineal
det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
Valores propios
x=c1eλ1tv1+c2eλ2tv2\mathbf x=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf v_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf v_2
Solución general (valores propios reales distintos)
λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0
Polinomio característico (2 × 2)

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 6.1 Un modelo de carbono de dos compartimentos: la atmósfera A y el océano O intercambian carbono con A′ = −0.2A + 0.1O, O′ = 0.2A − 0.1O (por año; tasas de ejemplo). Empieza con 3 unidades en el aire y ninguna en el océano.

Ver los pasos
  1. Valores propios: tr = −0.3, det = 0, así que λ = 0 y −0.3.
  2. λ = 0 tiene vector propio (1, 2): el reparto de equilibrio es 1 : 2. El carbono total (3) se conserva, así que A → 1, O → 2.
  3. A(t) = 1 + 2e^(−0.3t).

Respuesta: El aire conserva un tercio del pulso en este modelo de juguete, con escala de tiempo 1/0.3 ≈ 3.33 años.

Ejemplo 6.2 Clasifica el origen para A = [[1, 2], [2, 1]].

Ver los pasos
  1. λ² − 2λ − 3 = 0, λ = 3, −1.

Respuesta: Signos opuestos: una silla (inestable).

Ejemplo 6.3 Clasifica el origen para A = [[−1, −2], [2, −1]].

Ver los pasos
  1. tr = −2, det = 5: λ² + 2λ + 5 = 0.
  2. λ = −1 ± 2i.

Respuesta: Una espiral estable: las soluciones giran hacia dentro, decayendo como e^(−t).

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Escribe y″ + 3y′ + 2y = 0 como un sistema.

    Ver la respuesta

    x₁ = y, x₂ = y′: x₁′ = x₂, x₂′ = −2x₁ − 3x₂.

  2. ¿Valores propios de [[2, 0], [0, −3]]?

    Ver la respuesta

    2 y −3: una silla.

  3. Clasifica [[0, 1], [−4, 0]].

    Ver la respuesta

    λ = ±2i: un centro (oscilación no amortiguada).

  4. Clasifica [[−3, 1], [0, −2]].

    Ver la respuesta

    λ = −3, −2: un nodo estable.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Los vectores propios son únicos.

    En realidad: Sirve cualquier múltiplo no nulo.

  • Mito: Un valor propio cero significa que no hay movimiento.

    En realidad: Significa una recta de equilibrios o una cantidad conservada, como en el modelo de compartimentos de carbono.

  • Mito: Los valores propios complejos solo dan soluciones complejas.

    En realidad: Las partes real e imaginaria dan soluciones reales.

Tarjetas de estudio

  • Sistema lineal

    x′ = Ax.

  • Método de valores propios

    x = e^(λt)v.

  • Silla

    Valores propios reales de signo opuesto.

  • Nodo

    Valores propios reales del mismo signo.

  • Espiral

    Valores propios complejos, α ≠ 0.

  • Traza–determinante

    λ² − tr λ + det = 0.

Cuestionario de autoevaluación

1. Los valores propios 2 y −1 dan…

Ver la respuesta

una silla. Signos opuestos.

2. Los valores propios −1 ± 3i dan…

Ver la respuesta

espiral estable. α < 0.

3. Para A de 2 × 2, la suma de los valores propios es…

Ver la respuesta

tr A. λ₁ + λ₂ = tr A.

4. Un centro tiene valores propios…

Ver la respuesta

imaginarios puros. α = 0.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los modelos del ciclo del carbono son sistemas lineales de compartimentos (atmósfera, océano superficial, océano profundo, tierra) que intercambian carbono. Sus valores propios son las escalas de tiempo en las que se absorbe un pulso de CO₂: algunas rápidas, otras de siglos o más. La visión general del ciclo del carbono de la NASA describe los ciclos rápido y lento que representan estos compartimentos.

En Saving Planets: Centro de Océanos

Fuentes: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂

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Unidad 7 · Semanas 11–12

Sistemas no lineales y estabilidad

Equilibrios de sistemas no lineales, linealización con el jacobiano, ciclos depredador-presa y el modelo epidémico SIR.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar los equilibrios de sistemas no lineales.
  • Linealizar con el jacobiano y clasificar los equilibrios.
  • Analizar el modelo depredador-presa de Lotka–Volterra.
  • Usar el modelo SIR: R₀, umbral de inmunidad colectiva y tamaño final.

Conceptos clave

  • Cerca de un equilibrio, un sistema no lineal se comporta como su linealización x′ = J x, donde J es el jacobiano (salvo que la linealización sea un centro).
  • Lotka–Volterra: presas x′ = ax − bxy, depredadores y′ = −cy + dxy. El equilibrio es (c/d, a/b); las poblaciones giran a su alrededor.
  • SIR: S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI. El número reproductivo básico es R₀ = β/γ; un brote solo crece si R₀S > 1.
  • El umbral de inmunidad colectiva es 1 − 1/R₀; la fracción final no infectada s∞ cumple ln s∞ = R₀(s∞ − 1).

Ecuaciones clave

J=(fxfygxgy)J=\begin{pmatrix}f_x&f_y\\g_x&g_y\end{pmatrix}
Jacobiano
x′=ax−bxy, y′=−cy+dxyx'=ax-bxy,\ y'=-cy+dxy
Lotka–Volterra
S′=−βSI, I′=βSI−γI, R′=γIS'=-\beta SI,\ I'=\beta SI-\gamma I,\ R'=\gamma I
Modelo SIR
R0=β/γ, ln⁡s∞=R0(s∞−1)R_0=\beta/\gamma,\ \ln s_\infty=R_0(s_\infty-1)
Número reproductivo y tamaño final

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 7.1 Presas y depredadores siguen x′ = x − 0.02xy, y′ = −0.5y + 0.005xy (valores de ejemplo, años). Halla el equilibrio de coexistencia y el periodo de los ciclos pequeños.

Ver los pasos
  1. x′ = 0 requiere y = 1/0.02 = 50; y′ = 0 requiere x = 0.5/0.005 = 100.
  2. Allí el jacobiano tiene valores propios ±i√(ac) = ±i√0.5.
  3. Periodo 2π/√0.5.

Respuesta: 100 presas y 50 depredadores; los ciclos pequeños duran unos 8.9 años, con los depredadores retrasados respecto a las presas.

Ejemplo 7.2 Una epidemia tiene β = 0.3 por día y γ = 0.1 por día. Halla R₀, el umbral de inmunidad colectiva y la fracción final de infectados.

Ver los pasos
  1. R₀ = 3.
  2. Umbral 1 − 1/3 = 0.667.
  3. Itera s = e^(3(s − 1)): s∞ = 0.0595.

Respuesta: R₀ = 3; una inmunidad del 67 % detiene el crecimiento; sin intervención, alrededor del 94 % acaba infectado, más que el umbral porque la epidemia lo sobrepasa.

Ejemplo 7.3 Clasifica el equilibrio P = K del crecimiento logístico P′ = rP(1 − P/K).

Ver los pasos
  1. f′(P) = r − 2rP/K; f′(K) = −r < 0.

Respuesta: Estable: las pequeñas perturbaciones decaen a tasa r.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla los equilibrios de x′ = x(3 − x − y), y′ = y(2 − x − y).

    Ver la respuesta

    (0, 0), (3, 0), (0, 2) (ninguno interior: las rectas x + y = 3 y x + y = 2 son paralelas).

  2. Linealiza x′ = sin x cerca de x = 0 y x = π.

    Ver la respuesta

    f′(0) = 1 (inestable), f′(π) = −1 (estable).

  3. Si R₀ = 2, ¿cuál es el umbral de inmunidad colectiva?

    Ver la respuesta

    1 − 1/2 = 50%.

  4. En el ejemplo depredador-presa, ¿qué les pasa a las presas si se eliminan los depredadores?

    Ver la respuesta

    x′ = x: crecimiento exponencial (hasta que actúen otros límites).

Ideas erróneas comunes

  • Mito: La linealización siempre predice el comportamiento.

    En realidad: No cuando da un centro; deciden los términos no lineales.

  • Mito: La inmunidad colectiva significa que la epidemia se detiene de inmediato.

    En realidad: Las infecciones disminuyen tras el umbral, pero aún pueden sobrepasarlo.

  • Mito: Los ciclos depredador-presa significan que el modelo es inestable.

    En realidad: Las órbitas de Lotka–Volterra son cerradas: neutralmente estables, ni crecen ni se reducen.

Tarjetas de estudio

  • Jacobiano

    Matriz de primeras derivadas parciales.

  • Linealización

    x′ ≈ J x cerca de un equilibrio.

  • Lotka–Volterra

    Ciclos depredador-presa alrededor de (c/d, a/b).

  • SIR

    Susceptibles, infectados, recuperados.

  • R₀

    β/γ, nuevas infecciones por caso.

  • Umbral de inmunidad colectiva

    1 − 1/R₀.

Cuestionario de autoevaluación

1. R₀ = β/γ = 4 da un umbral de…

Ver la respuesta

75%. 1 − 1/4.

2. El nivel de presas en el equilibrio de Lotka–Volterra es…

Ver la respuesta

c/d. y′ = 0 requiere x = c/d.

3. La linealización usa…

Ver la respuesta

el jacobiano. Primeras derivadas parciales.

4. Una epidemia crece al principio si…

Ver la respuesta

R₀S > 1. I′ = (βS − γ)I.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

En Isle Royale, en el lago Superior, el National Park Service registra el número de lobos y alces desde 1980, una larga serie depredador-presa. Sus altibajos enlazados, y la decisión del Park Service de trasladar nuevos lobos a la isla, son exactamente el tipo de sistema que los modelos de Lotka–Volterra empiezan a explicar.

Las mismas matemáticas SIR que guían la respuesta de salud pública se usan para enfermedades de la fauna que amenazan los ecosistemas.

En Saving Planets: Centro de Océanos

Fuentes: National Park Service: Wolves of Isle Royale · Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)

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Unidad 8 · Semana 13

Métodos numéricos

Métodos de Euler, Euler mejorado y Runge–Kutta, tamaño de paso y error, y un modelo climático de balance energético resuelto numéricamente.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Aplicar Euler, Euler mejorado (Heun) y RK4.
  • Explicar el orden de un método y cómo escala el error con el tamaño de paso.
  • Resolver sistemas numéricamente.
  • Construir y resolver un modelo climático de balance energético de dimensión cero.

Conceptos clave

  • Euler avanza siguiendo la pendiente: y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). Su error global es proporcional a h.
  • Euler mejorado promedia dos pendientes (error ∝ h²); RK4 promedia cuatro (error ∝ h⁴).
  • Reducir h a la mitad divide el error de RK4 unas 16 veces, por eso es el método de batalla.
  • Balance energético: C dT/dt = luz solar absorbida − εσT⁴. Su equilibrio y su escala de tiempo salen directamente de la ecuación.

Ecuaciones clave

yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
Método de Euler
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1}=y_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
Runge–Kutta 4
CdTdt=S(1−α)−εσT4C\frac{dT}{dt}=S(1-\alpha)-\varepsilon\sigma T^4
Modelo de balance energético
λ=4εσT3, τ=C/λ\lambda=4\varepsilon\sigma T^3,\ \tau=C/\lambda
Retroalimentación linealizada y escala de tiempo

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 8.1 Aproxima y(1) para y′ = y, y(0) = 1 con h = 0.1 usando Euler, Euler mejorado y RK4.

Ver los pasos
  1. Cada paso de Euler multiplica por 1.1: 1.1¹⁰ = 2.5937.
  2. Euler mejorado multiplica por 1.105: 2.7141.
  3. RK4 multiplica por 1.1051708: 2.7182797.

Respuesta: Valor real e = 2.7182818. Errores: 0.12, 0.0042 y 0.000002.

Ejemplo 8.2 La Tierra absorbe 340 × (1 − 0.29) = 241.4 W/m² de luz solar (NASA). Si radiara como un cuerpo negro (ε = 1), ¿qué temperatura la equilibraría? ¿Qué ε efectiva da el promedio actual de unos 288 K?

Ver los pasos
  1. σT⁴ = 241.4 da T = (241.4/5.67 × 10⁻⁸)^(1/4) = 255 K.
  2. ε = 241.4/(σ × 288⁴) = 0.619.

Respuesta: 255 K (−18 °C) sin efecto invernadero; una emisividad efectiva de 0.62 representa el efecto invernadero que mantiene habitable la Tierra.

Ejemplo 8.3 Con ε = 0.619 a 288 K y una capa de mezcla oceánica de 50 m (C = 1000 × 4186 × 50 J/(m²·K); profundidad de ejemplo), halla λ, la escala de tiempo y el calentamiento sin retroalimentación para un forzamiento de 4 W/m² (valor de ejemplo).

Ver los pasos
  1. λ = 4εσT³ = 3.35 W/(m²·K).
  2. τ = C/λ = 6.24 × 10⁷ s ≈ 1.98 años (unos 2).
  3. ΔT = 4/3.35.

Respuesta: Alrededor de 1.2 K de calentamiento, alcanzado en una escala de 2 años en este modelo simple. Las retroalimentaciones reales (vapor de agua, hielo) hacen mayor el calentamiento, según evalúa el IPCC.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Un paso de Euler para y′ = t + y, y(0) = 1, h = 0.1.

    Ver la respuesta

    y₁ = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1.

  2. Si el error de Euler es 0.12 con h = 0.1, estímalo con h = 0.05.

    Ver la respuesta

    Alrededor de 0.06 (primer orden).

  3. Si el error de RK4 es 2 × 10⁻⁶ con h = 0.1, estímalo con h = 0.05.

    Ver la respuesta

    Alrededor de 2 × 10⁻⁶/16 ≈ 1.3 × 10⁻⁷.

  4. ¿Qué temperatura de equilibrio da el modelo de balance energético con ε = 1 y albedo 0.29?

    Ver la respuesta

    Alrededor de 255 K.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Los pasos más pequeños siempre son mejores.

    En realidad: El redondeo y el coste crecen; un método de orden superior suele ser mejor que pasos de Euler diminutos.

  • Mito: Una respuesta numérica es exacta si el código se ejecuta.

    En realidad: Comprueba siempre la convergencia reduciendo h a la mitad.

  • Mito: El resultado de 255 K significa que el modelo está mal.

    En realidad: Muestra cuánto calienta el efecto invernadero a la Tierra: unos 33 K.

Tarjetas de estudio

  • Método de Euler

    y + h f.

  • Euler mejorado

    Promedio de dos pendientes; orden 2.

  • RK4

    Cuatro pendientes; orden 4.

  • Tamaño de paso

    h; comprueba la convergencia reduciéndolo a la mitad.

  • Modelo de balance energético

    C T′ = S(1 − α) − εσT⁴.

  • Escala de tiempo climática

    τ = C/λ.

Cuestionario de autoevaluación

1. El método de Euler tiene un error global proporcional a…

Ver la respuesta

h. Primer orden.

2. RK4 es de orden…

Ver la respuesta

4. Error ∝ h⁴.

3. Sin efecto invernadero, la Tierra tendría un promedio de unos…

Ver la respuesta

255 K. σT⁴ = 241 W/m².

4. Reducir h a la mitad en RK4 reduce el error aproximadamente…

Ver la respuesta

16. 2⁴.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Todo modelo climático, desde este balance energético de una línea hasta los modelos globales que evalúa el IPCC, es un sistema de ecuaciones diferenciales resuelto numéricamente. El balance energético de la NASA da los datos: llegan en promedio 340 W/m² de luz solar y se refleja el 29%.

En Saving Planets: Introducción a la programación, unidad de simulación

Fuentes: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis

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Unidad 9 · Semana 14

Soluciones en series, series de Fourier y la ecuación del calor

Soluciones en series de potencias de EDO, series de Fourier de funciones periódicas y separación de variables para la ecuación del calor.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar soluciones en series de potencias a partir de una recurrencia.
  • Calcular coeficientes de Fourier de funciones periódicas sencillas.
  • Resolver la ecuación del calor en una varilla por separación de variables.
  • Estimar a qué profundidad llegan en el suelo las ondas estacionales de temperatura.

Conceptos clave

  • Sustituir y = Σaₙxⁿ, igualar potencias y obtener una recurrencia para los coeficientes.
  • Una función periódica es una suma de senos y cosenos; para una función impar en (−π, π), bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
  • La ecuación del calor u_t = α u_xx difunde el calor; cada modo seno decae como e^(−α(nπ/L)²t), primero los modos rápidos.
  • Una temperatura superficial periódica penetra en el suelo con profundidad de amortiguamiento d = √(2α/ω).

Ecuaciones clave

y=∑anxny=\sum a_nx^n
Solución en serie de potencias
bn=2π∫0πf(x)sin⁡nx dxb_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx
Coeficiente de Fourier en senos
ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}
Ecuación del calor
d=2α/ωd=\sqrt{2\alpha/\omega}
Profundidad de amortiguamiento de una onda de temperatura periódica

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 9.1 Resuelve y″ + y = 0 por series de potencias.

Ver los pasos
  1. Σ(n + 2)(n + 1)aₙ₊₂xⁿ + Σaₙxⁿ = 0.
  2. aₙ₊₂ = −aₙ/((n + 2)(n + 1)).
  3. Los términos pares forman cos x, los impares sin x.

Respuesta: y = a₀ cos x + a₁ sin x, recuperada de la recurrencia.

Ejemplo 9.2 Halla la serie de Fourier de la onda cuadrada f = 1 en (0, π), −1 en (−π, 0).

Ver los pasos
  1. Impar, así que solo senos: bₙ = (2/π)∫₀^π sin nx dx = (2/(nπ))(1 − cos nπ).
  2. bₙ = 4/(nπ) para n impar, 0 para n par.

Respuesta: f = (4/π)(sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …); b₁ ≈ 1.273.

Ejemplo 9.3 Un suelo con difusividad α = 5 × 10⁻⁷ m²/s (valor de ejemplo) experimenta un ciclo anual de temperatura en la superficie. Halla la profundidad de amortiguamiento.

Ver los pasos
  1. ω = 2π/(3.156 × 10⁷ s) = 1.99 × 10⁻⁷ s⁻¹.
  2. d = √(2 × 5 × 10⁻⁷/1.99 × 10⁻⁷).

Respuesta: Unos 2.24 m: la oscilación anual se reduce en un factor e por cada 2.2 m de profundidad, así que el suelo profundo responde al calentamiento lentamente, a lo largo de muchos años.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla la recurrencia para y′ = y por series de potencias.

    Ver la respuesta

    aₙ₊₁ = aₙ/(n + 1), así que y = a₀eˣ.

  2. ¿f(x) = x² es par o impar? ¿Qué términos de Fourier aparecen?

    Ver la respuesta

    Par: solo cosenos (más una constante).

  3. Un modo de la varilla decae como e^(−α(π/L)²t). ¿Cómo cambia su tiempo de decaimiento al duplicar L?

    Ver la respuesta

    Multiplica el tiempo de decaimiento por 4.

  4. Halla b₃ para la onda cuadrada.

    Ver la respuesta

    4/(3π) ≈ 0.424.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Las series de Fourier solo funcionan para funciones suaves.

    En realidad: También funcionan con saltos, convergiendo al punto medio del salto.

  • Mito: El calor se difunde a velocidad fija.

    En realidad: El tiempo de difusión crece con el cuadrado de la distancia.

  • Mito: Las soluciones en serie siempre son mejores que las fórmulas.

    En realidad: Son más útiles cuando no existe forma cerrada, como en las ecuaciones de Airy o Bessel.

Tarjetas de estudio

  • Método de series de potencias

    Sustituir Σaₙxⁿ; obtener una recurrencia.

  • Serie de Fourier

    Suma de senos y cosenos.

  • Coeficiente de Fourier

    bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.

  • Ecuación del calor

    u_t = α u_xx.

  • Separación de variables

    u = X(x)T(t).

  • Profundidad de amortiguamiento

    √(2α/ω).

Cuestionario de autoevaluación

1. En la ecuación del calor, los modos superiores decaen…

Ver la respuesta

más rápido. Tasa ∝ n².

2. La serie de Fourier de una función impar solo tiene…

Ver la respuesta

senos. Las integrales impar × par se anulan.

3. Duplicar el periodo de un ciclo de temperatura superficial cambia la profundidad de amortiguamiento en…

Ver la respuesta

√2. d ∝ 1/√ω.

4. b₁ para la onda cuadrada es…

Ver la respuesta

4/π. 4/(1·π).

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Según la NASA, el permafrost del hemisferio norte contiene unos 1672 mil millones de toneladas de carbono orgánico. Lo rápido que lo alcanza el calentamiento superficial es un problema de la ecuación del calor, y la profundidad de amortiguamiento muestra por qué las capas profundas responden despacio pero siguen respondiendo mucho después de que se calienta la superficie.

En Saving Planets: Cálculo III

Fuentes: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · Lebl, 4.6 PDEs, separation of variables, and the heat equation

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Laboratorios de computadora

Cuatro prácticas de computadora: una epidemia SIR resuelta con Euler y RK4, un plano de fases depredador-presa, un modelo climático de balance energético y un barrido de frecuencias de un modelo de torre de aerogenerador.

Los parámetros de ejemplo están marcados como tales; cada práctica enlaza a una fuente pública sobre el sistema real.

Referencia de seguridad: Lebl: Notes on Diffy Qs (free textbook)

Práctica A: una epidemia SIR con Euler y RK4

Semana 12

Objetivo: Resuelve el modelo SIR numéricamente, halla el pico y compara Euler y RK4 con el tamaño final exacto.

S′=−0.3SI, I′=0.3SI−0.1I, R′=0.1IS'=-0.3SI,\ I'=0.3SI-0.1I,\ R'=0.1I
SIR con R₀ = 3 (tasas de ejemplo por día)

Procedimiento

  1. Empieza con S = 0.999, I = 0.001, R = 0 (fracciones de la población).
  2. Ejecuta Euler con h = 1 día y h = 0.1 día hasta el día 160, y luego RK4 con h = 1 día.
  3. Registra el R final, el pico de I y cuándo ocurre; compara con la teoría.

Tabla de datos

MétodoR final (día 160)
Euler, h = 10.9467
Euler, h = 0.10.9411
RK4, h = 10.9405
Tamaño final exacto (teoría)0.9405

Valores calculados para tasas de ejemplo; no es un brote real.

Cálculo de ejemplo

  1. El pico es de 30.1% de infectados a la vez, cerca del día 38.4; la teoría da I_max = 1 − (1 + ln R₀)/R₀ = 0.300.
  2. Euler con h = 1 sobrestima el tamaño final en 0.006; RK4 con el mismo paso coincide con la teoría en 4 cifras.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Sirve una hoja de cálculo; Python es más fácil para RK4.

Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems

Vínculo con el planeta: La misma estructura de modelo se usa para brotes en personas y en fauna.

Práctica B: el plano de fases depredador-presa

Semana 11

Objetivo: Integra el modelo de Lotka–Volterra con RK4 y dibuja la órbita cerrada en el plano de fases.

x′=x−0.02xy,y′=−0.5y+0.005xyx'=x-0.02xy,\quad y'=-0.5y+0.005xy
Lotka–Volterra (valores de ejemplo)

Procedimiento

  1. Empieza con 150 presas y 50 depredadores.
  2. Usa RK4 con un paso pequeño (0.001 años en Python, o 0.01 en una hoja de cálculo) durante 40 años.
  3. Dibuja y frente a x y registra el rango de presas y el periodo.

Tabla de datos

MagnitudValor
Equilibrio(100, 50)
Rango de presas62.6 a 150
Período8.99 años
Periodo de ciclos pequeños (teoría lineal)8.89 años

Valores calculados; parámetros de ejemplo.

Cálculo de ejemplo

  1. La órbita se cierra: las poblaciones se repiten cada 8.99 años, algo más que los 8.89 años que predice la teoría lineal para ciclos pequeños, porque este ciclo es grande.
  2. Los depredadores alcanzan su máximo después de las presas, un desfase que se ve en muchos registros reales.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Desmos puede dibujar el campo de pendientes del plano de fases.

Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)

Vínculo con el planeta: Registros largos como los de lobos y alces de Isle Royale ponen a prueba estos modelos. National Park Service: Wolves of Isle Royale

Práctica C: un modelo climático de balance energético

Semana 13

Objetivo: Avanza en el tiempo un modelo climático de una caja tras un forzamiento repentino y halla su escala de tiempo.

CdΔTdt=F−λ ΔTC\frac{d\Delta T}{dt}=F-\lambda\,\Delta T
Modelo de balance energético linealizado

Procedimiento

  1. Usa C = 2.09 × 10⁸ J/(m²·K) (50 m de océano), λ = 3.35 W/(m²·K) de la unidad 8 y un forzamiento repentino F = 4 W/m² (valor de ejemplo).
  2. Avanza con Euler en pasos mensuales durante 10 años.
  3. Compara con la solución exacta ΔT = (F/λ)(1 − e^(−t/τ)).

Tabla de datos

AñoΔT (K)
10.48
20.77
51.10
101.19

Valores calculados del modelo; sin retroalimentaciones aparte de la radiación.

Cálculo de ejemplo

  1. Equilibrio ΔT = F/λ = 1.19 K; τ = C/λ ≈ 2.0 años, así que el calentamiento está completo en un 63% tras 2 años en este modelo.
  2. El clima real responde más despacio y se calienta más, porque el calor se mezcla en el océano profundo y las retroalimentaciones lo amplifican.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta con una hoja de cálculo.

NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget

Vínculo con el planeta: Los modelos de balance energético son el primer paso hacia las proyecciones climáticas que evalúa el IPCC. IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis

Práctica D: barrido de resonancia de un modelo de torre de aerogenerador

Semana 6

Objetivo: Calcula la amplificación dinámica de un modelo de torre de un solo oscilador para distintas frecuencias de excitación.

A(f)=1(1−r2)2+(2ζr)2, r=f/f0A(f)=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\ r=f/f_0
Amplificación dinámica

Procedimiento

  1. Usa f₀ = 0.30 Hz y ζ = 0.01 (valores de ejemplo).
  2. Tabula A para frecuencias de excitación de 0.1 a 0.6 Hz.
  3. Marca la frecuencia del rotor (0.20 Hz a 12 rpm) y la frecuencia de paso de las palas (0.60 Hz) y evalúa el diseño.

Tabla de datos

Frecuencia de excitación (Hz)Amplificación
0.101.12
0.201.80
0.253.27
0.3050.0
0.352.76
0.600.333

Valores calculados para un modelo de ejemplo, no para una turbina concreta.

Cálculo de ejemplo

  1. Ambas frecuencias de operación quedan lejos del pico de 0.30 Hz, donde la respuesta sería 50 veces la deflexión estática.
  2. Si el rotor acelerara a 18 rpm (0.30 Hz), excitaría la torre en resonancia; por eso los diseñadores comparan la frecuencia natural con todo el rango de velocidades.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta con una hoja de cálculo.

PhET: Masses and Springs

Vínculo con el planeta: Evitar la resonancia permite que los aerogeneradores produzcan energía limpia con seguridad durante décadas. DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés)

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Series de práctica para exámenes

Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.

Ejercicios de práctica para el parcial (unidades 1–5)

  1. Resuelve y′ = −2ty, y(0) = 3, y halla y(1).

    Ver la solución completa
    1. dy/y = −2t dt; y = 3e^(−t²).

    Respuesta: 3e^(−1) ≈ 1.104.

  2. Un lago con tiempo de retención de 4 años: ¿cuánto tarda un contaminante en bajar a la mitad tras cortar la entrada?

    Ver la solución completa
    1. t = 4 ln 2.

    Respuesta: ≈ 2.77 años.

  3. Resuelve y″ + 6y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y halla y(1).

    Ver la solución completa
    1. y = (1 + 3t)e^(−3t).

    Respuesta: 4e^(−3) ≈ 0.199.

  4. Resuelve y′ + y = 1, y(0) = 0 por Laplace y halla y(2).

    Ver la solución completa
    1. Y = 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1).

    Respuesta: 1 − e^(−2) ≈ 0.865.

Serie de práctica final (todas las unidades)

  1. Clasifica el origen de x′ = [[0, 1], [−2, −2]]x.

    Ver la solución completa
    1. λ² + 2λ + 2 = 0, λ = −1 ± i.

    Respuesta: Espiral estable.

  2. Una epidemia SIR tiene β = 0.5, γ = 0.25 por día. Halla R₀ y el umbral de inmunidad colectiva.

    Ver la solución completa
    1. R₀ = 2.

    Respuesta: R₀ = 2, umbral del 50%.

  3. Dos pasos de Euler con h = 0.5 para y′ = −y, y(0) = 1.

    Ver la solución completa
    1. Cada paso multiplica por 0.5.

    Respuesta: y(1) ≈ 0.25 (valor real e^(−1) ≈ 0.368).

  4. Un sistema masa-resorte con m = 1 kg, k = 16 N/m, c = 0.4 N·s/m. Halla ω₀ y ζ.

    Ver la solución completa
    1. ω₀ = 4 rad/s; c_crit = 8.

    Respuesta: ω₀ = 4 rad/s, ζ = 0.05 (amplificación máxima de unos 10).

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Hoja de fórmulas

μ=e∫p dx\mu=e^{\int p\,dx}
My=Nx⇒F=CM_y=N_x\Rightarrow F=C
C=C0e−t/τC=C_0e^{-t/\tau}
Hmax⁡=rK/4H_{\max}=rK/4
ar2+br+c=0ar^2+br+c=0
ω0=k/m, ccrit=2mk\omega_0=\sqrt{k/m},\ c_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}
X=F0/(k−mω2)2+(cω)2X=F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}
L{y′}=sY−y(0)\mathcal L\{y'\}=sY-y(0)
L{eat}=1/(s−a)\mathcal L\{e^{at}\}=1/(s-a)
L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0
R0=β/γ, 1−1/R0R_0=\beta/\gamma,\ 1-1/R_0
yn+1=yn+hfy_{n+1}=y_n+hf
C T′=S(1−α)−εσT4C\,T'=S(1-\alpha)-\varepsilon\sigma T^4
ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}
bn=2π∫0πfsin⁡nx dxb_n=\tfrac2\pi\int_0^\pi f\sin nx\,dx

Constantes

ConstanteValor
Constante de Stefan–Boltzmann σ5.67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
Luz solar media en la cima de la atmósfera340 W/m²
Fracción de luz solar reflejada29%
Tiempo de retención del lago Superior191 años
Tiempo de retención del lago Erie2.6 años
Vida media del metanoalrededor de una década

Fuente: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget

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Textos y herramientas gratuitos

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Glosario

Ecuación autónoma
y′ = f(y), sin t explícito.
Ecuación característica
ar² + br + c = 0 para EDO de coeficientes constantes.
Amortiguamiento crítico
Retorno más rápido sin sobrepaso.
Valor propio
λ con Av = λv.
Modelo de balance energético
Modelo climático que equilibra la luz solar absorbida y el calor emitido.
Equilibrio
Solución constante.
Método de Euler
Avance numérico de primer orden.
Ecuación exacta
M dx + N dy = 0 con M_y = N_x.
Serie de Fourier
Desarrollo en senos y cosenos.
Ecuación del calor
u_t = α u_xx.
Factor integrante
Multiplicador que hace exacta una EDO lineal.
Jacobiano
Matriz de primeras derivadas parciales usada para linealizar.
Transformada de Laplace
∫₀^∞ e^(−st) f dt.
Lotka–Volterra
Modelo depredador-presa.
Retrato de fase
Trayectorias en el plano de estados.
Resonancia
Gran respuesta cuando la excitación coincide con una frecuencia natural.
Runge–Kutta (RK4)
Método numérico de cuarto orden.
R₀
Número reproductivo básico.
Modelo SIR
Modelo epidémico susceptibles–infectados–recuperados.
Ecuación separable
dy/dx = g(x)h(y).

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Rúbrica de autoevaluación

No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.

NivelCómo se ve
4 · DominioConstruye modelos a partir de una descripción, los resuelve por fórmula y numéricamente, y comprueba unidades y comportamiento a largo plazo.
3 · CompetenteResuelve los problemas de práctica con algún error ocasional.
2 · En desarrolloSigue los ejemplos resueltos pero le cuesta plantear modelos o elegir un método.
1 · InicialAplica fórmulas sin comprobar soluciones; debe repasar la unidad.

Ponderación sugerida si quieres una nota

PartePeso
Problemas de práctica30%
Laboratorios de computadora15%
Serie de práctica de mitad de curso25%
Serie de práctica final30%

Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.

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