משוואות דיפרנציאליות

מידול של שינוי: משוואות מסדר ראשון, תנודות ותהודה, התמרות לפלס, מערכות ומישורי פאזה, יציבות, שיטות נומריות ומשוואת החום, עם ארבע מעבדות מחשב על מגפות, טורפים ונטרפים, אקלים ותנודות של טורבינות רוח.

NASA Blue MarbleNASA/JPL-CaltechNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)CNES (PIA25623)

קורסים › MATH 220

הורדת מדריך הלימוד כ־PDF (באנגלית)

על הקורס

זהו מתווה של קורס חינמי ללימוד עצמי שנכתב על ידי Saving Planets. הוא אינו קורס אוניברסיטאי, אינו מעניק נקודות זכות אקדמיות, ואף מוסד לימודים אינו מעורב בו.

ההיקף תואם קורס שנה ב׳ במשוואות דיפרנציאליות רגילות, בהשראת הנושאים והעומק של MIT OpenCourseWare 18.03 ושל ספרי הלימוד החינמיים של Jiří Lebl ‏(Notes on Diffy Qs) ו-William Trench, ושל סילבוסים של קורסים כמו Georgia Tech MATH 2552 ו-Stanford Math 53. אנו מקשרים לחומרים החינמיים לאורך כל הקורס. אף אחד מהמחברים או מהארגונים האלה אינו תומך בדף זה.

מה אנחנו מוסיפים: כל יחידה מתחברת לבעיה אמיתית של כדור הארץ עם מקור ציבורי מצוטט (אגמים, מתאן, דיג, פחמן, אקלים, מגפות, טורבינות רוח), כל מספר בדף מחושב מחדש בסקריפט בדיקה לפני פרסומו, וארבע מעבדות מחשב פותרות מודלים אמיתיים באופן נומרי.

עברו עליו לפי הסדר. בכל יחידה יש מטרות, רעיונות מרכזיים, משוואות, דוגמאות צעד אחר צעד, תרגול עם תשובות מלאות, טעויות נפוצות, כרטיסיות ובוחן. ההתקדמות שלכם נשמרת רק בדפדפן הזה.

איך הקורס הזה עוזר להציל את כדור הארץ

כמעט כל מודל של כדור הארץ החי הוא משוואה דיפרנציאלית: כמה מהר אגם שוטף מזהם, איך מלאי דגים מתאושש, איך פחמן נע בין האוויר לים, כמה מהר כדור הארץ מתחמם כשמאזן האנרגיה שלו משתנה, איך מגפה מתפשטת, ואיך מגדל של טורבינת רוח מתנדנד.

כל יחידה מסתיימת בקטע קצר עם מקורות שמראה איך הרעיונות שלה עוזרים גם לאנשים וגם לטבע. פרמטרים של מודלים שאינם ממקור מסומנים כערכי דוגמה.

חזרה למעלה

לפני שמתחילים

ידע מוקדם

  • חשבון אינפיניטסימלי I ו-II: נגזרות, אינטגרלים, שברים חלקיים, טורי טיילור.
  • מטריצות, דטרמיננטות וערכים עצמיים של מטריצות 2 × 2 (נלמדים בקצרה ביחידה 6).
  • חשבון אינפיניטסימלי III עוזר למשוואת החום אבל אינו חובה.

איך ללמוד

  • בדקו כל פתרון על ידי הצבתו בחזרה במשוואה.
  • פתרו כל תרגיל על הנייר לפני שאתם פותחים את התשובה.
  • שרטטו שדה כיוונים או דיוקן פאזה לפני הפתרון; דעו איך התשובה אמורה להיראות.
  • שאלו על כל מודל: מהן היחידות, והאם להתנהגות לטווח ארוך יש היגיון?
  • פתרו גם באופן נומרי בעיה אחת מכל יחידה, והשוו לנוסחה.
  • עשו שוב את הבחנים כעבור כמה ימים. תרגול מרווח עדיף על מפגש ארוך אחד.

ציוד מעבדה (למעבדות הרטובות)

  • מחשב או טאבלט עם גיליון אלקטרוני.
  • מחשבון גרפי חינמי כמו Desmos.
  • רשות: פייתון עם NumPy (בחינם ב-Google Colab).

חזרה למעלה

לוח זמנים מוצע ל־15 שבועות

כ־6 עד 9 שעות בשבוע: קריאה, תרגילים, ובשבועות המעבדה גם המעבדה.

שבועיחידהנושאיםקריאה
1משוואות מסדר ראשוןשדות כיוונים; משוואות פרידותLebl 1.1–1.3
2משוואות מסדר ראשוןמשוואות לינאריות ומדויקות; קיום ויחידותLebl 1.2, 1.4, 1.8
3מידול בעזרת משוואות מסדר ראשוןמידול: ערבוב, דעיכה, גדילה לוגיסטית, קצירLebl 1.6
4משוואות לינאריות מסדר שני ותנודותמשוואות לינאריות מסדר שני; המשוואה האופייניתLebl 2.1–2.2
5משוואות לינאריות מסדר שני ותנודותתנודות מכניות וריסוןLebl 2.4
6תנודות מאולצות ותהודהמקדמים לא ידועים; תנודה מאולצת ותהודה; מעבדה DLebl 2.5–2.6
7התמרות לפלסהתמרות לפלס; פתרון בעיות התחלהLebl 6.1–6.2
8התמרות לפלספונקציות מדרגה, הלמים, קונבולוציה; תרגול לבוחן אמצעLebl 6.3–6.4
9מערכות לינאריות, ערכים עצמיים ומישורי פאזהמערכות; מטריצות וערכים עצמייםLebl 3.1–3.4
10מערכות לינאריות, ערכים עצמיים ומישורי פאזהדיוקנאות פאזה וסיווגLebl 3.5
11מערכות לא לינאריות ויציבותמערכות לא לינאריות, לינאריזציה; טורף-נטרף; מעבדה BLebl 8.1–8.3
12מערכות לא לינאריות ויציבותיציבות; מגפות SIR; מעבדה ALebl 8.2–8.3
13שיטות נומריותשיטות נומריות; מודל מאזן אנרגיה; מעבדה CLebl 1.7, Trench 3
14פתרונות בטורים, טורי פורייה ומשוואת החוםפתרונות בטורים; טורי פורייה; משוואת החוםLebl 7.1–7.2, 4.2, 4.6
15חזרהחזרה וסדרת תרגול מסכמתכל היחידות

חזרה למעלה

ההתקדמות שלכם

סמנו יחידות ומעבדות כשאתם מסיימים אותן, ועשו את הבחנים. ההתקדמות והציונים נשמרים רק בדפדפן הזה ולעולם לא נשלחים אלינו.

הפעילו JavaScript כדי לעקוב אחר ההתקדמות.

חזרה למעלה

יחידה 1 · שבועות 1–2

משוואות מסדר ראשון

שדות כיוונים, משוואות פרידות, משוואות לינאריות עם גורם אינטגרציה, משוואות מדויקות, ומתי פתרון קיים ויחיד.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • קראו שדה כיוונים ושרטטו פתרונות.
  • פתרו משוואות פרידות ולינאריות מסדר ראשון.
  • זהו ופתרו משוואות מדויקות.
  • נסחו את משפט הקיום והיחידות וזהו מתי הוא נכשל.

מושגי מפתח

  • משוואה דיפרנציאלית מקשרת פונקציה לא ידועה לנגזרותיה; פתרון הוא פונקציה שמקיימת אותה.
  • פרידה: dy/dx = g(x)h(y). חלקו ובצעו אינטגרציה בשני האגפים.
  • לינארית: y′ + p(x)y = q(x). הכפילו בגורם האינטגרציה μ = e^(∫p dx) כך שהאגף השמאלי יהפוך ל-(μy)′.
  • מדויקת: M dx + N dy = 0 עם M_y = N_x היא dF = 0, ולכן F(x, y) = C.
  • אם f ו-∂f/∂y רציפות ליד (x₀, y₀), אז ל-y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ יש בדיוק פתרון אחד בסביבה. ובכל זאת פתרונות עלולים להתפוצץ בזמן סופי.

משוואות מפתח

dyh(y)=g(x) dx\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx
משוואה פרידה
μ=e∫p dx,(μy)′=μq\mu=e^{\int p\,dx},\quad(\mu y)'=\mu q
גורם אינטגרציה
My=Nx⇒F(x,y)=CM_y=N_x\Rightarrow F(x,y)=C
משוואה מדויקת
y′=f(x,y), y(x0)=y0y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0
בעיית התחלה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 1.1 פתרו dy/dx = xy, y(0) = 2, ומצאו את y(1).

הצג את השלבים
  1. dy/y = x dx, ולכן ln|y| = x²/2 + C.
  2. y = 2e^(x²/2).
  3. y(1) = 2e^0.5.

תשובה: ≈ 3.297.

דוגמה 1.2 פתרו y′ + 2y = 4, y(0) = 0, ומצאו את y(1).

הצג את השלבים
  1. μ = e^(2t), ולכן (e^(2t)y)′ = 4e^(2t).
  2. e^(2t)y = 2e^(2t) + C; y(0) = 0 נותן C = −2.
  3. y = 2(1 − e^(−2t)).

תשובה: y(1) ≈ 1.729, ומתקרב למצב היציב 2.

דוגמה 1.3 פתרו 2xy dx + (x² + 2y) dy = 0 עם y(0) = 1, ומצאו את y כאשר x = 1.

הצג את השלבים
  1. M_y = 2x = N_x: מדויקת.
  2. F = x²y + y²; F(0, 1) = 1.
  3. ב-x = 1: y + y² = 1, ולכן y = (−1 + √5)/2.

תשובה: ≈ 0.618.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. פתרו y′ = y², y(0) = 1. היכן הפתרון קיים?

    הצג תשובה

    y = 1/(1 − t); הוא מתפוצץ ב-t = 1, אף ש-y² חלקה בכל מקום.

  2. פתרו t y′ + y = t² עבור t > 0.

    הצג תשובה

    (ty)′ = t², ולכן y = t²/3 + C/t.

  3. פתרו y′ = −y/τ.

    הצג תשובה

    y = y₀e^(−t/τ).

  4. האם (y cos x) dx + (sin x + 2y) dy = 0 מדויקת? פתרו.

    הצג תשובה

    M_y = cos x = N_x; F = y sin x + y² = C.

  5. האם ל-y′ = √y, y(0) = 0 יש פתרון יחיד?

    הצג תשובה

    לא: y = 0 ו-y = t²/4 שניהם מתאימים; ∂f/∂y = 1/(2√y) אינה רציפה ב-y = 0.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: כל משוואה מסדר ראשון היא פרידה.

    בפועל: y′ = x + y אינה; היא לינארית.

  • מיתוס: אפשר לשכוח את +C עד הסוף.

    בפועל: הוסיפו C כשמבצעים אינטגרציה, לפני שמבודדים את y, אחרת תנאי ההתחלה ייצא שגוי.

  • מיתוס: אגף ימין חלק פירושו שהפתרון חי לנצח.

    בפועל: y′ = y² מתפוצצת בזמן סופי.

כרטיסיות

  • פרידה

    dy/dx = g(x)h(y).

  • לינארית מסדר ראשון

    y′ + p y = q.

  • גורם אינטגרציה

    μ = e^(∫p dx).

  • מדויקת

    M_y = N_x; F = C.

  • בעיית התחלה

    מד״ר ועוד y(x₀) = y₀.

  • קיום ויחידות

    f, f_y רציפות ⇒ פתרון מקומי אחד.

בוחן לבדיקה עצמית

1. גורם האינטגרציה של y′ + 3y = x הוא…

הצג תשובה

e^(3x). e^(∫3 dx).

2. M dx + N dy = 0 מדויקת כאשר…

הצג תשובה

M_y = N_x. הנגזרות המעורבות של F שוות.

3. ל-y′ = ky יש פתרון…

הצג תשובה

y₀e^(kt). פרידה.

4. היחידות עלולה להיכשל כאשר…

הצג תשובה

∂f/∂y אינה רציפה. למשל y′ = √y ב-0.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

המשוואה הפשוטה ביותר מסדר ראשון, y′ = −y/τ, מתארת איך מזהם מתפנה מאגם מעורבב היטב או איך גז עוזב את האטמוספרה. המספר היחיד שלה, סקאלת הזמן τ, קובע אם טעות תדעך בתוך שנים או תימשך מאות שנים (יחידה 2).

ב־Saving Planets: דף הנהרות

מקורות: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · Lebl, 1.4 Linear equations and the integrating factor

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 2 · שבוע 3

מידול בעזרת משוואות מסדר ראשון

להפוך מצב למשוואה: ערבוב וזיהום אגמים, דעיכה ואורכי חיים, קירור לפי ניוטון, גדילה לוגיסטית, קציר, ונקודות שיווי משקל ויציבותן.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • בנו מודלים של קצב כניסה פחות קצב יציאה.
  • פרשו קבועי זמן ואורכי חיים.
  • מצאו נקודות שיווי משקל של משוואות אוטונומיות וסווגו את יציבותן.
  • השתמשו במודל הלוגיסטי עם קציר כדי למצוא את התפוקה המרבית בת הקיימא.

מושגי מפתח

  • קצב שינוי = קצב כניסה − קצב יציאה. כתבו את היחידות של כל איבר.
  • אגם מעורבב היטב עם זמן שהייה τ מאבד מזהם בקצב C/τ ברגע שהזרימה הנכנסת נקייה.
  • במשוואה אוטונומית y′ = f(y), נקודות שיווי המשקל פותרות f(y) = 0; שיווי משקל יציב אם f′(y) < 0.
  • גדילה לוגיסטית P′ = rP(1 − P/K) מתייצבת ב-K. עם קציר קבוע H, הקציר בר הקיימא הגדול ביותר הוא rK/4, ב-P = K/2.

משוואות מפתח

dxdt=(rate in)−(rate out)\frac{dx}{dt}=(\text{rate in})-(\text{rate out})
חוק מאזן
C(t)=C0e−t/τC(t)=C_0e^{-t/\tau}
שטיפה עם זמן שהייה τ
P′=rP(1−PK)−HP'=rP\left(1-\frac PK\right)-H
גדילה לוגיסטית עם קציר
Hmax⁡=rK4H_{\max}=\frac{rK}{4}
תפוקה מרבית בת קיימא

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 2.1 זמן השהייה של אגם אירי הוא 2.6 שנים ושל אגם סופיריור 191 שנים (EPA). אם הזרמת מזהם נפסקת, כמה זמן ייקח עד שהריכוז בכל אגם ירד ל-10%, בהנחה שכל אחד מעורבב היטב?

הצג את השלבים
  1. C/C₀ = e^(−t/τ) = 0.1, ולכן t = τ ln 10.
  2. אירי: 2.6 × 2.303 = 5.99 שנים.
  3. סופיריור: 191 × 2.303 = 440 שנים.

תשובה: כ-6 שנים לאירי אבל כ-440 לסופיריור. מניעה חשובה יותר מכול היכן שהשטיפה איטית.

דוגמה 2.2 ה-EPA מציינת שמתאן נשאר באטמוספרה בממוצע כעשור. התייחסו לפולס של מתאן כדועך עם τ = 10 שנים. איזה חלק נשאר אחרי 30 שנה?

הצג את השלבים
  1. חלק = e^(−30/10) = e^(−3).

תשובה: כ-5%. לכן צמצום דליפות מתאן משתלם בתוך עשורים, בניגוד ל-CO₂, שנשאר הרבה יותר זמן.

דוגמה 2.3 מלאי דגים מקיים P′ = 0.4P(1 − P/10000) − H (טונות, שנים; ערכי דוגמה). מצאו את התפוקה המרבית בת הקיימא.

הצג את השלבים
  1. הגדילה rP(1 − P/K) מרבית ב-P = K/2 = 5000 t.
  2. שם היא שווה ל-rK/4 = 0.4 × 10000/4.

תשובה: 1000 טונות בשנה. קציר גדול מזה מוביל את המלאי לקריסה.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. קפה ב-90 °C מתקרר בחדר ב-20 °C לפי T′ = −0.1(T − 20) (דקות). מצאו את T(10).

    הצג תשובה

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. מכל של 100 L מים מתוקים מקבל תמלחת של 0.5 g/L בקצב 2 L/min ומתרוקן בקצב 2 L/min. מצאו את כמות המלח אחרי 50 דקות.

    הצג תשובה

    x′ = 1 − x/50, x = 50(1 − e^(−t/50)); x(50) = 50(1 − e^(−1)) ≈ 31.6 g.

  3. מצאו וסווגו את נקודות שיווי המשקל של y′ = y(1 − y).

    הצג תשובה

    y = 0 (f′ = 1, לא יציבה) ו-y = 1 (f′ = −1, יציבה).

  4. בדוגמת הדיג, מה קורה אם H = 1200 t/yr?

    הצג תשובה

    rP(1 − P/K) − H < 0 לכל P, ולכן המלאי יורד לאפס.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: זמן שהייה הוא הזמן שלוקח לסלק את כל המזהם.

    בפועל: אחרי τ אחד עדיין נשארים 37%; דעיכה מעריכית אף פעם לא מגיעה בדיוק לאפס.

  • מיתוס: יותר מאמץ דיג תמיד פירושו יותר שלל.

    בפועל: מעבר לתפוקה המרבית בת הקיימא, יותר קציר מקטין את המלאי ואת השלל העתידי.

  • מיתוס: שיווי משקל הוא תמיד המקום שבו המערכת מסתיימת.

    בפועל: רק נקודות שיווי משקל יציבות מושכות פתרונות סמוכים.

כרטיסיות

  • חוק מאזן

    כניסה − יציאה.

  • קבוע זמן

    τ ב-e^(−t/τ); 63% מהשינוי מושלם אחרי τ.

  • זמן שהייה

    נפח האגם ÷ הזרימה היוצאת.

  • שיווי משקל

    f(y*) = 0.

  • מבחן יציבות

    f′(y*) < 0 יציבה.

  • תפוקה מרבית בת קיימא

    rK/4 ב-P = K/2.

בוחן לבדיקה עצמית

1. עם τ = 5 שנים, החלק שנשאר אחרי 5 שנים הוא…

הצג תשובה

e^(−1) ≈ 0.37. e^(−t/τ) ב-t = τ.

2. התפוקה המרבית בת הקיימא של גדילה לוגיסטית היא…

הצג תשובה

rK/4. השיא של rP(1 − P/K).

3. y* היא נקודת שיווי משקל יציבה של y′ = f(y) אם…

הצג תשובה

f′(y*) < 0. פתרונות סמוכים נדחפים בחזרה.

4. איזה אגם מתאושש מהר יותר מזיהום?

הצג תשובה

אירי (2.6 שנים). זמן שהייה קצר יותר.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה-EPA מציינת זמני שהייה של האגמים הגדולים מ-2.6 שנים (אירי) עד 191 שנים (סופיריור), ולכן רעלים שנכנסים לאגם סופיריור הם בעיה של כמה דורות.

מדעני הדיג של NOAA מעריכים מלאים בעזרת מודלים של אוכלוסייה הבנויים על הרעיונות האלה; התפוקה המרבית בת הקיימא של המודל הלוגיסטי היא נקודת המוצא הקלאסית.

ב־Saving Planets: מרכז האוקיינוסים · דף הנהרות

מקורות: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · U.S. EPA: Understanding global warming potentials · NOAA Fisheries: הערכות אוכלוסייה

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 3 · שבועות 4–5

משוואות לינאריות מסדר שני ותנודות

משוואות לינאריות עם מקדמים קבועים, המשוואה האופיינית ותנודות חופשיות: ללא ריסון, בתת-ריסון, בריסון קריטי ובריסון-יתר.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • פתרו ay″ + by′ + cy = 0 בעזרת המשוואה האופיינית.
  • טפלו בשורשים ממשיים, כפולים ומרוכבים.
  • מדלו מערכות מסה-קפיץ-מרסן.
  • סווגו את הריסון וחשבו את התדירות הטבעית ואת הריסון הקריטי.

מושגי מפתח

  • נסו y = e^(rt): ar² + br + c = 0. שני שורשים ממשיים נותנים שתי פונקציות מעריכיות; שורש כפול נותן (c₁ + c₂t)e^(rt); שורשים מרוכבים α ± iβ נותנים e^(αt)(c₁ cos βt + c₂ sin βt).
  • סופרפוזיציה: סכומים של פתרונות של משוואה לינארית הומוגנית הם פתרונות.
  • ל-mx″ + cx′ + kx = 0 יש תדירות טבעית ω₀ = √(k/m).
  • ריסון c < 2√(mk) מתנודד ודועך (תת-ריסון); c = 2√(mk) חוזר הכי מהר בלי לחרוג (קריטי).

משוואות מפתח

ar2+br+c=0ar^2+br+c=0
המשוואה האופיינית
y=eαt(c1cos⁡βt+c2sin⁡βt)y=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)
שורשים מרוכבים α ± iβ
mx′′+cx′+kx=0, ω0=k/mmx''+cx'+kx=0,\ \omega_0=\sqrt{k/m}
מסה-קפיץ-מרסן
ccrit=2mkc_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}
ריסון קריטי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 3.1 פתרו y″ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. מהו זמן המחזור?

הצג את השלבים
  1. r² + 4 = 0, r = ±2i.
  2. y = cos 2t.
  3. זמן מחזור 2π/2.

תשובה: y = cos 2t, זמן מחזור π ≈ 3.14.

דוגמה 3.2 פתרו y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, ומצאו את y(1).

הצג את השלבים
  1. r = −1 ± 2i.
  2. y = e^(−t)(cos 2t + ½ sin 2t) מקיים את שני התנאים.
  3. y(1) = e^(−1)(cos 2 + ½ sin 2).

תשובה: ≈ 0.0142: התנודה כמעט דעכה.

דוגמה 3.3 מסה של 2 kg תלויה על קפיץ עם k = 50 N/m. מצאו את ω₀, את התדירות בהרץ ואת הריסון הקריטי.

הצג את השלבים
  1. ω₀ = √(50/2) = 5 rad/s.
  2. f = 5/(2π) = 0.796 Hz.
  3. c_crit = 2√(2 × 50) = 20 N·s/m.

תשובה: 5 rad/s, 0.80 Hz, 20 N·s/m.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. פתרו y″ − 3y′ + 2y = 0.

    הצג תשובה

    r = 1, 2: y = c₁eᵗ + c₂e^(2t).

  2. פתרו y″ + 2y′ + y = 0.

    הצג תשובה

    שורש כפול r = −1: y = (c₁ + c₂t)e^(−t).

  3. סווגו את x″ + 6x′ + 5x = 0.

    הצג תשובה

    r = −1, −5: ריסון-יתר (c = 6 > 2√5).

  4. מצאו את זמן המחזור של x″ + 9x = 0.

    הצג תשובה

    ω = 3, זמן מחזור 2π/3 ≈ 2.09.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: שורשים מרוכבים פירושם פתרונות מרוכבים.

    בפועל: החלק הממשי והחלק המדומה נותנים פתרונות ממשיים: e^(αt)cos βt ו-e^(αt)sin βt.

  • מיתוס: שורש כפול נותן פתרון אחד בלבד.

    בפועל: השני הוא t e^(rt).

  • מיתוס: יותר ריסון תמיד פירושו התייצבות מהירה יותר.

    בפועל: מערכות בריסון-יתר חוזרות לאט יותר ממערכות בריסון קריטי.

כרטיסיות

  • המשוואה האופיינית

    ar² + br + c = 0.

  • סופרפוזיציה

    סכומי פתרונות הם פתרונות (לינארית הומוגנית).

  • שורש כפול

    (c₁ + c₂t)e^(rt).

  • תדירות טבעית

    ω₀ = √(k/m).

  • תת-ריסון

    מתנודד תוך כדי דעיכה.

  • ריסון קריטי

    c = 2√(mk).

בוחן לבדיקה עצמית

1. השורשים 2 ± 3i נותנים את הפתרונות…

הצג תשובה

e^(2t)cos 3t, e^(2t)sin 3t. α = 2, β = 3.

2. התדירות הטבעית של mx″ + kx = 0:

הצג תשובה

√(k/m). r² = −k/m.

3. הריסון הקריטי c שווה ל…

הצג תשובה

2√(mk). דיסקרימיננטה אפס.

4. y″ + 2y′ + y = 0 היא…

הצג תשובה

בריסון קריטי. שורש כפול.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

לכל מבנה גבוה, ממגדל טורבינת רוח ועד גשר, יש תדירויות טבעיות שנקבעות לפי הקשיחות והמסה שלו, בדיוק ω₀ = √(k/m) במודל הפשוט ביותר. הריסון קובע כמה מהר דועכת הנדנדה שנגרמת ממשבי רוח, וזה משפיע על העייפות ועל משך חיי המבנה.

ב־Saving Planets: פיזיקה I, יחידה 8: תנודות

מקורות: משרד האנרגיה האמריקאי: איך פועלות טורבינות רוח? (באנגלית) · Lebl, 2.4 Mechanical vibrations

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 4 · שבוע 6

תנודות מאולצות ותהודה

משוואות לא הומוגניות, מקדמים לא ידועים, תגובת המשרעת של מתנד מאולץ, פעימות ותהודה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • מצאו פתרונות פרטיים בשיטת המקדמים הלא ידועים.
  • כתבו את הפתרון הכללי כפתרון הומוגני ועוד פתרון פרטי.
  • חשבו את משרעת המצב היציב של מתנד מרוסן מאולץ.
  • הסבירו תהודה ואיך מהנדסים נמנעים ממנה.

מושגי מפתח

  • פתרון כללי = פתרון הומוגני + פתרון פרטי אחד.
  • נחשו את הצורה לפי הכוח המאלץ: עבור cos ωt נסו A cos ωt + B sin ωt.
  • כשהוא מאולץ בתדירות ω, מתנד מרוסן מתייצב בתנועה קבועה עם משרעת X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
  • ליד ω = ω₀ המשרעת מגיעה לשיא; עם יחס ריסון ζ = c/c_crit, ההגברה הדינמית בשיא היא בערך 1/(2ζ). בלי ריסון, התגובה גדלה ללא גבול.

משוואות מפתח

y=yh+ypy=y_h+y_p
פתרון כללי
X=F0(k−mω2)2+(cω)2X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}
משרעת במצב יציב
XF0/k=1(1−r2)2+(2ζr)2, r=ωω0\frac{X}{F_0/k}=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\ r=\frac{\omega}{\omega_0}
הגברה דינמית
y′′+ω2y=cos⁡ωt⇒yp=tsin⁡ωt2ωy''+\omega^2y=\cos\omega t\Rightarrow y_p=\frac{t\sin\omega t}{2\omega}
תהודה טהורה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 4.1 מצאו פתרון פרטי של y″ + y = cos 2t.

הצג את השלבים
  1. נסו y_p = A cos 2t: −4A + A = 1.
  2. A = −1/3.

תשובה: y_p = −⅓ cos 2t (בהיפוך פאזה, כי האילוץ מעל התדירות הטבעית).

דוגמה 4.2 מדלו מגדל של טורבינת רוח כמתנד יחיד עם תדירות טבעית 0.30 Hz ויחס ריסון ζ = 0.01 (ערכי דוגמה). הרוטור מסתובב ב-12 rpm = 0.20 Hz, ושלושה להבים חולפים על פני המגדל ב-0.60 Hz. מצאו את ההגברה הדינמית בכל מקרה, ובתהודה.

הצג את השלבים
  1. At 0.20 Hz, r = 0.667: 1/√((1 − 0.444)² + (0.0133)²) = 1.80.
  2. At 0.60 Hz, r = 2: 1/√(9 + 0.0016) = 0.333.
  3. At r = 1: 1/(2ζ) = 50.

תשובה: 1.8 ו-0.33, אבל 50 בתהודה. לכן מתכננים מרחיקים את התדירות הטבעית של המגדל מתדירות הרוטור ומתדירות מעבר הלהבים.

דוגמה 4.3 פתרו y″ + y = cos t, y(0) = y′(0) = 0.

הצג את השלבים
  1. האילוץ תואם את התדירות הטבעית, ולכן נסו y_p = t(A cos t + B sin t).
  2. הצבה נותנת A = 0, B = ½.
  3. y = ½ t sin t.

תשובה: המשרעת גדלה כמו t/2 ללא גבול: תהודה טהורה.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את y_p עבור y″ + 3y′ + 2y = 4.

    הצג תשובה

    y_p = 2.

  2. מצאו את y_p עבור y″ − y = eᵗ.

    הצג תשובה

    eᵗ פותרת את המשוואה ההומוגנית, ולכן y_p = ½ t eᵗ.

  3. מסה של 1 kg, ‏k = 100 N/m, ‏c = 2 N·s/m מאולצת בכוח 10 cos 10t N. מצאו את המשרעת היציבה.

    הצג תשובה

    k − mω² = 0, ולכן X = 10/(2 × 10) = 0.5 m.

  4. עבור ζ = 0.05, מהי ההגברה בשיא?

    הצג תשובה

    בערך 1/(2 × 0.05) = 10.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: תהודה דורשת כוח גדול.

    בפועל: כוח מחזורי קטן בתדירות הטבעית בונה תגובה גדולה.

  • מיתוס: ריסון מבטל תהודה.

    בפועל: הוא מגביל את השיא לכ-1/(2ζ), שעדיין גדול במבנים בריסון חלש.

  • מיתוס: שיטת המקדמים הלא ידועים עובדת לכל אילוץ.

    בפועל: רק לפולינומים, פונקציות מעריכיות, סינוסים וקוסינוסים ומכפלותיהם; אחרת השתמשו בווריאציית פרמטרים או בלפלס.

כרטיסיות

  • פתרון פרטי

    פתרון כלשהו אחד של המשוואה המאולצת.

  • מקדמים לא ידועים

    ניחוש צורת האילוץ.

  • תגובת משרעת

    X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).

  • יחס ריסון

    ζ = c/(2√(mk)).

  • תהודה

    תגובה גדולה ליד ω₀; שיא ≈ 1/(2ζ).

  • פעימות

    שתי תדירויות קרובות יוצרות מעטפת איטית.

בוחן לבדיקה עצמית

1. פתרון כללי =

הצג תשובה

y_h + y_p. לינאריות.

2. תהודה מתרחשת כשתדירות האילוץ קרובה ל…

הצג תשובה

התדירות הטבעית. מכנה מינימלי.

3. עם ζ = 0.01 ההגברה בשיא היא בערך…

הצג תשובה

50. 1/(2ζ).

4. אילוץ הרבה מעל ω₀ נותן הגברה…

הצג תשובה

קטנה מ-1. ≈ 1/r².

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

טורבינות רוח הולכות וגדלות ומתגבהות כדי לקצור יותר אנרגיה, והמגדלים והלהבים שלהן מרוסנים חלש. הימנעות מתהודה בין המבנה לרוטור המסתובב היא חלק מרכזי בשמירה על מכונות האנרגיה הנקייה האלה בטוחות ועמידות לאורך זמן. מעבדה D חוקרת זאת עם מודל דוגמה.

ב־Saving Planets: פיזיקה I, יחידה 3: אנרגיית רוח

מקורות: משרד האנרגיה האמריקאי: איך פועלות טורבינות רוח? (באנגלית) · Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 5 · שבועות 7–8

התמרות לפלס

להפוך משוואות דיפרנציאליות לאלגברה: ההתמרה והטבלה שלה, נגזרות, פונקציות מדרגה לכניסות ממותגות, הלמים וקונבולוציה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חשבו התמרות לפלס מההגדרה ומטבלה.
  • פתרו בעיות התחלה בעזרת התמרות ושברים חלקיים.
  • מדלו כניסות ממותגות בעזרת פונקציות מדרגת יחידה והזזות.
  • מדלו הלמים פתאומיים בעזרת פונקציית דלתא.

מושגי מפתח

  • L{f}(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt הופכת נגזרות לכפל ב-s, עם ערכי ההתחלה בפנים.
  • בודדו את Y(s), פרקו לשברים חלקיים, ואז הפכו בעזרת הטבלה.
  • מתג שמופעל בזמן a הוא u(t − a); כלל ההזזה הוא L{u(t − a)f(t − a)} = e^(−as)F(s).
  • מכה רגעית היא δ(t − a), עם L{δ(t − a)} = e^(−as).

משוואות מפתח

L{f}=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f\}=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
הגדרה
L{y′}=sY−y(0), L{y′′}=s2Y−sy(0)−y′(0)\mathcal L\{y'\}=sY-y(0),\ \mathcal L\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0)
נגזרות
L{eat}=1s−a, L{sin⁡ωt}=ωs2+ω2\mathcal L\{e^{at}\}=\frac1{s-a},\ \mathcal L\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
רשומות בטבלה
L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
כלל ההזזה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 5.1 פתרו y′ − 2y = e^(3t), y(0) = 1.

הצג את השלבים
  1. sY − 1 − 2Y = 1/(s − 3).
  2. Y = 1/((s − 2)(s − 3)) + 1/(s − 2) = [1/(s − 3) − 1/(s − 2)] + 1/(s − 2).
  3. Y = 1/(s − 3).

תשובה: y = e^(3t). בדיקה: 3e^(3t) − 2e^(3t) = e^(3t).

דוגמה 5.2 אגם נקי מתחיל לקבל זרימה קבועה של מזהם ב-t = 2: y′ + y = u(t − 2), y(0) = 0. מצאו את y(3).

הצג את השלבים
  1. (s + 1)Y = e^(−2s)/s.
  2. 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1), ולכן y = (1 − e^(−(t − 2)))u(t − 2).
  3. y(3) = 1 − e^(−1).

תשובה: ≈ 0.632 מהרמה הסופית, קבוע זמן אחד אחרי המיתוג.

דוגמה 5.3 מתנד במנוחה y″ + 4y = δ(t − 1) מקבל מכה ב-t = 1. מצאו את y(1 + π/4).

הצג את השלבים
  1. (s² + 4)Y = e^(−s).
  2. y = ½ sin(2(t − 1)) u(t − 1).
  3. ב-t = 1 + π/4: ½ sin(π/2).

תשובה: 0.5, השיא הראשון.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את L{t}.

    הצג תשובה

    1/s².

  2. הפכו את 3/(s² + 9).

    הצג תשובה

    sin 3t.

  3. פתרו y′ + y = 0, y(0) = 4.

    הצג תשובה

    Y = 4/(s + 1), y = 4e^(−t).

  4. פתרו y″ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.

    הצג תשובה

    Y = 2/(s² + 1), y = 2 sin t.

  5. מצאו את L{u(t − 3)}.

    הצג תשובה

    e^(−3s)/s.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: L{fg} = L{f}L{g}.

    בפועל: מכפלת התמרות מתאימה לקונבולוציה, לא למכפלה.

  • מיתוס: תנאי ההתחלה מיושמים בסוף.

    בפועל: הם נכנסים מיד דרך L{y′} = sY − y(0).

  • מיתוס: פונקציות מדרגה דורשות פתרון למקוטעין.

    בפועל: לפלס מטפל במיתוגים במעבר אחד.

כרטיסיות

  • התמרת לפלס

    ∫₀^∞ e^(−st) f dt.

  • L{y′}

    sY − y(0).

  • L{eᵃᵗ}

    1/(s − a).

  • מדרגת יחידה

    u(t − a): כבוי ואז דולק.

  • דלתא

    δ(t − a): הלם רגעי; L = e^(−as).

  • קונבולוציה

    L{f * g} = FG.

בוחן לבדיקה עצמית

1. L{y′} =

הצג תשובה

sY − y(0). אינטגרציה בחלקים.

2. L{e^(−2t)} =

הצג תשובה

1/(s + 2). a = −2.

3. מתג שמופעל ב-t = 5 נכתב…

הצג תשובה

u(t − 5). מדרגת יחידה.

4. L{δ(t)} =

הצג תשובה

1. e^(−0s).

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

כניסות סביבתיות אמיתיות נדלקות ונכבות: הזרמה ממפעל מתחילה, שחרור מסכר נעצר, התפרצות געשית מזריקה אירוסולים בפרץ אחד. כניסות מדרגה והלם עם התמרות לפלס נותנות את התגובה לכל אחת בחישוב אחד, השיטה שמהנדסים משתמשים בה לבקרה ברשתות חשמל ובמתקני טיהור.

ב־Saving Planets: דף הנהרות

מקורות: Lebl, 6.1 The Laplace transform · Lebl, 6.4 Dirac delta and impulse response

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 6 · שבועות 9–10

מערכות לינאריות, ערכים עצמיים ומישורי פאזה

מערכות x′ = Ax, שיטות ערכים עצמיים, מישור הפאזה וסיווג נקודות שיווי משקל לצמתים, אוכפים, ספירלות ומרכזים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • כתבו משוואות מצומדות ומשוואות מסדר גבוה כמערכות מסדר ראשון.
  • פתרו x′ = Ax בעזרת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים.
  • שרטטו דיוקנאות פאזה.
  • סווגו את הראשית בעזרת העקבה והדטרמיננטה.

מושגי מפתח

  • אם Av = λv, אז x = e^(λt)v פותר את x′ = Ax; הפתרון הכללי משלב איבר כזה לכל ערך עצמי.
  • ערכים עצמיים ממשיים בסימנים מנוגדים: אוכף. שניהם שליליים: צומת יציב.
  • ערכים עצמיים מרוכבים α ± iβ: ספירלות (יציבות אם α < 0); מרכזים אם α = 0.
  • למטריצה 2 × 2, λ² − (tr A)λ + det A = 0.

משוואות מפתח

x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x
מערכת לינארית
det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
ערכים עצמיים
x=c1eλ1tv1+c2eλ2tv2\mathbf x=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf v_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf v_2
פתרון כללי (ערכים עצמיים ממשיים שונים)
λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0
פולינום אופייני (2 × 2)

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 6.1 מודל פחמן של שני תאים: האטמוספרה A והאוקיינוס O מחליפים פחמן לפי A′ = −0.2A + 0.1O, O′ = 0.2A − 0.1O (לשנה; קצבי דוגמה). מתחילים עם 3 יחידות באוויר ואפס באוקיינוס.

הצג את השלבים
  1. ערכים עצמיים: tr = −0.3, det = 0, ולכן λ = 0 ו-−0.3.
  2. ל-λ = 0 וקטור עצמי (1, 2): החלוקה בשיווי משקל היא 1 : 2. סך הפחמן (3) נשמר, ולכן A → 1, O → 2.
  3. A(t) = 1 + 2e^(−0.3t).

תשובה: האוויר שומר שליש מהפולס במודל הצעצוע הזה, עם סקאלת זמן 1/0.3 ≈ 3.33 שנים.

דוגמה 6.2 סווגו את הראשית עבור A = [[1, 2], [2, 1]].

הצג את השלבים
  1. λ² − 2λ − 3 = 0, λ = 3, −1.

תשובה: סימנים מנוגדים: אוכף (לא יציב).

דוגמה 6.3 סווגו את הראשית עבור A = [[−1, −2], [2, −1]].

הצג את השלבים
  1. tr = −2, det = 5: λ² + 2λ + 5 = 0.
  2. λ = −1 ± 2i.

תשובה: ספירלה יציבה: הפתרונות מסתובבים פנימה ודועכים כמו e^(−t).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. כתבו את y″ + 3y′ + 2y = 0 כמערכת.

    הצג תשובה

    x₁ = y, x₂ = y′: x₁′ = x₂, x₂′ = −2x₁ − 3x₂.

  2. ערכים עצמיים של [[2, 0], [0, −3]]?

    הצג תשובה

    2 ו-−3: אוכף.

  3. סווגו את [[0, 1], [−4, 0]].

    הצג תשובה

    λ = ±2i: מרכז (תנודה ללא ריסון).

  4. סווגו את [[−3, 1], [0, −2]].

    הצג תשובה

    λ = −3, −2: צומת יציב.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: וקטורים עצמיים הם יחידים.

    בפועל: כל כפולה שונה מאפס מתאימה.

  • מיתוס: ערך עצמי אפס פירושו שאין תנועה.

    בפועל: פירושו ישר של נקודות שיווי משקל או גודל נשמר, כמו במודל תאי הפחמן.

  • מיתוס: ערכים עצמיים מרוכבים נותנים רק פתרונות מרוכבים.

    בפועל: החלק הממשי והחלק המדומה נותנים פתרונות ממשיים.

כרטיסיות

  • מערכת לינארית

    x′ = Ax.

  • שיטת הערכים העצמיים

    x = e^(λt)v.

  • אוכף

    ערכים עצמיים ממשיים בסימנים מנוגדים.

  • צומת

    ערכים עצמיים ממשיים באותו סימן.

  • ספירלה

    ערכים עצמיים מרוכבים, α ≠ 0.

  • עקבה–דטרמיננטה

    λ² − tr λ + det = 0.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ערכים עצמיים 2 ו-−1 נותנים…

הצג תשובה

אוכף. סימנים מנוגדים.

2. ערכים עצמיים −1 ± 3i נותנים…

הצג תשובה

ספירלה יציבה. α < 0.

3. עבור A בגודל 2 × 2, סכום הערכים העצמיים הוא…

הצג תשובה

tr A. λ₁ + λ₂ = tr A.

4. למרכז יש ערכים עצמיים…

הצג תשובה

מדומים טהורים. α = 0.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מודלים של מחזור הפחמן הם מערכות לינאריות של תאים (אטמוספרה, אוקיינוס עילי, אוקיינוס עמוק, יבשה) שמחליפים פחמן. הערכים העצמיים שלהם הם סקאלות הזמן שבהן פולס של CO₂ נספג: חלקן מהירות, וחלקן נמשכות מאות שנים ויותר. הסקירה של נאס״א על מחזור הפחמן מתארת את המחזורים המהיר והאיטי שהתאים האלה מייצגים.

ב־Saving Planets: מרכז האוקיינוסים

מקורות: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 7 · שבועות 11–12

מערכות לא לינאריות ויציבות

נקודות שיווי משקל של מערכות לא לינאריות, לינאריזציה עם היעקוביאן, מחזורי טורף-נטרף ומודל המגפה SIR.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • מצאו נקודות שיווי משקל של מערכות לא לינאריות.
  • בצעו לינאריזציה עם היעקוביאן וסווגו נקודות שיווי משקל.
  • נתחו את מודל טורף-נטרף של לוטקה–וולטרה.
  • השתמשו במודל SIR: ‏R₀, סף חסינות העדר והגודל הסופי.

מושגי מפתח

  • ליד נקודת שיווי משקל, מערכת לא לינארית מתנהגת כמו הלינאריזציה שלה x′ = J x, כאשר J הוא היעקוביאן (אלא אם הלינאריזציה היא מרכז).
  • לוטקה–וולטרה: נטרפים x′ = ax − bxy, טורפים y′ = −cy + dxy. נקודת שיווי המשקל היא (c/d, a/b); האוכלוסיות נעות סביבה במחזוריות.
  • SIR: S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI. מספר ההדבקה הבסיסי R₀ = β/γ; התפרצות גדלה רק אם R₀S > 1.
  • סף חסינות העדר הוא 1 − 1/R₀; החלק הסופי שלא נדבק s∞ פותר ln s∞ = R₀(s∞ − 1).

משוואות מפתח

J=(fxfygxgy)J=\begin{pmatrix}f_x&f_y\\g_x&g_y\end{pmatrix}
יעקוביאן
x′=ax−bxy, y′=−cy+dxyx'=ax-bxy,\ y'=-cy+dxy
לוטקה–וולטרה
S′=−βSI, I′=βSI−γI, R′=γIS'=-\beta SI,\ I'=\beta SI-\gamma I,\ R'=\gamma I
מודל SIR
R0=β/γ, ln⁡s∞=R0(s∞−1)R_0=\beta/\gamma,\ \ln s_\infty=R_0(s_\infty-1)
מספר ההדבקה והגודל הסופי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 7.1 נטרפים וטורפים מקיימים x′ = x − 0.02xy, y′ = −0.5y + 0.005xy (ערכי דוגמה, שנים). מצאו את נקודת שיווי המשקל של דו-קיום ואת זמן המחזור של מחזורים קטנים.

הצג את השלבים
  1. x′ = 0 דורש y = 1/0.02 = 50; y′ = 0 דורש x = 0.5/0.005 = 100.
  2. ליעקוביאן שם יש ערכים עצמיים ±i√(ac) = ±i√0.5.
  3. זמן מחזור 2π/√0.5.

תשובה: 100 נטרפים ו-50 טורפים; מחזורים קטנים נמשכים כ-8.9 שנים, והטורפים מפגרים אחרי הנטרפים.

דוגמה 7.2 למגפה β = 0.3 ליום ו-γ = 0.1 ליום. מצאו את R₀, את סף חסינות העדר ואת החלק הסופי שנדבק אי פעם.

הצג את השלבים
  1. R₀ = 3.
  2. סף 1 − 1/3 = 0.667.
  3. חזרו על s = e^(3(s − 1)): s∞ = 0.0595.

תשובה: R₀ = 3; חסינות של 67% עוצרת את הגדילה; בלי התערבות כ-94% נדבקים בסופו של דבר, יותר מהסף כי המגפה חורגת ממנו.

דוגמה 7.3 סווגו את נקודת שיווי המשקל P = K של גדילה לוגיסטית P′ = rP(1 − P/K).

הצג את השלבים
  1. f′(P) = r − 2rP/K; f′(K) = −r < 0.

תשובה: יציבה: הפרעות קטנות דועכות בקצב r.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את נקודות שיווי המשקל של x′ = x(3 − x − y), y′ = y(2 − x − y).

    הצג תשובה

    (0, 0), (3, 0), (0, 2) (אין נקודה פנימית: הישרים x + y = 3 ו-x + y = 2 מקבילים).

  2. בצעו לינאריזציה של x′ = sin x ליד x = 0 ו-x = π.

    הצג תשובה

    f′(0) = 1 (לא יציבה), f′(π) = −1 (יציבה).

  3. אם R₀ = 2, מהו סף חסינות העדר?

    הצג תשובה

    1 − 1/2 = 50%.

  4. בדוגמת טורף-נטרף, מה קורה לנטרפים אם מסלקים את הטורפים?

    הצג תשובה

    x′ = x: גדילה מעריכית (עד שמגבלות אחרות נכנסות לפעולה).

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: לינאריזציה תמיד חוזה את ההתנהגות.

    בפועל: לא כשהיא נותנת מרכז; האיברים הלא לינאריים מכריעים.

  • מיתוס: חסינות עדר פירושה שהמגפה נעצרת מיד.

    בפועל: ההדבקות יורדות אחרי הסף אבל עדיין יכולות לחרוג ממנו.

  • מיתוס: מחזורי טורף-נטרף פירושם שהמודל אינו יציב.

    בפועל: מסלולי לוטקה–וולטרה סגורים: יציבים באופן ניטרלי, לא גדלים ולא מתכווצים.

כרטיסיות

  • יעקוביאן

    מטריצת הנגזרות החלקיות הראשונות.

  • לינאריזציה

    x′ ≈ J x ליד נקודת שיווי משקל.

  • לוטקה–וולטרה

    מחזורי טורף-נטרף סביב (c/d, a/b).

  • SIR

    רגישים, נדבקים, מחלימים.

  • R₀

    β/γ, הדבקות חדשות לכל מקרה.

  • סף חסינות העדר

    1 − 1/R₀.

בוחן לבדיקה עצמית

1. R₀ = β/γ = 4 נותן סף של…

הצג תשובה

75%. 1 − 1/4.

2. רמת הנטרפים בשיווי המשקל של לוטקה–וולטרה היא…

הצג תשובה

c/d. y′ = 0 דורש x = c/d.

3. לינאריזציה משתמשת ב…

הצג תשובה

היעקוביאן. נגזרות חלקיות ראשונות.

4. מגפה גדלה בהתחלה אם…

הצג תשובה

R₀S > 1. I′ = (βS − γ)I.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

באי רויאל שבאגם סופיריור, ה-National Park Service עוקב אחר מספרי הזאבים והאיילים מאז 1980, רשומת טורף-נטרף ארוכה. העליות והירידות הקשורות שלהם, והחלטת רשות הפארקים להעביר זאבים חדשים לאי, הן בדיוק סוג המערכת שמודלי לוטקה–וולטרה מתחילים להסביר.

אותה מתמטיקה של SIR שמנחה את תגובת בריאות הציבור משמשת למחלות של חיות בר המאיימות על מערכות אקולוגיות.

ב־Saving Planets: מרכז האוקיינוסים

מקורות: National Park Service: Wolves of Isle Royale · Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 8 · שבוע 13

שיטות נומריות

שיטות אוילר, אוילר משופר ורונגה–קוטה, גודל צעד ושגיאה, ומודל אקלים של מאזן אנרגיה שנפתר נומרית.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • יישמו את אוילר, אוילר משופר (הוין) ו-RK4.
  • הסבירו את הסדר של שיטה ואיך השגיאה משתנה עם גודל הצעד.
  • פתרו מערכות באופן נומרי.
  • בנו ופתרו מודל אקלים אפס-ממדי של מאזן אנרגיה.

מושגי מפתח

  • אוילר מתקדם לאורך השיפוע: y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). השגיאה הגלובלית שלו פרופורציונלית ל-h.
  • אוילר משופר ממצע שני שיפועים (שגיאה ∝ h²); RK4 ממצע ארבעה (שגיאה ∝ h⁴).
  • חציית h מקטינה את השגיאה של RK4 פי 16 בערך, ולכן היא סוס העבודה.
  • מאזן אנרגיה: C dT/dt = אור שמש נבלע − εσT⁴. שיווי המשקל וסקאלת הזמן שלו נובעים ישירות מהמשוואה.

משוואות מפתח

yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
שיטת אוילר
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1}=y_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
רונגה–קוטה 4
CdTdt=S(1−α)−εσT4C\frac{dT}{dt}=S(1-\alpha)-\varepsilon\sigma T^4
מודל מאזן אנרגיה
λ=4εσT3, τ=C/λ\lambda=4\varepsilon\sigma T^3,\ \tau=C/\lambda
משוב לינארי וסקאלת זמן

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 8.1 קרבו את y(1) עבור y′ = y, y(0) = 1 עם h = 0.1 באוילר, אוילר משופר ו-RK4.

הצג את השלבים
  1. כל צעד אוילר מכפיל ב-1.1: 1.1¹⁰ = 2.5937.
  2. אוילר משופר מכפיל ב-1.105: 2.7141.
  3. RK4 מכפיל ב-1.1051708: 2.7182797.

תשובה: הערך האמיתי e = 2.7182818. שגיאות: 0.12, ‏0.0042 ו-0.000002.

דוגמה 8.2 כדור הארץ בולע 340 × (1 − 0.29) = 241.4 W/m² מאור השמש (NASA). אילו הקרין כגוף שחור (ε = 1), איזו טמפרטורה הייתה מאזנת זאת? איזה ε אפקטיבי נותן את הממוצע של היום, כ-288 K?

הצג את השלבים
  1. σT⁴ = 241.4 נותן T = (241.4/5.67 × 10⁻⁸)^(1/4) = 255 K.
  2. ε = 241.4/(σ × 288⁴) = 0.619.

תשובה: 255 K (−18 °C) בלי אפקט חממה; פליטוּת אפקטיבית של 0.62 מייצגת את אפקט החממה ששומר על כדור הארץ ראוי למגורים.

דוגמה 8.3 עם ε = 0.619 ב-288 K ושכבת ערבוב אוקיינית בעומק 50 m ‏(C = 1000 × 4186 × 50 J/(m²·K); עומק לדוגמה), מצאו את λ, את סקאלת הזמן ואת ההתחממות ללא משוב עבור אילוץ של 4 W/m² (ערך דוגמה).

הצג את השלבים
  1. λ = 4εσT³ = 3.35 W/(m²·K).
  2. τ = C/λ = 6.24 × 10⁷ s ≈ 1.98 שנים (בערך 2).
  3. ΔT = 4/3.35.

תשובה: כ-1.2 K של התחממות, שמתקרבים אליה בסקאלת זמן של 2 שנים במודל הפשוט הזה. משובים אמיתיים (אדי מים, קרח) מגדילים את ההתחממות, כפי שמעריך ה-IPCC.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. צעד אוילר אחד עבור y′ = t + y, y(0) = 1, h = 0.1.

    הצג תשובה

    y₁ = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1.

  2. אם שגיאת אוילר היא 0.12 ב-h = 0.1, העריכו אותה ב-h = 0.05.

    הצג תשובה

    בערך 0.06 (סדר ראשון).

  3. אם שגיאת RK4 היא 2 × 10⁻⁶ ב-h = 0.1, העריכו אותה ב-h = 0.05.

    הצג תשובה

    בערך 2 × 10⁻⁶/16 ≈ 1.3 × 10⁻⁷.

  4. איזו טמפרטורת שיווי משקל נותן מודל מאזן האנרגיה עם ε = 1 ואלבדו 0.29?

    הצג תשובה

    בערך 255 K.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: צעדים קטנים יותר תמיד טובים יותר.

    בפועל: שגיאת העיגול והעלות גדלות; שיטה מסדר גבוה יותר בדרך כלל עדיפה על צעדי אוילר זעירים.

  • מיתוס: תשובה נומרית מדויקת אם הקוד רץ.

    בפועל: תמיד בדקו התכנסות על ידי חציית h.

  • מיתוס: התוצאה 255 K פירושה שהמודל שגוי.

    בפועל: היא מראה כמה אפקט החממה מחמם את כדור הארץ: כ-33 K.

כרטיסיות

  • שיטת אוילר

    y + h f.

  • אוילר משופר

    ממוצע של שני שיפועים; סדר 2.

  • RK4

    ארבעה שיפועים; סדר 4.

  • גודל צעד

    h; בדקו התכנסות על ידי חצייתו.

  • מודל מאזן אנרגיה

    C T′ = S(1 − α) − εσT⁴.

  • סקאלת זמן אקלימית

    τ = C/λ.

בוחן לבדיקה עצמית

1. לשיטת אוילר שגיאה גלובלית פרופורציונלית ל…

הצג תשובה

h. סדר ראשון.

2. RK4 היא מסדר…

הצג תשובה

4. שגיאה ∝ h⁴.

3. בלי אפקט חממה, הטמפרטורה הממוצעת של כדור הארץ הייתה בערך…

הצג תשובה

255 K. σT⁴ = 241 W/m².

4. חציית h ב-RK4 מקטינה את השגיאה בערך…

הצג תשובה

16. 2⁴.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

כל מודל אקלים, ממאזן האנרגיה בן השורה האחת הזה ועד המודלים הגלובליים שמעריך ה-IPCC, הוא מערכת של משוואות דיפרנציאליות שנפתרת נומרית. תקציב האנרגיה של NASA מספק את הקלטים: בממוצע מגיעים 340 W/m² של אור שמש ו-29% מוחזרים.

ב־Saving Planets: מבוא לתכנות, יחידת הסימולציה

מקורות: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 9 · שבוע 14

פתרונות בטורים, טורי פורייה ומשוואת החום

פתרונות טורי חזקות למד"ר, טורי פורייה של פונקציות מחזוריות, והפרדת משתנים למשוואת החום.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • מצאו פתרונות טורי חזקות מנוסחת נסיגה.
  • חשבו מקדמי פורייה של פונקציות מחזוריות פשוטות.
  • פתרו את משוואת החום במוט בהפרדת משתנים.
  • העריכו לאיזה עומק מגיעים גלי טמפרטורה עונתיים בקרקע.

מושגי מפתח

  • הציבו y = Σaₙxⁿ, השוו חזקות וקבלו נוסחת נסיגה למקדמים.
  • פונקציה מחזורית היא סכום של סינוסים וקוסינוסים; לפונקציה אי-זוגית על (−π, π), bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
  • משוואת החום u_t = α u_xx מפזרת חום; כל אופן סינוסי דועך כמו e^(−α(nπ/L)²t), האופנים המהירים קודם.
  • טמפרטורת פני שטח מחזורית חודרת לקרקע עם עומק ריסון d = √(2α/ω).

משוואות מפתח

y=∑anxny=\sum a_nx^n
פתרון בטור חזקות
bn=2π∫0πf(x)sin⁡nx dxb_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx
מקדם פורייה סינוסי
ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}
משוואת החום
d=2α/ωd=\sqrt{2\alpha/\omega}
עומק הריסון של גל טמפרטורה מחזורי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 9.1 פתרו את y″ + y = 0 בטור חזקות.

הצג את השלבים
  1. Σ(n + 2)(n + 1)aₙ₊₂xⁿ + Σaₙxⁿ = 0.
  2. aₙ₊₂ = −aₙ/((n + 2)(n + 1)).
  3. האיברים הזוגיים בונים את cos x, והאי-זוגיים את sin x.

תשובה: y = a₀ cos x + a₁ sin x, משוחזר מנוסחת הנסיגה.

דוגמה 9.2 מצאו את טור פורייה של הגל הריבועי f = 1 על (0, π), ו-−1 על (−π, 0).

הצג את השלבים
  1. אי-זוגית, לכן רק סינוסים: bₙ = (2/π)∫₀^π sin nx dx = (2/(nπ))(1 − cos nπ).
  2. bₙ = 4/(nπ) עבור n אי-זוגי, 0 עבור n זוגי.

תשובה: f = (4/π)(sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …); b₁ ≈ 1.273.

דוגמה 9.3 קרקע עם דיפוזיביות α = 5 × 10⁻⁷ m²/s (ערך דוגמה) חווה מחזור טמפרטורה שנתי על פני השטח. מצאו את עומק הריסון.

הצג את השלבים
  1. ω = 2π/(3.156 × 10⁷ s) = 1.99 × 10⁻⁷ s⁻¹.
  2. d = √(2 × 5 × 10⁻⁷/1.99 × 10⁻⁷).

תשובה: כ-2.24 m: התנודה השנתית קטנה פי e בכל 2.2 m של עומק, כך שהקרקע העמוקה מגיבה להתחממות לאט, לאורך שנים רבות.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את נוסחת הנסיגה עבור y′ = y בטור חזקות.

    הצג תשובה

    aₙ₊₁ = aₙ/(n + 1), ולכן y = a₀eˣ.

  2. האם f(x) = x² זוגית או אי-זוגית? אילו איברי פורייה מופיעים?

    הצג תשובה

    זוגית: רק קוסינוסים (ועוד קבוע).

  3. אופן של מוט דועך כמו e^(−α(π/L)²t). איך הכפלת L משנה את זמן הדעיכה?

    הצג תשובה

    זמן הדעיכה מוכפל פי 4.

  4. מצאו את b₃ עבור הגל הריבועי.

    הצג תשובה

    4/(3π) ≈ 0.424.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: טורי פורייה עובדים רק לפונקציות חלקות.

    בפועל: הם עובדים גם עם קפיצות, ומתכנסים לנקודת האמצע של הקפיצה.

  • מיתוס: חום מתפזר במהירות קבועה.

    בפועל: זמן הדיפוזיה גדל עם ריבוע המרחק.

  • מיתוס: פתרונות בטורים תמיד עדיפים על נוסחאות.

    בפועל: הם שימושיים במיוחד כשאין צורה סגורה, כמו במשוואות איירי ובסל.

כרטיסיות

  • שיטת טורי החזקות

    הציבו Σaₙxⁿ; קבלו נוסחת נסיגה.

  • טור פורייה

    סכום של סינוסים וקוסינוסים.

  • מקדם פורייה

    bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.

  • משוואת החום

    u_t = α u_xx.

  • הפרדת משתנים

    u = X(x)T(t).

  • עומק ריסון

    √(2α/ω).

בוחן לבדיקה עצמית

1. במשוואת החום, אופנים גבוהים דועכים…

הצג תשובה

ממהר. הקצב ∝ n².

2. טור פורייה של פונקציה אי-זוגית מכיל רק…

הצג תשובה

סינוסים. אינטגרלים של אי-זוגי × זוגי מתאפסים.

3. הכפלת המחזור של מחזור טמפרטורת פני השטח משנה את עומק הריסון ב…

הצג תשובה

√2. d ∝ 1/√ω.

4. b₁ עבור הגל הריבועי הוא…

הצג תשובה

4/π. 4/(1·π).

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

לפי NASA, הפרמפרוסט בחצי הכדור הצפוני מכיל כ-1672 מיליארד טונות של פחמן אורגני. מהירות ההגעה של התחממות פני השטח אליו היא בעיה של משוואת החום, ועומק הריסון מראה מדוע שכבות עמוקות מגיבות לאט אך ממשיכות להגיב זמן רב אחרי שפני השטח מתחממים.

ב־Saving Planets: חשבון אינפיניטסימלי 3

מקורות: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · Lebl, 4.6 PDEs, separation of variables, and the heat equation

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

מעבדות מחשב

ארבע מעבדות מחשב: מגפת SIR שנפתרת באוילר וב-RK4, מישור פאזה של טורף-נטרף, מודל אקלים של מאזן אנרגיה, וסריקת תדרים של מודל מגדל טורבינת רוח.

פרמטרים לדוגמה מסומנים ככאלה; כל מעבדה מקשרת למקור ציבורי על המערכת האמיתית.

מקור בטיחות: Lebl: Notes on Diffy Qs (free textbook)

מעבדה A: מגפת SIR עם אוילר ו-RK4

שבוע 12

מטרה: פתרו את מודל SIR נומרית, מצאו את השיא והשוו את אוילר ו-RK4 לגודל הסופי המדויק.

S′=−0.3SI, I′=0.3SI−0.1I, R′=0.1IS'=-0.3SI,\ I'=0.3SI-0.1I,\ R'=0.1I
SIR עם R₀ = 3 (קצבים לדוגמה ליום)

מהלך הניסוי

  1. התחילו עם S = 0.999, I = 0.001, R = 0 (שברים מהאוכלוסייה).
  2. הריצו אוילר עם h = 1 יום ו-h = 0.1 יום עד יום 160, ואז RK4 עם h = 1 יום.
  3. רשמו את R הסופי, את שיא I ומתי הוא מתרחש; השוו לתיאוריה.

טבלת נתונים

שיטהR סופי (יום 160)
אוילר, h = 10.9467
אוילר, h = 0.10.9411
RK4, h = 10.9405
גודל סופי מדויק (תיאוריה)0.9405

ערכים מחושבים לקצבים לדוגמה; לא התפרצות אמיתית.

חישוב לדוגמה

  1. השיא הוא 30.1% נדבקים בו-זמנית, סביב יום 38.4; התיאוריה נותנת I_max = 1 − (1 + ln R₀)/R₀ = 0.300.
  2. אוילר עם h = 1 מגזים בגודל הסופי ב-0.006; RK4 עם אותו צעד תואם את התיאוריה עד 4 ספרות.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק; Python קל יותר עבור RK4.

Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems

הקשר לכדור הארץ: אותו מבנה מודל משמש להתפרצויות מחלות באנשים ובחיות בר.

מעבדה B: מישור הפאזה של טורף-נטרף

שבוע 11

מטרה: בצעו אינטגרציה של מודל לוטקה–וולטרה ב-RK4 ושרטטו את המסלול הסגור במישור הפאזה.

x′=x−0.02xy,y′=−0.5y+0.005xyx'=x-0.02xy,\quad y'=-0.5y+0.005xy
לוטקה–וולטרה (ערכים לדוגמה)

מהלך הניסוי

  1. התחילו עם 150 נטרפים ו-50 טורפים.
  2. השתמשו ב-RK4 עם צעד קטן (0.001 שנים ב-Python, או 0.01 בגיליון אלקטרוני) למשך 40 שנים.
  3. שרטטו את y מול x ורשמו את טווח הנטרפים ואת המחזור.

טבלת נתונים

גודלערך
שיווי משקל(100, 50)
טווח הנטרפים62.6 עד 150
זמן מחזור8.99 שנים
מחזור של מעגלים קטנים (תיאוריה לינארית)8.89 שנים

ערכים מחושבים; פרמטרים לדוגמה.

חישוב לדוגמה

  1. המסלול נסגר: האוכלוסיות חוזרות כל 8.99 שנים, מעט יותר מ-8.89 השנים שהתיאוריה הלינארית חוזה למעגלים קטנים, כי המעגל הזה גדול.
  2. הטורפים מגיעים לשיא אחרי הנטרפים, פיגור שנראה ברשומות אמיתיות רבות.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • Desmos יכול לשרטט את שדה השיפועים של מישור הפאזה.

Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)

הקשר לכדור הארץ: רשומות ארוכות כמו הזאבים והאיילים של האי רויאל בוחנות את המודלים האלה. National Park Service: Wolves of Isle Royale

מעבדה C: מודל אקלים של מאזן אנרגיה

שבוע 13

מטרה: קדמו מודל אקלים בן קופסה אחת בזמן אחרי אילוץ פתאומי ומצאו את סקאלת הזמן שלו.

CdΔTdt=F−λ ΔTC\frac{d\Delta T}{dt}=F-\lambda\,\Delta T
מודל מאזן אנרגיה לינארי

מהלך הניסוי

  1. השתמשו ב-C = 2.09 × 10⁸ J/(m²·K) ‏(50 m של אוקיינוס), λ = 3.35 W/(m²·K) מיחידה 8, ואילוץ פתאומי F = 4 W/m² (ערך דוגמה).
  2. קדמו באוילר בצעדים חודשיים למשך 10 שנים.
  3. השוו לפתרון המדויק ΔT = (F/λ)(1 − e^(−t/τ)).

טבלת נתונים

שנהΔT (K)
10.48
20.77
51.10
101.19

ערכי מודל מחושבים; אין משובים מלבד קרינה.

חישוב לדוגמה

  1. שיווי משקל ΔT = F/λ = 1.19 K; ‏τ = C/λ ≈ 2.0 שנים, כך שההתחממות הושלמה בכ-63% אחרי 2 שנים במודל הזה.
  2. האקלים האמיתי מגיב לאט יותר ומתחמם יותר, כי החום מתערבב לתוך האוקיינוס העמוק והמשובים מגבירים אותו.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק.

NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget

הקשר לכדור הארץ: מודלי מאזן אנרגיה הם הצעד הראשון לקראת תחזיות האקלים שמעריך ה-IPCC. IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis

מעבדה D: סריקת תהודה של מודל מגדל טורבינת רוח

שבוע 6

מטרה: חשבו את ההגברה הדינמית של מודל מגדל בעל מתנד יחיד על פני תדרי עירור.

A(f)=1(1−r2)2+(2ζr)2, r=f/f0A(f)=\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\ r=f/f_0
הגברה דינמית

מהלך הניסוי

  1. השתמשו ב-f₀ = 0.30 Hz ו-ζ = 0.01 (ערכים לדוגמה).
  2. ערכו טבלה של A לתדרי עירור מ-0.1 עד 0.6 Hz.
  3. סמנו את תדר הרוטור (0.20 Hz ב-12 סל"ד) ואת תדר מעבר הלהבים (0.60 Hz) והעריכו את התכן.

טבלת נתונים

תדר עירור (Hz)הגברה
0.101.12
0.201.80
0.253.27
0.3050.0
0.352.76
0.600.333

ערכים מחושבים למודל לדוגמה, לא לטורבינה מסוימת.

חישוב לדוגמה

  1. שני תדרי הפעולה רחוקים היטב מהשיא ב-0.30 Hz, שם התגובה הייתה פי 50 מההסטה הסטטית.
  2. אילו האיץ הרוטור ל-18 סל"ד (0.30 Hz), הוא היה מעורר את המגדל בתהודה; לכן מתכננים בודקים את התדר הטבעי מול כל טווח המהירויות.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק.

PhET: Masses and Springs

הקשר לכדור הארץ: הימנעות מתהודה מאפשרת לטורבינות רוח לייצר אנרגיה נקייה בבטחה במשך עשורים. משרד האנרגיה האמריקאי: איך פועלות טורבינות רוח? (באנגלית)

חזרה למעלה

מערכי תרגול למבחן

מדדו זמן: כ־10 דקות לבעיה. אחר כך השוו לפתרונות המלאים.

סט תרגול לבחינת אמצע (יחידות 1–5)

  1. פתרו y′ = −2ty, y(0) = 3, ומצאו את y(1).

    הצג פתרון מלא
    1. dy/y = −2t dt; y = 3e^(−t²).

    תשובה: 3e^(−1) ≈ 1.104.

  2. אגם עם זמן שהייה של 4 שנים: כמה זמן עד שמזהם יורד לחצי אחרי שהזרימה הנכנסת נעצרת?

    הצג פתרון מלא
    1. t = 4 ln 2.

    תשובה: ≈ 2.77 שנים.

  3. פתרו y″ + 6y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, ומצאו את y(1).

    הצג פתרון מלא
    1. y = (1 + 3t)e^(−3t).

    תשובה: 4e^(−3) ≈ 0.199.

  4. פתרו y′ + y = 1, y(0) = 0 בלפלס ומצאו את y(2).

    הצג פתרון מלא
    1. Y = 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1).

    תשובה: 1 − e^(−2) ≈ 0.865.

מערך תרגול מסכם (כל היחידות)

  1. סווגו את הראשית של x′ = [[0, 1], [−2, −2]]x.

    הצג פתרון מלא
    1. λ² + 2λ + 2 = 0, λ = −1 ± i.

    תשובה: ספירלה יציבה.

  2. למגפת SIR יש β = 0.5, γ = 0.25 ליום. מצאו את R₀ ואת סף חסינות העדר.

    הצג פתרון מלא
    1. R₀ = 2.

    תשובה: R₀ = 2, סף 50%.

  3. שני צעדי אוילר עם h = 0.5 עבור y′ = −y, y(0) = 1.

    הצג פתרון מלא
    1. כל צעד מכפיל ב-0.5.

    תשובה: y(1) ≈ 0.25 (הערך האמיתי e^(−1) ≈ 0.368).

  4. מערכת מסה-קפיץ עם m = 1 kg, k = 16 N/m, c = 0.4 N·s/m. מצאו את ω₀ ואת ζ.

    הצג פתרון מלא
    1. ω₀ = 4 rad/s; c_crit = 8.

    תשובה: ω₀ = 4 rad/s, ζ = 0.05 (הגברת שיא של כ-10).

חזרה למעלה

דף נוסחאות

μ=e∫p dx\mu=e^{\int p\,dx}
My=Nx⇒F=CM_y=N_x\Rightarrow F=C
C=C0e−t/τC=C_0e^{-t/\tau}
Hmax⁡=rK/4H_{\max}=rK/4
ar2+br+c=0ar^2+br+c=0
ω0=k/m, ccrit=2mk\omega_0=\sqrt{k/m},\ c_{\text{crit}}=2\sqrt{mk}
X=F0/(k−mω2)2+(cω)2X=F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}
L{y′}=sY−y(0)\mathcal L\{y'\}=sY-y(0)
L{eat}=1/(s−a)\mathcal L\{e^{at}\}=1/(s-a)
L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)
λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0
R0=β/γ, 1−1/R0R_0=\beta/\gamma,\ 1-1/R_0
yn+1=yn+hfy_{n+1}=y_n+hf
C T′=S(1−α)−εσT4C\,T'=S(1-\alpha)-\varepsilon\sigma T^4
ut=αuxxu_t=\alpha u_{xx}
bn=2π∫0πfsin⁡nx dxb_n=\tfrac2\pi\int_0^\pi f\sin nx\,dx

קבועים

קבועערך
קבוע סטפן–בולצמן σ5.67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
אור שמש ממוצע בראש האטמוספרה340 W/m²
חלק אור השמש המוחזר29%
זמן השהייה של אגם סופיריור191 שנים
זמן השהייה של אגם אירי2.6 שנים
אורך החיים הממוצע של מתאןכעשור

מקור: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget

חזרה למעלה

טקסטים וכלים חינמיים

השתמשו בספרים ובכלים החינמיים האלה לצד הקורס.

חזרה למעלה

מילון מונחים

משוואה אוטונומית
y′ = f(y), ללא t מפורש.
המשוואה האופיינית
ar² + br + c = 0 למד"ר עם מקדמים קבועים.
ריסון קריטי
החזרה המהירה ביותר ללא חריגה.
ערך עצמי
λ עם Av = λv.
מודל מאזן אנרגיה
מודל אקלים המאזן בין אור שמש נבלע לחום נפלט.
שיווי משקל
פתרון קבוע.
שיטת אוילר
התקדמות נומרית מסדר ראשון.
משוואה מדויקת
M dx + N dy = 0 עם M_y = N_x.
טור פורייה
פיתוח בסינוסים וקוסינוסים.
משוואת החום
u_t = α u_xx.
גורם אינטגרציה
מכפיל ההופך מד"ר לינארית למדויקת.
יעקוביאן
מטריצת הנגזרות החלקיות הראשונות המשמשת ללינאריזציה.
התמרת לפלס
∫₀^∞ e^(−st) f dt.
לוטקה–וולטרה
מודל טורף-נטרף.
דיוקן פאזה
מסלולים במישור המצב.
תהודה
תגובה גדולה כשהעירור תואם תדר טבעי.
רונגה–קוטה (RK4)
שיטה נומרית מסדר רביעי.
R₀
מספר ההדבקה הבסיסי.
מודל SIR
מודל מגפה: רגישים–נדבקים–מחלימים.
משוואה פרידה
dy/dx = g(x)h(y).

חזרה למעלה

מחוון להערכה עצמית

לא ניתנים ציון או נקודות זכות. השתמשו בזה כדי להעריך בכנות איפה אתם עומדים בכל יחידה.

רמהאיך זה נראה
4 · שליטה מלאהבונה מודלים מתיאור, פותר אותם בנוסחה ונומרית, ובודק יחידות והתנהגות לטווח ארוך.
3 · מיומןפותר את תרגילי האימון עם טעויות מזדמנות.
2 · מתפתחעוקב אחר דוגמאות פתורות אך מתקשה לבנות מודלים או לבחור שיטה.
1 · מתחילמיישם נוסחאות בלי לבדוק פתרונות; צריך לחזור על היחידה.

שקלול מוצע אם רוצים ציון

חלקמשקל
תרגילים30%
מעבדות מחשב15%
מערך תרגול לאמצע הקורס25%
מערך תרגול מסכם30%

שאפו לרמה 3 ומעלה בכל יחידה לפני שעוברים לקורס הבא.

חזרה למעלה