חשבון אינפיניטסימלי 3

חשבון אינפיניטסימלי במספר משתנים ושדות וקטוריים: וקטורים, תנועה במרחב, נגזרות חלקיות, גרדיאנטים וכופלי לגרנז׳, אינטגרלים מרובים, והמשפטים של גרין, סטוקס וגאוס, עם ארבע מעבדות מחשב על רוחות, פני שטח, אגמים ומסלולים.

NASA Blue MarbleCNES (PIA25623)NASA/JPL-CaltechNASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

קורסים › MATH 210

הורדת מדריך הלימוד כ־PDF (באנגלית)

על הקורס

זהו מתווה של קורס חינמי ללימוד עצמי שנכתב על ידי Saving Planets. הוא אינו קורס אוניברסיטאי, אינו מעניק נקודות זכות אקדמיות, ואף מוסד לימודים אינו מעורב בו.

ההיקף תואם את הסמסטר השלישי של חשבון אינפיניטסימלי באקדמיה, בהשראת הנושאים והעומק של חומרים פתוחים כמו OpenStax Calculus Volume 3 ו-MIT OpenCourseWare 18.02 Multivariable Calculus, ושל סילבוסים של קורסים כמו Stanford Math 51/52 ו-Georgia Tech MATH 2551. אנו מקשרים לחומרים החינמיים לאורך כל הקורס. אף אחד מהארגונים האלה אינו תומך בדף זה.

מה אנחנו מוסיפים: כל יחידה מתחברת לבעיות אמיתיות של רוח, אוקיינוס, פני שטח, אקלים ולוויינים עם מקור ציבורי מצוטט, כל מספר בדף מחושב מחדש בסקריפט בדיקה לפני פרסומו, וארבע מעבדות מחשב מיישמות את הרעיונות על שדות רוח, רשתות גובה, נפחי אגמים ומסלולים.

עברו עליו לפי הסדר. בכל יחידה יש מטרות, רעיונות מרכזיים, משוואות, דוגמאות צעד אחר צעד, תרגול עם תשובות מלאות, טעויות נפוצות, כרטיסיות ובוחן. ההתקדמות שלכם נשמרת רק בדפדפן הזה.

איך הקורס הזה עוזר להציל את כדור הארץ

כדור הארץ תלת-ממדי ונמצא בתנועה מתמדת. רוחות וזרמי אוקיינוס הם שדות וקטוריים, פני השטח והטמפרטורה הם פונקציות של שניים או שלושה משתנים, חום ומזהמים חוצים משטחים כשטף, והלוויינים שמודדים את כל זה נעים במסלולים וקטוריים במרחב.

כל יחידה מסתיימת בקטע קצר עם מקורות שמראה איך הרעיונות שלה עוזרים גם לאנשים וגם לטבע.

חזרה למעלה

לפני שמתחילים

ידע מוקדם

  • חשבון אינפיניטסימלי I ו-II: נגזרות, אינטגרלים, הצבה ואינטגרציה בחלקים, עקומות פרמטריות וקוטביות.
  • טריגונומטריה בסיסית ומשוואות המעגל והספירה.
  • פיזיקה I עוזרת בדוגמאות של עבודה, שטף ומסלולים, אבל אינה חובה.

איך ללמוד

  • ציירו תמונה ב-3D לכל בעיה: הצירים, התחום, הווקטורים.
  • פתרו כל תרגיל על הנייר לפני שאתם פותחים את התשובה.
  • בדקו יחידות וסימנים: לשטף, לעבודה או לסירקולציה צריך להיות היגיון פיזיקלי.
  • באינטגרלים מרובים, שרטטו את התחום וכתבו את הגבולות לפני שמבצעים אינטגרציה כלשהי.
  • השתמשו בכלי שרטוט 3D ‏(Desmos 3D או GeoGebra 3D) כדי לראות משטחים ושדות.
  • עשו שוב את הבחנים כעבור כמה ימים. תרגול מרווח עדיף על מפגש ארוך אחד.

ציוד מעבדה (למעבדות הרטובות)

  • מחשב או טאבלט עם גיליון אלקטרוני.
  • כלי שרטוט 3D חינמי כמו Desmos 3D או GeoGebra 3D.
  • רשות: פייתון עם NumPy (בחינם ב-Google Colab).

חזרה למעלה

לוח זמנים מוצע ל־15 שבועות

כ־6 עד 9 שעות בשבוע: קריאה, תרגילים, ובשבועות המעבדה גם המעבדה.

שבועיחידהנושאיםקריאה
1וקטורים וגאומטריה של המרחבקואורדינטות 3D, וקטורים, מכפלה סקלריתOpenStax 2.1–2.3
2וקטורים וגאומטריה של המרחבמכפלה וקטורית, ישרים ומישוריםOpenStax 2.4–2.5
3פונקציות וקטוריות ותנועה במרחבפונקציות וקטוריות, תנועה במרחב, עקמומיות; מעבדה DOpenStax 3.1–3.4
4נגזרות חלקיותפונקציות של כמה משתנים, גבולות, נגזרות חלקיותOpenStax 4.1–4.3
5נגזרות חלקיותמישורים משיקים, קירוב לינארי, כלל השרשרתOpenStax 4.4–4.5
6גרדיאנטים ואופטימיזציהגרדיאנט, נגזרות כיווניות, קיצוןOpenStax 4.6–4.7
7גרדיאנטים ואופטימיזציהכופלי לגרנז׳; מעבדה B; תרגול לבוחן אמצעOpenStax 4.8
8אינטגרלים כפוליםאינטגרלים כפולים על מלבנים ועל תחומים כללייםOpenStax 5.1–5.2
9אינטגרלים כפוליםאינטגרלים כפולים בקואורדינטות קוטביות; מעבדה COpenStax 5.3
10אינטגרלים משולשים והחלפת משתניםאינטגרלים משולשים; קואורדינטות גליליות וכדוריותOpenStax 5.4–5.5
11אינטגרלים משולשים והחלפת משתניםמסה ומרכז מסה; החלפת משתניםOpenStax 5.6–5.7
12שדות וקטוריים, אינטגרלים קוויים ומשפט גריןשדות וקטוריים, אינטגרלים קוויים, שדות משמרים, משפט גריןOpenStax 6.1–6.4
13אינטגרלים משטחיים, משפט סטוקס ומשפט הדיברגנץדיברגנץ ורוטור; אינטגרלים משטחיים ושטףOpenStax 6.5–6.6
14אינטגרלים משטחיים, משפט סטוקס ומשפט הדיברגנץמשפטי סטוקס והדיברגנץ; מעבדה AOpenStax 6.7–6.8
15חזרהחזרה וסדרת תרגול מסכמתכל היחידות

חזרה למעלה

ההתקדמות שלכם

סמנו יחידות ומעבדות כשאתם מסיימים אותן, ועשו את הבחנים. ההתקדמות והציונים נשמרים רק בדפדפן הזה ולעולם לא נשלחים אלינו.

הפעילו JavaScript כדי לעקוב אחר ההתקדמות.

חזרה למעלה

יחידה 1 · שבועות 1–2

וקטורים וגאומטריה של המרחב

קואורדינטות 3D, וקטורים, המכפלות הסקלרית והווקטורית, ומשוואות של ישרים ומישורים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חברו וקטורים ב-3D, הכפילו אותם בסקלר ומצאו את אורכם.
  • השתמשו במכפלה הסקלרית לזוויות ולהטלות.
  • השתמשו במכפלה הווקטורית לנורמלים, לשטחים ולנפחים.
  • כתבו משוואות של ישרים ומישורים ומצאו מרחקים.

מושגי מפתח

  • לווקטור יש גודל וכיוון; ברכיבים, v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ ו-|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²).
  • המכפלה הסקלרית a · b = |a||b| cos θ מודדת עד כמה שני וקטורים מצביעים לאותו כיוון. היא אפס בדיוק כשהם מאונכים.
  • המכפלה הווקטורית a × b מאונכת לשניהם, ואורכה שווה לשטח המקבילית שהם פורשים.
  • מישור נקבע על ידי נקודה ווקטור נורמל n: n · (r − r₀) = 0. ישר הוא נקודה ועוד כפולות של כיוון: r = r₀ + t v.

משוואות מפתח

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
מכפלה סקלרית וזווית
proj⁡ba=a⋅b∣b∣2b\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b
הטלה
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
אורך המכפלה הווקטורית = שטח המקבילית
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
מישור עם נורמל ⟨a, b, c⟩
D=∣ax1+by1+cz1−d∣a2+b2+c2D=\frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
המרחק מנקודה למישור ax + by + cz = d

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 1.1 עבור a = ⟨1, 2, 2⟩ ו-b = ⟨2, −1, 2⟩, מצאו את |a|, את a · b ואת הזווית ביניהם.

הצג את השלבים
  1. |a| = √(1 + 4 + 4) = 3, וגם |b| = 3.
  2. a · b = 2 − 2 + 4 = 4.
  3. cos θ = 4/9, ולכן θ = arccos(0.444).

תשובה: |a| = 3, a · b = 4, θ ≈ 63.6°.

דוגמה 1.2 מצאו את a × b עבור אותם וקטורים ואת שטח המקבילית שהם פורשים.

הצג את השלבים
  1. a × b = ⟨2·2 − 2·(−1), 2·2 − 1·2, 1·(−1) − 2·2⟩.
  2. = ⟨6, 2, −5⟩. בדיקה: המכפלה הסקלרית שלו עם a ועם b היא 0.
  3. שטח = |⟨6, 2, −5⟩| = √65.

תשובה: ⟨6, 2, −5⟩; שטח √65 ≈ 8.06.

דוגמה 1.3 רוח של 10 m/s נושבת בזווית 30° לציר הרוטור של טורבינת רוח. איזה חלק מההספק החזיתי הטורבינה מקבלת, אם ההספק גדל עם החזקה השלישית של מהירות הרוח לאורך צירה?

הצג את השלבים
  1. הרכיב לאורך הציר: 10 cos 30° = 8.66 m/s (מכפלה סקלרית עם וקטור היחידה של הציר).
  2. יחס ההספקים = (cos 30°)³.

תשובה: בערך 0.65: סטייה של 30° מאבדת בערך שליש מההספק, ולכן טורבינות מסתובבות מול הרוח.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את המישור העובר דרך (1, 0, 0), (0, 2, 0) ו-(0, 0, 3).

    הצג תשובה

    צורת החיתוכים x/1 + y/2 + z/3 = 1, כלומר 6x + 3y + 2z = 6.

  2. מצאו את המרחק מהראשית למישור הזה.

    הצג תשובה

    |−6|/√(36 + 9 + 4) = 6/7 ≈ 0.857.

  3. מצאו את ההטלה של ⟨3, 4, 0⟩ על ⟨1, 0, 0⟩.

    הצג תשובה

    ⟨3, 0, 0⟩.

  4. מצאו את נפח המקבילון הנפרש על ידי ⟨1, 0, 0⟩, ⟨0, 2, 0⟩ ו-⟨1, 1, 3⟩.

    הצג תשובה

    |a · (b × c)| = det = 1·(2·3 − 0·1) = 6.

  5. האם ⟨1, 2, 3⟩ ו-⟨3, 0, −1⟩ מאונכים?

    הצג תשובה

    המכפלה הסקלרית 3 + 0 − 3 = 0, ולכן כן.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: a × b = b × a.

    בפועל: המכפלה הווקטורית אנטי-קומוטטיבית: b × a = −(a × b).

  • מיתוס: המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא וקטור.

    בפועל: היא סקלר (מספר).

  • מיתוס: משוואת מישור אומרת לכם את כיוונו.

    בפועל: המקדמים שלה נותנים את הנורמל, המאונך למישור.

כרטיסיות

  • מכפלה סקלרית

    a · b = |a||b| cos θ; אפס כשהם מאונכים.

  • מכפלה וקטורית

    מאונכת לשניהם; אורך = שטח המקבילית.

  • הטלה

    (a · b/|b|²) b.

  • מכפלה משולשת

    |a · (b × c)| = נפח המקבילון.

  • מישור

    n · (r − r₀) = 0.

  • ישר

    r = r₀ + t v.

בוחן לבדיקה עצמית

1. אם a · b = 0 (ושניהם שונים מאפס), הווקטורים…

הצג תשובה

מאונכים. cos θ = 0, ולכן θ = 90°.

2. האורך של a × b שווה ל…

הצג תשובה

שטח המקבילית. |a||b| sin θ.

3. הנורמל ל-2x − y + 5z = 7 הוא…

הצג תשובה

⟨2, −1, 5⟩. קראו את המקדמים.

4. |⟨2, 3, 6⟩| =

הצג תשובה

7. √(4 + 9 + 36) = √49.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

רוח היא וקטור, וטורבינות מסובבות את הרוטור מולה כי ההספק תלוי בחזקה השלישית של הרכיב לאורך ציר הרוטור, מכפלה סקלרית בתחפושת.

אותו חשבון אומר ללוח סולארי כמה אור שמש הוא קולט: החלק המועיל הוא המכפלה הסקלרית של כיוון אור השמש עם וקטור הנורמל של הלוח.

ב־Saving Planets: פיזיקה I, יחידה 3: אנרגיית רוח

מקורות: משרד האנרגיה האמריקאי: איך פועלות טורבינות רוח? (באנגלית) · OpenStax Calculus 3, 2.3 The Dot Product

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 2 · שבוע 3

פונקציות וקטוריות ותנועה במרחב

עקומות במרחב כפונקציות וקטוריות: מהירות, תאוצה, אורך קשת, עקמומיות ותנועת לוויינים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • גזרו ובצעו אינטגרציה של פונקציות וקטוריות.
  • מצאו מהירות וקטורית, גודל מהירות ותאוצה לאורך מסלול.
  • חשבו אורך קשת ועקמומיות.
  • נתחו מסלולים מעגליים בעזרת חשבון וקטורי.

מושגי מפתח

  • עקומה במרחב היא r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩; גוזרים רכיב אחר רכיב.
  • המהירות v = r′(t) משיקה למסלול; גודל המהירות הוא |v|; התאוצה היא a = v′.
  • אורך קשת הוא האינטגרל של גודל המהירות: L = ∫|r′(t)| dt.
  • בתנועה מעגלית קצובה גודל המהירות קבוע, אבל התאוצה מצביעה אל המרכז בגודל v²/r.

משוואות מפתח

v=r′(t), a=r′′(t)\mathbf v=\mathbf r'(t),\ \mathbf a=\mathbf r''(t)
מהירות ותאוצה
L=∫ab∣r′(t)∣ dtL=\int_a^b|\mathbf r'(t)|\,dt
אורך קשת
κ=∣r′×r′′∣∣r′∣3\kappa=\frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}
עקמומיות
v=GM/r, T=2πr/vv=\sqrt{GM/r},\ T=2\pi r/v
מהירות וזמן מחזור של מסלול מעגלי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 2.1 מצאו את האורך של סיבוב אחד של הסליל r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π.

הצג את השלבים
  1. r′ = ⟨−sin t, cos t, 1⟩, גודל מהירות √(sin²t + cos²t + 1) = √2.
  2. L = ∫₀^(2π) √2 dt = 2π√2.

תשובה: 2π√2 ≈ 8.89.

דוגמה 2.2 Landsat 9 מקיף את כדור הארץ בגובה 705 km (רדיוס ממוצע 6371 km). בהתייחס למסלול כמעגל, מצאו את מהירותו, תאוצתו וזמן המחזור שלו.

הצג את השלבים
  1. r = 7,076 km = 7.076 × 10⁶ m; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².
  2. v = √(GM/r) = 7,505 m/s.
  3. a = v²/r = 7.96 m/s², בכיוון מרכז כדור הארץ.
  4. T = 2πr/v = 5,924 s.

תשובה: בערך 7.5 km/s ו-98.7 דקות להקפה, בהתאמה לזמן המחזור של 99 דקות שמציינת נאס״א.

דוגמה 2.3 מצאו את העקמומיות של מעגל ברדיוס 2, r(t) = ⟨2 cos t, 2 sin t, 0⟩.

הצג את השלבים
  1. r′ = ⟨−2 sin t, 2 cos t, 0⟩, |r′| = 2.
  2. r′′ = ⟨−2 cos t, −2 sin t, 0⟩; r′ × r′′ = ⟨0, 0, 4⟩.
  3. κ = 4/2³.

תשובה: κ = 1/2: העקמומיות של מעגל היא 1/רדיוס.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. לקליע r(t) = ⟨20t, 20t − 4.9t²⟩ m. מצאו את מהירותו ואת גודל מהירותו ב-t = 1 s.

    הצג תשובה

    v = ⟨20, 20 − 9.8t⟩ = ⟨20, 10.2⟩; גודל מהירות √(400 + 104.04) ≈ 22.45 m/s.

  2. מצאו את התאוצה של r(t) = ⟨t², 3t, eᵗ⟩.

    הצג תשובה

    ⟨2, 0, eᵗ⟩.

  3. מצאו את האורך של r(t) = ⟨3t, 4t, 0⟩ עבור 0 ≤ t ≤ 2.

    הצג תשובה

    גודל מהירות 5, ולכן L = 10.

  4. לוויין מקיף בגובה 35786 km. מצאו את זמן המחזור שלו.

    הצג תשובה

    r = 42157 km; T = 2π√(r³/GM) ≈ 86160 s ≈ 23.93 h: יממה כוכבית אחת, ולכן הוא גאוסטציונרי.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: גודל מהירות קבוע פירושו תאוצה אפס.

    בפועל: פנייה היא תאוצה: לוויין במסלול מעגלי מאיץ לעבר כדור הארץ כל הזמן.

  • מיתוס: אורך קשת הוא |r(b) − r(a)|.

    בפועל: זה המרחק בקו ישר; אורך קשת הוא אינטגרל של גודל המהירות לאורך המסלול.

  • מיתוס: לוויינים גבוהים יותר נעים מהר יותר.

    בפועל: v = √(GM/r) קטנה עם המרחק; מסלולים גבוהים יותר איטיים וארוכים יותר.

כרטיסיות

  • פונקציה וקטורית

    r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩.

  • מהירות

    r′(t), משיק למסלול.

  • המהירות

    |r′(t)|.

  • אורך קשת

    ∫|r′| dt.

  • עקמומיות

    |r′ × r′′|/|r′|³.

  • מסלול מעגלי

    v = √(GM/r).

בוחן לבדיקה עצמית

1. מהירות היא…

הצג תשובה

r′(t). הנגזרת של המיקום.

2. אורך קשת הוא אינטגרל של…

הצג תשובה

גודל המהירות. L = ∫|r′| dt.

3. העקמומיות של מעגל ברדיוס 5 היא…

הצג תשובה

1/5. κ = 1/R.

4. הכפלת הרדיוס של מסלול מעגלי משנה את מהירותו פי…

הצג תשובה

1/√2. v ∝ 1/√r.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

לוויינים לתצפית על כדור הארץ כמו Landsat 9 נעים במסלולים וקטוריים שנבחרו בדיוק בעזרת הנוסחאות האלה. המסלול הכמעט-קוטבי והסינכרוני לשמש שלו בגובה 705 km מאפשר לו לצלם את אותו מקום כל 16 ימים בערך באותה שעה מקומית, כך ששינויים ביערות, בקרחונים ובערים בולטים.

ב־Saving Planets: Landsat 9 · חשבון אינפיניטסימלי II, יחידה 7: מסלולים קוטביים

מקורות: NASA: Landsat 9 quick facts · גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 3 · שבועות 4–5

נגזרות חלקיות

פונקציות של כמה משתנים: קווי גובה, נגזרות חלקיות, מישורים משיקים, קירוב לינארי וכלל השרשרת במספר משתנים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • קראו קווי גובה ומפות טופוגרפיות.
  • חשבו נגזרות חלקיות ופרשו אותן כקצבים.
  • מצאו מישורים משיקים והשתמשו בקירוב לינארי.
  • יישמו את כלל השרשרת במספר משתנים.

מושגי מפתח

  • פונקציה z = f(x, y) היא משטח; קווי הגובה שלה f = c הם מפה טופוגרפית.
  • ∂f/∂x הוא קצב השינוי ב-x כש-y קבוע.
  • ליד נקודה, משטח חלק נראה כמו המישור המשיק שלו: Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.
  • כלל השרשרת: אם x ו-y תלויים ב-t, אז df/dt = fₓ dx/dt + f_y dy/dt.

משוואות מפתח

fx=∂f∂xf_x=\frac{\partial f}{\partial x}
נגזרת חלקית
z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
מישור משיק
dfdt=fxdxdt+fydydt\frac{df}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}
כלל השרשרת
fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}
משפט קלרו (f חלקה)

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 3.1 עבור f(x, y) = x²y + y³, מצאו את fₓ ואת f_y ב-(1, 2), והשתמשו במישור המשיק כדי להעריך את f(1.1, 1.9).

הצג את השלבים
  1. fₓ = 2xy = 4; f_y = x² + 3y² = 13; f(1, 2) = 10.
  2. f ≈ 10 + 4(0.1) + 13(−0.1) = 9.1.
  3. ערך אמיתי: 1.21 × 1.9 + 6.859 = 9.158.

תשובה: הערכה 9.1 לעומת הערך האמיתי 9.158.

דוגמה 3.2 לגז אידיאלי, P = nRT/V. עם n = 1 mol, ‏T = 300 K ו-V = 0.025 m³, מצאו את P, ‏∂P/∂T ו-∂P/∂V.

הצג את השלבים
  1. P = 8.314 × 300/0.025 = 99,768 Pa.
  2. ∂P/∂T = nR/V = 332.6 Pa/K.
  3. ∂P/∂V = −nRT/V² = −P/V = −3.99 × 10⁶ Pa/m³.

תשובה: P ≈ 99.8 kPa; חימום ב-1 K מעלה אותו בכ-333 Pa; התפשטות מורידה אותו.

דוגמה 3.3 רחפן טס לפי x = 2t, y = t². הטמפרטורה שהוא מודד היא T = 20 + 0.1x − 0.05y (°C, km). מצאו את dT/dt ב-t = 1.

הצג את השלבים
  1. Tₓ = 0.1, T_y = −0.05; dx/dt = 2, dy/dt = 2t = 2.
  2. dT/dt = 0.1(2) − 0.05(2).

תשובה: 0.1 °C ליחידת זמן.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את fₓ ואת f_y עבור f = e^(xy).

    הצג תשובה

    fₓ = y e^(xy), f_y = x e^(xy).

  2. מצאו את f_xy עבור f = x³y².

    הצג תשובה

    fₓ = 3x²y², f_xy = 6x²y (זהה ל-f_yx).

  3. מצאו את המישור המשיק ל-z = x² + y² ב-(1, 1, 2).

    הצג תשובה

    z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1), i.e. z = 2x + 2y − 2.

  4. העריכו את √(3.02² + 3.97²) בקירוב לינארי סביב (3, 4).

    הצג תשובה

    f = 5, fₓ = 3/5, f_y = 4/5: 5 + 0.6(0.02) + 0.8(−0.03) = 4.988 (ערך אמיתי 4.9880).

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: ∂f/∂x מתעלמת מ-y.

    בפועל: היא מחזיקה את y קבוע; y עדיין יכול להופיע בתשובה.

  • מיתוס: אם שתי הנגזרות החלקיות קיימות, f חלקה.

    בפועל: נגזרות חלקיות יכולות להתקיים גם היכן ש-f אפילו אינה רציפה; גזירות דורשת יותר.

  • מיתוס: קירוב לינארי טוב בכל מקום.

    בפועל: רק ליד נקודת הבסיס.

כרטיסיות

  • נגזרת חלקית

    קצב שינוי במשתנה אחד כשהאחרים קבועים.

  • קו גובה

    f(x, y) = c; קו טופוגרפי.

  • מישור משיק

    z = z₀ + fₓΔx + f_yΔy.

  • קירוב לינארי

    Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.

  • כלל השרשרת

    df/dt = fₓx′ + f_yy′.

  • קלרו

    f_xy = f_yx עבור f חלקה.

בוחן לבדיקה עצמית

1. For f = x²y, fₓ =

הצג תשובה

2xy. התייחסו ל-y כקבוע.

2. קווי הגובה של f(x, y) = x² + y² הם…

הצג תשובה

מעגלים. x² + y² = c.

3. עבור f חלקה, f_xy ו-f_yx הן…

הצג תשובה

שווים. משפט קלרו.

4. df/dt עבור f(x(t), y(t)) היא…

הצג תשובה

fₓx′ + f_yy′. כלל השרשרת במספר משתנים.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מפות מזג אוויר הן מפות טופוגרפיות של פונקציות בשני משתנים: איזוברים הם קווי גובה של לחץ, ואיזותרמות של טמפרטורה. נגזרות חלקיות אומרות לחזאים כמה מהר הלחץ או הטמפרטורה משתנים מזרחה או צפונה, וזה מה שמניע את הרוחות.

ב־Saving Planets: חשבון אינפיניטסימלי 1

מקורות: NOAA/NWS JetStream: Wind · OpenStax Calculus 3, 4.3 Partial Derivatives

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 4 · שבועות 6–7

גרדיאנטים ואופטימיזציה

וקטור הגרדיאנט, נגזרות כיווניות, נקודות קריטיות ומבחן הנגזרת השנייה, ואופטימיזציה עם אילוצים בעזרת כופלי לגרנז׳.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חשבו את הגרדיאנט ונגזרות כיווניות.
  • הסבירו למה הגרדיאנט מצביע במעלה ומאונך לקווי הגובה.
  • סווגו נקודות קריטיות בעזרת מבחן הנגזרת השנייה.
  • פתרו בעיות עם אילוצים בעזרת כופלי לגרנז׳.

מושגי מפתח

  • ∇f = ⟨fₓ, f_y⟩ מצביע בכיוון העלייה המהירה ביותר, ואורכו הוא הקצב המרבי הזה.
  • קצב השינוי בכיוון של וקטור יחידה u הוא D_u f = ∇f · u.
  • הגרדיאנט מאונך לקווי הגובה, ולכן מים זורמים במורד לאורך −∇h, בניצב לקווי הגובה.
  • בנקודת קיצון פנימית ∇f = 0. המבחן D = f_xx f_yy − f_xy² מכריע: D > 0 ו-f_xx > 0 הוא מינימום; D < 0 הוא נקודת אוכף.
  • כדי לבצע אופטימיזציה של f בכפוף ל-g = c, פתרו ∇f = λ∇g: בנקודה הטובה ביותר קו הגובה של f רק נוגע באילוץ.

משוואות מפתח

∇f=⟨fx,fy,fz⟩\nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle
גרדיאנט
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
נגזרת כיוונית
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
מבחן הנגזרת השנייה
∇f=λ∇g,g=c\nabla f=\lambda\nabla g,\quad g=c
תנאי כופל לגרנז׳

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 4.1 לגבעה גובה h(x, y) = 500 − 0.01x² − 0.02y² (מטרים, x ו-y במטרים). ב-(100, 50), מצאו את ∇h, את השיפוע התלול ביותר ואת השיפוע בכיוון ⟨3, 4⟩/5.

הצג את השלבים
  1. ∇h = ⟨−0.02x, −0.04y⟩ = ⟨−2, −2⟩.
  2. קצב העלייה התלול ביותר |∇h| = 2√2 = 2.83 m למטר.
  3. D_u h = ⟨−2, −2⟩ · ⟨0.6, 0.8⟩ = −2.8.

תשובה: עלייה תלולה ביותר 2.83 (במעלה לכיוון ⟨−1, −1⟩); בכיוון ⟨3, 4⟩ יורדים 2.8 m לכל m. הגשם זורם לאורך −∇h.

דוגמה 4.2 מצאו וסווגו את הנקודה הקריטית של f = x² + xy + y² − 3x.

הצג את השלבים
  1. fₓ = 2x + y − 3 = 0, f_y = x + 2y = 0 נותנים x = 2, y = −1.
  2. f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 1: D = 3 > 0, f_xx > 0.
  3. f(2, −1) = 4 − 2 + 1 − 6 = −3.

תשובה: מינימום, f = −3 ב-(2, −1).

דוגמה 4.3 פחית צריכה להכיל 1 ליטר (1000 cm³). איזה רדיוס וגובה דורשים הכי מעט מתכת (גליל סגור)?

הצג את השלבים
  1. מזערו A = 2πr² + 2πrh בכפוף ל-g = πr²h = 1000.
  2. ∇A = λ∇g נותן 4πr + 2πh = λ2πrh ו-2πr = λπr², ולכן λ = 2/r ו-h = 2r.
  3. πr²(2r) = 1000 נותן r = (500/π)^(1/3).

תשובה: r ≈ 5.42 cm, h ≈ 10.84 cm (גובה = קוטר), שטח ≈ 554 cm².

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את ∇f עבור f = xyz ב-(1, 2, 3).

    הצג תשובה

    ⟨yz, xz, xy⟩ = ⟨6, 3, 2⟩.

  2. מצאו את D_u f עבור f = x² + y² ב-(1, 1) בכיוון ⟨1, 0⟩.

    הצג תשובה

    ∇f = ⟨2, 2⟩; D_u f = 2.

  3. סווגו את הנקודה הקריטית של f = x² − y².

    הצג תשובה

    ב-(0, 0): D = (2)(−2) − 0 = −4 < 0, נקודת אוכף.

  4. גדרו מלבן לאורך נהר ישר עם 40 m גדר (בלי גדר בצד הנהר). הגדילו את השטח ככל האפשר.

    הצג תשובה

    מקסמו xy בכפוף ל-x + 2y = 40: y = 10, x = 20, שטח 200 m².

  5. מקסמו f = x + y על המעגל x² + y² = 2.

    הצג תשובה

    ⟨1, 1⟩ = λ⟨2x, 2y⟩ נותן x = y = 1; מקסימום 2.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הגרדיאנט מצביע לאורך קו הגובה.

    בפועל: הוא מאונך לקו הגובה.

  • מיתוס: ∇f = 0 פירושו מקסימום או מינימום.

    בפועל: זו יכולה להיות נקודת אוכף; השתמשו במבחן D.

  • מיתוס: λ הוא רק טריק שצריך לבטל.

    בפועל: λ הוא הקצב שבו הערך האופטימלי משתנה כשהאילוץ c משתנה, וזה שימושי בכלכלה ובהנדסה.

כרטיסיות

  • גרדיאנט

    ⟨fₓ, f_y, f_z⟩; העלייה המהירה ביותר.

  • נגזרת כיוונית

    ∇f · u.

  • נקודה קריטית

    ∇f = 0.

  • נקודת אוכף

    D < 0.

  • תנאי לגרנז׳

    ∇f = λ∇g.

  • הירידה התלולה ביותר

    נעו לאורך −∇f.

בוחן לבדיקה עצמית

1. הגרדיאנט מצביע…

הצג תשובה

בכיוון העלייה המהירה ביותר. אורכו הוא הקצב המרבי.

2. D < 0 בנקודה קריטית פירושו…

הצג תשובה

אוכף. מתעקם כלפי מעלה בכיוון אחד וכלפי מטה בכיוון אחר.

3. כופלי לגרנז׳ פותרים…

הצג תשובה

∇f = λ∇g. הגרדיאנטים מקבילים באופטימום עם אילוץ.

4. D_u f מרבית כאשר u…

הצג תשובה

מקביל ל-∇f. ∇f · u = |∇f| cos θ.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מים זורמים במורד הגרדיאנט של פני השטח. מפות הצפה, גבולות אגני ניקוז ומודלי סחף נבנים בחישוב −∇h מנתוני גובה, כמו מודלי הגובה החינמיים מבוססי הלידאר של USGS 3D Elevation Program.

כופלי לגרנז׳ ממזערים חומר עבור נפח או חוזק נדרשים. שימוש בפחות חומר לאותה משימה הוא חיסכון ישיר בכרייה, באנרגיה ובפליטות.

ב־Saving Planets: דף הנהרות · שרטוט הנדסי / CAD: הפחתת משקל

מקורות: USGS 3D Elevation Program (3DEP) · OpenStax Calculus 3, 4.8 Lagrange Multipliers

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 5 · שבועות 8–9

אינטגרלים כפולים

אינטגרציה על תחומים במישור: אינטגרלים נשנים, משפט פוביני, תחומים כלליים, קואורדינטות קוטביות, שטח, מסה וממוצעים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חשבו אינטגרלים כפולים כאינטגרלים נשנים.
  • קבעו גבולות לתחומים כלליים והפכו את סדר האינטגרציה.
  • עברו לקואורדינטות קוטביות עם dA = r dr dθ.
  • השתמשו באינטגרלים כפולים לשטח, מסה, ממוצעים וסכומים על פני מפה.

מושגי מפתח

  • ∬_R f dA מסכם את f כפול שטחים זעירים. על מלבן, פוביני אומר לבצע אינטגרציה במשתנה אחד ואז בשני, בכל סדר.
  • בתחום כללי, הגבולות הפנימיים הם עקומות; שרטטו את התחום כדי לקרוא אותם.
  • תחומים עגולים קלים יותר בקואורדינטות קוטביות, שבהן אלמנט השטח הוא r dr dθ (לא dr dθ).
  • הממוצע של f על R הוא ∬f dA חלקי השטח של R.

משוואות מפתח

∬Rf dA=∫ab ⁣∫cdf(x,y) dy dx\iint_Rf\,dA=\int_a^b\!\int_c^df(x,y)\,dy\,dx
משפט פוביני
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
אלמנט שטח קוטבי
fˉ=1Area(R)∬Rf dA\bar f=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_Rf\,dA
ערך ממוצע
∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi
האינטגרל של גאוס (בעזרת קואורדינטות קוטביות)

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 5.1 חשבו את ∬_R xy dA על R = [0, 2] × [0, 3].

הצג את השלבים
  1. ∫₀² x dx = 2 ו-∫₀³ y dy = 4.5.
  2. האינטגרל מתפרק: 2 × 4.5.

תשובה: 9.

דוגמה 5.2 גשם יורד על אגן ניקוז של 10 km × 5 km בעומק d(x, y) = 20 + 2x mm (x בק״מ, לאורך הצלע של 10 km). כמה מים ירדו?

הצג את השלבים
  1. סך הכול = ∫₀¹⁰∫₀⁵ (20 + 2x) dy dx = 5 ∫₀¹⁰ (20 + 2x) dx.
  2. = 5(200 + 100) = 1,500 mm·km².
  3. 1 mm על 1 km² הם 1000 m³.

תשובה: 1.5 × 10⁶ m³ (עומק ממוצע 30 mm). כך מדי גשם ומכ״ם הופכים לתחזיות ספיקה של נהרות.

דוגמה 5.3 חשבו את ∬ e^(−(x² + y²)) dA על עיגול היחידה, ואחר כך על כל המישור.

הצג את השלבים
  1. קוטבי: ∫₀^(2π)∫₀¹ e^(−r²) r dr dθ = 2π × ½(1 − e^(−1)).
  2. על המישור, האינטגרל ב-r מגיע עד ∞ ונותן ½.

תשובה: π(1 − 1/e) ≈ 1.986 על העיגול; π על המישור, וזה מוכיח ש-∫e^(−x²) dx = √π.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. ∫₀¹∫₀ˣ x dy dx

    הצג תשובה

    ∫₀¹ x² dx = 1/3.

  2. הפכו את סדר האינטגרציה של ∫₀¹∫_y¹ f dx dy.

    הצג תשובה

    ∫₀¹∫₀ˣ f dy dx.

  3. מצאו את שטח העיגול ברדיוס a בקואורדינטות קוטביות.

    הצג תשובה

    ∫₀^(2π)∫₀ᵃ r dr dθ = πa².

  4. מצאו את הנפח מתחת ל-z = 4 − x² − y² מעל העיגול x² + y² ≤ 4.

    הצג תשובה

    ∫₀^(2π)∫₀² (4 − r²) r dr dθ = 2π(8 − 4) = 8π ≈ 25.1.

  5. הממוצע של f = x + y על [0, 1] × [0, 1].

    הצג תשובה

    ∬(x + y) dA = 1, שטח 1, ממוצע 1.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: בקוטביות, dA = dr dθ.

    בפועל: dA = r dr dθ; לשכוח את r היא הטעות הנפוצה ביותר.

  • מיתוס: הגבולות הפנימיים חייבים להיות מספרים.

    בפועל: בתחום כללי, הגבולות הפנימיים הם פונקציות של המשתנה החיצוני.

  • מיתוס: הסדר אף פעם לא משנה.

    בפועל: הערך לא משתנה, אבל הגבולות משתנים, ולעיתים קרובות סדר אחד קל בהרבה.

כרטיסיות

  • אינטגרל כפול

    ∬_R f dA.

  • פוביני

    אינטגרציה נשנית בכל סדר על מלבן.

  • תחום מסוג I

    a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x).

  • dA קוטבי

    r dr dθ.

  • ערך ממוצע

    ∬f dA / שטח.

  • האינטגרל של גאוס

    ∫e^(−x²) dx = √π.

בוחן לבדיקה עצמית

1. אלמנט שטח קוטבי:

הצג תשובה

r dr dθ. פיסה קוטבית היא r dθ על dr.

2. ∬_R 1 dA שווה ל…

הצג תשובה

השטח של R. מסכם את השטח.

3. ∫₀¹∫₀² 3 dy dx =

הצג תשובה

6. 3 × שטח 2.

4. משפט פוביני מאפשר…

הצג תשובה

לבצע אינטגרציה במשתנה אחד בכל פעם. אינטגרלים נשנים.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

סכומים על פני מפה הם אינטגרלים כפולים: גשם על אגן ניקוז, פחמן האגור ביער או יבול שנקצר משדה. כך הידרולוגים הופכים מפות גשם לנפחים כדי לחזות שיטפונות ולתכנן אספקת מים.

ב־Saving Planets: דף הנהרות · מרכז בנושא כריתת יערות

מקורות: USGS Water Science School: Precipitation and the water cycle · OpenStax Calculus 3, 5.2 Double Integrals over General Regions

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 6 · שבועות 10–11

אינטגרלים משולשים והחלפת משתנים

אינטגרציה על גופים בקואורדינטות קרטזיות, גליליות וכדוריות, והיעקוביאן להחלפות משתנים כלליות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • בנו וחשבו אינטגרלים משולשים.
  • השתמשו בקואורדינטות גליליות (r dz dr dθ) וכדוריות (ρ² sin φ dρ dφ dθ).
  • חשבו את היעקוביאן של החלפת משתנים.
  • מצאו נפחים, מסות ומרכזי מסה של גופים.

מושגי מפתח

  • ∭_E f dV מסכם את f על תיבות זעירות; עם f = צפיפות הוא נותן מסה.
  • קואורדינטות גליליות מתאימות לצינורות, למכלים ולחרוטים: dV = r dz dr dθ.
  • קואורדינטות כדוריות מתאימות לכדורים ולכוכבי לכת: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  • כל הצבה x = x(u, v) מותחת את השטח לפי היעקוביאן |∂(x, y)/∂(u, v)|.

משוואות מפתח

dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
אלמנט נפח גלילי
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
אלמנט נפח כדורי
J=∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣xuyv−xvyu∣J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=|x_uy_v-x_vy_u|
יעקוביאן
∬Rf dx dy=∬Sf ∣J∣ du dv\iint_Rf\,dx\,dy=\iint_Sf\,|J|\,du\,dv
החלפת משתנים

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 6.1 השתמשו בקואורדינטות כדוריות כדי למצוא את נפח כדור ברדיוס R.

הצג את השלבים
  1. V = ∫₀^(2π)∫₀^π∫₀ᴿ ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  2. = (R³/3)(2)(2π).

תשובה: 4πR³/3.

דוגמה 6.2 העריכו את מסת האטמוספרה של כדור הארץ: משקל האוויר מעל כל מטר רבוע הוא הלחץ על פני השטח, ולכן M = ∬ p/g dA על הספירה.

הצג את השלבים
  1. האינטגרל המשטחי של קבוע הוא p/g כפול השטח 4πR².
  2. 4π(6.371 × 10⁶)² = 5.10 × 10¹⁴ m².
  3. M = 101,400 × 5.10 × 10¹⁴ / 9.81.

תשובה: בערך 5.3 × 10¹⁸ kg, קרוב ל-5.1 × 10¹⁸ kg של נאס״א (יבשה מעל פני הים נושאת פחות אוויר).

דוגמה 6.3 מצאו את שטח האליפסה x²/a² + y²/b² ≤ 1 עם x = au, y = bv.

הצג את השלבים
  1. האליפסה הופכת לעיגול היחידה u² + v² ≤ 1.
  2. J = ab.
  3. שטח = ab × π.

תשובה: πab.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את נפח החרוט 0 ≤ z ≤ 1 − r (רדיוס 1, גובה 1) בקואורדינטות גליליות.

    הצג תשובה

    ∫₀^(2π)∫₀¹ (1 − r) r dr dθ = 2π(1/2 − 1/3) = π/3.

  2. חשבו את ∭ 1 dV על התיבה [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].

    הצג תשובה

    6.

  3. מצאו את היעקוביאן של קואורדינטות קוטביות.

    הצג תשובה

    x_r y_θ − x_θ y_r = cos θ (r cos θ) + r sin θ (sin θ) = r.

  4. לגליל ברדיוס 1 m ובגובה 2 m צפיפות 1000(1 − z/4) kg/m³. מצאו את מסתו.

    הצג תשובה

    π ∫₀² 1,000(1 − z/4) dz = π × 1,000 × 1.5 = 1,500π ≈ 4,712 kg.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: בקואורדינטות כדוריות dV = dρ dφ dθ.

    בפועל: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • מיתוס: φ נע מ-0 עד 2π.

    בפועל: φ (מהקוטב הצפוני) נע מ-0 עד π; θ נע מ-0 עד 2π.

  • מיתוס: היעקוביאן יכול להיות שלילי בתוך האינטגרל.

    בפועל: השתמשו בערכו המוחלט.

כרטיסיות

  • אינטגרל משולש

    ∭_E f dV.

  • גליליות

    x = r cos θ, y = r sin θ, z; dV = r dz dr dθ.

  • כדוריות

    dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • יעקוביאן

    גורם המתיחה של שטח או נפח בהצבה.

  • מסה

    ∭ צפיפות dV.

  • מרכז מסה

    ∭ x ρ dV / מסה.

בוחן לבדיקה עצמית

1. אלמנט הנפח הכדורי הוא…

הצג תשובה

ρ² sin φ dρ dφ dθ. תיבה כדורית עם צלעות dρ, ρ dφ, ρ sin φ dθ.

2. קואורדינטות גליליות מתאימות במיוחד ל…

הצג תשובה

צינורות ומכלים. חתכים מעגליים.

3. היעקוביאן של x = 2u, y = 3v הוא…

הצג תשובה

6. 2 × 3.

4. נפח כדור ברדיוס 3:

הצג תשובה

36π. 4π(27)/3.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מדעני אקלים מסכמים גדלים על פני נפח האוקיינוס והאטמוספרה בדיוק באינטגרלים האלה. תכולת החום של האוקיינוס, החום האגור ב-2000 m העליונים של הים, היא אינטגרל משולש של שינוי הטמפרטורה כפול הצפיפות וקיבול החום, והיא אחת הרשומות הברורות ביותר של ההתחממות הגלובלית.

ב־Saving Planets: מרכז האוקיינוסים

מקורות: NOAA NCEI: Global ocean heat content · גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 7 · שבוע 12

שדות וקטוריים, אינטגרלים קוויים ומשפט גרין

שדות וקטוריים כמו רוחות וזרמים, עבודה וסירקולציה לאורך עקומות, שדות משמרים ופוטנציאלים, ומשפט גרין במישור.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • שרטטו ופרשו שדות וקטוריים.
  • חשבו אינטגרלים קוויים של פונקציות סקלריות ושל שדות וקטוריים (עבודה).
  • בדקו אם שדה משמר ומצאו פוטנציאל.
  • יישמו את משפט גרין לסירקולציה ולשטף במישור.

מושגי מפתח

  • שדה וקטורי מצמיד וקטור לכל נקודה, כמו מפת רוחות או זרמים.
  • עבודה לאורך מסלול היא ∫_C F · dr; עבור לולאה סגורה היא נקראת סירקולציה.
  • שדה משמר הוא גרדיאנט, F = ∇φ; עבודתו תלויה רק בנקודות הקצה, והסירקולציה שלו אפס.
  • משפט גרין: הסירקולציה סביב עקומה סגורה שווה לאינטגרל של הרוטור (Q_x − P_y) על התחום הפנימי.

משוואות מפתח

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt
אינטגרל קווי (עבודה)
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
המשפט היסודי לאינטגרלים קוויים
∮CP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA
משפט גרין
Area=12∮Cx dy−y dx\text{Area}=\tfrac12\oint_Cx\,dy-y\,dx
שטח מתוך השפה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 7.1 F = ⟨y, x⟩. מצאו את העבודה מ-(0, 0) ל-(2, 3) לאורך כל מסלול.

הצג את השלבים
  1. P_y = 1 = Q_x, ולכן F משמר.
  2. ל-φ = xy מתקיים ∇φ = ⟨y, x⟩.
  3. עבודה = φ(2, 3) − φ(0, 0).

תשובה: 6, בכל מסלול.

דוגמה 7.2 זרם דמוי מערבולת אוקיינית F = ⟨−y, x⟩ מקיף את הראשית. מצאו את הסירקולציה שלו סביב מעגל היחידה ישירות ובעזרת משפט גרין.

הצג את השלבים
  1. r = ⟨cos t, sin t⟩, F · r′ = sin²t + cos²t = 1, ולכן ∮ = 2π.
  2. גרין: Q_x − P_y = 1 − (−1) = 2; ∬2 dA = 2 × π.

תשובה: 2π ≈ 6.28 בשתי הדרכים.

דוגמה 7.3 השתמשו ב-½∮(x dy − y dx) כדי למצוא את השטח בתוך x = 3 cos t, y = 2 sin t.

הצג את השלבים
  1. x dy − y dx = (3 cos t)(2 cos t) + (2 sin t)(3 sin t) = 6 dt.
  2. ½ ∫₀^(2π) 6 dt.

תשובה: 6π ≈ 18.85 (πab עם a = 3, b = 2).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. האם F = ⟨2xy, x² + 1⟩ משמר? מצאו את φ.

    הצג תשובה

    P_y = 2x = Q_x; φ = x²y + y.

  2. מצאו את ∫_C F · dr עבור F = ⟨x, y⟩ לאורך y = x² מ-(0, 0) ל-(1, 1).

    הצג תשובה

    משמר, φ = (x² + y²)/2: עבודה 1.

  3. מצאו את ∮(x² dx + xy dy) סביב הריבוע [0, 1] × [0, 1], נגד כיוון השעון.

    הצג תשובה

    גרין: ∬ y dA = 1/2.

  4. מצאו את הסירקולציה של F = ⟨−y, x⟩ סביב מעגל ברדיוס 3.

    הצג תשובה

    2 × שטח = 18π ≈ 56.5.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: כל שדה עם רוטור אפס הוא משמר.

    בפועל: נכון רק בתחומים פשוטי קשר (בלי חורים).

  • מיתוס: העבודה לאורך מסלול סגור תמיד אפס.

    בפועל: רק עבור שדות משמרים; מערבולת מסתחררת.

  • מיתוס: משפט גרין עובד בכל כיוון.

    בפועל: הוא מניח כיוון נגד השעון; כיוון השעון הופך את הסימן.

כרטיסיות

  • שדה וקטורי

    וקטור בכל נקודה.

  • אינטגרל קווי

    ∫F · dr, עבודה לאורך עקומה.

  • סירקולציה

    אינטגרל קווי סביב עקומה סגורה.

  • משמר

    F = ∇φ; בלתי תלוי במסלול.

  • פוטנציאל

    φ שעבורו ∇φ = F.

  • משפט גרין

    ∮P dx + Q dy = ∬(Q_x − P_y) dA.

בוחן לבדיקה עצמית

1. F = ∇φ פירושו ש-F…

הצג תשובה

משמר. שדה גרדיאנט.

2. העבודה של שדה משמר סביב לולאה סגורה:

הצג תשובה

0. φ(A) − φ(A).

3. משפט גרין מקשר אינטגרל קווי ל…

הצג תשובה

אינטגרל כפול. שפה ↔ פנים.

4. Q_x − P_y עבור F = ⟨−y, x⟩ הוא…

הצג תשובה

2. 1 − (−1).

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מערבולות אוקייניות הן מערכות זרמים מסתובבות עצומות: יש חמש עיקריות, וכל אחת אוספת פסולת צפה לעבר מרכזה ויוצרת את ״איי הזבל״. הסירקולציה של שדה זרמים היא אינטגרל קווי, ומשפט גרין קושר אותה לסיבוב (הרוטור) שבפנים.

רוחות וזרמים במפות כמו earth.nullschool.net, שמציג נתוני תחזית ציבוריים של NOAA, הם שדות וקטוריים שאפשר לקרוא בעזרת היחידה הזו.

ב־Saving Planets: מרכז האוקיינוסים

מקורות: NOAA Marine Debris Program: Garbage patches · NOAA Ocean Service: Ocean currents tutorial (gyres) · earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 8 · שבועות 13–14

אינטגרלים משטחיים, משפט סטוקס ומשפט הדיברגנץ

דיברגנץ ורוטור, משטחים פרמטריים, שטף דרך משטח, ושני המשפטים הגדולים שקושרים שפה לפנים ב-3D.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חשבו דיברגנץ ורוטור ופרשו אותם כעוצמת מקור וכסיבוב.
  • תארו משטחים פרמטרית וחשבו שטח פנים ושטף.
  • יישמו את משפט סטוקס.
  • יישמו את משפט הדיברגנץ (גאוס) לשטף נטו כלפי חוץ.

מושגי מפתח

  • div F = ∇ · F מודד יציאה ליחידת נפח; curl F = ∇ × F מודד סיבוב.
  • השטף ∬_S F · n dS הוא כמה מהשדה חוצה משטח ליחידת זמן.
  • סטוקס: הסירקולציה סביב שפת משטח שווה לשטף של curl F דרך המשטח.
  • משפט הדיברגנץ: השטף נטו כלפי חוץ דרך משטח סגור שווה לדיברגנץ הכולל שבפנים.

משוואות מפתח

∇⋅F=Px+Qy+Rz\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z
דיברגנץ
∇×F=⟨Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py⟩\nabla\times\mathbf F=\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\rangle
רוטור
∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
משפט סטוקס
∯SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV\oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV
משפט הדיברגנץ

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 8.1 מצאו את השטף היוצא של F = ⟨x, y, z⟩ דרך ספירה ברדיוס R.

הצג את השלבים
  1. div F = 3.
  2. משפט הדיברגנץ: 3 × (4πR³/3).
  3. בדיקה ישירה: על הספירה F · n = R, ולכן השטף הוא R × 4πR².

תשובה: 4πR³ בשתי הדרכים.

דוגמה 8.2 אור שמש בעוצמה 1361 W/m² פוגע בכדור הארץ (רדיוס 6371 km). איזה הספק כולל כדור הארץ קולט, ומהו הממוצע למטר רבוע של פני השטח שלו?

הצג את השלבים
  1. השטף דרך דיסקת הצל של כדור הארץ הוא 1361 × πR² = 1.735 × 10¹⁷ W.
  2. בפיזור על כל הספירה (שטח 4πR²) זה 1361/4.

תשובה: 1.74 × 10¹⁷ W, או 340 W/m² בממוצע, המספר שבראש תרשים מאזן האנרגיה של נאס״א.

דוגמה 8.3 אמתו את משפט סטוקס עבור F = ⟨−y, x, 0⟩ על החצי העליון של ספירת היחידה.

הצג את השלבים
  1. curl F = ⟨0, 0, 2⟩.
  2. שטף הרוטור דרך חצי הכדור שווה לשטף דרך עיגול היחידה השטוח (אותה שפה): 2 × π.
  3. הסירקולציה על השפה היא 2π (יחידה 7).

תשובה: 2π בשתי הדרכים.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו div ו-curl של F = ⟨x², yz, xy⟩.

    הצג תשובה

    div = 2x + z; curl = ⟨x − y, −y, 0⟩.

  2. השטף של F = ⟨0, 0, 5⟩ כלפי מעלה דרך ריבוע היחידה במישור z = 1.

    הצג תשובה

    5 × 1 = 5.

  3. השתמשו במשפט הדיברגנץ: השטף של F = ⟨x, y, z⟩ היוצא מקוביית היחידה [0, 1]³.

    הצג תשובה

    div = 3; שטף 3.

  4. מצאו את שטח הפנים של ספירה ברדיוס 2 באינטגרציה של dS = 4 sin φ dφ dθ.

    הצג תשובה

    4 × 2 × 2π = 16π ≈ 50.3.

  5. האם הרוטור של שדה גרדיאנט יכול להיות שונה מאפס?

    הצג תשובה

    לא: ∇ × ∇φ = 0 עבור φ חלקה.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: שטף זהה לסירקולציה.

    בפועל: שטף חוצה משטח; סירקולציה נעה לאורך עקומה.

  • מיתוס: חסר דיברגנץ פירושו ששום דבר לא זז.

    בפועל: פירושו שאין מקור נטו: מה שנכנס, יוצא.

  • מיתוס: משפט הדיברגנץ עובד על משטחים פתוחים.

    בפועל: הוא דורש משטח סגור; סטוקס מטפל במשטחים עם שפה.

כרטיסיות

  • דיברגנץ

    ∇ · F; עוצמת מקור.

  • רוטור

    ∇ × F; סיבוב.

  • שטף

    ∬F · n dS.

  • משפט סטוקס

    סירקולציה על השפה = שטף הרוטור.

  • משפט הדיברגנץ

    שטף יוצא = ∭ div F dV.

  • משטח סגור

    סוגר גוף; בלי שפה.

בוחן לבדיקה עצמית

1. div ⟨x, y, z⟩ =

הצג תשובה

3. 1 + 1 + 1.

2. משפט סטוקס מקשר סירקולציה על השפה ל…

הצג תשובה

השטף של curl F. ∬(∇ × F) · n dS.

3. משפט הדיברגנץ דורש…

הצג תשובה

משטח סגור. הוא סוגר גוף.

4. אור השמש הממוצע למטר רבוע בראש האטמוספרה של כדור הארץ הוא בערך…

הצג תשובה

340 W/m². שטח הדיסקה πR² חלקי שטח הספירה 4πR²: רבע.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

האקלים של כדור הארץ הוא מאזן שטפים: אור השמש חוצה את ראש האטמוספרה בכ-340 W/m² בממוצע, וכדור הארץ חייב להחזיר את אותה אנרגיה לחלל. כשגזי חממה לוכדים חלק מהחום היוצא, חוסר האיזון הוא שטף נטו לתוך כוכב הלכת, שנאגר בעיקר באוקיינוס.

הסעת מזהמים היא אותה מתמטיקה: משפט הדיברגנץ אומר שהמזהם שעוזב אגם או אגן אוויר דרך שפתו שווה למה שהמקורות שבפנים פולטים, פחות מה שמסולק.

ב־Saving Planets: מרכז תצפית כדור הארץ

מקורות: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

מעבדות מחשב

ארבע מעבדות מחשב מיישמות את היחידות: דיברגנץ ורוטור של שדה רוח מנתוני תחנות, שיפוע וכיוון זרימת מים מרשת גבהים, נפח אגם באינטגרל כפול קוטבי, ומסלול לוויין שמקודם בזמן צעד אחר צעד.

נתוני דוגמה מסומנים ככאלה; כל מעבדה מקשרת למקור הנתונים הציבורי לניסיון הבא.

מקור בטיחות: OpenStax Calculus Volume 3 (ספר לימוד חינמי)

מעבדה A: דיברגנץ ורוטור של שדה רוח

שבוע 14

מטרה: העריכו את הדיברגנץ והרוטור של הרוח בנקודה מארבע תחנות סביבה, ופרשו אותם כאוויר עולה וכסיבוב סערה.

∇⋅v≈uE−uW2Δ+vN−vS2Δ,(∇×v)z≈vE−vW2Δ−uN−uS2Δ\nabla\cdot\mathbf v\approx\frac{u_E-u_W}{2\Delta}+\frac{v_N-v_S}{2\Delta},\quad(\nabla\times\mathbf v)_z\approx\frac{v_E-v_W}{2\Delta}-\frac{u_N-u_S}{2\Delta}
הפרשים מרכזיים

מהלך הניסוי

  1. הזינו את הרוח מזרחה (u) וצפונה (v) בתחנות במרחק 100 km מזרחה, מערבה, צפונה ודרומה ממרכז (Δ = 100 km = 10⁵ m).
  2. חשבו את הדיברגנץ ואת הרוטור האנכי (ערבוליות).
  3. פרשו את הסימנים, ואז חזרו עם רוחות אמיתיות שנקראו מ-earth.nullschool.net או מנתוני תחזית של NOAA.

טבלת נתונים

תחנהu (m/s, מזרחה)v (m/s, צפונה)
מזרח48
מערב6−6
צפון−5−3
דרום7−1

ערכי דוגמה לתרגול, לא מפת מזג אוויר אמיתית.

חישוב לדוגמה

  1. דיברגנץ = (4 − 6)/(2 × 10⁵) + (−3 − (−1))/(2 × 10⁵) = −2 × 10⁻⁵ s⁻¹: האוויר מתכנס, ולכן חייב לעלות, וזה מעודד עננים וגשם.
  2. ערבוליות = (8 − (−6))/(2 × 10⁵) − (−5 − 7)/(2 × 10⁵) = 1.3 × 10⁻⁴ s⁻¹: חיובית, נגד כיוון השעון, כמו שקע בחצי הכדור הצפוני.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק.

earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data) · NOAA NCEI: Global Forecast System (GFS)

הקשר לכדור הארץ: התכנסות וערבוליות הן מה שחזאים עוקבים אחריו כדי להתריע מפני גשם כבד וסערות. NOAA/NWS JetStream: Wind

מעבדה B: שיפוע וזרימת מים מרשת גבהים

שבוע 7

מטרה: העריכו את הגרדיאנט של פני השטח מרשת גבהים ומצאו לאן זורם מי הגשם.

∇h≈⟨hE−hW2Δ,hN−hS2Δ⟩\nabla h\approx\left\langle\frac{h_E-h_W}{2\Delta},\frac{h_N-h_S}{2\Delta}\right\rangle
גרדיאנט בהפרשים מרכזיים

מהלך הניסוי

  1. השתמשו בגבהים 100 m מזרחה, מערבה, צפונה ודרומה מנקודה (Δ = 100 m).
  2. חשבו את ∇h, את גודלו (שיפוע) ואת זווית השיפוע arctan|∇h|.
  3. כיוון הזרימה הוא −∇h. אחר כך הורידו אריח גובה חינמי של USGS 3DEP וחזרו על החישוב עבור מדרון קרוב אליכם.

טבלת נתונים

שכןגובה (m)
מרכז250
מזרח262
מערב240
צפון256
דרום246

ערכי דוגמה לתרגול.

חישוב לדוגמה

  1. ∇h ≈ ⟨(262 − 240)/200, (256 − 246)/200⟩ = ⟨0.11, 0.05⟩.
  2. |∇h| = 0.121, זווית שיפוע של כ-6.9°.
  3. המים זורמים לאורך −∇h, למערב-דרום-מערב; שרטוט הכיוונים האלה על רשת מתווה אגן ניקוז.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק; תוכנת GIS היא רשות.

USGS 3D Elevation Program (3DEP)

הקשר לכדור הארץ: כיווני זרימה מרשתות גובה הם הבסיס למפות הצפה וסחף. USGS 3D Elevation Program (3DEP)

מעבדה C: נפח אגם באינטגרל כפול קוטבי

שבוע 9

מטרה: חשבו את נפח אגם בצורת קערה במדויק ובסכום נומרי, וראו איך השגיאה קטנה.

V=∫02π ⁣ ⁣∫0RD(1−r2R2)r dr dθ=πR2D2V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^RD\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr\,d\theta=\frac{\pi R^2D}{2}
אגם עם אגן פרבולואידי

מהלך הניסוי

  1. קחו R = 1000 m ועומק מרבי D = 20 m.
  2. חשבו את הנפח המדויק.
  3. חלקו את האגם ל-n טבעות, חשבו את העומק ברדיוס האמצעי של כל טבעת, וסכמו עומק × שטח הטבעת. נסו n = 5 ו-n = 10.

טבלת נתונים

שיטהנפח (m³)
מדויקת3.14 × 10⁷
נקודת אמצע, 5 טבעות3.20 × 10⁷
נקודת אמצע, 10 טבעות3.16 × 10⁷

ערכים מחושבים לאגם מודל.

חישוב לדוגמה

  1. מדויק: π(1000)²(20)/2 = 3.14 × 10⁷ m³ (31.4 מיליון מטרים מעוקבים).
  2. הסכום עם 5 טבעות גבוה ב-2.0% והסכום עם 10 טבעות גבוה ב-0.5%: הכפלת n מקטינה את השגיאה פי ארבעה בערך.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני או פייתון.

OpenStax Calculus 3, 5.3 Double Integrals in Polar Coordinates

הקשר לכדור הארץ: נפחי אגמים ומאגרים מסקרי עומק אומרים למנהלי מים כמה הם יכולים לאגור ולשחרר. NASA: משימת SWOT

מעבדה D: קידום מסלול לוויין בזמן צעד אחר צעד

שבוע 3

מטרה: בצעו אינטגרציה נומרית של r′′ = −GM r/|r|³ למסלול דמוי Landsat והשוו בין שתי שיטות צעד.

vn+1=vn−GM rn∣rn∣3Δt,rn+1=rn+vn+1Δt\mathbf v_{n+1}=\mathbf v_n-\frac{GM\,\mathbf r_n}{|\mathbf r_n|^3}\Delta t,\quad\mathbf r_{n+1}=\mathbf r_n+\mathbf v_{n+1}\Delta t
אוילר חצי-סתום (סימפלקטי)

מהלך הניסוי

  1. התחילו ב-r = ⟨7076 km, 0⟩ עם v = ⟨0, 7505 m/s⟩ (יחידה 2).
  2. בצעו 592 צעדים עם Δt = 10 s (זמן מחזור אחד), קודם באוילר פשוט (עדכון r עם v הישנה), ואחר כך בגרסה החצי-סתומה שלמעלה.
  3. השוו את הרדיוס הסופי לרדיוס ההתחלתי.

טבלת נתונים

שיטה (Δt = 10 s)שינוי הרדיוס אחרי הקפה אחת
אוילר פשוט+908 km
אוילר חצי-סתום+0.16 km

ערכים מחושבים; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².

חישוב לדוגמה

  1. אוילר פשוט מסתלסל החוצה בכ-908 km בכל הקפה, תחזית חסרת תועלת; גם עם Δt = 1 s עדיין יש סחיפה של כ-94 km.
  2. העדכון החצי-סתום משנה שורת קוד אחת ושומר על המסלול בטווח של כ-0.16 km.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק; פייתון ב-Colab קל יותר.

Google Colab (מחברות חינמיות) · NASA: Landsat 9 quick facts

הקשר לכדור הארץ: חישוב מסלול מדויק שומר על לווייני תצפית על כדור הארץ במסלולי החזרה שלהם. NASA: Landsat 9 quick facts

חזרה למעלה

מערכי תרגול למבחן

מדדו זמן: כ־10 דקות לבעיה. אחר כך השוו לפתרונות המלאים.

תרגול לבחינת אמצע (יחידות 1–4)

  1. מצאו את הזווית בין ⟨1, 1, 0⟩ ל-⟨0, 1, 1⟩.

    הצג פתרון מלא
    1. מכפלה סקלרית 1; שני האורכים √2.
    2. cos θ = 1/2.

    תשובה: 60°.

  2. מצאו את המישור דרך (1, 1, 1) עם נורמל ⟨2, −1, 3⟩.

    הצג פתרון מלא
    1. 2(x − 1) − (y − 1) + 3(z − 1) = 0.

    תשובה: 2x − y + 3z = 4.

  3. לוויין מקיף ברדיוס 6771 km (גובה 400 km). מצאו את זמן המחזור שלו.

    הצג פתרון מלא
    1. T = 2π√(r³/GM).

    תשובה: ≈ 5544 s ≈ 92.4 min.

  4. מקסמו f = xy בכפוף ל-x + y = 10.

    הצג פתרון מלא
    1. ⟨y, x⟩ = λ⟨1, 1⟩ נותן x = y = 5.

    תשובה: 25 ב-(5, 5).

מערך תרגול מסכם (כל היחידות)

  1. חשבו את ∫₀^(2π)∫₀³ r dr dθ.

    הצג פתרון מלא
    1. 4.5 × 2π.

    תשובה: 9π ≈ 28.3 (שטח עיגול ברדיוס 3).

  2. מצאו את נפח חצי כדור ברדיוס 2 בקואורדינטות כדוריות.

    הצג פתרון מלא
    1. ∫₀^(2π)∫₀^(π/2)∫₀² ρ² sin φ dρ dφ dθ = (8/3)(1)(2π).

    תשובה: 16π/3 ≈ 16.76.

  3. מצאו את ∮ F · dr עבור F = ⟨−y, x⟩ סביב הריבוע [0, 2] × [0, 2], נגד כיוון השעון.

    הצג פתרון מלא
    1. גרין: ∬2 dA = 2 × 4.

    תשובה: 8.

  4. מצאו את השטף היוצא של F = ⟨2x, 0, 0⟩ דרך ספירה ברדיוס 1.

    הצג פתרון מלא
    1. div F = 2; שטף = 2 × 4π/3.

    תשובה: 8π/3 ≈ 8.38.

חזרה למעלה

דף נוסחאות

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
n⋅(r−r0)=0n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0
L=∫∣r′(t)∣ dtL=\int|\mathbf r'(t)|\,dt
κ=∣r′×r′′∣/∣r′∣3\kappa=|\mathbf r'\times\mathbf r''|/|\mathbf r'|^3
v=GM/rv=\sqrt{GM/r}
Δf≈fxΔx+fyΔy\Delta f\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
∇f=λ∇g\nabla f=\lambda\nabla g
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
∮P dx+Q dy=∬(Qx−Py) dA\oint P\,dx+Q\,dy=\iint(Q_x-P_y)\,dA
∮F⋅dr=∬(∇×F)⋅n dS\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
∯F⋅n dS=∭∇⋅F dV\oiint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV

קבועים

קבועערך
GM של כדור הארץ3.986 × 10¹⁴ m³/s²
הרדיוס הממוצע של כדור הארץ6,371 km
קרינת השמש בכדור הארץ1,361 W/m²
לחץ ממוצע על פני השטח1,014 mb = 101,400 Pa
גובה סקאלה אטמוספרי8.5 km
כבידה תקנית9.81 m/s²

מקור: גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית)

חזרה למעלה

כלי גרפים ונתונים

השתמשו בכלים ובנתונים החינמיים האלה לצד הקורס.

חזרה למעלה

מילון מונחים

סירקולציה
אינטגרל קווי של שדה סביב עקומה סגורה.
שדה משמר
שדה גרדיאנט; העבודה אינה תלויה במסלול.
מכפלה וקטורית
וקטור המאונך לשני וקטורים.
רוטור
∇ × F; הסיבוב המקומי של שדה.
עקמומיות
עד כמה עקומה מתכופפת; 1/R למעגל.
נגזרת כיוונית
קצב שינוי בכיוון נתון, ∇f · u.
דיברגנץ
∇ · F; יציאה נטו ליחידת נפח.
משפט הדיברגנץ
השטף היוצא דרך משטח סגור שווה לאינטגרל של הדיברגנץ שבפנים.
מכפלה סקלרית
a · b = |a||b| cos θ.
שטף
כמות השדה שחוצה משטח.
גרדיאנט
וקטור הנגזרות החלקיות; מצביע במעלה.
משפט גרין
הסירקולציה סביב עקומה מישורית שווה לאינטגרל של Q_x − P_y שבפנים.
יעקוביאן
גורם המתיחה של החלפת משתנים.
כופל לגרנז׳
λ ב-∇f = λ∇g לאופטימיזציה עם אילוצים.
קו גובה
עקומה שעליה f(x, y) קבועה.
אינטגרל קווי
אינטגרל לאורך עקומה.
נגזרת חלקית
נגזרת במשתנה אחד כשהאחרים קבועים.
נקודת אוכף
נקודה קריטית שאינה מקסימום ואינה מינימום.
משפט סטוקס
הסירקולציה על השפה שווה לשטף הרוטור.
שדה וקטורי
הצמדת וקטור לכל נקודה.

חזרה למעלה

מחוון להערכה עצמית

לא ניתנים ציון או נקודות זכות. השתמשו בזה כדי להעריך בכנות איפה אתם עומדים בכל יחידה.

רמהאיך זה נראה
4 · שליטה מלאהבונה אינטגרלים ושדות מתוך שרטוט בלי הכוונה, בוחר קואורדינטות טובות ובודק תשובות בשיטה שנייה או במשפט.
3 · מיומןפותר את תרגילי האימון עם טעויות מזדמנות.
2 · מתפתחעוקב אחרי דוגמאות פתורות אבל מתקשה לקבוע גבולות או לבחור קואורדינטות.
1 · מתחילמיישם נוסחאות בלי לשרטט או לבדוק; צריך לחזור על היחידה.

שקלול מוצע אם רוצים ציון

חלקמשקל
תרגילים30%
מעבדות מחשב15%
מערך תרגול לאמצע הקורס25%
מערך תרגול מסכם30%

שאפו לרמה 3 ומעלה בכל יחידה לפני שעוברים לקורס הבא.

חזרה למעלה