التفاضل والتكامل 3

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والحقول المتجهة: المتجهات، والحركة في الفضاء، والمشتقات الجزئية، والتدرجات ومضاعفات لاغرانج، والتكاملات المتعددة، ومبرهنات غرين وستوكس وغاوس، مع أربعة مختبرات حاسوبية عن الرياح والتضاريس والبحيرات والمدارات.

NASA Blue MarbleCNES (PIA25623)NASA/JPL-CaltechNASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

الدورات › MATH 210

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه الفصل الدراسي الثالث من التفاضل والتكامل الجامعي، على غرار موضوعات وعمق مواد مفتوحة مثل OpenStax Calculus Volume 3 وMIT OpenCourseWare 18.02 Multivariable Calculus، وعلى مناهج مقررات مثل Stanford Math 51/52 وGeorgia Tech MATH 2551. نضع روابط للمواد المجانية في كل أجزاء المقرر. ولا تتبنى أي من تلك المؤسسات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة ترتبط بمسائل حقيقية عن الرياح والمحيطات والتضاريس والمناخ والأقمار الصناعية مع مصدر عام موثّق، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص تحقق برمجي قبل النشر، وأربعة مختبرات حاسوبية تطبق الأفكار على حقول الرياح وشبكات الارتفاع وأحجام البحيرات والمدارات.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

الكوكب ثلاثي الأبعاد ودائم الحركة. الرياح والتيارات المحيطية حقول متجهة، والتضاريس ودرجة الحرارة دوال في متغيرين أو ثلاثة، والحرارة والملوثات تعبر الأسطح على شكل تدفق، والأقمار الصناعية التي تقيس كل ذلك تتبع مسارات متجهة في الفضاء.

تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق بالمصادر يبيّن كيف تساعد أفكارها الناس والطبيعة معًا.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • التفاضل والتكامل I وII: المشتقات، والتكاملات، والتعويض والتكامل بالتجزئة، والمنحنيات الوسيطية والقطبية.
  • مبادئ علم المثلثات ومعادلة الدائرة والكرة.
  • تساعد الفيزياء I في أمثلة الشغل والتدفق والمدارات لكنها ليست مطلوبة.

كيف تذاكر

  • ارسم صورة 3D لكل مسألة: المحاور، والمنطقة، والمتجهات.
  • حلّ كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة.
  • تحقق من الوحدات والإشارات: يجب أن يكون للتدفق أو الشغل أو الدوران معنى فيزيائي.
  • في التكاملات المتعددة، ارسم المنطقة واكتب الحدود قبل أن تكامل أي شيء.
  • استخدم أداة رسم 3D ‏(Desmos 3D أو GeoGebra 3D) لرؤية الأسطح والحقول.
  • أعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام. التدرّب المتباعد أفضل من جلسة طويلة واحدة.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي مع جدول بيانات.
  • أداة رسم 3D مجانية مثل Desmos 3D أو GeoGebra 3D.
  • اختياري: بايثون مع NumPy (مجانًا في Google Colab).

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1المتجهات وهندسة الفضاءالإحداثيات 3D، والمتجهات، والضرب القياسيOpenStax 2.1–2.3
2المتجهات وهندسة الفضاءالضرب المتجهي، والمستقيمات والمستوياتOpenStax 2.4–2.5
3الدوال المتجهة والحركة في الفضاءالدوال المتجهة، والحركة في الفضاء، والانحناء؛ المختبر DOpenStax 3.1–3.4
4المشتقات الجزئيةدوال عدة متغيرات، والنهايات، والمشتقات الجزئيةOpenStax 4.1–4.3
5المشتقات الجزئيةالمستويات المماسة، والتقريب الخطي، وقاعدة السلسلةOpenStax 4.4–4.5
6التدرجات والاستمثالالتدرج، والمشتقات الاتجاهية، والقيم القصوىOpenStax 4.6–4.7
7التدرجات والاستمثالمضاعفات لاغرانج؛ المختبر B؛ تمارين لاختبار منتصف الفصلOpenStax 4.8
8التكاملات الثنائيةالتكاملات الثنائية على المستطيلات والمناطق العامةOpenStax 5.1–5.2
9التكاملات الثنائيةالتكاملات الثنائية القطبية؛ المختبر COpenStax 5.3
10التكاملات الثلاثية وتغيير المتغيراتالتكاملات الثلاثية؛ الإحداثيات الأسطوانية والكرويةOpenStax 5.4–5.5
11التكاملات الثلاثية وتغيير المتغيراتالكتلة ومركز الكتلة؛ تغيير المتغيراتOpenStax 5.6–5.7
12الحقول المتجهة والتكاملات الخطية ومبرهنة غرينالحقول المتجهة، والتكاملات الخطية، والحقول المحافظة، ومبرهنة غرينOpenStax 6.1–6.4
13التكاملات السطحية ومبرهنة ستوكس ومبرهنة التباعدالتباعد والدوران؛ التكاملات السطحية والتدفقOpenStax 6.5–6.6
14التكاملات السطحية ومبرهنة ستوكس ومبرهنة التباعدمبرهنتا ستوكس والتباعد؛ المختبر AOpenStax 6.7–6.8
15المراجعةمراجعة ومجموعة تمارين نهائيةكل الوحدات

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوعان 1–2

المتجهات وهندسة الفضاء

الإحداثيات 3D، والمتجهات، والضربان القياسي والمتجهي، ومعادلات المستقيمات والمستويات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اجمع المتجهات في 3D واضربها في عدد وجد طولها.
  • استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات.
  • استخدم الضرب المتجهي للمتجهات العمودية والمساحات والأحجام.
  • اكتب معادلات المستقيمات والمستويات وجد المسافات.

المفاهيم الأساسية

  • للمتجه مقدار واتجاه؛ وبالمركبات، v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ و|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²).
  • الضرب القياسي a · b = |a||b| cos θ يقيس مدى اتجاه متجهين في الاتجاه نفسه. ويساوي صفرًا تمامًا عندما يكونان متعامدين.
  • الضرب المتجهي a × b عمودي على كليهما، وطوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يولدانه.
  • يتحدد المستوى بنقطة ومتجه عمودي n: n · (r − r₀) = 0. والمستقيم نقطة زائد مضاعفات اتجاه: r = r₀ + t v.

المعادلات الأساسية

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
الضرب القياسي والزاوية
proj⁡ba=a⋅b∣b∣2b\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b
الإسقاط
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
طول الضرب المتجهي = مساحة متوازي الأضلاع
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
مستوى متجهه العمودي ⟨a, b, c⟩
D=∣ax1+by1+cz1−d∣a2+b2+c2D=\frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
المسافة من نقطة إلى المستوى ax + by + cz = d

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 إذا كان a = ⟨1, 2, 2⟩ وb = ⟨2, −1, 2⟩، فأوجد |a| وa · b والزاوية بينهما.

اعرض الخطوات
  1. |a| = √(1 + 4 + 4) = 3، و|b| = 3 أيضًا.
  2. a · b = 2 − 2 + 4 = 4.
  3. cos θ = 4/9، إذن θ = arccos(0.444).

الإجابة: |a| = 3, a · b = 4, θ ≈ 63.6°.

مثال 1.2 أوجد a × b للمتجهين نفسيهما ومساحة متوازي الأضلاع الذي يولدانه.

اعرض الخطوات
  1. a × b = ⟨2·2 − 2·(−1), 2·2 − 1·2, 1·(−1) − 2·2⟩.
  2. = ⟨6, 2, −5⟩. تحقق: ضربه القياسي مع a ومع b يساوي 0.
  3. المساحة = |⟨6, 2, −5⟩| = √65.

الإجابة: ⟨6, 2, −5⟩؛ المساحة √65 ≈ 8.06.

مثال 1.3 تهب ريح سرعتها 10 m/s بزاوية 30° على محور دوّار توربين رياح. ما نسبة القدرة المواجهة التي يتلقاها التوربين، إذا كانت القدرة تنمو مع مكعب سرعة الريح على امتداد محوره؟

اعرض الخطوات
  1. المركبة على امتداد المحور: 10 cos 30° = 8.66 m/s (ضرب قياسي مع متجه وحدة المحور).
  2. نسبة القدرة = (cos 30°)³.

الإجابة: نحو 0.65: انحراف قدره 30° يُفقد نحو ثلث القدرة، ولهذا تدور التوربينات لتواجه الريح.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد المستوى المار بالنقاط (1, 0, 0) و(0, 2, 0) و(0, 0, 3).

    اعرض الإجابة

    الصيغة المقطعية x/1 + y/2 + z/3 = 1، أي 6x + 3y + 2z = 6.

  2. أوجد المسافة من نقطة الأصل إلى ذلك المستوى.

    اعرض الإجابة

    |−6|/√(36 + 9 + 4) = 6/7 ≈ 0.857.

  3. أوجد إسقاط ⟨3, 4, 0⟩ على ⟨1, 0, 0⟩.

    اعرض الإجابة

    ⟨3, 0, 0⟩.

  4. أوجد حجم متوازي السطوح المولَّد من ⟨1, 0, 0⟩ و⟨0, 2, 0⟩ و⟨1, 1, 3⟩.

    اعرض الإجابة

    |a · (b × c)| = det = 1·(2·3 − 0·1) = 6.

  5. هل ⟨1, 2, 3⟩ و⟨3, 0, −1⟩ متعامدان؟

    اعرض الإجابة

    الضرب القياسي 3 + 0 − 3 = 0، إذن نعم.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: a × b = b × a.

    في الحقيقة: الضرب المتجهي غير تبديلي عكسيًا: b × a = −(a × b).

  • خرافة: الضرب القياسي لمتجهين متجه.

    في الحقيقة: إنه عدد قياسي (رقم).

  • خرافة: معادلة المستوى تخبرك باتجاهه.

    في الحقيقة: معاملاتها تعطي المتجه العمودي، وهو عمودي على المستوى.

بطاقات تعليمية

  • الضرب القياسي

    a · b = |a||b| cos θ؛ يساوي صفرًا عند التعامد.

  • الضرب المتجهي

    عمودي على كليهما؛ الطول = مساحة متوازي الأضلاع.

  • الإسقاط

    (a · b/|b|²) b.

  • الضرب الثلاثي

    |a · (b × c)| = حجم متوازي السطوح.

  • المستوى

    n · (r − r₀) = 0.

  • المستقيم

    r = r₀ + t v.

اختبار ذاتي

1. إذا كان a · b = 0 (وكلاهما غير صفري)، فالمتجهان…

اعرض الإجابة

متعامدان. cos θ = 0، إذن θ = 90°.

2. طول a × b يساوي…

اعرض الإجابة

مساحة متوازي الأضلاع. |a||b| sin θ.

3. المتجه العمودي على 2x − y + 5z = 7 هو…

اعرض الإجابة

⟨2, −1, 5⟩. اقرأ المعاملات.

4. |⟨2, 3, 6⟩| =

اعرض الإجابة

7. √(4 + 9 + 36) = √49.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الريح متجه، وتدير التوربينات دوّاراتها لتواجهها لأن القدرة تعتمد على مكعب المركبة على امتداد محور الدوّار، وهو ضرب قياسي متخفٍّ.

الحساب نفسه يخبر اللوح الشمسي بمقدار ضوء الشمس الذي يلتقطه: الجزء المفيد هو الضرب القياسي لاتجاه ضوء الشمس مع المتجه العمودي على اللوح.

على Saving Planets: الفيزياء I، الوحدة 3: طاقة الرياح

المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية) · OpenStax Calculus 3, 2.3 The Dot Product

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوع 3

الدوال المتجهة والحركة في الفضاء

المنحنيات في الفضاء بوصفها دوال متجهة: السرعة، والتسارع، وطول القوس، والانحناء، وحركة الأقمار الصناعية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اشتق الدوال المتجهة وكاملها.
  • أوجد متجه السرعة ومقدارها والتسارع على امتداد مسار.
  • احسب طول القوس والانحناء.
  • حلّل المدارات الدائرية بحساب المتجهات.

المفاهيم الأساسية

  • المنحنى في الفضاء هو r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩؛ اشتقه مركبةً مركبة.
  • السرعة v = r′(t) مماسة للمسار؛ ومقدارها |v|؛ والتسارع a = v′.
  • طول القوس هو تكامل مقدار السرعة: L = ∫|r′(t)| dt.
  • في الحركة الدائرية المنتظمة يكون مقدار السرعة ثابتًا، لكن التسارع يتجه نحو المركز بمقدار v²/r.

المعادلات الأساسية

v=r′(t), a=r′′(t)\mathbf v=\mathbf r'(t),\ \mathbf a=\mathbf r''(t)
السرعة والتسارع
L=∫ab∣r′(t)∣ dtL=\int_a^b|\mathbf r'(t)|\,dt
طول القوس
κ=∣r′×r′′∣∣r′∣3\kappa=\frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}
الانحناء
v=GM/r, T=2πr/vv=\sqrt{GM/r},\ T=2\pi r/v
سرعة المدار الدائري ودورته

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 أوجد طول لفة واحدة من اللولب r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩، 0 ≤ t ≤ 2π.

اعرض الخطوات
  1. r′ = ⟨−sin t, cos t, 1⟩، ومقدار السرعة √(sin²t + cos²t + 1) = √2.
  2. L = ∫₀^(2π) √2 dt = 2π√2.

الإجابة: 2π√2 ≈ 8.89.

مثال 2.2 يدور Landsat 9 على ارتفاع 705 km فوق الأرض (نصف القطر المتوسط 6371 km). باعتبار المدار دائرة، أوجد سرعته وتسارعه ودوره.

اعرض الخطوات
  1. r = 7,076 km = 7.076 × 10⁶ m; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².
  2. v = √(GM/r) = 7,505 m/s.
  3. a = v²/r = 7.96 m/s²، متجهًا نحو مركز الأرض.
  4. T = 2πr/v = 5,924 s.

الإجابة: نحو 7.5 km/s و98.7 دقيقة لكل دورة، بما يطابق الدور البالغ 99 دقيقة الذي تذكره ناسا.

مثال 2.3 أوجد انحناء دائرة نصف قطرها 2، r(t) = ⟨2 cos t, 2 sin t, 0⟩.

اعرض الخطوات
  1. r′ = ⟨−2 sin t, 2 cos t, 0⟩، |r′| = 2.
  2. r′′ = ⟨−2 cos t, −2 sin t, 0⟩؛ r′ × r′′ = ⟨0, 0, 4⟩.
  3. κ = 4/2³.

الإجابة: κ = 1/2: انحناء الدائرة يساوي 1/نصف القطر.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. لمقذوف r(t) = ⟨20t, 20t − 4.9t²⟩ m. أوجد متجه سرعته ومقدارها عند t = 1 s.

    اعرض الإجابة

    v = ⟨20, 20 − 9.8t⟩ = ⟨20, 10.2⟩؛ مقدار السرعة √(400 + 104.04) ≈ 22.45 m/s.

  2. أوجد تسارع r(t) = ⟨t², 3t, eᵗ⟩.

    اعرض الإجابة

    ⟨2, 0, eᵗ⟩.

  3. أوجد طول r(t) = ⟨3t, 4t, 0⟩ عندما 0 ≤ t ≤ 2.

    اعرض الإجابة

    مقدار السرعة 5، إذن L = 10.

  4. يدور قمر صناعي على ارتفاع 35786 km. أوجد دوره.

    اعرض الإجابة

    r = 42157 km؛ T = 2π√(r³/GM) ≈ 86160 s ≈ 23.93 h: يوم نجمي واحد، فهو إذن ثابت بالنسبة إلى الأرض.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: ثبات مقدار السرعة يعني انعدام التسارع.

    في الحقيقة: الانعطاف تسارع: القمر الصناعي في مدار دائري يتسارع نحو الأرض طوال الوقت.

  • خرافة: طول القوس يساوي |r(b) − r(a)|.

    في الحقيقة: تلك هي المسافة في خط مستقيم؛ أما طول القوس فيكامل مقدار السرعة على امتداد المسار.

  • خرافة: الأقمار الصناعية الأعلى تتحرك أسرع.

    في الحقيقة: v = √(GM/r) تتناقص مع المسافة؛ المدارات الأعلى أبطأ وأطول.

بطاقات تعليمية

  • الدالة المتجهة

    r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩.

  • السرعة

    r′(t)، مماس للمسار.

  • السرعة

    |r′(t)|.

  • طول القوس

    ∫|r′| dt.

  • الانحناء

    |r′ × r′′|/|r′|³.

  • المدار الدائري

    v = √(GM/r).

اختبار ذاتي

1. السرعة هي…

اعرض الإجابة

r′(t). مشتقة الموضع.

2. طول القوس يكامل…

اعرض الإجابة

مقدار السرعة. L = ∫|r′| dt.

3. انحناء دائرة نصف قطرها 5 هو…

اعرض الإجابة

1/5. κ = 1/R.

4. مضاعفة نصف قطر مدار دائري تغيّر سرعته بمعامل…

اعرض الإجابة

1/√2. v ∝ 1/√r.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تتبع أقمار رصد الأرض مثل Landsat 9 مسارات متجهة اختيرت بهذه الصيغ تمامًا. فمداره شبه القطبي والمتزامن مع الشمس على ارتفاع 705 km يتيح له تصوير المكان نفسه كل 16 يومًا في الوقت المحلي نفسه تقريبًا، فتبرز التغيرات في الغابات والأنهار الجليدية والمدن.

على Saving Planets: Landsat 9 · التفاضل والتكامل II، الوحدة 7: المدارات القطبية

المصادر: NASA: Landsat 9 quick facts · صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوعان 4–5

المشتقات الجزئية

دوال عدة متغيرات: منحنيات المستوى، والمشتقات الجزئية، والمستويات المماسة، والتقريب الخطي، وقاعدة السلسلة متعددة المتغيرات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اقرأ منحنيات المستوى وخرائط الكنتور.
  • احسب المشتقات الجزئية وفسّرها بوصفها معدلات.
  • أوجد المستويات المماسة واستخدم التقريب الخطي.
  • طبّق قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات.

المفاهيم الأساسية

  • الدالة z = f(x, y) سطح؛ ومنحنيات مستواها f = c خريطة كنتورية.
  • ∂f/∂x هو معدل التغير في x مع تثبيت y.
  • قرب نقطة ما، يشبه السطح الأملس مستواه المماس: Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.
  • قاعدة السلسلة: إذا كان x وy يعتمدان على t، فإن df/dt = fₓ dx/dt + f_y dy/dt.

المعادلات الأساسية

fx=∂f∂xf_x=\frac{\partial f}{\partial x}
المشتقة الجزئية
z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
المستوى المماس
dfdt=fxdxdt+fydydt\frac{df}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}
قاعدة السلسلة
fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}
مبرهنة كليرو (f ملساء)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 للدالة f(x, y) = x²y + y³، أوجد fₓ وf_y عند (1, 2)، واستخدم المستوى المماس لتقدير f(1.1, 1.9).

اعرض الخطوات
  1. fₓ = 2xy = 4; f_y = x² + 3y² = 13; f(1, 2) = 10.
  2. f ≈ 10 + 4(0.1) + 13(−0.1) = 9.1.
  3. القيمة الحقيقية: 1.21 × 1.9 + 6.859 = 9.158.

الإجابة: التقدير 9.1 مقابل القيمة الحقيقية 9.158.

مثال 3.2 للغاز المثالي، P = nRT/V. مع n = 1 mol وT = 300 K وV = 0.025 m³، أوجد P و∂P/∂T و∂P/∂V.

اعرض الخطوات
  1. P = 8.314 × 300/0.025 = 99,768 Pa.
  2. ∂P/∂T = nR/V = 332.6 Pa/K.
  3. ∂P/∂V = −nRT/V² = −P/V = −3.99 × 10⁶ Pa/m³.

الإجابة: P ≈ 99.8 kPa؛ التسخين بمقدار 1 K يرفعه نحو 333 Pa؛ والتمدد يخفضه.

مثال 3.3 تطير طائرة مسيّرة وفق x = 2t وy = t². ودرجة الحرارة التي تقيسها T = 20 + 0.1x − 0.05y (°C، km). أوجد dT/dt عند t = 1.

اعرض الخطوات
  1. Tₓ = 0.1, T_y = −0.05; dx/dt = 2, dy/dt = 2t = 2.
  2. dT/dt = 0.1(2) − 0.05(2).

الإجابة: 0.1 °C لكل وحدة زمن.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد fₓ وf_y للدالة f = e^(xy).

    اعرض الإجابة

    fₓ = y e^(xy), f_y = x e^(xy).

  2. أوجد f_xy للدالة f = x³y².

    اعرض الإجابة

    fₓ = 3x²y²، f_xy = 6x²y (مثل f_yx).

  3. أوجد المستوى المماس لـ z = x² + y² عند (1, 1, 2).

    اعرض الإجابة

    z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1), i.e. z = 2x + 2y − 2.

  4. قدّر √(3.02² + 3.97²) بالتقريب الخطي عند (3, 4).

    اعرض الإجابة

    f = 5، fₓ = 3/5، f_y = 4/5: 5 + 0.6(0.02) + 0.8(−0.03) = 4.988 (القيمة الحقيقية 4.9880).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: ∂f/∂x تتجاهل y.

    في الحقيقة: إنها تثبّت y؛ وقد يظل y ظاهرًا في الإجابة.

  • خرافة: إذا وُجدت المشتقتان الجزئيتان كلتاهما، فإن f ملساء.

    في الحقيقة: قد توجد المشتقات الجزئية حيث لا تكون f متصلة أصلًا؛ والقابلية للاشتقاق تحتاج إلى أكثر من ذلك.

  • خرافة: التقريب الخطي جيد في كل مكان.

    في الحقيقة: قرب نقطة الأساس فقط.

بطاقات تعليمية

  • المشتقة الجزئية

    معدل التغير في متغير واحد مع تثبيت البقية.

  • منحنى المستوى

    f(x, y) = c؛ خط كنتور.

  • المستوى المماس

    z = z₀ + fₓΔx + f_yΔy.

  • التقريب الخطي

    Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.

  • قاعدة السلسلة

    df/dt = fₓx′ + f_yy′.

  • كليرو

    f_xy = f_yx للدالة الملساء f.

اختبار ذاتي

1. For f = x²y, fₓ =

اعرض الإجابة

2xy. عامل y كثابت.

2. منحنيات مستوى f(x, y) = x² + y² هي…

اعرض الإجابة

دوائر. x² + y² = c.

3. للدالة الملساء f، تكون f_xy وf_yx…

اعرض الإجابة

متساويان. مبرهنة كليرو.

4. df/dt للدالة f(x(t), y(t)) هي…

اعرض الإجابة

fₓx′ + f_yy′. قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

خرائط الطقس خرائط كنتورية لدوال في متغيرين: خطوط الضغط المتساوي منحنيات مستوى للضغط، وخطوط الحرارة المتساوية لدرجة الحرارة. وتخبر المشتقات الجزئية المتنبئين بسرعة تغير الضغط أو درجة الحرارة باتجاه الشرق أو الشمال، وهو ما يحرك الرياح.

على Saving Planets: التفاضل والتكامل 1

المصادر: NOAA/NWS JetStream: Wind · OpenStax Calculus 3, 4.3 Partial Derivatives

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوعان 6–7

التدرجات والاستمثال

متجه التدرج، والمشتقات الاتجاهية، والنقاط الحرجة واختبار المشتقة الثانية، والاستمثال المقيّد بمضاعفات لاغرانج.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب التدرج والمشتقات الاتجاهية.
  • اشرح لماذا يشير التدرج إلى أعلى المنحدر ويكون عموديًا على منحنيات المستوى.
  • صنّف النقاط الحرجة باختبار المشتقة الثانية.
  • حل المسائل المقيدة بمضاعفات لاغرانج.

المفاهيم الأساسية

  • ∇f = ⟨fₓ, f_y⟩ يشير إلى اتجاه أسرع تزايد، وطوله هو ذلك المعدل الأسرع.
  • معدل التغير في اتجاه متجه وحدة u هو D_u f = ∇f · u.
  • التدرج عمودي على منحنيات المستوى، لذا يجري الماء نزولًا على امتداد −∇h، عابرًا الكنتورات.
  • عند قيمة قصوى داخلية يكون ∇f = 0. ويحسم الاختبار D = f_xx f_yy − f_xy²: D > 0 مع f_xx > 0 قيمة صغرى؛ وD < 0 نقطة سرج.
  • لاستمثال f بشرط g = c، حل ∇f = λ∇g: عند أفضل نقطة يلامس منحنى مستوى f القيد بالكاد.

المعادلات الأساسية

∇f=⟨fx,fy,fz⟩\nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle
التدرج
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
المشتقة الاتجاهية
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
اختبار المشتقة الثانية
∇f=λ∇g,g=c\nabla f=\lambda\nabla g,\quad g=c
شرط مضاعف لاغرانج

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 تل ارتفاعه h(x, y) = 500 − 0.01x² − 0.02y² (بالأمتار، وx وy بالأمتار). عند (100, 50)، أوجد ∇h وأشد ميل والميل باتجاه ⟨3, 4⟩/5.

اعرض الخطوات
  1. ∇h = ⟨−0.02x, −0.04y⟩ = ⟨−2, −2⟩.
  2. أشد معدل صعود |∇h| = 2√2 = 2.83 m لكل m.
  3. D_u h = ⟨−2, −2⟩ · ⟨0.6, 0.8⟩ = −2.8.

الإجابة: أشد صعود 2.83 (صعودًا باتجاه ⟨−1, −1⟩)؛ وباتجاه ⟨3, 4⟩ تنزل 2.8 m لكل m. ويجري المطر على امتداد −∇h.

مثال 4.2 أوجد النقطة الحرجة للدالة f = x² + xy + y² − 3x وصنّفها.

اعرض الخطوات
  1. fₓ = 2x + y − 3 = 0 وf_y = x + 2y = 0 تعطيان x = 2 وy = −1.
  2. f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 1: D = 3 > 0, f_xx > 0.
  3. f(2, −1) = 4 − 2 + 1 − 6 = −3.

الإجابة: قيمة صغرى، f = −3 عند (2, −1).

مثال 4.3 يجب أن تسع علبة 1 لتر (1000 cm³). ما نصف القطر والارتفاع اللذان يستهلكان أقل معدن (أسطوانة مغلقة)؟

اعرض الخطوات
  1. صغّر A = 2πr² + 2πrh بشرط g = πr²h = 1000.
  2. ∇A = λ∇g تعطي 4πr + 2πh = λ2πrh و2πr = λπr²، إذن λ = 2/r وh = 2r.
  3. πr²(2r) = 1000 تعطي r = (500/π)^(1/3).

الإجابة: r ≈ 5.42 cm، h ≈ 10.84 cm (الارتفاع = القطر)، المساحة ≈ 554 cm².

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد ∇f للدالة f = xyz عند (1, 2, 3).

    اعرض الإجابة

    ⟨yz, xz, xy⟩ = ⟨6, 3, 2⟩.

  2. أوجد D_u f للدالة f = x² + y² عند (1, 1) باتجاه ⟨1, 0⟩.

    اعرض الإجابة

    ∇f = ⟨2, 2⟩; D_u f = 2.

  3. صنّف النقطة الحرجة للدالة f = x² − y².

    اعرض الإجابة

    عند (0, 0): D = (2)(−2) − 0 = −4 < 0، نقطة سرج.

  4. سيّج مستطيلًا بمحاذاة نهر مستقيم بـ 40 m من السياج (دون سياج على جهة النهر). اجعل المساحة أكبر ما يمكن.

    اعرض الإجابة

    كبّر xy بشرط x + 2y = 40: y = 10، x = 20، المساحة 200 m².

  5. كبّر f = x + y على الدائرة x² + y² = 2.

    اعرض الإجابة

    ⟨1, 1⟩ = λ⟨2x, 2y⟩ تعطي x = y = 1؛ القيمة العظمى 2.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: يشير التدرج على امتداد منحنى المستوى.

    في الحقيقة: إنه عمودي على منحنى المستوى.

  • خرافة: ∇f = 0 يعني قيمة عظمى أو صغرى.

    في الحقيقة: قد تكون نقطة سرج؛ استخدم اختبار D.

  • خرافة: λ مجرد حيلة للحذف.

    في الحقيقة: λ هو معدل تغير أفضل قيمة عند تغير القيد c، وهو مفيد في الاقتصاد والهندسة.

بطاقات تعليمية

  • التدرج

    ⟨fₓ, f_y, f_z⟩؛ أسرع تزايد.

  • المشتقة الاتجاهية

    ∇f · u.

  • نقطة حرجة

    ∇f = 0.

  • نقطة السرج

    D < 0.

  • شرط لاغرانج

    ∇f = λ∇g.

  • أشد انحدار

    تحرك على امتداد −∇f.

اختبار ذاتي

1. يشير التدرج…

اعرض الإجابة

في اتجاه أسرع تزايد. طوله هو المعدل الأقصى.

2. D < 0 عند نقطة حرجة يعني…

اعرض الإجابة

سرجًا. تقعر للأعلى في اتجاه، وللأسفل في آخر.

3. مضاعفات لاغرانج تحل…

اعرض الإجابة

∇f = λ∇g. تتوازى التدرجات عند القيمة المثلى المقيدة.

4. تكون D_u f أكبر ما يمكن عندما يكون u…

اعرض الإجابة

موازيًا لـ ∇f. ∇f · u = |∇f| cos θ.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يجري الماء نزولًا مع تدرج التضاريس. وتُبنى خرائط الفيضانات وحدود مستجمعات المياه ونماذج التعرية بحساب −∇h من بيانات الارتفاع، مثل نماذج الارتفاع المجانية بتقنية الليدار من USGS 3D Elevation Program.

تقلل مضاعفات لاغرانج المادة اللازمة لحجم أو متانة مطلوبين. واستخدام مادة أقل للمهمة نفسها خفض مباشر في التعدين والطاقة والانبعاثات.

على Saving Planets: صفحة الأنهار · الرسم الهندسي / CAD: تخفيف الوزن

المصادر: USGS 3D Elevation Program (3DEP) · OpenStax Calculus 3, 4.8 Lagrange Multipliers

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوعان 8–9

التكاملات الثنائية

التكامل على مناطق في المستوى: التكاملات المتكررة، ومبرهنة فوبيني، والمناطق العامة، والإحداثيات القطبية، والمساحة، والكتلة، والمتوسطات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب التكاملات الثنائية بوصفها تكاملات متكررة.
  • ضع الحدود للمناطق العامة واعكس الترتيب.
  • حوّل إلى الإحداثيات القطبية مع dA = r dr dθ.
  • استخدم التكاملات الثنائية للمساحة والكتلة والمتوسطات والمجاميع على خريطة.

المفاهيم الأساسية

  • ∬_R f dA يجمع f مضروبة في مساحات ضئيلة. وعلى مستطيل، تنص مبرهنة فوبيني على تكامل متغير ثم الآخر، بأي ترتيب.
  • في المنطقة العامة تكون الحدود الداخلية منحنيات؛ ارسم المنطقة لقراءتها.
  • المناطق المستديرة أسهل في الإحداثيات القطبية، حيث عنصر المساحة r dr dθ (وليس dr dθ).
  • متوسط f على R هو ∬f dA مقسومًا على مساحة R.

المعادلات الأساسية

∬Rf dA=∫ab ⁣∫cdf(x,y) dy dx\iint_Rf\,dA=\int_a^b\!\int_c^df(x,y)\,dy\,dx
مبرهنة فوبيني
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
عنصر المساحة القطبي
fˉ=1Area(R)∬Rf dA\bar f=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_Rf\,dA
القيمة المتوسطة
∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi
تكامل غاوس (عبر الإحداثيات القطبية)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 احسب ∬_R xy dA على R = [0, 2] × [0, 3].

اعرض الخطوات
  1. ∫₀² x dx = 2 و∫₀³ y dy = 4.5.
  2. ينفصل التكامل: 2 × 4.5.

الإجابة: 9.

مثال 5.2 يهطل المطر على مستجمع مساحته 10 km × 5 km بعمق d(x, y) = 20 + 2x mm (x بالكيلومترات، على امتداد الضلع البالغ 10 km). ما كمية الماء التي هطلت؟

اعرض الخطوات
  1. المجموع = ∫₀¹⁰∫₀⁵ (20 + 2x) dy dx = 5 ∫₀¹⁰ (20 + 2x) dx.
  2. = 5(200 + 100) = 1,500 mm·km².
  3. 1 mm على 1 km² يساوي 1000 m³.

الإجابة: 1.5 × 10⁶ m³ (متوسط العمق 30 mm). هكذا تتحول مقاييس المطر والرادار إلى تنبؤات بتدفق الأنهار.

مثال 5.3 احسب ∬ e^(−(x² + y²)) dA على قرص الوحدة، ثم على المستوى كله.

اعرض الخطوات
  1. قطبيًا: ∫₀^(2π)∫₀¹ e^(−r²) r dr dθ = 2π × ½(1 − e^(−1)).
  2. على المستوى كله يمتد تكامل r إلى ∞ ويعطي ½.

الإجابة: π(1 − 1/e) ≈ 1.986 على القرص؛ وπ على المستوى، وهذا يثبت ∫e^(−x²) dx = √π.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ∫₀¹∫₀ˣ x dy dx

    اعرض الإجابة

    ∫₀¹ x² dx = 1/3.

  2. اعكس ترتيب ∫₀¹∫_y¹ f dx dy.

    اعرض الإجابة

    ∫₀¹∫₀ˣ f dy dx.

  3. أوجد مساحة دائرة نصف قطرها a بالإحداثيات القطبية.

    اعرض الإجابة

    ∫₀^(2π)∫₀ᵃ r dr dθ = πa².

  4. أوجد الحجم تحت z = 4 − x² − y² فوق القرص x² + y² ≤ 4.

    اعرض الإجابة

    ∫₀^(2π)∫₀² (4 − r²) r dr dθ = 2π(8 − 4) = 8π ≈ 25.1.

  5. متوسط f = x + y على [0, 1] × [0, 1].

    اعرض الإجابة

    ∬(x + y) dA = 1، المساحة 1، المتوسط 1.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: في القطبية، dA = dr dθ.

    في الحقيقة: dA = r dr dθ؛ ونسيان r هو الخطأ الأكثر شيوعًا.

  • خرافة: يجب أن تكون الحدود الداخلية أعدادًا.

    في الحقيقة: في المنطقة العامة تكون الحدود الداخلية دوال في المتغير الخارجي.

  • خرافة: الترتيب لا يهم أبدًا.

    في الحقيقة: القيمة لا تتغير، لكن الحدود تتغير، وكثيرًا ما يكون أحد الترتيبين أسهل بكثير.

بطاقات تعليمية

  • التكامل الثنائي

    ∬_R f dA.

  • فوبيني

    كامل بأي ترتيب على مستطيل.

  • منطقة من النوع I

    a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x).

  • dA القطبي

    r dr dθ.

  • القيمة المتوسطة

    ∬f dA / المساحة.

  • تكامل غاوس

    ∫e^(−x²) dx = √π.

اختبار ذاتي

1. عنصر المساحة القطبي:

اعرض الإجابة

r dr dθ. القطعة القطبية أبعادها r dθ في dr.

2. ∬_R 1 dA يساوي…

اعرض الإجابة

مساحة R. يجمع المساحة.

3. ∫₀¹∫₀² 3 dy dx =

اعرض الإجابة

6. 3 × المساحة 2.

4. مبرهنة فوبيني تتيح لك…

اعرض الإجابة

التكامل في متغير واحد في كل مرة. التكاملات المتكررة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

المجاميع على خريطة تكاملات ثنائية: المطر على مستجمع مائي، والكربون المخزن في غابة، أو المحصول المحصود من حقل. وبهذه الطريقة يحوّل علماء الهيدرولوجيا خرائط الأمطار إلى أحجام للتنبؤ بالفيضانات وتخطيط إمدادات المياه.

على Saving Planets: صفحة الأنهار · ملف إزالة الغابات

المصادر: USGS Water Science School: Precipitation and the water cycle · OpenStax Calculus 3, 5.2 Double Integrals over General Regions

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوعان 10–11

التكاملات الثلاثية وتغيير المتغيرات

التكامل على المجسمات بالإحداثيات الديكارتية والأسطوانية والكروية، والمحدد اليعقوبي لتغييرات المتغيرات العامة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ضع التكاملات الثلاثية واحسبها.
  • استخدم الإحداثيات الأسطوانية (r dz dr dθ) والكروية (ρ² sin φ dρ dφ dθ).
  • احسب المحدد اليعقوبي لتغيير المتغيرات.
  • أوجد أحجام المجسمات وكتلها ومراكز كتلها.

المفاهيم الأساسية

  • ∭_E f dV يجمع f على صناديق ضئيلة؛ ومع f = الكثافة يعطي الكتلة.
  • تناسب الإحداثيات الأسطوانية الأنابيب والخزانات والمخاريط: dV = r dz dr dθ.
  • تناسب الإحداثيات الكروية الكرات والكواكب: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  • أي تعويض x = x(u, v) يمدّ المساحة بمقدار المحدد اليعقوبي |∂(x, y)/∂(u, v)|.

المعادلات الأساسية

dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
عنصر الحجم الأسطواني
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
عنصر الحجم الكروي
J=∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣xuyv−xvyu∣J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=|x_uy_v-x_vy_u|
مصفوفة جاكوبي
∬Rf dx dy=∬Sf ∣J∣ du dv\iint_Rf\,dx\,dy=\iint_Sf\,|J|\,du\,dv
تغيير المتغيرات

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 استخدم الإحداثيات الكروية لإيجاد حجم كرة نصف قطرها R.

اعرض الخطوات
  1. V = ∫₀^(2π)∫₀^π∫₀ᴿ ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  2. = (R³/3)(2)(2π).

الإجابة: 4πR³/3.

مثال 6.2 قدّر كتلة الغلاف الجوي للأرض: وزن الهواء فوق كل متر مربع هو الضغط السطحي، إذن M = ∬ p/g dA على الكرة.

اعرض الخطوات
  1. التكامل السطحي لثابت يساوي p/g مضروبًا في المساحة 4πR².
  2. 4π(6.371 × 10⁶)² = 5.10 × 10¹⁴ m².
  3. M = 101,400 × 5.10 × 10¹⁴ / 9.81.

الإجابة: نحو 5.3 × 10¹⁸ kg، قريبًا من 5.1 × 10¹⁸ kg لدى ناسا (اليابسة فوق مستوى سطح البحر تحمل هواءً أقل).

مثال 6.3 أوجد مساحة القطع الناقص x²/a² + y²/b² ≤ 1 مع x = au وy = bv.

اعرض الخطوات
  1. يصبح القطع الناقص قرص الوحدة u² + v² ≤ 1.
  2. J = ab.
  3. المساحة = ab × π.

الإجابة: πab.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد حجم المخروط 0 ≤ z ≤ 1 − r (نصف القطر 1، الارتفاع 1) بالإحداثيات الأسطوانية.

    اعرض الإجابة

    ∫₀^(2π)∫₀¹ (1 − r) r dr dθ = 2π(1/2 − 1/3) = π/3.

  2. احسب ∭ 1 dV على الصندوق [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].

    اعرض الإجابة

    6.

  3. أوجد المحدد اليعقوبي للإحداثيات القطبية.

    اعرض الإجابة

    x_r y_θ − x_θ y_r = cos θ (r cos θ) + r sin θ (sin θ) = r.

  4. أسطوانة نصف قطرها 1 m وارتفاعها 2 m كثافتها 1000(1 − z/4) kg/m³. أوجد كتلتها.

    اعرض الإجابة

    π ∫₀² 1,000(1 − z/4) dz = π × 1,000 × 1.5 = 1,500π ≈ 4,712 kg.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: في الإحداثيات الكروية dV = dρ dφ dθ.

    في الحقيقة: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • خرافة: φ تمتد من 0 إلى 2π.

    في الحقيقة: φ (من القطب الشمالي) تمتد من 0 إلى π؛ وθ من 0 إلى 2π.

  • خرافة: يمكن أن يكون المحدد اليعقوبي سالبًا داخل التكامل.

    في الحقيقة: استخدم قيمته المطلقة.

بطاقات تعليمية

  • التكامل الثلاثي

    ∭_E f dV.

  • الأسطوانية

    x = r cos θ، y = r sin θ، z؛ dV = r dz dr dθ.

  • الكروية

    dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • مصفوفة جاكوبي

    معامل تمدد المساحة أو الحجم في تعويض ما.

  • الكتلة

    ∭ الكثافة dV.

  • مركز الكتلة

    ∭ x ρ dV / الكتلة.

اختبار ذاتي

1. عنصر الحجم الكروي هو…

اعرض الإجابة

ρ² sin φ dρ dφ dθ. صندوق كروي أضلاعه dρ وρ dφ وρ sin φ dθ.

2. الإحداثيات الأسطوانية هي الأنسب لـ…

اعرض الإجابة

الأنابيب والخزانات. مقاطع عرضية دائرية.

3. المحدد اليعقوبي لـ x = 2u وy = 3v هو…

اعرض الإجابة

6. 2 × 3.

4. حجم كرة نصف قطرها 3:

اعرض الإجابة

36π. 4π(27)/3.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يجمع علماء المناخ الكميات عبر حجم المحيط والغلاف الجوي بهذه التكاملات تحديدًا. فالمحتوى الحراري للمحيط، أي الحرارة المخزنة في أعلى 2000 m من البحر، تكامل ثلاثي لتغير درجة الحرارة مضروبًا في الكثافة والسعة الحرارية، وهو من أوضح سجلات الاحترار العالمي.

على Saving Planets: محور المحيطات

المصادر: NOAA NCEI: Global ocean heat content · صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوع 12

الحقول المتجهة والتكاملات الخطية ومبرهنة غرين

الحقول المتجهة مثل الرياح والتيارات، والشغل والدوران على امتداد المنحنيات، والحقول المحافظة والجهود، ومبرهنة غرين في المستوى.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ارسم الحقول المتجهة وفسّرها.
  • احسب التكاملات الخطية للدوال القياسية وللحقول المتجهة (الشغل).
  • اختبر ما إذا كان الحقل محافظًا وأوجد جهدًا له.
  • طبّق مبرهنة غرين على الدوران والتدفق في المستوى.

المفاهيم الأساسية

  • يُسند الحقل المتجه متجهًا إلى كل نقطة، مثل خريطة للرياح أو التيارات.
  • الشغل على امتداد مسار هو ∫_C F · dr؛ ولحلقة مغلقة يسمى الدوران.
  • الحقل المحافظ تدرج، F = ∇φ؛ وشغله يعتمد على نقطتي الطرفين فقط، ودورانه صفر.
  • مبرهنة غرين: الدوران حول منحنى مغلق يساوي تكامل الدوّار (Q_x − P_y) على المنطقة الداخلية.

المعادلات الأساسية

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt
التكامل الخطي (الشغل)
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
المبرهنة الأساسية للتكاملات الخطية
∮CP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA
مبرهنة غرين
Area=12∮Cx dy−y dx\text{Area}=\tfrac12\oint_Cx\,dy-y\,dx
المساحة من الحدود

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 F = ⟨y, x⟩. أوجد الشغل من (0, 0) إلى (2, 3) على امتداد أي مسار.

اعرض الخطوات
  1. P_y = 1 = Q_x، إذن F محافظ.
  2. φ = xy تحقق ∇φ = ⟨y, x⟩.
  3. الشغل = φ(2, 3) − φ(0, 0).

الإجابة: 6، على كل مسار.

مثال 7.2 تيار شبيه بالدوامة المحيطية F = ⟨−y, x⟩ يدور حول نقطة الأصل. أوجد دورانه حول دائرة الوحدة مباشرة وبمبرهنة غرين.

اعرض الخطوات
  1. r = ⟨cos t, sin t⟩، F · r′ = sin²t + cos²t = 1، إذن ∮ = 2π.
  2. غرين: Q_x − P_y = 1 − (−1) = 2؛ ∬2 dA = 2 × π.

الإجابة: 2π ≈ 6.28 بالطريقتين.

مثال 7.3 استخدم ½∮(x dy − y dx) لإيجاد المساحة داخل x = 3 cos t وy = 2 sin t.

اعرض الخطوات
  1. x dy − y dx = (3 cos t)(2 cos t) + (2 sin t)(3 sin t) = 6 dt.
  2. ½ ∫₀^(2π) 6 dt.

الإجابة: 6π ≈ 18.85 (πab مع a = 3 وb = 2).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل F = ⟨2xy, x² + 1⟩ محافظ؟ أوجد φ.

    اعرض الإجابة

    P_y = 2x = Q_x; φ = x²y + y.

  2. أوجد ∫_C F · dr للحقل F = ⟨x, y⟩ على امتداد y = x² من (0, 0) إلى (1, 1).

    اعرض الإجابة

    محافظ، φ = (x² + y²)/2: الشغل 1.

  3. أوجد ∮(x² dx + xy dy) حول المربع [0, 1] × [0, 1]، عكس اتجاه عقارب الساعة.

    اعرض الإجابة

    غرين: ∬ y dA = 1/2.

  4. أوجد دوران F = ⟨−y, x⟩ حول دائرة نصف قطرها 3.

    اعرض الإجابة

    2 × المساحة = 18π ≈ 56.5.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: كل حقل دوّاره صفر محافظ.

    في الحقيقة: صحيح فقط في المناطق البسيطة الترابط (دون ثقوب).

  • خرافة: الشغل على امتداد مسار مغلق صفر دائمًا.

    في الحقيقة: فقط للحقول المحافظة؛ أما الدوامة فتدور.

  • خرافة: مبرهنة غرين تصح لأي اتجاه.

    في الحقيقة: تفترض الاتجاه عكس عقارب الساعة؛ واتجاه عقارب الساعة يقلب الإشارة.

بطاقات تعليمية

  • الحقل المتجه

    متجه عند كل نقطة.

  • التكامل الخطي

    ∫F · dr، الشغل على امتداد منحنى.

  • الدوران

    تكامل خطي حول منحنى مغلق.

  • المحافظ

    F = ∇φ؛ مستقل عن المسار.

  • الجهد

    φ بحيث ∇φ = F.

  • مبرهنة غرين

    ∮P dx + Q dy = ∬(Q_x − P_y) dA.

اختبار ذاتي

1. F = ∇φ يعني أن F…

اعرض الإجابة

محافظ. حقل تدرج.

2. شغل حقل محافظ حول حلقة مغلقة:

اعرض الإجابة

0. φ(A) − φ(A).

3. تربط مبرهنة غرين التكامل الخطي بـ…

اعرض الإجابة

تكامل ثنائي. الحدود ↔ الداخل.

4. Q_x − P_y للحقل F = ⟨−y, x⟩ يساوي…

اعرض الإجابة

2. 1 − (−1).

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الدوامات المحيطية أنظمة تيارات دوّارة هائلة: هناك خمس رئيسية، وكل منها يجمع الحطام الطافي نحو مركزه، فتتكون رقع القمامة. ودوران حقل التيارات تكامل خطي، ومبرهنة غرين تربطه بالدوران (الدوّار) في الداخل.

الرياح والتيارات على خرائط مثل earth.nullschool.net، الذي يعرض بيانات تنبؤ عامة من NOAA، حقول متجهة يمكنك قراءتها بهذه الوحدة.

على Saving Planets: محور المحيطات

المصادر: NOAA Marine Debris Program: Garbage patches · NOAA Ocean Service: Ocean currents tutorial (gyres) · earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسابيع 13–14

التكاملات السطحية ومبرهنة ستوكس ومبرهنة التباعد

التباعد والدوّار، والأسطح الوسيطية، والتدفق عبر سطح، والمبرهنتان العظيمتان اللتان تربطان الحدود بالداخل في 3D.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب التباعد والدوّار وفسّرهما بوصفهما شدة المنبع والدوران.
  • عبّر عن الأسطح وسيطيًا واحسب المساحة السطحية والتدفق.
  • طبّق مبرهنة ستوكس.
  • طبّق مبرهنة التباعد (غاوس) على صافي التدفق إلى الخارج.

المفاهيم الأساسية

  • div F = ∇ · F يقيس التدفق الخارج لكل وحدة حجم؛ وcurl F = ∇ × F يقيس الدوران.
  • التدفق ∬_S F · n dS هو مقدار ما يعبر سطحًا من الحقل في وحدة الزمن.
  • ستوكس: الدوران حول حافة سطح يساوي تدفق curl F عبر السطح.
  • مبرهنة التباعد: صافي التدفق إلى الخارج عبر سطح مغلق يساوي التباعد الكلي في الداخل.

المعادلات الأساسية

∇⋅F=Px+Qy+Rz\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z
التباعد
∇×F=⟨Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py⟩\nabla\times\mathbf F=\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\rangle
الدوّار
∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
مبرهنة ستوكس
∯SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV\oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV
مبرهنة التباعد

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 أوجد التدفق الخارج لـ F = ⟨x, y, z⟩ عبر كرة نصف قطرها R.

اعرض الخطوات
  1. div F = 3.
  2. مبرهنة التباعد: 3 × (4πR³/3).
  3. تحقق مباشرة: على الكرة F · n = R، إذن التدفق R × 4πR².

الإجابة: 4πR³ بالطريقتين.

مثال 8.2 يسقط ضوء الشمس بشدة 1361 W/m² على الأرض (نصف قطرها 6371 km). ما القدرة الكلية التي تعترضها الأرض، وما المتوسط لكل متر مربع من سطحها؟

اعرض الخطوات
  1. التدفق عبر قرص ظل الأرض هو 1361 × πR² = 1.735 × 10¹⁷ W.
  2. وبتوزيعه على الكرة كلها (المساحة 4πR²) يصبح 1361/4.

الإجابة: 1.74 × 10¹⁷ W، أو 340 W/m² في المتوسط، وهو الرقم أعلى مخطط ميزانية الطاقة لدى ناسا.

مثال 8.3 تحقق من مبرهنة ستوكس للحقل F = ⟨−y, x, 0⟩ على النصف العلوي من كرة الوحدة.

اعرض الخطوات
  1. curl F = ⟨0, 0, 2⟩.
  2. تدفق الدوّار عبر نصف الكرة يساوي تدفقه عبر قرص الوحدة المستوي (الحافة نفسها): 2 × π.
  3. الدوران على الحافة 2π (الوحدة 7).

الإجابة: 2π بالطريقتين.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد div وcurl للحقل F = ⟨x², yz, xy⟩.

    اعرض الإجابة

    div = 2x + z؛ curl = ⟨x − y, −y, 0⟩.

  2. تدفق F = ⟨0, 0, 5⟩ إلى الأعلى عبر مربع الوحدة في المستوى z = 1.

    اعرض الإجابة

    5 × 1 = 5.

  3. استخدم مبرهنة التباعد: تدفق F = ⟨x, y, z⟩ خارجًا من مكعب الوحدة [0, 1]³.

    اعرض الإجابة

    div = 3؛ التدفق 3.

  4. أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها 2 بتكامل dS = 4 sin φ dφ dθ.

    اعرض الإجابة

    4 × 2 × 2π = 16π ≈ 50.3.

  5. هل يمكن أن يكون دوّار حقل تدرج غير صفري؟

    اعرض الإجابة

    لا: ∇ × ∇φ = 0 للدالة الملساء φ.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التدفق هو نفسه الدوران.

    في الحقيقة: التدفق يعبر سطحًا؛ والدوران يجري على امتداد منحنى.

  • خرافة: انعدام التباعد يعني أن لا شيء يتحرك.

    في الحقيقة: يعني عدم وجود منبع صافٍ: ما يدخل يخرج.

  • خرافة: مبرهنة التباعد تصح على الأسطح المفتوحة.

    في الحقيقة: تحتاج إلى سطح مغلق؛ أما ستوكس فتتعامل مع الأسطح ذات الحافة.

بطاقات تعليمية

  • التباعد

    ∇ · F؛ شدة المنبع.

  • الدوّار

    ∇ × F؛ الدوران.

  • التدفق

    ∬F · n dS.

  • مبرهنة ستوكس

    الدوران على الحافة = تدفق الدوّار.

  • مبرهنة التباعد

    التدفق إلى الخارج = ∭ div F dV.

  • السطح المغلق

    يحيط بمجسم؛ دون حافة.

اختبار ذاتي

1. div ⟨x, y, z⟩ =

اعرض الإجابة

3. 1 + 1 + 1.

2. تربط مبرهنة ستوكس الدوران على الحافة بـ…

اعرض الإجابة

تدفق curl F. ∬(∇ × F) · n dS.

3. تحتاج مبرهنة التباعد إلى…

اعرض الإجابة

سطح مغلق. إنه يحيط بمجسم.

4. متوسط ضوء الشمس لكل متر مربع عند قمة الغلاف الجوي للأرض نحو…

اعرض الإجابة

340 W/m². مساحة القرص πR² على مساحة الكرة 4πR²: الربع.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

مناخ الأرض توازن تدفقات: يعبر ضوء الشمس قمة الغلاف الجوي بنحو 340 W/m² في المتوسط، ويجب أن تعيد الأرض الطاقة نفسها إلى الفضاء. وعندما تحبس غازات الدفيئة بعض الحرارة الخارجة، يصبح الاختلال تدفقًا صافيًا إلى الكوكب يُخزن معظمه في المحيط.

انتقال الملوثات هو الرياضيات نفسها: تنص مبرهنة التباعد على أن الملوث الذي يغادر بحيرة أو حوضًا هوائيًا عبر حدوده يساوي ما تطلقه مصادره في الداخل، مطروحًا منه ما يُزال.

على Saving Planets: محور رصد الأرض

المصادر: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبرات الحاسوبية

تطبق أربعة مختبرات حاسوبية الوحدات: تباعد حقل رياح ودوّاره من بيانات المحطات، والميل واتجاه جريان الماء من شبكة ارتفاعات، وحجم بحيرة بتكامل ثنائي قطبي، ومدار قمر صناعي يُحسب خطوة بخطوة عبر الزمن.

البيانات النموذجية موسومة بذلك؛ وكل مختبر يربط بمصدر البيانات العامة لتجربته بعد ذلك.

مرجع السلامة: OpenStax Calculus Volume 3 (كتاب مجاني)

المختبر A: تباعد حقل رياح ودوّاره

الأسبوع 14

الهدف: قدّر تباعد الرياح ودوّارها عند نقطة من أربع محطات محيطة، وفسّرهما بوصفهما صعودًا للهواء ودورانًا للعاصفة.

∇⋅v≈uE−uW2Δ+vN−vS2Δ,(∇×v)z≈vE−vW2Δ−uN−uS2Δ\nabla\cdot\mathbf v\approx\frac{u_E-u_W}{2\Delta}+\frac{v_N-v_S}{2\Delta},\quad(\nabla\times\mathbf v)_z\approx\frac{v_E-v_W}{2\Delta}-\frac{u_N-u_S}{2\Delta}
الفروق المركزية

الإجراء

  1. أدخل الريح باتجاه الشرق (u) وباتجاه الشمال (v) عند محطات تبعد 100 km شرق مركز وغربه وشماله وجنوبه (Δ = 100 km = 10⁵ m).
  2. احسب التباعد والدوّار الرأسي (الدوامية).
  3. فسّر الإشارات، ثم كرر مع رياح حقيقية مقروءة من earth.nullschool.net أو بيانات تنبؤ NOAA.

جدول البيانات

المحطةu (m/s، شرقًا)v (m/s، شمالًا)
الشرق48
الغرب6−6
الشمال−5−3
الجنوب7−1

قيم نموذجية للتدريب، وليست خريطة طقس حقيقية.

مثال حسابي

  1. التباعد = (4 − 6)/(2 × 10⁵) + (−3 − (−1))/(2 × 10⁵) = −2 × 10⁻⁵ s⁻¹: الهواء يتقارب، فلا بد أن يصعد، وهذا يساعد على تكوّن السحب والمطر.
  2. الدوامية = (8 − (−6))/(2 × 10⁵) − (−5 − 7)/(2 × 10⁵) = 1.3 × 10⁻⁴ s⁻¹: موجبة، عكس عقارب الساعة، مثل منخفض في نصف الكرة الشمالي.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات.

earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data) · NOAA NCEI: Global Forecast System (GFS)

الصلة بالكوكب: التقارب والدوامية هما ما يتتبعه المتنبئون للتحذير من الأمطار الغزيرة والعواصف. NOAA/NWS JetStream: Wind

المختبر B: الميل وجريان الماء من شبكة ارتفاعات

الأسبوع 7

الهدف: قدّر تدرج التضاريس من شبكة ارتفاعات وأوجد الاتجاه الذي يجري فيه ماء المطر.

∇h≈⟨hE−hW2Δ,hN−hS2Δ⟩\nabla h\approx\left\langle\frac{h_E-h_W}{2\Delta},\frac{h_N-h_S}{2\Delta}\right\rangle
التدرج بالفروق المركزية

الإجراء

  1. استخدم الارتفاعات على بعد 100 m شرق نقطة وغربها وشمالها وجنوبها (Δ = 100 m).
  2. احسب ∇h ومقداره (الميل) وزاوية الميل arctan|∇h|.
  3. اتجاه الجريان هو −∇h. ثم نزّل بلاطة ارتفاعات مجانية من USGS 3DEP وكرر لسفح تل قريب منك.

جدول البيانات

المجاورالارتفاع (m)
المركز250
الشرق262
الغرب240
الشمال256
الجنوب246

قيم نموذجية للتدريب.

مثال حسابي

  1. ∇h ≈ ⟨(262 − 240)/200, (256 − 246)/200⟩ = ⟨0.11, 0.05⟩.
  2. |∇h| = 0.121، أي زاوية ميل نحو 6.9°.
  3. يجري الماء على امتداد −∇h، نحو الغرب-الجنوب الغربي؛ وتتبّع هذه الاتجاهات على شبكة يرسم حدود مستجمع مائي.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات؛ وبرامج نظم المعلومات الجغرافية اختيارية.

USGS 3D Elevation Program (3DEP)

الصلة بالكوكب: اتجاهات الجريان المستخرجة من شبكات الارتفاع هي أساس خرائط الفيضانات والتعرية. USGS 3D Elevation Program (3DEP)

المختبر C: حجم بحيرة بتكامل ثنائي قطبي

الأسبوع 9

الهدف: احسب حجم بحيرة على شكل وعاء بدقة وبمجموع عددي، وانظر كيف يتناقص الخطأ.

V=∫02π ⁣ ⁣∫0RD(1−r2R2)r dr dθ=πR2D2V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^RD\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr\,d\theta=\frac{\pi R^2D}{2}
بحيرة ذات حوض على شكل مجسم قطع مكافئ

الإجراء

  1. خذ R = 1000 m وأقصى عمق D = 20 m.
  2. احسب الحجم الدقيق.
  3. قسّم البحيرة إلى n حلقة، واحسب العمق عند نصف القطر الأوسط لكل حلقة، واجمع العمق × مساحة الحلقة. جرّب n = 5 وn = 10.

جدول البيانات

الطريقةالحجم (m³)
التامة3.14 × 10⁷
نقطة المنتصف، 5 حلقات3.20 × 10⁷
نقطة المنتصف، 10 حلقات3.16 × 10⁷

قيم محسوبة لبحيرة نموذجية.

مثال حسابي

  1. الدقيق: π(1000)²(20)/2 = 3.14 × 10⁷ m³ (31.4 مليون متر مكعب).
  2. مجموع الـ 5 حلقات أعلى بنسبة 2.0% ومجموع الـ 10 حلقات أعلى بنسبة 0.5%: مضاعفة n تقلل الخطأ نحو أربع مرات.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • جدول بيانات أو بايثون.

OpenStax Calculus 3, 5.3 Double Integrals in Polar Coordinates

الصلة بالكوكب: أحجام البحيرات والخزانات المستخرجة من مسوح الأعماق تخبر مديري المياه بكمية ما يمكنهم تخزينه وإطلاقه. ناسا: مهمة SWOT

المختبر D: حساب مدار قمر صناعي خطوة بخطوة عبر الزمن

الأسبوع 3

الهدف: كامل r′′ = −GM r/|r|³ عدديًا لمدار شبيه بمدار Landsat وقارن بين طريقتين للخطوات.

vn+1=vn−GM rn∣rn∣3Δt,rn+1=rn+vn+1Δt\mathbf v_{n+1}=\mathbf v_n-\frac{GM\,\mathbf r_n}{|\mathbf r_n|^3}\Delta t,\quad\mathbf r_{n+1}=\mathbf r_n+\mathbf v_{n+1}\Delta t
طريقة أويلر شبه الضمنية (السمبلكتية)

الإجراء

  1. ابدأ عند r = ⟨7076 km, 0⟩ مع v = ⟨0, 7505 m/s⟩ (الوحدة 2).
  2. نفّذ 592 خطوة مع Δt = 10 s (دورة واحدة)، أولًا بطريقة أويلر البسيطة (حدّث r بالسرعة v القديمة)، ثم بالصيغة شبه الضمنية أعلاه.
  3. قارن نصف القطر النهائي بنصف القطر الابتدائي.

جدول البيانات

الطريقة (Δt = 10 s)تغير نصف القطر بعد دورة واحدة
أويلر البسيطة+908 km
أويلر شبه الضمنية+0.16 km

قيم محسوبة؛ GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².

مثال حسابي

  1. طريقة أويلر البسيطة تلتف حلزونيًا إلى الخارج بنحو 908 km في كل دورة، وهو تنبؤ عديم الفائدة؛ وحتى مع Δt = 1 s يبقى الانحراف نحو 94 km.
  2. التحديث شبه الضمني يغيّر سطرًا واحدًا من الشيفرة ويبقي المدار في حدود نحو 0.16 km.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح جدول بيانات؛ وبايثون في Colab أسهل.

Google Colab (دفاتر مجانية) · NASA: Landsat 9 quick facts

الصلة بالكوكب: يُبقي الحساب الدقيق للمدارات أقمار رصد الأرض على مساراتها المتكررة. NASA: Landsat 9 quick facts

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تدريب لامتحان منتصف الفصل (الوحدات 1–4)

  1. أوجد الزاوية بين ⟨1, 1, 0⟩ و⟨0, 1, 1⟩.

    اعرض الحل الكامل
    1. الضرب القياسي 1؛ وطول كل منهما √2.
    2. cos θ = 1/2.

    الإجابة: 60°.

  2. أوجد المستوى المار بالنقطة (1, 1, 1) ومتجهه العمودي ⟨2, −1, 3⟩.

    اعرض الحل الكامل
    1. 2(x − 1) − (y − 1) + 3(z − 1) = 0.

    الإجابة: 2x − y + 3z = 4.

  3. يدور قمر صناعي على نصف قطر 6771 km (ارتفاع 400 km). أوجد دوره.

    اعرض الحل الكامل
    1. T = 2π√(r³/GM).

    الإجابة: ≈ 5544 s ≈ 92.4 min.

  4. كبّر f = xy بشرط x + y = 10.

    اعرض الحل الكامل
    1. ⟨y, x⟩ = λ⟨1, 1⟩ تعطي x = y = 5.

    الإجابة: 25 عند (5, 5).

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. احسب ∫₀^(2π)∫₀³ r dr dθ.

    اعرض الحل الكامل
    1. 4.5 × 2π.

    الإجابة: 9π ≈ 28.3 (مساحة قرص نصف قطره 3).

  2. أوجد حجم نصف كرة نصف قطرها 2 بالإحداثيات الكروية.

    اعرض الحل الكامل
    1. ∫₀^(2π)∫₀^(π/2)∫₀² ρ² sin φ dρ dφ dθ = (8/3)(1)(2π).

    الإجابة: 16π/3 ≈ 16.76.

  3. أوجد ∮ F · dr للحقل F = ⟨−y, x⟩ حول المربع [0, 2] × [0, 2]، عكس اتجاه عقارب الساعة.

    اعرض الحل الكامل
    1. غرين: ∬2 dA = 2 × 4.

    الإجابة: 8.

  4. أوجد التدفق الخارج لـ F = ⟨2x, 0, 0⟩ عبر كرة نصف قطرها 1.

    اعرض الحل الكامل
    1. div F = 2؛ التدفق = 2 × 4π/3.

    الإجابة: 8π/3 ≈ 8.38.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
n⋅(r−r0)=0n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0
L=∫∣r′(t)∣ dtL=\int|\mathbf r'(t)|\,dt
κ=∣r′×r′′∣/∣r′∣3\kappa=|\mathbf r'\times\mathbf r''|/|\mathbf r'|^3
v=GM/rv=\sqrt{GM/r}
Δf≈fxΔx+fyΔy\Delta f\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
∇f=λ∇g\nabla f=\lambda\nabla g
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
∮P dx+Q dy=∬(Qx−Py) dA\oint P\,dx+Q\,dy=\iint(Q_x-P_y)\,dA
∮F⋅dr=∬(∇×F)⋅n dS\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
∯F⋅n dS=∭∇⋅F dV\oiint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV

الثوابت

الثابتالقيمة
GM للأرض3.986 × 10¹⁴ m³/s²
متوسط نصف قطر الأرض6,371 km
الإشعاع الشمسي عند الأرض1,361 W/m²
متوسط الضغط السطحي1,014 mb = 101,400 Pa
الارتفاع المميز للغلاف الجوي8.5 km
الجاذبية المعيارية9.81 m/s²

المصدر: صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية)

العودة إلى الأعلى

أدوات الرسم البياني والبيانات

استخدم هذه الأدوات والبيانات المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الدوران
التكامل الخطي لحقل حول منحنى مغلق.
الحقل المحافظ
حقل تدرج؛ الشغل مستقل عن المسار.
الضرب المتجهي
متجه عمودي على متجهين.
الدوّار
∇ × F؛ الدوران الموضعي لحقل.
الانحناء
مدى حدة انحناء المنحنى؛ 1/R للدائرة.
المشتقة الاتجاهية
معدل التغير في اتجاه معين، ∇f · u.
التباعد
∇ · F؛ صافي التدفق الخارج لكل وحدة حجم.
مبرهنة التباعد
التدفق الخارج عبر سطح مغلق يساوي تكامل التباعد في الداخل.
الضرب القياسي
a · b = |a||b| cos θ.
التدفق
مقدار ما يعبر سطحًا من حقل.
التدرج
متجه المشتقات الجزئية؛ يشير إلى أعلى المنحدر.
مبرهنة غرين
الدوران حول منحنى مستوٍ يساوي تكامل Q_x − P_y في الداخل.
مصفوفة جاكوبي
معامل التمدد لتغيير المتغيرات.
مضاعف لاغرانج
λ في ∇f = λ∇g للاستمثال المقيد.
منحنى المستوى
منحنى تكون عليه f(x, y) ثابتة.
التكامل الخطي
تكامل على امتداد منحنى.
المشتقة الجزئية
المشتقة في متغير واحد مع تثبيت البقية.
نقطة السرج
نقطة حرجة ليست قيمة عظمى ولا صغرى.
مبرهنة ستوكس
الدوران على الحافة يساوي تدفق الدوّار.
الحقل المتجه
إسناد متجه إلى كل نقطة.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيضع التكاملات والحقول من رسم دون توجيه، ويختار إحداثيات مناسبة، ويتحقق من الإجابات بطريقة ثانية أو بمبرهنة.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع أخطاء عرضية.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يجد صعوبة في وضع الحدود أو اختيار الإحداثيات.
1 · مبتدئيطبق الصيغ دون رسم أو تحقق؛ يحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين30%
المختبرات الحاسوبية15%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع