التفاضل والتكامل 1

النهايات والمشتقات والتحسين والتكاملات والمبرهنة الأساسية، مع أربعة مختبرات حاسوبية عن معدلات تغيّر حقيقية. مجاني، وبالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بعمل حقيقي لإنقاذ الكوكب.

NASA Blue MarbleNASA/JPL-Caltech (PIA22431)NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)

الدورات › MATH 110

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه الفصل الأول من التفاضل والتكامل الجامعي (التفاضل في متغير واحد ومقدمة في التكاملات)، على غرار موضوعات ومستوى مواد مفتوحة مثل OpenStax Calculus Volume 1 وMIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus، التي نربط إليها في كل أجزاء الدورة. هذه المنظمات لا تتبنّى هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة تربط التفاضل والتكامل بمشكلات حقيقية في المناخ والطاقة ورحلات الفضاء، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه ببرنامج تحقق قبل نشره، وأربعة مختبرات حاسوبية تتيح لك تطبيق التفاضل والتكامل على البيانات كما يفعل العلماء والمهندسون.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

التفاضل والتكامل هو رياضيات التغيّر. يستخدم علماء المناخ المشتقات لتحويل سجلّ ثاني أكسيد الكربون أو الجليد البحري إلى معدل تغيّر، ويستخدم المهندسون التحسين للحصول على أكبر قدر من الطاقة من الرياح وأكبر إنجاز من كل كيلوغرام من وقود الصواريخ، وتجمع التكاملات القدرة لتعطي الطاقة.

تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق بالمصادر يبيّن كيف تساعد أفكارها الناس والطبيعة معًا.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • الجبر: التحليل إلى عوامل، والعبارات النسبية، وحل المعادلات والمتراجحات.
  • الدوال والمنحنيات: المجال والمدى والتركيب والدوال العكسية.
  • حساب المثلثات: الراديان ودائرة الوحدة والجيب وجيب التمام والظل والمتطابقات الأساسية.
  • الدوال الأسية واللوغاريتمية، بما فيها e وln.

كيف تذاكر

  • اقرأ الوحدة، ثم أغلقها وجرّب الأمثلة المحلولة بنفسك قبل التحقق من كل خطوة.
  • حلّ كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة.
  • ارسم منحنى كلما استطعت. معظم أخطاء التفاضل والتكامل تظهر في صورة لا معنى لها.
  • تحقّق من المشتقات بتقدير الميل عدديًا، ومن التكاملات بتقدير المساحة.
  • استخدم أداة رسم مثل Desmos لاختبار حدسك، لا لتحلّ محل العمل أبدًا.
  • أعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام. التدرّب المتباعد أفضل من جلسة طويلة واحدة.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي مع برنامج جداول بيانات (Google Sheets أو Excel أو LibreOffice).
  • آلة حاسبة بيانية مجانية مثل Desmos.
  • اختياري: Python مع NumPy لمن يريد برمجة المختبرات.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1الدوال والنهاياتمراجعة الدوال؛ فكرة النهاية؛ النهايات من المنحنيات والجداولOpenStax 1.1–1.5, 2.1–2.2
2الدوال والنهاياتقوانين النهايات؛ تقنيات جبرية؛ نهايات مثلثية خاصةOpenStax 2.3
3الدوال والنهاياتالنهايات عند اللانهاية؛ الخطوط المقاربة؛ التعريف الدقيقOpenStax 2.5, 4.6
4الاتصال والمشتقةالاتصال، مبرهنة القيمة الوسطى، المشتقة؛ المختبر AOpenStax 2.4, 3.1–3.2
5قواعد الاشتقاققواعد القوة والضرب والقسمة؛ المشتقات العلياOpenStax 3.3–3.4
6قواعد الاشتقاقمشتقات الدوال المثلثية؛ قاعدة السلسلةOpenStax 3.5–3.6
7قواعد الاشتقاقالاشتقاق الضمني؛ مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية؛ تدريب منتصف الفصلOpenStax 3.7–3.9
8التطبيقات I: المعدلات المرتبطة والتقريب وطريقة نيوتنالمعدلات المرتبطة؛ التقريب الخطي والتفاضلاتOpenStax 4.1–4.2
9التطبيقات I: المعدلات المرتبطة والتقريب وطريقة نيوتنقاعدة لوبيتال؛ طريقة نيوتن؛ المختبر BOpenStax 4.8–4.9
10التطبيقات II: القيم القصوى وشكل المنحنى والتحسينالقيم القصوى، مبرهنة القيمة المتوسطة، شكل المنحنىOpenStax 4.3–4.5
11التطبيقات II: القيم القصوى وشكل المنحنى والتحسينالتحسين التطبيقي؛ المختبر COpenStax 4.7
12التكاملات والمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكاملمجاميع ريمان والتكامل المحددOpenStax 5.1–5.2
13التكاملات والمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكاملالمبرهنة الأساسية؛ المختبر DOpenStax 5.3–5.4
14التكاملات والمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكاملالتعويض؛ القيمة المتوسطة؛ المساحات بين المنحنياتOpenStax 5.5, 6.1
15المراجعةمراجعة ومجموعة تمارين نهائيةكل الوحدات

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسابيع 1–3

الدوال والنهايات

تصف النهاية ما تقترب منه الدالة. إنها الفكرة التي تقوم عليها كل مشتقة وكل تكامل.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تقدير النهايات من المنحنيات والجداول، بما فيها النهايات من جهة واحدة.
  • حساب النهايات بقوانين النهايات والتحليل إلى عوامل والضرب في المرافق.
  • إيجاد النهايات عند اللانهاية وتحديد الخطوط المقاربة الأفقية والرأسية.
  • صياغة التعريف الدقيق (ε–δ) للنهاية.

المفاهيم الأساسية

  • تعني lim f(x) عندما x → a = L أنه يمكن جعل f(x) قريبة من L بالقدر الذي نريده بأخذ x قريبة بما يكفي من a، دون أن تساويها.
  • لا توجد النهاية إلا إذا تساوت النهايتان من اليسار ومن اليمين.
  • في الصيغة 0/0، بسّط أولًا: حلّل إلى عوامل أو اختصر أو اضرب في مرافق.
  • نهايتان خاصتان: sin x / x → 1 و(1 − cos x)/x → 0 عندما x → 0 (x بالراديان).
  • عند اللانهاية، قارن أعلى القوى في الدالة النسبية.

المعادلات الأساسية

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
رمز النهاية
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
نهاية مثلثية أساسية
∀ε>0 ∃δ>0: 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon
التعريف الدقيق للنهاية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 أوجد lim (x² − 4)/(x − 2) عندما x → 2.

اعرض الخطوات
  1. التعويض المباشر يعطي 0/0، لذا بسّط.
  2. (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 عندما x ≠ 2.
  3. عوّض الآن: 2 + 2 = 4.

الإجابة: 4.

مثال 1.2 أوجد lim (√(x + 4) − 2)/x عندما x → 0.

اعرض الخطوات
  1. مرة أخرى 0/0. اضرب البسط والمقام في المرافق √(x + 4) + 2.
  2. يصبح البسط (x + 4) − 4 = x، فتصير العبارة 1/(√(x + 4) + 2).
  3. عوّض x = 0: 1/(2 + 2) = 1/4.

الإجابة: 1/4.

مثال 1.3 أوجد lim (3x² + 1)/(2x² − 5) عندما x → ∞.

اعرض الخطوات
  1. اقسم البسط والمقام على x²: ‏(3 + 1/x²)/(2 − 5/x²).
  2. As x → ∞, 1/x² → 0.

الإجابة: 3/2، إذن y = 3/2 خط مقارب أفقي.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. lim (x² − 9)/(x − 3) عندما x → 3

    اعرض الإجابة

    حلّل إلى عوامل: x + 3 → 6.

  2. lim (5x + 2)/(x − 1) عندما x → ∞

    اعرض الإجابة

    اقسم على x: ‏5.

  3. lim (1 − cos x)/x عندما x → 0

    اعرض الإجابة

    0 (نهاية معروفة).

  4. lim 1/x عندما x → 0⁺ وعندما x → 0⁻

    اعرض الإجابة

    ‎+∞ من اليمين و‎−∞ من اليسار، لذا النهاية من الجهتين غير موجودة.

  5. lim sin(3x)/x عندما x → 0

    اعرض الإجابة

    اكتبها على الصورة 3 · sin(3x)/(3x) → 3 × 1 = 3.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: النهاية هي ببساطة قيمة الدالة عند تلك النقطة.

    في الحقيقة: النهاية لا تعتمد على f(a). قد تكون f غير معرّفة عند a ومع ذلك لها نهاية هناك، كما في المثال 1.1.

  • خرافة: 0/0 تعني أن النهاية تساوي 0 (أو غير موجودة).

    في الحقيقة: 0/0 صيغة غير معيّنة: قد تكون النهاية أي شيء. يجب التبسيط.

  • خرافة: إذا اقترب المنحنى من مستقيم، فلا يمكنه أن يقطعه أبدًا.

    في الحقيقة: يمكن للمنحنى أن يقطع خطًا مقاربًا أفقيًا؛ فالخط المقارب يصف السلوك في البعيد.

بطاقات تعليمية

  • النهاية

    القيمة التي تقترب منها f(x) عندما تقترب x من a.

  • النهاية من جهة واحدة

    النهاية من اليسار (x → a⁻) أو من اليمين (x → a⁺).

  • صيغة غير معيّنة

    0/0 أو ∞/∞: بسّط قبل أن تحكم.

  • خط مقارب أفقي

    y = L عندما f(x) → L مع x → ±∞.

  • خط مقارب رأسي

    x = a عندما f(x) → ±∞ مع x → a.

  • تعريف ε–δ

    لكل ε > 0 يوجد δ > 0 يُبقي f(x) على بُعد أقل من ε من L.

اختبار ذاتي

1. lim (x² − 1)/(x − 1) عندما x → 1 تساوي…

اعرض الإجابة

2. حلّل إلى x + 1 → 2.

2. توجد النهاية من الجهتين عندما…

اعرض الإجابة

تتساوى النهايتان من اليسار ومن اليمين. يجب أن توجد النهايتان من الجهتين وأن تتساويا.

3. lim sin x / x عندما x → 0 (بالراديان) تساوي…

اعرض الإجابة

1. نهاية أساسية؛ ولهذا يستخدم التفاضل والتكامل الراديان.

4. lim (4x³ − x)/(2x³ + 7) عندما x → ∞ تساوي…

اعرض الإجابة

2. المعاملات الرئيسية: 4/2 = 2.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

كل سجل مناخي قائمة من القياسات في أوقات منفصلة. وفكرة النهاية، أي تقليص الخطوة الزمنية نحو الصفر، هي ما يتيح للعلماء الحديث عن معدل التغيّر في لحظة بعينها لا على مدى سنة أو عقد فقط.

تقيس NOAA ثاني أكسيد الكربون في مرصد ماونا لوا منذ 1958. وتنشر صفحات بياناتها التركيز ومعدل نموه السنوي معًا، وهو استخدام مباشر لمعدل التغيّر المتوسط الذي تجعله النهايات دقيقًا.

على Saving Planets: OCO-2: قياس CO₂ من المدار (بالإنجليزية)

المصادر: NOAA GML: اتجاهات CO₂ في الغلاف الجوي (بالإنجليزية) · NOAA GML: معدلات نمو CO₂ (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوع 4

الاتصال والمشتقة

الاتصال يعني عدم وجود انقطاع. والمشتقة هي نهاية معدلات التغيّر المتوسطة: ميل المماس.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اختبار اتصال دالة واستخدام مبرهنة القيمة الوسطى.
  • حساب المشتقة من تعريفها بالنهاية.
  • تفسير المشتقة على أنها ميل وسرعة ومعدل تغيّر، مع وحداتها.
  • كتابة معادلة المماس.

المفاهيم الأساسية

  • تكون f متصلة عند a إذا كانت f(a) معرّفة والنهاية موجودة وكانتا متساويتين.
  • مبرهنة القيمة الوسطى: الدالة المتصلة على [a, b] تأخذ كل قيمة بين f(a) وf(b).
  • المشتقة f′(a) هي نهاية خارج قسمة الفروق [f(a + h) − f(a)]/h عندما h → 0.
  • وحدات f′ هي وحدات f لكل وحدة من x: متر لكل ثانية، جزء في المليون لكل سنة.
  • الدالة غير قابلة للاشتقاق عند زاوية أو نقطة رجوع أو مماس رأسي أو انقطاع.

المعادلات الأساسية

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
تعريف المشتقة بالنهاية
y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a)
المماس عند x = a

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 استخدم التعريف لإيجاد مشتقة f(x) = x².

اعرض الخطوات
  1. [(x + h)² − x²]/h = (2xh + h²)/h = 2x + h.
  2. عندما h → 0 يؤول هذا إلى 2x.

الإجابة: f′(x) = 2x.

مثال 2.2 أوجد المماس للمنحنى y = x³ عند x = 1.

اعرض الخطوات
  1. y′ = 3x²، إذن الميل عند x = 1 يساوي 3.
  2. النقطة: (1, 1).
  3. y − 1 = 3(x − 1)، إذن y = 3x − 2.

الإجابة: y = 3x − 2.

مثال 2.3 ما قيمة a التي تجعل f(x) = x + 1 (x < 1)، ax² (x ≥ 1) متصلة في كل مكان؟

اعرض الخطوات
  1. النهاية من اليسار عند 1: ‏1 + 1 = 2.
  2. القيمة والنهاية من اليمين: a × 1² = a.
  3. الاتصال يتطلب a = 2.

الإجابة: a = 2.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. استخدم التعريف لاشتقاق f(x) = 1/x.

    اعرض الإجابة

    [1/(x + h) − 1/x]/h = −1/(x(x + h)) → −1/x².

  2. حجر يُترك ليسقط يقطع s(t) = 4.9t² مترًا. أوجد سرعته المتوسطة من t = 1 إلى t = 3 s وسرعته اللحظية عند t = 2 s.

    اعرض الإجابة

    المتوسطة: (44.1 − 4.9)/2 = 19.6 m/s. اللحظية: s′(t) = 9.8t، إذن 19.6 m/s عند t = 2.

  3. بيّن أن للمعادلة x³ + x − 1 = 0 جذرًا بين 0 و1.

    اعرض الإجابة

    f(0) = −1 < 0 وf(1) = 1 > 0، وf متصلة، لذا حسب مبرهنة القيمة الوسطى تمر بـ 0 بينهما.

  4. هل f(x) = |x| قابلة للاشتقاق عند 0؟

    اعرض الإجابة

    لا. الميل −1 من اليسار و‎+1 من اليمين، لذا نهاية خارج قسمة الفروق غير موجودة (زاوية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: المتصلة تعني القابلة للاشتقاق.

    في الحقيقة: |x| متصلة عند 0 لكن لا مشتقة لها هناك. أما القابلية للاشتقاق فتستلزم الاتصال.

  • خرافة: المشتقة هي التغيّر في y.

    في الحقيقة: إنها معدل التغيّر: التغيّر في y لكل وحدة تغيّر في x، عند النهاية.

  • خرافة: المماس يلمس المنحنى في نقطة واحدة فقط.

    في الحقيقة: قد يقطع المنحنى في مواضع أخرى، بل وعند نقطة التماس نفسها (كما في y = x³ عند 0).

بطاقات تعليمية

  • الاتصال عند a

    lim f(x) عندما x → a تساوي f(a).

  • مبرهنة القيمة الوسطى

    متصلة على [a, b] ⇒ تُبلَغ كل قيمة بين f(a) وf(b).

  • خارج قسمة الفروق

    [f(x + h) − f(x)]/h، معدل تغيّر متوسط.

  • المشتقة

    نهاية خارج قسمة الفروق؛ معدل التغيّر اللحظي.

  • المماس

    y = f(a) + f′(a)(x − a).

  • قابلة للاشتقاق ⇒ متصلة

    لكن ليس العكس.

اختبار ذاتي

1. إذا كانت s(t) موضعًا بالمتر وt بالثواني، فوحدات s′(t) هي…

اعرض الإجابة

m/s. وحدات f مقسومة على وحدات x.

2. مشتقة x² عند x = 3 تساوي…

اعرض الإجابة

6. f′(x) = 2x.

3. أي دالة متصلة لكنها غير قابلة للاشتقاق عند 0؟

اعرض الإجابة

|x|. لها زاوية عند 0.

4. تتطلب مبرهنة القيمة الوسطى أن تكون الدالة…

اعرض الإجابة

متصلة على [a, b]. الاتصال على الفترة المغلقة هو الفرض الأساسي.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تحوّل المشتقة سجلّ المواقع إلى سرعة. والملاحة بالأقمار الصناعية تفعل ذلك باستمرار: فمثلًا يقيس GRACE-FO كيف تتغيّر المسافة بين قمريه، وتكشف هذه التغيّرات تحوّلات الماء والجليد على الأرض.

المعدلات مع وحداتها هي الطريقة التي يُبلَّغ بها عن تغيّر المناخ عمليًا: أجزاء في المليون من CO₂ لكل سنة، وملّيمترات من مستوى سطح البحر لكل سنة. وقراءة المشتقة مع وحداتها مهارة أساسية في الثقافة العلمية.

على Saving Planets: GRACE-FO · الفيزياء 1 + المختبر

المصادر: NASA JPL: GRACE-FO · OpenStax Calculus 1, 3.1 Defining the Derivative (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسابيع 5–7

قواعد الاشتقاق

قواعد القوة والضرب والقسمة والسلسلة، إضافة إلى مشتقات الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية، والاشتقاق الضمني.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اشتقاق كثيرات الحدود وحواصل الضرب والقسمة والتراكيب بسرعة ودقة.
  • اشتقاق sin وcos وtan وeˣ وln x.
  • استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx.
  • إيجاد المشتقات العليا وتفسير المشتقة الثانية على أنها تسارع.

المفاهيم الأساسية

  • قاعدة القوة: d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹ لأي عدد حقيقي n.
  • قاعدة الضرب: (fg)′ = f′g + fg′. قاعدة القسمة: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
  • قاعدة السلسلة: مشتقة f(g(x)) هي f′(g(x)) · g′(x)، أي مشتقة الخارج في مشتقة الداخل.
  • eˣ هي مشتقة نفسها؛ ومشتقة ln x هي 1/x. ولهذا يظهر e في كل نماذج النمو والتناقص.
  • الاشتقاق الضمني: اشتق الطرفين بالنسبة إلى x، معاملًا y على أنها دالة في x.

المعادلات الأساسية

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
قاعدة القوة
(fg)′=f′g+fg′,(fg)′=f′g−fg′g2(fg)'=f'g+fg',\quad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
قاعدتا الضرب والقسمة
ddxf(g(x))=f′(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)
قاعدة السلسلة
ddxex=ex,ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x
الدالة الأسية واللوغاريتم
ddxsin⁡x=cos⁡x,ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
مشتقات الدوال المثلثية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 اشتق y = x² sin x.

اعرض الخطوات
  1. قاعدة الضرب مع f = x²، g = sin x.
  2. y′ = 2x sin x + x² cos x.

الإجابة: y′ = 2x sin x + x² cos x.

مثال 3.2 اشتق y = (3x² + 1)⁵.

اعرض الخطوات
  1. الخارج: u⁵ → 5u⁴. الداخل: u = 3x² + 1 → 6x.
  2. y′ = 5(3x² + 1)⁴ · 6x.

الإجابة: y′ = 30x(3x² + 1)⁴.

مثال 3.3 أوجد ميل الدائرة x² + y² = 25 عند (3, 4).

اعرض الخطوات
  1. اشتق: 2x + 2y y′ = 0.
  2. y′ = −x/y = −3/4.

الإجابة: −3/4.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. d/dx (3x⁴ − 5x² + 7)

    اعرض الإجابة

    12x³ − 10x.

  2. d/dx ln(x² + 1)

    اعرض الإجابة

    2x/(x² + 1) (قاعدة السلسلة).

  3. d/dx (x/(x + 1))

    اعرض الإجابة

    [(x + 1) − x]/(x + 1)² = 1/(x + 1)².

  4. تنمو كمية وفق Q(t) = 1000e^(0.02t). ما سرعة نموها عند t = 0، وما معدل نموها النسبي؟

    اعرض الإجابة

    Q′(t) = 20e^(0.02t)، إذن 20 وحدة لكل وحدة زمن عند t = 0. وQ′/Q = 0.02، أي 2% ثابتة لكل وحدة زمن.

  5. إذا كانت s(t) = t³ − 6t²، فأوجد السرعة والتسارع عند t = 1.

    اعرض الإجابة

    v = 3t² − 12t = −9; a = 6t − 12 = −6.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: مشتقة حاصل الضرب هي حاصل ضرب المشتقات.

    في الحقيقة: استخدم قاعدة الضرب: (fg)′ = f′g + fg′.

  • خرافة: d/dx sin(3x) = cos(3x).

    في الحقيقة: قاعدة السلسلة: 3 cos(3x).

  • خرافة: d/dx eˣ = x eˣ⁻¹.

    في الحقيقة: لا تنطبق قاعدة القوة على الأسس المتغيرة. d/dx eˣ = eˣ.

بطاقات تعليمية

  • قاعدة القوة

    d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹.

  • قاعدة الضرب

    (fg)′ = f′g + fg′.

  • قاعدة القسمة

    (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².

  • قاعدة السلسلة

    [f(g(x))]′ = f′(g(x)) g′(x).

  • d/dx eˣ

    eˣ.

  • d/dx ln x

    1/x.

اختبار ذاتي

1. d/dx (x⁵) =

اعرض الإجابة

5x⁴. قاعدة القوة.

2. d/dx sin(x²) =

اعرض الإجابة

2x cos(x²). قاعدة السلسلة: cos(x²) · 2x.

3. d/dx ln(5x) =

اعرض الإجابة

1/x. 5/(5x) = 1/x.

4. إذا كان الموضع s(t)، فالتسارع هو…

اعرض الإجابة

s″(t). التسارع هو مشتقة السرعة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تصف نماذج النمو والتناقص المبنية على eˣ نموّ السكان، والتحلل الإشعاعي المستخدم لتأريخ لبّات الجليد، والنمو المركّب للانبعاثات. وتعطي قاعدة السلسلة معدلات تغيّرها في خطوة واحدة.

معدل النمو النسبي (Q′/Q) هو ما يستخدمه العلماء لمقارنة التغيّرات في كميات مختلفة الأحجام جدًا، مثل سرعة تغيّر مساحة غابة أو غاز دفيئة كنسبة مئوية في السنة.

على Saving Planets: ملف إزالة الغابات · رصد الأرض

المصادر: OpenStax Calculus 1, 3.9 Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions (بالإنجليزية) · ناسا: ثاني أكسيد الكربون مؤشرًا حيويًا (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوعان 8–9

التطبيقات I: المعدلات المرتبطة والتقريب وطريقة نيوتن

استخدام المشتقات لربط الكميات المتغيّرة، وتقريب القيم الصعبة، وحساب النهايات المعقدة، وحل المعادلات عدديًا.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حل مسائل المعدلات المرتبطة.
  • استخدام التقريب الخطي والتفاضلات لتقدير القيم والأخطاء.
  • تطبيق قاعدة لوبيتال على الصيغتين 0/0 و∞/∞.
  • حل المعادلات بطريقة نيوتن.

المفاهيم الأساسية

  • المعدلات المرتبطة: اكتب معادلة تربط الكميات، واشتق بالنسبة إلى الزمن، ثم عوّض القيم.
  • قرب x = a، f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a): المماس هو أفضل تقدير بخط مستقيم.
  • قاعدة لوبيتال: في 0/0 أو ∞/∞، lim f/g = lim f′/g′ إذا وُجد الطرف الأيمن.
  • طريقة نيوتن: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). وعادةً ما تتقارب بسرعة كبيرة من تخمين أولي جيد.

المعادلات الأساسية

L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
التقريب الخطي
lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}
قاعدة لوبيتال (0/0 أو ∞/∞)
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
طريقة نيوتن

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 يزداد نصف قطر منطاد طقس كروي بمعدل 2 cm/s. ما سرعة ازدياد حجمه عندما r = 10 cm؟

اعرض الخطوات
  1. V = (4/3)πr³، إذن dV/dt = 4πr² dr/dt.
  2. dV/dt = 4π × 10² × 2 = 800π ≈ 2,513 cm³/s.

الإجابة: نحو 2510 cm³/s.

مثال 4.2 قدّر √4.1 بتقريب خطي.

اعرض الخطوات
  1. f(x) = √x, a = 4: f(4) = 2, f′(4) = 1/(2√4) = 1/4.
  2. L(4.1) = 2 + (1/4)(0.1) = 2.025.

الإجابة: 2.025 (القيمة الحقيقية 2.02485…).

مثال 4.3 استخدم طريقة نيوتن لحل x² = 2 بدءًا من x₀ = 1.

اعرض الخطوات
  1. f(x) = x² − 2، f′(x) = 2x، إذن xₙ₊₁ = xₙ − (xₙ² − 2)/(2xₙ).
  2. x₁ = 1.5, x₂ = 1.416667, x₃ = 1.414216.

الإجابة: x₃ = 1.414216، صحيح بالفعل حتى 6 أرقام معنوية (√2 = 1.4142136…).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. سُلّم طوله 5 m ينزلق على جدار؛ وتبتعد قاعدته بسرعة 0.5 m/s. ما سرعة هبوط أعلاه عندما تكون القاعدة على بُعد 3 m من الجدار؟

    اعرض الإجابة

    x² + y² = 25، إذن x x′ + y y′ = 0. مع x = 3، y = 4: ‏y′ = −(3/4)(0.5) = −0.375 m/s، أي يهبط بسرعة 0.375 m/s.

  2. lim (eˣ − 1)/x عندما x → 0

    اعرض الإجابة

    لوبيتال: eˣ/1 → 1.

  3. طريقة نيوتن للمعادلة x³ − 2x − 5 = 0 بدءًا من x₀ = 2. أوجد x₁ وx₂.

    اعرض الإجابة

    f(2) = −1، f′(2) = 10، إذن x₁ = 2.1. f(2.1) = 0.061، f′(2.1) = 11.23، إذن x₂ = 2.0946.

  4. استخدم التفاضلات لتقدير التغيّر في مساحة قرص نصف قطره 10 cm إذا زاد نصف القطر بمقدار 0.1 cm.

    اعرض الإجابة

    dA = 2πr dr = 2π × 10 × 0.1 = 2π ≈ 6.28 cm².

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: قاعدة لوبيتال تعني اشتقاق خارج القسمة f/g.

    في الحقيقة: اشتق البسط والمقام كلًّا على حدة، وفقط في الصيغتين 0/0 أو ∞/∞.

  • خرافة: في المعدلات المرتبطة، عوّض الأرقام أولًا ثم اشتق.

    في الحقيقة: اشتق أولًا؛ فالتعويض المبكر يحوّل المتغيرات إلى ثوابت مشتقتها صفر.

  • خرافة: طريقة نيوتن تجد جذرًا دائمًا.

    في الحقيقة: نقطة بداية سيئة، أو f′ قريبة من الصفر، قد تُبعدها أو تجعلها تدور في حلقة.

بطاقات تعليمية

  • المعدلات المرتبطة

    اشتقاق معادلة تربط بين الكميات بالنسبة إلى t.

  • التقريب الخطي

    f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a).

  • التفاضل

    dy = f′(x) dx.

  • قاعدة لوبيتال

    في 0/0 أو ∞/∞: lim f/g = lim f′/g′.

  • طريقة نيوتن

    xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).

  • التقارب التربيعي

    قرب جذر بسيط، تضاعف طريقة نيوتن تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة.

اختبار ذاتي

1. يستخدم التقريب الخطي…

اعرض الإجابة

المماس. L(x) هو المماس عند a.

2. تنطبق قاعدة لوبيتال على…

اعرض الإجابة

الصيغتين 0/0 و∞/∞. خوارج القسمة غير المعيّنة فقط.

3. خطوة واحدة من طريقة نيوتن على f(x) = x² − 9 بدءًا من x₀ = 4 تعطي…

اعرض الإجابة

3.125. 4 − 7/8 = 3.125.

4. إذا كان V = s³ وds/dt = 1، فإن dV/dt عند s = 2 تساوي…

اعرض الإجابة

12. 3s² ds/dt = 12.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

التنبؤ بموضع قمر صناعي يعني حل معادلة كبلر، M = E − e sin E، بالنسبة إلى E. لا حل جبريًا لها، لذا تُحلّ عادةً عدديًا، وغالبًا بطريقة نيوتن كما في المختبر B. والتنبؤ الدقيق بالمدارات يُبقي أقمار رصد الأرض متباعدة بأمان ويضع صورها في مكانها الصحيح على الخريطة.

تحمل مناطيد الطقس، مثل الذي في المثال 4.1، أجهزة تقيس الغلاف الجوي من أجل التنبؤات الجوية؛ وتربط المعدلات المرتبطة بين سرعة صعودها وتمددها.

على Saving Planets: دليل المدارات · حاسبة الدورة المدارية

المصادر: OpenStax Calculus 1, 4.9 Newton’s Method (بالإنجليزية) · OpenStax University Physics 1, 13.5 Kepler’s Laws (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوعان 10–11

التطبيقات II: القيم القصوى وشكل المنحنى والتحسين

إيجاد القيم العظمى والصغرى، وقراءة شكل المنحنى من f′ وf″، وحل مسائل تصميم حقيقية بالتحسين.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إيجاد النقاط الحرجة والقيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة.
  • صياغة مبرهنة القيمة المتوسطة واستخدامها.
  • استخدام اختباري المشتقة الأولى والثانية وإيجاد نقاط الانعطاف.
  • صياغة مسائل التحسين التطبيقية وحلها.

المفاهيم الأساسية

  • النقاط الحرجة هي حيث f′ = 0 أو حيث لا توجد f′. والقيم القصوى للدالة الملساء تقع عندها أو عند طرفي الفترة.
  • مبرهنة القيمة المتوسطة: على فترة ملساء، يساوي المعدل اللحظي المعدل المتوسط في موضع ما.
  • f′ > 0 تعني متزايدة؛ وf″ > 0 تعني مقعّرة إلى الأعلى. ونقطة الانعطاف هي حيث يتغيّر التقعّر.
  • وصفة التحسين: ارسم المسألة، واكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغير واحد باستخدام القيد، واشتق، وأوجد النقاط الحرجة، وافحص الطرفين.

المعادلات الأساسية

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
مبرهنة القيمة المتوسطة
f′(c)=0, f′′(c)<0⇒local maxf'(c)=0,\ f''(c)<0\Rightarrow\text{local max}
اختبار المشتقة الثانية
Cp(a)=4a(1−a)2C_p(a)=4a(1-a)^2
معامل قدرة توربين الرياح مقابل الحث المحوري a (نموذج القرص المشغّل)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 أوجد القيم القصوى المحلية للدالة f(x) = x³ − 3x.

اعرض الخطوات
  1. f′(x) = 3x² − 3 = 0 عند x = ±1.
  2. f″(x) = 6x: ‏f″(−1) = −6 < 0 (عظمى)، f″(1) = 6 > 0 (صغرى).
  3. f(−1) = 2, f(1) = −2.

الإجابة: قيمة عظمى محلية 2 عند x = −1؛ وصغرى محلية −2 عند x = 1.

مثال 5.2 علبة أسطوانية مغلقة يجب أن تتسع لـ 500 cm³. ما نصف القطر الذي يستهلك أقل قدر من المعدن؟

اعرض الخطوات
  1. القيد: πr²h = 500، إذن h = 500/(πr²).
  2. المساحة A = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1000/r.
  3. A′ = 4πr − 1000/r² = 0 يعطي r³ = 500/(2π)، r = 4.30 cm.
  4. إذن h = 8.60 cm = 2r، وA = 349 cm².

الإجابة: r = 4.30 cm، h = 8.60 cm (الارتفاع يساوي القطر).

مثال 5.3 في أبسط نموذج لتوربين الرياح، يكون الجزء المُلتقَط من قدرة الرياح Cp = 4a(1 − a)²، حيث a مقدار إبطاء الدوّار للرياح. أوجد القيمة العظمى.

اعرض الخطوات
  1. Cp′ = 4(1 − a)² − 8a(1 − a) = 4(1 − a)(1 − 3a).
  2. النقطتان الحرجتان a = 1 وa = 1/3؛ وa = 1 تعطي Cp = 0.
  3. Cp(1/3) = 4 × (1/3) × (2/3)² = 16/27 = 0.593.

الإجابة: 59.3%: حدّ بيتز، الحد الأقصى النظري لأي توربين رياح.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. لدى مزارع 100 m من السياج لثلاثة أضلاع من مستطيل بمحاذاة نهر. ما أكبر مساحة ممكنة؟

    اعرض الإجابة

    A = x(100 − 2x)؛ A′ = 100 − 4x = 0 عند x = 25. المساحة = 25 × 50 = 1250 m².

  2. أوجد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين للدالة f(x) = x² − 4x على [0, 5].

    اعرض الإجابة

    النقطة الحرجة x = 2: ‏f = −4. الطرفان: f(0) = 0، f(5) = 5. العظمى 5، والصغرى −4.

  3. تحقق من مبرهنة القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² على [1, 3].

    اعرض الإجابة

    المعدل المتوسط (9 − 1)/2 = 4؛ f′(c) = 2c = 4 عند c = 2، داخل [1, 3].

  4. أين تكون f(x) = x³ − 6x² مقعّرة إلى الأعلى؟

    اعرض الإجابة

    f″ = 6x − 12 > 0 عندما x > 2؛ ونقطة انعطاف عند x = 2.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: f′(c) = 0 تعني دائمًا قيمة عظمى أو صغرى.

    في الحقيقة: للدالة x³ قيمة f′(0) = 0 لكن لا قيمة قصوى هناك.

  • خرافة: القيمة العظمى المطلقة تقع دائمًا عند نقطة حرجة.

    في الحقيقة: على فترة مغلقة قد تقع عند أحد الطرفين. افحصهما دائمًا.

  • خرافة: المقعّرة إلى الأعلى تعني متزايدة.

    في الحقيقة: التقعّر يتعلق بـ f″؛ فقد تكون الدالة مقعّرة إلى الأعلى ومتناقصة معًا، مثل e⁻ˣ.

بطاقات تعليمية

  • نقطة حرجة

    f′ = 0 أو غير معرّفة.

  • مبرهنة القيمة القصوى

    متصلة على [a, b] ⇒ توجد قيمتان عظمى وصغرى مطلقتان.

  • مبرهنة القيمة المتوسطة

    f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a) لقيمة ما c.

  • اختبار المشتقة الأولى

    تغيّر إشارة f′ من + إلى − يعني قيمة عظمى؛ ومن − إلى + يعني صغرى.

  • التقعّر

    f″ > 0 إلى الأعلى، f″ < 0 إلى الأسفل.

  • حدّ بيتز

    Max Cp = 16/27 ≈ 59.3%.

اختبار ذاتي

1. إذا كانت f′(c) = 0 وf″(c) > 0، فإن للدالة f عند c…

اعرض الإجابة

قيمة صغرى محلية. تقعّر إلى الأعلى عند نقطة مستوية: وادٍ.

2. حدّ بيتز لتوربينات الرياح يساوي نحو…

اعرض الإجابة

59%. 16/27 ≈ 0.593، من تعظيم 4a(1 − a)².

3. تضمن مبرهنة القيمة المتوسطة وجود نقطة حيث…

اعرض الإجابة

f′ تساوي معدل التغيّر المتوسط. المعدل اللحظي = المعدل المتوسط.

4. نقطة الانعطاف هي حيث…

اعرض الإجابة

يتغيّر التقعّر. تتغيّر إشارة f″.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

التحسين هندسة. فحدّ بيتز في المثال 5.3 ينتج عن مساواة مشتقة واحدة بالصفر، ويخبر مهندسي الرياح بأقصى ما يمكن لأي توربين أن يستخلصه من الرياح.

مصممو البعثات يحسّنون أيضًا: فمناورة هوهمان هي عادةً المسار الأوفر وقودًا بإشعالين بين مدارين دائريين، وقلة الوقود الدافع تعني عمليات إطلاق أصغر وأرخص لأقمار المناخ والطقس.

استخدام أقل قدر من المواد لأداء مهمة، مثل العلبة في المثال 5.2، يقلل الطاقة والموارد اللازمة لصنعها.

على Saving Planets: حاسبة مناورة هوهمان · الفيزياء I، الوحدة 4: طاقة الرياح

المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية) · OpenStax Calculus 1, 4.7 Applied Optimization Problems (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسابيع 12–14

التكاملات والمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل

تجمع التكاملات قطعًا صغيرة جدًا: المساحة والمسافة والطاقة. وتربطها المبرهنة الأساسية بالمشتقات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تقريب المساحات بمجاميع ريمان وقاعدة شبه المنحرف.
  • تعريف التكامل المحدد واستخدام خصائصه.
  • استخدام جزأي المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل.
  • إيجاد الدوال الأصلية، بما في ذلك بالتعويض، وحساب التغيّر الصافي والقيمة المتوسطة والمساحات بين المنحنيات.

المفاهيم الأساسية

  • يجمع مجموع ريمان f(xᵢ)Δx على شرائح صغيرة؛ والتكامل المحدد هو نهايته حين تضيق الشرائح.
  • المبرهنة الأساسية، الجزء 1: d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x). التكامل والاشتقاق يلغي كلٌّ منهما الآخر.
  • المبرهنة الأساسية، الجزء 2: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) لأي دالة أصلية F.
  • مبرهنة التغيّر الصافي: تكامل المعدل يعطي التغيّر الكلي. تكامل القدرة يعطي الطاقة، وتكامل السرعة يعطي الإزاحة.
  • التعويض هو قاعدة السلسلة معكوسةً.

المعادلات الأساسية

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)Δx\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x
التكامل المحدد
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
المبرهنة الأساسية، الجزء 1
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)
المبرهنة الأساسية، الجزء 2
∫xn dx=xn+1n+1+C (n≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1),\quad \int\frac1x\,dx=\ln|x|+C
الدوال الأصلية الأساسية
favg=1b−a∫abf(x) dxf_{avg}=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx
القيمة المتوسطة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 احسب ∫₀² x² dx.

اعرض الخطوات
  1. الدالة الأصلية x³/3.
  2. 8/3 − 0 = 8/3.

الإجابة: 8/3 ≈ 2.667.

مثال 6.2 احسب ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.

اعرض الخطوات
  1. ليكن u = x² + 1، du = 2x dx؛ وتتغيّر u من 1 إلى 2.
  2. ∫₁² u³ du = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4.

الإجابة: 15/4 = 3.75.

مثال 6.3 في يوم صافٍ، يُمثَّل إنتاج مصفوفة شمسية بـ P(t) = 5 sin(πt/12) kW حيث 0 ≤ t ≤ 12 ساعة بعد الشروق. كم من الطاقة تنتج؟

اعرض الخطوات
  1. الطاقة = ∫₀¹² 5 sin(πt/12) dt.
  2. الدالة الأصلية: −(60/π) cos(πt/12).
  3. −(60/π)(cos π − cos 0) = 120/π.

الإجابة: 120/π ≈ 38.2 kWh (نموذج مبسّط، لا مصفوفة حقيقية).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ∫₀^π sin x dx

    اعرض الإجابة

    [−cos x]₀^π = 1 + 1 = 2.

  2. d/dx ∫₀ˣ cos(t²) dt

    اعرض الإجابة

    cos(x²)، حسب الجزء 1 من المبرهنة الأساسية.

  3. سرعة صاروخ إلى الأعلى v(t) = 9.8t m/s لمدة 3 s. كم يرتفع؟

    اعرض الإجابة

    ∫₀³ 9.8t dt = 4.9 × 9 = 44.1 m.

  4. أوجد المساحة بين y = x وy = x² على [0, 1].

    اعرض الإجابة

    ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

  5. أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² على [0, 3].

    اعرض الإجابة

    (1/3) ∫₀³ x² dx = (1/3)(9) = 3.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التكامل مساحة دائمًا، لذا فهو موجب دائمًا.

    في الحقيقة: إنها مساحة ذات إشارة: الأجزاء تحت المحور تُحسب سالبة. ∫₀^{2π} sin x dx = 0.

  • خرافة: نسيان + C لا يهم.

    في الحقيقة: في التكاملات غير المحددة، الثابت جزء من الإجابة؛ ويهم كلما أُعطي شرط ابتدائي.

  • خرافة: في التعويض، احتفظ بالحدود القديمة.

    في الحقيقة: حوّل الحدود إلى قيم u، أو أعد التعويض قبل الحساب.

بطاقات تعليمية

  • مجموع ريمان

    Σ f(xᵢ*) Δx؛ تقدير للمساحة.

  • التكامل المحدد

    نهاية مجاميع ريمان؛ مساحة ذات إشارة.

  • المبرهنة الأساسية، الجزء 1

    d/dx ∫ₐˣ f = f(x).

  • المبرهنة الأساسية، الجزء 2

    ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).

  • التغيّر الصافي

    تكامل المعدل = التغيّر الكلي.

  • التعويض

    u = g(x)، du = g′(x) dx: قاعدة السلسلة معكوسةً.

اختبار ذاتي

1. ∫₁³ 2x dx =

اعرض الإجابة

8. [x²]₁³ = 9 − 1 = 8.

2. تكامل منحنى القدرة (kW) عبر الزمن (h) يعطي…

اعرض الإجابة

kWh من الطاقة. مبرهنة التغيّر الصافي: تكامل المعدل مجموع كلي.

3. d/dx ∫₂ˣ t³ dt =

اعرض الإجابة

x³. المبرهنة الأساسية، الجزء 1.

4. ∫ 1/x dx =

اعرض الإجابة

ln|x| + C. الاستثناء n = −1 من قاعدة القوة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الطاقة هي تكامل القدرة عبر الزمن. ويجمع مخططو الشبكة الكهربائية إنتاج الشمس والرياح ساعة بساعة بهذه الطريقة ليعرفوا كم من الطاقة النظيفة سيحصلون عليه وكم يحتاجون من التخزين.

تقيس أجهزة الأقمار الصناعية معدلات، مثل تدفق ضوء الشمس أو الماء، وتحوّل التكاملات هذه المعدلات إلى مجاميع: كم من الطاقة تمتص الأرض، أو كم من الماء يكسب حوض نهر أو يفقده خلال موسم.

التكامل العددي في المختبر D هو بالضبط طريقة تكامل البيانات الحقيقية التي تأتي على شكل قياسات منفصلة.

على Saving Planets: GRACE-FO · الحاسبات

المصادر: OpenStax Calculus 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (بالإنجليزية) · وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبرات الحاسوبية

لا يوجد مختبر تجارب للتفاضل والتكامل، لذا تضم هذه الدورة بدلًا من ذلك أربعة مختبرات حاسوبية قصيرة. كل منها يطبّق وحدة على بيانات شبيهة بالواقع باستخدام جدول بيانات: الفروق المنتهية، وطريقة نيوتن، والتحسين، والتكامل العددي.

هذه هي الطرق العددية نفسها التي يستخدمها المهندسون وعلماء المناخ كل يوم. والبيانات النموذجية في كل مختبر للتدريب؛ ويرتبط كل مختبر بمصدر البيانات الحقيقي.

مرجع السلامة: مختبر الرصد العالمي التابع لـ NOAA: اتجاهات CO₂ (بالإنجليزية)

المختبر A: معدلات التغيّر من البيانات

الأسبوع 4

الهدف: تقدير معدل التغيّر وتسارعه من جدول قياسات، كما يعالج علماء المناخ سجل CO₂.

f′(ti)≈f(ti+1)−f(ti−1)ti+1−ti−1,f′′(ti)≈f(ti+1)−2f(ti)+f(ti−1)h2f'(t_i)\approx\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{t_{i+1}-t_{i-1}},\quad f''(t_i)\approx\frac{f(t_{i+1})-2f(t_i)+f(t_{i-1})}{h^2}
الفروق المركزية للمشتقتين الأولى والثانية

الإجراء

  1. أدخل الجدول النموذجي في جدول بيانات.
  2. احسب الفروق الأمامية (المعدل في كل سنة) والفروق المركزية.
  3. احسب الفرق الثاني: هل المعدل نفسه يزداد؟
  4. نزّل المتوسطات السنوية الحقيقية من NOAA وكرّر؛ وقارن بمعدلات النمو التي تنشرها NOAA.

جدول البيانات

السنة tC (جزء في المليون)
0400.0
1402.4
2404.9
3407.5
4410.2

قيم نموذجية للتدريب، وليست قياسات حقيقية. استخدم بيانات NOAA للعمل الحقيقي.

مثال حسابي

  1. الفرق المركزي عند t = 2: ‏(407.5 − 402.4)/2 = 2.55 جزء في المليون لكل سنة.
  2. الفرق الثاني عند t = 2: ‏407.5 − 2(404.9) + 402.4 = 0.1 جزء في المليون لكل سنة².
  3. الفرق الثاني الموجب يعني أن معدل النمو نفسه يتزايد (في هذه العينة).

السلامة

  • احتفظ بنسخة سليمة من البيانات الخام؛ وأجرِ الحسابات في أعمدة جديدة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • كل شيء هنا يُنجز على الحاسوب أو حتى يدويًا.

NOAA GML: معدلات نمو CO₂ (بالإنجليزية)

الصلة بالكوكب: معدلات التغيّر هي طريقة الإبلاغ عن اتجاهات CO₂ ومقارنتها. NOAA GML: اتجاهات CO₂ في الغلاف الجوي (بالإنجليزية)

المختبر B: طريقة نيوتن ومعادلة كبلر

الأسبوع 9

الهدف: حل معادلة كبلر M = E − e sin E لإيجاد الشذوذ اللامركزي E لقمر صناعي، وهي الخطوة الأساسية في التنبؤ بموضعه.

En+1=En−En−esin⁡En−M1−ecos⁡EnE_{n+1}=E_n-\frac{E_n-e\sin E_n-M}{1-e\cos E_n}
طريقة نيوتن لمعادلة كبلر

الإجراء

  1. ضع M = 1.0 rad وe = 0.1 في جدول بيانات؛ وابدأ بـ E₀ = M.
  2. انسخ صيغة نيوتن إلى الأسفل في أربعة صفوف.
  3. لاحظ كم رقمًا يتوقف عن التغيّر في كل خطوة.
  4. جرّب e = 0.9 وE₀ = M: كم خطوة تحتاج الآن؟

جدول البيانات

الخطوة nEₙ (rad)
01.000000
11.088953
21.088598
31.088598

قيم محسوبة (M = 1.0 rad، e = 0.1).

مثال حسابي

  1. f(E) = E − 0.1 sin E − 1؛ f′(E) = 1 − 0.1 cos E.
  2. بدءًا من E₀ = 1: ‏E₁ = 1.088953، E₂ = 1.088598، وبعدها تتوقف أول 7 أرقام عن التغيّر.
  3. التحقق: 1.088598 − 0.1 sin(1.088598) = 1.000000.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات أو Desmos.

OpenStax Calculus 1, 4.9 Newton’s Method (بالإنجليزية)

الصلة بالكوكب: التنبؤ بالمدارات يحمي أقمار رصد الأرض ويضع بياناتها في مكانها الصحيح.

المختبر C: تحسين توربين رياح

الأسبوع 11

الهدف: التحقق من حدّ بيتز عدديًا وبالتفاضل والتكامل.

Cp(a)=4a(1−a)2,Cp′(a)=4(1−a)(1−3a)C_p(a)=4a(1-a)^2,\quad C_p'(a)=4(1-a)(1-3a)
معامل القدرة ومشتقته

الإجراء

  1. أنشئ جدولًا لـ Cp عند a من 0 إلى 0.5 بخطوات 0.05 وارسمه.
  2. أوجد أكبر قيمة في الجدول.
  3. حلّ Cp′(a) = 0 يدويًا وقارن.

جدول البيانات

aCp
0.200.512
0.300.588
1/30.593
0.400.576

قيم محسوبة من النموذج.

مثال حسابي

  1. Cp(0.3) = 4 × 0.3 × 0.7² = 0.588.
  2. Cp(1/3) = 16/27 = 0.593، القيمة العظمى.
  3. تلتقط التوربينات الحقيقية أقل بسبب السحب ودوران الأثر وخسائر أطراف الشفرات.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات أو Desmos.

وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية)

الصلة بالكوكب: معرفة السقف تخبر المهندسين بمقدار التحسين الذي لا يزال ممكنًا.

المختبر D: التكامل العددي للطاقة الشمسية

الأسبوع 13

الهدف: تكامل منحنى قدرة بقاعدتي النقطة الوسطى وشبه المنحرف ومقارنة النتيجة بالإجابة الدقيقة.

Tn=Δt2[f0+2f1+⋯+2fn−1+fn]T_n=\frac{\Delta t}2\left[f_0+2f_1+\dots+2f_{n-1}+f_n\right]
قاعدة شبه المنحرف

الإجراء

  1. النموذج P(t) = 5 sin(πt/12) kW على 0 ≤ t ≤ 12 h.
  2. مع n = 6 شرائح (Δt = 2 h)، احسب مجموعي النقطة الوسطى وشبه المنحرف.
  3. قارن بالقيمة الدقيقة 120/π kWh. ضاعف n وراقب الأخطاء وهي تصغر.

جدول البيانات

الطريقة (n = 6)الطاقة (kWh)
النقطة الوسطى38.64
شبه المنحرف37.32
دقيقة (المبرهنة الأساسية)38.20

قيم النموذج، وليست بيانات من مصفوفة حقيقية.

مثال حسابي

  1. شبه المنحرف: 2 × [0 + 2(2.5 + 4.330 + 5 + 4.330 + 2.5)]/2 = 37.32 kWh.
  2. النقطة الوسطى: 2 × Σ P عند t = 1, 3, …, 11 = 38.64 kWh.
  3. الأخطاء: النقطة الوسطى ‎+0.44، وشبه المنحرف ‎−0.88. خطأ النقطة الوسطى نحو نصف خطأ شبه المنحرف وبإشارة معاكسة، كما تتنبأ النظرية.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات أو Desmos.

OpenStax Calculus 1, 5.1 Approximating Areas (بالإنجليزية)

الصلة بالكوكب: هكذا تُجمع بيانات الطاقة الحقيقية كل ساعة لتخطيط الكهرباء النظيفة والتخزين.

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تدريب منتصف الفصل (الوحدات 1–3)

  1. أوجد lim (x − 4)/(√x − 2) عندما x → 4.

    اعرض الحل الكامل
    1. اضرب في √x + 2: ‏(x − 4)(√x + 2)/(x − 4) = √x + 2.
    2. عوّض x = 4: ‏2 + 2.

    الإجابة: 4.

  2. اشتق y = x³eˣ واحسبها عند x = 1.

    اعرض الحل الكامل
    1. قاعدة الضرب: y′ = 3x²eˣ + x³eˣ = (3x² + x³)eˣ.
    2. At x = 1: 4e.

    الإجابة: 4e ≈ 10.87.

  3. أوجد المماس للمنحنى y = ln x عند x = 1.

    اعرض الحل الكامل
    1. y(1) = 0, y′ = 1/x = 1.
    2. y − 0 = 1(x − 1).

    الإجابة: y = x − 1.

  4. اشتق y = sin(3x²).

    اعرض الحل الكامل
    1. قاعدة السلسلة: cos(3x²) · 6x.

    الإجابة: y′ = 6x cos(3x²).

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. يتدفق الماء إلى خزان أسطواني نصف قطره 2 m بمعدل 0.5 m³/min. ما سرعة ارتفاع المستوى؟

    اعرض الحل الكامل
    1. V = πr²h = 4πh، إذن dV/dt = 4π dh/dt.
    2. dh/dt = 0.5/(4π).

    الإجابة: نحو 0.0398 m/min (4.0 cm في الدقيقة).

  2. احسب ∫₁ᵉ (1/x) dx.

    اعرض الحل الكامل
    1. [ln x]₁ᵉ = 1 − 0.

    الإجابة: 1.

  3. احسب ∫₀⁴ √x dx.

    اعرض الحل الكامل
    1. الدالة الأصلية (2/3)x^(3/2).
    2. (2/3)(8) = 16/3.

    الإجابة: 16/3 ≈ 5.33.

  4. مستطيل محيطه 40 m. ما الأبعاد التي تجعل مساحته أكبر ما يمكن؟

    اعرض الحل الكامل
    1. A = x(20 − x)؛ A′ = 20 − 2x = 0 عند x = 10.

    الإجابة: مربع 10 m × 10 m، مساحته 100 m².

  5. استخدم قاعدة لوبيتال لإيجاد lim x²/eˣ عندما x → ∞.

    اعرض الحل الكامل
    1. ∞/∞: → 2x/eˣ، وما زالت ∞/∞.
    2. → 2/eˣ → 0.

    الإجابة: 0: الدوال الأسية تتفوق في النمو على أي قوة.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

f′(x)=lim⁡h→0[f(x+h)−f(x)]/hf'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h
(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}
(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
(f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1/x(e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=1/x
(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (tan⁡x)′=sec⁡2x(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=\sec^2x
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
f′(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a)f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
∫xn dx=xn+1/(n+1)+C\int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C
∫ex dx=ex+C, ∫dx/x=ln⁡∣x∣+C\int e^x\,dx=e^x+C,\ \int dx/x=\ln|x|+C
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C, ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\ \int\cos x\,dx=\sin x+C
∫abf dx=F(b)−F(a)\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a)
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
favg=1b−a∫abf dxf_{avg}=\frac1{b-a}\int_a^bf\,dx

الثوابت

الثابتالقيمة
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
1 راديان57.2958°

المصدر: NIST: الثوابت الفيزيائية الأساسية (بالإنجليزية)

العودة إلى الأعلى

أدوات الرسم البياني والبيانات

استخدم هذه الأدوات ومصادر البيانات المجانية إلى جانب الدورة.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الدالة الأصلية
دالة F تحقق F′ = f.
الخط المقارب
مستقيم يقترب منه المنحنى في البعيد أو قرب موضع انفجاره.
قاعدة السلسلة
مشتقة التركيب: مشتقة الخارج × مشتقة الداخل.
التقعّر
اتجاه انحناء المنحنى؛ إشارة f″.
الاتصال
لا انقطاع: النهاية تساوي قيمة الدالة.
نقطة حرجة
حيث تكون f′ صفرًا أو غير معرّفة.
التكامل المحدد
مساحة ذات إشارة تحت منحنى بين حدّين.
المشتقة
معدل التغيّر اللحظي؛ ميل المماس.
التفاضل
dy = f′(x) dx.
المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل
تربط المشتقات بالتكاملات؛ ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).
صيغة غير معيّنة
0/0 أو ∞/∞؛ تحتاج إلى مزيد من العمل.
نقطة الانعطاف
حيث يتغيّر التقعّر.
النهاية
القيمة التي تقترب منها الدالة.
التقريب الخطي
تقدير بالمماس.
مبرهنة القيمة المتوسطة
المعدل اللحظي يساوي المعدل المتوسط في موضع ما.
طريقة نيوتن
إيجاد الجذور بالتكرار باستخدام المماسات.
التحسين
إيجاد أفضل قيمة لكمية في ظل قيود.
مجموع ريمان
مجموع مساحات مستطيلات يقرّب التكامل.
التعويض
تقنية تكامل تعكس قاعدة السلسلة.
قاعدة شبه المنحرف
تكامل عددي باستخدام أشباه المنحرف.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيحلّ مسائل جديدة، ويبرّر كل خطوة بقاعدة أو مبرهنة، ويتحقق من الإجابات بمنحنى أو تقدير.
3 · متمكنيحلّ التمارين بشكل صحيح مع زلات جبرية عرضية.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يجد صعوبة في اختيار الطريقة، أو يطبّق قاعدة السلسلة خطأً.
1 · مبتدئيحفظ الصيغ دون أن يعرف متى تنطبق؛ يحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين30%
المختبرات الحاسوبية15%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع