Analisi I

Limiti, derivate, ottimizzazione, integrali e teorema fondamentale, con quattro laboratori al computer su tassi di variazione reali. Gratuito, al tuo ritmo e legato a un vero lavoro per salvare il pianeta.

NASA Blue MarbleNASA/JPL-Caltech (PIA22431)NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)

Corsi › MATH 110

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Informazioni sul corso

Questo è lo schema di un corso gratuito di autoapprendimento scritto da Saving Planets. Non è un corso universitario, non dà crediti accademici e nessuna scuola è coinvolta.

Il programma segue il primo semestre di analisi all’università (calcolo differenziale in una variabile e un’introduzione agli integrali), sul modello dei temi e del livello di materiali aperti come OpenStax Calculus Volume 1 e MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus, a cui rimandiamo in tutto il corso. Queste organizzazioni non sostengono questa pagina.

Cosa aggiungiamo: ogni unità collega l’analisi a problemi reali di clima, energia e volo spaziale, ogni numero della pagina viene ricalcolato da uno script di verifica prima della pubblicazione, e quattro laboratori al computer ti fanno applicare l’analisi ai dati come fanno scienziati e ingegneri.

Seguilo in ordine. Ogni unità ha obiettivi, idee chiave, equazioni, esempi passo per passo, esercizi con soluzioni complete, errori comuni, flashcard e un quiz. I tuoi progressi sono salvati solo in questo browser.

Come questo corso aiuta a salvare il pianeta

L’analisi è la matematica del cambiamento. I climatologi usano le derivate per trasformare una serie di misure di anidride carbonica o di ghiaccio marino in un tasso di variazione, gli ingegneri usano l’ottimizzazione per ricavare più energia dal vento e più missione da ogni chilogrammo di propellente, e gli integrali sommano la potenza per ottenere energia.

Ogni unità si chiude con una breve sezione con fonti che mostra come le sue idee aiutano persone e natura.

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Prima di iniziare

Prerequisiti

  • Algebra: scomposizione, espressioni razionali, risoluzione di equazioni e disequazioni.
  • Funzioni e grafici: dominio, immagine, composizione, funzioni inverse.
  • Trigonometria: radianti, circonferenza goniometrica, seno, coseno, tangente e identità di base.
  • Funzioni esponenziali e logaritmiche, inclusi e e ln.

Come studiare

  • Leggi l’unità, poi chiudila e prova da solo gli esempi svolti prima di controllare ogni passaggio.
  • Svolgi ogni esercizio su carta prima di aprire la risposta.
  • Disegna un grafico ogni volta che puoi. La maggior parte degli errori di analisi si vede in un disegno che non ha senso.
  • Controlla le derivate stimando numericamente la pendenza, e gli integrali stimando l’area.
  • Usa uno strumento grafico come Desmos per mettere alla prova l’intuizione, mai per sostituire il lavoro.
  • Rifai i quiz qualche giorno dopo. La pratica distribuita batte una lunga sessione unica.

Attrezzatura di laboratorio (per i laboratori reali)

  • Un computer o un tablet con un foglio di calcolo (Google Sheets, Excel o LibreOffice).
  • Una calcolatrice grafica gratuita come Desmos.
  • Facoltativo: Python con NumPy, per chi vuole programmare i laboratori.

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Programma suggerito di 15 settimane

Circa 6-9 ore a settimana: lettura, esercizi e, nelle settimane di laboratorio, il laboratorio.

SettimanaUnitàArgomentiLettura
1Funzioni e limitiRipasso delle funzioni; l’idea di limite; limiti da grafici e tabelleOpenStax 1.1–1.5, 2.1–2.2
2Funzioni e limitiProprietà dei limiti; tecniche algebriche; limiti trigonometrici notevoliOpenStax 2.3
3Funzioni e limitiLimiti all’infinito; asintoti; la definizione rigorosaOpenStax 2.5, 4.6
4Continuità e derivataContinuità, teorema dei valori intermedi, la derivata; laboratorio AOpenStax 2.4, 3.1–3.2
5Regole di derivazioneRegole della potenza, del prodotto e del quoziente; derivate di ordine superioreOpenStax 3.3–3.4
6Regole di derivazioneDerivate trigonometriche; la regola della catenaOpenStax 3.5–3.6
7Regole di derivazioneDerivazione implicita; derivate di esponenziali e logaritmi; esercitazione di metà corsoOpenStax 3.7–3.9
8Applicazioni I: tassi correlati, approssimazione e metodo di NewtonTassi correlati; approssimazione lineare e differenzialiOpenStax 4.1–4.2
9Applicazioni I: tassi correlati, approssimazione e metodo di NewtonRegola di de L’Hôpital; metodo di Newton; laboratorio BOpenStax 4.8–4.9
10Applicazioni II: estremi, forma del grafico e ottimizzazioneEstremi, teorema di Lagrange, forma del graficoOpenStax 4.3–4.5
11Applicazioni II: estremi, forma del grafico e ottimizzazioneOttimizzazione applicata; laboratorio COpenStax 4.7
12Integrali e teorema fondamentale del calcoloSomme di Riemann e integrale definitoOpenStax 5.1–5.2
13Integrali e teorema fondamentale del calcoloIl teorema fondamentale; laboratorio DOpenStax 5.3–5.4
14Integrali e teorema fondamentale del calcoloSostituzione; valore medio; aree tra curveOpenStax 5.5, 6.1
15RipassoRipasso ed esercitazione finaleTutte le unità

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I tuoi progressi

Spunta unità e laboratori man mano che li finisci, e fai i quiz. Progressi e punteggi sono salvati solo in questo browser e non ci vengono mai inviati.

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Unità 1 · Settimane 1–3

Funzioni e limiti

Un limite descrive a cosa si avvicina una funzione. È l’idea alla base di ogni derivata e di ogni integrale.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Stimare limiti da grafici e tabelle, compresi i limiti unilaterali.
  • Calcolare limiti con le proprietà dei limiti, la scomposizione e la razionalizzazione.
  • Trovare limiti all’infinito e riconoscere asintoti orizzontali e verticali.
  • Enunciare la definizione rigorosa (ε–δ) di limite.

Concetti chiave

  • lim f(x) per x → a = L significa che f(x) può essere resa vicina a L quanto vogliamo prendendo x abbastanza vicino ad a, ma diverso da a.
  • Un limite esiste solo se il limite sinistro e quello destro coincidono.
  • Per una forma 0/0, semplifica prima: scomponi, semplifica o moltiplica per un coniugato.
  • Due limiti notevoli: sin x / x → 1 e (1 − cos x)/x → 0 per x → 0 (x in radianti).
  • All’infinito, confronta le potenze di grado massimo di una funzione razionale.

Equazioni chiave

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
Notazione di limite
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
Un limite trigonometrico fondamentale
∀ε>0 ∃δ>0: 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon
Definizione rigorosa di limite

Esempi svolti passo passo

Esempio 1.1 Calcola lim (x² − 4)/(x − 2) per x → 2.

Mostra i passaggi
  1. La sostituzione diretta dà 0/0, quindi semplifica.
  2. (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 per x ≠ 2.
  3. Ora sostituisci: 2 + 2 = 4.

Risposta: 4.

Esempio 1.2 Calcola lim (√(x + 4) − 2)/x per x → 0.

Mostra i passaggi
  1. Di nuovo 0/0. Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato √(x + 4) + 2.
  2. Il numeratore diventa (x + 4) − 4 = x, quindi l’espressione è 1/(√(x + 4) + 2).
  3. Sostituisci x = 0: 1/(2 + 2) = 1/4.

Risposta: 1/4.

Esempio 1.3 Calcola lim (3x² + 1)/(2x² − 5) per x → ∞.

Mostra i passaggi
  1. Dividi numeratore e denominatore per x²: (3 + 1/x²)/(2 − 5/x²).
  2. As x → ∞, 1/x² → 0.

Risposta: 3/2, quindi y = 3/2 è un asintoto orizzontale.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. lim (x² − 9)/(x − 3) per x → 3

    Mostra la risposta

    Scomponi: x + 3 → 6.

  2. lim (5x + 2)/(x − 1) per x → ∞

    Mostra la risposta

    Dividi per x: 5.

  3. lim (1 − cos x)/x per x → 0

    Mostra la risposta

    0 (un limite notevole).

  4. lim 1/x per x → 0⁺ e per x → 0⁻

    Mostra la risposta

    +∞ da destra, −∞ da sinistra, quindi il limite bilaterale non esiste.

  5. lim sin(3x)/x per x → 0

    Mostra la risposta

    Scrivilo come 3 · sin(3x)/(3x) → 3 × 1 = 3.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Un limite è semplicemente il valore della funzione in quel punto.

    In realtà: Il limite ignora f(a). f può non essere definita in a e avere comunque un limite lì, come nell’esempio 1.1.

  • Mito: 0/0 significa che il limite è 0 (o non esiste).

    In realtà: 0/0 è una forma indeterminata: il limite potrebbe essere qualsiasi cosa. Bisogna semplificare.

  • Mito: Se il grafico si avvicina a una retta, non può mai attraversarla.

    In realtà: Un grafico può attraversare un asintoto orizzontale; l’asintoto descrive il comportamento lontano.

Flashcard

  • Limite

    Il valore a cui si avvicina f(x) quando x si avvicina ad a.

  • Limite unilaterale

    Limite da sinistra (x → a⁻) o da destra (x → a⁺).

  • Forma indeterminata

    0/0 o ∞/∞: semplifica prima di decidere.

  • Asintoto orizzontale

    y = L quando f(x) → L per x → ±∞.

  • Asintoto verticale

    x = a quando f(x) → ±∞ per x → a.

  • Definizione ε–δ

    Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 che mantiene f(x) entro ε da L.

Quiz di autoverifica

1. lim (x² − 1)/(x − 1) per x → 1 vale…

Mostra la risposta

2. Scomponi in x + 1 → 2.

2. Un limite bilaterale esiste quando…

Mostra la risposta

i limiti sinistro e destro sono uguali. Entrambi i limiti unilaterali devono esistere e coincidere.

3. lim sin x / x per x → 0 (radianti) vale…

Mostra la risposta

1. Un limite fondamentale; è per questo che l’analisi usa i radianti.

4. lim (4x³ − x)/(2x³ + 7) per x → ∞ vale…

Mostra la risposta

2. Coefficienti direttivi: 4/2 = 2.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Ogni serie climatica è un elenco di misure in momenti separati. L’idea di limite, ridurre il passo temporale verso zero, è ciò che permette agli scienziati di parlare del tasso di variazione in un istante e non solo nell’arco di un anno o di un decennio.

La NOAA misura l’anidride carbonica all’osservatorio di Mauna Loa dal 1958. Le sue pagine di dati pubblicano sia la concentrazione sia il tasso di crescita annuale, un uso diretto del tasso di variazione medio che i limiti rendono preciso.

Su Saving Planets: OCO-2: misurare la CO₂ dall’orbita (in inglese)

Fonti: NOAA GML: andamento della CO₂ atmosferica (in inglese) · NOAA GML: tassi di crescita della CO₂ (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 2 · Settimana 4

Continuità e derivata

Continuità significa nessuna interruzione. La derivata è il limite dei tassi di variazione medi: la pendenza della retta tangente.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Verificare la continuità di una funzione e usare il teorema dei valori intermedi.
  • Calcolare una derivata dalla definizione come limite.
  • Interpretare una derivata come pendenza, velocità e tasso di variazione, con le unità.
  • Scrivere l’equazione di una retta tangente.

Concetti chiave

  • f è continua in a se f(a) è definita, il limite esiste e sono uguali.
  • Teorema dei valori intermedi: una funzione continua su [a, b] assume ogni valore compreso tra f(a) e f(b).
  • La derivata f′(a) è il limite del rapporto incrementale [f(a + h) − f(a)]/h per h → 0.
  • Le unità di f′ sono quelle di f per unità di x: metri al secondo, ppm all’anno.
  • Una funzione non è derivabile in un punto angoloso, una cuspide, una tangente verticale o una discontinuità.

Equazioni chiave

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Definizione della derivata come limite
y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a)
Retta tangente in x = a

Esempi svolti passo passo

Esempio 2.1 Usa la definizione per trovare la derivata di f(x) = x².

Mostra i passaggi
  1. [(x + h)² − x²]/h = (2xh + h²)/h = 2x + h.
  2. Per h → 0 questo tende a 2x.

Risposta: f′(x) = 2x.

Esempio 2.2 Trova la retta tangente a y = x³ in x = 1.

Mostra i passaggi
  1. y′ = 3x², quindi la pendenza in x = 1 è 3.
  2. Punto: (1, 1).
  3. y − 1 = 3(x − 1), quindi y = 3x − 2.

Risposta: y = 3x − 2.

Esempio 2.3 Per quale a la funzione f(x) = x + 1 (x < 1), ax² (x ≥ 1) è continua ovunque?

Mostra i passaggi
  1. Limite sinistro in 1: 1 + 1 = 2.
  2. Valore e limite destro: a × 1² = a.
  3. La continuità richiede a = 2.

Risposta: a = 2.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Usa la definizione per derivare f(x) = 1/x.

    Mostra la risposta

    [1/(x + h) − 1/x]/h = −1/(x(x + h)) → −1/x².

  2. Un sasso lasciato cadere percorre s(t) = 4.9t² metri. Trova la sua velocità media da t = 1 a t = 3 s e la velocità istantanea a t = 2 s.

    Mostra la risposta

    Media: (44.1 − 4.9)/2 = 19.6 m/s. Istantanea: s′(t) = 9.8t, quindi 19.6 m/s a t = 2.

  3. Mostra che x³ + x − 1 = 0 ha una radice tra 0 e 1.

    Mostra la risposta

    f(0) = −1 < 0 e f(1) = 1 > 0, e f è continua, quindi per il teorema dei valori intermedi passa per 0 nel mezzo.

  4. f(x) = |x| è derivabile in 0?

    Mostra la risposta

    No. La pendenza è −1 da sinistra e +1 da destra, quindi il limite del rapporto incrementale non esiste (punto angoloso).

Errori concettuali comuni

  • Mito: Continua significa derivabile.

    In realtà: |x| è continua in 0 ma lì non ha derivata. Derivabile però implica continua.

  • Mito: La derivata è la variazione di y.

    In realtà: È il tasso di variazione: variazione di y per unità di variazione di x, al limite.

  • Mito: La retta tangente tocca la curva in un solo punto.

    In realtà: Può attraversare la curva altrove, e perfino nel punto di tangenza (come y = x³ in 0).

Flashcard

  • Continuità in a

    lim f(x) per x → a è uguale a f(a).

  • Teorema dei valori intermedi

    Continua su [a, b] ⇒ ogni valore tra f(a) e f(b) viene assunto.

  • Rapporto incrementale

    [f(x + h) − f(x)]/h, un tasso di variazione medio.

  • Derivata

    Limite del rapporto incrementale; tasso di variazione istantaneo.

  • Retta tangente

    y = f(a) + f′(a)(x − a).

  • Derivabile ⇒ continua

    Ma non viceversa.

Quiz di autoverifica

1. Se s(t) è la posizione in metri e t è in secondi, s′(t) si misura in…

Mostra la risposta

m/s. Unità di f divise per unità di x.

2. La derivata di x² in x = 3 vale…

Mostra la risposta

6. f′(x) = 2x.

3. Quale funzione è continua ma non derivabile in 0?

Mostra la risposta

|x|. Ha un punto angoloso in 0.

4. Il teorema dei valori intermedi richiede che la funzione sia…

Mostra la risposta

continua su [a, b]. La continuità sull’intervallo chiuso è l’ipotesi chiave.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

La derivata trasforma una serie di posizioni in una velocità. La navigazione satellitare lo fa di continuo: GRACE-FO, per esempio, misura come cambia la distanza tra i suoi due satelliti, e quelle variazioni rivelano spostamenti di acqua e ghiaccio sulla Terra.

I tassi con le loro unità sono il modo in cui si riferisce il cambiamento climatico nella pratica: parti per milione di CO₂ all’anno, millimetri di livello del mare all’anno. Leggere una derivata con le sue unità è un’abilità di base della cultura scientifica.

Su Saving Planets: GRACE-FO · Fisica I + Laboratorio

Fonti: NASA JPL: GRACE-FO · OpenStax Calculus 1, 3.1 Defining the Derivative (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 3 · Settimane 5–7

Regole di derivazione

Regole della potenza, del prodotto, del quoziente e della catena, più le derivate di funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche, e la derivazione implicita.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Derivare polinomi, prodotti, quozienti e composizioni in modo rapido e corretto.
  • Derivare sin, cos, tan, eˣ e ln x.
  • Usare la derivazione implicita per trovare dy/dx.
  • Trovare derivate di ordine superiore e interpretare la derivata seconda come accelerazione.

Concetti chiave

  • Regola della potenza: d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹ per ogni n reale.
  • Regola del prodotto: (fg)′ = f′g + fg′. Regola del quoziente: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
  • Regola della catena: la derivata di f(g(x)) è f′(g(x)) · g′(x), derivata esterna per derivata interna.
  • eˣ è la derivata di se stessa; ln x ha derivata 1/x. Per questo e compare in ogni modello di crescita e decadimento.
  • Derivazione implicita: deriva entrambi i membri rispetto a x, trattando y come funzione di x.

Equazioni chiave

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
Regola della potenza
(fg)′=f′g+fg′,(fg)′=f′g−fg′g2(fg)'=f'g+fg',\quad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
Regole del prodotto e del quoziente
ddxf(g(x))=f′(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)
Regola della catena
ddxex=ex,ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x
Esponenziale e logaritmo
ddxsin⁡x=cos⁡x,ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
Derivate trigonometriche

Esempi svolti passo passo

Esempio 3.1 Deriva y = x² sin x.

Mostra i passaggi
  1. Regola del prodotto con f = x², g = sin x.
  2. y′ = 2x sin x + x² cos x.

Risposta: y′ = 2x sin x + x² cos x.

Esempio 3.2 Deriva y = (3x² + 1)⁵.

Mostra i passaggi
  1. Esterno: u⁵ → 5u⁴. Interno: u = 3x² + 1 → 6x.
  2. y′ = 5(3x² + 1)⁴ · 6x.

Risposta: y′ = 30x(3x² + 1)⁴.

Esempio 3.3 Trova la pendenza della circonferenza x² + y² = 25 in (3, 4).

Mostra i passaggi
  1. Deriva: 2x + 2y y′ = 0.
  2. y′ = −x/y = −3/4.

Risposta: −3/4.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. d/dx (3x⁴ − 5x² + 7)

    Mostra la risposta

    12x³ − 10x.

  2. d/dx ln(x² + 1)

    Mostra la risposta

    2x/(x² + 1) (regola della catena).

  3. d/dx (x/(x + 1))

    Mostra la risposta

    [(x + 1) − x]/(x + 1)² = 1/(x + 1)².

  4. Una quantità cresce come Q(t) = 1000e^(0.02t). Quanto velocemente cresce a t = 0, e qual è il suo tasso di crescita relativo?

    Mostra la risposta

    Q′(t) = 20e^(0.02t), quindi 20 unità per unità di tempo a t = 0. Q′/Q = 0.02, un 2% costante per unità di tempo.

  5. Se s(t) = t³ − 6t², trova velocità e accelerazione a t = 1.

    Mostra la risposta

    v = 3t² − 12t = −9; a = 6t − 12 = −6.

Errori concettuali comuni

  • Mito: La derivata di un prodotto è il prodotto delle derivate.

    In realtà: Usa la regola del prodotto: (fg)′ = f′g + fg′.

  • Mito: d/dx sin(3x) = cos(3x).

    In realtà: Regola della catena: 3 cos(3x).

  • Mito: d/dx eˣ = x eˣ⁻¹.

    In realtà: La regola della potenza non vale per esponenti variabili. d/dx eˣ = eˣ.

Flashcard

  • Regola della potenza

    d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹.

  • Regola del prodotto

    (fg)′ = f′g + fg′.

  • Regola del quoziente

    (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².

  • Regola della catena

    [f(g(x))]′ = f′(g(x)) g′(x).

  • d/dx eˣ

    eˣ.

  • d/dx ln x

    1/x.

Quiz di autoverifica

1. d/dx (x⁵) =

Mostra la risposta

5x⁴. Regola della potenza.

2. d/dx sin(x²) =

Mostra la risposta

2x cos(x²). Regola della catena: cos(x²) · 2x.

3. d/dx ln(5x) =

Mostra la risposta

1/x. 5/(5x) = 1/x.

4. Se la posizione è s(t), l’accelerazione è…

Mostra la risposta

s″(t). L’accelerazione è la derivata della velocità.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

I modelli di crescita e decadimento basati su eˣ descrivono la crescita delle popolazioni, il decadimento radioattivo usato per datare le carote di ghiaccio e la crescita composta delle emissioni. La regola della catena dà i loro tassi di variazione in un solo passaggio.

Un tasso di crescita relativo (Q′/Q) è il modo in cui gli scienziati confrontano variazioni di quantità di dimensioni molto diverse, per esempio quanto velocemente cambia una superficie forestale o un gas serra, in percentuale all’anno.

Su Saving Planets: Dossier deforestazione · Osservazione della Terra

Fonti: OpenStax Calculus 1, 3.9 Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions (in inglese) · NASA: l’anidride carbonica, segno vitale del pianeta (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 4 · Settimane 8–9

Applicazioni I: tassi correlati, approssimazione e metodo di Newton

Usare le derivate per collegare grandezze che cambiano, approssimare valori difficili, calcolare limiti complicati e risolvere equazioni numericamente.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Risolvere problemi di tassi correlati.
  • Usare l’approssimazione lineare e i differenziali per stimare valori ed errori.
  • Applicare la regola di de L’Hôpital alle forme 0/0 e ∞/∞.
  • Risolvere equazioni con il metodo di Newton.

Concetti chiave

  • Tassi correlati: scrivi un’equazione che leghi le grandezze, deriva rispetto al tempo, poi sostituisci i valori.
  • Vicino a x = a, f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a): la retta tangente è la migliore stima lineare.
  • Regola di de L’Hôpital: per 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f′/g′ se il membro destro esiste.
  • Metodo di Newton: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Di solito converge molto in fretta da un buon valore iniziale.

Equazioni chiave

L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
Approssimazione lineare
lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}
Regola di de L’Hôpital (0/0 o ∞/∞)
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Metodo di Newton

Esempi svolti passo passo

Esempio 4.1 Il raggio di un pallone meteorologico sferico cresce di 2 cm/s. Quanto velocemente cresce il suo volume quando r = 10 cm?

Mostra i passaggi
  1. V = (4/3)πr³, quindi dV/dt = 4πr² dr/dt.
  2. dV/dt = 4π × 10² × 2 = 800π ≈ 2,513 cm³/s.

Risposta: Circa 2510 cm³/s.

Esempio 4.2 Stima √4.1 con un’approssimazione lineare.

Mostra i passaggi
  1. f(x) = √x, a = 4: f(4) = 2, f′(4) = 1/(2√4) = 1/4.
  2. L(4.1) = 2 + (1/4)(0.1) = 2.025.

Risposta: 2.025 (il valore vero è 2.02485…).

Esempio 4.3 Usa il metodo di Newton per risolvere x² = 2 partendo da x₀ = 1.

Mostra i passaggi
  1. f(x) = x² − 2, f′(x) = 2x, quindi xₙ₊₁ = xₙ − (xₙ² − 2)/(2xₙ).
  2. x₁ = 1.5, x₂ = 1.416667, x₃ = 1.414216.

Risposta: x₃ = 1.414216, già corretto a 6 cifre significative (√2 = 1.4142136…).

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Una scala di 5 m scivola lungo un muro; il piede si allontana a 0.5 m/s. Quanto velocemente scende la cima quando il piede è a 3 m dal muro?

    Mostra la risposta

    x² + y² = 25, quindi x x′ + y y′ = 0. Con x = 3, y = 4: y′ = −(3/4)(0.5) = −0.375 m/s, scende a 0.375 m/s.

  2. lim (eˣ − 1)/x per x → 0

    Mostra la risposta

    De L’Hôpital: eˣ/1 → 1.

  3. Metodo di Newton per x³ − 2x − 5 = 0 da x₀ = 2. Trova x₁ e x₂.

    Mostra la risposta

    f(2) = −1, f′(2) = 10, quindi x₁ = 2.1. f(2.1) = 0.061, f′(2.1) = 11.23, quindi x₂ = 2.0946.

  4. Usa i differenziali per stimare la variazione dell’area di un disco di raggio 10 cm se il raggio cresce di 0.1 cm.

    Mostra la risposta

    dA = 2πr dr = 2π × 10 × 0.1 = 2π ≈ 6.28 cm².

Errori concettuali comuni

  • Mito: De L’Hôpital significa derivare il quoziente f/g.

    In realtà: Deriva numeratore e denominatore separatamente, e solo per forme 0/0 o ∞/∞.

  • Mito: Nei tassi correlati, prima si sostituiscono i numeri, poi si deriva.

    In realtà: Deriva prima; sostituire troppo presto trasforma le variabili in costanti con derivata nulla.

  • Mito: Il metodo di Newton trova sempre una radice.

    In realtà: Un cattivo punto di partenza, o f′ vicina a zero, può farlo divergere o entrare in un ciclo.

Flashcard

  • Tassi correlati

    Derivare rispetto a t un’equazione che lega delle grandezze.

  • Approssimazione lineare

    f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a).

  • Differenziale

    dy = f′(x) dx.

  • Regola di de L’Hôpital

    Per 0/0 o ∞/∞: lim f/g = lim f′/g′.

  • Metodo di Newton

    xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).

  • Convergenza quadratica

    Vicino a una radice semplice, il metodo di Newton raddoppia circa le cifre corrette a ogni passo.

Quiz di autoverifica

1. L’approssimazione lineare usa la…

Mostra la risposta

retta tangente. L(x) è la retta tangente in a.

2. La regola di de L’Hôpital si applica a…

Mostra la risposta

forme 0/0 e ∞/∞. Solo quozienti indeterminati.

3. Un passo del metodo di Newton su f(x) = x² − 9 da x₀ = 4 dà…

Mostra la risposta

3.125. 4 − 7/8 = 3.125.

4. Se V = s³ e ds/dt = 1, allora dV/dt in s = 2 vale…

Mostra la risposta

12. 3s² ds/dt = 12.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Prevedere dove sarà un satellite significa risolvere l’equazione di Keplero, M = E − e sin E, rispetto a E. Non ha soluzione algebrica, quindi di solito si risolve numericamente, spesso con il metodo di Newton, come nel laboratorio B. Una previsione orbitale accurata tiene i satelliti di osservazione della Terra a distanza di sicurezza e colloca correttamente le loro immagini sulla mappa.

I palloni meteorologici, come quello dell’esempio 4.1, portano strumenti che misurano l’atmosfera per le previsioni del tempo; i tassi correlati legano la velocità con cui salgono e si espandono.

Su Saving Planets: Guida alle orbite · Calcolatore del periodo orbitale

Fonti: OpenStax Calculus 1, 4.9 Newton’s Method (in inglese) · OpenStax University Physics 1, 13.5 Kepler’s Laws (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 5 · Settimane 10–11

Applicazioni II: estremi, forma del grafico e ottimizzazione

Trovare massimi e minimi, leggere la forma di un grafico da f′ e f″, e risolvere veri problemi di progettazione con l’ottimizzazione.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Trovare punti critici ed estremi assoluti su un intervallo chiuso.
  • Enunciare e usare il teorema di Lagrange.
  • Usare i criteri della derivata prima e seconda e trovare i punti di flesso.
  • Impostare e risolvere problemi di ottimizzazione applicata.

Concetti chiave

  • I punti critici sono dove f′ = 0 o f′ non esiste. Gli estremi di una funzione regolare si trovano lì o agli estremi dell’intervallo.
  • Teorema di Lagrange: su un intervallo regolare, il tasso istantaneo è uguale al tasso medio in qualche punto.
  • f′ > 0 significa crescente; f″ > 0 significa convessa (concavità verso l’alto). Un punto di flesso è dove cambia la concavità.
  • Ricetta per l’ottimizzazione: fai un disegno, scrivi la grandezza da ottimizzare come funzione di una sola variabile usando il vincolo, deriva, trova i punti critici, controlla gli estremi.

Equazioni chiave

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Teorema di Lagrange (del valor medio)
f′(c)=0, f′′(c)<0⇒local maxf'(c)=0,\ f''(c)<0\Rightarrow\text{local max}
Criterio della derivata seconda
Cp(a)=4a(1−a)2C_p(a)=4a(1-a)^2
Coefficiente di potenza di una turbina eolica in funzione dell’induzione assiale a (modello del disco attuatore)

Esempi svolti passo passo

Esempio 5.1 Trova gli estremi locali di f(x) = x³ − 3x.

Mostra i passaggi
  1. f′(x) = 3x² − 3 = 0 in x = ±1.
  2. f″(x) = 6x: f″(−1) = −6 < 0 (max), f″(1) = 6 > 0 (min).
  3. f(−1) = 2, f(1) = −2.

Risposta: Massimo locale 2 in x = −1; minimo locale −2 in x = 1.

Esempio 5.2 Una lattina cilindrica chiusa deve contenere 500 cm³. Quale raggio usa meno metallo?

Mostra i passaggi
  1. Vincolo: πr²h = 500, quindi h = 500/(πr²).
  2. Area A = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1000/r.
  3. A′ = 4πr − 1000/r² = 0 dà r³ = 500/(2π), r = 4.30 cm.
  4. Allora h = 8.60 cm = 2r, e A = 349 cm².

Risposta: r = 4.30 cm, h = 8.60 cm (l’altezza è uguale al diametro).

Esempio 5.3 Nel modello più semplice di turbina eolica, la frazione di potenza del vento catturata è Cp = 4a(1 − a)², dove a indica quanto il rotore rallenta il vento. Trova il massimo.

Mostra i passaggi
  1. Cp′ = 4(1 − a)² − 8a(1 − a) = 4(1 − a)(1 − 3a).
  2. Punti critici a = 1 e a = 1/3; a = 1 dà Cp = 0.
  3. Cp(1/3) = 4 × (1/3) × (2/3)² = 16/27 = 0.593.

Risposta: 59.3%: il limite di Betz, il massimo teorico per qualsiasi turbina eolica.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Un agricoltore ha 100 m di recinzione per tre lati di un rettangolo lungo un fiume. Qual è l’area massima?

    Mostra la risposta

    A = x(100 − 2x); A′ = 100 − 4x = 0 in x = 25. Area = 25 × 50 = 1250 m².

  2. Trova massimo e minimo assoluti di f(x) = x² − 4x su [0, 5].

    Mostra la risposta

    Punto critico x = 2: f = −4. Estremi: f(0) = 0, f(5) = 5. Max 5, min −4.

  3. Verifica il teorema di Lagrange per f(x) = x² su [1, 3].

    Mostra la risposta

    Tasso medio (9 − 1)/2 = 4; f′(c) = 2c = 4 in c = 2, dentro [1, 3].

  4. Dove f(x) = x³ − 6x² è convessa?

    Mostra la risposta

    f″ = 6x − 12 > 0 per x > 2; punto di flesso in x = 2.

Errori concettuali comuni

  • Mito: f′(c) = 0 significa sempre un massimo o un minimo.

    In realtà: x³ ha f′(0) = 0 ma lì non ha estremi.

  • Mito: Il massimo assoluto è sempre in un punto critico.

    In realtà: Su un intervallo chiuso può trovarsi in un estremo. Controllali sempre.

  • Mito: Convessa significa crescente.

    In realtà: La concavità riguarda f″; una funzione può essere convessa e decrescente, come e⁻ˣ.

Flashcard

  • Punto critico

    f′ = 0 o non definita.

  • Teorema di Weierstrass

    Continua su [a, b] ⇒ esistono massimo e minimo assoluti.

  • Teorema di Lagrange (del valor medio)

    f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a) per qualche c.

  • Criterio della derivata prima

    Un cambio di segno di f′ da + a − è un massimo; da − a + un minimo.

  • Concavità

    f″ > 0 verso l’alto, f″ < 0 verso il basso.

  • Limite di Betz

    Max Cp = 16/27 ≈ 59.3%.

Quiz di autoverifica

1. Se f′(c) = 0 e f″(c) > 0, allora in c f ha un…

Mostra la risposta

minimo locale. Convessa in un punto a tangente orizzontale: una valle.

2. Il limite di Betz per le turbine eoliche è circa…

Mostra la risposta

59%. 16/27 ≈ 0.593, massimizzando 4a(1 − a)².

3. Il teorema di Lagrange garantisce un punto in cui…

Mostra la risposta

f′ è uguale al tasso di variazione medio. Tasso istantaneo = tasso medio.

4. Un punto di flesso è dove…

Mostra la risposta

cambia la concavità. f″ cambia segno.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’ottimizzazione è ingegneria. Il limite di Betz dell’esempio 5.3 nasce da una sola derivata posta uguale a zero, e dice agli ingegneri eolici il massimo che una turbina potrà mai estrarre dal vento.

Anche i progettisti di missioni ottimizzano: un trasferimento di Hohmann è di solito la rotta a due accensioni più efficiente in termini di propellente tra due orbite circolari, e meno propellente significa lanci più piccoli ed economici per i satelliti climatici e meteorologici.

Usare il minimo materiale per un compito, come la lattina dell’esempio 5.2, riduce l’energia e le risorse necessarie per produrla.

Su Saving Planets: Calcolatore del trasferimento di Hohmann · Fisica I, unità 4: energia eolica

Fonti: DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese) · OpenStax Calculus 1, 4.7 Applied Optimization Problems (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 6 · Settimane 12–14

Integrali e teorema fondamentale del calcolo

Gli integrali sommano pezzi minuscoli: area, distanza, energia. Il teorema fondamentale li collega alle derivate.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Approssimare aree con somme di Riemann e la regola dei trapezi.
  • Definire l’integrale definito e usarne le proprietà.
  • Usare entrambe le parti del teorema fondamentale del calcolo.
  • Trovare primitive, anche per sostituzione, e calcolare variazione netta, valore medio e aree tra curve.

Concetti chiave

  • Una somma di Riemann somma f(xᵢ)Δx su piccole strisce; l’integrale definito è il suo limite quando le strisce si restringono.
  • TFC parte 1: d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x). Integrazione e derivazione si annullano a vicenda.
  • TFC parte 2: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) per qualsiasi primitiva F.
  • Teorema della variazione netta: integrare un tasso dà la variazione totale. Integrare la potenza dà l’energia; integrare la velocità dà lo spostamento.
  • La sostituzione è la regola della catena al contrario.

Equazioni chiave

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)Δx\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x
Integrale definito
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
TFC parte 1
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)
TFC parte 2
∫xn dx=xn+1n+1+C (n≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1),\quad \int\frac1x\,dx=\ln|x|+C
Primitive fondamentali
favg=1b−a∫abf(x) dxf_{avg}=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx
Valore medio

Esempi svolti passo passo

Esempio 6.1 Calcola ∫₀² x² dx.

Mostra i passaggi
  1. Primitiva x³/3.
  2. 8/3 − 0 = 8/3.

Risposta: 8/3 ≈ 2.667.

Esempio 6.2 Calcola ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.

Mostra i passaggi
  1. Poni u = x² + 1, du = 2x dx; u va da 1 a 2.
  2. ∫₁² u³ du = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4.

Risposta: 15/4 = 3.75.

Esempio 6.3 In una giornata serena, la produzione di un impianto solare è modellata come P(t) = 5 sin(πt/12) kW per 0 ≤ t ≤ 12 ore dopo l’alba. Quanta energia produce?

Mostra i passaggi
  1. Energia = ∫₀¹² 5 sin(πt/12) dt.
  2. Primitiva: −(60/π) cos(πt/12).
  3. −(60/π)(cos π − cos 0) = 120/π.

Risposta: 120/π ≈ 38.2 kWh (un modello semplificato, non un impianto reale).

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. ∫₀^π sin x dx

    Mostra la risposta

    [−cos x]₀^π = 1 + 1 = 2.

  2. d/dx ∫₀ˣ cos(t²) dt

    Mostra la risposta

    cos(x²), per la parte 1 del TFC.

  3. La velocità verso l’alto di un razzo è v(t) = 9.8t m/s per 3 s. Di quanto sale?

    Mostra la risposta

    ∫₀³ 9.8t dt = 4.9 × 9 = 44.1 m.

  4. Trova l’area tra y = x e y = x² su [0, 1].

    Mostra la risposta

    ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

  5. Trova il valore medio di f(x) = x² su [0, 3].

    Mostra la risposta

    (1/3) ∫₀³ x² dx = (1/3)(9) = 3.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Un integrale è sempre un’area, quindi è sempre positivo.

    In realtà: È un’area con segno: le parti sotto l’asse contano come negative. ∫₀^{2π} sin x dx = 0.

  • Mito: Dimenticare il + C non conta.

    In realtà: Negli integrali indefiniti la costante fa parte della risposta; conta ogni volta che è data una condizione iniziale.

  • Mito: Nella sostituzione, mantieni i vecchi estremi.

    In realtà: Trasforma gli estremi in valori di u, oppure torna a x prima di calcolare.

Flashcard

  • Somma di Riemann

    Σ f(xᵢ*) Δx; una stima dell’area.

  • Integrale definito

    Limite delle somme di Riemann; area con segno.

  • TFC parte 1

    d/dx ∫ₐˣ f = f(x).

  • TFC parte 2

    ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).

  • Variazione netta

    Integrale di un tasso = variazione totale.

  • Sostituzione

    u = g(x), du = g′(x) dx: la regola della catena al contrario.

Quiz di autoverifica

1. ∫₁³ 2x dx =

Mostra la risposta

8. [x²]₁³ = 9 − 1 = 8.

2. Integrare una curva di potenza (kW) nel tempo (h) dà…

Mostra la risposta

kWh di energia. Teorema della variazione netta: l’integrale di un tasso è un totale.

3. d/dx ∫₂ˣ t³ dt =

Mostra la risposta

x³. TFC parte 1.

4. ∫ 1/x dx =

Mostra la risposta

ln|x| + C. L’eccezione n = −1 della regola della potenza.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’energia è l’integrale della potenza nel tempo. I pianificatori della rete sommano così la produzione solare ed eolica ora per ora per sapere quanta energia pulita otterranno e quanto accumulo servirà.

Gli strumenti satellitari misurano tassi, come il flusso di luce solare o d’acqua, e gli integrali trasformano quei tassi in totali: quanta energia assorbe la Terra, o quanta acqua guadagna o perde un bacino fluviale in una stagione.

L’integrazione numerica del laboratorio D è proprio il modo in cui si integrano i dati reali, che arrivano come misure separate.

Su Saving Planets: GRACE-FO · Calcolatori

Fonti: OpenStax Calculus 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (in inglese) · DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Laboratori al computer

L’analisi non ha un laboratorio sperimentale, quindi questo corso offre invece quattro brevi laboratori al computer. Ognuno applica un’unità a dati di tipo reale con un foglio di calcolo: differenze finite, metodo di Newton, ottimizzazione e integrazione numerica.

Sono gli stessi metodi numerici che ingegneri e climatologi usano ogni giorno. I dati di esempio di ogni laboratorio servono per esercitarsi; ogni laboratorio rimanda alla fonte dei dati reali.

Riferimento per la sicurezza: Laboratorio di monitoraggio globale NOAA: andamento della CO₂ (in inglese)

Laboratorio A: tassi di variazione dai dati

Settimana 4

Obiettivo: Stimare un tasso di variazione e la sua accelerazione da una tabella di misure, come fanno i climatologi con una serie di CO₂.

f′(ti)≈f(ti+1)−f(ti−1)ti+1−ti−1,f′′(ti)≈f(ti+1)−2f(ti)+f(ti−1)h2f'(t_i)\approx\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{t_{i+1}-t_{i-1}},\quad f''(t_i)\approx\frac{f(t_{i+1})-2f(t_i)+f(t_{i-1})}{h^2}
Differenze centrate per la derivata prima e seconda

Procedimento

  1. Inserisci la tabella di esempio in un foglio di calcolo.
  2. Calcola le differenze in avanti (tasso su ogni anno) e le differenze centrate.
  3. Calcola la differenza seconda: il tasso stesso sta aumentando?
  4. Scarica le vere medie annuali della NOAA e ripeti; confronta con i tassi di crescita pubblicati dalla NOAA.

Tabella dei dati

Anno tC (ppm)
0400.0
1402.4
2404.9
3407.5
4410.2

Valori di esempio per esercitarsi, non misure reali. Usa i dati NOAA per il lavoro vero.

Calcolo di esempio

  1. Differenza centrata in t = 2: (407.5 − 402.4)/2 = 2.55 ppm all’anno.
  2. Differenza seconda in t = 2: 407.5 − 2(404.9) + 402.4 = 0.1 ppm all’anno².
  3. Una differenza seconda positiva significa che il tasso di crescita stesso aumenta (in questo esempio).

Sicurezza

  • Conserva una copia intatta dei dati grezzi; fai i calcoli in nuove colonne.

Alternativa a casa o virtuale

  • Qui tutto si fa al computer o anche a mano.

NOAA GML: tassi di crescita della CO₂ (in inglese)

Legame con il pianeta: I tassi di variazione sono il modo in cui si riferiscono e si confrontano gli andamenti della CO₂. NOAA GML: andamento della CO₂ atmosferica (in inglese)

Laboratorio B: metodo di Newton ed equazione di Keplero

Settimana 9

Obiettivo: Risolvere l’equazione di Keplero M = E − e sin E per l’anomalia eccentrica E di un satellite, il passo chiave per prevedere dove si trova.

En+1=En−En−esin⁡En−M1−ecos⁡EnE_{n+1}=E_n-\frac{E_n-e\sin E_n-M}{1-e\cos E_n}
Metodo di Newton per l’equazione di Keplero

Procedimento

  1. Imposta M = 1.0 rad ed e = 0.1 in un foglio di calcolo; parti da E₀ = M.
  2. Trascina in basso la formula di Newton per quattro righe.
  3. Osserva quante cifre smettono di cambiare a ogni passo.
  4. Prova e = 0.9 ed E₀ = M: quanti passi servono ora?

Tabella dei dati

Passo nEₙ (rad)
01.000000
11.088953
21.088598
31.088598

Valori calcolati (M = 1.0 rad, e = 0.1).

Calcolo di esempio

  1. f(E) = E − 0.1 sin E − 1; f′(E) = 1 − 0.1 cos E.
  2. Da E₀ = 1: E₁ = 1.088953, E₂ = 1.088598, dopo di che le prime 7 cifre smettono di cambiare.
  3. Verifica: 1.088598 − 0.1 sin(1.088598) = 1.000000.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo o Desmos.

OpenStax Calculus 1, 4.9 Newton’s Method (in inglese)

Legame con il pianeta: La previsione orbitale protegge i satelliti di osservazione della Terra e colloca correttamente i loro dati.

Laboratorio C: ottimizzare una turbina eolica

Settimana 11

Obiettivo: Confermare il limite di Betz numericamente e con l’analisi.

Cp(a)=4a(1−a)2,Cp′(a)=4(1−a)(1−3a)C_p(a)=4a(1-a)^2,\quad C_p'(a)=4(1-a)(1-3a)
Coefficiente di potenza e sua derivata

Procedimento

  1. Tabula Cp per a da 0 a 0.5 con passo 0.05 e fanne il grafico.
  2. Trova il valore più alto della tabella.
  3. Risolvi Cp′(a) = 0 a mano e confronta.

Tabella dei dati

aCp
0.200.512
0.300.588
1/30.593
0.400.576

Valori calcolati dal modello.

Calcolo di esempio

  1. Cp(0.3) = 4 × 0.3 × 0.7² = 0.588.
  2. Cp(1/3) = 16/27 = 0.593, il massimo.
  3. Le turbine reali catturano meno a causa della resistenza, della rotazione della scia e delle perdite all’estremità delle pale.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo o Desmos.

DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese)

Legame con il pianeta: Conoscere il tetto dice agli ingegneri quanto margine di miglioramento resta.

Laboratorio D: integrazione numerica dell’energia solare

Settimana 13

Obiettivo: Integrare una curva di potenza con le regole del punto medio e dei trapezi e confrontare con la risposta esatta.

Tn=Δt2[f0+2f1+⋯+2fn−1+fn]T_n=\frac{\Delta t}2\left[f_0+2f_1+\dots+2f_{n-1}+f_n\right]
Regola dei trapezi

Procedimento

  1. Modello P(t) = 5 sin(πt/12) kW su 0 ≤ t ≤ 12 h.
  2. Con n = 6 strisce (Δt = 2 h), calcola le somme del punto medio e dei trapezi.
  3. Confronta con il valore esatto 120/π kWh. Raddoppia n e guarda gli errori ridursi.

Tabella dei dati

Metodo (n = 6)Energia (kWh)
Punto medio38.64
Trapezi37.32
Esatta (TFC)38.20

Valori del modello, non dati di un impianto reale.

Calcolo di esempio

  1. Trapezi: 2 × [0 + 2(2.5 + 4.330 + 5 + 4.330 + 2.5)]/2 = 37.32 kWh.
  2. Punto medio: 2 × Σ P in t = 1, 3, …, 11 = 38.64 kWh.
  3. Errori: punto medio +0.44, trapezi −0.88. L’errore del punto medio è circa la metà di quello dei trapezi, con segno opposto, come prevede la teoria.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo o Desmos.

OpenStax Calculus 1, 5.1 Approximating Areas (in inglese)

Legame con il pianeta: È così che si sommano i dati reali di energia ora per ora per pianificare l’energia pulita e l’accumulo.

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Serie di esercizi per gli esami

Cronometrati: circa 10 minuti per problema. Poi confronta con le soluzioni complete.

Serie di esercizi di metà corso (unità 1–3)

  1. Calcola lim (x − 4)/(√x − 2) per x → 4.

    Mostra la soluzione completa
    1. Moltiplica per √x + 2: (x − 4)(√x + 2)/(x − 4) = √x + 2.
    2. Sostituisci x = 4: 2 + 2.

    Risposta: 4.

  2. Deriva y = x³eˣ e calcola in x = 1.

    Mostra la soluzione completa
    1. Regola del prodotto: y′ = 3x²eˣ + x³eˣ = (3x² + x³)eˣ.
    2. At x = 1: 4e.

    Risposta: 4e ≈ 10.87.

  3. Trova la retta tangente a y = ln x in x = 1.

    Mostra la soluzione completa
    1. y(1) = 0, y′ = 1/x = 1.
    2. y − 0 = 1(x − 1).

    Risposta: y = x − 1.

  4. Deriva y = sin(3x²).

    Mostra la soluzione completa
    1. Regola della catena: cos(3x²) · 6x.

    Risposta: y′ = 6x cos(3x²).

Serie di esercizi finale (tutte le unità)

  1. L’acqua entra in un serbatoio cilindrico di raggio 2 m a 0.5 m³/min. Quanto velocemente sale il livello?

    Mostra la soluzione completa
    1. V = πr²h = 4πh, quindi dV/dt = 4π dh/dt.
    2. dh/dt = 0.5/(4π).

    Risposta: Circa 0.0398 m/min (4.0 cm al minuto).

  2. Calcola ∫₁ᵉ (1/x) dx.

    Mostra la soluzione completa
    1. [ln x]₁ᵉ = 1 − 0.

    Risposta: 1.

  3. Calcola ∫₀⁴ √x dx.

    Mostra la soluzione completa
    1. Primitiva (2/3)x^(3/2).
    2. (2/3)(8) = 16/3.

    Risposta: 16/3 ≈ 5.33.

  4. Un rettangolo ha perimetro 40 m. Quali dimensioni ne massimizzano l’area?

    Mostra la soluzione completa
    1. A = x(20 − x); A′ = 20 − 2x = 0 in x = 10.

    Risposta: Un quadrato di 10 m × 10 m, area 100 m².

  5. Usa de L’Hôpital per trovare lim x²/eˣ per x → ∞.

    Mostra la soluzione completa
    1. ∞/∞: → 2x/eˣ, ancora ∞/∞.
    2. → 2/eˣ → 0.

    Risposta: 0: gli esponenziali crescono più di qualsiasi potenza.

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Formulario

f′(x)=lim⁡h→0[f(x+h)−f(x)]/hf'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h
(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}
(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
(f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1/x(e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=1/x
(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (tan⁡x)′=sec⁡2x(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=\sec^2x
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
f′(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a)f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
∫xn dx=xn+1/(n+1)+C\int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C
∫ex dx=ex+C, ∫dx/x=ln⁡∣x∣+C\int e^x\,dx=e^x+C,\ \int dx/x=\ln|x|+C
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C, ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\ \int\cos x\,dx=\sin x+C
∫abf dx=F(b)−F(a)\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a)
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
favg=1b−a∫abf dxf_{avg}=\frac1{b-a}\int_a^bf\,dx

Costanti

CostanteValore
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
1 radiante57.2958°

Fonte: NIST: costanti fisiche fondamentali (in inglese)

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Glossario

Primitiva
Una funzione F con F′ = f.
Asintoto
Una retta a cui un grafico si avvicina lontano o vicino a dove esplode.
Regola della catena
Derivata di una composizione: derivata esterna × derivata interna.
Concavità
Verso in cui si curva un grafico; segno di f″.
Continuità
Nessuna interruzione: il limite è uguale al valore della funzione.
Punto critico
Dove f′ è zero o non definita.
Integrale definito
Area con segno sotto una curva tra due estremi.
Derivata
Tasso di variazione istantaneo; pendenza della retta tangente.
Differenziale
dy = f′(x) dx.
Teorema fondamentale del calcolo
Collega derivate e integrali; ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).
Forma indeterminata
0/0 o ∞/∞; richiede altro lavoro.
Punto di flesso
Dove cambia la concavità.
Limite
Il valore a cui si avvicina una funzione.
Approssimazione lineare
Stima con la retta tangente.
Teorema di Lagrange (del valor medio)
Il tasso istantaneo è uguale al tasso medio in qualche punto.
Metodo di Newton
Ricerca iterativa di radici con rette tangenti.
Ottimizzazione
Trovare il valore migliore di una grandezza sotto vincoli.
Somma di Riemann
Somma di aree di rettangoli che approssima un integrale.
Sostituzione
Tecnica di integrazione che inverte la regola della catena.
Regola dei trapezi
Integrazione numerica con trapezi.

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Griglia di autovalutazione

Non si assegnano voti né crediti. Usala per valutare onestamente a che punto sei in ogni unità.

LivelloCome si presenta
4 · PadronanzaRisolve problemi nuovi, giustifica ogni passo con una regola o un teorema e controlla le risposte con un grafico o una stima.
3 · CompetenteRisolve correttamente gli esercizi con qualche occasionale errore di algebra.
2 · In sviluppoSegue gli esempi svolti ma fatica a scegliere un metodo, o applica male la regola della catena.
1 · PrincipianteMemorizza formule senza sapere quando si applicano; deve rivedere l’unità.

Pesi suggeriti se vuoi un punteggio

PartePeso
Esercizi30%
Laboratori al computer15%
Serie di esercizi di metà corso25%
Serie di esercizi finale30%

Punta al livello 3 o superiore in ogni unità prima di passare al corso successivo.

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