Cálculo I

Límites, derivadas, optimización, integrales y el teorema fundamental, con cuatro laboratorios de computadora sobre tasas de cambio reales. Gratis, a tu ritmo y ligado a trabajo real para salvar el planeta.

NASA Blue MarbleNASA/JPL-Caltech (PIA22431)NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)

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Sobre este curso

Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.

Su alcance sigue el primer semestre de cálculo universitario (cálculo diferencial de una variable y una introducción a las integrales), con los temas y la profundidad de materiales abiertos como OpenStax Calculus Volume 1 y MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus, que enlazamos a lo largo del curso. Esas organizaciones no respaldan esta página.

Lo que añadimos: cada unidad conecta el cálculo con problemas reales de clima, energía y vuelos espaciales, cada número de la página lo vuelve a calcular un script de verificación antes de publicarse, y cuatro laboratorios de computadora te permiten hacer cálculo con datos como lo hacen científicos e ingenieros.

Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

El cálculo es la matemática del cambio. Los científicos del clima usan derivadas para convertir un registro de dióxido de carbono o de hielo marino en una tasa de cambio, los ingenieros usan la optimización para sacar la mayor energía del viento y la mayor misión de cada kilogramo de combustible de cohete, y las integrales suman potencia para obtener energía.

Cada unidad termina con una breve sección con fuentes que muestra cómo sus ideas ayudan a las personas y a la naturaleza.

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Antes de empezar

Requisitos previos

  • Álgebra: factorización, expresiones racionales, resolución de ecuaciones e inecuaciones.
  • Funciones y gráficas: dominio, rango, composición, funciones inversas.
  • Trigonometría: radianes, circunferencia unitaria, seno, coseno, tangente e identidades básicas.
  • Funciones exponenciales y logarítmicas, incluidos e y ln.

Cómo estudiar

  • Lee la unidad, ciérrala e intenta los ejemplos resueltos por tu cuenta antes de comprobar cada paso.
  • Resuelve cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta.
  • Dibuja una gráfica siempre que puedas. La mayoría de los errores de cálculo aparecen como un dibujo que no tiene sentido.
  • Comprueba las derivadas estimando la pendiente numéricamente, y las integrales estimando el área.
  • Usa una herramienta de gráficas como Desmos para poner a prueba tu intuición, nunca para sustituir el trabajo.
  • Repite los cuestionarios unos días después. La práctica espaciada es mejor que una sesión larga.

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

  • Una computadora o tableta con hoja de cálculo (Google Sheets, Excel o LibreOffice).
  • Una calculadora gráfica gratuita como Desmos.
  • Opcional: Python con NumPy, para quien quiera programar los laboratorios.

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Calendario sugerido de 15 semanas

Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.

SemanaUnidadTemasLectura
1Funciones y límitesRepaso de funciones; la idea de límite; límites a partir de gráficas y tablasOpenStax 1.1–1.5, 2.1–2.2
2Funciones y límitesLeyes de los límites; técnicas algebraicas; límites trigonométricos especialesOpenStax 2.3
3Funciones y límitesLímites al infinito; asíntotas; la definición precisaOpenStax 2.5, 4.6
4Continuidad y derivadaContinuidad, TVI, la derivada; laboratorio AOpenStax 2.4, 3.1–3.2
5Reglas de derivaciónReglas de la potencia, del producto y del cociente; derivadas de orden superiorOpenStax 3.3–3.4
6Reglas de derivaciónDerivadas trigonométricas; la regla de la cadenaOpenStax 3.5–3.6
7Reglas de derivaciónDerivación implícita; derivadas exponenciales y logarítmicas; práctica de examen parcialOpenStax 3.7–3.9
8Aplicaciones I: tasas relacionadas, aproximación y método de NewtonTasas relacionadas; aproximación lineal y diferencialesOpenStax 4.1–4.2
9Aplicaciones I: tasas relacionadas, aproximación y método de NewtonRegla de L’Hôpital; método de Newton; laboratorio BOpenStax 4.8–4.9
10Aplicaciones II: extremos, forma de la gráfica y optimizaciónExtremos, teorema del valor medio, forma de la gráficaOpenStax 4.3–4.5
11Aplicaciones II: extremos, forma de la gráfica y optimizaciónOptimización aplicada; laboratorio COpenStax 4.7
12Integrales y teorema fundamental del cálculoSumas de Riemann y la integral definidaOpenStax 5.1–5.2
13Integrales y teorema fundamental del cálculoEl teorema fundamental; laboratorio DOpenStax 5.3–5.4
14Integrales y teorema fundamental del cálculoSustitución; valor promedio; áreas entre curvasOpenStax 5.5, 6.1
15RepasoRepaso y serie de práctica finalTodas las unidades

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Tu progreso

Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.

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Unidad 1 · Semanas 1–3

Funciones y límites

Un límite describe a qué se acerca una función. Es la idea que hay debajo de cada derivada e integral.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Estimar límites a partir de gráficas y tablas, incluidos los límites laterales.
  • Calcular límites con las leyes de los límites, la factorización y la racionalización.
  • Hallar límites al infinito e identificar asíntotas horizontales y verticales.
  • Enunciar la definición precisa (ε–δ) de límite.

Conceptos clave

  • lim f(x) cuando x → a = L significa que f(x) puede acercarse a L tanto como queramos tomando x lo bastante cerca de a, pero distinto de a.
  • Un límite existe solo si los límites por la izquierda y por la derecha coinciden.
  • Para una forma 0/0, simplifica primero: factoriza, cancela o multiplica por un conjugado.
  • Dos límites especiales: sin x / x → 1 y (1 − cos x)/x → 0 cuando x → 0 (x en radianes).
  • En el infinito, compara las potencias más altas de una función racional.

Ecuaciones clave

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
Notación de límite
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
Un límite trigonométrico fundamental
∀ε>0 ∃δ>0: 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon
Definición precisa de límite

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1.1 Halla lim (x² − 4)/(x − 2) cuando x → 2.

Ver los pasos
  1. La sustitución directa da 0/0, así que simplifica.
  2. (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 para x ≠ 2.
  3. Ahora sustituye: 2 + 2 = 4.

Respuesta: 4.

Ejemplo 1.2 Halla lim (√(x + 4) − 2)/x cuando x → 0.

Ver los pasos
  1. Otra vez 0/0. Multiplica numerador y denominador por el conjugado √(x + 4) + 2.
  2. El numerador queda (x + 4) − 4 = x, así que la expresión es 1/(√(x + 4) + 2).
  3. Sustituye x = 0: 1/(2 + 2) = 1/4.

Respuesta: 1/4.

Ejemplo 1.3 Halla lim (3x² + 1)/(2x² − 5) cuando x → ∞.

Ver los pasos
  1. Divide numerador y denominador entre x²: (3 + 1/x²)/(2 − 5/x²).
  2. As x → ∞, 1/x² → 0.

Respuesta: 3/2, así que y = 3/2 es una asíntota horizontal.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. lim (x² − 9)/(x − 3) cuando x → 3

    Ver la respuesta

    Factoriza: x + 3 → 6.

  2. lim (5x + 2)/(x − 1) cuando x → ∞

    Ver la respuesta

    Divide entre x: 5.

  3. lim (1 − cos x)/x cuando x → 0

    Ver la respuesta

    0 (un límite estándar).

  4. lim 1/x cuando x → 0⁺ y cuando x → 0⁻

    Ver la respuesta

    +∞ por la derecha, −∞ por la izquierda, así que el límite bilateral no existe.

  5. lim sin(3x)/x cuando x → 0

    Ver la respuesta

    Escríbelo como 3 · sin(3x)/(3x) → 3 × 1 = 3.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Un límite es solo el valor de la función en ese punto.

    En realidad: El límite ignora f(a). f puede no estar definida en a y aun así tener límite ahí, como en el ejemplo 1.1.

  • Mito: 0/0 significa que el límite es 0 (o no existe).

    En realidad: 0/0 es una forma indeterminada: el límite podría ser cualquier cosa. Hay que simplificar.

  • Mito: Si la gráfica se acerca a una recta, nunca puede cruzarla.

    En realidad: Una gráfica puede cruzar una asíntota horizontal; la asíntota describe el comportamiento lejano.

Tarjetas de estudio

  • Límite

    El valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a.

  • Límite lateral

    Límite por la izquierda (x → a⁻) o por la derecha (x → a⁺).

  • Forma indeterminada

    0/0 o ∞/∞: simplifica antes de decidir.

  • Asíntota horizontal

    y = L cuando f(x) → L al x → ±∞.

  • Asíntota vertical

    x = a cuando f(x) → ±∞ al x → a.

  • Definición ε–δ

    Para todo ε > 0 existe δ > 0 que mantiene f(x) a menos de ε de L.

Cuestionario de autoevaluación

1. lim (x² − 1)/(x − 1) cuando x → 1 es…

Ver la respuesta

2. Factoriza a x + 1 → 2.

2. Un límite bilateral existe cuando…

Ver la respuesta

los límites por la izquierda y por la derecha son iguales. Ambos límites laterales deben existir y coincidir.

3. lim sin x / x cuando x → 0 (radianes) es igual a…

Ver la respuesta

1. Un límite fundamental; por eso el cálculo usa radianes.

4. lim (4x³ − x)/(2x³ + 7) cuando x → ∞ es…

Ver la respuesta

2. Coeficientes principales: 4/2 = 2.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Todo registro climático es una lista de mediciones en momentos separados. La idea de límite, reducir el paso de tiempo hacia cero, es lo que permite a los científicos hablar de la tasa de cambio en un instante y no solo a lo largo de un año o una década.

La NOAA mide el dióxido de carbono en el Observatorio de Mauna Loa desde 1958. Sus páginas de datos publican la concentración y su tasa de crecimiento anual, un uso directo de la tasa de cambio promedio que los límites hacen precisa.

En Saving Planets: OCO-2: medir el CO₂ desde la órbita (en inglés)

Fuentes: NOAA GML: tendencias del CO₂ atmosférico (en inglés) · NOAA GML: tasas de crecimiento del CO₂ (en inglés)

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Unidad 2 · Semana 4

Continuidad y derivada

La continuidad significa que no hay saltos. La derivada es el límite de las tasas de cambio promedio: la pendiente de la recta tangente.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Comprobar la continuidad de una función y usar el teorema del valor intermedio.
  • Calcular una derivada a partir de la definición por límite.
  • Interpretar una derivada como pendiente, velocidad y tasa de cambio, con unidades.
  • Escribir la ecuación de una recta tangente.

Conceptos clave

  • f es continua en a si f(a) está definida, el límite existe y ambos son iguales.
  • Teorema del valor intermedio: una función continua en [a, b] toma todos los valores entre f(a) y f(b).
  • La derivada f′(a) es el límite del cociente incremental [f(a + h) − f(a)]/h cuando h → 0.
  • Las unidades de f′ son las de f por unidad de x: metros por segundo, ppm por año.
  • Una función no es derivable en una esquina, una cúspide, una tangente vertical o un salto.

Ecuaciones clave

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Definición de la derivada por límite
y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a)
Recta tangente en x = a

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 2.1 Usa la definición para hallar la derivada de f(x) = x².

Ver los pasos
  1. [(x + h)² − x²]/h = (2xh + h²)/h = 2x + h.
  2. Cuando h → 0, esto tiende a 2x.

Respuesta: f′(x) = 2x.

Ejemplo 2.2 Halla la recta tangente a y = x³ en x = 1.

Ver los pasos
  1. y′ = 3x², así que la pendiente en x = 1 es 3.
  2. Punto: (1, 1).
  3. y − 1 = 3(x − 1), así que y = 3x − 2.

Respuesta: y = 3x − 2.

Ejemplo 2.3 ¿Para qué a es f(x) = x + 1 (x < 1), ax² (x ≥ 1) continua en todas partes?

Ver los pasos
  1. Límite por la izquierda en 1: 1 + 1 = 2.
  2. Valor y límite por la derecha: a × 1² = a.
  3. La continuidad exige a = 2.

Respuesta: a = 2.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Usa la definición para derivar f(x) = 1/x.

    Ver la respuesta

    [1/(x + h) − 1/x]/h = −1/(x(x + h)) → −1/x².

  2. Una piedra que se deja caer recorre s(t) = 4.9t² metros. Halla su velocidad promedio de t = 1 a t = 3 s y su velocidad instantánea en t = 2 s.

    Ver la respuesta

    Promedio: (44.1 − 4.9)/2 = 19.6 m/s. Instantánea: s′(t) = 9.8t, así que 19.6 m/s en t = 2.

  3. Demuestra que x³ + x − 1 = 0 tiene una raíz entre 0 y 1.

    Ver la respuesta

    f(0) = −1 < 0 y f(1) = 1 > 0, y f es continua, así que por el TVI cruza 0 entre ambos.

  4. ¿Es f(x) = |x| derivable en 0?

    Ver la respuesta

    No. La pendiente es −1 por la izquierda y +1 por la derecha, así que el límite del cociente incremental no existe (una esquina).

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Continua significa derivable.

    En realidad: |x| es continua en 0 pero no tiene derivada ahí. En cambio, derivable sí implica continua.

  • Mito: La derivada es el cambio en y.

    En realidad: Es la tasa de cambio: cambio en y por unidad de cambio en x, en el límite.

  • Mito: La recta tangente toca la curva en un solo punto.

    En realidad: Puede cruzar la curva en otros puntos, e incluso en el punto de tangencia (como y = x³ en 0).

Tarjetas de estudio

  • Continuidad en a

    lim f(x) cuando x → a es igual a f(a).

  • Teorema del valor intermedio

    Continua en [a, b] ⇒ se alcanza todo valor entre f(a) y f(b).

  • Cociente incremental

    [f(x + h) − f(x)]/h, una tasa de cambio promedio.

  • Derivada

    Límite del cociente incremental; tasa de cambio instantánea.

  • Recta tangente

    y = f(a) + f′(a)(x − a).

  • Derivable ⇒ continua

    Pero no al revés.

Cuestionario de autoevaluación

1. Si s(t) es la posición en metros y t está en segundos, s′(t) tiene unidades de…

Ver la respuesta

m/s. Unidades de f divididas entre unidades de x.

2. La derivada de x² en x = 3 es…

Ver la respuesta

6. f′(x) = 2x.

3. ¿Qué función es continua pero no derivable en 0?

Ver la respuesta

|x|. Tiene una esquina en 0.

4. El TVI exige que la función sea…

Ver la respuesta

continua en [a, b]. La continuidad en el intervalo cerrado es la hipótesis clave.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La derivada convierte un registro de posiciones en una rapidez. La navegación por satélite lo hace constantemente: GRACE-FO, por ejemplo, mide cómo cambia la distancia entre sus dos satélites, y esos cambios revelan movimientos de agua y hielo en la Tierra.

Las tasas con unidades son la forma en que se informa del cambio climático en la práctica: partes por millón de CO₂ por año, milímetros de nivel del mar por año. Leer una derivada con sus unidades es una habilidad básica de alfabetización científica.

En Saving Planets: GRACE-FO · Física I + Laboratorio

Fuentes: NASA JPL: GRACE-FO · OpenStax Calculus 1, 3.1 Defining the Derivative (en inglés)

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Unidad 3 · Semanas 5–7

Reglas de derivación

Reglas de la potencia, del producto, del cociente y de la cadena, además de derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, y derivación implícita.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Derivar polinomios, productos, cocientes y composiciones de forma rápida y correcta.
  • Derivar sin, cos, tan, eˣ y ln x.
  • Usar la derivación implícita para hallar dy/dx.
  • Hallar derivadas de orden superior e interpretar la segunda derivada como aceleración.

Conceptos clave

  • Regla de la potencia: d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹ para todo n real.
  • Regla del producto: (fg)′ = f′g + fg′. Regla del cociente: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
  • Regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x)) · g′(x), derivada de fuera por derivada de dentro.
  • eˣ es su propia derivada; ln x tiene derivada 1/x. Por eso e aparece en todo modelo de crecimiento y decaimiento.
  • Derivación implícita: deriva ambos lados respecto a x, tratando y como función de x.

Ecuaciones clave

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
Regla de la potencia
(fg)′=f′g+fg′,(fg)′=f′g−fg′g2(fg)'=f'g+fg',\quad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
Reglas del producto y del cociente
ddxf(g(x))=f′(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)
Regla de la cadena
ddxex=ex,ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x
Exponencial y logaritmo
ddxsin⁡x=cos⁡x,ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
Derivadas trigonométricas

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 3.1 Deriva y = x² sin x.

Ver los pasos
  1. Regla del producto con f = x², g = sin x.
  2. y′ = 2x sin x + x² cos x.

Respuesta: y′ = 2x sin x + x² cos x.

Ejemplo 3.2 Deriva y = (3x² + 1)⁵.

Ver los pasos
  1. Fuera: u⁵ → 5u⁴. Dentro: u = 3x² + 1 → 6x.
  2. y′ = 5(3x² + 1)⁴ · 6x.

Respuesta: y′ = 30x(3x² + 1)⁴.

Ejemplo 3.3 Halla la pendiente de la circunferencia x² + y² = 25 en (3, 4).

Ver los pasos
  1. Deriva: 2x + 2y y′ = 0.
  2. y′ = −x/y = −3/4.

Respuesta: −3/4.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. d/dx (3x⁴ − 5x² + 7)

    Ver la respuesta

    12x³ − 10x.

  2. d/dx ln(x² + 1)

    Ver la respuesta

    2x/(x² + 1) (regla de la cadena).

  3. d/dx (x/(x + 1))

    Ver la respuesta

    [(x + 1) − x]/(x + 1)² = 1/(x + 1)².

  4. Una cantidad crece según Q(t) = 1000e^(0.02t). ¿Con qué rapidez crece en t = 0 y cuál es su tasa de crecimiento relativa?

    Ver la respuesta

    Q′(t) = 20e^(0.02t), así que 20 unidades por unidad de tiempo en t = 0. Q′/Q = 0.02, un 2% constante por unidad de tiempo.

  5. Si s(t) = t³ − 6t², halla la velocidad y la aceleración en t = 1.

    Ver la respuesta

    v = 3t² − 12t = −9; a = 6t − 12 = −6.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: La derivada de un producto es el producto de las derivadas.

    En realidad: Usa la regla del producto: (fg)′ = f′g + fg′.

  • Mito: d/dx sin(3x) = cos(3x).

    En realidad: Regla de la cadena: 3 cos(3x).

  • Mito: d/dx eˣ = x eˣ⁻¹.

    En realidad: La regla de la potencia no se aplica a exponentes variables. d/dx eˣ = eˣ.

Tarjetas de estudio

  • Regla de la potencia

    d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹.

  • Regla del producto

    (fg)′ = f′g + fg′.

  • Regla del cociente

    (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².

  • Regla de la cadena

    [f(g(x))]′ = f′(g(x)) g′(x).

  • d/dx eˣ

    eˣ.

  • d/dx ln x

    1/x.

Cuestionario de autoevaluación

1. d/dx (x⁵) =

Ver la respuesta

5x⁴. Regla de la potencia.

2. d/dx sin(x²) =

Ver la respuesta

2x cos(x²). Regla de la cadena: cos(x²) · 2x.

3. d/dx ln(5x) =

Ver la respuesta

1/x. 5/(5x) = 1/x.

4. Si la posición es s(t), la aceleración es…

Ver la respuesta

s″(t). La aceleración es la derivada de la velocidad.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los modelos de crecimiento y decaimiento basados en eˣ describen el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva que se usa para datar núcleos de hielo y el crecimiento compuesto de las emisiones. La regla de la cadena da sus tasas de cambio en un solo paso.

Una tasa de crecimiento relativa (Q′/Q) es como los científicos comparan cambios en cantidades de tamaños muy distintos, por ejemplo con qué rapidez cambia una superficie forestal o un gas de efecto invernadero, en porcentaje por año.

En Saving Planets: Especial sobre deforestación · Observación de la Tierra

Fuentes: OpenStax Calculus 1, 3.9 Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions (en inglés) · NASA: el dióxido de carbono, signo vital del planeta (en inglés)

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Unidad 4 · Semanas 8–9

Aplicaciones I: tasas relacionadas, aproximación y método de Newton

Usar derivadas para relacionar cantidades que cambian, aproximar valores difíciles, evaluar límites complicados y resolver ecuaciones numéricamente.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Resolver problemas de tasas relacionadas.
  • Usar la aproximación lineal y los diferenciales para estimar valores y errores.
  • Aplicar la regla de L’Hôpital a formas 0/0 e ∞/∞.
  • Resolver ecuaciones con el método de Newton.

Conceptos clave

  • Tasas relacionadas: escribe una ecuación que relacione las cantidades, deriva respecto al tiempo y luego sustituye los valores.
  • Cerca de x = a, f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a): la recta tangente es la mejor estimación lineal.
  • Regla de L’Hôpital: para 0/0 o ∞/∞, lim f/g = lim f′/g′ si el lado derecho existe.
  • Método de Newton: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Suele converger muy rápido desde un buen valor inicial.

Ecuaciones clave

L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
Aproximación lineal
lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}
Regla de L’Hôpital (0/0 o ∞/∞)
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Método de Newton

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 4.1 El radio de un globo meteorológico esférico crece a 2 cm/s. ¿Con qué rapidez crece su volumen cuando r = 10 cm?

Ver los pasos
  1. V = (4/3)πr³, así que dV/dt = 4πr² dr/dt.
  2. dV/dt = 4π × 10² × 2 = 800π ≈ 2,513 cm³/s.

Respuesta: Unos 2510 cm³/s.

Ejemplo 4.2 Estima √4.1 con una aproximación lineal.

Ver los pasos
  1. f(x) = √x, a = 4: f(4) = 2, f′(4) = 1/(2√4) = 1/4.
  2. L(4.1) = 2 + (1/4)(0.1) = 2.025.

Respuesta: 2.025 (el valor real es 2.02485…).

Ejemplo 4.3 Usa el método de Newton para resolver x² = 2 partiendo de x₀ = 1.

Ver los pasos
  1. f(x) = x² − 2, f′(x) = 2x, así que xₙ₊₁ = xₙ − (xₙ² − 2)/(2xₙ).
  2. x₁ = 1.5, x₂ = 1.416667, x₃ = 1.414216.

Respuesta: x₃ = 1.414216, ya correcto con 6 cifras significativas (√2 = 1.4142136…).

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Una escalera de 5 m se desliza por una pared; su base se aleja a 0.5 m/s. ¿Con qué rapidez baja la parte superior cuando la base está a 3 m de la pared?

    Ver la respuesta

    x² + y² = 25, así que x x′ + y y′ = 0. Con x = 3, y = 4: y′ = −(3/4)(0.5) = −0.375 m/s, baja a 0.375 m/s.

  2. lim (eˣ − 1)/x cuando x → 0

    Ver la respuesta

    L’Hôpital: eˣ/1 → 1.

  3. Método de Newton para x³ − 2x − 5 = 0 desde x₀ = 2. Halla x₁ y x₂.

    Ver la respuesta

    f(2) = −1, f′(2) = 10, así que x₁ = 2.1. f(2.1) = 0.061, f′(2.1) = 11.23, así que x₂ = 2.0946.

  4. Usa diferenciales para estimar el cambio en el área de un disco de 10 cm de radio si el radio crece 0.1 cm.

    Ver la respuesta

    dA = 2πr dr = 2π × 10 × 0.1 = 2π ≈ 6.28 cm².

Ideas erróneas comunes

  • Mito: L’Hôpital significa derivar el cociente f/g.

    En realidad: Deriva el numerador y el denominador por separado, y solo para formas 0/0 o ∞/∞.

  • Mito: En tasas relacionadas, primero se sustituyen los números y luego se deriva.

    En realidad: Deriva primero; sustituir demasiado pronto convierte variables en constantes de derivada cero.

  • Mito: El método de Newton siempre encuentra una raíz.

    En realidad: Un mal punto de partida, o f′ cercana a cero, puede hacer que se desvíe o entre en ciclo.

Tarjetas de estudio

  • Tasas relacionadas

    Derivar respecto a t una ecuación que relaciona cantidades.

  • Aproximación lineal

    f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a).

  • Diferencial

    dy = f′(x) dx.

  • Regla de L’Hôpital

    Para 0/0 o ∞/∞: lim f/g = lim f′/g′.

  • Método de Newton

    xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).

  • Convergencia cuadrática

    Cerca de una raíz simple, el método de Newton duplica aproximadamente los dígitos correctos en cada paso.

Cuestionario de autoevaluación

1. La aproximación lineal usa la…

Ver la respuesta

recta tangente. L(x) es la recta tangente en a.

2. La regla de L’Hôpital se aplica a…

Ver la respuesta

formas 0/0 e ∞/∞. Solo cocientes indeterminados.

3. Un paso del método de Newton en f(x) = x² − 9 desde x₀ = 4 da…

Ver la respuesta

3.125. 4 − 7/8 = 3.125.

4. Si V = s³ y ds/dt = 1, entonces dV/dt en s = 2 es…

Ver la respuesta

12. 3s² ds/dt = 12.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Predecir dónde estará un satélite significa resolver la ecuación de Kepler, M = E − e sin E, para E. No tiene solución algebraica, así que suele resolverse numéricamente, a menudo con el método de Newton, como en el laboratorio B. Una predicción orbital precisa mantiene separados con seguridad los satélites de observación de la Tierra y sitúa bien sus imágenes en el mapa.

Los globos meteorológicos, como el del ejemplo 4.1, llevan instrumentos que miden la atmósfera para los pronósticos del tiempo; las tasas relacionadas vinculan lo rápido que suben y se expanden.

En Saving Planets: Guía de órbitas · Calculadora de período orbital

Fuentes: OpenStax Calculus 1, 4.9 Newton’s Method (en inglés) · OpenStax University Physics 1, 13.5 Kepler’s Laws (en inglés)

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Unidad 5 · Semanas 10–11

Aplicaciones II: extremos, forma de la gráfica y optimización

Hallar máximos y mínimos, leer la forma de una gráfica a partir de f′ y f″, y resolver problemas reales de diseño mediante optimización.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar puntos críticos y extremos absolutos en un intervalo cerrado.
  • Enunciar y usar el teorema del valor medio.
  • Usar los criterios de la primera y segunda derivada y hallar puntos de inflexión.
  • Plantear y resolver problemas de optimización aplicada.

Conceptos clave

  • Los puntos críticos son donde f′ = 0 o f′ no existe. Los extremos de una función suave ocurren ahí o en los extremos del intervalo.
  • Teorema del valor medio: en un intervalo suave, la tasa instantánea es igual a la tasa promedio en algún punto.
  • f′ > 0 significa creciente; f″ > 0 significa cóncava hacia arriba. Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad.
  • Receta de optimización: dibuja, escribe la cantidad a optimizar como función de una variable usando la restricción, deriva, halla los puntos críticos y revisa los extremos.

Ecuaciones clave

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Teorema del valor medio
f′(c)=0, f′′(c)<0⇒local maxf'(c)=0,\ f''(c)<0\Rightarrow\text{local max}
Criterio de la segunda derivada
Cp(a)=4a(1−a)2C_p(a)=4a(1-a)^2
Coeficiente de potencia de un aerogenerador frente a la inducción axial a (modelo de disco actuador)

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 5.1 Halla los extremos locales de f(x) = x³ − 3x.

Ver los pasos
  1. f′(x) = 3x² − 3 = 0 en x = ±1.
  2. f″(x) = 6x: f″(−1) = −6 < 0 (máx.), f″(1) = 6 > 0 (mín.).
  3. f(−1) = 2, f(1) = −2.

Respuesta: Máximo local 2 en x = −1; mínimo local −2 en x = 1.

Ejemplo 5.2 Una lata cilíndrica cerrada debe contener 500 cm³. ¿Qué radio usa menos metal?

Ver los pasos
  1. Restricción: πr²h = 500, así que h = 500/(πr²).
  2. Área A = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1000/r.
  3. A′ = 4πr − 1000/r² = 0 da r³ = 500/(2π), r = 4.30 cm.
  4. Entonces h = 8.60 cm = 2r, y A = 349 cm².

Respuesta: r = 4.30 cm, h = 8.60 cm (la altura es igual al diámetro).

Ejemplo 5.3 En el modelo más simple de un aerogenerador, la fracción de potencia del viento captada es Cp = 4a(1 − a)², donde a indica cuánto frena el rotor al viento. Halla el máximo.

Ver los pasos
  1. Cp′ = 4(1 − a)² − 8a(1 − a) = 4(1 − a)(1 − 3a).
  2. Puntos críticos a = 1 y a = 1/3; a = 1 da Cp = 0.
  3. Cp(1/3) = 4 × (1/3) × (2/3)² = 16/27 = 0.593.

Respuesta: 59.3%: el límite de Betz, el máximo teórico para cualquier aerogenerador.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Un agricultor tiene 100 m de cerca para tres lados de un rectángulo junto a un río. ¿Cuál es el área máxima?

    Ver la respuesta

    A = x(100 − 2x); A′ = 100 − 4x = 0 en x = 25. Área = 25 × 50 = 1250 m².

  2. Halla el máximo y el mínimo absolutos de f(x) = x² − 4x en [0, 5].

    Ver la respuesta

    Punto crítico x = 2: f = −4. Extremos: f(0) = 0, f(5) = 5. Máx. 5, mín. −4.

  3. Verifica el TVM para f(x) = x² en [1, 3].

    Ver la respuesta

    Tasa promedio (9 − 1)/2 = 4; f′(c) = 2c = 4 en c = 2, dentro de [1, 3].

  4. ¿Dónde es f(x) = x³ − 6x² cóncava hacia arriba?

    Ver la respuesta

    f″ = 6x − 12 > 0 cuando x > 2; punto de inflexión en x = 2.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: f′(c) = 0 siempre significa un máximo o un mínimo.

    En realidad: x³ tiene f′(0) = 0 pero no hay extremo ahí.

  • Mito: El máximo absoluto siempre está en un punto crítico.

    En realidad: En un intervalo cerrado puede estar en un extremo. Revísalos siempre.

  • Mito: Cóncava hacia arriba significa creciente.

    En realidad: La concavidad depende de f″; una función puede ser cóncava hacia arriba y decreciente, como e⁻ˣ.

Tarjetas de estudio

  • Punto crítico

    f′ = 0 o no definida.

  • Teorema del valor extremo

    Continua en [a, b] ⇒ existen máximo y mínimo absolutos.

  • Teorema del valor medio

    f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a) para algún c.

  • Criterio de la primera derivada

    Un cambio de signo de f′ de + a − es un máximo; de − a +, un mínimo.

  • Concavidad

    f″ > 0 hacia arriba, f″ < 0 hacia abajo.

  • Límite de Betz

    Max Cp = 16/27 ≈ 59.3%.

Cuestionario de autoevaluación

1. Si f′(c) = 0 y f″(c) > 0, entonces en c f tiene un…

Ver la respuesta

mínimo local. Cóncava hacia arriba en un punto plano: un valle.

2. El límite de Betz para aerogeneradores es aproximadamente…

Ver la respuesta

59%. 16/27 ≈ 0.593, al maximizar 4a(1 − a)².

3. El TVM garantiza un punto donde…

Ver la respuesta

f′ es igual a la tasa de cambio promedio. Tasa instantánea = tasa promedio.

4. Un punto de inflexión es donde…

Ver la respuesta

cambia la concavidad. f″ cambia de signo.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La optimización es ingeniería. El límite de Betz del ejemplo 5.3 sale de igualar a cero una sola derivada, y dice a los ingenieros eólicos lo máximo que cualquier aerogenerador podría extraer del viento.

Los diseñadores de misiones también optimizan: una transferencia de Hohmann suele ser la ruta de dos encendidos más eficiente en combustible entre dos órbitas circulares, y menos propelente significa lanzamientos más pequeños y baratos para satélites climáticos y meteorológicos.

Usar el menor material posible para una tarea, como la lata del ejemplo 5.2, reduce la energía y los recursos que se gastan en fabricarla.

En Saving Planets: Calculadora de transferencia de Hohmann · Física I, unidad 4: energía eólica

Fuentes: DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés) · OpenStax Calculus 1, 4.7 Applied Optimization Problems (en inglés)

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Unidad 6 · Semanas 12–14

Integrales y teorema fundamental del cálculo

Las integrales suman pedazos diminutos: área, distancia, energía. El teorema fundamental las relaciona con las derivadas.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Aproximar áreas con sumas de Riemann y la regla del trapecio.
  • Definir la integral definida y usar sus propiedades.
  • Usar las dos partes del teorema fundamental del cálculo.
  • Hallar antiderivadas, también por sustitución, y calcular cambio neto, valor promedio y áreas entre curvas.

Conceptos clave

  • Una suma de Riemann suma f(xᵢ)Δx sobre franjas pequeñas; la integral definida es su límite cuando las franjas se estrechan.
  • TFC parte 1: d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x). La integración y la derivación se deshacen mutuamente.
  • TFC parte 2: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) para cualquier antiderivada F.
  • Teorema del cambio neto: integrar una tasa da el cambio total. Integrar potencia da energía; integrar velocidad da desplazamiento.
  • La sustitución es la regla de la cadena al revés.

Ecuaciones clave

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)Δx\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x
Integral definida
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
TFC parte 1
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)
TFC parte 2
∫xn dx=xn+1n+1+C (n≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1),\quad \int\frac1x\,dx=\ln|x|+C
Antiderivadas básicas
favg=1b−a∫abf(x) dxf_{avg}=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx
Valor promedio

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 6.1 Halla ∫₀² x² dx.

Ver los pasos
  1. Antiderivada x³/3.
  2. 8/3 − 0 = 8/3.

Respuesta: 8/3 ≈ 2.667.

Ejemplo 6.2 Halla ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.

Ver los pasos
  1. Sea u = x² + 1, du = 2x dx; u va de 1 a 2.
  2. ∫₁² u³ du = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4.

Respuesta: 15/4 = 3.75.

Ejemplo 6.3 En un día despejado, la producción de un campo solar se modela como P(t) = 5 sin(πt/12) kW para 0 ≤ t ≤ 12 horas tras el amanecer. ¿Cuánta energía produce?

Ver los pasos
  1. Energía = ∫₀¹² 5 sin(πt/12) dt.
  2. Antiderivada: −(60/π) cos(πt/12).
  3. −(60/π)(cos π − cos 0) = 120/π.

Respuesta: 120/π ≈ 38.2 kWh (un modelo simplificado, no un campo real).

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. ∫₀^π sin x dx

    Ver la respuesta

    [−cos x]₀^π = 1 + 1 = 2.

  2. d/dx ∫₀ˣ cos(t²) dt

    Ver la respuesta

    cos(x²), por la parte 1 del TFC.

  3. La velocidad de ascenso de un cohete es v(t) = 9.8t m/s durante 3 s. ¿Cuánto sube?

    Ver la respuesta

    ∫₀³ 9.8t dt = 4.9 × 9 = 44.1 m.

  4. Halla el área entre y = x e y = x² en [0, 1].

    Ver la respuesta

    ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

  5. Halla el valor promedio de f(x) = x² en [0, 3].

    Ver la respuesta

    (1/3) ∫₀³ x² dx = (1/3)(9) = 3.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Una integral siempre es un área, así que siempre es positiva.

    En realidad: Es un área con signo: las partes bajo el eje cuentan como negativas. ∫₀^{2π} sin x dx = 0.

  • Mito: Olvidar el + C no importa.

    En realidad: En las integrales indefinidas la constante es parte de la respuesta; importa siempre que se da una condición inicial.

  • Mito: En una sustitución, conserva los límites antiguos.

    En realidad: Cambia los límites a valores de u, o vuelve a sustituir antes de evaluar.

Tarjetas de estudio

  • Suma de Riemann

    Σ f(xᵢ*) Δx; una estimación del área.

  • Integral definida

    Límite de las sumas de Riemann; área con signo.

  • TFC parte 1

    d/dx ∫ₐˣ f = f(x).

  • TFC parte 2

    ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).

  • Cambio neto

    Integral de una tasa = cambio total.

  • Sustitución

    u = g(x), du = g′(x) dx: la regla de la cadena al revés.

Cuestionario de autoevaluación

1. ∫₁³ 2x dx =

Ver la respuesta

8. [x²]₁³ = 9 − 1 = 8.

2. Integrar una curva de potencia (kW) en el tiempo (h) da…

Ver la respuesta

kWh de energía. Teorema del cambio neto: la integral de una tasa es un total.

3. d/dx ∫₂ˣ t³ dt =

Ver la respuesta

x³. TFC parte 1.

4. ∫ 1/x dx =

Ver la respuesta

ln|x| + C. La excepción n = −1 de la regla de la potencia.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La energía es la integral de la potencia en el tiempo. Los planificadores de la red suman así la producción solar y eólica hora a hora para saber cuánta energía limpia obtendrán y cuánto almacenamiento necesitarán.

Los instrumentos satelitales miden tasas, como el flujo de luz solar o de agua, y las integrales convierten esas tasas en totales: cuánta energía absorbe la Tierra o cuánta agua gana o pierde una cuenca en una estación.

La integración numérica del laboratorio D es exactamente cómo se integran los datos reales, que llegan como mediciones separadas.

En Saving Planets: GRACE-FO · Calculadoras

Fuentes: OpenStax Calculus 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (en inglés) · DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés)

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Laboratorios de computadora

El cálculo no tiene laboratorio húmedo, así que este curso tiene en su lugar cuatro laboratorios cortos de computadora. Cada uno aplica una unidad a datos de estilo real con una hoja de cálculo: diferencias finitas, método de Newton, optimización e integración numérica.

Son los mismos métodos numéricos que usan a diario ingenieros y científicos del clima. Los datos de muestra de cada laboratorio son para practicar; cada laboratorio enlaza a la fuente de datos real.

Referencia de seguridad: Laboratorio de Monitoreo Global de la NOAA: tendencias del CO₂ (en inglés)

Laboratorio A: tasas de cambio a partir de datos

Semana 4

Objetivo: Estimar una tasa de cambio y su aceleración a partir de una tabla de mediciones, como tratan los científicos del clima un registro de CO₂.

f′(ti)≈f(ti+1)−f(ti−1)ti+1−ti−1,f′′(ti)≈f(ti+1)−2f(ti)+f(ti−1)h2f'(t_i)\approx\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{t_{i+1}-t_{i-1}},\quad f''(t_i)\approx\frac{f(t_{i+1})-2f(t_i)+f(t_{i-1})}{h^2}
Diferencias centradas para la primera y segunda derivada

Procedimiento

  1. Introduce la tabla de muestra en una hoja de cálculo.
  2. Calcula las diferencias hacia adelante (tasa en cada año) y las diferencias centradas.
  3. Calcula la segunda diferencia: ¿la tasa misma está subiendo?
  4. Descarga las medias anuales reales de la NOAA y repite; compara con las tasas de crecimiento publicadas por la NOAA.

Tabla de datos

Año tC (ppm)
0400.0
1402.4
2404.9
3407.5
4410.2

Valores de muestra para practicar, no mediciones reales. Usa los datos de la NOAA para lo real.

Cálculo de ejemplo

  1. Diferencia centrada en t = 2: (407.5 − 402.4)/2 = 2.55 ppm por año.
  2. Segunda diferencia en t = 2: 407.5 − 2(404.9) + 402.4 = 0.1 ppm por año².
  3. Una segunda diferencia positiva significa que la tasa de crecimiento misma aumenta (en esta muestra).

Seguridad

  • Guarda una copia intacta de los datos brutos; haz los cálculos en columnas nuevas.

Alternativa en casa o virtual

  • Aquí todo se hace en computadora o incluso a mano.

NOAA GML: tasas de crecimiento del CO₂ (en inglés)

Vínculo con el planeta: Las tasas de cambio son la forma de informar y comparar las tendencias del CO₂. NOAA GML: tendencias del CO₂ atmosférico (en inglés)

Laboratorio B: método de Newton y ecuación de Kepler

Semana 9

Objetivo: Resolver la ecuación de Kepler M = E − e sin E para la anomalía excéntrica E de un satélite, el paso clave para predecir dónde está.

En+1=En−En−esin⁡En−M1−ecos⁡EnE_{n+1}=E_n-\frac{E_n-e\sin E_n-M}{1-e\cos E_n}
Método de Newton para la ecuación de Kepler

Procedimiento

  1. Fija M = 1.0 rad y e = 0.1 en una hoja de cálculo; empieza con E₀ = M.
  2. Copia la fórmula de Newton hacia abajo en cuatro filas.
  3. Observa cuántos dígitos dejan de cambiar en cada paso.
  4. Prueba e = 0.9 y E₀ = M: ¿cuántos pasos necesita ahora?

Tabla de datos

Paso nEₙ (rad)
01.000000
11.088953
21.088598
31.088598

Valores calculados (M = 1.0 rad, e = 0.1).

Cálculo de ejemplo

  1. f(E) = E − 0.1 sin E − 1; f′(E) = 1 − 0.1 cos E.
  2. Desde E₀ = 1: E₁ = 1.088953, E₂ = 1.088598, tras lo cual los primeros 7 dígitos dejan de cambiar.
  3. Comprobación: 1.088598 − 0.1 sin(1.088598) = 1.000000.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta una hoja de cálculo o Desmos.

OpenStax Calculus 1, 4.9 Newton’s Method (en inglés)

Vínculo con el planeta: La predicción orbital mantiene seguros los satélites de observación de la Tierra y bien situados sus datos.

Laboratorio C: optimizar un aerogenerador

Semana 11

Objetivo: Confirmar el límite de Betz numéricamente y con cálculo.

Cp(a)=4a(1−a)2,Cp′(a)=4(1−a)(1−3a)C_p(a)=4a(1-a)^2,\quad C_p'(a)=4(1-a)(1-3a)
Coeficiente de potencia y su derivada

Procedimiento

  1. Tabula Cp para a = 0 a 0.5 en pasos de 0.05 y grafícalo.
  2. Encuentra el valor más alto de la tabla.
  3. Resuelve Cp′(a) = 0 a mano y compara.

Tabla de datos

aCp
0.200.512
0.300.588
1/30.593
0.400.576

Valores calculados con el modelo.

Cálculo de ejemplo

  1. Cp(0.3) = 4 × 0.3 × 0.7² = 0.588.
  2. Cp(1/3) = 16/27 = 0.593, el máximo.
  3. Los aerogeneradores reales captan menos por el arrastre, la rotación de la estela y las pérdidas en la punta de las palas.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta una hoja de cálculo o Desmos.

DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés)

Vínculo con el planeta: Conocer el techo dice a los ingenieros cuánto se puede mejorar todavía.

Laboratorio D: integración numérica de la energía solar

Semana 13

Objetivo: Integrar una curva de potencia con las reglas del punto medio y del trapecio y comparar con la respuesta exacta.

Tn=Δt2[f0+2f1+⋯+2fn−1+fn]T_n=\frac{\Delta t}2\left[f_0+2f_1+\dots+2f_{n-1}+f_n\right]
Regla del trapecio

Procedimiento

  1. Modelo P(t) = 5 sin(πt/12) kW en 0 ≤ t ≤ 12 h.
  2. Con n = 6 franjas (Δt = 2 h), calcula las sumas del punto medio y del trapecio.
  3. Compara con el valor exacto 120/π kWh. Duplica n y observa cómo se reducen los errores.

Tabla de datos

Método (n = 6)Energía (kWh)
Punto medio38.64
Trapecio37.32
Exacta (TFC)38.20

Valores del modelo, no datos de un campo real.

Cálculo de ejemplo

  1. Trapecio: 2 × [0 + 2(2.5 + 4.330 + 5 + 4.330 + 2.5)]/2 = 37.32 kWh.
  2. Punto medio: 2 × Σ P en t = 1, 3, …, 11 = 38.64 kWh.
  3. Errores: punto medio +0.44, trapecio −0.88. El error del punto medio es aproximadamente la mitad del del trapecio, con signo opuesto, como predice la teoría.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta una hoja de cálculo o Desmos.

OpenStax Calculus 1, 5.1 Approximating Areas (en inglés)

Vínculo con el planeta: Así se suman los datos reales de energía por hora para planificar la energía limpia y el almacenamiento.

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Series de práctica para exámenes

Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.

Serie de práctica de mitad de curso (unidades 1–3)

  1. Halla lim (x − 4)/(√x − 2) cuando x → 4.

    Ver la solución completa
    1. Multiplica por √x + 2: (x − 4)(√x + 2)/(x − 4) = √x + 2.
    2. Sustituye x = 4: 2 + 2.

    Respuesta: 4.

  2. Deriva y = x³eˣ y evalúa en x = 1.

    Ver la solución completa
    1. Regla del producto: y′ = 3x²eˣ + x³eˣ = (3x² + x³)eˣ.
    2. At x = 1: 4e.

    Respuesta: 4e ≈ 10.87.

  3. Halla la recta tangente a y = ln x en x = 1.

    Ver la solución completa
    1. y(1) = 0, y′ = 1/x = 1.
    2. y − 0 = 1(x − 1).

    Respuesta: y = x − 1.

  4. Deriva y = sin(3x²).

    Ver la solución completa
    1. Regla de la cadena: cos(3x²) · 6x.

    Respuesta: y′ = 6x cos(3x²).

Serie de práctica final (todas las unidades)

  1. Entra agua en un tanque cilíndrico de 2 m de radio a 0.5 m³/min. ¿Con qué rapidez sube el nivel?

    Ver la solución completa
    1. V = πr²h = 4πh, así que dV/dt = 4π dh/dt.
    2. dh/dt = 0.5/(4π).

    Respuesta: Unos 0.0398 m/min (4.0 cm por minuto).

  2. Halla ∫₁ᵉ (1/x) dx.

    Ver la solución completa
    1. [ln x]₁ᵉ = 1 − 0.

    Respuesta: 1.

  3. Halla ∫₀⁴ √x dx.

    Ver la solución completa
    1. Antiderivada (2/3)x^(3/2).
    2. (2/3)(8) = 16/3.

    Respuesta: 16/3 ≈ 5.33.

  4. Un rectángulo tiene 40 m de perímetro. ¿Qué dimensiones maximizan su área?

    Ver la solución completa
    1. A = x(20 − x); A′ = 20 − 2x = 0 en x = 10.

    Respuesta: Un cuadrado de 10 m × 10 m, de área 100 m².

  5. Usa L’Hôpital para hallar lim x²/eˣ cuando x → ∞.

    Ver la solución completa
    1. ∞/∞: → 2x/eˣ, todavía ∞/∞.
    2. → 2/eˣ → 0.

    Respuesta: 0: las exponenciales crecen más que cualquier potencia.

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Hoja de fórmulas

f′(x)=lim⁡h→0[f(x+h)−f(x)]/hf'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h
(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}
(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
(f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1/x(e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=1/x
(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (tan⁡x)′=sec⁡2x(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=\sec^2x
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
f′(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a)f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
∫xn dx=xn+1/(n+1)+C\int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C
∫ex dx=ex+C, ∫dx/x=ln⁡∣x∣+C\int e^x\,dx=e^x+C,\ \int dx/x=\ln|x|+C
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C, ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\ \int\cos x\,dx=\sin x+C
∫abf dx=F(b)−F(a)\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a)
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
favg=1b−a∫abf dxf_{avg}=\frac1{b-a}\int_a^bf\,dx

Constantes

ConstanteValor
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
1 radián57.2958°

Fuente: NIST: constantes físicas fundamentales (en inglés)

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Glosario

Antiderivada
Una función F con F′ = f.
Asíntota
Una recta a la que se acerca una gráfica lejos o cerca de donde se dispara.
Regla de la cadena
Derivada de una composición: derivada de fuera × derivada de dentro.
Concavidad
Dirección en que se curva una gráfica; signo de f″.
Continuidad
Sin saltos: el límite es igual al valor de la función.
Punto crítico
Donde f′ es cero o no está definida.
Integral definida
Área con signo bajo una curva entre dos límites.
Derivada
Tasa de cambio instantánea; pendiente de la recta tangente.
Diferencial
dy = f′(x) dx.
Teorema fundamental del cálculo
Relaciona derivadas e integrales; ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).
Forma indeterminada
0/0 o ∞/∞; requiere más trabajo.
Punto de inflexión
Donde cambia la concavidad.
Límite
El valor al que se acerca una función.
Aproximación lineal
Estimación con la recta tangente.
Teorema del valor medio
La tasa instantánea es igual a la tasa promedio en algún punto.
Método de Newton
Búsqueda iterativa de raíces con rectas tangentes.
Optimización
Hallar el mejor valor de una cantidad bajo restricciones.
Suma de Riemann
Suma de áreas de rectángulos que aproxima una integral.
Sustitución
Técnica de integración que invierte la regla de la cadena.
Regla del trapecio
Integración numérica con trapecios.

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Rúbrica de autoevaluación

No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.

NivelCómo se ve
4 · DominioResuelve problemas nuevos, justifica cada paso con una regla o teorema y comprueba las respuestas con una gráfica o una estimación.
3 · CompetenteResuelve correctamente los ejercicios con algún desliz algebraico ocasional.
2 · En desarrolloSigue los ejemplos resueltos pero le cuesta elegir un método, o aplica mal la regla de la cadena.
1 · InicialMemoriza fórmulas sin saber cuándo se aplican; necesita repasar la unidad.

Ponderación sugerida si quieres una nota

PartePeso
Problemas de práctica30%
Laboratorios de computadora15%
Serie de práctica de mitad de curso25%
Serie de práctica final30%

Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.

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