التفاضل والتكامل 2

تقنيات التكامل وتطبيقاته، والمعادلات التفاضلية، ومتسلسلات تايلور، والمنحنيات الوسيطية والقطبية، مع أربعة مختبرات حاسوبية. مجاني، بالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بعمل حقيقي لإنقاذ الكوكب.

CNES (PIA25623)NASA Blue MarbleNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)NASA/JPL-Caltech

الدورات › MATH 111

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه الفصل الثاني من حساب التفاضل والتكامل الجامعي، على غرار موضوعات ومستوى مواد مفتوحة مثل OpenStax Calculus Volume 2 وMIT OpenCourseWare 18.01SC (مع أفكار وسيطية وقطبية تقود إلى 18.02SC Multivariable Calculus)، ونضع روابط إليها في أنحاء المقرر. هذه المؤسسات لا تتبنى هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بمسائل حقيقية في المياه والطاقة والبيئة ورحلات الفضاء، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه ببرنامج تحقق قبل النشر، وأربعة مختبرات حاسوبية تطبّق الأساليب على البيانات.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

في حساب التفاضل والتكامل II يبدأ الحساب في نمذجة العالم: أحجام المياه في الخزانات، والشغل اللازم لضخها، وكيف يُطرد ملوث من بحيرة، وكيف تتعافى أعداد الأسماك، والمدارات الإهليلجية للأقمار الصناعية التي ترصد كل ذلك.

تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق بالمصادر يبيّن كيف تساعد أفكارها الناس والطبيعة معًا.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • حساب التفاضل والتكامل I: النهايات، والمشتقات، وقاعدة السلسلة، والتكاملات الأساسية والتعويض، والمبرهنة الأساسية.
  • المتطابقات المثلثية، وخاصة sin²x + cos²x = 1 وصيغ ضعف الزاوية.
  • الدوال الأسية واللوغاريتمات.

كيف تذاكر

  • اقرأ الوحدة، ثم أغلقها وجرّب الأمثلة المحلولة بنفسك قبل التحقق من كل خطوة.
  • حلّ كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة.
  • في التكاملات، تحقق من إجابتك باشتقاقها.
  • في المتسلسلات، حدد الاختبار المناسب قبل حساب أي شيء.
  • ارسم كل منطقة قبل إعداد تكامل الحجم أو المساحة.
  • أعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام. التدرّب المتباعد أفضل من جلسة طويلة واحدة.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي مع جدول بيانات.
  • آلة حاسبة بيانية مجانية مثل Desmos.
  • اختياري: Python مع NumPy.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1تقنيات التكاملالتكامل بالتجزئةOpenStax 3.1
2تقنيات التكاملالتكاملات المثلثية والتعويضOpenStax 3.2–3.3
3تقنيات التكاملالكسور الجزئية؛ التكامل العدديOpenStax 3.4–3.6
4تطبيقات: الحجم وطول القوس والشغل ومركز الكتلةالمساحات، والحجوم بالشرائح، والأقراص، والحلقات، والأغلفة الأسطوانيةOpenStax 2.1–2.3
5تطبيقات: الحجم وطول القوس والشغل ومركز الكتلةطول القوس، والشغل، وقوة الموائع، ومراكز الكتلة؛ المختبر BOpenStax 2.4–2.6
6التكاملات المعتلةالتكاملات المعتلة والمقارنة؛ تدريب على الاختبار النصفيOpenStax 3.7
7مقدمة في المعادلات التفاضليةالمعادلات التفاضلية، وحقول الاتجاهات، وطريقة أويلرOpenStax 4.1–4.2
8مقدمة في المعادلات التفاضليةالمعادلات القابلة للفصل واللوجستية؛ المختبر AOpenStax 4.3–4.4
9المتتاليات والمتسلسلاتالمتتاليات؛ المتسلسلات اللانهائية؛ المتسلسلات الهندسيةOpenStax 5.1–5.2
10المتتاليات والمتسلسلاتاختبارات التباعد والتكامل والمقارنةOpenStax 5.3–5.4
11المتتاليات والمتسلسلاتالمتسلسلات المتناوبة؛ اختبارا النسبة والجذرOpenStax 5.5–5.6
12متسلسلات القوى ومتسلسلات تايلورمتسلسلات القوى وخصائصهاOpenStax 6.1–6.2
13متسلسلات القوى ومتسلسلات تايلورمتسلسلات تايلور وماكلورين؛ المختبر COpenStax 6.3–6.4
14المعادلات الوسيطية والإحداثيات القطبيةالمعادلات الوسيطية؛ الإحداثيات القطبية والمساحات؛ المختبر DOpenStax 7.1–7.4
15المراجعةمراجعة ومجموعة تمارين نهائيةكل الوحدات

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسابيع 1–3

تقنيات التكامل

التكامل بالتجزئة، والتكاملات والتعويضات المثلثية، والكسور الجزئية، والتكامل العددي حين لا توجد صيغة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إجراء التكامل بالتجزئة مع حسن اختيار u وdv.
  • حساب التكاملات المثلثية واستخدام التعويض المثلثي.
  • تحليل الدوال النسبية إلى كسور جزئية.
  • تقريب التكاملات بقاعدة شبه المنحرف وقاعدة سيمبسون، وتقدير الخطأ.

المفاهيم الأساسية

  • التكامل بالتجزئة هو قاعدة الضرب معكوسة: ∫u dv = uv − ∫v du. اختر u مما يصبح أبسط عند الاشتقاق (اللوغاريتمات، كثيرات الحدود).
  • تُحلّ قوى الجيب وجيب التمام بمتطابقات مثل sin²x = (1 − cos 2x)/2.
  • في √(a² − x²) عوّض x = a sin θ؛ وفي √(a² + x²) عوّض x = a tan θ.
  • تنقسم الدالة النسبية الفعلية إلى كسور بسيطة تكاملاتها لوغاريتمات ودوال ظل عكسية (arctan).
  • كثير من التكاملات، مثل ∫e^(−x²) dx، ليس لها دالة أصلية أولية. وكثيرًا ما تعطي قاعدة سيمبسون أرقامًا دقيقة عديدة بنقاط قليلة.

المعادلات الأساسية

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
التكامل بالتجزئة
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x)
متطابقة تخفيض القوى
1x2−1=1/2x−1−1/2x+1\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}
تحليل إلى كسور جزئية
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\frac{\Delta x}{3}\left[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\right]
قاعدة سيمبسون (n زوجي)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 أوجد ∫₀¹ x eˣ dx.

اعرض الخطوات
  1. u = x، dv = eˣ dx، إذن du = dx، v = eˣ.
  2. ∫x eˣ dx = x eˣ − ∫eˣ dx = (x − 1)eˣ.
  3. من 0 إلى 1: 0 − (−1) = 1.

الإجابة: 1.

مثال 1.2 أوجد ∫₂³ dx/(x² − 1).

اعرض الخطوات
  1. الكسور الجزئية: ½[1/(x − 1) − 1/(x + 1)].
  2. الدالة الأصلية ½ ln|(x − 1)/(x + 1)|.
  3. ½[ln(2/4) − ln(1/3)] = ½ ln(3/2).

الإجابة: ½ ln 1.5 ≈ 0.2027.

مثال 1.3 قدّر ∫₀¹ e^(−x²) dx بقاعدة سيمبسون، n = 4.

اعرض الخطوات
  1. Δx = 0.25; f = 1, 0.93941, 0.77880, 0.56978, 0.36788.
  2. S₄ = (0.25/3)[1 + 4(0.93941) + 2(0.77880) + 4(0.56978) + 0.36788].
  3. S₄ = 0.74686.

الإجابة: 0.74686، مقابل القيمة الحقيقية 0.74682: خطأ قدره 0.00003 فقط من خمس نقاط.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ∫₀^π x sin x dx

    اعرض الإجابة

    بالتجزئة: [−x cos x + sin x]₀^π = π.

  2. ∫₁ᵉ x ln x dx

    اعرض الإجابة

    بالتجزئة مع u = ln x: [x² ln x/2 − x²/4]₁ᵉ = (e² + 1)/4 ≈ 2.097.

  3. ∫₀^(π/2) sin²x dx

    اعرض الإجابة

    تخفيض القوى: ½[x − sin 2x/2]₀^(π/2) = π/4.

  4. ∫₀¹ √(1 − x²) dx

    اعرض الإجابة

    x = sin θ يعطي ∫₀^(π/2) cos²θ dθ = π/4 (ربع قرص الوحدة).

  5. ∫₀¹ dx/(1 + x²)

    اعرض الإجابة

    [arctan x]₀¹ = π/4.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: اجعل u دائمًا أول عامل تراه.

    في الحقيقة: اختر u مما يبسط عند الاشتقاق: اللوغاريتمات وكثيرات الحدود أولًا، والدوال الأسية والمثلثية تكون dv.

  • خرافة: الكسور الجزئية تصلح لأي دالة نسبية.

    في الحقيقة: اقسم أولًا إذا لم تكن درجة البسط أصغر من درجة المقام.

  • خرافة: إن لم أجد دالة أصلية، فليس للتكامل قيمة.

    في الحقيقة: لا تزال له قيمة؛ قدّرها عدديًا.

بطاقات تعليمية

  • التكامل بالتجزئة

    ∫u dv = uv − ∫v du.

  • التعويض المثلثي

    √(a² − x²): x = a sin θ.

  • الكسور الجزئية

    تقسيم دالة نسبية إلى كسور بسيطة.

  • قاعدة شبه المنحرف

    متوسط المجموعين الأيسر والأيمن؛ الخطأ ∝ Δx².

  • قاعدة سيمبسون

    مطابقة بقطوع مكافئة؛ الخطأ ∝ Δx⁴.

  • تكامل غير أولي

    لا دالة أصلية بصيغة، مثل ∫e^(−x²) dx.

اختبار ذاتي

1. في ∫x² eˣ dx، اختيار أول جيد لـ u هو…

اعرض الإجابة

x². x² يبسط عند الاشتقاق.

2. √(9 − x²) يوحي بالتعويض…

اعرض الإجابة

x = 3 sin θ. 9 − 9 sin²θ = 9 cos²θ.

3. تطابق قاعدة سيمبسون المنحنى باستخدام…

اعرض الإجابة

قطوع مكافئة. قطوع مكافئة تمر بكل ثلاث نقاط.

4. ∫ ln x dx =

اعرض الإجابة

x ln x − x + C. بالتجزئة مع u = ln x وdv = dx.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تكامل منحنى الجرس في المثال 1.3 ليس له جواب بصيغة، ومع ذلك فهو يقف خلف كل شريط خطأ في رسم بياني للمناخ وكل عدم يقين في قياس بالأقمار الصناعية. والتكامل العددي هو الطريقة التي يُحسب بها فعلًا، هو ومعظم التكاملات الناتجة عن بيانات حقيقية.

أساليب مثل قاعدة سيمبسون هي ما يحوّل القياسات غير المنتظمة، كأعماق نهر عبر مجراه، إلى مجاميع مثل التدفق أو الحجم.

على Saving Planets: حساب التفاضل والتكامل I، المختبر D: التكامل العددي · صفحة الأنهار

المصادر: OpenStax Calculus 2, 3.6 Numerical Integration · OpenStax Calculus 2, 3.1 Integration by Parts

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوعان 4–5

تطبيقات: الحجم وطول القوس والشغل ومركز الكتلة

قطّع، واجمع، وخذ النهاية: حجوم المجسمات، وأطوال المنحنيات، والشغل ضد القوى، وضغط الموائع، ومراكز الكتلة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إيجاد الحجوم بالشرائح والأقراص والحلقات والأغلفة الأسطوانية.
  • حساب طول القوس.
  • حساب شغل القوى المتغيرة، بما في ذلك ضخ السوائل، والقوة الهيدروستاتيكية.
  • إيجاد مركز كتلة القضبان والصفائح الرقيقة.

المفاهيم الأساسية

  • لكل تطبيق النمط نفسه: قرّب شريحة رقيقة، واكتب مساهمتها، ثم كامل.
  • طريقة الأقراص: V = ∫π[f(x)]² dx حول المحور x. طريقة الأغلفة: V = ∫2πx f(x) dx حول المحور y.
  • طول القوس يجمع أوتارًا صغيرة جدًا: L = ∫√(1 + [f′(x)]²) dx.
  • الشغل = ∫F(x) dx. الضخ: كل طبقة من السائل تُرفع مسافتها الخاصة.
  • يزداد الضغط مع العمق، لذا فإن القوة على السد تكامل على العمق.
  • مركز الكتلة = العزم ÷ الكتلة.

المعادلات الأساسية

V=∫abπ[f(x)]2 dxV=\int_a^b\pi[f(x)]^2\,dx
طريقة الأقراص
V=∫ab2πx f(x) dxV=\int_a^b2\pi x\,f(x)\,dx
طريقة الأغلفة الأسطوانية
L=∫ab1+[f′(x)]2 dxL=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
طول القوس
W=∫abF(x) dxW=\int_a^bF(x)\,dx
شغل قوة متغيرة
xˉ=∫x ρ(x) dx∫ρ(x) dx\bar x=\frac{\int x\,\rho(x)\,dx}{\int\rho(x)\,dx}
مركز كتلة قضيب

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 أوجد الحجم الناتج عن دوران المنطقة الواقعة تحت y = √x، 0 ≤ x ≤ 4، حول المحور x.

اعرض الخطوات
  1. أقراص نصف قطرها √x: V = ∫₀⁴ π x dx.
  2. π[x²/2]₀⁴ = 8π.

الإجابة: 8π ≈ 25.1 وحدة مكعبة.

مثال 2.2 خزان أسطواني نصف قطره 1 m وارتفاعه 2 m مملوء بالماء. ما الشغل اللازم لضخ كل الماء من فوق حافته؟

اعرض الخطوات
  1. طبقة على الارتفاع y حجمها π(1)² dy ووزنها 1000 × 9.81 × π dy نيوتن، وتُرفع مسافة 2 − y متر.
  2. W = ∫₀² 9,810π(2 − y) dy = 9,810π × 2.
  3. = 19,620π J.

الإجابة: ≈ 61,600 J (61.6 kJ).

مثال 2.3 قضيب على [0, 2] m كثافته ρ(x) = 1 + x kg/m. أوجد مركز كتلته.

اعرض الخطوات
  1. الكتلة: ∫₀² (1 + x) dx = 2 + 2 = 4 kg.
  2. العزم: ∫₀² x(1 + x) dx = 2 + 8/3 = 14/3.
  3. x̄ = (14/3)/4 = 7/6.

الإجابة: x̄ = 7/6 ≈ 1.17 m، باتجاه الطرف الأثقل.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. استخدم الأغلفة لإيجاد الحجم الناتج عن دوران المنطقة تحت y = x²، 0 ≤ x ≤ 1، حول المحور y.

    اعرض الإجابة

    V = ∫₀¹ 2πx · x² dx = 2π/4 = π/2.

  2. أوجد طول قوس y = (2/3)x^(3/2) من x = 0 إلى 3.

    اعرض الإجابة

    y′ = √x, إذن L = ∫₀³ √(1 + x) dx = (2/3)[(1 + x)^(3/2)]₀³ = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

  3. نابض ثابته k = 200 N/m يُمدّ 0.10 m عن طوله في السكون. ما الشغل المبذول؟

    اعرض الإجابة

    W = ∫₀^0.1 200x dx = 100(0.01) = 1.0 J.

  4. بوابة مستطيلة رأسية عرضها 10 m تحجز ماءً عمقه 5 m. أوجد القوة الكلية للماء عليها.

    اعرض الإجابة

    F = ∫₀⁵ ρg y (10) dy = 1,000 × 9.81 × 10 × 25/2 = 1.23 × 10⁶ N.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: حجم الدوران = π × المساحة.

    في الحقيقة: يجب تربيع نصف القطر داخل التكامل: ∫π f² dx، وليس π(∫f dx).

  • خرافة: شغل الضخ = الوزن × ارتفاع الخزان.

    في الحقيقة: كل طبقة تتحرك مسافة مختلفة، لذا يجب التكامل.

  • خرافة: مركز الكتلة هو دائمًا نقطة المنتصف.

    في الحقيقة: فقط عند كثافة منتظمة وشكل متماثل.

بطاقات تعليمية

  • طريقة الأقراص

    V = ∫π f(x)² dx.

  • طريقة الحلقات

    V = ∫π(R² − r²) dx.

  • طريقة الأغلفة الأسطوانية

    V = ∫2πx f(x) dx.

  • طول القوس

    L = ∫√(1 + f′²) dx.

  • الشغل

    W = ∫F dx.

  • مركز الكتلة

    العزم مقسومًا على الكتلة.

اختبار ذاتي

1. الأغلفة حول المحور y تستخدم الدالة المكاملة…

اعرض الإجابة

2πx f(x). المحيط 2πx × الارتفاع f(x) × السمك dx.

2. طول القوس يستخدم…

اعرض الإجابة

∫√(1 + f′²) dx. فيثاغورس على كل قطعة صغيرة.

3. الضغط الهيدروستاتيكي على السد يزداد…

اعرض الإجابة

خطيًا مع العمق. P = ρgh؛ وبذلك تزداد القوة الكلية مع مربع العمق.

4. الشغل اللازم لمدّ نابض مسافة x من السكون هو…

اعرض الإجابة

½kx². ∫₀ˣ kt dt.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يستخدم مهندسو المياه هذه التكاملات مباشرة: حجم الخزان من شكله، والطاقة اللازمة لضخ المياه إلى حيث تُحتاج، والقوة التي يجب أن يصمد أمامها سد أو حاجز فيضانات. والضخ تكلفة طاقة كبيرة في كثير من شبكات المياه، لذا فإن إعداد التكامل بشكل صحيح يوفر الطاقة والمال معًا.

تقيس الأقمار الصناعية الآن من المدار ارتفاع الأنهار والبحيرات والخزانات. تمسح مهمة SWOT التابعة لناسا والمركز الوطني الفرنسي للدراسات الفضائية (CNES) المياه السطحية لتقدير التغيرات في المياه المخزنة، وهذا تقطيع وجمع على مستوى الكوكب.

على Saving Planets: SWOT · مساحة للنهر

المصادر: OpenStax Calculus 2, 2.5 Physical Applications · ناسا: مهمة SWOT

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 6

التكاملات المعتلة

تكاملات على فترات لانهائية أو عبر قمم لانهائية: متى يكون مجموعها عددًا منتهيًا ومتى لا يكون.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب التكاملات المعتلة كنهايات.
  • تحديد التقارب باختبار p والمقارنة.
  • تطبيق التكاملات المعتلة على طاقة الإفلات ومتوسط الأعمار.

المفاهيم الأساسية

  • ∫ₐ^∞ f dx تعني نهاية ∫ₐᵇ f dx عندما b → ∞. إذا كانت النهاية منتهية، فالتكامل متقارب.
  • ∫₁^∞ dx/xᵖ يتقارب تمامًا عندما p > 1. ∫₀¹ dx/xᵖ يتقارب تمامًا عندما p < 1.
  • المقارنة: إذا كان 0 ≤ f ≤ g وتقارب ∫g، فإن ∫f يتقارب أيضًا.
  • قد تكون لمنطقة لانهائية مساحة منتهية.

المعادلات الأساسية

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx
تكامل معتل
∫1∞dxxp=1p−1 (p>1)\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\frac1{p-1}\ (p>1)
تكامل p
W∞=∫R∞GMmr2 dr=GMmRW_{\infty}=\int_R^{\infty}\frac{GMm}{r^2}\,dr=\frac{GMm}{R}
الشغل اللازم للإفلات من جاذبية كوكب

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 احسب ∫₁^∞ dx/x².

اعرض الخطوات
  1. ∫₁ᵇ x⁻² dx = 1 − 1/b.
  2. As b → ∞, 1/b → 0.

الإجابة: 1 (متقارب).

مثال 3.2 هل يتقارب ∫₁^∞ dx/x؟

اعرض الخطوات
  1. ∫₁ᵇ dx/x = ln b.
  2. ln b → ∞.

الإجابة: لا، بل يتباعد، رغم أن 1/x → 0.

مثال 3.3 ما الطاقة اللازمة لكل كيلوغرام للإفلات من جاذبية الأرض من سطحها (مع إهمال الهواء والدوران)؟

اعرض الخطوات
  1. W/m = ∫_R^∞ GM/r² dr = GM/R.
  2. GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6.371 × 10⁶ m.
  3. W/m = 6.26 × 10⁷ J/kg.

الإجابة: نحو 62.6 MJ لكل كيلوغرام، وهي قيمة منتهية رغم أن المسافة لانهائية. وبمساواة ½v² بها نحصل على سرعة الإفلات 11.2 km/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ∫₀^∞ e^(−x) dx

    اعرض الإجابة

    [−e^(−x)]₀^∞ = 0 + 1 = 1.

  2. ∫₀¹ dx/√x

    اعرض الإجابة

    [2√x]₀¹ = 2 (متقارب؛ p = ½ < 1).

  3. ∫₂^∞ dx/x³

    اعرض الإجابة

    [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

  4. هل يتقارب ∫₁^∞ dx/(x² + 1)؟

    اعرض الإجابة

    نعم: فهو أصغر من 1/x² الذي يتقارب. بل إنه يساوي π/4.

  5. في الاضمحلال الأسي بمعدل λ، متوسط العمر هو ∫₀^∞ t λe^(−λt) dt. احسبه.

    اعرض الإجابة

    بالتجزئة: 1/λ.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: إذا كان f(x) → 0 عندما x → ∞، فالتكامل متقارب.

    في الحقيقة: 1/x → 0 لكن ∫₁^∞ dx/x يتباعد.

  • خرافة: المنطقة الممتدة إلى ما لانهاية مساحتها لانهائية.

    في الحقيقة: ∫₁^∞ dx/x² = 1.

  • خرافة: ∫₋₁¹ dx/x² = −2 بالصيغة المعتادة.

    في الحقيقة: الدالة المكاملة تنفجر عند 0، لذا فالتكامل معتل، وهو متباعد.

بطاقات تعليمية

  • تكامل معتل

    فترة لانهائية أو دالة مكاملة لانهائية؛ يُعرّف بنهاية.

  • متقارب

    النهاية موجودة ومنتهية.

  • اختبار p (∞)

    ∫₁^∞ x⁻ᵖ يتقارب إذا وفقط إذا p > 1.

  • اختبار p (0)

    ∫₀¹ x⁻ᵖ يتقارب إذا وفقط إذا p < 1.

  • اختبار المقارنة

    أصغر من متقارب ⇒ متقارب.

  • طاقة الإفلات

    GM/R لكل kg.

اختبار ذاتي

1. ∫₁^∞ dx/x^1.5…

اعرض الإجابة

يتقارب إلى 2. 1/(p − 1) = 1/0.5 = 2.

2. ∫₁^∞ dx/x…

اعرض الإجابة

متباعد. ln b → ∞.

3. ∫₀^∞ e^(−2x) dx =

اعرض الإجابة

1/2. [−e^(−2x)/2]₀^∞ = 1/2.

4. يُعرّف التكامل المعتل بأنه…

اعرض الإجابة

نهاية لتكاملات عادية. خذ نهاية ∫ₐᵇ.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تعطي التكاملات المعتلة الطاقة اللازمة لمغادرة كوكب، وهي الرقم الكامن خلف كل إطلاق لقمر صناعي للطقس أو المناخ. وهي منتهية، ولهذا فإن رحلات الفضاء ممكنة أصلًا.

متوسطات الأعمار، وهي أيضًا تكاملات معتلة، تصف مدة بقاء المواد: كم يبقى ملوث في بحيرة، أو كم يبقى متتبع مشع يُستخدم لتأريخ الجليد ومياه المحيطات.

على Saving Planets: الفيزياء I، الوحدة 7: المدارات · حاسبة delta-v

المصادر: OpenStax Calculus 2, 3.7 Improper Integrals · صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسابيع 7–8

مقدمة في المعادلات التفاضلية

معادلات لمعدلات التغير: النمو والاضمحلال الأسيان، والتبريد، والخلط، والنموذج اللوجستي للمجموعات السكانية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • التحقق من الحلول وحل مسائل القيمة الابتدائية.
  • قراءة حقول الاتجاهات واستخدام طريقة أويلر.
  • حل المعادلات القابلة للفصل، بما في ذلك مسائل الخلط والتبريد.
  • استخدام المعادلة اللوجستية وتفسير سعتها الاستيعابية.

المفاهيم الأساسية

  • المعادلة التفاضلية تربط دالة بمشتقاتها. وحلها دالة، وعادة ما يكون عائلة تحددها حالة ابتدائية.
  • المعادلات القابلة للفصل: ضع كل y في طرف وكل x في الطرف الآخر، ثم كامل.
  • y′ = ky تعطي y = y₀e^(kt): نمو إذا k > 0، واضمحلال إذا k < 0.
  • الخلط: معدل تغير الملوث = معدل الدخول − معدل الخروج.
  • اللوجستية: P′ = rP(1 − P/K). يتباطأ النمو كلما اقتربت P من السعة الاستيعابية K، ويكون أسرع ما يمكن عند P = K/2.
  • تتقدم طريقة أويلر على طول الميل: yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ). خطوات أصغر، خطأ أصغر.

المعادلات الأساسية

dydt=ky ⇒ y=y0ekt\frac{dy}{dt}=ky\ \Rightarrow\ y=y_0e^{kt}
النمو والاضمحلال الأسيان
dTdt=−k(T−Ts)\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s)
قانون نيوتن للتبريد
dPdt=rP(1−PK),P(t)=K1+K−P0P0e−rt\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac PK\right),\quad P(t)=\frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}
المعادلة اللوجستية وحلها
yn+1=yn+h f(tn,yn)y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)
طريقة أويلر

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 جزء من بحيرة يحتوي على 1000 m³ من الماء فيها 50 kg من ملوث مذاب. يدخل ماء نظيف بمعدل 10 m³/يوم ويخرج ماء جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الوقت حتى يزول نصف الملوث؟

اعرض الخطوات
  1. dS/dt = −(10/1,000)S = −S/100.
  2. S(t) = 50e^(−t/100).
  3. النصف: e^(−t/100) = ½، إذن t = 100 ln 2.

الإجابة: ≈ 69.3 يومًا (نموذج مبسط جيد الخلط).

مثال 4.2 تتبع مجموعة أسماك المعادلة P′ = 0.5P(1 − P/1000) مع P(0) = 100. أوجد P(4).

اعرض الخطوات
  1. P(t) = 1,000/(1 + 9e^(−0.5t)).
  2. P(4) = 1,000/(1 + 9e^(−2)) = 1,000/2.218.

الإجابة: ≈ 451 سمكة، قرب مستوى النمو الأسرع K/2 = 500.

مثال 4.3 استخدم طريقة أويلر مع h = 0.5 لتقدير y(1) في y′ = y، y(0) = 1.

اعرض الخطوات
  1. y₁ = 1 + 0.5(1) = 1.5.
  2. y₂ = 1.5 + 0.5(1.5) = 2.25.

الإجابة: 2.25، مقابل القيمة الدقيقة e ≈ 2.718؛ وتنصيف h يقلص الخطأ.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. قهوة عند 90 °C تبرد في غرفة عند 20 °C مع k = 0.1 لكل دقيقة. أوجد درجة حرارتها بعد 10 دقائق.

    اعرض الإجابة

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. حل y′ = xy مع y(0) = 2، وأوجد y(1).

    اعرض الإجابة

    dy/y = x dx, إذن y = 2e^(x²/2); y(1) = 2e^0.5 ≈ 3.30.

  3. حل y′ = −2y، y(0) = 5. أوجد y(1).

    اعرض الإجابة

    y = 5e^(−2t); y(1) ≈ 0.677.

  4. في P′ = rP(1 − P/K)، عند أي حجم للمجموعة يكون النمو أسرع ما يمكن؟

    اعرض الإجابة

    rP(1 − P/K) قطع مكافئ مفتوح للأسفل في P رأسه عند P = K/2.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: حل المعادلة التفاضلية عدد.

    في الحقيقة: إنه دالة (أو عائلة من الدوال).

  • خرافة: تعطي طريقة أويلر الجواب الدقيق إذا كنت حريصًا.

    في الحقيقة: فيها خطأ يعتمد على حجم الخطوة؛ ولا تتقارب إلا عندما h → 0.

  • خرافة: تتوقف المجموعات اللوجستية عن النمو عند K/2.

    في الحقيقة: يكون النمو أسرع ما يمكن عند K/2 ولا يتباطأ إلى الصفر إلا عندما تقترب P من K.

بطاقات تعليمية

  • معادلة تفاضلية

    معادلة تتضمن دالة ومشتقاتها.

  • مسألة القيمة الابتدائية

    معادلة تفاضلية مع قيمة بداية.

  • قابلة للفصل

    g(y) dy = h(x) dx.

  • المعادلة اللوجستية

    P′ = rP(1 − P/K).

  • السعة الاستيعابية

    K، النهاية طويلة الأمد لمجموعة لوجستية.

  • طريقة أويلر

    yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ).

اختبار ذاتي

1. الحل العام لـ y′ = 3y هو…

اعرض الإجابة

Ce^(3x). افصل ثم كامل.

2. في النموذج اللوجستي، K هي…

اعرض الإجابة

السعة الاستيعابية. المستوى الذي تقترب منه المجموعة.

3. خطوة أويلر واحدة من (0, 2) مع y′ = y وh = 0.1 تعطي…

اعرض الإجابة

2.2. 2 + 0.1 × 2.

4. dy/dx = x²y هي…

اعرض الإجابة

قابلة للفصل. dy/y = x² dx.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تُعد نماذج المجموعات السكانية المبنية على المعادلة اللوجستية جزءًا من طريقة علماء مصايد الأسماك في تقييم المخزونات وتحديد حدود صيد تسمح للمجموعات بالبقاء سليمة، مما يحمي النظم البيئية للمحيطات والناس الذين يعتمدون عليها.

معادلات الخلط مثل المثال 4.1 هي الخطوة الأولى لتقدير مدى سرعة تخلص بحيرة أو مصب نهر من ملوث بعد إيقاف مصدره.

تحل نماذج الطقس والمناخ أنظمة ضخمة جدًا من المعادلات التفاضلية بطرق عددية خطوة بخطوة، منحدرة من طريقة أويلر.

على Saving Planets: محور البحيرات · محور المحيطات

المصادر: OpenStax Calculus 2, 4.4 The Logistic Equation · NOAA Fisheries: تقييمات المجموعات السمكية

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسابيع 9–11

المتتاليات والمتسلسلات

متى يعطي جمع عدد لانهائي من الأعداد مجموعًا منتهيًا؟ المتسلسلات الهندسية، والمتسلسلة التوافقية، واختبارات التقارب.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إيجاد نهايات المتتاليات.
  • جمع المتسلسلات الهندسية والمتداخلة.
  • تطبيق اختبارات التباعد والتكامل والمقارنة والمتسلسلات المتناوبة والنسبة والجذر.
  • التمييز بين التقارب المطلق والتقارب المشروط.

المفاهيم الأساسية

  • تتقارب المتسلسلة Σaₙ إذا اقتربت مجاميعها الجزئية من نهاية.
  • الهندسية: Σ arⁿ (n ≥ 0) = a/(1 − r) عندما |r| < 1.
  • اختبار التباعد: إذا لم يكن aₙ → 0 فالمتسلسلة متباعدة. والعكس غير صحيح: المتسلسلة التوافقية Σ1/n متباعدة.
  • متسلسلة p ‏Σ1/nᵖ تتقارب إذا وفقط إذا p > 1 (باختبار التكامل).
  • اختبار النسبة: إذا كان |aₙ₊₁/aₙ| → L < 1 فالمتسلسلة متقاربة مطلقًا؛ وإذا L > 1 فهي متباعدة؛ وL = 1 لا يقول شيئًا.
  • المتسلسلات المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 متقاربة؛ Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2.

المعادلات الأساسية

∑n=0∞arn=a1−r (∣r∣<1)\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}\ (|r|<1)
متسلسلة هندسية
∑1np converges  ⟺  p>1\sum\frac1{n^p}\ \text{converges}\iff p>1
متسلسلة p
L=lim⁡∣an+1an∣L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
اختبار النسبة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 اجمع Σ (1/2)ⁿ بدءًا من n = 0.

اعرض الخطوات
  1. هندسية مع a = 1، r = ½.
  2. 1/(1 − ½) = 2.

الإجابة: 2.

مثال 5.2 تفقد بحيرة كل عام 10% من ملوث مخزّن، وتُضاف إليها 5 أطنان. عند أي مستوى تستقر؟

اعرض الخطوات
  1. بعد سنوات عديدة تصبح الكمية 5 + 5(0.9) + 5(0.9)² + …
  2. هندسية: 5/(1 − 0.9).

الإجابة: 50 طنًا. خفض المدخلات السنوية إلى النصف يخفض المستوى طويل الأمد إلى النصف (نموذج مبسط).

مثال 5.3 هل تتقارب Σ n/2ⁿ؟

اعرض الخطوات
  1. النسبة: [(n + 1)/2ⁿ⁺¹]/[n/2ⁿ] = (n + 1)/(2n) → ½.
  2. ½ < 1.

الإجابة: متقاربة (مجموعها 2).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. Σ 0.9(0.1)ⁿ بدءًا من n = 0

    اعرض الإجابة

    0.9/(1 − 0.1) = 1. So 0.999… = 1.

  2. هل تتقارب Σ 1/n²؟

    اعرض الإجابة

    نعم، p = 2 > 1 (مجموعها π²/6).

  3. هل تتقارب Σ n/(n + 1)؟

    اعرض الإجابة

    لا: الحدود → 1 وليس 0 (اختبار التباعد).

  4. اجمع Σ 3(2/3)ⁿ بدءًا من n = 0.

    اعرض الإجابة

    3/(1 − 2/3) = 9.

  5. هل تتقارب Σ (−1)ⁿ⁺¹/n تقاربًا مطلقًا؟

    اعرض الإجابة

    لا. إنها تتقارب (إلى ln 2)، لكن Σ1/n تتباعد، فالتقارب مشروط.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: إذا اقتربت الحدود من 0، فالمتسلسلة متقاربة.

    في الحقيقة: المتسلسلة التوافقية هي المثال المضاد.

  • خرافة: نهاية تساوي 1 في اختبار النسبة تعني التباعد.

    في الحقيقة: L = 1 غير حاسم؛ استخدم اختبارًا آخر.

  • خرافة: إعادة ترتيب الحدود لا تغير المجموع أبدًا.

    في الحقيقة: في المتسلسلات المتقاربة شرطيًا يمكن أن تغيره.

بطاقات تعليمية

  • متتالية

    قائمة مرتبة a₁, a₂, …

  • متسلسلة

    مجموع متتالية؛ نهاية المجاميع الجزئية.

  • متسلسلة هندسية

    a/(1 − r) عندما |r| < 1.

  • المتسلسلة التوافقية

    Σ1/n، متباعدة.

  • اختبار النسبة

    L < 1 متقاربة، L > 1 متباعدة، L = 1 غير حاسم.

  • التقارب المشروط

    متقاربة، لكن ليس تقاربًا مطلقًا.

اختبار ذاتي

1. Σ (1/3)ⁿ بدءًا من n = 0 =

اعرض الإجابة

3/2. 1/(1 − 1/3).

2. المتسلسلة التوافقية Σ1/n…

اعرض الإجابة

متباعد. p = 1، اختبار التكامل.

3. Σ 1/n^1.01…

اعرض الإجابة

متقاربة. p > 1.

4. اختبار النسبة لـ Σ 1/n! يعطي L =

اعرض الإجابة

0. 1/(n + 1) → 0، إذن هي متقاربة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تصف المتسلسلات الهندسية كل ما يُرحَّل جزء منه من فترة إلى التالية، كما في المثال 5.2. ويُظهر هذا النموذج البسيط حقيقة أساسية عن التلوث وغازات الدفيئة: المستوى طويل الأمد يعتمد على معدل المدخلات، لذا فإن خفض المدخلات يخفض المستوى الذي تستقر عنده الأمور.

الأنظمة الحقيقية أعقد من متسلسلة هندسية واحدة، ويستخدم العلماء نماذج كاملة، لكن المتسلسلة هي الحدس الأول الصحيح.

على Saving Planets: توقعات تكاثر الطحالب في بحيرة إيري · محور البحيرات

المصادر: OpenStax Calculus 2, 5.2 Infinite Series · NOAA GML: اتجاهات CO₂ في الغلاف الجوي (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسابيع 12–13

متسلسلات القوى ومتسلسلات تايلور

تحويل الدوال إلى كثيرات حدود لانهائية. متسلسلات تايلور هي طريقة الآلات الحاسبة في الحساب، وطريقة الفيزيائيين في تبسيط المسائل الصعبة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إيجاد نصف قطر التقارب وفترة التقارب لمتسلسلة قوى.
  • بناء متسلسلات وكثيرات حدود تايلور وماكلورين.
  • إيجاد حد لخطأ تقريب تايلور.
  • استخدام المتسلسلات لتقريب التكاملات وتبرير تقريبات الزوايا الصغيرة.

المفاهيم الأساسية

  • متسلسلة القوى Σcₙ(x − a)ⁿ تتقارب داخل نصف قطر R وتتباعد خارجه؛ افحص طرفي الفترة كلًا على حدة.
  • متسلسلة تايلور: cₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. وحول a = 0 تُسمى متسلسلة ماكلورين.
  • متسلسلات أساسية: eˣ = Σxⁿ/n!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (|x| < 1).
  • باقي تايلور: الخطأ لا يتجاوز M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M حد للمشتقة التالية.
  • الاحتفاظ بالحد الأول فقط يحوّل sin θ إلى θ، وهو تقريب الزاوية الصغيرة الذي تقوم عليه صيغة البندول البسيط.

المعادلات الأساسية

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
متسلسلة تايلور
ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
المتسلسلة الأسية
sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
متسلسلة الجيب
∣Rn(x)∣≤M∣x−a∣n+1(n+1)!|R_n(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}
حد باقي تايلور

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 قدّر e^0.1 بالحدود الأربعة الأولى من متسلسلتها.

اعرض الخطوات
  1. 1 + 0.1 + 0.01/2 + 0.001/6.
  2. = 1.105167.

الإجابة: 1.105167، مقابل القيمة الحقيقية 1.105171.

مثال 6.2 قدّر sin 0.5 بثلاثة حدود وأوجد حدًا للخطأ.

اعرض الخطوات
  1. 0.5 − 0.125/6 + 0.03125/120 = 0.479427.
  2. حد الحد التالي: 0.5⁷/7! = 1.55 × 10⁻⁶.

الإجابة: 0.479427، والخطأ أقل من 1.6 × 10⁻⁶ (القيمة الحقيقية 0.479426).

مثال 6.3 أوجد نصف قطر تقارب Σ xⁿ/3ⁿ.

اعرض الخطوات
  1. النسبة: |x|/3 < 1.
  2. الطرفان x = ±3 يعطيان حدودًا ±1 لا تقترب من 0.

الإجابة: R = 3؛ تتقارب عندما −3 < x < 3.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. اكتب كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 لـ cos x واستخدمها لحساب cos 0.2.

    اعرض الإجابة

    1 − x²/2 + x⁴/24؛ cos 0.2 ≈ 1 − 0.02 + 0.0000667 = 0.980067 (القيمة الحقيقية 0.980067).

  2. أوجد متسلسلة ماكلورين لـ 1/(1 − x).

    اعرض الإجابة

    Σxⁿ عندما |x| < 1 (هندسية).

  3. أوجد نصف قطر تقارب Σ xⁿ/n.

    اعرض الإجابة

    R = 1 (النسبة n/(n + 1) → 1).

  4. استخدم متسلسلة لتقدير ∫₀¹ e^(−x²) dx بثلاثة حدود.

    اعرض الإجابة

    ∫(1 − x² + x⁴/2) dx = 1 − 1/3 + 1/10 = 0.7667. ومع مزيد من الحدود تقترب من 0.7468.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: كثيرة حدود تايلور دقيقة في كل مكان.

    في الحقيقة: تكون أفضل قرب المركز a وقد تكون سيئة جدًا بعيدًا عنه أو خارج نصف قطر التقارب.

  • خرافة: كل دالة ملساء تساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها.

    في الحقيقة: ليس دائمًا، وإن كان ذلك صحيحًا في كل مكان لـ eˣ وsin x وcos x.

  • خرافة: نصف قطر التقارب يحسم الطرفين أيضًا.

    في الحقيقة: يجب فحص الطرفين كلًا على حدة.

بطاقات تعليمية

  • متسلسلة قوى

    Σcₙ(x − a)ⁿ.

  • نصف قطر التقارب

    R بحيث تتقارب المتسلسلة عندما |x − a| < R.

  • معامل تايلور

    f⁽ⁿ⁾(a)/n!.

  • متسلسلة ماكلورين

    متسلسلة تايلور عند a = 0.

  • تقريب الزاوية الصغيرة

    sin θ ≈ θ، cos θ ≈ 1 − θ²/2.

  • حد الباقي

    M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

اختبار ذاتي

1. متسلسلة ماكلورين لـ eˣ هي…

اعرض الإجابة

Σxⁿ/n!. كل مشتقات eˣ عند 0 تساوي 1.

2. عندما تكون θ صغيرة، sin θ ≈…

اعرض الإجابة

θ. الحد الأول من المتسلسلة.

3. معامل x³ في متسلسلة sin x هو…

اعرض الإجابة

−1/6. −1/3!.

4. Σxⁿ تتقارب عندما…

اعرض الإجابة

|x| < 1. متسلسلة هندسية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

متسلسلات تايلور هي طريقة الفيزيائيين في تحويل المعادلات الصعبة إلى معادلات قابلة للاستخدام. فدور البندول T = 2π√(L/g) في الفيزياء I يعتمد على sin θ ≈ θ، والنوع نفسه من التخطيط الخطي يقوم عليه جزء كبير من تحليل المهندسين للاهتزازات في توربينات الرياح والجسور والطائرات.

تفكك نماذج مدارات الأقمار الصناعية والمناخ التأثيرات المعقدة إلى متسلسلات وتحتفظ بالحدود المهمة. ومعرفة حد الخطأ تخبرك متى يكون التقريب جيدًا بما يكفي للوثوق به.

على Saving Planets: الفيزياء I، الوحدة 8: الاهتزازات · حاسبة دورة البندول

المصادر: OpenStax Calculus 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series · OpenStax University Physics 1, 15.4 Pendulums (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوع 14

المعادلات الوسيطية والإحداثيات القطبية

وصف المسارات بدلالة الزمن والمنحنيات بدلالة الزاوية، بما في ذلك القطع الناقص الذي يتبعه كل قمر صناعي وكل كوكب.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • رسم المنحنيات الوسيطية وإيجاد dy/dx وطول القوس.
  • التحويل بين الإحداثيات القطبية والديكارتية.
  • إيجاد المساحات وأطوال الأقواس في الإحداثيات القطبية.
  • وصف مدار كبلري بالصيغة القطبية.

المفاهيم الأساسية

  • المنحنى الوسيطي يعطي x(t) وy(t)؛ dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
  • طول القوس: ∫√(x′² + y′²) dt.
  • القطبية: x = r cos θ، y = r sin θ. مساحة منطقة قطبية: ½∫r² dθ.
  • المدار حول بؤرة واحدة هو r = p/(1 + e cos θ)، حيث e الاختلاف المركزي.
  • قانون كبلر الثاني (مساحات متساوية في أزمنة متساوية) يعني أن ½r² dθ/dt ثابت.

المعادلات الأساسية

dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
ميل منحنى وسيطي
L=∫ab(x′)2+(y′)2 dtL=\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt
طول القوس الوسيطي
A=12∫αβr2 dθA=\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta
المساحة القطبية
r=a(1−e2)1+ecos⁡θr=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
مدار مخروطي بالصيغة القطبية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 أوجد ميل x = t²، y = t³ عند t = 1.

اعرض الخطوات
  1. dx/dt = 2t, dy/dt = 3t².
  2. dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2 = 3/2 عند t = 1.

الإجابة: 3/2.

مثال 7.2 أوجد المساحة داخل منحنى القلب r = 1 + cos θ.

اعرض الخطوات
  1. A = ½∫₀^(2π) (1 + cos θ)² dθ.
  2. = ½∫(1 + 2cos θ + cos²θ) dθ = ½(2π + 0 + π).

الإجابة: 3π/2 ≈ 4.71.

مثال 7.3 لمدار الأرض a = 149.6 مليون km وe = 0.0167. أوجد أقرب وأبعد مسافة لها عن الشمس.

اعرض الخطوات
  1. At θ = 0: r = a(1 − e) = 149.6 × 0.9833.
  2. At θ = π: r = a(1 + e) = 149.6 × 1.0167.

الإجابة: نحو 147.1 و152.1 مليون km، بما يطابق الحضيض والأوج اللذين نشرتهما ناسا.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد طول x = cos t، y = sin t عندما 0 ≤ t ≤ 2π.

    اعرض الإجابة

    ∫√(sin²t + cos²t) dt = 2π (محيط دائرة).

  2. أوجد مساحة الدائرة r = 3.

    اعرض الإجابة

    ½∫₀^(2π) 9 dθ = 9π.

  3. حوّل r = 2 cos θ إلى الصيغة الديكارتية.

    اعرض الإجابة

    r² = 2r cos θ تعطي x² + y² = 2x: دائرة نصف قطرها 1 مركزها (1, 0)، ومساحتها π.

  4. احذف t من x = 2 cos t، y = sin t.

    اعرض الإجابة

    x²/4 + y² = 1، قطع ناقص.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: dy/dx = dy/dt × dx/dt.

    في الحقيقة: اقسم: (dy/dt)/(dx/dt).

  • خرافة: المساحة القطبية هي ∫r dθ.

    في الحقيقة: إنها ½∫r² dθ، من شرائح رقيقة كشرائح الفطيرة.

  • خرافة: الشمس في مركز مدار الأرض.

    في الحقيقة: إنها في إحدى بؤرتي القطع الناقص.

بطاقات تعليمية

  • منحنى وسيطي

    x = x(t), y = y(t).

  • الميل الوسيطي

    (dy/dt)/(dx/dt).

  • الإحداثيات القطبية

    (r, θ)؛ x = r cos θ، y = r sin θ.

  • المساحة القطبية

    ½∫r² dθ.

  • الاختلاف المركزي

    e = 0 دائرة، 0 < e < 1 قطع ناقص.

  • قانون كبلر الثاني

    مساحات متساوية في أزمنة متساوية.

اختبار ذاتي

1. المساحة القطبية تستخدم…

اعرض الإجابة

½∫r² dθ. كل شريحة هي تقريبًا قطاع مساحته ½r² dθ.

2. x = r cos θ، y = …

اعرض الإجابة

r sin θ. من القطبية إلى الديكارتية.

3. في المدار r = p/(1 + e cos θ)، تعطي e = 0…

اعرض الإجابة

دائرة. r = p ثابت.

4. ينص قانون كبلر الثاني على أن r² dθ/dt…

اعرض الإجابة

ثابت. مساحات متساوية في أزمنة متساوية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

كل قمر صناعي لرصد الأرض يتبع مسارًا تصفه معادلة المدار القطبية في هذه الوحدة. ويختار مصممو البعثات شكل المدار وميله بحيث تعود الأجهزة إلى الأماكن نفسها في ظروف إضاءة متشابهة، مما يسهّل رصد التغيرات على الأرض.

تصف المعادلات الوسيطية المسار الأرضي الذي يرسمه القمر الصناعي فوق الأرض، وهو ما يحدد أي الغابات والسواحل والصفائح الجليدية يمكنه رؤيتها ومتى.

على Saving Planets: دليل المدارات · Landsat 9

المصادر: صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية) · OpenStax Calculus 2, 7.4 Area and Arc Length in Polar Coordinates

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبرات الحاسوبية

أربعة مختبرات حاسوبية قصيرة تطبّق الوحدات باستخدام جدول بيانات: طريقة أويلر لنموذج مجموعة سكانية، وقاعدة سيمبسون لحجم خزان، ودقة متسلسلات تايلور، وقانون كبلر الثاني في الإحداثيات القطبية.

هذه هي الطرق العددية التي يستخدمها العلماء والمهندسون يوميًا. البيانات النموذجية موسومة بذلك؛ وكل مختبر يربط إلى مصدره.

مرجع السلامة: OpenStax Calculus Volume 2 (كتاب دراسي مجاني)

المختبر A: طريقة أويلر لمخزون سمكي يتعافى

الأسبوع 8

الهدف: حل المعادلة اللوجستية عدديًا ومقارنتها بالحل الدقيق.

Pn+1=Pn+h rPn(1−PnK)P_{n+1}=P_n+h\,rP_n\left(1-\frac{P_n}{K}\right)
طريقة أويلر للمعادلة اللوجستية

الإجراء

  1. اضبط r = 0.5 وK = 1000 وP₀ = 100 وh = 1 في جدول بيانات.
  2. املأ خطوات أويلر نزولًا حتى t = 4.
  3. أضف عمودًا للحل الدقيق وعمودًا للخطأ.
  4. كرر مع h = 0.5 وh = 0.25؛ كيف يتغير الخطأ؟

جدول البيانات

tP بطريقة أويلر (h = 1)
0100
1145.0
2207.0
3289.1
4391.9

قيم محسوبة من النموذج (ليست مصيدة حقيقية). P(4) الدقيقة = 450.9.

مثال حسابي

  1. P₁ = 100 + 0.5 × 100 × 0.9 = 145.0.
  2. P₂ = 145 + 0.5 × 145 × 0.855 = 207.0.
  3. هنا تقلل طريقة أويلر التقدير (391.9 مقابل 450.9) لأن المنحنى ينحني إلى الأعلى في بداية النمو؛ وتنصيف h ينصّف الخطأ تقريبًا.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات.

OpenStax Calculus 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods

الصلة بالكوكب: تدعم النماذج العددية للمجموعات السكانية إدارة مصايد الأسماك. NOAA Fisheries: تقييمات المجموعات السمكية

المختبر B: حجم خزان بقاعدة سيمبسون

الأسبوع 5

الهدف: تقدير حجم خزان من قياسات مساحة السطح عند أعماق مختلفة.

V=∫0HA(h) dh≈Δh3[A0+4A1+2A2+4A3+A4]V=\int_0^HA(h)\,dh\approx\frac{\Delta h}3[A_0+4A_1+2A_2+4A_3+A_4]
الحجم بوصفه تكامل مساحة المقطع العرضي

الإجراء

  1. أدخل المساحات النموذجية عند 0 و2 و4 و6 و8 m فوق القاع.
  2. طبّق قاعدة سيمبسون مع Δh = 2 m.
  3. قارن بقاعدة شبه المنحرف.

جدول البيانات

الارتفاع h (m)مساحة السطح A (km²)
00.0
21.2
42.6
64.0
85.6

قيم نموذجية للتدريب، وليست خزانًا حقيقيًا.

مثال حسابي

  1. سيمبسون: (2/3)[0 + 4(1.2) + 2(2.6) + 4(4.0) + 5.6] = (2/3)(31.6) = 21.07 km²·m.
  2. 1 km²·m = 10⁶ m³، إذن V ≈ 2.11 × 10⁷ m³ (21 مليون متر مكعب).
  3. شبه المنحرف: 2[0/2 + 1.2 + 2.6 + 4.0 + 5.6/2] = 21.2 km²·m، قريب من سيمبسون.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات.

ناسا: مهمة SWOT

الصلة بالكوكب: تساعد أقمار المياه السطحية مثل SWOT في تقدير التغيرات في المياه المخزنة في البحيرات والخزانات.

المختبر C: ما مدى جودة كثيرة حدود تايلور؟

الأسبوع 13

الهدف: مقارنة كثيرات حدود تايلور لـ sin x بالقيمة الحقيقية وبحد الباقي.

P5(x)=x−x36+x5120P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}
كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 لـ sin x

الإجراء

  1. اجدول sin x وP₁ = x وP₃ وP₅ لقيم x من 0 إلى π بخطوات 0.25.
  2. ارسم الأخطاء.
  3. أوجد أين يخطئ تقريب الزاوية الصغيرة sin x ≈ x بنسبة 1%.

جدول البيانات

xsin xP₅(x)
0.50.4794260.479427
1.00.8414710.841667
2.00.9092970.933333

قيم محسوبة.

مثال حسابي

  1. عند x = 0.5 يخطئ P₅ بنحو 10⁻⁶؛ وعند x = 2 بمقدار 0.024. تنخفض الدقة بسرعة بالابتعاد عن 0.
  2. يبقى sin x ≈ x ضمن 1% حتى نحو x = 0.24 rad (14°)، ولهذا تُستخدم صيغة البندول للتأرجحات الصغيرة.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • منزلقات Desmos مناسبة جدًا.

PhET: Pendulum Lab

الصلة بالكوكب: معرفة خطأ التقريب هي الطريقة التي يقرر بها المهندسون أي نموذج مبسط يمكن الوثوق به.

المختبر D: قانون كبلر الثاني في الإحداثيات القطبية

الأسبوع 14

الهدف: إثبات عددي أن المدار الإهليلجي يمسح المساحة أسرع بالنسبة للزاوية قرب البؤرة، لكن بمعدل ثابت بالنسبة للزمن.

A(θ1,θ2)=12∫θ1θ2r(θ)2 dθ,r=a(1−e2)1+ecos⁡θA(\theta_1,\theta_2)=\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r(\theta)^2\,d\theta,\quad r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
المساحة التي يمسحها المدار

الإجراء

  1. استخدم a = 1 وe = 0.5.
  2. احسب بقاعدة سيمبسون المساحة الممسوحة من θ = 0 إلى 0.5 ومن θ = π − 0.25 إلى π + 0.25 (بالعرض نفسه 0.5 rad).
  3. اشرح لماذا لا تعطي الزوايا المتساوية مساحات متساوية، وبالتالي تستغرق أزمنة غير متساوية.

جدول البيانات

Arcالمساحة الممسوحة
θ = 0 إلى 0.5 (قرب الشمس)0.0643
θ = π ± 0.25 (الجانب البعيد)0.5513

قيم محسوبة لـ a = 1، e = 0.5.

مثال حسابي

  1. قرب الشمس r ≈ 0.5، وفي الجانب البعيد r ≈ 1.5: المساحة ∝ r²، لذا يمسح القوس البعيد مساحة أكبر بنحو 8.6 مرة (0.5513 ÷ 0.0643).
  2. بما أن المساحة تنمو بمعدل ثابت مع الزمن، يستغرق الكوكب نحو 8.6 مرة أطول لعبور الـ 0.5 rad البعيدة: فهو يتحرك أبطأ ما يكون عند الأوج.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يكفي جدول بيانات أو Desmos.

PhET: Kepler’s Laws

الصلة بالكوكب: هندسة المدار تحدد متى يستطيع القمر الصناعي رؤية مكان على الأرض.

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تدريب منتصف الفصل (الوحدات 1–3)

  1. أوجد ∫₀¹ x² eˣ dx.

    اعرض الحل الكامل
    1. بالتجزئة مرتين: ∫x²eˣ dx = (x² − 2x + 2)eˣ.
    2. من 0 إلى 1: e − 2.

    الإجابة: e − 2 ≈ 0.718.

  2. أوجد ∫₀¹ x/(x + 1) dx.

    اعرض الحل الكامل
    1. x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1).
    2. [x − ln(x + 1)]₀¹ = 1 − ln 2.

    الإجابة: 1 − ln 2 ≈ 0.307.

  3. أوجد الحجم الناتج عن دوران المنطقة تحت y = x²، 0 ≤ x ≤ 2، حول المحور x.

    اعرض الحل الكامل
    1. الأقراص: ∫₀² π x⁴ dx = π × 32/5.

    الإجابة: 32π/5 ≈ 20.1.

  4. احسب ∫₂^∞ dx/x³.

    اعرض الحل الكامل
    1. [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

    الإجابة: 1/8.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. حل y′ = −2y، y(0) = 5، وأوجد y(1).

    اعرض الحل الكامل
    1. y = 5e^(−2t).

    الإجابة: 5e^(−2) ≈ 0.677.

  2. اجمع Σ 3(2/3)ⁿ بدءًا من n = 0.

    اعرض الحل الكامل
    1. هندسية: 3/(1 − 2/3).

    الإجابة: 9.

  3. قدّر cos 0.2 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4.

    اعرض الحل الكامل
    1. 1 − 0.04/2 + 0.0016/24.

    الإجابة: 0.980067.

  4. أوجد المساحة داخل r = 3.

    اعرض الحل الكامل
    1. ½∫₀^(2π) 9 dθ.

    الإجابة: 9π ≈ 28.3.

  5. أوجد فترة تقارب Σ xⁿ/3ⁿ.

    اعرض الحل الكامل
    1. النسبة: |x|/3 < 1؛ والطرفان متباعدان.

    الإجابة: −3 < x < 3.

  6. يتبع الملوث في خزان خلط المعادلة S′ = −S/50 مع S(0) = 20 kg. متى تكون S = 5 kg؟

    اعرض الحل الكامل
    1. S = 20e^(−t/50); e^(−t/50) = 1/4.
    2. t = 50 ln 4.

    الإجابة: ≈ 69.3 وحدة زمنية.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x), cos⁡2x=12(1+cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x),\ \cos^2x=\tfrac12(1+\cos2x)
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+fn]S_n=\tfrac{\Delta x}3[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n]
V=∫πf2 dx, V=∫2πxf dxV=\int\pi f^2\,dx,\ V=\int2\pi x f\,dx
L=∫1+f′2 dxL=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx
W=∫F dxW=\int F\,dx
∫1∞x−pdx<∞  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}dx<\infty\iff p>1
y′=ky⇒y=y0ekty'=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}
P′=rP(1−P/K)P'=rP(1-P/K)
yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
∑arn=a/(1−r)\sum ar^n=a/(1-r)
L=lim⁡∣an+1/an∣L=\lim|a_{n+1}/a_n|
ex=∑xn/n!e^x=\sum x^n/n!
sin⁡x=∑(−1)nx2n+1/(2n+1)!\sin x=\sum(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!
cos⁡x=∑(−1)nx2n/(2n)!\cos x=\sum(-1)^nx^{2n}/(2n)!
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
A=12∫r2 dθA=\tfrac12\int r^2\,d\theta

الثوابت

الثابتالقيمة
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
الاختلاف المركزي لمدار الأرض0.0167
نصف المحور الأكبر للأرض149.6 مليون km
كثافة الماء1,000 kg/m³

المصدر: صحيفة بيانات الأرض من NASA (بالإنجليزية)

العودة إلى الأعلى

أدوات الرسم البياني والبيانات

استخدم هذه الأدوات المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

طول القوس
طول منحنى، ∫√(1 + f′²) dx.
السعة الاستيعابية
النهاية طويلة الأمد K لمجموعة لوجستية.
مركز الكتلة
نقطة الاتزان؛ العزم مقسومًا على الكتلة.
التقارب المشروط
متقاربة، لكن القيم المطلقة متباعدة.
معادلة تفاضلية
معادلة تتضمن مشتقات دالة مجهولة.
الاختلاف المركزي
مدى استطالة المدار.
طريقة أويلر
حل عددي خطوة بخطوة لمعادلة تفاضلية.
متسلسلة هندسية
Σarⁿ.
تكامل معتل
تكامل بحد أو دالة مكاملة لانهائية.
التكامل بالتجزئة
∫u dv = uv − ∫v du.
المعادلة اللوجستية
P′ = rP(1 − P/K).
متسلسلة ماكلورين
متسلسلة تايلور عند 0.
المعادلات الوسيطية
x وy معطاتان كدالتين في t.
الكسور الجزئية
تقسيم دالة نسبية إلى حدود أبسط.
الإحداثيات القطبية
موضع يُعطى بمسافة r وزاوية θ.
متسلسلة قوى
Σcₙ(x − a)ⁿ.
نصف قطر التقارب
المسافة من المركز التي تتقارب داخلها متسلسلة القوى.
معادلة قابلة للفصل
معادلة تفاضلية يمكن كتابتها g(y) dy = h(x) dx.
قاعدة سيمبسون
تكامل عددي باستخدام القطوع المكافئة.
متسلسلة تايلور
Σf⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيختار التقنية أو الاختبار الصحيح دون توجيه، ويبرره، ويتحقق من النتائج عدديًا.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع أخطاء عرضية.
2 · قيد التطوريتابع الأمثلة المحلولة لكنه يجد صعوبة في اختيار الطريقة.
1 · مبتدئيطبق الصيغ دون التحقق من الشروط؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين30%
المختبرات الحاسوبية15%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع