Cálculo II

Técnicas y aplicaciones de la integración, ecuaciones diferenciales, series de Taylor y curvas paramétricas y polares, con cuatro prácticas de computadora. Gratis, a tu propio ritmo y vinculado a trabajo real para salvar el planeta.

CNES (PIA25623)NASA Blue MarbleNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)NASA/JPL-Caltech

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Sobre este curso

Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.

Su alcance sigue el segundo semestre de cálculo universitario, tomando como modelo los temas y la profundidad de materiales abiertos como OpenStax Calculus Volume 2 y MIT OpenCourseWare 18.01SC (con ideas paramétricas y polares que conducen a 18.02SC Multivariable Calculus), a los que enlazamos a lo largo del curso. Esas organizaciones no respaldan esta página.

Lo que aportamos: cada unidad se conecta con problemas reales de agua, energía, ecología y vuelo espacial, cada número de la página se vuelve a calcular con un script de verificación antes de publicarse, y cuatro prácticas de computadora aplican los métodos a datos.

Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

Cálculo II es donde el cálculo empieza a modelar el mundo: el volumen de agua en los embalses, el trabajo para bombearla, cómo un contaminante sale de un lago, cómo se recupera una población de peces y las órbitas elípticas de los satélites que lo observan todo.

Cada unidad termina con una breve sección con fuentes que muestra cómo sus ideas ayudan a las personas y a la naturaleza.

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Antes de empezar

Requisitos previos

  • Cálculo I: límites, derivadas, regla de la cadena, integrales básicas y sustitución, el teorema fundamental.
  • Identidades trigonométricas, en especial sin²x + cos²x = 1 y las fórmulas del ángulo doble.
  • Exponenciales y logaritmos.

Cómo estudiar

  • Lee la unidad, ciérrala e intenta los ejemplos resueltos por tu cuenta antes de comprobar cada paso.
  • Resuelve cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta.
  • En las integrales, comprueba tu respuesta derivándola.
  • En las series, decide qué criterio conviene antes de calcular nada.
  • Dibuja cada región antes de plantear una integral de volumen o de área.
  • Repite los cuestionarios unos días después. La práctica espaciada es mejor que una sesión larga.

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

  • Una computadora o tableta con una hoja de cálculo.
  • Una calculadora gráfica gratuita como Desmos.
  • Opcional: Python con NumPy.

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Calendario sugerido de 15 semanas

Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.

SemanaUnidadTemasLectura
1Técnicas de integraciónIntegración por partesOpenStax 3.1
2Técnicas de integraciónIntegrales trigonométricas y sustituciónOpenStax 3.2–3.3
3Técnicas de integraciónFracciones parciales; integración numéricaOpenStax 3.4–3.6
4Aplicaciones: volumen, longitud de arco, trabajo y centro de masaÁreas, volúmenes por secciones, discos, arandelas, capas cilíndricasOpenStax 2.1–2.3
5Aplicaciones: volumen, longitud de arco, trabajo y centro de masaLongitud de arco, trabajo, fuerza de un fluido, centros de masa; Práctica BOpenStax 2.4–2.6
6Integrales impropiasIntegrales impropias y comparación; práctica para el parcialOpenStax 3.7
7Introducción a las ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales, campos de direcciones, método de EulerOpenStax 4.1–4.2
8Introducción a las ecuaciones diferencialesEcuaciones separables y logísticas; Práctica AOpenStax 4.3–4.4
9Sucesiones y seriesSucesiones; series infinitas; series geométricasOpenStax 5.1–5.2
10Sucesiones y seriesCriterios de divergencia, de la integral y de comparaciónOpenStax 5.3–5.4
11Sucesiones y seriesSeries alternantes; criterios del cociente y de la raízOpenStax 5.5–5.6
12Series de potencias y series de TaylorSeries de potencias y sus propiedadesOpenStax 6.1–6.2
13Series de potencias y series de TaylorSeries de Taylor y de Maclaurin; Práctica COpenStax 6.3–6.4
14Ecuaciones paramétricas y coordenadas polaresEcuaciones paramétricas; coordenadas polares y áreas; Práctica DOpenStax 7.1–7.4
15RepasoRepaso y serie de práctica finalTodas las unidades

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Tu progreso

Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.

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Unidad 1 · Semanas 1–3

Técnicas de integración

Integración por partes, integrales y sustituciones trigonométricas, fracciones parciales e integración numérica cuando no existe una fórmula.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Integrar por partes eligiendo bien u y dv.
  • Evaluar integrales trigonométricas y usar sustitución trigonométrica.
  • Descomponer funciones racionales en fracciones parciales.
  • Aproximar integrales con la regla del trapecio y la regla de Simpson, y estimar el error.

Conceptos clave

  • La integración por partes es la regla del producto al revés: ∫u dv = uv − ∫v du. Elige como u lo que se simplifica al derivar (logaritmos, polinomios).
  • Las potencias de seno y coseno se resuelven con identidades como sin²x = (1 − cos 2x)/2.
  • Para √(a² − x²), sustituye x = a sin θ; para √(a² + x²), x = a tan θ.
  • Una función racional propia se separa en fracciones simples cuyas integrales son logaritmos y arcotangentes.
  • Muchas integrales, como ∫e^(−x²) dx, no tienen antiderivada elemental. La regla de Simpson suele dar muchas cifras exactas con pocos puntos.

Ecuaciones clave

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
Integración por partes
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x)
Identidad de reducción de potencias
1x2−1=1/2x−1−1/2x+1\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}
Una descomposición en fracciones parciales
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\frac{\Delta x}{3}\left[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\right]
Regla de Simpson (n par)

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1.1 Calcula ∫₀¹ x eˣ dx.

Ver los pasos
  1. u = x, dv = eˣ dx, así que du = dx, v = eˣ.
  2. ∫x eˣ dx = x eˣ − ∫eˣ dx = (x − 1)eˣ.
  3. De 0 a 1: 0 − (−1) = 1.

Respuesta: 1.

Ejemplo 1.2 Calcula ∫₂³ dx/(x² − 1).

Ver los pasos
  1. Fracciones parciales: ½[1/(x − 1) − 1/(x + 1)].
  2. Antiderivada ½ ln|(x − 1)/(x + 1)|.
  3. ½[ln(2/4) − ln(1/3)] = ½ ln(3/2).

Respuesta: ½ ln 1.5 ≈ 0.2027.

Ejemplo 1.3 Estima ∫₀¹ e^(−x²) dx con la regla de Simpson, n = 4.

Ver los pasos
  1. Δx = 0.25; f = 1, 0.93941, 0.77880, 0.56978, 0.36788.
  2. S₄ = (0.25/3)[1 + 4(0.93941) + 2(0.77880) + 4(0.56978) + 0.36788].
  3. S₄ = 0.74686.

Respuesta: 0.74686, frente al valor real 0.74682: un error de solo 0.00003 con cinco puntos.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. ∫₀^π x sin x dx

    Ver la respuesta

    Por partes: [−x cos x + sin x]₀^π = π.

  2. ∫₁ᵉ x ln x dx

    Ver la respuesta

    Por partes con u = ln x: [x² ln x/2 − x²/4]₁ᵉ = (e² + 1)/4 ≈ 2.097.

  3. ∫₀^(π/2) sin²x dx

    Ver la respuesta

    Reducción de potencias: ½[x − sin 2x/2]₀^(π/2) = π/4.

  4. ∫₀¹ √(1 − x²) dx

    Ver la respuesta

    x = sin θ da ∫₀^(π/2) cos²θ dθ = π/4 (un cuarto del disco unitario).

  5. ∫₀¹ dx/(1 + x²)

    Ver la respuesta

    [arctan x]₀¹ = π/4.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Toma siempre como u el primer factor que veas.

    En realidad: Elige como u lo que se simplifica al derivar: primero logaritmos y polinomios; exponenciales y funciones trigonométricas como dv.

  • Mito: Las fracciones parciales funcionan con cualquier función racional.

    En realidad: Divide primero si el grado del numerador no es menor que el del denominador.

  • Mito: Si no encuentro una antiderivada, la integral no tiene valor.

    En realidad: Sigue teniendo un valor; estímalo numéricamente.

Tarjetas de estudio

  • Integración por partes

    ∫u dv = uv − ∫v du.

  • Sustitución trigonométrica

    √(a² − x²): x = a sin θ.

  • Fracciones parciales

    Separar una función racional en fracciones simples.

  • Regla del trapecio

    Promedio de las sumas por la izquierda y por la derecha; error ∝ Δx².

  • Regla de Simpson

    Ajuste parabólico; error ∝ Δx⁴.

  • Integral no elemental

    Sin antiderivada expresable por fórmula, p. ej. ∫e^(−x²) dx.

Cuestionario de autoevaluación

1. Para ∫x² eˣ dx, una buena primera elección de u es…

Ver la respuesta

x². x² se simplifica al derivar.

2. √(9 − x²) sugiere la sustitución…

Ver la respuesta

x = 3 sin θ. 9 − 9 sin²θ = 9 cos²θ.

3. La regla de Simpson ajusta la curva con…

Ver la respuesta

parábolas. Parábolas que pasan por cada grupo de tres puntos.

4. ∫ ln x dx =

Ver la respuesta

x ln x − x + C. Por partes con u = ln x, dv = dx.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La integral de la curva de campana del ejemplo 1.3 no tiene respuesta en forma de fórmula y, sin embargo, está detrás de cada barra de error de un gráfico climático y de cada incertidumbre de una medición satelital. La integración numérica es la forma en que se calcula realmente, ella y la mayoría de las integrales que salen de datos reales.

Métodos como la regla de Simpson permiten convertir mediciones irregulares, como las profundidades de un río a lo ancho de un cauce, en totales como el caudal o el volumen.

En Saving Planets: Cálculo I, Práctica D: integración numérica · Página de Ríos

Fuentes: OpenStax Calculus 2, 3.6 Numerical Integration · OpenStax Calculus 2, 3.1 Integration by Parts

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Unidad 2 · Semanas 4–5

Aplicaciones: volumen, longitud de arco, trabajo y centro de masa

Cortar, sumar y tomar el límite: volúmenes de sólidos, longitudes de curvas, trabajo contra fuerzas, presión de fluidos y centros de masa.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar volúmenes por secciones, discos, arandelas y capas cilíndricas.
  • Calcular la longitud de arco.
  • Calcular el trabajo de fuerzas variables, incluido el bombeo de líquidos, y la fuerza hidrostática.
  • Hallar el centro de masa de varillas y placas delgadas.

Conceptos clave

  • Toda aplicación sigue el mismo patrón: aproximar una sección delgada, escribir su contribución, integrar.
  • Método de discos: V = ∫π[f(x)]² dx alrededor del eje x. Método de capas: V = ∫2πx f(x) dx alrededor del eje y.
  • La longitud de arco suma hipotenusas diminutas: L = ∫√(1 + [f′(x)]²) dx.
  • Trabajo = ∫F(x) dx. Bombeo: cada capa de líquido se eleva su propia distancia.
  • La presión aumenta con la profundidad, así que la fuerza sobre una presa es una integral sobre la profundidad.
  • Centro de masa = momento ÷ masa.

Ecuaciones clave

V=∫abπ[f(x)]2 dxV=\int_a^b\pi[f(x)]^2\,dx
Método de discos
V=∫ab2πx f(x) dxV=\int_a^b2\pi x\,f(x)\,dx
Método de capas cilíndricas
L=∫ab1+[f′(x)]2 dxL=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
Longitud de arco
W=∫abF(x) dxW=\int_a^bF(x)\,dx
Trabajo de una fuerza variable
xˉ=∫x ρ(x) dx∫ρ(x) dx\bar x=\frac{\int x\,\rho(x)\,dx}{\int\rho(x)\,dx}
Centro de masa de una varilla

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 2.1 Halla el volumen que se obtiene al girar alrededor del eje x la región bajo y = √x, 0 ≤ x ≤ 4.

Ver los pasos
  1. Discos de radio √x: V = ∫₀⁴ π x dx.
  2. π[x²/2]₀⁴ = 8π.

Respuesta: 8π ≈ 25.1 unidades cúbicas.

Ejemplo 2.2 Un tanque cilíndrico de 1 m de radio y 2 m de altura está lleno de agua. ¿Cuánto trabajo cuesta bombear toda el agua por encima del borde?

Ver los pasos
  1. Una capa a la altura y tiene un volumen π(1)² dy y un peso de 1000 × 9.81 × π dy newtons, y se eleva 2 − y metros.
  2. W = ∫₀² 9,810π(2 − y) dy = 9,810π × 2.
  3. = 19,620π J.

Respuesta: ≈ 61,600 J (61.6 kJ).

Ejemplo 2.3 Una varilla en [0, 2] m tiene densidad ρ(x) = 1 + x kg/m. Halla su centro de masa.

Ver los pasos
  1. Masa: ∫₀² (1 + x) dx = 2 + 2 = 4 kg.
  2. Momento: ∫₀² x(1 + x) dx = 2 + 8/3 = 14/3.
  3. x̄ = (14/3)/4 = 7/6.

Respuesta: x̄ = 7/6 ≈ 1.17 m, hacia el extremo más pesado.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Usa capas cilíndricas para hallar el volumen que se obtiene al girar alrededor del eje y la región bajo y = x², 0 ≤ x ≤ 1.

    Ver la respuesta

    V = ∫₀¹ 2πx · x² dx = 2π/4 = π/2.

  2. Halla la longitud de arco de y = (2/3)x^(3/2) desde x = 0 hasta 3.

    Ver la respuesta

    y′ = √x, así que L = ∫₀³ √(1 + x) dx = (2/3)[(1 + x)^(3/2)]₀³ = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

  3. Un resorte con k = 200 N/m se estira 0.10 m desde su longitud en reposo. ¿Cuánto trabajo se realiza?

    Ver la respuesta

    W = ∫₀^0.1 200x dx = 100(0.01) = 1.0 J.

  4. Una compuerta rectangular vertical de 10 m de ancho contiene agua de 5 m de profundidad. Halla la fuerza total del agua sobre ella.

    Ver la respuesta

    F = ∫₀⁵ ρg y (10) dy = 1,000 × 9.81 × 10 × 25/2 = 1.23 × 10⁶ N.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Volumen de revolución = π × área.

    En realidad: Hay que elevar el radio al cuadrado dentro de la integral: ∫π f² dx, no π(∫f dx).

  • Mito: El trabajo de bombeo es peso × altura del tanque.

    En realidad: Cada capa se mueve una distancia diferente, así que hay que integrar.

  • Mito: El centro de masa es siempre el punto medio.

    En realidad: Solo con densidad uniforme y forma simétrica.

Tarjetas de estudio

  • Método de discos

    V = ∫π f(x)² dx.

  • Método de arandelas

    V = ∫π(R² − r²) dx.

  • Método de capas cilíndricas

    V = ∫2πx f(x) dx.

  • Longitud de arco

    L = ∫√(1 + f′²) dx.

  • Trabajo

    W = ∫F dx.

  • Centro de masa

    Momento dividido entre masa.

Cuestionario de autoevaluación

1. Las capas alrededor del eje y usan el integrando…

Ver la respuesta

2πx f(x). Circunferencia 2πx × altura f(x) × grosor dx.

2. La longitud de arco usa…

Ver la respuesta

∫√(1 + f′²) dx. Pitágoras en cada trocito.

3. La presión hidrostática sobre una presa crece…

Ver la respuesta

linealmente con la profundidad. P = ρgh; la fuerza total crece entonces con el cuadrado de la profundidad.

4. El trabajo para estirar un resorte una distancia x desde el reposo es…

Ver la respuesta

½kx². ∫₀ˣ kt dt.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los ingenieros hidráulicos usan estas integrales directamente: el volumen de un embalse a partir de su forma, la energía para bombear el agua adonde se necesita y la fuerza que debe contener una presa o una barrera contra inundaciones. El bombeo es un costo energético importante en muchos sistemas de agua, así que plantear bien la integral ahorra energía y dinero.

Hoy los satélites miden desde la órbita la altura de ríos, lagos y embalses. La misión SWOT de la NASA y el CNES estudia las aguas superficiales para estimar los cambios en el agua almacenada: cortar y sumar a escala planetaria.

En Saving Planets: SWOT · Espacio para el río

Fuentes: OpenStax Calculus 2, 2.5 Physical Applications · NASA: misión SWOT

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Unidad 3 · Semana 6

Integrales impropias

Integrales sobre intervalos infinitos o a través de picos infinitos: cuándo suman un número finito y cuándo no.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Evaluar integrales impropias como límites.
  • Decidir la convergencia con el criterio p y la comparación.
  • Aplicar integrales impropias a la energía de escape y a las vidas medias.

Conceptos clave

  • ∫ₐ^∞ f dx significa el límite de ∫ₐᵇ f dx cuando b → ∞. Si el límite es finito, la integral converge.
  • ∫₁^∞ dx/xᵖ converge exactamente cuando p > 1. ∫₀¹ dx/xᵖ converge exactamente cuando p < 1.
  • Comparación: si 0 ≤ f ≤ g y ∫g converge, también converge ∫f.
  • Una región infinita puede tener área finita.

Ecuaciones clave

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx
Integral impropia
∫1∞dxxp=1p−1 (p>1)\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\frac1{p-1}\ (p>1)
Integral p
W∞=∫R∞GMmr2 dr=GMmRW_{\infty}=\int_R^{\infty}\frac{GMm}{r^2}\,dr=\frac{GMm}{R}
Trabajo para escapar de la gravedad de un planeta

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 3.1 Evalúa ∫₁^∞ dx/x².

Ver los pasos
  1. ∫₁ᵇ x⁻² dx = 1 − 1/b.
  2. As b → ∞, 1/b → 0.

Respuesta: 1 (converge).

Ejemplo 3.2 ¿Converge ∫₁^∞ dx/x?

Ver los pasos
  1. ∫₁ᵇ dx/x = ln b.
  2. ln b → ∞.

Respuesta: No, diverge, aunque 1/x → 0.

Ejemplo 3.3 ¿Cuánta energía por kilogramo hace falta para escapar de la gravedad terrestre desde la superficie (sin contar el aire ni la rotación)?

Ver los pasos
  1. W/m = ∫_R^∞ GM/r² dr = GM/R.
  2. GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6.371 × 10⁶ m.
  3. W/m = 6.26 × 10⁷ J/kg.

Respuesta: Unos 62.6 MJ por kilogramo, una cantidad finita aunque la distancia sea infinita. Igualando ½v² a ese valor se obtiene la velocidad de escape de 11.2 km/s.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. ∫₀^∞ e^(−x) dx

    Ver la respuesta

    [−e^(−x)]₀^∞ = 0 + 1 = 1.

  2. ∫₀¹ dx/√x

    Ver la respuesta

    [2√x]₀¹ = 2 (converge; p = ½ < 1).

  3. ∫₂^∞ dx/x³

    Ver la respuesta

    [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

  4. ¿Converge ∫₁^∞ dx/(x² + 1)?

    Ver la respuesta

    Sí: es menor que 1/x², que converge. De hecho, vale π/4.

  5. Para un decaimiento exponencial con tasa λ, la vida media es ∫₀^∞ t λe^(−λt) dt. Evalúala.

    Ver la respuesta

    Por partes: 1/λ.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Si f(x) → 0 cuando x → ∞, la integral converge.

    En realidad: 1/x → 0 pero ∫₁^∞ dx/x diverge.

  • Mito: Una región infinitamente larga tiene área infinita.

    En realidad: ∫₁^∞ dx/x² = 1.

  • Mito: ∫₋₁¹ dx/x² = −2 con la fórmula habitual.

    En realidad: El integrando se dispara en 0, así que la integral es impropia, y diverge.

Tarjetas de estudio

  • Integral impropia

    Intervalo infinito o integrando infinito; se define mediante un límite.

  • Converge

    El límite existe y es finito.

  • Criterio p (∞)

    ∫₁^∞ x⁻ᵖ converge si y solo si p > 1.

  • Criterio p (0)

    ∫₀¹ x⁻ᵖ converge si y solo si p < 1.

  • Criterio de comparación

    Menor que una convergente ⇒ converge.

  • Energía de escape

    GM/R por kg.

Cuestionario de autoevaluación

1. ∫₁^∞ dx/x^1.5…

Ver la respuesta

converge a 2. 1/(p − 1) = 1/0.5 = 2.

2. ∫₁^∞ dx/x…

Ver la respuesta

diverge. ln b → ∞.

3. ∫₀^∞ e^(−2x) dx =

Ver la respuesta

1/2. [−e^(−2x)/2]₀^∞ = 1/2.

4. Una integral impropia se define como…

Ver la respuesta

un límite de integrales propias. Toma el límite de ∫ₐᵇ.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Las integrales impropias dan la energía necesaria para salir de un planeta, la cifra detrás de cada lanzamiento de un satélite meteorológico o climático. Es finita, y por eso el vuelo espacial es posible.

Las vidas medias, también integrales impropias, describen cuánto tiempo permanecen las sustancias: cuánto persiste un contaminante en un lago o cuánto dura un trazador radiactivo usado para datar hielo y agua oceánica.

En Saving Planets: Física I, Unidad 7: órbitas · Calculadora de delta-v

Fuentes: OpenStax Calculus 2, 3.7 Improper Integrals · Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés)

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Unidad 4 · Semanas 7–8

Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones para tasas de cambio: crecimiento y decaimiento exponencial, enfriamiento, mezclas y el modelo logístico de poblaciones.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Verificar soluciones y resolver problemas de valor inicial.
  • Leer campos de direcciones y usar el método de Euler.
  • Resolver ecuaciones separables, incluidos problemas de mezclas y de enfriamiento.
  • Usar la ecuación logística e interpretar su capacidad de carga.

Conceptos clave

  • Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Su solución es una función, normalmente una familia fijada por una condición inicial.
  • Ecuaciones separables: pon toda la y de un lado y toda la x del otro, y luego integra.
  • y′ = ky da y = y₀e^(kt): crecimiento si k > 0, decaimiento si k < 0.
  • Mezclas: tasa de cambio de un contaminante = tasa de entrada − tasa de salida.
  • Logística: P′ = rP(1 − P/K). El crecimiento se frena a medida que P se acerca a la capacidad de carga K; es máximo en P = K/2.
  • El método de Euler avanza siguiendo la pendiente: yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ). Pasos más pequeños, error más pequeño.

Ecuaciones clave

dydt=ky ⇒ y=y0ekt\frac{dy}{dt}=ky\ \Rightarrow\ y=y_0e^{kt}
Crecimiento y decaimiento exponencial
dTdt=−k(T−Ts)\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s)
Ley de enfriamiento de Newton
dPdt=rP(1−PK),P(t)=K1+K−P0P0e−rt\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac PK\right),\quad P(t)=\frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}
Ecuación logística y su solución
yn+1=yn+h f(tn,yn)y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)
Método de Euler

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 4.1 Una sección de un lago contiene 1000 m³ de agua con 50 kg de un contaminante disuelto. Entra agua limpia a 10 m³/día y sale agua bien mezclada al mismo ritmo. ¿Cuánto tarda en desaparecer la mitad del contaminante?

Ver los pasos
  1. dS/dt = −(10/1,000)S = −S/100.
  2. S(t) = 50e^(−t/100).
  3. Mitad: e^(−t/100) = ½, así que t = 100 ln 2.

Respuesta: ≈ 69.3 días (un modelo simplificado, perfectamente mezclado).

Ejemplo 4.2 Una población de peces sigue P′ = 0.5P(1 − P/1000) con P(0) = 100. Halla P(4).

Ver los pasos
  1. P(t) = 1,000/(1 + 9e^(−0.5t)).
  2. P(4) = 1,000/(1 + 9e^(−2)) = 1,000/2.218.

Respuesta: ≈ 451 peces, cerca del nivel de crecimiento más rápido K/2 = 500.

Ejemplo 4.3 Usa el método de Euler con h = 0.5 para estimar y(1) en y′ = y, y(0) = 1.

Ver los pasos
  1. y₁ = 1 + 0.5(1) = 1.5.
  2. y₂ = 1.5 + 0.5(1.5) = 2.25.

Respuesta: 2.25, frente al valor exacto e ≈ 2.718; reducir h a la mitad achica el error.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Un café a 90 °C se enfría en una habitación a 20 °C con k = 0.1 por minuto. Halla su temperatura después de 10 minutos.

    Ver la respuesta

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. Resuelve y′ = xy con y(0) = 2 y halla y(1).

    Ver la respuesta

    dy/y = x dx, así que y = 2e^(x²/2); y(1) = 2e^0.5 ≈ 3.30.

  3. Resuelve y′ = −2y, y(0) = 5. Halla y(1).

    Ver la respuesta

    y = 5e^(−2t); y(1) ≈ 0.677.

  4. Para P′ = rP(1 − P/K), ¿con qué población es más rápido el crecimiento?

    Ver la respuesta

    rP(1 − P/K) es una parábola hacia abajo en P con su vértice en P = K/2.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: La solución de una ecuación diferencial es un número.

    En realidad: Es una función (o una familia de funciones).

  • Mito: El método de Euler da la respuesta exacta si tienes cuidado.

    En realidad: Tiene un error que depende del paso; solo converge cuando h → 0.

  • Mito: Las poblaciones logísticas dejan de crecer en K/2.

    En realidad: El crecimiento es máximo en K/2 y solo llega a cero cuando P se acerca a K.

Tarjetas de estudio

  • Ecuación diferencial

    Una ecuación que relaciona una función con sus derivadas.

  • Problema de valor inicial

    Una ED más un valor de partida.

  • Separable

    g(y) dy = h(x) dx.

  • Ecuación logística

    P′ = rP(1 − P/K).

  • Capacidad de carga

    K, el límite a largo plazo de una población logística.

  • Método de Euler

    yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ).

Cuestionario de autoevaluación

1. La solución general de y′ = 3y es…

Ver la respuesta

Ce^(3x). Separa e integra.

2. En el modelo logístico, K es la…

Ver la respuesta

capacidad de carga. El nivel al que se acerca la población.

3. Un paso de Euler desde (0, 2) con y′ = y y h = 0.1 da…

Ver la respuesta

2.2. 2 + 0.1 × 2.

4. dy/dx = x²y es…

Ver la respuesta

separable. dy/y = x² dx.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los modelos de población basados en la ecuación logística forman parte de cómo los científicos pesqueros evalúan las poblaciones y fijan límites de captura que les permiten mantenerse sanas, lo que protege los ecosistemas oceánicos y a las personas que dependen de ellos.

Las ecuaciones de mezclas como la del ejemplo 4.1 son el primer paso para estimar con qué rapidez un lago o un estuario elimina un contaminante una vez que se corta la fuente.

Los modelos meteorológicos y climáticos resuelven sistemas enormes de ecuaciones diferenciales con métodos numéricos paso a paso, descendientes del método de Euler.

En Saving Planets: Centro de Lagos · Centro de Océanos

Fuentes: OpenStax Calculus 2, 4.4 The Logistic Equation · NOAA Fisheries: evaluaciones de poblaciones

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Unidad 5 · Semanas 9–11

Sucesiones y series

¿Cuándo da un total finito sumar infinitos números? Series geométricas, la serie armónica y los criterios de convergencia.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar límites de sucesiones.
  • Sumar series geométricas y telescópicas.
  • Aplicar los criterios de divergencia, de la integral, de comparación, de series alternantes, del cociente y de la raíz.
  • Distinguir la convergencia absoluta de la condicional.

Conceptos clave

  • Una serie Σaₙ converge si sus sumas parciales se acercan a un límite.
  • Geométrica: Σ arⁿ (n ≥ 0) = a/(1 − r) cuando |r| < 1.
  • Criterio de divergencia: si aₙ no → 0, la serie diverge. El recíproco es falso: la serie armónica Σ1/n diverge.
  • La serie p Σ1/nᵖ converge si y solo si p > 1 (por el criterio de la integral).
  • Criterio del cociente: si |aₙ₊₁/aₙ| → L < 1 la serie converge absolutamente; si L > 1 diverge; L = 1 no dice nada.
  • Las series alternantes con términos que decrecen a 0 convergen; Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2.

Ecuaciones clave

∑n=0∞arn=a1−r (∣r∣<1)\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}\ (|r|<1)
Serie geométrica
∑1np converges  ⟺  p>1\sum\frac1{n^p}\ \text{converges}\iff p>1
Serie p
L=lim⁡∣an+1an∣L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
Criterio del cociente

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 5.1 Suma Σ (1/2)ⁿ desde n = 0.

Ver los pasos
  1. Geométrica con a = 1, r = ½.
  2. 1/(1 − ½) = 2.

Respuesta: 2.

Ejemplo 5.2 Cada año un lago pierde el 10% de un contaminante acumulado y recibe 5 toneladas más. ¿En qué nivel se estabiliza?

Ver los pasos
  1. Tras muchos años la cantidad es 5 + 5(0.9) + 5(0.9)² + …
  2. Geométrica: 5/(1 − 0.9).

Respuesta: 50 toneladas. Reducir a la mitad el aporte anual reduce a la mitad el nivel a largo plazo (un modelo simplificado).

Ejemplo 5.3 ¿Converge Σ n/2ⁿ?

Ver los pasos
  1. Cociente: [(n + 1)/2ⁿ⁺¹]/[n/2ⁿ] = (n + 1)/(2n) → ½.
  2. ½ < 1.

Respuesta: Converge (su suma es 2).

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Σ 0.9(0.1)ⁿ desde n = 0

    Ver la respuesta

    0.9/(1 − 0.1) = 1. So 0.999… = 1.

  2. ¿Converge Σ 1/n²?

    Ver la respuesta

    Sí, p = 2 > 1 (la suma es π²/6).

  3. ¿Converge Σ n/(n + 1)?

    Ver la respuesta

    No: los términos → 1, no 0 (criterio de divergencia).

  4. Suma Σ 3(2/3)ⁿ desde n = 0.

    Ver la respuesta

    3/(1 − 2/3) = 9.

  5. ¿Converge absolutamente Σ (−1)ⁿ⁺¹/n?

    Ver la respuesta

    No. Converge (a ln 2), pero Σ1/n diverge, así que la convergencia es condicional.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Si los términos tienden a 0, la serie converge.

    En realidad: La serie armónica es el contraejemplo.

  • Mito: Un límite igual a 1 en el criterio del cociente significa divergencia.

    En realidad: L = 1 no es concluyente; usa otro criterio.

  • Mito: Reordenar los términos nunca cambia una suma.

    En realidad: En las series condicionalmente convergentes, sí puede cambiarla.

Tarjetas de estudio

  • Sucesión

    Una lista ordenada a₁, a₂, …

  • Serie

    Suma de una sucesión; límite de las sumas parciales.

  • Serie geométrica

    a/(1 − r) para |r| < 1.

  • Serie armónica

    Σ1/n, diverge.

  • Criterio del cociente

    L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no concluyente.

  • Convergencia condicional

    Converge, pero no absolutamente.

Cuestionario de autoevaluación

1. Σ (1/3)ⁿ desde n = 0 =

Ver la respuesta

3/2. 1/(1 − 1/3).

2. La serie armónica Σ1/n…

Ver la respuesta

diverge. p = 1, criterio de la integral.

3. Σ 1/n^1.01…

Ver la respuesta

converge. p > 1.

4. El criterio del cociente para Σ 1/n! da L =

Ver la respuesta

0. 1/(n + 1) → 0, así que converge.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Las series geométricas describen todo lo que se arrastra en parte de un período al siguiente, como en el ejemplo 5.2. Ese modelo sencillo muestra un hecho clave de la contaminación y de los gases de efecto invernadero: el nivel a largo plazo depende del ritmo de aporte, así que reducir los aportes baja el nivel en que todo se estabiliza.

Los sistemas reales son más complejos que una sola serie geométrica, y los científicos usan modelos completos, pero la serie es la intuición inicial correcta.

En Saving Planets: Pronóstico de floraciones de algas del lago Erie · Centro de Lagos

Fuentes: OpenStax Calculus 2, 5.2 Infinite Series · NOAA GML: tendencias del CO₂ atmosférico (en inglés)

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Unidad 6 · Semanas 12–13

Series de potencias y series de Taylor

Convertir funciones en polinomios infinitos. Las series de Taylor son la forma en que calculan las calculadoras y en que los físicos simplifican problemas difíciles.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
  • Construir series y polinomios de Taylor y de Maclaurin.
  • Acotar el error de una aproximación de Taylor.
  • Usar series para aproximar integrales y justificar las aproximaciones de ángulo pequeño.

Conceptos clave

  • Una serie de potencias Σcₙ(x − a)ⁿ converge dentro de un radio R y diverge fuera; revisa los extremos por separado.
  • Serie de Taylor: cₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Alrededor de a = 0 se llama serie de Maclaurin.
  • Series clave: eˣ = Σxⁿ/n!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (|x| < 1).
  • Resto de Taylor: el error es como máximo M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M acota la siguiente derivada.
  • Quedarse solo con el primer término convierte sin θ en θ, la aproximación de ángulo pequeño detrás de la fórmula del péndulo simple.

Ecuaciones clave

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
Serie de Taylor
ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
Serie exponencial
sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
Serie del seno
∣Rn(x)∣≤M∣x−a∣n+1(n+1)!|R_n(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}
Cota del resto de Taylor

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 6.1 Estima e^0.1 con los cuatro primeros términos de su serie.

Ver los pasos
  1. 1 + 0.1 + 0.01/2 + 0.001/6.
  2. = 1.105167.

Respuesta: 1.105167, frente al valor real 1.105171.

Ejemplo 6.2 Estima sin 0.5 con tres términos y acota el error.

Ver los pasos
  1. 0.5 − 0.125/6 + 0.03125/120 = 0.479427.
  2. Cota del siguiente término: 0.5⁷/7! = 1.55 × 10⁻⁶.

Respuesta: 0.479427, con error menor que 1.6 × 10⁻⁶ (valor real 0.479426).

Ejemplo 6.3 Halla el radio de convergencia de Σ xⁿ/3ⁿ.

Ver los pasos
  1. Cociente: |x|/3 < 1.
  2. Los extremos x = ±3 dan términos ±1, que no → 0.

Respuesta: R = 3; converge para −3 < x < 3.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Escribe el polinomio de Maclaurin de grado 4 de cos x y úsalo para cos 0.2.

    Ver la respuesta

    1 − x²/2 + x⁴/24; cos 0.2 ≈ 1 − 0.02 + 0.0000667 = 0.980067 (valor real 0.980067).

  2. Halla la serie de Maclaurin de 1/(1 − x).

    Ver la respuesta

    Σxⁿ para |x| < 1 (geométrica).

  3. Halla el radio de convergencia de Σ xⁿ/n.

    Ver la respuesta

    R = 1 (cociente n/(n + 1) → 1).

  4. Usa una serie para estimar ∫₀¹ e^(−x²) dx con tres términos.

    Ver la respuesta

    ∫(1 − x² + x⁴/2) dx = 1 − 1/3 + 1/10 = 0.7667. Con más términos se acerca a 0.7468.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Un polinomio de Taylor es preciso en todas partes.

    En realidad: Es mejor cerca del centro a y puede ser pésimo lejos de él o fuera del radio de convergencia.

  • Mito: Toda función suave es igual a su serie de Taylor.

    En realidad: No siempre, aunque se cumple en todas partes para eˣ, sin x y cos x.

  • Mito: El radio de convergencia también decide los extremos.

    En realidad: Los extremos deben revisarse por separado.

Tarjetas de estudio

  • Serie de potencias

    Σcₙ(x − a)ⁿ.

  • Radio de convergencia

    R tal que la serie converge para |x − a| < R.

  • Coeficiente de Taylor

    f⁽ⁿ⁾(a)/n!.

  • Serie de Maclaurin

    Serie de Taylor en a = 0.

  • Aproximación de ángulo pequeño

    sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2.

  • Cota del resto

    M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cuestionario de autoevaluación

1. La serie de Maclaurin de eˣ es…

Ver la respuesta

Σxⁿ/n!. Todas las derivadas de eˣ en 0 valen 1.

2. Para θ pequeño, sin θ ≈…

Ver la respuesta

θ. El primer término de la serie.

3. El coeficiente de x³ en la serie de sin x es…

Ver la respuesta

−1/6. −1/3!.

4. Σxⁿ converge para…

Ver la respuesta

|x| < 1. Serie geométrica.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Las series de Taylor permiten a los físicos convertir ecuaciones difíciles en ecuaciones útiles. El período del péndulo T = 2π√(L/g) de Física I se basa en sin θ ≈ θ, y el mismo tipo de linealización está detrás de gran parte del análisis que hacen los ingenieros de las vibraciones en aerogeneradores, puentes y aviones.

Los modelos de órbitas de satélites y del clima desarrollan efectos complicados en series y se quedan con los términos que importan. Conocer la cota del error indica cuándo una aproximación es lo bastante buena como para confiar en ella.

En Saving Planets: Física I, Unidad 8: oscilaciones · Calculadora del período de un péndulo

Fuentes: OpenStax Calculus 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series · OpenStax University Physics 1, 15.4 Pendulums (en inglés)

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Unidad 7 · Semana 14

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Describir trayectorias en función del tiempo y curvas en función de un ángulo, incluida la elipse que sigue cada satélite y cada planeta.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Graficar curvas paramétricas, hallar dy/dx y la longitud de arco.
  • Convertir entre coordenadas polares y cartesianas.
  • Hallar áreas y longitudes de arco en coordenadas polares.
  • Describir una órbita de Kepler en forma polar.

Conceptos clave

  • Una curva paramétrica da x(t) e y(t); dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
  • Longitud de arco: ∫√(x′² + y′²) dt.
  • Polares: x = r cos θ, y = r sin θ. Área de una región polar: ½∫r² dθ.
  • Una órbita alrededor de un foco es r = p/(1 + e cos θ), donde e es la excentricidad.
  • La segunda ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales) equivale a decir que ½r² dθ/dt es constante.

Ecuaciones clave

dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
Pendiente de una curva paramétrica
L=∫ab(x′)2+(y′)2 dtL=\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt
Longitud de arco paramétrica
A=12∫αβr2 dθA=\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta
Área en polares
r=a(1−e2)1+ecos⁡θr=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
Órbita cónica en forma polar

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 7.1 Halla la pendiente de x = t², y = t³ en t = 1.

Ver los pasos
  1. dx/dt = 2t, dy/dt = 3t².
  2. dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2 = 3/2 en t = 1.

Respuesta: 3/2.

Ejemplo 7.2 Halla el área dentro de la cardioide r = 1 + cos θ.

Ver los pasos
  1. A = ½∫₀^(2π) (1 + cos θ)² dθ.
  2. = ½∫(1 + 2cos θ + cos²θ) dθ = ½(2π + 0 + π).

Respuesta: 3π/2 ≈ 4.71.

Ejemplo 7.3 La órbita terrestre tiene a = 149.6 millones de km y e = 0.0167. Halla sus distancias mínima y máxima al Sol.

Ver los pasos
  1. At θ = 0: r = a(1 − e) = 149.6 × 0.9833.
  2. At θ = π: r = a(1 + e) = 149.6 × 1.0167.

Respuesta: Unos 147.1 y 152.1 millones de km, que coinciden con el perihelio y el afelio publicados por la NASA.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla la longitud de x = cos t, y = sin t para 0 ≤ t ≤ 2π.

    Ver la respuesta

    ∫√(sin²t + cos²t) dt = 2π (la circunferencia de un círculo).

  2. Halla el área del círculo r = 3.

    Ver la respuesta

    ½∫₀^(2π) 9 dθ = 9π.

  3. Convierte r = 2 cos θ a forma cartesiana.

    Ver la respuesta

    r² = 2r cos θ da x² + y² = 2x: un círculo de radio 1 centrado en (1, 0), de área π.

  4. Elimina t de x = 2 cos t, y = sin t.

    Ver la respuesta

    x²/4 + y² = 1, una elipse.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: dy/dx = dy/dt × dx/dt.

    En realidad: Divide: (dy/dt)/(dx/dt).

  • Mito: El área en polares es ∫r dθ.

    En realidad: Es ½∫r² dθ, a partir de finas porciones de pastel.

  • Mito: El Sol está en el centro de la órbita terrestre.

    En realidad: Está en uno de los focos de la elipse.

Tarjetas de estudio

  • Curva paramétrica

    x = x(t), y = y(t).

  • Pendiente paramétrica

    (dy/dt)/(dx/dt).

  • Coordenadas polares

    (r, θ); x = r cos θ, y = r sin θ.

  • Área en polares

    ½∫r² dθ.

  • Excentricidad

    e = 0 círculo, 0 < e < 1 elipse.

  • Segunda ley de Kepler

    Áreas iguales en tiempos iguales.

Cuestionario de autoevaluación

1. El área en polares usa…

Ver la respuesta

½∫r² dθ. Cada porción es aproximadamente un sector de área ½r² dθ.

2. x = r cos θ, y = …

Ver la respuesta

r sin θ. De polares a cartesianas.

3. Para una órbita r = p/(1 + e cos θ), e = 0 da…

Ver la respuesta

un círculo. r = p es constante.

4. La segunda ley de Kepler dice que r² dθ/dt es…

Ver la respuesta

constante. Áreas iguales en tiempos iguales.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Cada satélite de observación de la Tierra sigue una trayectoria descrita por la ecuación polar de la órbita de esta unidad. Los diseñadores de misiones eligen la forma y la inclinación de la órbita para que los instrumentos vuelvan a pasar por los mismos lugares con una iluminación parecida, lo que facilita detectar cambios en el terreno.

Las ecuaciones paramétricas describen la traza en tierra que un satélite dibuja sobre la Tierra, lo que decide qué bosques, costas y capas de hielo puede ver y cuándo.

En Saving Planets: Guía de órbitas · Landsat 9

Fuentes: Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés) · OpenStax Calculus 2, 7.4 Area and Arc Length in Polar Coordinates

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Laboratorios de computadora

Cuatro prácticas cortas de computadora aplican las unidades con una hoja de cálculo: el método de Euler para un modelo de población, la regla de Simpson para el volumen de un embalse, la precisión de las series de Taylor y la segunda ley de Kepler en coordenadas polares.

Son los métodos numéricos que científicos e ingenieros usan a diario. Los datos de ejemplo están señalados como tales; cada práctica enlaza a su fuente.

Referencia de seguridad: OpenStax Calculus Volume 2 (libro de texto gratuito)

Práctica A: método de Euler para una población de peces en recuperación

Semana 8

Objetivo: Resolver numéricamente la ecuación logística y compararla con la solución exacta.

Pn+1=Pn+h rPn(1−PnK)P_{n+1}=P_n+h\,rP_n\left(1-\frac{P_n}{K}\right)
Método de Euler para la ecuación logística

Procedimiento

  1. Fija r = 0.5, K = 1000, P₀ = 100 y h = 1 en una hoja de cálculo.
  2. Copia hacia abajo los pasos de Euler hasta t = 4.
  3. Añade una columna con la solución exacta y el error.
  4. Repite con h = 0.5 y h = 0.25; ¿cómo cambia el error?

Tabla de datos

tP de Euler (h = 1)
0100
1145.0
2207.0
3289.1
4391.9

Valores calculados por el modelo (no es una pesquería real). P(4) exacto = 450.9.

Cálculo de ejemplo

  1. P₁ = 100 + 0.5 × 100 × 0.9 = 145.0.
  2. P₂ = 145 + 0.5 × 145 × 0.855 = 207.0.
  3. Aquí Euler subestima (391.9 frente a 450.9) porque la curva se curva hacia arriba al principio del crecimiento; reducir h a la mitad reduce el error más o menos a la mitad.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta con una hoja de cálculo.

OpenStax Calculus 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods

Vínculo con el planeta: Los modelos numéricos de población apoyan la gestión pesquera. NOAA Fisheries: evaluaciones de poblaciones

Práctica B: volumen de un embalse con la regla de Simpson

Semana 5

Objetivo: Estimar el volumen de un embalse a partir de mediciones del área de la superficie a distintas profundidades.

V=∫0HA(h) dh≈Δh3[A0+4A1+2A2+4A3+A4]V=\int_0^HA(h)\,dh\approx\frac{\Delta h}3[A_0+4A_1+2A_2+4A_3+A_4]
El volumen como integral del área de la sección transversal

Procedimiento

  1. Introduce las áreas de ejemplo a 0, 2, 4, 6 y 8 m sobre el fondo.
  2. Aplica la regla de Simpson con Δh = 2 m.
  3. Compara con la regla del trapecio.

Tabla de datos

Altura h (m)Área de la superficie A (km²)
00.0
21.2
42.6
64.0
85.6

Valores de ejemplo para practicar, no un embalse real.

Cálculo de ejemplo

  1. Simpson: (2/3)[0 + 4(1.2) + 2(2.6) + 4(4.0) + 5.6] = (2/3)(31.6) = 21.07 km²·m.
  2. 1 km²·m = 10⁶ m³, así que V ≈ 2.11 × 10⁷ m³ (21 millones de metros cúbicos).
  3. Trapecio: 2[0/2 + 1.2 + 2.6 + 4.0 + 5.6/2] = 21.2 km²·m, cerca de Simpson.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta con una hoja de cálculo.

NASA: misión SWOT

Vínculo con el planeta: Los satélites de aguas superficiales como SWOT ayudan a estimar los cambios del agua almacenada en lagos y embalses.

Práctica C: ¿qué tan bueno es un polinomio de Taylor?

Semana 13

Objetivo: Comparar polinomios de Taylor de sin x con el valor real y con la cota del resto.

P5(x)=x−x36+x5120P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}
Polinomio de Maclaurin de grado 5 de sin x

Procedimiento

  1. Tabula sin x, P₁ = x, P₃ y P₅ para x de 0 a π en pasos de 0.25.
  2. Grafica los errores.
  3. Halla dónde la aproximación de ángulo pequeño sin x ≈ x se desvía un 1%.

Tabla de datos

xsin xP₅(x)
0.50.4794260.479427
1.00.8414710.841667
2.00.9092970.933333

Valores calculados.

Cálculo de ejemplo

  1. En x = 0.5, P₅ se equivoca en unos 10⁻⁶; en x = 2, en 0.024. La precisión cae rápido al alejarse de 0.
  2. sin x ≈ x está dentro del 1% hasta aproximadamente x = 0.24 rad (14°), por eso la fórmula del péndulo se usa para oscilaciones pequeñas.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Los deslizadores de Desmos funcionan bien.

PhET: Pendulum Lab

Vínculo con el planeta: Conocer el error de una aproximación es como los ingenieros deciden en qué modelo simplificado confiar.

Práctica D: segunda ley de Kepler en coordenadas polares

Semana 14

Objetivo: Mostrar numéricamente que una órbita elíptica barre área más rápido por ángulo cerca del foco, pero a un ritmo constante en el tiempo.

A(θ1,θ2)=12∫θ1θ2r(θ)2 dθ,r=a(1−e2)1+ecos⁡θA(\theta_1,\theta_2)=\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r(\theta)^2\,d\theta,\quad r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
Área barrida por una órbita

Procedimiento

  1. Usa a = 1 y e = 0.5.
  2. Calcula con la regla de Simpson el área barrida de θ = 0 a 0.5 y de θ = π − 0.25 a π + 0.25 (el mismo ancho de 0.5 rad).
  3. Explica por qué ángulos iguales no dan áreas iguales y, por tanto, llevan tiempos distintos.

Tabla de datos

ArcÁrea barrida
θ = 0 a 0.5 (cerca del Sol)0.0643
θ = π ± 0.25 (lado lejano)0.5513

Valores calculados para a = 1, e = 0.5.

Cálculo de ejemplo

  1. Cerca del Sol r ≈ 0.5, en el lado lejano r ≈ 1.5: el área ∝ r², así que el arco lejano barre unas 8.6 veces más área (0.5513 ÷ 0.0643).
  2. Como el área crece a ritmo constante en el tiempo, el planeta tarda unas 8.6 veces más en recorrer los 0.5 rad lejanos: se mueve más despacio en el afelio.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta una hoja de cálculo o Desmos.

PhET: Kepler’s Laws

Vínculo con el planeta: La geometría de la órbita decide cuándo un satélite puede ver un lugar de la Tierra.

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Series de práctica para exámenes

Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.

Serie de práctica de mitad de curso (unidades 1–3)

  1. Halla ∫₀¹ x² eˣ dx.

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    1. Dos veces por partes: ∫x²eˣ dx = (x² − 2x + 2)eˣ.
    2. De 0 a 1: e − 2.

    Respuesta: e − 2 ≈ 0.718.

  2. Halla ∫₀¹ x/(x + 1) dx.

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    1. x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1).
    2. [x − ln(x + 1)]₀¹ = 1 − ln 2.

    Respuesta: 1 − ln 2 ≈ 0.307.

  3. Halla el volumen que se obtiene al girar alrededor del eje x la región bajo y = x², 0 ≤ x ≤ 2.

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    1. Discos: ∫₀² π x⁴ dx = π × 32/5.

    Respuesta: 32π/5 ≈ 20.1.

  4. Evalúa ∫₂^∞ dx/x³.

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    1. [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

    Respuesta: 1/8.

Serie de práctica final (todas las unidades)

  1. Resuelve y′ = −2y, y(0) = 5, y halla y(1).

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    1. y = 5e^(−2t).

    Respuesta: 5e^(−2) ≈ 0.677.

  2. Suma Σ 3(2/3)ⁿ desde n = 0.

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    1. Geométrica: 3/(1 − 2/3).

    Respuesta: 9.

  3. Estima cos 0.2 con el polinomio de Maclaurin de grado 4.

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    1. 1 − 0.04/2 + 0.0016/24.

    Respuesta: 0.980067.

  4. Halla el área dentro de r = 3.

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    1. ½∫₀^(2π) 9 dθ.

    Respuesta: 9π ≈ 28.3.

  5. Halla el intervalo de convergencia de Σ xⁿ/3ⁿ.

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    1. Cociente: |x|/3 < 1; los extremos divergen.

    Respuesta: −3 < x < 3.

  6. El contaminante de un tanque de mezcla sigue S′ = −S/50 con S(0) = 20 kg. ¿Cuándo es S = 5 kg?

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    1. S = 20e^(−t/50); e^(−t/50) = 1/4.
    2. t = 50 ln 4.

    Respuesta: ≈ 69.3 unidades de tiempo.

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Hoja de fórmulas

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x), cos⁡2x=12(1+cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x),\ \cos^2x=\tfrac12(1+\cos2x)
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+fn]S_n=\tfrac{\Delta x}3[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n]
V=∫πf2 dx, V=∫2πxf dxV=\int\pi f^2\,dx,\ V=\int2\pi x f\,dx
L=∫1+f′2 dxL=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx
W=∫F dxW=\int F\,dx
∫1∞x−pdx<∞  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}dx<\infty\iff p>1
y′=ky⇒y=y0ekty'=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}
P′=rP(1−P/K)P'=rP(1-P/K)
yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
∑arn=a/(1−r)\sum ar^n=a/(1-r)
L=lim⁡∣an+1/an∣L=\lim|a_{n+1}/a_n|
ex=∑xn/n!e^x=\sum x^n/n!
sin⁡x=∑(−1)nx2n+1/(2n+1)!\sin x=\sum(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!
cos⁡x=∑(−1)nx2n/(2n)!\cos x=\sum(-1)^nx^{2n}/(2n)!
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
A=12∫r2 dθA=\tfrac12\int r^2\,d\theta

Constantes

ConstanteValor
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
Excentricidad orbital de la Tierra0.0167
Semieje mayor de la Tierra149.6 millones de km
Densidad del agua1,000 kg/m³

Fuente: Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés)

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Herramientas de gráficas y datos

Usa estas herramientas gratuitas junto con el curso.

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Glosario

Longitud de arco
Longitud de una curva, ∫√(1 + f′²) dx.
Capacidad de carga
Límite a largo plazo K de una población logística.
Centro de masa
Punto de equilibrio; momento dividido entre masa.
Convergencia condicional
Converge, pero los valores absolutos divergen.
Ecuación diferencial
Ecuación con derivadas de una función desconocida.
Excentricidad
Cuán alargada es una órbita.
Método de Euler
Solución numérica paso a paso de una ED.
Serie geométrica
Σarⁿ.
Integral impropia
Integral con un límite o un integrando infinito.
Integración por partes
∫u dv = uv − ∫v du.
Ecuación logística
P′ = rP(1 − P/K).
Serie de Maclaurin
Serie de Taylor en 0.
Ecuaciones paramétricas
x e y dados como funciones de t.
Fracciones parciales
Separar una función racional en términos más simples.
Coordenadas polares
Posición dada por una distancia r y un ángulo θ.
Serie de potencias
Σcₙ(x − a)ⁿ.
Radio de convergencia
Distancia al centro dentro de la cual converge una serie de potencias.
Ecuación separable
ED que puede escribirse g(y) dy = h(x) dx.
Regla de Simpson
Integración numérica con parábolas.
Serie de Taylor
Σf⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!.

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Rúbrica de autoevaluación

No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.

NivelCómo se ve
4 · DominioElige por su cuenta la técnica o el criterio adecuado, lo justifica y comprueba los resultados numéricamente.
3 · CompetenteResuelve los problemas de práctica con algún error ocasional.
2 · En desarrolloSigue los ejemplos resueltos pero le cuesta elegir un método.
1 · InicialAplica fórmulas sin comprobar las condiciones; necesita repasar la unidad.

Ponderación sugerida si quieres una nota

PartePeso
Problemas de práctica30%
Laboratorios de computadora15%
Serie de práctica de mitad de curso25%
Serie de práctica final30%

Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.

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