Cours › MATH 111

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À propos de ce cours

Ceci est le plan d’un cours gratuit en autonomie rédigé par Saving Planets. Ce n’est pas un cours universitaire : il ne donne aucun crédit académique et aucun établissement n’y participe.

Son contenu suit le deuxième semestre de calcul différentiel et intégral universitaire, sur le modèle des thèmes et du niveau de ressources ouvertes comme OpenStax Calculus Volume 2 et MIT OpenCourseWare 18.01SC (avec des notions paramétriques et polaires qui mènent à 18.02SC Multivariable Calculus), auxquelles nous renvoyons tout au long du cours. Ces organisations ne cautionnent pas cette page.

Notre apport : chaque unité est reliée à de vrais problèmes d’eau, d’énergie, d’écologie et de vol spatial, chaque nombre de la page est recalculé par un script de vérification avant sa mise en ligne, et quatre travaux pratiques sur ordinateur appliquent les méthodes à des données.

Suivez-le dans l’ordre. Chaque unité comporte des objectifs, des notions clés, des équations, des exemples pas à pas, des exercices corrigés en détail, des erreurs fréquentes, des cartes mémoire et un quiz. Votre progression est enregistrée uniquement dans ce navigateur.

Comment ce cours aide à sauver la planète

L’Analyse II, c’est le moment où le calcul commence à modéliser le monde : le volume d’eau des réservoirs, le travail pour la pomper, la façon dont un polluant est évacué d’un lac, le rétablissement d’une population de poissons, et les orbites elliptiques des satellites qui observent tout cela.

Chaque unité se termine par une courte section sourcée qui montre comment ses idées aident à la fois les gens et la nature.

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Avant de commencer

Prérequis

Analyse I : limites, dérivées, règle de dérivation des fonctions composées, intégrales de base et changement de variable, théorème fondamental.
Identités trigonométriques, en particulier sin²x + cos²x = 1 et les formules de l’angle double.
Exponentielles et logarithmes.

Comment étudier

Lisez l’unité, puis refermez-la et essayez vous-même les exemples résolus avant de vérifier chaque étape.
Faites chaque exercice sur papier avant d’ouvrir la réponse.
Pour les intégrales, vérifiez votre réponse en la dérivant.
Pour les séries, choisissez le critère adapté avant de calculer quoi que ce soit.
Esquissez chaque région avant de poser une intégrale de volume ou d’aire.
Refaites les quiz quelques jours plus tard. La pratique espacée vaut mieux qu’une longue séance.

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

Un ordinateur ou une tablette avec un tableur.
Une calculatrice graphique gratuite comme Desmos.
Facultatif : Python avec NumPy.

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Programme suggéré sur 15 semaines

Environ 6 à 9 heures par semaine : lecture, exercices et, les semaines de TP, le TP.

Semaine	Unité	Thèmes	Lecture
1	Techniques d’intégration	Intégration par parties	OpenStax 3.1
2	Techniques d’intégration	Intégrales trigonométriques et substitution	OpenStax 3.2–3.3
3	Techniques d’intégration	Fractions partielles ; intégration numérique	OpenStax 3.4–3.6
4	Applications : volume, longueur d’arc, travail et centre de masse	Aires, volumes par tranches, disques, anneaux, coquilles cylindriques	OpenStax 2.1–2.3
5	Applications : volume, longueur d’arc, travail et centre de masse	Longueur d’arc, travail, force exercée par un fluide, centres de masse ; TP B	OpenStax 2.4–2.6
6	Intégrales impropres	Intégrales impropres et comparaison ; entraînement au partiel	OpenStax 3.7
7	Introduction aux équations différentielles	Équations différentielles, champs de directions, méthode d’Euler	OpenStax 4.1–4.2
8	Introduction aux équations différentielles	Équations à variables séparables et logistiques ; TP A	OpenStax 4.3–4.4
9	Suites et séries	Suites ; séries infinies ; séries géométriques	OpenStax 5.1–5.2
10	Suites et séries	Critères de divergence, de l’intégrale et de comparaison	OpenStax 5.3–5.4
11	Suites et séries	Séries alternées ; critères de d’Alembert et de Cauchy	OpenStax 5.5–5.6
12	Séries entières et séries de Taylor	Séries entières et leurs propriétés	OpenStax 6.1–6.2
13	Séries entières et séries de Taylor	Séries de Taylor et de Maclaurin ; TP C	OpenStax 6.3–6.4
14	Équations paramétriques et coordonnées polaires	Équations paramétriques ; coordonnées polaires et aires ; TP D	OpenStax 7.1–7.4
15	Révision	Révision et série d’exercices finale	Toutes les unités

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Votre progression

Cochez les unités et les TP à mesure que vous les terminez, et faites les quiz. La progression et les scores sont enregistrés uniquement dans ce navigateur et ne nous sont jamais envoyés.

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Travaux pratiques sur ordinateur

Quatre courts travaux pratiques sur ordinateur appliquent les unités avec un tableur : la méthode d’Euler pour un modèle de population, la méthode de Simpson pour le volume d’un réservoir, la précision des séries de Taylor, et la deuxième loi de Kepler en coordonnées polaires.

Ce sont les méthodes numériques que les scientifiques et les ingénieurs utilisent chaque jour. Les données d’exemple sont signalées comme telles ; chaque TP renvoie à sa source.

Référence de sécurité : OpenStax Calculus Volume 2 (manuel gratuit)

TP A : méthode d’Euler pour un stock de poissons en reconstitution

Semaine 8

Objectif : Résoudre numériquement l’équation logistique et comparer avec la solution exacte.

P_{n+1}=P_n+h\,rP_n\left(1-\frac{P_n}{K}\right)

Méthode d’Euler pour l’équation logistique

Mode opératoire

Fixez r = 0.5, K = 1000, P₀ = 100 et h = 1 dans un tableur.
Recopiez vers le bas les pas d’Euler jusqu’à t = 4.
Ajoutez une colonne avec la solution exacte et l’erreur.
Recommencez avec h = 0.5 et h = 0.25 ; comment l’erreur évolue-t-elle ?

Tableau de données

t	P d’Euler (h = 1)
0	100
1	145.0
2	207.0
3	289.1
4	391.9

Valeurs calculées par le modèle (pas une pêcherie réelle). P(4) exact = 450.9.

Exemple de calcul

P₁ = 100 + 0.5 × 100 × 0.9 = 145.0.
P₂ = 145 + 0.5 × 145 × 0.855 = 207.0.
Ici, Euler sous-estime (391.9 contre 450.9) car la courbe s’incurve vers le haut au début de la croissance ; diviser h par deux divise à peu près l’erreur par deux.

Sécurité

Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

Un tableur suffit.

OpenStax Calculus 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods

Lien avec la planète : Les modèles numériques de population aident à la gestion des pêches. NOAA Fisheries : évaluations des populations

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TP B : volume d’un réservoir par la méthode de Simpson

Semaine 5

Objectif : Estimer le volume d’un réservoir à partir de mesures de la surface à différentes profondeurs.

V=\int_0^HA(h)\,dh\approx\frac{\Delta h}3[A_0+4A_1+2A_2+4A_3+A_4]

Le volume comme intégrale de l’aire de la section

Mode opératoire

Saisissez les aires d’exemple à 0, 2, 4, 6 et 8 m au-dessus du fond.
Appliquez la méthode de Simpson avec Δh = 2 m.
Comparez avec la méthode des trapèzes.

Tableau de données

Hauteur h (m)	Surface A (km²)
0	0.0
2	1.2
4	2.6
6	4.0
8	5.6

Valeurs d’exemple pour s’entraîner, pas un réservoir réel.

Exemple de calcul

Simpson : (2/3)[0 + 4(1.2) + 2(2.6) + 4(4.0) + 5.6] = (2/3)(31.6) = 21.07 km²·m.
1 km²·m = 10⁶ m³, donc V ≈ 2.11 × 10⁷ m³ (21 millions de mètres cubes).
Trapèzes : 2[0/2 + 1.2 + 2.6 + 4.0 + 5.6/2] = 21.2 km²·m, proche de Simpson.

Sécurité

Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

Un tableur suffit.

NASA : mission SWOT

Lien avec la planète : Les satellites dédiés aux eaux de surface, comme SWOT, aident à estimer les variations de l’eau stockée dans les lacs et les réservoirs.

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TP C : quelle est la qualité d’un polynôme de Taylor ?

Semaine 13

Objectif : Comparer les polynômes de Taylor de sin x avec la valeur exacte et avec la majoration du reste.

P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}

Polynôme de Maclaurin de degré 5 de sin x

Mode opératoire

Tabulez sin x, P₁ = x, P₃ et P₅ pour x de 0 à π par pas de 0.25.
Tracez les erreurs.
Trouvez à partir d’où l’approximation des petits angles sin x ≈ x est fausse de 1%.

Tableau de données

x	sin x	P₅(x)
0.5	0.479426	0.479427
1.0	0.841471	0.841667
2.0	0.909297	0.933333

Valeurs calculées.

Exemple de calcul

En x = 0.5, P₅ se trompe d’environ 10⁻⁶ ; en x = 2, de 0.024. La précision chute vite quand on s’éloigne de 0.
sin x ≈ x reste à moins de 1% jusqu’à environ x = 0.24 rad (14°), c’est pourquoi la formule du pendule s’utilise pour de petites oscillations.

Sécurité

Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

Les curseurs de Desmos fonctionnent bien.

PhET : Pendulum Lab

Lien avec la planète : Connaître l’erreur d’une approximation, c’est ce qui permet aux ingénieurs de décider à quel modèle simplifié se fier.

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

TP D : deuxième loi de Kepler en coordonnées polaires

Semaine 14

Objectif : Montrer numériquement qu’une orbite elliptique balaie l’aire plus vite par unité d’angle près du foyer, mais à un rythme constant dans le temps.

A(\theta_1,\theta_2)=\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r(\theta)^2\,d\theta,\quad r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}

Aire balayée par une orbite

Mode opératoire

Prenez a = 1 et e = 0.5.
Calculez l’aire balayée de θ = 0 à 0.5 et de θ = π − 0.25 à π + 0.25 (même largeur de 0.5 rad) par la méthode de Simpson.
Expliquez pourquoi des angles égaux ne donnent pas des aires égales, et prennent donc des temps inégaux.

Tableau de données

Arc	Aire balayée
θ = 0 à 0.5 (près du Soleil)	0.0643
θ = π ± 0.25 (côté éloigné)	0.5513

Valeurs calculées pour a = 1, e = 0.5.

Exemple de calcul

Près du Soleil r ≈ 0.5, du côté éloigné r ≈ 1.5 : l’aire ∝ r², donc l’arc éloigné balaie environ 8.6 fois plus d’aire (0.5513 ÷ 0.0643).
Comme l’aire croît à un rythme constant dans le temps, la planète met environ 8.6 fois plus longtemps à parcourir les 0.5 rad éloignés : elle se déplace le plus lentement à l’aphélie.

Sécurité

Aucune, au-delà d’un usage normal de l’ordinateur.

Alternative à la maison ou virtuelle

Un tableur ou Desmos suffit.

PhET : Kepler’s Laws

Lien avec la planète : La géométrie de l’orbite détermine quand un satellite peut voir un lieu sur Terre.

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

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Séries d’entraînement aux examens

Chronométrez-vous : environ 10 minutes par problème. Comparez ensuite avec les solutions complètes.

Série d’entraînement de mi-parcours (unités 1–3)

Calculez ∫₀¹ x² eˣ dx.
Afficher la solution complète
1. Deux fois par parties : ∫x²eˣ dx = (x² − 2x + 2)eˣ.
2. De 0 à 1 : e − 2.
Réponse : e − 2 ≈ 0.718.
Calculez ∫₀¹ x/(x + 1) dx.
Afficher la solution complète
1. x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1).
2. [x − ln(x + 1)]₀¹ = 1 − ln 2.
Réponse : 1 − ln 2 ≈ 0.307.
Trouvez le volume obtenu en faisant tourner autour de l’axe des x la région sous y = x², 0 ≤ x ≤ 2.
Afficher la solution complète
1. Disques : ∫₀² π x⁴ dx = π × 32/5.
Réponse : 32π/5 ≈ 20.1.
Calculez ∫₂^∞ dx/x³.
Afficher la solution complète
1. [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.
Réponse : 1/8.

Série d’entraînement finale (toutes les unités)

Résolvez y′ = −2y, y(0) = 5, et trouvez y(1).
Afficher la solution complète
1. y = 5e^(−2t).
Réponse : 5e^(−2) ≈ 0.677.
Calculez Σ 3(2/3)ⁿ à partir de n = 0.
Afficher la solution complète
1. Géométrique : 3/(1 − 2/3).
Réponse : 9.
Estimez cos 0.2 avec le polynôme de Maclaurin de degré 4.
Afficher la solution complète
1. 1 − 0.04/2 + 0.0016/24.
Réponse : 0.980067.
Trouvez l’aire à l’intérieur de r = 3.
Afficher la solution complète
1. ½∫₀^(2π) 9 dθ.
Réponse : 9π ≈ 28.3.
Trouvez l’intervalle de convergence de Σ xⁿ/3ⁿ.
Afficher la solution complète
1. Rapport : |x|/3 < 1 ; les bornes divergent.
Réponse : −3 < x < 3.
Le polluant d’une cuve de mélange suit S′ = −S/50 avec S(0) = 20 kg. Quand a-t-on S = 5 kg ?
Afficher la solution complète
1. S = 20e^(−t/50); e^(−t/50) = 1/4.
2. t = 50 ln 4.
Réponse : ≈ 69.3 unités de temps.

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Fiche de formules

\int u\,dv=uv-\int v\,du

\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x),\ \cos^2x=\tfrac12(1+\cos2x)

S_n=\tfrac{\Delta x}3[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n]

V=\int\pi f^2\,dx,\ V=\int2\pi x f\,dx

L=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx

W=\int F\,dx

\int_1^\infty x^{-p}dx<\infty\iff p>1

y'=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}

P'=rP(1-P/K)

y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)

\sum ar^n=a/(1-r)

L=\lim|a_{n+1}/a_n|

e^x=\sum x^n/n!

\sin x=\sum(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!

\cos x=\sum(-1)^nx^{2n}/(2n)!

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)

A=\tfrac12\int r^2\,d\theta

Constantes

Constante	Valeur
e	2.718281828…
π	3.141592654…
ln 2	0.693147…
Excentricité de l’orbite terrestre	0.0167
Demi-grand axe de la Terre	149.6 millions de km
Masse volumique de l’eau	1,000 kg/m³

Source : Fiche NASA sur la Terre (en anglais)

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Outils de tracé et de données

Utilisez ces outils gratuits en parallèle du cours.

Calculatrice graphique Desmos (en anglais): Tracer des courbes paramétriques et polaires, des curseurs et des polynômes de Taylor.
MIT OpenCourseWare 18.01SC: Cours et séries d’exercices gratuits du MIT sur l’intégration et les séries.
MIT OpenCourseWare 18.02SC: Le cours suivant : analyse à plusieurs variables.

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Glossaire

Longueur d’arc: Longueur d’une courbe, ∫√(1 + f′²) dx.
Capacité de charge: Limite à long terme K d’une population logistique.
Centre de masse: Point d’équilibre ; moment divisé par la masse.
Convergence conditionnelle: Converge, mais la série des valeurs absolues diverge.
Équation différentielle: Équation faisant intervenir les dérivées d’une fonction inconnue.
Excentricité: À quel point une orbite est étirée.
Méthode d’Euler: Résolution numérique pas à pas d’une ED.
Série géométrique: Σarⁿ.
Intégrale impropre: Intégrale avec une borne ou une intégrande infinie.
Intégration par parties: ∫u dv = uv − ∫v du.
Équation logistique: P′ = rP(1 − P/K).
Série de Maclaurin: Série de Taylor en 0.
Équations paramétriques: x et y donnés en fonction de t.
Fractions partielles: Décomposition d’une fraction rationnelle en termes plus simples.
Coordonnées polaires: Position donnée par une distance r et un angle θ.
Série entière: Σcₙ(x − a)ⁿ.
Rayon de convergence: Distance au centre à l’intérieur de laquelle une série entière converge.
Équation à variables séparables: ED pouvant s’écrire g(y) dy = h(x) dx.
Méthode de Simpson: Intégration numérique avec des paraboles.
Série de Taylor: Σf⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!.

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Grille d’autoévaluation

Aucune note ni aucun crédit ne sont attribués. Utilisez cette grille pour juger honnêtement où vous en êtes dans chaque unité.

Niveau	À quoi cela ressemble
4 · Maîtrise	Choisit de lui-même la bonne technique ou le bon critère, le justifie et vérifie les résultats numériquement.
3 · Compétent	Résout les exercices d’entraînement avec quelques erreurs occasionnelles.
2 · En progression	Suit les exemples corrigés mais a du mal à choisir une méthode.
1 · Débutant	Applique les formules sans vérifier les conditions ; doit revoir l’unité.

Pondération suggérée si vous voulez une note

Partie	Poids
Exercices	30%
Travaux pratiques sur ordinateur	15%
Série d’entraînement de mi-parcours	25%
Série d’entraînement finale	30%

Visez le niveau 3 ou mieux dans chaque unité avant de passer au cours suivant.

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Analyse II

À propos de ce cours

Comment ce cours aide à sauver la planète

Avant de commencer

Prérequis

Comment étudier

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

Programme suggéré sur 15 semaines

Votre progression

Techniques d’intégration

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Applications : volume, longueur d’arc, travail et centre de masse

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Intégrales impropres

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Introduction aux équations différentielles

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Suites et séries

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Séries entières et séries de Taylor

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Équations paramétriques et coordonnées polaires

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas