חשבון אינפיניטסימלי 2

טכניקות ויישומים של אינטגרציה, משוואות דיפרנציאליות, טורי טיילור ועקומות פרמטריות וקוטביות, עם ארבע מעבדות מחשב. חינם, בקצב שלך, ומחובר לעבודה אמיתית להצלת כדור הארץ.

CNES (PIA25623)NASA Blue MarbleNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)NASA/JPL-Caltech

קורסים › MATH 111

הורדת מדריך הלימוד כ־PDF (באנגלית)

על הקורס

זהו מתווה של קורס חינמי ללימוד עצמי שנכתב על ידי Saving Planets. הוא אינו קורס אוניברסיטאי, אינו מעניק נקודות זכות אקדמיות, ואף מוסד לימודים אינו מעורב בו.

היקפו תואם את הסמסטר השני של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטה, בהשראת הנושאים והעומק של חומרים פתוחים כמו OpenStax Calculus Volume 2 ו-MIT OpenCourseWare 18.01SC (עם רעיונות פרמטריים וקוטביים שמובילים אל 18.02SC Multivariable Calculus), שאליהם אנו מקשרים לאורך הקורס. ארגונים אלה אינם ממליצים על דף זה.

מה שאנחנו מוסיפים: כל יחידה מחוברת לבעיות אמיתיות של מים, אנרגיה, אקולוגיה וטיסות חלל, כל מספר בדף מחושב מחדש על ידי סקריפט בדיקה לפני הפרסום, וארבע מעבדות מחשב מיישמות את השיטות על נתונים.

עברו עליו לפי הסדר. בכל יחידה יש מטרות, רעיונות מרכזיים, משוואות, דוגמאות צעד אחר צעד, תרגול עם תשובות מלאות, טעויות נפוצות, כרטיסיות ובוחן. ההתקדמות שלכם נשמרת רק בדפדפן הזה.

איך הקורס הזה עוזר להציל את כדור הארץ

חדו״א II הוא המקום שבו החשבון מתחיל למדל את העולם: נפחי מים במאגרים, העבודה הדרושה לשאיבתם, איך מזהם נשטף מאגם, איך אוכלוסיית דגים מתאוששת, והמסלולים האליפטיים של הלוויינים שצופים בכל זה.

כל יחידה מסתיימת בקטע קצר עם מקורות שמראה איך הרעיונות שלה עוזרים גם לאנשים וגם לטבע.

חזרה למעלה

לפני שמתחילים

ידע מוקדם

  • חדו״א I: גבולות, נגזרות, כלל השרשרת, אינטגרלים בסיסיים והצבה, המשפט היסודי.
  • זהויות טריגונומטריות, במיוחד sin²x + cos²x = 1 ונוסחאות הזווית הכפולה.
  • פונקציות מעריכיות ולוגריתמים.

איך ללמוד

  • קראו את היחידה, סגרו אותה ונסו לפתור לבד את הדוגמאות הפתורות לפני שבודקים כל שלב.
  • פתרו כל תרגיל על הנייר לפני שאתם פותחים את התשובה.
  • באינטגרלים, בדקו את התשובה על ידי גזירתה.
  • בטורים, החליטו איזה מבחן מתאים לפני שמחשבים משהו.
  • שרטטו כל תחום לפני שמציבים אינטגרל של נפח או שטח.
  • עשו שוב את הבחנים כעבור כמה ימים. תרגול מרווח עדיף על מפגש ארוך אחד.

ציוד מעבדה (למעבדות הרטובות)

  • מחשב או טאבלט עם גיליון אלקטרוני.
  • מחשבון גרפי חינמי כמו Desmos.
  • אופציונלי: Python עם NumPy.

חזרה למעלה

לוח זמנים מוצע ל־15 שבועות

כ־6 עד 9 שעות בשבוע: קריאה, תרגילים, ובשבועות המעבדה גם המעבדה.

שבועיחידהנושאיםקריאה
1טכניקות אינטגרציהאינטגרציה בחלקיםOpenStax 3.1
2טכניקות אינטגרציהאינטגרלים טריגונומטריים והצבהOpenStax 3.2–3.3
3טכניקות אינטגרציהשברים חלקיים; אינטגרציה נומריתOpenStax 3.4–3.6
4יישומים: נפח, אורך קשת, עבודה ומרכז מסהשטחים, נפחים בחתכים, דיסקות, טבעות, קליפות גליליותOpenStax 2.1–2.3
5יישומים: נפח, אורך קשת, עבודה ומרכז מסהאורך קשת, עבודה, כוח של נוזל, מרכזי מסה; מעבדה BOpenStax 2.4–2.6
6אינטגרלים לא אמיתייםאינטגרלים לא אמיתיים והשוואה; תרגול לבוחן אמצעOpenStax 3.7
7מבוא למשוואות דיפרנציאליותמשוואות דיפרנציאליות, שדות כיוונים, שיטת אוילרOpenStax 4.1–4.2
8מבוא למשוואות דיפרנציאליותמשוואות פרידות ולוגיסטיות; מעבדה AOpenStax 4.3–4.4
9סדרות וטוריםסדרות; טורים אינסופיים; טורים הנדסייםOpenStax 5.1–5.2
10סדרות וטוריםמבחני התבדרות, האינטגרל וההשוואהOpenStax 5.3–5.4
11סדרות וטוריםטורים מתחלפים; מבחני המנה והשורשOpenStax 5.5–5.6
12טורי חזקות וטורי טיילורטורי חזקות ותכונותיהםOpenStax 6.1–6.2
13טורי חזקות וטורי טיילורטורי טיילור ומקלורן; מעבדה COpenStax 6.3–6.4
14משוואות פרמטריות וקואורדינטות קוטביותמשוואות פרמטריות; קואורדינטות קוטביות ושטחים; מעבדה DOpenStax 7.1–7.4
15חזרהחזרה וסדרת תרגול מסכמתכל היחידות

חזרה למעלה

ההתקדמות שלכם

סמנו יחידות ומעבדות כשאתם מסיימים אותן, ועשו את הבחנים. ההתקדמות והציונים נשמרים רק בדפדפן הזה ולעולם לא נשלחים אלינו.

הפעילו JavaScript כדי לעקוב אחר ההתקדמות.

חזרה למעלה

יחידה 1 · שבועות 1–3

טכניקות אינטגרציה

אינטגרציה בחלקים, אינטגרלים והצבות טריגונומטריים, שברים חלקיים, ואינטגרציה נומרית כשאין נוסחה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לבצע אינטגרציה בחלקים תוך בחירה נכונה של u ו-dv.
  • לחשב אינטגרלים טריגונומטריים ולהשתמש בהצבה טריגונומטרית.
  • לפרק פונקציות רציונליות לשברים חלקיים.
  • לקרב אינטגרלים בכלל הטרפז ובכלל סימפסון, ולהעריך את השגיאה.

מושגי מפתח

  • אינטגרציה בחלקים היא כלל המכפלה בכיוון ההפוך: ∫u dv = uv − ∫v du. בחרו u שנעשה פשוט יותר בגזירה (לוגריתמים, פולינומים).
  • חזקות של סינוס וקוסינוס נפתרות בעזרת זהויות כמו sin²x = (1 − cos 2x)/2.
  • עבור √(a² − x²) הציבו x = a sin θ; עבור √(a² + x²), x = a tan θ.
  • פונקציה רציונלית אמיתית מתפרקת לשברים פשוטים שהאינטגרלים שלהם הם לוגריתמים וארקטנגנסים.
  • לאינטגרלים רבים, כמו ∫e^(−x²) dx, אין פונקציה קדומה אלמנטרית. כלל סימפסון נותן לעיתים קרובות ספרות מדויקות רבות עם מעט נקודות.

משוואות מפתח

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
אינטגרציה בחלקים
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x)
זהות הורדת חזקה
1x2−1=1/2x−1−1/2x+1\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}
פירוק לשברים חלקיים
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\frac{\Delta x}{3}\left[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\right]
כלל סימפסון (n זוגי)

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 1.1 חשבו ∫₀¹ x eˣ dx.

הצג את השלבים
  1. u = x, dv = eˣ dx, ולכן du = dx, v = eˣ.
  2. ∫x eˣ dx = x eˣ − ∫eˣ dx = (x − 1)eˣ.
  3. מ-0 עד 1: 0 − (−1) = 1.

תשובה: 1.

דוגמה 1.2 חשבו ∫₂³ dx/(x² − 1).

הצג את השלבים
  1. שברים חלקיים: ½[1/(x − 1) − 1/(x + 1)].
  2. פונקציה קדומה ½ ln|(x − 1)/(x + 1)|.
  3. ½[ln(2/4) − ln(1/3)] = ½ ln(3/2).

תשובה: ½ ln 1.5 ≈ 0.2027.

דוגמה 1.3 העריכו את ∫₀¹ e^(−x²) dx בכלל סימפסון, n = 4.

הצג את השלבים
  1. Δx = 0.25; f = 1, 0.93941, 0.77880, 0.56978, 0.36788.
  2. S₄ = (0.25/3)[1 + 4(0.93941) + 2(0.77880) + 4(0.56978) + 0.36788].
  3. S₄ = 0.74686.

תשובה: 0.74686, לעומת הערך האמיתי 0.74682: שגיאה של 0.00003 בלבד מחמש נקודות.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. ∫₀^π x sin x dx

    הצג תשובה

    בחלקים: [−x cos x + sin x]₀^π = π.

  2. ∫₁ᵉ x ln x dx

    הצג תשובה

    בחלקים עם u = ln x: [x² ln x/2 − x²/4]₁ᵉ = (e² + 1)/4 ≈ 2.097.

  3. ∫₀^(π/2) sin²x dx

    הצג תשובה

    הורדת חזקה: ½[x − sin 2x/2]₀^(π/2) = π/4.

  4. ∫₀¹ √(1 − x²) dx

    הצג תשובה

    x = sin θ נותן ∫₀^(π/2) cos²θ dθ = π/4 (רבע מעיגול היחידה).

  5. ∫₀¹ dx/(1 + x²)

    הצג תשובה

    [arctan x]₀¹ = π/4.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: תמיד בחרו כ-u את הגורם הראשון שאתם רואים.

    בפועל: בחרו u שנעשה פשוט יותר בגזירה: קודם לוגריתמים ופולינומים, ופונקציות מעריכיות וטריגונומטריות כ-dv.

  • מיתוס: שברים חלקיים עובדים על כל פונקציה רציונלית.

    בפועל: חלקו קודם אם מעלת המונה אינה קטנה ממעלת המכנה.

  • מיתוס: אם אני לא מוצא פונקציה קדומה, לאינטגרל אין ערך.

    בפועל: עדיין יש לו ערך; העריכו אותו נומרית.

כרטיסיות

  • אינטגרציה בחלקים

    ∫u dv = uv − ∫v du.

  • הצבה טריגונומטרית

    √(a² − x²): x = a sin θ.

  • שברים חלקיים

    פירוק פונקציה רציונלית לשברים פשוטים.

  • כלל הטרפז

    ממוצע של הסכום השמאלי והימני; שגיאה ∝ Δx².

  • כלל סימפסון

    התאמה פרבולית; שגיאה ∝ Δx⁴.

  • אינטגרל לא אלמנטרי

    אין פונקציה קדומה בנוסחה, למשל ∫e^(−x²) dx.

בוחן לבדיקה עצמית

1. עבור ∫x² eˣ dx, בחירה ראשונה טובה של u היא…

הצג תשובה

x². x² נעשה פשוט יותר בגזירה.

2. √(9 − x²) מרמז על ההצבה…

הצג תשובה

x = 3 sin θ. 9 − 9 sin²θ = 9 cos²θ.

3. כלל סימפסון מתאים את העקומה בעזרת…

הצג תשובה

פרבולות. פרבולות דרך כל שלשת נקודות.

4. ∫ ln x dx =

הצג תשובה

x ln x − x + C. בחלקים עם u = ln x, dv = dx.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

לאינטגרל של עקומת הפעמון בדוגמה 1.3 אין תשובה בנוסחה, ובכל זאת הוא עומד מאחורי כל פס שגיאה בגרף אקלים וכל אי-ודאות במדידת לוויין. אינטגרציה נומרית היא הדרך שבה מחשבים אותו בפועל, אותו ואת רוב האינטגרלים שמגיעים מנתונים אמיתיים.

שיטות כמו כלל סימפסון הופכות מדידות לא סדירות, כמו עומקי נהר לרוחב האפיק, לסכומים כמו ספיקה או נפח.

ב־Saving Planets: חדו״א I, מעבדה D: אינטגרציה נומרית · דף הנהרות

מקורות: OpenStax Calculus 2, 3.6 Numerical Integration · OpenStax Calculus 2, 3.1 Integration by Parts

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 2 · שבועות 4–5

יישומים: נפח, אורך קשת, עבודה ומרכז מסה

לחתוך, לסכם ולקחת גבול: נפחים של גופים, אורכי עקומות, עבודה נגד כוחות, לחץ נוזלים ומרכזי מסה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • למצוא נפחים בחתכים, דיסקות, טבעות וקליפות גליליות.
  • לחשב אורך קשת.
  • לחשב עבודה של כוחות משתנים, כולל שאיבת נוזלים, וכוח הידרוסטטי.
  • למצוא את מרכז המסה של מוטות ולוחות דקים.

מושגי מפתח

  • לכל יישום אותו דפוס: לקרב פרוסה דקה, לכתוב את תרומתה, לבצע אינטגרציה.
  • שיטת הדיסקות: V = ∫π[f(x)]² dx סביב ציר x. שיטת הקליפות: V = ∫2πx f(x) dx סביב ציר y.
  • אורך קשת מסכם יתרים זעירים: L = ∫√(1 + [f′(x)]²) dx.
  • עבודה = ∫F(x) dx. שאיבה: כל שכבת נוזל מורמת למרחק משלה.
  • הלחץ גדל עם העומק, ולכן הכוח על סכר הוא אינטגרל לפי העומק.
  • מרכז מסה = מומנט ÷ מסה.

משוואות מפתח

V=∫abπ[f(x)]2 dxV=\int_a^b\pi[f(x)]^2\,dx
שיטת הדיסקות
V=∫ab2πx f(x) dxV=\int_a^b2\pi x\,f(x)\,dx
שיטת הקליפות הגליליות
L=∫ab1+[f′(x)]2 dxL=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
אורך קשת
W=∫abF(x) dxW=\int_a^bF(x)\,dx
עבודה של כוח משתנה
xˉ=∫x ρ(x) dx∫ρ(x) dx\bar x=\frac{\int x\,\rho(x)\,dx}{\int\rho(x)\,dx}
מרכז מסה של מוט

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 2.1 מצאו את הנפח שמתקבל מסיבוב התחום מתחת ל-y = √x, 0 ≤ x ≤ 4, סביב ציר x.

הצג את השלבים
  1. דיסקות ברדיוס √x: V = ∫₀⁴ π x dx.
  2. π[x²/2]₀⁴ = 8π.

תשובה: 8π ≈ 25.1 יחידות מעוקבות.

דוגמה 2.2 מכל גלילי ברדיוס 1 m ובגובה 2 m מלא מים. כמה עבודה דרושה כדי לשאוב את כל המים מעל הדופן העליונה?

הצג את השלבים
  1. לשכבה בגובה y יש נפח π(1)² dy ומשקל 1000 × 9.81 × π dy ניוטון, והיא מורמת 2 − y מטרים.
  2. W = ∫₀² 9,810π(2 − y) dy = 9,810π × 2.
  3. = 19,620π J.

תשובה: ≈ 61,600 J (61.6 kJ).

דוגמה 2.3 למוט על [0, 2] m צפיפות ρ(x) = 1 + x kg/m. מצאו את מרכז המסה שלו.

הצג את השלבים
  1. מסה: ∫₀² (1 + x) dx = 2 + 2 = 4 kg.
  2. מומנט: ∫₀² x(1 + x) dx = 2 + 8/3 = 14/3.
  3. x̄ = (14/3)/4 = 7/6.

תשובה: x̄ = 7/6 ≈ 1.17 m, לכיוון הקצה הכבד יותר.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. השתמשו בקליפות כדי למצוא את הנפח שמתקבל מסיבוב התחום מתחת ל-y = x², 0 ≤ x ≤ 1, סביב ציר y.

    הצג תשובה

    V = ∫₀¹ 2πx · x² dx = 2π/4 = π/2.

  2. מצאו את אורך הקשת של y = (2/3)x^(3/2) מ-x = 0 עד 3.

    הצג תשובה

    y′ = √x, ולכן L = ∫₀³ √(1 + x) dx = (2/3)[(1 + x)^(3/2)]₀³ = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

  3. קפיץ עם k = 200 N/m נמתח ב-0.10 m מאורכו במנוחה. כמה עבודה נעשית?

    הצג תשובה

    W = ∫₀^0.1 200x dx = 100(0.01) = 1.0 J.

  4. שער מלבני אנכי ברוחב 10 m עוצר מים בעומק 5 m. מצאו את כוח המים הכולל עליו.

    הצג תשובה

    F = ∫₀⁵ ρg y (10) dy = 1,000 × 9.81 × 10 × 25/2 = 1.23 × 10⁶ N.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: נפח גוף סיבוב = π × שטח.

    בפועל: יש להעלות את הרדיוס בריבוע בתוך האינטגרל: ∫π f² dx, ולא π(∫f dx).

  • מיתוס: עבודת השאיבה היא משקל × גובה המכל.

    בפועל: כל שכבה נעה מרחק שונה, ולכן חייבים לבצע אינטגרציה.

  • מיתוס: מרכז המסה הוא תמיד נקודת האמצע.

    בפועל: רק בצפיפות אחידה ובצורה סימטרית.

כרטיסיות

  • שיטת הדיסקות

    V = ∫π f(x)² dx.

  • שיטת הטבעות

    V = ∫π(R² − r²) dx.

  • שיטת הקליפות הגליליות

    V = ∫2πx f(x) dx.

  • אורך קשת

    L = ∫√(1 + f′²) dx.

  • עבודה

    W = ∫F dx.

  • מרכז מסה

    מומנט חלקי מסה.

בוחן לבדיקה עצמית

1. קליפות סביב ציר y משתמשות באינטגרנד…

הצג תשובה

2πx f(x). היקף 2πx × גובה f(x) × עובי dx.

2. אורך קשת משתמש ב…

הצג תשובה

∫√(1 + f′²) dx. פיתגורס על כל חתיכה זעירה.

3. הלחץ ההידרוסטטי על סכר גדל…

הצג תשובה

באופן ליניארי עם העומק. P = ρgh; לכן הכוח הכולל גדל עם ריבוע העומק.

4. העבודה למתיחת קפיץ ב-x ממנוחה היא…

הצג תשובה

½kx². ∫₀ˣ kt dt.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מהנדסי מים משתמשים באינטגרלים האלה ישירות: נפח מאגר לפי צורתו, האנרגיה לשאיבת מים למקום שבו הם נחוצים, והכוח שסכר או מחסום הצפות חייב לעמוד בו. שאיבה היא עלות אנרגיה משמעותית במערכות מים רבות, ולכן ניסוח נכון של האינטגרל חוסך גם אנרגיה וגם כסף.

לוויינים מודדים כיום ממסלול את גובה הנהרות, האגמים והמאגרים. משימת SWOT של NASA ו-CNES סוקרת את המים העיליים כדי להעריך שינויים במים האגורים: חיתוך וסכימה בקנה מידה פלנטרי.

ב־Saving Planets: SWOT · מקום לנהר

מקורות: OpenStax Calculus 2, 2.5 Physical Applications · NASA: משימת SWOT

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 3 · שבוע 6

אינטגרלים לא אמיתיים

אינטגרלים על קטעים אינסופיים או דרך שיאים אינסופיים: מתי הם מסתכמים במספר סופי ומתי לא.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לחשב אינטגרלים לא אמיתיים כגבולות.
  • לקבוע התכנסות בעזרת מבחן p והשוואה.
  • ליישם אינטגרלים לא אמיתיים על אנרגיית מילוט ועל זמני חיים ממוצעים.

מושגי מפתח

  • ∫ₐ^∞ f dx פירושו הגבול של ∫ₐᵇ f dx כאשר b → ∞. אם הגבול סופי, האינטגרל מתכנס.
  • ∫₁^∞ dx/xᵖ מתכנס בדיוק כאשר p > 1. ∫₀¹ dx/xᵖ מתכנס בדיוק כאשר p < 1.
  • השוואה: אם 0 ≤ f ≤ g ו-∫g מתכנס, אז גם ∫f מתכנס.
  • לתחום אינסופי יכול להיות שטח סופי.

משוואות מפתח

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx
אינטגרל לא אמיתי
∫1∞dxxp=1p−1 (p>1)\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\frac1{p-1}\ (p>1)
אינטגרל p
W∞=∫R∞GMmr2 dr=GMmRW_{\infty}=\int_R^{\infty}\frac{GMm}{r^2}\,dr=\frac{GMm}{R}
העבודה הדרושה כדי להימלט מכוח המשיכה של כוכב לכת

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 3.1 חשבו ∫₁^∞ dx/x².

הצג את השלבים
  1. ∫₁ᵇ x⁻² dx = 1 − 1/b.
  2. As b → ∞, 1/b → 0.

תשובה: 1 (מתכנס).

דוגמה 3.2 האם ∫₁^∞ dx/x מתכנס?

הצג את השלבים
  1. ∫₁ᵇ dx/x = ln b.
  2. ln b → ∞.

תשובה: לא, הוא מתבדר, אף ש-1/x → 0.

דוגמה 3.3 כמה אנרגיה לכל קילוגרם דרושה כדי להימלט מכוח המשיכה של כדור הארץ מפני השטח (בהתעלם מהאוויר ומהסיבוב)?

הצג את השלבים
  1. W/m = ∫_R^∞ GM/r² dr = GM/R.
  2. GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6.371 × 10⁶ m.
  3. W/m = 6.26 × 10⁷ J/kg.

תשובה: כ-62.6 MJ לקילוגרם, ערך סופי אף שהמרחק אינסופי. השוואת ½v² לערך זה נותנת את מהירות המילוט 11.2 km/s.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. ∫₀^∞ e^(−x) dx

    הצג תשובה

    [−e^(−x)]₀^∞ = 0 + 1 = 1.

  2. ∫₀¹ dx/√x

    הצג תשובה

    [2√x]₀¹ = 2 (מתכנס; p = ½ < 1).

  3. ∫₂^∞ dx/x³

    הצג תשובה

    [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

  4. האם ∫₁^∞ dx/(x² + 1) מתכנס?

    הצג תשובה

    כן: הוא קטן מ-1/x², שמתכנס. למעשה הוא שווה π/4.

  5. בדעיכה מעריכית בקצב λ, זמן החיים הממוצע הוא ∫₀^∞ t λe^(−λt) dt. חשבו אותו.

    הצג תשובה

    בחלקים: 1/λ.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: אם f(x) → 0 כאשר x → ∞, האינטגרל מתכנס.

    בפועל: 1/x → 0 אבל ∫₁^∞ dx/x מתבדר.

  • מיתוס: לתחום ארוך אינסופית יש שטח אינסופי.

    בפועל: ∫₁^∞ dx/x² = 1.

  • מיתוס: ∫₋₁¹ dx/x² = −2 לפי הנוסחה הרגילה.

    בפועל: האינטגרנד מתפוצץ ב-0, ולכן האינטגרל לא אמיתי, והוא מתבדר.

כרטיסיות

  • אינטגרל לא אמיתי

    קטע אינסופי או אינטגרנד אינסופי; מוגדר בעזרת גבול.

  • מתכנס

    הגבול קיים וסופי.

  • מבחן p (∞)

    ∫₁^∞ x⁻ᵖ מתכנס אם ורק אם p > 1.

  • מבחן p (0)

    ∫₀¹ x⁻ᵖ מתכנס אם ורק אם p < 1.

  • מבחן ההשוואה

    קטן ממתכנס ⇒ מתכנס.

  • אנרגיית מילוט

    GM/R לכל kg.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ∫₁^∞ dx/x^1.5…

הצג תשובה

מתכנס ל-2. 1/(p − 1) = 1/0.5 = 2.

2. ∫₁^∞ dx/x…

הצג תשובה

מתבדר. ln b → ∞.

3. ∫₀^∞ e^(−2x) dx =

הצג תשובה

1/2. [−e^(−2x)/2]₀^∞ = 1/2.

4. אינטגרל לא אמיתי מוגדר כ…

הצג תשובה

גבול של אינטגרלים אמיתיים. לקחת את הגבול של ∫ₐᵇ.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

אינטגרלים לא אמיתיים נותנים את האנרגיה הדרושה כדי לעזוב כוכב לכת, המספר שמאחורי כל שיגור של לוויין מזג אוויר או אקלים. היא סופית, ולכן טיסות חלל אפשריות בכלל.

זמני חיים ממוצעים, שגם הם אינטגרלים לא אמיתיים, מתארים כמה זמן חומרים נשארים: כמה זמן מזהם נשאר באגם, או כמה זמן נשאר סמן רדיואקטיבי המשמש לתיארוך קרח ומי אוקיינוס.

ב־Saving Planets: פיזיקה I, יחידה 7: מסלולים · מחשבון delta-v

מקורות: OpenStax Calculus 2, 3.7 Improper Integrals · גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 4 · שבועות 7–8

מבוא למשוואות דיפרנציאליות

משוואות לקצבי שינוי: גדילה ודעיכה מעריכיות, קירור, ערבוב, והמודל הלוגיסטי של אוכלוסיות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לאמת פתרונות ולפתור בעיות התחלה.
  • לקרוא שדות כיוונים ולהשתמש בשיטת אוילר.
  • לפתור משוואות פרידות, כולל בעיות ערבוב וקירור.
  • להשתמש במשוואה הלוגיסטית ולפרש את כושר הנשיאה שלה.

מושגי מפתח

  • משוואה דיפרנציאלית מקשרת בין פונקציה לנגזרותיה. הפתרון שלה הוא פונקציה, בדרך כלל משפחה שנקבעת על ידי תנאי התחלה.
  • משוואות פרידות: העבירו את כל ה-y לצד אחד ואת כל ה-x לצד השני, ואז בצעו אינטגרציה.
  • y′ = ky נותן y = y₀e^(kt): גדילה אם k > 0, דעיכה אם k < 0.
  • ערבוב: קצב השינוי של מזהם = קצב כניסה − קצב יציאה.
  • לוגיסטית: P′ = rP(1 − P/K). הגדילה מאטה כש-P מתקרב לכושר הנשיאה K; היא המהירה ביותר ב-P = K/2.
  • שיטת אוילר מתקדמת לאורך השיפוע: yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ). צעדים קטנים יותר, שגיאה קטנה יותר.

משוואות מפתח

dydt=ky ⇒ y=y0ekt\frac{dy}{dt}=ky\ \Rightarrow\ y=y_0e^{kt}
גדילה ודעיכה מעריכיות
dTdt=−k(T−Ts)\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s)
חוק הקירור של ניוטון
dPdt=rP(1−PK),P(t)=K1+K−P0P0e−rt\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac PK\right),\quad P(t)=\frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}
המשוואה הלוגיסטית ופתרונה
yn+1=yn+h f(tn,yn)y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)
שיטת אוילר

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 4.1 חלק מאגם מכיל 1000 m³ מים עם 50 kg של מזהם מומס. מים נקיים זורמים פנימה בקצב 10 m³/יום ומים מעורבבים היטב יוצאים באותו קצב. כמה זמן יעבור עד שמחצית המזהם תיעלם?

הצג את השלבים
  1. dS/dt = −(10/1,000)S = −S/100.
  2. S(t) = 50e^(−t/100).
  3. מחצית: e^(−t/100) = ½, ולכן t = 100 ln 2.

תשובה: ≈ 69.3 ימים (מודל מפושט של ערבוב מלא).

דוגמה 4.2 אוכלוסיית דגים מקיימת P′ = 0.5P(1 − P/1000) עם P(0) = 100. מצאו את P(4).

הצג את השלבים
  1. P(t) = 1,000/(1 + 9e^(−0.5t)).
  2. P(4) = 1,000/(1 + 9e^(−2)) = 1,000/2.218.

תשובה: ≈ 451 דגים, קרוב לרמת הגדילה המהירה ביותר K/2 = 500.

דוגמה 4.3 השתמשו בשיטת אוילר עם h = 0.5 כדי להעריך את y(1) עבור y′ = y, y(0) = 1.

הצג את השלבים
  1. y₁ = 1 + 0.5(1) = 1.5.
  2. y₂ = 1.5 + 0.5(1.5) = 2.25.

תשובה: 2.25, לעומת הערך המדויק e ≈ 2.718; חציית h מקטינה את השגיאה.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. קפה ב-90 °C מתקרר בחדר ב-20 °C עם k = 0.1 לדקה. מצאו את הטמפרטורה שלו אחרי 10 דקות.

    הצג תשובה

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. פתרו y′ = xy עם y(0) = 2, ומצאו את y(1).

    הצג תשובה

    dy/y = x dx, ולכן y = 2e^(x²/2); y(1) = 2e^0.5 ≈ 3.30.

  3. פתרו y′ = −2y, y(0) = 5. מצאו את y(1).

    הצג תשובה

    y = 5e^(−2t); y(1) ≈ 0.677.

  4. עבור P′ = rP(1 − P/K), באיזו אוכלוסייה הגדילה המהירה ביותר?

    הצג תשובה

    rP(1 − P/K) היא פרבולה הפונה כלפי מטה ב-P, שקודקודה ב-P = K/2.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הפתרון של משוואה דיפרנציאלית הוא מספר.

    בפועל: הוא פונקציה (או משפחה של פונקציות).

  • מיתוס: שיטת אוילר נותנת את התשובה המדויקת אם נזהרים.

    בפועל: יש לה שגיאה התלויה בגודל הצעד; היא מתכנסת רק כאשר h → 0.

  • מיתוס: אוכלוסיות לוגיסטיות מפסיקות לגדול ב-K/2.

    בפועל: הגדילה המהירה ביותר היא ב-K/2, והיא מאטה עד אפס רק כש-P מתקרב ל-K.

כרטיסיות

  • משוואה דיפרנציאלית

    משוואה הכוללת פונקציה ונגזרותיה.

  • בעיית התחלה

    משוואה דיפרנציאלית ועוד ערך התחלתי.

  • פרידה

    g(y) dy = h(x) dx.

  • משוואה לוגיסטית

    P′ = rP(1 − P/K).

  • כושר נשיאה

    K, הגבול לטווח ארוך של אוכלוסייה לוגיסטית.

  • שיטת אוילר

    yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ).

בוחן לבדיקה עצמית

1. הפתרון הכללי של y′ = 3y הוא…

הצג תשובה

Ce^(3x). הפרידו ובצעו אינטגרציה.

2. במודל הלוגיסטי, K הוא…

הצג תשובה

כושר הנשיאה. הרמה שאליה האוכלוסייה מתקרבת.

3. צעד אוילר אחד מ-(0, 2) עם y′ = y ו-h = 0.1 נותן…

הצג תשובה

2.2. 2 + 0.1 × 2.

4. dy/dx = x²y היא…

הצג תשובה

פרידה. dy/y = x² dx.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מודלים של אוכלוסיות המבוססים על המשוואה הלוגיסטית הם חלק מהדרך שבה מדעני דיג מעריכים מלאים וקובעים מכסות דיג שמאפשרות לאוכלוסיות להישאר בריאות, וכך מגינים על המערכות האקולוגיות באוקיינוס ועל האנשים התלויים בהן.

משוואות ערבוב כמו בדוגמה 4.1 הן הצעד הראשון בהערכה של כמה מהר אגם או שפך נהר נשטפים ממזהם לאחר שהמקור נעצר.

מודלים של מזג אוויר ואקלים פותרים מערכות עצומות של משוואות דיפרנציאליות בשיטות נומריות צעד אחר צעד, צאצאיות של שיטת אוילר.

ב־Saving Planets: מרכז האגמים · מרכז האוקיינוסים

מקורות: OpenStax Calculus 2, 4.4 The Logistic Equation · NOAA Fisheries: הערכות אוכלוסייה

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 5 · שבועות 9–11

סדרות וטורים

מתי חיבור של אינסוף מספרים נותן סכום סופי? טורים הנדסיים, הטור ההרמוני ומבחני ההתכנסות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • למצוא גבולות של סדרות.
  • לסכם טורים הנדסיים וטלסקופיים.
  • ליישם את מבחני ההתבדרות, האינטגרל, ההשוואה, הטורים המתחלפים, המנה והשורש.
  • להבחין בין התכנסות בהחלט להתכנסות בתנאי.

מושגי מפתח

  • טור Σaₙ מתכנס אם הסכומים החלקיים שלו שואפים לגבול.
  • הנדסי: Σ arⁿ (n ≥ 0) = a/(1 − r) כאשר |r| < 1.
  • מבחן ההתבדרות: אם aₙ אינו → 0, הטור מתבדר. הכיוון ההפוך אינו נכון: הטור ההרמוני Σ1/n מתבדר.
  • טור p ‏Σ1/nᵖ מתכנס אם ורק אם p > 1 (לפי מבחן האינטגרל).
  • מבחן המנה: אם |aₙ₊₁/aₙ| → L < 1 הטור מתכנס בהחלט; אם L > 1 הוא מתבדר; L = 1 אינו אומר דבר.
  • טורים מתחלפים שאיבריהם יורדים ל-0 מתכנסים; Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2.

משוואות מפתח

∑n=0∞arn=a1−r (∣r∣<1)\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}\ (|r|<1)
טור הנדסי
∑1np converges  ⟺  p>1\sum\frac1{n^p}\ \text{converges}\iff p>1
טור p
L=lim⁡∣an+1an∣L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
מבחן המנה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 5.1 סכמו Σ (1/2)ⁿ החל מ-n = 0.

הצג את השלבים
  1. הנדסי עם a = 1, r = ½.
  2. 1/(1 − ½) = 2.

תשובה: 2.

דוגמה 5.2 בכל שנה אגם מאבד 10% ממזהם אגור, ומתווספות 5 טונות. באיזו רמה הוא מתייצב?

הצג את השלבים
  1. אחרי שנים רבות הכמות היא 5 + 5(0.9) + 5(0.9)² + …
  2. הנדסי: 5/(1 − 0.9).

תשובה: 50 טונות. חציית הקלט השנתי חוצה את הרמה לטווח ארוך (מודל מפושט).

דוגמה 5.3 האם Σ n/2ⁿ מתכנס?

הצג את השלבים
  1. מנה: [(n + 1)/2ⁿ⁺¹]/[n/2ⁿ] = (n + 1)/(2n) → ½.
  2. ½ < 1.

תשובה: מתכנס (סכומו 2).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. Σ 0.9(0.1)ⁿ החל מ-n = 0

    הצג תשובה

    0.9/(1 − 0.1) = 1. So 0.999… = 1.

  2. האם Σ 1/n² מתכנס?

    הצג תשובה

    כן, p = 2 > 1 (הסכום הוא π²/6).

  3. האם Σ n/(n + 1) מתכנס?

    הצג תשובה

    לא: האיברים → 1, לא 0 (מבחן ההתבדרות).

  4. סכמו Σ 3(2/3)ⁿ החל מ-n = 0.

    הצג תשובה

    3/(1 − 2/3) = 9.

  5. האם Σ (−1)ⁿ⁺¹/n מתכנס בהחלט?

    הצג תשובה

    לא. הוא מתכנס (ל-ln 2), אבל Σ1/n מתבדר, ולכן ההתכנסות היא בתנאי.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: אם האיברים שואפים ל-0, הטור מתכנס.

    בפועל: הטור ההרמוני הוא הדוגמה הנגדית.

  • מיתוס: גבול 1 במבחן המנה פירושו התבדרות.

    בפועל: L = 1 אינו חד-משמעי; השתמשו במבחן אחר.

  • מיתוס: סידור מחדש של האיברים לעולם אינו משנה סכום.

    בפועל: בטורים המתכנסים בתנאי הוא יכול לשנות.

כרטיסיות

  • סדרה

    רשימה סדורה a₁, a₂, …

  • טור

    סכום של סדרה; גבול הסכומים החלקיים.

  • טור הנדסי

    a/(1 − r) עבור |r| < 1.

  • הטור ההרמוני

    Σ1/n, מתבדר.

  • מבחן המנה

    L < 1 מתכנס, L > 1 מתבדר, L = 1 אינו חד-משמעי.

  • התכנסות בתנאי

    מתכנס, אבל לא בהחלט.

בוחן לבדיקה עצמית

1. Σ (1/3)ⁿ החל מ-n = 0 =

הצג תשובה

3/2. 1/(1 − 1/3).

2. הטור ההרמוני Σ1/n…

הצג תשובה

מתבדר. p = 1, מבחן האינטגרל.

3. Σ 1/n^1.01…

הצג תשובה

מתכנס. p > 1.

4. מבחן המנה עבור Σ 1/n! נותן L =

הצג תשובה

0. 1/(n + 1) → 0, ולכן הוא מתכנס.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

טורים הנדסיים מתארים כל דבר שחלקו עובר מתקופה אחת לבאה, כמו בדוגמה 5.2. המודל הפשוט הזה מראה עובדה מרכזית על זיהום ועל גזי חממה: הרמה לטווח ארוך תלויה בקצב הקלט, ולכן הפחתת הקלט מורידה את הרמה שבה הדברים מתייצבים.

מערכות אמיתיות מורכבות יותר מטור הנדסי אחד, ומדענים משתמשים במודלים מלאים, אבל הטור הוא האינטואיציה הראשונה הנכונה.

ב־Saving Planets: תחזית פריחת אצות באגם אירי · מרכז האגמים

מקורות: OpenStax Calculus 2, 5.2 Infinite Series · NOAA GML: מגמות CO₂ באטמוספרה (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 6 · שבועות 12–13

טורי חזקות וטורי טיילור

להפוך פונקציות לפולינומים אינסופיים. טורי טיילור הם הדרך שבה מחשבונים מחשבים, והדרך שבה פיזיקאים הופכים בעיות קשות לפשוטות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • למצוא את רדיוס ותחום ההתכנסות של טור חזקות.
  • לבנות טורים ופולינומים של טיילור ומקלורן.
  • לחסום את השגיאה של קירוב טיילור.
  • להשתמש בטורים כדי לקרב אינטגרלים ולהצדיק קירובי זווית קטנה.

מושגי מפתח

  • טור חזקות Σcₙ(x − a)ⁿ מתכנס בתוך רדיוס R ומתבדר מחוצה לו; בדקו את נקודות הקצה בנפרד.
  • טור טיילור: cₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. סביב a = 0 הוא נקרא טור מקלורן.
  • טורים מרכזיים: eˣ = Σxⁿ/n!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (|x| < 1).
  • שארית טיילור: השגיאה היא לכל היותר M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, כאשר M חוסם את הנגזרת הבאה.
  • שמירה על האיבר הראשון בלבד הופכת את sin θ ל-θ, קירוב הזווית הקטנה שמאחורי נוסחת המטוטלת הפשוטה.

משוואות מפתח

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
טור טיילור
ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
הטור המעריכי
sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
טור הסינוס
∣Rn(x)∣≤M∣x−a∣n+1(n+1)!|R_n(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}
חסם שארית טיילור

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 6.1 העריכו את e^0.1 בעזרת ארבעת האיברים הראשונים של הטור שלה.

הצג את השלבים
  1. 1 + 0.1 + 0.01/2 + 0.001/6.
  2. = 1.105167.

תשובה: 1.105167, לעומת הערך האמיתי 1.105171.

דוגמה 6.2 העריכו את sin 0.5 בשלושה איברים וחסמו את השגיאה.

הצג את השלבים
  1. 0.5 − 0.125/6 + 0.03125/120 = 0.479427.
  2. חסם האיבר הבא: 0.5⁷/7! = 1.55 × 10⁻⁶.

תשובה: 0.479427, שגיאה קטנה מ-1.6 × 10⁻⁶ (הערך האמיתי 0.479426).

דוגמה 6.3 מצאו את רדיוס ההתכנסות של Σ xⁿ/3ⁿ.

הצג את השלבים
  1. מנה: |x|/3 < 1.
  2. נקודות הקצה x = ±3 נותנות איברים ±1, שאינם → 0.

תשובה: R = 3; הטור מתכנס עבור −3 < x < 3.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. כתבו את פולינום מקלורן ממעלה 4 של cos x והשתמשו בו עבור cos 0.2.

    הצג תשובה

    1 − x²/2 + x⁴/24; cos 0.2 ≈ 1 − 0.02 + 0.0000667 = 0.980067 (הערך האמיתי 0.980067).

  2. מצאו את טור מקלורן של 1/(1 − x).

    הצג תשובה

    Σxⁿ עבור |x| < 1 (הנדסי).

  3. מצאו את רדיוס ההתכנסות של Σ xⁿ/n.

    הצג תשובה

    R = 1 (מנה n/(n + 1) → 1).

  4. השתמשו בטור כדי להעריך את ∫₀¹ e^(−x²) dx בשלושה איברים.

    הצג תשובה

    ∫(1 − x² + x⁴/2) dx = 1 − 1/3 + 1/10 = 0.7667. איברים נוספים מתקרבים ל-0.7468.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: פולינום טיילור מדויק בכל מקום.

    בפועל: הוא הכי טוב ליד המרכז a ויכול להיות גרוע מאוד רחוק ממנו או מחוץ לרדיוס ההתכנסות.

  • מיתוס: כל פונקציה חלקה שווה לטור טיילור שלה.

    בפועל: לא תמיד, אם כי זה נכון בכל מקום עבור eˣ, sin x ו-cos x.

  • מיתוס: רדיוס ההתכנסות מכריע גם את נקודות הקצה.

    בפועל: יש לבדוק את נקודות הקצה בנפרד.

כרטיסיות

  • טור חזקות

    Σcₙ(x − a)ⁿ.

  • רדיוס התכנסות

    R כך שהטור מתכנס עבור |x − a| < R.

  • מקדם טיילור

    f⁽ⁿ⁾(a)/n!.

  • טור מקלורן

    טור טיילור ב-a = 0.

  • קירוב זווית קטנה

    sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2.

  • חסם השארית

    M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

בוחן לבדיקה עצמית

1. טור מקלורן של eˣ הוא…

הצג תשובה

Σxⁿ/n!. כל הנגזרות של eˣ ב-0 שוות 1.

2. עבור θ קטן, sin θ ≈…

הצג תשובה

θ. האיבר הראשון של הטור.

3. המקדם של x³ בטור של sin x הוא…

הצג תשובה

−1/6. −1/3!.

4. Σxⁿ מתכנס עבור…

הצג תשובה

|x| < 1. טור הנדסי.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

טורי טיילור הם הדרך שבה פיזיקאים הופכים משוואות קשות לשמישות. זמן המחזור של המטוטלת T = 2π√(L/g) בפיזיקה I מבוסס על sin θ ≈ θ, ואותו סוג של ליניאריזציה עומד בבסיס חלק גדול מניתוח הרעידות של טורבינות רוח, גשרים ומטוסים על ידי מהנדסים.

מודלים של מסלולי לוויינים ושל אקלים מפתחים השפעות מסובכות לטורים ושומרים על האיברים החשובים. ידיעת חסם השגיאה אומרת מתי קירוב טוב מספיק כדי לסמוך עליו.

ב־Saving Planets: פיזיקה I, יחידה 8: תנודות · מחשבון זמן מחזור של מטוטלת

מקורות: OpenStax Calculus 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series · OpenStax University Physics 1, 15.4 Pendulums (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 7 · שבוע 14

משוואות פרמטריות וקואורדינטות קוטביות

לתאר מסלולים לפי זמן ועקומות לפי זווית, כולל האליפסה שכל לוויין וכל כוכב לכת עוקבים אחריה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לשרטט עקומות פרמטריות, למצוא dy/dx ואורך קשת.
  • להמיר בין קואורדינטות קוטביות לקרטזיות.
  • למצוא שטחים ואורכי קשת בקואורדינטות קוטביות.
  • לתאר מסלול קפלרי בצורה קוטבית.

מושגי מפתח

  • עקומה פרמטרית נותנת x(t) ו-y(t); dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
  • אורך קשת: ∫√(x′² + y′²) dt.
  • קוטבי: x = r cos θ, y = r sin θ. שטח של תחום קוטבי: ½∫r² dθ.
  • מסלול סביב מוקד אחד הוא r = p/(1 + e cos θ), כאשר e היא האקסצנטריות.
  • החוק השני של קפלר (שטחים שווים בזמנים שווים) אומר ש-½r² dθ/dt קבוע.

משוואות מפתח

dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
שיפוע של עקומה פרמטרית
L=∫ab(x′)2+(y′)2 dtL=\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt
אורך קשת פרמטרי
A=12∫αβr2 dθA=\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta
שטח קוטבי
r=a(1−e2)1+ecos⁡θr=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
מסלול חתך חרוט בצורה קוטבית

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 7.1 מצאו את השיפוע של x = t², y = t³ ב-t = 1.

הצג את השלבים
  1. dx/dt = 2t, dy/dt = 3t².
  2. dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2 = 3/2 עבור t = 1.

תשובה: 3/2.

דוגמה 7.2 מצאו את השטח בתוך הקרדיואידה r = 1 + cos θ.

הצג את השלבים
  1. A = ½∫₀^(2π) (1 + cos θ)² dθ.
  2. = ½∫(1 + 2cos θ + cos²θ) dθ = ½(2π + 0 + π).

תשובה: 3π/2 ≈ 4.71.

דוגמה 7.3 למסלול כדור הארץ a = 149.6 מיליון km ו-e = 0.0167. מצאו את המרחקים הקרוב והרחוק ביותר שלו מהשמש.

הצג את השלבים
  1. At θ = 0: r = a(1 − e) = 149.6 × 0.9833.
  2. At θ = π: r = a(1 + e) = 149.6 × 1.0167.

תשובה: כ-147.1 ו-152.1 מיליון km, בהתאמה לפריהליון ולאפהליון שפרסמה NASA.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את האורך של x = cos t, y = sin t עבור 0 ≤ t ≤ 2π.

    הצג תשובה

    ∫√(sin²t + cos²t) dt = 2π (היקף מעגל).

  2. מצאו את שטח המעגל r = 3.

    הצג תשובה

    ½∫₀^(2π) 9 dθ = 9π.

  3. המירו את r = 2 cos θ לצורה קרטזית.

    הצג תשובה

    r² = 2r cos θ נותן x² + y² = 2x: מעגל ברדיוס 1 שמרכזו (1, 0), ששטחו π.

  4. סלקו את t מ-x = 2 cos t, y = sin t.

    הצג תשובה

    x²/4 + y² = 1, אליפסה.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: dy/dx = dy/dt × dx/dt.

    בפועל: חלקו: (dy/dt)/(dx/dt).

  • מיתוס: שטח קוטבי הוא ∫r dθ.

    בפועל: הוא ½∫r² dθ, מפרוסות עוגה דקות.

  • מיתוס: השמש נמצאת במרכז מסלול כדור הארץ.

    בפועל: היא נמצאת באחד ממוקדי האליפסה.

כרטיסיות

  • עקומה פרמטרית

    x = x(t), y = y(t).

  • שיפוע פרמטרי

    (dy/dt)/(dx/dt).

  • קואורדינטות קוטביות

    (r, θ); x = r cos θ, y = r sin θ.

  • שטח קוטבי

    ½∫r² dθ.

  • אקסצנטריות

    e = 0 מעגל, 0 < e < 1 אליפסה.

  • החוק השני של קפלר

    שטחים שווים בזמנים שווים.

בוחן לבדיקה עצמית

1. שטח קוטבי משתמש ב…

הצג תשובה

½∫r² dθ. כל פרוסה היא בקירוב גזרה ששטחה ½r² dθ.

2. x = r cos θ, y = …

הצג תשובה

r sin θ. מקוטבי לקרטזי.

3. עבור מסלול r = p/(1 + e cos θ), e = 0 נותן…

הצג תשובה

מעגל. r = p קבוע.

4. החוק השני של קפלר אומר ש-r² dθ/dt הוא…

הצג תשובה

קבוע. שטחים שווים בזמנים שווים.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

כל לוויין לתצפית על כדור הארץ נע במסלול המתואר על ידי משוואת המסלול הקוטבית ביחידה זו. מתכנני משימות בוחרים את צורת המסלול ואת נטייתו כך שהמכשירים יחזרו לאותם מקומות בתאורה דומה, מה שמקל על זיהוי שינויים על הקרקע.

משוואות פרמטריות מתארות את עקבת הקרקע שלוויין משרטט מעל כדור הארץ, והיא קובעת אילו יערות, חופים ומעטות קרח הוא יכול לראות ומתי.

ב־Saving Planets: מדריך מסלולים · Landsat 9

מקורות: גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית) · OpenStax Calculus 2, 7.4 Area and Arc Length in Polar Coordinates

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

מעבדות מחשב

ארבע מעבדות מחשב קצרות מיישמות את היחידות בגיליון אלקטרוני: שיטת אוילר למודל אוכלוסייה, כלל סימפסון לנפח מאגר, הדיוק של טורי טיילור, והחוק השני של קפלר בקואורדינטות קוטביות.

אלה השיטות הנומריות שמדענים ומהנדסים משתמשים בהן מדי יום. נתוני דוגמה מסומנים ככאלה; כל מעבדה מקשרת למקור שלה.

מקור בטיחות: OpenStax Calculus Volume 2 (ספר לימוד חינמי)

מעבדה A: שיטת אוילר לאוכלוסיית דגים מתאוששת

שבוע 8

מטרה: לפתור את המשוואה הלוגיסטית נומרית ולהשוות לפתרון המדויק.

Pn+1=Pn+h rPn(1−PnK)P_{n+1}=P_n+h\,rP_n\left(1-\frac{P_n}{K}\right)
שיטת אוילר למשוואה הלוגיסטית

מהלך הניסוי

  1. קבעו r = 0.5, K = 1000, P₀ = 100 ו-h = 1 בגיליון אלקטרוני.
  2. מלאו כלפי מטה את צעדי אוילר עד t = 4.
  3. הוסיפו עמודה עם הפתרון המדויק והשגיאה.
  4. חזרו עם h = 0.5 ו-h = 0.25; איך משתנה השגיאה?

טבלת נתונים

tP לפי אוילר (h = 1)
0100
1145.0
2207.0
3289.1
4391.9

ערכים מחושבים מהמודל (לא דיג אמיתי). P(4) המדויק = 450.9.

חישוב לדוגמה

  1. P₁ = 100 + 0.5 × 100 × 0.9 = 145.0.
  2. P₂ = 145 + 0.5 × 145 × 0.855 = 207.0.
  3. כאן אוילר מעריך בחסר (391.9 לעומת 450.9) כי העקומה מתעקלת כלפי מעלה בתחילת הגדילה; חציית h חוצה בערך את השגיאה.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק.

OpenStax Calculus 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods

הקשר לכדור הארץ: מודלים נומריים של אוכלוסיות תומכים בניהול דיג. NOAA Fisheries: הערכות אוכלוסייה

מעבדה B: נפח מאגר בכלל סימפסון

שבוע 5

מטרה: להעריך נפח של מאגר ממדידות של שטח הפנים בעומקים שונים.

V=∫0HA(h) dh≈Δh3[A0+4A1+2A2+4A3+A4]V=\int_0^HA(h)\,dh\approx\frac{\Delta h}3[A_0+4A_1+2A_2+4A_3+A_4]
נפח כאינטגרל של שטח החתך

מהלך הניסוי

  1. הזינו את שטחי הדוגמה ב-0, 2, 4, 6 ו-8 m מעל הקרקעית.
  2. החילו את כלל סימפסון עם Δh = 2 m.
  3. השוו לכלל הטרפז.

טבלת נתונים

גובה h (m)שטח פנים A (km²)
00.0
21.2
42.6
64.0
85.6

ערכי דוגמה לתרגול, לא מאגר אמיתי.

חישוב לדוגמה

  1. סימפסון: (2/3)[0 + 4(1.2) + 2(2.6) + 4(4.0) + 5.6] = (2/3)(31.6) = 21.07 km²·m.
  2. 1 km²·m = 10⁶ m³, ולכן V ≈ 2.11 × 10⁷ m³ (21 מיליון מטרים מעוקבים).
  3. טרפז: 2[0/2 + 1.2 + 2.6 + 4.0 + 5.6/2] = 21.2 km²·m, קרוב לסימפסון.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גיליון אלקטרוני מספיק.

NASA: משימת SWOT

הקשר לכדור הארץ: לווייני מים עיליים כמו SWOT עוזרים להעריך שינויים במים האגורים באגמים ובמאגרים.

מעבדה C: כמה טוב פולינום טיילור?

שבוע 13

מטרה: להשוות פולינומי טיילור של sin x לערך האמיתי ולחסם השארית.

P5(x)=x−x36+x5120P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}
פולינום מקלורן ממעלה 5 של sin x

מהלך הניסוי

  1. בנו טבלה של sin x, P₁ = x, P₃ ו-P₅ עבור x מ-0 עד π בצעדים של 0.25.
  2. שרטטו את השגיאות.
  3. מצאו היכן קירוב הזווית הקטנה sin x ≈ x שוגה ב-1%.

טבלת נתונים

xsin xP₅(x)
0.50.4794260.479427
1.00.8414710.841667
2.00.9092970.933333

ערכים מחושבים.

חישוב לדוגמה

  1. ב-x = 0.5, P₅ שוגה בכ-10⁻⁶; ב-x = 2 ב-0.024. הדיוק יורד מהר ככל שמתרחקים מ-0.
  2. sin x ≈ x נמצא בטווח של 1% עד בערך x = 0.24 rad (14°), ולכן נוסחת המטוטלת משמשת לתנודות קטנות.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • מחווני Desmos עובדים היטב.

PhET: Pendulum Lab

הקשר לכדור הארץ: ידיעת השגיאה של קירוב היא הדרך שבה מהנדסים מחליטים באיזה מודל מפושט לבטוח.

מעבדה D: החוק השני של קפלר בקואורדינטות קוטביות

שבוע 14

מטרה: להראות נומרית שמסלול אליפטי סורק שטח מהר יותר לכל זווית ליד המוקד, אבל בקצב קבוע בזמן.

A(θ1,θ2)=12∫θ1θ2r(θ)2 dθ,r=a(1−e2)1+ecos⁡θA(\theta_1,\theta_2)=\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r(\theta)^2\,d\theta,\quad r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
השטח שסורק מסלול

מהלך הניסוי

  1. השתמשו ב-a = 1 ו-e = 0.5.
  2. חשבו בכלל סימפסון את השטח הנסרק מ-θ = 0 עד 0.5 ומ-θ = π − 0.25 עד π + 0.25 (אותו רוחב של 0.5 rad).
  3. הסבירו מדוע זוויות שוות אינן נותנות שטחים שווים, ולכן לוקחות זמנים שונים.

טבלת נתונים

Arcשטח נסרק
θ = 0 עד 0.5 (ליד השמש)0.0643
θ = π ± 0.25 (הצד הרחוק)0.5513

ערכים מחושבים עבור a = 1, e = 0.5.

חישוב לדוגמה

  1. ליד השמש r ≈ 0.5, בצד הרחוק r ≈ 1.5: השטח ∝ r², ולכן הקשת הרחוקה סורקת שטח גדול פי 8.6 בערך (0.5513 ÷ 0.0643).
  2. מכיוון שהשטח גדל בקצב קבוע בזמן, כוכב הלכת לוקח זמן ארוך פי 8.6 בערך לחצות את 0.5 rad הרחוקים: הוא נע הכי לאט באפהליון.

בטיחות

  • אין, מעבר לשימוש רגיל במחשב.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • מספיק גיליון אלקטרוני או Desmos.

PhET: Kepler’s Laws

הקשר לכדור הארץ: גאומטריית המסלול קובעת מתי לוויין יכול לראות מקום על כדור הארץ.

חזרה למעלה

מערכי תרגול למבחן

מדדו זמן: כ־10 דקות לבעיה. אחר כך השוו לפתרונות המלאים.

מערך תרגול לאמצע הקורס (יחידות 1–3)

  1. מצאו את ∫₀¹ x² eˣ dx.

    הצג פתרון מלא
    1. פעמיים בחלקים: ∫x²eˣ dx = (x² − 2x + 2)eˣ.
    2. מ-0 עד 1: e − 2.

    תשובה: e − 2 ≈ 0.718.

  2. מצאו את ∫₀¹ x/(x + 1) dx.

    הצג פתרון מלא
    1. x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1).
    2. [x − ln(x + 1)]₀¹ = 1 − ln 2.

    תשובה: 1 − ln 2 ≈ 0.307.

  3. מצאו את הנפח שמתקבל מסיבוב התחום מתחת ל-y = x², 0 ≤ x ≤ 2, סביב ציר x.

    הצג פתרון מלא
    1. דיסקות: ∫₀² π x⁴ dx = π × 32/5.

    תשובה: 32π/5 ≈ 20.1.

  4. חשבו ∫₂^∞ dx/x³.

    הצג פתרון מלא
    1. [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

    תשובה: 1/8.

מערך תרגול מסכם (כל היחידות)

  1. פתרו y′ = −2y, y(0) = 5, ומצאו את y(1).

    הצג פתרון מלא
    1. y = 5e^(−2t).

    תשובה: 5e^(−2) ≈ 0.677.

  2. סכמו Σ 3(2/3)ⁿ החל מ-n = 0.

    הצג פתרון מלא
    1. הנדסי: 3/(1 − 2/3).

    תשובה: 9.

  3. העריכו את cos 0.2 בעזרת פולינום מקלורן ממעלה 4.

    הצג פתרון מלא
    1. 1 − 0.04/2 + 0.0016/24.

    תשובה: 0.980067.

  4. מצאו את השטח בתוך r = 3.

    הצג פתרון מלא
    1. ½∫₀^(2π) 9 dθ.

    תשובה: 9π ≈ 28.3.

  5. מצאו את תחום ההתכנסות של Σ xⁿ/3ⁿ.

    הצג פתרון מלא
    1. מנה: |x|/3 < 1; נקודות הקצה מתבדרות.

    תשובה: −3 < x < 3.

  6. המזהם במכל ערבוב מקיים S′ = −S/50 עם S(0) = 20 kg. מתי S = 5 kg?

    הצג פתרון מלא
    1. S = 20e^(−t/50); e^(−t/50) = 1/4.
    2. t = 50 ln 4.

    תשובה: ≈ 69.3 יחידות זמן.

חזרה למעלה

דף נוסחאות

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x), cos⁡2x=12(1+cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x),\ \cos^2x=\tfrac12(1+\cos2x)
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+fn]S_n=\tfrac{\Delta x}3[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n]
V=∫πf2 dx, V=∫2πxf dxV=\int\pi f^2\,dx,\ V=\int2\pi x f\,dx
L=∫1+f′2 dxL=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx
W=∫F dxW=\int F\,dx
∫1∞x−pdx<∞  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}dx<\infty\iff p>1
y′=ky⇒y=y0ekty'=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}
P′=rP(1−P/K)P'=rP(1-P/K)
yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
∑arn=a/(1−r)\sum ar^n=a/(1-r)
L=lim⁡∣an+1/an∣L=\lim|a_{n+1}/a_n|
ex=∑xn/n!e^x=\sum x^n/n!
sin⁡x=∑(−1)nx2n+1/(2n+1)!\sin x=\sum(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!
cos⁡x=∑(−1)nx2n/(2n)!\cos x=\sum(-1)^nx^{2n}/(2n)!
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
A=12∫r2 dθA=\tfrac12\int r^2\,d\theta

קבועים

קבועערך
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
האקסצנטריות של מסלול כדור הארץ0.0167
הציר הראשי למחצה של כדור הארץ149.6 מיליון km
צפיפות המים1,000 kg/m³

מקור: גיליון הנתונים של NASA על כדור הארץ (באנגלית)

חזרה למעלה

כלי גרפים ונתונים

השתמשו בכלים החינמיים האלה לצד הקורס.

חזרה למעלה

מילון מונחים

אורך קשת
אורך של עקומה, ∫√(1 + f′²) dx.
כושר נשיאה
הגבול לטווח ארוך K של אוכלוסייה לוגיסטית.
מרכז מסה
נקודת שיווי משקל; מומנט חלקי מסה.
התכנסות בתנאי
מתכנס, אבל הערכים המוחלטים מתבדרים.
משוואה דיפרנציאלית
משוואה הכוללת נגזרות של פונקציה לא ידועה.
אקסצנטריות
עד כמה מסלול מתוח.
שיטת אוילר
פתרון נומרי צעד אחר צעד של משוואה דיפרנציאלית.
טור הנדסי
Σarⁿ.
אינטגרל לא אמיתי
אינטגרל עם גבול אינסופי או אינטגרנד אינסופי.
אינטגרציה בחלקים
∫u dv = uv − ∫v du.
משוואה לוגיסטית
P′ = rP(1 − P/K).
טור מקלורן
טור טיילור ב-0.
משוואות פרמטריות
x ו-y נתונים כפונקציות של t.
שברים חלקיים
פירוק פונקציה רציונלית לאיברים פשוטים יותר.
קואורדינטות קוטביות
מיקום הנתון על ידי מרחק r וזווית θ.
טור חזקות
Σcₙ(x − a)ⁿ.
רדיוס התכנסות
המרחק מהמרכז שבתוכו טור חזקות מתכנס.
משוואה פרידה
משוואה דיפרנציאלית שאפשר לכתוב כ-g(y) dy = h(x) dx.
כלל סימפסון
אינטגרציה נומרית בעזרת פרבולות.
טור טיילור
Σf⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!.

חזרה למעלה

מחוון להערכה עצמית

לא ניתנים ציון או נקודות זכות. השתמשו בזה כדי להעריך בכנות איפה אתם עומדים בכל יחידה.

רמהאיך זה נראה
4 · שליטה מלאהבוחר בעצמו את הטכניקה או המבחן הנכונים, מנמק ובודק את התוצאות נומרית.
3 · מיומןפותר את תרגילי האימון עם טעויות מזדמנות.
2 · מתפתחעוקב אחר דוגמאות פתורות אך מתקשה לבחור שיטה.
1 · מתחילמפעיל נוסחאות בלי לבדוק תנאים; צריך לחזור על היחידה.

שקלול מוצע אם רוצים ציון

חלקמשקל
תרגילים30%
מעבדות מחשב15%
מערך תרגול לאמצע הקורס25%
מערך תרגול מסכם30%

שאפו לרמה 3 ומעלה בכל יחידה לפני שעוברים לקורס הבא.

חזרה למעלה