Analisi II

Tecniche e applicazioni dell’integrazione, equazioni differenziali, serie di Taylor e curve parametriche e polari, con quattro laboratori al computer. Gratuito, al tuo ritmo e collegato a un lavoro reale per salvare il pianeta.

CNES (PIA25623)NASA Blue MarbleNASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)NASA/JPL-Caltech

Corsi › MATH 111

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Informazioni sul corso

Questo è lo schema di un corso gratuito di autoapprendimento scritto da Saving Planets. Non è un corso universitario, non dà crediti accademici e nessuna scuola è coinvolta.

Il programma segue il secondo semestre di analisi universitaria, sul modello degli argomenti e della profondità di materiali aperti come OpenStax Calculus Volume 2 e MIT OpenCourseWare 18.01SC (con concetti parametrici e polari che portano a 18.02SC Multivariable Calculus), a cui rimandiamo in tutto il corso. Queste organizzazioni non approvano questa pagina.

Cosa aggiungiamo: ogni unità è collegata a problemi reali di acqua, energia, ecologia e volo spaziale, ogni numero della pagina viene ricalcolato da uno script di verifica prima della pubblicazione, e quattro laboratori al computer applicano i metodi ai dati.

Seguilo in ordine. Ogni unità ha obiettivi, idee chiave, equazioni, esempi passo per passo, esercizi con soluzioni complete, errori comuni, flashcard e un quiz. I tuoi progressi sono salvati solo in questo browser.

Come questo corso aiuta a salvare il pianeta

Analisi II è il punto in cui il calcolo comincia a modellare il mondo: i volumi d’acqua nei bacini, il lavoro per pomparla, come un inquinante viene espulso da un lago, come si riprende una popolazione di pesci e le orbite ellittiche dei satelliti che osservano tutto questo.

Ogni unità si chiude con una breve sezione con fonti che mostra come le sue idee aiutano persone e natura.

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Prima di iniziare

Prerequisiti

  • Analisi I: limiti, derivate, regola della catena, integrali di base e sostituzione, teorema fondamentale.
  • Identità trigonometriche, in particolare sin²x + cos²x = 1 e le formule di duplicazione.
  • Esponenziali e logaritmi.

Come studiare

  • Leggi l’unità, poi chiudila e prova da solo gli esempi svolti prima di controllare ogni passaggio.
  • Svolgi ogni esercizio su carta prima di aprire la risposta.
  • Per gli integrali, controlla la risposta derivandola.
  • Per le serie, decidi quale criterio è adatto prima di calcolare qualsiasi cosa.
  • Disegna ogni regione prima di impostare un integrale di volume o di area.
  • Rifai i quiz qualche giorno dopo. La pratica distribuita batte una lunga sessione unica.

Attrezzatura di laboratorio (per i laboratori reali)

  • Un computer o un tablet con un foglio di calcolo.
  • Una calcolatrice grafica gratuita come Desmos.
  • Facoltativo: Python con NumPy.

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Programma suggerito di 15 settimane

Circa 6-9 ore a settimana: lettura, esercizi e, nelle settimane di laboratorio, il laboratorio.

SettimanaUnitàArgomentiLettura
1Tecniche di integrazioneIntegrazione per partiOpenStax 3.1
2Tecniche di integrazioneIntegrali trigonometrici e sostituzioneOpenStax 3.2–3.3
3Tecniche di integrazioneFratti semplici; integrazione numericaOpenStax 3.4–3.6
4Applicazioni: volume, lunghezza d’arco, lavoro e centro di massaAree, volumi per sezioni, dischi, rondelle, gusci cilindriciOpenStax 2.1–2.3
5Applicazioni: volume, lunghezza d’arco, lavoro e centro di massaLunghezza d’arco, lavoro, forza dei fluidi, centri di massa; Laboratorio BOpenStax 2.4–2.6
6Integrali impropriIntegrali impropri e confronto; esercitazione per il compito intermedioOpenStax 3.7
7Introduzione alle equazioni differenzialiEquazioni differenziali, campi di direzioni, metodo di EuleroOpenStax 4.1–4.2
8Introduzione alle equazioni differenzialiEquazioni a variabili separabili e logistiche; Laboratorio AOpenStax 4.3–4.4
9Successioni e serieSuccessioni; serie infinite; serie geometricheOpenStax 5.1–5.2
10Successioni e serieCriteri di divergenza, dell’integrale e del confrontoOpenStax 5.3–5.4
11Successioni e serieSerie a segni alterni; criteri del rapporto e della radiceOpenStax 5.5–5.6
12Serie di potenze e serie di TaylorSerie di potenze e loro proprietàOpenStax 6.1–6.2
13Serie di potenze e serie di TaylorSerie di Taylor e di Maclaurin; Laboratorio COpenStax 6.3–6.4
14Equazioni parametriche e coordinate polariEquazioni parametriche; coordinate polari e aree; Laboratorio DOpenStax 7.1–7.4
15RipassoRipasso ed esercitazione finaleTutte le unità

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I tuoi progressi

Spunta unità e laboratori man mano che li finisci, e fai i quiz. Progressi e punteggi sono salvati solo in questo browser e non ci vengono mai inviati.

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Unità 1 · Settimane 1–3

Tecniche di integrazione

Integrazione per parti, integrali e sostituzioni trigonometriche, fratti semplici e integrazione numerica quando non esiste una formula.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Integrare per parti scegliendo bene u e dv.
  • Calcolare integrali trigonometrici e usare la sostituzione trigonometrica.
  • Scomporre funzioni razionali in fratti semplici.
  • Approssimare integrali con la regola dei trapezi e la regola di Simpson, e stimare l’errore.

Concetti chiave

  • L’integrazione per parti è la regola del prodotto al contrario: ∫u dv = uv − ∫v du. Scegli come u ciò che si semplifica derivando (logaritmi, polinomi).
  • Le potenze di seno e coseno si risolvono con identità come sin²x = (1 − cos 2x)/2.
  • Per √(a² − x²), sostituisci x = a sin θ; per √(a² + x²), x = a tan θ.
  • Una funzione razionale propria si scompone in fratti semplici i cui integrali sono logaritmi e arcotangenti.
  • Molti integrali, come ∫e^(−x²) dx, non hanno una primitiva elementare. La regola di Simpson spesso dà molte cifre esatte con pochi punti.

Equazioni chiave

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
Integrazione per parti
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x)
Identità di riduzione delle potenze
1x2−1=1/2x−1−1/2x+1\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}
Una scomposizione in fratti semplici
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\frac{\Delta x}{3}\left[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\right]
Regola di Simpson (n pari)

Esempi svolti passo passo

Esempio 1.1 Calcola ∫₀¹ x eˣ dx.

Mostra i passaggi
  1. u = x, dv = eˣ dx, quindi du = dx, v = eˣ.
  2. ∫x eˣ dx = x eˣ − ∫eˣ dx = (x − 1)eˣ.
  3. Da 0 a 1: 0 − (−1) = 1.

Risposta: 1.

Esempio 1.2 Calcola ∫₂³ dx/(x² − 1).

Mostra i passaggi
  1. Fratti semplici: ½[1/(x − 1) − 1/(x + 1)].
  2. Primitiva ½ ln|(x − 1)/(x + 1)|.
  3. ½[ln(2/4) − ln(1/3)] = ½ ln(3/2).

Risposta: ½ ln 1.5 ≈ 0.2027.

Esempio 1.3 Stima ∫₀¹ e^(−x²) dx con la regola di Simpson, n = 4.

Mostra i passaggi
  1. Δx = 0.25; f = 1, 0.93941, 0.77880, 0.56978, 0.36788.
  2. S₄ = (0.25/3)[1 + 4(0.93941) + 2(0.77880) + 4(0.56978) + 0.36788].
  3. S₄ = 0.74686.

Risposta: 0.74686, contro il valore vero 0.74682: un errore di soli 0.00003 con cinque punti.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. ∫₀^π x sin x dx

    Mostra la risposta

    Per parti: [−x cos x + sin x]₀^π = π.

  2. ∫₁ᵉ x ln x dx

    Mostra la risposta

    Per parti con u = ln x: [x² ln x/2 − x²/4]₁ᵉ = (e² + 1)/4 ≈ 2.097.

  3. ∫₀^(π/2) sin²x dx

    Mostra la risposta

    Riduzione delle potenze: ½[x − sin 2x/2]₀^(π/2) = π/4.

  4. ∫₀¹ √(1 − x²) dx

    Mostra la risposta

    x = sin θ dà ∫₀^(π/2) cos²θ dθ = π/4 (un quarto del disco unitario).

  5. ∫₀¹ dx/(1 + x²)

    Mostra la risposta

    [arctan x]₀¹ = π/4.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Scegli sempre come u il primo fattore che vedi.

    In realtà: Scegli come u ciò che si semplifica derivando: prima logaritmi e polinomi; esponenziali e funzioni trigonometriche come dv.

  • Mito: I fratti semplici funzionano con qualsiasi funzione razionale.

    In realtà: Dividi prima se il grado del numeratore non è minore di quello del denominatore.

  • Mito: Se non trovo una primitiva, l’integrale non ha valore.

    In realtà: Ha comunque un valore; stimalo numericamente.

Flashcard

  • Integrazione per parti

    ∫u dv = uv − ∫v du.

  • Sostituzione trigonometrica

    √(a² − x²): x = a sin θ.

  • Fratti semplici

    Scomporre una funzione razionale in fratti semplici.

  • Regola dei trapezi

    Media delle somme sinistra e destra; errore ∝ Δx².

  • Regola di Simpson

    Interpolazione parabolica; errore ∝ Δx⁴.

  • Integrale non elementare

    Nessuna primitiva esprimibile con una formula, ad es. ∫e^(−x²) dx.

Quiz di autoverifica

1. Per ∫x² eˣ dx, una buona prima scelta di u è…

Mostra la risposta

x². x² si semplifica derivando.

2. √(9 − x²) suggerisce la sostituzione…

Mostra la risposta

x = 3 sin θ. 9 − 9 sin²θ = 9 cos²θ.

3. La regola di Simpson approssima la curva con…

Mostra la risposta

parabole. Parabole passanti per ogni gruppo di tre punti.

4. ∫ ln x dx =

Mostra la risposta

x ln x − x + C. Per parti con u = ln x, dv = dx.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’integrale della curva a campana dell’esempio 1.3 non ha una risposta in forma di formula, eppure è dietro ogni barra d’errore di un grafico climatico e ogni incertezza di una misura satellitare. L’integrazione numerica è il modo in cui si calcola davvero, lui e la maggior parte degli integrali che nascono da dati reali.

Metodi come la regola di Simpson trasformano misure irregolari, come le profondità di un fiume attraverso un alveo, in totali come portata o volume.

Su Saving Planets: Analisi I, Laboratorio D: integrazione numerica · Pagina Fiumi

Fonti: OpenStax Calculus 2, 3.6 Numerical Integration · OpenStax Calculus 2, 3.1 Integration by Parts

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 2 · Settimane 4–5

Applicazioni: volume, lunghezza d’arco, lavoro e centro di massa

Affettare, sommare e passare al limite: volumi di solidi, lunghezze di curve, lavoro contro forze, pressione dei fluidi e centri di massa.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Trovare volumi per sezioni, dischi, rondelle e gusci cilindrici.
  • Calcolare la lunghezza d’arco.
  • Calcolare il lavoro di forze variabili, incluso il pompaggio di liquidi, e la forza idrostatica.
  • Trovare il centro di massa di aste e lamine sottili.

Concetti chiave

  • Ogni applicazione segue lo stesso schema: approssimare una fetta sottile, scriverne il contributo, integrare.
  • Metodo dei dischi: V = ∫π[f(x)]² dx attorno all’asse x. Metodo dei gusci: V = ∫2πx f(x) dx attorno all’asse y.
  • La lunghezza d’arco somma minuscole ipotenuse: L = ∫√(1 + [f′(x)]²) dx.
  • Lavoro = ∫F(x) dx. Pompaggio: ogni strato di liquido viene sollevato di una distanza diversa.
  • La pressione cresce con la profondità, quindi la forza su una diga è un integrale sulla profondità.
  • Centro di massa = momento ÷ massa.

Equazioni chiave

V=∫abπ[f(x)]2 dxV=\int_a^b\pi[f(x)]^2\,dx
Metodo dei dischi
V=∫ab2πx f(x) dxV=\int_a^b2\pi x\,f(x)\,dx
Metodo dei gusci cilindrici
L=∫ab1+[f′(x)]2 dxL=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
Lunghezza d’arco
W=∫abF(x) dxW=\int_a^bF(x)\,dx
Lavoro di una forza variabile
xˉ=∫x ρ(x) dx∫ρ(x) dx\bar x=\frac{\int x\,\rho(x)\,dx}{\int\rho(x)\,dx}
Centro di massa di un’asta

Esempi svolti passo passo

Esempio 2.1 Trova il volume ottenuto ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = √x, 0 ≤ x ≤ 4.

Mostra i passaggi
  1. Dischi di raggio √x: V = ∫₀⁴ π x dx.
  2. π[x²/2]₀⁴ = 8π.

Risposta: 8π ≈ 25.1 unità cubiche.

Esempio 2.2 Un serbatoio cilindrico di raggio 1 m e altezza 2 m è pieno d’acqua. Quanto lavoro serve per pompare tutta l’acqua fuori dalla sommità?

Mostra i passaggi
  1. Uno strato all’altezza y ha volume π(1)² dy e peso 1000 × 9.81 × π dy newton, e viene sollevato di 2 − y metri.
  2. W = ∫₀² 9,810π(2 − y) dy = 9,810π × 2.
  3. = 19,620π J.

Risposta: ≈ 61,600 J (61.6 kJ).

Esempio 2.3 Un’asta su [0, 2] m ha densità ρ(x) = 1 + x kg/m. Trova il suo centro di massa.

Mostra i passaggi
  1. Massa: ∫₀² (1 + x) dx = 2 + 2 = 4 kg.
  2. Momento: ∫₀² x(1 + x) dx = 2 + 8/3 = 14/3.
  3. x̄ = (14/3)/4 = 7/6.

Risposta: x̄ = 7/6 ≈ 1.17 m, verso l’estremità più pesante.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Usa i gusci cilindrici per trovare il volume ottenuto ruotando attorno all’asse y la regione sotto y = x², 0 ≤ x ≤ 1.

    Mostra la risposta

    V = ∫₀¹ 2πx · x² dx = 2π/4 = π/2.

  2. Trova la lunghezza d’arco di y = (2/3)x^(3/2) da x = 0 a 3.

    Mostra la risposta

    y′ = √x, quindi L = ∫₀³ √(1 + x) dx = (2/3)[(1 + x)^(3/2)]₀³ = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

  3. Una molla con k = 200 N/m viene allungata di 0.10 m dalla lunghezza a riposo. Quanto lavoro viene compiuto?

    Mostra la risposta

    W = ∫₀^0.1 200x dx = 100(0.01) = 1.0 J.

  4. Una paratoia rettangolare verticale larga 10 m trattiene acqua profonda 5 m. Trova la forza totale dell’acqua su di essa.

    Mostra la risposta

    F = ∫₀⁵ ρg y (10) dy = 1,000 × 9.81 × 10 × 25/2 = 1.23 × 10⁶ N.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Volume di rotazione = π × area.

    In realtà: Bisogna elevare al quadrato il raggio dentro l’integrale: ∫π f² dx, non π(∫f dx).

  • Mito: Il lavoro di pompaggio è peso × altezza del serbatoio.

    In realtà: Ogni strato si sposta di una distanza diversa, quindi bisogna integrare.

  • Mito: Il centro di massa è sempre il punto medio.

    In realtà: Solo con densità uniforme e forma simmetrica.

Flashcard

  • Metodo dei dischi

    V = ∫π f(x)² dx.

  • Metodo delle rondelle

    V = ∫π(R² − r²) dx.

  • Metodo dei gusci cilindrici

    V = ∫2πx f(x) dx.

  • Lunghezza d’arco

    L = ∫√(1 + f′²) dx.

  • Lavoro

    W = ∫F dx.

  • Centro di massa

    Momento diviso massa.

Quiz di autoverifica

1. I gusci attorno all’asse y usano l’integrando…

Mostra la risposta

2πx f(x). Circonferenza 2πx × altezza f(x) × spessore dx.

2. La lunghezza d’arco usa…

Mostra la risposta

∫√(1 + f′²) dx. Pitagora su ogni pezzetto.

3. La pressione idrostatica su una diga cresce…

Mostra la risposta

linearmente con la profondità. P = ρgh; la forza totale cresce quindi con il quadrato della profondità.

4. Il lavoro per allungare una molla di x dalla posizione di riposo è…

Mostra la risposta

½kx². ∫₀ˣ kt dt.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Gli ingegneri idraulici usano direttamente questi integrali: il volume di un bacino in base alla sua forma, l’energia per pompare l’acqua dove serve e la forza che una diga o una barriera antipiena deve trattenere. Il pompaggio è un costo energetico rilevante in molti sistemi idrici, quindi impostare bene l’integrale fa risparmiare energia e denaro.

Oggi i satelliti misurano dall’orbita l’altezza di fiumi, laghi e bacini. La missione SWOT di NASA e CNES rileva le acque superficiali per stimare le variazioni dell’acqua immagazzinata: affettare e sommare su scala planetaria.

Su Saving Planets: SWOT · Spazio per il fiume

Fonti: OpenStax Calculus 2, 2.5 Physical Applications · NASA: missione SWOT

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Unità 3 · Settimana 6

Integrali impropri

Integrali su intervalli infiniti o attraverso picchi infiniti: quando danno un numero finito e quando no.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Calcolare integrali impropri come limiti.
  • Stabilire la convergenza con il criterio p e il confronto.
  • Applicare gli integrali impropri all’energia di fuga e alle vite medie.

Concetti chiave

  • ∫ₐ^∞ f dx indica il limite di ∫ₐᵇ f dx per b → ∞. Se il limite è finito, l’integrale converge.
  • ∫₁^∞ dx/xᵖ converge esattamente quando p > 1. ∫₀¹ dx/xᵖ converge esattamente quando p < 1.
  • Confronto: se 0 ≤ f ≤ g e ∫g converge, converge anche ∫f.
  • Una regione infinita può avere area finita.

Equazioni chiave

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx
Integrale improprio
∫1∞dxxp=1p−1 (p>1)\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\frac1{p-1}\ (p>1)
Integrale p
W∞=∫R∞GMmr2 dr=GMmRW_{\infty}=\int_R^{\infty}\frac{GMm}{r^2}\,dr=\frac{GMm}{R}
Lavoro per sfuggire alla gravità di un pianeta

Esempi svolti passo passo

Esempio 3.1 Calcola ∫₁^∞ dx/x².

Mostra i passaggi
  1. ∫₁ᵇ x⁻² dx = 1 − 1/b.
  2. As b → ∞, 1/b → 0.

Risposta: 1 (converge).

Esempio 3.2 ∫₁^∞ dx/x converge?

Mostra i passaggi
  1. ∫₁ᵇ dx/x = ln b.
  2. ln b → ∞.

Risposta: No, diverge, anche se 1/x → 0.

Esempio 3.3 Quanta energia per chilogrammo serve per sfuggire alla gravità terrestre dalla superficie (trascurando aria e rotazione)?

Mostra i passaggi
  1. W/m = ∫_R^∞ GM/r² dr = GM/R.
  2. GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6.371 × 10⁶ m.
  3. W/m = 6.26 × 10⁷ J/kg.

Risposta: Circa 62.6 MJ per chilogrammo, un valore finito anche se la distanza è infinita. Ponendo ½v² uguale a questo valore si ottiene la velocità di fuga di 11.2 km/s.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. ∫₀^∞ e^(−x) dx

    Mostra la risposta

    [−e^(−x)]₀^∞ = 0 + 1 = 1.

  2. ∫₀¹ dx/√x

    Mostra la risposta

    [2√x]₀¹ = 2 (converge; p = ½ < 1).

  3. ∫₂^∞ dx/x³

    Mostra la risposta

    [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

  4. ∫₁^∞ dx/(x² + 1) converge?

    Mostra la risposta

    Sì: è minore di 1/x², che converge. Anzi, vale π/4.

  5. Per un decadimento esponenziale con tasso λ, la vita media è ∫₀^∞ t λe^(−λt) dt. Calcolala.

    Mostra la risposta

    Per parti: 1/λ.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Se f(x) → 0 per x → ∞, l’integrale converge.

    In realtà: 1/x → 0 ma ∫₁^∞ dx/x diverge.

  • Mito: Una regione infinitamente lunga ha area infinita.

    In realtà: ∫₁^∞ dx/x² = 1.

  • Mito: ∫₋₁¹ dx/x² = −2 con la formula usuale.

    In realtà: L’integrando esplode in 0, quindi l’integrale è improprio, e diverge.

Flashcard

  • Integrale improprio

    Intervallo infinito o integrando infinito; definito tramite un limite.

  • Converge

    Il limite esiste ed è finito.

  • Criterio p (∞)

    ∫₁^∞ x⁻ᵖ converge se e solo se p > 1.

  • Criterio p (0)

    ∫₀¹ x⁻ᵖ converge se e solo se p < 1.

  • Criterio del confronto

    Minore di uno convergente ⇒ converge.

  • Energia di fuga

    GM/R per kg.

Quiz di autoverifica

1. ∫₁^∞ dx/x^1.5…

Mostra la risposta

converge a 2. 1/(p − 1) = 1/0.5 = 2.

2. ∫₁^∞ dx/x…

Mostra la risposta

diverge. ln b → ∞.

3. ∫₀^∞ e^(−2x) dx =

Mostra la risposta

1/2. [−e^(−2x)/2]₀^∞ = 1/2.

4. Un integrale improprio è definito come…

Mostra la risposta

un limite di integrali propri. Si prende il limite di ∫ₐᵇ.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Gli integrali impropri danno l’energia per lasciare un pianeta, il numero dietro ogni lancio di un satellite meteorologico o climatico. È finita, ed è per questo che il volo spaziale è possibile.

Le vite medie, anch’esse integrali impropri, descrivono per quanto tempo le sostanze restano: quanto persiste un inquinante in un lago, o quanto dura un tracciante radioattivo usato per datare il ghiaccio e l’acqua oceanica.

Su Saving Planets: Fisica I, Unità 7: orbite · Calcolatore di delta-v

Fonti: OpenStax Calculus 2, 3.7 Improper Integrals · Scheda NASA sulla Terra (in inglese)

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Unità 4 · Settimane 7–8

Introduzione alle equazioni differenziali

Equazioni per i tassi di variazione: crescita e decadimento esponenziale, raffreddamento, miscelazione e il modello logistico delle popolazioni.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Verificare le soluzioni e risolvere problemi ai valori iniziali.
  • Leggere i campi di direzioni e usare il metodo di Eulero.
  • Risolvere equazioni a variabili separabili, inclusi problemi di miscelazione e raffreddamento.
  • Usare l’equazione logistica e interpretarne la capacità portante.

Concetti chiave

  • Un’equazione differenziale collega una funzione alle sue derivate. La sua soluzione è una funzione, di solito una famiglia fissata da una condizione iniziale.
  • Equazioni a variabili separabili: porta tutte le y da una parte e tutte le x dall’altra, poi integra.
  • y′ = ky dà y = y₀e^(kt): crescita se k > 0, decadimento se k < 0.
  • Miscelazione: tasso di variazione di un inquinante = tasso in entrata − tasso in uscita.
  • Logistica: P′ = rP(1 − P/K). La crescita rallenta quando P si avvicina alla capacità portante K; è massima per P = K/2.
  • Il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza: yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ). Passi più piccoli, errore più piccolo.

Equazioni chiave

dydt=ky ⇒ y=y0ekt\frac{dy}{dt}=ky\ \Rightarrow\ y=y_0e^{kt}
Crescita e decadimento esponenziale
dTdt=−k(T−Ts)\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s)
Legge di raffreddamento di Newton
dPdt=rP(1−PK),P(t)=K1+K−P0P0e−rt\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac PK\right),\quad P(t)=\frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}
Equazione logistica e sua soluzione
yn+1=yn+h f(tn,yn)y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)
Metodo di Eulero

Esempi svolti passo passo

Esempio 4.1 Una parte di un lago contiene 1000 m³ d’acqua con 50 kg di un inquinante disciolto. Acqua pulita entra a 10 m³/giorno e acqua ben miscelata esce alla stessa portata. Quanto tempo serve perché sparisca metà dell’inquinante?

Mostra i passaggi
  1. dS/dt = −(10/1,000)S = −S/100.
  2. S(t) = 50e^(−t/100).
  3. Metà: e^(−t/100) = ½, quindi t = 100 ln 2.

Risposta: ≈ 69.3 giorni (un modello semplificato, perfettamente miscelato).

Esempio 4.2 Uno stock ittico segue P′ = 0.5P(1 − P/1000) con P(0) = 100. Trova P(4).

Mostra i passaggi
  1. P(t) = 1,000/(1 + 9e^(−0.5t)).
  2. P(4) = 1,000/(1 + 9e^(−2)) = 1,000/2.218.

Risposta: ≈ 451 pesci, vicino al livello di crescita più rapida K/2 = 500.

Esempio 4.3 Usa il metodo di Eulero con h = 0.5 per stimare y(1) per y′ = y, y(0) = 1.

Mostra i passaggi
  1. y₁ = 1 + 0.5(1) = 1.5.
  2. y₂ = 1.5 + 0.5(1.5) = 2.25.

Risposta: 2.25, contro il valore esatto e ≈ 2.718; dimezzare h riduce l’errore.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Un caffè a 90 °C si raffredda in una stanza a 20 °C con k = 0.1 al minuto. Trova la sua temperatura dopo 10 minuti.

    Mostra la risposta

    T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.

  2. Risolvi y′ = xy con y(0) = 2 e trova y(1).

    Mostra la risposta

    dy/y = x dx, quindi y = 2e^(x²/2); y(1) = 2e^0.5 ≈ 3.30.

  3. Risolvi y′ = −2y, y(0) = 5. Trova y(1).

    Mostra la risposta

    y = 5e^(−2t); y(1) ≈ 0.677.

  4. Per P′ = rP(1 − P/K), con quale popolazione la crescita è più rapida?

    Mostra la risposta

    rP(1 − P/K) è una parabola rivolta verso il basso in P con il vertice in P = K/2.

Errori concettuali comuni

  • Mito: La soluzione di un’equazione differenziale è un numero.

    In realtà: È una funzione (o una famiglia di funzioni).

  • Mito: Il metodo di Eulero dà la risposta esatta se si è attenti.

    In realtà: Ha un errore legato al passo; converge solo per h → 0.

  • Mito: Le popolazioni logistiche smettono di crescere a K/2.

    In realtà: La crescita è massima a K/2 e si annulla solo quando P si avvicina a K.

Flashcard

  • Equazione differenziale

    Un’equazione che coinvolge una funzione e le sue derivate.

  • Problema ai valori iniziali

    Una ED più un valore di partenza.

  • A variabili separabili

    g(y) dy = h(x) dx.

  • Equazione logistica

    P′ = rP(1 − P/K).

  • Capacità portante

    K, il limite a lungo termine di una popolazione logistica.

  • Metodo di Eulero

    yₙ₊₁ = yₙ + h f(tₙ, yₙ).

Quiz di autoverifica

1. La soluzione generale di y′ = 3y è…

Mostra la risposta

Ce^(3x). Separa e integra.

2. Nel modello logistico, K è…

Mostra la risposta

la capacità portante. Il livello a cui tende la popolazione.

3. Un passo di Eulero da (0, 2) con y′ = y e h = 0.1 dà…

Mostra la risposta

2.2. 2 + 0.1 × 2.

4. dy/dx = x²y è…

Mostra la risposta

a variabili separabili. dy/y = x² dx.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

I modelli di popolazione basati sull’equazione logistica fanno parte del modo in cui gli scienziati della pesca valutano gli stock e fissano limiti di cattura che permettono alle popolazioni di restare in salute, proteggendo gli ecosistemi marini e le persone che ne dipendono.

Le equazioni di miscelazione come quella dell’esempio 4.1 sono il primo passo per stimare quanto rapidamente un lago o un estuario elimina un inquinante una volta fermata la fonte.

I modelli meteorologici e climatici risolvono sistemi enormi di equazioni differenziali con metodi numerici passo passo, discendenti del metodo di Eulero.

Su Saving Planets: Sezione Laghi · Sezione Oceani

Fonti: OpenStax Calculus 2, 4.4 The Logistic Equation · NOAA Fisheries: valutazioni delle popolazioni

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Unità 5 · Settimane 9–11

Successioni e serie

Quando sommare infiniti numeri dà un totale finito? Serie geometriche, serie armonica e criteri di convergenza.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Trovare i limiti delle successioni.
  • Sommare serie geometriche e telescopiche.
  • Applicare i criteri di divergenza, dell’integrale, del confronto, delle serie a segni alterni, del rapporto e della radice.
  • Distinguere la convergenza assoluta da quella condizionata.

Concetti chiave

  • Una serie Σaₙ converge se le sue somme parziali tendono a un limite.
  • Geometrica: Σ arⁿ (n ≥ 0) = a/(1 − r) quando |r| < 1.
  • Criterio di divergenza: se aₙ non → 0, la serie diverge. Il viceversa è falso: la serie armonica Σ1/n diverge.
  • La serie p Σ1/nᵖ converge se e solo se p > 1 (per il criterio dell’integrale).
  • Criterio del rapporto: se |aₙ₊₁/aₙ| → L < 1 la serie converge assolutamente; se L > 1 diverge; L = 1 non dice nulla.
  • Le serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 convergono; Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2.

Equazioni chiave

∑n=0∞arn=a1−r (∣r∣<1)\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}\ (|r|<1)
Serie geometrica
∑1np converges  ⟺  p>1\sum\frac1{n^p}\ \text{converges}\iff p>1
Serie p
L=lim⁡∣an+1an∣L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
Criterio del rapporto

Esempi svolti passo passo

Esempio 5.1 Somma Σ (1/2)ⁿ da n = 0.

Mostra i passaggi
  1. Geometrica con a = 1, r = ½.
  2. 1/(1 − ½) = 2.

Risposta: 2.

Esempio 5.2 Ogni anno un lago perde il 10% di un inquinante accumulato e ne riceve altre 5 tonnellate. A quale livello si stabilizza?

Mostra i passaggi
  1. Dopo molti anni la quantità è 5 + 5(0.9) + 5(0.9)² + …
  2. Geometrica: 5/(1 − 0.9).

Risposta: 50 tonnellate. Dimezzare l’apporto annuo dimezza il livello a lungo termine (un modello semplificato).

Esempio 5.3 Σ n/2ⁿ converge?

Mostra i passaggi
  1. Rapporto: [(n + 1)/2ⁿ⁺¹]/[n/2ⁿ] = (n + 1)/(2n) → ½.
  2. ½ < 1.

Risposta: Converge (la somma è 2).

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Σ 0.9(0.1)ⁿ da n = 0

    Mostra la risposta

    0.9/(1 − 0.1) = 1. So 0.999… = 1.

  2. Σ 1/n² converge?

    Mostra la risposta

    Sì, p = 2 > 1 (la somma è π²/6).

  3. Σ n/(n + 1) converge?

    Mostra la risposta

    No: i termini → 1, non 0 (criterio di divergenza).

  4. Somma Σ 3(2/3)ⁿ da n = 0.

    Mostra la risposta

    3/(1 − 2/3) = 9.

  5. Σ (−1)ⁿ⁺¹/n converge assolutamente?

    Mostra la risposta

    No. Converge (a ln 2), ma Σ1/n diverge, quindi la convergenza è condizionata.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Se i termini tendono a 0, la serie converge.

    In realtà: La serie armonica è il controesempio.

  • Mito: Un limite pari a 1 nel criterio del rapporto significa divergenza.

    In realtà: L = 1 non è conclusivo; usa un altro criterio.

  • Mito: Riordinare i termini non cambia mai una somma.

    In realtà: Per le serie condizionatamente convergenti può cambiarla.

Flashcard

  • Successione

    Un elenco ordinato a₁, a₂, …

  • Serie

    Somma di una successione; limite delle somme parziali.

  • Serie geometrica

    a/(1 − r) per |r| < 1.

  • Serie armonica

    Σ1/n, diverge.

  • Criterio del rapporto

    L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non conclusivo.

  • Convergenza condizionata

    Converge, ma non assolutamente.

Quiz di autoverifica

1. Σ (1/3)ⁿ da n = 0 =

Mostra la risposta

3/2. 1/(1 − 1/3).

2. La serie armonica Σ1/n…

Mostra la risposta

diverge. p = 1, criterio dell’integrale.

3. Σ 1/n^1.01…

Mostra la risposta

converge. p > 1.

4. Il criterio del rapporto per Σ 1/n! dà L =

Mostra la risposta

0. 1/(n + 1) → 0, quindi converge.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Le serie geometriche descrivono tutto ciò che viene in parte riportato da un periodo al successivo, come nell’esempio 5.2. Questo semplice modello mostra un fatto chiave dell’inquinamento e dei gas serra: il livello a lungo termine dipende dal ritmo degli apporti, quindi ridurre gli apporti abbassa il livello di equilibrio.

I sistemi reali sono più complessi di una sola serie geometrica, e gli scienziati usano modelli completi, ma la serie è la giusta prima intuizione.

Su Saving Planets: Previsione delle fioriture algali del lago Erie · Sezione Laghi

Fonti: OpenStax Calculus 2, 5.2 Infinite Series · NOAA GML: andamento della CO₂ atmosferica (in inglese)

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Unità 6 · Settimane 12–13

Serie di potenze e serie di Taylor

Trasformare funzioni in polinomi infiniti. Le serie di Taylor sono il modo in cui calcolano le calcolatrici e in cui i fisici semplificano problemi difficili.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Trovare il raggio e l’intervallo di convergenza di una serie di potenze.
  • Costruire serie e polinomi di Taylor e di Maclaurin.
  • Stimare l’errore di un’approssimazione di Taylor.
  • Usare le serie per approssimare integrali e giustificare le approssimazioni per piccoli angoli.

Concetti chiave

  • Una serie di potenze Σcₙ(x − a)ⁿ converge all’interno di un raggio R e diverge all’esterno; controlla gli estremi separatamente.
  • Serie di Taylor: cₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Attorno ad a = 0 si chiama serie di Maclaurin.
  • Serie fondamentali: eˣ = Σxⁿ/n!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (|x| < 1).
  • Resto di Taylor: l’errore è al massimo M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M maggiora la derivata successiva.
  • Tenere solo il primo termine trasforma sin θ in θ, l’approssimazione per piccoli angoli dietro la formula del pendolo semplice.

Equazioni chiave

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
Serie di Taylor
ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
Serie esponenziale
sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
Serie del seno
∣Rn(x)∣≤M∣x−a∣n+1(n+1)!|R_n(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}
Stima del resto di Taylor

Esempi svolti passo passo

Esempio 6.1 Stima e^0.1 con i primi quattro termini della sua serie.

Mostra i passaggi
  1. 1 + 0.1 + 0.01/2 + 0.001/6.
  2. = 1.105167.

Risposta: 1.105167, contro il valore vero 1.105171.

Esempio 6.2 Stima sin 0.5 con tre termini e maggiora l’errore.

Mostra i passaggi
  1. 0.5 − 0.125/6 + 0.03125/120 = 0.479427.
  2. Stima con il termine successivo: 0.5⁷/7! = 1.55 × 10⁻⁶.

Risposta: 0.479427, errore inferiore a 1.6 × 10⁻⁶ (valore vero 0.479426).

Esempio 6.3 Trova il raggio di convergenza di Σ xⁿ/3ⁿ.

Mostra i passaggi
  1. Rapporto: |x|/3 < 1.
  2. Gli estremi x = ±3 danno termini ±1, che non → 0.

Risposta: R = 3; converge per −3 < x < 3.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Scrivi il polinomio di Maclaurin di grado 4 di cos x e usalo per cos 0.2.

    Mostra la risposta

    1 − x²/2 + x⁴/24; cos 0.2 ≈ 1 − 0.02 + 0.0000667 = 0.980067 (valore vero 0.980067).

  2. Trova la serie di Maclaurin di 1/(1 − x).

    Mostra la risposta

    Σxⁿ per |x| < 1 (geometrica).

  3. Trova il raggio di convergenza di Σ xⁿ/n.

    Mostra la risposta

    R = 1 (rapporto n/(n + 1) → 1).

  4. Usa una serie per stimare ∫₀¹ e^(−x²) dx con tre termini.

    Mostra la risposta

    ∫(1 − x² + x⁴/2) dx = 1 − 1/3 + 1/10 = 0.7667. Con più termini ci si avvicina a 0.7468.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Un polinomio di Taylor è preciso ovunque.

    In realtà: È migliore vicino al centro a e può essere pessimo lontano da esso o fuori dal raggio di convergenza.

  • Mito: Ogni funzione liscia è uguale alla sua serie di Taylor.

    In realtà: Non sempre, anche se vale ovunque per eˣ, sin x e cos x.

  • Mito: Il raggio di convergenza decide anche gli estremi.

    In realtà: Gli estremi vanno controllati separatamente.

Flashcard

  • Serie di potenze

    Σcₙ(x − a)ⁿ.

  • Raggio di convergenza

    R tale che la serie converge per |x − a| < R.

  • Coefficiente di Taylor

    f⁽ⁿ⁾(a)/n!.

  • Serie di Maclaurin

    Serie di Taylor in a = 0.

  • Approssimazione per piccoli angoli

    sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2.

  • Stima del resto

    M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Quiz di autoverifica

1. La serie di Maclaurin di eˣ è…

Mostra la risposta

Σxⁿ/n!. Tutte le derivate di eˣ in 0 valgono 1.

2. Per θ piccolo, sin θ ≈…

Mostra la risposta

θ. Il primo termine della serie.

3. Il coefficiente di x³ nella serie di sin x è…

Mostra la risposta

−1/6. −1/3!.

4. Σxⁿ converge per…

Mostra la risposta

|x| < 1. Serie geometrica.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Le serie di Taylor permettono ai fisici di trasformare equazioni difficili in equazioni utilizzabili. Il periodo del pendolo T = 2π√(L/g) di Fisica I si basa su sin θ ≈ θ, e lo stesso tipo di linearizzazione è alla base di gran parte dell’analisi delle vibrazioni di turbine eoliche, ponti e aerei da parte degli ingegneri.

I modelli delle orbite dei satelliti e del clima sviluppano effetti complicati in serie e tengono i termini che contano. Conoscere la stima dell’errore dice quando un’approssimazione è abbastanza buona da fidarsene.

Su Saving Planets: Fisica I, Unità 8: oscillazioni · Calcolatore del periodo del pendolo

Fonti: OpenStax Calculus 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series · OpenStax University Physics 1, 15.4 Pendulums (in inglese)

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Unità 7 · Settimana 14

Equazioni parametriche e coordinate polari

Descrivere traiettorie in funzione del tempo e curve in funzione di un angolo, inclusa l’ellisse che segue ogni satellite e ogni pianeta.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Tracciare curve parametriche, trovare dy/dx e la lunghezza d’arco.
  • Passare tra coordinate polari e cartesiane.
  • Trovare aree e lunghezze d’arco in coordinate polari.
  • Descrivere un’orbita kepleriana in forma polare.

Concetti chiave

  • Una curva parametrica dà x(t) e y(t); dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
  • Lunghezza d’arco: ∫√(x′² + y′²) dt.
  • Polari: x = r cos θ, y = r sin θ. Area di una regione polare: ½∫r² dθ.
  • Un’orbita attorno a un fuoco è r = p/(1 + e cos θ), dove e è l’eccentricità.
  • La seconda legge di Keplero (aree uguali in tempi uguali) equivale a dire che ½r² dθ/dt è costante.

Equazioni chiave

dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
Pendenza di una curva parametrica
L=∫ab(x′)2+(y′)2 dtL=\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt
Lunghezza d’arco parametrica
A=12∫αβr2 dθA=\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta
Area in polari
r=a(1−e2)1+ecos⁡θr=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
Orbita conica in forma polare

Esempi svolti passo passo

Esempio 7.1 Trova la pendenza di x = t², y = t³ in t = 1.

Mostra i passaggi
  1. dx/dt = 2t, dy/dt = 3t².
  2. dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2 = 3/2 in t = 1.

Risposta: 3/2.

Esempio 7.2 Trova l’area all’interno della cardioide r = 1 + cos θ.

Mostra i passaggi
  1. A = ½∫₀^(2π) (1 + cos θ)² dθ.
  2. = ½∫(1 + 2cos θ + cos²θ) dθ = ½(2π + 0 + π).

Risposta: 3π/2 ≈ 4.71.

Esempio 7.3 L’orbita terrestre ha a = 149.6 milioni di km ed e = 0.0167. Trova le sue distanze minima e massima dal Sole.

Mostra i passaggi
  1. At θ = 0: r = a(1 − e) = 149.6 × 0.9833.
  2. At θ = π: r = a(1 + e) = 149.6 × 1.0167.

Risposta: Circa 147.1 e 152.1 milioni di km, in accordo con il perielio e l’afelio pubblicati dalla NASA.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Trova la lunghezza di x = cos t, y = sin t per 0 ≤ t ≤ 2π.

    Mostra la risposta

    ∫√(sin²t + cos²t) dt = 2π (la circonferenza di un cerchio).

  2. Trova l’area del cerchio r = 3.

    Mostra la risposta

    ½∫₀^(2π) 9 dθ = 9π.

  3. Converti r = 2 cos θ in forma cartesiana.

    Mostra la risposta

    r² = 2r cos θ dà x² + y² = 2x: un cerchio di raggio 1 centrato in (1, 0), di area π.

  4. Elimina t da x = 2 cos t, y = sin t.

    Mostra la risposta

    x²/4 + y² = 1, un’ellisse.

Errori concettuali comuni

  • Mito: dy/dx = dy/dt × dx/dt.

    In realtà: Dividi: (dy/dt)/(dx/dt).

  • Mito: L’area in polari è ∫r dθ.

    In realtà: È ½∫r² dθ, da sottili fette di torta.

  • Mito: Il Sole è al centro dell’orbita terrestre.

    In realtà: È in uno dei fuochi dell’ellisse.

Flashcard

  • Curva parametrica

    x = x(t), y = y(t).

  • Pendenza parametrica

    (dy/dt)/(dx/dt).

  • Coordinate polari

    (r, θ); x = r cos θ, y = r sin θ.

  • Area in polari

    ½∫r² dθ.

  • Eccentricità

    e = 0 cerchio, 0 < e < 1 ellisse.

  • Seconda legge di Keplero

    Aree uguali in tempi uguali.

Quiz di autoverifica

1. L’area in polari usa…

Mostra la risposta

½∫r² dθ. Ogni fetta è approssimativamente un settore di area ½r² dθ.

2. x = r cos θ, y = …

Mostra la risposta

r sin θ. Da polari a cartesiane.

3. Per un’orbita r = p/(1 + e cos θ), e = 0 dà…

Mostra la risposta

un cerchio. r = p è costante.

4. La seconda legge di Keplero dice che r² dθ/dt è…

Mostra la risposta

costante. Aree uguali in tempi uguali.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Ogni satellite di osservazione della Terra segue una traiettoria descritta dall’equazione polare dell’orbita di questa unità. I progettisti di missione scelgono forma e inclinazione dell’orbita in modo che gli strumenti ripassino sugli stessi luoghi con un’illuminazione simile, il che rende più facile rilevare i cambiamenti al suolo.

Le equazioni parametriche descrivono la traccia al suolo che un satellite disegna sulla Terra, che decide quali foreste, coste e calotte glaciali può vedere e quando.

Su Saving Planets: Guida alle orbite · Landsat 9

Fonti: Scheda NASA sulla Terra (in inglese) · OpenStax Calculus 2, 7.4 Area and Arc Length in Polar Coordinates

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Laboratori al computer

Quattro brevi laboratori al computer applicano le unità con un foglio di calcolo: il metodo di Eulero per un modello di popolazione, la regola di Simpson per il volume di un bacino, la precisione delle serie di Taylor e la seconda legge di Keplero in coordinate polari.

Sono i metodi numerici che scienziati e ingegneri usano ogni giorno. I dati di esempio sono indicati come tali; ogni laboratorio rimanda alla sua fonte.

Riferimento per la sicurezza: OpenStax Calculus Volume 2 (libro di testo gratuito)

Laboratorio A: metodo di Eulero per uno stock ittico in ripresa

Settimana 8

Obiettivo: Risolvere numericamente l’equazione logistica e confrontarla con la soluzione esatta.

Pn+1=Pn+h rPn(1−PnK)P_{n+1}=P_n+h\,rP_n\left(1-\frac{P_n}{K}\right)
Metodo di Eulero per l’equazione logistica

Procedimento

  1. Imposta r = 0.5, K = 1000, P₀ = 100 e h = 1 in un foglio di calcolo.
  2. Trascina verso il basso i passi di Eulero fino a t = 4.
  3. Aggiungi una colonna con la soluzione esatta e l’errore.
  4. Ripeti con h = 0.5 e h = 0.25; come cambia l’errore?

Tabella dei dati

tP di Eulero (h = 1)
0100
1145.0
2207.0
3289.1
4391.9

Valori calcolati dal modello (non una vera attività di pesca). P(4) esatto = 450.9.

Calcolo di esempio

  1. P₁ = 100 + 0.5 × 100 × 0.9 = 145.0.
  2. P₂ = 145 + 0.5 × 145 × 0.855 = 207.0.
  3. Qui Eulero sottostima (391.9 contro 450.9) perché la curva si piega verso l’alto all’inizio della crescita; dimezzare h dimezza circa l’errore.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo.

OpenStax Calculus 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods

Legame con il pianeta: I modelli numerici di popolazione supportano la gestione della pesca. NOAA Fisheries: valutazioni delle popolazioni

Laboratorio B: volume di un bacino con la regola di Simpson

Settimana 5

Obiettivo: Stimare il volume di un bacino da misure dell’area della superficie a diverse profondità.

V=∫0HA(h) dh≈Δh3[A0+4A1+2A2+4A3+A4]V=\int_0^HA(h)\,dh\approx\frac{\Delta h}3[A_0+4A_1+2A_2+4A_3+A_4]
Il volume come integrale dell’area della sezione

Procedimento

  1. Inserisci le aree di esempio a 0, 2, 4, 6 e 8 m sopra il fondo.
  2. Applica la regola di Simpson con Δh = 2 m.
  3. Confronta con la regola dei trapezi.

Tabella dei dati

Altezza h (m)Area della superficie A (km²)
00.0
21.2
42.6
64.0
85.6

Valori di esempio per esercitarsi, non un bacino reale.

Calcolo di esempio

  1. Simpson: (2/3)[0 + 4(1.2) + 2(2.6) + 4(4.0) + 5.6] = (2/3)(31.6) = 21.07 km²·m.
  2. 1 km²·m = 10⁶ m³, quindi V ≈ 2.11 × 10⁷ m³ (21 milioni di metri cubi).
  3. Trapezi: 2[0/2 + 1.2 + 2.6 + 4.0 + 5.6/2] = 21.2 km²·m, vicino a Simpson.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo.

NASA: missione SWOT

Legame con il pianeta: I satelliti per le acque superficiali come SWOT aiutano a stimare le variazioni dell’acqua immagazzinata in laghi e bacini.

Laboratorio C: quanto è buono un polinomio di Taylor?

Settimana 13

Obiettivo: Confrontare i polinomi di Taylor di sin x con il valore vero e con la stima del resto.

P5(x)=x−x36+x5120P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}
Polinomio di Maclaurin di grado 5 di sin x

Procedimento

  1. Tabula sin x, P₁ = x, P₃ e P₅ per x da 0 a π con passo 0.25.
  2. Traccia gli errori.
  3. Trova dove l’approssimazione per piccoli angoli sin x ≈ x sbaglia dell’1%.

Tabella dei dati

xsin xP₅(x)
0.50.4794260.479427
1.00.8414710.841667
2.00.9092970.933333

Valori calcolati.

Calcolo di esempio

  1. In x = 0.5, P₅ sbaglia di circa 10⁻⁶; in x = 2 di 0.024. La precisione cala in fretta allontanandosi da 0.
  2. sin x ≈ x resta entro l’1% fino a circa x = 0.24 rad (14°), ed è per questo che la formula del pendolo si usa per piccole oscillazioni.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • I cursori di Desmos funzionano bene.

PhET: Pendulum Lab

Legame con il pianeta: Conoscere l’errore di un’approssimazione è il modo in cui gli ingegneri decidono di quale modello semplificato fidarsi.

Laboratorio D: seconda legge di Keplero in coordinate polari

Settimana 14

Obiettivo: Mostrare numericamente che un’orbita ellittica spazza area più velocemente per angolo vicino al fuoco, ma a un ritmo costante nel tempo.

A(θ1,θ2)=12∫θ1θ2r(θ)2 dθ,r=a(1−e2)1+ecos⁡θA(\theta_1,\theta_2)=\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r(\theta)^2\,d\theta,\quad r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}
Area spazzata da un’orbita

Procedimento

  1. Usa a = 1 ed e = 0.5.
  2. Calcola con la regola di Simpson l’area spazzata da θ = 0 a 0.5 e da θ = π − 0.25 a π + 0.25 (stessa ampiezza di 0.5 rad).
  3. Spiega perché angoli uguali non danno aree uguali, e quindi richiedono tempi diversi.

Tabella dei dati

ArcArea spazzata
θ = 0 a 0.5 (vicino al Sole)0.0643
θ = π ± 0.25 (lato lontano)0.5513

Valori calcolati per a = 1, e = 0.5.

Calcolo di esempio

  1. Vicino al Sole r ≈ 0.5, sul lato lontano r ≈ 1.5: area ∝ r², quindi l’arco lontano spazza circa 8.6 volte più area (0.5513 ÷ 0.0643).
  2. Poiché l’area cresce a ritmo costante nel tempo, il pianeta impiega circa 8.6 volte di più a percorrere gli 0.5 rad lontani: si muove più lentamente all’afelio.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo o Desmos.

PhET: Kepler’s Laws

Legame con il pianeta: La geometria dell’orbita decide quando un satellite può vedere un luogo sulla Terra.

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Serie di esercizi per gli esami

Cronometrati: circa 10 minuti per problema. Poi confronta con le soluzioni complete.

Serie di esercizi di metà corso (unità 1–3)

  1. Trova ∫₀¹ x² eˣ dx.

    Mostra la soluzione completa
    1. Due volte per parti: ∫x²eˣ dx = (x² − 2x + 2)eˣ.
    2. Da 0 a 1: e − 2.

    Risposta: e − 2 ≈ 0.718.

  2. Trova ∫₀¹ x/(x + 1) dx.

    Mostra la soluzione completa
    1. x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1).
    2. [x − ln(x + 1)]₀¹ = 1 − ln 2.

    Risposta: 1 − ln 2 ≈ 0.307.

  3. Trova il volume ottenuto ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = x², 0 ≤ x ≤ 2.

    Mostra la soluzione completa
    1. Dischi: ∫₀² π x⁴ dx = π × 32/5.

    Risposta: 32π/5 ≈ 20.1.

  4. Calcola ∫₂^∞ dx/x³.

    Mostra la soluzione completa
    1. [−1/(2x²)]₂^∞ = 1/8.

    Risposta: 1/8.

Serie di esercizi finale (tutte le unità)

  1. Risolvi y′ = −2y, y(0) = 5, e trova y(1).

    Mostra la soluzione completa
    1. y = 5e^(−2t).

    Risposta: 5e^(−2) ≈ 0.677.

  2. Somma Σ 3(2/3)ⁿ da n = 0.

    Mostra la soluzione completa
    1. Geometrica: 3/(1 − 2/3).

    Risposta: 9.

  3. Stima cos 0.2 con il polinomio di Maclaurin di grado 4.

    Mostra la soluzione completa
    1. 1 − 0.04/2 + 0.0016/24.

    Risposta: 0.980067.

  4. Trova l’area all’interno di r = 3.

    Mostra la soluzione completa
    1. ½∫₀^(2π) 9 dθ.

    Risposta: 9π ≈ 28.3.

  5. Trova l’intervallo di convergenza di Σ xⁿ/3ⁿ.

    Mostra la soluzione completa
    1. Rapporto: |x|/3 < 1; gli estremi divergono.

    Risposta: −3 < x < 3.

  6. L’inquinante di una vasca di miscelazione segue S′ = −S/50 con S(0) = 20 kg. Quando S = 5 kg?

    Mostra la soluzione completa
    1. S = 20e^(−t/50); e^(−t/50) = 1/4.
    2. t = 50 ln 4.

    Risposta: ≈ 69.3 unità di tempo.

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Formulario

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du
sin⁡2x=12(1−cos⁡2x), cos⁡2x=12(1+cos⁡2x)\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x),\ \cos^2x=\tfrac12(1+\cos2x)
Sn=Δx3[f0+4f1+2f2+⋯+fn]S_n=\tfrac{\Delta x}3[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n]
V=∫πf2 dx, V=∫2πxf dxV=\int\pi f^2\,dx,\ V=\int2\pi x f\,dx
L=∫1+f′2 dxL=\int\sqrt{1+f'^2}\,dx
W=∫F dxW=\int F\,dx
∫1∞x−pdx<∞  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}dx<\infty\iff p>1
y′=ky⇒y=y0ekty'=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}
P′=rP(1−P/K)P'=rP(1-P/K)
yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
∑arn=a/(1−r)\sum ar^n=a/(1-r)
L=lim⁡∣an+1/an∣L=\lim|a_{n+1}/a_n|
ex=∑xn/n!e^x=\sum x^n/n!
sin⁡x=∑(−1)nx2n+1/(2n+1)!\sin x=\sum(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!
cos⁡x=∑(−1)nx2n/(2n)!\cos x=\sum(-1)^nx^{2n}/(2n)!
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
A=12∫r2 dθA=\tfrac12\int r^2\,d\theta

Costanti

CostanteValore
e2.718281828…
π3.141592654…
ln 20.693147…
Eccentricità orbitale della Terra0.0167
Semiasse maggiore della Terra149.6 milioni di km
Densità dell’acqua1,000 kg/m³

Fonte: Scheda NASA sulla Terra (in inglese)

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Strumenti per grafici e dati

Usa questi strumenti gratuiti insieme al corso.

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Glossario

Lunghezza d’arco
Lunghezza di una curva, ∫√(1 + f′²) dx.
Capacità portante
Limite a lungo termine K di una popolazione logistica.
Centro di massa
Punto di equilibrio; momento diviso massa.
Convergenza condizionata
Converge, ma i valori assoluti divergono.
Equazione differenziale
Equazione che coinvolge le derivate di una funzione incognita.
Eccentricità
Quanto è allungata un’orbita.
Metodo di Eulero
Soluzione numerica passo passo di una ED.
Serie geometrica
Σarⁿ.
Integrale improprio
Integrale con un estremo o un integrando infinito.
Integrazione per parti
∫u dv = uv − ∫v du.
Equazione logistica
P′ = rP(1 − P/K).
Serie di Maclaurin
Serie di Taylor in 0.
Equazioni parametriche
x e y date come funzioni di t.
Fratti semplici
Scomposizione di una funzione razionale in termini più semplici.
Coordinate polari
Posizione data da una distanza r e da un angolo θ.
Serie di potenze
Σcₙ(x − a)ⁿ.
Raggio di convergenza
Distanza dal centro entro la quale una serie di potenze converge.
Equazione a variabili separabili
ED che si può scrivere g(y) dy = h(x) dx.
Regola di Simpson
Integrazione numerica con parabole.
Serie di Taylor
Σf⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!.

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Griglia di autovalutazione

Non si assegnano voti né crediti. Usala per valutare onestamente a che punto sei in ogni unità.

LivelloCome si presenta
4 · PadronanzaSceglie da solo la tecnica o il criterio giusto, lo giustifica e verifica i risultati numericamente.
3 · CompetenteRisolve gli esercizi con qualche errore occasionale.
2 · In sviluppoSegue gli esempi svolti ma fatica a scegliere un metodo.
1 · PrincipianteApplica le formule senza verificare le condizioni; deve ripassare l’unità.

Pesi suggeriti se vuoi un punteggio

PartePeso
Esercizi30%
Laboratori al computer15%
Serie di esercizi di metà corso25%
Serie di esercizi finale30%

Punta al livello 3 o superiore in ogni unità prima di passare al corso successivo.

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