Cálculo III

Cálculo multivariable y campos vectoriales: vectores, movimiento en el espacio, derivadas parciales, gradientes y multiplicadores de Lagrange, integrales múltiples y los teoremas de Green, Stokes y Gauss, con cuatro prácticas de computadora sobre vientos, terreno, lagos y órbitas.

NASA Blue MarbleCNES (PIA25623)NASA/JPL-CaltechNASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

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Sobre este curso

Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.

Su alcance sigue el tercer semestre de cálculo universitario, basado en los temas y la profundidad de materiales abiertos como OpenStax Calculus Volume 3 y MIT OpenCourseWare 18.02 Multivariable Calculus, y en los programas de cursos como Stanford Math 51/52 y Georgia Tech MATH 2551. Enlazamos a los materiales gratuitos a lo largo del curso. Ninguna de esas organizaciones respalda esta página.

Lo que añadimos: cada unidad se conecta con problemas reales de viento, océano, terreno, clima y satélites con una fuente pública citada, cada número de la página se vuelve a calcular con un script de verificación antes de publicarse, y cuatro prácticas de computadora aplican las ideas a campos de viento, mallas de elevación, volúmenes de lagos y órbitas.

Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

El planeta es tridimensional y siempre está en movimiento. Los vientos y las corrientes oceánicas son campos vectoriales, el terreno y la temperatura son funciones de dos o tres variables, el calor y los contaminantes atraviesan superficies como flujo, y los satélites que miden todo esto siguen trayectorias vectoriales en el espacio.

Cada unidad termina con una breve sección con fuentes que muestra cómo sus ideas ayudan a las personas y a la naturaleza.

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Antes de empezar

Requisitos previos

  • Cálculo I y II: derivadas, integrales, sustitución e integración por partes, curvas paramétricas y polares.
  • Trigonometría básica y la ecuación de la circunferencia y de la esfera.
  • Física I ayuda con los ejemplos de trabajo, flujo y órbitas, pero no es obligatoria.

Cómo estudiar

  • Haz un dibujo en 3D para cada problema: los ejes, la región, los vectores.
  • Resuelve cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta.
  • Comprueba unidades y signos: un flujo, un trabajo o una circulación deben tener sentido físico.
  • En las integrales múltiples, esboza la región y escribe los límites antes de integrar nada.
  • Usa un graficador 3D (Desmos 3D o GeoGebra 3D) para ver superficies y campos.
  • Repite los cuestionarios unos días después. La práctica espaciada es mejor que una sesión larga.

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

  • Una computadora o tableta con una hoja de cálculo.
  • Un graficador 3D gratuito como Desmos 3D o GeoGebra 3D.
  • Opcional: Python con NumPy (gratis en Google Colab).

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Calendario sugerido de 15 semanas

Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.

SemanaUnidadTemasLectura
1Vectores y geometría del espacioCoordenadas 3D, vectores, producto escalarOpenStax 2.1–2.3
2Vectores y geometría del espacioProducto vectorial, rectas y planosOpenStax 2.4–2.5
3Funciones vectoriales y movimiento en el espacioFunciones vectoriales, movimiento en el espacio, curvatura; práctica DOpenStax 3.1–3.4
4Derivadas parcialesFunciones de varias variables, límites, derivadas parcialesOpenStax 4.1–4.3
5Derivadas parcialesPlanos tangentes, aproximación lineal, regla de la cadenaOpenStax 4.4–4.5
6Gradientes y optimizaciónGradiente, derivadas direccionales, extremosOpenStax 4.6–4.7
7Gradientes y optimizaciónMultiplicadores de Lagrange; práctica B; repaso para el parcialOpenStax 4.8
8Integrales doblesIntegrales dobles sobre rectángulos y regiones generalesOpenStax 5.1–5.2
9Integrales doblesIntegrales dobles en polares; práctica COpenStax 5.3
10Integrales triples y cambio de variablesIntegrales triples; coordenadas cilíndricas y esféricasOpenStax 5.4–5.5
11Integrales triples y cambio de variablesMasa y centro de masa; cambio de variablesOpenStax 5.6–5.7
12Campos vectoriales, integrales de línea y teorema de GreenCampos vectoriales, integrales de línea, campos conservativos, teorema de GreenOpenStax 6.1–6.4
13Integrales de superficie, teorema de Stokes y teorema de la divergenciaDivergencia y rotacional; integrales de superficie y flujoOpenStax 6.5–6.6
14Integrales de superficie, teorema de Stokes y teorema de la divergenciaTeoremas de Stokes y de la divergencia; práctica AOpenStax 6.7–6.8
15RepasoRepaso y serie de práctica finalTodas las unidades

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Tu progreso

Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.

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Unidad 1 · Semanas 1–2

Vectores y geometría del espacio

Coordenadas 3D, vectores, productos escalar y vectorial, y ecuaciones de rectas y planos.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Sumar vectores en 3D, multiplicarlos por un escalar y hallar su longitud.
  • Usar el producto escalar para ángulos y proyecciones.
  • Usar el producto vectorial para normales, áreas y volúmenes.
  • Escribir ecuaciones de rectas y planos, y hallar distancias.

Conceptos clave

  • Un vector tiene magnitud y dirección; en componentes, v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ y |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²).
  • El producto escalar a · b = |a||b| cos θ mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección. Es cero exactamente cuando son perpendiculares.
  • El producto vectorial a × b es perpendicular a ambos, con longitud igual al área del paralelogramo que generan.
  • Un plano queda fijado por un punto y un vector normal n: n · (r − r₀) = 0. Una recta es un punto más múltiplos de una dirección: r = r₀ + t v.

Ecuaciones clave

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
Producto escalar y ángulo
proj⁡ba=a⋅b∣b∣2b\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b
Proyección
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
Longitud del producto vectorial = área del paralelogramo
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
Plano con normal ⟨a, b, c⟩
D=∣ax1+by1+cz1−d∣a2+b2+c2D=\frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
Distancia de un punto al plano ax + by + cz = d

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1.1 Para a = ⟨1, 2, 2⟩ y b = ⟨2, −1, 2⟩, halla |a|, a · b y el ángulo entre ellos.

Ver los pasos
  1. |a| = √(1 + 4 + 4) = 3, y también |b| = 3.
  2. a · b = 2 − 2 + 4 = 4.
  3. cos θ = 4/9, así que θ = arccos(0.444).

Respuesta: |a| = 3, a · b = 4, θ ≈ 63.6°.

Ejemplo 1.2 Halla a × b para los mismos vectores y el área del paralelogramo que generan.

Ver los pasos
  1. a × b = ⟨2·2 − 2·(−1), 2·2 − 1·2, 1·(−1) − 2·2⟩.
  2. = ⟨6, 2, −5⟩. Comprobación: su producto escalar con a y con b es 0.
  3. Área = |⟨6, 2, −5⟩| = √65.

Respuesta: ⟨6, 2, −5⟩; área √65 ≈ 8.06.

Ejemplo 1.3 Un viento de 10 m/s sopla a 30° del eje del rotor de un aerogenerador. ¿Qué fracción de la potencia de frente recibe la turbina, si la potencia crece con el cubo de la velocidad del viento a lo largo de su eje?

Ver los pasos
  1. Componente a lo largo del eje: 10 cos 30° = 8.66 m/s (un producto escalar con el vector unitario del eje).
  2. Razón de potencias = (cos 30°)³.

Respuesta: Unos 0.65: una desalineación de 30° pierde aproximadamente un tercio de la potencia, por eso las turbinas giran para encarar el viento.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla el plano que pasa por (1, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 3).

    Ver la respuesta

    Forma segmentaria x/1 + y/2 + z/3 = 1, es decir, 6x + 3y + 2z = 6.

  2. Halla la distancia del origen a ese plano.

    Ver la respuesta

    |−6|/√(36 + 9 + 4) = 6/7 ≈ 0.857.

  3. Halla la proyección de ⟨3, 4, 0⟩ sobre ⟨1, 0, 0⟩.

    Ver la respuesta

    ⟨3, 0, 0⟩.

  4. Halla el volumen de la caja (paralelepípedo) generada por ⟨1, 0, 0⟩, ⟨0, 2, 0⟩ y ⟨1, 1, 3⟩.

    Ver la respuesta

    |a · (b × c)| = det = 1·(2·3 − 0·1) = 6.

  5. ¿Son perpendiculares ⟨1, 2, 3⟩ y ⟨3, 0, −1⟩?

    Ver la respuesta

    Producto escalar 3 + 0 − 3 = 0, así que sí.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: a × b = b × a.

    En realidad: El producto vectorial es anticonmutativo: b × a = −(a × b).

  • Mito: El producto escalar de dos vectores es un vector.

    En realidad: Es un escalar (un número).

  • Mito: La ecuación de un plano te dice su dirección.

    En realidad: Sus coeficientes dan la normal, que es perpendicular al plano.

Tarjetas de estudio

  • Producto escalar

    a · b = |a||b| cos θ; cero cuando son perpendiculares.

  • Producto vectorial

    Perpendicular a ambos; longitud = área del paralelogramo.

  • Proyección

    (a · b/|b|²) b.

  • Producto mixto

    |a · (b × c)| = volumen de la caja.

  • Plano

    n · (r − r₀) = 0.

  • Recta

    r = r₀ + t v.

Cuestionario de autoevaluación

1. Si a · b = 0 (ambos no nulos), los vectores son…

Ver la respuesta

perpendiculares. cos θ = 0, así que θ = 90°.

2. La longitud de a × b es igual a…

Ver la respuesta

el área del paralelogramo. |a||b| sin θ.

3. La normal a 2x − y + 5z = 7 es…

Ver la respuesta

⟨2, −1, 5⟩. Lee los coeficientes.

4. |⟨2, 3, 6⟩| =

Ver la respuesta

7. √(4 + 9 + 36) = √49.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

El viento es un vector, y las turbinas giran su rotor para encararlo porque la potencia depende del cubo de la componente a lo largo del eje del rotor, un producto escalar disfrazado.

La misma aritmética le dice a un panel solar cuánta luz capta: la parte útil es el producto escalar de la dirección de la luz solar con el vector normal del panel.

En Saving Planets: Física I, unidad 3: energía eólica

Fuentes: DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés) · OpenStax Calculus 3, 2.3 The Dot Product

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Unidad 2 · Semana 3

Funciones vectoriales y movimiento en el espacio

Curvas en el espacio como funciones vectoriales: velocidad, aceleración, longitud de arco, curvatura y el movimiento de los satélites.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Derivar e integrar funciones vectoriales.
  • Hallar velocidad, rapidez y aceleración a lo largo de una trayectoria.
  • Calcular longitud de arco y curvatura.
  • Analizar órbitas circulares con cálculo vectorial.

Conceptos clave

  • Una curva en el espacio es r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩; se deriva componente a componente.
  • La velocidad v = r′(t) es tangente a la trayectoria; la rapidez es |v|; la aceleración es a = v′.
  • La longitud de arco es la integral de la rapidez: L = ∫|r′(t)| dt.
  • En el movimiento circular uniforme la rapidez es constante, pero la aceleración apunta al centro con tamaño v²/r.

Ecuaciones clave

v=r′(t), a=r′′(t)\mathbf v=\mathbf r'(t),\ \mathbf a=\mathbf r''(t)
Velocidad y aceleración
L=∫ab∣r′(t)∣ dtL=\int_a^b|\mathbf r'(t)|\,dt
Longitud de arco
κ=∣r′×r′′∣∣r′∣3\kappa=\frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}
Curvatura
v=GM/r, T=2πr/vv=\sqrt{GM/r},\ T=2\pi r/v
Velocidad y período de una órbita circular

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 2.1 Halla la longitud de una vuelta de la hélice r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π.

Ver los pasos
  1. r′ = ⟨−sin t, cos t, 1⟩, rapidez √(sin²t + cos²t + 1) = √2.
  2. L = ∫₀^(2π) √2 dt = 2π√2.

Respuesta: 2π√2 ≈ 8.89.

Ejemplo 2.2 Landsat 9 orbita a 705 km sobre la Tierra (radio medio 6371 km). Tratando la órbita como un círculo, halla su velocidad, su aceleración y su periodo.

Ver los pasos
  1. r = 7,076 km = 7.076 × 10⁶ m; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².
  2. v = √(GM/r) = 7,505 m/s.
  3. a = v²/r = 7.96 m/s², apuntando al centro de la Tierra.
  4. T = 2πr/v = 5,924 s.

Respuesta: Unos 7.5 km/s y 98.7 minutos por órbita, en línea con el periodo de 99 minutos que indica la NASA.

Ejemplo 2.3 Halla la curvatura de una circunferencia de radio 2, r(t) = ⟨2 cos t, 2 sin t, 0⟩.

Ver los pasos
  1. r′ = ⟨−2 sin t, 2 cos t, 0⟩, |r′| = 2.
  2. r′′ = ⟨−2 cos t, −2 sin t, 0⟩; r′ × r′′ = ⟨0, 0, 4⟩.
  3. κ = 4/2³.

Respuesta: κ = 1/2: la curvatura de una circunferencia es 1/radio.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Un proyectil tiene r(t) = ⟨20t, 20t − 4.9t²⟩ m. Halla su velocidad y su rapidez en t = 1 s.

    Ver la respuesta

    v = ⟨20, 20 − 9.8t⟩ = ⟨20, 10.2⟩; rapidez √(400 + 104.04) ≈ 22.45 m/s.

  2. Halla la aceleración de r(t) = ⟨t², 3t, eᵗ⟩.

    Ver la respuesta

    ⟨2, 0, eᵗ⟩.

  3. Halla la longitud de r(t) = ⟨3t, 4t, 0⟩ para 0 ≤ t ≤ 2.

    Ver la respuesta

    Rapidez 5, así que L = 10.

  4. Un satélite orbita a 35786 km de altitud. Halla su periodo.

    Ver la respuesta

    r = 42157 km; T = 2π√(r³/GM) ≈ 86160 s ≈ 23.93 h: un día sidéreo, así que es geoestacionario.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Rapidez constante significa aceleración cero.

    En realidad: Girar es acelerar: un satélite en órbita circular acelera hacia la Tierra todo el tiempo.

  • Mito: La longitud de arco es |r(b) − r(a)|.

    En realidad: Esa es la distancia en línea recta; la longitud de arco integra la rapidez a lo largo del camino.

  • Mito: Los satélites más altos se mueven más rápido.

    En realidad: v = √(GM/r) disminuye con la distancia; las órbitas más altas son más lentas y más largas.

Tarjetas de estudio

  • Función vectorial

    r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩.

  • Velocidad

    r′(t), tangente a la trayectoria.

  • La rapidez

    |r′(t)|.

  • Longitud de arco

    ∫|r′| dt.

  • Curvatura

    |r′ × r′′|/|r′|³.

  • Órbita circular

    v = √(GM/r).

Cuestionario de autoevaluación

1. La velocidad es…

Ver la respuesta

r′(t). La derivada de la posición.

2. La longitud de arco integra…

Ver la respuesta

la rapidez. L = ∫|r′| dt.

3. La curvatura de una circunferencia de radio 5 es…

Ver la respuesta

1/5. κ = 1/R.

4. Duplicar el radio de una órbita circular cambia su velocidad por un factor…

Ver la respuesta

1/√2. v ∝ 1/√r.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los satélites de observación de la Tierra como Landsat 9 siguen trayectorias vectoriales elegidas exactamente con estas fórmulas. Su órbita casi polar y heliosíncrona a 705 km le permite fotografiar el mismo lugar cada 16 días a aproximadamente la misma hora local, de modo que los cambios en bosques, glaciares y ciudades destacan.

En Saving Planets: Landsat 9 · Cálculo II, unidad 7: órbitas polares

Fuentes: NASA: Landsat 9 quick facts · Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés)

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Unidad 3 · Semanas 4–5

Derivadas parciales

Funciones de varias variables: curvas de nivel, derivadas parciales, planos tangentes, aproximación lineal y regla de la cadena multivariable.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Leer curvas de nivel y mapas topográficos.
  • Calcular derivadas parciales e interpretarlas como tasas.
  • Hallar planos tangentes y usar la aproximación lineal.
  • Aplicar la regla de la cadena multivariable.

Conceptos clave

  • Una función z = f(x, y) es una superficie; sus curvas de nivel f = c forman un mapa de contorno.
  • ∂f/∂x es la tasa de cambio en x con y fija.
  • Cerca de un punto, una superficie suave se parece a su plano tangente: Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.
  • Regla de la cadena: si x e y dependen de t, df/dt = fₓ dx/dt + f_y dy/dt.

Ecuaciones clave

fx=∂f∂xf_x=\frac{\partial f}{\partial x}
Derivada parcial
z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
Plano tangente
dfdt=fxdxdt+fydydt\frac{df}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}
Regla de la cadena
fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}
Teorema de Clairaut (f suave)

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 3.1 Para f(x, y) = x²y + y³, halla fₓ y f_y en (1, 2), y usa el plano tangente para estimar f(1.1, 1.9).

Ver los pasos
  1. fₓ = 2xy = 4; f_y = x² + 3y² = 13; f(1, 2) = 10.
  2. f ≈ 10 + 4(0.1) + 13(−0.1) = 9.1.
  3. Valor real: 1.21 × 1.9 + 6.859 = 9.158.

Respuesta: Estimación 9.1 frente al valor real 9.158.

Ejemplo 3.2 Para un gas ideal, P = nRT/V. Con n = 1 mol, T = 300 K y V = 0.025 m³, halla P, ∂P/∂T y ∂P/∂V.

Ver los pasos
  1. P = 8.314 × 300/0.025 = 99,768 Pa.
  2. ∂P/∂T = nR/V = 332.6 Pa/K.
  3. ∂P/∂V = −nRT/V² = −P/V = −3.99 × 10⁶ Pa/m³.

Respuesta: P ≈ 99.8 kPa; calentar 1 K la sube unos 333 Pa; expandir la baja.

Ejemplo 3.3 Un dron vuela con x = 2t, y = t². La temperatura que mide es T = 20 + 0.1x − 0.05y (°C, km). Halla dT/dt en t = 1.

Ver los pasos
  1. Tₓ = 0.1, T_y = −0.05; dx/dt = 2, dy/dt = 2t = 2.
  2. dT/dt = 0.1(2) − 0.05(2).

Respuesta: 0.1 °C por unidad de tiempo.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla fₓ y f_y para f = e^(xy).

    Ver la respuesta

    fₓ = y e^(xy), f_y = x e^(xy).

  2. Halla f_xy para f = x³y².

    Ver la respuesta

    fₓ = 3x²y², f_xy = 6x²y (igual que f_yx).

  3. Halla el plano tangente a z = x² + y² en (1, 1, 2).

    Ver la respuesta

    z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1), i.e. z = 2x + 2y − 2.

  4. Estima √(3.02² + 3.97²) por aproximación lineal en (3, 4).

    Ver la respuesta

    f = 5, fₓ = 3/5, f_y = 4/5: 5 + 0.6(0.02) + 0.8(−0.03) = 4.988 (valor real 4.9880).

Ideas erróneas comunes

  • Mito: ∂f/∂x ignora y.

    En realidad: Mantiene y fija; y puede seguir apareciendo en la respuesta.

  • Mito: Si existen ambas parciales, f es suave.

    En realidad: Las parciales pueden existir donde f ni siquiera es continua; la diferenciabilidad requiere más.

  • Mito: La aproximación lineal es buena en cualquier parte.

    En realidad: Solo cerca del punto base.

Tarjetas de estudio

  • Derivada parcial

    Tasa de cambio en una variable con las demás fijas.

  • Curva de nivel

    f(x, y) = c; una línea de contorno.

  • Plano tangente

    z = z₀ + fₓΔx + f_yΔy.

  • Aproximación lineal

    Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.

  • Regla de la cadena

    df/dt = fₓx′ + f_yy′.

  • Clairaut

    f_xy = f_yx para f suave.

Cuestionario de autoevaluación

1. For f = x²y, fₓ =

Ver la respuesta

2xy. Trata y como una constante.

2. Las curvas de nivel de f(x, y) = x² + y² son…

Ver la respuesta

circunferencias. x² + y² = c.

3. Para f suave, f_xy y f_yx son…

Ver la respuesta

iguales. Teorema de Clairaut.

4. df/dt para f(x(t), y(t)) es…

Ver la respuesta

fₓx′ + f_yy′. Regla de la cadena multivariable.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los mapas del tiempo son mapas de contorno de funciones de dos variables: las isobaras son curvas de nivel de la presión y las isotermas, de la temperatura. Las derivadas parciales indican a los meteorólogos con qué rapidez cambia la presión o la temperatura hacia el este o el norte, lo que impulsa los vientos.

En Saving Planets: Cálculo I

Fuentes: NOAA/NWS JetStream: Wind · OpenStax Calculus 3, 4.3 Partial Derivatives

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Unidad 4 · Semanas 6–7

Gradientes y optimización

El vector gradiente, las derivadas direccionales, los puntos críticos y el criterio de la segunda derivada, y la optimización con restricciones mediante multiplicadores de Lagrange.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Calcular el gradiente y las derivadas direccionales.
  • Explicar por qué el gradiente apunta cuesta arriba y es perpendicular a las curvas de nivel.
  • Clasificar puntos críticos con el criterio de la segunda derivada.
  • Resolver problemas con restricciones mediante multiplicadores de Lagrange.

Conceptos clave

  • ∇f = ⟨fₓ, f_y⟩ apunta en la dirección de crecimiento más rápido, y su longitud es esa tasa máxima.
  • La tasa de cambio en la dirección de un vector unitario u es D_u f = ∇f · u.
  • El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel, así que el agua baja a lo largo de −∇h, cruzando los contornos.
  • En un extremo interior ∇f = 0. El criterio D = f_xx f_yy − f_xy² decide: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo; D < 0 es un punto de silla.
  • Para optimizar f sujeta a g = c, resuelve ∇f = λ∇g: en el mejor punto la curva de nivel de f apenas toca la restricción.

Ecuaciones clave

∇f=⟨fx,fy,fz⟩\nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle
Gradiente
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
Derivada direccional
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
Criterio de la segunda derivada
∇f=λ∇g,g=c\nabla f=\lambda\nabla g,\quad g=c
Condición de los multiplicadores de Lagrange

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 4.1 Una colina tiene altura h(x, y) = 500 − 0.01x² − 0.02y² (metros, x e y en metros). En (100, 50), halla ∇h, la pendiente máxima y la pendiente en dirección ⟨3, 4⟩/5.

Ver los pasos
  1. ∇h = ⟨−0.02x, −0.04y⟩ = ⟨−2, −2⟩.
  2. Tasa máxima de subida |∇h| = 2√2 = 2.83 m por m.
  3. D_u h = ⟨−2, −2⟩ · ⟨0.6, 0.8⟩ = −2.8.

Respuesta: Subida máxima 2.83 (cuesta arriba hacia ⟨−1, −1⟩); yendo hacia ⟨3, 4⟩ bajas 2.8 m por m. La lluvia escurre a lo largo de −∇h.

Ejemplo 4.2 Halla y clasifica el punto crítico de f = x² + xy + y² − 3x.

Ver los pasos
  1. fₓ = 2x + y − 3 = 0, f_y = x + 2y = 0 dan x = 2, y = −1.
  2. f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 1: D = 3 > 0, f_xx > 0.
  3. f(2, −1) = 4 − 2 + 1 − 6 = −3.

Respuesta: Un mínimo, f = −3 en (2, −1).

Ejemplo 4.3 Una lata debe contener 1 litro (1000 cm³). ¿Qué radio y altura usan menos metal (cilindro cerrado)?

Ver los pasos
  1. Minimiza A = 2πr² + 2πrh con g = πr²h = 1000.
  2. ∇A = λ∇g da 4πr + 2πh = λ2πrh y 2πr = λπr², así que λ = 2/r y h = 2r.
  3. πr²(2r) = 1000 da r = (500/π)^(1/3).

Respuesta: r ≈ 5.42 cm, h ≈ 10.84 cm (altura = diámetro), área ≈ 554 cm².

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla ∇f para f = xyz en (1, 2, 3).

    Ver la respuesta

    ⟨yz, xz, xy⟩ = ⟨6, 3, 2⟩.

  2. Halla D_u f para f = x² + y² en (1, 1) hacia ⟨1, 0⟩.

    Ver la respuesta

    ∇f = ⟨2, 2⟩; D_u f = 2.

  3. Clasifica el punto crítico de f = x² − y².

    Ver la respuesta

    En (0, 0): D = (2)(−2) − 0 = −4 < 0, un punto de silla.

  4. Cerca un rectángulo junto a un río recto con 40 m de valla (sin valla del lado del río). Maximiza el área.

    Ver la respuesta

    Maximiza xy con x + 2y = 40: y = 10, x = 20, área 200 m².

  5. Maximiza f = x + y sobre la circunferencia x² + y² = 2.

    Ver la respuesta

    ⟨1, 1⟩ = λ⟨2x, 2y⟩ da x = y = 1; máximo 2.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: El gradiente apunta a lo largo de la curva de nivel.

    En realidad: Es perpendicular a la curva de nivel.

  • Mito: ∇f = 0 significa un máximo o un mínimo.

    En realidad: Puede ser un punto de silla; usa el criterio de D.

  • Mito: λ es solo un truco para eliminar.

    En realidad: λ es la tasa a la que cambia el valor óptimo cuando cambia la restricción c, lo que es útil en economía e ingeniería.

Tarjetas de estudio

  • Gradiente

    ⟨fₓ, f_y, f_z⟩; crecimiento más rápido.

  • Derivada direccional

    ∇f · u.

  • Punto crítico

    ∇f = 0.

  • Punto de silla

    D < 0.

  • Condición de Lagrange

    ∇f = λ∇g.

  • Descenso más pronunciado

    Moverse a lo largo de −∇f.

Cuestionario de autoevaluación

1. El gradiente apunta…

Ver la respuesta

en la dirección de crecimiento más rápido. Su longitud es la tasa máxima.

2. D < 0 en un punto crítico significa…

Ver la respuesta

silla. Curvado hacia arriba en un sentido y hacia abajo en otro.

3. Los multiplicadores de Lagrange resuelven…

Ver la respuesta

∇f = λ∇g. Los gradientes son paralelos en un óptimo con restricción.

4. D_u f es máxima cuando u es…

Ver la respuesta

paralelo a ∇f. ∇f · u = |∇f| cos θ.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

El agua baja siguiendo el gradiente del terreno. Los mapas de inundación, los límites de cuencas y los modelos de erosión se construyen calculando −∇h a partir de datos de elevación, como los modelos de elevación lidar gratuitos del USGS 3D Elevation Program.

Los multiplicadores de Lagrange minimizan el material para un volumen o resistencia requeridos. Usar menos material para el mismo trabajo recorta directamente la minería, la energía y las emisiones.

En Saving Planets: Página de Ríos · Dibujo técnico / CAD: aligeramiento

Fuentes: USGS 3D Elevation Program (3DEP) · OpenStax Calculus 3, 4.8 Lagrange Multipliers

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Unidad 5 · Semanas 8–9

Integrales dobles

Integrar sobre regiones del plano: integrales iteradas, teorema de Fubini, regiones generales, coordenadas polares, área, masa y promedios.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Evaluar integrales dobles como integrales iteradas.
  • Plantear límites para regiones generales e invertir el orden.
  • Pasar a coordenadas polares con dA = r dr dθ.
  • Usar integrales dobles para áreas, masas, promedios y totales sobre un mapa.

Conceptos clave

  • ∬_R f dA suma f por áreas diminutas. Sobre un rectángulo, Fubini dice que se integra una variable y luego la otra, en cualquier orden.
  • Para una región general, los límites interiores son curvas; esboza la región para leerlos.
  • Las regiones redondas son más fáciles en coordenadas polares, donde el elemento de área es r dr dθ (no dr dθ).
  • El promedio de f sobre R es ∬f dA dividido entre el área de R.

Ecuaciones clave

∬Rf dA=∫ab ⁣∫cdf(x,y) dy dx\iint_Rf\,dA=\int_a^b\!\int_c^df(x,y)\,dy\,dx
Teorema de Fubini
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
Elemento de área en polares
fˉ=1Area(R)∬Rf dA\bar f=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_Rf\,dA
Valor promedio
∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi
Integral de Gauss (mediante coordenadas polares)

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 5.1 Evalúa ∬_R xy dA sobre R = [0, 2] × [0, 3].

Ver los pasos
  1. ∫₀² x dx = 2 y ∫₀³ y dy = 4.5.
  2. La integral se separa: 2 × 4.5.

Respuesta: 9.

Ejemplo 5.2 Llueve sobre una cuenca de 10 km × 5 km con una lámina d(x, y) = 20 + 2x mm (x en km, a lo largo del lado de 10 km). ¿Cuánta agua cayó?

Ver los pasos
  1. Total = ∫₀¹⁰∫₀⁵ (20 + 2x) dy dx = 5 ∫₀¹⁰ (20 + 2x) dx.
  2. = 5(200 + 100) = 1,500 mm·km².
  3. 1 mm sobre 1 km² son 1000 m³.

Respuesta: 1.5 × 10⁶ m³ (lámina media de 30 mm). Así es como los pluviómetros y el radar se convierten en pronósticos de caudal de los ríos.

Ejemplo 5.3 Evalúa ∬ e^(−(x² + y²)) dA sobre el disco unidad y luego sobre todo el plano.

Ver los pasos
  1. En polares: ∫₀^(2π)∫₀¹ e^(−r²) r dr dθ = 2π × ½(1 − e^(−1)).
  2. Sobre el plano, la integral en r llega hasta ∞ y da ½.

Respuesta: π(1 − 1/e) ≈ 1.986 en el disco; π sobre el plano, lo que demuestra ∫e^(−x²) dx = √π.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. ∫₀¹∫₀ˣ x dy dx

    Ver la respuesta

    ∫₀¹ x² dx = 1/3.

  2. Invierte el orden de ∫₀¹∫_y¹ f dx dy.

    Ver la respuesta

    ∫₀¹∫₀ˣ f dy dx.

  3. Halla el área de un círculo de radio a en coordenadas polares.

    Ver la respuesta

    ∫₀^(2π)∫₀ᵃ r dr dθ = πa².

  4. Halla el volumen bajo z = 4 − x² − y² sobre el disco x² + y² ≤ 4.

    Ver la respuesta

    ∫₀^(2π)∫₀² (4 − r²) r dr dθ = 2π(8 − 4) = 8π ≈ 25.1.

  5. Promedio de f = x + y sobre [0, 1] × [0, 1].

    Ver la respuesta

    ∬(x + y) dA = 1, área 1, promedio 1.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: En polares, dA = dr dθ.

    En realidad: dA = r dr dθ; olvidar la r es el error más común.

  • Mito: Los límites interiores deben ser números.

    En realidad: Para una región general, los límites interiores son funciones de la variable exterior.

  • Mito: El orden nunca importa.

    En realidad: El valor no cambia, pero los límites sí, y a menudo un orden es mucho más fácil.

Tarjetas de estudio

  • Integral doble

    ∬_R f dA.

  • Fubini

    Iterar en cualquier orden sobre un rectángulo.

  • Región de tipo I

    a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x).

  • dA en polares

    r dr dθ.

  • Valor promedio

    ∬f dA / área.

  • Integral de Gauss

    ∫e^(−x²) dx = √π.

Cuestionario de autoevaluación

1. Elemento de área en polares:

Ver la respuesta

r dr dθ. Un trozo polar mide r dθ por dr.

2. ∬_R 1 dA es igual a…

Ver la respuesta

el área de R. Suma el área.

3. ∫₀¹∫₀² 3 dy dx =

Ver la respuesta

6. 3 × área 2.

4. El teorema de Fubini permite…

Ver la respuesta

integrar una variable a la vez. Integrales iteradas.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los totales sobre un mapa son integrales dobles: la lluvia sobre una cuenca, el carbono almacenado en un bosque o la cosecha de un campo. Los hidrólogos convierten así los mapas de lluvia en volúmenes para predecir inundaciones y planificar el abastecimiento de agua.

En Saving Planets: Página de Ríos · Especial sobre deforestación

Fuentes: USGS Water Science School: Precipitation and the water cycle · OpenStax Calculus 3, 5.2 Double Integrals over General Regions

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Unidad 6 · Semanas 10–11

Integrales triples y cambio de variables

Integrar sobre sólidos en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas, y el jacobiano para cambios de variables generales.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Plantear y evaluar integrales triples.
  • Usar coordenadas cilíndricas (r dz dr dθ) y esféricas (ρ² sin φ dρ dφ dθ).
  • Calcular el jacobiano de un cambio de variables.
  • Hallar volúmenes, masas y centros de masa de sólidos.

Conceptos clave

  • ∭_E f dV suma f sobre cajas diminutas; con f = densidad da la masa.
  • Las coordenadas cilíndricas sirven para tuberías, tanques y conos: dV = r dz dr dθ.
  • Las coordenadas esféricas sirven para bolas y planetas: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  • Toda sustitución x = x(u, v) estira el área según el jacobiano |∂(x, y)/∂(u, v)|.

Ecuaciones clave

dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
Elemento de volumen en cilíndricas
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
Elemento de volumen en esféricas
J=∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣xuyv−xvyu∣J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=|x_uy_v-x_vy_u|
Jacobiano
∬Rf dx dy=∬Sf ∣J∣ du dv\iint_Rf\,dx\,dy=\iint_Sf\,|J|\,du\,dv
Cambio de variables

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 6.1 Usa coordenadas esféricas para hallar el volumen de una bola de radio R.

Ver los pasos
  1. V = ∫₀^(2π)∫₀^π∫₀ᴿ ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  2. = (R³/3)(2)(2π).

Respuesta: 4πR³/3.

Ejemplo 6.2 Estima la masa de la atmósfera terrestre: el peso del aire sobre cada metro cuadrado es la presión en superficie, así que M = ∬ p/g dA sobre la esfera.

Ver los pasos
  1. La integral de superficie de una constante es p/g por el área 4πR².
  2. 4π(6.371 × 10⁶)² = 5.10 × 10¹⁴ m².
  3. M = 101,400 × 5.10 × 10¹⁴ / 9.81.

Respuesta: Unos 5.3 × 10¹⁸ kg, cerca de los 5.1 × 10¹⁸ kg de la NASA (la tierra sobre el nivel del mar sostiene menos aire).

Ejemplo 6.3 Halla el área de la elipse x²/a² + y²/b² ≤ 1 con x = au, y = bv.

Ver los pasos
  1. La elipse se convierte en el disco unidad u² + v² ≤ 1.
  2. J = ab.
  3. Área = ab × π.

Respuesta: πab.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla el volumen del cono 0 ≤ z ≤ 1 − r (radio 1, altura 1) en coordenadas cilíndricas.

    Ver la respuesta

    ∫₀^(2π)∫₀¹ (1 − r) r dr dθ = 2π(1/2 − 1/3) = π/3.

  2. Evalúa ∭ 1 dV sobre la caja [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].

    Ver la respuesta

    6.

  3. Halla el jacobiano de las coordenadas polares.

    Ver la respuesta

    x_r y_θ − x_θ y_r = cos θ (r cos θ) + r sin θ (sin θ) = r.

  4. Un cilindro de radio 1 m y altura 2 m tiene densidad 1000(1 − z/4) kg/m³. Halla su masa.

    Ver la respuesta

    π ∫₀² 1,000(1 − z/4) dz = π × 1,000 × 1.5 = 1,500π ≈ 4,712 kg.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: En coordenadas esféricas dV = dρ dφ dθ.

    En realidad: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • Mito: φ va de 0 a 2π.

    En realidad: φ (desde el polo norte) va de 0 a π; θ va de 0 a 2π.

  • Mito: El jacobiano puede ser negativo dentro de la integral.

    En realidad: Usa su valor absoluto.

Tarjetas de estudio

  • Integral triple

    ∭_E f dV.

  • Cilíndricas

    x = r cos θ, y = r sin θ, z; dV = r dz dr dθ.

  • Esféricas

    dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • Jacobiano

    Factor de estiramiento de área o volumen de una sustitución.

  • Masa

    ∭ densidad dV.

  • Centro de masa

    ∭ x ρ dV / masa.

Cuestionario de autoevaluación

1. El elemento de volumen en esféricas es…

Ver la respuesta

ρ² sin φ dρ dφ dθ. Una caja esférica de lados dρ, ρ dφ, ρ sin φ dθ.

2. Las coordenadas cilíndricas son mejores para…

Ver la respuesta

tuberías y tanques. Secciones transversales circulares.

3. El jacobiano de x = 2u, y = 3v es…

Ver la respuesta

6. 2 × 3.

4. Volumen de una bola de radio 3:

Ver la respuesta

36π. 4π(27)/3.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los científicos del clima suman magnitudes a través del volumen del océano y la atmósfera exactamente con estas integrales. El contenido de calor del océano, el calor almacenado en los 2000 m superiores del mar, es una integral triple del cambio de temperatura por la densidad y la capacidad calorífica, y es uno de los registros más claros del calentamiento global.

En Saving Planets: Centro de Océanos

Fuentes: NOAA NCEI: Global ocean heat content · Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés)

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Unidad 7 · Semana 12

Campos vectoriales, integrales de línea y teorema de Green

Campos vectoriales como vientos y corrientes, trabajo y circulación a lo largo de curvas, campos conservativos y potenciales, y el teorema de Green en el plano.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Esbozar e interpretar campos vectoriales.
  • Evaluar integrales de línea de funciones escalares y de campos vectoriales (trabajo).
  • Comprobar si un campo es conservativo y hallar un potencial.
  • Aplicar el teorema de Green a la circulación y el flujo en el plano.

Conceptos clave

  • Un campo vectorial asigna un vector a cada punto, como un mapa de vientos o corrientes.
  • El trabajo a lo largo de un camino es ∫_C F · dr; para un lazo cerrado se llama circulación.
  • Un campo conservativo es un gradiente, F = ∇φ; su trabajo depende solo de los extremos y su circulación es cero.
  • Teorema de Green: la circulación alrededor de una curva cerrada es igual a la integral del rotacional (Q_x − P_y) sobre la región interior.

Ecuaciones clave

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt
Integral de línea (trabajo)
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
Teorema fundamental de las integrales de línea
∮CP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA
Teorema de Green
Area=12∮Cx dy−y dx\text{Area}=\tfrac12\oint_Cx\,dy-y\,dx
Área a partir de la frontera

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 7.1 F = ⟨y, x⟩. Halla el trabajo de (0, 0) a (2, 3) por cualquier camino.

Ver los pasos
  1. P_y = 1 = Q_x, así que F es conservativo.
  2. φ = xy cumple ∇φ = ⟨y, x⟩.
  3. Trabajo = φ(2, 3) − φ(0, 0).

Respuesta: 6, por cualquier camino.

Ejemplo 7.2 Una corriente tipo giro F = ⟨−y, x⟩ rodea el origen. Halla su circulación alrededor de la circunferencia unidad directamente y con el teorema de Green.

Ver los pasos
  1. r = ⟨cos t, sin t⟩, F · r′ = sin²t + cos²t = 1, así que ∮ = 2π.
  2. Green: Q_x − P_y = 1 − (−1) = 2; ∬2 dA = 2 × π.

Respuesta: 2π ≈ 6.28 de ambas formas.

Ejemplo 7.3 Usa ½∮(x dy − y dx) para hallar el área dentro de x = 3 cos t, y = 2 sin t.

Ver los pasos
  1. x dy − y dx = (3 cos t)(2 cos t) + (2 sin t)(3 sin t) = 6 dt.
  2. ½ ∫₀^(2π) 6 dt.

Respuesta: 6π ≈ 18.85 (πab con a = 3, b = 2).

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. ¿Es conservativo F = ⟨2xy, x² + 1⟩? Halla φ.

    Ver la respuesta

    P_y = 2x = Q_x; φ = x²y + y.

  2. Halla ∫_C F · dr para F = ⟨x, y⟩ a lo largo de y = x² de (0, 0) a (1, 1).

    Ver la respuesta

    Conservativo, φ = (x² + y²)/2: trabajo 1.

  3. Halla ∮(x² dx + xy dy) alrededor del cuadrado [0, 1] × [0, 1], en sentido antihorario.

    Ver la respuesta

    Green: ∬ y dA = 1/2.

  4. Halla la circulación de F = ⟨−y, x⟩ alrededor de una circunferencia de radio 3.

    Ver la respuesta

    2 × área = 18π ≈ 56.5.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Todo campo con rotacional cero es conservativo.

    En realidad: Solo es cierto en regiones simplemente conexas (sin agujeros).

  • Mito: El trabajo a lo largo de un camino cerrado siempre es cero.

    En realidad: Solo para campos conservativos; un giro circula.

  • Mito: El teorema de Green funciona con cualquier orientación.

    En realidad: Supone sentido antihorario; el horario cambia el signo.

Tarjetas de estudio

  • Campo vectorial

    Un vector en cada punto.

  • Integral de línea

    ∫F · dr, trabajo a lo largo de una curva.

  • Circulación

    Integral de línea alrededor de una curva cerrada.

  • Conservativo

    F = ∇φ; independiente del camino.

  • Potencial

    φ con ∇φ = F.

  • Teorema de Green

    ∮P dx + Q dy = ∬(Q_x − P_y) dA.

Cuestionario de autoevaluación

1. F = ∇φ significa que F es…

Ver la respuesta

conservativo. Un campo gradiente.

2. Trabajo de un campo conservativo alrededor de un lazo cerrado:

Ver la respuesta

0. φ(A) − φ(A).

3. El teorema de Green relaciona una integral de línea con…

Ver la respuesta

una integral doble. Frontera ↔ interior.

4. Q_x − P_y para F = ⟨−y, x⟩ es…

Ver la respuesta

2. 1 − (−1).

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Los giros oceánicos son enormes sistemas de corrientes que rotan: hay cinco principales, y cada uno acumula los desechos flotantes hacia su centro, formando las islas de basura. La circulación de un campo de corrientes es una integral de línea, y el teorema de Green la vincula con la rotación (rotacional) en su interior.

Los vientos y corrientes en mapas como earth.nullschool.net, que muestra datos públicos de pronóstico de la NOAA, son campos vectoriales que puedes leer con esta unidad.

En Saving Planets: Centro de Océanos

Fuentes: NOAA Marine Debris Program: Garbage patches · NOAA Ocean Service: Ocean currents tutorial (gyres) · earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data)

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Unidad 8 · Semanas 13–14

Integrales de superficie, teorema de Stokes y teorema de la divergencia

Divergencia y rotacional, superficies parametrizadas, flujo a través de una superficie, y los dos grandes teoremas que vinculan fronteras e interiores en 3D.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Calcular divergencia y rotacional e interpretarlos como intensidad de fuente y rotación.
  • Parametrizar superficies y calcular área de superficie y flujo.
  • Aplicar el teorema de Stokes.
  • Aplicar el teorema de la divergencia (Gauss) al flujo neto hacia afuera.

Conceptos clave

  • div F = ∇ · F mide la salida por unidad de volumen; rot F = ∇ × F mide la rotación.
  • El flujo ∬_S F · n dS es cuánto del campo atraviesa una superficie por unidad de tiempo.
  • Stokes: la circulación alrededor del borde de una superficie es igual al flujo de rot F a través de la superficie.
  • Teorema de la divergencia: el flujo neto hacia afuera a través de una superficie cerrada es igual a la divergencia total en su interior.

Ecuaciones clave

∇⋅F=Px+Qy+Rz\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z
Divergencia
∇×F=⟨Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py⟩\nabla\times\mathbf F=\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\rangle
Rotacional
∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
Teorema de Stokes
∯SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV\oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV
Teorema de la divergencia

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 8.1 Halla el flujo hacia afuera de F = ⟨x, y, z⟩ a través de la esfera de radio R.

Ver los pasos
  1. div F = 3.
  2. Teorema de la divergencia: 3 × (4πR³/3).
  3. Comprobación directa: sobre la esfera F · n = R, así que el flujo es R × 4πR².

Respuesta: 4πR³ de ambas formas.

Ejemplo 8.2 Llega a la Tierra (radio 6371 km) luz solar de 1361 W/m². ¿Qué potencia total intercepta la Tierra y cuál es el promedio por metro cuadrado de su superficie?

Ver los pasos
  1. El flujo a través del disco de sombra de la Tierra es 1361 × πR² = 1.735 × 10¹⁷ W.
  2. Repartido sobre toda la esfera (área 4πR²) es 1361/4.

Respuesta: 1.74 × 10¹⁷ W, o 340 W/m² en promedio, la cifra en la parte superior del diagrama del balance energético de la NASA.

Ejemplo 8.3 Verifica el teorema de Stokes para F = ⟨−y, x, 0⟩ sobre la mitad superior de la esfera unidad.

Ver los pasos
  1. rot F = ⟨0, 0, 2⟩.
  2. El flujo del rotacional a través del hemisferio es igual al del disco unidad plano (mismo borde): 2 × π.
  3. La circulación en el borde es 2π (unidad 7).

Respuesta: 2π de ambas formas.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla div y rot de F = ⟨x², yz, xy⟩.

    Ver la respuesta

    div = 2x + z; rot = ⟨x − y, −y, 0⟩.

  2. Flujo de F = ⟨0, 0, 5⟩ hacia arriba a través del cuadrado unidad en el plano z = 1.

    Ver la respuesta

    5 × 1 = 5.

  3. Usa el teorema de la divergencia: flujo de F = ⟨x, y, z⟩ hacia afuera del cubo unidad [0, 1]³.

    Ver la respuesta

    div = 3; flujo 3.

  4. Halla el área de una esfera de radio 2 integrando dS = 4 sin φ dφ dθ.

    Ver la respuesta

    4 × 2 × 2π = 16π ≈ 50.3.

  5. ¿Puede el rotacional de un campo gradiente ser distinto de cero?

    Ver la respuesta

    No: ∇ × ∇φ = 0 para φ suave.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: El flujo es lo mismo que la circulación.

    En realidad: El flujo atraviesa una superficie; la circulación recorre una curva.

  • Mito: Sin divergencia significa que nada se mueve.

    En realidad: Significa que no hay fuente neta: todo lo que entra, sale.

  • Mito: El teorema de la divergencia funciona en superficies abiertas.

    En realidad: Necesita una superficie cerrada; Stokes se ocupa de superficies con borde.

Tarjetas de estudio

  • Divergencia

    ∇ · F; intensidad de fuente.

  • Rotacional

    ∇ × F; rotación.

  • Flujo

    ∬F · n dS.

  • Teorema de Stokes

    Circulación en el borde = flujo del rotacional.

  • Teorema de la divergencia

    Flujo hacia afuera = ∭ div F dV.

  • Superficie cerrada

    Encierra un sólido; sin borde.

Cuestionario de autoevaluación

1. div ⟨x, y, z⟩ =

Ver la respuesta

3. 1 + 1 + 1.

2. El teorema de Stokes relaciona la circulación en el borde con…

Ver la respuesta

el flujo de rot F. ∬(∇ × F) · n dS.

3. El teorema de la divergencia necesita…

Ver la respuesta

una superficie cerrada. Encierra un sólido.

4. La luz solar media por metro cuadrado en el tope de la atmósfera terrestre es de aproximadamente…

Ver la respuesta

340 W/m². Área del disco πR² sobre área de la esfera 4πR²: un cuarto.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

El clima de la Tierra es un balance de flujos: la luz solar atraviesa el tope de la atmósfera a unos 340 W/m² en promedio, y la Tierra debe devolver la misma energía al espacio. Cuando los gases de efecto invernadero atrapan parte del calor saliente, el desequilibrio es un flujo neto hacia el planeta, almacenado sobre todo en el océano.

El transporte de contaminantes es la misma matemática: el teorema de la divergencia dice que el contaminante que sale de un lago o de una cuenca atmosférica por su frontera es igual a lo que liberan sus fuentes internas, menos lo que se elimina.

En Saving Planets: Centro de Observación de la Tierra

Fuentes: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés)

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Laboratorios de computadora

Cuatro prácticas de computadora aplican las unidades: divergencia y rotacional de un campo de viento a partir de datos de estaciones, pendiente y dirección del flujo de agua a partir de una malla de elevación, el volumen de un lago mediante una integral doble en polares, y la órbita de un satélite avanzada paso a paso en el tiempo.

Los datos de ejemplo están marcados como tales; cada práctica enlaza a la fuente de datos pública para probar después.

Referencia de seguridad: OpenStax Calculus Volume 3 (libro de texto gratuito)

Práctica A: divergencia y rotacional de un campo de viento

Semana 14

Objetivo: Estima la divergencia y el rotacional del viento en un punto a partir de cuatro estaciones cercanas, e interprétalos como aire ascendente y rotación de tormentas.

∇⋅v≈uE−uW2Δ+vN−vS2Δ,(∇×v)z≈vE−vW2Δ−uN−uS2Δ\nabla\cdot\mathbf v\approx\frac{u_E-u_W}{2\Delta}+\frac{v_N-v_S}{2\Delta},\quad(\nabla\times\mathbf v)_z\approx\frac{v_E-v_W}{2\Delta}-\frac{u_N-u_S}{2\Delta}
Diferencias centradas

Procedimiento

  1. Introduce el viento hacia el este (u) y hacia el norte (v) en estaciones situadas 100 km al este, oeste, norte y sur de un centro (Δ = 100 km = 10⁵ m).
  2. Calcula la divergencia y el rotacional vertical (vorticidad).
  3. Interpreta los signos y repite con vientos reales leídos en earth.nullschool.net o en datos de pronóstico de la NOAA.

Tabla de datos

Estaciónu (m/s, este)v (m/s, norte)
Este48
Oeste6−6
Norte−5−3
Sur7−1

Valores de ejemplo para practicar, no un mapa del tiempo real.

Cálculo de ejemplo

  1. Divergencia = (4 − 6)/(2 × 10⁵) + (−3 − (−1))/(2 × 10⁵) = −2 × 10⁻⁵ s⁻¹: el aire converge, así que debe ascender, lo que favorece nubes y lluvia.
  2. Vorticidad = (8 − (−6))/(2 × 10⁵) − (−5 − 7)/(2 × 10⁵) = 1.3 × 10⁻⁴ s⁻¹: positiva, antihoraria, como una baja del hemisferio norte.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta con una hoja de cálculo.

earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data) · NOAA NCEI: Global Forecast System (GFS)

Vínculo con el planeta: La convergencia y la vorticidad son lo que siguen los meteorólogos para avisar de lluvias intensas y tormentas. NOAA/NWS JetStream: Wind

Práctica B: pendiente y flujo de agua a partir de una malla de elevación

Semana 7

Objetivo: Estima el gradiente del terreno a partir de una malla de elevaciones y halla hacia dónde corre el agua de lluvia.

∇h≈⟨hE−hW2Δ,hN−hS2Δ⟩\nabla h\approx\left\langle\frac{h_E-h_W}{2\Delta},\frac{h_N-h_S}{2\Delta}\right\rangle
Gradiente por diferencias centradas

Procedimiento

  1. Usa elevaciones 100 m al este, oeste, norte y sur de un punto (Δ = 100 m).
  2. Calcula ∇h, su tamaño (pendiente) y el ángulo de pendiente arctan|∇h|.
  3. La dirección del flujo es −∇h. Después descarga un mosaico de elevación USGS 3DEP gratuito y repite para una ladera cercana.

Tabla de datos

VecinoElevación (m)
Centro250
Este262
Oeste240
Norte256
Sur246

Valores de ejemplo para practicar.

Cálculo de ejemplo

  1. ∇h ≈ ⟨(262 − 240)/200, (256 − 246)/200⟩ = ⟨0.11, 0.05⟩.
  2. |∇h| = 0.121, un ángulo de pendiente de unos 6.9°.
  3. El agua corre a lo largo de −∇h, hacia el oeste-suroeste; trazar estas direcciones sobre una malla delimita una cuenca.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Basta una hoja de cálculo; el software SIG es opcional.

USGS 3D Elevation Program (3DEP)

Vínculo con el planeta: Las direcciones de flujo a partir de mallas de elevación son la base de los mapas de inundación y erosión. USGS 3D Elevation Program (3DEP)

Práctica C: el volumen de un lago mediante una integral doble en polares

Semana 9

Objetivo: Calcula el volumen de un lago en forma de cuenco de forma exacta y con una suma numérica, y observa cómo se reduce el error.

V=∫02π ⁣ ⁣∫0RD(1−r2R2)r dr dθ=πR2D2V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^RD\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr\,d\theta=\frac{\pi R^2D}{2}
Lago con cuenca paraboloide

Procedimiento

  1. Toma R = 1000 m y profundidad máxima D = 20 m.
  2. Calcula el volumen exacto.
  3. Divide el lago en n anillos, evalúa la profundidad en el radio medio de cada anillo y suma profundidad × área del anillo. Prueba n = 5 y n = 10.

Tabla de datos

MétodoVolumen (m³)
Exacta3.14 × 10⁷
Punto medio, 5 anillos3.20 × 10⁷
Punto medio, 10 anillos3.16 × 10⁷

Valores calculados para un lago modelo.

Cálculo de ejemplo

  1. Exacto: π(1000)²(20)/2 = 3.14 × 10⁷ m³ (31.4 millones de metros cúbicos).
  2. La suma de 5 anillos queda un 2.0 % alta y la de 10 anillos un 0.5 % alta: duplicar n reduce el error unas cuatro veces.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Una hoja de cálculo o Python.

OpenStax Calculus 3, 5.3 Double Integrals in Polar Coordinates

Vínculo con el planeta: Los volúmenes de lagos y embalses obtenidos de levantamientos de profundidad indican a los gestores del agua cuánto pueden almacenar y liberar. NASA: misión SWOT

Práctica D: avanzar paso a paso la órbita de un satélite

Semana 3

Objetivo: Integra numéricamente r′′ = −GM r/|r|³ para una órbita tipo Landsat y compara dos métodos de paso.

vn+1=vn−GM rn∣rn∣3Δt,rn+1=rn+vn+1Δt\mathbf v_{n+1}=\mathbf v_n-\frac{GM\,\mathbf r_n}{|\mathbf r_n|^3}\Delta t,\quad\mathbf r_{n+1}=\mathbf r_n+\mathbf v_{n+1}\Delta t
Euler semiimplícito (simpléctico)

Procedimiento

  1. Empieza en r = ⟨7076 km, 0⟩ con v = ⟨0, 7505 m/s⟩ (unidad 2).
  2. Da 592 pasos con Δt = 10 s (un periodo), primero con Euler simple (actualiza r con la v antigua) y luego con la versión semiimplícita de arriba.
  3. Compara el radio final con el inicial.

Tabla de datos

Método (Δt = 10 s)Cambio de radio tras una órbita
Euler simple+908 km
Euler semiimplícito+0.16 km

Valores calculados; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².

Cálculo de ejemplo

  1. Euler simple se abre en espiral unos 908 km por órbita, un pronóstico inútil; incluso Δt = 1 s sigue derivando unos 94 km.
  2. La actualización semiimplícita cambia una línea de código y mantiene la órbita dentro de unos 0.16 km.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal de una computadora.

Alternativa en casa o virtual

  • Sirve una hoja de cálculo; Python en Colab es más fácil.

Google Colab (notebooks gratuitos) · NASA: Landsat 9 quick facts

Vínculo con el planeta: Una propagación orbital precisa mantiene a los satélites de observación de la Tierra en sus trazas repetidas. NASA: Landsat 9 quick facts

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Series de práctica para exámenes

Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.

Ejercicios de práctica para el parcial (unidades 1–4)

  1. Halla el ángulo entre ⟨1, 1, 0⟩ y ⟨0, 1, 1⟩.

    Ver la solución completa
    1. Producto escalar 1; ambas longitudes √2.
    2. cos θ = 1/2.

    Respuesta: 60°.

  2. Halla el plano que pasa por (1, 1, 1) con normal ⟨2, −1, 3⟩.

    Ver la solución completa
    1. 2(x − 1) − (y − 1) + 3(z − 1) = 0.

    Respuesta: 2x − y + 3z = 4.

  3. Un satélite orbita a un radio de 6771 km (400 km de altitud). Halla su periodo.

    Ver la solución completa
    1. T = 2π√(r³/GM).

    Respuesta: ≈ 5544 s ≈ 92.4 min.

  4. Maximiza f = xy sujeta a x + y = 10.

    Ver la solución completa
    1. ⟨y, x⟩ = λ⟨1, 1⟩ da x = y = 5.

    Respuesta: 25 en (5, 5).

Serie de práctica final (todas las unidades)

  1. Evalúa ∫₀^(2π)∫₀³ r dr dθ.

    Ver la solución completa
    1. 4.5 × 2π.

    Respuesta: 9π ≈ 28.3 (área de un disco de radio 3).

  2. Halla el volumen de una semiesfera de radio 2 con coordenadas esféricas.

    Ver la solución completa
    1. ∫₀^(2π)∫₀^(π/2)∫₀² ρ² sin φ dρ dφ dθ = (8/3)(1)(2π).

    Respuesta: 16π/3 ≈ 16.76.

  3. Halla ∮ F · dr para F = ⟨−y, x⟩ alrededor del cuadrado [0, 2] × [0, 2], en sentido antihorario.

    Ver la solución completa
    1. Green: ∬2 dA = 2 × 4.

    Respuesta: 8.

  4. Halla el flujo hacia afuera de F = ⟨2x, 0, 0⟩ a través de la esfera de radio 1.

    Ver la solución completa
    1. div F = 2; flujo = 2 × 4π/3.

    Respuesta: 8π/3 ≈ 8.38.

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Hoja de fórmulas

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
n⋅(r−r0)=0n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0
L=∫∣r′(t)∣ dtL=\int|\mathbf r'(t)|\,dt
κ=∣r′×r′′∣/∣r′∣3\kappa=|\mathbf r'\times\mathbf r''|/|\mathbf r'|^3
v=GM/rv=\sqrt{GM/r}
Δf≈fxΔx+fyΔy\Delta f\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
∇f=λ∇g\nabla f=\lambda\nabla g
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
∮P dx+Q dy=∬(Qx−Py) dA\oint P\,dx+Q\,dy=\iint(Q_x-P_y)\,dA
∮F⋅dr=∬(∇×F)⋅n dS\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
∯F⋅n dS=∭∇⋅F dV\oiint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV

Constantes

ConstanteValor
GM de la Tierra3.986 × 10¹⁴ m³/s²
Radio medio de la Tierra6,371 km
Irradiancia solar en la Tierra1,361 W/m²
Presión media en superficie1,014 mb = 101,400 Pa
Altura de escala atmosférica8.5 km
Gravedad estándar9.81 m/s²

Fuente: Ficha de la NASA sobre la Tierra (en inglés)

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Herramientas de gráficas y datos

Usa estas herramientas y datos gratuitos junto con el curso.

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Glosario

Circulación
Integral de línea de un campo alrededor de una curva cerrada.
Campo conservativo
Un campo gradiente; el trabajo no depende del camino.
Producto vectorial
Vector perpendicular a dos vectores.
Rotacional
∇ × F; rotación local de un campo.
Curvatura
Cuánto se dobla una curva; 1/R para una circunferencia.
Derivada direccional
Tasa de cambio en una dirección dada, ∇f · u.
Divergencia
∇ · F; salida neta por unidad de volumen.
Teorema de la divergencia
El flujo hacia afuera a través de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia en su interior.
Producto escalar
a · b = |a||b| cos θ.
Flujo
Cantidad de un campo que atraviesa una superficie.
Gradiente
Vector de derivadas parciales; apunta cuesta arriba.
Teorema de Green
La circulación alrededor de una curva plana es igual a la integral de Q_x − P_y en su interior.
Jacobiano
Factor de estiramiento de un cambio de variables.
Multiplicador de Lagrange
λ en ∇f = λ∇g para la optimización con restricciones.
Curva de nivel
Curva donde f(x, y) es constante.
Integral de línea
Integral a lo largo de una curva.
Derivada parcial
Derivada en una variable con las demás fijas.
Punto de silla
Punto crítico que no es ni máximo ni mínimo.
Teorema de Stokes
La circulación en el borde es igual al flujo del rotacional.
Campo vectorial
Asignación de un vector a cada punto.

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Rúbrica de autoevaluación

No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.

NivelCómo se ve
4 · DominioPlantea integrales y campos a partir de un dibujo sin ayuda, elige buenas coordenadas y comprueba las respuestas con un segundo método o un teorema.
3 · CompetenteResuelve los problemas de práctica con algún error ocasional.
2 · En desarrolloSigue los ejemplos resueltos, pero le cuesta plantear límites o elegir coordenadas.
1 · InicialAplica fórmulas sin dibujar ni comprobar; necesita repasar la unidad.

Ponderación sugerida si quieres una nota

PartePeso
Problemas de práctica30%
Laboratorios de computadora15%
Serie de práctica de mitad de curso25%
Serie de práctica final30%

Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.

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