Analisi III

Analisi in più variabili e campi vettoriali: vettori, moto nello spazio, derivate parziali, gradienti e moltiplicatori di Lagrange, integrali multipli e i teoremi di Green, Stokes e Gauss, con quattro laboratori al computer su venti, terreno, laghi e orbite.

NASA Blue MarbleCNES (PIA25623)NASA/JPL-CaltechNASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

Corsi › MATH 210

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Informazioni sul corso

Questo è lo schema di un corso gratuito di autoapprendimento scritto da Saving Planets. Non è un corso universitario, non dà crediti accademici e nessuna scuola è coinvolta.

Il programma segue il terzo semestre di analisi universitaria, sul modello degli argomenti e della profondità di materiali aperti come OpenStax Calculus Volume 3 e MIT OpenCourseWare 18.02 Multivariable Calculus, e dei programmi di corsi come Stanford Math 51/52 e Georgia Tech MATH 2551. Rimandiamo ai materiali gratuiti in tutto il corso. Nessuna di queste organizzazioni approva questa pagina.

Cosa aggiungiamo: ogni unità si collega a problemi reali di vento, oceano, terreno, clima e satelliti con una fonte pubblica citata, ogni numero della pagina viene ricalcolato da uno script di verifica prima della pubblicazione, e quattro laboratori al computer applicano le idee a campi di vento, griglie di quota, volumi di laghi e orbite.

Seguilo in ordine. Ogni unità ha obiettivi, idee chiave, equazioni, esempi passo per passo, esercizi con soluzioni complete, errori comuni, flashcard e un quiz. I tuoi progressi sono salvati solo in questo browser.

Come questo corso aiuta a salvare il pianeta

Il pianeta è tridimensionale e sempre in movimento. Venti e correnti oceaniche sono campi vettoriali, terreno e temperatura sono funzioni di due o tre variabili, calore e inquinanti attraversano le superfici come flusso, e i satelliti che misurano tutto questo seguono traiettorie vettoriali nello spazio.

Ogni unità si chiude con una breve sezione con fonti che mostra come le sue idee aiutano persone e natura.

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Prima di iniziare

Prerequisiti

  • Analisi I e II: derivate, integrali, sostituzione e integrazione per parti, curve parametriche e polari.
  • Trigonometria di base ed equazioni della circonferenza e della sfera.
  • Fisica I aiuta per gli esempi su lavoro, flusso e orbite, ma non è obbligatoria.

Come studiare

  • Fai un disegno in 3D per ogni problema: gli assi, la regione, i vettori.
  • Svolgi ogni esercizio su carta prima di aprire la risposta.
  • Controlla unità e segni: un flusso, un lavoro o una circolazione devono avere senso fisico.
  • Per gli integrali multipli, disegna la regione e scrivi gli estremi prima di integrare qualsiasi cosa.
  • Usa un grafico 3D (Desmos 3D o GeoGebra 3D) per vedere superfici e campi.
  • Rifai i quiz qualche giorno dopo. La pratica distribuita batte una lunga sessione unica.

Attrezzatura di laboratorio (per i laboratori reali)

  • Un computer o un tablet con un foglio di calcolo.
  • Un programma di grafici 3D gratuito come Desmos 3D o GeoGebra 3D.
  • Facoltativo: Python con NumPy (gratis in Google Colab).

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Programma suggerito di 15 settimane

Circa 6-9 ore a settimana: lettura, esercizi e, nelle settimane di laboratorio, il laboratorio.

SettimanaUnitàArgomentiLettura
1Vettori e geometria dello spazioCoordinate 3D, vettori, prodotto scalareOpenStax 2.1–2.3
2Vettori e geometria dello spazioProdotto vettoriale, rette e pianiOpenStax 2.4–2.5
3Funzioni vettoriali e moto nello spazioFunzioni vettoriali, moto nello spazio, curvatura; laboratorio DOpenStax 3.1–3.4
4Derivate parzialiFunzioni di più variabili, limiti, derivate parzialiOpenStax 4.1–4.3
5Derivate parzialiPiani tangenti, approssimazione lineare, regola della catenaOpenStax 4.4–4.5
6Gradienti e ottimizzazioneGradiente, derivate direzionali, estremiOpenStax 4.6–4.7
7Gradienti e ottimizzazioneMoltiplicatori di Lagrange; laboratorio B; esercitazione per il compito intermedioOpenStax 4.8
8Integrali doppiIntegrali doppi su rettangoli e regioni generaliOpenStax 5.1–5.2
9Integrali doppiIntegrali doppi in coordinate polari; laboratorio COpenStax 5.3
10Integrali tripli e cambio di variabiliIntegrali tripli; coordinate cilindriche e sfericheOpenStax 5.4–5.5
11Integrali tripli e cambio di variabiliMassa e centro di massa; cambio di variabiliOpenStax 5.6–5.7
12Campi vettoriali, integrali di linea e teorema di GreenCampi vettoriali, integrali di linea, campi conservativi, teorema di GreenOpenStax 6.1–6.4
13Integrali di superficie, teorema di Stokes e teorema della divergenzaDivergenza e rotore; integrali di superficie e flussoOpenStax 6.5–6.6
14Integrali di superficie, teorema di Stokes e teorema della divergenzaTeoremi di Stokes e della divergenza; laboratorio AOpenStax 6.7–6.8
15RipassoRipasso ed esercitazione finaleTutte le unità

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I tuoi progressi

Spunta unità e laboratori man mano che li finisci, e fai i quiz. Progressi e punteggi sono salvati solo in questo browser e non ci vengono mai inviati.

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Unità 1 · Settimane 1–2

Vettori e geometria dello spazio

Coordinate 3D, vettori, prodotti scalare e vettoriale, ed equazioni di rette e piani.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Sommare vettori in 3D, moltiplicarli per uno scalare e trovarne la lunghezza.
  • Usare il prodotto scalare per angoli e proiezioni.
  • Usare il prodotto vettoriale per normali, aree e volumi.
  • Scrivere equazioni di rette e piani e trovare distanze.

Concetti chiave

  • Un vettore ha modulo e direzione; in componenti, v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ e |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²).
  • Il prodotto scalare a · b = |a||b| cos θ misura quanto due vettori puntano nello stesso verso. È zero esattamente quando sono perpendicolari.
  • Il prodotto vettoriale a × b è perpendicolare a entrambi, con lunghezza pari all’area del parallelogramma che generano.
  • Un piano è fissato da un punto e da un vettore normale n: n · (r − r₀) = 0. Una retta è un punto più i multipli di una direzione: r = r₀ + t v.

Equazioni chiave

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
Prodotto scalare e angolo
proj⁡ba=a⋅b∣b∣2b\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b
Proiezione
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
Lunghezza del prodotto vettoriale = area del parallelogramma
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
Piano con normale ⟨a, b, c⟩
D=∣ax1+by1+cz1−d∣a2+b2+c2D=\frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
Distanza di un punto dal piano ax + by + cz = d

Esempi svolti passo passo

Esempio 1.1 Per a = ⟨1, 2, 2⟩ e b = ⟨2, −1, 2⟩, trova |a|, a · b e l’angolo tra loro.

Mostra i passaggi
  1. |a| = √(1 + 4 + 4) = 3, e anche |b| = 3.
  2. a · b = 2 − 2 + 4 = 4.
  3. cos θ = 4/9, quindi θ = arccos(0.444).

Risposta: |a| = 3, a · b = 4, θ ≈ 63.6°.

Esempio 1.2 Trova a × b per gli stessi vettori e l’area del parallelogramma che generano.

Mostra i passaggi
  1. a × b = ⟨2·2 − 2·(−1), 2·2 − 1·2, 1·(−1) − 2·2⟩.
  2. = ⟨6, 2, −5⟩. Verifica: il prodotto scalare con a e con b è 0.
  3. Area = |⟨6, 2, −5⟩| = √65.

Risposta: ⟨6, 2, −5⟩; area √65 ≈ 8.06.

Esempio 1.3 Un vento di 10 m/s soffia a 30° rispetto all’asse del rotore di una turbina eolica. Quale frazione della potenza frontale riceve la turbina, se la potenza cresce con il cubo della velocità del vento lungo il suo asse?

Mostra i passaggi
  1. Componente lungo l’asse: 10 cos 30° = 8.66 m/s (un prodotto scalare con il versore dell’asse).
  2. Rapporto di potenza = (cos 30°)³.

Risposta: Circa 0.65: un disallineamento di 30° perde circa un terzo della potenza, ed è per questo che le turbine ruotano per affrontare il vento.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Trova il piano passante per (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).

    Mostra la risposta

    Forma segmentaria x/1 + y/2 + z/3 = 1, cioè 6x + 3y + 2z = 6.

  2. Trova la distanza dell’origine da quel piano.

    Mostra la risposta

    |−6|/√(36 + 9 + 4) = 6/7 ≈ 0.857.

  3. Trova la proiezione di ⟨3, 4, 0⟩ su ⟨1, 0, 0⟩.

    Mostra la risposta

    ⟨3, 0, 0⟩.

  4. Trova il volume del parallelepipedo generato da ⟨1, 0, 0⟩, ⟨0, 2, 0⟩ e ⟨1, 1, 3⟩.

    Mostra la risposta

    |a · (b × c)| = det = 1·(2·3 − 0·1) = 6.

  5. ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨3, 0, −1⟩ sono perpendicolari?

    Mostra la risposta

    Prodotto scalare 3 + 0 − 3 = 0, quindi sì.

Errori concettuali comuni

  • Mito: a × b = b × a.

    In realtà: Il prodotto vettoriale è anticommutativo: b × a = −(a × b).

  • Mito: Il prodotto scalare di due vettori è un vettore.

    In realtà: È uno scalare (un numero).

  • Mito: L’equazione di un piano ne indica la direzione.

    In realtà: I suoi coefficienti danno la normale, che è perpendicolare al piano.

Flashcard

  • Prodotto scalare

    a · b = |a||b| cos θ; zero quando sono perpendicolari.

  • Prodotto vettoriale

    Perpendicolare a entrambi; lunghezza = area del parallelogramma.

  • Proiezione

    (a · b/|b|²) b.

  • Prodotto misto

    |a · (b × c)| = volume del parallelepipedo.

  • Piano

    n · (r − r₀) = 0.

  • Retta

    r = r₀ + t v.

Quiz di autoverifica

1. Se a · b = 0 (entrambi non nulli), i vettori sono…

Mostra la risposta

perpendicolari. cos θ = 0, quindi θ = 90°.

2. La lunghezza di a × b è uguale a…

Mostra la risposta

l’area del parallelogramma. |a||b| sin θ.

3. La normale a 2x − y + 5z = 7 è…

Mostra la risposta

⟨2, −1, 5⟩. Leggi i coefficienti.

4. |⟨2, 3, 6⟩| =

Mostra la risposta

7. √(4 + 9 + 36) = √49.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Il vento è un vettore, e le turbine orientano il rotore verso di esso perché la potenza dipende dal cubo della componente lungo l’asse del rotore, un prodotto scalare sotto mentite spoglie.

Lo stesso calcolo dice a un pannello solare quanta luce raccoglie: la parte utile è il prodotto scalare della direzione della luce solare con il vettore normale del pannello.

Su Saving Planets: Fisica I, unità 3: energia eolica

Fonti: DOE degli Stati Uniti: come funzionano le turbine eoliche? (in inglese) · OpenStax Calculus 3, 2.3 The Dot Product

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 2 · Settimana 3

Funzioni vettoriali e moto nello spazio

Curve nello spazio come funzioni vettoriali: velocità, accelerazione, lunghezza d’arco, curvatura e moto dei satelliti.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Derivare e integrare funzioni vettoriali.
  • Trovare velocità, modulo della velocità e accelerazione lungo una traiettoria.
  • Calcolare lunghezza d’arco e curvatura.
  • Analizzare orbite circolari con il calcolo vettoriale.

Concetti chiave

  • Una curva nello spazio è r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩; si deriva componente per componente.
  • La velocità v = r′(t) è tangente alla traiettoria; il suo modulo è |v|; l’accelerazione è a = v′.
  • La lunghezza d’arco è l’integrale del modulo della velocità: L = ∫|r′(t)| dt.
  • Nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante, ma l’accelerazione punta verso il centro con modulo v²/r.

Equazioni chiave

v=r′(t), a=r′′(t)\mathbf v=\mathbf r'(t),\ \mathbf a=\mathbf r''(t)
Velocità e accelerazione
L=∫ab∣r′(t)∣ dtL=\int_a^b|\mathbf r'(t)|\,dt
Lunghezza d’arco
κ=∣r′×r′′∣∣r′∣3\kappa=\frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}
Curvatura
v=GM/r, T=2πr/vv=\sqrt{GM/r},\ T=2\pi r/v
Velocità e periodo di un’orbita circolare

Esempi svolti passo passo

Esempio 2.1 Trova la lunghezza di un giro dell’elica r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π.

Mostra i passaggi
  1. r′ = ⟨−sin t, cos t, 1⟩, modulo della velocità √(sin²t + cos²t + 1) = √2.
  2. L = ∫₀^(2π) √2 dt = 2π√2.

Risposta: 2π√2 ≈ 8.89.

Esempio 2.2 Landsat 9 orbita a 705 km sopra la Terra (raggio medio 6371 km). Trattando l’orbita come un cerchio, trova velocità, accelerazione e periodo.

Mostra i passaggi
  1. r = 7,076 km = 7.076 × 10⁶ m; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².
  2. v = √(GM/r) = 7,505 m/s.
  3. a = v²/r = 7.96 m/s², diretta verso il centro della Terra.
  4. T = 2πr/v = 5,924 s.

Risposta: Circa 7.5 km/s e 98.7 minuti per orbita, in accordo con il periodo di 99 minuti indicato dalla NASA.

Esempio 2.3 Trova la curvatura di una circonferenza di raggio 2, r(t) = ⟨2 cos t, 2 sin t, 0⟩.

Mostra i passaggi
  1. r′ = ⟨−2 sin t, 2 cos t, 0⟩, |r′| = 2.
  2. r′′ = ⟨−2 cos t, −2 sin t, 0⟩; r′ × r′′ = ⟨0, 0, 4⟩.
  3. κ = 4/2³.

Risposta: κ = 1/2: la curvatura di una circonferenza è 1/raggio.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Un proiettile ha r(t) = ⟨20t, 20t − 4.9t²⟩ m. Trova velocità e modulo della velocità a t = 1 s.

    Mostra la risposta

    v = ⟨20, 20 − 9.8t⟩ = ⟨20, 10.2⟩; modulo √(400 + 104.04) ≈ 22.45 m/s.

  2. Trova l’accelerazione di r(t) = ⟨t², 3t, eᵗ⟩.

    Mostra la risposta

    ⟨2, 0, eᵗ⟩.

  3. Trova la lunghezza di r(t) = ⟨3t, 4t, 0⟩ per 0 ≤ t ≤ 2.

    Mostra la risposta

    Modulo della velocità 5, quindi L = 10.

  4. Un satellite orbita a 35786 km di quota. Trova il suo periodo.

    Mostra la risposta

    r = 42157 km; T = 2π√(r³/GM) ≈ 86160 s ≈ 23.93 h: un giorno siderale, quindi è geostazionario.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Modulo della velocità costante significa accelerazione nulla.

    In realtà: Curvare è accelerare: un satellite in orbita circolare accelera verso la Terra in ogni istante.

  • Mito: La lunghezza d’arco è |r(b) − r(a)|.

    In realtà: Quella è la distanza in linea retta; la lunghezza d’arco integra il modulo della velocità lungo il percorso.

  • Mito: I satelliti più alti si muovono più velocemente.

    In realtà: v = √(GM/r) diminuisce con la distanza; le orbite più alte sono più lente e più lunghe.

Flashcard

  • Funzione vettoriale

    r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩.

  • Velocità

    r′(t), tangente alla traiettoria.

  • La velocità

    |r′(t)|.

  • Lunghezza d’arco

    ∫|r′| dt.

  • Curvatura

    |r′ × r′′|/|r′|³.

  • Orbita circolare

    v = √(GM/r).

Quiz di autoverifica

1. La velocità è…

Mostra la risposta

r′(t). La derivata della posizione.

2. La lunghezza d’arco integra…

Mostra la risposta

il modulo della velocità. L = ∫|r′| dt.

3. La curvatura di una circonferenza di raggio 5 è…

Mostra la risposta

1/5. κ = 1/R.

4. Raddoppiare il raggio di un’orbita circolare cambia la velocità di un fattore…

Mostra la risposta

1/√2. v ∝ 1/√r.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

I satelliti di osservazione della Terra come Landsat 9 seguono traiettorie vettoriali scelte proprio con queste formule. La sua orbita quasi polare ed eliosincrona a 705 km gli permette di riprendere lo stesso luogo ogni 16 giorni più o meno alla stessa ora locale, così i cambiamenti di foreste, ghiacciai e città risaltano.

Su Saving Planets: Landsat 9 · Analisi II, unità 7: orbite polari

Fonti: NASA: Landsat 9 quick facts · Scheda NASA sulla Terra (in inglese)

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Unità 3 · Settimane 4–5

Derivate parziali

Funzioni di più variabili: curve di livello, derivate parziali, piani tangenti, approssimazione lineare e regola della catena in più variabili.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Leggere curve di livello e mappe isoipse.
  • Calcolare derivate parziali e interpretarle come tassi.
  • Trovare piani tangenti e usare l’approssimazione lineare.
  • Applicare la regola della catena in più variabili.

Concetti chiave

  • Una funzione z = f(x, y) è una superficie; le sue curve di livello f = c formano una mappa a curve di livello.
  • ∂f/∂x è il tasso di variazione in x con y fissato.
  • Vicino a un punto, una superficie regolare somiglia al suo piano tangente: Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.
  • Regola della catena: se x e y dipendono da t, df/dt = fₓ dx/dt + f_y dy/dt.

Equazioni chiave

fx=∂f∂xf_x=\frac{\partial f}{\partial x}
Derivata parziale
z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
Piano tangente
dfdt=fxdxdt+fydydt\frac{df}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}
Regola della catena
fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}
Teorema di Schwarz (Clairaut) (f regolare)

Esempi svolti passo passo

Esempio 3.1 Per f(x, y) = x²y + y³, trova fₓ e f_y in (1, 2), e usa il piano tangente per stimare f(1.1, 1.9).

Mostra i passaggi
  1. fₓ = 2xy = 4; f_y = x² + 3y² = 13; f(1, 2) = 10.
  2. f ≈ 10 + 4(0.1) + 13(−0.1) = 9.1.
  3. Valore vero: 1.21 × 1.9 + 6.859 = 9.158.

Risposta: Stima 9.1 contro il valore vero 9.158.

Esempio 3.2 Per un gas ideale, P = nRT/V. Con n = 1 mol, T = 300 K e V = 0.025 m³, trova P, ∂P/∂T e ∂P/∂V.

Mostra i passaggi
  1. P = 8.314 × 300/0.025 = 99,768 Pa.
  2. ∂P/∂T = nR/V = 332.6 Pa/K.
  3. ∂P/∂V = −nRT/V² = −P/V = −3.99 × 10⁶ Pa/m³.

Risposta: P ≈ 99.8 kPa; scaldare di 1 K la aumenta di circa 333 Pa; espandere la riduce.

Esempio 3.3 Un drone vola con x = 2t, y = t². La temperatura che misura è T = 20 + 0.1x − 0.05y (°C, km). Trova dT/dt a t = 1.

Mostra i passaggi
  1. Tₓ = 0.1, T_y = −0.05; dx/dt = 2, dy/dt = 2t = 2.
  2. dT/dt = 0.1(2) − 0.05(2).

Risposta: 0.1 °C per unità di tempo.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Trova fₓ e f_y per f = e^(xy).

    Mostra la risposta

    fₓ = y e^(xy), f_y = x e^(xy).

  2. Trova f_xy per f = x³y².

    Mostra la risposta

    fₓ = 3x²y², f_xy = 6x²y (uguale a f_yx).

  3. Trova il piano tangente a z = x² + y² in (1, 1, 2).

    Mostra la risposta

    z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1), i.e. z = 2x + 2y − 2.

  4. Stima √(3.02² + 3.97²) con l’approssimazione lineare in (3, 4).

    Mostra la risposta

    f = 5, fₓ = 3/5, f_y = 4/5: 5 + 0.6(0.02) + 0.8(−0.03) = 4.988 (valore vero 4.9880).

Errori concettuali comuni

  • Mito: ∂f/∂x ignora y.

    In realtà: Tiene y fissato; y può comunque comparire nella risposta.

  • Mito: Se esistono entrambe le derivate parziali, f è regolare.

    In realtà: Le derivate parziali possono esistere dove f non è nemmeno continua; la differenziabilità richiede di più.

  • Mito: L’approssimazione lineare va bene ovunque.

    In realtà: Solo vicino al punto base.

Flashcard

  • Derivata parziale

    Tasso di variazione in una variabile con le altre fissate.

  • Curva di livello

    f(x, y) = c; una linea di livello.

  • Piano tangente

    z = z₀ + fₓΔx + f_yΔy.

  • Approssimazione lineare

    Δf ≈ fₓΔx + f_yΔy.

  • Regola della catena

    df/dt = fₓx′ + f_yy′.

  • Clairaut

    f_xy = f_yx per f regolare.

Quiz di autoverifica

1. For f = x²y, fₓ =

Mostra la risposta

2xy. Tratta y come una costante.

2. Le curve di livello di f(x, y) = x² + y² sono…

Mostra la risposta

circonferenze. x² + y² = c.

3. Per f regolare, f_xy e f_yx sono…

Mostra la risposta

uguali. Teorema di Schwarz (Clairaut).

4. df/dt per f(x(t), y(t)) è…

Mostra la risposta

fₓx′ + f_yy′. Regola della catena in più variabili.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Le carte meteorologiche sono mappe a curve di livello di funzioni di due variabili: le isobare sono curve di livello della pressione, le isoterme della temperatura. Le derivate parziali dicono ai previsori quanto rapidamente pressione o temperatura cambiano verso est o verso nord, il che genera i venti.

Su Saving Planets: Analisi I

Fonti: NOAA/NWS JetStream: Wind · OpenStax Calculus 3, 4.3 Partial Derivatives

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Unità 4 · Settimane 6–7

Gradienti e ottimizzazione

Il vettore gradiente, le derivate direzionali, i punti critici e il test della derivata seconda, e l’ottimizzazione vincolata con i moltiplicatori di Lagrange.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Calcolare il gradiente e le derivate direzionali.
  • Spiegare perché il gradiente punta in salita ed è perpendicolare alle curve di livello.
  • Classificare i punti critici con il test della derivata seconda.
  • Risolvere problemi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange.

Concetti chiave

  • ∇f = ⟨fₓ, f_y⟩ punta nella direzione di crescita più rapida, e la sua lunghezza è quel tasso massimo.
  • Il tasso di variazione nella direzione di un versore u è D_u f = ∇f · u.
  • Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, quindi l’acqua scende lungo −∇h, attraversando le isoipse.
  • In un estremo interno ∇f = 0. Il test D = f_xx f_yy − f_xy² decide: D > 0 e f_xx > 0 è un minimo; D < 0 è un punto di sella.
  • Per ottimizzare f con il vincolo g = c, risolvi ∇f = λ∇g: nel punto migliore la curva di livello di f tocca appena il vincolo.

Equazioni chiave

∇f=⟨fx,fy,fz⟩\nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle
Gradiente
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
Derivata direzionale
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
Test della derivata seconda
∇f=λ∇g,g=c\nabla f=\lambda\nabla g,\quad g=c
Condizione dei moltiplicatori di Lagrange

Esempi svolti passo passo

Esempio 4.1 Una collina ha altezza h(x, y) = 500 − 0.01x² − 0.02y² (metri, x e y in metri). In (100, 50), trova ∇h, la pendenza massima e la pendenza in direzione ⟨3, 4⟩/5.

Mostra i passaggi
  1. ∇h = ⟨−0.02x, −0.04y⟩ = ⟨−2, −2⟩.
  2. Tasso massimo di salita |∇h| = 2√2 = 2.83 m per m.
  3. D_u h = ⟨−2, −2⟩ · ⟨0.6, 0.8⟩ = −2.8.

Risposta: Salita massima 2.83 (in salita verso ⟨−1, −1⟩); andando verso ⟨3, 4⟩ si scende di 2.8 m per m. La pioggia scorre lungo −∇h.

Esempio 4.2 Trova e classifica il punto critico di f = x² + xy + y² − 3x.

Mostra i passaggi
  1. fₓ = 2x + y − 3 = 0, f_y = x + 2y = 0 danno x = 2, y = −1.
  2. f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 1: D = 3 > 0, f_xx > 0.
  3. f(2, −1) = 4 − 2 + 1 − 6 = −3.

Risposta: Un minimo, f = −3 in (2, −1).

Esempio 4.3 Una lattina deve contenere 1 litro (1000 cm³). Quali raggio e altezza usano meno metallo (cilindro chiuso)?

Mostra i passaggi
  1. Minimizza A = 2πr² + 2πrh con g = πr²h = 1000.
  2. ∇A = λ∇g dà 4πr + 2πh = λ2πrh e 2πr = λπr², quindi λ = 2/r e h = 2r.
  3. πr²(2r) = 1000 dà r = (500/π)^(1/3).

Risposta: r ≈ 5.42 cm, h ≈ 10.84 cm (altezza = diametro), area ≈ 554 cm².

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Trova ∇f per f = xyz in (1, 2, 3).

    Mostra la risposta

    ⟨yz, xz, xy⟩ = ⟨6, 3, 2⟩.

  2. Trova D_u f per f = x² + y² in (1, 1) verso ⟨1, 0⟩.

    Mostra la risposta

    ∇f = ⟨2, 2⟩; D_u f = 2.

  3. Classifica il punto critico di f = x² − y².

    Mostra la risposta

    In (0, 0): D = (2)(−2) − 0 = −4 < 0, un punto di sella.

  4. Recinta un rettangolo lungo un fiume rettilineo con 40 m di recinzione (niente recinzione sul lato del fiume). Massimizza l’area.

    Mostra la risposta

    Massimizza xy con x + 2y = 40: y = 10, x = 20, area 200 m².

  5. Massimizza f = x + y sulla circonferenza x² + y² = 2.

    Mostra la risposta

    ⟨1, 1⟩ = λ⟨2x, 2y⟩ dà x = y = 1; massimo 2.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Il gradiente punta lungo la curva di livello.

    In realtà: È perpendicolare alla curva di livello.

  • Mito: ∇f = 0 significa un massimo o un minimo.

    In realtà: Può essere un punto di sella; usa il test di D.

  • Mito: λ è solo un trucco da eliminare.

    In realtà: λ è il tasso con cui il valore ottimo cambia al variare del vincolo c, utile in economia e ingegneria.

Flashcard

  • Gradiente

    ⟨fₓ, f_y, f_z⟩; crescita più rapida.

  • Derivata direzionale

    ∇f · u.

  • Punto critico

    ∇f = 0.

  • Punto di sella

    D < 0.

  • Condizione di Lagrange

    ∇f = λ∇g.

  • Discesa più ripida

    Muoversi lungo −∇f.

Quiz di autoverifica

1. Il gradiente punta…

Mostra la risposta

nella direzione di crescita più rapida. La sua lunghezza è il tasso massimo.

2. D < 0 in un punto critico significa…

Mostra la risposta

sella. Curva verso l’alto in un verso e verso il basso nell’altro.

3. I moltiplicatori di Lagrange risolvono…

Mostra la risposta

∇f = λ∇g. I gradienti sono paralleli in un ottimo vincolato.

4. D_u f è massima quando u è…

Mostra la risposta

parallelo a ∇f. ∇f · u = |∇f| cos θ.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’acqua scende lungo il gradiente del terreno. Mappe di inondazione, spartiacque e modelli di erosione si costruiscono calcolando −∇h dai dati di quota, come i modelli altimetrici lidar gratuiti dello USGS 3D Elevation Program.

I moltiplicatori di Lagrange minimizzano il materiale per un volume o una resistenza richiesti. Usare meno materiale per lo stesso compito riduce direttamente estrazione mineraria, energia ed emissioni.

Su Saving Planets: Pagina Fiumi · Disegno tecnico / CAD: alleggerimento

Fonti: USGS 3D Elevation Program (3DEP) · OpenStax Calculus 3, 4.8 Lagrange Multipliers

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Unità 5 · Settimane 8–9

Integrali doppi

Integrare su regioni del piano: integrali iterati, teorema di Fubini, regioni generali, coordinate polari, area, massa e medie.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Calcolare integrali doppi come integrali iterati.
  • Impostare gli estremi per regioni generali e invertire l’ordine.
  • Passare in coordinate polari con dA = r dr dθ.
  • Usare gli integrali doppi per aree, masse, medie e totali su una mappa.

Concetti chiave

  • ∬_R f dA somma f per aree minuscole. Su un rettangolo, Fubini dice di integrare una variabile e poi l’altra, in qualsiasi ordine.
  • Per una regione generale, gli estremi interni sono curve; disegna la regione per leggerli.
  • Le regioni rotonde sono più semplici in coordinate polari, dove l’elemento d’area è r dr dθ (non dr dθ).
  • La media di f su R è ∬f dA diviso l’area di R.

Equazioni chiave

∬Rf dA=∫ab ⁣∫cdf(x,y) dy dx\iint_Rf\,dA=\int_a^b\!\int_c^df(x,y)\,dy\,dx
Teorema di Fubini
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
Elemento d’area in coordinate polari
fˉ=1Area(R)∬Rf dA\bar f=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_Rf\,dA
Valore medio
∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi
Integrale di Gauss (tramite coordinate polari)

Esempi svolti passo passo

Esempio 5.1 Calcola ∬_R xy dA su R = [0, 2] × [0, 3].

Mostra i passaggi
  1. ∫₀² x dx = 2 e ∫₀³ y dy = 4.5.
  2. L’integrale si separa: 2 × 4.5.

Risposta: 9.

Esempio 5.2 La pioggia cade su un bacino di 10 km × 5 km con altezza d(x, y) = 20 + 2x mm (x in km, lungo il lato di 10 km). Quanta acqua è caduta?

Mostra i passaggi
  1. Totale = ∫₀¹⁰∫₀⁵ (20 + 2x) dy dx = 5 ∫₀¹⁰ (20 + 2x) dx.
  2. = 5(200 + 100) = 1,500 mm·km².
  3. 1 mm su 1 km² equivale a 1000 m³.

Risposta: 1.5 × 10⁶ m³ (altezza media 30 mm). È così che pluviometri e radar diventano previsioni di portata dei fiumi.

Esempio 5.3 Calcola ∬ e^(−(x² + y²)) dA sul disco unitario, poi su tutto il piano.

Mostra i passaggi
  1. In polari: ∫₀^(2π)∫₀¹ e^(−r²) r dr dθ = 2π × ½(1 − e^(−1)).
  2. Sul piano, l’integrale in r arriva a ∞ e dà ½.

Risposta: π(1 − 1/e) ≈ 1.986 sul disco; π sul piano, il che dimostra ∫e^(−x²) dx = √π.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. ∫₀¹∫₀ˣ x dy dx

    Mostra la risposta

    ∫₀¹ x² dx = 1/3.

  2. Inverti l’ordine di ∫₀¹∫_y¹ f dx dy.

    Mostra la risposta

    ∫₀¹∫₀ˣ f dy dx.

  3. Trova l’area di un cerchio di raggio a in coordinate polari.

    Mostra la risposta

    ∫₀^(2π)∫₀ᵃ r dr dθ = πa².

  4. Trova il volume sotto z = 4 − x² − y² sopra il disco x² + y² ≤ 4.

    Mostra la risposta

    ∫₀^(2π)∫₀² (4 − r²) r dr dθ = 2π(8 − 4) = 8π ≈ 25.1.

  5. Media di f = x + y su [0, 1] × [0, 1].

    Mostra la risposta

    ∬(x + y) dA = 1, area 1, media 1.

Errori concettuali comuni

  • Mito: In polari, dA = dr dθ.

    In realtà: dA = r dr dθ; dimenticare r è l’errore più comune.

  • Mito: Gli estremi interni devono essere numeri.

    In realtà: Per una regione generale, gli estremi interni sono funzioni della variabile esterna.

  • Mito: L’ordine non conta mai.

    In realtà: Il valore no, ma gli estremi cambiano, e spesso un ordine è molto più semplice.

Flashcard

  • Integrale doppio

    ∬_R f dA.

  • Fubini

    Iterare in qualsiasi ordine su un rettangolo.

  • Regione di tipo I

    a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x).

  • dA in polari

    r dr dθ.

  • Valore medio

    ∬f dA / area.

  • Integrale di Gauss

    ∫e^(−x²) dx = √π.

Quiz di autoverifica

1. Elemento d’area in polari:

Mostra la risposta

r dr dθ. Un elemento polare misura r dθ per dr.

2. ∬_R 1 dA è uguale a…

Mostra la risposta

l’area di R. Somma l’area.

3. ∫₀¹∫₀² 3 dy dx =

Mostra la risposta

6. 3 × area 2.

4. Il teorema di Fubini permette di…

Mostra la risposta

integrare una variabile alla volta. Integrali iterati.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

I totali su una mappa sono integrali doppi: la pioggia su un bacino, il carbonio immagazzinato in una foresta o il raccolto di un campo. Gli idrologi trasformano così le mappe di pioggia in volumi per prevedere le piene e pianificare l’approvvigionamento idrico.

Su Saving Planets: Pagina Fiumi · Dossier deforestazione

Fonti: USGS Water Science School: Precipitation and the water cycle · OpenStax Calculus 3, 5.2 Double Integrals over General Regions

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Unità 6 · Settimane 10–11

Integrali tripli e cambio di variabili

Integrare su solidi in coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche, e lo jacobiano per i cambi di variabili generali.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Impostare e calcolare integrali tripli.
  • Usare coordinate cilindriche (r dz dr dθ) e sferiche (ρ² sin φ dρ dφ dθ).
  • Calcolare lo jacobiano di un cambio di variabili.
  • Trovare volumi, masse e centri di massa di solidi.

Concetti chiave

  • ∭_E f dV somma f su scatole minuscole; con f = densità dà la massa.
  • Le coordinate cilindriche si adattano a tubi, serbatoi e coni: dV = r dz dr dθ.
  • Le coordinate sferiche si adattano a sfere e pianeti: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  • Ogni sostituzione x = x(u, v) dilata l’area secondo lo jacobiano |∂(x, y)/∂(u, v)|.

Equazioni chiave

dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
Elemento di volume in cilindriche
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
Elemento di volume in sferiche
J=∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣xuyv−xvyu∣J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=|x_uy_v-x_vy_u|
Jacobiana
∬Rf dx dy=∬Sf ∣J∣ du dv\iint_Rf\,dx\,dy=\iint_Sf\,|J|\,du\,dv
Cambio di variabili

Esempi svolti passo passo

Esempio 6.1 Usa le coordinate sferiche per trovare il volume di una sfera piena di raggio R.

Mostra i passaggi
  1. V = ∫₀^(2π)∫₀^π∫₀ᴿ ρ² sin φ dρ dφ dθ.
  2. = (R³/3)(2)(2π).

Risposta: 4πR³/3.

Esempio 6.2 Stima la massa dell’atmosfera terrestre: il peso dell’aria sopra ogni metro quadrato è la pressione al suolo, quindi M = ∬ p/g dA sulla sfera.

Mostra i passaggi
  1. L’integrale di superficie di una costante è p/g per l’area 4πR².
  2. 4π(6.371 × 10⁶)² = 5.10 × 10¹⁴ m².
  3. M = 101,400 × 5.10 × 10¹⁴ / 9.81.

Risposta: Circa 5.3 × 10¹⁸ kg, vicino ai 5.1 × 10¹⁸ kg della NASA (le terre sopra il livello del mare sostengono meno aria).

Esempio 6.3 Trova l’area dell’ellisse x²/a² + y²/b² ≤ 1 con x = au, y = bv.

Mostra i passaggi
  1. L’ellisse diventa il disco unitario u² + v² ≤ 1.
  2. J = ab.
  3. Area = ab × π.

Risposta: πab.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Trova il volume del cono 0 ≤ z ≤ 1 − r (raggio 1, altezza 1) in coordinate cilindriche.

    Mostra la risposta

    ∫₀^(2π)∫₀¹ (1 − r) r dr dθ = 2π(1/2 − 1/3) = π/3.

  2. Calcola ∭ 1 dV sulla scatola [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].

    Mostra la risposta

    6.

  3. Trova lo jacobiano delle coordinate polari.

    Mostra la risposta

    x_r y_θ − x_θ y_r = cos θ (r cos θ) + r sin θ (sin θ) = r.

  4. Un cilindro di raggio 1 m e altezza 2 m ha densità 1000(1 − z/4) kg/m³. Trova la sua massa.

    Mostra la risposta

    π ∫₀² 1,000(1 − z/4) dz = π × 1,000 × 1.5 = 1,500π ≈ 4,712 kg.

Errori concettuali comuni

  • Mito: In coordinate sferiche dV = dρ dφ dθ.

    In realtà: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • Mito: φ va da 0 a 2π.

    In realtà: φ (dal polo nord) va da 0 a π; θ va da 0 a 2π.

  • Mito: Lo jacobiano può essere negativo dentro l’integrale.

    In realtà: Usa il suo valore assoluto.

Flashcard

  • Integrale triplo

    ∭_E f dV.

  • Cilindriche

    x = r cos θ, y = r sin θ, z; dV = r dz dr dθ.

  • Sferiche

    dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

  • Jacobiana

    Fattore di dilatazione di area o volume di una sostituzione.

  • Massa

    ∭ densità dV.

  • Centro di massa

    ∭ x ρ dV / massa.

Quiz di autoverifica

1. L’elemento di volume in sferiche è…

Mostra la risposta

ρ² sin φ dρ dφ dθ. Una scatola sferica di lati dρ, ρ dφ, ρ sin φ dθ.

2. Le coordinate cilindriche sono le migliori per…

Mostra la risposta

tubi e serbatoi. Sezioni circolari.

3. Lo jacobiano di x = 2u, y = 3v è…

Mostra la risposta

6. 2 × 3.

4. Volume di una sfera piena di raggio 3:

Mostra la risposta

36π. 4π(27)/3.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Gli scienziati del clima sommano grandezze nel volume dell’oceano e dell’atmosfera proprio con questi integrali. Il contenuto di calore oceanico, il calore immagazzinato nei primi 2000 m del mare, è un integrale triplo della variazione di temperatura per densità e capacità termica, ed è una delle testimonianze più chiare del riscaldamento globale.

Su Saving Planets: Sezione Oceani

Fonti: NOAA NCEI: Global ocean heat content · Scheda NASA sulla Terra (in inglese)

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Unità 7 · Settimana 12

Campi vettoriali, integrali di linea e teorema di Green

Campi vettoriali come venti e correnti, lavoro e circolazione lungo curve, campi conservativi e potenziali, e il teorema di Green nel piano.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Disegnare e interpretare campi vettoriali.
  • Calcolare integrali di linea di funzioni scalari e di campi vettoriali (lavoro).
  • Verificare se un campo è conservativo e trovarne un potenziale.
  • Applicare il teorema di Green alla circolazione e al flusso nel piano.

Concetti chiave

  • Un campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto, come una mappa di venti o correnti.
  • Il lavoro lungo un cammino è ∫_C F · dr; per un circuito chiuso si chiama circolazione.
  • Un campo conservativo è un gradiente, F = ∇φ; il suo lavoro dipende solo dagli estremi, e ha circolazione nulla.
  • Teorema di Green: la circolazione lungo una curva chiusa è uguale all’integrale del rotore (Q_x − P_y) sulla regione interna.

Equazioni chiave

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt
Integrale di linea (lavoro)
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
Teorema fondamentale degli integrali di linea
∮CP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA
Teorema di Green
Area=12∮Cx dy−y dx\text{Area}=\tfrac12\oint_Cx\,dy-y\,dx
Area dal bordo

Esempi svolti passo passo

Esempio 7.1 F = ⟨y, x⟩. Trova il lavoro da (0, 0) a (2, 3) lungo qualsiasi cammino.

Mostra i passaggi
  1. P_y = 1 = Q_x, quindi F è conservativo.
  2. φ = xy ha ∇φ = ⟨y, x⟩.
  3. Lavoro = φ(2, 3) − φ(0, 0).

Risposta: 6, su ogni cammino.

Esempio 7.2 Una corrente a vortice F = ⟨−y, x⟩ gira attorno all’origine. Trova la sua circolazione lungo la circonferenza unitaria direttamente e con il teorema di Green.

Mostra i passaggi
  1. r = ⟨cos t, sin t⟩, F · r′ = sin²t + cos²t = 1, quindi ∮ = 2π.
  2. Green: Q_x − P_y = 1 − (−1) = 2; ∬2 dA = 2 × π.

Risposta: 2π ≈ 6.28 in entrambi i modi.

Esempio 7.3 Usa ½∮(x dy − y dx) per trovare l’area interna a x = 3 cos t, y = 2 sin t.

Mostra i passaggi
  1. x dy − y dx = (3 cos t)(2 cos t) + (2 sin t)(3 sin t) = 6 dt.
  2. ½ ∫₀^(2π) 6 dt.

Risposta: 6π ≈ 18.85 (πab con a = 3, b = 2).

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. F = ⟨2xy, x² + 1⟩ è conservativo? Trova φ.

    Mostra la risposta

    P_y = 2x = Q_x; φ = x²y + y.

  2. Trova ∫_C F · dr per F = ⟨x, y⟩ lungo y = x² da (0, 0) a (1, 1).

    Mostra la risposta

    Conservativo, φ = (x² + y²)/2: lavoro 1.

  3. Trova ∮(x² dx + xy dy) lungo il quadrato [0, 1] × [0, 1], in senso antiorario.

    Mostra la risposta

    Green: ∬ y dA = 1/2.

  4. Trova la circolazione di F = ⟨−y, x⟩ lungo una circonferenza di raggio 3.

    Mostra la risposta

    2 × area = 18π ≈ 56.5.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Ogni campo a rotore nullo è conservativo.

    In realtà: Vero solo su regioni semplicemente connesse (senza buchi).

  • Mito: Il lavoro lungo un cammino chiuso è sempre zero.

    In realtà: Solo per i campi conservativi; un vortice circola.

  • Mito: Il teorema di Green vale con qualsiasi orientazione.

    In realtà: Presuppone il verso antiorario; quello orario cambia il segno.

Flashcard

  • Campo vettoriale

    Un vettore in ogni punto.

  • Integrale di linea

    ∫F · dr, lavoro lungo una curva.

  • Circolazione

    Integrale di linea lungo una curva chiusa.

  • Conservativo

    F = ∇φ; indipendente dal cammino.

  • Potenziale

    φ con ∇φ = F.

  • Teorema di Green

    ∮P dx + Q dy = ∬(Q_x − P_y) dA.

Quiz di autoverifica

1. F = ∇φ significa che F è…

Mostra la risposta

conservativo. Un campo gradiente.

2. Lavoro di un campo conservativo lungo un circuito chiuso:

Mostra la risposta

0. φ(A) − φ(A).

3. Il teorema di Green collega un integrale di linea a…

Mostra la risposta

un integrale doppio. Bordo ↔ interno.

4. Q_x − P_y per F = ⟨−y, x⟩ è…

Mostra la risposta

2. 1 − (−1).

Come questo aiuta a salvare il pianeta

I vortici oceanici (gyre) sono enormi sistemi di correnti rotanti: ce ne sono cinque principali, e ognuno raccoglie i detriti galleggianti verso il centro, formando le isole di plastica. La circolazione di un campo di correnti è un integrale di linea, e il teorema di Green la lega alla rotazione (rotore) all’interno.

Venti e correnti su mappe come earth.nullschool.net, che mostra dati pubblici di previsione della NOAA, sono campi vettoriali che puoi leggere con questa unità.

Su Saving Planets: Sezione Oceani

Fonti: NOAA Marine Debris Program: Garbage patches · NOAA Ocean Service: Ocean currents tutorial (gyres) · earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data)

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Unità 8 · Settimane 13–14

Integrali di superficie, teorema di Stokes e teorema della divergenza

Divergenza e rotore, superfici parametrizzate, flusso attraverso una superficie, e i due grandi teoremi che legano bordo e interno in 3D.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Calcolare divergenza e rotore e interpretarli come intensità della sorgente e rotazione.
  • Parametrizzare superfici e calcolare area di superficie e flusso.
  • Applicare il teorema di Stokes.
  • Applicare il teorema della divergenza (Gauss) al flusso netto uscente.

Concetti chiave

  • div F = ∇ · F misura il flusso uscente per unità di volume; rot F = ∇ × F misura la rotazione.
  • Il flusso ∬_S F · n dS è quanto del campo attraversa una superficie per unità di tempo.
  • Stokes: la circolazione lungo il bordo di una superficie è uguale al flusso di rot F attraverso la superficie.
  • Teorema della divergenza: il flusso netto uscente da una superficie chiusa è uguale alla divergenza totale all’interno.

Equazioni chiave

∇⋅F=Px+Qy+Rz\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z
Divergenza
∇×F=⟨Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py⟩\nabla\times\mathbf F=\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\rangle
Rotore
∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
Teorema di Stokes
∯SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV\oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV
Teorema della divergenza

Esempi svolti passo passo

Esempio 8.1 Trova il flusso uscente di F = ⟨x, y, z⟩ attraverso la sfera di raggio R.

Mostra i passaggi
  1. div F = 3.
  2. Teorema della divergenza: 3 × (4πR³/3).
  3. Verifica diretta: sulla sfera F · n = R, quindi il flusso è R × 4πR².

Risposta: 4πR³ in entrambi i modi.

Esempio 8.2 Sulla Terra (raggio 6371 km) arriva luce solare di 1361 W/m². Quale potenza totale intercetta la Terra, e qual è la media per metro quadrato della sua superficie?

Mostra i passaggi
  1. Il flusso attraverso il disco d’ombra della Terra è 1361 × πR² = 1.735 × 10¹⁷ W.
  2. Distribuito su tutta la sfera (area 4πR²) è 1361/4.

Risposta: 1.74 × 10¹⁷ W, ovvero 340 W/m² in media, il valore in cima al diagramma del bilancio energetico della NASA.

Esempio 8.3 Verifica il teorema di Stokes per F = ⟨−y, x, 0⟩ sulla metà superiore della sfera unitaria.

Mostra i passaggi
  1. rot F = ⟨0, 0, 2⟩.
  2. Il flusso del rotore attraverso l’emisfero è uguale a quello attraverso il disco unitario piatto (stesso bordo): 2 × π.
  3. La circolazione lungo il bordo è 2π (unità 7).

Risposta: 2π in entrambi i modi.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Trova div e rot di F = ⟨x², yz, xy⟩.

    Mostra la risposta

    div = 2x + z; rot = ⟨x − y, −y, 0⟩.

  2. Flusso di F = ⟨0, 0, 5⟩ verso l’alto attraverso il quadrato unitario nel piano z = 1.

    Mostra la risposta

    5 × 1 = 5.

  3. Usa il teorema della divergenza: flusso di F = ⟨x, y, z⟩ uscente dal cubo unitario [0, 1]³.

    Mostra la risposta

    div = 3; flusso 3.

  4. Trova l’area di una sfera di raggio 2 integrando dS = 4 sin φ dφ dθ.

    Mostra la risposta

    4 × 2 × 2π = 16π ≈ 50.3.

  5. Il rotore di un campo gradiente può essere non nullo?

    Mostra la risposta

    No: ∇ × ∇φ = 0 per φ regolare.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Il flusso è la stessa cosa della circolazione.

    In realtà: Il flusso attraversa una superficie; la circolazione corre lungo una curva.

  • Mito: A divergenza nulla significa che niente si muove.

    In realtà: Significa nessuna sorgente netta: quello che entra, esce.

  • Mito: Il teorema della divergenza vale per superfici aperte.

    In realtà: Richiede una superficie chiusa; Stokes tratta le superfici con bordo.

Flashcard

  • Divergenza

    ∇ · F; intensità della sorgente.

  • Rotore

    ∇ × F; rotazione.

  • Flusso

    ∬F · n dS.

  • Teorema di Stokes

    Circolazione sul bordo = flusso del rotore.

  • Teorema della divergenza

    Flusso uscente = ∭ div F dV.

  • Superficie chiusa

    Racchiude un solido; senza bordo.

Quiz di autoverifica

1. div ⟨x, y, z⟩ =

Mostra la risposta

3. 1 + 1 + 1.

2. Il teorema di Stokes collega la circolazione sul bordo al…

Mostra la risposta

flusso di rot F. ∬(∇ × F) · n dS.

3. Il teorema della divergenza richiede…

Mostra la risposta

una superficie chiusa. Racchiude un solido.

4. La luce solare media per metro quadrato alla sommità dell’atmosfera terrestre è circa…

Mostra la risposta

340 W/m². Area del disco πR² su area della sfera 4πR²: un quarto.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Il clima della Terra è un bilancio di flussi: la luce solare attraversa la sommità dell’atmosfera a circa 340 W/m² in media, e la Terra deve rimandare la stessa energia nello spazio. Quando i gas serra intrappolano parte del calore uscente, lo squilibrio è un flusso netto verso il pianeta, immagazzinato soprattutto nell’oceano.

Il trasporto degli inquinanti è la stessa matematica: il teorema della divergenza dice che l’inquinante che esce da un lago o da un bacino d’aria attraverso il suo bordo è uguale a quanto rilasciano le sorgenti interne, meno quanto viene rimosso.

Su Saving Planets: Sezione Osservazione della Terra

Fonti: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · Scheda NASA sulla Terra (in inglese)

Risorse di apprendimento gratuite

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Laboratori al computer

Quattro laboratori al computer applicano le unità: divergenza e rotore di un campo di vento da dati di stazioni, pendenza e direzione di deflusso dell’acqua da una griglia di quota, il volume di un lago con un integrale doppio in polari, e un’orbita di satellite fatta avanzare nel tempo.

I dati di esempio sono indicati come tali; ogni laboratorio rimanda alla fonte di dati pubblica da provare dopo.

Riferimento per la sicurezza: OpenStax Calculus Volume 3 (libro di testo gratuito)

Laboratorio A: divergenza e rotore di un campo di vento

Settimana 14

Obiettivo: Stima divergenza e rotore del vento in un punto da quattro stazioni circostanti, e interpretali come aria ascendente e rotazione di una tempesta.

∇⋅v≈uE−uW2Δ+vN−vS2Δ,(∇×v)z≈vE−vW2Δ−uN−uS2Δ\nabla\cdot\mathbf v\approx\frac{u_E-u_W}{2\Delta}+\frac{v_N-v_S}{2\Delta},\quad(\nabla\times\mathbf v)_z\approx\frac{v_E-v_W}{2\Delta}-\frac{u_N-u_S}{2\Delta}
Differenze centrate

Procedimento

  1. Inserisci il vento verso est (u) e verso nord (v) nelle stazioni 100 km a est, ovest, nord e sud di un centro (Δ = 100 km = 10⁵ m).
  2. Calcola la divergenza e il rotore verticale (vorticità).
  3. Interpreta i segni, poi ripeti con venti reali letti su earth.nullschool.net o nei dati di previsione della NOAA.

Tabella dei dati

Stazioneu (m/s, est)v (m/s, nord)
Est48
Ovest6−6
Nord−5−3
Sud7−1

Valori di esempio per esercitarsi, non una vera carta meteorologica.

Calcolo di esempio

  1. Divergenza = (4 − 6)/(2 × 10⁵) + (−3 − (−1))/(2 × 10⁵) = −2 × 10⁻⁵ s⁻¹: l’aria converge, quindi deve salire, il che favorisce nubi e pioggia.
  2. Vorticità = (8 − (−6))/(2 × 10⁵) − (−5 − 7)/(2 × 10⁵) = 1.3 × 10⁻⁴ s⁻¹: positiva, antioraria, come una bassa pressione dell’emisfero nord.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo.

earth.nullschool.net: live global wind and ocean-current map (from NOAA GFS and other public data) · NOAA NCEI: Global Forecast System (GFS)

Legame con il pianeta: Convergenza e vorticità sono ciò che i previsori seguono per avvisare di piogge intense e tempeste. NOAA/NWS JetStream: Wind

Laboratorio B: pendenza e deflusso dell’acqua da una griglia di quota

Settimana 7

Obiettivo: Stima il gradiente del terreno da una griglia di quote e trova in che direzione scorre l’acqua piovana.

∇h≈⟨hE−hW2Δ,hN−hS2Δ⟩\nabla h\approx\left\langle\frac{h_E-h_W}{2\Delta},\frac{h_N-h_S}{2\Delta}\right\rangle
Gradiente con differenze centrate

Procedimento

  1. Usa le quote 100 m a est, ovest, nord e sud di un punto (Δ = 100 m).
  2. Calcola ∇h, il suo modulo (pendenza) e l’angolo di pendenza arctan|∇h|.
  3. La direzione di deflusso è −∇h. Poi scarica un riquadro altimetrico USGS 3DEP gratuito e ripeti per un pendio vicino a te.

Tabella dei dati

VicinoQuota (m)
Centro250
Est262
Ovest240
Nord256
Sud246

Valori di esempio per esercitarsi.

Calcolo di esempio

  1. ∇h ≈ ⟨(262 − 240)/200, (256 − 246)/200⟩ = ⟨0.11, 0.05⟩.
  2. |∇h| = 0.121, un angolo di pendenza di circa 6.9°.
  3. L’acqua scorre lungo −∇h, verso ovest-sudovest; tracciare queste direzioni su una griglia delinea un bacino idrografico.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Basta un foglio di calcolo; un software GIS è facoltativo.

USGS 3D Elevation Program (3DEP)

Legame con il pianeta: Le direzioni di deflusso dalle griglie di quota sono la base delle mappe di inondazione ed erosione. USGS 3D Elevation Program (3DEP)

Laboratorio C: il volume di un lago con un integrale doppio in polari

Settimana 9

Obiettivo: Calcola il volume di un lago a forma di catino in modo esatto e con una somma numerica, e osserva come l’errore si riduce.

V=∫02π ⁣ ⁣∫0RD(1−r2R2)r dr dθ=πR2D2V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^RD\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr\,d\theta=\frac{\pi R^2D}{2}
Lago con bacino paraboloide

Procedimento

  1. Prendi R = 1000 m e profondità massima D = 20 m.
  2. Calcola il volume esatto.
  3. Dividi il lago in n anelli, valuta la profondità al raggio medio di ogni anello e somma profondità × area dell’anello. Prova n = 5 e n = 10.

Tabella dei dati

MetodoVolume (m³)
Esatta3.14 × 10⁷
Punto medio, 5 anelli3.20 × 10⁷
Punto medio, 10 anelli3.16 × 10⁷

Valori calcolati per un lago modello.

Calcolo di esempio

  1. Esatto: π(1000)²(20)/2 = 3.14 × 10⁷ m³ (31.4 milioni di metri cubi).
  2. La somma a 5 anelli è alta del 2.0 % e quella a 10 anelli dello 0.5 %: raddoppiare n riduce l’errore di circa quattro volte.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Un foglio di calcolo o Python.

OpenStax Calculus 3, 5.3 Double Integrals in Polar Coordinates

Legame con il pianeta: I volumi di laghi e serbatoi ricavati da rilievi batimetrici dicono ai gestori idrici quanta acqua possono immagazzinare e rilasciare. NASA: missione SWOT

Laboratorio D: far avanzare nel tempo un’orbita di satellite

Settimana 3

Obiettivo: Integra numericamente r′′ = −GM r/|r|³ per un’orbita tipo Landsat e confronta due metodi di passo.

vn+1=vn−GM rn∣rn∣3Δt,rn+1=rn+vn+1Δt\mathbf v_{n+1}=\mathbf v_n-\frac{GM\,\mathbf r_n}{|\mathbf r_n|^3}\Delta t,\quad\mathbf r_{n+1}=\mathbf r_n+\mathbf v_{n+1}\Delta t
Eulero semi-implicito (simplettico)

Procedimento

  1. Parti da r = ⟨7076 km, 0⟩ con v = ⟨0, 7505 m/s⟩ (unità 2).
  2. Fai 592 passi con Δt = 10 s (un periodo), prima con Eulero semplice (aggiorna r con la v vecchia), poi con la versione semi-implicita sopra.
  3. Confronta il raggio finale con quello iniziale.

Tabella dei dati

Metodo (Δt = 10 s)Variazione del raggio dopo un’orbita
Eulero semplice+908 km
Eulero semi-implicito+0.16 km

Valori calcolati; GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².

Calcolo di esempio

  1. Eulero semplice si allarga a spirale di circa 908 km per orbita, una previsione inutile; anche Δt = 1 s deriva ancora di circa 94 km.
  2. L’aggiornamento semi-implicito cambia una riga di codice e mantiene l’orbita entro circa 0.16 km.

Sicurezza

  • Nessuna, oltre al normale uso del computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene un foglio di calcolo; Python in Colab è più semplice.

Google Colab (notebook gratuiti) · NASA: Landsat 9 quick facts

Legame con il pianeta: Una propagazione orbitale accurata mantiene i satelliti di osservazione della Terra sulle loro tracce ripetute. NASA: Landsat 9 quick facts

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Serie di esercizi per gli esami

Cronometrati: circa 10 minuti per problema. Poi confronta con le soluzioni complete.

Esercizi per l’esame intermedio (unità 1–4)

  1. Trova l’angolo tra ⟨1, 1, 0⟩ e ⟨0, 1, 1⟩.

    Mostra la soluzione completa
    1. Prodotto scalare 1; entrambe le lunghezze √2.
    2. cos θ = 1/2.

    Risposta: 60°.

  2. Trova il piano passante per (1, 1, 1) con normale ⟨2, −1, 3⟩.

    Mostra la soluzione completa
    1. 2(x − 1) − (y − 1) + 3(z − 1) = 0.

    Risposta: 2x − y + 3z = 4.

  3. Un satellite orbita a un raggio di 6771 km (400 km di quota). Trova il suo periodo.

    Mostra la soluzione completa
    1. T = 2π√(r³/GM).

    Risposta: ≈ 5544 s ≈ 92.4 min.

  4. Massimizza f = xy con il vincolo x + y = 10.

    Mostra la soluzione completa
    1. ⟨y, x⟩ = λ⟨1, 1⟩ dà x = y = 5.

    Risposta: 25 in (5, 5).

Serie di esercizi finale (tutte le unità)

  1. Calcola ∫₀^(2π)∫₀³ r dr dθ.

    Mostra la soluzione completa
    1. 4.5 × 2π.

    Risposta: 9π ≈ 28.3 (area di un disco di raggio 3).

  2. Trova il volume di una semisfera di raggio 2 con le coordinate sferiche.

    Mostra la soluzione completa
    1. ∫₀^(2π)∫₀^(π/2)∫₀² ρ² sin φ dρ dφ dθ = (8/3)(1)(2π).

    Risposta: 16π/3 ≈ 16.76.

  3. Trova ∮ F · dr per F = ⟨−y, x⟩ lungo il quadrato [0, 2] × [0, 2], in senso antiorario.

    Mostra la soluzione completa
    1. Green: ∬2 dA = 2 × 4.

    Risposta: 8.

  4. Trova il flusso uscente di F = ⟨2x, 0, 0⟩ attraverso la sfera di raggio 1.

    Mostra la soluzione completa
    1. div F = 2; flusso = 2 × 4π/3.

    Risposta: 8π/3 ≈ 8.38.

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Formulario

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
n⋅(r−r0)=0n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0
L=∫∣r′(t)∣ dtL=\int|\mathbf r'(t)|\,dt
κ=∣r′×r′′∣/∣r′∣3\kappa=|\mathbf r'\times\mathbf r''|/|\mathbf r'|^3
v=GM/rv=\sqrt{GM/r}
Δf≈fxΔx+fyΔy\Delta f\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y
Duf=∇f⋅uD_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u
D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2
∇f=λ∇g\nabla f=\lambda\nabla g
dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta
dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta
dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
∫C∇φ⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A)
∮P dx+Q dy=∬(Qx−Py) dA\oint P\,dx+Q\,dy=\iint(Q_x-P_y)\,dA
∮F⋅dr=∬(∇×F)⋅n dS\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
∯F⋅n dS=∭∇⋅F dV\oiint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV

Costanti

CostanteValore
GM della Terra3.986 × 10¹⁴ m³/s²
Raggio medio della Terra6,371 km
Irraggiamento solare sulla Terra1,361 W/m²
Pressione media al suolo1,014 mb = 101,400 Pa
Altezza di scala atmosferica8.5 km
Gravità standard9.81 m/s²

Fonte: Scheda NASA sulla Terra (in inglese)

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Strumenti per grafici e dati

Usa questi strumenti e dati gratuiti insieme al corso.

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Glossario

Circolazione
Integrale di linea di un campo lungo una curva chiusa.
Campo conservativo
Un campo gradiente; il lavoro non dipende dal cammino.
Prodotto vettoriale
Vettore perpendicolare a due vettori.
Rotore
∇ × F; rotazione locale di un campo.
Curvatura
Quanto si piega una curva; 1/R per una circonferenza.
Derivata direzionale
Tasso di variazione in una direzione data, ∇f · u.
Divergenza
∇ · F; flusso netto uscente per unità di volume.
Teorema della divergenza
Il flusso uscente da una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza all’interno.
Prodotto scalare
a · b = |a||b| cos θ.
Flusso
Quantità di un campo che attraversa una superficie.
Gradiente
Vettore delle derivate parziali; punta in salita.
Teorema di Green
La circolazione lungo una curva piana è uguale all’integrale di Q_x − P_y all’interno.
Jacobiana
Fattore di dilatazione di un cambio di variabili.
Moltiplicatore di Lagrange
λ in ∇f = λ∇g per l’ottimizzazione vincolata.
Curva di livello
Curva su cui f(x, y) è costante.
Integrale di linea
Integrale lungo una curva.
Derivata parziale
Derivata in una variabile con le altre fissate.
Punto di sella
Punto critico che non è né un massimo né un minimo.
Teorema di Stokes
La circolazione sul bordo è uguale al flusso del rotore.
Campo vettoriale
Assegnazione di un vettore a ogni punto.

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Griglia di autovalutazione

Non si assegnano voti né crediti. Usala per valutare onestamente a che punto sei in ogni unità.

LivelloCome si presenta
4 · PadronanzaImposta integrali e campi da un disegno senza aiuto, sceglie buone coordinate e verifica le risposte con un secondo metodo o un teorema.
3 · CompetenteRisolve gli esercizi con qualche errore occasionale.
2 · In sviluppoSegue gli esempi svolti ma fatica a impostare gli estremi o a scegliere le coordinate.
1 · PrincipianteApplica formule senza disegnare né verificare; deve ripassare l’unità.

Pesi suggeriti se vuoi un punteggio

PartePeso
Esercizi30%
Laboratori al computer15%
Serie di esercizi di metà corso25%
Serie di esercizi finale30%

Punta al livello 3 o superiore in ogni unità prima di passare al corso successivo.

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