المعادلات التفاضلية
نمذجة التغير: معادلات الرتبة الأولى، والاهتزازات والرنين، وتحويلات لابلاس، والأنظمة ومستويات الطور، والاستقرار، والطرق العددية، ومعادلة الحرارة، مع أربعة مختبرات حاسوبية عن الأوبئة، والمفترسات والفرائس، والمناخ، واهتزاز توربينات الرياح.
الدورات › MATH 220
تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)
عن هذه الدورة
هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.
يتبع نطاقه مقررًا في المعادلات التفاضلية العادية للسنة الثانية، على غرار موضوعات وعمق MIT OpenCourseWare 18.03 والكتب المجانية لـ Jiří Lebl (Notes on Diffy Qs) وWilliam Trench، وعلى مناهج مقررات مثل Georgia Tech MATH 2552 وStanford Math 53. نضع روابط للمواد المجانية في كل أجزاء المقرر. ولا يتبنى أي من أولئك المؤلفين أو المؤسسات هذه الصفحة.
ما نضيفه: كل وحدة ترتبط بمسألة حقيقية عن الكوكب مع مصدر عام موثّق (البحيرات، والميثان، ومصايد الأسماك، والكربون، والمناخ، والأوبئة، وتوربينات الرياح)، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص تحقق برمجي قبل النشر، وأربعة مختبرات حاسوبية تحل نماذج حقيقية عدديًا.
تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.
كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب
يكاد كل نموذج للكوكب الحي يكون معادلة تفاضلية: مدى سرعة تخلص بحيرة من ملوث، وكيف يتعافى مخزون سمكي، وكيف ينتقل الكربون بين الهواء والبحر، ومدى سرعة احترار الأرض عندما يتغير توازن طاقتها، وكيف ينتشر وباء، وكيف يتمايل برج توربين رياح.
تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق يبين كيف تساعد أفكارها الناس والطبيعة معًا. وتُوسم معاملات النماذج التي لا تأتي من مصدر بأنها قيم نموذجية.
قبل أن تبدأ
المتطلبات السابقة
- التفاضل والتكامل I وII: المشتقات، والتكاملات، والكسور الجزئية، ومتسلسلات تايلور.
- المصفوفات والمحددات والقيم الذاتية لمصفوفات 2 × 2 (تُدرَّس باختصار في الوحدة 6).
- يساعد التفاضل والتكامل III في معادلة الحرارة لكنه ليس مطلوبًا.
كيف تذاكر
- تحقق من كل حل بالتعويض به مرة أخرى في المعادلة.
- حلّ كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة.
- ارسم حقل ميول أو صورة طور قبل الحل؛ واعرف كيف ينبغي أن تبدو الإجابة.
- اسأل عن كل نموذج: ما الوحدات، وهل للسلوك على المدى البعيد معنى؟
- حل أيضًا مسألة من كل وحدة عدديًا، وقارن بالصيغة.
- أعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام. التدرّب المتباعد أفضل من جلسة طويلة واحدة.
معدات المختبر (للمختبرات العملية)
- حاسوب أو جهاز لوحي مع جدول بيانات.
- آلة حاسبة بيانية مجانية مثل Desmos.
- اختياري: بايثون مع NumPy (مجانًا في Google Colab).
جدول مقترح من 15 أسبوعًا
نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.
| الأسبوع | الوحدة | الموضوعات | القراءة |
|---|---|---|---|
| 1 | معادلات الرتبة الأولى | حقول الميول؛ المعادلات القابلة للفصل | Lebl 1.1–1.3 |
| 2 | معادلات الرتبة الأولى | المعادلات الخطية والتامة؛ الوجود والوحدانية | Lebl 1.2, 1.4, 1.8 |
| 3 | النمذجة بمعادلات الرتبة الأولى | النمذجة: الخلط، والاضمحلال، والنمو اللوجستي، والحصاد | Lebl 1.6 |
| 4 | المعادلات الخطية من الرتبة الثانية والاهتزازات | المعادلات الخطية من الرتبة الثانية؛ المعادلة المميزة | Lebl 2.1–2.2 |
| 5 | المعادلات الخطية من الرتبة الثانية والاهتزازات | الاهتزازات الميكانيكية والتخميد | Lebl 2.4 |
| 6 | الاهتزاز القسري والرنين | المعاملات غير المحددة؛ الاهتزاز القسري والرنين؛ المختبر D | Lebl 2.5–2.6 |
| 7 | تحويلات لابلاس | تحويلات لابلاس؛ حل مسائل القيم الابتدائية | Lebl 6.1–6.2 |
| 8 | تحويلات لابلاس | الدوال الدرجية، والنبضات، والالتفاف؛ تمارين لاختبار منتصف الفصل | Lebl 6.3–6.4 |
| 9 | الأنظمة الخطية والقيم الذاتية ومستويات الطور | الأنظمة؛ المصفوفات والقيم الذاتية | Lebl 3.1–3.4 |
| 10 | الأنظمة الخطية والقيم الذاتية ومستويات الطور | صور الطور والتصنيف | Lebl 3.5 |
| 11 | الأنظمة غير الخطية والاستقرار | الأنظمة غير الخطية، والتخطيط الخطي؛ المفترس والفريسة؛ المختبر B | Lebl 8.1–8.3 |
| 12 | الأنظمة غير الخطية والاستقرار | الاستقرار؛ أوبئة SIR؛ المختبر A | Lebl 8.2–8.3 |
| 13 | الطرق العددية | الطرق العددية؛ نموذج توازن الطاقة؛ المختبر C | Lebl 1.7, Trench 3 |
| 14 | الحلول بالمتسلسلات ومتسلسلات فورييه ومعادلة الحرارة | الحلول بالمتسلسلات؛ متسلسلات فورييه؛ معادلة الحرارة | Lebl 7.1–7.2, 4.2, 4.6 |
| 15 | المراجعة | مراجعة ومجموعة تمارين نهائية | كل الوحدات |
تقدّمك
ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.
فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.
الوحدة 1 · الأسبوعان 1–2
معادلات الرتبة الأولى
حقول الميول، والمعادلات القابلة للفصل، والمعادلات الخطية بعوامل التكامل، والمعادلات التامة، ومتى يوجد الحل ويكون وحيدًا.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- اقرأ حقل ميول وارسم الحلول.
- حل معادلات الرتبة الأولى القابلة للفصل والخطية.
- تعرّف على المعادلات التامة وحلها.
- اذكر مبرهنة الوجود والوحدانية ولاحظ متى تفشل.
المفاهيم الأساسية
- تربط المعادلة التفاضلية دالة مجهولة بمشتقاتها؛ والحل دالة تجعلها صحيحة.
- القابلة للفصل: dy/dx = g(x)h(y). اقسم وكامل الطرفين.
- الخطية: y′ + p(x)y = q(x). اضرب في عامل التكامل μ = e^(∫p dx) ليصبح الطرف الأيسر (μy)′.
- التامة: M dx + N dy = 0 مع M_y = N_x هي dF = 0، إذن F(x, y) = C.
- إذا كانت f و∂f/∂y متصلتين قرب (x₀, y₀)، فإن y′ = f(x, y)، y(x₀) = y₀ لها حل واحد بالضبط في الجوار. ومع ذلك قد تنفجر الحلول في زمن محدود.
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1.1 حل dy/dx = xy، y(0) = 2، وأوجد y(1).
اعرض الخطوات
- dy/y = x dx، إذن ln|y| = x²/2 + C.
- y = 2e^(x²/2).
- y(1) = 2e^0.5.
الإجابة: ≈ 3.297.
مثال 1.2 حل y′ + 2y = 4، y(0) = 0، وأوجد y(1).
اعرض الخطوات
- μ = e^(2t)، إذن (e^(2t)y)′ = 4e^(2t).
- e^(2t)y = 2e^(2t) + C؛ وy(0) = 0 تعطي C = −2.
- y = 2(1 − e^(−2t)).
الإجابة: y(1) ≈ 1.729، مقتربًا من الحالة المستقرة 2.
مثال 1.3 حل 2xy dx + (x² + 2y) dy = 0 مع y(0) = 1، وأوجد y عندما x = 1.
اعرض الخطوات
- M_y = 2x = N_x: تامة.
- F = x²y + y²; F(0, 1) = 1.
- عند x = 1: y + y² = 1، إذن y = (−1 + √5)/2.
الإجابة: ≈ 0.618.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
حل y′ = y²، y(0) = 1. أين يوجد الحل؟
اعرض الإجابة
y = 1/(1 − t)؛ ينفجر عند t = 1، مع أن y² ملساء في كل مكان.
حل t y′ + y = t² عندما t > 0.
اعرض الإجابة
(ty)′ = t²، إذن y = t²/3 + C/t.
حل y′ = −y/τ.
اعرض الإجابة
y = y₀e^(−t/τ).
هل (y cos x) dx + (sin x + 2y) dy = 0 تامة؟ حلها.
اعرض الإجابة
M_y = cos x = N_x؛ F = y sin x + y² = C.
هل لـ y′ = √y، y(0) = 0 حل وحيد؟
اعرض الإجابة
لا: y = 0 وy = t²/4 كلاهما يصلح؛ و∂f/∂y = 1/(2√y) غير متصلة عند y = 0.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: كل معادلة من الرتبة الأولى قابلة للفصل.
في الحقيقة: y′ = x + y ليست كذلك؛ إنها خطية.
خرافة: لا بأس بنسيان +C حتى النهاية.
في الحقيقة: أضف C عند التكامل، قبل حل y، وإلا جاء الشرط الابتدائي خاطئًا.
خرافة: الطرف الأيمن الأملس يعني أن الحل يعيش إلى الأبد.
في الحقيقة: y′ = y² تنفجر في زمن محدود.
بطاقات تعليمية
قابلة للفصل
dy/dx = g(x)h(y).
الخطية من الرتبة الأولى
y′ + p y = q.
عامل التكامل
μ = e^(∫p dx).
التامة
M_y = N_x; F = C.
مسألة القيمة الابتدائية
معادلة تفاضلية عادية مع y(x₀) = y₀.
الوجود والوحدانية
f وf_y متصلتان ⇒ حل محلي واحد.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
أبسط معادلة من الرتبة الأولى، y′ = −y/τ، تصف كيف يزول ملوث من بحيرة جيدة الخلط أو كيف يغادر غاز الغلاف الجوي. ورقمها الوحيد، المقياس الزمني τ، يحدد هل يتلاشى الخطأ في سنوات أم يدوم قرونًا (الوحدة 2).
على Saving Planets: صفحة الأنهار
المصادر: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · Lebl, 1.4 Linear equations and the integrating factor
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 1.3 Separable equations: قسم من كتاب مدرسي مجاني.
- Lebl, 1.4 Integrating factor: المعادلات الخطية.
- Lebl, 1.8 Exact equations: المعادلات التامة.
- Lebl, 1.2 Slope fields: الوجود والوحدانية.
الوحدة 2 · الأسبوع 3
النمذجة بمعادلات الرتبة الأولى
تحويل موقف إلى معادلة: الخلط وتلوث البحيرات، والاضمحلال والأعمار، وتبريد نيوتن، والنمو اللوجستي، والحصاد، ونقاط التوازن مع استقرارها.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- ابنِ نماذج معدل الدخول ناقص معدل الخروج.
- فسّر الثوابت الزمنية والأعمار.
- أوجد نقاط توازن المعادلات المستقلة وصنّف استقرارها.
- استخدم النموذج اللوجستي مع الحصاد لإيجاد أقصى غلة مستدامة.
المفاهيم الأساسية
- معدل التغير = معدل الدخول − معدل الخروج. اكتب وحدات كل حد.
- البحيرة جيدة الخلط ذات زمن المكوث τ تفقد الملوث بمعدل C/τ متى صار التدفق الداخل نظيفًا.
- لمعادلة مستقلة y′ = f(y)، تحقق نقاط التوازن f(y) = 0؛ ويكون التوازن مستقرًا إذا كانت f′(y) < 0.
- النمو اللوجستي P′ = rP(1 − P/K) يستقر عند K. ومع حصاد ثابت H، يكون أكبر حصاد مستدام rK/4، عند P = K/2.
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 2.1 زمن مكوث بحيرة إيري 2.6 سنة وبحيرة سوبيريور 191 سنة (EPA). إذا توقف تدفق ملوث، فكم يلزم حتى ينخفض تركيزه في كل بحيرة إلى 10%، باعتبار كل منهما جيدة الخلط؟
اعرض الخطوات
- C/C₀ = e^(−t/τ) = 0.1، إذن t = τ ln 10.
- إيري: 2.6 × 2.303 = 5.99 سنة.
- سوبيريور: 191 × 2.303 = 440 سنة.
الإجابة: نحو 6 سنوات لإيري لكن نحو 440 لسوبيريور. الوقاية أهم ما تكون حيث يكون التجدد بطيئًا.
مثال 2.2 تقول EPA إن الميثان يبقى نحو عقد في الغلاف الجوي في المتوسط. اعتبر نبضة ميثان تضمحل مع τ = 10 سنوات. ما النسبة المتبقية بعد 30 سنة؟
اعرض الخطوات
- النسبة = e^(−30/10) = e^(−3).
الإجابة: نحو 5%. لذا يؤتي خفض تسربات الميثان ثماره خلال عقود، بخلاف CO₂ الذي يبقى مدة أطول بكثير.
مثال 2.3 مخزون سمكي يتبع P′ = 0.4P(1 − P/10000) − H (أطنان، سنوات؛ قيم نموذجية). أوجد أقصى غلة مستدامة.
اعرض الخطوات
- النمو rP(1 − P/K) أكبر ما يكون عند P = K/2 = 5000 t.
- وهناك يساوي rK/4 = 0.4 × 10000/4.
الإجابة: 1000 طن في السنة. والحصاد الأكثر من ذلك يدفع المخزون إلى الانهيار.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
قهوة عند 90 °C تبرد في غرفة عند 20 °C وفق T′ = −0.1(T − 20) (بالدقائق). أوجد T(10).
اعرض الإجابة
T = 20 + 70e^(−1) ≈ 45.8 °C.
خزان سعته 100 L من الماء العذب يتلقى محلولًا ملحيًا تركيزه 0.5 g/L بمعدل 2 L/min ويُصرف بمعدل 2 L/min. أوجد كمية الملح بعد 50 دقيقة.
اعرض الإجابة
x′ = 1 − x/50, x = 50(1 − e^(−t/50)); x(50) = 50(1 − e^(−1)) ≈ 31.6 g.
أوجد نقاط توازن y′ = y(1 − y) وصنّفها.
اعرض الإجابة
y = 0 (f′ = 1، غير مستقرة) وy = 1 (f′ = −1، مستقرة).
في مثال المصايد، ماذا يحدث إذا كان H = 1200 t/yr؟
اعرض الإجابة
rP(1 − P/K) − H < 0 لكل P، فيتناقص المخزون إلى الصفر.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: زمن المكوث هو المدة اللازمة لإزالة كل الملوث.
في الحقيقة: بعد τ واحدة يبقى 37%؛ فالاضمحلال الأسي لا يصل إلى الصفر تمامًا أبدًا.
خرافة: المزيد من جهد الصيد يعني دائمًا صيدًا أكثر.
في الحقيقة: بعد تجاوز أقصى غلة مستدامة، يقلص الحصاد الإضافي المخزون والصيد المستقبلي.
خرافة: التوازن هو دائمًا المكان الذي ينتهي إليه النظام.
في الحقيقة: نقاط التوازن المستقرة وحدها تجذب الحلول القريبة.
بطاقات تعليمية
قانون التوازن
الداخل − الخارج.
الثابت الزمني
τ في e^(−t/τ)؛ يكتمل 63% من التغير بعد τ.
زمن المكوث
حجم البحيرة ÷ التدفق الخارج.
التوازن
f(y*) = 0.
اختبار الاستقرار
f′(y*) < 0 مستقرة.
أقصى غلة مستدامة
rK/4 عند P = K/2.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
تذكر EPA أزمنة مكوث للبحيرات العظمى من 2.6 سنة (إيري) إلى 191 سنة (سوبيريور)، ولهذا فإن السموم التي تدخل بحيرة سوبيريور مشكلة تمتد لأجيال.
يقيّم علماء مصايد الأسماك في NOAA المخزونات بنماذج سكانية مبنية على هذه الأفكار؛ وأقصى غلة مستدامة في النموذج اللوجستي هي نقطة الانطلاق الكلاسيكية.
على Saving Planets: محور المحيطات · صفحة الأنهار
المصادر: U.S. EPA: Physical features of the Great Lakes (retention times) · U.S. EPA: Understanding global warming potentials · NOAA Fisheries: تقييمات المجموعات السمكية
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 1.6 Autonomous equations: نقاط التوازن، والنمو اللوجستي، والحصاد.
- Lebl, 1.4 Integrating factor: مسائل الخلط.
- OpenStax Calculus 2, 4.4 The Logistic Equation: النموذج اللوجستي.
الوحدة 3 · الأسبوعان 4–5
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية والاهتزازات
المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة، والمعادلة المميزة، والاهتزازات الحرة: غير المخمدة، وناقصة التخميد، وحرجة التخميد، وزائدة التخميد.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- حل ay″ + by′ + cy = 0 بالمعادلة المميزة.
- تعامل مع الجذور الحقيقية والمكررة والمركبة.
- انمذج أنظمة الكتلة والنابض والمخمِّد.
- صنّف التخميد واحسب التردد الطبيعي والتخميد الحرج.
المفاهيم الأساسية
- جرّب y = e^(rt): ar² + br + c = 0. جذران حقيقيان يعطيان دالتين أسيتين؛ والجذر المكرر يعطي (c₁ + c₂t)e^(rt)؛ والجذران المركبان α ± iβ يعطيان e^(αt)(c₁ cos βt + c₂ sin βt).
- التراكب: مجاميع حلول معادلة خطية متجانسة حلول أيضًا.
- للمعادلة mx″ + cx′ + kx = 0 تردد طبيعي ω₀ = √(k/m).
- التخميد c < 2√(mk) يتذبذب ويضمحل (ناقص التخميد)؛ وc = 2√(mk) يعود بأسرع ما يمكن دون تجاوز (حرج).
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 3.1 حل y″ + 4y = 0، y(0) = 1، y′(0) = 0. ما الدور؟
اعرض الخطوات
- r² + 4 = 0, r = ±2i.
- y = cos 2t.
- الدور 2π/2.
الإجابة: y = cos 2t، الدور π ≈ 3.14.
مثال 3.2 حل y″ + 2y′ + 5y = 0، y(0) = 1، y′(0) = 0، وأوجد y(1).
اعرض الخطوات
- r = −1 ± 2i.
- y = e^(−t)(cos 2t + ½ sin 2t) يحقق الشرطين.
- y(1) = e^(−1)(cos 2 + ½ sin 2).
الإجابة: ≈ 0.0142: كاد التذبذب أن يتلاشى.
مثال 3.3 كتلة 2 kg معلقة بنابض ثابته k = 50 N/m. أوجد ω₀، والتردد بالهرتز، والتخميد الحرج.
اعرض الخطوات
- ω₀ = √(50/2) = 5 rad/s.
- f = 5/(2π) = 0.796 Hz.
- c_crit = 2√(2 × 50) = 20 N·s/m.
الإجابة: 5 rad/s، 0.80 Hz، 20 N·s/m.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
حل y″ − 3y′ + 2y = 0.
اعرض الإجابة
r = 1, 2: y = c₁eᵗ + c₂e^(2t).
حل y″ + 2y′ + y = 0.
اعرض الإجابة
جذر مكرر r = −1: y = (c₁ + c₂t)e^(−t).
صنّف x″ + 6x′ + 5x = 0.
اعرض الإجابة
r = −1، −5: زائد التخميد (c = 6 > 2√5).
أوجد دور x″ + 9x = 0.
اعرض الإجابة
ω = 3، الدور 2π/3 ≈ 2.09.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: الجذور المركبة تعني حلولًا مركبة.
في الحقيقة: الجزءان الحقيقي والتخيلي يعطيان حلولًا حقيقية: e^(αt)cos βt وe^(αt)sin βt.
خرافة: الجذر المكرر يعطي حلًا واحدًا فقط.
في الحقيقة: الحل الثاني هو t e^(rt).
خرافة: المزيد من التخميد يعني دائمًا استقرارًا أسرع.
في الحقيقة: الأنظمة زائدة التخميد تعود أبطأ من الأنظمة حرجة التخميد.
بطاقات تعليمية
المعادلة المميزة
ar² + br + c = 0.
التراكب
مجاميع الحلول حلول (خطية متجانسة).
الجذر المكرر
(c₁ + c₂t)e^(rt).
التردد الطبيعي
ω₀ = √(k/m).
ناقص التخميد
يتذبذب وهو يضمحل.
التخميد الحرج
c = 2√(mk).
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
لكل منشأة عالية، من برج توربين رياح إلى جسر، ترددات طبيعية تحددها صلابتها وكتلتها، وهي بالضبط ω₀ = √(k/m) في أبسط نموذج. ويحدد التخميد سرعة تلاشي التمايل الناتج عن هبات الرياح، وهذا يؤثر في الكلال وفي عمر المنشأة.
على Saving Planets: الفيزياء I، الوحدة 8: الاهتزازات
المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية) · Lebl, 2.4 Mechanical vibrations
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 2.1 Second-order linear ODEs: النظرية.
- Lebl, 2.2 Constant coefficient equations: المعادلة المميزة.
- Lebl, 2.4 Mechanical vibrations: التخميد.
- PhET: Masses and Springs: المحاكاة.
الوحدة 4 · الأسبوع 6
الاهتزاز القسري والرنين
المعادلات غير المتجانسة، والمعاملات غير المحددة، واستجابة السعة لمتذبذب مُحرَّك، والضربات والرنين.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- أوجد الحلول الخاصة بطريقة المعاملات غير المحددة.
- اكتب الحل العام على أنه الحل المتجانس زائد حل خاص.
- احسب سعة الحالة المستقرة لمتذبذب مخمد مُحرَّك.
- اشرح الرنين وكيف يتجنبه المهندسون.
المفاهيم الأساسية
- الحل العام = الحل المتجانس + حل خاص واحد.
- خمّن الصيغة من القوة المؤثرة: مع cos ωt جرّب A cos ωt + B sin ωt.
- عند تحريكه بتردد ω، يستقر المتذبذب المخمد في حركة ثابتة سعتها X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
- قرب ω = ω₀ تبلغ السعة ذروتها؛ ومع نسبة التخميد ζ = c/c_crit يكون أقصى تضخيم ديناميكي نحو 1/(2ζ). ومن دون تخميد تنمو الاستجابة بلا حد.
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 4.1 أوجد حلًا خاصًا لـ y″ + y = cos 2t.
اعرض الخطوات
- جرّب y_p = A cos 2t: −4A + A = 1.
- A = −1/3.
الإجابة: y_p = −⅓ cos 2t (معاكس في الطور، لأن التحريك أعلى من التردد الطبيعي).
مثال 4.2 انمذج برج توربين رياح كمتذبذب واحد تردده الطبيعي 0.30 Hz ونسبة تخميده ζ = 0.01 (قيم نموذجية). يدور الدوّار بسرعة 12 rpm = 0.20 Hz، وتمر ثلاث شفرات أمام البرج بتردد 0.60 Hz. أوجد التضخيم الديناميكي في كل حالة، وعند الرنين.
اعرض الخطوات
- At 0.20 Hz, r = 0.667: 1/√((1 − 0.444)² + (0.0133)²) = 1.80.
- At 0.60 Hz, r = 2: 1/√(9 + 0.0016) = 0.333.
- At r = 1: 1/(2ζ) = 50.
الإجابة: 1.8 و0.33، لكن 50 عند الرنين. لهذا يُبقي المصممون التردد الطبيعي للبرج بعيدًا عن ترددي الدوّار ومرور الشفرات.
مثال 4.3 حل y″ + y = cos t، y(0) = y′(0) = 0.
اعرض الخطوات
- القوة المؤثرة تطابق التردد الطبيعي، لذا جرّب y_p = t(A cos t + B sin t).
- التعويض يعطي A = 0، B = ½.
- y = ½ t sin t.
الإجابة: تنمو السعة مثل t/2 بلا حد: رنين تام.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
أوجد y_p لـ y″ + 3y′ + 2y = 4.
اعرض الإجابة
y_p = 2.
أوجد y_p لـ y″ − y = eᵗ.
اعرض الإجابة
eᵗ تحل المعادلة المتجانسة، إذن y_p = ½ t eᵗ.
كتلة 1 kg، وk = 100 N/m، وc = 2 N·s/m، تُحرَّك بقوة 10 cos 10t N. أوجد السعة المستقرة.
اعرض الإجابة
k − mω² = 0، إذن X = 10/(2 × 10) = 0.5 m.
مع ζ = 0.05، ما أقصى تضخيم؟
اعرض الإجابة
نحو 1/(2 × 0.05) = 10.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: الرنين يحتاج إلى قوة كبيرة.
في الحقيقة: قوة دورية صغيرة عند التردد الطبيعي تبني استجابة كبيرة.
خرافة: التخميد يزيل الرنين.
في الحقيقة: إنه يحد الذروة عند نحو 1/(2ζ)، وهي تظل كبيرة للمنشآت قليلة التخميد.
خرافة: طريقة المعاملات غير المحددة تصلح لأي قوة مؤثرة.
في الحقيقة: فقط لكثيرات الحدود والدوال الأسية والجيوب وجيوب التمام وحواصل ضربها؛ وإلا فاستخدم تغيير الوسائط أو لابلاس.
بطاقات تعليمية
الحل الخاص
أي حل واحد للمعادلة القسرية.
المعاملات غير المحددة
خمّن صيغة القوة المؤثرة.
استجابة السعة
X = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²).
نسبة التخميد
ζ = c/(2√(mk)).
الرنين
استجابة كبيرة قرب ω₀؛ الذروة ≈ 1/(2ζ).
الضربات
تردادان متقاربان يصنعان غلافًا بطيئًا.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
تزداد توربينات الرياح حجمًا وارتفاعًا لحصاد مزيد من الطاقة، وأبراجها وشفراتها قليلة التخميد. وتجنب الرنين بين المنشأة والدوّار الدائر جزء أساسي من إبقاء آلات الطاقة النظيفة هذه آمنة وطويلة العمر. ويستكشف المختبر D ذلك بنموذج تجريبي.
على Saving Planets: الفيزياء I، الوحدة 3: طاقة الرياح
المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية) · Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 2.5 Nonhomogeneous equations: المعاملات غير المحددة وتغيير الوسائط.
- Lebl, 2.6 Forced oscillations and resonance: الرنين.
- MIT OCW 18.03SC, Unit II: معادلات الرتبة الثانية، محاضرات ومسائل.
الوحدة 5 · الأسابيع 7–8
تحويلات لابلاس
تحويل المعادلات التفاضلية إلى جبر: التحويل وجدوله، والمشتقات، والدوال الدرجية للمدخلات المحوّلة، والنبضات، والالتفاف.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- احسب تحويلات لابلاس من التعريف ومن جدول.
- حل مسائل القيم الابتدائية بالتحويلات والكسور الجزئية.
- انمذج المدخلات المحوّلة بدوال الدرجة الأحادية والإزاحات.
- انمذج النبضات المفاجئة بدالة دلتا.
المفاهيم الأساسية
- L{f}(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt يحول المشتقات إلى ضرب في s، مع تضمين القيم الابتدائية.
- احسب Y(s)، وجزّئه إلى كسور جزئية، ثم اعكسه بالجدول.
- المفتاح الذي يُقلب عند الزمن a هو u(t − a)؛ وقاعدة الإزاحة L{u(t − a)f(t − a)} = e^(−as)F(s).
- الدفعة اللحظية هي δ(t − a)، مع L{δ(t − a)} = e^(−as).
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 5.1 حل y′ − 2y = e^(3t)، y(0) = 1.
اعرض الخطوات
- sY − 1 − 2Y = 1/(s − 3).
- Y = 1/((s − 2)(s − 3)) + 1/(s − 2) = [1/(s − 3) − 1/(s − 2)] + 1/(s − 2).
- Y = 1/(s − 3).
الإجابة: y = e^(3t). تحقق: 3e^(3t) − 2e^(3t) = e^(3t).
مثال 5.2 بحيرة نظيفة تبدأ في تلقي تدفق ثابت من ملوث عند t = 2: y′ + y = u(t − 2)، y(0) = 0. أوجد y(3).
اعرض الخطوات
- (s + 1)Y = e^(−2s)/s.
- 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1)، إذن y = (1 − e^(−(t − 2)))u(t − 2).
- y(3) = 1 − e^(−1).
الإجابة: ≈ 0.632 من المستوى النهائي، بعد ثابت زمني واحد من التحويل.
مثال 5.3 متذبذب ساكن y″ + 4y = δ(t − 1) يتلقى دفعة عند t = 1. أوجد y(1 + π/4).
اعرض الخطوات
- (s² + 4)Y = e^(−s).
- y = ½ sin(2(t − 1)) u(t − 1).
- عند t = 1 + π/4: ½ sin(π/2).
الإجابة: 0.5، الذروة الأولى.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
أوجد L{t}.
اعرض الإجابة
1/s².
اعكس 3/(s² + 9).
اعرض الإجابة
sin 3t.
حل y′ + y = 0، y(0) = 4.
اعرض الإجابة
Y = 4/(s + 1), y = 4e^(−t).
حل y″ + y = 0، y(0) = 0، y′(0) = 2.
اعرض الإجابة
Y = 2/(s² + 1)، y = 2 sin t.
أوجد L{u(t − 3)}.
اعرض الإجابة
e^(−3s)/s.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: L{fg} = L{f}L{g}.
في الحقيقة: حاصل ضرب التحويلات يقابل الالتفاف، لا حاصل الضرب.
خرافة: تُطبَّق الشروط الابتدائية في النهاية.
في الحقيقة: إنها تدخل فورًا عبر L{y′} = sY − y(0).
خرافة: الدوال الدرجية تحتاج إلى حل مجزأ.
في الحقيقة: لابلاس يتعامل مع التحويلات في خطوة واحدة.
بطاقات تعليمية
تحويل لابلاس
∫₀^∞ e^(−st) f dt.
L{y′}
sY − y(0).
L{eᵃᵗ}
1/(s − a).
الدرجة الأحادية
u(t − a): مطفأ ثم مشغَّل.
دلتا
δ(t − a): نبضة لحظية؛ L = e^(−as).
الالتفاف
L{f * g} = FG.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
المدخلات البيئية الحقيقية تبدأ وتتوقف: يبدأ تصريف مصنع، ويتوقف إطلاق مياه من سد، ويحقن ثوران بركاني الهباء الجوي دفعة واحدة. والمدخلات الدرجية والنبضية مع تحويلات لابلاس تعطي الاستجابة لكل منها في حساب واحد، وهي الطريقة التي يستخدمها المهندسون لأنظمة التحكم في شبكات الكهرباء ومحطات المعالجة.
على Saving Planets: صفحة الأنهار
المصادر: Lebl, 6.1 The Laplace transform · Lebl, 6.4 Dirac delta and impulse response
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 6.1 The Laplace transform: التعريف والجدول.
- Lebl, 6.2 Transforms of derivatives and ODEs: حل مسائل القيم الابتدائية.
- Lebl, 6.3 Convolution: الالتفاف.
- Lebl, 6.4 Dirac delta: النبضات.
الوحدة 6 · الأسبوعان 9–10
الأنظمة الخطية والقيم الذاتية ومستويات الطور
الأنظمة x′ = Ax، وطرق القيم الذاتية، ومستوى الطور، وتصنيف نقاط التوازن إلى عقد وسروج ولوالب ومراكز.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- اكتب المعادلات المقترنة والمعادلات ذات الرتب الأعلى كأنظمة من الرتبة الأولى.
- حل x′ = Ax بالقيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
- ارسم صور الطور.
- صنّف نقطة الأصل بالأثر والمحدد.
المفاهيم الأساسية
- إذا كان Av = λv، فإن x = e^(λt)v يحل x′ = Ax؛ والحل العام يجمع حدًا كهذا لكل قيمة ذاتية.
- قيم ذاتية حقيقية متعاكسة الإشارة: سرج. وكلتاهما سالبتان: عقدة مستقرة.
- قيم ذاتية مركبة α ± iβ: لوالب (مستقرة إذا كان α < 0)؛ ومراكز إذا كان α = 0.
- لمصفوفة 2 × 2، λ² − (tr A)λ + det A = 0.
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 6.1 نموذج كربون من صندوقين: يتبادل الغلاف الجوي A والمحيط O الكربون وفق A′ = −0.2A + 0.1O، O′ = 0.2A − 0.1O (لكل سنة؛ معدلات نموذجية). ابدأ بـ 3 وحدات في الهواء ولا شيء في المحيط.
اعرض الخطوات
- القيم الذاتية: tr = −0.3، det = 0، إذن λ = 0 و−0.3.
- للقيمة λ = 0 المتجه الذاتي (1, 2): التوزيع عند التوازن 1 : 2. والكربون الكلي (3) محفوظ، إذن A → 1، O → 2.
- A(t) = 1 + 2e^(−0.3t).
الإجابة: يحتفظ الهواء بثلث النبضة في هذا النموذج المبسط، بمقياس زمني 1/0.3 ≈ 3.33 سنة.
مثال 6.2 صنّف نقطة الأصل لـ A = [[1, 2], [2, 1]].
اعرض الخطوات
- λ² − 2λ − 3 = 0, λ = 3, −1.
الإجابة: إشارتان متعاكستان: سرج (غير مستقر).
مثال 6.3 صنّف نقطة الأصل لـ A = [[−1, −2], [2, −1]].
اعرض الخطوات
- tr = −2، det = 5: λ² + 2λ + 5 = 0.
- λ = −1 ± 2i.
الإجابة: لولب مستقر: تدور الحلول نحو الداخل، مضمحلة مثل e^(−t).
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
اكتب y″ + 3y′ + 2y = 0 كنظام.
اعرض الإجابة
x₁ = y, x₂ = y′: x₁′ = x₂, x₂′ = −2x₁ − 3x₂.
القيم الذاتية لـ [[2, 0], [0, −3]]؟
اعرض الإجابة
2 و−3: سرج.
صنّف [[0, 1], [−4, 0]].
اعرض الإجابة
λ = ±2i: مركز (تذبذب غير مخمد).
صنّف [[−3, 1], [0, −2]].
اعرض الإجابة
λ = −3، −2: عقدة مستقرة.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: المتجهات الذاتية وحيدة.
في الحقيقة: أي مضاعف غير صفري يصلح.
خرافة: القيمة الذاتية الصفرية تعني عدم وجود حركة.
في الحقيقة: إنها تعني مستقيمًا من نقاط التوازن أو كمية محفوظة، كما في نموذج صناديق الكربون.
خرافة: القيم الذاتية المركبة تعطي حلولًا مركبة فقط.
في الحقيقة: الجزءان الحقيقي والتخيلي يعطيان حلولًا حقيقية.
بطاقات تعليمية
النظام الخطي
x′ = Ax.
طريقة القيم الذاتية
x = e^(λt)v.
السرج
قيم ذاتية حقيقية متعاكسة الإشارة.
العقدة
قيم ذاتية حقيقية من الإشارة نفسها.
اللولب
قيم ذاتية مركبة، α ≠ 0.
الأثر–المحدد
λ² − tr λ + det = 0.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
نماذج دورة الكربون أنظمة خطية من صناديق (الغلاف الجوي، والمحيط السطحي، والمحيط العميق، واليابسة) تتبادل الكربون. وقيمها الذاتية هي المقاييس الزمنية التي تُمتص عليها نبضة CO₂: بعضها سريع، وبعضها يستغرق قرونًا أو أكثر. ويصف عرض ناسا لدورة الكربون الدورتين السريعة والبطيئة اللتين تمثلهما هذه الصناديق.
على Saving Planets: محور المحيطات
المصادر: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 3.1 Introduction to systems: الأنظمة.
- Lebl, 3.4 Eigenvalue method: القيم الذاتية.
- Lebl, 3.5 Two-dimensional systems and their vector fields: صور الطور.
الوحدة 7 · الأسبوعان 11–12
الأنظمة غير الخطية والاستقرار
نقاط توازن الأنظمة غير الخطية، والتخطيط الخطي بمصفوفة جاكوبي، ودورات المفترس والفريسة، ونموذج SIR للأوبئة.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- أوجد نقاط توازن الأنظمة غير الخطية.
- خطّط خطيًا بمصفوفة جاكوبي وصنّف نقاط التوازن.
- حلّل نموذج لوتكا–فولتيرا للمفترس والفريسة.
- استخدم نموذج SIR: R₀، وعتبة مناعة القطيع، والحجم النهائي.
المفاهيم الأساسية
- قرب نقطة توازن، يتصرف النظام غير الخطي مثل تخطيطه الخطي x′ = J x، حيث J مصفوفة جاكوبي (ما لم يكن التخطيط الخطي مركزًا).
- لوتكا–فولتيرا: الفرائس x′ = ax − bxy، والمفترسات y′ = −cy + dxy. نقطة التوازن (c/d, a/b)؛ وتدور الأعداد حولها.
- SIR: S′ = −βSI، I′ = βSI − γI، R′ = γI. عدد التكاثر الأساسي R₀ = β/γ؛ ولا يتنامى التفشي إلا إذا كان R₀S > 1.
- عتبة مناعة القطيع هي 1 − 1/R₀؛ والنسبة النهائية غير المصابة s∞ تحقق ln s∞ = R₀(s∞ − 1).
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 7.1 تتبع الفرائس والمفترسات x′ = x − 0.02xy، y′ = −0.5y + 0.005xy (قيم نموذجية، بالسنوات). أوجد نقطة توازن التعايش ودور الدورات الصغيرة.
اعرض الخطوات
- x′ = 0 يتطلب y = 1/0.02 = 50؛ وy′ = 0 يتطلب x = 0.5/0.005 = 100.
- لمصفوفة جاكوبي هناك القيم الذاتية ±i√(ac) = ±i√0.5.
- الدور 2π/√0.5.
الإجابة: 100 فريسة و50 مفترسًا؛ وتدوم الدورات الصغيرة نحو 8.9 سنة، مع تأخر المفترسات عن الفرائس.
مثال 7.2 وباء فيه β = 0.3 في اليوم وγ = 0.1 في اليوم. أوجد R₀، وعتبة مناعة القطيع، والنسبة النهائية لمن أصيبوا.
اعرض الخطوات
- R₀ = 3.
- العتبة 1 − 1/3 = 0.667.
- كرّر s = e^(3(s − 1)): s∞ = 0.0595.
الإجابة: R₀ = 3؛ المناعة لدى 67% توقف النمو؛ ودون تدخل يُصاب في النهاية نحو 94%، أكثر من العتبة لأن الوباء يتجاوزها.
مثال 7.3 صنّف نقطة التوازن P = K للنمو اللوجستي P′ = rP(1 − P/K).
اعرض الخطوات
- f′(P) = r − 2rP/K; f′(K) = −r < 0.
الإجابة: مستقرة: الاضطرابات الصغيرة تضمحل بمعدل r.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
أوجد نقاط توازن x′ = x(3 − x − y)، y′ = y(2 − x − y).
اعرض الإجابة
(0, 0)، (3, 0)، (0, 2) (لا توجد نقطة داخلية: المستقيمان x + y = 3 وx + y = 2 متوازيان).
خطّط x′ = sin x خطيًا قرب x = 0 وx = π.
اعرض الإجابة
f′(0) = 1 (غير مستقرة)، f′(π) = −1 (مستقرة).
إذا كان R₀ = 2، فما عتبة مناعة القطيع؟
اعرض الإجابة
1 − 1/2 = 50%.
في مثال المفترس والفريسة، ماذا يحدث للفرائس إذا أزيلت المفترسات؟
اعرض الإجابة
x′ = x: نمو أسي (حتى تتدخل قيود أخرى).
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: التخطيط الخطي يتنبأ دائمًا بالسلوك.
في الحقيقة: ليس عندما يعطي مركزًا؛ فالحدود غير الخطية هي التي تحسم.
خرافة: مناعة القطيع تعني أن الوباء يتوقف فورًا.
في الحقيقة: تتراجع الإصابات بعد العتبة لكنها قد تتجاوزها مع ذلك.
خرافة: دورات المفترس والفريسة تعني أن النموذج غير مستقر.
في الحقيقة: مدارات لوتكا–فولتيرا مغلقة: مستقرة استقرارًا محايدًا، لا تنمو ولا تنكمش.
بطاقات تعليمية
مصفوفة جاكوبي
مصفوفة المشتقات الجزئية الأولى.
التخطيط الخطي
x′ ≈ J x قرب نقطة توازن.
لوتكا–فولتيرا
دورات المفترس والفريسة حول (c/d, a/b).
SIR
القابلون للإصابة، والمصابون، والمتعافون.
R₀
β/γ، الإصابات الجديدة لكل حالة.
عتبة مناعة القطيع
1 − 1/R₀.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
في جزيرة رويال في بحيرة سوبيريور، يرصد National Park Service أعداد الذئاب والموظ منذ 1980، وهو سجل طويل للمفترس والفريسة. وصعودها وهبوطها المترابطان، وقرار هيئة المتنزهات نقل ذئاب جديدة إلى الجزيرة، هما بالضبط نوع النظام الذي تبدأ نماذج لوتكا–فولتيرا في تفسيره.
الرياضيات نفسها لنموذج SIR التي توجه استجابة الصحة العامة تُستخدم لأمراض الحياة البرية التي تهدد النظم البيئية.
على Saving Planets: محور المحيطات
المصادر: National Park Service: Wolves of Isle Royale · Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 8.1 Linearization, critical points and equilibria: التخطيط الخطي.
- Lebl, 8.2 Stability and classification: الاستقرار.
- Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems: المفترس والفريسة وغير ذلك.
الوحدة 8 · الأسبوع 13
الطرق العددية
طرق أويلر وأويلر المحسّنة ورونغ–كوتا، وحجم الخطوة والخطأ، ونموذج مناخي لتوازن الطاقة يُحل عدديًا.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- طبّق أويلر، وأويلر المحسّنة (هيون)، وRK4.
- اشرح رتبة الطريقة وكيف يتغير الخطأ مع حجم الخطوة.
- حل الأنظمة عدديًا.
- ابنِ نموذجًا مناخيًا صفري الأبعاد لتوازن الطاقة وحلّه.
المفاهيم الأساسية
- تتقدم طريقة أويلر على امتداد الميل: y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). وخطؤها الكلي يتناسب مع h.
- أويلر المحسّنة تأخذ متوسط ميلين (الخطأ ∝ h²)؛ وRK4 متوسط أربعة (الخطأ ∝ h⁴).
- تنصيف h يقلل خطأ RK4 نحو 16 مرة، ولهذا هي الطريقة الأكثر استخدامًا.
- توازن الطاقة: C dT/dt = ضوء الشمس الممتص − εσT⁴. ويأتي توازنه ومقياسه الزمني من المعادلة مباشرة.
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 8.1 قرّب y(1) لـ y′ = y، y(0) = 1 مع h = 0.1 بأويلر وأويلر المحسّنة وRK4.
اعرض الخطوات
- كل خطوة أويلر تضرب في 1.1: 1.1¹⁰ = 2.5937.
- أويلر المحسّنة تضرب في 1.105: 2.7141.
- RK4 تضرب في 1.1051708: 2.7182797.
الإجابة: القيمة الحقيقية e = 2.7182818. الأخطاء: 0.12 و0.0042 و0.000002.
مثال 8.2 تمتص الأرض 340 × (1 − 0.29) = 241.4 W/m² من ضوء الشمس (NASA). لو أشعّت كجسم أسود (ε = 1)، فما درجة الحرارة التي توازن ذلك؟ وأي ε فعّالة تعطي المتوسط الحالي البالغ نحو 288 K؟
اعرض الخطوات
- σT⁴ = 241.4 تعطي T = (241.4/5.67 × 10⁻⁸)^(1/4) = 255 K.
- ε = 241.4/(σ × 288⁴) = 0.619.
الإجابة: 255 K (−18 °C) دون أثر الدفيئة؛ والانبعاثية الفعالة 0.62 تمثل أثر الدفيئة الذي يجعل الأرض صالحة للعيش.
مثال 8.3 مع ε = 0.619 عند 288 K وطبقة خلط محيطية عمقها 50 m (C = 1000 × 4186 × 50 J/(m²·K)؛ عمق نموذجي)، أوجد λ والمقياس الزمني والاحترار دون تغذية راجعة لقسر قدره 4 W/m² (قيمة نموذجية).
اعرض الخطوات
- λ = 4εσT³ = 3.35 W/(m²·K).
- τ = C/λ = 6.24 × 10⁷ s ≈ 1.98 سنة (نحو 2).
- ΔT = 4/3.35.
الإجابة: نحو 1.2 K من الاحترار، يُقترب منه على مقياس زمني قدره 2 سنة في هذا النموذج البسيط. والتغذيات الراجعة الحقيقية (بخار الماء، والجليد) تجعل الاحترار أكبر، كما تقيّم IPCC.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
خطوة أويلر واحدة لـ y′ = t + y، y(0) = 1، h = 0.1.
اعرض الإجابة
y₁ = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1.
إذا كان خطأ أويلر 0.12 عند h = 0.1، فقدّره عند h = 0.05.
اعرض الإجابة
نحو 0.06 (الرتبة الأولى).
إذا كان خطأ RK4 يساوي 2 × 10⁻⁶ عند h = 0.1، فقدّره عند h = 0.05.
اعرض الإجابة
نحو 2 × 10⁻⁶/16 ≈ 1.3 × 10⁻⁷.
ما درجة حرارة التوازن التي يعطيها نموذج توازن الطاقة مع ε = 1 والبياض 0.29؟
اعرض الإجابة
نحو 255 K.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: الخطوات الأصغر أفضل دائمًا.
في الحقيقة: يزداد خطأ التقريب والكلفة؛ والطريقة ذات الرتبة الأعلى عادة أفضل من خطوات أويلر الضئيلة.
خرافة: الإجابة العددية دقيقة إذا عملت الشيفرة.
في الحقيقة: تحقق دائمًا من التقارب بتنصيف h.
خرافة: نتيجة 255 K تعني أن النموذج خاطئ.
في الحقيقة: إنها تبين مقدار ما يدفئ به أثر الدفيئة الأرض: نحو 33 K.
بطاقات تعليمية
طريقة أويلر
y + h f.
أويلر المحسّنة
متوسط ميلين؛ الرتبة 2.
RK4
أربعة ميول؛ الرتبة 4.
حجم الخطوة
h؛ تحقق من التقارب بتنصيفه.
نموذج توازن الطاقة
C T′ = S(1 − α) − εσT⁴.
المقياس الزمني للمناخ
τ = C/λ.
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
كل نموذج مناخي، من توازن الطاقة هذا المكتوب في سطر واحد إلى النماذج العالمية التي تقيّمها IPCC، هو نظام من المعادلات التفاضلية يُحل عدديًا. وتوفر ميزانية الطاقة من NASA المدخلات: يصل في المتوسط 340 W/m² من ضوء الشمس ويُعكس 29%.
على Saving Planets: مقدمة في البرمجة، وحدة المحاكاة
المصادر: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget · IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 1.7 Numerical methods: Euler’s method: أويلر والخطأ.
- Trench, Ch. 3: Numerical methods: أويلر المحسّنة وRK4.
الوحدة 9 · الأسبوع 14
الحلول بالمتسلسلات ومتسلسلات فورييه ومعادلة الحرارة
حلول المعادلات التفاضلية العادية بمتسلسلات القوى، ومتسلسلات فورييه للدوال الدورية، وفصل المتغيرات لمعادلة الحرارة.
أهداف التعلّم
في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:
- أوجد حلول متسلسلات القوى من علاقة تكرارية.
- احسب معاملات فورييه لدوال دورية بسيطة.
- حل معادلة الحرارة على قضيب بفصل المتغيرات.
- قدّر إلى أي عمق تصل موجات الحرارة الموسمية في التربة.
المفاهيم الأساسية
- عوّض y = Σaₙxⁿ، وطابق القوى، واحصل على علاقة تكرارية للمعاملات.
- الدالة الدورية مجموع جيوب وجيوب تمام؛ ولدالة فردية على (−π, π)، bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
- معادلة الحرارة u_t = α u_xx تنشر الحرارة؛ وكل نمط جيبي يضمحل مثل e^(−α(nπ/L)²t)، والأنماط السريعة أولًا.
- تخترق حرارة السطح الدورية التربة بعمق تخميد d = √(2α/ω).
المعادلات الأساسية
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 9.1 حل y″ + y = 0 بمتسلسلات القوى.
اعرض الخطوات
- Σ(n + 2)(n + 1)aₙ₊₂xⁿ + Σaₙxⁿ = 0.
- aₙ₊₂ = −aₙ/((n + 2)(n + 1)).
- الحدود الزوجية تبني cos x، والفردية sin x.
الإجابة: y = a₀ cos x + a₁ sin x، مستخلصة من العلاقة التكرارية.
مثال 9.2 أوجد متسلسلة فورييه للموجة المربعة f = 1 على (0, π)، و−1 على (−π, 0).
اعرض الخطوات
- فردية، إذن جيوب فقط: bₙ = (2/π)∫₀^π sin nx dx = (2/(nπ))(1 − cos nπ).
- bₙ = 4/(nπ) لـ n فردي، و0 لـ n زوجي.
الإجابة: f = (4/π)(sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …)؛ b₁ ≈ 1.273.
مثال 9.3 تربة انتشاريتها α = 5 × 10⁻⁷ m²/s (قيمة نموذجية) تتعرض لدورة حرارة سنوية على السطح. أوجد عمق التخميد.
اعرض الخطوات
- ω = 2π/(3.156 × 10⁷ s) = 1.99 × 10⁻⁷ s⁻¹.
- d = √(2 × 5 × 10⁻⁷/1.99 × 10⁻⁷).
الإجابة: نحو 2.24 m: يتقلص التأرجح السنوي بعامل e لكل 2.2 m من العمق، لذا تستجيب التربة العميقة للاحترار ببطء، على مدى سنوات كثيرة.
تمارين
حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.
أوجد العلاقة التكرارية لـ y′ = y بمتسلسلات القوى.
اعرض الإجابة
aₙ₊₁ = aₙ/(n + 1)، إذن y = a₀eˣ.
هل f(x) = x² فردية أم زوجية؟ أي حدود فورييه تظهر؟
اعرض الإجابة
زوجية: جيوب تمام فقط (مع ثابت).
نمط القضيب يضمحل مثل e^(−α(π/L)²t). كيف يغيّر مضاعفة L زمن اضمحلاله؟
اعرض الإجابة
يضرب زمن الاضمحلال في 4.
أوجد b₃ للموجة المربعة.
اعرض الإجابة
4/(3π) ≈ 0.424.
مفاهيم خاطئة شائعة
خرافة: متسلسلات فورييه تصلح للدوال الملساء فقط.
في الحقيقة: تصلح للقفزات أيضًا، وتتقارب إلى منتصف القفزة.
خرافة: تنتشر الحرارة بسرعة ثابتة.
في الحقيقة: يزداد زمن الانتشار مع مربع المسافة.
خرافة: حلول المتسلسلات أفضل دائمًا من الصيغ.
في الحقيقة: تكون أنفع حين لا توجد صيغة مغلقة، كما في معادلتي إيري وبيسل.
بطاقات تعليمية
طريقة متسلسلات القوى
عوّض Σaₙxⁿ؛ واحصل على علاقة تكرارية.
متسلسلة فورييه
مجموع جيوب وجيوب تمام.
معامل فورييه
bₙ = (2/π)∫₀^π f sin nx dx.
معادلة الحرارة
u_t = α u_xx.
فصل المتغيرات
u = X(x)T(t).
عمق التخميد
√(2α/ω).
اختبار ذاتي
كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب
وفقًا لـ NASA، تحتوي التربة الصقيعية في نصف الكرة الشمالي على نحو 1672 مليار طن من الكربون العضوي. وسرعة وصول احترار السطح إليها مسألة في معادلة الحرارة، ويبين عمق التخميد لماذا تستجيب الطبقات العميقة ببطء لكنها تظل تستجيب طويلًا بعد احترار السطح.
على Saving Planets: التفاضل والتكامل 3
المصادر: NASA Earth Observatory: The Carbon Cycle · Lebl, 4.6 PDEs, separation of variables, and the heat equation
مصادر تعلّم مجانية
- Lebl, 7.1 Power series: متسلسلات القوى.
- Lebl, 7.2 Series solutions of linear second-order ODEs: الحلول بالمتسلسلات.
- Lebl, 4.2 Trigonometric series: متسلسلات فورييه.
- Lebl, 4.6 The heat equation: معادلة الحرارة.
المختبرات الحاسوبية
أربعة مختبرات حاسوبية: وباء SIR يُحل بأويلر وRK4، ومستوى طور للمفترس والفريسة، ونموذج مناخي لتوازن الطاقة، ومسح ترددي لنموذج برج توربين رياح.
المعاملات النموذجية موسومة بذلك؛ وكل مختبر يحيل إلى مصدر عام عن النظام الحقيقي.
مرجع السلامة: Lebl: Notes on Diffy Qs (free textbook)
المختبر A: وباء SIR بأويلر وRK4
الأسبوع 12
الهدف: حل نموذج SIR عدديًا، وأوجد الذروة، وقارن أويلر وRK4 بالحجم النهائي الدقيق.
الإجراء
- ابدأ بـ S = 0.999، I = 0.001، R = 0 (نسب من السكان).
- شغّل أويلر مع h = 1 يوم وh = 0.1 يوم حتى اليوم 160، ثم RK4 مع h = 1 يوم.
- سجّل R النهائية وذروة I ووقت حدوثها؛ وقارن بالنظرية.
جدول البيانات
| الطريقة | R النهائية (اليوم 160) |
|---|---|
| أويلر، h = 1 | 0.9467 |
| أويلر، h = 0.1 | 0.9411 |
| RK4, h = 1 | 0.9405 |
| الحجم النهائي الدقيق (نظريًا) | 0.9405 |
قيم محسوبة لمعدلات نموذجية؛ ليست تفشيًا حقيقيًا.
مثال حسابي
- الذروة 30.1% مصابون في وقت واحد، قرب اليوم 38.4؛ وتعطي النظرية I_max = 1 − (1 + ln R₀)/R₀ = 0.300.
- أويلر مع h = 1 يبالغ في الحجم النهائي بمقدار 0.006؛ وRK4 بالخطوة نفسها يطابق النظرية حتى 4 أرقام.
السلامة
- لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.
بديل منزلي أو افتراضي
- جدول البيانات يكفي؛ وPython أسهل لـ RK4.
Lebl, 8.3 Applications of nonlinear systems
الصلة بالكوكب: بنية النموذج نفسها تُستخدم لتفشي الأمراض لدى البشر والحياة البرية.
المختبر B: مستوى الطور للمفترس والفريسة
الأسبوع 11
الهدف: كامِل نموذج لوتكا–فولتيرا بـ RK4 وارسم المدار المغلق في مستوى الطور.
الإجراء
- ابدأ بـ 150 فريسة و50 مفترسًا.
- استخدم RK4 بخطوة صغيرة (0.001 سنة في Python، أو 0.01 في جدول بيانات) لمدة 40 سنة.
- ارسم y مقابل x وسجّل مدى الفرائس والدورة.
جدول البيانات
| الكمية | القيمة |
|---|---|
| التوازن | (100, 50) |
| مدى الفرائس | من 62.6 إلى 150 |
| الدورة | 8.99 سنة |
| دورة الحلقات الصغيرة (النظرية الخطية) | 8.89 سنة |
قيم محسوبة؛ معاملات نموذجية.
مثال حسابي
- المدار ينغلق: تتكرر الأعداد كل 8.99 سنة، أطول قليلًا من 8.89 سنة التي تتنبأ بها النظرية الخطية للحلقات الصغيرة، لأن هذه الحلقة كبيرة.
- يبلغ المفترسون ذروتهم بعد الفرائس، وهو تأخر يُرى في كثير من السجلات الحقيقية.
السلامة
- لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.
بديل منزلي أو افتراضي
- يمكن لـ Desmos رسم حقل الميول لمستوى الطور.
Wolves and Moose of Isle Royale project (long-term data)
الصلة بالكوكب: السجلات الطويلة مثل سجل ذئاب وموظ جزيرة رويال تختبر هذه النماذج. National Park Service: Wolves of Isle Royale
المختبر C: نموذج مناخي لتوازن الطاقة
الأسبوع 13
الهدف: قدّم نموذجًا مناخيًا ذا صندوق واحد عبر الزمن بعد قسر مفاجئ وأوجد مقياسه الزمني.
الإجراء
- استخدم C = 2.09 × 10⁸ J/(m²·K) (50 m من المحيط)، وλ = 3.35 W/(m²·K) من الوحدة 8، وقسرًا مفاجئًا F = 4 W/m² (قيمة نموذجية).
- تقدّم بأويلر بخطوات شهرية لمدة 10 سنوات.
- قارن بالحل الدقيق ΔT = (F/λ)(1 − e^(−t/τ)).
جدول البيانات
| السنة | ΔT (K) |
|---|---|
| 1 | 0.48 |
| 2 | 0.77 |
| 5 | 1.10 |
| 10 | 1.19 |
قيم محسوبة من النموذج؛ لا تغذيات راجعة سوى الإشعاع.
مثال حسابي
- التوازن ΔT = F/λ = 1.19 K؛ τ = C/λ ≈ 2.0 سنة، لذا يكتمل الاحترار بنحو 63% بعد 2 سنة في هذا النموذج.
- يستجيب المناخ الحقيقي أبطأ ويحترّ أكثر، لأن الحرارة تختلط في أعماق المحيط والتغذيات الراجعة تضخمها.
السلامة
- لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.
بديل منزلي أو افتراضي
- يكفي جدول بيانات.
NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget
الصلة بالكوكب: نماذج توازن الطاقة هي الخطوة الأولى نحو الإسقاطات المناخية التي تقيّمها IPCC. IPCC AR6 Working Group I: The Physical Science Basis
المختبر D: مسح الرنين لنموذج برج توربين رياح
الأسبوع 6
الهدف: احسب التضخيم الديناميكي لنموذج برج بمذبذب واحد عبر ترددات الإثارة.
الإجراء
- استخدم f₀ = 0.30 Hz وζ = 0.01 (قيم نموذجية).
- جدوِل A لترددات الإثارة من 0.1 إلى 0.6 Hz.
- حدد تردد الدوار (0.20 Hz عند 12 دورة/دقيقة) وتردد مرور الشفرات (0.60 Hz) وقيّم التصميم.
جدول البيانات
| تردد الإثارة (Hz) | التضخيم |
|---|---|
| 0.10 | 1.12 |
| 0.20 | 1.80 |
| 0.25 | 3.27 |
| 0.30 | 50.0 |
| 0.35 | 2.76 |
| 0.60 | 0.333 |
قيم محسوبة لنموذج نموذجي، لا لتوربين بعينه.
مثال حسابي
- كلا ترددي التشغيل بعيدان عن ذروة 0.30 Hz، حيث تكون الاستجابة 50 ضعف الانحراف الساكن.
- لو تسارع الدوار إلى 18 دورة/دقيقة (0.30 Hz) لأثار البرج عند الرنين؛ ولهذا يقارن المصممون التردد الطبيعي بنطاق السرعات كله.
السلامة
- لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب.
بديل منزلي أو افتراضي
- يكفي جدول بيانات.
الصلة بالكوكب: تجنب الرنين يُبقي توربينات الرياح تولد طاقة نظيفة بأمان لعقود. وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية)
مجموعات تدريب للامتحان
وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.
مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)
حل y′ = −2ty، y(0) = 3، وأوجد y(1).
اعرض الحل الكامل
- dy/y = −2t dt; y = 3e^(−t²).
الإجابة: 3e^(−1) ≈ 1.104.
بحيرة زمن احتباسها 4 سنوات: كم يلزم حتى ينخفض ملوث إلى النصف بعد توقف التدفق الداخل؟
اعرض الحل الكامل
- t = 4 ln 2.
الإجابة: ≈ 2.77 سنة.
حل y″ + 6y′ + 9y = 0، y(0) = 1، y′(0) = 0، وأوجد y(1).
اعرض الحل الكامل
- y = (1 + 3t)e^(−3t).
الإجابة: 4e^(−3) ≈ 0.199.
حل y′ + y = 1، y(0) = 0 بلابلاس وأوجد y(2).
اعرض الحل الكامل
- Y = 1/(s(s + 1)) = 1/s − 1/(s + 1).
الإجابة: 1 − e^(−2) ≈ 0.865.
مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)
صنّف الأصل لـ x′ = [[0, 1], [−2, −2]]x.
اعرض الحل الكامل
- λ² + 2λ + 2 = 0, λ = −1 ± i.
الإجابة: حلزون مستقر.
وباء SIR فيه β = 0.5، γ = 0.25 يوميًا. أوجد R₀ وعتبة مناعة القطيع.
اعرض الحل الكامل
- R₀ = 2.
الإجابة: R₀ = 2، والعتبة 50%.
خطوتا أويلر مع h = 0.5 لـ y′ = −y، y(0) = 1.
اعرض الحل الكامل
- كل خطوة تضرب في 0.5.
الإجابة: y(1) ≈ 0.25 (القيمة الحقيقية e^(−1) ≈ 0.368).
نظام كتلة-نابض مع m = 1 kg، k = 16 N/m، c = 0.4 N·s/m. أوجد ω₀ وζ.
اعرض الحل الكامل
- ω₀ = 4 rad/s؛ c_crit = 8.
الإجابة: ω₀ = 4 rad/s، ζ = 0.05 (تضخيم الذروة نحو 10).
ورقة الصيغ
الثوابت
| الثابت | القيمة |
|---|---|
| ثابت ستيفان–بولتزمان σ | 5.67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) |
| متوسط ضوء الشمس عند قمة الغلاف الجوي | 340 W/m² |
| نسبة ضوء الشمس المنعكس | 29% |
| زمن احتباس بحيرة سوبيريور | 191 سنة |
| زمن احتباس بحيرة إيري | 2.6 سنة |
| متوسط عمر الميثان | نحو عقد |
المصدر: NASA Earth Observatory: Climate and Earth’s Energy Budget
نصوص وأدوات مجانية
استخدم هذه الكتب والأدوات المجانية إلى جانب المقرر.
- Lebl: Notes on Diffy Qs: كتاب مجاني كامل لهذا المقرر.
- Trench: Elementary Differential Equations (free text): كتاب مجاني فيه تمارين كثيرة.
- MIT OpenCourseWare 18.03SC Differential Equations: محاضرات MIT وحصص التمارين ومجموعات المسائل، مجانًا.
- آلة Desmos الحاسبة البيانية: ارسم الحلول وحقول الميول.
- PhET: Masses and Springs: حدس عن التخميد والتذبذب.
مسرد المصطلحات
- معادلة مستقلة
- y′ = f(y)، دون t صريح.
- المعادلة المميزة
- ar² + br + c = 0 للمعادلات ذات المعاملات الثابتة.
- التخميد الحرج
- أسرع عودة دون تجاوز.
- قيمة ذاتية
- λ مع Av = λv.
- نموذج توازن الطاقة
- نموذج مناخي يوازن ضوء الشمس الممتص والحرارة المنبعثة.
- التوازن
- حل ثابت.
- طريقة أويلر
- تقدّم عددي من الرتبة الأولى.
- المعادلة التامة
- M dx + N dy = 0 مع M_y = N_x.
- متسلسلة فورييه
- نشر بالجيوب وجيوب التمام.
- معادلة الحرارة
- u_t = α u_xx.
- عامل التكامل
- مُضاعِف يجعل المعادلة الخطية تامة.
- مصفوفة جاكوبي
- مصفوفة المشتقات الجزئية الأولى المستخدمة في التخطيط الخطي.
- تحويل لابلاس
- ∫₀^∞ e^(−st) f dt.
- لوتكا–فولتيرا
- نموذج المفترس والفريسة.
- صورة الطور
- المسارات في مستوى الحالة.
- الرنين
- استجابة كبيرة حين تطابق الإثارة ترددًا طبيعيًا.
- رونغ–كوتا (RK4)
- طريقة عددية من الرتبة الرابعة.
- R₀
- عدد التكاثر الأساسي.
- نموذج SIR
- نموذج وبائي: قابلون للعدوى–مصابون–متعافون.
- معادلة قابلة للفصل
- dy/dx = g(x)h(y).
معايير التقييم الذاتي
لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.
| المستوى | كيف يبدو |
|---|---|
| 4 · إتقان | يبني النماذج من الوصف، ويحلها بالصيغ وعدديًا، ويتحقق من الوحدات والسلوك على المدى الطويل. |
| 3 · متمكن | يحل مسائل التدريب مع أخطاء عرضية. |
| 2 · قيد التطور | يتبع الأمثلة المحلولة لكنه يجد صعوبة في بناء النماذج أو اختيار الطريقة. |
| 1 · مبتدئ | يطبّق الصيغ دون التحقق من الحلول؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة. |
الأوزان المقترحة إذا أردت درجة
| الجزء | الوزن |
|---|---|
| تمارين | 30% |
| المختبرات الحاسوبية | 15% |
| مجموعة تدريب منتصف الفصل | 25% |
| مجموعة التدريب النهائية | 30% |
استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.