Algèbre linéaire

Vecteurs, matrices et systèmes d’équations : élimination, LU, inverses, modèles entrées–sorties, les quatre sous-espaces fondamentaux, projections et moindres carrés, déterminants, valeurs propres, chaînes de Markov et SVD, avec six TP. Gratuit, à votre rythme, et lié au GPS, à Landsat, aux satellites de niveau de la mer, aux modèles météo, au recyclage et à la cartographie minérale.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)CNES (PIA25623)NASA Blue Marble

Cours › MATH 230

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À propos de ce cours

Ceci est le plan d’un cours gratuit en autonomie rédigé par Saving Planets. Ce n’est pas un cours universitaire : il ne donne aucun crédit académique et aucun établissement n’y participe.

Son contenu suit un cours d’algèbre linéaire d’un semestre de deuxième année. Il s’inspire des thèmes et du niveau de MIT 18.06 Linear Algebra enseigné par Gilbert Strang (gratuit sur MIT OpenCourseWare) et des cours d’algèbre linéaire de deuxième année de Georgia Tech et de Purdue, en s’appuyant sur le manuel gratuit de Georgia Tech Interactive Linear Algebra de Dan Margalit et Joseph Rabinoff et sur le manuel gratuit Linear Algebra de Jim Hefferon, que nous citons quand ils sont utiles. Aucun de ces auteurs ou établissements ne cautionne cette page.

Ce que nous ajoutons : chaque unité est reliée à un vrai travail sur la planète avec une source publique citée (GPS, Landsat 9, satellites de niveau de la mer de la NASA, supercalculateurs météo de la NOAA, données entrées–sorties et recyclage de l’EPA, études de bâtiments de l’USGS, spectromètre minéral EMIT de la NASA), chaque nombre de la page est recalculé par un script de vérification avant sa mise en ligne, et chaque TP se fait dans un tableur gratuit ou sur papier.

Suivez-le dans l’ordre. Chaque unité comporte des objectifs, des notions clés, des équations, des exemples pas à pas, des exercices corrigés en détail, des erreurs fréquentes, des cartes mémoire et un quiz. Votre progression est enregistrée uniquement dans ce navigateur.

Comment ce cours aide à sauver la planète

L’algèbre linéaire est le langage des données sur la planète. Un pixel satellite est un vecteur, une position GPS est la solution d’un système linéaire, une prévision météo, ce sont des millions d’équations résolues encore et encore, et la pollution d’une économie peut se suivre avec une seule matrice.

Les mêmes quelques idées, élimination, projection, valeurs propres et SVD, transforment des mesures brutes en cartes de forêts, en tendances du niveau de la mer et en cartes de poussières minérales. Chaque unité se termine par une courte section sourcée. Les valeurs qui ne proviennent pas d’une source sont indiquées comme valeurs d’exemple.

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Avant de commencer

Prérequis

Algèbre du lycée : résoudre deux équations à deux inconnues et manipuler des fonctions.
Analyse I aide pour les limites et les dérivées dans quelques exemples, mais aucune analyse n’est nécessaire pour la plus grande partie du cours.
Être à l’aise avec un tableur ; Introduction à la programmation aide pour les versions Python facultatives des TP.
Analyse III et Équations différentielles vont bien avec ce cours mais ne sont pas requis.

Comment étudier

Faites d’abord chaque calcul à la main sur de petits exemples (2 × 2 et 3 × 3), puis vérifiez-le avec un tableur ou une calculatrice.
Pensez à Ax de deux façons : comme les produits scalaires des lignes avec x, et comme une combinaison des colonnes de A.
Vérifiez chaque réponse : remplacez x dans Ax = b, multipliez A par son inverse, ou testez Av = λv.
Surveillez les dimensions : une matrice m × n fois une matrice n × p donne m × p, et des dimensions qui ne concordent pas signalent une erreur.
Faites des dessins en 2D et en 3D : droites, plans, projections et étirements rendent les règles faciles à retenir.
Faites chaque exercice sur papier avant d’ouvrir la réponse, et refaites les quiz quelques jours plus tard.

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

Un ordinateur avec un tableur gratuit (ses fonctions MMULT, MINVERSE, MDETERM et LINEST font le calcul matriciel).
Du papier millimétré, une règle, un rapporteur et un crayon.
Facultatif : Python gratuit avec NumPy pour les versions plus grandes des TP.
Une ficelle et des punaises ou du ruban adhésif pour le TP de trilatération, et une carte imprimée ou une feuille de papier.
Une photo en niveaux de gris ou une petite grille de nombres pour le TP de compression d’image.

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Programme suggéré sur 15 semaines

Environ 6 à 9 heures par semaine : lecture, exercices et, les semaines de TP, le TP.

Semaine	Unité	Thèmes	Lecture
1	Vecteurs : combinaisons linéaires, normes et produits scalaires	Vecteurs, combinaisons linéaires, espace engendré, norme	MIT 18.06 L1; ILA 2.1–2.2
2	Vecteurs : combinaisons linéaires, normes et produits scalaires	Produits scalaires, angles, orthogonalité ; TP A ; début de l’élimination	ILA 6.1
3	Systèmes d’équations linéaires et élimination de Gauss	Élimination, formes échelonnées, ensembles de solutions ; TP B	MIT 18.06 L2; ILA 1.1–1.3
4	Algèbre matricielle : multiplication, inverses et factorisation LU	Multiplication matricielle, inverses, A = LU ; TP C	MIT 18.06 L3–4; ILA 3.4–3.5
5	Modèles linéaires : économie entrées–sorties (Leontief), réseaux et équilibrage	Modèles entrées–sorties, réseaux, équilibrage	Hefferon Topics; EPA USEEIO
6	Espaces vectoriels, sous-espaces, indépendance, base, rang et les quatre sous-espaces fondamentaux	Sous-espaces, espace des colonnes, noyau, Ax = 0	MIT 18.06 L5–7; ILA 2.6
7	Espaces vectoriels, sous-espaces, indépendance, base, rang et les quatre sous-espaces fondamentaux	Indépendance, base, dimension, rang, quatre sous-espaces ; entraînement de mi-parcours	MIT 18.06 L8–10; ILA 2.5, 2.7, 2.9
8	Orthogonalité, projections, moindres carrés et Gram–Schmidt	Orthogonalité et projections	MIT 18.06 L14–15; ILA 6.3
9	Orthogonalité, projections, moindres carrés et Gram–Schmidt	Moindres carrés, Gram–Schmidt, A = QR ; TP D	MIT 18.06 L16–17; ILA 6.4–6.5
10	Déterminants : propriétés, cofacteurs, règle de Cramer et volume	Déterminants, cofacteurs, règle de Cramer, volume	MIT 18.06 L18–20; ILA 4.1–4.3
11	Valeurs propres et vecteurs propres	Valeurs propres, vecteurs propres, méthode de la puissance itérée, modes	MIT 18.06 L21; ILA 5.1–5.2, 5.5
12	Diagonalisation, puissances de matrices, chaînes de Markov et systèmes dynamiques linéaires	Diagonalisation, chaînes de Markov, systèmes dynamiques ; TP E	MIT 18.06 L22–25; ILA 5.4, 5.6
13	La décomposition en valeurs singulières, l’analyse en composantes principales et les matrices définies positives	Matrices définies positives et SVD	MIT 18.06 L27–29
14	La décomposition en valeurs singulières, l’analyse en composantes principales et les matrices définies positives	Approximation de rang faible, ACP, conditionnement ; TP F	MIT 18.06 L29 ; site du livre de Strang
15	Révision	Révision et série d’exercices finale	Toutes les unités

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Votre progression

Cochez les unités et les TP à mesure que vous les terminez, et faites les quiz. La progression et les scores sont enregistrés uniquement dans ce navigateur et ne nous sont jamais envoyés.

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Le laboratoire (Computation lab)

Le labo est la partie pratique du cours. Ici, il est gratuit et sert uniquement à s’entraîner, sans crédits.

Chaque TP se fait dans un tableur gratuit ou sur papier ; les versions Python sont facultatives. Faites des pauses régulières loin de l’écran, et manipulez épingles et ciseaux avec précaution.

Référence de sécurité : OSHA: Computer workstations eTool

TP A : vecteurs de pixels et indice de végétation

Semaine 2

Objectif : Traiter les pixels satellitaires comme des vecteurs : calculer des longueurs, des angles entre pixels et le NDVI, et voir que végétation, sol et eau pointent dans des directions différentes.

\cos\theta=\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}{\|\mathbf{p}\|\|\mathbf{q}\|},\quad \text{NDVI}=\frac{\text{NIR}-\text{red}}{\text{NIR}+\text{red}}

Angle entre pixels et NDVI

Mode opératoire

Dans un tableur, saisissez trois pixels d’exemple comme lignes de réflectances (vert, rouge, NIR) : végétation (0.10, 0.08, 0.40), sol (0.20, 0.25, 0.30), eau (0.06, 0.04, 0.02).
Calculez la longueur de chaque pixel avec SQRT(SUMSQ(…)) et le produit scalaire de chaque paire avec SUMPRODUCT.
Trouvez l’angle entre chaque paire avec ACOS et DEGREES.
Calculez le NDVI de chaque pixel. Facultatif : téléchargez une scène Landsat gratuite et recommencez avec de vrais pixels.

Tableau de données

Pixel	Vert	Red	NIR	NDVI
Végétation	0.10	0.08	0.40	0.667
Sol	0.20	0.25	0.30	0.091
Eau	0.06	0.04	0.02	−0.333

Réflectances d’exemple choisies pour ressembler à une végétation, un sol nu et une eau typiques.

Exemple de calcul

NDVI végétation = (0.40 − 0.08)/(0.40 + 0.08) = 0.667.
NDVI sol = 0.05/0.55 = 0.091 ; NDVI eau = −0.02/0.06 = −0.333.
Angle végétation–sol : produit scalaire = 0.160, longueurs 0.420 et 0.4387, cos θ = 0.8683, θ = 29.7°.

Sécurité

Faites une courte pause d’écran toutes les demi-heures.

Alternative à la maison ou virtuelle

Tout le TP se fait dans un tableur gratuit.

PhET : Vector Addition · USGS: Landsat 9

Lien avec la planète : L’USGS indique les bandes rouge (bande 4) et proche infrarouge (bande 5) de Landsat 9, et ses données sont gratuites, donc chacun peut cartographier la végétation ainsi. USGS: Landsat 9

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TP B : trilatération, des ficelles à un système linéaire

Semaine 3

Objectif : Trouver une position à partir de distances, d’abord avec des ficelles sur une carte comme dans l’activité de GPS.gov, puis en transformant les équations de cercles en un système linéaire résolu par élimination.

2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y=d_1^2-d_2^2+a_2^2-a_1^2+b_2^2-b_1^2

Différence de deux équations de cercles

Mode opératoire

Imprimez la carte de trilatération de GPS.gov (sans mise à l’échelle) ou marquez trois « satellites » sur du papier millimétré en (0, 0), (10, 0) et (0, 10) cm.
Convertissez les temps de signal en distances avec d = ct (c = 299792458 m/s) ; pour la version papier, utilisez les distances d’exemple ci-dessous.
Tracez des cercles avec une ficelle et un crayon et marquez leur point d’intersection.
Soustrayez les équations des cercles deux à deux pour obtenir deux équations linéaires, résolvez-les par élimination dans un tableur, et comparez avec votre dessin.

Tableau de données

Balise	Position (cm)	Distance (cm)	d²
1	(0, 0)	5.000	25
2	(10, 0)	8.062	65
3	(0, 10)	6.708	45

Distances d’exemple pour un récepteur en (3, 4) cm. L’activité de GPS.gov utilise quatre satellites sur une carte au 1:21283839.

Exemple de calcul

Eq. 1 − Eq. 2: 20x − 100 = −40, x = 3. Eq. 1 − Eq. 3: 20y − 100 = −20, y = 4.
Le temps A de GPS.gov = 0.00505783 s donne d = 1516299 m ; au 1:21283839 cela fait 7.12 cm sur la carte.

Sécurité

Manipulez punaises et ciseaux avec précaution.

Alternative à la maison ou virtuelle

La version ficelle et papier est le TP à faire chez soi.

GPS.gov: Trilateration activity · Interactive Linear Algebra, 1.2 Row reduction

Lien avec la planète : GPS.gov a conçu cette activité avec la NOAA ; les vrais récepteurs résolvent le même type de système, avec une inconnue d’horloge, plusieurs fois par seconde. GPS.gov: Trilateration (NOAA classroom activity) · GPS.gov: Space segment

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TP C : les matrices comme transformations du plan

Semaine 4

Objectif : Voir les matrices agir sur des formes : étirer, cisailler, tourner et réfléchir un carré sur papier millimétré, et vérifier que les aires sont multipliées par |det A|.

\text{area}(AS)=|\det A|\,\text{area}(S)

Facteur d’échelle des aires

Mode opératoire

Tracez le carré unité de sommets (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Multipliez chaque sommet par A = [[2, 1], [0, 1]] (un cisaillement et un étirement), par R = [[0, −1], [1, 0]] (une rotation de 90°) et par F = [[1, 0], [0, −1]] (une réflexion).
Tracez chaque image et trouvez son aire en comptant les carreaux ou avec la formule du lacet.
Comparez chaque aire avec |det| et notez quelles applications inversent l’orientation (det < 0). Vérifiez ensuite det(AR) = det A det R.

Tableau de données

Matrice	det	Aire de l’image	Orientation
A = [[2, 1], [0, 1]]	2	2	conservée
R (rotation de 90°)	1	1	conservée
F (réflexion)	−1	1	inversée
AR	2	2	conservée

Valeurs exactes pour le carré unité.

Exemple de calcul

det A = 2 × 1 − 1 × 0 = 2 ; l’image est un parallélogramme de base 2 et de hauteur 1.
det(AR) = det A × det R = 2 × 1 = 2.

Sécurité

Aucun au-delà d’un travail de bureau normal.

Alternative à la maison ou virtuelle

Du papier millimétré et un crayon suffisent.

Interactive Linear Algebra, 3.1 Matrix transformations · Interactive Linear Algebra, 4.3 Determinants and volumes

Lien avec la planète : Les projections cartographiques et le recalage d’images utilisent ces mêmes matrices ; le déterminant garantit des mesures d’aire honnêtes pour les forêts et les inondations. USGS: Landsat 9

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TP D : ajustement par moindres carrés de données du niveau de la mer

Semaine 9

Objectif : Ajuster une droite, puis une parabole, à des données du niveau de la mer avec les équations normales, et comparer avec l’ajustement intégré du tableur.

A^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b},\quad A=[\,\mathbf{1}\ \ \mathbf{t}\,]

Équations normales pour y = C + Dt

Mode opératoire

Saisissez les données d’exemple ci-dessous (ou téléchargez la série de la NASA sur sa page Vital Signs) : t en années depuis 1993 et h en mm.
Construisez A avec une colonne de uns et une colonne de t. Calculez AᵀA et Aᵀb avec MMULT et TRANSPOSE, puis x̂ = MINVERSE(AᵀA)·Aᵀb.
Vérifiez avec LINEST ou une courbe de tendance de graphique. Tracez les résidus b − Ax̂.
Ajoutez une colonne t² et refaites l’ajustement. Un coefficient de t² positif signifie que la hausse s’accélère.

Tableau de données

t (années depuis 1993)	0	8	16	24	32
h (mm)	0	22	48	78	114

Valeurs d’exemple ayant l’allure de la série de la NASA (qui indique 114.4 mm de hausse depuis 1993) ; utilisez les vraies données pour une vraie réponse.

Exemple de calcul

t̄ = 16, h̄ = 52.4; Σ(t − t̄)(h − h̄) = 2272, Σ(t − t̄)² = 640.
D = 2272/640 = 3.55 mm/yr; C = 52.4 − 3.55 × 16 = −4.4 mm.
Les résidus sont positifs aux deux extrémités et négatifs au milieu : une courbe convient mieux, comme le suggère le rythme croissant indiqué par la NASA.

Sécurité

Faites une courte pause d’écran toutes les demi-heures.

Alternative à la maison ou virtuelle

Tout le TP se fait dans un tableur gratuit.

NASA: Global mean sea level · Interactive Linear Algebra, 6.5 Least squares

Lien avec la planète : La NASA indique que le rythme de hausse est passé de 0.20 cm par an en 1993 à 0.44 cm par an aujourd’hui, une accélération détectable avec une colonne t². NASA: Global mean sea level (Vital Signs)

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TP E : un modèle de Markov des matériaux et du recyclage

Semaine 12

Objectif : Construire une matrice de transition pour la matière en usage et perdue en décharge ou par incinération, utiliser les puissances de matrices pour la suivre dans le temps, et voir comment un taux de recyclage plus élevé garde la matière en usage plus longtemps.

\mathbf{x}_{k+1}=P\mathbf{x}_k,\quad P=\begin{bmatrix}1-f(1-r)&0\\f(1-r)&1\end{bmatrix}

Chaîne à deux états : en usage, perdue

Mode opératoire

Choisissez un taux de mise au rebut d’exemple f = 0.2 par an et un taux de valorisation r = 0.321 (la part recyclage plus compostage de l’EPA en 2018).
Construisez P dans un tableur et partez de x₀ = (1, 0) : toute la matière en usage.
Utilisez MMULT pour avancer de 10 ans, et comparez avec la formule (1 − f(1 − r))ᵏ pour la part encore en usage.
Recommencez avec r = 0.5 et comparez la durée moyenne d’usage en années, 1/(f(1 − r)).

Tableau de données

Taux de valorisation r	Probabilité de rester en usage	En usage après 10 ans	Durée moyenne d’usage (années)
0.321	0.8642	0.232	7.36
0.50	0.9000	0.349	10.0

Modèle d’exemple : le taux de mise au rebut f = 0.2 est une valeur d’exemple ; r = 0.321 est la part EPA 2018.

Exemple de calcul

Probabilité de rester = 1 − 0.2 × 0.679 = 0.8642 ; 0.8642¹⁰ = 0.232.
Durée moyenne d’usage = 1/0.1358 = 7.36 ans ; avec r = 0.5 elle vaut 1/0.1 = 10.0 ans.
λ = 1 correspond à l’état « perdue », qui absorbe tout à long terme ; λ = 0.8642 fixe la vitesse.

Sécurité

Faites une courte pause d’écran toutes les demi-heures.

Alternative à la maison ou virtuelle

Tout le TP se fait dans un tableur gratuit.

Interactive Linear Algebra, 5.6 Stochastic matrices · EPA: National overview of materials and waste

Lien avec la planète : L’EPA indique un taux de recyclage et de compostage de 32.1 % en 2018 et 50 % mis en décharge ; des modèles comme celui-ci montrent ce que vaut une hausse de ce taux. U.S. EPA: National overview, facts and figures on materials, wastes and recycling

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TP F : puissance itérée et compression d’images par SVD

Semaine 14

Objectif : Trouver une valeur propre dominante par multiplications répétées, puis compresser une petite image en niveaux de gris avec une SVD tronquée et voir avec combien peu de nombres on garde l’image.

\mathbf{x}_{k+1}=\frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|},\quad A_k=\sum_{i=1}^k\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T

Puissance itérée et SVD tronquée

Mode opératoire

Dans un tableur, partez de x₀ = (1, 0) et multipliez dix fois par A = [[2, 1], [1, 2]], en renormalisant à chaque fois ; observez le rapport des longueurs tendre vers 3.
Créez une grille 8 × 8 de niveaux de gris (0–255) pour une image simple, ou chargez une photo dans Python (gratuit) avec NumPy.
Calculez la SVD (numpy.linalg.svd) et reconstruisez l’image avec k = 1, 2 et 4 termes.
Notez le stockage k(8 + 8 + 1) et la part de Σσ² conservée, et jugez quand l’image paraît correcte.

Tableau de données

k	Nombres stockés (image 8 × 8)	Part de 64
1	17	26.6%
2	34	53.1%
4	68	106.3%

Nombres exacts de valeurs stockées. Pour une image 8 × 8, k = 4 stocke déjà plus que les 64 nombres bruts ; les gains apparaissent pour les grandes images (module 10 : le rang 50 d’une image 1000 × 1000 conserve 10.0 %).

Exemple de calcul

Puissance itérée : (1, 0) → (2, 1) → (5, 4) → (14, 13) ; ‖(14, 13)‖/‖(5, 4)‖ = 19.10/6.403 = 2.98, proche de λ = 3.
Stockage pour k = 1 : 8 + 8 + 1 = 17 nombres, 17/64 = 26.6 %.

Sécurité

Faites une courte pause d’écran toutes les demi-heures.

Alternative à la maison ou virtuelle

Les versions tableur et Python gratuit sont toutes deux des TP à faire chez soi.

MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010) · Interactive Linear Algebra, 5.1 Eigenvectors

Lien avec la planète : EMIT du JPL de la NASA renvoie plus de 100000 spectres par seconde ; compresser et séparer ces données utilise exactement ces outils. NASA JPL: EMIT, Earth Surface Mineral Dust Source Investigation

J’ai terminé ce TP (réel ou virtuel)

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Séries d’entraînement aux examens

Chronométrez-vous : environ 10 minutes par problème. Comparez ensuite avec les solutions complètes.

Série d’exercices de mi-parcours (unités 1–5)

Trouvez l’angle entre (1, 0, 1) et (0, 1, 1).
Afficher la solution complète
1. Produit scalaire = 1 ; longueurs √2 chacune ; cos θ = 1/2.
Réponse : 60°.
Résolvez x + 2y = 4, 3x − y = 5.
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1. R₂ − 3R₁: −7y = −7.
Réponse : x = 2, y = 1.
Inversez [[3, 2], [1, 1]].
Afficher la solution complète
1. det = 1.
Réponse : [[1, −2], [−1, 3]].
Une économie à un seul secteur consomme 0.4 de sa propre production. Quelle production satisfait une demande de 120 ?
Afficher la solution complète
1. x = 120/0.6.
Réponse : 200.
Une matrice 6 × 9 est de rang 4. Trouvez dim N(A) et dim N(Aᵀ).
Afficher la solution complète
1. n − r et m − r.
Réponse : 5 et 2.

Série d’entraînement finale (toutes les unités)

Ajustez y = C + Dt à (0, 0), (1, 2), (2, 2) par moindres carrés.
Afficher la solution complète
1. AᵀA = [[3, 3], [3, 5]], Aᵀb = (4, 6) ; det 6.
Réponse : C = 0.333, D = 1.
Trouvez det [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]].
Afficher la solution complète
1. 2(4 − 1) − 1(2 − 0) + 0.
Réponse : 4.
Trouvez les valeurs propres de [[6, 2], [2, 3]].
Afficher la solution complète
1. Trace 9, det 14 : λ² − 9λ + 14 = 0.
Réponse : 7 et 2.
Trouvez l’état stationnaire de la matrice de Markov [[0.9, 0.2], [0.1, 0.8]].
Afficher la solution complète
1. 0.1q₁ = 0.2q₂.
Réponse : (0.667, 0.333).
Trouvez les valeurs singulières de [[2, 0], [0, −3]].
Afficher la solution complète
1. AᵀA = diag(4, 9).
Réponse : 3 et 2.
Combien de nombres une SVD de rang 20 d’une image 500 × 800 stocke-t-elle, et quelle part de l’image complète cela représente-t-il ?
Afficher la solution complète
1. 20(500 + 800 + 1).
Réponse : 26020, environ 6.5 %.

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Fiche de formules

\|v\|=\sqrt{v\cdot v},\ \cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|}

A\mathbf{x}=\mathbf{b},\ \ A=LU

\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\ (AB)^T=B^TA^T

\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}

r+\dim N(A)=n

\mathbf{p}=\frac{a\cdot b}{a\cdot a}a,\ \ A^TA\hat{x}=A^Tb

A=QR,\ Q^TQ=I

\det(AB)=\det A\det B,\ x_i=\det B_i/\det A

\det(A-\lambda I)=0,\ \sum\lambda=\operatorname{tr}A,\ \prod\lambda=\det A

A=PDP^{-1},\ A^k=PD^kP^{-1},\ A=Q\Lambda Q^T

A=U\Sigma V^T,\ \sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)},\ \kappa=\sigma_1/\sigma_n

Constantes

Constante	Valeur
Vitesse de la lumière (utilisée pour les distances GPS)	299,792,458 m/s
1 mile	1.609344 km
1 pied	0.3048 m
1 pouce	25.4 mm
Flops pour résoudre un système n × n par élimination	environ n³/3 multiplications–additions (Strang)
Matrice identité I	Des uns sur la diagonale, des zéros ailleurs : AI = IA = A

Source : NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

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Textes et cours gratuits

Utilisez ces manuels, cours et outils gratuits en parallèle du cours.

MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010): Les cours vidéo complets, séries d’exercices et examens de Strang.
MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra (self-paced, Fall 2011): Version en autonomie avec vidéos de travaux dirigés et problèmes corrigés.
Interactive Linear Algebra (Margalit and Rabinoff, Georgia Tech): Manuel interactif gratuit utilisé à Georgia Tech.
Jim Hefferon, Linear Algebra (free text): Manuel complet gratuit avec réponses.
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra (book site): Le site du livre de Strang avec notes et figures.
PhET : Vector Addition: Vecteurs et composantes interactifs.

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Glossaire

Base: Une famille linéairement indépendante qui engendre un espace.
Espace des colonnes: Toutes les combinaisons Ax des colonnes de A.
Conditionnement: σ₁/σₙ, de combien les erreurs peuvent croître en résolvant Ax = b.
Déterminant: Facteur d’échelle signé des volumes de A ; nul exactement quand A est singulière.
Diagonalisation: A = PDP⁻¹ avec les vecteurs propres dans P.
Dimension: Nombre de vecteurs de n’importe quelle base.
Valeur propre: λ tel que Av = λv pour un v non nul.
Factorisation LU: A = LU issue de l’élimination.
Moindres carrés: Le x̂ qui minimise ‖b − Ax‖.
Inverse de Leontief: (I − A)⁻¹, production totale nécessaire par unité de demande finale.
Indépendance linéaire: Seule la combinaison nulle donne le vecteur nul.
Matrice de Markov: Coefficients positifs ou nuls, colonnes de somme 1.
Noyau: Tous les x tels que Ax = 0.
Orthonormé: Vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.
Pivot: Premier coefficient non nul d’une ligne d’une forme échelonnée.
Définie positive: Symétrique avec xᵀAx > 0 pour x ≠ 0.
Projection: Point le plus proche de b dans un sous-espace.
Rang: Nombre de pivots ; dimension de l’espace des colonnes.
Valeur singulière: σᵢ = √λᵢ(AᵀA).
Espace engendré: Toutes les combinaisons linéaires d’un ensemble de vecteurs.
Sous-espace: Un ensemble contenant 0, stable par addition et multiplication scalaire.

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Grille d’autoévaluation

Aucune note ni aucun crédit ne sont attribués. Utilisez cette grille pour juger honnêtement où vous en êtes dans chaque unité.

Niveau	À quoi cela ressemble
4 · Maîtrise	Choisit le bon outil (élimination, projection, valeurs propres ou SVD), calcule les petits cas à la main, vérifie les réponses (Ax = b, trace et déterminant), et explique le sens par des images et en contexte.
3 · Compétent	Résout les exercices d’entraînement avec quelques erreurs de calcul occasionnelles.
2 · En progression	Suit les exemples corrigés mais confond lignes et colonnes ou les quatre sous-espaces.
1 · Débutant	Manipule des symboles sans vérifier dimensions ni réponses ; doit revoir le module.

Pondération suggérée si vous voulez une note

Partie	Poids
Exercices	25%
Travaux pratiques	20%
Série d’entraînement de mi-parcours	25%
Série d’entraînement finale	30%

Visez le niveau 3 ou mieux dans chaque unité avant de passer au cours suivant.

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Algèbre linéaire

À propos de ce cours

Comment ce cours aide à sauver la planète

Avant de commencer

Prérequis

Comment étudier

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

Programme suggéré sur 15 semaines

Votre progression

Vecteurs : combinaisons linéaires, normes et produits scalaires

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

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Ressources d’apprentissage gratuites

Systèmes d’équations linéaires et élimination de Gauss

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

Comment cela aide à sauver la planète

Ressources d’apprentissage gratuites

Algèbre matricielle : multiplication, inverses et factorisation LU

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

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Ressources d’apprentissage gratuites

Modèles linéaires : économie entrées–sorties (Leontief), réseaux et équilibrage

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

Idées reçues fréquentes

Cartes mémoire

Quiz d’autocontrôle

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Ressources d’apprentissage gratuites

Espaces vectoriels, sous-espaces, indépendance, base, rang et les quatre sous-espaces fondamentaux

Objectifs d’apprentissage

Notions clés

Équations clés

Exemples résolus pas à pas

Exercices

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Orthogonalité, projections, moindres carrés et Gram–Schmidt

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Déterminants : propriétés, cofacteurs, règle de Cramer et volume

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Notions clés

Équations clés

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