אלגברה לינארית

וקטורים, מטריצות ומערכות משוואות: דירוג, LU, הפכיות, מודלי תשומה–תפוקה, ארבעת תת-המרחבים היסודיים, היטלים וריבועים פחותים, דטרמיננטות, ערכים עצמיים, שרשראות מרקוב ו-SVD, עם שש מעבדות. חינמי, בקצב אישי, וקשור ל-GPS, ל-Landsat, ללווייני גובה פני הים, למודלי מזג אוויר, למיחזור ולמיפוי מינרלים.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)CNES (PIA25623)NASA Blue Marble

קורסים › MATH 230

הורדת מדריך הלימוד כ־PDF (באנגלית)

על הקורס

זהו מתווה של קורס חינמי ללימוד עצמי שנכתב על ידי Saving Planets. הוא אינו קורס אוניברסיטאי, אינו מעניק נקודות זכות אקדמיות, ואף מוסד לימודים אינו מעורב בו.

היקפו תואם קורס סמסטריאלי באלגברה ליניארית בשנה השנייה. הוא בנוי על הנושאים והעומק של MIT 18.06 Linear Algebra שמלמד Gilbert Strang (חינם ב-MIT OpenCourseWare), ועל קורסי האלגברה הליניארית לשנה שנייה ב-Georgia Tech וב-Purdue, תוך שימוש בספר החינמי של Georgia Tech‏ Interactive Linear Algebra מאת Dan Margalit ו-Joseph Rabinoff ובספר החינמי Linear Algebra של Jim Hefferon, שאליהם אנו מקשרים כשהם מועילים. אף אחד מהמחברים או המוסדות האלה אינו תומך בדף זה.

מה שאנו מוסיפים: כל יחידה קשורה לעבודה אמיתית על כדור הארץ עם מקור ציבורי מצוטט (GPS, ‏Landsat 9, לווייני גובה פני הים של NASA, מחשבי-העל למזג אוויר של NOAA, נתוני תשומה–תפוקה ומיחזור של EPA, מחקרי בניינים של USGS, ספקטרומטר המינרלים EMIT של NASA), כל מספר בדף מחושב מחדש בסקריפט בדיקה לפני פרסומו, וכל מעבדה רצה בגיליון אלקטרוני חינמי או על נייר.

עברו עליו לפי הסדר. בכל יחידה יש מטרות, רעיונות מרכזיים, משוואות, דוגמאות צעד אחר צעד, תרגול עם תשובות מלאות, טעויות נפוצות, כרטיסיות ובוחן. ההתקדמות שלכם נשמרת רק בדפדפן הזה.

איך הקורס הזה עוזר להציל את כדור הארץ

אלגברה ליניארית היא שפת הנתונים על כדור הארץ. פיקסל לוויין הוא וקטור, מיקום GPS הוא פתרון של מערכת ליניארית, תחזית מזג אוויר היא מיליוני משוואות הנפתרות שוב ושוב, ואת הזיהום של כלכלה שלמה אפשר לעקוב בעזרת מטריצה אחת.

אותם רעיונות מעטים, דירוג, היטל, ערכים עצמיים ו-SVD, הופכים מדידות גולמיות למפות של יערות, למגמות בגובה פני הים ולאבק מינרלי. כל יחידה מסתיימת בקטע קצר עם מקורות. ערכים שאינם ממקור מסומנים כערכים לדוגמה.

חזרה למעלה

לפני שמתחילים

ידע מוקדם

  • אלגברה של תיכון: פתרון שתי משוואות בשני נעלמים ועבודה עם פונקציות.
  • חדו״א I עוזר בגבולות ובנגזרות בכמה דוגמאות, אך ברוב הקורס אין צורך בחדו״א.
  • נוחות בעבודה עם גיליון אלקטרוני; מבוא לתכנות עוזר בגרסאות ה-Python האופציונליות של המעבדות.
  • חדו״א III ומשוואות דיפרנציאליות משתלבים היטב עם הקורס אך אינם נדרשים.

איך ללמוד

  • בצעו כל חישוב ביד תחילה על דוגמאות קטנות (2 × 2 ו-3 × 3), ואז בדקו בגיליון אלקטרוני או במחשבון.
  • חשבו על Ax בשתי דרכים: כמכפלות סקלריות של השורות עם x, וכצירוף של העמודות של A.
  • בדקו כל תשובה: הציבו את x בחזרה ב-Ax = b, הכפילו את A בהפכית שלה, או בדקו Av = λv.
  • עקבו אחר הממדים: מטריצה m × n כפול מטריצה n × p נותנת m × p, וממדים שאינם תואמים פירושם שגיאה.
  • ציירו ב-2D וב-3D: ישרים, מישורים, היטלים ומתיחות הופכים את הכללים לקלים לזכירה.
  • פתרו כל תרגיל על נייר לפני שאתם פותחים את התשובה, וחזרו על הבחנים כעבור כמה ימים.

ציוד מעבדה (למעבדות הרטובות)

  • מחשב עם תוכנת גיליון אלקטרוני חינמית (הפונקציות MMULT, ‏MINVERSE, ‏MDETERM ו-LINEST שלה מבצעות עבודת מטריצות).
  • נייר משבצות, סרגל, מד-זווית ועיפרון.
  • אופציונלי: Python חינמי עם NumPy לגרסאות הגדולות של המעבדות.
  • חוט ונעצים או סרט הדבקה למעבדת הטרילטרציה, ומפה מודפסת או דף נייר.
  • תמונה בגווני אפור או רשת קטנה של מספרים למעבדת דחיסת התמונה.

חזרה למעלה

לוח זמנים מוצע ל־15 שבועות

כ־6 עד 9 שעות בשבוע: קריאה, תרגילים, ובשבועות המעבדה גם המעבדה.

שבועיחידהנושאיםקריאה
1וקטורים: צירופים ליניאריים, אורכים ומכפלות סקלריותוקטורים, צירופים ליניאריים, פרישה, אורךMIT 18.06 L1; ILA 2.1–2.2
2וקטורים: צירופים ליניאריים, אורכים ומכפלות סקלריותמכפלות סקלריות, זוויות, אורתוגונליות; מעבדה A; תחילת הדירוגILA 6.1
3מערכות משוואות ליניאריות ודירוג גאוסדירוג, צורות מדורגות, קבוצות פתרונות; מעבדה BMIT 18.06 L2; ILA 1.1–1.3
4אלגברת מטריצות: כפל, הפכיות ופירוק LUכפל מטריצות, הפכיות, A = LU; מעבדה CMIT 18.06 L3–4; ILA 3.4–3.5
5מודלים ליניאריים: כלכלת תשומה–תפוקה (לאונטייף), רשתות ואיזוןמודלי תשומה–תפוקה, רשתות, איזוןHefferon Topics; EPA USEEIO
6מרחבים וקטוריים, תת-מרחבים, אי-תלות, בסיס, דרגה וארבעת תת-המרחבים היסודייםתת-מרחבים, מרחב העמודות, מרחב האפס, Ax = 0MIT 18.06 L5–7; ILA 2.6
7מרחבים וקטוריים, תת-מרחבים, אי-תלות, בסיס, דרגה וארבעת תת-המרחבים היסודייםאי-תלות, בסיס, ממד, דרגה, ארבעה תת-מרחבים; תרגול אמצע סמסטרMIT 18.06 L8–10; ILA 2.5, 2.7, 2.9
8אורתוגונליות, היטלים, ריבועים פחותים וגרם–שמידטאורתוגונליות והיטליםMIT 18.06 L14–15; ILA 6.3
9אורתוגונליות, היטלים, ריבועים פחותים וגרם–שמידטריבועים פחותים, גרם–שמידט, A = QR; מעבדה DMIT 18.06 L16–17; ILA 6.4–6.5
10דטרמיננטות: תכונות, קו-פקטורים, כלל קרמר ונפחדטרמיננטות, קו-פקטורים, כלל קרמר, נפחMIT 18.06 L18–20; ILA 4.1–4.3
11ערכים עצמיים ווקטורים עצמייםערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, שיטת החזקות, אופניםMIT 18.06 L21; ILA 5.1–5.2, 5.5
12לכסון, חזקות מטריצות, שרשראות מרקוב ומערכות דינמיות ליניאריותלכסון, שרשראות מרקוב, מערכות דינמיות; מעבדה EMIT 18.06 L22–25; ILA 5.4, 5.6
13פירוק לערכים סינגולריים, ניתוח רכיבים ראשיים ומטריצות חיוביות מוגדרותמטריצות חיוביות מוגדרות ו-SVDMIT 18.06 L27–29
14פירוק לערכים סינגולריים, ניתוח רכיבים ראשיים ומטריצות חיוביות מוגדרותקירוב בדרגה נמוכה, PCA, מספר מצב; מעבדה FMIT 18.06 L29; אתר הספר של Strang
15חזרהחזרה וסדרת תרגול מסכמתכל היחידות

חזרה למעלה

ההתקדמות שלכם

סמנו יחידות ומעבדות כשאתם מסיימים אותן, ועשו את הבחנים. ההתקדמות והציונים נשמרים רק בדפדפן הזה ולעולם לא נשלחים אלינו.

הפעילו JavaScript כדי לעקוב אחר ההתקדמות.

חזרה למעלה

יחידה 1 · שבועות 1–2

וקטורים: צירופים ליניאריים, אורכים ומכפלות סקלריות

וקטורים בשניים, שלושה ו-n ממדים, חיבורם והכפלתם בסקלר, צירופים ליניאריים ופרישה, אורך, וקטורי יחידה, מכפלה סקלרית, הזווית בין וקטורים, אורתוגונליות ואי-שוויוני קושי–שוורץ והמשולש.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חברו, הכפילו בסקלר וצרפו וקטורים ביד ובציור.
  • חשבו אורכים, וקטורי יחידה ומכפלות סקלריות.
  • מצאו את הזווית בין שני וקטורים ובדקו אורתוגונליות.
  • תארו את הפרישה של וקטור אחד, שניים או שלושה.

מושגי מפתח

  • וקטור ב-ℝⁿ הוא רשימה סדורה של n מספרים. ב-2D וב-3D הוא חץ; בממדים גבוהים יותר הוא רשימה, כמו 11 ערכי הערוצים של פיקסל לוויין אחד.
  • צירוף ליניארי c₁v₁ + c₂v₂ + … מכפיל וקטורים בסקלרים ומחבר אותם. הפרישה היא קבוצת כל הצירופים הליניאריים: ישר, מישור או כל המרחב.
  • אורך ‖v‖ = √(v·v). חלוקה באורך נותנת וקטור יחידה u = v/‖v‖ באורך 1.
  • מכפלה סקלרית v·w = v₁w₁ + v₂w₂ + … = ‖v‖‖w‖cos θ. אם v·w = 0 הווקטורים אורתוגונליים (ניצבים).
  • קושי–שוורץ: |v·w| ≤ ‖v‖‖w‖. אי-שוויון המשולש: ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖.

משוואות מפתח

∥v∥=v12+v22+⋯+vn2\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}
אורך
v⋅w=v1w1+⋯+vnwnv\cdot w=v_1w_1+\cdots+v_nw_n
מכפלה סקלרית
cos⁡θ=v⋅w∥v∥ ∥w∥\cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|}
הזווית בין וקטורים
∣v⋅w∣≤∥v∥ ∥w∥|v\cdot w|\le\|v\|\,\|w\|
אי-שוויון קושי–שוורץ

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 1.1 מצאו את האורך של v = (3, 4) ואת וקטור היחידה בכיוונו.

הצג את השלבים
  1. ‖v‖ = √(3² + 4²) = √25 = 5.
  2. u = v/5.

תשובה: ‖v‖ = 5, u = (0.6, 0.8).

דוגמה 1.2 מצאו את הזווית בין v = (3, 4) ל-w = (1, 2).

הצג את השלבים
  1. v·w = 3 + 8 = 11.
  2. ‖v‖ = 5, ‖w‖ = √5 = 2.236.
  3. cos θ = 11/(5 × 2.236) = 0.9839.

תשובה: θ = 10.30°.

דוגמה 1.3 כתבו את 2(1, 0, 1) + 3(0, 1, 1) כווקטור אחד. האם (2, 3, 4) נמצא בפרישה של שני הווקטורים האלה?

הצג את השלבים
  1. 2(1, 0, 1) + 3(0, 1, 1) = (2, 3, 5).
  2. כל צירוף c₁(1, 0, 1) + c₂(0, 1, 1) = (c₁, c₂, c₁ + c₂), ולכן הרכיב השלישי חייב להיות סכום שני הראשונים.

תשובה: (2, 3, 5); ‏(2, 3, 4) אינו בפרישה כי 2 + 3 ≠ 4.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את ‖(1, 2, 2)‖.

    הצג תשובה

    √(1 + 4 + 4) = 3.

  2. מצאו את (1, 2, 3)·(4, −5, 6).

    הצג תשובה

    4 − 10 + 18 = 12.

  3. האם (2, −1) ו-(1, 2) אורתוגונליים?

    הצג תשובה

    Yes: 2 − 2 = 0.

  4. מצאו את וקטור היחידה בכיוון (6, 8).

    הצג תשובה

    ‖(6, 8)‖ = 10, ולכן (0.6, 0.8).

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: המכפלה הסקלרית היא וקטור.

    בפועל: היא מספר יחיד (סקלר).

  • מיתוס: ‖v + w‖ = ‖v‖ + ‖w‖ תמיד.

    בפועל: רק כש-v ו-w מצביעים לאותו כיוון; אחרת הוא קטן יותר.

  • מיתוס: לווקטורים יש משמעות רק ב-2D או ב-3D.

    בפועל: לווקטורי נתונים יכולים להיות מאות רכיבים; אותם כללים חלים.

כרטיסיות

  • צירוף ליניארי

    c₁v₁ + c₂v₂ + …

  • פרישה

    כל הצירופים הליניאריים של קבוצת וקטורים.

  • אורך

    ‖v‖ = √(v·v).

  • מכפלה סקלרית

    v·w = Σ vᵢwᵢ = ‖v‖‖w‖cos θ.

  • אורתוגונלי

    v·w = 0.

  • וקטור יחידה

    v/‖v‖.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ‖(3, 4)‖ שווה ל…

הצג תשובה

5. √(9 + 16) = 5.

2. v·w = 0 פירושו שהווקטורים…

הצג תשובה

אורתוגונליים. cos θ = 0, ולכן θ = 90°.

3. הפרישה של שני וקטורים לא מקבילים ב-ℝ³ היא…

הצג תשובה

מישור. שני כיוונים בלתי תלויים ממלאים מישור.

4. הכפלת v פי שניים משנה את ‖v‖ פי…

הצג תשובה

2. ‖cv‖ = |c|‖v‖.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

כל פיקסל של Landsat 9 הוא וקטור. לפי USGS, ה-Operational Land Imager 2 של Landsat 9 רושם 9 ערוצים ספקטרליים ברזולוציה של 30 m ‏(15 m לערוץ הפנכרומטי), וה-Thermal Infrared Sensor 2 שלו רושם 2 ערוצים תרמיים ב-100 m, כך שכל נקודה על הקרקע הופכת לרשימה של 11 מספרים. הנתונים הם של 14 ביט, 2¹⁴ = 16384 גוונים לערוץ, ו-Landsat 9 אוסף כ-750 סצנות ביום, כולן חינם.

בריאות יערות וגידולים נקראת מהערוץ האדום (ערוץ 4, ‏0.64–0.67 µm) ומערוץ האינפרה-אדום הקרוב (ערוץ 5, ‏0.85–0.88 µm). מדד הצמחייה NDVI = (NIR − red)/(NIR + red) משווה בין שני רכיבים של וקטור הפיקסל. עם החזרויות לדוגמה של 0.40 ‏(NIR) ו-0.08 (אדום), NDVI = 0.32/0.48 = 0.667, אופייני לצמחייה בריאה; קרקע חשופה נותנת ערכים קרובים לאפס.

ב־Saving Planets: תצפית על כדור הארץ · בירוא יערות

מקורות: USGS: Landsat 9 · Interactive Linear Algebra, 2.1 Vectors

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 2 · שבועות 2–3

מערכות משוואות ליניאריות ודירוג גאוס

מערכות ליניאריות בתמונת השורות ובתמונת העמודות, מטריצות מורחבות, דירוג לצורה מדורגת, הצבה לאחור, צורה מדורגת קנונית, איברים מובילים ומשתנים חופשיים, ומתי למערכת יש פתרון אחד, אין פתרון או אינסוף פתרונות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • כתבו מערכת בצורה Ax = b וכמטריצה מורחבת.
  • פתרו מערכות בדירוג ובהצבה לאחור.
  • מצאו את הצורה המדורגת הקנונית וזהו איברים מובילים ומשתנים חופשיים.
  • החליטו אם למערכת יש פתרון אחד, אין פתרון או אינסוף פתרונות.

מושגי מפתח

  • תמונת השורות: כל משוואה היא ישר (2D) או מישור (3D) והפתרון הוא נקודת המפגש. תמונת העמודות: b הוא צירוף של עמודות A עם המשקלים x.
  • שלוש פעולות שורה אינן משנות את הפתרונות: החלפת שורות, הכפלת שורה במספר שונה מאפס, והוספת כפולה של שורה אחת לאחרת.
  • הדירוג מייצר צורה משולשית עליונה (מדורגת); ההצבה לאחור פותרת אז מלמטה למעלה. האיברים המובילים הם האיברים הראשונים השונים מאפס בכל שורה.
  • עמודה ללא איבר מוביל נותנת משתנה חופשי ואינסוף פתרונות. שורה 0 = c עם c ≠ 0 פירושה שאין פתרון (מערכת סותרת).
  • משוואות של מרחק בריבוע כמו (x − a)² + (y − b)² = d² אינן ליניאריות, אך חיסור אחת מאחרת מבטל את x² ואת y² ומשאיר משוואות ליניאריות. כך בעיות מיקום הופכות למערכות ליניאריות.

משוואות מפתח

Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}
צורה מטריציונית
Ri←Ri−ℓijRj,  ℓij=aij/ajjR_i\leftarrow R_i-\ell_{ij}R_j,\ \ \ell_{ij}=a_{ij}/a_{jj}
צעד דירוג ומכפיל
solutions: one, none, or infinitely many\text{solutions: one, none, or infinitely many}
שלושת המקרים היחידים
d=c td=c\,t
מרחק מזמן מעבר האות (GPS)

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 2.1 פתרו x + y + z = 6, ‏2x + y − z = 1, ‏x − y + 2z = 5.

הצג את השלבים
  1. R₂ − 2R₁: −y − 3z = −11. R₃ − R₁: −2y + z = −1.
  2. R₃ − 2R₂: ‏7z = 21, ולכן z = 3.
  3. הצבה לאחור: −y − 9 = −11 נותן y = 2; ואז x = 6 − 2 − 3 = 1.

תשובה: (x, y, z) = (1, 2, 3).

דוגמה 2.2 משואות נמצאות ב-(0, 0), ‏(10, 0) ו-(0, 10) km. מקלט מודד מרחקים בריבוע של 25, ‏65 ו-45 km². מצאו את מיקומו.

הצג את השלבים
  1. משוואה 1 פחות משוואה 2: x² + y² − [(x − 10)² + y²] = 25 − 65, ולכן 20x − 100 = −40.
  2. משוואה 1 פחות משוואה 3: 20y − 100 = −20.
  3. פתרו את שתי המשוואות הליניאריות.

תשובה: (x, y) = (3, 4) km.

דוגמה 2.3 כמה פתרונות יש ל-x + 2y = 3, ‏2x + 4y = 6? ול-x + 2y = 3, ‏2x + 4y = 7?

הצג את השלבים
  1. R₂ − 2R₁ נותן 0 = 0 במערכת הראשונה: איבר מוביל אחד, משתנה חופשי אחד.
  2. בשנייה, R₂ − 2R₁ נותן 0 = 1.

תשובה: אינסוף; אף לא אחד.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. פתרו x + y = 5, ‏x − y = 1.

    הצג תשובה

    חיבור נותן 2x = 6: ‏x = 3, ‏y = 2.

  2. אות בסגנון GPS מגיע תוך 0.00505783 s. איזה מרחק עבר במהירות 299792458 m/s?

    הצג תשובה

    d = ct = 1516299 m, בערך 1516 km.

  3. מצאו את הצורה המדורגת הקנונית של [[1, 2, 3], [2, 5, 8]] (מורחבת).

    הצג תשובה

    R₂ − 2R₁ = [0, 1, 2]; R₁ − 2R₂ = [1, 0, −1]: x = −1, y = 2.

  4. למערכת 3 × 5 יש 3 איברים מובילים. כמה משתנים חופשיים?

    הצג תשובה

    5 − 3 = 2.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הכפלת שורה ב-0 היא פעולת שורה מותרת.

    בפועל: היא הורסת מידע; המכפיל חייב להיות שונה מאפס.

  • מיתוס: למערכת עם יותר נעלמים ממשוואות אין פתרון.

    בפועל: אם היא עקבית יש לה אינסוף פתרונות; היא גם יכולה להיות סותרת.

  • מיתוס: שורת אפסים פירושה שאין פתרון.

    בפועל: רק שורה 0 = c עם c ≠ 0; ‏0 = 0 פירושו רק משתנה חופשי.

כרטיסיות

  • מטריצה מורחבת

    [A | b].

  • איבר מוביל

    האיבר הראשון השונה מאפס בשורה בצורה מדורגת.

  • משתנה חופשי

    משתנה שבעמודה שלו אין איבר מוביל.

  • RREF

    איברים מובילים 1, אפסים מעליהם ומתחתם.

  • סותרת

    שורה 0 = c, ‏c ≠ 0.

  • הצבה לאחור

    פתרון המערכת המשולשית מלמטה למעלה.

בוחן לבדיקה עצמית

1. שורה 0 0 0 | 5 בצורה מדורגת פירושה…

הצג תשובה

אין פתרון. 0 = 5 בלתי אפשרי.

2. מה מהבאים אינו פעולת שורה?

הצג תשובה

העלאת שורה בריבוע. העלאה בריבוע אינה ליניארית.

3. עמודה ללא איבר מוביל נותנת…

הצג תשובה

משתנה חופשי. את המשתנה שלה אפשר לבחור בחופשיות.

4. בתמונת העמודות, Ax = b שואל אם b הוא…

הצג תשובה

צירוף של העמודות של A. Ax = x₁a₁ + x₂a₂ + …

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

GPS הוא מכונת אלגברה ליניארית. GPS.gov מדווח שלפחות 24 לוויינים פעילים זמינים 95% מהזמן ושהוטסו 31 לוויינים פעילים במשך יותר מעשור, בגובה של כ-20200 km, וכל אחד מקיף את כדור הארץ פעמיים ביום. הם ממוקמים בשישה מישורי מסלול במרווחים שווים, כך שמשתמשים רואים לפחות ארבעה לוויינים כמעט מכל נקודה על פני כדור הארץ.

פעילות הטרילטרציה של GPS.gov מסבירה את הרעיון: מרחק = מהירות × זמן, כשהמהירות היא מהירות האור, 299792458 m/s, ומרחקים מלפחות 3 לוויינים קובעים מיקום 3D. גם השעון של מקלט אמיתי אינו ידוע, ולכן במודל הסטנדרטי של ספרי הלימוד הנעלמים הם x, ‏y, ‏z והסטיית השעון, ארבעה נעלמים שדורשים ארבעה לוויינים; חיסור משוואות הטווח, כמו בדוגמה הפתורה, הופך אותן למערכת ליניארית. שגיאת שעון של מיקרו-שנייה אחת בלבד הייתה מסיטה טווח ב-299.8 m. מיקומים מדויקים מנחים טרקטורים שמפזרים פחות דשן, אוניות במסלולים יעילים ותחנות מדידה שמודדות את גובה פני הים ואת הקרח.

ב־Saving Planets: תצפית על כדור הארץ · חלל

מקורות: GPS.gov: Space segment · GPS.gov: Trilateration (NOAA classroom activity)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 3 · שבוע 4

אלגברת מטריצות: כפל, הפכיות ופירוק LU

מכפלות מטריצה–וקטור ומטריצה–מטריצה, הכללים (והלא-כללים) של אלגברת מטריצות, שחלופים, מטריצות דירוג, ההפכית וגאוס–ז׳ורדן, נוסחת ההפכית של 2 × 2, ‏A = LU ועלות הדירוג.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • הכפילו מטריצות ובדקו שהממדים תואמים.
  • מצאו הפכיות בנוסחת 2 × 2 ובשיטת גאוס–ז׳ורדן.
  • פרקו A = LU והשתמשו בפירוק לפתרון מערכות.
  • העריכו את עלות הדירוג כש-n גדל.

מושגי מפתח

  • (AB)ᵢⱼ = מכפלה סקלרית של שורה i של A בעמודה j של B. מטריצה m × n כפול n × p היא m × p. באופן כללי AB ≠ BA.
  • ההפכית A⁻¹ מקיימת AA⁻¹ = A⁻¹A = I. היא קיימת בדיוק כאשר ל-A יש n איברים מובילים (det A ≠ 0). ‏(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ו-(AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
  • גאוס–ז׳ורדן: דרגו את [A | I] ל-[I | A⁻¹].
  • דירוג ללא החלפת שורות רושם את המכפילים שלו במטריצה משולשית תחתונה L עם אחדות באלכסון, ומתקבל A = LU. פתרו Lc = b, ואז Ux = c; כש-L ו-U שמורות, כל אגף ימין חדש זול.
  • דירוג של מטריצה n × n עולה כ-n³/3 פעולות כפל–חיבור; פתרון עם L ו-U שמורות עולה כ-n² לכל אגף ימין.

משוואות מפתח

(AB)ij=∑kaikbkj(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}
מכפלת מטריצות
[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
הפכית 2 × 2
A=LUA=LU
פירוק LU
cost≈n3/3\text{cost}\approx n^3/3
מספר פעולות הדירוג

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 3.1 מצאו את AB ואת BA עבור A = [[1, 2], [3, 4]] ו-B = [[0, 1], [1, 0]].

הצג את השלבים
  1. AB: שורה 1 · עמודות = (2, 1); שורה 2 = (4, 3).
  2. BA מחליפה את שורות A: ‏[[3, 4], [1, 2]].

תשובה: AB = [[2, 1], [4, 3]], ‏BA = [[3, 4], [1, 2]], ולכן AB ≠ BA.

דוגמה 3.2 הפכו את A = [[4, 7], [2, 6]].

הצג את השלבים
  1. ad − bc = 24 − 14 = 10.
  2. A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]].

תשובה: A⁻¹ = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].

דוגמה 3.3 פרקו את A = [[2, 1], [6, 8]] ל-LU.

הצג את השלבים
  1. מכפיל ℓ₂₁ = 6/2 = 3.
  2. R₂ − 3R₁ = [0, 5].

תשובה: L = [[1, 0], [3, 1]], U = [[2, 1], [0, 5]].

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מה הממד של מטריצה 3 × 2 כפול מטריצה 2 × 4?

    הצג תשובה

    3 × 4.

  2. הפכו את [[2, 1], [5, 3]].

    הצג תשובה

    det = 1, הפכית [[3, −1], [−5, 2]].

  3. בערך כמה פעולות דורש הדירוג עבור n = 1000?

    הצג תשובה

    n³/3 ≈ 3.33 × 10⁸.

  4. אם A ו-B הפיכות, מהי (AB)⁻¹?

    הצג תשובה

    B⁻¹A⁻¹.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: AB = BA.

    בפועל: כפל מטריצות בדרך כלל אינו חילופי.

  • מיתוס: (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹.

    בפועל: הסדר מתהפך: B⁻¹A⁻¹.

  • מיתוס: מחשבים פותרים Ax = b בחישוב A⁻¹.

    בפועל: הם מפרקים A = LU (או דומה); חישוב A⁻¹ איטי יותר ופחות מדויק.

כרטיסיות

  • יחידה

    AI = IA = A.

  • הפכית

    AA⁻¹ = I.

  • הפכית 2 × 2

    החליפו את a ו-d; הפכו סימן ל-b ול-c; חלקו ב-ad − bc.

  • כלל השחלוף

    (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

  • LU

    A = LU מהדירוג.

  • עלות

    כ-n³/3 לדירוג.

בוחן לבדיקה עצמית

1. מטריצה 2 × 3 כפול מטריצה 3 × 5 היא…

הצג תשובה

2 × 5. הממדים החיצוניים.

2. מטריצה הפיכה בדיוק כאשר יש לה…

הצג תשובה

n איברים מובילים. סט מלא של איברים מובילים.

3. הכפלת n פי שניים מכפילה את עלות הדירוג בערך פי…

הצג תשובה

8. n³ גדל פי 2³ = 8.

4. L ב-A = LU מכילה…

הצג תשובה

את המכפילים. מכפילים מתחת לאלכסון, אחדות באלכסון.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

תחזיות מזג אוויר ואקלים הן בבסיסן משימות אלגברה ליניארית עצומות שחוזרות פעמים רבות ביום. NOAA דיווחה באוגוסט 2023 שמחשבי-העל התפעוליים התאומים שלה, Dogwood במנסס שבווירג׳יניה ו-Cactus בפיניקס שבאריזונה, שודרגו ב-20% ל-14.5 פטה-פלופס כל אחד, כך שיחד מערכת התחזית יכולה לעבד 29 קוודריליון חישובים בשנייה, ושעם מחשבי-העל המחקריים שלה הקיבולת הכוללת היא 49 פטה-פלופס.

כלל n³/3 מראה מדוע מהירות חשובה. לדוגמה, מערכת צפופה עם n = 100000 נעלמים דורשת כ-3.33 × 10¹⁴ פעולות; בקצב רציף של 14.5 × 10¹⁵ פעולות בשנייה זה כ-0.023 s, אבל הכפלת n מגדילה את העבודה פי 8. מודלים אמיתיים משתמשים במטריצות דלילות ובפותרים מתוחכמים, אך אותה צמיחה קובית היא מה שלדברי NOAA הכוח הנוסף יממן: מודלים ברזולוציה גבוהה יותר שמשפרים תחזיות ואזהרות.

ב־Saving Planets: מבוא לתכנות · פתרונות

מקורות: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 4 · שבוע 5

מודלים ליניאריים: כלכלת תשומה–תפוקה (לאונטייף), רשתות ואיזון

בניית מודלים ליניאריים ממערכות אמיתיות: מודל התשומה–תפוקה של לאונטיף x = Ax + d ופתרונו x = (I − A)⁻¹d, מודלים מורחבים סביבתית שהופכים הוצאות לפליטות, זרימות ברשתות ואיזון משוואות כימיות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • בנו ופתרו מודל תשומה–תפוקה של לאונטיף.
  • פרשו את איברי (I − A)⁻¹.
  • הרחיבו מודל תשומה–תפוקה בעוצמות פליטה כדי למצוא טביעת רגל.
  • כתבו בעיות איזון זרימה ואיזון כימי כמערכות ליניאריות.

מושגי מפתח

  • במודל תשומה–תפוקה, עמודה j של מטריצת הצריכה A מפרטת מה ענף j קונה מכל ענף כדי לייצר דולר אחד של תפוקה.
  • התפוקה הכוללת x צריכה לכסות את מה שהענפים משתמשים בו (Ax) ועוד את הביקוש הסופי d: ‏x = Ax + d, ולכן (I − A)x = d ו-x = (I − A)⁻¹d.
  • האיבר (i, j) של הפכית לאונטיף (I − A)⁻¹ הוא התפוקה הכוללת של ענף i הנדרשת, ישירות ודרך כל שרשראות האספקה, לדולר אחד של ביקוש סופי מענף j.
  • מודלים מורחבים סביבתית מכפילים את התפוקה בשורה של עוצמות פליטה e (למשל kg CO₂ לדולר): טביעת רגל = e·x.
  • גם חוקי שימור נותנים משוואות ליניאריות: הזרימה הנכנסת שווה ליוצאת בכל צומת ברשת, והאטומים של כל יסוד מתאזנים בתגובה כימית.

משוואות מפתח

x=Ax+d\mathbf{x}=A\mathbf{x}+\mathbf{d}
איזון תשומה–תפוקה
x=(I−A)−1d\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}
פתרון לאונטיף
footprint=e⋅x\text{footprint}=\mathbf{e}\cdot\mathbf{x}
מודל מורחב סביבתית
∑in=∑out\sum \text{in}=\sum \text{out}
איזון זרימה בצומת

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 4.1 לכלכלה בת שני ענפים A = [[0.2, 0.3], [0.1, 0.4]] וביקוש סופי d = (100, 50) (ערכים לדוגמה, מיליוני $). מצאו את התפוקה הכוללת.

הצג את השלבים
  1. I − A = [[0.8, −0.3], [−0.1, 0.6]], ‏det = 0.48 − 0.03 = 0.45.
  2. (I − A)⁻¹ = (1/0.45)[[0.6, 0.3], [0.1, 0.8]].
  3. x = (1/0.45)(60 + 15, 10 + 40).

תשובה: x = (166.7, 111.1) מיליוני $.

דוגמה 4.2 עם עוצמות פליטה לדוגמה e = (0.5, 2.0) kg CO₂ לדולר, מצאו את טביעת הרגל של אותו ביקוש סופי.

הצג את השלבים
  1. טביעת רגל = 0.5 × 166.7 + 2.0 × 111.1 (ביחידות kg ל-$ × מיליוני $).

תשובה: 305.6 מיליון kg = 305.6 kt CO₂ (לדוגמה).

דוגמה 4.3 אזנו x CH₄ + y O₂ → z CO₂ + w H₂O.

הצג את השלבים
  1. C: x = z. H: 4x = 2w. O: 2y = 2z + w.
  2. Set x = 1: z = 1, w = 2, y = 2.

תשובה: CH₄ + 2 O₂ → CO₂ + 2 H₂O.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. במודל הפתור, כמה תפוקה של ענף 1 נדרשת בסך הכול עבור 1 $ של ביקוש סופי מענף 2?

    הצג תשובה

    איבר (1, 2) של (I − A)⁻¹ = 0.3/0.45 = 0.667.

  2. כלכלה בת ענף אחד צורכת 0.25 מהתפוקה שלה. איזו תפוקה כוללת עונה על ביקוש של 300?

    הצג תשובה

    x = 300/(1 − 0.25) = 400.

  3. לצומת זרימות נכנסות 40 ו-25, וזרימה יוצאת f₁ ועוד זרימה יוצאת של 30. מצאו את f₁.

    הצג תשובה

    f₁ = 65 − 30 = 35.

  4. אזנו H₂ + O₂ → H₂O.

    הצג תשובה

    2 H₂ + O₂ → 2 H₂O.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: התפוקה הכוללת שווה לביקוש הסופי.

    בפועל: הענפים צורכים גם את תפוקות זה של זה, ולכן x גדול מ-d.

  • מיתוס: טביעת הרגל נובעת רק מהענף שממנו קונים.

    בפועל: הפכית לאונטיף מסכמת את כל הספקים במעלה השרשרת.

  • מיתוס: כל A נותנת כלכלה הגיונית.

    בפועל: סכומי העמודות חייבים להיות קטנים מ-1 כדי שלאיברי (I − A)⁻¹ לא יהיו ערכים שליליים.

כרטיסיות

  • מטריצת צריכה

    תשומות לדולר תפוקה.

  • מודל לאונטיף

    x = Ax + d.

  • הפכית לאונטיף

    (I − A)⁻¹, דרישות כוללות.

  • מודל מורחב

    טביעת רגל = e·x.

  • איזון זרימה

    נכנס = יוצא בכל צומת.

  • מערכת הומוגנית

    Ax = 0.

בוחן לבדיקה עצמית

1. פתרון לאונטיף הוא…

הצג תשובה

x = (I − A)⁻¹d. מתוך x = Ax + d.

2. עמודה j של A מתארת…

הצג תשובה

מה ענף j קונה לכל דולר תפוקה. תשומות ליחידת תפוקה.

3. טביעת רגל במודל מורחב היא…

הצג תשובה

e·x. עוצמה כפול תפוקה, מסוכמת.

4. איזון משוואה כימית הוא…

הצג תשובה

מערכת ליניארית הומוגנית. ספירת האטומים נותנת Ax = 0.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

הסוכנות להגנת הסביבה של ארה״ב (EPA) משתמשת בדיוק במודל הזה כדי לעקוב אחר זיהום לאורך הכלכלה. לדברי EPA, מודלי USEEIO שלה משלבים נתונים על עסקאות כלכליות בין 389 ענפי תעשייה עם נתונים סביבתיים על אותם ענפים, הכוללים שימוש בקרקע, במים, באנרגיה ובמינרלים, זיהום אוויר, נוטריינטים וחומרים רעילים, כדי להעריך את ההשפעות של מוצרים ושירותים. EPA מתארת אותם כשימושיים לחישוב טביעת רגל פחמנית, והם תומכים בעבודתה בניהול בר-קיימא של חומרים.

למטריצת צריכה של 389 ענפים יש 389² = 151321 איברים, הרבה יותר מדי לעבודה ידנית אבל קל לשיטות הדירוג וה-LU של יחידה 3. הפכית לאונטיף היא שמאפשרת לעיר, לחברה או למשק בית לראות את הפליטות החבויות בשרשראות האספקה שלהם, ולא רק בשער המפעל.

ב־Saving Planets: פתרונות · כימיה כללית I

מקורות: U.S. EPA: US Environmentally-Extended Input-Output (USEEIO) models · Interactive Linear Algebra, 1.1 Systems of linear equations

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 5 · שבועות 6–7

מרחבים וקטוריים, תת-מרחבים, אי-תלות, בסיס, דרגה וארבעת תת-המרחבים היסודיים

מרחבים וקטוריים ותת-מרחבים, מרחב העמודות ומרחב האפס, פתרון מלא של Ax = 0 ו-Ax = b, תלות ליניארית, בסיס ומימד, דרגה, משפט הדרגה והאפסות וארבעת תת-המרחבים היסודיים של סטרנג.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • בדקו אם קבוצה היא תת-מרחב.
  • מצאו בסיסים למרחב העמודות ולמרחב האפס של מטריצה.
  • בדקו אי-תלות ליניארית של וקטורים.
  • השתמשו במשפט הדרגה והאפסות ובממדים של ארבעת תת-המרחבים היסודיים.

מושגי מפתח

  • תת-מרחב מכיל את וקטור האפס וסגור לחיבור ולכפל בסקלר. ישרים ומישורים העוברים בראשית הם תת-מרחבים; אלה שאינם עוברים בראשית אינם.
  • מרחב העמודות C(A): כל ה-Ax, קבוצת ה-b שעבורם ל-Ax = b יש פתרון. מרחב האפס N(A): כל ה-x שעבורם Ax = 0.
  • וקטורים בלתי תלויים ליניארית אם הצירוף היחיד שנותן אפס הוא הצירוף שכל מקדמיו אפס. בסיס הוא קבוצה פורשת בלתי תלויה; לכל בסיס של מרחב יש אותו מספר וקטורים, המימד שלו.
  • דרגה r = מספר האיברים המובילים = dim C(A). משפט הדרגה והאפסות: r + dim N(A) = n, מספר העמודות.
  • ארבעת תת-המרחבים היסודיים של מטריצה m × n מדרגה r: ‏C(A) (מימד r) ו-N(Aᵀ) (מימד m − r) ב-ℝᵐ; ‏C(Aᵀ) (מימד r) ו-N(A) (מימד n − r) ב-ℝⁿ. ‏N(A) ניצב למרחב השורות.

משוואות מפתח

C(A)={Ax},  N(A)={x:Ax=0}C(A)=\{A\mathbf{x}\},\ \ N(A)=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=0\}
מרחב העמודות ומרחב האפס
r+dim⁡N(A)=nr+\dim N(A)=n
משפט הדרגה והאפסות
x=xp+xn\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n
פתרון מלא של Ax = b
dim⁡N(AT)=m−r\dim N(A^T)=m-r
מרחב האפס השמאלי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 5.1 מצאו את הדרגה ובסיס למרחב האפס של A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]].

הצג את השלבים
  1. R₂ − 2R₁ = 0; ‏R₃ − R₁ = [0, −2, −2]. שני איברים מובילים, ולכן r = 2.
  2. Ax = 0: ‏x + z = 0 ו-−2y − 2z = 0, כאשר z חופשי.
  3. קחו z = 1: ‏x = −1, ‏y = −1.

תשובה: r = 2, ‏N(A) נפרש על ידי (−1, −1, 1); ‏dim N(A) = 3 − 2 = 1.

דוגמה 5.2 האם (1, 2, 3), ‏(4, 5, 6), ‏(7, 8, 9) בלתי תלויים?

הצג את השלבים
  1. דרגו את המטריצה שאלה עמודותיה: R₂ − 2R₁ ו-R₃ − 3R₁ נותנות את השורות [0, −3, −6] ו-[0, −6, −12], שהן כפולות זו של זו.
  2. רק שני איברים מובילים.

תשובה: No: (7, 8, 9) = 2(4, 5, 6) − (1, 2, 3).

דוגמה 5.3 למטריצה 5 × 8 דרגה 3. תנו את הממדים של ארבעת תת-המרחבים היסודיים שלה.

הצג את השלבים
  1. C(A) ו-C(Aᵀ): ‏r = 3.
  2. N(A): n − r = 8 − 3; N(Aᵀ): m − r = 5 − 3.

תשובה: 3, 3, 5 ו-2.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. האם הישר y = 2x + 1 הוא תת-מרחב של ℝ²?

    הצג תשובה

    לא: הוא אינו מכיל את (0, 0).

  2. למטריצה 4 × 4 מרחב אפס ממימד 2. מהי הדרגה שלה?

    הצג תשובה

    4 − 2 = 2.

  3. מהו המימד של מרחב המטריצות 2 × 2?

    הצג תשובה

    4.

  4. האם 4 וקטורים ב-ℝ³ יכולים להיות בלתי תלויים?

    הצג תשובה

    לא: לכל היותר 3.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: כל מישור ב-ℝ³ הוא תת-מרחב.

    בפועל: רק מישורים העוברים בראשית.

  • מיתוס: הדרגה סופרת איברים שונים מאפס.

    בפועל: היא סופרת איברים מובילים (עמודות בלתי תלויות).

  • מיתוס: מרחב האפס נמצא באותו מרחב כמו b.

    בפועל: N(A) נמצא ב-ℝⁿ (צד ה-x); ‏b נמצא ב-ℝᵐ.

כרטיסיות

  • תת-מרחב

    מכיל 0; סגור ל-+ ולכפל בסקלר.

  • מרחב העמודות

    All Ax.

  • מרחב האפס

    כל ה-x שעבורם Ax = 0.

  • בסיס

    קבוצה פורשת בלתי תלויה.

  • דרגה

    מספר האיברים המובילים.

  • משפט הדרגה והאפסות

    r + dim N(A) = n.

בוחן לבדיקה עצמית

1. משפט הדרגה והאפסות אומר ש-r + dim N(A) שווה ל…

הצג תשובה

n. מספר העמודות.

2. ל-Ax = b יש פתרון בדיוק כאשר b נמצא ב…

הצג תשובה

C(A). b חייב להיות צירוף של העמודות.

3. מרחב האפס ניצב ל…

הצג תשובה

מרחב השורות. המכפלה הסקלרית של כל שורה ב-x היא 0.

4. כמה וקטורים יש בבסיס של ℝ³?

הצג תשובה

3. מימד 3.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

המימד סופר נעלמים, ותחזיות טובות יותר צריכות יותר מהם. NOAA אמרה ששדרוג מחשבי-העל שלה ב-2023 יאפשר למערכת התחזית הגלובלית של ארה״ב (Global Forecast System) לשפר את הרזולוציה האופקית שלה מ-13 km ל-9 km, מה שעוזר לראות ולדמות תופעות בקנה מידה קטן יותר.

לרשת עם מרווח h יש כ-(1/h)² עמודות ליחידת שטח, ולכן מעבר מ-13 km ל-9 km מכפיל את מספר עמודות הרשת פי (13/9)² = 2.09. כל אחת מהעמודות האלה נושאת טמפרטורה, רוח, לחות ולחץ ברמות רבות, כך שווקטור המצב של תחזית נמצא במרחב ממימד גבוה בהרבה, והמטריצות שמעדכנות אותו גדלות בהתאם.

ב־Saving Planets: חשבון אינפיניטסימלי 3 · משוואות דיפרנציאליות

מקורות: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · Interactive Linear Algebra, 2.7 Basis and dimension

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 6 · שבועות 8–9

אורתוגונליות, היטלים, ריבועים פחותים וגרם–שמידט

וקטורים ותת-מרחבים ניצבים, היטל על ישר ועל תת-מרחב, המשוואות הנורמליות AᵀAx̂ = Aᵀb, התאמת ישרים ועקומות לנתונים בשיטת הריבועים הפחותים, בסיסים אורתונורמליים, גרם–שמידט ו-A = QR.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • הטילו וקטור על ישר ועל מרחב עמודות.
  • התאימו ישר לנתונים בעזרת המשוואות הנורמליות.
  • בנו בסיס אורתונורמלי בשיטת גרם–שמידט.
  • הסבירו מדוע ריבועים פחותים הם היטל.

מושגי מפתח

  • ההיטל של b על הישר דרך a הוא p = (a·b/a·a) a; השגיאה e = b − p ניצבת ל-a.
  • כאשר ל-Ax = b אין פתרון (יותר משוואות מנעלמים, נתונים רועשים), בחרו x̂ כך ש-‖b − Ax̂‖ יהיה קטן ככל האפשר. השגיאה חייבת להיות ניצבת ל-C(A), וזה נותן את המשוואות הנורמליות AᵀAx̂ = Aᵀb.
  • עבור ישר y = C + Dt דרך הנקודות (tᵢ, yᵢ), עמודות A הן עמודת אחדות ועמודת ערכי tᵢ.
  • וקטורים אורתונורמליים qᵢ מקיימים qᵢ·qⱼ = 0 (i ≠ j) ו-‖qᵢ‖ = 1. כשלמטריצה Q עמודות אורתונורמליות, QᵀQ = I וההיטלים נעשים p = QQᵀb.
  • גרם–שמידט מחסר מכל וקטור חדש את ההיטלים שלו על הקודמים, ואז מנרמל. התוצאה היא A = QR עם R משולשית עליונה.

משוואות מפתח

p=a⋅ba⋅a a\mathbf{p}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\,\mathbf{a}
היטל על ישר
ATAx^=ATbA^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}
משוואות נורמליות
P=A(ATA)−1ATP=A(A^TA)^{-1}A^T
מטריצת היטל
A=QRA=QR
פירוק גרם–שמידט

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 6.1 הטילו את b = (2, 3) על a = (1, 1).

הצג את השלבים
  1. a·b = 5, a·a = 2.
  2. p = 2.5(1, 1); ‏e = b − p = (−0.5, 0.5), ו-e·a = 0.

תשובה: p = (2.5, 2.5).

דוגמה 6.2 התאימו y = C + Dt לנקודות (0, 1), ‏(1, 2), ‏(2, 4) בריבועים פחותים.

הצג את השלבים
  1. לשורות A: ‏(1, 0), ‏(1, 1), ‏(1, 2); ‏AᵀA = [[3, 3], [3, 5]], ‏Aᵀb = (7, 10).
  2. det = 6; ‏C = (5 × 7 − 3 × 10)/6, ‏D = (3 × 10 − 3 × 7)/6.

תשובה: C = 0.833, D = 1.5: y = 0.833 + 1.5t.

דוגמה 6.3 הפעילו גרם–שמידט על a₁ = (1, 1, 0), ‏a₂ = (1, 0, 1).

הצג את השלבים
  1. q₁ = (1, 1, 0)/√2.
  2. a₂ − (a₂·q₁)q₁ = (1, 0, 1) − ½(1, 1, 0) = (0.5, −0.5, 1), באורך √1.5 = 1.225.

תשובה: q₁ = (0.707, 0.707, 0), q₂ = (0.408, −0.408, 0.816).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. הטילו את (3, 4) על (1, 0).

    הצג תשובה

    (3, 0).

  2. כתבו את המשוואות הנורמליות להתאמת y = Dt (ללא חותך) לנקודות (1, 2), ‏(2, 3).

    הצג תשובה

    Σt² D = Σty: 5D = 8, D = 1.6.

  3. האם Q = [[0, 1], [1, 0]] אורתוגונלית?

    הצג תשובה

    Yes: QᵀQ = I.

  4. אם b כבר נמצא ב-C(A), מהי שגיאת הריבועים הפחותים?

    הצג תשובה

    אפס: p = b.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: ריבועים פחותים פותרים את Ax = b במדויק.

    בפועל: הם מוצאים את ה-Ax̂ הקרוב ביותר כשאין פתרון מדויק.

  • מיתוס: כל בסיס הופך היטלים לקלים.

    בפועל: בסיסים אורתונורמליים כן; אחרת צריך את (AᵀA)⁻¹.

  • מיתוס: התאמה לישר פירושה שהנתונים ליניאריים.

    בפועל: בדקו את השאריות; ייתכן שעקומה תתאים טוב יותר (הוסיפו עמודת t²).

כרטיסיות

  • היטל על ישר

    p = (a·b/a·a)a.

  • משוואות נורמליות

    AᵀAx̂ = Aᵀb.

  • מטריצת היטל

    P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.

  • אורתונורמלי

    qᵢ·qⱼ = 0, ‖qᵢ‖ = 1.

  • גרם–שמידט

    חסרו היטלים, נרמלו.

  • QR

    A = QR.

בוחן לבדיקה עצמית

1. המשוואות הנורמליות הן…

הצג תשובה

AᵀAx̂ = Aᵀb. שגיאה ניצבת ל-C(A).

2. וקטור השגיאה של הריבועים הפחותים ניצב ל…

הצג תשובה

מרחב העמודות. זה מה שהופך אותו לקצר ביותר.

3. עבור Q עם עמודות אורתונורמליות, QᵀQ =…

הצג תשובה

I. מכפלות סקלריות 0 או 1.

4. גרם–שמידט מפיק…

הצג תשובה

A = QR. Q אורתונורמלית, R משולשית.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

עליית מפלס הים נמדדת בהתאמת עקומות לנתוני לוויין רועשים. NASA מדווחת שמדי גובה לווייניים, TOPEX/Poseidon, ‏Jason-1, ‏-2 ו--3 וכעת Sentinel-6 Michael Freilich, עוקבים אחר מפלס הים הממוצע העולמי מאז 1993, שהוא עלה מאז ב-114.4 mm, ושקצב העלייה גדל מ-0.08 אינץ׳ בשנה (0.20 cm בשנה) ב-1993 ל-0.17 אינץ׳ בשנה (0.44 cm בשנה) כיום, מהיר פי 2.2 בערך.

התאמת ישר בריבועים פחותים נותנת קצב ממוצע; הוספת עמודת t² ל-A מתאימה עקומה ששיפועה המשתנה מודד את ההאצה ש-NASA מתארת. מעבדה D מתאימה נתונים לדוגמה בצורת הרשומה של NASA בעזרת אותן משוואות נורמליות בדיוק מהיחידה הזאת.

ב־Saving Planets: אוקיינוסים · תצפית על כדור הארץ

מקורות: NASA: Global mean sea level (Vital Signs) · Interactive Linear Algebra, 6.5 The method of least squares

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 7 · שבוע 10

דטרמיננטות: תכונות, קו-פקטורים, כלל קרמר ונפח

הדטרמיננטה מתוך תכונותיה, חישובה בדירוג ובפיתוח לפי מינורים, det(AB) = det A det B, מבחן ההפיכות, כלל קרמר, והדטרמיננטה כמקדם שינוי השטח או הנפח של העתקה ליניארית.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • חשבו דטרמיננטות 2 × 2 ו-3 × 3 בפיתוח לפי מינורים ובדירוג.
  • השתמשו בתכונות הדטרמיננטה תחת פעולות שורה.
  • פתרו מערכות קטנות בכלל קרמר.
  • פרשו את |det A| כמקדם שינוי שטח או נפח.

מושגי מפתח

  • det A ≠ 0 בדיוק כאשר A הפיכה. הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון שלה, ולכן det A = ± (מכפלת האיברים המובילים).
  • פעולות שורה: החלפה הופכת את הסימן, כפל שורה ב-c מכפיל את det ב-c, והוספת כפולה של שורה אחת לאחרת אינה משנה את det.
  • det(AB) = det A · det B, ‏det(Aᵀ) = det A ו-det(A⁻¹) = 1/det A.
  • פיתוח לפי שורה: det A = Σ aᵢⱼCᵢⱼ כאשר Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ כפול המינור. כלל קרמר: xᵢ = det(Bᵢ)/det A, כאשר ב-Bᵢ העמודה i מוחלפת ב-b.
  • העתקה ליניארית x ↦ Ax מכפילה שטחים (2D) או נפחים (3D) ב-|det A|; דטרמיננטה שלילית גם הופכת את הכיוון.

משוואות מפתח

det⁡[abcd]=ad−bc\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc
דטרמיננטה 2 × 2
det⁡(AB)=det⁡A det⁡B\det(AB)=\det A\,\det B
כלל המכפלה
xi=det⁡Bidet⁡Ax_i=\frac{\det B_i}{\det A}
כלל קרמר
area(AS)=∣det⁡A∣ area(S)\text{area}(AS)=|\det A|\,\text{area}(S)
מקדם שינוי שטח

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 7.1 מצאו את det [[1, 2, 0], [0, 1, 3], [2, 0, 1]] בפיתוח לפי שורה 1.

הצג את השלבים
  1. 1 × (1 × 1 − 3 × 0) = 1.
  2. − 2 × (0 × 1 − 3 × 2) = −2 × (−6) = 12.
  3. + 0 × (…) = 0.

תשובה: det = 13.

דוגמה 7.2 פתרו 2x + y = 5, ‏x + 3y = 10 בכלל קרמר.

הצג את השלבים
  1. det A = 6 − 1 = 5.
  2. x = det[[5, 1], [10, 3]]/5 = (15 − 10)/5.
  3. y = det[[2, 5], [1, 10]]/5 = (20 − 5)/5.

תשובה: x = 1, y = 3.

דוגמה 7.3 מצאו את שטח המקבילית שצלעותיה (3, 0) ו-(1, 2).

הצג את השלבים
  1. שטח = |det [[3, 1], [0, 2]]| = |6 − 0|.

תשובה: 6 יחידות שטח.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. det [[3, 1], [2, 4]]?

    הצג תשובה

    12 − 2 = 10.

  2. det [[2, 0, 1], [1, 3, 2], [1, 1, 1]]?

    הצג תשובה

    2(3 − 2) − 0 + 1(1 − 3) = 0, ולכן היא סינגולרית.

  3. אם det A = 4 עבור A מסדר 3 × 3, מהו det(2A)?

    הצג תשובה

    2³ × 4 = 32.

  4. אם det A = 5, מהו det(A⁻¹)?

    הצג תשובה

    1/5 = 0.2.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: det(A + B) = det A + det B.

    בפועל: לא נכון באופן כללי; רק det(AB) מתפרק.

  • מיתוס: det(2A) = 2 det A.

    בפועל: עבור n × n, ‏det(2A) = 2ⁿ det A.

  • מיתוס: פיתוח לפי מינורים הוא הדרך המהירה.

    בפועל: הוא דורש כ-n! צעדים; דירוג כ-n³/3.

כרטיסיות

  • det 2 × 2

    ad − bc.

  • הפיכות

    det A ≠ 0.

  • כלל המכפלה

    det(AB) = det A det B.

  • החלפת שורות

    הופכת את הסימן.

  • כלל קרמר

    xᵢ = det Bᵢ/det A.

  • מקדם שטח

    |det A|.

בוחן לבדיקה עצמית

1. החלפת שתי שורות מכפילה את det ב…

הצג תשובה

−1. הסימן מתהפך.

2. det A = 0 פירושו ש-A…

הצג תשובה

סינגולרית. לא הפיכה.

3. הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא…

הצג תשובה

מכפלת האלכסון. פתחו לאורך האלכסון.

4. העתקה עם det = 3 משנה שטחים פי…

הצג תשובה

3. |det A|.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

המרת פיקסלים לשטח קרקע היא דטרמיננטה. USGS מציינת עבור Landsat 9 ערוצים רב-ספקטרליים ברזולוציה 30 m וערוץ פנכרומטי ברזולוציה 15 m. ההעתקה מאינדקסי הפיקסל (i, j) לקואורדינטות קרקע היא, מקומית, מטריצה; עבור רשת מיושרת של 30 m היא diag(30, 30) m, שהדטרמיננטה שלה 900, ולכן כל פיקסל מכסה 900 m². לרשת הפנכרומטית של 15 m דטרמיננטה 225 m², כך שארבעה פיקסלים פנכרומטיים נכנסים בפיקסל רב-ספקטרלי אחד.

ספירת הפיקסלים שסווגו כיער והכפלה במקדם הזה היא הדרך שבה רשומות לוויין מודדות אובדן יערות בהקטרים (1 ha = 10000 m², כ-11.1 פיקסלים של Landsat). כאשר תמונה מסובבת או נגזרת כדי להתאים למפה, הדטרמיננטה של המטריצה החדשה שומרת על השטח הנכון.

ב־Saving Planets: בירוא יערות · תצפית על כדור הארץ

מקורות: USGS: Landsat 9 · Interactive Linear Algebra, 4.3 Determinants and volumes

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 8 · שבוע 11

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

וקטורים עצמיים ככיוונים שמטריצה רק מותחת, המשוואה האופיינית det(A − λI) = 0, בדיקות עקבה ודטרמיננטה, ערכים עצמיים של מטריצות מיוחדות, ערכים עצמיים מרוכבים וסיבוב, שיטת החזקה, ואופני תנודה טבעיים של מבנים רוטטים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • מצאו ערכים עצמיים מ-det(A − λI) = 0 ווקטורים עצמיים ממרחב האפס של A − λI.
  • בדקו ערכים עצמיים בעזרת העקבה והדטרמיננטה.
  • זהו ערכים עצמיים ממשיים, חוזרים ומרוכבים.
  • השתמשו בשיטת החזקה למציאת הערך העצמי הדומיננטי.

מושגי מפתח

  • Av = λv עם v ≠ 0: הווקטור העצמי v שומר על כיוונו ומוכפל בערך העצמי λ.
  • הערכים העצמיים הם שורשי det(A − λI) = 0, פולינום ממעלה n. לכל λ, הווקטורים העצמיים ממלאים את מרחב האפס של A − λI.
  • בדיקות: סכום הערכים העצמיים הוא העקבה (סכום האלכסון) ומכפלתם היא det A.
  • למטריצות סימטריות ערכים עצמיים ממשיים ווקטורים עצמיים ניצבים. למטריצות סיבוב ערכים עצמיים מרוכבים. מטריצות משולשיות מציגות את ערכיהן העצמיים על האלכסון.
  • שיטת החזקה: הכפילו שוב ושוב וקטור התחלתי ב-A ונרמלו; הוא מתיישר עם הווקטור העצמי של ה-|λ| הגדול ביותר. בתנודות, Kv = ω²Mv נותנת את התדירויות הטבעיות ω ואת צורות האופנים v.

משוואות מפתח

Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
משוואת הערכים העצמיים
det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
המשוואה האופיינית
λ1+⋯+λn=tr⁡A,  λ1⋯λn=det⁡A\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}A,\ \ \lambda_1\cdots\lambda_n=\det A
בדיקות עקבה ודטרמיננטה
Kv=ω2MvK\mathbf{v}=\omega^2M\mathbf{v}
אופנים טבעיים של מבנה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 8.1 מצאו את הערכים והווקטורים העצמיים של A = [[2, 1], [1, 2]].

הצג את השלבים
  1. det(A − λI) = (2 − λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = 0.
  2. λ = 3: ‏A − 3I = [[−1, 1], [1, −1]] נותנת v = (1, 1). ‏λ = 1: ‏v = (1, −1).
  3. בדיקה: 3 + 1 = 4 = עקבה; 3 × 1 = 3 = det.

תשובה: λ = 3 עם (1, 1); ‏λ = 1 עם (1, −1).

דוגמה 8.2 מצאו את הערכים העצמיים של [[4, 1], [2, 3]].

הצג את השלבים
  1. λ² − 7λ + 10 = 0 (עקבה 7, ‏det 10).
  2. (λ − 5)(λ − 2) = 0.

תשובה: λ = 5 ו-λ = 2.

דוגמה 8.3 לבניין לדוגמה בן שתי קומות מסות קומה שוות m וקשיחות קומה k, עם K/m = (k/m)[[2, −1], [−1, 1]] ו-k/m = 100 s⁻². מצאו את התדירות היסודית.

הצג את השלבים
  1. הערכים העצמיים של [[2, −1], [−1, 1]]: ‏λ = (3 ± √5)/2 = 0.382 ו-2.618.
  2. ω₁² = 100 × 0.382 = 38.2 s⁻², ‏ω₁ = 6.18 rad/s.
  3. f₁ = ω₁/(2π), T₁ = 1/f₁.

תשובה: f₁ = 0.984 Hz, זמן מחזור T₁ = 1.02 s (ערכים לדוגמה).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. הערכים העצמיים של [[5, 0], [0, −2]]?

    הצג תשובה

    5 ו-−2 (האלכסון).

  2. למטריצה 3 × 3 ערכים עצמיים 1, 2, 3. מצאו את העקבה והדטרמיננטה שלה.

    הצג תשובה

    עקבה 6, ‏det 6.

  3. הערכים העצמיים של הסיבוב ב-90° ‏[[0, −1], [1, 0]]?

    הצג תשובה

    λ² + 1 = 0: λ = ±i.

  4. אם Av = 4v, מהו A²v?

    הצג תשובה

    16v.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: וקטור האפס הוא וקטור עצמי.

    בפועל: וקטורים עצמיים חייבים להיות שונים מאפס.

  • מיתוס: דירוג שומר על הערכים העצמיים.

    בפועל: הוא משנה אותם; השתמשו ב-det(A − λI).

  • מיתוס: לכל מטריצה ממשית ערכים עצמיים ממשיים.

    בפועל: סיבובים נותנים ערכים מרוכבים; מטריצות סימטריות הן המקרה הבטוח.

כרטיסיות

  • וקטור עצמי

    Av = λv, v ≠ 0.

  • המשוואה האופיינית

    det(A − λI) = 0.

  • בדיקת עקבה

    Σλ = עקבה.

  • בדיקת דטרמיננטה

    Πλ = det A.

  • שיטת החזקה

    הכפלה חוזרת מוצאת את הווקטור העצמי המוביל.

  • אופנים טבעיים

    Kv = ω²Mv.

בוחן לבדיקה עצמית

1. הערכים העצמיים של מטריצה משולשית הם…

הצג תשובה

איברי האלכסון שלה. det(A − λI) הוא מכפלה של איברי אלכסון.

2. סכום הערכים העצמיים שווה ל…

הצג תשובה

העקבה. בדיקת עקבה.

3. שיטת החזקה מוצאת את…

הצג תשובה

הערך העצמי הדומיננטי. ה-|λ| הגדול ביותר מנצח.

4. למטריצות סימטריות יש…

הצג תשובה

ערכים עצמיים ממשיים ווקטורים עצמיים ניצבים. המשפט הספקטרלי.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

מהנדסי רעידות אדמה קוראים מבנים דרך הערכים העצמיים שלהם. מחקר של USGS מאת מהמט צ׳לבי (2022) השתמש בזמני המחזור היסודיים ובאחוזי הריסון הקריטי של 41 בניינים גבוהים בכמה מדינות. הוא מצא מגמה ליניארית ברורה בין גובה הבניין לזמן המחזור היסודי בבניינים מפלדה ומבטון מזוין, אם כי עם פיזור גדול בשל תכנונים מבניים שונים, ושהריסון הקריטי נמוך בבירור מ-3%, בהתאם למחקרים עדכניים אחרים על בניינים גבוהים.

זמן המחזור היסודי נקבע על ידי הערך העצמי הקטן ביותר של בעיית הקשיחות–מסה, כמו בדוגמת הבניין בן שתי הקומות. ריסון נמוך פירושו שבניין גבוה יכול לרטוט זמן רב כשגלי רעידה ארוכי מחזור תואמים את זמן המחזור הזה, ולכן בניינים מצוידים במכשור והאופנים הנמדדים שלהם מכוונים לערים בטוחות ועמידות יותר.

ב־Saving Planets: משוואות דיפרנציאליות · דינמיקה

מקורות: USGS: Preliminary study of correlation of natural periods and damping percentages of tall buildings in several countries (Çelebi, 2022) · Interactive Linear Algebra, 5.1 Eigenvalues and eigenvectors

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 9 · שבוע 12

לכסון, חזקות מטריצות, שרשראות מרקוב ומערכות דינמיות ליניאריות

לכסון A = PDP⁻¹, חישוב מהיר של חזקות Aᵏ, מטריצות סימטריות והמשפט הספקטרלי A = QΛQᵀ, מטריצות מרקוב (סטוכסטיות) ומצבים יציבים, וההתנהגות לטווח ארוך של xₖ₊₁ = Axₖ.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לכסנו מטריצה עם n וקטורים עצמיים בלתי תלויים.
  • חשבו את Aᵏ וחזו את ההתנהגות לטווח ארוך של xₖ₊₁ = Axₖ.
  • מצאו את המצב היציב של שרשרת מרקוב.
  • השתמשו במשפט הספקטרלי למטריצות סימטריות.

מושגי מפתח

  • אם ל-A יש n וקטורים עצמיים בלתי תלויים (העמודות של P), אז A = PDP⁻¹ עם הערכים העצמיים על האלכסון של D, ו-Aᵏ = PDᵏP⁻¹.
  • כתבו x₀ = c₁v₁ + … + cₙvₙ. אז xₖ = Aᵏx₀ = c₁λ₁ᵏv₁ + … + cₙλₙᵏvₙ; ה-|λ| הגדול ביותר שולט כש-k גדל.
  • למטריצת מרקוב איברים אי-שליליים ועמודות שסכומן 1. תמיד יש לה λ = 1, ושאר הערכים העצמיים מקיימים |λ| ≤ 1. המצב היציב הוא הווקטור העצמי של λ = 1, מנורמל כך שסכום איבריו 1.
  • ה-|λ| השני בגודלו קובע כמה מהר שרשרת מרקוב שוכחת את נקודת ההתחלה: הפער מצטמצם כמו |λ₂|ᵏ.
  • המשפט הספקטרלי: מטריצה סימטרית ממשית ניתנת לכתיבה כ-A = QΛQᵀ עם וקטורים עצמיים אורתונורמליים ב-Q.

משוואות מפתח

A=PDP−1,  Ak=PDkP−1A=PDP^{-1},\ \ A^k=PD^kP^{-1}
לכסון וחזקות
xk=c1λ1kv1+⋯+cnλnkvn\mathbf{x}_k=c_1\lambda_1^k\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\lambda_n^k\mathbf{v}_n
פתרון של x_{k+1} = Ax_k
Pq=q,  ∑qi=1P\mathbf{q}=\mathbf{q},\ \ \textstyle\sum q_i=1
מצב יציב של מרקוב
A=QΛQTA=Q\Lambda Q^T
המשפט הספקטרלי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 9.1 השתמשו בלכסון כדי למצוא את A¹⁰ עבור A = [[2, 1], [1, 2]].

הצג את השלבים
  1. מיחידה 8: ‏λ = 3, 1 עם v = (1, 1), (1, −1). ‏P = [[1, 1], [1, −1]], ‏P⁻¹ = ½[[1, 1], [1, −1]].
  2. A¹⁰ = P diag(3¹⁰, 1) P⁻¹; כל איבר הוא (3¹⁰ ± 1)/2.

תשובה: A¹⁰ = [[29525, 29524], [29524, 29525]].

דוגמה 9.2 מטריצת מרקוב היא P = [[0.8, 0.3], [0.2, 0.7]] (ערכים לדוגמה). מצאו את המצב היציב.

הצג את השלבים
  1. (P − I)q = 0: ‏−0.2q₁ + 0.3q₂ = 0, ולכן q₁ = 1.5q₂.
  2. q₁ + q₂ = 1 נותן q₂ = 0.4.

תשובה: q = (0.6, 0.4).

דוגמה 9.3 בהתחלה מ-x₀ = (1, 0), מצאו את x₂ עבור אותה P, ואת xₖ הכללי.

הצג את השלבים
  1. x₁ = (0.8, 0.2); x₂ = (0.64 + 0.06, 0.16 + 0.14).
  2. הערכים העצמיים הם 1 ו-0.5 (עקבה 1.5, ‏det 0.5), ולכן xₖ = (0.6, 0.4) + 0.5ᵏ(0.4, −0.4).

תשובה: x₂ = (0.70, 0.30); xₖ → (0.6, 0.4).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. האם [[0.5, 0.2], [0.5, 0.8]] היא מטריצת מרקוב?

    הצג תשובה

    כן: איברים אי-שליליים, סכום כל עמודה 1.

  2. מצאו את המצב היציב שלה.

    הצג תשובה

    0.5q₁ = 0.2q₂, ולכן q = (2/7, 5/7) = (0.286, 0.714).

  3. אם A = PDP⁻¹ עם D = diag(0.9, 0.5), מה קורה ל-Aᵏx עבור k גדול?

    הצג תשובה

    הוא דועך לאפס, כש-0.9ᵏ שולט.

  4. האם [[1, 1], [0, 1]] ניתנת ללכסון?

    הצג תשובה

    לא: λ = 1 פעמיים אבל רק וקטור עצמי בלתי תלוי אחד.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: כל מטריצה ניתנת ללכסון.

    בפועל: נדרשים n וקטורים עצמיים בלתי תלויים; ל-[[1, 1], [0, 1]] יש רק אחד.

  • מיתוס: המצב היציב של שרשרת מרקוב תלוי בנקודת ההתחלה.

    בפועל: בשרשרת רגולרית לא; כל התחלה מתכנסת לאותו q.

  • מיתוס: Aᵏ פירושו העלאת כל איבר בחזקת k.

    בפועל: רק מטריצות אלכסוניות עובדות כך; לכן מלכסנים.

כרטיסיות

  • לכסון

    A = PDP⁻¹.

  • חזקת מטריצה

    Aᵏ = PDᵏP⁻¹.

  • מטריצת מרקוב

    אי-שלילית, סכום כל עמודה 1.

  • מצב יציב

    Pq = q, סכום האיברים 1.

  • המשפט הספקטרלי

    A = QΛQᵀ.

  • מטריצה פגומה

    מעט מדי וקטורים עצמיים לצורך לכסון.

בוחן לבדיקה עצמית

1. לכל מטריצת מרקוב יש הערך העצמי…

הצג תשובה

1. סכום כל עמודה 1.

2. Aᵏ עבור A = PDP⁻¹ הוא…

הצג תשובה

PDᵏP⁻¹. ה-P⁻¹P הפנימיים מצטמצמים.

3. מהירות ההתכנסות של שרשרת מרקוב נקבעת על ידי…

הצג תשובה

|λ₂|. הפער מצטמצם כמו |λ₂|ᵏ.

4. מטריצות סימטריות מתלכסנות בצורה…

הצג תשובה

QΛQᵀ. המשפט הספקטרלי.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

לאן החומרים מגיעים בסוף זו שרשרת מרקוב. EPA מדווחת שארה״ב ייצרה 292.4 מיליון טון פסולת מוצקה עירונית ב-2018, ‏4.9 ליברות לאדם ליום. כ-69 מיליון טון מוחזרו ו-25 מיליון טון קומפסטו, שיעור משולב של 32.1%; כ-35 מיליון טון (11.8%) נשרפו עם השבת אנרגיה; ויותר מ-146 מיליון טון (50%) הוטמנו.

אילו החלקים של כל שנה נשארו קבועים, חומר היה יוצא משימוש ליעדים האלה בהסתברויות האלה, ורק החלק הממוחזר היה חוזר לכלכלה. מעבדה E בונה מטריצת מעבר לדוגמה עם חלק השבה של 32.1% ומראה, בעזרת חזקות מטריצות והווקטור העצמי של λ = 1, כיצד הגדלת המיחזור משנה כמה זמן חומר נשאר בשימוש וכמה ממנו מגיע להטמנה.

ב־Saving Planets: פתרונות

מקורות: U.S. EPA: National overview, facts and figures on materials, wastes and recycling · Interactive Linear Algebra, 5.6 Stochastic matrices

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 10 · שבועות 13–14

פירוק לערכים סינגולריים, ניתוח רכיבים ראשיים ומטריצות חיוביות מוגדרות

מטריצות חיוביות לחלוטין ו-AᵀA, פירוק SVD ‏A = UΣVᵀ, ערכים סינגולריים והגאומטריה של מטריצה כסיבוב–מתיחה–סיבוב, הקירוב הטוב ביותר מדרגה נמוכה ודחיסת תמונות, מספר המצב, וניתוח רכיבים ראשיים של נתונים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • בדקו אם מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.
  • חשבו ערכים סינגולריים מהערכים העצמיים של AᵀA.
  • בנו קירוב מדרגה k ומדדו מה הוא שומר.
  • בצעו ניתוח רכיבים ראשיים קטן.

מושגי מפתח

  • מטריצה סימטרית היא חיובית לחלוטין כאשר xᵀAx > 0 לכל x ≠ 0; באופן שקול כל הערכים העצמיים (או כל האיברים המובילים) חיוביים. AᵀA תמיד סימטרית וחיובית למחצה.
  • לכל מטריצה m × n יש SVD ‏A = UΣVᵀ: ל-V ול-U עמודות אורתונורמליות, ו-Σ מכילה את הערכים הסינגולריים σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0, השורשים הריבועיים של הערכים העצמיים של AᵀA.
  • A = σ₁u₁v₁ᵀ + σ₂u₂v₂ᵀ + …. שמירת k האיברים הראשונים נותנת את הקירוב הטוב ביותר מדרגה k (אקרט–יאנג); השגיאה בנורמה 2 היא σₖ₊₁.
  • מספר המצב σ₁/σₙ מודד עד כמה שגיאות ב-b עלולות להתעצם בפתרון Ax = b.
  • PCA: מרכזו את הנתונים (חסרו את ממוצעי העמודות); אז הווקטורים הסינגולריים הימניים (הווקטורים העצמיים של מטריצת השונויות המשותפות) הם הכיוונים הראשיים, ו-σᵢ² מודד את השונות שכל אחד מסביר.

משוואות מפתח

A=UΣVTA=U\Sigma V^T
פירוק לערכים סינגולריים
σi=λi(ATA)\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)}
ערכים סינגולריים
Ak=∑i=1kσiuiviTA_k=\sum_{i=1}^{k}\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T
הקירוב הטוב ביותר מדרגה k
κ=σ1/σn\kappa=\sigma_1/\sigma_n
מספר מצב

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 10.1 מצאו את הערכים הסינגולריים של A = [[3, 0], [4, 5]].

הצג את השלבים
  1. AᵀA = [[25, 20], [20, 25]], ערכים עצמיים 45 ו-5.
  2. σ₁ = √45, ‏σ₂ = √5. בדיקה: σ₁σ₂ = 15 = |det A|.

תשובה: σ₁ = 6.708, σ₂ = 2.236.

דוגמה 10.2 איזה חלק מה"אנרגיה" Σσ² של AᵀA שומר הקירוב מדרגה 1 של אותה A?

הצג את השלבים
  1. σ₁²/(σ₁² + σ₂²) = 45/50.

תשובה: 90%.

דוגמה 10.3 תמונה בגווני אפור בגודל 1000 × 1000 נשמרת כ-SVD מדרגה 50. כמה מספרים נשמרים, בהשוואה לתמונה המלאה?

הצג את השלבים
  1. כל איבר צריך u אחד (1000), ‏v אחד (1000) ו-σ אחד: 2001 מספרים.
  2. 50 × 2001 = 100050 לעומת 1000000.

תשובה: 100050 מספרים, כ-10.0% מהמקור.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. האם [[2, 1], [1, 2]] חיובית לחלוטין?

    הצג תשובה

    כן: הערכים העצמיים 3 ו-1 חיוביים.

  2. מצאו את מספר המצב של diag(10, 0.1).

    הצג תשובה

    10/0.1 = 100.

  3. לנתוני 2D ממורכזים מטריצת שונויות [[2, 1], [1, 2]]. איזה חלק מהשונות מסביר הרכיב הראשי הראשון?

    הצג תשובה

    ערכים עצמיים 3 ו-1: ‏3/4 = 75%, לאורך (1, 1).

  4. מהם הערכים הסינגולריים של מטריצה אורתוגונלית?

    הצג תשובה

    כולם שווים ל-1.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הערכים הסינגולריים הם הערכים העצמיים של A.

    בפועל: הם השורשים הריבועיים של הערכים העצמיים של AᵀA, ולעולם אינם שליליים.

  • מיתוס: רק למטריצות ריבועיות יש SVD.

    בפועל: לכל מטריצה יש.

  • מיתוס: PCA עובד על נתונים גולמיים.

    בפועל: מרכזו קודם את הנתונים, ושנו קנה מידה למשתנים הנמדדים ביחידות שונות.

כרטיסיות

  • SVD

    A = UΣVᵀ.

  • ערך סינגולרי

    σᵢ = √λᵢ(AᵀA).

  • חיובית לחלוטין

    xᵀAx > 0, כל λ > 0.

  • אקרט–יאנג

    SVD קטוע הוא הקירוב הטוב ביותר מדרגה k.

  • מספר מצב

    σ₁/σₙ.

  • PCA

    SVD של הנתונים הממורכזים.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ערכים סינגולריים הם…

הצג תשובה

אי-שליליים. שורשים ריבועיים של הערכים העצמיים של AᵀA, ‏≥ 0.

2. הקירוב הטוב ביותר מדרגה k שומר…

הצג תשובה

את k האיברים הסינגולריים הגדולים ביותר. אקרט–יאנג.

3. מספר מצב גדול פירושו…

הצג תשובה

ששגיאות עלולות להתעצם. כמעט סינגולרית.

4. ב-PCA, הכיוון הראשי הראשון הוא…

הצג תשובה

הווקטור הסינגולרי הימני העליון של הנתונים הממורכזים. כיוון השונות הגדולה ביותר.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ספקטרומטר ההדמיה EMIT של JPL ב-NASA, על תחנת החלל הבינלאומית, ממפה את המינרלים באזורי מקורות האבק של כדור הארץ. JPL אומרת שהוא אוסף יותר מ-100000 ספקטרומים בכל שנייה, שהם 3.6 × 10⁸ ספקטרומים בשעה, ושהמשימה שלו הוארכה לפחות עד 2026. לאבק יש חשיבות לאקלים: JPL מציינת שמינרלים כהים בולעים אור שמש ומחממים את האוויר, ואילו מינרלים בהירים מחזירים אותו ומקררים.

כל ספקטרום הוא וקטור ארוך של מקדמי החזרה באורכי גל רבים, ואורכי גל סמוכים מתואמים מאוד. PCA ו-SVD דוחסים נתונים כאלה לרכיבים מעטים, מפרידים אות מרעש ומזהים את החתימות של מינרלים בודדים, אותה מתמטיקה כמו במעבדת דחיסת התמונות.

ב־Saving Planets: תצפית על כדור הארץ · חלל

מקורות: NASA JPL: EMIT, Earth Surface Mineral Dust Source Investigation · MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

המעבדה (Computation lab)

המעבדה היא החלק המעשי של הקורס. כאן היא חינמית ולתרגול בלבד, ללא נקודות זכות.

כל מעבדה מתבצעת בגיליון אלקטרוני חינמי או על נייר; גרסאות Python הן רשות. קחו הפסקות קבועות מהמסך, והשתמשו בסיכות ובמספריים בזהירות.

מקור בטיחות: OSHA: Computer workstations eTool

מעבדה A: וקטורי פיקסלים ומדד צמחייה

שבוע 2

מטרה: התייחסו לפיקסלים של לוויין כאל וקטורים: חשבו אורכים, זוויות בין פיקסלים ואת ה-NDVI, וראו שצמחייה, קרקע ומים מצביעים לכיוונים שונים.

cos⁡θ=p⋅q∥p∥∥q∥,NDVI=NIR−redNIR+red\cos\theta=\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}{\|\mathbf{p}\|\|\mathbf{q}\|},\quad \text{NDVI}=\frac{\text{NIR}-\text{red}}{\text{NIR}+\text{red}}
זווית בין פיקסלים ו-NDVI

מהלך הניסוי

  1. בגיליון אלקטרוני, הזינו שלושה פיקסלים לדוגמה כשורות של מקדמי החזרה (ירוק, אדום, NIR): צמחייה (0.10, 0.08, 0.40), קרקע (0.20, 0.25, 0.30), מים (0.06, 0.04, 0.02).
  2. חשבו את אורך כל פיקסל עם SQRT(SUMSQ(…)) ואת המכפלה הסקלרית של כל זוג עם SUMPRODUCT.
  3. מצאו את הזווית בין כל זוג עם ACOS ו-DEGREES.
  4. חשבו NDVI לכל פיקסל. רשות: הורידו סצנת Landsat חינמית וחזרו על כך עם פיקסלים אמיתיים.

טבלת נתונים

פיקסלירוקRedNIRNDVI
צמחייה0.100.080.400.667
קרקע0.200.250.300.091
מים0.060.040.02−0.333

מקדמי החזרה לדוגמה שנבחרו כך שידמו לצמחייה, קרקע חשופה ומים טיפוסיים.

חישוב לדוגמה

  1. NDVI של צמחייה = (0.40 − 0.08)/(0.40 + 0.08) = 0.667.
  2. NDVI של קרקע = 0.05/0.55 = 0.091; ‏NDVI של מים = −0.02/0.06 = −0.333.
  3. זווית צמחייה–קרקע: מכפלה סקלרית = 0.160, אורכים 0.420 ו-0.4387, ‏cos θ = 0.8683, ‏θ = 29.7°.

בטיחות

  • קחו הפסקת מסך קצרה כל חצי שעה.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל המעבדה מתבצעת בגיליון אלקטרוני חינמי.

PhET: Vector Addition · USGS: Landsat 9

הקשר לכדור הארץ: USGS מפרטת את הערוצים האדום (ערוץ 4) והאינפרה-אדום הקרוב (ערוץ 5) של Landsat 9, והנתונים שלו חינמיים, כך שכל אחד יכול למפות צמחייה בדרך הזאת. USGS: Landsat 9

מעבדה B: טרילטרציה, מחוטים למערכת ליניארית

שבוע 3

מטרה: מצאו מיקום ממרחקים, תחילה עם חוטים על מפה כמו בפעילות של GPS.gov, ואז בהפיכת משוואות המעגלים למערכת ליניארית ופתרונה בדירוג.

2(a2−a1)x+2(b2−b1)y=d12−d22+a22−a12+b22−b122(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y=d_1^2-d_2^2+a_2^2-a_1^2+b_2^2-b_1^2
הפרש של שתי משוואות מעגל

מהלך הניסוי

  1. הדפיסו את מפת הטרילטרציה של GPS.gov (ללא שינוי קנה מידה) או סמנו שלושה "לוויינים" על נייר משבצות ב-(0, 0), ‏(10, 0) ו-(0, 10) cm.
  2. המירו זמני אות למרחקים עם d = ct (c = 299792458 m/s); לגרסת הנייר השתמשו במרחקים לדוגמה שלהלן.
  3. שרטטו מעגלים בעזרת חוט ועיפרון וסמנו היכן הם נחתכים.
  4. חסרו את משוואות המעגלים בזוגות כדי לקבל שתי משוואות ליניאריות, פתרו אותן בדירוג בגיליון אלקטרוני, והשוו לשרטוט.

טבלת נתונים

משואהמיקום (cm)מרחק (cm)d²
1(0, 0)5.00025
2(10, 0)8.06265
3(0, 10)6.70845

מרחקים לדוגמה עבור מקלט ב-(3, 4) cm. הפעילות של GPS.gov משתמשת בארבעה לוויינים על מפה בקנה מידה 1:21283839.

חישוב לדוגמה

  1. Eq. 1 − Eq. 2: 20x − 100 = −40, x = 3. Eq. 1 − Eq. 3: 20y − 100 = −20, y = 4.
  2. זמן A של GPS.gov = 0.00505783 s נותן d = 1516299 m; בקנה מידה 1:21283839 זה 7.12 cm על המפה.

בטיחות

  • השתמשו בנעצים ובמספריים בזהירות.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גרסת החוט והנייר היא מעבדת הבית.

GPS.gov: Trilateration activity · Interactive Linear Algebra, 1.2 Row reduction

הקשר לכדור הארץ: GPS.gov תכננה את הפעילות הזאת יחד עם NOAA; מקלטים אמיתיים פותרים מערכת מאותו סוג, עם נעלם של שעון, פעמים רבות בשנייה. GPS.gov: Trilateration (NOAA classroom activity) · GPS.gov: Space segment

מעבדה C: מטריצות כהעתקות של המישור

שבוע 4

מטרה: ראו מטריצות פועלות על צורות: מתחו, גזרו, סובבו ושקפו ריבוע על נייר משבצות, ווודאו ששטחים מוכפלים ב-|det A|.

area(AS)=∣det⁡A∣ area(S)\text{area}(AS)=|\det A|\,\text{area}(S)
מקדם שינוי שטח

מהלך הניסוי

  1. שרטטו את ריבוע היחידה עם הקודקודים (0, 0), ‏(1, 0), ‏(1, 1), ‏(0, 1).
  2. הכפילו כל קודקוד ב-A = [[2, 1], [0, 1]] (גזירה ומתיחה), ב-R = [[0, −1], [1, 0]] (סיבוב ב-90°) וב-F = [[1, 0], [0, −1]] (שיקוף).
  3. שרטטו כל תמונה ומצאו את שטחה בספירת משבצות או בנוסחת השרוך.
  4. השוו כל שטח ל-|det| וציינו אילו העתקות הופכות את הכיוון (det < 0). אחר כך בדקו ש-det(AR) = det A det R.

טבלת נתונים

מטריצהdetשטח התמונהכיוון
A = [[2, 1], [0, 1]]22נשמר
R (סיבוב ב-90°)11נשמר
F (שיקוף)−11התהפך
AR22נשמר

ערכים מדויקים לריבוע היחידה.

חישוב לדוגמה

  1. det A = 2 × 1 − 1 × 0 = 2; התמונה היא מקבילית עם בסיס 2 וגובה 1.
  2. det(AR) = det A × det R = 2 × 1 = 2.

בטיחות

  • אין, מעבר לעבודה רגילה ליד שולחן.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל מה שצריך הוא נייר משבצות ועיפרון.

Interactive Linear Algebra, 3.1 Matrix transformations · Interactive Linear Algebra, 4.3 Determinants and volumes

הקשר לכדור הארץ: היטלי מפות ורישום תמונות משתמשים באותן מטריצות; הדטרמיננטה שומרת על מדידות שטח אמינות של יערות והצפות. USGS: Landsat 9

מעבדה D: התאמת ריבועים פחותים לנתוני מפלס הים

שבוע 9

מטרה: התאימו ישר, ואחר כך פרבולה, לנתוני מפלס הים בעזרת המשוואות הנורמליות, והשוו להתאמה המובנית של הגיליון האלקטרוני.

ATAx^=ATb,A=[ 1  t ]A^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b},\quad A=[\,\mathbf{1}\ \ \mathbf{t}\,]
משוואות נורמליות עבור y = C + Dt

מהלך הניסוי

  1. הזינו את הנתונים לדוגמה שלהלן (או הורידו את הרשומה של NASA מדף Vital Signs שלה): t בשנים מאז 1993 ו-h ב-mm.
  2. בנו את A עם עמודת אחדות ועמודת t. חשבו את AᵀA ואת Aᵀb עם MMULT ו-TRANSPOSE, ואז x̂ = MINVERSE(AᵀA)·Aᵀb.
  3. בדקו מול LINEST או קו מגמה בתרשים. שרטטו את השאריות b − Ax̂.
  4. הוסיפו עמודת t² והתאימו מחדש. מקדם t² חיובי פירושו שהעלייה מואצת.

טבלת נתונים

t (שנים מאז 1993)08162432
h (mm)0224878114

ערכים לדוגמה בצורת הרשומה של NASA (המדווחת על עלייה של 114.4 mm מאז 1993); השתמשו בנתונים האמיתיים לתשובה אמיתית.

חישוב לדוגמה

  1. t̄ = 16, h̄ = 52.4; Σ(t − t̄)(h − h̄) = 2272, Σ(t − t̄)² = 640.
  2. D = 2272/640 = 3.55 mm/yr; C = 52.4 − 3.55 × 16 = −4.4 mm.
  3. השאריות חיוביות בשני הקצוות ושליליות באמצע: עקומה מתאימה טוב יותר, כפי שמרמז הקצב העולה ש-NASA מדווחת עליו.

בטיחות

  • קחו הפסקת מסך קצרה כל חצי שעה.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל המעבדה מתבצעת בגיליון אלקטרוני חינמי.

NASA: Global mean sea level · Interactive Linear Algebra, 6.5 Least squares

הקשר לכדור הארץ: NASA מדווחת שקצב העלייה גדל מ-0.20 cm בשנה ב-1993 ל-0.44 cm בשנה כיום, האצה שאפשר לזהות בעזרת עמודת t². NASA: Global mean sea level (Vital Signs)

מעבדה E: מודל מרקוב של חומרים ומיחזור

שבוע 12

מטרה: בנו מטריצת מעבר לחומר שבשימוש ולחומר שאובד להטמנה או לשריפה, השתמשו בחזקות מטריצות כדי לעקוב אחריו לאורך זמן, וראו כיצד שיעור מיחזור גבוה יותר שומר על החומר בשימוש זמן רב יותר.

xk+1=Pxk,P=[1−f(1−r)0f(1−r)1]\mathbf{x}_{k+1}=P\mathbf{x}_k,\quad P=\begin{bmatrix}1-f(1-r)&0\\f(1-r)&1\end{bmatrix}
שרשרת בת שני מצבים: בשימוש, אבד

מהלך הניסוי

  1. בחרו שיעור השלכה לדוגמה f = 0.2 לשנה ושיעור השבה r = 0.321 (חלק המיחזור והקומפוסט של EPA ב-2018).
  2. בנו את P בגיליון אלקטרוני והתחילו מ-x₀ = (1, 0): כל החומר בשימוש.
  3. השתמשו ב-MMULT כדי להתקדם 10 שנים, והשוו לנוסחה (1 − f(1 − r))ᵏ עבור החלק שעדיין בשימוש.
  4. חזרו עם r = 0.5 והשוו את מספר שנות השימוש הממוצע, 1/(f(1 − r)).

טבלת נתונים

שיעור השבה rהסתברות להישאר בשימושבשימוש אחרי 10 שניםשנות שימוש בממוצע
0.3210.86420.2327.36
0.500.90000.34910.0

מודל לדוגמה: שיעור ההשלכה f = 0.2 הוא ערך לדוגמה; ‏r = 0.321 הוא החלק של EPA ל-2018.

חישוב לדוגמה

  1. הסתברות להישאר = 1 − 0.2 × 0.679 = 0.8642; ‏0.8642¹⁰ = 0.232.
  2. שנות שימוש בממוצע = 1/0.1358 = 7.36; ב-r = 0.5 זה 1/0.1 = 10.0 שנים.
  3. λ = 1 שייך למצב "אבד", שבולע הכול לטווח ארוך; ‏λ = 0.8642 קובע את המהירות.

בטיחות

  • קחו הפסקת מסך קצרה כל חצי שעה.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל המעבדה מתבצעת בגיליון אלקטרוני חינמי.

Interactive Linear Algebra, 5.6 Stochastic matrices · EPA: National overview of materials and waste

הקשר לכדור הארץ: EPA מדווחת על שיעור מיחזור וקומפוסט של 32.1% ב-2018 ועל 50% שהוטמנו; מודלים כאלה מראים כמה שווה העלאת השיעור הזה. U.S. EPA: National overview, facts and figures on materials, wastes and recycling

מעבדה F: שיטת החזקה ודחיסת תמונות ב-SVD

שבוע 14

מטרה: מצאו ערך עצמי דומיננטי בהכפלה חוזרת, ואז דחסו תמונה קטנה בגווני אפור בעזרת SVD קטוע וראו כמה מעט מספרים שומרים על התמונה.

xk+1=Axk∥Axk∥,Ak=∑i=1kσiuiviT\mathbf{x}_{k+1}=\frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|},\quad A_k=\sum_{i=1}^k\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T
שיטת החזקה ו-SVD קטוע

מהלך הניסוי

  1. בגיליון אלקטרוני, התחילו מ-x₀ = (1, 0) והכפילו ב-A = [[2, 1], [1, 2]] עשר פעמים, עם נרמול בכל פעם; צפו ביחס האורכים מתקרב ל-3.
  2. צרו רשת 8 × 8 של רמות אפור (0–255) לתמונה פשוטה, או טענו תמונה ב-Python החינמי עם NumPy.
  3. חשבו את ה-SVD ‏(numpy.linalg.svd) ובנו מחדש את התמונה עם k = 1, 2 ו-4 איברים.
  4. רשמו את האחסון k(8 + 8 + 1) ואת החלק של Σσ² שנשמר, ושפטו מתי התמונה נראית נכון.

טבלת נתונים

kמספרים מאוחסנים (תמונה 8 × 8)חלק מתוך 64
11726.6%
23453.1%
468106.3%

ספירות אחסון מדויקות. לתמונה 8 × 8, ‏k = 4 כבר מאחסן יותר מ-64 המספרים הגולמיים; החיסכון מופיע בתמונות גדולות (יחידה 10: דרגה 50 של תמונה 1000 × 1000 שומרת 10.0%).

חישוב לדוגמה

  1. שיטת החזקה: (1, 0) → (2, 1) → (5, 4) → (14, 13); ‏‖(14, 13)‖/‖(5, 4)‖ = 19.10/6.403 = 2.98, קרוב ל-λ = 3.
  2. אחסון עבור k = 1: ‏8 + 8 + 1 = 17 מספרים, 17/64 = 26.6%.

בטיחות

  • קחו הפסקת מסך קצרה כל חצי שעה.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • גרסת הגיליון האלקטרוני וגרסת Python החינמית הן שתיהן מעבדות בית.

MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010) · Interactive Linear Algebra, 5.1 Eigenvectors

הקשר לכדור הארץ: EMIT של JPL ב-NASA מחזיר יותר מ-100000 ספקטרומים בכל שנייה; דחיסת הנתונים האלה והפרדתם משתמשות בדיוק בכלים האלה. NASA JPL: EMIT, Earth Surface Mineral Dust Source Investigation

חזרה למעלה

מערכי תרגול למבחן

מדדו זמן: כ־10 דקות לבעיה. אחר כך השוו לפתרונות המלאים.

סט תרגול לבחינת אמצע (יחידות 1–5)

  1. מצאו את הזווית בין (1, 0, 1) ל-(0, 1, 1).

    הצג פתרון מלא
    1. מכפלה סקלרית = 1; אורך כל אחד √2; ‏cos θ = 1/2.

    תשובה: 60°.

  2. פתרו x + 2y = 4, ‏3x − y = 5.

    הצג פתרון מלא
    1. R₂ − 3R₁: −7y = −7.

    תשובה: x = 2, y = 1.

  3. הפכו את [[3, 2], [1, 1]].

    הצג פתרון מלא
    1. det = 1.

    תשובה: [[1, −2], [−1, 3]].

  4. כלכלה בת ענף אחד צורכת 0.4 מהתפוקה שלה. איזו תפוקה עונה על ביקוש של 120?

    הצג פתרון מלא
    1. x = 120/0.6.

    תשובה: 200.

  5. למטריצה 6 × 9 דרגה 4. מצאו את dim N(A) ואת dim N(Aᵀ).

    הצג פתרון מלא
    1. n − r ו-m − r.

    תשובה: 5 ו-2.

מערך תרגול מסכם (כל היחידות)

  1. התאימו y = C + Dt לנקודות (0, 0), ‏(1, 2), ‏(2, 2) בריבועים פחותים.

    הצג פתרון מלא
    1. AᵀA = [[3, 3], [3, 5]], ‏Aᵀb = (4, 6); ‏det 6.

    תשובה: C = 0.333, D = 1.

  2. מצאו את det [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]].

    הצג פתרון מלא
    1. 2(4 − 1) − 1(2 − 0) + 0.

    תשובה: 4.

  3. מצאו את הערכים העצמיים של [[6, 2], [2, 3]].

    הצג פתרון מלא
    1. עקבה 9, ‏det 14: ‏λ² − 9λ + 14 = 0.

    תשובה: 7 ו-2.

  4. מצאו את המצב היציב של מטריצת המרקוב [[0.9, 0.2], [0.1, 0.8]].

    הצג פתרון מלא
    1. 0.1q₁ = 0.2q₂.

    תשובה: (0.667, 0.333).

  5. מצאו את הערכים הסינגולריים של [[2, 0], [0, −3]].

    הצג פתרון מלא
    1. AᵀA = diag(4, 9).

    תשובה: 3 ו-2.

  6. כמה מספרים מאחסן SVD מדרגה 20 של תמונה 500 × 800, ואיזה חלק מהתמונה המלאה זה?

    הצג פתרון מלא
    1. 20(500 + 800 + 1).

    תשובה: 26020, כ-6.5%.

חזרה למעלה

דף נוסחאות

∥v∥=v⋅v, cos⁡θ=v⋅w∥v∥∥w∥\|v\|=\sqrt{v\cdot v},\ \cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|}
Ax=b,  A=LUA\mathbf{x}=\mathbf{b},\ \ A=LU
[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
(AB)−1=B−1A−1, (AB)T=BTAT(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\ (AB)^T=B^TA^T
x=(I−A)−1d\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}
r+dim⁡N(A)=nr+\dim N(A)=n
p=a⋅ba⋅aa,  ATAx^=ATb\mathbf{p}=\frac{a\cdot b}{a\cdot a}a,\ \ A^TA\hat{x}=A^Tb
A=QR, QTQ=IA=QR,\ Q^TQ=I
det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B, xi=det⁡Bi/det⁡A\det(AB)=\det A\det B,\ x_i=\det B_i/\det A
det⁡(A−λI)=0, ∑λ=tr⁡A, ∏λ=det⁡A\det(A-\lambda I)=0,\ \sum\lambda=\operatorname{tr}A,\ \prod\lambda=\det A
A=PDP−1, Ak=PDkP−1, A=QΛQTA=PDP^{-1},\ A^k=PD^kP^{-1},\ A=Q\Lambda Q^T
A=UΣVT, σi=λi(ATA), κ=σ1/σnA=U\Sigma V^T,\ \sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)},\ \kappa=\sigma_1/\sigma_n

קבועים

קבועערך
מהירות האור (משמשת למרחקי GPS)299,792,458 m/s
1 מייל1.609344 km
1 רגל0.3048 m
1 אינץ׳25.4 mm
פעולות לפתרון מערכת n × n בדירוגכ-n³/3 פעולות כפל–חיבור (סטרנג)
מטריצת היחידה Iאחדות על האלכסון ואפסים בשאר המקומות: AI = IA = A

מקור: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

חזרה למעלה

טקסטים והרצאות חינמיים

השתמשו בספרי הלימוד, ההרצאות והכלים החינמיים האלה לצד הקורס.

חזרה למעלה

מילון מונחים

בסיס
קבוצה בלתי תלויה ליניארית שפורשת מרחב.
מרחב העמודות
כל הצירופים Ax של עמודות A.
מספר מצב
σ₁/σₙ, כמה שגיאות יכולות לגדול בפתרון Ax = b.
דטרמיננטה
מקדם שינוי הנפח המסומן של A; אפס בדיוק כאשר A סינגולרית.
לכסון
A = PDP⁻¹ עם הווקטורים העצמיים ב-P.
מימד
מספר הווקטורים בכל בסיס.
ערך עצמי
λ שעבורו Av = λv עבור v כלשהו שונה מאפס.
פירוק LU
A = LU מהדירוג.
ריבועים פחותים
ה-x̂ שממזער את ‖b − Ax‖.
הפכית לאונטיף
(I − A)⁻¹, התפוקה הכוללת הנדרשת לכל יחידת ביקוש סופי.
אי-תלות ליניארית
רק הצירוף האפסי נותן את וקטור האפס.
מטריצת מרקוב
איברים אי-שליליים, סכום כל עמודה 1.
מרחב האפס
כל ה-x שעבורם Ax = 0.
אורתונורמלי
וקטורי יחידה ניצבים זה לזה.
איבר מוביל
האיבר הראשון השונה מאפס בשורה של צורה מדורגת.
חיובית לחלוטין
סימטרית עם xᵀAx > 0 לכל x ≠ 0.
הטלה
הנקודה הקרובה ביותר ל-b בתת-מרחב.
דרגה
מספר האיברים המובילים; מימד מרחב העמודות.
ערך סינגולרי
σᵢ = √λᵢ(AᵀA).
פרישה
כל הצירופים הליניאריים של קבוצת וקטורים.
תת-מרחב
קבוצה המכילה 0 וסגורה לחיבור ולכפל בסקלר.

חזרה למעלה

מחוון להערכה עצמית

לא ניתנים ציון או נקודות זכות. השתמשו בזה כדי להעריך בכנות איפה אתם עומדים בכל יחידה.

רמהאיך זה נראה
4 · שליטה מלאהבוחר/ת בכלי הנכון (דירוג, היטל, ערכים עצמיים או SVD), מחשב/ת מקרים קטנים ביד, בודק/ת תשובות (Ax = b, עקבה ודטרמיננטה), ומסביר/ה את המשמעות בתמונות ובהקשר.
3 · מיומןפותר/ת את תרגילי האימון עם טעויות חשבון מזדמנות.
2 · מתפתחעוקב/ת אחר דוגמאות פתורות אבל מבלבל/ת בין שורות לעמודות או בין ארבעת תת-המרחבים.
1 · מתחילמתמרן/ת סמלים בלי לבדוק ממדים או תשובות; צריך/ה לחזור על היחידה.

שקלול מוצע אם רוצים ציון

חלקמשקל
תרגילים25%
מעבדות20%
מערך תרגול לאמצע הקורס25%
מערך תרגול מסכם30%

שאפו לרמה 3 ומעלה בכל יחידה לפני שעוברים לקורס הבא.

חזרה למעלה