Álgebra lineal

Vectores, matrices y sistemas de ecuaciones: eliminación, LU, inversas, modelos de insumo–producto, los cuatro subespacios fundamentales, proyecciones y mínimos cuadrados, determinantes, valores propios, cadenas de Markov y la SVD, con seis prácticas. Gratis, a tu ritmo y vinculado a GPS, Landsat, satélites del nivel del mar, modelos meteorológicos, reciclaje y cartografía mineral.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)CNES (PIA25623)NASA Blue Marble

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Sobre este curso

Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.

Su alcance sigue un curso de álgebra lineal de un semestre de segundo año. Se basa en los temas y la profundidad de MIT 18.06 Linear Algebra impartido por Gilbert Strang (gratis en MIT OpenCourseWare) y en los cursos de álgebra lineal de segundo año de Georgia Tech y Purdue, usando el texto gratuito de Georgia Tech Interactive Linear Algebra de Dan Margalit y Joseph Rabinoff y el libro gratuito Linear Algebra de Jim Hefferon, que enlazamos donde ayudan. Ninguno de esos autores o instituciones respalda esta página.

Lo que añadimos: cada unidad se vincula a trabajo real sobre el planeta con una fuente pública citada (GPS, Landsat 9, satélites del nivel del mar de la NASA, supercomputadoras meteorológicas de la NOAA, datos de insumo–producto y reciclaje de la EPA, estudios de edificios del USGS, espectrómetro mineral EMIT de la NASA), cada número de la página se recalcula con un script de verificación antes de publicarse, y cada práctica se hace en una hoja de cálculo gratuita o en papel.

Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

El álgebra lineal es el lenguaje de los datos sobre el planeta. Un píxel de satélite es un vector, una posición GPS es la solución de un sistema lineal, un pronóstico del tiempo son millones de ecuaciones resueltas una y otra vez, y la contaminación de una economía puede rastrearse con una sola matriz.

Las mismas pocas ideas, eliminación, proyección, valores propios y la SVD, convierten mediciones en bruto en mapas de bosques, tendencias del nivel del mar y polvo mineral. Cada unidad termina con una breve sección con fuentes. Los valores que no provienen de una fuente se marcan como valores de ejemplo.

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Antes de empezar

Requisitos previos

Álgebra de secundaria: resolver dos ecuaciones con dos incógnitas y trabajar con funciones.
Cálculo I ayuda con límites y derivadas en algunos ejemplos, pero no se necesita cálculo en la mayor parte del curso.
Soltura con una hoja de cálculo; Introducción a la programación ayuda en las versiones opcionales de las prácticas en Python.
Cálculo III y Ecuaciones diferenciales combinan bien con este curso pero no son obligatorios.

Cómo estudiar

Haz primero cada cálculo a mano con ejemplos pequeños (2 × 2 y 3 × 3) y luego compruébalo con una hoja de cálculo o calculadora.
Piensa en Ax de dos formas: como productos escalares de las filas con x, y como una combinación de las columnas de A.
Comprueba cada respuesta: sustituye x en Ax = b, multiplica A por su inversa o verifica Av = λv.
Controla los tamaños: una matriz m × n por una n × p da m × p, y tamaños que no coinciden indican un error.
Haz dibujos en 2D y 3D: rectas, planos, proyecciones y estiramientos hacen las reglas fáciles de recordar.
Haz cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta, y repite los cuestionarios unos días después.

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

Un ordenador con una hoja de cálculo gratuita (sus funciones MMULT, MINVERSE, MDETERM y LINEST hacen el trabajo matricial).
Papel cuadriculado, una regla, un transportador y un lápiz.
Opcional: Python gratuito con NumPy para las versiones más grandes de las prácticas.
Un cordel y chinchetas o cinta adhesiva para la práctica de trilateración, y un mapa impreso o una hoja de papel.
Una foto en escala de grises o una pequeña cuadrícula de números para la práctica de compresión de imágenes.

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Calendario sugerido de 15 semanas

Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.

Semana	Unidad	Temas	Lectura
1	Vectores: combinaciones lineales, longitudes y productos escalares	Vectores, combinaciones lineales, espacio generado, longitud	MIT 18.06 L1; ILA 2.1–2.2
2	Vectores: combinaciones lineales, longitudes y productos escalares	Productos escalares, ángulos, ortogonalidad; Práctica A; inicio de la eliminación	ILA 6.1
3	Sistemas de ecuaciones lineales y eliminación gaussiana	Eliminación, formas escalonadas, conjuntos solución; Práctica B	MIT 18.06 L2; ILA 1.1–1.3
4	Álgebra de matrices: multiplicación, inversas y factorización LU	Multiplicación de matrices, inversas, A = LU; Práctica C	MIT 18.06 L3–4; ILA 3.4–3.5
5	Modelos lineales: economía de insumo–producto (Leontief), redes y balanceo	Modelos de insumo–producto, redes, balanceo	Hefferon Topics; EPA USEEIO
6	Espacios vectoriales, subespacios, independencia, base, rango y los cuatro subespacios fundamentales	Subespacios, espacio columna, espacio nulo, Ax = 0	MIT 18.06 L5–7; ILA 2.6
7	Espacios vectoriales, subespacios, independencia, base, rango y los cuatro subespacios fundamentales	Independencia, base, dimensión, rango, cuatro subespacios; práctica de examen parcial	MIT 18.06 L8–10; ILA 2.5, 2.7, 2.9
8	Ortogonalidad, proyecciones, mínimos cuadrados y Gram–Schmidt	Ortogonalidad y proyecciones	MIT 18.06 L14–15; ILA 6.3
9	Ortogonalidad, proyecciones, mínimos cuadrados y Gram–Schmidt	Mínimos cuadrados, Gram–Schmidt, A = QR; Práctica D	MIT 18.06 L16–17; ILA 6.4–6.5
10	Determinantes: propiedades, cofactores, regla de Cramer y volumen	Determinantes, cofactores, regla de Cramer, volumen	MIT 18.06 L18–20; ILA 4.1–4.3
11	Valores propios y vectores propios	Valores propios, vectores propios, método de la potencia, modos	MIT 18.06 L21; ILA 5.1–5.2, 5.5
12	Diagonalización, potencias de matrices, cadenas de Markov y sistemas dinámicos lineales	Diagonalización, cadenas de Markov, sistemas dinámicos; Práctica E	MIT 18.06 L22–25; ILA 5.4, 5.6
13	La descomposición en valores singulares, el análisis de componentes principales y las matrices definidas positivas	Matrices definidas positivas y la SVD	MIT 18.06 L27–29
14	La descomposición en valores singulares, el análisis de componentes principales y las matrices definidas positivas	Aproximación de rango bajo, PCA, número de condición; Práctica F	MIT 18.06 L29; sitio del libro de Strang
15	Repaso	Repaso y serie de práctica final	Todas las unidades

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Tu progreso

Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.

Activa JavaScript para seguir tu progreso.

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El laboratorio (Computation lab)

El laboratorio es la parte práctica del curso. Aquí es gratuito y solo para practicar, sin créditos.

Cada práctica se hace en una hoja de cálculo gratuita o en papel; las versiones en Python son opcionales. Haz pausas regulares de la pantalla y maneja alfileres y tijeras con cuidado.

Referencia de seguridad: OSHA: Computer workstations eTool

Práctica A: vectores de píxeles y un índice de vegetación

Semana 2

Objetivo: Tratar los píxeles de satélite como vectores: calcular longitudes, ángulos entre píxeles y el NDVI, y ver que la vegetación, el suelo y el agua apuntan en direcciones distintas.

\cos\theta=\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}{\|\mathbf{p}\|\|\mathbf{q}\|},\quad \text{NDVI}=\frac{\text{NIR}-\text{red}}{\text{NIR}+\text{red}}

Ángulo entre píxeles y NDVI

Procedimiento

En una hoja de cálculo, introduce tres píxeles de ejemplo como filas de reflectancias (verde, rojo, NIR): vegetación (0.10, 0.08, 0.40), suelo (0.20, 0.25, 0.30), agua (0.06, 0.04, 0.02).
Calcula la longitud de cada píxel con SQRT(SUMSQ(…)) y el producto escalar de cada par con SUMPRODUCT.
Halla el ángulo entre cada par con ACOS y DEGREES.
Calcula el NDVI de cada píxel. Opcional: descarga una escena Landsat gratuita y repite con píxeles reales.

Tabla de datos

Píxel	Verde	Red	NIR	NDVI
Vegetación	0.10	0.08	0.40	0.667
Suelo	0.20	0.25	0.30	0.091
Agua	0.06	0.04	0.02	−0.333

Reflectancias de ejemplo elegidas para parecerse a vegetación, suelo desnudo y agua típicos.

Cálculo de ejemplo

NDVI de la vegetación = (0.40 − 0.08)/(0.40 + 0.08) = 0.667.
NDVI del suelo = 0.05/0.55 = 0.091; NDVI del agua = −0.02/0.06 = −0.333.
Ángulo vegetación–suelo: producto escalar = 0.160, longitudes 0.420 y 0.4387, cos θ = 0.8683, θ = 29.7°.

Seguridad

Haz una breve pausa de la pantalla cada media hora.

Alternativa en casa o virtual

Toda la práctica se hace en una hoja de cálculo gratuita.

PhET: Vector Addition · USGS: Landsat 9

Vínculo con el planeta: El USGS indica las bandas roja (banda 4) e infrarroja cercana (banda 5) de Landsat 9, y sus datos son gratuitos, así que cualquiera puede cartografiar la vegetación de esta forma. USGS: Landsat 9

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Práctica B: trilateración, de cuerdas a un sistema lineal

Semana 3

Objetivo: Hallar una posición a partir de distancias, primero con cuerdas sobre un mapa como en la actividad de GPS.gov y luego convirtiendo las ecuaciones de circunferencias en un sistema lineal y resolviéndolo por eliminación.

2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y=d_1^2-d_2^2+a_2^2-a_1^2+b_2^2-b_1^2

Diferencia de dos ecuaciones de circunferencias

Procedimiento

Imprime el mapa de trilateración de GPS.gov (sin escalar) o marca tres «satélites» en papel cuadriculado en (0, 0), (10, 0) y (0, 10) cm.
Convierte los tiempos de señal en distancias con d = ct (c = 299792458 m/s); para la versión en papel usa las distancias de ejemplo de abajo.
Traza circunferencias con una cuerda y un lápiz y marca dónde se cortan.
Resta las ecuaciones de las circunferencias por pares para obtener dos ecuaciones lineales, resuélvelas por eliminación en una hoja de cálculo y compara con tu dibujo.

Tabla de datos

Baliza	Posición (cm)	Distancia (cm)	d²
1	(0, 0)	5.000	25
2	(10, 0)	8.062	65
3	(0, 10)	6.708	45

Distancias de ejemplo para un receptor en (3, 4) cm. La actividad de GPS.gov usa cuatro satélites en un mapa a escala 1:21283839.

Cálculo de ejemplo

Eq. 1 − Eq. 2: 20x − 100 = −40, x = 3. Eq. 1 − Eq. 3: 20y − 100 = −20, y = 4.
El tiempo A de GPS.gov = 0.00505783 s da d = 1516299 m; a 1:21283839 son 7.12 cm en el mapa.

Seguridad

Maneja chinchetas y tijeras con cuidado.

Alternativa en casa o virtual

La versión con cuerda y papel es la práctica para casa.

GPS.gov: Trilateration activity · Interactive Linear Algebra, 1.2 Row reduction

Vínculo con el planeta: GPS.gov diseñó esta actividad con la NOAA; los receptores reales resuelven el mismo tipo de sistema, con una incógnita de reloj, muchas veces por segundo. GPS.gov: Trilateration (NOAA classroom activity) · GPS.gov: Space segment

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Práctica C: matrices como transformaciones del plano

Semana 4

Objetivo: Ver cómo actúan las matrices sobre formas: estirar, cizallar, rotar y reflejar un cuadrado en papel cuadriculado, y confirmar que las áreas se escalan por |det A|.

\text{area}(AS)=|\det A|\,\text{area}(S)

Factor de escala de áreas

Procedimiento

Dibuja el cuadrado unidad con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Multiplica cada vértice por A = [[2, 1], [0, 1]] (una cizalla y un estiramiento), por R = [[0, −1], [1, 0]] (una rotación de 90°) y por F = [[1, 0], [0, −1]] (una reflexión).
Dibuja cada imagen y halla su área contando cuadros o con la fórmula del área de Gauss.
Compara cada área con |det| y anota qué aplicaciones invierten la orientación (det < 0). Después comprueba det(AR) = det A det R.

Tabla de datos

Matriz	det	Área de la imagen	Orientación
A = [[2, 1], [0, 1]]	2	2	conservada
R (rotación de 90°)	1	1	conservada
F (reflexión)	−1	1	invertida
AR	2	2	conservada

Valores exactos para el cuadrado unidad.

Cálculo de ejemplo

det A = 2 × 1 − 1 × 0 = 2; la imagen es un paralelogramo de base 2 y altura 1.
det(AR) = det A × det R = 2 × 1 = 2.

Seguridad

Ninguno más allá del trabajo de escritorio normal.

Alternativa en casa o virtual

Solo necesitas papel cuadriculado y un lápiz.

Interactive Linear Algebra, 3.1 Matrix transformations · Interactive Linear Algebra, 4.3 Determinants and volumes

Vínculo con el planeta: Las proyecciones cartográficas y el registro de imágenes usan estas mismas matrices; el determinante mantiene honestas las mediciones de área de bosques e inundaciones. USGS: Landsat 9

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Práctica D: ajuste por mínimos cuadrados de datos del nivel del mar

Semana 9

Objetivo: Ajustar una recta, y luego una parábola, a datos del nivel del mar con las ecuaciones normales, y comparar con el ajuste integrado de la hoja de cálculo.

A^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b},\quad A=[\,\mathbf{1}\ \ \mathbf{t}\,]

Ecuaciones normales para y = C + Dt

Procedimiento

Introduce los datos de ejemplo de abajo (o descarga el registro de la NASA desde su página Vital Signs): t en años desde 1993 y h en mm.
Construye A con una columna de unos y una columna de t. Calcula AᵀA y Aᵀb con MMULT y TRANSPOSE, y luego x̂ = MINVERSE(AᵀA)·Aᵀb.
Compara con LINEST o con una línea de tendencia del gráfico. Representa los residuos b − Ax̂.
Añade una columna t² y vuelve a ajustar. Un coeficiente de t² positivo significa que la subida se acelera.

Tabla de datos

t (años desde 1993)	0	8	16	24	32
h (mm)	0	22	48	78	114

Valores de ejemplo con la forma del registro de la NASA (que indica 114.4 mm de subida desde 1993); usa los datos reales para una respuesta real.

Cálculo de ejemplo

t̄ = 16, h̄ = 52.4; Σ(t − t̄)(h − h̄) = 2272, Σ(t − t̄)² = 640.
D = 2272/640 = 3.55 mm/yr; C = 52.4 − 3.55 × 16 = −4.4 mm.
Los residuos son positivos en ambos extremos y negativos en el medio: una curva ajusta mejor, como sugiere el ritmo creciente que indica la NASA.

Seguridad

Haz una breve pausa de la pantalla cada media hora.

Alternativa en casa o virtual

Toda la práctica se hace en una hoja de cálculo gratuita.

NASA: Global mean sea level · Interactive Linear Algebra, 6.5 Least squares

Vínculo con el planeta: La NASA informa que el ritmo de subida pasó de 0.20 cm por año en 1993 a 0.44 cm por año ahora, una aceleración que puedes detectar con una columna t². NASA: Global mean sea level (Vital Signs)

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Práctica E: un modelo de Markov de materiales y reciclaje

Semana 12

Objetivo: Construir una matriz de transición para el material en uso y el perdido en vertedero o incineración, usar potencias de matrices para seguirlo en el tiempo y ver cómo una tasa de reciclaje mayor mantiene el material en uso más tiempo.

\mathbf{x}_{k+1}=P\mathbf{x}_k,\quad P=\begin{bmatrix}1-f(1-r)&0\\f(1-r)&1\end{bmatrix}

Cadena de dos estados: en uso, perdido

Procedimiento

Elige una tasa de descarte de ejemplo f = 0.2 por año y una tasa de recuperación r = 0.321 (la proporción de reciclaje más compostaje de la EPA en 2018).
Construye P en una hoja de cálculo y empieza con x₀ = (1, 0): todo el material en uso.
Usa MMULT para avanzar 10 años y compara con la fórmula (1 − f(1 − r))ᵏ para la proporción que sigue en uso.
Repite con r = 0.5 y compara los años medios en uso, 1/(f(1 − r)).

Tabla de datos

Tasa de recuperación r	Probabilidad de seguir en uso	En uso tras 10 años	Años medios en uso
0.321	0.8642	0.232	7.36
0.50	0.9000	0.349	10.0

Modelo de ejemplo: la tasa de descarte f = 0.2 es un valor de ejemplo; r = 0.321 es la proporción de la EPA de 2018.

Cálculo de ejemplo

Probabilidad de seguir = 1 − 0.2 × 0.679 = 0.8642; 0.8642¹⁰ = 0.232.
Años medios en uso = 1/0.1358 = 7.36; con r = 0.5 es 1/0.1 = 10.0 años.
λ = 1 corresponde al estado «perdido», que absorbe todo a largo plazo; λ = 0.8642 fija la rapidez.

Seguridad

Haz una breve pausa de la pantalla cada media hora.

Alternativa en casa o virtual

Toda la práctica se hace en una hoja de cálculo gratuita.

Interactive Linear Algebra, 5.6 Stochastic matrices · EPA: National overview of materials and waste

Vínculo con el planeta: La EPA informa de una tasa de reciclaje y compostaje del 32.1 % en 2018 y un 50 % a vertedero; modelos como este muestran cuánto vale subir esa tasa. U.S. EPA: National overview, facts and figures on materials, wastes and recycling

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Práctica F: método de la potencia y compresión de imágenes con SVD

Semana 14

Objetivo: Hallar un valor propio dominante por multiplicación repetida y luego comprimir una pequeña imagen en escala de grises con una SVD truncada y ver con qué pocos números se conserva la imagen.

\mathbf{x}_{k+1}=\frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|},\quad A_k=\sum_{i=1}^k\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T

Método de la potencia y SVD truncada

Procedimiento

En una hoja de cálculo, empieza con x₀ = (1, 0) y multiplica por A = [[2, 1], [1, 2]] diez veces, reescalando cada vez; observa cómo el cociente de longitudes se acerca a 3.
Crea una malla 8 × 8 de niveles de gris (0–255) para un dibujo sencillo, o carga una foto en Python (gratuito) con NumPy.
Calcula la SVD (numpy.linalg.svd) y reconstruye la imagen con k = 1, 2 y 4 términos.
Anota el almacenamiento k(8 + 8 + 1) y la parte de Σσ² conservada, y juzga cuándo la imagen se ve bien.

Tabla de datos

k	Números almacenados (imagen 8 × 8)	Parte de 64
1	17	26.6%
2	34	53.1%
4	68	106.3%

Recuentos exactos de almacenamiento. Para una imagen 8 × 8, k = 4 ya almacena más que los 64 números originales; el ahorro aparece en imágenes grandes (unidad 10: el rango 50 de una imagen 1000 × 1000 conserva el 10.0 %).

Cálculo de ejemplo

Método de la potencia: (1, 0) → (2, 1) → (5, 4) → (14, 13); ‖(14, 13)‖/‖(5, 4)‖ = 19.10/6.403 = 2.98, cerca de λ = 3.
Almacenamiento para k = 1: 8 + 8 + 1 = 17 números, 17/64 = 26.6 %.

Seguridad

Haz una breve pausa de la pantalla cada media hora.

Alternativa en casa o virtual

Las versiones en hoja de cálculo y en Python gratuito son ambas prácticas para casa.

MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010) · Interactive Linear Algebra, 5.1 Eigenvectors

Vínculo con el planeta: EMIT, del JPL de la NASA, devuelve más de 100000 espectros por segundo; comprimir y separar esos datos usa exactamente estas herramientas. NASA JPL: EMIT, Earth Surface Mineral Dust Source Investigation

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Series de práctica para exámenes

Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.

Ejercicios de práctica para el parcial (unidades 1–5)

Halla el ángulo entre (1, 0, 1) y (0, 1, 1).
Ver la solución completa
1. Producto escalar = 1; longitudes √2 cada una; cos θ = 1/2.
Respuesta: 60°.
Resuelve x + 2y = 4, 3x − y = 5.
Ver la solución completa
1. R₂ − 3R₁: −7y = −7.
Respuesta: x = 2, y = 1.
Invierte [[3, 2], [1, 1]].
Ver la solución completa
1. det = 1.
Respuesta: [[1, −2], [−1, 3]].
Una economía de un solo sector usa 0.4 de su propia producción. ¿Qué producción satisface una demanda de 120?
Ver la solución completa
1. x = 120/0.6.
Respuesta: 200.
Una matriz 6 × 9 tiene rango 4. Halla dim N(A) y dim N(Aᵀ).
Ver la solución completa
1. n − r y m − r.
Respuesta: 5 y 2.

Serie de práctica final (todas las unidades)

Ajusta y = C + Dt a (0, 0), (1, 2), (2, 2) por mínimos cuadrados.
Ver la solución completa
1. AᵀA = [[3, 3], [3, 5]], Aᵀb = (4, 6); det 6.
Respuesta: C = 0.333, D = 1.
Halla det [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]].
Ver la solución completa
1. 2(4 − 1) − 1(2 − 0) + 0.
Respuesta: 4.
Halla los valores propios de [[6, 2], [2, 3]].
Ver la solución completa
1. Traza 9, det 14: λ² − 9λ + 14 = 0.
Respuesta: 7 y 2.
Halla el estado estacionario de la matriz de Markov [[0.9, 0.2], [0.1, 0.8]].
Ver la solución completa
1. 0.1q₁ = 0.2q₂.
Respuesta: (0.667, 0.333).
Halla los valores singulares de [[2, 0], [0, −3]].
Ver la solución completa
1. AᵀA = diag(4, 9).
Respuesta: 3 y 2.
¿Cuántos números almacena una SVD de rango 20 de una imagen 500 × 800, y qué parte de la imagen completa es eso?
Ver la solución completa
1. 20(500 + 800 + 1).
Respuesta: 26020, aproximadamente el 6.5 %.

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Hoja de fórmulas

\|v\|=\sqrt{v\cdot v},\ \cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|}

A\mathbf{x}=\mathbf{b},\ \ A=LU

\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\ (AB)^T=B^TA^T

\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}

r+\dim N(A)=n

\mathbf{p}=\frac{a\cdot b}{a\cdot a}a,\ \ A^TA\hat{x}=A^Tb

A=QR,\ Q^TQ=I

\det(AB)=\det A\det B,\ x_i=\det B_i/\det A

\det(A-\lambda I)=0,\ \sum\lambda=\operatorname{tr}A,\ \prod\lambda=\det A

A=PDP^{-1},\ A^k=PD^kP^{-1},\ A=Q\Lambda Q^T

A=U\Sigma V^T,\ \sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)},\ \kappa=\sigma_1/\sigma_n

Constantes

Constante	Valor
Velocidad de la luz (usada para las distancias GPS)	299,792,458 m/s
1 milla	1.609344 km
1 pie	0.3048 m
1 pulgada	25.4 mm
Flops para resolver un sistema n × n por eliminación	unas n³/3 multiplicaciones–sumas (Strang)
Matriz identidad I	Unos en la diagonal, ceros en el resto: AI = IA = A

Fuente: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

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Textos y clases gratuitos

Usa estos libros de texto, clases y herramientas gratuitos junto con el curso.

MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010): Las clases en vídeo completas, listas de problemas y exámenes de Strang.
MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra (self-paced, Fall 2011): Versión a tu ritmo con vídeos de clases prácticas y problemas resueltos.
Interactive Linear Algebra (Margalit and Rabinoff, Georgia Tech): Libro de texto interactivo gratuito usado en Georgia Tech.
Jim Hefferon, Linear Algebra (free text): Libro de texto completo y gratuito con respuestas.
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra (book site): El sitio del libro de Strang con notas y figuras.
PhET: Vector Addition: Vectores y componentes interactivos.

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Glosario

Base: Un conjunto linealmente independiente que genera un espacio.
Espacio columna: Todas las combinaciones Ax de las columnas de A.
Número de condición: σ₁/σₙ, cuánto pueden crecer los errores al resolver Ax = b.
Determinante: Factor de escala de volumen con signo de A; es cero exactamente cuando A es singular.
Diagonalización: A = PDP⁻¹ con los vectores propios en P.
Dimensión: Número de vectores de cualquier base.
Valor propio: λ con Av = λv para algún v no nulo.
Factorización LU: A = LU a partir de la eliminación.
Mínimos cuadrados: El x̂ que minimiza ‖b − Ax‖.
Inversa de Leontief: (I − A)⁻¹, producción total necesaria por unidad de demanda final.
Independencia lineal: Solo la combinación nula da el vector cero.
Matriz de Markov: Entradas no negativas, columnas que suman 1.
Espacio nulo: Todos los x con Ax = 0.
Ortonormal: Vectores unitarios ortogonales entre sí.
Pivote: Primera entrada no nula de una fila en forma escalonada.
Definida positiva: Simétrica con xᵀAx > 0 para x ≠ 0.
Proyección: Punto más cercano a b en un subespacio.
Rango: Número de pivotes; dimensión del espacio columna.
Valor singular: σᵢ = √λᵢ(AᵀA).
Espacio generado: Todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores.
Subespacio: Un conjunto que contiene el 0 y es cerrado bajo la suma y el escalado.

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Rúbrica de autoevaluación

No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.

Nivel	Cómo se ve
4 · Dominio	Elige la herramienta adecuada (eliminación, proyección, valores propios o SVD), calcula a mano los casos pequeños, comprueba las respuestas (Ax = b, traza y determinante) y explica el significado con dibujos y en contexto.
3 · Competente	Resuelve los problemas de práctica con algún error aritmético ocasional.
2 · En desarrollo	Sigue los ejemplos resueltos pero confunde filas y columnas o los cuatro subespacios.
1 · Inicial	Manipula símbolos sin comprobar tamaños ni respuestas; necesita repasar la unidad.

Ponderación sugerida si quieres una nota

Parte	Peso
Problemas de práctica	25%
Prácticas	20%
Serie de práctica de mitad de curso	25%
Serie de práctica final	30%

Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.

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Álgebra lineal

Sobre este curso

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

Antes de empezar

Requisitos previos

Cómo estudiar

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

Calendario sugerido de 15 semanas

Tu progreso

Vectores: combinaciones lineales, longitudes y productos escalares

Objetivos de aprendizaje

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