Dinámica

Movimiento de partículas y cuerpos rígidos: cinemática en trayectorias rectas y curvas, segunda ley de Newton, trabajo y energía, impulso y cantidad de movimiento, impactos, cohetes, máquinas rotativas, rodadura y vibración, con seis laboratorios. Gratuito, a tu ritmo y vinculado a coches eléctricos, órbitas, desvío de asteroides, energía hidroeléctrica y edificios sismorresistentes.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASANASA/Liz Wilk (KSC-20221109-PH-LNW01_0001)

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Sobre este curso

Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.

Su alcance sigue un curso semestral de dinámica para ingeniería de segundo año. Se basa en los temas y la profundidad de MIT 2.003 Engineering Dynamics y MIT 8.01 Classical Mechanics (ambos en MIT OpenCourseWare), Purdue ME 274 y la dinámica de Georgia Tech, y en el libro gratuito OpenStax University Physics Volume 1, que enlazamos en todo el curso. Ninguno de esos autores o centros respalda esta página.

Lo que añadimos: cada unidad se vincula a un trabajo real de energía limpia, observación de la Tierra o defensa planetaria con una fuente pública citada (coches eléctricos, la estación espacial, GRACE-FO, almacenamiento por bombeo, la prueba de asteroides DART de la NASA, cohetes, turbinas eólicas e hidráulicas, edificios sismorresistentes), cada número de la página se recalcula con un script de comprobación antes de publicarse, y cada laboratorio tiene una simulación gratuita o una versión casera barata.

Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.

Cómo ayuda este curso a salvar el planeta

La dinámica es la física de toda máquina que mueve energía. Los coches eléctricos convierten la energía de la batería en movimiento y recuperan parte de ella, las turbinas hidráulicas y eólicas son cuerpos rígidos que giran, las centrales de bombeo almacenan energía elevando agua, y los satélites que vigilan el agua y el clima de la Tierra se mantienen arriba porque no dejan de caer alrededor de ella.

También es como protegemos el planeta: la misión DART de la NASA usó la cantidad de movimiento para cambiar la órbita de un asteroide, y los ingenieros usan la teoría de vibraciones para que los edificios resistan los terremotos. Cada unidad termina con una breve sección con fuentes. Los valores que no provienen de una fuente se indican como valores de ejemplo.

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Antes de empezar

Requisitos previos

  • Estática: diagramas de cuerpo libre, momentos y centroides.
  • Física I: leyes de Newton, energía y cantidad de movimiento.
  • Cálculo I y II: derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales sencillas.
  • Ecuaciones diferenciales ayuda en la unidad 10 (vibración), pero no es obligatorio; se dan las soluciones necesarias.

Cómo estudiar

  • Empieza por la cinemática: ¿qué se sabe de la posición, la velocidad y la aceleración, y en qué coordenadas?
  • Dibuja lado a lado un diagrama de cuerpo libre y un diagrama cinético (ma e Iα).
  • Elige el método adecuado: F = ma para aceleraciones, trabajo-energía para velocidades entre dos posiciones, impulso-cantidad de movimiento para fuerzas en el tiempo e impactos.
  • Resuelve primero con símbolos, luego sustituye valores SI, y comprueba unidades y casos límite.
  • Resuelve cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta.
  • Repite los cuestionarios unos días después; la práctica espaciada supera a una sesión larga.

Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)

  • Una computadora o tableta para las simulaciones PhET gratuitas (funcionan en el navegador).
  • Un teléfono con cámara de cámara lenta o una app gratuita de sensores (acelerómetro, cronómetro).
  • Una tabla o un libro grande para hacer una rampa, una cinta métrica, y una pelota, una lata de sopa, una lata vacía y un aro para hacer rodar.
  • Cuerda, un peso pequeño (una tuerca o arandelas) y una regla para un péndulo.
  • Unas gomas elásticas o un resorte blando y masas pequeñas (monedas en una bolsa) para un oscilador masa-resorte.
  • Hoja de cálculo para gráficas y ajustes.

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Calendario sugerido de 15 semanas

Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.

SemanaUnidadTemasLectura
1Cinemática de partículas en línea rectaPosición, velocidad, aceleración; aceleración constanteOpenStax UP1 3.1–3.4
2Cinemática de partículas en línea rectaAceleración variable, a(x) y a(v); laboratorio AUP1 3.6
3Movimiento curvilíneo: proyectiles, coordenadas normal–tangencial y polaresProyectiles, normal–tangencial, polares, movimiento relativo; laboratorio BUP1 4.1–4.5
4Cinética de partículas: segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton, rozamiento, cuerpos conectadosUP1 5.1–6.2
5Cinética de partículas: segunda ley de NewtonCurvas, peralte, órbitasUP1 6.3, 13.4
6Trabajo, energía y potenciaTrabajo, energía, conservación, potencia y eficienciaUP1 7.1–8.3
7Impulso, cantidad de movimiento e impactoImpulso, cantidad de movimiento, impacto, momento angular; laboratorio C; práctica de examen parcialUP1 9.1–9.4
8Sistemas de partículas y masa variable: chorros y cohetesSistemas de partículas, chorros, cohetesUP1 9.5–9.7
9Cinemática plana de cuerpos rígidosRotación de cuerpos rígidos, engranajes, velocidad relativaUP1 10.1–10.3
10Cinemática plana de cuerpos rígidosCentros instantáneos, aceleración relativa, rodaduraUP1 11.1
11Cinética plana de cuerpos rígidos: fuerza, masa y aceleraciónMomentos de inercia, ecuaciones del movimiento plano, rodadura; laboratorio DUP1 10.4–10.7
12Cuerpos rígidos: métodos de energía y cantidad de movimientoEnergía de cuerpos rígidos, potencia, momento angularUP1 10.8, 11.2–11.3
13Vibraciones mecánicasVibración libre, péndulos, método de energía; laboratorio EUP1 15.1–15.4
14Vibraciones mecánicasVibración amortiguada y forzada, resonancia; laboratorio FUP1 15.5–15.6
15RepasoRepaso y serie de práctica finalTodas las unidades

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Tu progreso

Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.

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Unidad 1 · Semanas 1–2

Cinemática de partículas en línea recta

Posición, velocidad y aceleración como derivadas, aceleración constante, aceleración dada en función del tiempo, la rapidez o la posición, y distancia frente a desplazamiento.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Relacionar x, v y a por derivación e integración.
  • Usar correctamente las ecuaciones de aceleración constante.
  • Resolver problemas a(x) con v dv = a dx.
  • Distinguir la distancia total del desplazamiento.

Conceptos clave

  • La velocidad es v = dx/dt y la aceleración a = dv/dt = d²x/dt². Integrar va en sentido contrario.
  • Solo cuando a es constante se cumplen v = v₀ + at, x = x₀ + v₀t + ½at² y v² = v₀² + 2a(x − x₀).
  • Si a está dada en función de la posición, usa a dx = v dv; si es función de la rapidez, usa dt = dv/a(v).
  • La distancia recorrida cuenta cada tramo; divide el movimiento donde v = 0 y suma las longitudes.
  • Los signos importan: elige un sentido positivo y mantenlo; frenar significa que a y v tienen signos opuestos.

Ecuaciones clave

v=dxdt,a=dvdtv=\frac{dx}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt}
Definiciones
v=v0+at,x=x0+v0t+12at2v=v_0+at,\quad x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2
Aceleración constante
v2=v02+2a(x−x0)v^2=v_0^2+2a(x-x_0)
Aceleración constante, sin tiempo
a dx=v dva\,dx=v\,dv
Aceleración en función de la posición

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1.1 Una partícula se mueve con x = t³ − 6t² + 9t (m, s). Halla cuándo se detiene, v y a en t = 2 s, y la distancia recorrida de 0 a 4 s.

Ver los pasos
  1. v = 3t² − 12t + 9 = 0 en t = 1 s y t = 3 s; a = 6t − 12.
  2. At t = 2 s: v = −3 m/s, a = 0.
  3. x(0) = 0, x(1) = 4, x(3) = 0, x(4) = 4, así que tramos de 4 + 4 + 4 m.

Respuesta: Se detiene en 1 s y 3 s; v = −3 m/s, a = 0 en 2 s; recorre 12 m (desplazamiento 4 m).

Ejemplo 1.2 Un coche parte del reposo y acelera a 3 m/s² durante 8 s. Halla su rapidez y la distancia recorrida.

Ver los pasos
  1. v = at = 3 × 8.
  2. x = ½at² = ½ × 3 × 64.

Respuesta: 24 m/s y 96 m.

Ejemplo 1.3 Un coche a 30 m/s frena a 6 m/s². Halla la distancia y el tiempo de frenado.

Ver los pasos
  1. x = v₀²/(2a) = 900/12.
  2. t = v₀/a.

Respuesta: 75 m en 5 s.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 15 m/s. Halla su altura máxima y el tiempo en alcanzarla.

    Ver la respuesta

    h = v²/(2g) = 11.47 m; t = v/g = 1.529 s.

  2. Una partícula parte del reposo en x = 0 con a = 2x (m/s²). Halla v en x = 3 m.

    Ver la respuesta

    v dv = 2x dx da v² = 2x², v = √2 × 3 = 4.24 m/s.

  3. Valores de ejemplo: un coche eléctrico pasa de 0 a 27 m/s (unos 100 km/h) en 6 s. Halla su aceleración media.

    Ver la respuesta

    a = 27/6 = 4.5 m/s² (valores de ejemplo).

  4. Una piedra que se deja caer en un pozo toca el agua tras 2.5 s. ¿A qué profundidad está la superficie del agua (ignora el tiempo de viaje del sonido)?

    Ver la respuesta

    h = ½gt² = 30.7 m.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Velocidad cero significa aceleración cero.

    En realidad: En lo alto de un lanzamiento v = 0, pero a = −g.

  • Mito: Distancia y desplazamiento son lo mismo.

    En realidad: No cuando la partícula invierte el sentido; divide en v = 0.

  • Mito: Las fórmulas de aceleración constante siempre funcionan.

    En realidad: Solo con a constante; si no, integra.

Tarjetas de estudio

  • Velocidad

    v = dx/dt.

  • Aceleración

    a = dv/dt.

  • a constante

    v = v₀ + at; x = v₀t + ½at².

  • Ecuación sin tiempo

    v² = v₀² + 2aΔx.

  • a(x)

    a dx = v dv.

  • Distancia

    Divide el movimiento donde v = 0.

Cuestionario de autoevaluación

1. La aceleración es la derivada de…

Ver la respuesta

la velocidad. a = dv/dt.

2. En lo alto de un lanzamiento vertical, la aceleración es…

Ver la respuesta

g hacia abajo. La gravedad nunca se apaga.

3. Duplicar la rapidez multiplica la distancia de frenado (misma a) por…

Ver la respuesta

4. x = v²/(2a).

4. Si a está dada en función de x, usa…

Ver la respuesta

a dx = v dv. Regla de la cadena.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Cada cambio de rapidez cuesta energía, y de dónde viene esa energía importa. FuelEconomy.gov (DOE/EPA) dice que los vehículos eléctricos convierten más del 77% de la energía eléctrica de la red en potencia en las ruedas, mientras que los vehículos de gasolina convencionales convierten solo entre el 12% y el 30% de la energía de la gasolina. La cinemática de esta unidad, qué tan rápido acelera un coche y cuánto recorre al frenar, es el punto de partida de los modelos de ciclos de conducción usados para calificar la eficiencia de los vehículos.

En Saving Planets: Física I

Fuentes: FuelEconomy.gov (DOE/EPA): All-electric vehicles · OpenStax UP1, 3.4 Motion with constant acceleration

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Unidad 2 · Semana 3

Movimiento curvilíneo: proyectiles, coordenadas normal–tangencial y polares

Movimiento en el plano: componentes rectangulares y proyectiles, componentes normal y tangencial en trayectorias curvas, coordenadas polares para brazos giratorios y movimiento relativo.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Resolver problemas de proyectiles con movimientos x e y independientes.
  • Hallar la aceleración tangencial y normal en una trayectoria curva.
  • Usar componentes polares para el movimiento a lo largo de un brazo giratorio.
  • Sumar velocidades relativas.

Conceptos clave

  • Un proyectil tiene a_x = 0 y a_y = −g (sin resistencia del aire); el tiempo enlaza ambas direcciones.
  • En una trayectoria curva, a_t = dv/dt cambia la rapidez y a_n = v²/ρ apunta hacia el centro de curvatura y cambia la dirección.
  • En coordenadas polares, a_r = r̈ − rθ̇² y a_θ = rθ̈ + 2ṙθ̇; el término 2ṙθ̇ es la parte de Coriolis.
  • Movimiento relativo: v_A = v_B + v_A/B, y lo mismo para aceleraciones (para sistemas en traslación).
  • Un satélite en órbita circular solo tiene aceleración normal: cae hacia la Tierra a v²/r mientras se mueve lateralmente lo bastante rápido para no chocar con ella.

Ecuaciones clave

x=v0cos⁡θ t,y=v0sin⁡θ t−12gt2x=v_0\cos\theta\,t,\quad y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^2
Proyectil
R=v02sin⁡2θgR=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}
Alcance en terreno llano
at=v˙,an=v2ρa_t=\dot v,\quad a_n=\frac{v^2}{\rho}
Normal–tangencial
ar=r¨−rθ˙2,aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\quad a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta
Componentes polares

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 2.1 Se lanza una pelota a 20 m/s y 30° sobre un suelo horizontal. Halla el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo.

Ver los pasos
  1. v_x = 17.32 m/s, v_y = 10 m/s.
  2. Tiempo = 2v_y/g; altura = v_y²/(2g); R = v₀² sin 60°/g.

Respuesta: R = 35.3 m, h = 5.10 m, t = 2.04 s.

Ejemplo 2.2 Un coche a 25 m/s en una curva de radio 100 m frena a 2 m/s². Halla su aceleración total.

Ver los pasos
  1. a_n = 25²/100 = 6.25 m/s²; a_t = −2 m/s².
  2. |a| = √(6.25² + 2²).

Respuesta: 6.56 m/s².

Ejemplo 2.3 Un collarín se desliza hacia fuera por un brazo a 0.3 m/s (constante) mientras el brazo gira a 2 rad/s constantes. Halla su aceleración cuando r = 0.5 m.

Ver los pasos
  1. a_r = 0 − 0.5 × 2² = −2.0 m/s².
  2. a_θ = 0 + 2 × 0.3 × 2 = 1.2 m/s².

Respuesta: |a| = 2.33 m/s².

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. La NASA dice que la estación da la vuelta a la Tierra aproximadamente cada 90 minutos. Con un radio orbital de ejemplo de 6791 km (420 km de altitud), halla su rapidez y su aceleración normal.

    Ver la respuesta

    v = 2πr/T = 7902 m/s (la NASA cita unas 5 millas por segundo, 8.0 km/s); a_n = v²/r = 9.19 m/s².

  2. Un barco se dirige al norte a 4 m/s en una corriente que fluye al este a 3 m/s. Halla su velocidad respecto al suelo.

    Ver la respuesta

    5 m/s a 36.9° al este del norte.

  3. ¿Qué ángulo de lanzamiento da el mayor alcance en suelo horizontal (sin resistencia)?

    Ver la respuesta

    45°, donde sin 2θ = 1.

  4. Halla la aceleración normal de un coche a 15 m/s en una curva de radio 50 m.

    Ver la respuesta

    a_n = 225/50 = 4.5 m/s².

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Un cuerpo con rapidez constante no tiene aceleración.

    En realidad: En una curva tiene a_n = v²/ρ.

  • Mito: La velocidad horizontal de un proyectil disminuye durante el vuelo.

    En realidad: Sin resistencia, v_x se mantiene constante.

  • Mito: Los astronautas flotan porque en órbita no hay gravedad.

    En realidad: Allí la gravedad sigue siendo fuerte: (6371/6791)² = 88% de la gravedad en superficie a una altitud de ejemplo de 420 km. Flotan porque están en caída libre junto con la estación.

Tarjetas de estudio

  • Proyectil

    a_x = 0, a_y = −g.

  • Alcance

    R = v₀² sin 2θ/g.

  • Tangencial

    a_t = dv/dt.

  • Normal

    a_n = v²/ρ.

  • Polar

    a_r = r̈ − rθ̇², a_θ = rθ̈ + 2ṙθ̇.

  • Velocidad relativa

    v_A = v_B + v_A/B.

Cuestionario de autoevaluación

1. Para un proyectil sin resistencia, a_x es…

Ver la respuesta

0. Solo actúa la gravedad, verticalmente.

2. La aceleración normal en una curva…

Ver la respuesta

v²/ρ. Cambia la dirección.

3. El término 2ṙθ̇ en coordenadas polares es el…

Ver la respuesta

término de Coriolis. Coriolis.

4. Duplicar la rapidez en la misma curva multiplica a_n por…

Ver la respuesta

4. v².

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La estación espacial muestra el movimiento curvilíneo en su forma más extrema. La NASA dice que viaja a cinco millas por segundo, da la vuelta a la Tierra aproximadamente cada 90 minutos, completando 16 órbitas en 24 horas, y que su trayectoria la lleva sobre el 90 por ciento de la población de la Tierra; los astronautas han tomado millones de imágenes del planeta. El mismo equilibrio de aceleración normal mantiene en órbita a todos los satélites de observación de la Tierra.

En Saving Planets: Introducción a la ingeniería aeroespacial

Fuentes: NASA: International Space Station facts and figures · OpenStax UP1, 4.4 Uniform circular motion

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Unidad 3 · Semanas 4–5

Cinética de partículas: segunda ley de Newton

ΣF = ma en coordenadas rectangulares, normal–tangencial y polares, rozamiento y cuerpos conectados, curvas peraltadas y órbitas.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Dibujar diagramas de cuerpo libre y cinéticos.
  • Aplicar ΣF = ma con rozamiento y cuerpos conectados.
  • Resolver problemas de curvas y peralte con componentes normal–tangencial.
  • Hallar velocidades de órbitas circulares.

Conceptos clave

  • Segunda ley de Newton: ΣF = ma, en un sistema inercial. Escríbela en las coordenadas que se ajusten al movimiento.
  • El rozamiento cinético al deslizar es μ_kN, opuesto al sentido del deslizamiento.
  • Los cuerpos conectados comparten aceleraciones mediante restricciones (una cuerda de longitud fija, una polea); escribe una ecuación por cuerpo.
  • En una curva, la fuerza normal neta proporciona mv²/ρ; el peralte permite que la fuerza normal la proporcione sin rozamiento.
  • En una órbita circular, la gravedad proporciona la fuerza normal: GMm/r² = mv²/r, así que v = √(GM/r).

Ecuaciones clave

∑F⃗=ma⃗\sum\vec F=m\vec a
Segunda ley de Newton
∑Fn=mv2ρ,∑Ft=mv˙\sum F_n=\frac{mv^2}{\rho},\quad \sum F_t=m\dot v
Normal–tangencial
v=gρtan⁡θv=\sqrt{g\rho\tan\theta}
Curva peraltada, sin rozamiento
v=GM/rv=\sqrt{GM/r}
Órbita circular

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 3.1 Un coche de 1200 kg derrapa hasta detenerse desde 25 m/s con μ_k = 0.7. Halla la desaceleración y la distancia de frenado.

Ver los pasos
  1. a = μ_k g = 6.87 m/s² (la masa se cancela).
  2. x = v²/(2a) = 625/13.73.

Respuesta: 6.87 m/s²; 45.5 m.

Ejemplo 3.2 Masas de 5 kg y 3 kg cuelgan a ambos lados de una polea ligera sin rozamiento. Halla la aceleración y la tensión de la cuerda.

Ver los pasos
  1. a = (5 − 3)g/(5 + 3).
  2. T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂).

Respuesta: a = 2.45 m/s²; T = 36.8 N.

Ejemplo 3.3 Una curva de radio 80 m tiene un peralte de 15°. ¿A qué rapidez no hace falta rozamiento?

Ver los pasos
  1. v = √(gρ tan 15°) = √(9.81 × 80 × 0.268).

Respuesta: 14.5 m/s (52 km/h).

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Se empuja un bloque de 10 kg con 50 N sobre un suelo con μ_k = 0.3. Halla su aceleración.

    Ver la respuesta

    a = (50 − 29.4)/10 = 2.06 m/s².

  2. Una persona de 70 kg está en un ascensor que acelera hacia arriba a 1.5 m/s². Halla la fuerza del suelo.

    Ver la respuesta

    N = m(g + a) = 792 N.

  3. Halla la velocidad de órbita circular para un radio de ejemplo de 6791 km (GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s²).

    Ver la respuesta

    v = √(GM/r) = 7,661 m/s.

  4. Halla la rapidez máxima en una curva plana de radio 50 m con μ_s = 0.8.

    Ver la respuesta

    v = √(μ_s g r) = 19.8 m/s.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Un objeto en movimiento necesita una fuerza neta para seguir moviéndose.

    En realidad: Solo para cambiar su velocidad.

  • Mito: ma es una fuerza del diagrama de cuerpo libre.

    En realidad: ma es el resultado, dibujado en el diagrama cinético.

  • Mito: La fuerza centrífuga te empuja hacia fuera en una curva.

    En realidad: En un sistema inercial, la fuerza neta hacia dentro te hace girar; nada empuja hacia fuera.

Tarjetas de estudio

  • Segunda ley

    ΣF = ma.

  • Diagrama cinético

    Muestra ma (y más adelante Iα).

  • Rozamiento cinético

    μ_kN, opuesto al deslizamiento.

  • Máquina de Atwood

    a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂).

  • Curva peraltada

    v = √(gρ tan θ).

  • Órbita circular

    v = √(GM/r).

Cuestionario de autoevaluación

1. La segunda ley de Newton se cumple en…

Ver la respuesta

un sistema inercial. Los sistemas no inerciales requieren términos adicionales.

2. En un coche que derrapa, μ_k g es la…

Ver la respuesta

desaceleración. a = μ_kN/m.

3. Una órbita circular de mayor radio tiene…

Ver la respuesta

más lento. v = √(GM/r).

4. ¿Qué proporciona la aceleración normal en una curva peraltada sin rozamiento?

Ver la respuesta

la componente de la fuerza normal. N sin θ.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

GRACE-FO pesa el agua de la Tierra con la segunda ley de Newton. El JPL de la NASA explica que los dos satélites gemelos vuelan a unos 220 km de distancia; las zonas con gravedad algo más fuerte atraen primero al satélite delantero, y un sistema de medición por microondas mide el diminuto cambio de distancia. Un acelerómetro en el centro de masa de cada satélite mide aceleraciones no gravitatorias como la resistencia atmosférica, para que solo se cuente la gravedad. El resultado son mapas mensuales que muestran cómo se mueve el agua en acuíferos, lagos, capas de hielo y océanos.

En Saving Planets: Observación de la Tierra

Fuentes: NASA JPL: GRACE-FO mission overview · OpenStax UP1, 6.3 Centripetal force

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Unidad 4 · Semana 6

Trabajo, energía y potencia

Trabajo de fuerzas (gravedad, resortes, rozamiento), principio trabajo–energía, fuerzas conservativas y energía potencial, conservación de la energía, potencia y eficiencia.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Calcular el trabajo de la gravedad, los resortes y el rozamiento.
  • Usar el principio trabajo–energía para hallar rapideces entre dos posiciones.
  • Usar la conservación de la energía mecánica cuando solo trabajan fuerzas conservativas.
  • Calcular potencia y eficiencia.

Conceptos clave

  • El trabajo es U = ∫F·dr. La gravedad hace −mgΔh, un resorte −½k(x₂² − x₁²) y el rozamiento cinético −μ_kN × distancia.
  • Principio trabajo–energía: T₁ + ΣU₁→₂ = T₂, con energía cinética T = ½mv².
  • Para fuerzas conservativas, el trabajo es igual a la pérdida de energía potencial, así que T₁ + V₁ = T₂ + V₂ cuando solo ellas trabajan.
  • La potencia es el ritmo de trabajo: P = F·v. La eficiencia es la potencia de salida dividida entre la de entrada.
  • Los métodos de energía dan rapideces directamente sin hallar aceleraciones, por eso son tan útiles.

Ecuaciones clave

T1+∑U1→2=T2,T=12mv2T_1+\sum U_{1\to2}=T_2,\quad T=\tfrac12mv^2
Principio trabajo–energía
Vg=mgh,Ve=12kx2V_g=mgh,\quad V_e=\tfrac12kx^2
Energías potenciales
P=F⃗⋅v⃗,η=PoutPinP=\vec F\cdot\vec v,\quad \eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}
Potencia y eficiencia

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 4.1 Un bloque de 2 kg desliza desde el reposo por una rampa lisa, descendiendo 3 m. Halla su rapidez abajo.

Ver los pasos
  1. mgh = ½mv².
  2. v = √(2gh).

Respuesta: 7.67 m/s (la masa no importa).

Ejemplo 4.2 Un resorte (k = 500 N/m) comprimido 0.2 m lanza un bloque de 0.5 kg sobre un suelo liso. Halla la rapidez de lanzamiento.

Ver los pasos
  1. ½kx² = ½mv².
  2. v = x√(k/m).

Respuesta: 6.32 m/s.

Ejemplo 4.3 Un coche de 1500 kg sube una pendiente del 5% a 20 m/s constantes. Ignorando resistencia aerodinámica y de rodadura, ¿qué potencia lo eleva?

Ver los pasos
  1. θ = tan⁻¹ 0.05 = 2.86°.
  2. P = mg sin θ × v.

Respuesta: 14.7 kW.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Valores de ejemplo: una central de bombeo eleva 1 millón de m³ de agua 300 m. ¿Cuánta energía almacena?

    Ver la respuesta

    E = mgh = 10⁹ × 9.81 × 300 = 2.94 × 10¹² J ≈ 818 MWh (valores de ejemplo).

  2. Un motor con un 85% de eficiencia entrega 10 kW. ¿Qué potencia consume?

    Ver la respuesta

    P_in = 10/0.85 = 11.8 kW.

  3. Se empuja una caja de 20 kg 5 m por un suelo con μ_k = 0.4. ¿Cuánto trabajo hace el rozamiento?

    Ver la respuesta

    U = −0.4 × 196.2 × 5 = −392 J.

  4. La masa de un péndulo se suelta 0.5 m por encima de su punto más bajo. Halla su rapidez allí.

    Ver la respuesta

    v = √(2g × 0.5) = 3.13 m/s.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: El trabajo es siempre fuerza por distancia.

    En realidad: Solo trabaja la componente en la dirección del movimiento.

  • Mito: La fuerza normal trabaja sobre un bloque que desliza.

    En realidad: Es perpendicular al movimiento, así que su trabajo es cero.

  • Mito: La energía se pierde por rozamiento.

    En realidad: Se convierte en calor; la energía total se conserva, la mecánica no.

Tarjetas de estudio

  • Trabajo

    U = ∫F·dr.

  • Energía cinética

    T = ½mv².

  • Trabajo–energía

    T₁ + ΣU = T₂.

  • Energía potencial

    mgh; ½kx².

  • Potencia

    P = F·v.

  • Eficiencia

    P_out/P_in.

Cuestionario de autoevaluación

1. La unidad SI del trabajo es el…

Ver la respuesta

julio. N·m = J.

2. Duplicar la rapidez multiplica la energía cinética por…

Ver la respuesta

4. ½mv².

3. La energía mecánica se conserva cuando…

Ver la respuesta

solo trabajan fuerzas conservativas. Definición.

4. La potencia es igual a…

Ver la respuesta

F·v. Ritmo de trabajo.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

El almacenamiento por bombeo guarda electricidad limpia en forma de altura. El Departamento de Energía de EE. UU. describe la hidroeléctrica de bombeo como dos embalses a distintas alturas que generan electricidad cuando el agua baja por una turbina y consumen electricidad para bombearla de vuelta arriba, como una batería gigante. Según el DOE, representa el 88% de todo el almacenamiento de energía a escala de red en Estados Unidos, con 43 centrales. La energía almacenada es simplemente mgh, como en el ejercicio de ejemplo.

En Saving Planets: Física II

Fuentes: U.S. DOE: Pumped storage hydropower · OpenStax UP1, 8.3 Conservation of energy

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Unidad 5 · Semana 7

Impulso, cantidad de movimiento e impacto

Impulso y cantidad de movimiento lineales, conservación de la cantidad de movimiento, impacto central directo y coeficiente de restitución, y momento angular de una partícula.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Usar el principio impulso–cantidad de movimiento para hallar fuerzas medias.
  • Aplicar la conservación de la cantidad de movimiento a choques y retroceso.
  • Resolver impactos con el coeficiente de restitución.
  • Usar la conservación del momento angular en el movimiento bajo fuerza central.

Conceptos clave

  • La cantidad de movimiento es L = mv. Impulso–cantidad de movimiento: mv₁ + ∫F dt = mv₂.
  • Si ningún impulso externo actúa sobre un sistema, su cantidad de movimiento total se conserva, aunque la energía cinética no lo haga.
  • El coeficiente de restitución e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) va de 0 (perfectamente plástico) a 1 (perfectamente elástico).
  • El momento angular respecto a O es H_O = r × mv. Si todas las fuerzas pasan por O (una fuerza central como la gravedad), H_O se conserva.
  • En órbita, la conservación del momento angular implica que un satélite va más rápido en el periapsis: r₁v₁ = r₂v₂ en los ápsides.

Ecuaciones clave

mv⃗1+∫F⃗ dt=mv⃗2m\vec v_1+\int\vec F\,dt=m\vec v_2
Impulso–cantidad de movimiento
∑mv⃗1=∑mv⃗2\sum m\vec v_1=\sum m\vec v_2
Conservación de la cantidad de movimiento
e=v2′−v1′v1−v2e=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}
Coeficiente de restitución
H⃗O=r⃗×mv⃗\vec H_O=\vec r\times m\vec v
Momento angular

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 5.1 Una pelota de 0.15 kg llega a 40 m/s y sale del bate a 30 m/s en sentido contrario tras 2 ms de contacto. Halla el impulso y la fuerza media.

Ver los pasos
  1. Impulso = m(v₂ − v₁) = 0.15 × 70.
  2. F = impulso/Δt.

Respuesta: 10.5 N·s; 5,250 N.

Ejemplo 5.2 Un coche de 1500 kg a 20 m/s choca con un coche parado de 1000 kg y quedan enganchados. Halla la rapidez común y la energía cinética perdida.

Ver los pasos
  1. 1500 × 20 = 2500v.
  2. T₁ = 300 kJ; T₂ = ½ × 2500 × 12².

Respuesta: 12 m/s; se pierden 120 kJ (40%).

Ejemplo 5.3 Una bola de 2 kg a 5 m/s choca de frente con una bola de 3 kg en reposo con e = 0.8. Halla ambas velocidades finales.

Ver los pasos
  1. Cantidad de movimiento: 10 = 2v₁′ + 3v₂′.
  2. Restitución: v₂′ − v₁′ = 0.8 × 5 = 4.

Respuesta: v₁′ = −0.4 m/s (rebota), v₂′ = 3.6 m/s.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. La NASA informa que DART acortó la órbita de Dimorphos de 11 h 55 min a 11 h 23 min. ¿Qué fracción del período orbital es eso?

    Ver la respuesta

    32 min/715 min = 4.48%.

  2. La NASA da para DART una velocidad de impacto de unos 22530 km/h. Convierte a m/s.

    Ver la respuesta

    22,530/3.6 = 6,258 m/s.

  3. Un satélite se mueve a 7.5 km/s a 7000 km del centro de la Tierra (periapsis). Halla su rapidez a 8000 km (apoapsis).

    Ver la respuesta

    r₁v₁ = r₂v₂: v₂ = 6.56 km/s.

  4. Una patinadora de 60 kg en reposo lanza una pelota de 2 kg hacia delante a 10 m/s. Halla su rapidez de retroceso.

    Ver la respuesta

    60v = 2 × 10, v = 0.333 m/s hacia atrás.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: La cantidad de movimiento y la energía cinética se conservan en todo choque.

    En realidad: La cantidad de movimiento sí; la energía cinética solo si e = 1.

  • Mito: Una fuerza mayor siempre implica un impulso mayor.

    En realidad: El impulso es fuerza × tiempo; un empuje largo y suave puede igualar uno corto y fuerte.

  • Mito: La restitución solo depende del material.

    En realidad: También depende de la rapidez, la forma y la temperatura.

Tarjetas de estudio

  • Momento lineal

    L = mv.

  • Impulso

    ∫F dt = Δ(mv).

  • Conservación

    Sin impulso externo: Σmv constante.

  • Restitución

    e de 0 a 1.

  • Momento angular

    H_O = r × mv.

  • Ápsides de la órbita

    r₁v₁ = r₂v₂.

Cuestionario de autoevaluación

1. El impulso es igual al cambio de…

Ver la respuesta

la cantidad de movimiento. Impulso–cantidad de movimiento.

2. En un impacto perfectamente plástico, e =

Ver la respuesta

0. Se mueven juntos.

3. Una fuerza central conserva…

Ver la respuesta

el momento angular respecto al centro. Sin momento respecto a O.

4. Los airbags reducen las lesiones…

Ver la respuesta

aumentando el tiempo de frenado. Mismo impulso en más tiempo.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

En 2022, la NASA demostró que la cantidad de movimiento puede defender la Tierra. La NASA informa que la nave DART impactó contra el asteroide Dimorphos a unos 22530 km/h y cambió su órbita alrededor de Didymos en 32 minutos, de 11 horas 55 minutos a 11 horas 23 minutos, más de 25 veces el umbral mínimo de éxito de la NASA. La NASA añade que el retroceso de los escombros expulsados reforzó notablemente el empuje de DART, como el aire que sale de un globo. Ninguno de los dos asteroides suponía peligro para la Tierra.

En Saving Planets: Defensa planetaria

Fuentes: NASA: DART impact changed asteroid’s motion in space · OpenStax UP1, 9.4 Types of collisions

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Unidad 6 · Semana 8

Sistemas de partículas y masa variable: chorros y cohetes

Centro de masa de un sistema, movimiento del centro de masa, cantidad de movimiento de sistemas, corrientes de fluido estacionarias y sistemas de masa variable, incluida la ecuación del cohete.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar el centro de masa de un sistema y su movimiento.
  • Usar la cantidad de movimiento en sistemas que se separan.
  • Hallar la fuerza de un chorro de fluido estacionario.
  • Usar las ecuaciones del empuje y del cohete.

Conceptos clave

  • El centro de masa se mueve como si todas las fuerzas externas actuaran sobre la masa total situada allí: ΣF_ext = m a_G. Las fuerzas internas se cancelan.
  • Una corriente estacionaria que cambia de velocidad necesita una fuerza: F = ṁ(v_out − v_in) en cada dirección.
  • Un cohete gana cantidad de movimiento expulsando masa hacia atrás. El empuje ideal es F = ṁv_e más un término de presión (p_e − p_a)A_e.
  • La ecuación ideal del cohete, Δv = v_e ln(m₀/m_f), muestra por qué los cohetes son sobre todo propelente.
  • La gravedad y la resistencia reducen el Δv real, por eso los lanzadores usan etapas para soltar masa vacía.

Ecuaciones clave

xˉ=∑mixi∑mi,∑F⃗ext=ma⃗G\bar x=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i},\quad \sum\vec F_{\text{ext}}=m\vec a_G
Centro de masa
F=m˙(vout−vin)F=\dot m(v_{\text{out}}-v_{\text{in}})
Corriente estacionaria
F=m˙ve+(pe−pa)AeF=\dot m v_e+(p_e-p_a)A_e
Empuje del cohete
Δv=veln⁡m0mf\Delta v=v_e\ln\frac{m_0}{m_f}
Ecuación ideal del cohete

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 6.1 Halla el centro de masa de 3 kg en x = 0 y 5 kg en x = 4 m.

Ver los pasos
  1. x̄ = (3 × 0 + 5 × 4)/8.

Respuesta: 2.5 m.

Ejemplo 6.2 Valores de ejemplo: un motor quema 250 kg/s con gases de escape a 3000 m/s. Halla el empuje ideal (ignora el término de presión).

Ver los pasos
  1. F = ṁv_e = 250 × 3000.

Respuesta: 750 kN (valores de ejemplo).

Ejemplo 6.3 Una etapa de cohete tiene v_e = 3000 m/s y quema hasta que su masa es un cuarto de la inicial. Halla el Δv ideal.

Ver los pasos
  1. Δv = 3000 ln 4.

Respuesta: 4,159 m/s.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. ¿Qué relación de masas m₀/m_f da Δv = 7800 m/s con v_e = 3500 m/s (ideal)?

    Ver la respuesta

    m₀/m_f = e^(7800/3500) = e^2.229 = 9.29.

  2. Un chorro de agua de 0.001 m² de sección a 20 m/s golpea una pared plana y se detiene. Halla la fuerza.

    Ver la respuesta

    F = ρAv² = 1000 × 0.001 × 400 = 400 N.

  3. Patinadores de 50 kg y 75 kg se empujan desde el reposo; el de 75 kg se mueve a 2 m/s. Halla la rapidez del otro.

    Ver la respuesta

    50v = 75 × 2, v = 3 m/s.

  4. Valores de ejemplo: un cohete de 50000 kg despega con 750 kN de empuje. Halla su aceleración inicial.

    Ver la respuesta

    a = (750000 − 490500)/50000 = 5.19 m/s² (valores de ejemplo).

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Un cohete empuja contra el aire.

    En realidad: Empuja contra sus propios gases de escape; funciona mejor en el vacío.

  • Mito: Duplicar el propelente duplica el Δv.

    En realidad: El Δv solo crece con el logaritmo de la relación de masas.

  • Mito: Las fuerzas internas pueden mover el centro de masa.

    En realidad: Solo las fuerzas externas cambian a_G.

Tarjetas de estudio

  • Centro de masa

    Σm x/Σm.

  • Movimiento del sistema

    ΣF_ext = m a_G.

  • Corriente estacionaria

    F = ṁΔv.

  • Empuje

    ṁv_e + (p_e − p_a)A_e.

  • Ecuación del cohete

    Δv = v_e ln(m₀/m_f).

  • Etapas

    Suelta tanques vacíos para mejorar la relación de masas.

Cuestionario de autoevaluación

1. El centro de masa de un sistema lo mueven…

Ver la respuesta

las fuerzas externas. ΣF_ext = m a_G.

2. El Δv ideal de un cohete depende de v_e y de…

Ver la respuesta

la relación de masas. ln(m₀/m_f).

3. El empuje crece con…

Ver la respuesta

el caudal másico y la velocidad de escape. F = ṁv_e + término de presión.

4. ¿Por qué un cohete tiene etapas?

Ver la respuesta

para soltar masa vacía. Mejor relación de masas por etapa.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Cada satélite de observación de la Tierra viaja en un cohete basado en esta unidad. NASA Glenn explica que el empuje sigue la tercera ley de Newton y depende del caudal másico a través del motor, la velocidad de salida de los gases y la presión a la salida de la tobera. Obtener más Δv de cada kilogramo de propelente significa lanzamientos menos numerosos y más pequeños para las mismas cargas útiles, como los satélites Landsat y meteorológicos que vigilan bosques, cultivos y tormentas.

En Saving Planets: Introducción a la ingeniería aeroespacial

Fuentes: NASA Glenn: Rocket thrust equation · OpenStax UP1, 9.7 Rocket propulsion

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Unidad 7 · Semanas 9–10

Cinemática plana de cuerpos rígidos

Rotación alrededor de un eje fijo, velocidad y aceleración angulares, trenes de engranajes, velocidad y aceleración relativas en cuerpos rígidos, centros instantáneos y rodadura sin deslizamiento.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Relacionar ω y α con velocidades y aceleraciones de puntos.
  • Usar relaciones de engranajes y correas.
  • Usar la velocidad relativa y el centro instantáneo en mecanismos articulados.
  • Describir la rodadura sin deslizamiento.

Conceptos clave

  • En la rotación alrededor de un eje fijo, un punto a radio r tiene v = rω, a_t = rα y a_n = rω².
  • Los engranajes que engranan comparten la velocidad de contacto: r₁ω₁ = r₂ω₂, así que las relaciones de velocidad siguen el número de dientes.
  • Velocidad relativa en un cuerpo rígido: v_B = v_A + ω × r_B/A; la aceleración relativa añade α × r y −ω²r.
  • El centro instantáneo de velocidad nula (CI) permite tratar un cuerpo en movimiento como una rotación pura para las velocidades en ese instante.
  • Rodadura sin deslizamiento: v_G = rω y a_G = rα; el punto de contacto está momentáneamente en reposo y el punto superior se mueve a 2v_G.

Ecuaciones clave

v=rω,at=rα,an=rω2v=r\omega,\quad a_t=r\alpha,\quad a_n=r\omega^2
Rotación alrededor de un eje fijo
r1ω1=r2ω2r_1\omega_1=r_2\omega_2
Engranajes y correas
v⃗B=v⃗A+ω⃗×r⃗B/A\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}
Velocidad relativa
vG=rωv_G=r\omega
Rodadura sin deslizamiento

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 7.1 Una rueda de radio 0.3 m rueda sin deslizar a 15 m/s. Halla ω y la rapidez del punto superior.

Ver los pasos
  1. ω = v/r = 15/0.3.
  2. Top: v = 2v_G.

Respuesta: ω = 50 rad/s; punto superior a 30 m/s.

Ejemplo 7.2 Valores de ejemplo: el rotor de un aerogenerador gira a 15 rpm y una multiplicadora de relación 100 mueve el generador. Halla la velocidad del generador en rpm y rad/s.

Ver los pasos
  1. n = 15 × 100.
  2. ω = 1500 × 2π/60.

Respuesta: 1500 rpm = 157.1 rad/s (valores de ejemplo).

Ejemplo 7.3 Una barra de 1 m desliza con su extremo A en el suelo moviéndose a la derecha a 2 m/s y su extremo B en una pared. Halla ω y v_B cuando la barra forma 30° con el suelo.

Ver los pasos
  1. El CI está donde se cortan las perpendiculares a v_A y v_B; su distancia a A es L sin 30° = 0.5 m.
  2. ω = v_A/0.5; v_B = ω × L cos 30°.

Respuesta: ω = 4 rad/s; v_B = 3.46 m/s hacia abajo.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Valores de ejemplo: un rotor de 60 m gira a 15 rpm. Halla la velocidad en la punta de la pala y la aceleración normal.

    Ver la respuesta

    v = 60 × 1.571 = 94.2 m/s; a_n = v²/r = 148 m/s² (valores de ejemplo).

  2. Un volante de inercia pasa del reposo a 3000 rpm en 10 s con α constante. Halla α.

    Ver la respuesta

    ω = 314.2 rad/s; α = 31.4 rad/s².

  3. Un disco de 0.5 m tiene ω = 2 rad/s y α = 4 rad/s². Halla la aceleración en el borde.

    Ver la respuesta

    a_t = 2, a_n = 2, |a| = 2.83 m/s².

  4. Un engranaje de 20 dientes mueve uno de 80 dientes a 1200 rpm. Halla la velocidad de salida.

    Ver la respuesta

    1200 × 20/80 = 300 rpm.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Todos los puntos de una rueda que rueda se mueven a la misma rapidez.

    En realidad: El punto de contacto está en reposo y el superior se mueve a 2v.

  • Mito: La velocidad angular varía de un punto a otro de un cuerpo rígido.

    En realidad: ω es la misma para todo el cuerpo.

  • Mito: El CI tiene aceleración nula.

    En realidad: Solo velocidad nula, en ese instante.

Tarjetas de estudio

  • Eje fijo

    v = rω, a_t = rα, a_n = rω².

  • Relación de engranajes

    ω₂/ω₁ = r₁/r₂ = N₁/N₂.

  • Velocidad relativa

    v_B = v_A + ω × r_B/A.

  • Centro instantáneo

    Punto de velocidad nula en un instante.

  • Rodadura

    v_G = rω.

  • rpm

    × 2π/60 para rad/s.

Cuestionario de autoevaluación

1. Rapidez de un punto a radio r en un cuerpo que gira:

Ver la respuesta

rω. v = rω.

2. Los engranajes que engranan comparten la misma…

Ver la respuesta

velocidad de contacto. r₁ω₁ = r₂ω₂.

3. El punto de contacto de una rueda que rueda sin deslizar se mueve a…

Ver la respuesta

0. Sin deslizamiento.

4. 1 rpm en rad/s es aproximadamente…

Ver la respuesta

0.1047. 2π/60.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Un aerogenerador es una cadena de cuerpos rígidos que giran. El Departamento de Energía de EE. UU. explica que el rotor se conecta al generador directamente, en una turbina de accionamiento directo, o mediante un eje y una multiplicadora que acelera la rotación y permite un generador físicamente más pequeño. La cinemática de relaciones de engranajes de esta unidad es cómo los ingenieros adaptan un rotor enorme y lento a un generador rápido.

En Saving Planets: Física II

Fuentes: DOE de EE. UU.: ¿cómo funcionan los aerogeneradores? (en inglés) · OpenStax UP1, 10.3 Relating angular and translational quantities

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Unidad 8 · Semana 11

Cinética plana de cuerpos rígidos: fuerza, masa y aceleración

Momentos de inercia de masa, teorema de ejes paralelos, ecuaciones del movimiento para traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general, y rodadura con rozamiento.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Calcular momentos de inercia de masa de formas comunes.
  • Plantear ΣF = ma_G y ΣM_G = I_Gα.
  • Resolver problemas de rotación alrededor de un eje fijo y de poleas.
  • Resolver problemas de rodadura y comprobar el deslizamiento.

Conceptos clave

  • El momento de inercia de masa I = ∫r² dm mide la resistencia a la aceleración angular. Disco macizo ½mr², aro mr², esfera maciza ⅖mr², varilla respecto a su centro mL²/12.
  • Teorema de ejes paralelos: I = I_G + md².
  • Ecuaciones del movimiento plano: ΣF_x = m a_Gx, ΣF_y = m a_Gy, ΣM_G = I_Gα (o ΣM_P = suma de los momentos del diagrama cinético respecto a cualquier punto P).
  • Un cuerpo que rueda sin deslizar pendiente abajo tiene a = g sin θ/(1 + I_G/(mr²)); el rozamiento es lo que produce la rotación.
  • Comprueba la rodadura con f ≤ μ_sN; si el rozamiento necesario es mayor, el cuerpo desliza y rueda a la vez.

Ecuaciones clave

∑F⃗=ma⃗G,∑MG=IGα\sum\vec F=m\vec a_G,\quad \sum M_G=I_G\alpha
Movimiento plano
I=IG+md2I=I_G+md^2
Ejes paralelos
a=gsin⁡θ1+IG/(mr2)a=\frac{g\sin\theta}{1+I_G/(mr^2)}
Rodadura pendiente abajo

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 8.1 Un disco macizo de 10 kg y radio 0.2 m en un eje fijo recibe un par de 4 N·m. Halla α.

Ver los pasos
  1. I = ½ × 10 × 0.2² = 0.2 kg·m².
  2. α = M/I.

Respuesta: 20 rad/s².

Ejemplo 8.2 Un cilindro macizo rueda sin deslizar por una pendiente de 30°. Halla su aceleración y el μ_s mínimo que evita el deslizamiento.

Ver los pasos
  1. a = g sin 30°/(1 + ½) = (2/3)g sin 30°.
  2. Momentos respecto a G: fr = ½mr²(a/r), así que f = ½ma = (1/3)mg sin 30°; μ_s ≥ f/N = (1/3) tan 30°.

Respuesta: a = 3.27 m/s²; μ_s ≥ 0.192.

Ejemplo 8.3 Una masa de 4 kg cuelga de una cuerda enrollada en una polea de disco macizo de 2 kg y radio 0.1 m. Halla la aceleración y la tensión.

Ver los pasos
  1. Masa: 4g − T = 4a. Polea: Tr = ½Mr² (a/r), así que T = ½Ma = a.
  2. 4g = 5a.

Respuesta: a = 7.85 m/s²; T = 7.85 N.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla I de una varilla de 3 kg y 2 m respecto a un extremo.

    Ver la respuesta

    I = mL²/3 = 4 kg·m².

  2. Esa varilla está articulada en un extremo y se suelta desde la horizontal. Halla α al soltarla.

    Ver la respuesta

    α = 3g/(2L) = 7.36 rad/s².

  3. Valores de ejemplo: el rodete de una turbina hidráulica tiene I = 5 × 10⁴ kg·m² y un par neto de 1 × 10⁶ N·m en el arranque. Halla α.

    Ver la respuesta

    α = 20 rad/s² (valores de ejemplo).

  4. Halla la aceleración de una esfera maciza que rueda por una pendiente de 30°.

    Ver la respuesta

    a = (5/7) g sin 30° = 3.50 m/s².

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Solo la masa se opone a la aceleración angular.

    En realidad: Importa dónde está la masa (I); un aro acelera más despacio que un disco de la misma masa.

  • Mito: El rozamiento siempre frena una rueda que rueda.

    En realidad: En rodadura pura el rozamiento estático no trabaja y es lo que la hace girar.

  • Mito: ΣM = Iα vale respecto a cualquier punto.

    En realidad: Úsala respecto a G o a un eje fijo; respecto a otros puntos incluye el momento de ma_G.

Tarjetas de estudio

  • Momento de inercia de masa

    I = ∫r² dm.

  • Disco, aro, esfera

    ½mr², mr², ⅖mr².

  • Rod

    mL²/12 (centro), mL²/3 (extremo).

  • Movimiento plano

    ΣF = ma_G, ΣM_G = I_Gα.

  • a en rodadura

    g sin θ/(1 + I/(mr²)).

  • Comprobación de deslizamiento

    f ≤ μ_sN.

Cuestionario de autoevaluación

1. ¿Cuál llega primero al pie de la pendiente?

Ver la respuesta

esfera maciza. El menor I/(mr²).

2. I de un disco macizo respecto a su eje:

Ver la respuesta

½mr². Resultado estándar.

3. El teorema de ejes paralelos añade…

Ver la respuesta

md². I = I_G + md².

4. Forma rotacional de la ley de Newton:

Ver la respuesta

M = Iα. Respecto a G o a un eje fijo.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

Las turbinas hidráulicas son cuerpos rígidos que el agua hace girar. El Departamento de Energía de EE. UU. describe dos grandes familias: las turbinas de reacción, como Francis y Kaplan, que funcionan sumergidas en la corriente y usan la presión y el agua en movimiento, y las turbinas de acción, como la rueda Pelton, cuyas cucharas reciben chorros libres. El DOE señala que las turbinas Francis se usan habitualmente para saltos de unos 130 a 2000 pies. Dimensionar el momento de inercia y el par del rodete es la cinética de esta unidad.

En Saving Planets: Física II

Fuentes: U.S. DOE: Types of hydropower turbines · OpenStax UP1, 10.7 Newton’s second law for rotation

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Unidad 9 · Semana 12

Cuerpos rígidos: métodos de energía y cantidad de movimiento

Energía cinética de cuerpos rígidos en traslación, rotación y rodadura, trabajo de pares, potencia en máquinas rotativas, impulso y momento angulares, y conservación del momento angular.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Plantear T = ½mv_G² + ½I_Gω².
  • Usar trabajo–energía para cuerpos que ruedan o pivotan.
  • Calcular la potencia de una máquina rotativa P = Mω.
  • Aplicar la conservación del momento angular.

Conceptos clave

  • La energía cinética de un cuerpo rígido es T = ½mv_G² + ½I_Gω²; al rodar, parte de la energía se va en el giro.
  • Un par M que gira un ángulo θ hace un trabajo Mθ; la potencia es P = Mω.
  • El momento angular respecto a G es H_G = I_Gω. Impulso angular–momento angular: I_Gω₁ + ∫M dt = I_Gω₂.
  • Si ningún momento externo actúa respecto a un eje, I ω se conserva: acercar la masa al eje hace girar más rápido.
  • Un volante de inercia almacena la energía ½Iω²; hacerlo girar el doble de rápido almacena cuatro veces más energía.

Ecuaciones clave

T=12mvG2+12IGω2T=\tfrac12mv_G^2+\tfrac12I_G\omega^2
Energía cinética de un cuerpo rígido
U=Mθ,P=MωU=M\theta,\quad P=M\omega
Trabajo y potencia de un par
I1ω1=I2ω2I_1\omega_1=I_2\omega_2
Conservación del momento angular
v=2gh1+IG/(mr2)v=\sqrt{\frac{2gh}{1+I_G/(mr^2)}}
Rodadura desde una altura h

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 9.1 Un volante con I = 10 kg·m² gira a 300 rad/s. Halla su energía almacenada en J y kWh.

Ver los pasos
  1. T = ½ × 10 × 300².
  2. ÷ 3.6 × 10⁶.

Respuesta: 450 kJ = 0.125 kWh.

Ejemplo 9.2 Una esfera maciza rueda sin deslizar desde el reposo bajando una altura de 2 m. Halla su rapidez.

Ver los pasos
  1. mgh = ½mv² + ½(⅖mr²)(v/r)² = (7/10)mv².
  2. v = √(10gh/7).

Respuesta: 5.29 m/s.

Ejemplo 9.3 Una patinadora gira a 2 rad/s con I = 4 kg·m² y luego recoge los brazos hasta I = 1.6 kg·m². Halla su nueva velocidad de giro.

Ver los pasos
  1. 4 × 2 = 1.6ω.

Respuesta: 5 rad/s.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Un cilindro macizo rueda desde el reposo bajando una altura de 2 m. Halla su rapidez.

    Ver la respuesta

    v = √(4gh/3) = 5.11 m/s.

  2. Un disco macizo de 20 kg y radio 0.5 m gira a 100 rad/s. Halla su energía cinética.

    Ver la respuesta

    I = 2.5 kg·m²; T = 12.5 kJ.

  3. Una varilla de 2 m articulada en un extremo se suelta desde la horizontal. Halla ω cuando cuelga vertical.

    Ver la respuesta

    mg(L/2) = ½(mL²/3)ω², ω = √(3g/L) = 3.84 rad/s.

  4. Valores de ejemplo: el eje de una turbina transmite 1 × 10⁶ N·m a 150 rpm. Halla la potencia.

    Ver la respuesta

    ω = 15.7 rad/s; P = Mω = 15.7 MW (valores de ejemplo).

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Una pelota que rueda solo tiene energía cinética ½mv².

    En realidad: Suma ½Iω² por el giro.

  • Mito: Recoger los brazos añade energía de la nada.

    En realidad: Tus músculos hacen el trabajo; se conserva el momento angular, no la energía cinética.

  • Mito: Par y potencia son lo mismo.

    En realidad: P = Mω; el mismo par da más potencia a mayor velocidad.

Tarjetas de estudio

  • T de cuerpo rígido

    ½mv_G² + ½I_Gω².

  • Trabajo de un par

    U = Mθ.

  • Potencia en el eje

    P = Mω.

  • Momento angular

    H_G = I_Gω.

  • Conservación

    I₁ω₁ = I₂ω₂.

  • Volante de inercia

    Almacena ½Iω².

Cuestionario de autoevaluación

1. La energía cinética de un cuerpo que rueda incluye…

Ver la respuesta

ambos términos. Traslación más rotación.

2. Potencia de un eje giratorio:

Ver la respuesta

Mω. P = Mω.

3. Reducir I a la mitad sin momento externo hace que ω…

Ver la respuesta

el doble. Iω constante.

4. Duplicar la velocidad de un volante multiplica su energía por…

Ver la respuesta

4. ω².

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La energía hidroeléctrica es una cadena de energía que va de la altura al giro y a la electricidad. El Departamento de Energía de EE. UU. explica que el agua fluye por una tubería llamada tubería forzada, hace girar los álabes de una turbina, y la turbina hace girar un generador que produce electricidad para la red. Las ecuaciones de trabajo–energía y potencia de esta unidad, de mgh a P = Mω, describen cada eslabón de esa cadena.

En Saving Planets: Física II

Fuentes: U.S. DOE: How hydropower works · OpenStax UP1, 11.3 Conservation of angular momentum

Recursos de aprendizaje gratuitos

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Unidad 10 · Semanas 13–14

Vibraciones mecánicas

Vibración libre no amortiguada, frecuencia natural, métodos de energía, amortiguamiento viscoso y razón de amortiguamiento, vibración forzada, resonancia y amplificación.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar esta unidad podrás:

  • Hallar frecuencias naturales de sistemas masa-resorte y péndulos.
  • Usar la razón de amortiguamiento para clasificar el movimiento y estimarla a partir del decaimiento.
  • Hallar la amplitud en régimen permanente de la vibración forzada.
  • Explicar la resonancia y por qué un amortiguamiento bajo es peligroso.

Conceptos clave

  • Una masa en un resorte cumple mẍ + kx = 0 y vibra a ω_n = √(k/m); el período es T = 2π/ω_n. Un péndulo simple tiene ω_n = √(g/L) para oscilaciones pequeñas.
  • Con amortiguamiento viscoso, mẍ + cẋ + kx = 0. La razón de amortiguamiento ζ = c/(2√(km)) fija el comportamiento: ζ < 1 oscila y decae, ζ = 1 es crítico, ζ > 1 vuelve lentamente.
  • El decremento logarítmico δ = ln(x₁/x₂) entre picos sucesivos da ζ ≈ δ/(2π) para amortiguamiento ligero.
  • Una fuerza armónica F₀ sin ωt produce una respuesta permanente de amplitud X = (F₀/k)/√((1 − r²)² + (2ζr)²), con r = ω/ω_n.
  • En resonancia (r = 1) la amplificación es 1/(2ζ): con poco amortiguamiento, un pequeño empuje repetido al ritmo adecuado produce un gran movimiento.

Ecuaciones clave

ωn=k/m,T=2π/ωn\omega_n=\sqrt{k/m},\quad T=2\pi/\omega_n
Frecuencia natural
ζ=c2km,ωd=ωn1−ζ2\zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}},\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
Amortiguamiento
X=F0/k(1−r2)2+(2ζr)2,r=ωωnX=\frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\quad r=\frac{\omega}{\omega_n}
Respuesta forzada
XF0/k∣r=1=12ζ\left.\frac{X}{F_0/k}\right|_{r=1}=\frac1{2\zeta}
Amplificación en resonancia

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 10.1 Una masa de 2 kg cuelga de un resorte con k = 800 N/m. Halla ω_n, f y T.

Ver los pasos
  1. ω_n = √(800/2) = 20 rad/s.
  2. f = ω_n/(2π); T = 1/f.

Respuesta: 20 rad/s, 3.18 Hz, 0.314 s.

Ejemplo 10.2 Añade un amortiguador con c = 8 N·s/m. Halla ζ y la frecuencia amortiguada.

Ver los pasos
  1. ζ = 8/(2√(800 × 2)) = 8/80.
  2. ω_d = 20√(1 − 0.01).

Respuesta: ζ = 0.1; ω_d = 19.9 rad/s.

Ejemplo 10.3 El sistema no amortiguado se excita con F₀ = 10 N a 15 rad/s. Halla la amplitud permanente.

Ver los pasos
  1. F₀/k = 12.5 mm; r = 0.75.
  2. X = 12.5/(1 − 0.5625).

Respuesta: 28.6 mm.

Problemas de práctica

Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.

  1. Halla el período de un péndulo simple de 1 m.

    Ver la respuesta

    T = 2π√(1/9.81) = 2.01 s.

  2. Una máquina se hunde 10 mm sobre sus soportes. Estima su frecuencia natural.

    Ver la respuesta

    ω_n = √(g/δ) da f = 4.98 Hz.

  3. Halla la amplificación en resonancia para ζ = 0.02.

    Ver la respuesta

    1/(2 × 0.02) = 25.

  4. Dos picos sucesivos de una vibración libre miden 10 mm y 7 mm. Estima ζ.

    Ver la respuesta

    δ = ln(10/7) = 0.357; ζ ≈ δ/(2π) = 0.057.

Ideas erróneas comunes

  • Mito: Una masa más pesada vibra más rápido.

    En realidad: ω_n = √(k/m): más masa, menor frecuencia.

  • Mito: Más amortiguamiento siempre significa más seguridad.

    En realidad: Reduce los picos de resonancia pero también transmite más fuerza a alta frecuencia.

  • Mito: El período de un péndulo depende de lo pesada que sea la masa.

    En realidad: Para oscilaciones pequeñas, solo de L y g.

Tarjetas de estudio

  • Frecuencia natural

    ω_n = √(k/m).

  • Péndulo

    ω_n = √(g/L).

  • Razón de amortiguamiento

    ζ = c/(2√(km)).

  • Decremento logarítmico

    ζ ≈ ln(x₁/x₂)/(2π).

  • Razón de frecuencias

    r = ω/ω_n.

  • Resonancia

    X/(F₀/k) = 1/(2ζ) en r = 1.

Cuestionario de autoevaluación

1. Frecuencia natural de un sistema masa-resorte:

Ver la respuesta

√(k/m). ω_n = √(k/m).

2. El amortiguamiento crítico es ζ =

Ver la respuesta

1. Retorno más rápido sin oscilación.

3. En resonancia con ζ = 0.05, la amplificación es…

Ver la respuesta

10. 1/(2ζ).

4. Excitar muy por encima de ω_n (r ≫ 1) hace que la respuesta sea…

Ver la respuesta

pequeña. X → 0 al crecer r.

Cómo ayuda esto a salvar el planeta

La resonancia decide qué edificios sobreviven a los terremotos. IRIS (hoy EarthScope) explica que todo edificio tiene un período natural, el tiempo que tarda en oscilar de un lado a otro, y que cuando el movimiento del suelo coincide con él, el edificio sufre sus mayores oscilaciones y el mayor daño. Un estudio del USGS de 41 edificios altos halló razones de amortiguamiento claramente inferiores al 3 %, y la fórmula de amplificación de esta unidad muestra por qué un amortiguamiento bajo hace peligrosa la resonancia. Los ingenieros ajustan los períodos y añaden amortiguamiento para que viviendas, hospitales e infraestructuras sigan en pie.

En Saving Planets: Soluciones

Fuentes: IRIS/EarthScope: Building resonance · USGS: Natural periods and damping of tall buildings (Çelebi, 2022)

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El laboratorio (Dynamics lab)

El laboratorio es la parte práctica del curso. Aquí es gratuito y solo para practicar, sin créditos.

Cada práctica puede hacerse en una simulación PhET gratuita o con objetos caseros. Haz rodar y deja caer solo objetos blandos y ligeros, despeja el suelo y nunca lances nada hacia personas, mascotas o ventanas.

Referencia de seguridad: OSHA: Hand and power tools

Práctica A: Aceleración constante en una rampa

Semana 2

Objetivo: Mide la posición frente al tiempo de una pelota que baja por una rampa suave, demuestra que x crece como t² y obtén la aceleración.

x=12at2x=\tfrac12at^2
Desde el reposo; grafica x frente a t² para obtener una recta de pendiente a/2

Procedimiento

  1. Apoya un extremo de una tabla larga sobre un libro para formar una pendiente suave; marca 0.25, 1.0, 2.25 y 4.0 m (o marcas a escala).
  2. Suelta una pelota desde el reposo y grábala en cámara lenta con un teléfono; lee el tiempo en cada marca.
  3. Grafica x frente a t² y ajusta una recta por el origen; a = 2 × pendiente.
  4. Opcional: compara con PhET o con a = (5/7) g sin θ para una pelota maciza que rueda.

Tabla de datos

t (s)x (m) para a = 0.5 m/s²
10.25
21.00
32.25
44.00

Valores de ejemplo para a = 0.5 m/s²; tu pendiente fija tu propia a.

Cálculo de ejemplo

  1. x/t² = 0.25 m/s² en cada fila, así que a = 0.50 m/s².
  2. Duplicar el tiempo cuadruplica la distancia.
  3. Para una pelota maciza, a = 0.5 m/s² requiere sin θ = 0.5 × 7/(5 × 9.81), θ = 4.1°.

Seguridad

  • Despeja el suelo donde termina la pelota; usa una pelota blanda.

Alternativa en casa o virtual

  • Todo el laboratorio es casero.

PhET: Ladybug Motion 2D

Vínculo con el planeta: Datos de aceleración medidos como estos alimentan los ciclos de conducción que califican la eficiencia energética de los coches. FuelEconomy.gov (DOE/EPA): All-electric vehicles

Práctica B: Alcance de un proyectil y ángulo de lanzamiento

Semana 3

Objetivo: Mide cómo depende el alcance del ángulo de lanzamiento y compara con R = v₀² sin 2θ/g.

R=v02sin⁡2θgR=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}
Terreno horizontal, sin arrastre

Procedimiento

  1. Abre PhET Projectile Motion, desactiva la resistencia del aire, fija v₀ = 10 m/s y la altura de lanzamiento en 0.
  2. Dispara a 15°, 30°, 45°, 60° y 75° y anota el alcance.
  3. Grafica R frente a sin 2θ; la pendiente debe ser v₀²/g = 10.19 m.
  4. Activa la resistencia del aire y observa qué ángulo da ahora el mayor alcance.

Tabla de datos

θ (°)R (m)
155.10
308.83
4510.19
608.83
755.10

Valores calculados con la fórmula y g = 9.81 m/s².

Cálculo de ejemplo

  1. Ángulos complementarios (15° y 75°, 30° y 60°) dan el mismo alcance.
  2. Máximo a 45°: R = v₀²/g = 10.19 m.

Seguridad

  • Ninguna más allá del uso normal del ordenador; si pruebas una versión casera, lanza solo pelotas blandas y nunca hacia personas.

Alternativa en casa o virtual

  • Opcional: lanza una pelota blanda a ángulos estimados en un patio y mide los alcances; el arrastre y la altura de lanzamiento lo hacen menos exacto.

PhET: Projectile Motion

Vínculo con el planeta: Las mismas ecuaciones, con arrastre añadido, planifican las trayectorias de ascenso de cohetes que ponen en órbita satélites de observación de la Tierra. NASA: International Space Station facts and figures

Práctica C: Rebotes, choques y coeficiente de restitución

Semana 7

Objetivo: Halla e para una pelota que rebota a partir de las alturas de rebote y comprueba la conservación del momento lineal en choques simulados.

e=h2/h1e=\sqrt{h_2/h_1}
Pelota soltada sobre un suelo pesado

Procedimiento

  1. Suelta una pelota desde 1.0 m delante de una cinta métrica y grábala; lee las tres primeras alturas de rebote.
  2. Calcula e para cada rebote.
  3. En PhET Collision Lab, haz chocar 2 kg a 5 m/s con 3 kg en reposo con elasticidad del 80 % y compara las velocidades finales con el ejemplo de la unidad 5.
  4. Repite con elasticidad del 0 % y del 100 % y compara el momento lineal total y la energía cinética antes y después.

Tabla de datos

ReboteAltura (m)e
Caída1.00—
10.640.80
20.410.80
30.260.80

Valores de ejemplo para una pelota con e ≈ 0.8.

Cálculo de ejemplo

  1. e = √(0.64/1.00) = 0.80; √(0.41/0.64) = 0.80; √(0.26/0.41) = 0.80.
  2. Simulación al 80 %: v₁′ = −0.4 m/s, v₂′ = 3.6 m/s; momento lineal de 10 kg·m/s antes y después.

Seguridad

  • Usa una pelota blanda y aleja los objetos frágiles.

Alternativa en casa o virtual

  • La parte del rebote es la versión casera.

PhET: Collision Lab

Vínculo con el planeta: La prueba DART de la NASA fue un choque planificado; medir cómo se transfiere el momento lineal en los impactos es la base del diseño de la defensa planetaria. NASA: DART impact changed asteroid’s motion in space

Práctica D: La carrera de rodadura

Semana 11

Objetivo: Haz competir una pelota, una lata llena y un aro por la misma pendiente y explica el orden con a = g sin θ/(1 + I/(mr²)).

a=gsin⁡θ1+IG/(mr2),t=2L/aa=\frac{g\sin\theta}{1+I_G/(mr^2)},\quad t=\sqrt{2L/a}
Rodadura desde el reposo a lo largo de L

Procedimiento

  1. Inclina una tabla a 10° (inclinómetro del teléfono) y marca un recorrido de 1 m.
  2. Suelta parejas a la vez: pelota maciza contra lata de sopa llena, lata llena contra un aro o una lata vacía (pared delgada).
  3. Graba las llegadas y cronometra cada recorrido; repite tres veces.
  4. Compara con los tiempos previstos.

Tabla de datos

ObjetoI/(mr²)a (m/s²)t en 1 m (s)
Esfera maciza0.41.221.28
Cilindro macizo0.51.141.33
Aro1.00.8521.53

Valores calculados para θ = 10° y rodadura sin deslizamiento; una lata de sopa llena solo se comporta aproximadamente como un cilindro macizo porque el líquido puede moverse.

Cálculo de ejemplo

  1. Esfera: a = 9.81 sin 10°/1.4 = 1.22 m/s²; t = √(2/1.22) = 1.28 s.
  2. Aro: a = 9.81 sin 10°/2 = 0.852 m/s²; t = 1.53 s.
  3. La masa y el radio se cancelan: solo importa el factor de forma.

Seguridad

  • Atrapa los objetos abajo; no pongas los dedos bajo latas pesadas.

Alternativa en casa o virtual

  • Todo el laboratorio es casero.

PhET: Torque

Vínculo con el planeta: Dónde se sitúa la masa de un rotor cambia lo rápido que acelera, lo que importa en turbinas eólicas e hidráulicas. U.S. DOE: Types of hydropower turbines

Práctica E: Período del péndulo y g

Semana 13

Objetivo: Mide el período de un péndulo simple con varias longitudes y halla g mediante un ajuste.

T=2πL/g ⇒ T2=4π2gLT=2\pi\sqrt{L/g}\ \Rightarrow\ T^2=\frac{4\pi^2}{g}L
Grafica T² frente a L

Procedimiento

  1. Ata un pequeño peso a una cuerda y cuélgalo del marco de una puerta. Fija L (hasta el centro del peso) en 0.25, 0.50 y 1.00 m.
  2. Sepáralo unos 10° y cronometra 10 oscilaciones; divide entre 10.
  3. Grafica T² frente a L y ajusta una recta por el origen; g = 4π²/pendiente.
  4. Comprueba en PhET Pendulum Lab que la masa no cambia el período.

Tabla de datos

L (m)T (s)
0.251.003
0.501.419
1.002.006

Valores calculados para g = 9.81 m/s²; fórmula de ángulo pequeño.

Cálculo de ejemplo

  1. T²/L = 4.024 s²/m en cada fila, así que g = 4π²/4.024 = 9.81 m/s².
  2. Cuadruplicar L duplica T.

Seguridad

  • Usa un peso ligero y mantén la oscilación lejos de la cara.

Alternativa en casa o virtual

  • Todo el laboratorio es casero.

PhET: Pendulum Lab

Vínculo con el planeta: Todo edificio tiene también un período natural; que coincida con el temblor del suelo es lo que hace peligrosos los terremotos. IRIS/EarthScope: Building resonance

Práctica F: Vibración masa-resorte y amortiguamiento

Semana 14

Objetivo: Mide la frecuencia natural frente a la masa y estima la razón de amortiguamiento a partir de picos decrecientes.

f=12πk/m,ζ≈ln⁡(x1/x2)2πf=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m},\quad \zeta\approx\frac{\ln(x_1/x_2)}{2\pi}
Frecuencia natural y decremento logarítmico

Procedimiento

  1. En PhET Masses and Springs, fija un resorte de 10 N/m y cuelga 100, 200 y 400 g; cronometra 10 oscilaciones para cada una.
  2. Activa el amortiguamiento, suelta y lee tres alturas de pico sucesivas en la regla.
  3. En casa: cuelga una bolsa de monedas de una goma elástica o un resorte blando y repite con el cronómetro del teléfono.
  4. Grafica f frente a 1/√m.

Tabla de datos

m (kg)f (Hz) para k = 10 N/m
0.11.592
0.21.125
0.40.796

Valores calculados con la fórmula; abajo se usan picos de amortiguamiento de ejemplo de 10, 8 y 6.4 cm.

Cálculo de ejemplo

  1. Cuadruplicar m reduce f a la mitad: 1.592 → 0.796 Hz.
  2. Picos 10 → 8 → 6.4 cm: δ = ln 1.25 = 0.223, ζ ≈ 0.0355.
  3. Con ζ = 0.0355, la amplificación en resonancia sería 1/(2ζ) = 14.1.

Seguridad

  • Las gomas elásticas pueden romperse; usa gafas y mantén la masa pequeña.

Alternativa en casa o virtual

  • El paso de la goma elástica es la versión casera.

PhET: Masses and Springs

Vínculo con el planeta: Las mediciones del USGS muestran que los edificios altos tienen poco amortiguamiento, por lo que los ingenieros añaden amortiguadores para reducir el movimiento resonante. USGS: Natural periods and damping of tall buildings (Çelebi, 2022)

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Series de práctica para exámenes

Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.

Ejercicios de práctica para el parcial (unidades 1–5)

  1. Un coche acelera desde el reposo a 2.5 m/s² hasta 30 m/s. Halla el tiempo y la distancia.

    Ver la solución completa
    1. t = v/a; x = v²/(2a).

    Respuesta: 12 s; 180 m.

  2. Se lanza una pelota a 25 m/s y 40° sobre terreno horizontal. Halla el alcance.

    Ver la solución completa
    1. R = v₀² sin 80°/g.

    Respuesta: 62.7 m.

  3. Se tira de un bloque de 5 kg con 40 N sobre un suelo con μ_k = 0.2. Halla su aceleración.

    Ver la solución completa
    1. a = (40 − 0.2 × 49.05)/5.

    Respuesta: 6.04 m/s².

  4. Una masa de 1 kg cae 5 m sobre un resorte (k = 2000 N/m). Halla la compresión máxima.

    Ver la solución completa
    1. mg(5 + x) = ½kx², así que 1000x² − 9.81x − 49.05 = 0.

    Respuesta: 0.226 m.

  5. Una pelota de 0.06 kg a 50 m/s se detiene en 0.005 s. Halla la fuerza media.

    Ver la solución completa
    1. F = mΔv/Δt.

    Respuesta: 600 N.

Serie de práctica final (todas las unidades)

  1. Una etapa con v_e = 2800 m/s tiene m₀/m_f = 3. Halla el Δv ideal.

    Ver la solución completa
    1. Δv = v_e ln 3.

    Respuesta: 3,076 m/s.

  2. Una rueda de radio 0.4 m rueda sin deslizar a 20 m/s. Halla ω.

    Ver la solución completa
    1. ω = v/r.

    Respuesta: 50 rad/s.

  3. Un disco macizo de 4 kg y radio 0.25 m recibe un par de 2 N·m. Halla α.

    Ver la solución completa
    1. I = ½mr² = 0.125 kg·m².

    Respuesta: 16 rad/s².

  4. Un aro rueda sin deslizar desde el reposo bajando una altura de 1.5 m. Halla su rapidez.

    Ver la solución completa
    1. mgh = mv² para un aro, v = √(gh).

    Respuesta: 3.84 m/s.

  5. Una masa de 5 kg en un resorte con k = 1250 N/m. Halla ω_n y f.

    Ver la solución completa
    1. ω_n = √(k/m).

    Respuesta: 15.8 rad/s; 2.52 Hz.

  6. Halla la amplificación en resonancia para ζ = 0.05.

    Ver la solución completa
    1. 1/(2ζ).

    Respuesta: 10.

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Hoja de fórmulas

v=dx/dt, a=dv/dt, a dx=v dvv=dx/dt,\ a=dv/dt,\ a\,dx=v\,dv
v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta x
R=v02sin⁡2θ/gR=v_0^2\sin2\theta/g
an=v2/ρ, at=v˙a_n=v^2/\rho,\ a_t=\dot v
ar=r¨−rθ˙2, aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\ a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta
∑F⃗=ma⃗\sum\vec F=m\vec a
T1+∑U=T2, P=F⃗⋅v⃗T_1+\sum U=T_2,\ P=\vec F\cdot\vec v
mv⃗1+∫F⃗dt=mv⃗2, e=(v2′−v1′)/(v1−v2)m\vec v_1+\int\vec F dt=m\vec v_2,\ e=(v_2'-v_1')/(v_1-v_2)
Δv=veln⁡(m0/mf)\Delta v=v_e\ln(m_0/m_f)
v=rω, at=rα, an=rω2v=r\omega,\ a_t=r\alpha,\ a_n=r\omega^2
v⃗B=v⃗A+ω⃗×r⃗B/A\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}
∑MG=IGα, I=IG+md2\sum M_G=I_G\alpha,\ I=I_G+md^2
T=12mvG2+12IGω2, P=MωT=\tfrac12mv_G^2+\tfrac12I_G\omega^2,\ P=M\omega
ωn=k/m, ζ=c/(2km)\omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=c/(2\sqrt{km})
X=(F0/k)/(1−r2)2+(2ζr)2X=(F_0/k)/\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}

Constantes

ConstanteValor
Aceleración estándar de la gravedad, g9.80665 m/s² (usamos 9.81 m/s²)
Parámetro gravitacional de la Tierra, GM (redondeado)3.986 × 10¹⁴ m³/s²
Radio medio de la Tierra (redondeado)6371 km
1 revolución por minuto2π/60 = 0.1047 rad/s
1 kilovatio-hora3.6 × 10⁶ J
1 milla1.609 km

Fuente: NIST: Standard acceleration of gravity

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Glosario

Momento angular
H = r × mv para una partícula; I_Gω para un cuerpo rígido en movimiento plano.
Coeficiente de restitución
Razón entre la velocidad de separación y la de aproximación en un impacto.
Aceleración de Coriolis
Término 2ṙθ̇ en coordenadas polares.
Razón de amortiguamiento
ζ = c/(2√(km)); 1 es el crítico.
Impulso
Integral de la fuerza en el tiempo.
Centro instantáneo
Punto de un cuerpo con velocidad cero en un instante.
Diagrama cinético
Esquema que muestra ma_G e I_Gα.
Decremento logarítmico
ln de la razón entre picos sucesivos.
Momento de inercia de masa
I = ∫r² dm.
Frecuencia natural
Frecuencia de la vibración libre, √(k/m).
Aceleración normal
v²/ρ, hacia el centro de curvatura.
Potencia
Rapidez con que se realiza trabajo, F·v o Mω.
Proyectil
Cuerpo que se mueve solo bajo la gravedad.
Resonancia
Gran respuesta cuando la excitación coincide con una frecuencia natural.
Ecuación del cohete
Δv = v_e ln(m₀/m_f).
Rodadura sin deslizamiento
v_G = rω; punto de contacto en reposo.
Aceleración tangencial
dv/dt a lo largo de la trayectoria.
Principio trabajo–energía
T₁ + ΣU = T₂.

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Rúbrica de autoevaluación

No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.

NivelCómo se ve
4 · DominioElige coordenadas y el mejor método (fuerzas, energía o momento), dibuja diagramas de cuerpo libre y cinéticos, y comprueba unidades y casos límite.
3 · CompetenteResuelve los ejercicios con algún error ocasional de signo o de unidades.
2 · En desarrolloSigue los ejemplos resueltos pero confunde métodos u olvida los términos de rotación.
1 · InicialSustituye números en fórmulas sin diagramas; necesita repasar la unidad.

Ponderación sugerida si quieres una nota

PartePeso
Problemas de práctica25%
Prácticas20%
Serie de práctica de mitad de curso25%
Serie de práctica final30%

Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.

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