الديناميكا

حركة الجسيمات والأجسام الجاسئة: الكينماتيكا في المسارات المستقيمة والمنحنية، وقانون نيوتن الثاني، والشغل والطاقة، والدفع وكمية الحركة، والتصادمات، والصواريخ، والآلات الدوارة، والتدحرج، والاهتزاز، مع ست تجارب مختبرية. مجاني، بالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بالسيارات الكهربائية والمدارات وحرف مسار الكويكبات والطاقة الكهرومائية والمباني المقاومة للزلازل.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)ناساNASA/Liz Wilk (KSC-20221109-PH-LNW01_0001)

الدورات › ENGR 212

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقرر ديناميكا هندسية لفصل دراسي واحد في السنة الثانية. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 2.003 Engineering Dynamics وMIT 8.01 Classical Mechanics (وكلاهما على MIT OpenCourseWare)، وPurdue ME 274 وديناميكا Georgia Tech، وعلى الكتاب المجاني OpenStax University Physics Volume 1 الذي نحيل إليه في كل المقرر. ولا يتبنى أيٌّ من هؤلاء المؤلفين أو المؤسسات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي في الطاقة النظيفة أو رصد الأرض أو الدفاع الكوكبي مع مصدر عام موثق (السيارات الكهربائية، ومحطة الفضاء، وGRACE-FO، والتخزين بالضخ، واختبار الكويكب DART من NASA، والصواريخ، وتوربينات الرياح والمياه، والمباني المقاومة للزلازل)، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص برمجي للتحقق قبل نشره، ولكل تجربة محاكاة مجانية أو نسخة منزلية رخيصة.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

الديناميكا هي فيزياء كل آلة تنقل الطاقة. فالسيارات الكهربائية تحوّل طاقة البطارية إلى حركة وتستعيد جزءًا منها، وتوربينات المياه والرياح أجسام جاسئة دوارة، ومحطات التخزين بالضخ تخزّن الطاقة برفع الماء، والأقمار الصناعية التي تراقب مياه الأرض ومناخها تبقى في الأعلى لأنها تظل تسقط حولها.

وهي أيضًا وسيلتنا لحماية الكوكب: فقد استخدمت مهمة DART التابعة لـNASA كمية الحركة لتغيير مدار كويكب، ويستخدم المهندسون نظرية الاهتزاز لإبقاء المباني قائمة في الزلازل. وتنتهي كل وحدة بقسم قصير موثق المصادر. والقيم التي لا تأتي من مصدر موسومة بأنها قيم توضيحية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • الاستاتيكا: مخططات الجسم الحر والعزوم والمراكز الهندسية.
  • الفيزياء I: قوانين نيوتن والطاقة وكمية الحركة.
  • التفاضل والتكامل I وII: المشتقات والتكاملات والمعادلات التفاضلية البسيطة.
  • مقرر المعادلات التفاضلية يساعد في الوحدة 10 (الاهتزاز) لكنه غير مطلوب؛ فالحلول اللازمة معطاة.

كيف تذاكر

  • ابدأ بالكينماتيكا: ما المعلوم عن الموضع والسرعة والتسارع، وبأي إحداثيات؟
  • ارسم مخطط الجسم الحر والمخطط الحركي (ma وIα) جنبًا إلى جنب.
  • اختر الطريقة المناسبة: F = ma للتسارعات، والشغل-الطاقة للسرعات بين موضعين، والدفع-كمية الحركة للقوى عبر الزمن والتصادمات.
  • حل بالرموز أولًا، ثم عوّض بقيم SI، وتحقق من الوحدات والحالات الحدية.
  • حلّ كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة.
  • أعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام؛ فالتدرب المتباعد يتفوق على جلسة واحدة طويلة.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي لمحاكاة PhET المجانية (تعمل في المتصفح).
  • هاتف ذكي بكاميرا تصوير بطيء أو تطبيق مستشعرات مجاني (مقياس تسارع، ساعة إيقاف).
  • لوح أو كتاب طويل لعمل منحدر، وشريط قياس، وكرة، وعلبة حساء، وعلبة فارغة، وحلقة أو طوق للدحرجة.
  • خيط وثقل صغير (صامولة أو حلقات معدنية) ومسطرة لبندول.
  • بضعة أربطة مطاطية أو نابض لين وكتل صغيرة (عملات في كيس) لمذبذب كتلة-نابض.
  • برنامج جداول بيانات للرسوم البيانية والملاءمة.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1كينماتيكا الجسيمات في خط مستقيمالموضع والسرعة والتسارع؛ التسارع الثابتOpenStax UP1 3.1–3.4
2كينماتيكا الجسيمات في خط مستقيمالتسارع المتغير، a(x) وa(v)؛ المختبر AUP1 3.6
3الحركة المنحنية: المقذوفات والإحداثيات العمودية–المماسية والقطبيةالمقذوفات، والعمودي–المماسي، والقطبي، والحركة النسبية؛ المختبر BUP1 4.1–4.5
4كيناتيكا الجسيمات: قانون نيوتن الثانيقانون نيوتن الثاني، والاحتكاك، والأجسام المتصلةUP1 5.1–6.2
5كيناتيكا الجسيمات: قانون نيوتن الثانيالمنعطفات، والإمالة، والمداراتUP1 6.3, 13.4
6الشغل والطاقة والقدرةالشغل، والطاقة، والحفظ، والقدرة والكفاءةUP1 7.1–8.3
7الدفع وكمية الحركة والتصادمالدفع، وكمية الحركة، والتصادم، وكمية الحركة الزاوية؛ المختبر C؛ تدريب لامتحان منتصف الفصلUP1 9.1–9.4
8أنظمة الجسيمات والكتلة المتغيرة: النفاثات والصواريخأنظمة الجسيمات، والنفاثات، والصواريخUP1 9.5–9.7
9الكينماتيكا المستوية للأجسام الجاسئةدوران الأجسام الجاسئة، والتروس، والسرعة النسبيةUP1 10.1–10.3
10الكينماتيكا المستوية للأجسام الجاسئةالمراكز اللحظية، والتسارع النسبي، والتدحرجUP1 11.1
11الكيناتيكا المستوية للأجسام الجاسئة: القوة والكتلة والتسارععزوم القصور الذاتي، ومعادلات الحركة المستوية، والتدحرج؛ المختبر DUP1 10.4–10.7
12الأجسام الجاسئة: طرق الطاقة وكمية الحركةطاقة الأجسام الجاسئة، والقدرة، وكمية الحركة الزاويةUP1 10.8, 11.2–11.3
13الاهتزازات الميكانيكيةالاهتزاز الحر، والبندولات، وطريقة الطاقة؛ المختبر EUP1 15.1–15.4
14الاهتزازات الميكانيكيةالاهتزاز المخمَّد والقسري، والرنين؛ المختبر FUP1 15.5–15.6
15المراجعةمراجعة ومجموعة تمارين نهائيةكل الوحدات

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوعان 1–2

كينماتيكا الجسيمات في خط مستقيم

الموضع والسرعة والتسارع كمشتقات، والتسارع الثابت، والتسارع المعطى دالةً للزمن أو السرعة أو الموضع، والمسافة مقابل الإزاحة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اربط x وv وa بالاشتقاق والتكامل.
  • استخدم معادلات التسارع الثابت استخدامًا صحيحًا.
  • حل مسائل a(x) باستخدام v dv = a dx.
  • ميّز المسافة الكلية من الإزاحة.

المفاهيم الأساسية

  • السرعة v = dx/dt والتسارع a = dv/dt = d²x/dt². والتكامل يسير في الاتجاه المعاكس.
  • لا تصح v = v₀ + at وx = x₀ + v₀t + ½at² وv² = v₀² + 2a(x − x₀) إلا حين يكون a ثابتًا.
  • إذا أُعطي a دالةً للموضع فاستخدم a dx = v dv؛ وإذا كان دالةً للسرعة فاستخدم dt = dv/a(v).
  • المسافة المقطوعة تحسب كل مرحلة؛ قسّم الحركة عند v = 0 واجمع الأطوال.
  • الإشارات مهمة: اختر اتجاهًا موجبًا والتزم به؛ والتباطؤ يعني أن a وv مختلفتا الإشارة.

المعادلات الأساسية

v=dxdt,a=dvdtv=\frac{dx}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt}
التعريفات
v=v0+at,x=x0+v0t+12at2v=v_0+at,\quad x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2
التسارع الثابت
v2=v02+2a(x−x0)v^2=v_0^2+2a(x-x_0)
التسارع الثابت دون الزمن
a dx=v dva\,dx=v\,dv
التسارع دالةً للموضع

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 جسيم يتحرك وفق x = t³ − 6t² + 9t (m, s). أوجد متى يتوقف، وv وa عند t = 2 s، والمسافة المقطوعة من 0 إلى 4 s.

اعرض الخطوات
  1. v = 3t² − 12t + 9 = 0 عند t = 1 s وt = 3 s؛ a = 6t − 12.
  2. At t = 2 s: v = −3 m/s, a = 0.
  3. x(0) = 0، x(1) = 4، x(3) = 0، x(4) = 4، إذن مراحل 4 + 4 + 4 m.

الإجابة: يتوقف عند 1 s و3 s؛ v = −3 m/s، وa = 0 عند 2 s؛ يقطع 12 m (الإزاحة 4 m).

مثال 1.2 سيارة تبدأ من السكون وتتسارع بمعدل 3 m/s² مدة 8 s. أوجد سرعتها والمسافة المقطوعة.

اعرض الخطوات
  1. v = at = 3 × 8.
  2. x = ½at² = ½ × 3 × 64.

الإجابة: 24 m/s و96 m.

مثال 1.3 سيارة سرعتها 30 m/s تكبح بتباطؤ 6 m/s². أوجد مسافة التوقف وزمنه.

اعرض الخطوات
  1. x = v₀²/(2a) = 900/12.
  2. t = v₀/a.

الإجابة: 75 m في 5 s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. تُقذف كرة رأسيًا إلى أعلى بسرعة 15 m/s. أوجد أقصى ارتفاع والزمن اللازم لبلوغه.

    اعرض الإجابة

    h = v²/(2g) = 11.47 m; t = v/g = 1.529 s.

  2. جسيم يبدأ من السكون عند x = 0 مع a = 2x (m/s²). أوجد v عند x = 3 m.

    اعرض الإجابة

    v dv = 2x dx تعطي v² = 2x²، v = √2 × 3 = 4.24 m/s.

  3. قيم توضيحية: سيارة كهربائية تنتقل من 0 إلى 27 m/s (نحو 100 km/h) في 6 s. أوجد متوسط تسارعها.

    اعرض الإجابة

    a = 27/6 = 4.5 m/s² (قيم توضيحية).

  4. حجر أُسقط في بئر يصل إلى الماء بعد 2.5 s. ما عمق سطح الماء (أهمل زمن انتقال الصوت)؟

    اعرض الإجابة

    h = ½gt² = 30.7 m.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: السرعة الصفرية تعني تسارعًا صفريًا.

    في الحقيقة: عند قمة القذف تكون v = 0 لكن a = −g.

  • خرافة: المسافة والإزاحة شيء واحد.

    في الحقيقة: ليس حين يعكس الجسيم اتجاهه؛ قسّم عند v = 0.

  • خرافة: صيغ التسارع الثابت تصلح دائمًا.

    في الحقيقة: فقط حين يكون a ثابتًا؛ وإلا فكامِل.

بطاقات تعليمية

  • السرعة

    v = dx/dt.

  • التسارع

    a = dv/dt.

  • a ثابت

    v = v₀ + at؛ x = v₀t + ½at².

  • معادلة بلا زمن

    v² = v₀² + 2aΔx.

  • a(x)

    a dx = v dv.

  • المسافة

    قسّم الحركة حيث v = 0.

اختبار ذاتي

1. التسارع مشتقة…

اعرض الإجابة

السرعة. a = dv/dt.

2. عند قمة القذف الرأسي يكون التسارع…

اعرض الإجابة

g إلى أسفل. الجاذبية لا تتوقف أبدًا.

3. مضاعفة السرعة تضرب مسافة الكبح (بنفس a) في…

اعرض الإجابة

4. x = v²/(2a).

4. إذا أُعطي a دالةً لـ x فاستخدم…

اعرض الإجابة

a dx = v dv. قاعدة السلسلة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

كل تغيير في السرعة يكلّف طاقة، ومصدر تلك الطاقة مهم. يذكر FuelEconomy.gov (DOE/EPA) أن المركبات الكهربائية تحوّل أكثر من 77% من الطاقة الكهربائية الآتية من الشبكة إلى قدرة عند العجلات، بينما لا تحوّل مركبات البنزين التقليدية إلا نحو 12% إلى 30% من طاقة البنزين. وكينماتيكا هذه الوحدة، أي مدى سرعة تسارع السيارة والمسافة التي تكبح فيها، هي نقطة البداية لنماذج دورات القيادة المستخدمة في تقييم كفاءة المركبات.

على Saving Planets: الفيزياء I

المصادر: FuelEconomy.gov (DOE/EPA): All-electric vehicles · OpenStax UP1, 3.4 Motion with constant acceleration

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوع 3

الحركة المنحنية: المقذوفات والإحداثيات العمودية–المماسية والقطبية

الحركة في مستوى: المركبات المتعامدة والمقذوفات، والمركبتان العمودية والمماسية على المسارات المنحنية، والإحداثيات القطبية للأذرع الدوارة، والحركة النسبية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حل مسائل المقذوفات بحركتين مستقلتين في x وy.
  • أوجد التسارعين المماسي والعمودي على مسار منحنٍ.
  • استخدم المركبات القطبية للحركة على امتداد ذراع دوار.
  • اجمع السرعات النسبية.

المفاهيم الأساسية

  • للمقذوف a_x = 0 وa_y = −g (دون مقاومة الهواء)؛ والزمن يربط الاتجاهين.
  • على المسار المنحني، a_t = dv/dt يغيّر مقدار السرعة، وa_n = v²/ρ يتجه نحو مركز الانحناء ويغيّر الاتجاه.
  • في الإحداثيات القطبية a_r = r̈ − rθ̇² وa_θ = rθ̈ + 2ṙθ̇؛ والحد 2ṙθ̇ هو جزء كوريوليس.
  • الحركة النسبية: v_A = v_B + v_A/B، والأمر نفسه للتسارعات (لأُطر متنقلة انتقالًا).
  • القمر الصناعي في مدار دائري ليس له إلا تسارع عمودي: يسقط نحو الأرض بمقدار v²/r بينما يتحرك جانبيًا بسرعة تكفي لتفاديها.

المعادلات الأساسية

x=v0cos⁡θ t,y=v0sin⁡θ t−12gt2x=v_0\cos\theta\,t,\quad y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^2
المقذوف
R=v02sin⁡2θgR=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}
المدى على أرض مستوية
at=v˙,an=v2ρa_t=\dot v,\quad a_n=\frac{v^2}{\rho}
العمودي–المماسي
ar=r¨−rθ˙2,aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\quad a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta
المركبات القطبية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 تُطلق كرة بسرعة 20 m/s وبزاوية 30° فوق أرض مستوية. أوجد المدى وأقصى ارتفاع وزمن الطيران.

اعرض الخطوات
  1. v_x = 17.32 m/s, v_y = 10 m/s.
  2. الزمن = 2v_y/g؛ الارتفاع = v_y²/(2g)؛ R = v₀² sin 60°/g.

الإجابة: R = 35.3 m, h = 5.10 m, t = 2.04 s.

مثال 2.2 سيارة بسرعة 25 m/s على منعطف نصف قطره 100 m تتباطأ بمعدل 2 m/s². أوجد تسارعها الكلي.

اعرض الخطوات
  1. a_n = 25²/100 = 6.25 m/s²; a_t = −2 m/s².
  2. |a| = √(6.25² + 2²).

الإجابة: 6.56 m/s².

مثال 2.3 طوق ينزلق إلى الخارج على ذراع بسرعة 0.3 m/s (ثابتة) بينما يدور الذراع بسرعة ثابتة 2 rad/s. أوجد تسارعه عندما r = 0.5 m.

اعرض الخطوات
  1. a_r = 0 − 0.5 × 2² = −2.0 m/s².
  2. a_θ = 0 + 2 × 0.3 × 2 = 1.2 m/s².

الإجابة: |a| = 2.33 m/s².

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. تقول NASA إن المحطة تدور حول الأرض كل 90 دقيقة تقريبًا. باستخدام نصف قطر مداري توضيحي 6791 km (ارتفاع 420 km)، أوجد سرعتها وتسارعها العمودي.

    اعرض الإجابة

    v = 2πr/T = 7902 m/s (تذكر NASA نحو 5 أميال في الثانية، 8.0 km/s)؛ a_n = v²/r = 9.19 m/s².

  2. قارب يتجه شمالًا بسرعة 4 m/s في تيار يجري شرقًا بسرعة 3 m/s. أوجد سرعته بالنسبة إلى الأرض.

    اعرض الإجابة

    5 m/s بزاوية 36.9° شرق الشمال.

  3. أي زاوية إطلاق تعطي أكبر مدى على أرض مستوية (دون مقاومة)؟

    اعرض الإجابة

    45°، حيث sin 2θ = 1.

  4. أوجد التسارع العمودي لسيارة بسرعة 15 m/s على منعطف نصف قطره 50 m.

    اعرض الإجابة

    a_n = 225/50 = 4.5 m/s².

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الجسم المتحرك بسرعة ثابتة المقدار ليس له تسارع.

    في الحقيقة: على المنعطف له a_n = v²/ρ.

  • خرافة: السرعة الأفقية للمقذوف تتناقص أثناء الطيران.

    في الحقيقة: دون مقاومة يبقى v_x ثابتًا.

  • خرافة: يطفو رواد الفضاء لأنه لا توجد جاذبية في المدار.

    في الحقيقة: الجاذبية هناك ما تزال قوية: (6371/6791)² = 88% من جاذبية السطح عند ارتفاع توضيحي 420 km. وهم يطفون لأنهم في سقوط حر مع المحطة.

بطاقات تعليمية

  • المقذوف

    a_x = 0, a_y = −g.

  • المدى

    R = v₀² sin 2θ/g.

  • المماسي

    a_t = dv/dt.

  • العمودي

    a_n = v²/ρ.

  • القطبي

    a_r = r̈ − rθ̇², a_θ = rθ̈ + 2ṙθ̇.

  • السرعة النسبية

    v_A = v_B + v_A/B.

اختبار ذاتي

1. لمقذوف دون مقاومة يكون a_x…

اعرض الإجابة

0. لا تؤثر إلا الجاذبية، رأسيًا.

2. التسارع العمودي على منعطف…

اعرض الإجابة

v²/ρ. يغيّر الاتجاه.

3. الحد 2ṙθ̇ في الإحداثيات القطبية هو…

اعرض الإجابة

حد كوريوليس. كوريوليس.

4. مضاعفة السرعة على المنعطف نفسه تضرب a_n في…

اعرض الإجابة

4. v².

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تُظهر محطة الفضاء الحركة المنحنية في أقصى صورها. تقول NASA إنها تسير بسرعة خمسة أميال في الثانية، وتدور حول الأرض كل 90 دقيقة تقريبًا فتُتم 16 مدارًا في 24 ساعة، وإن مسارها يمر فوق 90 بالمئة من سكان الأرض؛ وقد التقط روادها ملايين الصور للكوكب. والتوازن نفسه للتسارع العمودي يُبقي كل قمر صناعي لرصد الأرض في مداره.

على Saving Planets: مقدمة في هندسة الطيران والفضاء

المصادر: NASA: International Space Station facts and figures · OpenStax UP1, 4.4 Uniform circular motion

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوعان 4–5

كيناتيكا الجسيمات: قانون نيوتن الثاني

ΣF = ma في الإحداثيات المتعامدة والعمودية–المماسية والقطبية، والاحتكاك والأجسام المتصلة، والمنعطفات المائلة، والمدارات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ارسم مخططات الجسم الحر والمخططات الحركية.
  • طبّق ΣF = ma مع الاحتكاك والأجسام المتصلة.
  • حل مسائل المنعطفات والإمالة بالمركبات العمودية–المماسية.
  • أوجد سرعات المدارات الدائرية.

المفاهيم الأساسية

  • قانون نيوتن الثاني: ΣF = ma في إطار قصوري. اكتبه بالإحداثيات التي تناسب الحركة.
  • الاحتكاك الحركي أثناء الانزلاق μ_kN، معاكس لاتجاه الانزلاق.
  • الأجسام المتصلة تتشارك التسارعات عبر القيود (حبل ثابت الطول، بكرة)؛ اكتب معادلة لكل جسم.
  • على المنعطف توفر القوة العمودية المحصلة mv²/ρ؛ والإمالة تتيح لقوة رد الفعل العمودية توفيرها دون احتكاك.
  • في المدار الدائري توفر الجاذبية القوة العمودية: GMm/r² = mv²/r، إذن v = √(GM/r).

المعادلات الأساسية

∑F⃗=ma⃗\sum\vec F=m\vec a
قانون نيوتن الثاني
∑Fn=mv2ρ,∑Ft=mv˙\sum F_n=\frac{mv^2}{\rho},\quad \sum F_t=m\dot v
العمودي–المماسي
v=gρtan⁡θv=\sqrt{g\rho\tan\theta}
منعطف مائل دون احتكاك
v=GM/rv=\sqrt{GM/r}
المدار الدائري

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 سيارة كتلتها 1200 kg تنزلق حتى تتوقف من 25 m/s مع μ_k = 0.7. أوجد التباطؤ ومسافة التوقف.

اعرض الخطوات
  1. a = μ_k g = 6.87 m/s² (تُحذف الكتلة).
  2. x = v²/(2a) = 625/13.73.

الإجابة: 6.87 m/s²; 45.5 m.

مثال 3.2 كتلتان 5 kg و3 kg معلقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك. أوجد التسارع وشد الحبل.

اعرض الخطوات
  1. a = (5 − 3)g/(5 + 3).
  2. T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂).

الإجابة: a = 2.45 m/s²; T = 36.8 N.

مثال 3.3 منعطف نصف قطره 80 m مائل بزاوية 15°. عند أي سرعة لا يلزم احتكاك؟

اعرض الخطوات
  1. v = √(gρ tan 15°) = √(9.81 × 80 × 0.268).

الإجابة: 14.5 m/s (52 km/h).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كتلة 10 kg تُدفع بقوة 50 N على أرضية مع μ_k = 0.3. أوجد تسارعها.

    اعرض الإجابة

    a = (50 − 29.4)/10 = 2.06 m/s².

  2. شخص كتلته 70 kg يقف في مصعد يتسارع إلى أعلى بمعدل 1.5 m/s². أوجد قوة الأرضية.

    اعرض الإجابة

    N = m(g + a) = 792 N.

  3. أوجد سرعة المدار الدائري عند نصف قطر توضيحي 6791 km (GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s²).

    اعرض الإجابة

    v = √(GM/r) = 7,661 m/s.

  4. أوجد السرعة القصوى على منعطف مستوٍ نصف قطره 50 m مع μ_s = 0.8.

    اعرض الإجابة

    v = √(μ_s g r) = 19.8 m/s.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الجسم المتحرك يحتاج إلى قوة محصلة ليستمر في الحركة.

    في الحقيقة: فقط لتغيير سرعته.

  • خرافة: ma قوة في مخطط الجسم الحر.

    في الحقيقة: ma هي النتيجة، وتُرسم في المخطط الحركي.

  • خرافة: القوة الطاردة المركزية تدفعك إلى الخارج في المنعطف.

    في الحقيقة: في إطار قصوري، القوة المحصلة نحو الداخل هي ما يجعلك تنعطف؛ ولا شيء يدفع إلى الخارج.

بطاقات تعليمية

  • القانون الثاني

    ΣF = ma.

  • المخطط الحركي

    يُظهر ma (ولاحقًا Iα).

  • الاحتكاك الحركي

    μ_kN، معاكس للانزلاق.

  • آلة أتوود

    a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂).

  • منعطف مائل

    v = √(gρ tan θ).

  • المدار الدائري

    v = √(GM/r).

اختبار ذاتي

1. قانون نيوتن الثاني يصح في…

اعرض الإجابة

إطار قصوري. الأطر غير القصورية تحتاج إلى حدود إضافية.

2. في سيارة تنزلق، μ_k g هو…

اعرض الإجابة

التباطؤ. a = μ_kN/m.

3. المدار الدائري ذو نصف القطر الأكبر له…

اعرض الإجابة

تتأخر. v = √(GM/r).

4. ما الذي يوفر التسارع العمودي على منعطف مائل عديم الاحتكاك؟

اعرض الإجابة

مركبة القوة العمودية. N sin θ.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يزن GRACE-FO مياه الأرض بقانون نيوتن الثاني. يشرح مختبر الدفع النفاث JPL التابع لـNASA أن القمرين التوأمين يطيران على بعد نحو 220 km أحدهما من الآخر؛ فالمناطق ذات الجاذبية الأقوى قليلًا تجذب القمر الأمامي أولًا، ويقيس نظام تحديد مدى بالموجات الدقيقة التغير الضئيل في المسافة. ويقيس مقياس تسارع عند مركز كتلة كل قمر التسارعات غير الثقالية كمقاومة الغلاف الجوي، حتى لا تُحسب إلا الجاذبية. والنتيجة خرائط شهرية تبيّن كيف ينتقل الماء في طبقات المياه الجوفية والبحيرات والصفائح الجليدية والمحيطات.

على Saving Planets: رصد الأرض

المصادر: NASA JPL: GRACE-FO mission overview · OpenStax UP1, 6.3 Centripetal force

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوع 6

الشغل والطاقة والقدرة

شغل القوى (الجاذبية والنوابض والاحتكاك)، ومبدأ الشغل–الطاقة، والقوى المحافظة وطاقة الوضع، وحفظ الطاقة، والقدرة والكفاءة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب شغل الجاذبية والنوابض والاحتكاك.
  • استخدم مبدأ الشغل–الطاقة لإيجاد السرعات بين موضعين.
  • استخدم حفظ الطاقة الميكانيكية حين لا تبذل الشغلَ إلا القوى المحافظة.
  • احسب القدرة والكفاءة.

المفاهيم الأساسية

  • الشغل U = ∫F·dr. الجاذبية تبذل −mgΔh، والنابض −½k(x₂² − x₁²)، والاحتكاك الحركي −μ_kN × المسافة.
  • مبدأ الشغل–الطاقة: T₁ + ΣU₁→₂ = T₂، مع الطاقة الحركية T = ½mv².
  • للقوى المحافظة يساوي الشغلُ النقصَ في طاقة الوضع، إذن T₁ + V₁ = T₂ + V₂ حين تكون وحدها التي تبذل الشغل.
  • القدرة معدل الشغل: P = F·v. والكفاءة قدرة الخرج مقسومة على قدرة الدخل.
  • طرق الطاقة تعطي السرعات مباشرة دون إيجاد التسارعات، ولهذا هي مفيدة جدًا.

المعادلات الأساسية

T1+∑U1→2=T2,T=12mv2T_1+\sum U_{1\to2}=T_2,\quad T=\tfrac12mv^2
مبدأ الشغل–الطاقة
Vg=mgh,Ve=12kx2V_g=mgh,\quad V_e=\tfrac12kx^2
طاقات الوضع
P=F⃗⋅v⃗,η=PoutPinP=\vec F\cdot\vec v,\quad \eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}
القدرة والكفاءة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 كتلة 2 kg تنزلق من السكون على منحدر أملس هابطةً 3 m. أوجد سرعتها عند الأسفل.

اعرض الخطوات
  1. mgh = ½mv².
  2. v = √(2gh).

الإجابة: 7.67 m/s (الكتلة لا تهم).

مثال 4.2 نابض (k = 500 N/m) مضغوط 0.2 m يطلق كتلة 0.5 kg على أرضية ملساء. أوجد سرعة الإطلاق.

اعرض الخطوات
  1. ½kx² = ½mv².
  2. v = x√(k/m).

الإجابة: 6.32 m/s.

مثال 4.3 سيارة كتلتها 1500 kg تصعد منحدرًا ميله 5% بسرعة ثابتة 20 m/s. بإهمال مقاومة الهواء والتدحرج، ما القدرة التي ترفعها؟

اعرض الخطوات
  1. θ = tan⁻¹ 0.05 = 2.86°.
  2. P = mg sin θ × v.

الإجابة: 14.7 kW.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. قيم توضيحية: محطة تخزين بالضخ ترفع 1 مليون m³ من الماء مسافة 300 m. كم طاقة تخزن؟

    اعرض الإجابة

    E = mgh = 10⁹ × 9.81 × 300 = 2.94 × 10¹² J ≈ 818 MWh (قيم توضيحية).

  2. محرك كفاءته 85% يعطي 10 kW. ما القدرة التي يسحبها؟

    اعرض الإجابة

    P_in = 10/0.85 = 11.8 kW.

  3. صندوق كتلته 20 kg يُدفع 5 m على أرضية مع μ_k = 0.4. ما الشغل الذي يبذله الاحتكاك؟

    اعرض الإجابة

    U = −0.4 × 196.2 × 5 = −392 J.

  4. ثقل بندول يُترك على ارتفاع 0.5 m فوق أدنى نقطة له. أوجد سرعته عندها.

    اعرض الإجابة

    v = √(2g × 0.5) = 3.13 m/s.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الشغل دائمًا القوة مضروبة في المسافة.

    في الحقيقة: لا تبذل الشغلَ إلا المركبةُ على امتداد الحركة.

  • خرافة: القوة العمودية تبذل شغلًا على كتلة منزلقة.

    في الحقيقة: إنها عمودية على الحركة، فشغلها صفر.

  • خرافة: تُفقد الطاقة بسبب الاحتكاك.

    في الحقيقة: تتحول إلى حرارة؛ الطاقة الكلية محفوظة، والميكانيكية ليست كذلك.

بطاقات تعليمية

  • الشغل

    U = ∫F·dr.

  • الطاقة الحركية

    T = ½mv².

  • الشغل–الطاقة

    T₁ + ΣU = T₂.

  • طاقة الوضع

    mgh؛ ½kx².

  • القدرة

    P = F·v.

  • الكفاءة

    P_out/P_in.

اختبار ذاتي

1. وحدة الشغل في SI هي…

اعرض الإجابة

الجول. N·m = J.

2. مضاعفة السرعة تضرب الطاقة الحركية في…

اعرض الإجابة

4. ½mv².

3. تُحفظ الطاقة الميكانيكية حين…

اعرض الإجابة

لا تبذل الشغلَ إلا القوى المحافظة. التعريف.

4. القدرة تساوي…

اعرض الإجابة

F·v. معدل الشغل.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

التخزين بالضخ يدّخر الكهرباء النظيفة على هيئة ارتفاع. تصف وزارة الطاقة الأمريكية الطاقة الكهرومائية بالتخزين بالضخ بأنها خزانان على ارتفاعين مختلفين يولّدان الكهرباء حين يتدفق الماء نزولًا عبر توربين، ويستهلكان الكهرباء لضخه صعودًا، فيعملان كبطارية عملاقة. وتقول الوزارة إنها تمثل 88% من كل تخزين الطاقة على مستوى المرافق في الولايات المتحدة، في 43 محطة. والطاقة المخزنة ببساطة mgh، كما في التمرين التوضيحي.

على Saving Planets: الفيزياء 2

المصادر: U.S. DOE: Pumped storage hydropower · OpenStax UP1, 8.3 Conservation of energy

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوع 7

الدفع وكمية الحركة والتصادم

الدفع وكمية الحركة الخطيان، وحفظ كمية الحركة، والتصادم المركزي المباشر ومعامل الارتداد، وكمية الحركة الزاوية للجسيم.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • استخدم مبدأ الدفع–كمية الحركة لإيجاد القوى المتوسطة.
  • طبّق حفظ كمية الحركة على التصادمات والارتداد.
  • حل التصادمات بمعامل الارتداد.
  • استخدم حفظ كمية الحركة الزاوية للحركة تحت قوة مركزية.

المفاهيم الأساسية

  • كمية الحركة الخطية L = mv. الدفع–كمية الحركة: mv₁ + ∫F dt = mv₂.
  • إذا لم يؤثر دفع خارجي في نظام، تُحفظ كمية حركته الكلية، حتى لو لم تُحفظ الطاقة الحركية.
  • معامل الارتداد e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) يتراوح من 0 (لدن تمامًا) إلى 1 (مرن تمامًا).
  • كمية الحركة الزاوية حول O هي H_O = r × mv. إذا مرت كل القوى بـO (قوة مركزية كالجاذبية)، تُحفظ H_O.
  • في المدار، يعني حفظ كمية الحركة الزاوية أن القمر الصناعي يكون أسرع ما يكون عند الحضيض: r₁v₁ = r₂v₂ عند القبوين.

المعادلات الأساسية

mv⃗1+∫F⃗ dt=mv⃗2m\vec v_1+\int\vec F\,dt=m\vec v_2
الدفع–كمية الحركة
∑mv⃗1=∑mv⃗2\sum m\vec v_1=\sum m\vec v_2
حفظ كمية الحركة
e=v2′−v1′v1−v2e=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}
معامل الارتداد
H⃗O=r⃗×mv⃗\vec H_O=\vec r\times m\vec v
كمية الحركة الزاوية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 كرة كتلتها 0.15 kg تصل بسرعة 40 m/s وتغادر المضرب بسرعة 30 m/s في الاتجاه المعاكس بعد تلامس مدته 2 ms. أوجد الدفع والقوة المتوسطة.

اعرض الخطوات
  1. الدفع = m(v₂ − v₁) = 0.15 × 70.
  2. F = الدفع/Δt.

الإجابة: 10.5 N·s; 5,250 N.

مثال 5.2 سيارة كتلتها 1500 kg بسرعة 20 m/s تصطدم بسيارة متوقفة كتلتها 1000 kg فتلتحمان. أوجد السرعة المشتركة والطاقة الحركية المفقودة.

اعرض الخطوات
  1. 1500 × 20 = 2500v.
  2. T₁ = 300 kJ; T₂ = ½ × 2500 × 12².

الإجابة: 12 m/s؛ ويُفقد 120 kJ (40%).

مثال 5.3 كرة كتلتها 2 kg بسرعة 5 m/s تصطدم وجهًا لوجه بكرة ساكنة كتلتها 3 kg مع e = 0.8. أوجد السرعتين النهائيتين.

اعرض الخطوات
  1. كمية الحركة: 10 = 2v₁′ + 3v₂′.
  2. الارتداد: v₂′ − v₁′ = 0.8 × 5 = 4.

الإجابة: v₁′ = −0.4 m/s (ترتد)، v₂′ = 3.6 m/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. تفيد NASA بأن DART قصّرت مدار ديمورفوس من 11 h 55 min إلى 11 h 23 min. ما نسبة ذلك من الدورة المدارية؟

    اعرض الإجابة

    32 min/715 min = 4.48%.

  2. تذكر NASA أن سرعة اصطدام DART نحو 22530 km/h. حوّلها إلى m/s.

    اعرض الإجابة

    22,530/3.6 = 6,258 m/s.

  3. قمر صناعي يتحرك بسرعة 7.5 km/s على بعد 7000 km من مركز الأرض (الحضيض). أوجد سرعته عند 8000 km (الأوج).

    اعرض الإجابة

    r₁v₁ = r₂v₂: v₂ = 6.56 km/s.

  4. متزلجة كتلتها 60 kg ساكنة ترمي كرة كتلتها 2 kg إلى الأمام بسرعة 10 m/s. أوجد سرعة ارتدادها.

    اعرض الإجابة

    60v = 2 × 10، v = 0.333 m/s إلى الخلف.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: كمية الحركة والطاقة الحركية محفوظتان كلتاهما في كل تصادم.

    في الحقيقة: كمية الحركة نعم؛ أما الطاقة الحركية فقط إذا كان e = 1.

  • خرافة: القوة الأكبر تعني دائمًا دفعًا أكبر.

    في الحقيقة: الدفع قوة × زمن؛ فالدفعة الطويلة اللطيفة قد تعادل دفعة قصيرة قوية.

  • خرافة: الارتداد يعتمد على المادة فقط.

    في الحقيقة: يعتمد أيضًا على السرعة والشكل ودرجة الحرارة.

بطاقات تعليمية

  • كمية الحركة

    L = mv.

  • الدفع

    ∫F dt = Δ(mv).

  • الحفظ

    لا دفع خارجي: Σmv ثابت.

  • الارتداد

    e من 0 إلى 1.

  • كمية الحركة الزاوية

    H_O = r × mv.

  • قبوا المدار

    r₁v₁ = r₂v₂.

اختبار ذاتي

1. الدفع يساوي التغير في…

اعرض الإجابة

كمية الحركة. الدفع–كمية الحركة.

2. في التصادم اللدن تمامًا، e =

اعرض الإجابة

0. يتحركان معًا.

3. القوة المركزية تحفظ…

اعرض الإجابة

كمية الحركة الزاوية حول المركز. لا عزم حول O.

4. تقلل الوسائد الهوائية الإصابات عن طريق…

اعرض الإجابة

زيادة زمن التوقف. الدفع نفسه في زمن أطول.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

في 2022 أثبتت NASA أن كمية الحركة يمكن أن تدافع عن الأرض. تفيد NASA بأن المركبة DART اصطدمت بالكويكب ديمورفوس بسرعة نحو 22530 km/h وغيّرت مداره حول ديديموس بمقدار 32 دقيقة، من 11 ساعة و55 دقيقة إلى 11 ساعة و23 دقيقة، أي أكثر من 25 ضعف الحد الأدنى للنجاح الذي وضعته NASA. وتضيف NASA أن الارتداد الناتج عن الحطام المقذوف عزّز دفعة DART كثيرًا، كالهواء المندفع من بالون. ولم يشكل أيٌّ من الكويكبين خطرًا على الأرض.

على Saving Planets: الدفاع الكوكبي

المصادر: NASA: DART impact changed asteroid’s motion in space · OpenStax UP1, 9.4 Types of collisions

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 8

أنظمة الجسيمات والكتلة المتغيرة: النفاثات والصواريخ

مركز كتلة النظام، وحركة مركز الكتلة، وكمية حركة الأنظمة، وتيارات الموائع المستقرة، والأنظمة متغيرة الكتلة بما فيها معادلة الصاروخ.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • أوجد مركز كتلة نظام وحركته.
  • استخدم كمية الحركة للأنظمة التي تتباعد بالدفع.
  • أوجد قوة نفاث مائع مستقر.
  • استخدم معادلتي الدفع والصاروخ.

المفاهيم الأساسية

  • يتحرك مركز الكتلة كأن كل القوى الخارجية تؤثر في الكتلة الكلية الموضوعة عنده: ΣF_ext = m a_G. والقوى الداخلية تلغي بعضها.
  • التيار المستقر الذي تتغير سرعته يحتاج إلى قوة: F = ṁ(v_out − v_in) في كل اتجاه.
  • يكتسب الصاروخ كمية حركة بقذف الكتلة إلى الخلف. والدفع المثالي F = ṁv_e مضافًا إليه حد ضغط (p_e − p_a)A_e.
  • معادلة الصاروخ المثالية Δv = v_e ln(m₀/m_f) تبيّن لماذا تتكون الصواريخ في معظمها من الوقود الدافع.
  • الجاذبية والمقاومة تقللان Δv الفعلي، لذا تستخدم مركبات الإطلاق مراحل لإسقاط الكتلة الفارغة.

المعادلات الأساسية

xˉ=∑mixi∑mi,∑F⃗ext=ma⃗G\bar x=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i},\quad \sum\vec F_{\text{ext}}=m\vec a_G
مركز الكتلة
F=m˙(vout−vin)F=\dot m(v_{\text{out}}-v_{\text{in}})
التيار المستقر
F=m˙ve+(pe−pa)AeF=\dot m v_e+(p_e-p_a)A_e
دفع الصاروخ
Δv=veln⁡m0mf\Delta v=v_e\ln\frac{m_0}{m_f}
معادلة الصاروخ المثالية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 أوجد مركز كتلة 3 kg عند x = 0 و5 kg عند x = 4 m.

اعرض الخطوات
  1. x̄ = (3 × 0 + 5 × 4)/8.

الإجابة: 2.5 m.

مثال 6.2 قيم توضيحية: محرك يحرق 250 kg/s وسرعة عادمه 3000 m/s. أوجد الدفع المثالي (أهمل حد الضغط).

اعرض الخطوات
  1. F = ṁv_e = 250 × 3000.

الإجابة: 750 kN (قيم توضيحية).

مثال 6.3 مرحلة صاروخ لها v_e = 3000 m/s وتحترق حتى تصبح كتلتها ربع كتلتها الابتدائية. أوجد Δv المثالية.

اعرض الخطوات
  1. Δv = 3000 ln 4.

الإجابة: 4,159 m/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ما نسبة الكتلة m₀/m_f التي تعطي Δv = 7800 m/s مع v_e = 3500 m/s (مثاليًا)؟

    اعرض الإجابة

    m₀/m_f = e^(7800/3500) = e^2.229 = 9.29.

  2. نفاث ماء مساحته 0.001 m² بسرعة 20 m/s يصطدم بجدار مستوٍ ويتوقف. أوجد القوة.

    اعرض الإجابة

    F = ρAv² = 1000 × 0.001 × 400 = 400 N.

  3. متزلجان كتلتاهما 50 kg و75 kg يتدافعان من السكون؛ يتحرك صاحب 75 kg بسرعة 2 m/s. أوجد سرعة الآخر.

    اعرض الإجابة

    50v = 75 × 2, v = 3 m/s.

  4. قيم توضيحية: صاروخ كتلته 50000 kg ينطلق بدفع 750 kN. أوجد تسارعه الابتدائي.

    اعرض الإجابة

    a = (750000 − 490500)/50000 = 5.19 m/s² (قيم توضيحية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الصاروخ يدفع الهواء.

    في الحقيقة: يدفع عادمه نفسه؛ ويعمل على أفضل نحو في الفراغ.

  • خرافة: مضاعفة الوقود الدافع تضاعف Δv.

    في الحقيقة: Δv لا تنمو إلا مع لوغاريتم نسبة الكتلة.

  • خرافة: القوى الداخلية يمكن أن تحرك مركز الكتلة.

    في الحقيقة: القوى الخارجية وحدها تغيّر a_G.

بطاقات تعليمية

  • مركز الكتلة

    Σm x/Σm.

  • حركة النظام

    ΣF_ext = m a_G.

  • التيار المستقر

    F = ṁΔv.

  • الدفع

    ṁv_e + (p_e − p_a)A_e.

  • معادلة الصاروخ

    Δv = v_e ln(m₀/m_f).

  • التقسيم إلى مراحل

    أسقط الخزانات الفارغة لتحسين نسبة الكتلة.

اختبار ذاتي

1. يُحرَّك مركز كتلة النظام بواسطة…

اعرض الإجابة

القوى الخارجية. ΣF_ext = m a_G.

2. Δv المثالية للصاروخ تعتمد على v_e و…

اعرض الإجابة

نسبة الكتلة. ln(m₀/m_f).

3. يزداد الدفع مع…

اعرض الإجابة

معدل تدفق الكتلة وسرعة العادم. F = ṁv_e + حد الضغط.

4. لماذا يُقسَّم الصاروخ إلى مراحل؟

اعرض الإجابة

لإسقاط الكتلة الفارغة. نسبة كتلة أفضل لكل مرحلة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

كل قمر صناعي لرصد الأرض يُحمل على صاروخ مبني على هذه الوحدة. يشرح مركز NASA Glenn أن الدفع يتبع قانون نيوتن الثالث ويعتمد على معدل تدفق الكتلة عبر المحرك وسرعة خروج العادم والضغط عند مخرج الفوهة. والحصول على Δv أكبر من كل كيلوغرام من الوقود الدافع يعني عمليات إطلاق أقل وأصغر للحمولات نفسها، مثل أقمار Landsat وأقمار الطقس التي تراقب الغابات والمحاصيل والعواصف.

على Saving Planets: مقدمة في هندسة الطيران والفضاء

المصادر: NASA Glenn: Rocket thrust equation · OpenStax UP1, 9.7 Rocket propulsion

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوعان 9–10

الكينماتيكا المستوية للأجسام الجاسئة

الدوران حول محور ثابت، والسرعة والتسارع الزاويان، وسلاسل التروس، والسرعة والتسارع النسبيان في الأجسام الجاسئة، والمراكز اللحظية، والتدحرج دون انزلاق.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اربط ω وα بسرعات النقاط وتسارعاتها.
  • استخدم نسب التروس والسيور.
  • استخدم السرعة النسبية والمركز اللحظي للآليات المفصلية.
  • صِف التدحرج دون انزلاق.

المفاهيم الأساسية

  • في الدوران حول محور ثابت، للنقطة على نصف القطر r: v = rω وa_t = rα وa_n = rω².
  • التروس المتعشقة تتشارك سرعة التلامس: r₁ω₁ = r₂ω₂، فتتبع نسبُ السرعة أعدادَ الأسنان.
  • السرعة النسبية في جسم جاسئ: v_B = v_A + ω × r_B/A؛ ويضيف التسارع النسبي α × r و−ω²r.
  • مركز السرعة الصفرية اللحظي (IC) يتيح معاملة الجسم المتحرك كدوران خالص بالنسبة للسرعات في تلك اللحظة.
  • التدحرج دون انزلاق: v_G = rω وa_G = rα؛ نقطة التلامس ساكنة لحظيًا والنقطة العليا تتحرك بسرعة 2v_G.

المعادلات الأساسية

v=rω,at=rα,an=rω2v=r\omega,\quad a_t=r\alpha,\quad a_n=r\omega^2
الدوران حول محور ثابت
r1ω1=r2ω2r_1\omega_1=r_2\omega_2
التروس والسيور
v⃗B=v⃗A+ω⃗×r⃗B/A\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}
السرعة النسبية
vG=rωv_G=r\omega
التدحرج دون انزلاق

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 عجلة نصف قطرها 0.3 m تتدحرج دون انزلاق بسرعة 15 m/s. أوجد ω وسرعة النقطة العليا.

اعرض الخطوات
  1. ω = v/r = 15/0.3.
  2. Top: v = 2v_G.

الإجابة: ω = 50 rad/s؛ النقطة العليا 30 m/s.

مثال 7.2 قيم توضيحية: دوّار توربين رياح يدور بسرعة 15 rpm وعلبة تروس نسبتها 100 تدير المولد. أوجد سرعة المولد بوحدتي rpm وrad/s.

اعرض الخطوات
  1. n = 15 × 100.
  2. ω = 1500 × 2π/60.

الإجابة: 1500 rpm = 157.1 rad/s (قيم توضيحية).

مثال 7.3 قضيب طوله 1 m ينزلق وطرفه A على الأرض يتحرك يمينًا بسرعة 2 m/s وطرفه B على جدار. أوجد ω وv_B حين يصنع القضيب 30° مع الأرض.

اعرض الخطوات
  1. المركز اللحظي حيث يتقاطع العموديان على v_A وv_B؛ وبعده عن A هو L sin 30° = 0.5 m.
  2. ω = v_A/0.5؛ v_B = ω × L cos 30°.

الإجابة: ω = 4 rad/s؛ v_B = 3.46 m/s إلى أسفل.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. قيم توضيحية: دوّار بطول 60 m يدور بسرعة 15 rpm. أوجد سرعة طرف الشفرة والتسارع العمودي.

    اعرض الإجابة

    v = 60 × 1.571 = 94.2 m/s؛ a_n = v²/r = 148 m/s² (قيم توضيحية).

  2. حذافة تدور من السكون حتى 3000 rpm في 10 s بتسارع α ثابت. أوجد α.

    اعرض الإجابة

    ω = 314.2 rad/s؛ α = 31.4 rad/s².

  3. قرص نصف قطره 0.5 m له ω = 2 rad/s وα = 4 rad/s². أوجد تسارع الحافة.

    اعرض الإجابة

    a_t = 2, a_n = 2, |a| = 2.83 m/s².

  4. ترس ذو 20 سنًا يدير ترسًا ذا 80 سنًا بسرعة 1200 rpm. أوجد سرعة الخرج.

    اعرض الإجابة

    1200 × 20/80 = 300 rpm.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: كل نقطة على عجلة متدحرجة تتحرك بالسرعة نفسها.

    في الحقيقة: نقطة التلامس ساكنة والنقطة العليا تتحرك بسرعة 2v.

  • خرافة: السرعة الزاوية تختلف من نقطة إلى أخرى في الجسم الجاسئ.

    في الحقيقة: ω واحدة للجسم كله.

  • خرافة: المركز اللحظي تسارعه صفر.

    في الحقيقة: سرعته فقط صفر، في تلك اللحظة.

بطاقات تعليمية

  • المحور الثابت

    v = rω, a_t = rα, a_n = rω².

  • نسبة التروس

    ω₂/ω₁ = r₁/r₂ = N₁/N₂.

  • السرعة النسبية

    v_B = v_A + ω × r_B/A.

  • المركز اللحظي

    نقطة سرعتها صفر في لحظة ما.

  • التدحرج

    v_G = rω.

  • rpm

    × 2π/60 للتحويل إلى rad/s.

اختبار ذاتي

1. سرعة نقطة على نصف القطر r في جسم دوار:

اعرض الإجابة

rω. v = rω.

2. التروس المتعشقة تتشارك…

اعرض الإجابة

سرعة التلامس. r₁ω₁ = r₂ω₂.

3. نقطة تلامس عجلة تتدحرج دون انزلاق تتحرك بسرعة…

اعرض الإجابة

0. لا انزلاق.

4. 1 rpm بوحدة rad/s يساوي تقريبًا…

اعرض الإجابة

0.1047. 2π/60.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توربين الرياح سلسلة من الأجسام الجاسئة الدوارة. تشرح وزارة الطاقة الأمريكية أن الدوّار يتصل بالمولد إما مباشرة في توربين الدفع المباشر، أو عبر عمود وعلبة تروس تزيد سرعة الدوران وتتيح مولدًا أصغر حجمًا. وكينماتيكا نسب التروس في هذه الوحدة هي طريقة المهندسين في مواءمة دوّار ضخم بطيء مع مولد سريع.

على Saving Planets: الفيزياء 2

المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية) · OpenStax UP1, 10.3 Relating angular and translational quantities

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوع 11

الكيناتيكا المستوية للأجسام الجاسئة: القوة والكتلة والتسارع

عزوم القصور الذاتي الكتلية، ونظرية المحاور المتوازية، ومعادلات الحركة للانتقال والدوران حول محور ثابت والحركة المستوية العامة، والتدحرج مع الاحتكاك.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب عزوم القصور الذاتي الكتلية للأشكال الشائعة.
  • اكتب ΣF = ma_G وΣM_G = I_Gα.
  • حل مسائل الدوران حول محور ثابت والبكرات.
  • حل مسائل التدحرج وتحقق من الانزلاق.

المفاهيم الأساسية

  • عزم القصور الذاتي الكتلي I = ∫r² dm يقيس مقاومة التسارع الزاوي. القرص المصمت ½mr²، والطوق mr²، والكرة المصمتة ⅖mr²، والقضيب حول مركزه mL²/12.
  • نظرية المحاور المتوازية: I = I_G + md².
  • معادلات الحركة المستوية: ΣF_x = m a_Gx، ΣF_y = m a_Gy، ΣM_G = I_Gα (أو ΣM_P = مجموع عزوم المخطط الحركي حول أي نقطة P).
  • جسم يتدحرج دون انزلاق على منحدر له a = g sin θ/(1 + I_G/(mr²))؛ والاحتكاك هو ما يُحدث الدوران.
  • تحقق من التدحرج بـ f ≤ μ_sN؛ فإن كان الاحتكاك اللازم أكبر، ينزلق الجسم ويتدحرج معًا.

المعادلات الأساسية

∑F⃗=ma⃗G,∑MG=IGα\sum\vec F=m\vec a_G,\quad \sum M_G=I_G\alpha
الحركة المستوية
I=IG+md2I=I_G+md^2
المحاور المتوازية
a=gsin⁡θ1+IG/(mr2)a=\frac{g\sin\theta}{1+I_G/(mr^2)}
التدحرج على منحدر

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 قرص مصمت كتلته 10 kg ونصف قطره 0.2 m على محور ثابت يتعرض لعزم 4 N·m. أوجد α.

اعرض الخطوات
  1. I = ½ × 10 × 0.2² = 0.2 kg·m².
  2. α = M/I.

الإجابة: 20 rad/s².

مثال 8.2 أسطوانة مصمتة تتدحرج دون انزلاق على منحدر 30°. أوجد تسارعها وأصغر μ_s يمنع الانزلاق.

اعرض الخطوات
  1. a = g sin 30°/(1 + ½) = (2/3)g sin 30°.
  2. العزوم حول G: fr = ½mr²(a/r)، إذن f = ½ma = (1/3)mg sin 30°؛ μ_s ≥ f/N = (1/3) tan 30°.

الإجابة: a = 3.27 m/s²; μ_s ≥ 0.192.

مثال 8.3 كتلة 4 kg معلقة بحبل ملفوف على بكرة قرصية مصمتة كتلتها 2 kg ونصف قطرها 0.1 m. أوجد التسارع والشد.

اعرض الخطوات
  1. الكتلة: 4g − T = 4a. البكرة: Tr = ½Mr² (a/r)، إذن T = ½Ma = a.
  2. 4g = 5a.

الإجابة: a = 7.85 m/s²; T = 7.85 N.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد I لقضيب كتلته 3 kg وطوله 2 m حول أحد طرفيه.

    اعرض الإجابة

    I = mL²/3 = 4 kg·m².

  2. هذا القضيب مثبت بمفصل عند أحد طرفيه ويُترك من الوضع الأفقي. أوجد α لحظة الترك.

    اعرض الإجابة

    α = 3g/(2L) = 7.36 rad/s².

  3. قيم توضيحية: دوّار توربين مائي له I = 5 × 10⁴ kg·m² وعزم صافٍ 1 × 10⁶ N·m عند البدء. أوجد α.

    اعرض الإجابة

    α = 20 rad/s² (قيم توضيحية).

  4. أوجد تسارع كرة مصمتة تتدحرج على منحدر 30°.

    اعرض الإجابة

    a = (5/7) g sin 30° = 3.50 m/s².

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الكتلة وحدها تقاوم التسارع الزاوي.

    في الحقيقة: موضع الكتلة (I) مهم؛ فالطوق يتسارع أبطأ من قرص له الكتلة نفسها.

  • خرافة: الاحتكاك يبطئ دائمًا العجلة المتدحرجة.

    في الحقيقة: في التدحرج الخالص لا يبذل الاحتكاك السكوني شغلًا، وهو ما يجعلها تدور.

  • خرافة: ΣM = Iα تصح حول أي نقطة.

    في الحقيقة: استخدمها حول G أو محور ثابت؛ وحول نقاط أخرى أدرج عزم ma_G.

بطاقات تعليمية

  • عزم القصور الذاتي الكتلي

    I = ∫r² dm.

  • القرص والطوق والكرة

    ½mr², mr², ⅖mr².

  • Rod

    mL²/12 (المركز)، mL²/3 (الطرف).

  • الحركة المستوية

    ΣF = ma_G, ΣM_G = I_Gα.

  • a في التدحرج

    g sin θ/(1 + I/(mr²)).

  • التحقق من الانزلاق

    f ≤ μ_sN.

اختبار ذاتي

1. أيها يصل إلى أسفل المنحدر أولًا؟

اعرض الإجابة

الكرة المصمتة. أصغر I/(mr²).

2. I لقرص مصمت حول محوره:

اعرض الإجابة

½mr². نتيجة قياسية.

3. نظرية المحاور المتوازية تضيف…

اعرض الإجابة

md². I = I_G + md².

4. الصيغة الدورانية لقانون نيوتن:

اعرض الإجابة

M = Iα. حول G أو محور ثابت.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

التوربينات المائية أجسام جاسئة يديرها الماء. تصف وزارة الطاقة الأمريكية عائلتين رئيسيتين: توربينات التفاعل، مثل فرانسيس وكابلان، التي تعمل مغمورة في التيار وتستخدم الضغط والماء المتحرك، وتوربينات الدفع، مثل عجلة بيلتون، التي تصطدم بدلائها نفاثات حرة. وتذكر الوزارة أن توربينات فرانسيس تُستخدم عادة لعلو سقوط يتراوح بين نحو 130 و2000 قدم. وتحديد عزم القصور الذاتي للدوّار وعزمه هو كيناتيكا هذه الوحدة.

على Saving Planets: الفيزياء 2

المصادر: U.S. DOE: Types of hydropower turbines · OpenStax UP1, 10.7 Newton’s second law for rotation

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسبوع 12

الأجسام الجاسئة: طرق الطاقة وكمية الحركة

الطاقة الحركية للأجسام الجاسئة في الانتقال والدوران والتدحرج، وشغل المزدوجات، والقدرة في الآلات الدوارة، والدفع الزاوي وكمية الحركة الزاوية، وحفظ كمية الحركة الزاوية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اكتب T = ½mv_G² + ½I_Gω².
  • استخدم الشغل–الطاقة للأجسام المتدحرجة والدائرة حول مفصل.
  • احسب قدرة الآلة الدوارة P = Mω.
  • تطبيق حفظ كمية الحركة الزاوية.

المفاهيم الأساسية

  • الطاقة الحركية للجسم الجاسئ T = ½mv_G² + ½I_Gω²؛ وفي التدحرج يذهب جزء من الطاقة إلى الدوران.
  • المزدوجة M التي تدور بزاوية θ تبذل شغلًا Mθ؛ والقدرة P = Mω.
  • كمية الحركة الزاوية حول G هي H_G = I_Gω. الدفع الزاوي–كمية الحركة الزاوية: I_Gω₁ + ∫M dt = I_Gω₂.
  • إذا لم يؤثر عزم خارجي حول محور، تُحفظ I ω: سحب الكتلة إلى الداخل يزيد سرعة الدوران.
  • الحذافة تخزن الطاقة ½Iω²؛ وتدويرها بضعف السرعة يخزن أربعة أضعاف الطاقة.

المعادلات الأساسية

T=12mvG2+12IGω2T=\tfrac12mv_G^2+\tfrac12I_G\omega^2
الطاقة الحركية للجسم الجاسئ
U=Mθ,P=MωU=M\theta,\quad P=M\omega
شغل المزدوجة وقدرتها
I1ω1=I2ω2I_1\omega_1=I_2\omega_2
حفظ كمية الحركة الزاوية
v=2gh1+IG/(mr2)v=\sqrt{\frac{2gh}{1+I_G/(mr^2)}}
التدحرج من ارتفاع h

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 حذافة لها I = 10 kg·m² تدور بسرعة 300 rad/s. أوجد طاقتها المخزنة بوحدتي J وkWh.

اعرض الخطوات
  1. T = ½ × 10 × 300².
  2. ÷ 3.6 × 10⁶.

الإجابة: 450 kJ = 0.125 kWh.

مثال 9.2 كرة مصمتة تتدحرج دون انزلاق من السكون نازلةً ارتفاع 2 m. أوجد سرعتها.

اعرض الخطوات
  1. mgh = ½mv² + ½(⅖mr²)(v/r)² = (7/10)mv².
  2. v = √(10gh/7).

الإجابة: 5.29 m/s.

مثال 9.3 متزلجة تدور بسرعة 2 rad/s مع I = 4 kg·m²، ثم تضم ذراعيها فيصبح I = 1.6 kg·m². أوجد سرعة دورانها الجديدة.

اعرض الخطوات
  1. 4 × 2 = 1.6ω.

الإجابة: 5 rad/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أسطوانة مصمتة تتدحرج من السكون نازلةً ارتفاع 2 m. أوجد سرعتها.

    اعرض الإجابة

    v = √(4gh/3) = 5.11 m/s.

  2. قرص مصمت كتلته 20 kg ونصف قطره 0.5 m يدور بسرعة 100 rad/s. أوجد طاقته الحركية.

    اعرض الإجابة

    I = 2.5 kg·m²; T = 12.5 kJ.

  3. قضيب طوله 2 m مثبت بمفصل عند أحد طرفيه يُترك من الوضع الأفقي. أوجد ω حين يتدلى رأسيًا.

    اعرض الإجابة

    mg(L/2) = ½(mL²/3)ω²، ω = √(3g/L) = 3.84 rad/s.

  4. قيم توضيحية: عمود توربين ينقل 1 × 10⁶ N·m عند 150 rpm. أوجد القدرة.

    اعرض الإجابة

    ω = 15.7 rad/s؛ P = Mω = 15.7 MW (قيم توضيحية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الكرة المتدحرجة طاقتها الحركية ½mv² فقط.

    في الحقيقة: أضف ½Iω² للدوران.

  • خرافة: ضم الذراعين يضيف طاقة من العدم.

    في الحقيقة: عضلاتك تبذل الشغل؛ المحفوظ كمية الحركة الزاوية لا الطاقة الحركية.

  • خرافة: العزم والقدرة شيء واحد.

    في الحقيقة: P = Mω؛ العزم نفسه يعطي قدرة أكبر عند سرعة أعلى.

بطاقات تعليمية

  • T للجسم الجاسئ

    ½mv_G² + ½I_Gω².

  • شغل المزدوجة

    U = Mθ.

  • قدرة العمود

    P = Mω.

  • كمية الحركة الزاوية

    H_G = I_Gω.

  • الحفظ

    I₁ω₁ = I₂ω₂.

  • الحذافة

    تخزن ½Iω².

اختبار ذاتي

1. الطاقة الحركية لجسم متدحرج تشمل…

اعرض الإجابة

الحدين كليهما. الانتقال مع الدوران.

2. قدرة عمود دوار:

اعرض الإجابة

Mω. P = Mω.

3. تنصيف I دون عزم خارجي يجعل ω…

اعرض الإجابة

الضعف. Iω ثابت.

4. مضاعفة سرعة الحذافة تضرب طاقتها في…

اعرض الإجابة

4. ω².

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الطاقة الكهرومائية سلسلة طاقة من الارتفاع إلى الدوران إلى الكهرباء. تشرح وزارة الطاقة الأمريكية أن الماء يتدفق عبر أنبوب يسمى أنبوب الضغط، فيدير شفرات التوربين، ويدير التوربين مولدًا ينتج الكهرباء للشبكة. ومعادلات الشغل–الطاقة والقدرة في هذه الوحدة، من mgh إلى P = Mω، تصف كل حلقة في تلك السلسلة.

على Saving Planets: الفيزياء 2

المصادر: U.S. DOE: How hydropower works · OpenStax UP1, 11.3 Conservation of angular momentum

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسابيع 13–14

الاهتزازات الميكانيكية

الاهتزاز الحر غير المخمَّد، والتردد الطبيعي، وطرق الطاقة، والتخميد اللزج ونسبة التخميد، والاهتزاز القسري، والرنين والتضخيم.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • أوجد الترددات الطبيعية لأنظمة الكتلة-النابض والبندولات.
  • استخدم نسبة التخميد لتصنيف الحركة وقدّرها من التضاؤل.
  • أوجد سعة الاهتزاز القسري في الحالة المستقرة.
  • اشرح الرنين ولماذا يكون التخميد المنخفض خطرًا.

المفاهيم الأساسية

  • الكتلة على نابض تخضع لـ mẍ + kx = 0 وتهتز بتردد ω_n = √(k/m)؛ والدور T = 2π/ω_n. وللبندول البسيط ω_n = √(g/L) للتأرجحات الصغيرة.
  • مع التخميد اللزج: mẍ + cẋ + kx = 0. ونسبة التخميد ζ = c/(2√(km)) تحدد السلوك: ζ < 1 يتذبذب ويتضاءل، وζ = 1 حرج، وζ > 1 يعود ببطء.
  • التناقص اللوغاريتمي δ = ln(x₁/x₂) بين قمتين متتاليتين يعطي ζ ≈ δ/(2π) للتخميد الخفيف.
  • قوة توافقية F₀ sin ωt تولّد استجابة مستقرة سعتها X = (F₀/k)/√((1 − r²)² + (2ζr)²)، حيث r = ω/ω_n.
  • عند الرنين (r = 1) يكون التضخيم 1/(2ζ): مع تخميد خفيف، دفعة صغيرة تتكرر بالإيقاع الصحيح تبني حركة كبيرة.

المعادلات الأساسية

ωn=k/m,T=2π/ωn\omega_n=\sqrt{k/m},\quad T=2\pi/\omega_n
التردد الطبيعي
ζ=c2km,ωd=ωn1−ζ2\zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}},\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
التخميد
X=F0/k(1−r2)2+(2ζr)2,r=ωωnX=\frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\quad r=\frac{\omega}{\omega_n}
الاستجابة القسرية
XF0/k∣r=1=12ζ\left.\frac{X}{F_0/k}\right|_{r=1}=\frac1{2\zeta}
التضخيم عند الرنين

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 كتلة 2 kg معلقة بنابض k = 800 N/m. أوجد ω_n وf وT.

اعرض الخطوات
  1. ω_n = √(800/2) = 20 rad/s.
  2. f = ω_n/(2π); T = 1/f.

الإجابة: 20 rad/s، 3.18 Hz، 0.314 s.

مثال 10.2 أضف مخمِّدًا c = 8 N·s/m. أوجد ζ والتردد المخمَّد.

اعرض الخطوات
  1. ζ = 8/(2√(800 × 2)) = 8/80.
  2. ω_d = 20√(1 − 0.01).

الإجابة: ζ = 0.1؛ ω_d = 19.9 rad/s.

مثال 10.3 يُثار النظام غير المخمَّد بقوة F₀ = 10 N عند 15 rad/s. أوجد السعة المستقرة.

اعرض الخطوات
  1. F₀/k = 12.5 mm; r = 0.75.
  2. X = 12.5/(1 − 0.5625).

الإجابة: 28.6 mm.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد دور بندول بسيط طوله 1 m.

    اعرض الإجابة

    T = 2π√(1/9.81) = 2.01 s.

  2. آلة تنخفض 10 mm على مساندها. قدّر ترددها الطبيعي.

    اعرض الإجابة

    ω_n = √(g/δ) يعطي f = 4.98 Hz.

  3. أوجد التضخيم عند الرنين لـ ζ = 0.02.

    اعرض الإجابة

    1/(2 × 0.02) = 25.

  4. قمتان متتاليتان لاهتزاز حر قيمتاهما 10 mm و7 mm. قدّر ζ.

    اعرض الإجابة

    δ = ln(10/7) = 0.357; ζ ≈ δ/(2π) = 0.057.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الكتلة الأثقل تهتز أسرع.

    في الحقيقة: ω_n = √(k/m): كتلة أكبر، تردد أقل.

  • خرافة: مزيد من التخميد يعني دائمًا مزيدًا من الأمان.

    في الحقيقة: يخفض قمم الرنين لكنه ينقل أيضًا قوة أكبر عند الترددات العالية.

  • خرافة: دور البندول يعتمد على ثقل الثقل المعلق.

    في الحقيقة: للتأرجحات الصغيرة يعتمد على L وg فقط.

بطاقات تعليمية

  • التردد الطبيعي

    ω_n = √(k/m).

  • البندول

    ω_n = √(g/L).

  • نسبة التخميد

    ζ = c/(2√(km)).

  • التناقص اللوغاريتمي

    ζ ≈ ln(x₁/x₂)/(2π).

  • نسبة التردد

    r = ω/ω_n.

  • الرنين

    X/(F₀/k) = 1/(2ζ) عند r = 1.

اختبار ذاتي

1. التردد الطبيعي لنظام كتلة-نابض:

اعرض الإجابة

√(k/m). ω_n = √(k/m).

2. التخميد الحرج هو ζ =

اعرض الإجابة

1. أسرع عودة دون تذبذب.

3. عند الرنين مع ζ = 0.05، يكون التضخيم…

اعرض الإجابة

10. 1/(2ζ).

4. الإثارة فوق ω_n بكثير (r ≫ 1) تجعل الاستجابة…

اعرض الإجابة

صغيرة. X → 0 مع ازدياد r.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الرنين يحدد أي المباني تنجو من الزلازل. تشرح IRIS (الآن EarthScope) أن لكل مبنى دورًا طبيعيًا، وهو الزمن الذي يستغرقه في التمايل ذهابًا وإيابًا، وأنه حين تطابق حركة الأرض هذا الدور يتعرض المبنى لأكبر تذبذباته وأشد أضراره. ووجدت دراسة لهيئة USGS شملت 41 مبنى شاهقًا أن نسب التخميد فيها أقل بوضوح من 3%، وتُظهر معادلة التضخيم في هذه الوحدة لماذا يجعل التخميد المنخفض الرنين خطرًا. ويضبط المهندسون الأدوار ويضيفون التخميد لتبقى المنازل والمستشفيات والبنية التحتية قائمة.

على Saving Planets: الحلول

المصادر: IRIS/EarthScope: Building resonance · USGS: Natural periods and damping of tall buildings (Çelebi, 2022)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Dynamics lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

يمكن إجراء كل مختبر في محاكاة PhET مجانية أو بأدوات منزلية. دحرج وأسقط الأجسام اللينة الخفيفة فقط، وأخلِ الأرضية، ولا تقذف شيئًا أبدًا نحو الناس أو الحيوانات الأليفة أو النوافذ.

مرجع السلامة: OSHA: Hand and power tools

المختبر A: تسارع ثابت على منحدر

الأسبوع 2

الهدف: قِس الموضع مقابل الزمن لكرة تتدحرج على منحدر لطيف، وبيّن أن x يزداد مثل t²، واستخرج التسارع.

x=12at2x=\tfrac12at^2
من السكون؛ ارسم x مقابل t² لتحصل على خط مستقيم ميله a/2

الإجراء

  1. ارفع أحد طرفي لوح طويل على كتاب لتكوين ميل لطيف؛ وضع علامات عند 0.25 و1.0 و2.25 و4.0 m (أو علامات مصغرة).
  2. أطلق كرة من السكون وصوّرها بالحركة البطيئة بهاتف؛ واقرأ الزمن عند كل علامة.
  3. ارسم x مقابل t² ووفّق خطًا يمر بنقطة الأصل؛ a = 2 × الميل.
  4. اختياري: قارن مع PhET أو مع a = (5/7) g sin θ لكرة مصمتة متدحرجة.

جدول البيانات

t (s)x (m) عند a = 0.5 m/s²
10.25
21.00
32.25
44.00

قيم توضيحية لـ a = 0.5 m/s²؛ ميلك يحدد قيمة a الخاصة بك.

مثال حسابي

  1. x/t² = 0.25 m/s² في كل صف، إذن a = 0.50 m/s².
  2. مضاعفة الزمن تضاعف المسافة أربع مرات.
  3. لكرة مصمتة، يتطلب a = 0.5 m/s² أن يكون sin θ = 0.5 × 7/(5 × 9.81)، θ = 4.1°.

السلامة

  • أخلِ الأرضية حيث تنتهي الكرة؛ واستخدم كرة لينة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Ladybug Motion 2D

الصلة بالكوكب: بيانات التسارع المقيسة كهذه تغذي اختبارات دورات القيادة التي تقيّم كفاءة استخدام السيارات للطاقة. FuelEconomy.gov (DOE/EPA): All-electric vehicles

المختبر B: مدى المقذوف وزاوية الإطلاق

الأسبوع 3

الهدف: قِس كيف يعتمد المدى على زاوية الإطلاق وقارنه مع R = v₀² sin 2θ/g.

R=v02sin⁡2θgR=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}
أرض مستوية، بلا مقاومة هواء

الإجراء

  1. افتح PhET Projectile Motion، وأوقف مقاومة الهواء، واضبط v₀ = 10 m/s وارتفاع الإطلاق على 0.
  2. أطلق عند 15° و30° و45° و60° و75° وسجّل المدى.
  3. ارسم R مقابل sin 2θ؛ يجب أن يكون الميل v₀²/g = 10.19 m.
  4. شغّل مقاومة الهواء ولاحظ أي زاوية تعطي الآن أطول مدى.

جدول البيانات

θ (°)R (m)
155.10
308.83
4510.19
608.83
755.10

قيم محسوبة من المعادلة مع g = 9.81 m/s².

مثال حسابي

  1. الزوايا المتتامة (15° و75°، 30° و60°) تعطي المدى نفسه.
  2. القيمة العظمى عند 45°: R = v₀²/g = 10.19 m.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز الاستخدام العادي للحاسوب؛ وإن جربت نسخة منزلية، فاقذف كرات لينة فقط ولا تقذفها أبدًا نحو الناس.

بديل منزلي أو افتراضي

  • اختياري: اقذف كرة لينة بزوايا تقديرية في فناء وقِس المديات؛ مقاومة الهواء وارتفاع الإطلاق يجعلانها أقل دقة.

PhET: Projectile Motion

الصلة بالكوكب: المعادلات نفسها، مع إضافة مقاومة الهواء، تخطط مسارات صعود الصواريخ التي تضع أقمار رصد الأرض في مداراتها. NASA: International Space Station facts and figures

المختبر C: الارتدادات والتصادمات ومعامل الارتداد

الأسبوع 7

الهدف: أوجد e لكرة مرتدة من ارتفاعات الارتداد، وتحقق من حفظ كمية الحركة في تصادمات محاكاة.

e=h2/h1e=\sqrt{h_2/h_1}
كرة تسقط على أرضية ثقيلة

الإجراء

  1. أسقط كرة من 1.0 m أمام شريط قياس وصوّرها؛ واقرأ ارتفاعات الارتدادات الثلاثة الأولى.
  2. احسب e لكل ارتداد.
  3. في PhET Collision Lab، اجعل 2 kg بسرعة 5 m/s تصطدم بـ 3 kg ساكنة بمرونة 80% وقارن السرعات النهائية بمثال الوحدة 5.
  4. كرر بمرونة 0% و100% وقارن كمية الحركة الكلية والطاقة الحركية قبل التصادم وبعده.

جدول البيانات

الارتدادالارتفاع (m)e
السقوط1.00—
10.640.80
20.410.80
30.260.80

قيم توضيحية لكرة لها e ≈ 0.8.

مثال حسابي

  1. e = √(0.64/1.00) = 0.80; √(0.41/0.64) = 0.80; √(0.26/0.41) = 0.80.
  2. المحاكاة عند 80%: v₁′ = −0.4 m/s، v₂′ = 3.6 m/s؛ كمية الحركة 10 kg·m/s قبل وبعد.

السلامة

  • استخدم كرة لينة وأبعد الأشياء القابلة للكسر.

بديل منزلي أو افتراضي

  • جزء الارتداد هو النسخة المنزلية.

PhET: Collision Lab

الصلة بالكوكب: كان اختبار DART التابع لناسا تصادمًا مخططًا له؛ وقياس انتقال كمية الحركة في الاصطدامات هو أساس تصميم الدفاع الكوكبي. NASA: DART impact changed asteroid’s motion in space

المختبر D: سباق التدحرج

الأسبوع 11

الهدف: سابق بين كرة وعلبة ممتلئة وحلقة على المنحدر نفسه، وفسّر الترتيب باستخدام a = g sin θ/(1 + I/(mr²)).

a=gsin⁡θ1+IG/(mr2),t=2L/aa=\frac{g\sin\theta}{1+I_G/(mr^2)},\quad t=\sqrt{2L/a}
التدحرج من السكون على طول L

الإجراء

  1. اضبط لوحًا على 10° (مقياس الميل في الهاتف) وعلّم مسارًا طوله 1 m.
  2. أطلق الأزواج معًا: كرة مصمتة مقابل علبة حساء ممتلئة، وعلبة ممتلئة مقابل حلقة أو علبة فارغة (رقيقة الجدار).
  3. صوّر خطوط النهاية ووقّت كل جولة؛ كرر ثلاث مرات.
  4. قارن مع الأزمنة المتوقعة.

جدول البيانات

الجسمI/(mr²)a (m/s²)t على 1 m (s)
كرة مصمتة0.41.221.28
أسطوانة مصمتة0.51.141.33
حلقة1.00.8521.53

قيم محسوبة لـ θ = 10° وتدحرج دون انزلاق؛ علبة الحساء الممتلئة لا تتصرف إلا تقريبيًا كأسطوانة مصمتة لأن السائل قد يتحرك داخلها.

مثال حسابي

  1. الكرة: a = 9.81 sin 10°/1.4 = 1.22 m/s²؛ t = √(2/1.22) = 1.28 s.
  2. الحلقة: a = 9.81 sin 10°/2 = 0.852 m/s²؛ t = 1.53 s.
  3. الكتلة ونصف القطر يُختصران: عامل الشكل وحده هو المهم.

السلامة

  • التقط الأجسام عند الأسفل؛ وأبعد أصابعك عن أسفل العلب الثقيلة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Torque

الصلة بالكوكب: موضع كتلة الدوّار يغيّر سرعة تسارعه، وهذا مهم لتوربينات الرياح والتوربينات المائية. U.S. DOE: Types of hydropower turbines

المختبر E: دور البندول وg

الأسبوع 13

الهدف: قِس دور بندول بسيط عند عدة أطوال وأوجد g من التوفيق.

T=2πL/g ⇒ T2=4π2gLT=2\pi\sqrt{L/g}\ \Rightarrow\ T^2=\frac{4\pi^2}{g}L
ارسم T² مقابل L

الإجراء

  1. اربط ثقلًا صغيرًا بخيط وعلّقه من إطار باب. اضبط L (حتى مركز الثقل) على 0.25 و0.50 و1.00 m.
  2. أزحه نحو 10° ووقّت 10 تأرجحات؛ ثم اقسم على 10.
  3. ارسم T² مقابل L ووفّق خطًا يمر بنقطة الأصل؛ g = 4π²/الميل.
  4. تحقق في PhET Pendulum Lab أن الكتلة لا تغير الدور.

جدول البيانات

L (m)T (s)
0.251.003
0.501.419
1.002.006

قيم محسوبة لـ g = 9.81 m/s²؛ معادلة الزوايا الصغيرة.

مثال حسابي

  1. T²/L = 4.024 s²/m في كل صف، إذن g = 4π²/4.024 = 9.81 m/s².
  2. مضاعفة L أربع مرات تضاعف T.

السلامة

  • استخدم ثقلًا خفيفًا وأبعد التأرجح عن الوجوه.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Pendulum Lab

الصلة بالكوكب: لكل مبنى أيضًا دور طبيعي؛ وتطابقه مع اهتزاز الأرض هو ما يجعل الزلازل خطيرة. IRIS/EarthScope: Building resonance

المختبر F: اهتزاز الكتلة-النابض والتخميد

الأسبوع 14

الهدف: قِس التردد الطبيعي مقابل الكتلة، وقدّر نسبة التخميد من القمم المتضائلة.

f=12πk/m,ζ≈ln⁡(x1/x2)2πf=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m},\quad \zeta\approx\frac{\ln(x_1/x_2)}{2\pi}
التردد الطبيعي والتناقص اللوغاريتمي

الإجراء

  1. في PhET Masses and Springs، اضبط نابضًا 10 N/m وعلّق 100 و200 و400 g؛ ووقّت 10 تذبذبات لكل منها.
  2. شغّل التخميد، وأطلق، واقرأ ثلاثة ارتفاعات قمم متتالية من المسطرة.
  3. في المنزل: علّق كيسًا من العملات بشريط مطاطي أو نابض لين وكرر باستخدام ساعة إيقاف الهاتف.
  4. ارسم f مقابل 1/√m.

جدول البيانات

m (kg)f (Hz) عند k = 10 N/m
0.11.592
0.21.125
0.40.796

قيم محسوبة من المعادلة؛ وتُستخدم أدناه قمم تخميد توضيحية قدرها 10 و8 و6.4 cm.

مثال حسابي

  1. مضاعفة m أربع مرات تنصّف f: 1.592 → 0.796 Hz.
  2. القمم 10 → 8 → 6.4 cm: δ = ln 1.25 = 0.223، ζ ≈ 0.0355.
  3. مع ζ = 0.0355، يكون التضخيم عند الرنين 1/(2ζ) = 14.1.

السلامة

  • قد تنقطع الأشرطة المطاطية؛ ارتدِ نظارات وأبقِ الكتلة صغيرة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • خطوة الشريط المطاطي هي النسخة المنزلية.

PhET: Masses and Springs

الصلة بالكوكب: تُظهر قياسات USGS أن المباني الشاهقة قليلة التخميد، لذا يضيف المهندسون مخمِّدات للحد من حركة الرنين. USGS: Natural periods and damping of tall buildings (Çelebi, 2022)

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. سيارة تتسارع من السكون بمعدل 2.5 m/s² حتى 30 m/s. أوجد الزمن والمسافة.

    اعرض الحل الكامل
    1. t = v/a; x = v²/(2a).

    الإجابة: 12 s; 180 m.

  2. تُقذف كرة بسرعة 25 m/s وبزاوية 40° فوق أرض مستوية. أوجد المدى.

    اعرض الحل الكامل
    1. R = v₀² sin 80°/g.

    الإجابة: 62.7 m.

  3. تُسحب كتلة 5 kg بقوة 40 N على أرضية μ_k = 0.2. أوجد تسارعها.

    اعرض الحل الكامل
    1. a = (40 − 0.2 × 49.05)/5.

    الإجابة: 6.04 m/s².

  4. كتلة 1 kg تسقط 5 m على نابض (k = 2000 N/m). أوجد أقصى انضغاط.

    اعرض الحل الكامل
    1. mg(5 + x) = ½kx²، إذن 1000x² − 9.81x − 49.05 = 0.

    الإجابة: 0.226 m.

  5. كرة 0.06 kg بسرعة 50 m/s تتوقف خلال 0.005 s. أوجد متوسط القوة.

    اعرض الحل الكامل
    1. F = mΔv/Δt.

    الإجابة: 600 N.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. مرحلة لها v_e = 2800 m/s وm₀/m_f = 3. أوجد Δv المثالية.

    اعرض الحل الكامل
    1. Δv = v_e ln 3.

    الإجابة: 3,076 m/s.

  2. عجلة نصف قطرها 0.4 m تتدحرج دون انزلاق بسرعة 20 m/s. أوجد ω.

    اعرض الحل الكامل
    1. ω = v/r.

    الإجابة: 50 rad/s.

  3. قرص مصمت كتلته 4 kg ونصف قطره 0.25 m يتعرض لعزم 2 N·m. أوجد α.

    اعرض الحل الكامل
    1. I = ½mr² = 0.125 kg·m².

    الإجابة: 16 rad/s².

  4. حلقة تتدحرج دون انزلاق من السكون نازلةً ارتفاع 1.5 m. أوجد سرعتها.

    اعرض الحل الكامل
    1. mgh = mv² للحلقة، v = √(gh).

    الإجابة: 3.84 m/s.

  5. كتلة 5 kg على نابض k = 1250 N/m. أوجد ω_n وf.

    اعرض الحل الكامل
    1. ω_n = √(k/m).

    الإجابة: 15.8 rad/s؛ 2.52 Hz.

  6. أوجد التضخيم عند الرنين لـ ζ = 0.05.

    اعرض الحل الكامل
    1. 1/(2ζ).

    الإجابة: 10.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

v=dx/dt, a=dv/dt, a dx=v dvv=dx/dt,\ a=dv/dt,\ a\,dx=v\,dv
v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta x
R=v02sin⁡2θ/gR=v_0^2\sin2\theta/g
an=v2/ρ, at=v˙a_n=v^2/\rho,\ a_t=\dot v
ar=r¨−rθ˙2, aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\ a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta
∑F⃗=ma⃗\sum\vec F=m\vec a
T1+∑U=T2, P=F⃗⋅v⃗T_1+\sum U=T_2,\ P=\vec F\cdot\vec v
mv⃗1+∫F⃗dt=mv⃗2, e=(v2′−v1′)/(v1−v2)m\vec v_1+\int\vec F dt=m\vec v_2,\ e=(v_2'-v_1')/(v_1-v_2)
Δv=veln⁡(m0/mf)\Delta v=v_e\ln(m_0/m_f)
v=rω, at=rα, an=rω2v=r\omega,\ a_t=r\alpha,\ a_n=r\omega^2
v⃗B=v⃗A+ω⃗×r⃗B/A\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}
∑MG=IGα, I=IG+md2\sum M_G=I_G\alpha,\ I=I_G+md^2
T=12mvG2+12IGω2, P=MωT=\tfrac12mv_G^2+\tfrac12I_G\omega^2,\ P=M\omega
ωn=k/m, ζ=c/(2km)\omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=c/(2\sqrt{km})
X=(F0/k)/(1−r2)2+(2ζr)2X=(F_0/k)/\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}

الثوابت

الثابتالقيمة
تسارع الجاذبية القياسي، g9.80665 m/s² (نستخدم 9.81 m/s²)
ثابت الجاذبية الأرضي، GM (مقرّب)3.986 × 10¹⁴ m³/s²
متوسط نصف قطر الأرض (مقرّب)6371 km
1 دورة في الدقيقة2π/60 = 0.1047 rad/s
1 كيلوواط ساعة3.6 × 10⁶ J
1 ميل1.609 km

المصدر: NIST: Standard acceleration of gravity

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه الكتب والمحاضرات والمحاكاة المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

كمية الحركة الزاوية
H = r × mv للجسيم؛ وI_Gω للجسم الجاسئ في الحركة المستوية.
معامل الارتداد
نسبة سرعة الانفصال إلى سرعة الاقتراب في الاصطدام.
تسارع كوريوليس
الحد 2ṙθ̇ في الإحداثيات القطبية.
نسبة التخميد
ζ = c/(2√(km))؛ القيمة 1 هي الحرجة.
الدفع
تكامل القوة عبر الزمن.
المركز اللحظي
نقطة من الجسم سرعتها صفر في لحظة ما.
المخطط الحركي
رسم يبين ma_G وI_Gα.
التناقص اللوغاريتمي
ln لنسبة قمتين متتاليتين.
عزم القصور الذاتي الكتلي
I = ∫r² dm.
التردد الطبيعي
تردد الاهتزاز الحر، √(k/m).
التسارع العمودي
v²/ρ، نحو مركز الانحناء.
القدرة
معدل بذل الشغل، F·v أو Mω.
المقذوف
جسم يتحرك تحت تأثير الجاذبية وحدها.
الرنين
استجابة كبيرة حين تطابق الإثارة ترددًا طبيعيًا.
معادلة الصاروخ
Δv = v_e ln(m₀/m_f).
التدحرج دون انزلاق
v_G = rω؛ ونقطة التماس ساكنة.
التسارع المماسي
dv/dt على امتداد المسار.
مبدأ الشغل–الطاقة
T₁ + ΣU = T₂.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيختار الإحداثيات وأفضل طريقة (القوى أو الطاقة أو كمية الحركة)، ويرسم مخططات الجسم الحر والمخططات الحركية، ويتحقق من الوحدات والحالات الحدية.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع أخطاء عرضية في الإشارة أو الوحدات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يخلط بين الطرق أو ينسى حدود الدوران.
1 · مبتدئيعوّض الأرقام في المعادلات دون مخططات؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين25%
المختبرات20%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع