Circuitos
Análisis de circuitos de CC y CA: leyes de Ohm y Kirchhoff, análisis nodal y de mallas, Thevenin y Norton, amplificadores operacionales, condensadores e inductores, transitorios RC, RL y RLC, fasores, potencia en CA, factor de potencia y trifásica, con seis prácticas. Gratuito, a tu ritmo y vinculado a la iluminación LED, los paneles solares, las baterías, la carga de vehículos eléctricos y la red eléctrica.
Cursos › ENGR 214 + ENGR 214L
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Sobre este curso
Este es el esquema de un curso gratuito de autoestudio escrito por Saving Planets. No es un curso universitario, no otorga créditos académicos y ninguna institución participa.
Su alcance sigue un curso semestral de segundo año de análisis de circuitos con laboratorio. Se basa en los temas y la profundidad de MIT 6.002 Circuits and Electronics (gratuito en MIT OpenCourseWare), Georgia Tech ECE 2040 Circuit Analysis y Purdue ECE 20001 Electrical Engineering Fundamentals I, y en el libro gratuito OpenStax University Physics Volume 2 y las simulaciones PhET, que enlazamos donde ayudan. Ninguno de esos autores o centros respalda esta página.
Lo que añadimos: cada unidad se vincula a trabajo real en energía limpia con una fuente pública citada (iluminación LED, paneles solares e inversores, almacenamiento en baterías, carga de vehículos eléctricos, centros de datos y la red eléctrica), cada número de la página se recalcula con un script de comprobación antes de publicarse, y cada práctica tiene una simulación PhET gratuita o una versión casera segura de baja tensión.
Síguelo en orden. Cada unidad tiene objetivos, ideas clave, ecuaciones, ejemplos paso a paso, práctica con respuestas completas, errores comunes, tarjetas de estudio y un cuestionario. Tu progreso se guarda solo en este navegador.
Cómo ayuda este curso a salvar el planeta
Los circuitos son la forma en que la energía limpia llega a las personas. Los paneles solares producen corriente continua que los inversores convierten en corriente alterna, las baterías la almacenan, los transformadores y las líneas eléctricas la transportan, y las luces, motores y cargadores eficientes la usan.
Cada punto porcentual de pérdida en un cable, transformador o convertidor es energía que hubo que generar en algún sitio. El análisis de este curso es el que usan los ingenieros para reducir esas pérdidas. Cada unidad termina con una sección breve con fuentes. Los valores que no proceden de una fuente se indican como valores de ejemplo.
Antes de empezar
Requisitos previos
- Física II: carga, campo eléctrico, potencial, corriente, resistencia, capacitancia, inductancia y ley de Faraday.
- Cálculo I y II: derivadas e integrales; las unidades 7 y 8 resuelven ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
- Números complejos (repasados en la unidad 9) para los fasores; Álgebra lineal ayuda con las ecuaciones nodales y de mallas.
- Ecuaciones diferenciales puede cursarse a la vez que este curso.
Cómo estudiar
- Dibuja y rotula primero el circuito: tensiones de nodo, corrientes de rama con flechas y marcas de polaridad en cada elemento.
- Usa el convenio de signos pasivo: la corriente que entra por el terminal + significa que el elemento absorbe potencia.
- Escribe la LCK en los nodos o la LTK en las mallas, cuenta incógnitas y ecuaciones y resuelve (a mano para 2 × 2, con matrices para más).
- Comprueba cada respuesta: la potencia absorbida debe igualar a la suministrada, y los límites (t = 0, t → ∞, ω → 0 o ∞) deben tener sentido.
- Mantén las unidades en el SI: V, A, Ω, W, F, H, s, y vigila los prefijos (mA, kΩ, µF, mH).
- Haz cada ejercicio en papel antes de abrir la respuesta, y repite los cuestionarios unos días después.
Material de laboratorio (para los laboratorios presenciales)
- Una computadora o tableta para las simulaciones PhET gratuitas (funcionan en el navegador).
- Un multímetro digital (los modelos económicos miden V, A y Ω).
- Una placa de pruebas sin soldadura, cables de puente, un portapilas de 2 × AA (3 V) y pilas AA.
- Resistencias (100 Ω, 1 kΩ, 10 kΩ), un condensador de 1000 µF para al menos 6.3 V, y LED.
- Opcional: un medidor de potencia enchufable para comparar bombillas y aparatos (se enchufa a la pared; no lo abras).
- Gafas de seguridad, un cronómetro o teléfono y una hoja de cálculo.
Calendario sugerido de 15 semanas
Unas 6 a 9 horas por semana: lectura, problemas de práctica y, en las semanas de laboratorio, el laboratorio.
| Semana | Unidad | Temas | Lectura |
|---|---|---|---|
| 1 | Variables y elementos de circuito: carga, corriente, tensión, potencia, energía y ley de Ohm | Carga, corriente, tensión, potencia, convenio de signos, fuentes | MIT 6.002; OpenStax UP2 9.4 |
| 2 | Variables y elementos de circuito: carga, corriente, tensión, potencia, energía y ley de Ohm | Ley de Ohm, resistividad, energía en kWh; Práctica A | UP2 9.4, 10.1 |
| 3 | Leyes de Kirchhoff, resistencias en serie y en paralelo, y divisores de tensión y de corriente | LCK, LTK, serie y paralelo, divisores, medidores; Práctica B | UP2 10.2–10.3 |
| 4 | Análisis sistemático: métodos de tensiones de nodo y de corrientes de malla | Método de tensiones de nodo y supernodos | MIT 6.002 |
| 5 | Análisis sistemático: métodos de tensiones de nodo y de corrientes de malla | Método de corrientes de malla, supermallas, fuentes dependientes | MIT 6.002; UP2 10.3 |
| 6 | Teoremas de circuitos: linealidad, superposición, transformación de fuentes, Thevenin, Norton y máxima transferencia de potencia | Superposición, transformación de fuentes, Thevenin, Norton, potencia máxima; Práctica C | MIT 6.002 |
| 7 | Amplificadores operacionales | Amplificadores operacionales; práctica para el parcial | MIT 6.002 |
| 8 | Condensadores e inductores | Condensadores, inductores, energía, integradores | UP2 8.1, 14.2 |
| 9 | Circuitos de primer orden: transitorios RC y RL | Respuestas natural y al escalón RC y RL | UP2 10.5, 14.4 |
| 10 | Circuitos de primer orden: transitorios RC y RL | Problemas de conmutación y energía de conmutación digital; Práctica D | MIT 6.002 |
| 11 | Circuitos de segundo orden: respuestas natural y al escalón de circuitos RLC | RLC en serie y en paralelo, amortiguamiento, oscilación LC | UP2 14.5–14.6 |
| 12 | Régimen sinusoidal permanente: fasores e impedancia | Senoides, fasores, impedancia | UP2 15.2–15.3 |
| 13 | Régimen sinusoidal permanente: fasores e impedancia | Análisis nodal, de mallas y de Thevenin en CA, filtros; Práctica E | MIT 6.002; UP2 15.3, 15.5 |
| 14 | Potencia en CA, factor de potencia, resonancia, transformadores y sistemas trifásicos | Potencia en CA, factor de potencia, transformadores, trifásica; Práctica F | UP2 15.4–15.6 |
| 15 | Repaso | Repaso y serie de práctica final | Todas las unidades |
Tu progreso
Marca las unidades y los laboratorios al terminarlos y haz los cuestionarios. El progreso y las puntuaciones se guardan solo en este navegador y nunca se nos envían.
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Unidad 1 · Semanas 1–2
Variables y elementos de circuito: carga, corriente, tensión, potencia, energía y ley de Ohm
Carga y corriente, la tensión como energía por unidad de carga, potencia y energía, el convenio de signos pasivo, fuentes ideales independientes y dependientes, resistencia y resistividad, ley de Ohm y potencia en resistencias.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Relacionar carga, corriente, tensión, potencia y energía con las unidades correctas.
- Aplicar el convenio de signos pasivo para decidir si un elemento absorbe o entrega potencia.
- Usar la ley de Ohm y R = ρL/A.
- Calcular el consumo de energía en kWh y comparar aparatos.
Conceptos clave
- La corriente es el ritmo de flujo de carga, i = dq/dt, en amperios (1 A = 1 C/s). La tensión es la energía por unidad de carga entre dos puntos, en voltios (1 V = 1 J/C).
- Potencia p = vi. Con el convenio de signos pasivo (la corriente entra por el terminal +), p > 0 significa que el elemento absorbe potencia y p < 0 que la entrega. En cualquier circuito, potencia total absorbida = potencia total entregada.
- Una fuente de tensión ideal mantiene su tensión sea cual sea la corriente; una fuente de corriente ideal mantiene su corriente sea cual sea la tensión. Las fuentes dependientes se controlan por una tensión o corriente de otra parte y modelan transistores y amplificadores.
- Ley de Ohm v = iR. Una resistencia siempre absorbe potencia p = i²R = v²/R. La resistencia de un cable R = ρL/A crece con la longitud y disminuye con la sección; la conductancia G = 1/R se mide en siemens.
- Energía w = ∫p dt; a potencia constante w = Pt. Las compañías facturan en kilovatios hora: 1 kWh = 3.6 MJ.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1.1 Un calefactor de 4 Ω se conecta a 12 V. Halla la corriente y la potencia.
Ver los pasos
- i = v/R = 12/4 = 3 A.
- p = vi = 12 × 3.
Respuesta: i = 3 A, p = 36 W.
Ejemplo 1.2 Halla la resistencia de 10 m de cable de cobre de 1 mm² de sección (ρ = 1.68 × 10⁻⁸ Ω·m).
Ver los pasos
- A = 1 mm² = 1 × 10⁻⁶ m².
- R = ρL/A = 1.68 × 10⁻⁸ × 10/10⁻⁶.
Respuesta: R = 0.168 Ω.
Ejemplo 1.3 Una bombilla incandescente de 60 W se sustituye por un LED que usa un 75 % menos de energía. Ambos funcionan 3 horas al día durante un año. Halla la energía ahorrada.
Ver los pasos
- Potencia del LED = 0.25 × 60 = 15 W.
- Incandescente: 60 × 3 × 365 = 65700 Wh = 65.7 kWh; LED: 16.4 kWh.
Respuesta: Unos 49.3 kWh ahorrados por bombilla al año.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Una corriente de 2 A circula durante 30 s. ¿Cuánta carga pasa?
Ver la respuesta
q = it = 60 C.
Una lámpara consume 0.5 A a 120 V. Halla su potencia y su resistencia.
Ver la respuesta
p = 60 W, R = 240 Ω.
Un elemento tiene v = 5 V e i = −2 A entrando por su terminal +. ¿Absorbe o entrega potencia?
Ver la respuesta
p = −10 W: entrega 10 W.
¿Cuántos julios hay en 2 kWh?
Ver la respuesta
7.2 × 10⁶ J.
Ideas erróneas comunes
Mito: Una resistencia consume la corriente.
En realidad: La carga se conserva; sale la misma corriente que entra. Lo que se convierte es la energía, no la corriente.
Mito: La tensión existe en un punto.
En realidad: La tensión siempre es entre dos puntos; una «tensión de nodo» se mide respecto a una tierra elegida.
Mito: La potencia siempre es vi con signo más.
En realidad: Usa el convenio de signos pasivo para acertar el signo.
Tarjetas de estudio
Corriente
i = dq/dt, en A.
Tensión
Energía por unidad de carga, en V = J/C.
Potencia
p = vi.
Convenio de signos pasivo
Corriente que entra por el terminal +: p > 0, absorbe.
Ley de Ohm
v = iR.
kWh
3.6 MJ.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
La iluminación es el lugar más sencillo para ver la potencia y la energía en acción. La guía de iluminación eficiente del Departamento de Energía de EE. UU. dice que los LED usan al menos un 75 por ciento menos de energía que las bombillas incandescentes, casi no emiten calor y duran 25 veces más.
Con p = vi y w = Pt, el ejemplo resuelto muestra lo que eso significa para una bombilla: cambiar una incandescente de 60 W por un LED de 15 W, usado 3 horas al día, ahorra unos 49.3 kWh al año. Multiplica por las decenas de bombillas de una vivienda y los millones de viviendas de un país, y se hacen visibles las centrales que nunca tienen que funcionar.
En Saving Planets: Física II · Soluciones
Fuentes: U.S. DOE: Guide to energy-efficient lighting (PDF) · OpenStax UP2, 9.4 Ohm’s law
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 9.4 Ohm’s law: Sección de libro de texto gratuita.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre la abstracción de circuito y la ley de Ohm.
- PhET: Ohm’s Law: Interactivo.
- OpenStax UP2, 10.1 Electromotive force: Fuentes y resistencia interna.
Unidad 2 · Semana 3
Leyes de Kirchhoff, resistencias en serie y en paralelo, y divisores de tensión y de corriente
Nodos, ramas y lazos, leyes de Kirchhoff de corrientes y tensiones, combinaciones en serie y en paralelo, resistencia equivalente, divisores de tensión y de corriente, transformaciones triángulo–estrella y medición con voltímetros y amperímetros.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Escribir la LCK y la LTK para cualquier circuito.
- Reducir redes serie–paralelo a una resistencia equivalente.
- Usar divisores de tensión y de corriente.
- Explicar cómo se conectan los medidores y cómo cargan un circuito.
Conceptos clave
- LCK: la suma de corrientes que salen de cualquier nodo es cero (la carga se conserva). LTK: la suma de tensiones alrededor de cualquier lazo cerrado es cero (la energía se conserva).
- Los elementos en serie llevan la misma corriente; las resistencias se suman: R_eq = R₁ + R₂ + …. Los elementos en paralelo comparten la misma tensión; las conductancias se suman: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …; para dos resistencias R₁R₂/(R₁ + R₂).
- Divisor de tensión: v₂ = v·R₂/(R₁ + R₂). Divisor de corriente (dos resistencias): i₁ = i·R₂/(R₁ + R₂); la mayor parte pasa por la resistencia menor.
- La transformación triángulo–estrella (Δ–Y) resuelve puentes que no están ni en serie ni en paralelo: R_Y = (producto de las dos resistencias Δ adyacentes)/(suma de las tres).
- Un voltímetro se conecta en paralelo y debe tener una resistencia muy alta; un amperímetro se conecta en serie y debe tener una resistencia muy baja.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 2.1 Resistencias de 100, 200 y 300 Ω están en serie con 12 V. Halla la corriente y la tensión en la resistencia de 200 Ω.
Ver los pasos
- R_eq = 600 Ω; i = 12/600 = 0.02 A.
- v = 0.02 × 200.
Respuesta: i = 20 mA, v₂₀₀ = 4 V.
Ejemplo 2.2 Una fuente de 9 V alimenta un divisor con R₁ = 10 kΩ arriba y R₂ = 5 kΩ abajo. Halla v_out en R₂.
Ver los pasos
- v_out = 9 × 5/(10 + 5).
Respuesta: v_out = 3 V.
Ejemplo 2.3 Una corriente de 6 A se reparte entre 2 Ω y 4 Ω en paralelo. Halla cada corriente.
Ver los pasos
- i₂Ω = 6 × 4/(2 + 4) = 4 A.
- i₄Ω = 6 × 2/6 = 2 A; comprobación 4 + 2 = 6.
Respuesta: 4 A por 2 Ω y 2 A por 4 Ω.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Halla 6 Ω ∥ 3 Ω.
Ver la respuesta
18/9 = 2 Ω.
Tres resistencias de 30 Ω están en paralelo. Halla R_eq.
Ver la respuesta
10 Ω.
Halla R_eq de 10 Ω en serie con (20 Ω ∥ 20 Ω).
Ver la respuesta
10 + 10 = 20 Ω.
Tres corrientes entran en un nodo: 2 A, 3 A y −1 A. ¿Qué corriente sale?
Ver la respuesta
4 A.
Ideas erróneas comunes
Mito: La resistencia en paralelo es mayor que la resistencia más pequeña.
En realidad: Siempre es menor que la más pequeña.
Mito: Un divisor de tensión funciona con cualquier carga.
En realidad: Una carga en R₂ queda en paralelo con ella y reduce v_out salvo que su resistencia sea mucho mayor.
Mito: Un amperímetro se conecta en bornes del elemento.
En realidad: En bornes, un amperímetro de baja resistencia es casi un cortocircuito; va en serie.
Tarjetas de estudio
KCL
Las corrientes que salen de un nodo suman 0.
KVL
Las tensiones alrededor de un lazo suman 0.
Serie
Las R se suman; misma corriente.
Paralelo
Las G se suman; misma tensión.
Divisor de tensión
v₂ = vR₂/(R₁ + R₂).
Divisor de corriente
i₁ = iR₂/(R₁ + R₂).
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Los paneles solares son circuitos en serie y en paralelo. La Energy Information Administration de EE. UU. explica que una célula FV solo puede producir 1 o 2 vatios, así que las células se conectan eléctricamente en paneles estancos, los paneles se conectan en conjuntos de dos a cientos de paneles, y el número de paneles fija cuánta electricidad puede generar un conjunto. Las células producen corriente continua, y los inversores la convierten en la corriente alterna que se usa en la red.
La conexión en serie suma tensiones y la conexión en paralelo suma corrientes. Como ejemplo, células de 0.5 V y 3 A (1.5 W, dentro del rango de 1–2 W de la EIA) dan 30 V a 3 A, o 90 W, cuando se conectan 60 en serie. La LCK y la LTK también explican por qué una sola célula sombreada en una cadena en serie puede hundir toda la cadena, y por eso los paneles incluyen diodos de derivación.
En Saving Planets: Física II · Parker Solar Probe
Fuentes: U.S. EIA: Photovoltaics and electricity · OpenStax UP2, 10.2 Resistors in series and parallel
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 10.2 Resistors in series and parallel: Sección de libro de texto gratuita.
- OpenStax UP2, 10.3 Kirchhoff’s rules: LCK y LTK.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases de análisis básico de circuitos.
- PhET: Circuit Construction Kit: DC: Interactivo.
Unidad 3 · Semanas 4–5
Análisis sistemático: métodos de tensiones de nodo y de corrientes de malla
Elegir un nodo de referencia, escribir la LCK en términos de tensiones de nodo, supernodos, corrientes de malla y LTK, supermallas, circuitos con fuentes dependientes, y resolver los sistemas lineales resultantes a mano y con matrices.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Escribir y resolver ecuaciones de tensiones de nodo, incluidos supernodos.
- Escribir y resolver ecuaciones de corrientes de malla, incluidas supermallas.
- Tratar las fuentes dependientes en ambos métodos.
- Elegir el método que da menos ecuaciones.
Conceptos clave
- Método de tensiones de nodo: elige un nodo de tierra, nombra las demás tensiones de nodo, escribe la LCK en cada nodo que no sea de referencia usando la ley de Ohm (la corriente de a a b a través de R es (v_a − v_b)/R) y resuelve.
- Una fuente de tensión entre dos nodos que no son de referencia forma un supernodo: escribe una LCK para la región combinada más la ecuación de la fuente v_a − v_b = V_s.
- Método de corrientes de malla (circuitos planos): asigna una corriente en sentido horario a cada ventana y escribe la LTK en cada malla; una resistencia compartida lleva la diferencia de las dos corrientes de malla.
- Una fuente de corriente compartida por dos mallas forma una supermalla: una LTK alrededor del lazo combinado más la ecuación de la fuente.
- Un circuito de N nodos necesita N − 1 ecuaciones de nodo; un circuito con M mallas necesita M ecuaciones de malla. Elige el conjunto menor. Las ecuaciones forman Gv = i o Ri = v, un sistema lineal.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 3.1 Una fuente de 10 V alimenta el nodo 1 a través de 2 Ω. El nodo 1 tiene 4 Ω a tierra y 2 Ω al nodo 2; el nodo 2 tiene 4 Ω a tierra y una fuente de 1 A que entra en él. Halla v₁ y v₂.
Ver los pasos
- Nodo 1 (×4): 2(v₁ − 10) + v₁ + 2(v₁ − v₂) = 0, así que 5v₁ − 2v₂ = 20.
- Nodo 2 (×4): 2(v₂ − v₁) + v₂ − 4 = 0, así que −2v₁ + 3v₂ = 4.
- det = 15 − 4 = 11; v₁ = (60 + 8)/11, v₂ = (20 + 40)/11.
Respuesta: v₁ = 6.182 V, v₂ = 5.455 V.
Ejemplo 3.2 La malla 1 tiene una fuente de 10 V y 2 Ω; la malla 2 tiene 6 Ω; las mallas comparten 4 Ω. Halla las corrientes de malla y la corriente en la resistencia compartida.
Ver los pasos
- Malla 1: 6i₁ − 4i₂ = 10. Malla 2: −4i₁ + 10i₂ = 0.
- det = 60 − 16 = 44; i₁ = 100/44, i₂ = 40/44.
Respuesta: i₁ = 2.273 A, i₂ = 0.909 A; la resistencia compartida lleva 1.364 A.
Ejemplo 3.3 Una fuente de 5 V está entre los nodos a y b (v_a − v_b = 5). El nodo a tiene 1 Ω a tierra, el nodo b tiene 4 Ω a tierra y se inyectan 2 A en el supernodo. Halla v_a y v_b.
Ver los pasos
- LCK del supernodo: v_a/1 + v_b/4 = 2.
- Sustituye v_a = v_b + 5: v_b + 5 + v_b/4 = 2, así que 1.25v_b = −3.
Respuesta: v_b = −2.4 V, v_a = 2.6 V.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
¿Cuántas ecuaciones de nodo necesita un circuito con 5 nodos?
Ver la respuesta
4.
Un único nodo a tensión v se conecta mediante 2 Ω a 6 V y mediante 2 Ω a tierra. Halla v.
Ver la respuesta
(v − 6)/2 + v/2 = 0: v = 3 V.
Dos mallas comparten una resistencia de 3 Ω; i₁ = 2 A e i₂ = 0.5 A, ambas en sentido horario. Halla la corriente en la resistencia compartida.
Ver la respuesta
1.5 A en el sentido de i₁.
Escribe 5v₁ − 2v₂ = 20, −2v₁ + 3v₂ = 4 como Gv = i.
Ver la respuesta
G = [[5, −2], [−2, 3]], i = (20, 4).
Ideas erróneas comunes
Mito: La LCK también puede escribirse en el nodo de referencia.
En realidad: Da una ecuación dependiente; usa N − 1 nodos.
Mito: Las corrientes de malla son las corrientes de rama.
En realidad: Solo en las ramas exteriores; las ramas compartidas llevan diferencias.
Mito: La corriente de una fuente de tensión es cero porque no tiene resistencia.
En realidad: Su corriente la fija el resto del circuito; por eso se usan supernodos.
Tarjetas de estudio
Nodo de referencia
Tierra, v = 0.
Método de tensiones de nodo
LCK en N − 1 nodos.
Supernodo
Fuente de tensión entre dos nodos.
Método de corrientes de malla
LTK en cada ventana.
Supermalla
Fuente de corriente compartida por dos mallas.
Gv = i
Ecuaciones nodales en forma matricial.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
La red eléctrica es un enorme problema de análisis nodal. La EIA explica que la red de EE. UU. está formada por miles de millas de líneas de alta tensión y millones de millas de líneas de baja tensión que conectan miles de centrales con cientos de millones de clientes. A principios del siglo 20 funcionaban más de 4000 compañías aisladas; hoy los 48 estados contiguos operan como tres grandes interconexiones, Este, Oeste y ERCOT, enlazadas para ofrecer múltiples caminos al flujo de energía.
La EIA señala que la oferta debe igualar la demanda en todo momento y que las autoridades de balance las mantienen iguales. Los operadores de red lo hacen con modelos de flujo de potencia cuyas ecuaciones son la versión en CA del método de tensiones de nodo de esta unidad, resuelta para miles de barras, y el mismo análisis indica a los planificadores dónde hacen falta nuevas líneas para conectar la eólica y la solar lejos de las ciudades.
En Saving Planets: Álgebra lineal · Soluciones
Fuentes: U.S. EIA: Delivery to consumers (the electric power grid) · OpenStax UP2, 10.3 Kirchhoff’s rules
Recursos de aprendizaje gratuitos
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre el método de nodos y la superposición.
- OpenStax UP2, 10.3 Kirchhoff’s rules: Circuitos de varios lazos.
- PhET: Circuit Construction Kit: DC: Comprueba tus tensiones de nodo.
- Interactive Linear Algebra (Georgia Tech): Resolver los sistemas lineales.
Unidad 4 · Semana 6
Teoremas de circuitos: linealidad, superposición, transformación de fuentes, Thevenin, Norton y máxima transferencia de potencia
Linealidad y superposición, transformaciones de fuentes, circuitos equivalentes de Thevenin y Norton, cálculo de R_Th desactivando fuentes o con una fuente de prueba, y el teorema de máxima transferencia de potencia.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Usar la superposición para analizar circuitos con varias fuentes.
- Convertir entre fuentes de tensión y de corriente.
- Hallar equivalentes de Thevenin y Norton.
- Elegir una carga para máxima transferencia de potencia y calcular esa potencia.
Conceptos clave
- Linealidad: en un circuito de resistencias y fuentes, toda tensión y corriente es una combinación lineal de los valores de las fuentes. Superposición: halla la respuesta a cada fuente independiente sola (las demás fuentes de tensión en cortocircuito, las de corriente en abierto) y suma.
- Transformación de fuentes: una fuente de tensión V en serie con R equivale, en sus terminales, a una fuente de corriente V/R en paralelo con R.
- Teorema de Thevenin: cualquier red lineal de dos terminales se ve como una fuente V_Th en serie con R_Th. V_Th es la tensión en circuito abierto; R_Th es la resistencia vista con las fuentes independientes apagadas (o V_oc/i_sc).
- Teorema de Norton: la misma red es una fuente de corriente I_N = i_sc en paralelo con R_N = R_Th; V_Th = I_N R_Th.
- Máxima transferencia de potencia: una carga recibe la mayor potencia cuando R_L = R_Th, y entonces P_max = V_Th²/(4R_Th). El rendimiento en ese punto es solo del 50 %, así que los sistemas eléctricos se diseñan en cambio para R_L ≫ R_source.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 4.1 Una fuente de 12 V en serie con 4 Ω alimenta los terminales a–b, con 12 Ω entre a y b. Halla los equivalentes de Thevenin y Norton.
Ver los pasos
- V_Th = 12 × 12/(4 + 12) = 9 V (divisor).
- R_Th = 4 ∥ 12 = 48/16 = 3 Ω (fuente en cortocircuito).
- I_N = 9/3.
Respuesta: V_Th = 9 V, R_Th = 3 Ω; I_N = 3 A.
Ejemplo 4.2 Para ese circuito, halla la potencia en una carga de 6 Ω y la máxima potencia posible en la carga.
Ver los pasos
- i = 9/(3 + 6) = 1 A; P = 1² × 6 = 6 W.
- Máximo con R_L = 3 Ω: P_max = 9²/(4 × 3).
Respuesta: 6 W; P_max = 6.75 W con 3 Ω.
Ejemplo 4.3 Un nodo se conecta a una fuente de 10 V mediante 5 Ω, a tierra mediante 5 Ω, y recibe una fuente de corriente de 2 A. Halla la tensión del nodo por superposición.
Ver los pasos
- 10 V sola (2 A en abierto): el divisor da 5 V.
- 2 A sola (10 V en cortocircuito): 2 × (5 ∥ 5) = 5 V.
- Suma las dos.
Respuesta: v = 10 V. Comprobación por LCK: (10 − 10)/5 + 2 = 10/5.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Convierte una fuente de 6 V en serie con 2 Ω a forma de Norton.
Ver la respuesta
3 A en paralelo con 2 Ω.
Una red tiene v_oc = 15 V e i_sc = 5 A. Halla R_Th.
Ver la respuesta
3 Ω.
¿Qué carga recibe la máxima potencia de V_Th = 20 V, R_Th = 5 Ω, y cuánta?
Ver la respuesta
R_L = 5 Ω, P = 400/20 = 20 W.
¿Puede la superposición sumar potencias?
Ver la respuesta
No: la potencia no es lineal; suma tensiones o corrientes y luego calcula la potencia.
Ideas erróneas comunes
Mito: Apagar una fuente de tensión significa quitarla.
En realidad: Sustitúyela por un cortocircuito; una fuente de corriente pasa a ser un circuito abierto.
Mito: Máxima transferencia de potencia significa máximo rendimiento.
En realidad: Con R_L = R_Th, la mitad de la potencia se pierde en R_Th.
Mito: Las fuentes dependientes se apagan para hallar R_Th.
En realidad: Mantén las fuentes dependientes; usa una fuente de prueba para hallar R_Th.
Tarjetas de estudio
Superposición
Suma las respuestas a cada fuente sola.
Transformación de fuentes
V en serie con R ↔ V/R en paralelo con R.
Thevenin
V_Th en serie con R_Th.
Norton
I_N en paralelo con R_N.
R_Th
v_oc/i_sc.
Potencia máxima
V_Th²/(4R_Th) con R_L = R_Th.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Las células solares se comportan como fuentes cuyo punto de trabajo tipo Thevenin cambia con la luz solar y la temperatura, así que su electrónica busca constantemente la carga que extrae más potencia. La parte de la luz solar que convierten en electricidad ha mejorado de forma constante: la EIA informa que los paneles FV comerciales tenían de media menos del 10 % de eficiencia a mediados de los años 1980, alrededor del 15 % en 2015, y hoy se acercan al 25 % en los módulos más avanzados, mientras que células experimentales y espaciales han llegado casi al 50 %.
La EIA informa también que las plantas FV a gran escala de EE. UU. generaron unos 292 mil millones de kWh en 2025, frente a 6 millones de kWh en 2004, y los pequeños sistemas en tejado unos 93 mil millones de kWh. Ajustar cada cadena de paneles a su mejor punto de trabajo, la idea detrás de la máxima transferencia de potencia, es parte de cómo se exprimen esos kilovatios hora de cada metro cuadrado.
En Saving Planets: Física II · Espacio
Fuentes: U.S. EIA: Photovoltaics and electricity · MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007)
Recursos de aprendizaje gratuitos
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre los equivalentes de Thevenin y Norton.
- OpenStax UP2, 10.1 Electromotive force: Resistencia interna y tensión en bornes.
- PhET: Circuit Construction Kit: DC: Mide v_oc e i_sc.
- OpenStax UP2, 10.2 Resistors in series and parallel: Resistencia equivalente.
Unidad 5 · Semana 7
Amplificadores operacionales
El amplificador operacional ideal y sus dos reglas, amplificadores inversor y no inversor, seguidores de tensión, amplificadores sumador y diferencial, saturación, etapas en cascada y amplificadores operacionales en sensores y medida.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Aplicar las reglas del amplificador operacional ideal con realimentación negativa.
- Analizar circuitos inversor, no inversor, seguidor, sumador y diferencial.
- Reconocer la saturación y sus límites.
- Diseñar un amplificador sencillo para la señal de un sensor.
Conceptos clave
- Un amplificador operacional amplifica la diferencia entre sus entradas con una ganancia muy grande. Con realimentación negativa, las reglas ideales son: no entra corriente en ninguna entrada, y las dos tensiones de entrada son iguales (v₊ = v₋).
- Amplificador inversor: v_o = −(R_f/R_in)v_in. Amplificador no inversor: v_o = (1 + R_f/R_g)v_in. Seguidor de tensión (buffer): v_o = v_in casi sin tomar corriente de la fuente.
- Amplificador sumador: v_o = −R_f(v₁/R₁ + v₂/R₂ + …). Amplificador diferencial con relaciones iguales: v_o = (R₂/R₁)(v₂ − v₁).
- La salida no puede superar las tensiones de alimentación; más allá, el amplificador se satura y las reglas lineales dejan de valer.
- Las etapas en cascada multiplican sus ganancias y, como la salida de un amplificador operacional actúa como una fuente de tensión ideal, una etapa no queda cargada por la siguiente.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 5.1 Un amplificador inversor tiene R_in = 10 kΩ y R_f = 100 kΩ. Halla la ganancia y v_o para v_in = 0.2 V.
Ver los pasos
- Ganancia = −100/10 = −10.
- v_o = −10 × 0.2.
Respuesta: Ganancia −10, v_o = −2 V.
Ejemplo 5.2 Diseña un amplificador no inversor con ganancia 10 usando R_g = 1 kΩ.
Ver los pasos
- 1 + R_f/R_g = 10, así que R_f/R_g = 9.
Respuesta: R_f = 9 kΩ.
Ejemplo 5.3 Un amplificador sumador tiene R_f = R₁ = R₂ = 10 kΩ, v₁ = 1 V y v₂ = 2 V. Halla v_o. ¿Y si la alimentación es de ±12 V y se sube la ganancia para que la respuesta ideal sea −15 V?
Ver los pasos
- v_o = −10k(1/10k + 2/10k) = −3 V.
- La salida no puede bajar de la alimentación de −12 V.
Respuesta: v_o = −3 V; con la ganancia mayor se satura cerca de −12 V.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Halla la ganancia de un amplificador inversor con R_f = 47 kΩ y R_in = 4.7 kΩ.
Ver la respuesta
−10.
Un seguidor de tensión tiene v_in = 1.5 V. Halla v_o.
Ver la respuesta
1.5 V.
Dos etapas con ganancias −10 y 5 están en cascada. Halla la ganancia total.
Ver la respuesta
−50.
Un amplificador diferencial con R₂/R₁ = 4 tiene v₂ = 1.2 V y v₁ = 1.0 V. Halla v_o.
Ver la respuesta
4 × 0.2 = 0.8 V.
Ideas erróneas comunes
Mito: Las entradas del amplificador operacional toman la corriente del circuito.
En realidad: Idealmente no entra corriente en las entradas; circula por R_f.
Mito: v₊ = v₋ siempre.
En realidad: Solo con realimentación negativa y sin saturación.
Mito: La ganancia puede ser tan grande como quieras.
En realidad: La salida está limitada por la alimentación y el ancho de banda real del amplificador.
Tarjetas de estudio
Amplificador operacional ideal
v₊ = v₋, sin corriente de entrada.
Inversor
−R_f/R_in.
No inversor
1 + R_f/R_g.
Seguidor
Buffer de ganancia 1.
Sumador
−R_f Σ v_k/R_k.
Saturación
Salida limitada por la alimentación.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Una red más inteligente empieza por medir, y medir señales pequeñas es el trabajo del amplificador operacional. La EIA explica que la red inteligente combina la tecnología digital con el sistema eléctrico tradicional para que las compañías y los clientes puedan enviar y recibir información, lo que ayuda a las compañías a reducir pérdidas de electricidad y a detectar y resolver problemas más rápido, y que los dispositivos inteligentes en las líneas y subestaciones permiten gestionar la tensión de forma más eficiente y localizar rápidamente un apagón.
Cada contador inteligente y sensor de línea amplifica la diminuta señal de un sensor de corriente o de un divisor de tensión hasta un rango que un convertidor digital pueda leer, usando exactamente los amplificadores inversor, no inversor y diferencial de esta unidad. La EIA añade que los dispositivos inteligentes pueden avisar a los clientes cuando los precios son altos para que desplacen su consumo fuera de los momentos de demanda muy alta.
En Saving Planets: Introducción a la programación · Soluciones
Fuentes: U.S. EIA: Delivery to consumers (the electric power grid) · MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007)
Recursos de aprendizaje gratuitos
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre la abstracción del amplificador operacional.
- PhET: Circuit Construction Kit: DC: Redes de resistencias para fijar la ganancia.
- OpenStax UP2, 10.2 Resistors in series and parallel: Divisores usados en la realimentación.
- OpenStax UP2, 9.4 Ohm’s law: Repaso.
Unidad 6 · Semana 8
Condensadores e inductores
Capacitancia e inductancia, sus relaciones corriente–tensión, energía almacenada, continuidad de la tensión del condensador y de la corriente del inductor, combinaciones en serie y en paralelo, comportamiento en régimen permanente de CC, e integradores y derivadores con amplificador operacional.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Usar i = C dv/dt y v = L di/dt.
- Calcular la energía almacenada en condensadores e inductores.
- Combinar condensadores e inductores en serie y en paralelo.
- Hallar tensiones y corrientes en régimen permanente de CC en circuitos con C y L.
Conceptos clave
- Un condensador almacena energía en un campo eléctrico: q = Cv, i = C dv/dt, w = ½Cv². Su tensión no puede saltar instantáneamente; en régimen permanente de CC actúa como un circuito abierto.
- Un inductor almacena energía en un campo magnético: v = L di/dt, w = ½Li². Su corriente no puede saltar instantáneamente; en régimen permanente de CC actúa como un cortocircuito.
- Los condensadores en paralelo se suman; en serie se combinan como resistencias en paralelo. Los inductores se combinan como resistencias: en serie se suman, en paralelo se combinan los inversos.
- Un amplificador operacional con un condensador como realimentación integra: v_o = −(1/RC)∫v_in dt. Intercambiar R y C da un derivador.
- Los condensadores e inductores ideales almacenan y devuelven energía sin pérdidas; los reales tienen una pequeña resistencia y fugas.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 6.1 La tensión de un condensador de 10 µF sube a 2 V/ms. Halla su corriente.
Ver los pasos
- dv/dt = 2000 V/s.
- i = 10 × 10⁻⁶ × 2000.
Respuesta: i = 20 mA.
Ejemplo 6.2 Halla la energía en un condensador de 1000 µF a 3 V y en un inductor de 0.2 H por el que circulan 3 A.
Ver los pasos
- w_C = ½ × 10⁻³ × 3² = 4.5 × 10⁻³ J.
- w_L = ½ × 0.2 × 3².
Respuesta: 4.5 mJ y 0.9 J.
Ejemplo 6.3 Una fuente de CC de 12 V alimenta 2 Ω en serie con un inductor, con una resistencia de 4 Ω en paralelo con un condensador en la salida (régimen permanente). Halla la corriente del inductor y la tensión del condensador.
Ver los pasos
- En CC el inductor es un cortocircuito y el condensador un circuito abierto.
- i = 12/(2 + 4) = 2 A; v_C = 2 × 4.
Respuesta: i_L = 2 A, v_C = 8 V.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Halla 6 µF y 3 µF en serie.
Ver la respuesta
2 µF.
La corriente de un inductor de 50 mH cambia a 100 A/s. Halla su tensión.
Ver la respuesta
5 V.
Halla 4 mH y 6 mH en serie.
Ver la respuesta
10 mH.
¿Cuánta carga almacena un condensador de 100 µF a 9 V?
Ver la respuesta
q = 0.9 mC.
Ideas erróneas comunes
Mito: Un condensador deja pasar la CC.
En realidad: En régimen permanente de CC bloquea la corriente (circuito abierto).
Mito: La corriente de un inductor puede cambiar instantáneamente.
En realidad: Haría falta una tensión infinita; la corriente es continua.
Mito: Los condensadores se combinan como las resistencias.
En realidad: Se combinan al revés: en paralelo se suman.
Tarjetas de estudio
Condensador
i = C dv/dt.
Inductor
v = L di/dt.
Energía del condensador
½Cv².
Energía del inductor
½Li².
Régimen permanente de CC
C abierto, L en cortocircuito.
Integrador
v_o = −(1/RC)∫v_in dt.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Almacenar energía es lo que permite usar la energía solar y eólica tras la puesta del sol o cuando amaina el viento. La EIA informó en agosto de 2026 que la capacidad de almacenamiento en baterías a gran escala de EE. UU. creció de media un 70 % anual en los últimos tres años, hasta 43.6 GW a finales de 2025, y que los operadores añadieron otros 8.3 GW en el primer semestre de 2026, hasta casi 52 GW, con unos 54 GW más previstos en los próximos dos años y medio.
La EIA señala que las plantas solares albergan las mayores unidades de baterías y que la combinación solar más almacenamiento permite guardar la energía cuando los precios son bajos y descargarla cuando son altos. Las baterías almacenan la energía químicamente, pero los condensadores e inductores de esta unidad están en cada inversor y cargador de baterías, suavizando corrientes y almacenando energía durante microsegundos mientras la potencia se convierte entre CC y CA.
En Saving Planets: Física II · Soluciones
Fuentes: U.S. EIA: Battery storage capacity averaged 70% growth over the last three years (Aug. 7, 2026) · OpenStax UP2, 8.1 Capacitors and capacitance
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 8.1 Capacitors and capacitance: Sección de libro de texto gratuita.
- OpenStax UP2, 14.2 Self-inductance and inductors: Inductancia.
- PhET: Capacitor Lab: Basics: Interactivo.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre condensadores y sistemas de primer orden.
Unidad 7 · Semanas 9–10
Circuitos de primer orden: transitorios RC y RL
Respuestas natural y al escalón de circuitos RC y RL, la constante de tiempo, la solución general x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]e^(−t/τ), problemas de conmutación y energía en la conmutación digital.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Hallar valores iniciales y finales en una conmutación.
- Calcular constantes de tiempo τ = RC y τ = L/R.
- Escribir y usar la solución general de primer orden.
- Estimar la energía y la potencia de conmutación en circuitos digitales.
Conceptos clave
- Un circuito con un condensador o un inductor (más resistencias y fuentes de CC) obedece una ecuación diferencial de primer orden. Su respuesta pasa exponencialmente de un valor inicial a un valor final.
- Constante de tiempo: τ = R_Th C en un circuito RC y τ = L/R_Th en un circuito RL, donde R_Th es la resistencia que ve el C o el L.
- Solución general: x(t) = x(∞) + [x(0⁺) − x(∞)] e^(−t/τ). Tras una τ el cambio se ha completado en un 63.2 %; tras 5τ, en un 99.3 %.
- Usa la continuidad: v_C(0⁺) = v_C(0⁻) e i_L(0⁺) = i_L(0⁻). Halla x(∞) a partir del régimen permanente de CC (C abierto, L en cortocircuito).
- Cargar una capacitancia C hasta V a través de una resistencia toma CV² de la fuente: ½CV² se almacena y ½CV² se pierde como calor. Los chips digitales cargan capacitancias diminutas miles de millones de veces por segundo, así que su potencia dinámica es aproximadamente P = αCV²f.
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 7.1 Un condensador de 1000 µF se carga a través de 10 kΩ desde una fuente de 3 V, partiendo de 0 V. Halla τ, v_C en t = τ y el tiempo para llegar al 99.3 % de 3 V.
Ver los pasos
- τ = 10⁴ × 10⁻³ = 10 s.
- v_C(τ) = 3(1 − e⁻¹) = 3 × 0.632.
- El 99.3 % requiere 5τ.
Respuesta: τ = 10 s, v_C(τ) = 1.90 V, unos 50 s.
Ejemplo 7.2 Un inductor de 0.5 H en serie con 10 Ω se conecta a 20 V en t = 0. Halla τ, la corriente final e i(0.1 s).
Ver los pasos
- τ = 0.5/10 = 0.05 s; i(∞) = 20/10 = 2 A.
- i(0.1) = 2(1 − e^(−0.1/0.05)) = 2(1 − e⁻²).
Respuesta: τ = 50 ms, i(∞) = 2 A, i(0.1 s) = 1.73 A.
Ejemplo 7.3 Un condensador cargado se descarga a través de una resistencia con τ = 10 s. ¿Cuándo llega su tensión a la mitad del valor inicial?
Ver los pasos
- V₀e^(−t/τ) = V₀/2 da t = τ ln 2.
Respuesta: t = 6.93 s.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Halla τ para 2 kΩ y 50 µF.
Ver la respuesta
0.1 s.
Tras 3τ, ¿qué fracción del cambio se ha completado?
Ver la respuesta
1 − e⁻³ = 95.0%.
Halla τ para 20 mH y 4 Ω.
Ver la respuesta
5 ms.
Chip de ejemplo: C conmutada efectiva = 1 nF, V = 1 V, f = 1 GHz, α = 1. Halla P, y P a 0.8 V.
Ver la respuesta
1 W; 0.64 W, un 36 % menos.
Ideas erróneas comunes
Mito: La tensión del condensador salta al cerrarse el interruptor.
En realidad: La tensión del condensador es continua; su corriente puede saltar.
Mito: La respuesta termina tras una constante de tiempo.
En realidad: Una τ es el 63.2 %; usa unas 5τ para «terminado».
Mito: τ usa solo la resistencia de la fuente.
En realidad: Usa la resistencia de Thevenin que ve el condensador o el inductor.
Tarjetas de estudio
Constante de tiempo RC
τ = RC.
Constante de tiempo RL
τ = L/R.
Solución general
x(∞) + [x(0) − x(∞)]e^(−t/τ).
One τ
El 63.2 % del cambio.
Cinco τ
99.3%.
Potencia de conmutación
P ≈ αCV²f.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Cada bit que cambia un ordenador carga y descarga una capacitancia diminuta a través de una resistencia, y por eso la computación usa tanta electricidad. Un informe del Berkeley Lab para el Departamento de Energía de EE. UU. halló que los centros de datos consumieron alrededor del 4.4 % de la electricidad total de EE. UU. en 2023, que su consumo subió de 58 TWh en 2014 a 176 TWh en 2023, y que se espera que usen de 325 a 580 TWh, o del 6.7 % al 12 % de la electricidad del país, para 2028, con un crecimiento impulsado en gran parte por los servidores de SI.
La fórmula de potencia de conmutación de esta unidad muestra la principal palanca de los diseñadores de chips: la potencia crece con el cuadrado de la tensión de alimentación, así que una tensión un 20 % menor reduce la potencia dinámica un 36 % (ejemplo). El investigador principal del informe dice que saber qué impulsa el crecimiento ayuda a identificar oportunidades de eficiencia.
En Saving Planets: Introducción a la programación · Ecuaciones diferenciales
Fuentes: Berkeley Lab: Report evaluates increase in electricity demand from data centers (Jan. 2025) · OpenStax UP2, 10.5 RC circuits
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 10.5 RC circuits: Sección de libro de texto gratuita.
- OpenStax UP2, 14.4 RL circuits: Transitorios en inductores.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre transitorios de primer orden y la energía en circuitos digitales.
- PhET: Circuit Construction Kit: AC: Observa cómo se cargan los condensadores.
Unidad 8 · Semana 11
Circuitos de segundo orden: respuestas natural y al escalón de circuitos RLC
Circuitos RLC en serie y en paralelo, la ecuación característica, la frecuencia neperiana α y la frecuencia de resonancia ω₀, respuestas sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortiguada, factor de calidad e intercambio de energía LC.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Escribir la ecuación de segundo orden de circuitos RLC en serie y en paralelo.
- Calcular α, ω₀ y ω_d y clasificar el amortiguamiento.
- Hallar la forma de la respuesta y sus constantes a partir de las condiciones iniciales.
- Relacionar Q con las oscilaciones y la pérdida de energía.
Conceptos clave
- Un circuito con un inductor y un condensador obedece una ecuación de segundo orden. Para un RLC en serie: α = R/(2L), ω₀ = 1/√(LC). Para un RLC en paralelo: α = 1/(2RC), mismo ω₀.
- Raíces s = −α ± √(α² − ω₀²). Sobreamortiguado (α > ω₀): dos raíces reales, sin oscilación. Críticamente amortiguado (α = ω₀): retorno más rápido sin sobreimpulso. Subamortiguado (α < ω₀): oscilación amortiguada a ω_d = √(ω₀² − α²).
- Un circuito LC ideal (R = 0) intercambia energía entre el campo eléctrico del condensador y el campo magnético del inductor indefinidamente a ω₀.
- Factor de calidad de un RLC en serie: Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C). Un Q alto significa resonancia aguda y oscilaciones largas.
- Resistencia crítica de un RLC en serie: R = 2√(L/C).
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 8.1 Un RLC en serie tiene R = 10 Ω, L = 10 mH y C = 10 µF. Halla ω₀, f₀, α y el tipo de amortiguamiento.
Ver los pasos
- ω₀ = 1/√(10⁻² × 10⁻⁵) = 1/√10⁻⁷ = 3162 rad/s; f₀ = ω₀/2π.
- α = 10/(2 × 0.01) = 500 s⁻¹ < ω₀.
Respuesta: ω₀ = 3162 rad/s, f₀ = 503.3 Hz, α = 500 s⁻¹: subamortiguado.
Ejemplo 8.2 Para el mismo circuito halla ω_d y Q.
Ver los pasos
- ω_d = √(3162² − 500²) = √(10⁷ − 2.5 × 10⁵).
- Q = 3162 × 0.01/10.
Respuesta: ω_d = 3122.5 rad/s, Q = 3.16.
Ejemplo 8.3 ¿Qué resistencia haría ese circuito críticamente amortiguado?
Ver los pasos
- R = 2√(L/C) = 2√(0.01/10⁻⁵) = 2√1000.
Respuesta: R = 63.2 Ω.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Un RLC en serie tiene α = 200 s⁻¹ y ω₀ = 100 rad/s. Clasifícalo.
Ver la respuesta
Sobreamortiguado.
Halla ω₀ para L = 1 mH, C = 1 µF.
Ver la respuesta
31623 rad/s (5.03 kHz).
Un RLC en paralelo tiene R = 1 kΩ y C = 1 µF. Halla α.
Ver la respuesta
1/(2 × 10³ × 10⁻⁶) = 500 s⁻¹.
Duplicar R en un RLC en serie cambia Q en un factor…
Ver la respuesta
Un factor ½.
Ideas erróneas comunes
Mito: α tiene la misma fórmula para RLC en serie y en paralelo.
En realidad: Serie α = R/2L; paralelo α = 1/(2RC).
Mito: Críticamente amortiguado significa que oscila.
En realidad: Es la frontera: sin oscilación, asentamiento más rápido.
Mito: ω_d es igual a ω₀.
En realidad: ω_d es menor siempre que hay amortiguamiento.
Tarjetas de estudio
Frecuencia neperiana
α = R/2L (serie).
Frecuencia de resonancia
ω₀ = 1/√(LC).
Sobreamortiguado
α > ω₀.
Subamortiguado
α < ω₀, oscila a ω_d.
R crítica
2√(L/C) (serie).
Q
ω₀L/R.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Los circuitos resonantes permiten que los vehículos eléctricos se carguen sin cable. El Alternative Fuels Data Center del Departamento de Energía de EE. UU. explica que la carga inductiva usa un campo electromagnético para transferir electricidad a un VE, que algunas estaciones inalámbricas ya funcionan con potencias comparables al nivel 2, que es más común en transporte público y flotas a mayor potencia, y que el DOE investiga la carga inalámbrica de alta potencia.
Los cargadores inalámbricos sintonizan una bobina (L) y un condensador (C) en cada lado a la misma ω₀ = 1/√(LC) para que la energía se intercambie eficientemente a través del entrehierro, y un Q alto mantiene bajas las pérdidas. Esa es la idea de circuito detrás de los cargadores inalámbricos para transporte público y flotas que describe el AFDC.
En Saving Planets: Física II · Ecuaciones diferenciales
Fuentes: U.S. DOE Alternative Fuels Data Center: Electric vehicle charging stations · OpenStax UP2, 14.6 RLC series circuits
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 14.5 Oscillations in an LC circuit: Sección de libro de texto gratuita.
- OpenStax UP2, 14.6 RLC series circuits: Oscilaciones amortiguadas.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre sistemas de segundo orden.
- PhET: Circuit Construction Kit: AC: Construye un circuito LC.
Unidad 9 · Semanas 12–13
Régimen sinusoidal permanente: fasores e impedancia
Sinusoides, amplitud, frecuencia, fase y valores eficaces, números complejos, fasores, impedancia y admitancia de R, L y C, análisis de circuitos de CA con la ley de Ohm, LCK, LTK, métodos nodal y de Thevenin en forma fasorial, y fundamentos de la respuesta en frecuencia.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Convertir entre sinusoides en el dominio del tiempo y fasores.
- Calcular las impedancias de R, L y C a una frecuencia dada.
- Analizar circuitos de CA con versiones fasoriales de los métodos de CC.
- Describir cómo cambia la impedancia con la frecuencia en filtros sencillos.
Conceptos clave
- Una sinusoide v(t) = V_m cos(ωt + φ) tiene amplitud V_m, frecuencia angular ω = 2πf y fase φ. Su valor eficaz es V_m/√2; los 120 V domésticos de EE. UU. son un valor eficaz a 60 Hz, con un pico de unos 170 V.
- Un fasor es el número complejo V = V_m∠φ que lleva la amplitud y la fase. En régimen sinusoidal permanente, d/dt se convierte en multiplicar por jω.
- Impedancia Z = V/I: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC) = −j/(ωC). Los inductores parecen cortocircuitos a baja frecuencia y circuitos abiertos a alta frecuencia; los condensadores hacen lo contrario.
- Todas las herramientas de CC (serie/paralelo, divisores, análisis nodal y de mallas, Thevenin y Norton) funcionan con impedancias y aritmética compleja.
- Un filtro pasabajos RC deja pasar las frecuencias bajas y atenúa las altas; su frecuencia de corte (de media potencia) es ω_c = 1/(RC).
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 9.1 Expresa v(t) = 170 cos(377t) V como fasor y halla su valor eficaz y su frecuencia.
Ver los pasos
- V = 170∠0° V (pico).
- V_rms = 170/√2; f = 377/(2π).
Respuesta: V_rms = 120.2 V a f = 60.0 Hz.
Ejemplo 9.2 A 60 Hz halla la impedancia de un inductor de 0.1 H y de un condensador de 100 µF.
Ver los pasos
- ω = 2π × 60 = 377.0 rad/s.
- Z_L = j × 377.0 × 0.1; Z_C = −j/(377.0 × 10⁻⁴).
Respuesta: Z_L = j37.70 Ω, Z_C = −j26.53 Ω.
Ejemplo 9.3 Una fuente de 120 V (eficaces) y 60 Hz alimenta 30 Ω en serie con 0.1 H. Halla la corriente y su fase.
Ver los pasos
- Z = 30 + j37.70 Ω; |Z| = √(30² + 37.70²) = 48.18 Ω, ∠51.49°.
- I = 120/48.18 a −51.49°.
Respuesta: I = 2.491 A eficaces, retrasada 51.49° respecto a la tensión.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Halla el valor eficaz de una sinusoide de 10 V de pico.
Ver la respuesta
7.071 V.
Halla la impedancia de 1 µF a ω = 1000 rad/s.
Ver la respuesta
−j1000 Ω.
Halla la frecuencia de corte de un filtro RC con R = 1 kΩ y C = 1 µF.
Ver la respuesta
ω_c = 1000 rad/s (159.2 Hz).
Convierte 3 + j4 a forma polar.
Ver la respuesta
5∠53.13°.
Ideas erróneas comunes
Mito: 120 V de CA significa 120 V de pico.
En realidad: Es el valor eficaz; el pico es de unos 170 V.
Mito: Las impedancias se suman como magnitudes.
En realidad: Suma números complejos: 30 + j40 tiene magnitud 50, no 70.
Mito: Los fasores sirven para cualquier forma de onda.
En realidad: Se aplican al régimen sinusoidal permanente a una sola frecuencia.
Tarjetas de estudio
Fasor
V_m∠φ.
RMS
V_m/√2.
Z_L
jωL.
Z_C
1/(jωC).
Ley de Ohm fasorial
V = IZ.
Corte RC
ω_c = 1/RC.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
Cargar un VE en casa es un problema de circuitos de CA. El Alternative Fuels Data Center explica que la carga de CA de nivel 1 usa un enchufe de 120 V, supone unos 1.9 kW y añade unas 5 millas de autonomía por hora, de modo que 8 horas pueden reponer unas 40 millas en un VE mediano. El nivel 2 de CA usa 240 V (hogares) o 208 V (comercial); la mayoría de los cargadores residenciales de nivel 2 funcionan hasta 30 A, entregan 7.2 kW y unas 25 millas de autonomía por hora, y necesitan un circuito dedicado de 40 A según el artículo 625 del National Electrical Code.
Son valores eficaces: 1.9 kW a 120 V son unos 15.8 A, y 7.2 kW a 240 V son 30 A. El AFDC añade que en 2023 casi el 80 % de los puntos de carga públicos eran de nivel 2, y que los equipos de nivel 2 van de 2.9 a 19.2 kW. La mayoría de los propietarios de VE hacen casi toda su carga en casa.
En Saving Planets: Física II · Soluciones
Fuentes: U.S. DOE Alternative Fuels Data Center: Electric vehicle charging stations · OpenStax UP2, 15.2 Simple AC circuits
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 15.2 Simple AC circuits: Sección de libro de texto gratuita.
- OpenStax UP2, 15.3 RLC series circuits with AC: Impedancia y fase.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Clases sobre régimen sinusoidal permanente e impedancia.
- PhET: Circuit Construction Kit: AC: Interactivo.
Unidad 10 · Semana 14
Potencia en CA, factor de potencia, resonancia, transformadores y sistemas trifásicos
Potencia instantánea y media, potencias activa, reactiva y aparente, el triángulo de potencias, el factor de potencia y su corrección, resonancia en serie y ancho de banda, transformadores ideales, sistemas trifásicos equilibrados y por qué la red transmite en alta tensión.
Objetivos de aprendizaje
Al terminar esta unidad podrás:
- Calcular las potencias activa, reactiva y aparente y el factor de potencia.
- Dimensionar un condensador para corregir el factor de potencia.
- Analizar transformadores ideales y cargas trifásicas equilibradas.
- Explicar las pérdidas de transmisión con I²R.
Conceptos clave
- Potencia media (activa) P = V_rms I_rms cos θ en vatios, donde θ es el ángulo entre tensión y corriente. Potencia reactiva Q = V_rms I_rms sin θ en VAR. Potencia aparente S = V_rms I_rms en VA, y S² = P² + Q².
- Factor de potencia fp = cos θ = P/S. Los motores son inductivos (fp en retraso). Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva localmente, lo que eleva el fp y reduce la corriente que debe entregar la compañía eléctrica: C = Q/(ωV²) para corrección completa.
- En la resonancia en serie ω₀ = 1/√(LC) las reactancias se anulan, la impedancia es solo R y la corriente es máxima; el ancho de banda es ω₀/Q.
- Un transformador ideal con relación de vueltas N₁:N₂ tiene V₂/V₁ = N₂/N₁ e I₂/I₁ = N₁/N₂, así que la potencia de entrada es igual a la de salida.
- Trifásico equilibrado: tres sinusoides desfasadas 120°. Potencia total P = √3 V_L I_L cos θ, constante en el tiempo. Las pérdidas en la línea son I²R, así que subir la tensión k veces para la misma potencia reduce la corriente k veces y las pérdidas k².
Ecuaciones clave
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 10.1 Un motor consume 20 A eficaces de 240 V eficaces con un factor de potencia de 0.8 en retraso. Halla S, P y Q.
Ver los pasos
- S = 240 × 20 = 4800 VA.
- P = 4800 × 0.8; sin θ = 0.6, así que Q = 4800 × 0.6.
Respuesta: S = 4.8 kVA, P = 3.84 kW, Q = 2.88 kVAR.
Ejemplo 10.2 ¿Qué condensador en paralelo corregiría ese motor a factor de potencia unitario a 60 Hz?
Ver los pasos
- El condensador debe aportar Q = 2880 VAR.
- C = Q/(ωV²) = 2880/(377.0 × 240²).
Respuesta: C = 132.6 µF; la corriente de línea baja de 20 A a 16 A.
Ejemplo 10.3 Una línea con 5 Ω de resistencia entrega 10 MW. Compara la pérdida I²R a 100 kV y a 20 kV (factor de potencia unitario, ejemplo monofásico).
Ver los pasos
- A 100 kV: I = 10⁷/10⁵ = 100 A, pérdida = 100² × 5 = 50 kW (0.5 %).
- A 20 kV: I = 500 A, pérdida = 500² × 5 = 1.25 MW (12.5 %).
Respuesta: 5 veces más tensión reduce las pérdidas 25 veces.
Problemas de práctica
Resuelve cada uno primero en papel y luego comprueba.
Una carga tiene P = 6 kW y Q = 8 kVAR. Halla S y fp.
Ver la respuesta
S = 10 kVA, pf = 0.6.
Un transformador reduce 7200 V a 240 V. Halla N₁:N₂.
Ver la respuesta
30:1.
Halla la potencia de una carga trifásica equilibrada de 480 V que consume 100 A con fp 0.9.
Ver la respuesta
√3 × 480 × 100 × 0.9 = 74.8 kW.
Un RLC en serie tiene ω₀ = 1000 rad/s y Q = 20. Halla el ancho de banda.
Ver la respuesta
50 rad/s.
Ideas erróneas comunes
Mito: La potencia reactiva no realiza trabajo, así que no importa.
En realidad: Aun así eleva la corriente, y la corriente causa pérdidas I²R en cables y transformadores.
Mito: Un transformador funciona con CC.
En realidad: Necesita un flujo variable; la CC no lo produce.
Mito: La potencia trifásica es tres veces la monofásica con la tensión de línea.
En realidad: P = √3 V_L I_L cos θ.
Tarjetas de estudio
Potencia activa
P = VI cos θ (W).
Potencia reactiva
Q = VI sin θ (VAR).
Potencia aparente
S = VI (VA).
Factor de potencia
P/S.
Transformador
V₂/V₁ = N₂/N₁.
Trifásica
P = √3 V_L I_L cos θ.
Cuestionario de autoevaluación
Cómo ayuda esto a salvar el planeta
La red transporta la energía en alta tensión para reducir las pérdidas I²R. La EIA explica que las líneas de transmisión de alta tensión llevan la electricidad a largas distancias porque una tensión mayor hace la transmisión a larga distancia más eficiente y más barata, que las líneas de distribución de menor tensión la entregan a los clientes, y que los transformadores de las subestaciones suben y bajan la tensión entre etapas. La EIA estima que las pérdidas de transmisión y distribución promediaron alrededor del 5 % de la electricidad transmitida y distribuida en Estados Unidos entre 2018 y 2022.
El ejemplo resuelto muestra la física: cinco veces más tensión reduce las pérdidas veinticinco veces. La corrección del factor de potencia, los transformadores eficientes y las nuevas líneas de larga distancia para llegar a los recursos eólicos y solares, que la EIA cita entre los retos de la red, van recortando ese 5 %. El AFDC señala que las tensiones trifásicas habituales en EE. UU. son 208/120 V y 480/277 V, comunes en instalaciones comerciales e industriales, y que los cargadores rápidos de CC suelen tomar una entrada de CA trifásica.
En Saving Planets: Soluciones · Física II
Fuentes: U.S. EIA: Delivery to consumers (the electric power grid) · U.S. EIA: How much electricity is lost in transmission and distribution? · OpenStax UP2, 15.6 Transformers
Recursos de aprendizaje gratuitos
- OpenStax UP2, 15.4 Power in an AC circuit: Sección de libro de texto gratuita.
- OpenStax UP2, 15.5 Resonance in an AC circuit: Resonancia y ancho de banda.
- OpenStax UP2, 15.6 Transformers: Transformadores y transmisión.
- PhET: Faraday’s Law: La inducción detrás de los transformadores.
El laboratorio (Circuits lab)
El laboratorio es la parte práctica del curso. Aquí es gratuito y solo para practicar, sin créditos.
Todas las prácticas pueden hacerse en una simulación gratuita de PhET o con un portapilas de 3 V. Nunca trabajes en el cableado doméstico ni en los enchufes de pared: la tensión de red puede matar. No cortocircuites una pila y coloca los condensadores electrolíticos con la polaridad correcta.
Referencia de seguridad: OpenStax University Physics Volume 2, 10.6 Household wiring and electrical safety
Práctica A: ley de Ohm y el multímetro
Semana 2
Objetivo: Medir correctamente tensión, corriente y resistencia, mostrar que la corriente es proporcional a la tensión en una resistencia y hallar R a partir de la pendiente.
Procedimiento
- Abre PhET Ohm’s Law y Circuit Construction Kit: DC; monta una pila y una resistencia y añade un voltímetro (en paralelo) y un amperímetro (en serie).
- En casa: en una protoboard, conecta una resistencia de 1 kΩ a una pila AA (1.5 V) y luego a dos (3 V). Mide v en la resistencia e i en serie con el multímetro en su escala de mA.
- Mide la resistencia sola con la escala de Ω (sin alimentación) y compárala con v/i.
- Representa i frente a v; la pendiente es 1/R. Calcula la potencia en cada caso.
Tabla de datos
| v (V) | i (mA) para 1 kΩ | p (mW) |
|---|---|---|
| 1.5 | 1.5 | 2.25 |
| 3.0 | 3.0 | 9.0 |
Valores ideales para una resistencia de 1 kΩ; las pilas nuevas marcan algo más de 1.5 V cada una y las resistencias están dentro de su tolerancia (a menudo ±5 %).
Cálculo de ejemplo
- R = v/i = 3.0/0.003 = 1000 Ω.
- p = vi = 3.0 × 0.003 = 9 mW, muy por debajo de la potencia nominal de una resistencia de ¼ W.
Seguridad
- Usa solo portapilas de 1.5–3 V; nunca conectes nada a un enchufe de pared.
- Nunca conectes el multímetro en su escala de corriente directamente sobre una pila: es un cortocircuito.
Alternativa en casa o virtual
- La versión en protoboard es la práctica en casa.
PhET: Ohm’s Law · PhET: Circuit Construction Kit: DC
Vínculo con el planeta: La misma medida v·i es la que hace un medidor de enchufe o un contador inteligente para mostrar adónde va la energía; el DOE dice que los LED consumen al menos un 75 % menos que las bombillas incandescentes. U.S. DOE: Guide to energy-efficient lighting (PDF)
Práctica B: leyes de Kirchhoff, serie y paralelo, y divisores
Semana 3
Objetivo: Verificar la LTK y la LCK midiendo, comprobar la resistencia equivalente en serie y en paralelo, y ver cómo cae un divisor de tensión con carga.
Procedimiento
- Monta 1 kΩ y 2 kΩ en serie con 3 V (PhET o protoboard). Mide la corriente y cada tensión; comprueba que las tensiones suman la de la fuente.
- Vuelve a montar dos resistencias de 1 kΩ en paralelo con 3 V. Mide la corriente en cada rama y en el cable de la fuente; comprueba la LCK.
- Trata el par en serie como un divisor y mide v en la resistencia de 2 kΩ.
- Conecta una «carga» de 2 kΩ en paralelo con la resistencia de 2 kΩ y mide de nuevo; explica la caída con la combinación en paralelo.
Tabla de datos
| Circuito | Corriente | Tensiones |
|---|---|---|
| 1 kΩ + 2 kΩ en serie | 1.0 mA | 1.0 V y 2.0 V |
| 1 kΩ ∥ 1 kΩ | 3.0 mA cada una, 6.0 mA en total | 3.0 V |
| Divisor cargado con 2 kΩ | 1.5 mA desde la fuente | 1.5 V de salida |
Valores ideales para una fuente de 3 V.
Cálculo de ejemplo
- Serie: i = 3/3000 = 1 mA; 1 V + 2 V = 3 V (LTK).
- Divisor cargado: 2 kΩ ∥ 2 kΩ = 1 kΩ, así que v_out = 3 × 1/(1 + 1) = 1.5 V en lugar de 2 V.
Seguridad
- Solo portapilas de baja tensión; quita la pila antes de recablear.
Alternativa en casa o virtual
- La versión en protoboard es la práctica en casa.
PhET: Circuit Construction Kit: DC
Vínculo con el planeta: La EIA explica que las células fotovoltaicas se conectan formando paneles y conjuntos; las cadenas en serie suman tensión y las cadenas en paralelo suman corriente, como aquí. U.S. EIA: Photovoltaics and electricity
Práctica C: el equivalente de Thevenin de una pila y la máxima potencia
Semana 6
Objetivo: Modelar una pila real como V_Th en serie con R_Th midiendo su tensión en circuito abierto y con carga, y luego predecir la carga para máxima potencia.
Procedimiento
- En PhET Circuit Construction Kit: DC, da a la pila una resistencia interna y mide su tensión sin carga y con una resistencia de carga.
- En casa: mide la tensión en circuito abierto de un portapilas de 2 × AA. Luego conecta una resistencia de 22 Ω de al menos 1 W solo unos segundos y lee la tensión.
- Calcula i_L = v_L/22 Ω y R_Th, y predice P_max.
- En PhET, varía la resistencia de carga y confirma que la potencia es máxima cuando R_L = R_Th.
Tabla de datos
| Magnitud | Valor de ejemplo |
|---|---|
| v_oc | 3.20 V |
| v_L (22 Ω) | 3.10 V |
| i_L | 0.141 A |
| R_Th | 0.71 Ω |
Valores de ejemplo para pilas alcalinas nuevas; las pilas gastadas muestran una R_Th mucho mayor.
Cálculo de ejemplo
- i_L = 3.10/22 = 0.1409 A; R_Th = 0.10/0.1409 = 0.71 Ω.
- Potencia en la carga = 3.10 × 0.1409 = 0.437 W, así que usa una resistencia de 1 W. Adaptar R_L = 0.71 Ω sería casi un cortocircuito y calentaría las pilas: no lo intentes en casa, solo en PhET.
Seguridad
- Conecta la carga de 22 Ω solo unos segundos; la resistencia y las pilas se calientan.
- Nunca cortocircuites los bornes de la pila.
Alternativa en casa o virtual
- El paso de las dos medidas es la práctica en casa; el barrido de potencia es solo en PhET.
PhET: Circuit Construction Kit: DC · OpenStax UP2, 10.1 Electromotive force
Vínculo con el planeta: La EIA informa que la eficiencia de los módulos fotovoltaicos subió de menos del 10 % a mediados de los años 1980 a casi el 25 % hoy; hacer funcionar cada panel con su carga óptima es parte de aprovechar esa producción. U.S. EIA: Photovoltaics and electricity
Práctica D: carga RC y la constante de tiempo
Semana 10
Objetivo: Observar cómo se carga un condensador a través de una resistencia, medir la constante de tiempo y compararla con τ = RC.
Procedimiento
- En PhET Circuit Construction Kit: AC, monta una pila, una resistencia, un condensador y un interruptor; usa el gráfico de tensión para observar v_C.
- En casa: coloca un condensador de 1000 µF (de 6.3 V o más, terminal negativo al − de la pila) en serie con 10 kΩ sobre 3 V. Lee v_C con el multímetro cada 10 s.
- Halla el instante en que v_C alcanza el 63.2 % de la tensión final; ese es τ.
- Representa ln(1 − v_C/V) frente a t; la pendiente es −1/τ. Descarga el condensador a través de la resistencia antes de guardarlo.
Tabla de datos
| t (s) | 0 | 10 | 20 | 30 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| v_C (V) | 0 | 1.90 | 2.59 | 2.85 | 2.98 |
Valores ideales para R = 10 kΩ, C = 1000 µF y V = 3 V. Los condensadores electrolíticos suelen tener ±20 %, y el propio multímetro carga ligeramente el circuito.
Cálculo de ejemplo
- τ = 10⁴ × 10⁻³ = 10 s.
- v_C(10 s) = 3(1 − e⁻¹) = 1.90 V; v_C(50 s) = 3(1 − e⁻⁵) = 2.98 V.
Seguridad
- Coloca los condensadores electrolíticos con la polaridad correcta y por debajo de su tensión nominal; al revés pueden reventar. Usa gafas.
Alternativa en casa o virtual
- La versión en protoboard es la práctica en casa.
PhET: Circuit Construction Kit: AC · PhET: Capacitor Lab: Basics
Vínculo con el planeta: El Berkeley Lab informa que los centros de datos usaron alrededor del 4.4 % de la electricidad de EE. UU. en 2023; cada conmutación lógica dentro de ellos es una diminuta carga RC como esta. Berkeley Lab: Report evaluates increase in electricity demand from data centers (Jan. 2025)
Práctica E: resonancia RLC
Semana 13
Objetivo: Alimentar un circuito RLC en serie con una fuente de CA a distintas frecuencias, hallar el pico de resonancia y compararlo con ω₀ = 1/√(LC).
Procedimiento
- En PhET Circuit Construction Kit: AC (o su Virtual Lab), monta una fuente de CA, una resistencia, un inductor y un condensador en serie con un amperímetro.
- Fija R = 10 Ω, L = 10 mH y C = 10 µF si es posible, o anota los valores que usa PhET, y calcula f₀.
- Recorre la frecuencia de la fuente alrededor de f₀ y anota la amplitud de la corriente.
- Representa |I| frente a f, halla el pico y los puntos de media potencia, y compara el ancho de banda con ω₀/Q.
Tabla de datos
| f (Hz) | 400 | 503 | 600 |
|---|---|---|---|
| |I| (A) para 10 V | 0.563 | 1.000 | 0.667 |
Valores calculados para R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 10 µF y una fuente de 10 V de amplitud.
Cálculo de ejemplo
- f₀ = 1/(2π√(10⁻² × 10⁻⁵)) = 503.3 Hz; en f₀, |Z| = R = 10 Ω, así que |I| = 1 A.
- At 400 Hz: X_L = 25.13 Ω, X_C = 39.79 Ω, |Z| = 17.76 Ω, |I| = 0.563 A.
Seguridad
- Solo simulación: no montes circuitos de CA con la red eléctrica.
Alternativa en casa o virtual
- Esta práctica es solo en PhET por seguridad; nada de cableado en casa.
PhET: Circuit Construction Kit: AC · PhET: Circuit Construction Kit: AC – Virtual Lab
Vínculo con el planeta: El AFDC dice que los cargadores inductivos de VE transfieren potencia mediante un campo electromagnético; circuitos LC sintonizados como este hacen eficiente esa transferencia. U.S. DOE Alternative Fuels Data Center: Electric vehicle charging stations
Práctica F: medir la potencia activa en casa y transformadores en PhET
Semana 14
Objetivo: Usar un medidor de potencia de enchufe para comparar la potencia activa de bombillas y aparatos, estimar la energía anual y explorar las relaciones de tensión de los transformadores en PhET.
Procedimiento
- Enchufa un medidor de potencia a una toma de pared y una lámpara al medidor (nunca abras el medidor ni la lámpara). Anota los vatios con una bombilla incandescente o halógena y luego con un LED de brillo similar.
- Si el medidor muestra VA y factor de potencia, anótalos también para un cargador de teléfono y un ventilador.
- Estima los kWh anuales con 3 horas al día y compara.
- En PhET Faraday’s Law, cambia el número de espiras de la bobina y la velocidad del imán, y relaciona la tensión inducida con N y la rapidez de cambio del flujo.
Tabla de datos
| Bombilla | P (W) | kWh/año con 3 h/día |
|---|---|---|
| Incandescente | 60 | 65.7 |
| LED (luz similar) | 9 | 9.9 |
Lecturas de ejemplo; la guía del DOE dice que los LED usan al menos un 75 % menos de energía que las incandescentes. Tus bombillas darán tus propios números.
Cálculo de ejemplo
- 60 W × 3 h × 365 = 65.7 kWh; 9 W dan 9.86 kWh.
- Ahorro = 85 % con este LED de ejemplo, coherente con «al menos un 75 %».
Seguridad
- Usa solo un medidor de enchufe comercial y aparatos enchufables; nunca toques los contactos de la toma ni abras aparatos. Deja enfriar las bombillas calientes antes de manipularlas.
Alternativa en casa o virtual
- El paso del medidor de enchufe es la práctica en casa; los transformadores se exploran en PhET.
PhET: Faraday’s Law · OpenStax UP2, 15.6 Transformers
Vínculo con el planeta: La EIA estima las pérdidas de transmisión y distribución en alrededor del 5 %; cada vatio ahorrado en la bombilla también evita esas pérdidas aguas arriba. U.S. DOE: Guide to energy-efficient lighting (PDF) · U.S. EIA: How much electricity is lost in transmission and distribution?
Series de práctica para exámenes
Cronométrate: unos 10 minutos por problema. Luego compara con las soluciones completas.
Ejercicios de práctica para el parcial (unidades 1–5)
Halla la resistencia equivalente de 12 Ω en paralelo con (4 Ω + 2 Ω).
Ver la solución completa
- 12 × 6/(12 + 6).
Respuesta: 4 Ω.
Una fuente de 24 V alimenta 3 kΩ y 1 kΩ en serie. Halla la tensión en 1 kΩ.
Ver la solución completa
- Divisor: 24 × 1/4.
Respuesta: 6 V.
Un nodo se conecta a 12 V a través de 4 Ω, a tierra a través de 12 Ω, y recibe 2 A de una fuente de corriente. Halla su tensión.
Ver la solución completa
- (v − 12)/4 + v/12 = 2, así que 4v = 60.
Respuesta: 15 V.
Una red tiene v_oc = 18 V e i_sc = 6 A. Halla R_Th y la potencia máxima que puede entregar.
Ver la solución completa
- R_Th = 3 Ω; P = 18²/(4 × 3).
Respuesta: 3 Ω y 27 W.
Un amplificador inversor tiene R_f = 33 kΩ y R_in = 3.3 kΩ. Halla v_o para v_in = −0.4 V.
Ver la solución completa
- Ganancia = −10.
Respuesta: +4 V.
Serie de práctica final (todas las unidades)
Un condensador de 20 µF se carga desde 0 V a través de 5 kΩ hacia 10 V. Halla τ y v_C en 0.2 s.
Ver la solución completa
- τ = 0.1 s; 10(1 − e⁻²).
Respuesta: τ = 0.1 s, v_C = 8.65 V.
Un RLC en serie tiene R = 40 Ω, L = 0.1 H y C = 100 µF. Clasifica la respuesta y halla ω_d si oscila.
Ver la solución completa
- α = 200 s⁻¹; ω₀ = 316.2 rad/s.
Respuesta: Subamortiguado, ω_d = 244.9 rad/s.
Halla la impedancia de 20 Ω en serie con 100 µF a 60 Hz.
Ver la solución completa
- Z_C = −j26.53 Ω.
Respuesta: Z = 20 − j26.53 Ω = 33.22∠−52.99° Ω.
Una carga consume 12 A eficaces de 120 V eficaces con fp 0.85 en retraso. Halla P y Q.
Ver la solución completa
- S = 1440 VA; sin θ = 0.5268.
Respuesta: P = 1224 W, Q = 758.6 VAR.
Un transformador 20:1 tiene 2400 V en el primario y una carga de 10 A en el secundario. Halla V₂ e I₁.
Ver la solución completa
- V₂ = 2400/20; I₁ = 10/20.
Respuesta: 120 V y 0.5 A.
Halla la potencia de una carga trifásica equilibrada de 208 V que consume 50 A con factor de potencia unitario.
Ver la solución completa
- √3 × 208 × 50.
Respuesta: 18.01 kW.
Hoja de fórmulas
Constantes
| Constante | Valor |
|---|---|
| 1 kilovatio-hora (kWh) | 3.6 × 10⁶ J |
| 1 caballo de fuerza (eléctrico) | 746 W |
| Carga elemental e | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| Suministro doméstico en EE. UU. | 120 V y 240 V a 60 Hz |
| Valor eficaz de una onda senoidal | V_rms = V_peak/√2 ≈ 0.7071 V_peak |
| 1 amperio-hora (Ah) | 3600 C |
Fuente: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors
Textos y simulaciones gratuitos
Usa estos libros, clases y simulaciones gratuitos junto con el curso.
- MIT OpenCourseWare 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007): Videos de clases, apuntes, problemas y prácticas gratuitos del MIT.
- OpenStax University Physics Volume 2, 10.3 Kirchhoff’s rules: Capítulo de libro gratuito sobre circuitos de CC.
- OpenStax University Physics Volume 2, 15.3 RLC series circuits with AC: Capítulo de libro gratuito sobre circuitos de CA.
- PhET: Circuit Construction Kit: DC: Monta y mide circuitos de CC.
- PhET: Circuit Construction Kit: AC: Condensadores, inductores y fuentes de CA.
- PhET: Ohm’s Law: V = IR de forma interactiva.
Glosario
- Potencia aparente
- S = V_rms I_rms, en VA.
- Condensador
- Elemento con i = C dv/dt que almacena energía en un campo eléctrico.
- Impedancia
- Cociente complejo V/I en régimen sinusoidal permanente.
- Inductor
- Elemento con v = L di/dt que almacena energía en un campo magnético.
- KCL
- Las corrientes que salen de un nodo suman cero.
- KVL
- Las tensiones alrededor de un lazo suman cero.
- Malla
- Un lazo que no contiene ningún otro lazo.
- Nodo
- Un punto donde se conectan dos o más elementos.
- Equivalente de Norton
- Fuente de corriente I_N en paralelo con R_N.
- Amplificador operacional
- Amplificador diferencial de alta ganancia que se usa con realimentación.
- Convenio de signos pasivo
- La corriente entra por el terminal + de un elemento que absorbe potencia.
- Fasor
- Número complejo que da la amplitud y la fase de una sinusoide.
- Factor de potencia
- cos θ = P/S.
- Factor de calidad
- Q = ω₀L/R, agudeza de la resonancia.
- RMS
- Valor cuadrático medio; V_m/√2 para una sinusoide.
- Potencia reactiva
- Q = V_rms I_rms sin θ, en VAR.
- Supernodo
- Dos nodos unidos por una fuente de tensión, tratados juntos en la LCK.
- Equivalente de Thevenin
- Fuente de tensión V_Th en serie con R_Th.
- Constante de tiempo
- τ = RC o L/R.
- Transformador
- Bobinas acopladas que cambian la tensión de CA según la relación de vueltas.
Rúbrica de autoevaluación
No se otorga nota ni crédito. Úsala para valorar con honestidad dónde estás en cada unidad.
| Nivel | Cómo se ve |
|---|---|
| 4 · Dominio | Rotula los circuitos por completo, elige un método eficiente (divisores, nodal, mallas, Thevenin, fasores), comprueba el balance de potencia y los casos límite, y trabaja con seguridad en el laboratorio. |
| 3 · Competente | Resuelve los ejercicios con algún error ocasional de signo o de unidades. |
| 2 · En desarrollo | Sigue los ejemplos resueltos pero confunde serie y paralelo, o el convenio de signos. |
| 1 · Inicial | Sustituye números en fórmulas sin un diagrama rotulado; necesita repasar la unidad. |
Ponderación sugerida si quieres una nota
| Parte | Peso |
|---|---|
| Problemas de práctica | 20% |
| Prácticas | 25% |
| Serie de práctica de mitad de curso | 25% |
| Serie de práctica final | 30% |
Apunta al nivel 3 o superior en cada unidad antes de pasar al siguiente curso.