الجبر الخطي

المتجهات والمصفوفات وأنظمة المعادلات: الحذف وLU والمعكوسات ونماذج المدخلات–المخرجات والفضاءات الجزئية الأساسية الأربعة والإسقاطات والمربعات الصغرى والمحددات والقيم الذاتية وسلاسل ماركوف وSVD، مع ستة مختبرات. مجاني، بالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بـ GPS وLandsat وأقمار مستوى سطح البحر ونماذج الطقس وإعادة التدوير ورسم خرائط المعادن.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)CNES (PIA25623)NASA Blue Marble

الدورات › MATH 230

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقررًا في الجبر الخطي مدته فصل دراسي واحد للسنة الثانية. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 18.06 Linear Algebra الذي يدرّسه Gilbert Strang (مجانًا على MIT OpenCourseWare)، وعلى مقررات الجبر الخطي للسنة الثانية في Georgia Tech وPurdue، مستخدمًا النص المجاني من Georgia Tech بعنوان Interactive Linear Algebra لـ Dan Margalit وJoseph Rabinoff، وكتاب Jim Hefferon المجاني Linear Algebra، اللذين نربط إليهما حيث يفيدان. لا يؤيد أي من هؤلاء المؤلفين أو المؤسسات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي على الكوكب مع مصدر عام موثّق (GPS، وLandsat 9، وأقمار ناسا لمستوى سطح البحر، وحواسيب NOAA الفائقة للطقس، وبيانات EPA للمدخلات–المخرجات وإعادة التدوير، ودراسات USGS للمباني، ومطياف المعادن EMIT التابع لناسا)، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص تحقق برمجي قبل النشر، وكل مختبر يُنفَّذ في جدول بيانات مجاني أو على الورق.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

الجبر الخطي هو لغة البيانات عن الكوكب. بكسل القمر الصناعي متجه، وتحديد الموقع بـ GPS هو حل نظام خطي، والتنبؤ بالطقس ملايين المعادلات تُحل مرارًا وتكرارًا، ويمكن تتبع تلوث اقتصاد بأكمله بمصفوفة واحدة.

الأفكار القليلة نفسها، الحذف والإسقاط والقيم الذاتية وSVD، تحوّل القياسات الخام إلى خرائط للغابات واتجاهات مستوى سطح البحر والغبار المعدني. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق. القيم غير المأخوذة من مصدر موسومة بأنها قيم توضيحية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • جبر المرحلة الثانوية: حل معادلتين في مجهولين، والتعامل مع الدوال.
  • التفاضل والتكامل I يساعد في النهايات والمشتقات في بعض الأمثلة، لكن معظم المقرر لا يحتاج إلى تفاضل وتكامل.
  • الارتياح لاستخدام جداول البيانات؛ ومقدمة في البرمجة تساعد في نسخ Python الاختيارية من المختبرات.
  • التفاضل والتكامل III والمعادلات التفاضلية يتكاملان جيدًا مع هذا المقرر لكنهما غير مطلوبين.

كيف تذاكر

  • أجرِ كل حساب يدويًا أولًا على أمثلة صغيرة (2 × 2 و3 × 3)، ثم تحقق منه بجدول بيانات أو آلة حاسبة.
  • فكّر في Ax بطريقتين: كضرب قياسي للصفوف في x، وكتركيب من أعمدة A.
  • تحقق من كل إجابة: عوّض x في Ax = b، أو اضرب A في معكوسها، أو اختبر Av = λv.
  • تتبّع الأبعاد: مصفوفة m × n مضروبة في مصفوفة n × p تعطي m × p، والأبعاد غير المتوافقة تعني خطأ.
  • ارسم في 2D و3D: المستقيمات والمستويات والإسقاطات والتمددات تجعل القواعد سهلة التذكر.
  • حل كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب مع برنامج جداول بيانات مجاني (دواله MMULT وMINVERSE وMDETERM وLINEST تؤدي عمليات المصفوفات).
  • ورق رسم بياني ومسطرة ومنقلة وقلم رصاص.
  • اختياري: Python مجاني مع NumPy للنسخ الأكبر من المختبرات.
  • خيط ودبابيس أو شريط لاصق لمختبر التثليث الجانبي، وخريطة مطبوعة أو ورقة.
  • صورة بتدرج الرمادي أو شبكة صغيرة من الأرقام لمختبر ضغط الصور.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1المتجهات: التركيبات الخطية والأطوال والضرب القياسيالمتجهات، والتركيبات الخطية، والمدى الخطي، والطولMIT 18.06 L1; ILA 2.1–2.2
2المتجهات: التركيبات الخطية والأطوال والضرب القياسيالضرب القياسي، والزوايا، والتعامد؛ المختبر A؛ بدء الحذفILA 6.1
3أنظمة المعادلات الخطية وحذف غاوسالحذف، والأشكال الدرجية، ومجموعات الحلول؛ المختبر BMIT 18.06 L2; ILA 1.1–1.3
4جبر المصفوفات: الضرب والمعكوسات وتحليل LUضرب المصفوفات، والمعكوسات، A = LU؛ المختبر CMIT 18.06 L3–4; ILA 3.4–3.5
5النماذج الخطية: اقتصاد المدخلات–المخرجات (ليونتيف) والشبكات والموازنةنماذج المدخلات–المخرجات، والشبكات، والموازنةHefferon Topics; EPA USEEIO
6فضاءات المتجهات والفضاءات الجزئية والاستقلال والأساس والرتبة والفضاءات الجزئية الأساسية الأربعةالفضاءات الجزئية، وفضاء الأعمدة، والفضاء الصفري، Ax = 0MIT 18.06 L5–7; ILA 2.6
7فضاءات المتجهات والفضاءات الجزئية والاستقلال والأساس والرتبة والفضاءات الجزئية الأساسية الأربعةالاستقلال، والأساس، والبعد، والرتبة، والفضاءات الجزئية الأربعة؛ تدريب منتصف الفصلMIT 18.06 L8–10; ILA 2.5, 2.7, 2.9
8التعامد والإسقاطات والمربعات الصغرى وغرام–شميتالتعامد والإسقاطاتMIT 18.06 L14–15; ILA 6.3
9التعامد والإسقاطات والمربعات الصغرى وغرام–شميتالمربعات الصغرى، وغرام–شميت، A = QR؛ المختبر DMIT 18.06 L16–17; ILA 6.4–6.5
10المحددات: الخواص والعوامل المرافقة وقاعدة كرامر والحجمالمحددات، والعوامل المرافقة، وقاعدة كرامر، والحجمMIT 18.06 L18–20; ILA 4.1–4.3
11القيم الذاتية والمتجهات الذاتيةالقيم الذاتية، والمتجهات الذاتية، وطريقة القوى، والأنماطMIT 18.06 L21; ILA 5.1–5.2, 5.5
12التقطير وقوى المصفوفات وسلاسل ماركوف والأنظمة الديناميكية الخطيةالتقطير، وسلاسل ماركوف، والأنظمة الديناميكية؛ المختبر EMIT 18.06 L22–25; ILA 5.4, 5.6
13تحليل القيم المفردة وتحليل المكونات الرئيسية والمصفوفات الموجبة التحديدالمصفوفات الموجبة التحديد وSVDMIT 18.06 L27–29
14تحليل القيم المفردة وتحليل المكونات الرئيسية والمصفوفات الموجبة التحديدالتقريب منخفض الرتبة، وPCA، وعدد الحالة؛ المختبر FMIT 18.06 L29؛ موقع كتاب Strang
15المراجعةمراجعة ومجموعة تمارين نهائيةكل الوحدات

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوعان 1–2

المتجهات: التركيبات الخطية والأطوال والضرب القياسي

المتجهات في بعدين وثلاثة وn بُعدًا، وجمعها وضربها في عدد، والتركيبات الخطية والمدى الخطي، والطول، ومتجهات الوحدة، والضرب القياسي، والزاوية بين المتجهات، والتعامد، ومتباينتا كوشي–شوارتز والمثلث.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اجمع المتجهات واضربها في أعداد وركّبها يدويًا وبالرسم.
  • احسب الأطوال ومتجهات الوحدة والضرب القياسي.
  • أوجد الزاوية بين متجهين واختبر التعامد.
  • صِف المدى الخطي لمتجه واحد أو اثنين أو ثلاثة.

المفاهيم الأساسية

  • المتجه في ℝⁿ قائمة مرتبة من n عددًا. في 2D و3D هو سهم؛ وفي الأبعاد الأعلى هو قائمة، مثل قيم النطاقات الـ 11 لبكسل واحد من القمر الصناعي.
  • التركيب الخطي c₁v₁ + c₂v₂ + … يضرب المتجهات في أعداد ويجمعها. والمدى الخطي هو مجموعة كل التركيبات الخطية: مستقيم أو مستوٍ أو الفضاء كله.
  • الطول ‖v‖ = √(v·v). القسمة على الطول تعطي متجه وحدة u = v/‖v‖ طوله 1.
  • الضرب القياسي v·w = v₁w₁ + v₂w₂ + … = ‖v‖‖w‖cos θ. إذا كان v·w = 0 فالمتجهان متعامدان.
  • كوشي–شوارتز: |v·w| ≤ ‖v‖‖w‖. متباينة المثلث: ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖.

المعادلات الأساسية

∥v∥=v12+v22+⋯+vn2\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}
الطول
v⋅w=v1w1+⋯+vnwnv\cdot w=v_1w_1+\cdots+v_nw_n
الضرب القياسي
cos⁡θ=v⋅w∥v∥ ∥w∥\cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|}
الزاوية بين المتجهات
∣v⋅w∣≤∥v∥ ∥w∥|v\cdot w|\le\|v\|\,\|w\|
متباينة كوشي–شوارتز

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 أوجد طول v = (3, 4) ومتجه الوحدة في اتجاهه.

اعرض الخطوات
  1. ‖v‖ = √(3² + 4²) = √25 = 5.
  2. u = v/5.

الإجابة: ‖v‖ = 5, u = (0.6, 0.8).

مثال 1.2 أوجد الزاوية بين v = (3, 4) وw = (1, 2).

اعرض الخطوات
  1. v·w = 3 + 8 = 11.
  2. ‖v‖ = 5, ‖w‖ = √5 = 2.236.
  3. cos θ = 11/(5 × 2.236) = 0.9839.

الإجابة: θ = 10.30°.

مثال 1.3 اكتب 2(1, 0, 1) + 3(0, 1, 1) كمتجه واحد. هل (2, 3, 4) ضمن المدى الخطي لهذين المتجهين؟

اعرض الخطوات
  1. 2(1, 0, 1) + 3(0, 1, 1) = (2, 3, 5).
  2. أي تركيب c₁(1, 0, 1) + c₂(0, 1, 1) = (c₁, c₂, c₁ + c₂)، لذا يجب أن تساوي المركبة الثالثة مجموع الأوليين.

الإجابة: (2, 3, 5)؛ و(2, 3, 4) ليس ضمن المدى الخطي لأن 2 + 3 ≠ 4.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد ‖(1, 2, 2)‖.

    اعرض الإجابة

    √(1 + 4 + 4) = 3.

  2. أوجد (1, 2, 3)·(4, −5, 6).

    اعرض الإجابة

    4 − 10 + 18 = 12.

  3. هل (2, −1) و(1, 2) متعامدان؟

    اعرض الإجابة

    Yes: 2 − 2 = 0.

  4. أوجد متجه الوحدة في اتجاه (6, 8).

    اعرض الإجابة

    ‖(6, 8)‖ = 10، إذن (0.6, 0.8).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الضرب القياسي متجه.

    في الحقيقة: إنه عدد واحد (كمية قياسية).

  • خرافة: ‖v + w‖ = ‖v‖ + ‖w‖ دائمًا.

    في الحقيقة: فقط حين يشير v وw في الاتجاه نفسه؛ وإلا فهو أصغر.

  • خرافة: المتجهات لا معنى لها إلا في 2D أو 3D.

    في الحقيقة: متجهات البيانات قد تحوي مئات المركبات؛ والقواعد نفسها تنطبق.

بطاقات تعليمية

  • التركيب الخطي

    c₁v₁ + c₂v₂ + …

  • المدى الخطي

    كل التركيبات الخطية لمجموعة من المتجهات.

  • الطول

    ‖v‖ = √(v·v).

  • الضرب القياسي

    v·w = Σ vᵢwᵢ = ‖v‖‖w‖cos θ.

  • متعامد

    v·w = 0.

  • متجه الوحدة

    v/‖v‖.

اختبار ذاتي

1. ‖(3, 4)‖ يساوي…

اعرض الإجابة

5. √(9 + 16) = 5.

2. v·w = 0 يعني أن المتجهين…

اعرض الإجابة

متعامدان. cos θ = 0، إذن θ = 90°.

3. المدى الخطي لمتجهين غير متوازيين في ℝ³ هو…

اعرض الإجابة

مستوٍ. اتجاهان مستقلان يملآن مستويًا.

4. مضاعفة v تغيّر ‖v‖ بمعامل…

اعرض الإجابة

2. ‖cv‖ = |c|‖v‖.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

كل بكسل من Landsat 9 متجه. وفقًا لـ USGS، يسجل Operational Land Imager 2 في Landsat 9 تسعة نطاقات طيفية (9) بدقة 30 m (15 m للنطاق البانكروماتي)، ويسجل Thermal Infrared Sensor 2 نطاقين حراريين (2) بدقة 100 m، فتصبح كل بقعة على الأرض قائمة من 11 عددًا. البيانات بعمق 14 بت، أي 2¹⁴ = 16384 درجة لكل نطاق، ويجمع Landsat 9 نحو 750 مشهدًا يوميًا، وكلها مجانية.

تُقرأ صحة الغابات والمحاصيل من النطاق الأحمر (النطاق 4، 0.64–0.67 µm) ونطاق الأشعة تحت الحمراء القريبة (النطاق 5، 0.85–0.88 µm). مؤشر الغطاء النباتي NDVI = (NIR − red)/(NIR + red) يقارن مركبتين من متجه البكسل. مع انعكاسيات توضيحية 0.40 (NIR) و0.08 (أحمر)، يكون NDVI = 0.32/0.48 = 0.667، وهو نموذجي للنباتات السليمة؛ أما التربة العارية فتعطي قيمًا قريبة من الصفر.

على Saving Planets: رصد الأرض · إزالة الغابات

المصادر: USGS: Landsat 9 · Interactive Linear Algebra, 2.1 Vectors

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسابيع 2–3

أنظمة المعادلات الخطية وحذف غاوس

الأنظمة الخطية بصورة الصفوف وصورة الأعمدة، والمصفوفات الموسّعة، والحذف إلى الشكل الدرجي، والتعويض العكسي، والشكل الدرجي المختزل، والمحاور والمتغيرات الحرة، ومتى يكون للنظام حل واحد أو لا حل أو عدد لا نهائي من الحلول.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اكتب نظامًا بالصورة Ax = b وكمصفوفة موسّعة.
  • حل الأنظمة بالحذف والتعويض العكسي.
  • أوجد الشكل الدرجي المختزل وحدد المحاور والمتغيرات الحرة.
  • قرّر ما إذا كان للنظام حل واحد أو لا حل أو عدد لا نهائي من الحلول.

المفاهيم الأساسية

  • صورة الصفوف: كل معادلة مستقيم (2D) أو مستوٍ (3D) والحل هو نقطة التقائها. صورة الأعمدة: b تركيب من أعمدة A بأوزان x.
  • ثلاث عمليات على الصفوف لا تغير الحلول: تبديل الصفوف، وضرب صف في عدد غير صفري، وإضافة مضاعف صف إلى آخر.
  • الحذف ينتج شكلًا مثلثيًا علويًا (درجيًا)؛ ثم يحل التعويض العكسي من الأسفل إلى الأعلى. المحاور هي أول المدخلات غير الصفرية في كل صف.
  • العمود بلا محور يعطي متغيرًا حرًا وعددًا لا نهائيًا من الحلول. والصف 0 = c مع c ≠ 0 يعني عدم وجود حل (نظام متناقض).
  • معادلات مربع المسافة مثل (x − a)² + (y − b)² = d² ليست خطية، لكن طرح إحداها من أخرى يحذف x² وy² ويترك معادلات خطية. هكذا تصبح مسائل تحديد الموقع أنظمة خطية.

المعادلات الأساسية

Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}
الصورة المصفوفية
Ri←Ri−ℓijRj,  ℓij=aij/ajjR_i\leftarrow R_i-\ell_{ij}R_j,\ \ \ell_{ij}=a_{ij}/a_{jj}
خطوة الحذف والمضروب
solutions: one, none, or infinitely many\text{solutions: one, none, or infinitely many}
الحالات الثلاث الوحيدة
d=c td=c\,t
المسافة من زمن انتقال الإشارة (GPS)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 حل x + y + z = 6، 2x + y − z = 1، x − y + 2z = 5.

اعرض الخطوات
  1. R₂ − 2R₁: −y − 3z = −11. R₃ − R₁: −2y + z = −1.
  2. R₃ − 2R₂: ‏7z = 21، إذن z = 3.
  3. بالتعويض العكسي: −y − 9 = −11 يعطي y = 2؛ ثم x = 6 − 2 − 3 = 1.

الإجابة: (x, y, z) = (1, 2, 3).

مثال 2.2 منارات عند (0, 0) و(10, 0) و(0, 10) km. مستقبل يقيس مربعات المسافات 25 و65 و45 km². أوجد موقعه.

اعرض الخطوات
  1. المعادلة 1 ناقص المعادلة 2: x² + y² − [(x − 10)² + y²] = 25 − 65، إذن 20x − 100 = −40.
  2. المعادلة 1 ناقص المعادلة 3: 20y − 100 = −20.
  3. حل المعادلتين الخطيتين.

الإجابة: (x, y) = (3, 4) km.

مثال 2.3 كم حلًا للنظام x + 2y = 3، 2x + 4y = 6؟ وللنظام x + 2y = 3، 2x + 4y = 7؟

اعرض الخطوات
  1. R₂ − 2R₁ يعطي 0 = 0 في النظام الأول: محور واحد ومتغير حر واحد.
  2. في الثاني، R₂ − 2R₁ يعطي 0 = 1.

الإجابة: عدد لا نهائي؛ لا حل.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. حل x + y = 5، x − y = 1.

    اعرض الإجابة

    بالجمع: 2x = 6، إذن x = 3، y = 2.

  2. إشارة من نوع GPS تستغرق 0.00505783 s لتصل. ما المسافة التي قطعتها بسرعة 299792458 m/s؟

    اعرض الإجابة

    d = ct = 1516299 m، أي نحو 1516 km.

  3. أوجد الشكل الدرجي المختزل للمصفوفة [[1, 2, 3], [2, 5, 8]] (موسّعة).

    اعرض الإجابة

    R₂ − 2R₁ = [0, 1, 2]; R₁ − 2R₂ = [1, 0, −1]: x = −1, y = 2.

  4. نظام 3 × 5 له 3 محاور. كم متغيرًا حرًا؟

    اعرض الإجابة

    5 − 3 = 2.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: ضرب صف في 0 عملية صفوف مسموحة.

    في الحقيقة: إنه يدمّر المعلومات؛ يجب أن يكون المضروب غير صفري.

  • خرافة: النظام ذو المجاهيل الأكثر من المعادلات لا حل له.

    في الحقيقة: إن كان متسقًا فله عدد لا نهائي من الحلول؛ وقد يكون أيضًا متناقضًا.

  • خرافة: الصف الصفري يعني عدم وجود حل.

    في الحقيقة: فقط الصف 0 = c مع c ≠ 0 يعني ذلك؛ أما 0 = 0 فيعني متغيرًا حرًا فحسب.

بطاقات تعليمية

  • المصفوفة الموسّعة

    [A | b].

  • المحور

    أول مدخل غير صفري في صف من الشكل الدرجي.

  • المتغير الحر

    متغير لا محور في عموده.

  • RREF

    محاور تساوي 1 وأصفار فوقها وتحتها.

  • متناقض

    صف 0 = c، c ≠ 0.

  • التعويض العكسي

    حل النظام المثلثي من الأسفل إلى الأعلى.

اختبار ذاتي

1. الصف 0 0 0 | 5 في الشكل الدرجي يعني…

اعرض الإجابة

لا حل. 0 = 5 مستحيل.

2. أيّ مما يلي ليس عملية صفوف؟

اعرض الإجابة

تربيع صف. التربيع ليس خطيًا.

3. العمود بلا محور يعطي…

اعرض الإجابة

متغيرًا حرًا. يمكن اختيار متغيره بحرية.

4. في صورة الأعمدة، يسأل Ax = b عما إذا كان b…

اعرض الإجابة

تركيبًا من أعمدة A. Ax = x₁a₁ + x₂a₂ + …

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

GPS آلة جبر خطي. يفيد GPS.gov بأن 24 قمرًا تشغيليًا على الأقل تبقى متاحة 95% من الوقت، وأن 31 قمرًا تشغيليًا تعمل منذ أكثر من عقد، على ارتفاع نحو 20200 km، يدور كل منها حول الأرض مرتين يوميًا. وهي موزعة على ستة مستويات مدارية متساوية التباعد بحيث يرى المستخدمون أربعة أقمار على الأقل من أي نقطة تقريبًا على الكوكب.

يشرح نشاط التثليث الجانبي في GPS.gov الفكرة: المسافة = السرعة × الزمن، والسرعة هي سرعة الضوء 299792458 m/s، والمسافات من 3 أقمار على الأقل تحدد موقعًا 3D. وساعة المستقبل الحقيقي مجهولة أيضًا، لذا في النموذج القياسي في الكتب تكون المجاهيل x وy وz وانحراف الساعة، أي أربعة مجاهيل تحتاج أربعة أقمار؛ وطرح معادلات المسافة، كما في المثال المحلول، يحولها إلى نظام خطي. وخطأ في الساعة قدره ميكروثانية واحدة فقط يزيح المسافة 299.8 m. والمواقع الدقيقة توجّه الجرارات الزراعية التي تستخدم أسمدة أقل، والسفن على مسارات كفؤة، ومحطات المسح التي تقيس مستوى سطح البحر والجليد.

على Saving Planets: رصد الأرض · الفضاء

المصادر: GPS.gov: Space segment · GPS.gov: Trilateration (NOAA classroom activity)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 4

جبر المصفوفات: الضرب والمعكوسات وتحليل LU

ضرب المصفوفة في المتجه وضرب المصفوفات، وقواعد جبر المصفوفات (وما ليس قاعدة)، والمنقولات، ومصفوفات الحذف، والمعكوس وغاوس–جوردان، وصيغة معكوس 2 × 2، وA = LU، وتكلفة الحذف.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اضرب المصفوفات وتحقق من توافق الأبعاد.
  • أوجد المعكوسات بصيغة 2 × 2 وبطريقة غاوس–جوردان.
  • حلّل A = LU واستخدمها لحل الأنظمة.
  • قدّر تكلفة الحذف مع ازدياد n.

المفاهيم الأساسية

  • (AB)ᵢⱼ = الضرب القياسي للصف i من A في العمود j من B. مصفوفة m × n مضروبة في n × p تعطي m × p. وعمومًا AB ≠ BA.
  • المعكوس A⁻¹ يحقق AA⁻¹ = A⁻¹A = I. ويوجد تمامًا حين يكون لـ A عدد n من المحاور (det A ≠ 0). ‏(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ و(AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
  • غاوس–جوردان: اختزل [A | I] بالصفوف إلى [I | A⁻¹].
  • الحذف دون تبديل صفوف يسجل مضاريبه في مصفوفة مثلثية سفلية L قطرها آحاد، فنحصل على A = LU. حل Lc = b ثم Ux = c؛ ومع حفظ L وU يصبح كل طرف أيمن جديد رخيصًا.
  • الحذف على مصفوفة n × n يكلف نحو n³/3 عملية ضرب–جمع؛ والحل باستخدام L وU المحفوظتين يكلف نحو n² لكل طرف أيمن.

المعادلات الأساسية

(AB)ij=∑kaikbkj(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}
ضرب المصفوفات
[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
معكوس 2 × 2
A=LUA=LU
تحليل LU
cost≈n3/3\text{cost}\approx n^3/3
عدد عمليات الحذف

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 أوجد AB وBA حيث A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[0, 1], [1, 0]].

اعرض الخطوات
  1. AB: الصف 1 · الأعمدة = (2, 1)؛ الصف 2 = (4, 3).
  2. BA يبدّل صفوف A: [[3, 4], [1, 2]].

الإجابة: AB = [[2, 1], [4, 3]]، BA = [[3, 4], [1, 2]]، إذن AB ≠ BA.

مثال 3.2 اعكس A = [[4, 7], [2, 6]].

اعرض الخطوات
  1. ad − bc = 24 − 14 = 10.
  2. A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]].

الإجابة: A⁻¹ = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].

مثال 3.3 حلّل A = [[2, 1], [6, 8]] إلى LU.

اعرض الخطوات
  1. المضروب ℓ₂₁ = 6/2 = 3.
  2. R₂ − 3R₁ = [0, 5].

الإجابة: L = [[1, 0], [3, 1]], U = [[2, 1], [0, 5]].

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ما أبعاد حاصل ضرب مصفوفة 3 × 2 في مصفوفة 2 × 4؟

    اعرض الإجابة

    3 × 4.

  2. اعكس [[2, 1], [5, 3]].

    اعرض الإجابة

    det = 1، والمعكوس [[3, −1], [−5, 2]].

  3. كم عملية تقريبًا يتطلب الحذف عند n = 1000؟

    اعرض الإجابة

    n³/3 ≈ 3.33 × 10⁸.

  4. إذا كانت A وB قابلتين للعكس، فما (AB)⁻¹؟

    اعرض الإجابة

    B⁻¹A⁻¹.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: AB = BA.

    في الحقيقة: ضرب المصفوفات عادةً غير تبديلي.

  • خرافة: (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹.

    في الحقيقة: الترتيب ينعكس: B⁻¹A⁻¹.

  • خرافة: تحل الحواسيب Ax = b بحساب A⁻¹.

    في الحقيقة: إنها تحلّل A = LU (أو ما يشبهه)؛ فتكوين A⁻¹ أبطأ وأقل دقة.

بطاقات تعليمية

  • مصفوفة الوحدة

    AI = IA = A.

  • المعكوس

    AA⁻¹ = I.

  • معكوس 2 × 2

    بدّل a وd؛ واعكس إشارة b وc؛ واقسم على ad − bc.

  • قاعدة المنقول

    (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

  • LU

    A = LU من الحذف.

  • التكلفة

    نحو n³/3 للحذف.

اختبار ذاتي

1. مصفوفة 2 × 3 مضروبة في مصفوفة 3 × 5 تعطي…

اعرض الإجابة

2 × 5. الأبعاد الخارجية.

2. المصفوفة قابلة للعكس تمامًا حين يكون لها…

اعرض الإجابة

n محورًا. مجموعة كاملة من المحاور.

3. مضاعفة n تضرب تكلفة الحذف في نحو…

اعرض الإجابة

8. n³ تنمو 2³ = 8 مرات.

4. L في A = LU تحوي…

اعرض الإجابة

المضاريب. المضاريب تحت القطر، وآحاد على القطر.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

التنبؤات الجوية والمناخية في جوهرها مهام جبر خطي هائلة تتكرر مرات عديدة يوميًا. أعلنت NOAA في أغسطس 2023 أن حاسوبيها الفائقين التشغيليين التوأمين، Dogwood في ماناساس بولاية فيرجينيا وCactus في فينيكس بولاية أريزونا، رُقّيا بنسبة 20% إلى 14.5 بيتافلوب لكل منهما، بحيث يستطيع نظام التنبؤ معًا معالجة 29 كوادريليون عملية حسابية في الثانية، وأن سعتها الكلية مع حواسيبها البحثية الفائقة تبلغ 49 بيتافلوب.

قاعدة n³/3 تبيّن أهمية السرعة. على سبيل المثال، نظام كثيف فيه n = 100000 مجهول يحتاج نحو 3.33 × 10¹⁴ عملية؛ وبمعدل مستمر قدره 14.5 × 10¹⁵ عملية في الثانية يستغرق ذلك نحو 0.023 s، لكن مضاعفة n تضرب العمل في 8. النماذج الحقيقية تستخدم مصفوفات متناثرة وحلّالات ذكية، لكن هذا النمو التكعيبي نفسه هو ما تقول NOAA إن القدرة الإضافية ستغطيه: نماذج أعلى دقة تحسّن التنبؤات والإنذارات.

على Saving Planets: مقدمة في البرمجة · الحلول

المصادر: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوع 5

النماذج الخطية: اقتصاد المدخلات–المخرجات (ليونتيف) والشبكات والموازنة

بناء نماذج خطية من أنظمة حقيقية: نموذج المدخلات–المخرجات لليونتيف x = Ax + d وحله x = (I − A)⁻¹d، والنماذج الموسّعة بيئيًا التي تحوّل الإنفاق إلى انبعاثات، وتدفقات الشبكات، وموازنة المعادلات الكيميائية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • صُغ نموذج مدخلات–مخرجات لليونتيف وحلّه.
  • فسّر مدخلات (I − A)⁻¹.
  • وسّع نموذج مدخلات–مخرجات بشدّات الانبعاث لإيجاد البصمة.
  • اكتب مسائل موازنة التدفق والموازنة الكيميائية في صورة أنظمة خطية.

المفاهيم الأساسية

  • في نموذج المدخلات–المخرجات، يسرد العمود j من مصفوفة الاستهلاك A ما يشتريه القطاع j من كل قطاع لإنتاج دولار واحد من الناتج.
  • يجب أن يغطي الناتج الكلي x ما تستخدمه الصناعات (Ax) إضافةً إلى الطلب النهائي d: ‏x = Ax + d، إذن (I − A)x = d وx = (I − A)⁻¹d.
  • المدخل (i, j) من معكوس ليونتيف (I − A)⁻¹ هو الناتج الكلي للقطاع i اللازم، مباشرةً وعبر جميع سلاسل الإمداد، لدولار واحد من الطلب النهائي على القطاع j.
  • النماذج الموسّعة بيئيًا تضرب الناتج في صف من شدّات الانبعاث e (مثلًا kg CO₂ لكل دولار): البصمة = e·x.
  • قوانين الحفظ تعطي معادلات خطية أيضًا: التدفق الداخل يساوي الخارج عند كل عقدة في الشبكة، وذرات كل عنصر تتوازن في التفاعل الكيميائي.

المعادلات الأساسية

x=Ax+d\mathbf{x}=A\mathbf{x}+\mathbf{d}
توازن المدخلات–المخرجات
x=(I−A)−1d\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}
حل ليونتيف
footprint=e⋅x\text{footprint}=\mathbf{e}\cdot\mathbf{x}
النموذج الموسّع بيئيًا
∑in=∑out\sum \text{in}=\sum \text{out}
توازن التدفق عند عقدة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 اقتصاد من قطاعين فيه A = [[0.2, 0.3], [0.1, 0.4]] والطلب النهائي d = (100, 50) (قيم توضيحية، بملايين $). أوجد الناتج الكلي.

اعرض الخطوات
  1. I − A = [[0.8, −0.3], [−0.1, 0.6]]، det = 0.48 − 0.03 = 0.45.
  2. (I − A)⁻¹ = (1/0.45)[[0.6, 0.3], [0.1, 0.8]].
  3. x = (1/0.45)(60 + 15, 10 + 40).

الإجابة: x = (166.7, 111.1) مليون $.

مثال 4.2 باستخدام شدّات انبعاث توضيحية e = (0.5, 2.0) kg CO₂ لكل دولار، أوجد بصمة ذلك الطلب النهائي.

اعرض الخطوات
  1. البصمة = 0.5 × 166.7 + 2.0 × 111.1 (بوحدة kg لكل $ × مليون $).

الإجابة: 305.6 مليون kg = 305.6 kt CO₂ (توضيحي).

مثال 4.3 وازن x CH₄ + y O₂ → z CO₂ + w H₂O.

اعرض الخطوات
  1. C: x = z. H: 4x = 2w. O: 2y = 2z + w.
  2. Set x = 1: z = 1, w = 2, y = 2.

الإجابة: CH₄ + 2 O₂ → CO₂ + 2 H₂O.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. في النموذج المحلول، كم يلزم إجمالًا من ناتج القطاع 1 مقابل 1 $ من الطلب النهائي على القطاع 2؟

    اعرض الإجابة

    المدخل (1, 2) من (I − A)⁻¹ = 0.3/0.45 = 0.667.

  2. اقتصاد من قطاع واحد يستهلك 0.25 من ناتجه. ما الناتج الكلي الذي يلبي طلبًا قدره 300؟

    اعرض الإجابة

    x = 300/(1 − 0.25) = 400.

  3. عقدة لها تدفقان داخلان 40 و25، وتدفق خارج f₁ وتدفق خارج آخر قدره 30. أوجد f₁.

    اعرض الإجابة

    f₁ = 65 − 30 = 35.

  4. وازن H₂ + O₂ → H₂O.

    اعرض الإجابة

    2 H₂ + O₂ → 2 H₂O.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الناتج الكلي يساوي الطلب النهائي.

    في الحقيقة: الصناعات تستهلك أيضًا نواتج بعضها، لذا x أكبر من d.

  • خرافة: البصمة تأتي فقط من القطاع الذي تشتري منه.

    في الحقيقة: معكوس ليونتيف يجمع كل الموردين في المراحل السابقة.

  • خرافة: أي A تعطي اقتصادًا معقولًا.

    في الحقيقة: يجب أن تكون مجاميع الأعمدة أقل من 1 كي تكون مدخلات (I − A)⁻¹ غير سالبة.

بطاقات تعليمية

  • مصفوفة الاستهلاك

    المدخلات لكل دولار من الناتج.

  • نموذج ليونتيف

    x = Ax + d.

  • معكوس ليونتيف

    (I − A)⁻¹، المتطلبات الكلية.

  • النموذج الموسّع

    البصمة = e·x.

  • توازن التدفق

    الداخل = الخارج عند كل عقدة.

  • نظام متجانس

    Ax = 0.

اختبار ذاتي

1. حل ليونتيف هو…

اعرض الإجابة

x = (I − A)⁻¹d. من x = Ax + d.

2. العمود j من A يصف…

اعرض الإجابة

ما يشتريه القطاع j لكل دولار من الناتج. المدخلات لكل وحدة من الناتج.

3. البصمة في النموذج الموسّع هي…

اعرض الإجابة

e·x. الشدّة مضروبة في الناتج، مجموعةً.

4. موازنة معادلة كيميائية هي…

اعرض الإجابة

نظام خطي متجانس. عدّ الذرات يعطي Ax = 0.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تستخدم وكالة حماية البيئة الأمريكية EPA هذا النموذج تحديدًا لتتبّع التلوث عبر الاقتصاد. ووفقًا لـ EPA، تجمع نماذج USEEIO الخاصة بها بيانات المعاملات الاقتصادية بين 389 قطاعًا صناعيًا مع البيانات البيئية لتلك القطاعات، بما يشمل استخدام الأراضي والمياه والطاقة والمعادن، وتلوث الهواء، والمغذيات والمواد السامة، لتقييم آثار السلع والخدمات. وتصفها EPA بأنها مفيدة لحساب البصمة الكربونية، وهي تدعم عملها في الإدارة المستدامة للمواد.

مصفوفة استهلاك من 389 قطاعًا فيها 389² = 151321 مدخلًا، وهو عدد يفوق كثيرًا العمل اليدوي لكنه سهل على طرق الحذف وLU في الوحدة 3. ومعكوس ليونتيف هو ما يتيح لمدينة أو شركة أو أسرة رؤية الانبعاثات المخفية في سلاسل إمدادها، لا عند بوابة المصنع فقط.

على Saving Planets: الحلول · الكيمياء العامة I

المصادر: U.S. EPA: US Environmentally-Extended Input-Output (USEEIO) models · Interactive Linear Algebra, 1.1 Systems of linear equations

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوعان 6–7

فضاءات المتجهات والفضاءات الجزئية والاستقلال والأساس والرتبة والفضاءات الجزئية الأساسية الأربعة

الفضاءات المتجهية والفضاءات الجزئية، وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري، والحل الكامل لـ Ax = 0 وAx = b، والاستقلال الخطي، والأساس والبُعد، والرتبة، ومبرهنة الرتبة والصفرية، والفضاءات الجزئية الأساسية الأربعة لسترانغ.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اختبر ما إذا كانت مجموعة فضاءً جزئيًا.
  • أوجد أساسات لفضاء الأعمدة والفضاء الصفري لمصفوفة.
  • اختبر الاستقلال الخطي لمتجهات.
  • استخدم مبرهنة الرتبة والصفرية وأبعاد الفضاءات الجزئية الأساسية الأربعة.

المفاهيم الأساسية

  • الفضاء الجزئي يحوي المتجه الصفري ومغلق تحت الجمع والضرب في عدد قياسي. المستقيمات والمستويات المارّة بنقطة الأصل فضاءات جزئية؛ أما التي لا تمر بها فليست كذلك.
  • فضاء الأعمدة C(A): جميع Ax، أي مجموعة b التي يكون لـ Ax = b حل عندها. الفضاء الصفري N(A): جميع x التي تحقق Ax = 0.
  • تكون المتجهات مستقلة خطيًا إذا كان التركيب الوحيد المعطي للصفر هو الذي معاملاته كلها أصفار. الأساس مجموعة مولِّدة مستقلة؛ وكل أساس للفضاء له العدد نفسه من المتجهات، وهو بُعده.
  • الرتبة r = عدد المحاور = dim C(A). مبرهنة الرتبة والصفرية: r + dim N(A) = n، عدد الأعمدة.
  • الفضاءات الجزئية الأساسية الأربعة لمصفوفة m × n رتبتها r: ‏C(A) (البعد r) وN(Aᵀ) (البعد m − r) في ℝᵐ؛ وC(Aᵀ) (البعد r) وN(A) (البعد n − r) في ℝⁿ. ‏N(A) متعامد مع فضاء الصفوف.

المعادلات الأساسية

C(A)={Ax},  N(A)={x:Ax=0}C(A)=\{A\mathbf{x}\},\ \ N(A)=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=0\}
فضاء الأعمدة والفضاء الصفري
r+dim⁡N(A)=nr+\dim N(A)=n
الرتبة والصفرية
x=xp+xn\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n
الحل الكامل لـ Ax = b
dim⁡N(AT)=m−r\dim N(A^T)=m-r
الفضاء الصفري الأيسر

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 أوجد الرتبة وأساسًا للفضاء الصفري لـ A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]].

اعرض الخطوات
  1. R₂ − 2R₁ = 0؛ R₃ − R₁ = [0, −2, −2]. محوران، إذن r = 2.
  2. Ax = 0: ‏x + z = 0 و−2y − 2z = 0، مع z حر.
  3. خذ z = 1: ‏x = −1، y = −1.

الإجابة: r = 2، وN(A) مولَّد بـ (−1, −1, 1)؛ dim N(A) = 3 − 2 = 1.

مثال 5.2 هل (1, 2, 3) و(4, 5, 6) و(7, 8, 9) مستقلة؟

اعرض الخطوات
  1. اختزل بالصفوف المصفوفة التي أعمدتها هذه المتجهات: R₂ − 2R₁ وR₃ − 3R₁ تعطيان الصفين [0, −3, −6] و[0, −6, −12]، وهما مضاعفان.
  2. محوران فقط.

الإجابة: No: (7, 8, 9) = 2(4, 5, 6) − (1, 2, 3).

مثال 5.3 مصفوفة 5 × 8 رتبتها 3. أعطِ أبعاد فضاءاتها الجزئية الأساسية الأربعة.

اعرض الخطوات
  1. C(A) وC(Aᵀ): ‏r = 3.
  2. N(A): n − r = 8 − 3; N(Aᵀ): m − r = 5 − 3.

الإجابة: 3 و3 و5 و2.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل المستقيم y = 2x + 1 فضاء جزئي من ℝ²؟

    اعرض الإجابة

    لا: فهو لا يحوي (0, 0).

  2. مصفوفة 4 × 4 بُعد فضائها الصفري 2. ما رتبتها؟

    اعرض الإجابة

    4 − 2 = 2.

  3. ما بُعد فضاء المصفوفات 2 × 2؟

    اعرض الإجابة

    4.

  4. هل يمكن أن تكون 4 متجهات في ℝ³ مستقلة؟

    اعرض الإجابة

    لا: 3 على الأكثر.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: أي مستوٍ في ℝ³ فضاء جزئي.

    في الحقيقة: فقط المستويات المارّة بنقطة الأصل.

  • خرافة: الرتبة تعدّ المدخلات غير الصفرية.

    في الحقيقة: إنها تعدّ المحاور (الأعمدة المستقلة).

  • خرافة: الفضاء الصفري يقع في الفضاء نفسه الذي يقع فيه b.

    في الحقيقة: N(A) في ℝⁿ (جهة x)؛ وb في ℝᵐ.

بطاقات تعليمية

  • فضاء جزئي

    يحوي 0؛ مغلق تحت + والضرب في عدد.

  • فضاء الأعمدة

    All Ax.

  • الفضاء الصفري

    جميع x التي تحقق Ax = 0.

  • أساس

    مجموعة مولِّدة مستقلة.

  • الرتبة

    عدد المحاور.

  • الرتبة والصفرية

    r + dim N(A) = n.

اختبار ذاتي

1. تنص مبرهنة الرتبة والصفرية على أن r + dim N(A) يساوي…

اعرض الإجابة

n. عدد الأعمدة.

2. يكون لـ Ax = b حل تمامًا حين يقع b في…

اعرض الإجابة

C(A). يجب أن يكون b تركيبًا من الأعمدة.

3. الفضاء الصفري متعامد مع…

اعرض الإجابة

فضاء الصفوف. حاصل الضرب القياسي لكل صف في x يساوي 0.

4. كم متجهًا في أساس ℝ³؟

اعرض الإجابة

3. البعد 3.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

البعد يعدّ المجاهيل، والتنبؤات الأفضل تحتاج إلى المزيد منها. قالت NOAA إن ترقية حواسيبها الفائقة في 2023 ستتيح لنظام التنبؤ العالمي الأمريكي (Global Forecast System) تحسين دقته الأفقية من 13 km إلى 9 km، مما يساعد على رؤية الظواهر الأصغر نطاقًا ومحاكاتها.

شبكة تباعدها h فيها نحو (1/h)² عمود لكل وحدة مساحة، لذا فإن الانتقال من 13 km إلى 9 km يضرب عدد أعمدة الشبكة في (13/9)² = 2.09. وكل عمود منها يحمل درجة الحرارة والرياح والرطوبة والضغط عند مستويات كثيرة، فيقع متجه حالة التنبؤ في فضاء ذي بُعد أكبر بكثير، وتكبر المصفوفات التي تحدّثه تبعًا لذلك.

على Saving Planets: التفاضل والتكامل 3 · المعادلات التفاضلية

المصادر: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · Interactive Linear Algebra, 2.7 Basis and dimension

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوعان 8–9

التعامد والإسقاطات والمربعات الصغرى وغرام–شميت

المتجهات والفضاءات الجزئية المتعامدة، والإسقاط على مستقيم وعلى فضاء جزئي، والمعادلات الطبيعية AᵀAx̂ = Aᵀb، وملاءمة المستقيمات والمنحنيات للبيانات بالمربعات الصغرى، والأساسات المتعامدة المعيارية، وغرام–شميت وA = QR.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • أسقط متجهًا على مستقيم وعلى فضاء أعمدة.
  • لائم مستقيمًا للبيانات بالمعادلات الطبيعية.
  • ابنِ أساسًا متعامدًا معياريًا بطريقة غرام–شميت.
  • اشرح لماذا تكون المربعات الصغرى إسقاطًا.

المفاهيم الأساسية

  • إسقاط b على المستقيم المار بـ a هو p = (a·b/a·a) a؛ والخطأ e = b − p متعامد مع a.
  • عندما لا يكون لـ Ax = b حل (معادلات أكثر من المجاهيل، بيانات مشوّشة)، اختر x̂ بحيث يكون ‖b − Ax̂‖ أصغر ما يمكن. يجب أن يكون الخطأ متعامدًا مع C(A)، فنحصل على المعادلات الطبيعية AᵀAx̂ = Aᵀb.
  • لمستقيم y = C + Dt يمر بالنقاط (tᵢ, yᵢ)، أعمدة A هي عمود من الآحاد وقيم tᵢ.
  • المتجهات المتعامدة المعيارية qᵢ تحقق qᵢ·qⱼ = 0 (i ≠ j) و‖qᵢ‖ = 1. إذا كانت أعمدة Q متعامدة معيارية، فإن QᵀQ = I وتصبح الإسقاطات p = QQᵀb.
  • تطرح طريقة غرام–شميت من كل متجه جديد إسقاطاته على المتجهات السابقة، ثم تجعله معياريًا. والنتيجة A = QR حيث R مثلثية علوية.

المعادلات الأساسية

p=a⋅ba⋅a a\mathbf{p}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\,\mathbf{a}
الإسقاط على مستقيم
ATAx^=ATbA^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}
المعادلات الطبيعية
P=A(ATA)−1ATP=A(A^TA)^{-1}A^T
مصفوفة الإسقاط
A=QRA=QR
تحليل غرام–شميت

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 أسقط b = (2, 3) على a = (1, 1).

اعرض الخطوات
  1. a·b = 5, a·a = 2.
  2. p = 2.5(1, 1)؛ e = b − p = (−0.5, 0.5)، وe·a = 0.

الإجابة: p = (2.5, 2.5).

مثال 6.2 لائم y = C + Dt للنقاط (0, 1) و(1, 2) و(2, 4) بالمربعات الصغرى.

اعرض الخطوات
  1. صفوف A هي (1, 0) و(1, 1) و(1, 2)؛ AᵀA = [[3, 3], [3, 5]]، Aᵀb = (7, 10).
  2. det = 6؛ C = (5 × 7 − 3 × 10)/6، D = (3 × 10 − 3 × 7)/6.

الإجابة: C = 0.833, D = 1.5: y = 0.833 + 1.5t.

مثال 6.3 طبّق غرام–شميت على a₁ = (1, 1, 0) وa₂ = (1, 0, 1).

اعرض الخطوات
  1. q₁ = (1, 1, 0)/√2.
  2. a₂ − (a₂·q₁)q₁ = (1, 0, 1) − ½(1, 1, 0) = (0.5, −0.5, 1)، وطوله √1.5 = 1.225.

الإجابة: q₁ = (0.707, 0.707, 0), q₂ = (0.408, −0.408, 0.816).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أسقط (3, 4) على (1, 0).

    اعرض الإجابة

    (3, 0).

  2. اكتب المعادلات الطبيعية لملاءمة y = Dt (دون مقطع) للنقطتين (1, 2) و(2, 3).

    اعرض الإجابة

    Σt² D = Σty: 5D = 8, D = 1.6.

  3. هل Q = [[0, 1], [1, 0]] متعامدة؟

    اعرض الإجابة

    Yes: QᵀQ = I.

  4. إذا كان b في C(A) أصلًا، فما خطأ المربعات الصغرى؟

    اعرض الإجابة

    صفر: p = b.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: المربعات الصغرى تحل Ax = b حلًا تامًا.

    في الحقيقة: إنها تجد أقرب Ax̂ حين لا يوجد حل تام.

  • خرافة: أي أساس يجعل الإسقاطات سهلة.

    في الحقيقة: الأساسات المتعامدة المعيارية فقط؛ وإلا فأنت تحتاج إلى (AᵀA)⁻¹.

  • خرافة: ملاءمة مستقيم تعني أن البيانات خطية.

    في الحقيقة: افحص البواقي؛ فقد يلائم منحنى بشكل أفضل (أضف عمود t²).

بطاقات تعليمية

  • الإسقاط على مستقيم

    p = (a·b/a·a)a.

  • المعادلات الطبيعية

    AᵀAx̂ = Aᵀb.

  • مصفوفة الإسقاط

    P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.

  • متعامد معياري

    qᵢ·qⱼ = 0, ‖qᵢ‖ = 1.

  • غرام–شميت

    اطرح الإسقاطات، ثم اجعل معياريًا.

  • QR

    A = QR.

اختبار ذاتي

1. المعادلات الطبيعية هي…

اعرض الإجابة

AᵀAx̂ = Aᵀb. الخطأ متعامد مع C(A).

2. متجه خطأ المربعات الصغرى متعامد مع…

اعرض الإجابة

فضاء الأعمدة. وهذا ما يجعله الأقصر.

3. إذا كانت أعمدة Q متعامدة معيارية، فإن QᵀQ =…

اعرض الإجابة

I. حواصل الضرب القياسي 0 أو 1.

4. تنتج طريقة غرام–شميت…

اعرض الإجابة

A = QR. Q متعامدة معيارية، وR مثلثية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يُقاس ارتفاع مستوى سطح البحر بملاءمة منحنيات لبيانات أقمار صناعية مشوّشة. تفيد NASA بأن مقاييس الارتفاع الساتلية، TOPEX/Poseidon وJason-1 و-2 و-3 والآن Sentinel-6 Michael Freilich، ترصد المتوسط العالمي لمستوى سطح البحر منذ 1993، وأنه ارتفع 114.4 mm منذ ذلك الحين، وأن معدل الارتفاع ازداد من 0.08 بوصة سنويًا (0.20 cm سنويًا) في 1993 إلى 0.17 بوصة سنويًا (0.44 cm سنويًا) الآن، أي أسرع بنحو 2.2 مرة.

الملاءمة بمستقيم بالمربعات الصغرى تعطي معدلًا متوسطًا؛ وإضافة عمود t² إلى A تلائم منحنى يقيس ميله المتغير التسارعَ الذي تصفه NASA. يلائم المختبر D بيانات توضيحية على شكل سجل NASA باستخدام المعادلات الطبيعية نفسها من هذه الوحدة.

على Saving Planets: المحيطات · رصد الأرض

المصادر: NASA: Global mean sea level (Vital Signs) · Interactive Linear Algebra, 6.5 The method of least squares

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوع 10

المحددات: الخواص والعوامل المرافقة وقاعدة كرامر والحجم

المحدِّد انطلاقًا من خواصه، وحسابه بالحذف وبالنشر بالمرافقات، وdet(AB) = det A det B، واختبار قابلية العكس، وقاعدة كرامر، والمحدِّد بوصفه معامل تغيير المساحة أو الحجم لتحويل خطي.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب محددات 2 × 2 و3 × 3 بالمرافقات وبالحذف.
  • استخدم خواص المحددات تحت عمليات الصفوف.
  • حل أنظمة صغيرة بقاعدة كرامر.
  • فسّر |det A| بوصفه معامل تغيير المساحة أو الحجم.

المفاهيم الأساسية

  • det A ≠ 0 تمامًا حين تكون A قابلة للعكس. محدِّد المصفوفة المثلثية هو حاصل ضرب مدخلاتها القطرية، لذا det A = ± (حاصل ضرب المحاور).
  • عمليات الصفوف: التبديل يعكس الإشارة، وضرب صف في c يضرب det في c، وإضافة مضاعف صف إلى آخر لا تغيّر det.
  • det(AB) = det A · det B، وdet(Aᵀ) = det A، وdet(A⁻¹) = 1/det A.
  • النشر بالمرافقات على طول صف: det A = Σ aᵢⱼCᵢⱼ حيث Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ مضروبًا في المصغَّر. قاعدة كرامر: xᵢ = det(Bᵢ)/det A، حيث Bᵢ فيها b في العمود i.
  • التحويل الخطي x ↦ Ax يضرب المساحات (2D) أو الأحجام (3D) في |det A|؛ والمحدِّد السالب يعكس الاتجاه أيضًا.

المعادلات الأساسية

det⁡[abcd]=ad−bc\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc
محدِّد 2 × 2
det⁡(AB)=det⁡A det⁡B\det(AB)=\det A\,\det B
قاعدة الضرب
xi=det⁡Bidet⁡Ax_i=\frac{\det B_i}{\det A}
قاعدة كرامر
area(AS)=∣det⁡A∣ area(S)\text{area}(AS)=|\det A|\,\text{area}(S)
معامل تغيير المساحة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 أوجد det [[1, 2, 0], [0, 1, 3], [2, 0, 1]] بالمرافقات على طول الصف 1.

اعرض الخطوات
  1. 1 × (1 × 1 − 3 × 0) = 1.
  2. − 2 × (0 × 1 − 3 × 2) = −2 × (−6) = 12.
  3. + 0 × (…) = 0.

الإجابة: det = 13.

مثال 7.2 حل 2x + y = 5، x + 3y = 10 بقاعدة كرامر.

اعرض الخطوات
  1. det A = 6 − 1 = 5.
  2. x = det[[5, 1], [10, 3]]/5 = (15 − 10)/5.
  3. y = det[[2, 5], [1, 10]]/5 = (20 − 5)/5.

الإجابة: x = 1, y = 3.

مثال 7.3 أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه (3, 0) و(1, 2).

اعرض الخطوات
  1. المساحة = |det [[3, 1], [0, 2]]| = |6 − 0|.

الإجابة: 6 وحدات مربعة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. det [[3, 1], [2, 4]]؟

    اعرض الإجابة

    12 − 2 = 10.

  2. det [[2, 0, 1], [1, 3, 2], [1, 1, 1]]؟

    اعرض الإجابة

    2(3 − 2) − 0 + 1(1 − 3) = 0، إذن هي منفردة.

  3. إذا كان det A = 4 لمصفوفة A من النوع 3 × 3، فما det(2A)؟

    اعرض الإجابة

    2³ × 4 = 32.

  4. إذا كان det A = 5، فما det(A⁻¹)؟

    اعرض الإجابة

    1/5 = 0.2.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: det(A + B) = det A + det B.

    في الحقيقة: خطأ عمومًا؛ det(AB) وحده ينفصل.

  • خرافة: det(2A) = 2 det A.

    في الحقيقة: لمصفوفة n × n، det(2A) = 2ⁿ det A.

  • خرافة: النشر بالمرافقات هو الطريقة السريعة.

    في الحقيقة: يتطلب نحو n! خطوة؛ والحذف نحو n³/3.

بطاقات تعليمية

  • محدِّد 2 × 2

    ad − bc.

  • قابلية العكس

    det A ≠ 0.

  • قاعدة الضرب

    det(AB) = det A det B.

  • تبديل الصفوف

    يعكس الإشارة.

  • قاعدة كرامر

    xᵢ = det Bᵢ/det A.

  • معامل المساحة

    |det A|.

اختبار ذاتي

1. تبديل صفين يضرب det في…

اعرض الإجابة

−1. الإشارة تنعكس.

2. det A = 0 يعني أن A…

اعرض الإجابة

منفردة. غير قابلة للعكس.

3. محدِّد المصفوفة المثلثية هو…

اعرض الإجابة

حاصل ضرب القطر. انشر على طول القطر.

4. تحويل محدِّده det = 3 يغيّر المساحات بمعامل…

اعرض الإجابة

3. |det A|.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تحويل البكسلات إلى مساحة أرضية هو محدِّد. تذكر USGS أن نطاقات Landsat 9 متعددة الأطياف بدقة 30 m ونطاقها البانكروماتي بدقة 15 m. التحويل من مؤشرات البكسل (i, j) إلى الإحداثيات الأرضية هو محليًا مصفوفة؛ ولشبكة محاذية بدقة 30 m هو diag(30, 30) m، ومحدِّده 900، فيغطي كل بكسل 900 m². وللشبكة البانكروماتية بدقة 15 m محدِّد قدره 225 m²، فتتسع أربعة بكسلات بانكروماتية في بكسل واحد متعدد الأطياف.

عدّ البكسلات المصنفة غابةً وضربها في معامل التغيير هذا هو الطريقة التي تقيس بها السجلات الساتلية فقدان الغابات بالهكتارات (1 ha = 10000 m²، أي نحو 11.1 بكسل Landsat). وعند تدوير صورة أو قصّها لتطابق خريطة، يحافظ محدِّد المصفوفة الجديدة على صحة المساحة.

على Saving Planets: إزالة الغابات · رصد الأرض

المصادر: USGS: Landsat 9 · Interactive Linear Algebra, 4.3 Determinants and volumes

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوع 11

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

المتجهات الذاتية بوصفها اتجاهات تمطّها المصفوفة فقط، والمعادلة المميزة det(A − λI) = 0، والتحقق بالأثر والمحدِّد، والقيم الذاتية لمصفوفات خاصة، والقيم الذاتية العقدية والدوران، وطريقة القوى، والأنماط الطبيعية للمنشآت المهتزة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • أوجد القيم الذاتية من det(A − λI) = 0 والمتجهات الذاتية من الفضاء الصفري لـ A − λI.
  • تحقق من القيم الذاتية بالأثر والمحدِّد.
  • ميّز القيم الذاتية الحقيقية والمكررة والعقدية.
  • استخدم طريقة القوى لإيجاد القيمة الذاتية المهيمنة.

المفاهيم الأساسية

  • Av = λv مع v ≠ 0: يحافظ المتجه الذاتي v على اتجاهه ويُضرب في القيمة الذاتية λ.
  • القيم الذاتية هي جذور det(A − λI) = 0، وهي كثيرة حدود من الدرجة n. ولكل λ تملأ المتجهاتُ الذاتية الفضاءَ الصفري لـ A − λI.
  • التحقق: مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر (مجموع القطر) وحاصل ضربها يساوي det A.
  • المصفوفات المتناظرة لها قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة. مصفوفات الدوران لها قيم ذاتية عقدية. والمصفوفات المثلثية تُظهر قيمها الذاتية على القطر.
  • طريقة القوى: اضرب متجهًا ابتدائيًا في A مرارًا وأعد تحجيمه؛ فيصطف مع المتجه الذاتي لأكبر |λ|. وفي الاهتزازات، تعطي Kv = ω²Mv الترددات الطبيعية ω وأشكال الأنماط v.

المعادلات الأساسية

Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
معادلة القيم الذاتية
det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
المعادلة المميزة
λ1+⋯+λn=tr⁡A,  λ1⋯λn=det⁡A\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}A,\ \ \lambda_1\cdots\lambda_n=\det A
التحقق بالأثر والمحدِّد
Kv=ω2MvK\mathbf{v}=\omega^2M\mathbf{v}
الأنماط الطبيعية لمنشأة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لـ A = [[2, 1], [1, 2]].

اعرض الخطوات
  1. det(A − λI) = (2 − λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = 0.
  2. λ = 3: ‏A − 3I = [[−1, 1], [1, −1]] تعطي v = (1, 1). ‏λ = 1: ‏v = (1, −1).
  3. تحقق: 3 + 1 = 4 = الأثر؛ 3 × 1 = 3 = det.

الإجابة: λ = 3 مع (1, 1)؛ λ = 1 مع (1, −1).

مثال 8.2 أوجد القيم الذاتية لـ [[4, 1], [2, 3]].

اعرض الخطوات
  1. λ² − 7λ + 10 = 0 (الأثر 7، det 10).
  2. (λ − 5)(λ − 2) = 0.

الإجابة: λ = 5 وλ = 2.

مثال 8.3 مبنى توضيحي من طابقين فيه كتل طوابق متساوية m وصلابة طابق k، حيث K/m = (k/m)[[2, −1], [−1, 1]] وk/m = 100 s⁻². أوجد التردد الأساسي.

اعرض الخطوات
  1. القيم الذاتية لـ [[2, −1], [−1, 1]]: ‏λ = (3 ± √5)/2 = 0.382 و2.618.
  2. ω₁² = 100 × 0.382 = 38.2 s⁻²، ω₁ = 6.18 rad/s.
  3. f₁ = ω₁/(2π), T₁ = 1/f₁.

الإجابة: f₁ = 0.984 Hz، والدور T₁ = 1.02 s (قيم توضيحية).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. القيم الذاتية لـ [[5, 0], [0, −2]]؟

    اعرض الإجابة

    5 و−2 (القطر).

  2. مصفوفة 3 × 3 قيمها الذاتية 1 و2 و3. أوجد أثرها ومحدِّدها.

    اعرض الإجابة

    الأثر 6، det 6.

  3. القيم الذاتية للدوران بزاوية 90° ‏[[0, −1], [1, 0]]؟

    اعرض الإجابة

    λ² + 1 = 0: λ = ±i.

  4. إذا كان Av = 4v، فما A²v؟

    اعرض الإجابة

    16v.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: المتجه الصفري متجه ذاتي.

    في الحقيقة: يجب أن تكون المتجهات الذاتية غير صفرية.

  • خرافة: الاختزال بالصفوف يحافظ على القيم الذاتية.

    في الحقيقة: إنه يغيّرها؛ استخدم det(A − λI).

  • خرافة: كل مصفوفة حقيقية لها قيم ذاتية حقيقية.

    في الحقيقة: الدورانات تعطي قيمًا عقدية؛ والمصفوفات المتناظرة هي الحالة الآمنة.

بطاقات تعليمية

  • متجه ذاتي

    Av = λv, v ≠ 0.

  • المعادلة المميزة

    det(A − λI) = 0.

  • التحقق بالأثر

    Σλ = الأثر.

  • التحقق بالمحدِّد

    Πλ = det A.

  • طريقة القوى

    الضرب المتكرر يجد المتجه الذاتي المهيمن.

  • الأنماط الطبيعية

    Kv = ω²Mv.

اختبار ذاتي

1. القيم الذاتية لمصفوفة مثلثية هي…

اعرض الإجابة

مدخلاتها القطرية. det(A − λI) حاصل ضرب حدود قطرية.

2. مجموع القيم الذاتية يساوي…

اعرض الإجابة

الأثر. التحقق بالأثر.

3. طريقة القوى تجد…

اعرض الإجابة

القيمة الذاتية المهيمنة. أكبر |λ| يغلب.

4. المصفوفات المتناظرة لها…

اعرض الإجابة

قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة. المبرهنة الطيفية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يقرأ مهندسو الزلازل المباني من خلال قيمها الذاتية. استخدمت دراسة لـ USGS أعدّها محمد تشلبي (2022) الأدوار الأساسية ونسب التخميد الحرج لـ 41 مبنى شاهقًا في عدة دول. ووجدت اتجاهًا خطيًا واضحًا بين ارتفاع المبنى ودوره الأساسي للمباني الفولاذية والخرسانية المسلحة، وإن كان مع تشتت كبير ناتج عن اختلاف التصاميم الإنشائية، ووجدت أن التخميد الحرج أقل بوضوح من 3%، بما يتسق مع دراسات حديثة أخرى عن المباني الشاهقة.

يتحدد الدور الأساسي بأصغر قيمة ذاتية لمسألة الصلابة–الكتلة، كما في مثال المبنى ذي الطابقين. والتخميد المنخفض يعني أن المبنى الشاهق قد يظل يهتز طويلًا حين توافق موجات زلزالية طويلة الدور ذلك الدور، ولهذا توجّه المباني المزودة بأجهزة القياس وأنماطها المقيسة نحو مدن أكثر أمانًا وأطول عمرًا.

على Saving Planets: المعادلات التفاضلية · الديناميكا

المصادر: USGS: Preliminary study of correlation of natural periods and damping percentages of tall buildings in several countries (Çelebi, 2022) · Interactive Linear Algebra, 5.1 Eigenvalues and eigenvectors

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسبوع 12

التقطير وقوى المصفوفات وسلاسل ماركوف والأنظمة الديناميكية الخطية

قطرنة A = PDP⁻¹، وحساب القوى Aᵏ بسرعة، والمصفوفات المتناظرة والمبرهنة الطيفية A = QΛQᵀ، ومصفوفات ماركوف (العشوائية) والحالات المستقرة، والسلوك طويل الأمد لـ xₖ₊₁ = Axₖ.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • قطرن مصفوفة لها n متجهًا ذاتيًا مستقلًا.
  • احسب Aᵏ وتنبأ بالسلوك طويل الأمد لـ xₖ₊₁ = Axₖ.
  • أوجد الحالة المستقرة لسلسلة ماركوف.
  • استخدم المبرهنة الطيفية للمصفوفات المتناظرة.

المفاهيم الأساسية

  • إذا كان لـ A عدد n من المتجهات الذاتية المستقلة (أعمدة P)، فإن A = PDP⁻¹ مع القيم الذاتية على قطر D، وAᵏ = PDᵏP⁻¹.
  • اكتب x₀ = c₁v₁ + … + cₙvₙ. عندئذ xₖ = Aᵏx₀ = c₁λ₁ᵏv₁ + … + cₙλₙᵏvₙ؛ وأكبر |λ| يهيمن مع ازدياد k.
  • مصفوفة ماركوف مدخلاتها غير سالبة ومجموع كل عمود فيها 1. لها دائمًا λ = 1، والقيم الذاتية الأخرى تحقق |λ| ≤ 1. الحالة المستقرة هي المتجه الذاتي لـ λ = 1، محجّمًا بحيث يكون مجموع مدخلاته 1.
  • ثاني أكبر |λ| يحدد سرعة نسيان سلسلة ماركوف لبدايتها: الفارق يتقلص مثل |λ₂|ᵏ.
  • المبرهنة الطيفية: يمكن كتابة مصفوفة متناظرة حقيقية بالشكل A = QΛQᵀ مع متجهات ذاتية متعامدة معيارية في Q.

المعادلات الأساسية

A=PDP−1,  Ak=PDkP−1A=PDP^{-1},\ \ A^k=PD^kP^{-1}
القطرنة والقوى
xk=c1λ1kv1+⋯+cnλnkvn\mathbf{x}_k=c_1\lambda_1^k\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\lambda_n^k\mathbf{v}_n
حل x_{k+1} = Ax_k
Pq=q,  ∑qi=1P\mathbf{q}=\mathbf{q},\ \ \textstyle\sum q_i=1
الحالة المستقرة لماركوف
A=QΛQTA=Q\Lambda Q^T
المبرهنة الطيفية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 استخدم القطرنة لإيجاد A¹⁰ حيث A = [[2, 1], [1, 2]].

اعرض الخطوات
  1. من الوحدة 8: ‏λ = 3, 1 مع v = (1, 1), (1, −1). ‏P = [[1, 1], [1, −1]]، P⁻¹ = ½[[1, 1], [1, −1]].
  2. A¹⁰ = P diag(3¹⁰, 1) P⁻¹؛ وكل مدخل يساوي (3¹⁰ ± 1)/2.

الإجابة: A¹⁰ = [[29525, 29524], [29524, 29525]].

مثال 9.2 مصفوفة ماركوف هي P = [[0.8, 0.3], [0.2, 0.7]] (قيم توضيحية). أوجد الحالة المستقرة.

اعرض الخطوات
  1. (P − I)q = 0: ‏−0.2q₁ + 0.3q₂ = 0، إذن q₁ = 1.5q₂.
  2. q₁ + q₂ = 1 تعطي q₂ = 0.4.

الإجابة: q = (0.6, 0.4).

مثال 9.3 انطلاقًا من x₀ = (1, 0)، أوجد x₂ للمصفوفة P نفسها، وxₖ العام.

اعرض الخطوات
  1. x₁ = (0.8, 0.2); x₂ = (0.64 + 0.06, 0.16 + 0.14).
  2. القيم الذاتية 1 و0.5 (الأثر 1.5، det 0.5)، إذن xₖ = (0.6, 0.4) + 0.5ᵏ(0.4, −0.4).

الإجابة: x₂ = (0.70, 0.30); xₖ → (0.6, 0.4).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل [[0.5, 0.2], [0.5, 0.8]] مصفوفة ماركوف؟

    اعرض الإجابة

    نعم: مدخلات غير سالبة، ومجموع كل عمود 1.

  2. أوجد حالتها المستقرة.

    اعرض الإجابة

    0.5q₁ = 0.2q₂، إذن q = (2/7, 5/7) = (0.286, 0.714).

  3. إذا كانت A = PDP⁻¹ مع D = diag(0.9, 0.5)، فماذا يحدث لـ Aᵏx عندما تكبر k؟

    اعرض الإجابة

    يضمحل إلى الصفر، وتهيمن عليه 0.9ᵏ.

  4. هل يمكن قطرنة [[1, 1], [0, 1]]؟

    اعرض الإجابة

    لا: λ = 1 مكررة مرتين لكن هناك متجه ذاتي مستقل واحد فقط.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: كل مصفوفة قابلة للقطرنة.

    في الحقيقة: يلزم n متجهًا ذاتيًا مستقلًا؛ و[[1, 1], [0, 1]] لها متجه واحد فقط.

  • خرافة: الحالة المستقرة لسلسلة ماركوف تعتمد على البداية.

    في الحقيقة: في السلسلة المنتظمة لا؛ فكل بداية تتقارب إلى q نفسه.

  • خرافة: Aᵏ تعني رفع كل مدخل إلى القوة k.

    في الحقيقة: المصفوفات القطرية وحدها تعمل هكذا؛ ولهذا نقطرن.

بطاقات تعليمية

  • القطرنة

    A = PDP⁻¹.

  • قوة المصفوفة

    Aᵏ = PDᵏP⁻¹.

  • مصفوفة ماركوف

    غير سالبة، ومجموع كل عمود 1.

  • الحالة المستقرة

    Pq = q، ومجموع المدخلات 1.

  • المبرهنة الطيفية

    A = QΛQᵀ.

  • مصفوفة ناقصة

    متجهات ذاتية أقل من اللازم للقطرنة.

اختبار ذاتي

1. كل مصفوفة ماركوف لها القيمة الذاتية…

اعرض الإجابة

1. مجموع كل عمود 1.

2. Aᵏ حيث A = PDP⁻¹ هي…

اعرض الإجابة

PDᵏP⁻¹. حدود P⁻¹P الداخلية تُختصر.

3. سرعة تقارب سلسلة ماركوف يحددها…

اعرض الإجابة

|λ₂|. الفارق يتقلص مثل |λ₂|ᵏ.

4. المصفوفات المتناظرة تُقطرن بالشكل…

اعرض الإجابة

QΛQᵀ. المبرهنة الطيفية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

مصير المواد سلسلة ماركوف. تفيد EPA بأن الولايات المتحدة أنتجت 292.4 مليون طن من النفايات الصلبة البلدية في 2018، أي 4.9 رطل للفرد يوميًا. أُعيد تدوير نحو 69 مليون طن وحُوِّل 25 مليون طن إلى سماد، بمعدل مشترك قدره 32.1%؛ وأُحرق نحو 35 مليون طن (11.8%) مع استرداد الطاقة؛ وطُمر أكثر من 146 مليون طن (50%) في المكبات.

لو بقيت حصص كل عام ثابتة، لخرجت المادة من الاستخدام إلى هذه الوجهات بهذه الاحتمالات، ولعادت الحصة المعاد تدويرها وحدها إلى الاقتصاد. يبني المختبر E مصفوفة انتقال توضيحية بحصة استرداد قدرها 32.1%، ويبيّن بقوى المصفوفات والمتجه الذاتي لـ λ = 1 كيف تغيّر زيادةُ إعادة التدوير مدةَ بقاء المادة قيد الاستخدام وكميةَ ما يصل إلى المكبات.

على Saving Planets: الحلول

المصادر: U.S. EPA: National overview, facts and figures on materials, wastes and recycling · Interactive Linear Algebra, 5.6 Stochastic matrices

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسابيع 13–14

تحليل القيم المفردة وتحليل المكونات الرئيسية والمصفوفات الموجبة التحديد

المصفوفات الموجبة التحديد وAᵀA، وتحليل القيم المنفردة A = UΣVᵀ، والقيم المنفردة وهندسة المصفوفة بوصفها دورانًا–مطًّا–دورانًا، وأفضل تقريب منخفض الرتبة وضغط الصور، وعدد الشرط، وتحليل المكونات الرئيسية للبيانات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اختبر ما إذا كانت مصفوفة متناظرة موجبة التحديد.
  • احسب القيم المنفردة من القيم الذاتية لـ AᵀA.
  • ابنِ تقريبًا من الرتبة k وقِس ما يحتفظ به.
  • نفّذ تحليل مكونات رئيسية صغيرًا.

المفاهيم الأساسية

  • المصفوفة المتناظرة موجبة التحديد حين يكون xᵀAx > 0 لكل x ≠ 0؛ وبصورة مكافئة تكون جميع القيم الذاتية (أو جميع المحاور) موجبة. وAᵀA دائمًا متناظرة وموجبة شبه التحديد.
  • لكل مصفوفة m × n تحليل قيم منفردة A = UΣVᵀ: أعمدة V وU متعامدة معيارية، وتحوي Σ القيم المنفردة σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0، وهي الجذور التربيعية للقيم الذاتية لـ AᵀA.
  • A = σ₁u₁v₁ᵀ + σ₂u₂v₂ᵀ + …. الاحتفاظ بأول k حدود يعطي أفضل تقريب من الرتبة k (إيكارت–يونغ)؛ والخطأ في المعيار 2 هو σₖ₊₁.
  • عدد الشرط σ₁/σₙ يقيس مقدار تضخم الأخطاء في b عند حل Ax = b.
  • تحليل المكونات الرئيسية: مركِز البيانات (اطرح متوسطات الأعمدة)، فتكون المتجهات المنفردة اليمنى (المتجهات الذاتية لمصفوفة التغاير) هي الاتجاهات الرئيسية، وσᵢ² يقيس التباين الذي يفسره كل منها.

المعادلات الأساسية

A=UΣVTA=U\Sigma V^T
تحليل القيم المنفردة
σi=λi(ATA)\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)}
القيم المنفردة
Ak=∑i=1kσiuiviTA_k=\sum_{i=1}^{k}\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T
أفضل تقريب من الرتبة k
κ=σ1/σn\kappa=\sigma_1/\sigma_n
عدد الشرط

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 أوجد القيم المنفردة لـ A = [[3, 0], [4, 5]].

اعرض الخطوات
  1. AᵀA = [[25, 20], [20, 25]]، والقيم الذاتية 45 و5.
  2. σ₁ = √45، σ₂ = √5. تحقق: σ₁σ₂ = 15 = |det A|.

الإجابة: σ₁ = 6.708, σ₂ = 2.236.

مثال 10.2 ما الحصة من «طاقة» AᵀA ‏Σσ² التي يحتفظ بها التقريب من الرتبة 1 لتلك A؟

اعرض الخطوات
  1. σ₁²/(σ₁² + σ₂²) = 45/50.

الإجابة: 90%.

مثال 10.3 صورة رمادية بحجم 1000 × 1000 مخزنة بوصفها تحليل قيم منفردة من الرتبة 50. كم عددًا يُخزَّن مقارنةً بالصورة الكاملة؟

اعرض الخطوات
  1. كل حد يحتاج إلى u واحد (1000) وv واحد (1000) وσ واحدة: 2001 عدد.
  2. 50 × 2001 = 100050 مقابل 1000000.

الإجابة: 100050 عدد، أي نحو 10.0% من الأصل.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل [[2, 1], [1, 2]] موجبة التحديد؟

    اعرض الإجابة

    نعم: القيمتان الذاتيتان 3 و1 موجبتان.

  2. أوجد عدد الشرط لـ diag(10, 0.1).

    اعرض الإجابة

    10/0.1 = 100.

  3. بيانات 2D ممركزة تغايرها [[2, 1], [1, 2]]. ما حصة التباين التي يفسرها المكون الرئيسي الأول؟

    اعرض الإجابة

    القيمتان الذاتيتان 3 و1: ‏3/4 = 75%، على امتداد (1, 1).

  4. ما القيم المنفردة لمصفوفة متعامدة؟

    اعرض الإجابة

    كلها تساوي 1.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: القيم المنفردة هي القيم الذاتية لـ A.

    في الحقيقة: إنها الجذور التربيعية للقيم الذاتية لـ AᵀA، ولا تكون سالبة أبدًا.

  • خرافة: المصفوفات المربعة وحدها لها تحليل قيم منفردة.

    في الحقيقة: كل مصفوفة لها ذلك.

  • خرافة: تحليل المكونات الرئيسية يعمل على البيانات الخام.

    في الحقيقة: مركِز البيانات أولًا، وحجّم المتغيرات المقيسة بوحدات مختلفة.

بطاقات تعليمية

  • SVD

    A = UΣVᵀ.

  • قيمة منفردة

    σᵢ = √λᵢ(AᵀA).

  • موجبة التحديد

    xᵀAx > 0، وجميع λ > 0.

  • إيكارت–يونغ

    تحليل القيم المنفردة المبتور هو أفضل تقريب من الرتبة k.

  • عدد الشرط

    σ₁/σₙ.

  • PCA

    تحليل القيم المنفردة للبيانات الممركزة.

اختبار ذاتي

1. القيم المنفردة…

اعرض الإجابة

غير سالبة. الجذور التربيعية للقيم الذاتية لـ AᵀA ‏≥ 0.

2. أفضل تقريب من الرتبة k يحتفظ بـ…

اعرض الإجابة

أكبر k حدود منفردة. إيكارت–يونغ.

3. عدد الشرط الكبير يعني…

اعرض الإجابة

أن الأخطاء قد تتضخم. شبه منفردة.

4. في تحليل المكونات الرئيسية، الاتجاه الرئيسي الأول هو…

اعرض الإجابة

المتجه المنفرد الأيمن الأول للبيانات الممركزة. اتجاه أكبر تباين.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يرسم مطياف التصوير EMIT التابع لمختبر JPL في NASA على متن محطة الفضاء الدولية خرائطَ المعادن في مناطق مصادر الغبار على الأرض. ويقول JPL إنه يجمع أكثر من 100000 طيف في الثانية، أي 3.6 × 10⁸ طيف في الساعة، وإن مهمته مُددت حتى 2026 على الأقل. للغبار أهمية مناخية: يلاحظ JPL أن المعادن الداكنة تمتص ضوء الشمس وتدفئ الهواء، بينما تعكسه المعادن الفاتحة وتبرّد.

كل طيف متجه طويل من الانعكاسيات عند أطوال موجية كثيرة، والأطوال الموجية المتجاورة شديدة الارتباط. يضغط تحليل المكونات الرئيسية وتحليل القيم المنفردة هذه البيانات في مكونات قليلة، ويفصلان الإشارة عن الضجيج، ويستخرجان بصمات المعادن المنفردة، وهي الرياضيات نفسها المستخدمة في مختبر ضغط الصور.

على Saving Planets: رصد الأرض · الفضاء

المصادر: NASA JPL: EMIT, Earth Surface Mineral Dust Source Investigation · MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Computation lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

كل مختبر يُنفَّذ في جدول بيانات مجاني أو على الورق؛ ونسخ Python اختيارية. خذ فترات راحة منتظمة من الشاشة، وتعامل مع الدبابيس والمقصات بحذر.

مرجع السلامة: OSHA: Computer workstations eTool

المختبر A: متجهات البكسلات ومؤشر الغطاء النباتي

الأسبوع 2

الهدف: عامل بكسلات الأقمار الصناعية بوصفها متجهات: احسب الأطوال والزوايا بين البكسلات وNDVI، ولاحظ أن الغطاء النباتي والتربة والماء تشير إلى اتجاهات مختلفة.

cos⁡θ=p⋅q∥p∥∥q∥,NDVI=NIR−redNIR+red\cos\theta=\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}{\|\mathbf{p}\|\|\mathbf{q}\|},\quad \text{NDVI}=\frac{\text{NIR}-\text{red}}{\text{NIR}+\text{red}}
الزاوية بين البكسلات وNDVI

الإجراء

  1. في جدول بيانات، أدخل ثلاثة بكسلات توضيحية صفوفًا من الانعكاسيات (الأخضر، الأحمر، NIR): غطاء نباتي (0.10, 0.08, 0.40)، وتربة (0.20, 0.25, 0.30)، وماء (0.06, 0.04, 0.02).
  2. احسب طول كل بكسل بـ SQRT(SUMSQ(…)) والضرب القياسي لكل زوج بـ SUMPRODUCT.
  3. أوجد الزاوية بين كل زوج بـ ACOS وDEGREES.
  4. احسب NDVI لكل بكسل. اختياري: نزّل مشهد Landsat مجانيًا وكرر ذلك على بكسلات حقيقية.

جدول البيانات

البكسلالأخضرRedNIRNDVI
الغطاء النباتي0.100.080.400.667
التربة0.200.250.300.091
الماء0.060.040.02−0.333

انعكاسيات توضيحية اختيرت لتشبه غطاءً نباتيًا وتربة عارية وماءً نموذجية.

مثال حسابي

  1. NDVI الغطاء النباتي = (0.40 − 0.08)/(0.40 + 0.08) = 0.667.
  2. NDVI التربة = 0.05/0.55 = 0.091؛ وNDVI الماء = −0.02/0.06 = −0.333.
  3. الزاوية بين الغطاء النباتي والتربة: الضرب القياسي = 0.160، والطولان 0.420 و0.4387، cos θ = 0.8683، θ = 29.7°.

السلامة

  • خذ استراحة قصيرة من الشاشة كل نصف ساعة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله يُنفَّذ في جدول بيانات مجاني.

PhET: Vector Addition · USGS: Landsat 9

الصلة بالكوكب: تذكر USGS نطاقَي Landsat 9 الأحمر (النطاق 4) والأشعة تحت الحمراء القريبة (النطاق 5)، وبياناته مجانية، فيستطيع أي شخص رسم خرائط الغطاء النباتي بهذه الطريقة. USGS: Landsat 9

المختبر B: التثليث الجانبي، من الخيوط إلى نظام خطي

الأسبوع 3

الهدف: أوجد موقعًا من المسافات، أولًا بخيوط على خريطة كما في نشاط GPS.gov، ثم بتحويل معادلات الدوائر إلى نظام خطي وحله بالحذف.

2(a2−a1)x+2(b2−b1)y=d12−d22+a22−a12+b22−b122(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y=d_1^2-d_2^2+a_2^2-a_1^2+b_2^2-b_1^2
الفرق بين معادلتي دائرتين

الإجراء

  1. اطبع خريطة التثليث الجانبي من GPS.gov (دون تغيير المقياس) أو حدّد ثلاثة «أقمار صناعية» على ورق رسم بياني عند (0, 0) و(10, 0) و(0, 10) cm.
  2. حوّل أزمنة الإشارات إلى مسافات بـ d = ct (c = 299792458 m/s)؛ وللنسخة الورقية استخدم المسافات التوضيحية أدناه.
  3. ارسم الدوائر بخيط وقلم رصاص وحدّد موضع تقاطعها.
  4. اطرح معادلات الدوائر زوجًا زوجًا لتحصل على معادلتين خطيتين، وحلهما بالحذف في جدول بيانات، وقارن بالرسم.

جدول البيانات

المنارةالموقع (cm)المسافة (cm)d²
1(0, 0)5.00025
2(10, 0)8.06265
3(0, 10)6.70845

مسافات توضيحية لمستقبِل عند (3, 4) cm. يستخدم نشاط GPS.gov أربعة أقمار صناعية على خريطة بمقياس 1:21283839.

مثال حسابي

  1. Eq. 1 − Eq. 2: 20x − 100 = −40, x = 3. Eq. 1 − Eq. 3: 20y − 100 = −20, y = 4.
  2. زمن GPS.gov ‏A = 0.00505783 s يعطي d = 1516299 m؛ وبمقياس 1:21283839 يساوي ذلك 7.12 cm على الخريطة.

السلامة

  • تعامل مع الدبابيس والمقصات بحذر.

بديل منزلي أو افتراضي

  • نسخة الخيط والورق هي المختبر المنزلي.

GPS.gov: Trilateration activity · Interactive Linear Algebra, 1.2 Row reduction

الصلة بالكوكب: صمّم GPS.gov هذا النشاط مع NOAA؛ والمستقبِلات الحقيقية تحل النوع نفسه من الأنظمة، مع مجهول للساعة، مرات عديدة في الثانية. GPS.gov: Trilateration (NOAA classroom activity) · GPS.gov: Space segment

المختبر C: المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى

الأسبوع 4

الهدف: شاهد المصفوفات تؤثر في الأشكال: مطّ مربع وقصّه وتدويره وعكسه على ورق رسم بياني، وتأكد أن المساحات تُضرب في |det A|.

area(AS)=∣det⁡A∣ area(S)\text{area}(AS)=|\det A|\,\text{area}(S)
معامل تغيير المساحة

الإجراء

  1. ارسم مربع الوحدة ذا الرؤوس (0, 0) و(1, 0) و(1, 1) و(0, 1).
  2. اضرب كل رأس في A = [[2, 1], [0, 1]] (قصّ ومطّ)، وفي R = [[0, −1], [1, 0]] (دوران بزاوية 90°)، وفي F = [[1, 0], [0, −1]] (انعكاس).
  3. ارسم كل صورة وأوجد مساحتها بعدّ المربعات أو بصيغة رباط الحذاء.
  4. قارن كل مساحة بـ |det| ولاحظ أي التحويلات تعكس الاتجاه (det < 0). ثم تحقق من det(AR) = det A det R.

جدول البيانات

المصفوفةdetمساحة الصورةالاتجاه
A = [[2, 1], [0, 1]]22محفوظ
R (دوران 90°)11محفوظ
F (انعكاس)−11معكوس
AR22محفوظ

قيم دقيقة لمربع الوحدة.

مثال حسابي

  1. det A = 2 × 1 − 1 × 0 = 2؛ والصورة متوازي أضلاع قاعدته 2 وارتفاعه 1.
  2. det(AR) = det A × det R = 2 × 1 = 2.

السلامة

  • لا شيء يتجاوز العمل المكتبي العادي.

بديل منزلي أو افتراضي

  • كل ما تحتاجه ورق رسم بياني وقلم رصاص.

Interactive Linear Algebra, 3.1 Matrix transformations · Interactive Linear Algebra, 4.3 Determinants and volumes

الصلة بالكوكب: تستخدم إسقاطات الخرائط ومحاذاة الصور هذه المصفوفات نفسها؛ ويحافظ المحدِّد على صدق قياسات مساحات الغابات والفيضانات. USGS: Landsat 9

المختبر D: ملاءمة بيانات مستوى سطح البحر بالمربعات الصغرى

الأسبوع 9

الهدف: لائم مستقيمًا، ثم قطعًا مكافئًا، لبيانات مستوى سطح البحر بالمعادلات الطبيعية، وقارن بالملاءمة المدمجة في جدول البيانات.

ATAx^=ATb,A=[ 1  t ]A^TA\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b},\quad A=[\,\mathbf{1}\ \ \mathbf{t}\,]
المعادلات الطبيعية لـ y = C + Dt

الإجراء

  1. أدخل البيانات التوضيحية أدناه (أو نزّل سجل NASA من صفحة Vital Signs): ‏t بالسنوات منذ 1993 وh بوحدة mm.
  2. ابنِ A بعمود من الآحاد وعمود من t. احسب AᵀA وAᵀb بـ MMULT وTRANSPOSE، ثم x̂ = MINVERSE(AᵀA)·Aᵀb.
  3. تحقق بمقارنة النتيجة مع LINEST أو خط اتجاه في مخطط. ارسم البواقي b − Ax̂.
  4. أضف عمود t² وأعد الملاءمة. معامل t² الموجب يعني أن الارتفاع يتسارع.

جدول البيانات

t (سنوات منذ 1993)08162432
h (mm)0224878114

قيم توضيحية على شكل سجل NASA (الذي يفيد بارتفاع 114.4 mm منذ 1993)؛ استخدم البيانات الحقيقية للحصول على إجابة حقيقية.

مثال حسابي

  1. t̄ = 16, h̄ = 52.4; Σ(t − t̄)(h − h̄) = 2272, Σ(t − t̄)² = 640.
  2. D = 2272/640 = 3.55 mm/yr; C = 52.4 − 3.55 × 16 = −4.4 mm.
  3. البواقي موجبة عند الطرفين وسالبة في الوسط: المنحنى يلائم أفضل، كما يوحي المعدل المتزايد الذي تذكره NASA.

السلامة

  • خذ استراحة قصيرة من الشاشة كل نصف ساعة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله يُنفَّذ في جدول بيانات مجاني.

NASA: Global mean sea level · Interactive Linear Algebra, 6.5 Least squares

الصلة بالكوكب: تفيد NASA بأن معدل الارتفاع زاد من 0.20 cm سنويًا في 1993 إلى 0.44 cm سنويًا الآن، وهو تسارع يمكنك رصده بعمود t². NASA: Global mean sea level (Vital Signs)

المختبر E: نموذج ماركوف للمواد وإعادة التدوير

الأسبوع 12

الهدف: ابنِ مصفوفة انتقال للمواد قيد الاستخدام والمفقودة في المكبات أو بالحرق، واستخدم قوى المصفوفات لتتبعها عبر الزمن، ولاحظ كيف يُبقي معدلُ إعادة تدوير أعلى المادةَ قيد الاستخدام مدة أطول.

xk+1=Pxk,P=[1−f(1−r)0f(1−r)1]\mathbf{x}_{k+1}=P\mathbf{x}_k,\quad P=\begin{bmatrix}1-f(1-r)&0\\f(1-r)&1\end{bmatrix}
سلسلة بحالتين: قيد الاستخدام، مفقودة

الإجراء

  1. اختر معدل تخلّص توضيحيًا f = 0.2 سنويًا ومعدل استرداد r = 0.321 (حصة إعادة التدوير والتسميد لدى EPA في 2018).
  2. ابنِ P في جدول بيانات وابدأ بـ x₀ = (1, 0): كل المادة قيد الاستخدام.
  3. استخدم MMULT للتقدم 10 سنوات، وقارن بالصيغة (1 − f(1 − r))ᵏ للحصة التي ما زالت قيد الاستخدام.
  4. كرر مع r = 0.5 وقارن متوسط سنوات الاستخدام، 1/(f(1 − r)).

جدول البيانات

معدل الاسترداد rاحتمال البقاء قيد الاستخدامقيد الاستخدام بعد 10 سنواتمتوسط سنوات الاستخدام
0.3210.86420.2327.36
0.500.90000.34910.0

نموذج توضيحي: معدل التخلص f = 0.2 قيمة توضيحية؛ وr = 0.321 هي حصة EPA لعام 2018.

مثال حسابي

  1. احتمال البقاء = 1 − 0.2 × 0.679 = 0.8642؛ 0.8642¹⁰ = 0.232.
  2. متوسط سنوات الاستخدام = 1/0.1358 = 7.36؛ وعند r = 0.5 يساوي 1/0.1 = 10.0 سنوات.
  3. λ = 1 تخص الحالة «مفقودة»، التي تمتص كل شيء على المدى الطويل؛ وλ = 0.8642 تحدد السرعة.

السلامة

  • خذ استراحة قصيرة من الشاشة كل نصف ساعة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله يُنفَّذ في جدول بيانات مجاني.

Interactive Linear Algebra, 5.6 Stochastic matrices · EPA: National overview of materials and waste

الصلة بالكوكب: تفيد EPA بمعدل إعادة تدوير وتسميد قدره 32.1% في 2018 وبطمر 50%؛ ونماذج كهذه تبيّن قيمة رفع ذلك المعدل. U.S. EPA: National overview, facts and figures on materials, wastes and recycling

المختبر F: طريقة القوى وضغط الصور بتحليل القيم المنفردة

الأسبوع 14

الهدف: أوجد قيمة ذاتية مهيمنة بالضرب المتكرر، ثم اضغط صورة رمادية صغيرة بتحليل قيم منفردة مبتور ولاحظ كم هو قليل عدد الأرقام التي تحفظ الصورة.

xk+1=Axk∥Axk∥,Ak=∑i=1kσiuiviT\mathbf{x}_{k+1}=\frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|},\quad A_k=\sum_{i=1}^k\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T
طريقة القوى وتحليل القيم المنفردة المبتور

الإجراء

  1. في جدول بيانات، ابدأ بـ x₀ = (1, 0) واضرب في A = [[2, 1], [1, 2]] عشر مرات مع إعادة التحجيم كل مرة؛ ولاحظ اقتراب نسبة الأطوال من 3.
  2. أنشئ شبكة 8 × 8 من مستويات الرمادي (0–255) لصورة بسيطة، أو حمّل صورة فوتوغرافية في Python المجاني باستخدام NumPy.
  3. احسب تحليل القيم المنفردة (numpy.linalg.svd) وأعد بناء الصورة بـ k = 1 و2 و4 حدود.
  4. سجّل التخزين k(8 + 8 + 1) وحصة Σσ² المحفوظة، واحكم متى تبدو الصورة صحيحة.

جدول البيانات

kالأعداد المخزنة (صورة 8 × 8)الحصة من 64
11726.6%
23453.1%
468106.3%

أعداد تخزين دقيقة. لصورة 8 × 8، يخزّن k = 4 أكثر من الأعداد الخام البالغة 64؛ وتظهر الوفورات في الصور الكبيرة (الوحدة 10: الرتبة 50 لصورة 1000 × 1000 تحتفظ بـ 10.0%).

مثال حسابي

  1. طريقة القوى: (1, 0) → (2, 1) → (5, 4) → (14, 13)؛ ‖(14, 13)‖/‖(5, 4)‖ = 19.10/6.403 = 2.98، قريبًا من λ = 3.
  2. التخزين عند k = 1: ‏8 + 8 + 1 = 17 عددًا، 17/64 = 26.6%.

السلامة

  • خذ استراحة قصيرة من الشاشة كل نصف ساعة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • نسختا جدول البيانات وPython المجاني كلتاهما مختبران منزليان.

MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang, Spring 2010) · Interactive Linear Algebra, 5.1 Eigenvectors

الصلة بالكوكب: يُرسل EMIT التابع لـ JPL في NASA أكثر من 100000 طيف في الثانية؛ وضغط تلك البيانات وفصلها يستخدم هذه الأدوات تحديدًا. NASA JPL: EMIT, Earth Surface Mineral Dust Source Investigation

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. أوجد الزاوية بين (1, 0, 1) و(0, 1, 1).

    اعرض الحل الكامل
    1. الضرب القياسي = 1؛ وطول كل منهما √2؛ cos θ = 1/2.

    الإجابة: 60°.

  2. حل x + 2y = 4، 3x − y = 5.

    اعرض الحل الكامل
    1. R₂ − 3R₁: −7y = −7.

    الإجابة: x = 2, y = 1.

  3. اعكس [[3, 2], [1, 1]].

    اعرض الحل الكامل
    1. det = 1.

    الإجابة: [[1, −2], [−1, 3]].

  4. اقتصاد من قطاع واحد يستهلك 0.4 من ناتجه. ما الناتج الذي يلبي طلبًا قدره 120؟

    اعرض الحل الكامل
    1. x = 120/0.6.

    الإجابة: 200.

  5. مصفوفة 6 × 9 رتبتها 4. أوجد dim N(A) وdim N(Aᵀ).

    اعرض الحل الكامل
    1. n − r وm − r.

    الإجابة: 5 و2.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. لائم y = C + Dt للنقاط (0, 0) و(1, 2) و(2, 2) بالمربعات الصغرى.

    اعرض الحل الكامل
    1. AᵀA = [[3, 3], [3, 5]]، Aᵀb = (4, 6)؛ det 6.

    الإجابة: C = 0.333, D = 1.

  2. أوجد det [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]].

    اعرض الحل الكامل
    1. 2(4 − 1) − 1(2 − 0) + 0.

    الإجابة: 4.

  3. أوجد القيم الذاتية لـ [[6, 2], [2, 3]].

    اعرض الحل الكامل
    1. الأثر 9، det 14: ‏λ² − 9λ + 14 = 0.

    الإجابة: 7 و2.

  4. أوجد الحالة المستقرة لمصفوفة ماركوف [[0.9, 0.2], [0.1, 0.8]].

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.1q₁ = 0.2q₂.

    الإجابة: (0.667, 0.333).

  5. أوجد القيم المنفردة لـ [[2, 0], [0, −3]].

    اعرض الحل الكامل
    1. AᵀA = diag(4, 9).

    الإجابة: 3 و2.

  6. كم عددًا يخزّن تحليل قيم منفردة من الرتبة 20 لصورة 500 × 800، وما حصة ذلك من الصورة الكاملة؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 20(500 + 800 + 1).

    الإجابة: 26020، أي نحو 6.5%.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

∥v∥=v⋅v, cos⁡θ=v⋅w∥v∥∥w∥\|v\|=\sqrt{v\cdot v},\ \cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|}
Ax=b,  A=LUA\mathbf{x}=\mathbf{b},\ \ A=LU
[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
(AB)−1=B−1A−1, (AB)T=BTAT(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\ (AB)^T=B^TA^T
x=(I−A)−1d\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}
r+dim⁡N(A)=nr+\dim N(A)=n
p=a⋅ba⋅aa,  ATAx^=ATb\mathbf{p}=\frac{a\cdot b}{a\cdot a}a,\ \ A^TA\hat{x}=A^Tb
A=QR, QTQ=IA=QR,\ Q^TQ=I
det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B, xi=det⁡Bi/det⁡A\det(AB)=\det A\det B,\ x_i=\det B_i/\det A
det⁡(A−λI)=0, ∑λ=tr⁡A, ∏λ=det⁡A\det(A-\lambda I)=0,\ \sum\lambda=\operatorname{tr}A,\ \prod\lambda=\det A
A=PDP−1, Ak=PDkP−1, A=QΛQTA=PDP^{-1},\ A^k=PD^kP^{-1},\ A=Q\Lambda Q^T
A=UΣVT, σi=λi(ATA), κ=σ1/σnA=U\Sigma V^T,\ \sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)},\ \kappa=\sigma_1/\sigma_n

الثوابت

الثابتالقيمة
سرعة الضوء (تُستخدم لمسافات GPS)299,792,458 m/s
1 ميل1.609344 km
1 قدم0.3048 m
1 بوصة25.4 mm
عدد العمليات لحل نظام n × n بالحذفنحو n³/3 عملية ضرب–جمع (سترانغ)
مصفوفة الوحدة Iآحاد على القطر وأصفار في غيره: AI = IA = A

المصدر: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاضرات مجانية

استخدم هذه الكتب والمحاضرات والأدوات المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

أساس
مجموعة مستقلة خطيًا تولّد فضاءً.
فضاء الأعمدة
جميع التركيبات Ax لأعمدة A.
عدد الشرط
σ₁/σₙ، أي مقدار نمو الأخطاء عند حل Ax = b.
المحدِّد
معامل تغيير الحجم ذو الإشارة لـ A؛ ويساوي صفرًا تمامًا حين تكون A منفردة.
القطرنة
A = PDP⁻¹ مع المتجهات الذاتية في P.
البُعد
عدد المتجهات في أي أساس.
قيمة ذاتية
λ التي تحقق Av = λv لمتجه v غير صفري ما.
تحليل LU
A = LU من الحذف.
المربعات الصغرى
x̂ الذي يجعل ‖b − Ax‖ أصغر ما يمكن.
معكوس ليونتيف
(I − A)⁻¹، الناتج الكلي اللازم لكل وحدة من الطلب النهائي.
الاستقلال الخطي
التركيب الصفري وحده يعطي المتجه الصفري.
مصفوفة ماركوف
مدخلات غير سالبة، ومجموع كل عمود 1.
الفضاء الصفري
جميع x التي تحقق Ax = 0.
متعامد معياري
متجهات وحدة متعامدة مثنى مثنى.
المحور
أول مدخل غير صفري في صف من الصيغة الدرجية.
موجبة التحديد
متناظرة مع xᵀAx > 0 لكل x ≠ 0.
الإسقاط
أقرب نقطة إلى b في فضاء جزئي.
الرتبة
عدد المحاور؛ بُعد فضاء الأعمدة.
قيمة منفردة
σᵢ = √λᵢ(AᵀA).
المدى الخطي
كل التركيبات الخطية لمجموعة من المتجهات.
فضاء جزئي
مجموعة تحوي 0 ومغلقة تحت الجمع والضرب في عدد.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيختار الأداة المناسبة (الحذف أو الإسقاط أو القيم الذاتية أو تحليل القيم المنفردة)، ويحسب الحالات الصغيرة يدويًا، ويتحقق من الإجابات (Ax = b، والأثر والمحدِّد)، ويشرح المعنى بالرسوم وفي السياق.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع هفوات حسابية عرضية.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يخلط بين الصفوف والأعمدة أو بين الفضاءات الجزئية الأربعة.
1 · مبتدئيتعامل مع الرموز دون التحقق من الأبعاد أو الإجابات؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين25%
المختبرات20%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع