ميكانيكا المواد

الإجهاد والانفعال وكيف تتمدد الأجزاء وتلتوي وتنحني وتنهار: الأحمال المحورية، والإجهاد الحراري، والأعمدة الدوارة، والكمرات، وتدفق القص، ودائرة مور، ونظريات الانهيار، وأوعية الضغط، والانحراف والانبعاج، مع ستة مختبرات. مجاني، بالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بتوربينات الرياح والسيارات الأخف والخشب الكتلي وخزانات الهيدروجين والجسور والصواريخ.

NASA/Michael DeMocker (MAF20210116_GR0006)NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASA/Carla Thomas (AFRC2025-0170-03)NASA (STS102-357-031, March 18, 2001)

الدورات › ENGR 213

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقررًا في ميكانيكا المواد (مقاومة المواد) مدته فصل دراسي واحد للسنة الثانية. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 2.001 Mechanics and Materials I (على MIT OpenCourseWare)، وPurdue ME 323 Mechanics of Materials، وGeorgia Tech COE 3001 Mechanics of Deformable Bodies، وعلى الكتاب المجاني OpenStax University Physics الذي نربط إليه حيث يفيد. لا يؤيد أي من هؤلاء المؤلفين أو المؤسسات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي في الطاقة النظيفة أو البنية التحتية أو الفضاء مع مصدر عام موثّق (الجسور، والسيارات الأخف، وأبراج توربينات الرياح وأعمدتها وشفراتها، والخشب الكتلي، وخزانات الهيدروجين، وهياكل صواريخ ناسا)، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص تحقق برمجي قبل النشر، ولكل مختبر محاكاة مجانية أو نسخة منزلية رخيصة.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

ميكانيكا المواد تحدد كمية المادة التي يحتاجها الهيكل. استخدام ما يكفي فقط من الفولاذ أو الألومنيوم أو المواد المركبة أو الخشب، دون زيادة، يجعل السيارات أخف وأكفأ، وتوربينات الرياح أطول، والمباني أقل كربونًا، والصواريخ قادرة على حمل المزيد إلى المدار.

وهي أيضًا الطريقة التي نحافظ بها على سلامة ما بنيناه: يجب أن تحمل الجسور والأبراج والخزانات أحمالها لعقود دون خضوع أو تشقق بالكلال أو انبعاج. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق. القيم غير المأخوذة من مصدر موسومة بأنها قيم توضيحية، وخواص المواد قيم نموذجية من الكتب الدراسية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • الاستاتيكا: مخططات الجسم الحر، والاتزان، والمراكز الهندسية، وعزوم القصور الذاتي للمساحات.
  • التفاضل والتكامل I وII: المشتقات والتكاملات؛ وتكامل الوحدة 9 معادلة الكمرة مرتين.
  • الفيزياء I تساعد في النوابض والطاقة والوحدات.
  • الديناميكا غير مطلوبة.

كيف تذاكر

  • ابدأ كل مسألة بالاستاتيكا: مخطط جسم حر والقوة أو عزم اللي أو العزم الداخلي عند القطع.
  • ثم اسأل كيف يتشوه الجزء: يتمدد أو يلتوي أو ينحني، وأي معادلة تناسب ذلك التشوه.
  • تحقق من انطباق المعادلة: مرونة خطية، وتشوهات صغيرة، وجدران رقيقة أو عناصر طويلة نحيفة حيثما يلزم.
  • احلّ بالرموز أولًا، ثم عوّض بأرقام SI (N، m، Pa)، وتحقق من الوحدات: 1 MPa = 1 N/mm².
  • قارن الإجهاد بالإجهاد المسموح للمادة واذكر معامل أمان.
  • حل كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي لمحاكاة PhET المجانية (تعمل في المتصفح).
  • أشرطة مطاطية، وكيس للعملات أو الحلقات المعدنية، وميزان مطبخ (لمعرفة كل كتلة).
  • مسطرة بلاستيكية طولها 30 cm، ومسطرة ثانية أو شريط قياس، وشريط لاصق أو ملزمة لتثبيتها على حافة طاولة.
  • قضيب إسفنجي أو قطعة من عصا السباحة وقلم تحديد لخطوط اللي.
  • معكرونة سباغيتي جافة وأثقال صغيرة لمختبر الانبعاج.
  • نظارات أمان، وكاميرا هاتف ذكي، وبرنامج جداول بيانات للرسوم والتوفيق.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1الإجهاد: العمودي والقصي والتحميلي؛ الإجهاد المسموح ومعامل الأمانالقوى الداخلية والإجهاد العمودي والقصيMIT 2.001; OpenStax UP1 12.3
2الإجهاد: العمودي والقصي والتحميلي؛ الإجهاد المسموح ومعامل الأمانالإجهاد التحميلي، والإجهاد المسموح، ومعامل الأمان؛ المختبر AMIT 2.001
3الانفعال وسلوك المادة: قانون هوك ونسبة بواسون ومنحنى الإجهاد–الانفعالالانفعال، ومنحنى الإجهاد–الانفعال، وقانون هوك، ونسبة بواسون؛ المختبر BUP1 12.3–12.4
4العناصر المحمّلة محوريًا: التشوه والقضبان غير المحددة استاتيكيًا والإجهاد الحراريالتشوه المحوري، والقضبان غير المحددة استاتيكيًا، والإجهاد الحراريUP2 1.3
5لي الأعمدة الدائرية ونقل القدرةمعادلة اللي، والعزم القطبي، وزاوية الليMIT 2.001
6لي الأعمدة الدائرية ونقل القدرةنقل القدرة وتصميم الأعمدة؛ المختبر CMIT 2.001
7مخططات القص والعزم وإجهاد الانحناءمخططات القص والعزمMIT 2.001; UP1 12.2
8مخططات القص والعزم وإجهاد الانحناءمعادلة الانحناء ومعامل المقطع؛ المختبر D؛ تدريب منتصف الفصلMIT 2.001
9القص المستعرض في الكمرات وتدفق القص والمقاطع المركبةالقص المستعرض، وتدفق القص، والكمرات المجمّعةMIT 2.001
10تحويل الإجهادات ودائرة مور ونظريات الانهيار والكلالتحويل الإجهادات، ودائرة مور، ونظريات الانهيار، والكلالMIT 2.001, 2.002
11أوعية الضغط رقيقة الجدران والأحمال المركبةأوعية الضغط والأحمال المركبةMIT 2.001
12انحراف الكمراتالمنحنى المرن، والتكامل، والمعادلات القياسية؛ المختبر EMIT 2.001
13انحراف الكمراتالتراكب والكمرات غير المحددة استاتيكيًاMIT 2.001
14انبعاج الأعمدةانبعاج الأعمدة ومعاملات التخفيض؛ المختبر FMIT 2.001
15المراجعةمراجعة ومجموعة تمارين نهائيةكل الوحدات

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوعان 1–2

الإجهاد: العمودي والقصي والتحميلي؛ الإجهاد المسموح ومعامل الأمان

القوى الداخلية المستخرجة بقطع العنصر، ومتوسط الإجهاد العمودي في القضبان، ومتوسط إجهاد القص في المسامير والبراغي (القص المفرد والمزدوج)، والإجهاد التحميلي، والتصميم بالإجهاد المسموح، ومعامل الأمان.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • أوجد القوى الداخلية بمخطط جسم حر لمقطع مقطوع.
  • احسب متوسط الإجهادات العمودية والقصية والتحميلية.
  • ميّز القص المفرد من القص المزدوج في الوصلات.
  • حدد أبعاد عنصر من إجهاد مسموح ومعامل أمان.

المفاهيم الأساسية

  • الإجهاد هو القوة الداخلية لكل وحدة مساحة. ووحدته في SI هي الباسكال (1 Pa = 1 N/m²)؛ ويستخدم المهندسون MPa، و1 MPa = 1 N/mm².
  • الإجهاد العمودي σ = P/A يؤثر عموديًا على القطع؛ الشد موجب والضغط سالب.
  • متوسط إجهاد القص τ = V/A يؤثر في مستوى القطع. المسمار في القص المزدوج له مستويا قطع، لذا يحمل كل منهما V = P/2.
  • الإجهاد التحميلي σ_b = P/(td) هو ضغط التلامس بين البرغي والثقب في لوح سمكه t.
  • معامل الأمان FS = حمل الانهيار/الحمل المسموح (أو إجهاد الانهيار/الإجهاد المسموح). يُبقي التصميم إجهاد التشغيل عند σ_allow = σ_fail/FS أو أقل.

المعادلات الأساسية

σ=PA\sigma=\frac{P}{A}
متوسط الإجهاد العمودي
τavg=VA\tau_{\text{avg}}=\frac{V}{A}
متوسط إجهاد القص
σb=Pt d\sigma_b=\frac{P}{t\,d}
الإجهاد التحميلي
FS=σfailσallowFS=\frac{\sigma_{\text{fail}}}{\sigma_{\text{allow}}}
معامل الأمان

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 قضيب فولاذي قطره 20 mm يحمل حمل شد قدره 50 kN. أوجد الإجهاد العمودي.

اعرض الخطوات
  1. A = πd²/4 = π × 20²/4 = 314.2 mm².
  2. σ = P/A = 50,000 N/314.2 mm².

الإجابة: 159.2 MPa (شد).

مثال 1.2 مسمار قطره 12 mm في قص مزدوج يحمل حملًا قدره 20 kN. أوجد متوسط إجهاد القص في المسمار.

اعرض الخطوات
  1. يحمل كل من مستويي القص V = 10 kN.
  2. A = π × 12²/4 = 113.1 mm²; τ = 10,000/113.1.

الإجابة: 88.4 MPa.

مثال 1.3 علّاقة فولاذية دائرية يجب أن تحمل 100 kN. يخضع الفولاذ عند 250 MPa ومعامل الأمان 2. أوجد أصغر قطر.

اعرض الخطوات
  1. σ_allow = 250/2 = 125 MPa.
  2. A = P/σ_allow = 100000/125 = 800 mm².
  3. d = √(4A/π).

الإجابة: d = 31.9 mm (استخدم 32 mm).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. عمود مربع مقاسه 100 mm × 100 mm يحمل 200 kN ضغطًا. أوجد الإجهاد.

    اعرض الإجابة

    σ = 200000/10000 = 20 MPa (ضغط).

  2. برغي قطره 10 mm في قص مفرد يحمل 8 kN. أوجد متوسط إجهاد القص.

    اعرض الإجابة

    A = 78.54 mm²; τ = 101.9 MPa.

  3. البرغي نفسه ذو 10 mm يمر عبر لوح سمكه 6 mm. أوجد الإجهاد التحميلي.

    اعرض الإجابة

    σ_b = 8000/(6 × 10) = 133 MPa.

  4. وصلة تنهار عند 90 kN وتعمل عند 30 kN. أوجد معامل الأمان.

    اعرض الإجابة

    FS = 90/30 = 3.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الإجهاد هو نفسه القوة.

    في الحقيقة: الإجهاد قوة لكل مساحة؛ سلك رفيع وقضيب سميك تحت القوة نفسها لهما إجهادان مختلفان جدًا.

  • خرافة: المسمار في القص المزدوج يحمل الحمل كاملًا على كل مستوى.

    في الحقيقة: كل من المستويين يحمل النصف.

  • خرافة: معامل الأمان الأعلى أفضل دائمًا.

    في الحقيقة: وهو يعني أيضًا أجزاء أثقل وأغلى؛ يختار المصممون FS وفق المواصفات وعدم اليقين في الأحمال والمواد.

بطاقات تعليمية

  • الإجهاد العمودي

    σ = P/A.

  • إجهاد القص

    τ = V/A.

  • القص المزدوج

    كل مستوى يحمل P/2.

  • الإجهاد التحميلي

    σ_b = P/(td).

  • معامل الأمان

    FS = الانهيار/المسموح.

  • MPa

    1 MPa = 1 N/mm².

اختبار ذاتي

1. 1 MPa يساوي…

اعرض الإجابة

1 N/mm². 10⁶ N/m² = 1 N/mm².

2. كم مستوى قص للمسمار في القص المزدوج؟

اعرض الإجابة

2. مستويا القطع يتقاسمان الحمل.

3. مضاعفة قطر القضيب تغير إجهاده المحوري (بالحمل نفسه) بمعامل…

اعرض الإجابة

¼. A تزداد مع d².

4. الإجهاد التحميلي هو…

اعرض الإجابة

P/(td). ضغط التلامس على المساحة المسقطة td.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

حدود الإجهاد تقرر أي الجسور يمكن للشاحنات عبورها. يحصي ASCE Report Card for America’s Infrastructure ‏623218 جسرًا في الولايات المتحدة، منها 63085 جسرًا خضعت لقيود حمل في 2024، أي أنها تقيد وزن المركبات التي يمكنها العبور بأمان، وهو نحو 10.1% من جميع الجسور. وتحذر ASCE من أن الشاحنات الأثقل مما صُممت له الجسور تهدد بإجهاد عناصرها فوق الحد وتسبب كلال المعدن وتشققه. وإبقاء إجهاد التشغيل دون الإجهاد المسموح، كما في هذه الوحدة، هو طريقة المهندسين في تقييمها وإصلاحها، والحفاظ على الجسر أقل تكلفة من استبداله.

على Saving Planets: الاستاتيكا

المصادر: ASCE Report Card for America’s Infrastructure: Bridges · OpenStax UP1, 12.3 Stress, strain and elastic modulus

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوع 3

الانفعال وسلوك المادة: قانون هوك ونسبة بواسون ومنحنى الإجهاد–الانفعال

الانفعال العمودي والقصي، واختبار الشد ومخطط الإجهاد–الانفعال، ومعامل يونغ، ومقاومة الخضوع والمقاومة القصوى، والمطيلية، ونسبة بواسون، ومعامل القص، وطاقة الانفعال، والجساءة النوعية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب الانفعال العمودي والقصي من التشوهات.
  • اقرأ E ومقاومة الخضوع والمقاومة القصوى والمطيلية من منحنى الإجهاد–الانفعال.
  • استخدم قانون هوك ونسبة بواسون وG = E/(2(1 + ν)).
  • قارن المواد بالجساءة والمقاومة لكل وحدة كتلة.

المفاهيم الأساسية

  • الانفعال العمودي ε = δ/L هو استطالة لكل وحدة طول (بلا أبعاد، غالبًا بوحدة μm/m). والانفعال القصي γ هو التغير في زاوية قائمة، بالراديان.
  • في المدى المرن الخطي يتحقق قانون هوك: σ = Eε وτ = Gγ. وE هو معامل يونغ، ميل منحنى الإجهاد–الانفعال.
  • بعد مقاومة الخضوع تتشوه المادة تشوهًا لدنًا ولا تعود؛ والمقاومة القصوى هي أعلى إجهاد هندسي، والمعادن المطيلية تتخصر قبل أن تنكسر.
  • شد القضيب يجعله أرفع: الانفعال الجانبي = −ν × الانفعال المحوري، ونسبة بواسون ν نحو 0.3 للمعادن. وللمواد المتماثلة الخواص G = E/(2(1 + ν)).
  • الجساءة النوعية E/ρ والمقاومة النوعية σ/ρ تقارنان المواد لكل كيلوغرام؛ ولهذا يمكن للألومنيوم والمغنيسيوم وألياف الكربون أن تحل محل الفولاذ في الهياكل الخفيفة.

المعادلات الأساسية

ε=δL,σ=Eε\varepsilon=\frac{\delta}{L},\quad \sigma=E\varepsilon
الانفعال وقانون هوك
εlat=−ν εaxial\varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\,\varepsilon_{\text{axial}}
نسبة بواسون
G=E2(1+ν)G=\frac{E}{2(1+\nu)}
معامل القص
ur=σY22Eu_r=\frac{\sigma_Y^2}{2E}
معامل المرونة الرجوعية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 قضيب فولاذي طوله 2 m يستطيل 1.2 mm عند إجهاد 120 MPa. أوجد الانفعال ومعامل يونغ.

اعرض الخطوات
  1. ε = 1.2/2000 = 6 × 10⁻⁴.
  2. E = σ/ε = 120 MPa/0.0006.

الإجابة: ε = 600 μm/m; E = 200 GPa.

مثال 2.2 سبيكة ألومنيوم لها E = 70 GPa وν = 0.33. أوجد معامل القص لها.

اعرض الخطوات
  1. G = E/(2(1 + ν)) = 70/2.66.

الإجابة: G = 26.3 GPa.

مثال 2.3 قضيب فولاذي قطره 20 mm (ν = 0.3) انفعاله المحوري 0.001. كم يتغير قطره؟

اعرض الخطوات
  1. الانفعال الجانبي = −0.3 × 0.001 = −0.0003.
  2. Δd = −0.0003 × 20 mm.

الإجابة: يتقلص بمقدار 0.006 mm.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. قيم نموذجية: للفولاذ E = 200 GPa وρ = 7850 kg/m³؛ وللألومنيوم E = 70 GPa وρ = 2700 kg/m³. قارن E/ρ.

    اعرض الإجابة

    الفولاذ 25.5 × 10⁶ m²/s²، والألومنيوم 25.9 × 10⁶ m²/s²: الجساءة لكل كيلوغرام متقاربة جدًا.

  2. عينة شد طول قياسها 50 mm تبلغ 62 mm عند الكسر. أوجد الاستطالة عند الكسر.

    اعرض الإجابة

    (62 − 50)/50 = 24%: معدن مطيلي.

  3. أوجد معامل المرونة الرجوعية لفولاذ له σ_Y = 250 MPa وE = 200 GPa.

    اعرض الإجابة

    u_r = 250²/(2 × 200,000) = 0.156 MPa = 156 kJ/m³.

  4. قيم توضيحية: سيارة تقطع 30 mpg جُعلت أخف بنسبة 10%. باستخدام رقم DOE من 6% إلى 8%، قدّر استهلاكها الجديد للوقود.

    اعرض الإجابة

    30 × 1.06 = 31.8 إلى 30 × 1.08 = 32.4 mpg (سيارة توضيحية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الأقوى يعني الأكثر جساءة.

    في الحقيقة: المقاومة (الخضوع) والجساءة (E) مختلفتان؛ معظم أنواع الفولاذ لها E = 200 GPa مهما كانت مقاومتها.

  • خرافة: للانفعال وحدات طول.

    في الحقيقة: إنه طول على طول، بلا أبعاد.

  • خرافة: تنكسر المادة عند مقاومة الخضوع.

    في الحقيقة: الخضوع يبدأ التشوه الدائم؛ والمعادن المطيلية تحمل أكثر حتى المقاومة القصوى.

بطاقات تعليمية

  • الانفعال العمودي

    ε = δ/L.

  • قانون هوك

    σ = Eε, τ = Gγ.

  • نسبة بواسون

    ε_lat = −νε.

  • معامل القص

    G = E/(2(1 + ν)).

  • الخضوع مقابل المقاومة القصوى

    بداية الجريان اللدن مقابل أعلى إجهاد.

  • الجساءة النوعية

    E/ρ.

اختبار ذاتي

1. معامل يونغ هو ميل…

اعرض الإجابة

الإجهاد مقابل الانفعال (الجزء المرن). σ = Eε.

2. نسبة بواسون لمعظم المعادن نحو…

اعرض الإجابة

0.3. نحو 0.3.

3. قيمة G عند E = 200 GPa وν = 0.25 هي…

اعرض الإجابة

80 GPa. 200/2.5 = 80 GPa.

4. يبدأ التشوه الدائم عند…

اعرض الإجابة

مقاومة الخضوع. الخضوع.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

اختيار المواد حسب الجساءة والمقاومة لكل كيلوغرام يوفر الوقود. تقول وزارة الطاقة الأمريكية إن خفض وزن المركبة بنسبة 10% يمكن أن يحسّن الاقتصاد في الوقود بنسبة 6% إلى 8%، وإن استبدال الحديد الزهر والفولاذ التقليدي بالفولاذ عالي المقاومة وسبائك المغنيسيوم والألومنيوم وألياف الكربون والمواد المركبة البوليمرية يمكن أن يخفض وزن الهيكل والشاسيه بنسبة تصل إلى 50 في المئة. وتضيف DOE أن المواد الخفيفة مهمة بشكل خاص للسيارات الكهربائية، إذ تعوّض وزن البطاريات والمحركات ويمكن أن تزيد مدى القيادة الكهربائية.

على Saving Planets: الكيمياء العامة I

المصادر: U.S. DOE: Lightweight materials for cars and trucks · OpenStax UP1, 12.4 Elasticity and plasticity

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 4

العناصر المحمّلة محوريًا: التشوه والقضبان غير المحددة استاتيكيًا والإجهاد الحراري

استطالة القضبان δ = PL/(AE)، والقضبان متعددة المقاطع، والقضبان غير المحددة استاتيكيًا المحلولة بشرط التوافق، والانفعال والإجهاد الحراريان، وتركّز الإجهاد.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب استطالة القضبان المنتظمة والمدرّجة.
  • حل المسائل المحورية غير المحددة استاتيكيًا بالاتزان مع التوافق.
  • احسب التمدد الحراري والإجهاد في قضيب مقيّد.
  • اشرح تركّز الإجهاد عند الثقوب والتقويرات.

المفاهيم الأساسية

  • القضيب المنتظم تحت حمل محوري يستطيل δ = PL/(AE). ولعدة مقاطع اجمع δ لكل منها: δ = Σ PᵢLᵢ/(AᵢEᵢ).
  • إذا لم يكفِ الاتزان وحده لإيجاد القوى (غير محدد استاتيكيًا)، أضف معادلة توافق: كيف يجب أن تتلاءم التشوهات.
  • تغيّر درجة الحرارة يجعل القضيب الحر يطول δ_T = αΔT L دون إجهاد. وإذا كان القضيب مثبتًا، يُمنع هذا النمو ويظهر σ = −EαΔT.
  • لهذا تحتاج القضبان الحديدية وخطوط الأنابيب والجسور والأرصفة إلى فواصل تمدد.
  • الثقوب والحزوز والزوايا الحادة ترفع الإجهاد الموضعي: σ_max = K σ_avg، حيث K معامل تركّز الإجهاد (غالبًا من 2 إلى 3 لثقب صغير).

المعادلات الأساسية

δ=PLAE\delta=\frac{PL}{AE}
التشوه المحوري
δ=∑PiLiAiEi\delta=\sum\frac{P_iL_i}{A_iE_i}
قضيب مدرّج
δT=α ΔT L\delta_T=\alpha\,\Delta T\,L
التمدد الحراري
σ=−Eα ΔT\sigma=-E\alpha\,\Delta T
قضيب مقيّد كليًا

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 قضيب فولاذي طوله 3 m (E = 200 GPa) وA = 500 mm² يحمل 60 kN. أوجد استطالته.

اعرض الخطوات
  1. δ = PL/(AE) = 60000 × 3000/(500 × 200000) بوحدتي N وmm.

الإجابة: 1.8 mm.

مثال 3.2 قضيب فولاذي (E = 200 GPa، α = 12 × 10⁻⁶/°C) مثبت بين جدارين صلبين ويُسخَّن 40 °C. أوجد الإجهاد.

اعرض الخطوات
  1. النمو الحر سيكون αΔT L؛ والجداران يدفعانه للخلف.
  2. σ = −EαΔT = −200,000 × 12 × 10⁻⁶ × 40 MPa.

الإجابة: 96 MPa ضغطًا.

مثال 3.3 قضيب منتظم مثبت من طرفيه يحمل حملًا محوريًا P = 30 kN عند نقطة تبعد 1 m عن الطرف A و2 m عن الطرف B. أوجد ردّي الفعل.

اعرض الخطوات
  1. الاتزان: R_A + R_B = 30 kN.
  2. التوافق: استطالة المقطع A تساوي تقصير المقطع B، إذن R_A × 1 = R_B × 2.

الإجابة: R_A = 20 kN, R_B = 10 kN.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. قضيب سكة فولاذي طوله 25 m يسخن 30 °C دون أي تقييد. كم يطول؟

    اعرض الإجابة

    δ = 12 × 10⁻⁶ × 30 × 25,000 = 9 mm.

  2. قضيب فيه مقطع ألومنيوم (E = 70 GPa، A = 400 mm²، L = 1 m) ومقطع فولاذ (A = 200 mm²، L = 0.5 m) على التوالي، ويحمل 20 kN. أوجد الاستطالة الكلية.

    اعرض الإجابة

    0.714 + 0.250 = 0.964 mm.

  3. أوجد انفعال الألومنيوم عند 100 MPa (E = 70 GPa).

    اعرض الإجابة

    ε = 100/70,000 = 1.43 × 10⁻³.

  4. تقول DOE إن ارتفاع المحور للتوربينات البرية بلغ نحو 103.4 m في 2023 بعد نمو 83% منذ 1998–1999. ما المتوسط السابق؟

    اعرض الإجابة

    103.4/1.83 = 56.5 m.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التمدد الحراري يسبب إجهادًا دائمًا.

    في الحقيقة: فقط حين يكون التمدد مقيّدًا.

  • خرافة: يمكن حل القضيب غير المحدد استاتيكيًا بالاتزان وحده.

    في الحقيقة: تحتاج أيضًا إلى معادلات التوافق (التشوه).

  • خرافة: الثقب الصغير لا يكاد يهم.

    في الحقيقة: قد يضاعف الإجهاد الموضعي ثلاث مرات، وهناك تبدأ شقوق الكلال.

بطاقات تعليمية

  • التشوه المحوري

    δ = PL/(AE).

  • قضيب مدرّج

    اجمع PL/(AE) لكل مقطع.

  • التوافق

    يجب أن تتلاءم التشوهات.

  • الانفعال الحراري

    αΔT.

  • الإجهاد الحراري

    σ = −EαΔT إذا كان مقيّدًا كليًا.

  • تركّز الإجهاد

    σ_max = Kσ_avg.

اختبار ذاتي

1. مضاعفة طول القضيب (بالحمل والمساحة نفسيهما) تجعل δ…

اعرض الإجابة

الضعف. δ ∝ L.

2. القضيب المقيّد الذي يُسخَّن يكون في حالة…

اعرض الإجابة

ضغط. المساند تدفعه للخلف.

3. المسائل غير المحددة استاتيكيًا تحتاج إلى…

اعرض الإجابة

توافق التشوهات. مجاهيل أكثر من معادلات الاتزان.

4. الإجهاد الحراري في قضيب مقيّد كليًا لا يعتمد على…

اعرض الإجابة

طوله. σ = −EαΔT.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توربينات الرياح الأطول تلتقط رياحًا أقوى لكنها تحتاج أبراجًا أطول. تفيد وزارة الطاقة الأمريكية بأن ارتفاع المحور لتوربينات المرافق البرية نما 83% منذ 1998–1999 ليبلغ نحو 103.4 مترًا في 2023، أطول من تمثال الحرية، وأن ارتفاع المحور البحري يُتوقع أن يصل إلى نحو 150 مترًا بحلول 2035. الرياح عمومًا أقوى في الأعلى. وتشير DOE إلى صعوبة نقل الأبراج بأقطارها بالشاحنات تحت الجسور، لذا تدعم الأبراج المبنية في الموقع، ومنها اللحام الحلزوني لتقليل الفولاذ المكلف. وكل برج عمود محمّل محوريًا يجب أن يحمل الوزن فوقه ضمن إجهاده المسموح.

على Saving Planets: الفيزياء 2

المصادر: U.S. DOE: Wind turbines, the bigger the better · OpenStax UP2, 1.3 Thermal expansion

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسابيع 5–6

لي الأعمدة الدائرية ونقل القدرة

انفعال وإجهاد القص في الأعمدة الدائرية الملتوية، وعزم القصور الذاتي القطبي للأعمدة المصمتة والمجوفة، وزاوية اللي، والقدرة وعزم اللي، وتصميم الأعمدة، والأعمدة غير المحددة استاتيكيًا.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب إجهاد القص بـ τ = Tρ/J.
  • احسب زاوية اللي φ = TL/(GJ).
  • حوّل القدرة والسرعة إلى عزم لي بـ P = Tω.
  • حدد أبعاد الأعمدة المصمتة والمجوفة واشرح لماذا توفر المجوفة المادة.

المفاهيم الأساسية

  • في العمود الدائري الملتوي تبقى المقاطع المستوية مستوية، وينمو انفعال القص خطيًا من المركز: γ = ρφ/L.
  • إجهاد القص τ = Tρ/J، وهو أكبر ما يكون عند السطح الخارجي: τ_max = Tc/J.
  • عزم القصور الذاتي القطبي: J = πd⁴/32 للعمود المصمت وJ = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوف.
  • زاوية اللي φ = TL/(GJ) بالراديان؛ ولعدة مقاطع اجمعها.
  • القدرة P = Tω. الأعمدة البطيئة تنقل عزوم لي هائلة للقدرة نفسها، ولهذا يرفع صندوق التروس سرعة دوران توربين الرياح قبل المولد.

المعادلات الأساسية

τ=TρJ,τmax⁡=TcJ\tau=\frac{T\rho}{J},\quad \tau_{\max}=\frac{Tc}{J}
معادلة اللي
J=πd432,J=π(do4−di4)32J=\frac{\pi d^4}{32},\quad J=\frac{\pi(d_o^4-d_i^4)}{32}
عزم القصور الذاتي القطبي
ϕ=TLGJ\phi=\frac{TL}{GJ}
زاوية اللي
P=TωP=T\omega
القدرة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 عمود فولاذي مصمت قطره 50 mm ينقل عزم لي 1.5 kN·m. أوجد أقصى إجهاد قص.

اعرض الخطوات
  1. J = π × 0.05⁴/32 = 6.136 × 10⁻⁷ m⁴.
  2. τ_max = Tc/J = 1500 × 0.025/6.136 × 10⁻⁷.

الإجابة: 61.1 MPa.

مثال 4.2 العمود نفسه طوله 2 m وG = 80 GPa. أوجد زاوية اللي.

اعرض الخطوات
  1. φ = TL/(GJ) = 1500 × 2/(80 × 10⁹ × 6.136 × 10⁻⁷).

الإجابة: 0.0611 rad = 3.50°.

مثال 4.3 محرك يعطي 50 kW عند 1500 rpm. حدد قطر عمود مصمت لإجهاد قص مسموح 40 MPa.

اعرض الخطوات
  1. ω = 1500 × 2π/60 = 157.1 rad/s؛ T = P/ω = 318.3 N·m.
  2. τ = 16T/(πd³) يعطي d = (16T/(πτ))^(1/3).

الإجابة: d = 34.3 mm (استخدم 35 mm).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. عمود مجوف (d_o = 60 mm، d_i = 40 mm) ينقل 2 kN·m. أوجد τ_max.

    اعرض الإجابة

    J = 1.021 × 10⁻⁶ m⁴; τ = 2000 × 0.03/J = 58.8 MPa.

  2. قارن هذا العمود المجوف بعمود مصمت قطره 60 mm: ما نسبة المادة والجساءة J التي يحتفظ بها؟

    اعرض الإجابة

    المساحة 1 − (40/60)² = 55.6%؛ وJ ‏1 − (40/60)⁴ = 80.2%.

  3. عمود مصمت قطره 30 mm ينقل 500 N·m. أوجد τ_max.

    اعرض الإجابة

    τ = 16T/(πd³) = 94.3 MPa.

  4. قيم توضيحية: دوّار توربين رياح قدرته 3.4 MW يدور بسرعة توضيحية 12 rpm. أوجد عزم اللي على عموده الرئيسي.

    اعرض الإجابة

    ω = 1.257 rad/s؛ T = P/ω = 2.71 MN·m (سرعة توضيحية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: إجهاد القص منتظم عبر العمود.

    في الحقيقة: إنه صفر في المركز وأكبر ما يكون عند السطح.

  • خرافة: عزم اللي والقدرة شيء واحد.

    في الحقيقة: P = Tω: القدرة نفسها عند سرعة منخفضة تحتاج عزم لي أكبر بكثير.

  • خرافة: العمود المجوف أضعف بكثير.

    في الحقيقة: المادة قرب المركز تتحمل إجهادًا قليلًا؛ وإزالتها توفر الوزن مقابل خسارة صغيرة في J.

بطاقات تعليمية

  • معادلة اللي

    τ = Tρ/J.

  • J المصمت

    πd⁴/32.

  • J المجوف

    π(d_o⁴ − d_i⁴)/32.

  • زاوية اللي

    φ = TL/(GJ).

  • القدرة

    P = Tω.

  • تحديد أبعاد العمود

    d = (16T/(πτ))^(1/3).

اختبار ذاتي

1. في العمود المصمت يحدث أقصى إجهاد قص…

اعرض الإجابة

عند السطح الخارجي. τ ∝ ρ.

2. مضاعفة قطر عمود مصمت تضرب J في…

اعرض الإجابة

16. J ∝ d⁴.

3. زاوية اللي تتناسب مع…

اعرض الإجابة

L. φ = TL/(GJ).

4. صندوق تروس يرفع سرعة عمود 100 مرة (دون فقد) يغير عزم اللي بمعامل…

اعرض الإجابة

1/100. P = Tω ثابت.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توربين الرياح يرسل قدرته عبر عمود ملتوٍ. تشرح وزارة الطاقة الأمريكية أن الدوّار يتصل بالمولد إما مباشرة، في توربين الدفع المباشر، أو عبر عمود وسلسلة من التروس ترفع سرعة الدوران وتسمح بمولد أصغر حجمًا. وتفيد DOE أيضًا بأن متوسط قدرة توربينات الرياح المركّبة حديثًا في الولايات المتحدة بلغ 3.4 MW في 2023. ولأن القدرة هي عزم اللي مضروبًا في السرعة، فإن دوّارًا كبيرًا بطيئًا يضع ملايين النيوتن-متر على عموده الرئيسي، ومعادلات اللي في هذه الوحدة تحدد أبعاده.

على Saving Planets: الديناميكا

المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية) · U.S. DOE: Wind turbines, the bigger the better

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسابيع 7–8

مخططات القص والعزم وإجهاد الانحناء

القص الداخلي وعزم الانحناء في الكمرات، والعلاقتان dV/dx = −w وdM/dx = V، ومخططات القص والعزم، ومعادلة الانحناء σ = My/I، ومعامل المقطع، وأشكال الكمرات الكفؤة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ارسم مخططات القص والعزم للأحمال الشائعة.
  • استخدم dV/dx = −w وdM/dx = V للتحقق من المخططات.
  • احسب إجهاد الانحناء بـ σ = My/I.
  • اختر مقاطع كفؤة باستخدام معامل المقطع S = I/c.

المفاهيم الأساسية

  • اقطع كمرة، فيحفظ القص الداخلي V والعزم M القطعة في اتزان. الميول تتبع dV/dx = −w وdM/dx = V، لذا يكون M أكبر ما يكون حيث يمر V بالصفر.
  • الانحناء الخالص يبقي المقاطع المستوية مستوية؛ وينمو الانفعال والإجهاد خطيًا من المحور المحايد الذي يمر بالمركز الهندسي.
  • معادلة الانحناء σ = −My/I؛ وأكبر إجهاد σ_max = Mc/I = M/S، حيث S = I/c معامل المقطع.
  • للمستطيل I = bh³/12، لذا يهم العمق أكثر بكثير من العرض: اللوح الموضوع على حافته أكثر جساءة ومقاومة بكثير من الموضوع مسطحًا.
  • الكمرات على شكل I والأنابيب المجوفة تضع المادة بعيدًا عن المحور المحايد، فتعطي I كبيرًا بكتلة قليلة.

المعادلات الأساسية

dVdx=−w,dMdx=V\frac{dV}{dx}=-w,\quad \frac{dM}{dx}=V
الحمل والقص والعزم
σ=−MyI,σmax⁡=McI=MS\sigma=-\frac{My}{I},\quad \sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}=\frac{M}{S}
معادلة الانحناء
I=bh312,I=πd464I=\frac{bh^3}{12},\quad I=\frac{\pi d^4}{64}
المستطيل والدائرة
Mmax⁡=PL4,Mmax⁡=wL28M_{\max}=\frac{PL}{4},\quad M_{\max}=\frac{wL^2}{8}
بسيطة الارتكاز: حمل مركزي، حمل منتظم

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 كمرة بسيطة الارتكاز طولها 4 m تحمل 10 kN في منتصف البحر. أوجد ردود الفعل وأقصى عزم.

اعرض الخطوات
  1. بالتماثل كل رد فعل 5 kN؛ V = ±5 kN.
  2. M_max = PL/4 في منتصف البحر.

الإجابة: 10 kN·m.

مثال 5.2 الكمرة مستطيل عرضه 100 mm × عمقه 200 mm. أوجد أقصى إجهاد انحناء.

اعرض الخطوات
  1. I = 0.1 × 0.2³/12 = 6.667 × 10⁻⁵ m⁴; c = 0.1 m.
  2. σ = Mc/I = 10,000 × 0.1/6.667 × 10⁻⁵.

الإجابة: 15 MPa (شد في الأسفل، ضغط في الأعلى).

مثال 5.3 كمرة بسيطة الارتكاز طولها 6 m تحمل 5 kN/m على طولها. أوجد V_max وM_max.

اعرض الخطوات
  1. ردود الفعل wL/2 = 15 kN لكل منها.
  2. M_max = wL²/8 في منتصف البحر، حيث V = 0.

الإجابة: V_max = 15 kN؛ M_max = 22.5 kN·m.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كابولي طوله 2 m يحمل 3 kN عند طرفه. أوجد أكبر عزم وموضعه.

    اعرض الإجابة

    M = 3 × 2 = 6 kN·m عند الجدار.

  2. لوح 200 mm × 50 mm يُستخدم على حافته بدل وضعه مسطحًا. بأي معامل يزداد I؟

    اعرض الإجابة

    (200/50)² = 16 مرة.

  3. قضيب دائري مصمت قطره 40 mm يحمل M = 500 N·m. أوجد σ_max.

    اعرض الإجابة

    σ = 32M/(πd³) = 79.6 MPa.

  4. قيم توضيحية: مركز اختبار NREL يمكنه تطبيق 84 MN·m على جذر الشفرة. لو كان لمقطع الجذر S توضيحي قدره 0.4 m³، فما إجهاد الانحناء الناتج؟

    اعرض الإجابة

    σ = M/S = 84/0.4 = 210 MPa (مقطع توضيحي).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: أقصى عزم يقع دائمًا تحت أكبر حمل.

    في الحقيقة: يقع حيث يمر V بالصفر، وقد يكون في موضع آخر.

  • خرافة: إجهاد الانحناء منتظم عبر المقطع.

    في الحقيقة: إنه صفر عند المحور المحايد وأكبر ما يكون في الأعلى والأسفل.

  • خرافة: العرض والعمق يساعدان بالتساوي.

    في الحقيقة: I يزداد مع h³ لكن مع b فقط.

بطاقات تعليمية

  • القص–العزم

    dM/dx = V; dV/dx = −w.

  • معادلة الانحناء

    σ = My/I.

  • معامل المقطع

    S = I/c; σ = M/S.

  • I للمستطيل

    bh³/12.

  • حمل مركزي

    M_max = PL/4.

  • حمل منتظم

    M_max = wL²/8.

اختبار ذاتي

1. dM/dx يساوي…

اعرض الإجابة

V. ميل مخطط العزم هو القص.

2. المحور المحايد يمر بـ…

اعرض الإجابة

المركز الهندسي. للانحناء الخالص لكمرة مرنة خطيًا.

3. مضاعفة عمق كمرة مستطيلة تضرب I في…

اعرض الإجابة

8. h³.

4. M_max لكمرة بسيطة الارتكاز بحمل منتظم w هو…

اعرض الإجابة

wL²/8. نتيجة قياسية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

شفرات توربينات الرياح كمرات كابولية ضخمة، وتُثنى عمدًا قبل أن تدور. تصف نشرة NREL عن Wind Technology Testing Center في بوسطن، الذي بُني مع وزارة الطاقة الأمريكية وMassachusetts Clean Energy Center، المنشأة الأمريكية الوحيدة القادرة حينها على اختبار شفرات يصل طولها إلى 90 مترًا. الاختبارات الاستاتيكية تسحب الشفرات أفقيًا ورأسيًا لقياس الانحراف والانفعالات، مطبّقةً عزم انحناء يصل إلى 84 ميغانيوتن-متر. ومعادلة الانحناء في هذه الوحدة تحوّل ذلك العزم إلى الإجهاد الذي يقرر اجتياز الشفرة للاعتماد.

على Saving Planets: الاستاتيكا

المصادر: NREL: Building state-of-the-art wind technology testing facilities (fact sheet)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 9

القص المستعرض في الكمرات وتدفق القص والمقاطع المركبة

إجهاد القص الناتج عن الأحمال المستعرضة، ومعادلة القص τ = VQ/(It)، وإجهاد القص في المقاطع المستطيلة والدائرية، وتدفق القص في الكمرات المجمّعة والملصقة، وتباعد المثبتات، والكمرات من مادتين.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب Q وإجهاد القص τ = VQ/(It).
  • استخدم τ_max = 1.5V/A للمستطيلات و4V/(3A) للدوائر.
  • أوجد تدفق القص q = VQ/I وتباعد المسامير أو البراغي أو مقاومة الغراء في الكمرات المجمّعة.
  • اشرح كيف تعمل الكمرات الطبقية معًا.

المفاهيم الأساسية

  • الكمرة ذات العزم المتغير تحمل أيضًا إجهاد قص على المستويات الأفقية؛ لهذا تنزلق كومة ألواح سائبة وتنحني أكثر بكثير من كتلة واحدة ملصقة.
  • معادلة القص τ = VQ/(It) تستخدم Q = A′ȳ′، العزم الأول حول المحور المحايد للمساحة الواقعة خلف القطع.
  • في المستطيل يكون إجهاد القص قطعيًا مكافئًا، صفرًا في الأعلى والأسفل و1.5V/A عند المحور المحايد.
  • تدفق القص q = VQ/I هو القوة لكل وحدة طول التي يجب أن يحملها خط الغراء أو صف المثبتات؛ وتباعد المثبتات s = F_fastener/q.
  • في معظم الكمرات الطويلة يحكم الانحناء؛ وفي الكمرات القصيرة العميقة وفي الخشب قد يحكم القص.

المعادلات الأساسية

τ=VQIt,Q=A′yˉ′\tau=\frac{VQ}{It},\quad Q=A'\bar y'
معادلة القص
τmax⁡=3V2A\tau_{\max}=\frac{3V}{2A}
المستطيل
τmax⁡=4V3A\tau_{\max}=\frac{4V}{3A}
الدائرة المصمتة
q=VQI,s=Fqq=\frac{VQ}{I},\quad s=\frac{F}{q}
تدفق القص وتباعد المثبتات

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 كمرة مستطيلة 100 mm × 200 mm تحمل V = 15 kN. أوجد أقصى إجهاد قص.

اعرض الخطوات
  1. A = 0.02 m².
  2. τ_max = 1.5V/A = 1.5 × 15000/0.02.

الإجابة: 1.125 MPa عند المحور المحايد.

مثال 6.2 لوحان 150 mm × 50 mm ملصقان مسطحين أحدهما فوق الآخر لتكوين كمرة عرضها 150 mm × عمقها 100 mm تحمل V = 10 kN. أوجد إجهاد القص الذي يجب أن يحمله الغراء.

اعرض الخطوات
  1. I = 0.15 × 0.1³/12 = 1.25 × 10⁻⁵ m⁴.
  2. Q = 0.15 × 0.05 × 0.025 = 1.875 × 10⁻⁴ m³.
  3. q = VQ/I = 150 N/mm; τ = q/b = 150/150.

الإجابة: τ = 1.0 MPa (يساوي 1.5V/A).

مثال 6.3 اللوحان نفسهما مثبتان بالمسامير بدلًا من ذلك، تحت V = 2 kN، وكل مسمار يحمل 900 N. أوجد تباعد المسامير.

اعرض الخطوات
  1. q = VQ/I = 2000 × 1.875 × 10⁻⁴/1.25 × 10⁻⁵ = 30 N/mm.
  2. s = F/q = 900/30.

الإجابة: 30 mm.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. عمود مصمت قطره 50 mm يحمل V = 10 kN. أوجد τ_max.

    اعرض الإجابة

    A = 1963 mm²; τ = 4V/(3A) = 6.79 MPa.

  2. مستطيل 50 mm × 100 mm يحمل V = 5 kN. أوجد τ_max.

    اعرض الإجابة

    1.5 × 5000/5000 = 1.5 MPa.

  3. لكمرة مستطيلة بسيطة الارتكاز بحمل مركزي، بيّن أن σ_max/τ_max = 2L/h، واحسبها عند L/h = 10.

    اعرض الإجابة

    σ = 1.5PL/(bh²)، τ = 0.75P/(bh)، والنسبة 2L/h = 20: الانحناء يحكم الكمرات الطويلة.

  4. قيم توضيحية: مواد مبنى متوسط الارتفاع تحمل 1000 t CO₂e من الانبعاثات المتضمنة. باستخدام المدى من 13% إلى 26.5% من ورقة Forest Service، قدّر التوفير باستخدام الخشب الكتلي.

    اعرض الإجابة

    من 130 إلى 265 t CO₂e (مبنى توضيحي).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: إجهاد القص أكبر ما يكون في الأعلى والأسفل، مثل إجهاد الانحناء.

    في الحقيقة: إنه صفر هناك وأكبر ما يكون عند المحور المحايد.

  • خرافة: Q هو عزم القصور الذاتي.

    في الحقيقة: Q عزم أول للمساحة (m³)؛ وI عزم ثانٍ (m⁴).

  • خرافة: الغراء يكفيه أن يمسك الألواح معًا رأسيًا.

    في الحقيقة: يجب أن يحمل تدفق القص الأفقي q.

بطاقات تعليمية

  • معادلة القص

    τ = VQ/(It).

  • العزم الأول Q

    A′ȳ′ خلف القطع.

  • المستطيل

    τ_max = 1.5V/A.

  • الدائرة

    τ_max = 4V/(3A).

  • تدفق القص

    q = VQ/I.

  • تباعد المثبتات

    s = F/q.

اختبار ذاتي

1. للمستطيل، τ_max يساوي…

اعرض الإجابة

1.5V/A. توزيع قطعي مكافئ.

2. وحدات تدفق القص هي…

اعرض الإجابة

N/m. قوة لكل طول.

3. Q هو…

اعرض الإجابة

A′ȳ′. العزم الأول للمساحة خلف القطع.

4. تنصيف تباعد المسامير يسمح للكمرة بحمل كم ضعفًا من القص؟

اعرض الإجابة

الضعف. q = F/s يتضاعف.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

طبقات الخشب الملصقة التي تحمل تدفق القص تبني أفقًا عمرانيًا أقل كربونًا. تشرح ورقة صدرت في 2022 عبر Forest Products Laboratory التابع لـ USDA Forest Service أن الخشب المتقاطع الطبقات في طليعة حركة الخشب الكتلي التي تتيح بناء مبانٍ خشبية أطول، وأن عدة دراسات تُظهر أن استبدال الفولاذ والخرسانة بالخشب الكتلي في المباني متوسطة الارتفاع يمكن أن يخفض انبعاثات تصنيع مواد البناء ونقلها وتركيبها بنسبة 13% إلى 26.5%. ويؤكد المؤلفون أيضًا على ضمانات كي لا يضر الطلب المتزايد على الخشب بكربون الغابات وصحتها. وخطوط الغراء بين الطبقات يجب أن تحمل تدفق القص من هذه الوحدة.

على Saving Planets: الغابات

المصادر: USDA Forest Service: What is the impact of mass timber utilization on climate and forests? (2022)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوع 10

تحويل الإجهادات ودائرة مور ونظريات الانهيار والكلال

الإجهاد المستوي على مستويات مدوّرة، والإجهادات الرئيسية وأقصى قص، ودائرة مور، ومعيارا الخضوع لتريسكا وفون ميزس، ومقدمة عن الكلال تحت الأحمال المتكررة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حوّل الإجهاد المستوي إلى أي زاوية وأوجد الإجهادات والمستويات الرئيسية.
  • ارسم دائرة مور واستخدمها.
  • طبّق معياري تريسكا وفون ميزس لإيجاد معامل الأمان.
  • اشرح الكلال ولماذا قد تنهار الأجزاء عند إجهادات أقل بكثير من مقاومتها الاستاتيكية.

المفاهيم الأساسية

  • حالة الإجهاد نفسها تبدو مختلفة على مستويات مختلفة. التدوير بزاوية θ يغير σ وτ، لكن بعض المستويات لا قص عليها: المستويات الرئيسية.
  • الإجهادات الرئيسية σ₁,₂ = (σx + σy)/2 ± R، حيث R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). وأقصى قص في المستوى هو R، على مستويات تميل 45° عن المستويات الرئيسية.
  • دائرة مور ترسم (σ، τ) لكل مستوى: المركز عند (σx + σy)/2 ونصف القطر R. والزاوية θ على العنصر تقابل 2θ على الدائرة.
  • المعادن المطيلية تخضع بالقص. تريسكا: أكبر إجهاد قص يبلغ σ_Y/2. فون ميزس: σ_vm = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) يبلغ σ_Y (وهو يطابق بيانات الاختبار أفضل قليلًا).
  • الأحمال المتكررة تنمّي الشقوق من عيوب صغيرة، فقد تنكسر الأجزاء بعد ملايين الدورات عند إجهادات أقل بكثير من الخضوع. ويستخدم المصممون منحنيات S–N ويختبرون أجزاء كاملة طوال عمرها من الدورات.

المعادلات الأساسية

σ1,2=σx+σy2±(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}
الإجهادات الرئيسية
tan⁡2θp=2τxyσx−σy\tan2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}
الزاوية الرئيسية
σvm=σ12−σ1σ2+σ22\sigma_{vm}=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}
فون ميزس (إجهاد مستوٍ)
σvm=σ2+3τ2\sigma_{vm}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}
عمودي مع قص (أعمدة دوارة، كمرات)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 نقطة فيها σx = 80 MPa وσy = −40 MPa وτxy = 30 MPa. أوجد الإجهادات الرئيسية والزاوية الرئيسية وأقصى قص في المستوى.

اعرض الخطوات
  1. المركز = 20 MPa؛ R = √(60² + 30²) = 67.1 MPa.
  2. σ₁ = 20 + 67.1; σ₂ = 20 − 67.1.
  3. tan 2θ_p = 60/120 = 0.5.

الإجابة: σ₁ = 87.1 MPa، σ₂ = −47.1 MPa، θ_p = 13.3°، τ_max = 67.1 MPa.

مثال 7.2 لحالة الإجهاد تلك، أوجد إجهاد فون ميزس ومعامل الأمان لفولاذ σ_Y = 250 MPa.

اعرض الخطوات
  1. σ_vm = √(87.1² − (87.1)(−47.1) + 47.1²).
  2. FS = 250/σ_vm.

الإجابة: σ_vm = 117.9 MPa; FS = 2.12.

مثال 7.3 استخدم تريسكا للنقطة نفسها.

اعرض الخطوات
  1. σ₁ وσ₂ مختلفتا الإشارة، لذا τ_abs max = (σ₁ − σ₂)/2 = 67.1 MPa.
  2. FS = (σ_Y/2)/τ_max = 125/67.1.

الإجابة: FS = 1.86 (تريسكا أكثر تحفظًا قليلًا).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. سطح عمود في قص خالص، τ = 50 MPa. أوجد الإجهادات الرئيسية ومستوياتها.

    اعرض الإجابة

    σ₁ = 50 MPa، σ₂ = −50 MPa، على مستويات بزاوية 45°.

  2. قضيب في شد أحادي المحور عند 100 MPa. أوجد أقصى إجهاد قص ومستواه.

    اعرض الإجابة

    τ_max = 50 MPa على مستويات بزاوية 45°.

  3. عمود يحمل σ = 60 MPa من الانحناء وτ = 40 MPa من اللي. أوجد إجهاد فون ميزس.

    اعرض الإجابة

    σ_vm = √(60² + 3 × 40²) = 91.7 MPa.

  4. قيم توضيحية: جزء يكمل دورة واحدة كل ثانية لمدة 20 سنة. كم دورة حمل هذه؟

    اعرض الإجابة

    20 × 365.25 × 86400 = 6.31 × 10⁸ دورة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: أكبر إجهاد هو دائمًا σx أو σy.

    في الحقيقة: الإجهادات الرئيسية على المستويات المدوّرة قد تكون أكبر.

  • خرافة: الزاوية θ على العنصر هي θ على دائرة مور.

    في الحقيقة: إنها 2θ على الدائرة.

  • خرافة: إذا صمد جزء أمام حمل مرة، يصمد أمامه إلى الأبد.

    في الحقيقة: الأحمال المتكررة قد تنمّي شقوق الكلال عند إجهادات أقل بكثير من المقاومة الاستاتيكية.

بطاقات تعليمية

  • الإجهادات الرئيسية

    المركز ± R.

  • نصف قطر دائرة مور

    R = √(((σx − σy)/2)² + τ²).

  • أقصى قص في المستوى

    τ_max = R، عند 45°.

  • تريسكا

    τ_max = σ_Y/2 عند الخضوع.

  • فون ميزس

    √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²).

  • الكلال

    انهيار بعد دورات كثيرة دون الخضوع.

اختبار ذاتي

1. على المستويات الرئيسية يكون إجهاد القص…

اعرض الإجابة

صفر. التعريف.

2. بأي زاوية تميل مستويات أقصى قص في المستوى عن المستويات الرئيسية؟

اعرض الإجابة

45°. 90° على الدائرة.

3. فون ميزس لإجهاد أحادي المحور σ يساوي…

اعرض الإجابة

σ. σ₂ = 0.

4. انهيار الكلال يحركه…

اعرض الإجابة

دورات حمل متكررة. الشقوق تنمو دورة بعد دورة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يجب أن تصمد شفرة توربين الرياح لعقود من الانحناء ذهابًا وإيابًا. تشرح نشرة NREL عن Wind Technology Testing Center أن اختبارات الكلال تُدير الشفرات ملايين الدورات لمحاكاة ما تمر به الشفرة طوال عمرها على التوربين، باستخدام نظام الإثارة الرنينية لدى NREL بحركة تصل إلى 21 مترًا من طرف إلى طرف عند الرأس، لتوليد ما يزيد على 20 سنة من الأحمال الدورية الميدانية في غضون أشهر. والإجهاد المركب ونظريات الانهيار والكلال، وكلها في هذه الوحدة، تقرر اجتياز الشفرة.

على Saving Planets: الاستاتيكا

المصادر: NREL: Building state-of-the-art wind technology testing facilities (fact sheet)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوع 11

أوعية الضغط رقيقة الجدران والأحمال المركبة

الإجهاد الطوقي والمحوري في الأسطوانات الرقيقة، والإجهاد في الكرات الرقيقة، وسمك الجدار المطلوب، وجمع إجهادات المحوري والانحناء واللي والضغط عند نقطة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب الإجهادين الطوقي والمحوري في الأسطوانات والكرات رقيقة الجدران.
  • أوجد سمك الجدار المطلوب لضغط وإجهاد مسموح معينين.
  • اجمع عند نقطة إجهادات المحوري والانحناء واللي والضغط.
  • أوجد الإجهادات الرئيسية وإجهاد فون ميزس للأحمال المركبة.

المفاهيم الأساسية

  • يكون الوعاء رقيق الجدار حين تكون r/t نحو 10 أو أكثر؛ وعندها يكون إجهاد الجدار شبه منتظم عبر السمك.
  • الأسطوانة: الإجهاد الطوقي σ_h = pr/t، والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t). الطوقي ضعف المحوري، ولهذا تنشق الأنابيب المفرطة الضغط طوليًا.
  • الكرة: σ = pr/(2t) في كل اتجاه، لذا تحتاج الكرة نصف جدار أسطوانة لها نصف القطر نفسه.
  • تحت الأحمال المركبة، اجمع عند نقطة الإجهادات الناتجة عن كل حمل (التراكب)، ثم استخدم دائرة مور أو معيار انهيار.
  • الوحدات مهمة: 1 bar = 0.1 MPa و1 psi = 6894.757 Pa (NIST).

المعادلات الأساسية

σh=prt,σa=pr2t\sigma_h=\frac{pr}{t},\quad \sigma_a=\frac{pr}{2t}
أسطوانة رقيقة
σ=pr2t\sigma=\frac{pr}{2t}
كرة رقيقة
σ=PA±McI\sigma=\frac{P}{A}\pm\frac{Mc}{I}
محوري مع انحناء
t=prσallowt=\frac{pr}{\sigma_{\text{allow}}}
جدار الأسطوانة المطلوب

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 قيم توضيحية: أسطوانة هيدروجين نصف قطرها الداخلي 150 mm وجدارها 15 mm تحمل 700 bar (70 MPa). أوجد الإجهادين الطوقي والمحوري.

اعرض الخطوات
  1. r/t = 10، تقدير الجدار الرقيق.
  2. σ_h = pr/t = 70 × 10; σ_a = σ_h/2.

الإجابة: σ_h = 700 MPa، σ_a = 350 MPa (خزان توضيحي، ولهذا تستخدم هذه الخزانات مواد مركبة من ألياف الكربون).

مثال 8.2 كرة بنصف القطر والجدار والضغط نفسها: أوجد الإجهاد.

اعرض الخطوات
  1. σ = pr/(2t).

الإجابة: 350 MPa، نصف الإجهاد الطوقي للأسطوانة.

مثال 8.3 عمود مصمت قطره 100 mm يحمل حمل ضغط 10 kN وعزم انحناء 3 kN·m. أوجد أكبر إجهادي ضغط وشد.

اعرض الخطوات
  1. P/A = 10000/7854 mm² = 1.27 MPa ضغطًا.
  2. Mc/I = 32M/(πd³) = 30.6 MPa.

الإجابة: 31.8 MPa ضغطًا على وجه؛ و29.3 MPa شدًا على الآخر.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. تغيّر تصميم خزان من 350 bar إلى 700 bar بنصف القطر والإجهاد المسموح نفسيهما. كيف يجب أن يتغير سمك الجدار؟

    اعرض الإجابة

    t = pr/σ: يتضاعف.

  2. قيم توضيحية: أسطوانة غاز لها r = 150 mm وt = 3 mm وp = 2 MPa. أوجد σ_h وσ_a.

    اعرض الإجابة

    σ_h = 100 MPa; σ_a = 50 MPa.

  3. أوجد سمك جدار أسطوانة لها p = 35 MPa وr = 200 mm وσ_allow = 600 MPa.

    اعرض الإجابة

    t = 35 × 200/600 = 11.7 mm.

  4. حوّل 10000 psi الواردة من DOE إلى MPa بمعامل NIST.

    اعرض الإجابة

    10000 × 6894.757 Pa = 68.9 MPa، أي نحو 700 bar.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الإجهادان الطوقي والمحوري متساويان في الأسطوانة.

    في الحقيقة: الإجهاد الطوقي ضعف الإجهاد المحوري.

  • خرافة: معادلات الجدار الرقيق تصلح لأي وعاء.

    في الحقيقة: فقط حين تكون r/t نحو 10 أو أكثر.

  • خرافة: يمكنك جمع إجهادات أحمال مختلفة عند نقاط مختلفة.

    في الحقيقة: اجمع عند النقطة نفسها وفي الاتجاه نفسه.

بطاقات تعليمية

  • الإجهاد الطوقي

    σ_h = pr/t.

  • الإجهاد المحوري

    σ_a = pr/(2t).

  • الكرة

    σ = pr/(2t).

  • الجدار الرقيق

    r/t ≳ 10.

  • التراكب

    اجمع الإجهادات عند نقطة.

  • bar وpsi

    1 bar = 0.1 MPa؛ 1 psi = 6894.757 Pa.

اختبار ذاتي

1. الإجهاد الطوقي في أسطوانة رقيقة هو…

اعرض الإجابة

pr/t. اتزان نصف حلقة.

2. إجهاد جدار الكرة مقارنة بالإجهاد الطوقي للأسطوانة (بنفس p وr وt) هو…

اعرض الإجابة

النصف. pr/(2t).

3. الأنبوب المفرط الضغط ينشق عادةً…

اعرض الإجابة

طوليًا. الإجهاد الطوقي هو الأكبر.

4. 700 bar تساوي نحو…

اعرض الإجابة

70 MPa. 1 bar = 0.1 MPa.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يمكن للهيدروجين تشغيل الشاحنات والحافلات والصناعة دون انبعاثات كربونية عند نقطة الاستخدام، لكن يجب تخزينه. تشرح وزارة الطاقة الأمريكية أن للهيدروجين أعلى طاقة لكل كتلة بين الأنواع كلها من الوقود لكن طاقته لكل حجم منخفضة جدًا، لذا يتطلب تخزينه غازًا عادةً خزانات عالية الضغط عند 350–700 bar (5000–10000 psi)، بينما يتطلب تخزينه سائلًا درجات حرارة مبرّدة جدًا لأنه يغلي عند −252.8 °C تحت الضغط الجوي. ومعادلة الإجهاد الطوقي في هذه الوحدة تبيّن لماذا تحتاج تلك الخزانات جدرانًا قوية جدًا وخفيفة.

على Saving Planets: الكيمياء العامة I

المصادر: U.S. DOE: Hydrogen storage · NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسابيع 12–13

انحراف الكمرات

المنحنى المرن وEI v″ = M، والتكامل مع الشروط الحدية، ومعادلات الانحراف القياسية، والتراكب، وحدود الصلاحية للاستخدام، والكمرات غير المحددة استاتيكيًا.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • كامل EI v″ = M مع الشروط الحدية لإيجاد الميل والانحراف.
  • استخدم معادلات الانحراف القياسية والتراكب.
  • تحقق من الانحراف مقابل حد صلاحية مثل L/360.
  • حل الكوابيل المسنودة وغيرها من الكمرات غير المحددة استاتيكيًا.

المفاهيم الأساسية

  • للميول الصغيرة يخضع المنحنى المرن لـ EI d²v/dx² = M(x). كامل مرتين واستخدم الركائز لتحديد الثوابت (v = 0 عند المفاصل؛ وv = 0 وv′ = 0 عند الطرف المثبت).
  • EI هي جساءة الانحناء: مادة أكثر جساءة (E) أو مقطع أعمق (I) يعطي انحرافات أصغر.
  • نتائج قياسية: كابولي بحمل طرفي δ = PL³/(3EI)؛ وبسيط الارتكاز بحمل مركزي PL³/(48EI)؛ وبحمل منتظم 5wL⁴/(384EI).
  • الانحرافات الناتجة عن أحمال منفصلة تُجمع (التراكب) ما دامت الكمرة مرنة خطيًا.
  • الركيزة الإضافية تجعل الكمرة غير محددة استاتيكيًا؛ أزلها، واحسب الانحراف عندها، واختر رد الفعل الذي يلغيه.

المعادلات الأساسية

EId2vdx2=M(x)EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)
المنحنى المرن
δ=PL33EI,δ=wL48EI\delta=\frac{PL^3}{3EI},\quad \delta=\frac{wL^4}{8EI}
الكابولي: حمل طرفي، حمل منتظم
δ=PL348EI,δ=5wL4384EI\delta=\frac{PL^3}{48EI},\quad \delta=\frac{5wL^4}{384EI}
بسيطة الارتكاز: حمل مركزي، حمل منتظم
RB=3wL8R_B=\frac{3wL}{8}
كابولي مسنود، حمل منتظم

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 كابولي فولاذي طوله 2 m (E = 200 GPa، I = 8 × 10⁻⁶ m⁴) يحمل 1 kN عند طرفه. أوجد انحراف الطرف.

اعرض الخطوات
  1. δ = PL³/(3EI) = 1000 × 8/(3 × 200 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁶).

الإجابة: 1.67 mm.

مثال 9.2 كمرة فولاذية بسيطة الارتكاز طولها 6 m (I = 1 × 10⁻⁴ m⁴) تحمل 10 kN/m. أوجد الانحراف في منتصف البحر وقارنه بـ L/360.

اعرض الخطوات
  1. δ = 5wL⁴/(384EI) = 5 × 10,000 × 1296/(384 × 200 × 10⁹ × 10⁻⁴).
  2. L/360 = 16.7 mm.

الإجابة: 8.44 mm، ضمن الحد.

مثال 9.3 الكمرة نفسها مثبتة عند A ومسنودة عند B. أوجد رد فعل السند.

اعرض الخطوات
  1. أزل السند: انحراف طرف الكابولي wL⁴/(8EI).
  2. قوة السند R_B تعطي R_BL³/(3EI) إلى الأعلى؛ ساوِ بينهما.

الإجابة: R_B = 3wL/8 = 22.5 kN.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. يُضاعف طول كابولي بالحمل الطرفي نفسه. بأي معامل يزداد انحراف الطرف؟

    اعرض الإجابة

    2³ = 8 مرات.

  2. كمرة خشبية بسيطة الارتكاز (E = 10 GPa، I = 5 × 10⁻⁵ m⁴، L = 4 m) تحمل 5 kN في منتصف البحر. أوجد δ.

    اعرض الإجابة

    PL³/(48EI) = 13.3 mm.

  3. كابولي فولاذي طوله 3 m (I = 1 × 10⁻⁵ m⁴) يحمل 2 kN/m. أوجد انحراف الطرف.

    اعرض الإجابة

    wL⁴/(8EI) = 10.1 mm.

  4. تقول DOE إن مساحات مسح الدوّارات نمت نحو 670% منذ 1998–1999. إذا كانت مساحة المسح تنمو مع مربع القطر، فبأي معامل نما متوسط القطر؟

    اعرض الإجابة

    مساحة المسح ×7.7، إذن القطر × √7.7 = 2.77.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الانحراف ينمو بالتناسب مع الطول.

    في الحقيقة: إنه ينمو مع L³ أو L⁴.

  • خرافة: الفولاذ الأقوى ينحرف أقل.

    في الحقيقة: الانحراف يعتمد على E، وهو متقارب لجميع أنواع الفولاذ.

  • خرافة: إذا كانت الكمرة قوية بما يكفي فهي جيدة بما يكفي.

    في الحقيقة: يجب أن تكون أيضًا جاسئة بما يكفي: الأرضيات التي تهتز أو الشفرات التي تصطدم بالبرج تخفق في الخدمة.

بطاقات تعليمية

  • المنحنى المرن

    EIv″ = M.

  • كابولي بحمل طرفي

    PL³/(3EI).

  • بسيطة الارتكاز بحمل مركزي

    PL³/(48EI).

  • بسيطة الارتكاز بحمل منتظم

    5wL⁴/(384EI).

  • التراكب

    اجمع الانحرافات من كل حمل.

  • صلاحية الاستخدام

    حد مثل L/360.

اختبار ذاتي

1. انحراف طرف كابولي بحمل عند طرفه:

اعرض الإجابة

PL³/(3EI). نتيجة قياسية.

2. يُسمى EI…

اعرض الإجابة

جساءة الانحناء. مقاومة تشوه الانحناء.

3. عند الركيزة المثبتة…

اعرض الإجابة

v = 0 وv′ = 0. لا انحراف ولا دوران.

4. مضاعفة بحر كمرة بسيطة الارتكاز بحمل منتظم تضرب δ في…

اعرض الإجابة

16. L⁴.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الشفرات الأطول تلتقط رياحًا أكثر لكنها تنحرف أكثر أيضًا. تفيد وزارة الطاقة الأمريكية بأن متوسط قطر دوّار التوربينات المركّبة حديثًا في الولايات المتحدة تجاوز 133.8 مترًا في 2023، وأن 98% من التوربينات الجديدة في ذلك العام كانت دواراتها 115 مترًا أو أكثر، وأن مساحات مسح الدوّارات نمت نحو 670% منذ 1998–1999، مما يتيح إنتاج كهرباء أكثر حتى حيث تكون الرياح أضعف. وتشير DOE إلى أن الشفرات لا يمكن طيها أو ثنيها بعد تصنيعها، مما يحد من نقلها بالشاحنات، وهي تبحث في شفرات أنحف وأكثر مرونة. ونظرية انحراف الكمرات هي ما يمنع به المصممون الشفرة المرنة من الاصطدام بالبرج.

على Saving Planets: الفيزياء 2

المصادر: U.S. DOE: Wind turbines, the bigger the better

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسبوع 14

انبعاج الأعمدة

الاستقرار والحمل الحرج، ومعادلة أويلر للأعمدة المفصلية، والطول الفعّال لشروط الأطراف الأخرى، ونسبة النحافة والإجهاد الحرج، والانبعاج غير المرن، والعيوب، والقشريات الرقيقة مع معاملات التخفيض.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اشرح الاتزان المستقر والمحايد وغير المستقر في الأعمدة.
  • احسب أحمال أويلر الحرجة بمعاملات الطول الفعّال.
  • استخدم نسبة النحافة للتمييز بين الانبعاج والخضوع.
  • اشرح لماذا تهم العيوب ومعاملات التخفيض في القشريات الرقيقة مثل خزانات الصواريخ.

المفاهيم الأساسية

  • قد ينهار العمود النحيف فجأة بالانحناء جانبيًا عند حمل أقل بكثير من حمل السحق. هذا الحمل هو الحمل الحرج P_cr.
  • أويلر: P_cr = π²EI/(KL)². K = 1 لمفصلي–مفصلي، و2 لمثبت–حر، و0.5 لمثبت–مثبت، ونحو 0.7 لمثبت–مفصلي.
  • الانبعاج يستخدم أصغر I للمقطع: ينبعج العمود حول محوره الضعيف.
  • الإجهاد الحرج σ_cr = π²E/(KL/r)²، مع نصف قطر التدويم r = √(I/A). إذا تجاوز σ_cr مقاومة الخضوع، يخضع العمود القصير أولًا؛ وبينهما ينطبق الانبعاج غير المرن.
  • القشريات الأسطوانية الرقيقة، مثل خزانات الصواريخ، شديدة الحساسية للعيوب الدقيقة، لذا يضرب المصممون حمل الانبعاج المثالي في معامل تخفيض مأخوذ من الاختبارات.

المعادلات الأساسية

Pcr=π2EI(KL)2P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}
حمل أويلر الحرج
σcr=π2E(KL/r)2,r=I/A\sigma_{cr}=\frac{\pi^2E}{(KL/r)^2},\quad r=\sqrt{I/A}
الإجهاد الحرج
K=1, 2, 0.5, 0.7K=1,\ 2,\ 0.5,\ 0.7
مفصلي، مثبت–حر، مثبت–مثبت، مثبت–مفصلي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 عمود فولاذي مفصلي الطرفين (E = 200 GPa) طوله 3 m وI = 2 × 10⁻⁶ m⁴. أوجد P_cr.

اعرض الخطوات
  1. P_cr = π² × 200 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶/3².

الإجابة: 438.6 kN.

مثال 10.2 العمود نفسه مثبت عند القاعدة وحر في الأعلى. أوجد P_cr.

اعرض الخطوات
  1. K = 2، إذن KL = 6 m وتنخفض P_cr بمعامل 4.

الإجابة: 109.7 kN.

مثال 10.3 قضيب فولاذي مصمت قطره 50 mm وطوله 2 m مفصلي الطرفين، وσ_Y = 250 MPa. هل ينبعج أم يخضع أولًا؟

اعرض الخطوات
  1. r = d/4 = 12.5 mm; KL/r = 2000/12.5 = 160.
  2. σ_cr = π² × 200,000/160² MPa.

الإجابة: σ_cr = 77.1 MPa < 250 MPa: ينبعج أولًا.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. يُضاعف طول عمود. ماذا يحدث لـ P_cr؟

    اعرض الإجابة

    تنخفض إلى الربع.

  2. كيف يقارن عمود مثبت–مثبت بعمود مفصلي–مفصلي له الطول نفسه؟

    اعرض الإجابة

    K = 0.5، إذن P_cr أكبر 4 مرات.

  3. تصف ناسا حمل اختبار يصل إلى 750000 رطل. حوّله إلى ميغانيوتن بمعامل NIST.

    اعرض الإجابة

    750,000 × 4.448222 N = 3.34 MN.

  4. قيم توضيحية: وجدت ناسا أن إزالة سماكات اللحام قد ترفع سعة التحميل حتى 28%. ماذا تحمل أسطوانة توضيحية سعتها 10 MN؟

    اعرض الإجابة

    10 × 1.28 = 12.8 MN (أسطوانة توضيحية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تنهار الأعمدة حين يبلغ الإجهاد الخضوع.

    في الحقيقة: الأعمدة النحيفة تنبعج عند إجهاد أقل بكثير.

  • خرافة: ينبعج العمود حول محوره القوي.

    في الحقيقة: ينبعج حول المحور ذي أصغر I.

  • خرافة: حمل أويلر هو ما سيحمله العمود الحقيقي.

    في الحقيقة: العيوب والأحمال اللامركزية تخفضه، وخاصة للقشريات الرقيقة.

بطاقات تعليمية

  • حمل أويلر

    P_cr = π²EI/(KL)².

  • الطول الفعّال

    K = 1, 2, 0.5, 0.7.

  • نصف قطر التدويم

    r = √(I/A).

  • الإجهاد الحرج

    π²E/(KL/r)².

  • المحور الضعيف

    أصغر I هو الحاكم.

  • معامل التخفيض

    تخفيض مبني على الاختبارات للقشريات الرقيقة.

اختبار ذاتي

1. P_cr لأويلر تتناسب مع…

اعرض الإجابة

1/L². π²EI/(KL)².

2. K لعمود مثبت–حر (سارية علم):

اعرض الإجابة

2. الطول الفعّال 2L.

3. نسبة النحافة هي…

اعرض الإجابة

KL/r. الطول الفعّال مقسومًا على نصف قطر التدويم.

4. معامل التخفيض يأخذ في الحسبان…

اعرض الإجابة

حساسية القشريات الرقيقة للعيوب. القشريات الحقيقية تنبعج دون النظرية المثالية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

الصواريخ الأخف تطلق الأقمار الصناعية التي ترصد مناخ الأرض، والانبعاج يحدد مدى خفة خزاناتها. يفيد NASA Engineering and Safety Center بأن فريق Shell Buckling Knockdown Factor التابع له أعاد فحص معاملات تخفيض لم تُحدَّث منذ حقبة أبولو في ستينيات القرن العشرين (1960). وأدت ثمانية اختبارات مصغرة واختباران بالحجم الكامل على أسطوانات معدنية إلى معاملات تخفيض جديدة تُستخدم في المرحلة الأساسية لـ Space Launch System، محققةً وفورات في الكتلة والتكلفة. وفي أحد الاختبارات انبعجت أسطوانة قطرها 8 أقدام محمّلة حتى 750000 رطل في حدود 2.5% من تنبؤ المهندس، وأظهرت النتائج الأولى أن إزالة سماكات اللحام قد ترفع سعة التحميل حتى 28%.

على Saving Planets: مقدمة في هندسة الطيران والفضاء

المصادر: NASA NESC: Shell Buckling Knockdown Factor project

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Materials lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

يمكن إجراء كل مختبر في محاكاة مجانية أو بأدوات منزلية. الأشرطة المطاطية المشدودة والسباغيتي المنكسرة قد تتطاير: ارتدِ نظارات، وأبقِ الأحمال صغيرة، وأبعد وجهك عن الأجزاء المحمّلة.

مرجع السلامة: OSHA: Hand and power tools

المختبر A: قانون هوك والجساءة

الأسبوع 2

الهدف: حمّل نابضًا (أو شريطًا مطاطيًا) على مراحل، وبيّن أن الاستطالة تزداد بالتناسب مع القوة، وأوجد الجساءة k.

F=kx,U=12kx2F=kx,\quad U=\tfrac12kx^2
النابض الخطي والطاقة المخزنة

الإجراء

  1. افتح PhET Hooke’s Law، واختر نابضًا واضبط ثابته؛ وطبّق قوى بخطوات متساوية وسجّل الإزاحة.
  2. في المنزل: علّق كيسًا بشريط مطاطي وأضف عملات معلومة الكتلة (F = mg)، وقِس الاستطالة بالمسطرة في كل مرة.
  3. ارسم F مقابل x ووفّق خطًا يمر بنقطة الأصل؛ الميل هو k.
  4. أزل الحمل خطوة خطوة ولاحظ هل يعود الشريط المطاطي إلى طوله الأصلي.

جدول البيانات

F (N)x (mm) عند k = 50 N/m
0.510
1.020
1.530
2.040

قيم توضيحية لنابض k = 50 N/m؛ نابضك يحدد ميلك.

مثال حسابي

  1. k = F/x = 0.5 N/0.010 m = 50 N/m في كل صف.
  2. الطاقة المخزنة عند 2 N: U = ½ × 50 × 0.04² = 0.04 J.

السلامة

  • ارتدِ نظارات؛ فالشريط المطاطي المشدود قد يرتد فجأة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • خطوة الشريط المطاطي هي النسخة المنزلية.

PhET: Hooke’s Law

الصلة بالكوكب: اختبارات الجساءة مثل هذا، بحجم أكبر، هي طريقة المهندسين لاعتماد كل برغي وكابل وعنصر جسر. ASCE Report Card for America’s Infrastructure: Bridges

المختبر B: الإجهاد والانفعال ومعامل الشريط المطاطي

الأسبوع 3

الهدف: حوّل القوة والاستطالة إلى إجهاد وانفعال، وقدّر معاملًا، ولاحظ أين تتوقف الاستجابة عن كونها خطية.

σ=FA,ε=δL0,E=σε\sigma=\frac{F}{A},\quad \varepsilon=\frac{\delta}{L_0},\quad E=\frac{\sigma}{\varepsilon}
الإجهاد والانفعال الهندسيان

الإجراء

  1. قِس عرض شريط مطاطي مسطح وسمكه بمسطرة (أو عدّ طبقات معلومة السمك) وطوله غير المشدود L₀.
  2. علّق كتلًا معلومة وسجّل الاستطالة δ لكل منها.
  3. احسب σ وε وارسم σ مقابل ε. وفّق الجزء المستقيم الأول لتقدير E.
  4. واصل إضافة كتل صغيرة ولاحظ أين ينحني المنحنى: المطاط ليس خطيًا عند الانفعالات الكبيرة.

جدول البيانات

F (N)δ (mm)σ (MPa)ε
180.6670.10
2161.3330.20
3242.0000.30

قيم توضيحية لشريط له A = 1.5 mm² وL₀ = 80 mm في مداه شبه الخطي.

مثال حسابي

  1. σ = 1 N/1.5 mm² = 0.667 MPa; ε = 8/80 = 0.10.
  2. E = 0.667/0.10 = 6.67 MPa، أي أقل جساءة من الفولاذ (200 GPa) بنحو 30000 مرة.

السلامة

  • ارتدِ نظارات ووجّه الشريط بعيدًا عن الوجوه؛ وتوقف قبل أن ينقطع.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Masses and Springs

الصلة بالكوكب: معرفة الجساءة والمقاومة لكل كيلوغرام هي طريقة اختيار هياكل سيارات أخف، وتربط DOE خفض الوزن بنسبة 10% بتحسن 6% إلى 8% في الاقتصاد في الوقود. U.S. DOE: Lightweight materials for cars and trucks

المختبر C: لي قضيب إسفنجي

الأسبوع 6

الهدف: اِلوِ قضيبًا إسفنجيًا بعزم لي معلوم، وقِس زاوية اللي، وتحقق من أن φ تزداد بالتناسب مع T كما في φ = TL/(GJ).

ϕ=TLGJ,J=πd432\phi=\frac{TL}{GJ},\quad J=\frac{\pi d^4}{32}
زاوية لي قضيب مصمت

الإجراء

  1. ارسم خطًا مستقيمًا على طول قضيب إسفنجي مصمت وعلّم حلقتين المسافة بينهما 0.5 m.
  2. ثبّت أحد الطرفين وطبّق عزم لي بذراع رافعة وثقل معلوم (T = F × الذراع).
  3. صوّر الخط واقرأ زاوية اللي بين الحلقتين؛ وكرر لثلاثة عزوم لي.
  4. ارسم φ مقابل T؛ الميل هو L/(GJ). لاحظ الحلزون الذي يصبح عليه الخط المستقيم: هذا هو انفعال القص.

جدول البيانات

T (N·m)φ (°)
0.14.67
0.29.34
0.314.0

قيم محسوبة لقضيب توضيحي له d = 50 mm وL = 0.5 m وG = 1 MPa.

مثال حسابي

  1. J = π × 0.05⁴/32 = 6.136 × 10⁻⁷ m⁴.
  2. φ = 0.2 × 0.5/(10⁶ × 6.136 × 10⁻⁷) = 0.163 rad = 9.34°.
  3. انفعال القص السطحي γ = cφ/L = 0.025 × 0.163/0.5 = 0.00815.

السلامة

  • أبقِ الأثقال صغيرة ومنخفضة فوق سطح لين.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Torque

الصلة بالكوكب: أعمدة توربينات الرياح تحمل النوع نفسه من حمل اللي، بأضعاف تبلغ الملايين. وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية)

المختبر D: الشكل مهم، مسطرة مسطحة وعلى حافتها

الأسبوع 8

الهدف: حمّل مسطرة ككابولي مسطحة ثم على حافتها، وقارن الانحراف والإجهاد مع I = bh³/12.

I=bh312,δ=PL33EI,σ=McII=\frac{bh^3}{12},\quad \delta=\frac{PL^3}{3EI},\quad \sigma=\frac{Mc}{I}
شكل المقطع وانحناء الكابولي

الإجراء

  1. ثبّت مسطرة بلاستيكية 30 mm × 3 mm مسطحة على طاولة مع بروز 250 mm.
  2. علّق حملًا 0.5 N (نحو 51 g) من الطرف وقِس الانحراف بمسطرة ثانية.
  3. أدر المسطرة على حافتها (اضغطها بين كتابين) وكرر بالحمل نفسه.
  4. قارن نسبة الانحرافات بنسبة قيم I.

جدول البيانات

الاتجاهI (m⁴)δ عند 0.5 N (mm)σ_max (MPa)
مسطحة (h = 3 mm)6.75 × 10⁻¹¹12.92.78
على الحافة (h = 30 mm)6.75 × 10⁻⁹0.1290.278

قيم محسوبة لمسطرة بلاستيكية توضيحية لها E = 3 GPa.

مثال حسابي

  1. نسبة I = (30/3)² = 100، إذن الانحراف على الحافة أصغر 100 مرة.
  2. M = 0.5 × 0.25 = 0.125 N·m؛ وللمسطحة σ = 0.125 × 0.0015/6.75 × 10⁻¹¹ = 2.78 MPa.

السلامة

  • لا تُفرط في تحميل المسطرة؛ فالبلاستيك قد ينكسر.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Balancing Act

الصلة بالكوكب: وضع المادة بعيدًا عن المحور المحايد هو طريقة الشفرات والكمرات والأبراج في توفير المادة. NREL: Building state-of-the-art wind technology testing facilities (fact sheet)

المختبر E: انحراف الكابولي ومعامل يونغ

الأسبوع 12

الهدف: قِس انحراف الطرف مقابل الحمل لمسطرة مسطحة ككابولي، واستخرج معامل يونغ من δ = PL³/(3EI).

E=L33I (δ/P)E=\frac{L^3}{3I\,(\delta/P)}
من ميل δ مقابل P

الإجراء

  1. استخدم المسطرة المسطحة من المختبر D مع بروز 250 mm.
  2. علّق 0.25 و0.5 و1.0 N عند الطرف وسجّل الانحراف في كل مرة.
  3. ارسم δ مقابل P ووفّق خطًا يمر بنقطة الأصل.
  4. احسب E من الميل وقارنه بقيمة نموذجية للبلاستيك.

جدول البيانات

P (N)δ (mm)
0.256.43
0.5012.9
1.0025.7

قيم محسوبة لمسطرة بلاستيكية توضيحية لها E = 3 GPa وb = 30 mm وh = 3 mm.

مثال حسابي

  1. الميل δ/P = 25.7 mm/N.
  2. E = 0.25³/(3 × 6.75 × 10⁻¹¹ × 0.0257) = 3.0 GPa.

السلامة

  • أبقِ الأحمال صغيرة والتقطها إن انزلقت.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

PhET: Hooke’s Law

الصلة بالكوكب: شفرات الرياح الأطول والأكثر مرونة تُصمَّم بمعادلة الانحراف نفسها. U.S. DOE: Wind turbines, the bigger the better

المختبر F: انبعاج السباغيتي

الأسبوع 14

الهدف: أوجد الحمل الذي يبعج أعواد سباغيتي جافة بأطوال مختلفة، وتحقق من أن P_cr تنخفض مثل 1/L².

Pcr=π2EIL2,I=πd464P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{L^2},\quad I=\frac{\pi d^4}{64}
عمود مفصلي–مفصلي

الإجراء

  1. اقطع أعوادًا بأطوال 100 و150 و200 mm. أوقف كل عود رأسيًا على ميزان مطبخ واضغط ببطء من الأعلى بجسم مسطح.
  2. سجّل أعلى قراءة للميزان لحظة انحناء العود جانبيًا (حوّل الغرامات إلى نيوتن).
  3. كرر ثلاث مرات لكل طول وخذ المتوسط.
  4. ارسم P_cr مقابل 1/L²؛ يجب أن يمر الخط قرب نقطة الأصل.

جدول البيانات

L (mm)P_cr (N)
1001.526
1500.678
2000.381

قيم محسوبة لعود توضيحي له d = 1.8 mm وE = 3 GPa؛ والسباغيتي الحقيقية تتفاوت.

مثال حسابي

  1. I = π × 1.8⁴/64 = 0.515 mm⁴ = 5.153 × 10⁻¹³ m⁴.
  2. P_cr عند 0.1 m = π² × 3 × 10⁹ × 5.153 × 10⁻¹³/0.01 = 1.526 N (نحو 156 g على الميزان).
  3. مضاعفة L من 100 إلى 200 mm تقسم P_cr على 4.

السلامة

  • ارتدِ نظارات؛ فالسباغيتي تنكسر إلى قطع حادة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • المختبر كله منزلي.

OpenStax UP1, 12.4 Elasticity and plasticity

الصلة بالكوكب: تختبر ناسا أسطوانات صواريخ بالحجم الكامل حتى الانبعاج لتحديد معاملات تخفيض توفر الكتلة. NASA NESC: Shell Buckling Knockdown Factor project

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. قضيب فولاذي قطره 16 mm يحمل 30 kN شدًا. أوجد الإجهاد.

    اعرض الحل الكامل
    1. A = π × 16²/4 = 201.1 mm².

    الإجابة: 149.2 MPa.

  2. قضيب ألومنيوم (E = 70 GPa) طوله 1.5 m وA = 300 mm² يحمل 12 kN. أوجد استطالته.

    اعرض الحل الكامل
    1. δ = PL/(AE).

    الإجابة: 0.857 mm.

  3. قضيب فولاذي (E = 200 GPa، α = 12 × 10⁻⁶/°C) مثبت بين جدارين صلبين ويُسخَّن 25 °C. أوجد الإجهاد.

    اعرض الحل الكامل
    1. σ = EαΔT.

    الإجابة: 60 MPa ضغطًا.

  4. عمود مصمت قطره 40 mm ينقل 800 N·m. أوجد τ_max.

    اعرض الحل الكامل
    1. τ = 16T/(πd³).

    الإجابة: 63.7 MPa.

  5. كمرة بسيطة الارتكاز طولها 5 m، عرضها 120 mm × عمقها 240 mm، تحمل 4 kN/m. أوجد σ_max.

    اعرض الحل الكامل
    1. M = wL²/8 = 12.5 kN·m; I = 1.382 × 10⁻⁴ m⁴.

    الإجابة: 10.9 MPa.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. كمرة مستطيلة 80 mm × 160 mm تحمل V = 12 kN. أوجد τ_max.

    اعرض الحل الكامل
    1. τ = 1.5V/A.

    الإجابة: 1.41 MPa.

  2. أوجد الإجهادات الرئيسية لـ σx = 50 MPa وσy = 10 MPa وτxy = 15 MPa.

    اعرض الحل الكامل
    1. المركز 30 MPa؛ R = √(20² + 15²) = 25 MPa.

    الإجابة: σ₁ = 55 MPa, σ₂ = 5 MPa.

  3. أسطوانة رقيقة لها r = 0.5 m وt = 10 mm وp = 2 MPa. أوجد σ_h وσ_a.

    اعرض الحل الكامل
    1. pr/t وpr/(2t).

    الإجابة: 100 MPa و50 MPa.

  4. كابولي فولاذي طوله 1.5 m (I = 4 × 10⁻⁶ m⁴) يحمل 2 kN عند طرفه. أوجد انحراف الطرف.

    اعرض الحل الكامل
    1. δ = PL³/(3EI).

    الإجابة: 2.81 mm.

  5. عمود فولاذي مفصلي طوله 4 m وI = 5 × 10⁻⁶ m⁴. أوجد P_cr.

    اعرض الحل الكامل
    1. π²EI/L².

    الإجابة: 616.9 kN.

  6. نقطة في عمود دوار فيها σ = 80 MPa وτ = 30 MPa. أوجد إجهاد فون ميزس.

    اعرض الحل الكامل
    1. √(σ² + 3τ²).

    الإجابة: 95.4 MPa.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

σ=P/A, τ=V/A, σb=P/(td)\sigma=P/A,\ \tau=V/A,\ \sigma_b=P/(td)
ε=δ/L, σ=Eε, G=E/(2(1+ν))\varepsilon=\delta/L,\ \sigma=E\varepsilon,\ G=E/(2(1+\nu))
δ=PL/(AE), δT=αΔTL\delta=PL/(AE),\ \delta_T=\alpha\Delta TL
τ=Tρ/J, ϕ=TL/(GJ), J=πd4/32\tau=T\rho/J,\ \phi=TL/(GJ),\ J=\pi d^4/32
P=TωP=T\omega
dM/dx=V, dV/dx=−wdM/dx=V,\ dV/dx=-w
σ=My/I, I=bh3/12\sigma=My/I,\ I=bh^3/12
τ=VQ/(It), q=VQ/I\tau=VQ/(It),\ q=VQ/I
σ1,2=σx+σy2±(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{1,2}=\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{(\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}
σvm=σ12−σ1σ2+σ22\sigma_{vm}=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}
σh=pr/t, σa=pr/(2t)\sigma_h=pr/t,\ \sigma_a=pr/(2t)
EIv′′=MEIv''=M
δ=PL3/(3EI), PL3/(48EI), 5wL4/(384EI)\delta=PL^3/(3EI),\ PL^3/(48EI),\ 5wL^4/(384EI)
Pcr=π2EI/(KL)2P_{cr}=\pi^2EI/(KL)^2

الثوابت

الثابتالقيمة
1 ميغاباسكال (MPa)10⁶ Pa = 1 N/mm²
1 bar10⁵ Pa = 0.1 MPa
1 psi (lbf/in²)6894.757 Pa
1 رطل-قوة (lbf)4.448222 N
1 دورة في الدقيقة0.1047198 rad/s
فولاذ نموذجي (قيم من الكتب الدراسية)E = 200 GPa، G = 80 GPa، ν = 0.3، α = 12 × 10⁻⁶/°C، والخضوع نحو 250 MPa
سبيكة ألومنيوم نموذجية (قيم من الكتب الدراسية)E = 70 GPa, G = 26 GPa, ν = 0.33, α = 23 × 10⁻⁶/°C

المصدر: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه الكتب والمحاضرات والمحاكاة المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الإجهاد التحميلي
ضغط التلامس بين المثبّت واللوح، P/(td).
المنحنى المرن
الشكل المنحرف للمحور المحايد للكمرة.
معامل الأمان
حمل الانهيار مقسومًا على الحمل المسموح.
الكلال
انهيار بسبب الأحمال المتكررة، غالبًا دون الخضوع.
جساءة الانحناء
EI، مقاومة الكمرة لتشوه الانحناء.
الإجهاد الطوقي
الإجهاد المحيطي pr/t في أسطوانة مضغوطة.
معامل التخفيض
تخفيض مبني على الاختبارات لحمل الانبعاج المثالي للقشريات الرقيقة.
المحور المحايد
خط إجهاد الانحناء الصفري المار بالمركز الهندسي.
نسبة بواسون
نسبة الانفعال الجانبي إلى المحوري، بإشارة سالبة.
عزم القصور الذاتي القطبي
J، مقاومة العمود الدوار للّي.
الإجهادات الرئيسية
الإجهادات العمودية على المستويات عديمة القص.
معامل المقطع
S = I/c.
تدفق القص
قوة القص لكل وحدة طول، VQ/I.
نسبة النحافة
KL/r للعمود.
الانفعال
التشوه لكل وحدة طول.
الإجهاد
القوة الداخلية لكل وحدة مساحة.
إجهاد فون ميزس
إجهاد مكافئ يُقارن بمقاومة الخضوع.
مقاومة الخضوع
الإجهاد الذي يبدأ عنده التشوه الدائم.
معامل يونغ
E، ميل خط الإجهاد–الانفعال المرن.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيجد الأحمال الداخلية بمخطط جسم حر، ويختار نموذج التشوه المناسب، ويتحقق من الافتراضات (مرن، رقيق الجدار، نحيف)، ويعرض الإجهادات مع معامل أمان.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع أخطاء عرضية في الوحدات أو الإشارات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يخلط بين I وJ وQ أو ينسى التوافق.
1 · مبتدئيعوّض الأرقام في المعادلات دون مخططات؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين25%
المختبرات20%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع