ديناميكا الطيران والتحكم

استقرار الطائرات والمركبات الفضائية والتحكم فيها: المحاور والعزوم، والاستقرار الساكن والموازنة، والاستقرار الجانبي-الاتجاهي، والأنماط الديناميكية، ودوال النقل، والاستجابة الزمنية، والتغذية الراجعة والتحكم PID، وهوامش الاستقرار، والتحكم في وضع المركبات الفضائية، مع ستة مختبرات. مجاني، بالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بـ X-59 وهابل ودراغونفلاي التابعة لناسا.

NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)ناساNASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

الدورات › AERO 420

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقررًا فصليًا للسنة الأخيرة في ديناميكا الطيران والتحكم لمهندسي الطيران والفضاء. وهو مبني على موضوعات ومستوى MIT 16.333 Aircraft Stability and Control وMIT 16.06 Principles of Automatic Control وMIT 16.30 Feedback Control Systems (مجانية على MIT OpenCourseWare)، ويستخدم Beginner’s Guide to Aeronautics المجاني من NASA Glenn، ونضع رابطه حيث يفيد. لا يؤيد أيٌّ من هؤلاء المؤلفين أو المؤسسات أو الهيئات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي بمصدر عام موثّق (اختبارات طيران X-59 التابعة لناسا، ونظام التوجيه في هابل، والطائرة المروحية دراغونفلاي)، وكل رقم في الصفحة يعاد حسابه بنص تحقق برمجي قبل النشر، ولكل مختبر محاكاة مجانية أو جدول بيانات.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

المركبات المستقرة والمحكومة جيدًا تطير في مسارات فعّالة، والأفكار نفسها في التحكم توجّه أقمار رصد الأرض والتلسكوبات بدقة كافية لقياس كوكبنا والكون.

وهندسة التحكم تجعل أيضًا طائرات جديدة أهدأ وأكثر استقلالية ممكنة. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق. القيم التي لا تأتي من مصدر موسومة بأنها قيم نموذجية أو مرجعية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • الديناميكا: دوران الأجسام الصلبة، وعزوم القصور الذاتي، والزخم الزاوي.
  • المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية الخطية وتحويل لابلاس.
  • الجبر الخطي: المصفوفات والقيم الذاتية.
  • الديناميكا الهوائية I وأداء الطائرات: الرفع والسحب والعزوم والطيران المنعطف.

كيف تذاكر

  • ارسم محاور الجسم ومركز الثقل قبل كتابة أي معادلة عزوم.
  • أبقِ الزوايا بالراديان داخل الصيغ؛ وحوّلها إلى درجات للإجابة فقط.
  • افصل الاستقرار الساكن (الميل الأول بعد الاضطراب) عن الاستقرار الديناميكي (ما يحدث مع الوقت).
  • ارسم الأقطاب في المستوى s لكل نظام تصادفه.
  • تحقّق من كل إجابة بالحسّ الفيزيائي: الأنظمة المستقرة تستقر، وغير المستقرة تتنامى.
  • حل كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي لمحاكاتي PhET المجانيتين Balancing Act وMasses and Springs.
  • برنامج جداول بيانات (أي برنامج مجاني يفي بالغرض)، أو Python.
  • صفحات Beginner’s Guide to Aeronautics من NASA Glenn في متصفح ويب.
  • آلة حاسبة.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1المحاور والدورانات والعزومالمحاور ومركز الثقل والعزوم؛ المختبر ANASA Glenn
2الاستقرار الساكن الطوليالاستقرار الساكن الطوليMIT 16.333
3الموازنة والتحكم بالرافعالموازنة والرافع؛ المختبر BNASA Glenn
4الاستقرار الجانبي-الاتجاهي والانعطافاتالاستقرار الجانبي-الاتجاهي والانعطافاتMIT 16.333
5معادلات الحركة والأنماط الديناميكيةمعادلات الحركة والتخطيط الخطيMIT 16.333
6معادلات الحركة والأنماط الديناميكيةالأنماط الديناميكية؛ المختبر CMIT 16.333
7تحويلات لابلاس ودوال النقلدوال النقل؛ تدريب لاختبار منتصف الفصلMIT 16.06
8الاستجابة الزمنية من الرتبة الثانيةالاستجابة من الرتبة الثانية؛ المختبر DMIT 16.06
9التغذية الراجعة والتحكم PIDالتغذية الراجعة وPIDMIT 16.06
10التغذية الراجعة والتحكم PIDتصميم الطيار الآلي؛ المختبر EMIT 16.30
11تحليل الاستقرار: روث ومحل الجذور والهوامشروث ومحل الجذور والهوامشMIT 16.06
12تحديد وضع المركبات الفضائية والتحكم فيهديناميكا الوضع والمستشعراتMIT 16.30
13تحديد وضع المركبات الفضائية والتحكم فيهعجلات رد الفعل ومناورات الدوران؛ المختبر FNASA Hubble
14تحديد وضع المركبات الفضائية والتحكم فيهالاستقلالية والاستجابة للأعطالNASA Dragonfly
15تحديد وضع المركبات الفضائية والتحكم فيهالمراجعة؛ تدريب للامتحان النهائيMIT 16.06

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوع 1

المحاور والدورانات والعزوم

محاور الجسم عبر مركز الثقل، والدحرجة والانحدار والانعراج، وأسطح التحكم والعزوم التي تولّدها، وإيجاد مركز الثقل، وزوايا أويلر.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • عرّف محاور الدحرجة والانحدار والانعراج.
  • حدّد مركز الثقل من كتل المكوّنات.
  • احسب عزم قوة تحكم.
  • طابق كل سطح تحكم مع عزمه.

المفاهيم الأساسية

  • في الطيران تدور الطائرة حول مركز ثقلها (cg)، أي الموضع المتوسط لكتلتها.
  • محاور الجسم: الدحرجة نحو المقدمة، والانحدار نحو طرف الجناح الأيمن، والانعراج نحو أسفل الطائرة.
  • تولّد أسطح التحكم قوى ديناميكية هوائية على مسافة من مركز الثقل فتنتج عزومًا: الرافع للانحدار، والدفة للانعراج، والجنيحات للدحرجة.
  • مركز ثقل عدة كتل هو x_cg = Σm_ix_i/Σm_i؛ وتحريكه يغيّر الاستقرار والتحكم.
  • زوايا أويلر (الانعراج ψ، والانحدار θ، والدحرجة φ، بهذا الترتيب) تصف الوضع بالنسبة إلى الأرض.

المعادلات الأساسية

xcg=∑mixi∑mix_{cg}=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}
مركز الثقل
M=FdM=Fd
عزم القوة
L, M, NL,\ M,\ N
عزوم الدحرجة والانحدار والانعراج
ψ→θ→ϕ\psi\to\theta\to\phi
ترتيب زوايا أويلر

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 قوة ذيل مقدارها 2000 N تؤثر على بعد 6 m خلف مركز الثقل (قيم نموذجية). أوجد عزم الانحدار.

اعرض الخطوات
  1. M = 2000 × 6.

الإجابة: 12,000 N·m.

مثال 1.2 كتل 1000 kg عند 2 m و500 kg عند 6 m و300 kg عند 10 m من المقدمة (قيم نموذجية). أوجد مركز الثقل.

اعرض الخطوات
  1. Σm = 1800 kg.
  2. Σmx = 2000 + 3000 + 3000 = 8000 kg·m.

الإجابة: x_cg = 4.44 m.

مثال 1.3 أي سطح يُدحرج الطائرة؟

اعرض الخطوات
  1. تنحرف الجنيحات في اتجاهين متعاكسين على كل جناح.

الإجابة: تنتج الجنيحات عزم دحرجة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. عزم 500 N عند 4 m؟

    اعرض الإجابة

    2000 N·m.

  2. أي سطح يحرّك المقدمة يمينًا ويسارًا؟

    اعرض الإجابة

    الدفة.

  3. أضف 200 kg عند 10 m إلى المثال. ما مركز الثقل الجديد؟

    اعرض الإجابة

    10,000/2000 = 5.0 m.

  4. حول أي نقطة تدور الطائرة الورقية؟

    اعرض الإجابة

    نقطة اللجام.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تدور الطائرات حول مقدمتها.

    في الحقيقة: تدور حول مركز الثقل.

  • خرافة: الرافع يُدحرج الطائرة.

    في الحقيقة: بل يغيّر انحدارها.

  • خرافة: ترتيب زوايا أويلر لا يهم.

    في الحقيقة: الدورانات غير تبديلية.

بطاقات تعليمية

  • cg

    الموضع المتوسط للكتلة.

  • الدحرجة

    الدوران حول محور المقدمة.

  • الانحدار

    المقدمة إلى أعلى أو أسفل.

  • Yaw

    المقدمة من جانب إلى آخر.

  • العزم

    القوة × المسافة.

  • زوايا أويلر

    ψ, θ, φ.

اختبار ذاتي

1. تدور الطائرات حول…

اعرض الإجابة

مركز الثقل. NASA Glenn.

2. الدفة تولّد…

اعرض الإجابة

الانعراج. عزم انعراج.

3. مركز ثقل المثال…

اعرض الإجابة

4.44 m. 8000/1800.

4. يشير محور الانحدار نحو…

اعرض الإجابة

طرف الجناح الأيمن. التعريف.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح NASA Glenn أن أسطح التحكم تولّد قوى عند مراكز ضغطها، على مسافة من مركز الثقل، فتنشئ عزومًا حول المحاور الرئيسية: الرافع للانحدار، والدفة للانعراج، والجنيحات للدحرجة. وأول طائرة أظهرت تحكمًا فعّالًا حول المحاور الثلاثة كانت طائرة الأخوين رايت الشراعية عام 1902.

وكل طائرة ركاب حديثة فعّالة وكل طائرة لرصد الأرض لا تزال تستخدم هذه العزوم الثلاثة، وغالبًا ما تُصدر أوامرها اليوم حواسيب التحكم في الطيران.

على Saving Planets: الديناميكا الهوائية 1 · الديناميكا

المصادر: NASA Glenn Beginner’s Guide: Aircraft rotations · NASA Glenn Beginner’s Guide: Center of gravity

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوع 2

الاستقرار الساكن الطولي

معامل عزم الانحدار، ومشتقة الاستقرار C_mα، والنقطة المحايدة، والهامش الساكن، وكيف يحدد موضع مركز الثقل وحجم الذيل الاستقرار.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اذكر شرط الاستقرار الساكن في الانحدار.
  • احسب الهامش الساكن.
  • اربط الهامش الساكن بـ C_mα.
  • اشرح أثر تحريك مركز الثقل.

المفاهيم الأساسية

  • الاستقرار الساكن هو الميل الأول بعد الاضطراب: الطائرة المستقرة سكونيًا تولّد عزمًا يعيدها.
  • في الانحدار يلزم C_mα < 0: زيادة زاوية الهجوم تولّد عزمًا يخفض المقدمة.
  • النقطة المحايدة هي موضع مركز الثقل الذي يكون عنده C_mα = 0.
  • الهامش الساكن SM = (x_np − x_cg)/c̄؛ القيمة الموجبة تعني الاستقرار. وتقريبيًا C_mα = −C_Lα × SM.
  • تحريك مركز الثقل إلى الخلف يقلل الاستقرار وقوى التحكم؛ وإذا أُبعد كثيرًا تصبح الطائرة غير مستقرة ما لم يثبّتها حاسوب.

المعادلات الأساسية

Cmα=∂Cm∂α<0C_{m_\alpha}=\frac{\partial C_m}{\partial\alpha}<0
الاستقرار في الانحدار
SM=xnp−xcgcˉSM=\frac{x_{np}-x_{cg}}{\bar c}
الهامش الساكن
Cmα=−CLαSMC_{m_\alpha}=-C_{L_\alpha}SM
مشتقة الاستقرار
M=12ρV2ScˉCmM=\tfrac12\rho V^2S\bar cC_m
عزم الانحدار

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 النقطة المحايدة عند 0.35c̄ ومركز الثقل عند 0.25c̄ (قيم نموذجية). أوجد الهامش الساكن.

اعرض الخطوات
  1. SM = 0.35 − 0.25.

الإجابة: SM = 0.10 (10%).

مثال 2.2 مع C_Lα = 5.5 لكل راديان، أوجد C_mα.

اعرض الخطوات
  1. C_mα = −5.5 × 0.10.

الإجابة: C_mα = −0.55 لكل راديان: مستقر.

مثال 2.3 انقل مركز الثقل إلى 0.30c̄. أوجد C_mα الجديد.

اعرض الخطوات
  1. SM = 0.05; −5.5 × 0.05.

الإجابة: −0.275 لكل راديان: نصف الصلابة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ما SM ومركز الثقل عند 0.35c̄؟

    اعرض الإجابة

    0: استقرار محايد.

  2. ما إشارة C_mα ومركز الثقل عند 0.40c̄؟

    اعرض الإجابة

    موجبة: غير مستقر.

  3. هل يحرّك ذيل أكبر النقطة المحايدة إلى الأمام أم إلى الخلف؟

    اعرض الإجابة

    إلى الخلف، ما يرفع الهامش الساكن.

  4. لماذا نطير بهوامش صغيرة؟

    اعرض الإجابة

    سحب موازنة أقل وتحكم أخف.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الاستقرار الساكن يضمن الاستقرار الديناميكي.

    في الحقيقة: إنه الميل الأول فقط.

  • خرافة: مركز الثقل الخلفي أكثر أمانًا دائمًا.

    في الحقيقة: إنه يقلل الاستقرار.

  • خرافة: يجب أن يكون C_mα موجبًا.

    في الحقيقة: السالب مستقر.

بطاقات تعليمية

  • الاستقرار الساكن

    الميل الأول للعودة.

  • C_mα

    صلابة الانحدار.

  • النقطة المحايدة

    مركز الثقل حيث C_mα = 0.

  • الهامش الساكن

    (x_np − x_cg)/c̄.

  • الوتر المتوسط c̄

    طول مرجعي.

  • الاستقرار المخفَّف

    هامش صغير أو سالب بمساعدة حاسوب.

اختبار ذاتي

1. مستقر في الانحدار إذا كان C_mα…

اعرض الإجابة

< 0. مُعيد.

2. مثال SM…

اعرض الإجابة

0.10. 0.35 − 0.25.

3. النقطة المحايدة: C_mα = …

اعرض الإجابة

0. التعريف.

4. تحريك مركز الثقل إلى الخلف…

اعرض الإجابة

يقلل SM. يتقلص الهامش.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد ناسا بأنه بعد 25 رحلة تتطابق خصائص طيران X-59 الفعلية تطابقًا وثيقًا مع المحاكاة، بما في ذلك خصائص المناورة وهامش الاستقرار، الذي تصفه ناسا بأنه مدى قرب الطائرة من فقدان الاستقرار في ظروف معينة.

صُمم شكل X-59 لتحويل دوي اختراق الصوت العالي إلى خبطة هادئة، وتأكيد هامش استقرارها في الطيران جزء من إثبات أن الطيران الأسرع من الصوت الأهدأ عملي.

على Saving Planets: الديناميكا الهوائية 1 · أداء الطائرات

المصادر: NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 3

الموازنة والتحكم بالرافع

الموازنة بوصفها عزم انحدار صافيًا صفريًا، وفعالية الرافع، وزاوية الرافع للموازنة، والحمل السفلي للذيل وسحب الموازنة، والاستقرار مع ثبات عصا التحكم مقابل تحررها.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اكتب شرط الموازنة.
  • احسب زاوية الرافع للموازنة.
  • اشرح لماذا تدفع الذيول غالبًا إلى الأسفل.
  • صف سحب الموازنة.

المفاهيم الأساسية

  • الموازنة تعني عزم انحدار صافيًا صفريًا: C_m = C_m0 + C_mα α + C_mδe δ_e = 0.
  • فعالية الرافع C_mδe سالبة للرافع الذيلي: خفض الحافة الخلفية يخفض المقدمة.
  • يؤثر رفع الرافع على مسافة من مركز الثقل، فيولّد عزمًا وتدور الطائرة حول مركز ثقلها.
  • كثيرًا ما تحمل الذيول الحديثة رفعًا سالبًا لإبقاء المقدمة مرفوعة، وعلى الجناح تعويضه برفع إضافي.
  • هذا الرفع الإضافي يكلّف سحبًا مستحثًا يسمى سحب الموازنة؛ والهامش الساكن الأصغر يقلله.

المعادلات الأساسية

Cm=Cm0+Cmαα+Cmδeδe=0C_m=C_{m_0}+C_{m_\alpha}\alpha+C_{m_{\delta_e}}\delta_e=0
شرط الموازنة
δe=−Cm0+CmααCmδe\delta_e=-\frac{C_{m_0}+C_{m_\alpha}\alpha}{C_{m_{\delta_e}}}
الرافع للموازنة
CL=CLααC_L=C_{L_\alpha}\alpha
ميل الرفع
L=12ρV2SCLL=\tfrac12\rho V^2SC_L
الرفع

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 C_m0 = 0.05، C_mα = −0.55، C_mδe = −1.2 لكل راديان (قيم نموذجية). أوجد δ_e للموازنة عند α = 0.05 rad.

اعرض الخطوات
  1. 0.05 − 0.0275 − 1.2δ_e = 0.
  2. δ_e = 0.0225/1.2.

الإجابة: δ_e = 0.01875 rad = 1.07°.

مثال 3.2 ما زاوية الهجوم التي توازن مع رافع صفري؟

اعرض الخطوات
  1. α = 0.05/0.55.

الإجابة: α = 0.0909 rad = 5.21°.

مثال 3.3 أوجد C_L عند هذه الموازنة مع C_Lα = 5.5.

اعرض الخطوات
  1. 5.5 × 0.0909.

الإجابة: C_L = 0.50.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ما δ_e للموازنة عند α = 0.1 rad؟

    اعرض الإجابة

    −0.00417 rad (−0.24°).

  2. اصطلاح الإشارة لـ δ_e؟

    اعرض الإجابة

    خفض الحافة الخلفية موجب.

  3. لماذا يكلّف الحمل السفلي للذيل وقودًا؟

    اعرض الإجابة

    يولّد الجناح رفعًا أكبر فيزيد السحب المستحث.

  4. أين كان رافع Wright Flyer؟

    اعرض الإجابة

    في المقدمة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الموازنة تعني الطيران الأفقي.

    في الحقيقة: تعني عزمًا صافيًا صفريًا في أي حالة مستقرة.

  • خرافة: الذيول ترفع دائمًا إلى الأعلى.

    في الحقيقة: كثير منها يدفع إلى الأسفل.

  • خرافة: الرافع يغيّر زاوية الانحدار فقط.

    في الحقيقة: إنه يحدد زاوية الهجوم والسرعة المتوازنتين.

بطاقات تعليمية

  • الموازنة (Trim)

    عزم صافٍ صفري.

  • C_mδe

    فعالية الرافع.

  • الرافع

    سطح التحكم في الانحدار.

  • الحمل السفلي للذيل

    رفع سالب للذيل.

  • سحب الموازنة

    سحب ناتج عن الموازنة.

  • الكنارد

    سطح رافع أمامي.

اختبار ذاتي

1. الموازنة: C_m = …

اعرض الإجابة

0. لا عزم صافيًا.

2. δ_e في المثال…

اعرض الإجابة

1.07°. محلول.

3. ينتج سحب الموازنة عن…

اعرض الإجابة

رفع إضافي للجناح. مستحث.

4. C_mδe للذيل…

اعرض الإجابة

سالبة. خفض المقدمة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح NASA Glenn أن المثبّت الأفقي في الطائرات الحديثة يُثبَّت عادةً بزاوية سالبة، فيولّد قوة إلى الأسفل تبقي الذيل منخفضًا والطائرة متوازنة، وأن هذه القوة السالبة يجب التغلب عليها برفع أكبر من الجناح.

كل رفع إضافي يزيد السحب واستهلاك الوقود، لذا فإن الموازنة الدقيقة وإدارة مركز الثقل وسيلتان صغيرتان لكن حقيقيتان لخفض انبعاثات الطيران.

على Saving Planets: أداء الطائرات · الحلول

المصادر: NASA Glenn Beginner’s Guide: Aircraft elevator interactive

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوع 4

الاستقرار الجانبي-الاتجاهي والانعطافات

استقرار دوارة الريح (الاتجاهي)، وأثر الزاوية الزوجية، والتحكم في الدحرجة بالجنيحات، وتخميد الدحرجة ونمط الدحرجة، والانعراج المعاكس، والانعطاف المنسَّق.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اذكر شرطي الاستقرار الاتجاهي واستقرار الدحرجة.
  • احسب الثابت الزمني لنمط الدحرجة ومعدل الدحرجة الثابت.
  • أوجد زاوية الميل ومعامل الحمل في انعطاف منسَّق.
  • اشرح الانعراج المعاكس.

المفاهيم الأساسية

  • الاستقرار الاتجاهي (دوارة الريح) يتطلب C_nβ > 0: الانزلاق الجانبي يعيد المقدمة نحو الريح.
  • أثر الزاوية الزوجية يتطلب C_lβ < 0: الانزلاق الجانبي يُدحرج الطائرة بعيدًا عن الانزلاق.
  • تنحرف الجنيحات في اتجاهين متعاكسين لتولّد عزم دحرجة؛ ويقاوم تخميد الدحرجة L_p معدل الدحرجة، فينشأ نمط الدحرجة بـ τ = 1/|L_p|.
  • الجنيح النازل يولّد رفعًا وسحبًا أكبر، فينعرج بالمقدمة بعيدًا عن الانعطاف (الانعراج المعاكس)؛ والدفة تصلح ذلك.
  • في انعطاف أفقي منسَّق tan φ = V²/(gR) ومعامل الحمل n = 1/cos φ.

المعادلات الأساسية

Cnβ>0, Clβ<0C_{n_\beta}>0,\ C_{l_\beta}<0
الاستقرار الجانبي-الاتجاهي
pss=−LδaLpδap_{ss}=-\frac{L_{\delta_a}}{L_p}\delta_a
معدل الدحرجة الثابت
tan⁡ϕ=V2gR\tan\phi=\frac{V^2}{gR}
الانعطاف المنسَّق
n=1cos⁡ϕn=\frac{1}{\cos\phi}
معامل الحمل

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 انعطاف عند 100 m/s بنصف قطر 2000 m (قيم نموذجية). أوجد زاوية الميل.

اعرض الخطوات
  1. tan φ = 100²/(9.80665 × 2000) = 0.510.

الإجابة: φ = 27.0°.

مثال 4.2 أوجد معامل الحمل.

اعرض الخطوات
  1. n = 1/cos 27.0°.

الإجابة: n = 1.122.

مثال 4.3 L_δa = 2.0 s⁻²، L_p = −4.0 s⁻¹ (قيم نموذجية)، δ_a = 0.1 rad. أوجد τ ومعدل الدحرجة الثابت.

اعرض الخطوات
  1. τ = 1/4.
  2. p = 2.0 × 0.1/4.0.

الإجابة: τ = 0.25 s؛ p = 0.05 rad/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. معامل الحمل عند ميل 60°؟

    اعرض الإجابة

    2.0.

  2. نصف القطر عند 100 m/s وميل 45°؟

    اعرض الإجابة

    1020 m.

  3. ماذا تفعل الزاوية الزوجية؟

    اعرض الإجابة

    تعيد الطائرة إلى الوضع الأفقي بعد انزلاق جانبي.

  4. لماذا تُستخدم الدفة في الانعطاف؟

    اعرض الإجابة

    لإلغاء الانعراج المعاكس.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الجنيحات وحدها تنتج انعطافًا نظيفًا.

    في الحقيقة: الانعراج المعاكس يحتاج إلى الدفة.

  • خرافة: زاوية الميل مستقلة عن السرعة.

    في الحقيقة: تزداد مع V² لنصف قطر ثابت.

  • خرافة: يجب أن يكون C_nβ سالبًا.

    في الحقيقة: الموجب مستقر.

بطاقات تعليمية

  • الانزلاق الجانبي β

    زاوية الريح من الجانب.

  • C_nβ

    الاستقرار الاتجاهي.

  • C_lβ

    أثر الزاوية الزوجية.

  • تخميد الدحرجة

    L_p.

  • الانعراج المعاكس

    انعراج معاكس للدحرجة.

  • معامل الحمل

    الرفع/الوزن.

اختبار ذاتي

1. مستقر كدوارة الريح إذا…

اعرض الإجابة

C_nβ > 0. انعراج مُعيد.

2. ميل المثال…

اعرض الإجابة

27.0°. tan⁻¹ 0.51.

3. n عند ميل 60°…

اعرض الإجابة

2. 1/cos.

4. τ لنمط الدحرجة…

اعرض الإجابة

1/|L_p|. الرتبة الأولى.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يوضح دليل NASA Glenn أن الجنيحات تعمل عادةً بشكل متعاكس، أحدها إلى أعلى والآخر إلى أسفل، لتغيير الرفع على كل جناح، وأن الطائرات تنعطف بسبب الميل الذي تحدثه الجنيحات لا بسبب الدفة: فالميل يُميل رفع الجناح ويحني مسار الطيران.

معادلة الانعطاف في هذه الوحدة هي هذه الفكرة بالأرقام. الانعطافات المنسَّقة والفعّالة تبقي السحب الإضافي، ومن ثم استهلاك الوقود الإضافي، صغيرًا.

على Saving Planets: أداء الطائرات · الديناميكا الهوائية 1

المصادر: NASA Glenn Beginner’s Guide: Ailerons · NASA Glenn Beginner’s Guide: Aircraft rotations

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسابيع 5–6

معادلات الحركة والأنماط الديناميكية

معادلات بست درجات حرية، والتخطيط الخطي للاضطرابات الصغيرة، وصيغة فضاء الحالة، والقيم الذاتية، وأنماط الدورة القصيرة والفوغويد والدحرجة واللولب والدحرجة الهولندية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • خطّط المعادلات حول نقطة الموازنة.
  • اكتب صيغة فضاء الحالة.
  • أوجد التردد الطبيعي والتخميد من معادلة مميزة.
  • قدّر دورة الفوغويد.

المفاهيم الأساسية

  • قوانين نيوتن في محاور الجسم تعطي ست معادلات غير خطية مترابطة؛ وللاضطرابات الصغيرة حول الموازنة تصبح خطية.
  • صيغة فضاء الحالة ẋ = Ax + Bu؛ والقيم الذاتية لـ A هي الأنماط.
  • الأنماط الطولية: دورة قصيرة سريعة جيدة التخميد (انحدار) وفوغويد بطيء ضعيف التخميد (تبادل السرعة والارتفاع).
  • الأنماط الجانبية: نمط دحرجة سريع، ونمط لولبي بطيء، والدحرجة الهولندية المتذبذبة.
  • نمط من الرتبة الثانية s² + 2ζω_n s + ω_n² له تردد طبيعي ω_n ونسبة تخميد ζ. وتقريب الفوغويد هو ω_n ≈ √2 g/V.

المعادلات الأساسية

x˙=Ax+Bu\dot x=Ax+Bu
فضاء الحالة
det⁡(sI−A)=0\det(sI-A)=0
المعادلة المميزة
s2+2ζωns+ωn2=0s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0
نمط من الرتبة الثانية
ωph≈2gV\omega_{ph}\approx\frac{\sqrt2g}{V}
تقريب الفوغويد

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 نمط الدورة القصيرة له s² + 2.8s + 16 = 0 (قيم نموذجية). أوجد ω_n وζ.

اعرض الخطوات
  1. ω_n = √16.
  2. ζ = 2.8/(2 × 4).

الإجابة: ω_n = 4 rad/s؛ ζ = 0.35.

مثال 5.2 قدّر تردد الفوغويد ودورته عند 100 m/s.

اعرض الخطوات
  1. ω = 1.4142 × 9.80665/100.
  2. T = 2π/ω.

الإجابة: ω = 0.1387 rad/s؛ T = 45.3 s.

مثال 5.3 أوجد التردد المخمَّد للدورة القصيرة.

اعرض الخطوات
  1. ω_d = 4√(1 − 0.35²).

الإجابة: ω_d = 3.75 rad/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. دورة الفوغويد عند 200 m/s؟

    اعرض الإجابة

    90.6 s.

  2. ζ لـ s² + 4s + 16؟

    اعرض الإجابة

    0.5.

  3. أي نمط يبادل السرعة بالارتفاع؟

    اعرض الإجابة

    الفوغويد.

  4. أي نمط جانبي يتذبذب؟

    اعرض الإجابة

    الدحرجة الهولندية.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: النماذج الخطية تصلح في أي حالة.

    في الحقيقة: قرب نقطة الموازنة فقط.

  • خرافة: كل الأنماط تتذبذب.

    في الحقيقة: الدحرجة واللولب غير متذبذبين.

  • خرافة: الفوغويد سريع.

    في الحقيقة: يستغرق عشرات الثواني.

بطاقات تعليمية

  • الدورة القصيرة

    نمط انحدار سريع.

  • الفوغويد

    نمط بطيء للسرعة والارتفاع.

  • الدحرجة الهولندية

    تذبذب انعراج-دحرجة.

  • النمط اللولبي

    تباعد أو تقارب بطيء للميل.

  • ω_n

    التردد الطبيعي.

  • ζ

    نسبة التخميد.

اختبار ذاتي

1. ζ في المثال…

اعرض الإجابة

0.35. 2.8/8.

2. دورة الفوغويد عند 100 m/s…

اعرض الإجابة

45.3 s. تقريبًا.

3. الأنماط هي…

اعرض الإجابة

القيم الذاتية لـ A. فضاء الحالة.

4. الدورة القصيرة…

اعرض الإجابة

انحدار سريع. التعريف.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول ناسا إن فريق X-59 يستخدم توأمًا رقميًا آنيًا يقارن بيانات الطيران بالتنبؤات المحاكاة، وإن الطائرة لم تُظهر ظواهر غير متوقعة مثل عدم الاستقرار أو الاهتزاز المفرط استجابةً للقوى الديناميكية الهوائية.

تفيد ناسا بأن X-59 بلغت سرعة التطواف المستهدفة Mach 1.4 (924 mph) على ارتفاع 55000 قدم في وقت مبكر نسبيًا من الاختبارات. والنماذج المبنية من المعادلات الخطية في هذه الوحدة هي ما يقارن به التوأم الرقمي.

على Saving Planets: المعادلات التفاضلية · الجبر الخطي

المصادر: NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 7

تحويلات لابلاس ودوال النقل

دوال النقل، والأقطاب والأصفار، والمخططات الكتلية، وأنظمة الرتبة الأولى، والثوابت الزمنية، والكسب الساكن، ونظرية القيمة النهائية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • اكتب دالة نقل من معادلة تفاضلية عادية.
  • أوجد الأقطاب والكسب الساكن والثابت الزمني.
  • استخدم نظرية القيمة النهائية.
  • بسّط مخططات كتلية بسيطة.

المفاهيم الأساسية

  • مع شروط ابتدائية صفرية، يحوّل تحويل لابلاس المعادلة التفاضلية الخطية إلى جبر: Y(s) = G(s)U(s).
  • الأقطاب (جذور المقام) تحدد الاستجابة الطبيعية؛ أقطاب نصف المستوى الأيسر تضمحل، وأقطاب نصف المستوى الأيمن تتنامى.
  • نظام الرتبة الأولى K/(τs + 1) يبلغ 63.2% من قيمته النهائية عند t = τ ونحو 98% عند 4τ.
  • نظرية القيمة النهائية: y(∞) = lim s→0 لـ sY(s)، إذا كان النظام مستقرًا. ولخطوة واحدية y(∞) = G(0).
  • الكتل المتسلسلة تُضرب؛ وحلقة التغذية الراجعة السالبة تعطي G/(1 + GH).

المعادلات الأساسية

G(s)=Y(s)U(s)G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}
دالة النقل
y(t)=K(1−e−t/τ)y(t)=K(1-e^{-t/\tau})
استجابة الخطوة من الرتبة الأولى
y(∞)=lim⁡s→0sY(s)y(\infty)=\lim_{s\to0}sY(s)
نظرية القيمة النهائية
T=G1+GHT=\frac{G}{1+GH}
الحلقة المغلقة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 أوجد القطب والثابت الزمني والكسب الساكن لـ G(s) = 5/(s + 2).

اعرض الخطوات
  1. القطب عند s = −2.
  2. τ = 1/2.
  3. G(0) = 5/2.

الإجابة: القطب −2؛ τ = 0.5 s؛ الكسب 2.5.

مثال 6.2 أوجد استجابته للخطوة الواحدية عند t = 0.5 s و1 s.

اعرض الخطوات
  1. y = 2.5(1 − e^(−2t)).

الإجابة: y(0.5) = 1.580; y(1) = 2.162.

مثال 6.3 أغلق حلقة تغذية راجعة واحدية حول G. أوجد الكسب الساكن للحلقة المغلقة.

اعرض الخطوات
  1. T = 5/(s + 7).

الإجابة: T(0) = 0.714.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. زمن الاستقرار 2% لـ G؟

    اعرض الإجابة

    نحو 4τ = 2 s.

  2. النسبة المبلوغة عند t = τ؟

    اعرض الإجابة

    63.2%.

  3. هل القطب عند +1 مستقر؟

    اعرض الإجابة

    لا؛ يتنامى مثل e^t.

  4. كتلتان 2 و3/(s+1) على التسلسل؟

    اعرض الإجابة

    6/(s+1).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: نظرية القيمة النهائية تنطبق دائمًا.

    في الحقيقة: على الأنظمة المستقرة فقط.

  • خرافة: الأصفار تحدد الاستقرار.

    في الحقيقة: الأقطاب هي التي تحدده.

  • خرافة: τ هو زمن الاستقرار.

    في الحقيقة: زمن الاستقرار نحو 4τ.

بطاقات تعليمية

  • دالة النقل

    المخرج/المدخل في s.

  • القطب

    جذر المقام.

  • الصفر

    جذر البسط.

  • الثابت الزمني

    τ.

  • الكسب الساكن

    G(0).

  • نظرية القيمة النهائية

    lim sY(s).

اختبار ذاتي

1. G(0) لـ 5/(s+2)…

اعرض الإجابة

2.5. الكسب الساكن.

2. At t = τ…

اعرض الإجابة

63.2%. 1 − e⁻¹.

3. تقع الأقطاب المستقرة…

اعرض الإجابة

في نصف المستوى الأيسر. اضمحلال.

4. الحلقة المغلقة…

اعرض الإجابة

G/(1+GH). التغذية الراجعة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح ناسا أن جيروسكوبات هابل تقيس معدلات دوران التلسكوب وهي جزء من النظام الذي يحدد ويتحكم في الاتجاه الذي يشير إليه التلسكوب.

مستشعرات كهذه هي كتل القياس في مخططات هذه الوحدة: لا يمكن للمتحكم أن يكون أفضل من المعدلات والزوايا التي يقيسها.

على Saving Planets: المعادلات التفاضلية · رصد الأرض

المصادر: NASA Science: NASA to change how it points Hubble Space Telescope (June 4, 2024)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوع 8

الاستجابة الزمنية من الرتبة الثانية

استجابة الخطوة دون الحرجة، والتجاوز، وزمن الذروة، وزمن الاستقرار، ونسبة التخميد والتردد الطبيعي، وأهداف خصائص المناورة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب نسبة التجاوز المئوية من ζ.
  • احسب زمني الذروة والاستقرار.
  • اقرأ ζ وω_n من مواقع الأقطاب.
  • اختر التخميد لاستجابة جيدة.

المفاهيم الأساسية

  • الأقطاب عند −ζω_n ± jω_n√(1 − ζ²) مع 0 < ζ < 1 تعطي استجابة متذبذبة تضمحل.
  • نسبة التجاوز المئوية تعتمد على ζ فقط: M_p = exp(−ζπ/√(1 − ζ²)).
  • زمن الذروة t_p = π/ω_d، مع ω_d = ω_n√(1 − ζ²).
  • زمن الاستقرار (2%) نحو t_s = 4/(ζω_n)، ويحدده الجزء الحقيقي للأقطاب.
  • تخميد قرب 0.7 يعطي تجاوزًا صغيرًا (نحو 4.6%) مع صعود سريع؛ والطيارون لا يحبون الاستجابات البطيئة ولا المتذبذبة.

المعادلات الأساسية

Mp=e−ζπ/1−ζ2M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}
التجاوز
tp=πωn1−ζ2t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}
زمن الذروة
ts≈4ζωnt_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}
زمن الاستقرار
s=−ζωn±jωn1−ζ2s=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
الأقطاب

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 للدورة القصيرة في الوحدة 5 (ω_n = 4، ζ = 0.35)، أوجد التجاوز.

اعرض الخطوات
  1. M_p = exp(−0.35π/√(1 − 0.1225)).

الإجابة: 30.9%.

مثال 7.2 أوجد زمني الذروة والاستقرار لها.

اعرض الخطوات
  1. t_p = π/3.747.
  2. t_s = 4/(0.35 × 4).

الإجابة: t_p = 0.838 s; t_s = 2.86 s.

مثال 7.3 أوجد التجاوز عند ζ = 0.7.

اعرض الخطوات
  1. exp(−0.7π/√0.51).

الإجابة: 4.6%.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. التجاوز عند ζ = 0.25؟

    اعرض الإجابة

    44.4%.

  2. الأقطاب عند ω_n = 4، ζ = 0.35؟

    اعرض الإجابة

    −1.4 ± 3.75j.

  3. التجاوز عند ζ = 1؟

    اعرض الإجابة

    لا شيء (تخميد حرج).

  4. ما الذي يحدد زمن الاستقرار؟

    اعرض الإجابة

    الجزء الحقيقي ζω_n.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: المزيد من التخميد أفضل دائمًا.

    في الحقيقة: الإفراط فيه يجعل الاستجابة بطيئة.

  • خرافة: التجاوز يعتمد على ω_n.

    في الحقيقة: على ζ فقط.

  • خرافة: زمن الذروة يستخدم ω_n.

    في الحقيقة: بل يستخدم ω_d.

بطاقات تعليمية

  • التجاوز

    الذروة فوق القيمة النهائية.

  • زمن الذروة

    π/ω_d.

  • زمن الاستقرار

    ≈4/(ζω_n).

  • ω_d

    التردد المخمَّد.

  • التخميد الحرج

    ζ = 1.

  • خصائص المناورة

    مدى سهولة قيادة الطيارين لمركبة.

اختبار ذاتي

1. M_p عند ζ = 0.35…

اعرض الإجابة

30.9%. صيغة.

2. t_s ≈ …

اعرض الإجابة

4/(ζω_n). قاعدة 2%.

3. التجاوز عند ζ = 0.7…

اعرض الإجابة

4.6%. صيغة.

4. يعتمد التجاوز على…

اعرض الإجابة

ζ فقط. صيغة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد ناسا بأن المهندسين أجروا بين رحلات اختبار X-59 تعديلات طفيفة على برمجيات التحكم في الطائرة، وأن خصائص طيرانها، أي قابليتها للتحكم، طابقت المحاكاة بدقة.

ضبط سرعة الاستجابة والتخميد، وهما كميتا هذه الوحدة، هو الطريقة التي تحوّل بها برمجيات التحكم شكلًا جذريًا للطيران الأسرع من الصوت الهادئ إلى طائرة يصفها الطيارون بأنها «مثيرة لكن بلا مفاجآت».

على Saving Planets: المعادلات التفاضلية · أداء الطائرات

المصادر: NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوعان 9–10

التغذية الراجعة والتحكم PID

لماذا التغذية الراجعة، والفعل التناسبي والتكاملي والتفاضلي، وخطأ الحالة المستقرة ونوع النظام، واختيار الكسب للتخميد، ومثال طيار آلي لوضع الانحدار.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • أغلق حلقة وأوجد المعادلة المميزة.
  • اختر كسبًا لتخميد مستهدف.
  • احسب خطأ الحالة المستقرة.
  • اشرح ما يضيفه الحدّان D وI.

المفاهيم الأساسية

  • تقارن التغذية الراجعة المخرج المقيس بالأمر وتعمل على الخطأ، فتقلل الحساسية للاضطرابات وأخطاء النموذج.
  • الكسب التناسبي يسرّع الاستجابة لكنه قد يقلل التخميد؛ والفعل التفاضلي يضيف تخميدًا؛ والفعل التكاملي يزيل خطأ الحالة المستقرة.
  • لمنظومة 1/(s(s + 2)) بكسب K، الحلقة المغلقة هي s² + 2s + K = 0، إذن ω_n = √K وζ = 1/√K.
  • نوع النظام (المكاملات في الحلقة) يحدد خطأ الحالة المستقرة: حلقة من النوع 1 لها خطأ خطوة صفري وخطأ منحدر a/K لهذه المنظومة.
  • PID: u = K_p e + K_i∫e dt + K_d de/dt.

المعادلات الأساسية

u=Kpe+Ki∫e dt+Kde˙u=K_pe+K_i\int e\,dt+K_d\dot e
قانون PID
1+KG(s)=01+KG(s)=0
المعادلة المميزة للحلقة المغلقة
s2+(2+Kd)s+Kp=0s^2+(2+K_d)s+K_p=0
PD على 1/(s(s+2))
ess,ramp=2Ke_{ss,ramp}=\frac{2}{K}
خطأ المنحدر (هذه المنظومة)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 مع K = 16 على 1/(s(s + 2))، أوجد ω_n وζ.

اعرض الخطوات
  1. s² + 2s + 16.
  2. ω_n = 4; ζ = 2/8.

الإجابة: ω_n = 4 rad/s؛ ζ = 0.25 (تجاوز 44%).

مثال 8.2 ما K الذي يعطي ζ = 0.7؟

اعرض الخطوات
  1. 2ζω_n = 2 ⇒ ω_n = 1/0.7 = 1.429.
  2. K = ω_n².

الإجابة: K = 2.04 (استجابة أبطأ).

مثال 8.3 أبقِ K_p = 16 وأضف كسبًا تفاضليًا لـ ζ = 0.7.

اعرض الخطوات
  1. 2 + K_d = 2 × 0.7 × 4.

الإجابة: K_d = 3.6: سريع وجيد التخميد.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. خطأ المنحدر مع K = 16؟

    اعرض الإجابة

    0.125.

  2. خطأ الخطوة لهذه الحلقة من النوع 1؟

    اعرض الإجابة

    صفر.

  3. ماذا يصلح الفعل التكاملي؟

    اعرض الإجابة

    خطأ الحالة المستقرة.

  4. خطر الكسب التفاضلي المفرط؟

    اعرض الإجابة

    تضخيم الضوضاء.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الكسب الأعلى يساعد دائمًا.

    في الحقيقة: قد يقلل التخميد والهوامش.

  • خرافة: التفاضلي يزيل الخطأ.

    في الحقيقة: التكاملي هو الذي يزيله.

  • خرافة: التغذية الراجعة تحتاج إلى نموذج مثالي.

    في الحقيقة: إنها تتحمل أخطاء النموذج.

بطاقات تعليمية

  • التغذية الراجعة

    العمل على الخطأ المقيس.

  • K_p

    الكسب التناسبي.

  • K_i

    الكسب التكاملي.

  • K_d

    الكسب التفاضلي.

  • نوع النظام

    عدد المكاملات في الحلقة.

  • خطأ الحالة المستقرة

    الخطأ بعد العابرات.

اختبار ذاتي

1. ζ مع K = 16…

اعرض الإجابة

0.25. 1/√K.

2. الفعل التكاملي…

اعرض الإجابة

يزيل الخطأ الثابت. PID.

3. K_d لـ ζ = 0.7 عند K_p = 16…

اعرض الإجابة

3.6. محلول.

4. خطأ المنحدر K = 16…

اعرض الإجابة

0.125. 2/K.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد ناسا بأن دراغونفلاي أكملت مؤخرًا أشمل «رحلة أولى» محاكاة لها على إلكترونيات طيران مماثلة للطيران في Johns Hopkins APL، ببرمجيات طيران تستخدم بيانات محاكاة من كاميرا الملاحة ووحدة القياس بالقصور الذاتي والليدار؛ ومن المقرر أن تصل الطائرة المروحية إلى تيتان، قمر زحل، عام 2034.

يشير مسؤول التنقل في ناسا إلى أن كل ما تفعله دراغونفلاي على تيتان يجب أن يتم ذاتيًا، دون مساعدة آنية من الأرض. والتغذية الراجعة بالحلقة المغلقة مثل التي في هذه الوحدة هي ما يجعل ذلك ممكنًا.

على Saving Planets: الحلول · ميكانيكا المدارات

المصادر: NASA Science: Dragonfly completes first simulated flight (Oct. 23, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسبوع 11

تحليل الاستقرار: روث ومحل الجذور والهوامش

اختبار روث-هورفيتز، ورسم محل الجذور، والاستجابة الترددية ومخططات بود، وهامشا الكسب والطور، والعلاقة بين هامش الطور والتخميد.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • طبّق اختبار روث لإيجاد حد الكسب.
  • ارسم كيف تتحرك الأقطاب مع الكسب.
  • احسب هامش طور.
  • اربط هامش الطور بالتخميد.

المفاهيم الأساسية

  • يحدد روث-هورفيتز عدد الأقطاب في نصف المستوى الأيمن دون حل كثيرة الحدود.
  • يبيّن محل الجذور مسارات أقطاب الحلقة المغلقة مع ارتفاع الكسب من 0 إلى ∞.
  • تبيّن مخططات بود كسب الحلقة وطورها مقابل التردد؛ وهامشا الكسب والطور يقيسان البعد عن عدم الاستقرار.
  • هامش الطور PM = 180° + ∠G(jω_c) عند تردد العبور حيث |G| = 1.
  • قاعدة تقريبية لحلقات الرتبة الثانية: ζ ≈ PM/100 (PM بالدرجات).

المعادلات الأساسية

s3+6s2+11s+(6+K)=0s^3+6s^2+11s+(6+K)=0
مثال على معادلة مميزة
66>6+K66>6+K
شرط روث
PM=180∘+∠G(jωc)PM=180^\circ+\angle G(j\omega_c)
هامش الطور
ζ≈PM/100\zeta\approx PM/100
قاعدة تقريبية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 تغذية راجعة واحدية حول K/((s + 1)(s + 2)(s + 3)). أوجد حد K.

اعرض الخطوات
  1. المميزة: s³ + 6s² + 11s + 6 + K.
  2. روث: 6 × 11 > 6 + K.

الإجابة: مستقر عند K < 60.

مثال 9.2 عند K = 60، بأي تردد يتذبذب؟

اعرض الخطوات
  1. المساعدة 6s² + 66 = 0.

الإجابة: ω = √11 = 3.317 rad/s.

مثال 9.3 أوجد هامش الطور لـ 16/(s(s + 2)).

اعرض الخطوات
  1. |G| = 1 عند ω_c = 3.758 rad/s.
  2. PM = 90° − tan⁻¹(3.758/2).

الإجابة: PM = 28.0°، إذن ζ ≈ 0.28 (القيمة الدقيقة 0.25).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل K = 30 مستقر في المثال؟

    اعرض الإجابة

    Yes.

  2. هامش الكسب عند K = 30؟

    اعرض الإجابة

    2 (60/30).

  3. ماذا يحدث لمحل الجذور عندما K → ∞ هنا؟

    اعرض الإجابة

    يعبر فرعان إلى نصف المستوى الأيمن.

  4. الهدف المعتاد لـ PM؟

    اعرض الإجابة

    نحو 45°–60°.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الاستقرار عند كسب واحد يعني الاستقرار عند الجميع.

    في الحقيقة: حدود الكسب شائعة.

  • خرافة: يقاس هامش الطور عند عبور 180°.

    في الحقيقة: عند عبور الكسب.

  • خرافة: روث يعطي مواقع الأقطاب.

    في الحقيقة: يعدّها فقط.

بطاقات تعليمية

  • اختبار روث

    يعدّ أقطاب نصف المستوى الأيمن.

  • محل الجذور

    مسارات الأقطاب مع الكسب.

  • مخطط بود

    الكسب والطور مقابل التردد.

  • هامش الكسب

    عامل الكسب حتى عدم الاستقرار.

  • هامش الطور

    الطور حتى عدم الاستقرار.

  • العبور

    |G| = 1.

اختبار ذاتي

1. مثال حد K…

اعرض الإجابة

60. روث.

2. التذبذب عند K = 60…

اعرض الإجابة

3.317 rad/s. √11.

3. مثال PM…

اعرض الإجابة

28°. محلول.

4. ζ ≈ …

اعرض الإجابة

PM/100. القاعدة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول ناسا إن مهندسي دراغونفلاي سيختبرون مسارات طيران أخرى ويُدخلون أعطالًا عمدًا للتأكد من أن الطائرة المروحية تستطيع الاستجابة ذاتيًا إذا حدث خلل.

الهوامش هي جواب الهندسة عن «ماذا لو»: الحلقة ذات هامشي كسب وطور جيدين تواصل العمل حين تتقادم القطع أو تنجرف المستشعرات أو تفاجئها البيئة.

على Saving Planets: الجبر الخطي · الحلول

المصادر: NASA Science: Dragonfly completes first simulated flight (Oct. 23, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسابيع 12–13

تحديد وضع المركبات الفضائية والتحكم فيه

دوران الأجسام الصلبة، ومستشعرات الوضع (الجيروسكوبات ومتتبعات النجوم)، وعجلات رد الفعل والزخم، ومناورات الدوران بنمط تشغيل-إيقاف، والأنماط الآمنة، والتوجيه لعلوم الأرض والفضاء.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • استخدم τ = Iα لمناورات الدوران حول محور واحد.
  • احسب مناورة دوران بأقل زمن.
  • احسب زخم العجلة.
  • اشرح دور الجيروسكوبات والأنماط الآمنة.

المفاهيم الأساسية

  • الدوران حول محور واحد: العزم τ = Iα؛ والزخم الزاوي H = Iω.
  • مناورة تشغيل-إيقاف تتسارع لنصف الزاوية وتكبح للنصف الآخر: t = 2√(θ/α).
  • عجلات رد الفعل تتبادل الزخم مع المركبة؛ وهي تتشبع ويجب تفريغها بالدوافع أو بعزّامات مغناطيسية.
  • الجيروسكوبات تقيس المعدلات ومتتبعات النجوم تقيس الوضع؛ والمرشحات تدمجها.
  • الأنماط الآمنة تضع المركبة الفضائية في وضع بسيط موجب الطاقة حين يبدو أن شيئًا ما خطأ.

المعادلات الأساسية

τ=Iα\tau=I\alpha
قانون نيوتن للدوران
t=2θ/αt=2\sqrt{\theta/\alpha}
زمن مناورة تشغيل-إيقاف
H=IωH=I\omega
كمية الحركة الزاوية
ωmax=αt/2\omega_{max}=\alpha t/2
أقصى معدل دوران

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 مركبة فضائية بـ I = 1000 kg·m² لديها 0.5 N·m من عزم العجلات (قيم نموذجية). أوجد α وزمن مناورة 90°.

اعرض الخطوات
  1. α = 0.5/1000 = 5 × 10⁻⁴ rad/s².
  2. t = 2√(1.5708/0.0005).

الإجابة: t = 112.1 s.

مثال 10.2 أوجد أقصى معدل خلال تلك المناورة.

اعرض الخطوات
  1. ω = 0.0005 × 112.1/2.

الإجابة: 0.0280 rad/s (1.61°/s).

مثال 10.3 عجلة بـ I = 0.1 kg·m² تدور عند 600 rad/s (قيم نموذجية). أوجد زخمها.

اعرض الخطوات
  1. H = 0.1 × 600.

الإجابة: 60 N·m·s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. زمن مناورة 45°؟

    اعرض الإجابة

    79.3 s.

  2. الزمن اللازم لـ 0.5 N·m لبناء 60 N·m·s؟

    اعرض الإجابة

    120 s.

  3. ماذا تقيس الجيروسكوبات؟

    اعرض الإجابة

    معدلات الدوران.

  4. لماذا تُفرَّغ العجلات؟

    اعرض الإجابة

    لأنها تتشبع عند السرعة القصوى.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: زمن المناورة يتناسب مع الزاوية.

    في الحقيقة: يتناسب مع √θ في نمط تشغيل-إيقاف.

  • خرافة: العجلات تضيف زخمًا إلى ما لا نهاية.

    في الحقيقة: إنها تتشبع.

  • خرافة: الجيروسكوبات تعطي الوضع المطلق.

    في الحقيقة: تعطي المعدلات؛ ومتتبعات النجوم تعطي الوضع.

بطاقات تعليمية

  • عجلة رد الفعل

    مشغّل لتبادل الزخم.

  • متتبع النجوم

    الوضع من النجوم.

  • الجيروسكوب

    مستشعر معدل.

  • تشغيل-إيقاف

    عزم كامل ثم عكس كامل.

  • التشبع

    عجلة عند السرعة القصوى.

  • النمط الآمن

    حالة احتياطية حامية.

اختبار ذاتي

1. مثال مناورة 90°…

اعرض الإجابة

112.1 s. 2√(θ/α).

2. H = …

اعرض الإجابة

Iω. الزخم.

3. مثال H للعجلة…

اعرض الإجابة

60 N·m·s. 0.1 × 600.

4. يتوجّه هابل الآن باستخدام…

اعرض الإجابة

جيروسكوب واحد. NASA 2024.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

أعلنت ناسا في يونيو 2024 أن هابل سينتقل إلى العمل بجيروسكوب واحد مع إبقاء آخر احتياطيًا، بعد أن بدأ أحد الجيروسكوبات «يتشبع» (أي يقرأ أقصى معدل دوران بغض النظر عن الحركة الفعلية) وأدخل التلسكوب مرارًا في النمط الآمن. وقالت ناسا إن معظم الأرصاد لن تتأثر، مع مناورات أطول ومرونة توجيه أقل وعدم تتبع الأجسام المتحركة الأقرب من المريخ.

والأفكار نفسها في التحكم بالوضع توجّه أقمار رصد الأرض مثل GOES-19 وLandsat نحو الكوكب الذي تقيسه.

على Saving Planets: GOES-19 · ميكانيكا المدارات

المصادر: NASA Science: NASA to change how it points Hubble Space Telescope (June 4, 2024)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Flight dynamics and controls lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

كل مختبر يُجرى في محاكاة مجانية أو جدول بيانات، فلا توجد مخاطر مادية. لا تبنِ طائرات مسيّرة أو نماذج ولا تطيّرها لهذا المقرر. خذ استراحات من الشاشة، واجلس بوضعية سليمة، وأبعد الكابلات عن الممرات.

مرجع السلامة: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

المختبر A: موازنة العزوم وإيجاد مركز الثقل

الأسبوع 1

الهدف: وازن كتلًا على لوح في PhET Balancing Act، ثم احسب مركز ثقل بأسلوب الطائرات في جدول بيانات.

xcg=∑mixi∑mix_{cg}=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}
مركز الثقل

الإجراء

  1. في PhET Balancing Act، ضع 10 kg عند 1 m على جانب وأوجد أين توازنها 5 kg.
  2. سجّل العزم = الكتلة × المسافة على كل جانب.
  3. في جدول بيانات، أدرج كتل ومسافات الوحدة 1 واحسب x_cg.
  4. أضف 200 kg عند 10 m وأعد الحساب.

جدول البيانات

الحالةΣm (kg)x_cg (m)
الأساس18004.44
+200 kg عند 10 m20005.00

قيم نموذجية محسوبة.

مثال حسابي

  1. 8000/1800 = 4.44 m.
  2. 10,000/2000 = 5.00 m.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي متصفح وجدول بيانات.

PhET: Balancing Act · NASA Glenn Beginner’s Guide: Center of gravity

الصلة بالكوكب: NASA Glenn: في الطيران تدور الطائرات والصواريخ حول مراكز ثقلها. NASA Glenn Beginner’s Guide: Center of gravity

المختبر B: الهامش الساكن ومسح الموازنة

الأسبوع 3

الهدف: غيّر موضع مركز الثقل واحسب الهامش الساكن وC_mα وزاوية الموازنة مع رافع صفري.

αtrim=Cm0CLαSM\alpha_{trim}=\frac{C_{m_0}}{C_{L_\alpha}SM}
زاوية الموازنة مع رافع صفري

الإجراء

  1. استخدم x_np = 0.35c̄، C_Lα = 5.5 /rad، C_m0 = 0.05 (قيم نموذجية).
  2. غيّر x_cg من 0.20 إلى 0.40 c̄.
  3. احسب SM وC_mα وα_trim.
  4. لاحظ ما يحدث عند النقطة المحايدة وما بعدها.

جدول البيانات

x_cg/c̄SMC_mα (/rad)α_trim (rad)
0.200.15−0.8250.0606
0.250.10−0.550.0909
0.300.05−0.2750.182

قيم نموذجية محسوبة؛ لا توجد موازنة مستقرة عند النقطة المحايدة أو خلفها.

مثال حسابي

  1. C_mα = −5.5 × 0.15 = −0.825.
  2. α = 0.05/0.275 = 0.182 rad.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

NASA Glenn Beginner’s Guide: Aircraft elevator interactive

الصلة بالكوكب: تفيد ناسا بأن هامش استقرار X-59 طابق التنبؤات في الطيران. NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

المختبر C: التذبذب المخمَّد بوصفه نمطًا من الرتبة الثانية

الأسبوع 6

الهدف: راقب تذبذبًا مخمَّدًا في PhET Masses and Springs وقارنه بصيغ الرتبة الثانية.

ωn=k/m, ζ=c2km\omega_n=\sqrt{k/m},\ \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}
كتلة-نابض-مخمِّد

الإجراء

  1. في PhET Masses and Springs، علّق كتلة وأضف بعض التخميد واسحبها إلى الأسفل.
  2. وقّت عدة دورات وقدّر الدورة والاضمحلال.
  3. في جدول بيانات، احسب ω_n وζ والدورة والتجاوز لـ m = 0.5 kg، k = 20 N/m، c = 1 N·s/m (قيم نموذجية).
  4. اشرح كيف يطابق ذلك نمط الدورة القصيرة.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
ω_n6.32 rad/s
ζ0.158
الدورة المخمَّدة1.006 s
التجاوز60.5%

قيم نموذجية محسوبة؛ ستختلف قراءات المحاكاة.

مثال حسابي

  1. ω_n = √40 = 6.32.
  2. ζ = 1/(2√10) = 0.158.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي متصفح وجدول بيانات.

PhET: Masses and Springs

الصلة بالكوكب: تقول ناسا إن X-59 لم تُظهر عدم استقرار غير متوقع أو اهتزازًا مفرطًا. NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

المختبر D: استجابات الخطوة بالتقدم الزمني

الأسبوع 8

الهدف: حاكِ استجابات الخطوة من الرتبتين الأولى والثانية بخطوات أويلر صغيرة وقارنها بالصيغ.

xk+1=xk+Δt x˙kx_{k+1}=x_k+\Delta t\,\dot x_k
خطوة أويلر

الإجراء

  1. حاكِ ẏ = −2y + 5 بدءًا من y = 0 مع Δt = 0.001 s.
  2. حاكِ ÿ + 2.8ẏ + 16y = 16 بدءًا من السكون.
  3. أوجد y(0.5) للأولى، والذروة وزمن الذروة للثانية.
  4. قارن بالصيغ الدقيقة.

جدول البيانات

الكميةالتامة
الرتبة الأولى y(0.5)1.580
ذروة الرتبة الثانية1.309
زمن الذروة0.838 s
الاستقرار (2%)2.86 s

قيم محسوبة؛ الخطوات الصغيرة تتطابق بدقة.

مثال حسابي

  1. 2.5(1 − e⁻¹) = 1.580.
  2. 1 + 0.309 = 1.309.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي جدول بيانات أو Python.

MIT OpenCourseWare 16.06 Principles of Automatic Control (Fall 2012)

الصلة بالكوكب: يقارن فريق X-59 في ناسا بيانات الطيران بتوأم رقمي آني. NASA: X-59 aircraft builds momentum through 25th flight (Sept. 4, 2026)

المختبر E: ضبط طيار آلي لوضع الانحدار

الأسبوع 10

الهدف: قارن بالمحاكاة بين التحكم P وPD للمنظومة 1/(s(s + 2)).

s2+(2+Kd)s+Kp=0s^2+(2+K_d)s+K_p=0
حلقة مغلقة مع PD

الإجراء

  1. حاكِ θ̈ + 2θ̇ = u مع u = K_p(θ_cmd − θ) − K_dθ̇.
  2. جرّب K_p = 16، K_d = 0؛ ثم K_p = 2.04؛ ثم K_p = 16، K_d = 3.6.
  3. سجّل التجاوز وزمن الاستقرار.
  4. اختر أفضل تصميم واشرح السبب.

جدول البيانات

التصميمالتجاوزالاستقرار (s)
K_p = 1644.4%4.0
K_p = 2.044.6%4.0
K_p = 16, K_d = 3.64.6%1.43

محسوب من صيغ الرتبة الثانية.

مثال حسابي

  1. ζ = 0.25 ⇒ 44.4%; t_s = 4/(0.25 × 4) = 4.0 s.
  2. PD: t_s = 4/(0.7 × 4) = 1.43 s.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي جدول بيانات أو Python.

MIT OpenCourseWare 16.30 Feedback Control Systems (Fall 2010)

الصلة بالكوكب: ناسا: يجب أن تطير دراغونفلاي ذاتيًا على تيتان دون مساعدة آنية من الأرض. NASA Science: Dragonfly completes first simulated flight (Oct. 23, 2026)

المختبر F: مخطِّط مناورات بعجلات رد الفعل

الأسبوع 13

الهدف: خطّط مناورات تشغيل-إيقاف لمركبة فضائية وتحقق من أقصى المعدلات وزخم العجلات.

t=2θ/αt=2\sqrt{\theta/\alpha}
زمن مناورة تشغيل-إيقاف

الإجراء

  1. اضبط I = 1000 kg·m² وτ = 0.5 N·m (قيم نموذجية).
  2. احسب أزمنة المناورة لـ 30° و90° و180°.
  3. احسب أقصى معدل والزخم الذي يجب أن تمتصه العجلات.
  4. ناقش كيف سيغيّر فقدان مستشعر التخطيط.

جدول البيانات

المناورةالزمن (s)
30°64.7
90°112.1
180°158.5

قيم نموذجية محسوبة.

مثال حسابي

  1. t = 2√(0.5236/0.0005) = 64.7 s.
  2. t = 2√(3.1416/0.0005) = 158.5 s.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

NASA Science: NASA to change how it points Hubble Space Telescope (June 4, 2024)

الصلة بالكوكب: ناسا: في نمط الجيروسكوب الواحد يحتاج هابل إلى وقت أطول للدوران والتثبت على الأهداف. NASA Science: NASA to change how it points Hubble Space Telescope (June 4, 2024)

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. كتل 600 kg عند 3 m و400 kg عند 8 m. أوجد مركز الثقل.

    اعرض الحل الكامل
    1. (1800 + 3200)/1000.

    الإجابة: 5.0 m.

  2. x_np = 0.40c̄، x_cg = 0.28c̄، C_Lα = 5 /rad. أوجد SM وC_mα.

    اعرض الحل الكامل
    1. SM = 0.12.
    2. −5 × 0.12.

    الإجابة: SM = 0.12؛ C_mα = −0.60 /rad.

  3. C_m0 = 0.04، C_mα = −0.6، C_mδe = −1.0. أوجد δ_e للموازنة عند α = 0.05 rad.

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.04 − 0.03 − δ_e = 0.

    الإجابة: δ_e = 0.01 rad (0.57°).

  4. زاوية الميل لانعطاف بنصف قطر 1500 m عند 80 m/s؟

    اعرض الحل الكامل
    1. tan φ = 6400/14710.

    الإجابة: 23.5°.

  5. أوجد ω_n وζ لـ s² + 3s + 25.

    اعرض الحل الكامل
    1. ω_n = 5; ζ = 3/10.

    الإجابة: ω_n = 5 rad/s؛ ζ = 0.3.

مجموعة التدريب النهائية (الوحدات 1–10)

  1. استجابة الخطوة لـ 4/(s + 4) عند t = 0.25 s؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 1 − e⁻¹.

    الإجابة: 0.632.

  2. التجاوز وزمن الاستقرار لـ ω_n = 5، ζ = 0.3؟

    اعرض الحل الكامل
    1. exp(−0.3π/√0.91).
    2. 4/1.5.

    الإجابة: 37.2%; 2.67 s.

  3. K على 1/(s(s + 4)) لـ ζ = 0.5؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 2ζω_n = 4 ⇒ ω_n = 4.

    الإجابة: K = 16.

  4. أقصى K لـ s³ + 3s² + 2s + K؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 3 × 2 > K.

    الإجابة: K < 6.

  5. زمن مناورة 60° مع α = 0.001 rad/s²؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 2√(1.0472/0.001).

    الإجابة: 64.7 s.

  6. زخم عجلة 0.05 kg·m² عند 400 rad/s؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.05 × 400.

    الإجابة: 20 N·m·s.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

xcg=∑mixi/∑mi, M=Fdx_{cg}=\sum m_ix_i/\sum m_i,\ M=Fd
SM=(xnp−xcg)/cˉ, Cmα=−CLαSMSM=(x_{np}-x_{cg})/\bar c,\ C_{m_\alpha}=-C_{L_\alpha}SM
δe=−(Cm0+Cmαα)/Cmδe\delta_e=-(C_{m_0}+C_{m_\alpha}\alpha)/C_{m_{\delta_e}}
tan⁡ϕ=V2/(gR), n=1/cos⁡ϕ, τr=1/∣Lp∣\tan\phi=V^2/(gR),\ n=1/\cos\phi,\ \tau_r=1/|L_p|
s2+2ζωns+ωn2, ωph≈2g/Vs^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2,\ \omega_{ph}\approx\sqrt2g/V
y=K(1−e−t/τ), y(∞)=G(0)y=K(1-e^{-t/\tau}),\ y(\infty)=G(0)
Mp=e−ζπ/1−ζ2, tp=π/ωd, ts≈4/(ζωn)M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}},\ t_p=\pi/\omega_d,\ t_s\approx4/(\zeta\omega_n)
u=Kpe+Ki∫e+Kde˙, T=G/(1+GH)u=K_pe+K_i\int e+K_d\dot e,\ T=G/(1+GH)
PM=180∘+∠G(jωc), ζ≈PM/100PM=180^\circ+\angle G(j\omega_c),\ \zeta\approx PM/100
τ=Iα, H=Iω, t=2θ/α\tau=I\alpha,\ H=I\omega,\ t=2\sqrt{\theta/\alpha}

الثوابت

الثابتالقيمة
الجاذبية المعياريةg₀ = 9.80665 m/s²
1 راديان57.2958°
1 ft0.3048 m
قاعدة زمن الاستقرار (مرجعية)t_s ≈ 4/(ζω_n) لاستقرار 2%
خطوة الرتبة الأولى63.2% من القيمة النهائية عند t = τ
كثافة الهواء عند مستوى سطح البحر (الغلاف الجوي القياسي)1.225 kg/m³

المصدر: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه المحاضرات المجانية وأدلة NASA والمحاكاة إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الجنيح
سطح التحكم في الدحرجة.
مركز الثقل
الموضع المتوسط للكتلة.
نسبة التخميد
ζ، مدى سرعة اضمحلال التذبذبات.
الدحرجة الهولندية
تذبذب مترابط انعراج-دحرجة.
الرافع
سطح التحكم في الانحدار.
هامش الكسب
زيادة الكسب حتى عدم الاستقرار.
الجيروسكوب
مستشعر يقيس معدل الدوران.
التردد الطبيعي
ω_n لنمط غير مخمَّد.
النقطة المحايدة
موضع مركز الثقل ذو الاستقرار المحايد في الانحدار.
التجاوز
الذروة فوق القيمة النهائية.
متحكم PID
تحكم تناسبي-تكاملي-تفاضلي.
هامش الطور
تأخر طور إضافي حتى عدم الاستقرار.
الفوغويد
نمط بطيء للسرعة والارتفاع.
عجلة رد الفعل
عجلة دوّارة للتحكم في الوضع.
محل الجذور
مسارات أقطاب الحلقة المغلقة مع الكسب.
الدفة
سطح التحكم في الانعراج.
الدورة القصيرة
نمط انحدار سريع.
الهامش الساكن
المسافة من مركز الثقل إلى النقطة المحايدة مقسومة على الوتر.
دالة النقل
المخرج على المدخل في مجال لابلاس.
الموازنة (Trim)
عزم صافٍ صفري.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيرسم المحاور والمخططات الكتلية، ويختار النموذج الصحيح، ويتحقق من الأقطاب والتخميد والهوامش، ويشرح مقايضات المناورة والسلامة بلغة واضحة.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع هفوات عرضية في الإشارات أو الوحدات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يخلط بين الاستقرار الساكن والديناميكي، أو بين ω_n وω_d.
1 · مبتدئيعوّض الأرقام في الصيغ دون مخطط؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين20%
المختبرات25%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع