ميكانيكا المدارات

المدارات والانتقالات وتصميم البعثات: جاذبية نيوتن ومسألة الجسمين، والقطوع الناقصة والعناصر المدارية، ومعادلة كبلر، وانتقالات هوهمان، وتغيير المستوى، ومعادلة الصاروخ، وانتفاخ الأرض والمدارات المتزامنة مع الشمس، والمسارات الأرضية، والرحلات إلى المريخ، وإبقاء المدارات خالية من الحطام، مع ستة مختبرات. مجاني وبالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بـ Landsat وأقمار الطقس GOES واختبار الكويكب DART لدى NASA وقواعد الحطام المداري.

NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA/Liz Wilk (KSC-20221109-PH-LNW01_0001)NASA Blue Marble

الدورات › AERO 340

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقررًا فصليًا في الميكانيكا المدارية للسنة الثالثة. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 16.346 Astrodynamics والأجزاء المدارية من MIT 16.07 Dynamics (مجانًا على MIT OpenCourseWare)، وعلى مقررات مثل Purdue AAE 340 وGeorgia Tech AE 3330، مع استخدام Basics of Space Flight المجاني من NASA وOpenStax University Physics، ونربط بهما حيث يفيدان. لا يتبنى أيٌّ من هؤلاء المؤلفين أو المؤسسات أو الوكالات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي بمصدر عام موثق (Landsat، وأقمار الطقس GOES، واختبار الدفاع الكوكبي DART لدى NASA، وقواعد الحطام المداري)، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص برمجي للتحقق قبل نشره، ولكل مختبر محاكاة مجانية أو جدول بيانات.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

المدارات هي وسيلتنا لمراقبة كوكبنا: فأقمار رصد الأرض في المدارات المنخفضة ترسم خرائط الغابات والمحاصيل والمياه، وأقمار الطقس الثابتة بالنسبة إلى الأرض تراقب العواصف على مدار الساعة. واختيار تلك المدارات ميكانيكا مدارية خالصة.

والمدارات أيضًا مورد مشترك ومحدود. فالحطام المتروك في الفضاء يهدد الأقمار التي نعتمد عليها، لذا بات التصميم المسؤول للبعثات يتضمن خطة لمغادرة المدار. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثق المصادر. والقيم التي ليست من مصدر موسومة بأنها قيم نموذجية أو مرجعية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • الديناميكا: قوانين نيوتن والزخم الزاوي والطاقة.
  • التفاضل والتكامل III والمعادلات التفاضلية: المتجهات والتدرجات والمعادلات التفاضلية العادية.
  • الجبر الخطي: المتجهات والدورانات وأطر الإحداثيات.
  • الفيزياء I: الجاذبية الكونية.

كيف تذاكر

  • ابدأ كل مسألة برسم تخطيطي للمدار: الجسم المركزي والحضيض والأوج وموقع المركبة.
  • اكتب معادلة vis-viva أولًا؛ فهي تجيب عن معظم أسئلة السرعة.
  • أبقِ الوحدات بالمتر والثانية، وμ بوحدة m³/s²؛ وحوّل إلى km في النهاية فقط.
  • ارسم كل مناورة مثلثَ سرعات قبل حساب Δv.
  • تحقق من الحالات الحدية: المدار الدائري له e = 0؛ والإفلات طاقته الكلية صفر.
  • حل كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي لمحاكاة PhET المجانية Gravity and Orbits وKepler’s Laws وMy Solar System.
  • NASA’s Eyes on the Solar System في متصفح الويب.
  • برنامج جداول بيانات لمختبرات الانتقال ومعادلة الصاروخ والمسار الأرضي.
  • آلة حاسبة بدوال مثلثية.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1الجاذبية ومسألة الجسمين والمدارات الدائريةالجاذبية، مسألة الجسمين، المدارات الدائرية؛ المختبر AOpenStax UP1 13.4–13.5
2القطوع المخروطية والطاقة والعناصر المداريةالطاقة، الزخم الزاوي، القطوع المخروطيةMIT 16.346
3القطوع المخروطية والطاقة والعناصر المداريةvis-viva والعناصر المدارية؛ المختبر BNASA Basics of Space Flight
4معادلة كبلر وزمن الطيرانمعادلة كبلر وزمن الطيرانMIT 16.346
5الانتقالات المدارية: هوهمان وما بعدهالمناورات الدفعية وانتقالات هوهمانMIT 16.346
6الانتقالات المدارية: هوهمان وما بعدهثنائي القطع الناقص، الطور، الخروج من المدار؛ المختبر CMIT 16.346
7تغيير المستوى والمناورات المركبةتغيير المستوى والاحتراقات المركبة؛ تدريب منتصف الفصلMIT 16.346
8الصواريخ وميزانيات Δv والمراحلمعادلة الصاروخ، المراحل، ميزانيات Δv؛ المختبر DOpenStax UP1 9.7
9الاضطرابات: انتفاخ الأرض والسحب والمدارات المتزامنة مع الشمسJ₂ وتراجع العقدMIT 16.346
10الاضطرابات: انتفاخ الأرض والسحب والمدارات المتزامنة مع الشمسالمدارات المتزامنة مع الشمس والسحب؛ المختبر ENASA Landsat 9
11المسارات الأرضية والتغطية والكوكباتالمسارات الأرضية، التغطية، الكوكبات؛ المختبر FNASA Eyes
12الانتقالات بين الكواكب والقطوع المخروطية الموصولةالانتقالات حول الشمس والقطوع المخروطية الموصولةNASA Basics of Space Flight
13الانتقالات بين الكواكب والقطوع المخروطية الموصولةنوافذ الإطلاق ومساعدات الجاذبيةNASA Basics of Space Flight
14استدامة الفضاء: الحطام والتخلص والدفاع الكوكبيالحطام والتخلص وتجنب التصادمNASA ODPO; FCC
15استدامة الفضاء: الحطام والتخلص والدفاع الكوكبيالدفاع الكوكبي؛ تدريب الامتحان النهائيNASA DART

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوع 1

الجاذبية ومسألة الجسمين والمدارات الدائرية

قانون نيوتن للجاذبية، ومعامل الجاذبية μ، ومعادلة حركة الجسمين، وسرعة المدار الدائري ودوره، وسرعة الإفلات، وقوانين كبلر الثلاثة، والمدارات المنخفضة والمتوسطة والثابتة بالنسبة إلى الأرض.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • كتابة معادلة حركة الجسمين.
  • حساب سرعة المدار الدائري ودوره.
  • حساب سرعة الإفلات.
  • إيجاد نصف قطر المدار الثابت بالنسبة للأرض.

المفاهيم الأساسية

  • تعطي جاذبية نيوتن معادلة الجسمين r̈ = −μr/r³، حيث μ = GM. وللأرض μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².
  • للمدار الدائري سرعة v = √(μ/r) ودور T = 2π√(r³/μ): فالمدارات الأعلى أبطأ وتستغرق وقتًا أطول.
  • سرعة الإفلات تساوي √2 ضعف السرعة الدائرية عند نصف القطر نفسه: v_esc = √(2μ/r).
  • قوانين كبلر: المدارات قطوع ناقصة يقع الجسم المركزي في إحدى بؤرتيها؛ ونصف القطر يمسح مساحات متساوية في أزمنة متساوية؛ وT² يتناسب مع a³.
  • المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض دوره يوم نجمي واحد (86164.1 s) ويقع فوق خط الاستواء، فيبقى القمر الصناعي فوق النقطة نفسها.

المعادلات الأساسية

r¨=−μr3r\ddot{\mathbf r}=-\frac{\mu}{r^3}\mathbf r
معادلة الجسمين
vc=μrv_c=\sqrt{\frac{\mu}{r}}
السرعة الدائرية
T=2πa3μT=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}
الدورة
vesc=2μrv_{esc}=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}
سرعة الإفلات

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 أوجد سرعة ودور مدار دائري على ارتفاع 400 km.

اعرض الخطوات
  1. r = 6378 + 400 = 6778 km.
  2. v = √(3.986 × 10¹⁴/6.778 × 10⁶).
  3. T = 2π√(r³/μ).

الإجابة: v = 7.67 km/s؛ T = 92.6 min.

مثال 1.2 أوجد سرعة الإفلات من ذلك الارتفاع.

اعرض الخطوات
  1. v_esc = √2 × 7.669.

الإجابة: v_esc = 10.85 km/s.

مثال 1.3 أوجد نصف القطر والارتفاع للمدار الثابت بالنسبة إلى الأرض.

اعرض الخطوات
  1. r = (μT²/(4π²))^(1/3) مع T = 86164.1 s.
  2. الارتفاع = 42164 − 6378.

الإجابة: r = 42164 km؛ الارتفاع 35786 km (22236 ميلًا)؛ v = 3.07 km/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد دور مدار دائري على ارتفاع 705 km.

    اعرض الإجابة

    98.9 min.

  2. أوجد السرعة هناك.

    اعرض الإجابة

    7.50 km/s.

  3. كم مدارًا في اليوم يساوي ذلك؟

    اعرض الإجابة

    1440/98.87 = 14.56.

  4. حوّل 7.67 km/s إلى mph.

    اعرض الإجابة

    17154 mph.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: المدارات الأعلى أسرع.

    في الحقيقة: إنها أبطأ.

  • خرافة: يطفو رواد الفضاء لأنه لا توجد جاذبية.

    في الحقيقة: إنهم في سقوط حر حول الأرض.

  • خرافة: يمكن أن يكون المدار الثابت فوق أي مدينة.

    في الحقيقة: يجب أن يكون فوق خط الاستواء.

بطاقات تعليمية

  • μ

    GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s².

  • السرعة الدائرية

    √(μ/r).

  • الدورة

    2π√(a³/μ).

  • الإفلات

    √(2μ/r).

  • Kepler 3

    T² ∝ a³.

  • GEO

    نصف قطر 42164 km.

اختبار ذاتي

1. السرعة الدائرية هي…

اعرض الإجابة

√(μ/r). الجاذبية = القوة المركزية.

2. سرعة الإفلات تساوي … ضعف السرعة الدائرية.

اعرض الإجابة

√2. الطاقة.

3. يربط قانون كبلر الثالث بين…

اعرض الإجابة

T² وa³. القانون التوافقي.

4. دور GEO هو…

اعرض الإجابة

يوم نجمي واحد. يطابق الدوران.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح NOAA أن أقمار الطقس GOES تدور على ارتفاع 22236 ميلًا فوق خط استواء الأرض بسرعة تساوي دوران الأرض، فتبقى فوق المناطق نفسها وتوفر تغطية مستمرة. ويراقب GOES East وGOES West معًا أكثر من نصف الكرة الأرضية، من الساحل الغربي لأفريقيا إلى نيوزيلندا.

يستطيع جهاز التصوير في سلسلة GOES-R تصوير العواصف كل 30 ثانية، وتحمل السلسلة أول راسم برق تشغيلي في المدار الثابت. والارتفاع البالغ 22236 ميلًا هو بالضبط نصف قطر المدار الثابت في هذه الوحدة مطروحًا منه نصف قطر الأرض.

على Saving Planets: رصد الأرض · الفيزياء I

المصادر: NOAA NESDIS: GOES-R Series mission

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسابيع 2–3

القطوع المخروطية والطاقة والعناصر المدارية

حفظ الطاقة والزخم الزاوي، ومعادلة المدار، والقطوع الناقصة والمكافئة والزائدة، والاختلاف المركزي، ومعادلة vis-viva، والسرعتان عند الحضيض والأوج، والعناصر المدارية الكلاسيكية الستة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • استخدام vis-viva لإيجاد السرعات.
  • ربط الاختلاف المركزي بالحضيض والأوج.
  • حساب الطاقة النوعية والزخم الزاوي النوعي.
  • تسمية العناصر المدارية الستة وتفسيرها.

المفاهيم الأساسية

  • الطاقة النوعية ε = v²/2 − μ/r = −μ/(2a) ثابتة: سالبة للقطوع الناقصة، وصفر للقطوع المكافئة، وموجبة للقطوع الزائدة.
  • الزخم الزاوي النوعي h = r × v ثابت، لذا يقع المدار في مستوى ثابت.
  • تعطي معادلة المدار r = (h²/μ)/(1 + e cos ν) نصف القطر عند الشذوذ الحقيقي ν. والاختلاف المركزي للقطع الناقص e = (r_a − r_p)/(r_a + r_p).
  • تعطي معادلة vis-viva v² = μ(2/r − 1/a) السرعة في أي نقطة على أي مدار.
  • تحدد ستة عناصر كلاسيكية المدار: نصف المحور الأكبر a، والاختلاف المركزي e، والميل i، والمطلع المستقيم للعقدة الصاعدة Ω، وزاوية الحضيض ω، والشذوذ الحقيقي ν.

المعادلات الأساسية

ε=v22−μr=−μ2a\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2a}
الطاقة النوعية
v2=μ(2r−1a)v^2=\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)
Vis-viva
r=h2/μ1+ecos⁡νr=\frac{h^2/\mu}{1+e\cos\nu}
معادلة المدار
e=ra−rpra+rpe=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}
الاختلاف المركزي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 مدار نصف قطر حضيضه 6778 km ونصف قطر أوجه 42164 km. أوجد a وe.

اعرض الخطوات
  1. a = (6778 + 42,164)/2 = 24,471 km.
  2. e = (42,164 − 6778)/(42,164 + 6778).

الإجابة: a = 24,471 km; e = 0.723.

مثال 2.2 أوجد طاقته النوعية.

اعرض الخطوات
  1. ε = −3.986 × 10¹⁴/(2 × 2.4471 × 10⁷).

الإجابة: ε = −8.14 MJ/kg.

مثال 2.3 أوجد السرعتين عند الحضيض والأوج.

اعرض الخطوات
  1. v_p = √(μ(2/r_p − 1/a)).
  2. v_a = √(μ(2/r_a − 1/a)).

الإجابة: v_p = 10.07 km/s; v_a = 1.62 km/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد h عند الحضيض.

    اعرض الإجابة

    r_p v_p = 6.778 × 10⁶ × 10,066 = 6.82 × 10¹⁰ m²/s.

  2. ما قيمة e للدائرة؟

    اعرض الإجابة

    0.

  3. ما إشارة ε لمسار الإفلات؟

    اعرض الإجابة

    صفر أو موجبة.

  4. أوجد دور المدار أعلاه.

    اعرض الإجابة

    2π√(a³/μ) = 10.58 h.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: يتحرك القمر الصناعي بسرعة ثابتة على قطع ناقص.

    في الحقيقة: أسرع عند الحضيض، وأبطأ عند الأوج.

  • خرافة: يُقاس الميل من القطب الشمالي.

    في الحقيقة: من مستوى خط الاستواء.

  • خرافة: تعتمد الطاقة على الاختلاف المركزي.

    في الحقيقة: على a فقط.

بطاقات تعليمية

  • الطاقة

    −μ/(2a).

  • Vis-viva

    v² = μ(2/r − 1/a).

  • كمية الحركة الزاوية

    h = r × v.

  • معادلة المدار

    r = (h²/μ)/(1 + e cos ν).

  • الاختلاف المركزي

    (r_a − r_p)/(r_a + r_p).

  • العناصر

    a, e, i, Ω, ω, ν.

اختبار ذاتي

1. تعطي vis-viva…

اعرض الإجابة

مقدار السرعة. v² = μ(2/r − 1/a).

2. للقطع الناقص…

اعرض الإجابة

ε < 0. مدار مقيد.

3. تكون السرعة أعلى عند…

اعرض الإجابة

الحضيض. كمية الحركة الزاوية.

4. كم عدد العناصر الكلاسيكية؟

اعرض الإجابة

6. a, e, i, Ω, ω, ν.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تذكر NASA أن مدار Landsat 9 قريب من القطبي ومتزامن مع الشمس، على ارتفاع 705 km وبميل 98.2°، ودوره 99 دقيقة، أي نحو 14.5 مدارًا في اليوم، ويعبر خط الاستواء اسميًا في الساعة 10:12 صباحًا بالتوقيت المحلي في الممر الهابط.

هذه الأرقام القليلة عناصر مدارية: a من الارتفاع، وe قريب من الصفر، وi = 98.2°، وعقدة مختارة لتثبيت وقت العبور المحلي. وهذه الهندسة الثابتة هي ما يتيح لـ Landsat مقارنة الصور عبر أكثر من خمسة عقود من سجله.

على Saving Planets: رصد الأرض · التفاضل والتكامل 3

المصادر: NASA Science: Landsat 9

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 4

معادلة كبلر وزمن الطيران

الحركة المتوسطة، والشذوذ المتوسط واللامركزي والحقيقي، ومعادلة كبلر M = E − e sin E، وحلها بطريقة نيوتن، وزمن الطيران بين نقطتين، والموقع في وقت معين.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ربط الشذوذ المتوسط واللامركزي والحقيقي.
  • حل معادلة كبلر تكراريًا.
  • إيجاد زمن الطيران بين شذوذين حقيقيين.
  • التنبؤ بموقع قمر صناعي في وقت لاحق.

المفاهيم الأساسية

  • الحركة المتوسطة n = √(μ/a³) هي المعدل الزاوي المتوسط. ويزداد الشذوذ المتوسط M = n(t − t_p) بانتظام مع الزمن.
  • تربط معادلة كبلر الزمن بالهندسة: M = E − e sin E، حيث E الشذوذ اللامركزي.
  • يُستنتج الشذوذ الحقيقي من tan(ν/2) = √((1 + e)/(1 − e)) tan(E/2).
  • ليس لمعادلة كبلر حل صريح لـ E؛ وطريقة نيوتن E ← E − (E − e sin E − M)/(1 − e cos E) تتقارب في خطوات قليلة.
  • زمن الطيران من ν₁ إلى ν₂: أوجد E₁ وE₂، ثم M₁ وM₂، واقسم الفرق على n.

المعادلات الأساسية

n=μa3n=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}
الحركة المتوسطة
M=E−esin⁡EM=E-e\sin E
معادلة كبلر
tan⁡ν2=1+e1−etan⁡E2\tan\frac\nu2=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac E2
الشذوذ الحقيقي
t−tp=Mnt-t_p=\frac Mn
الزمن منذ الحضيض

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 عند e = 0.3، أوجد M عندما E = π/2.

اعرض الخطوات
  1. M = 1.5708 − 0.3 × 1.

الإجابة: M = 1.271 rad.

مثال 3.2 عند e = 0.3 وM = 1 rad، حل معادلة كبلر.

اعرض الخطوات
  1. ابدأ بـ E = 1؛ وطبّق طريقة نيوتن حتى تستقر القيمة.

الإجابة: E = 1.288 rad.

مثال 3.3 أوجد الشذوذ الحقيقي لتلك القيمة من E.

اعرض الخطوات
  1. tan(ν/2) = √(1.3/0.7) × tan(0.644).

الإجابة: ν = 1.594 rad (91.3°).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كم يستغرق الانتقال من LEO إلى GEO (نصف مدار مدته 10.58 h)؟

    اعرض الإجابة

    5.29 h.

  2. في الدائرة، ما العلاقة بين M وE وν؟

    اعرض الإجابة

    إنها متساوية.

  3. لماذا لا يمكننا حل E مباشرة؟

    اعرض الإجابة

    معادلة كبلر متسامية.

  4. ما الحركة المتوسطة لمدار مدته 92.6 min بالدورات في اليوم؟

    اعرض الإجابة

    1440/92.56 = 15.56.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: يزداد الشذوذ الحقيقي بانتظام مع الزمن.

    في الحقيقة: الشذوذ المتوسط هو الذي يزداد بانتظام.

  • خرافة: تنطبق معادلة كبلر على القطوع الزائدة دون تغيير.

    في الحقيقة: تستخدم القطوع الزائدة صيغة زائدية.

  • خرافة: تحتاج طريقة نيوتن إلى تكرارات كثيرة.

    في الحقيقة: عادةً 3–5.

بطاقات تعليمية

  • الحركة المتوسطة

    n = √(μ/a³).

  • الشذوذ المتوسط

    M = n(t − t_p).

  • معادلة كبلر

    M = E − e sin E.

  • الشذوذ الحقيقي

    من tan(ν/2).

  • خطوة نيوتن

    E − f/f′.

  • زمن الطيران

    ΔM/n.

اختبار ذاتي

1. معادلة كبلر هي…

اعرض الإجابة

M = E − e sin E. التعريف.

2. الحركة المتوسطة هي…

اعرض الإجابة

√(μ/a³). 2π/T.

3. أي شذوذ يزداد بانتظام؟

اعرض الإجابة

المتوسط. M = nt.

4. تُحل معادلة كبلر…

اعرض الإجابة

تكراريًا. طريقة نيوتن.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد NASA بأن القمير Dimorphos كان يستغرق قبل اصطدام DART مدة 11 ساعة و55 دقيقة للدوران حول كويكبه الأم Didymos، وأن الدور بعد الاصطدام في 26 سبتمبر 2022 أصبح 11 ساعة و23 دقيقة، أي تغيرًا قدره 32 دقيقة (بعدم يقين نحو ±2 دقيقة).

قاس علماء الفلك هذا التغير بتوقيت مدار القمير من تلسكوبات على الأرض: فقوانين كبلر تحوّل إزاحة زمنية صغيرة إلى دليل على تغيّر المدار.

على Saving Planets: التفاضل والتكامل 2 · رصد الأرض

المصادر: NASA: NASA Confirms DART Mission Impact Changed Asteroid’s Motion in Space (Oct. 11, 2022)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسابيع 5–6

الانتقالات المدارية: هوهمان وما بعده

المناورات الدفعية وΔv، وانتقال هوهمان بين مدارات دائرية، وزمن الانتقال، والانتقالات ثنائية القطع الناقص، والطور والالتقاء، ورفع المدارات وخفضها.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب Δv لانتقال هوهمان.
  • إيجاد زمن الانتقال.
  • شرح متى توفر الانتقالات ثنائية القطع الناقص Δv.
  • تخطيط مناورة طور بسيطة.

المفاهيم الأساسية

  • يغيّر الاحتراق الدفعي السرعة فورًا بمقدار Δv؛ ويُستنتج المدار بعد الاحتراق من vis-viva.
  • يستخدم انتقال هوهمان قطعًا ناقصًا مماسًا للدائرتين: احتراق في المدار الداخلي لدخول القطع الناقص، ثم احتراق آخر عند الأوج لتدوير المدار.
  • زمن الانتقال يساوي نصف دور قطع الانتقال الناقص.
  • عند نسب أنصاف أقطار كبيرة جدًا (أعلى من نحو 11.9)، قد يستهلك الانتقال ثنائي القطع الناقص بثلاثة احتراقات Δv أقل، على حساب وقت أطول بكثير.
  • الطور: للحاق بهدف في المدار نفسه، ادخل مدارًا أصغر أو أكبر قليلًا لدورة أو أكثر، ثم عُد.

المعادلات الأساسية

Δv1=μ(2r1−1a)−μr1\Delta v_1=\sqrt{\mu\left(\frac2{r_1}-\frac1a\right)}-\sqrt{\frac\mu{r_1}}
الاحتراق الأول
Δv2=μr2−μ(2r2−1a)\Delta v_2=\sqrt{\frac\mu{r_2}}-\sqrt{\mu\left(\frac2{r_2}-\frac1a\right)}
الاحتراق الثاني
a=r1+r22a=\frac{r_1+r_2}{2}
قطع الانتقال الناقص
t=πa3μt=\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}
زمن الانتقال

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 أوجد Δv لانتقال هوهمان من مدار دائري على ارتفاع 400 km إلى GEO (في المستوى نفسه).

اعرض الخطوات
  1. Δv₁ = 10.066 − 7.669 = 2.398 km/s.
  2. Δv₂ = 3.075 − 1.618 = 1.456 km/s.

الإجابة: Δv الكلي = 3.85 km/s.

مثال 4.2 إيجاد زمن الانتقال.

اعرض الخطوات
  1. t = π√(24,471,000³/μ).

الإجابة: t = 5.29 h.

مثال 4.3 احتراق للخروج من المدار عند 700 km يخفض الحضيض إلى 200 km. أوجد Δv.

اعرض الخطوات
  1. v_c = √(μ/7078 km).
  2. v_a على القطع الناقص 7078 × 6578 km من vis-viva.

الإجابة: Δv = 139 m/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أي احتراق أكبر في انتقال هوهمان من LEO إلى GEO؟

    اعرض الإجابة

    الأول، 2.40 km/s.

  2. فوق أي نسبة أنصاف أقطار يمكن أن يتفوق الانتقال ثنائي القطع الناقص؟

    اعرض الإجابة

    نحو 11.9.

  3. للحاق بهدف متقدم في المدار نفسه، هل تصعد أم تنخفض؟

    اعرض الإجابة

    تنخفض (دور أقصر).

  4. في أي اتجاه تحترق لخفض مدار؟

    اعرض الإجابة

    عكس اتجاه الحركة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: لتسرع في المدار، احترق إلى الأمام وستبقى أسرع.

    في الحقيقة: رفع المدار يجعلك أبطأ إجمالًا.

  • خرافة: انتقال هوهمان هو الأرخص دائمًا.

    في الحقيقة: ليس عند النسب الكبيرة جدًا.

  • خرافة: زمن الانتقال دور كامل.

    في الحقيقة: نصف دور.

بطاقات تعليمية

  • Δv

    تغير السرعة.

  • هوهمان

    احتراقان مماسيان.

  • a للانتقال

    (r₁ + r₂)/2.

  • زمن الانتقال

    π√(a³/μ).

  • ثنائي القطع الناقص

    ثلاثة احتراقات، نسب كبيرة.

  • الطور

    انخفض لتلحق.

اختبار ذاتي

1. يستخدم انتقال هوهمان … احتراقات.

اعرض الإجابة

2. احتراقات مماسية.

2. زمن الانتقال هو…

اعرض الإجابة

نصف دور الانتقال. من الحضيض إلى الأوج.

3. للحاق بهدف متقدم، يجب أن تتجه…

اعرض الإجابة

أدنى. دور أقصر.

4. قيمة a لقطع الانتقال الناقص هي…

اعرض الإجابة

(r₁ + r₂)/2. قطع ناقص مماسي.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

اعتمدت FCC في سبتمبر 2022 قاعدة تُلزم مشغلي الأقمار الصناعية في المدار الأرضي المنخفض بالتخلص من أقمارهم خلال 5 سنوات من انتهاء بعثاتها (Report and Order FCC-22-74).

احتراق الخروج من المدار ليس سوى نصف مناورة من نوع هوهمان: خفض الحضيض إلى الغلاف الجوي العلوي ليكمل السحب المهمة. فمن 700 km، لا يحتاج خفض الحضيض إلى 200 km إلا نحو 139 m/s في مثال هذه الوحدة.

على Saving Planets: الديناميكا · الحلول

المصادر: FCC: FCC Adopts New ‘5-Year Rule’ for Deorbiting Satellites (Report and Order FCC-22-74)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوع 7

تغيير المستوى والمناورات المركبة

تغيير الميل والعقدة، وΔv لتغيير المستوى البسيط، ولماذا يكون تغيير المستوى مكلفًا في المدار المنخفض، والجمع بين تغيير المستوى واحتراق هوهمان، وخط عرض موقع الإطلاق.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب Δv لتغيير مستوى بسيط.
  • الجمع بين تغيير المستوى واحتراق التدوير.
  • شرح لماذا يُجرى تغيير المستوى على ارتفاع عالٍ.
  • ربط خط عرض الإطلاق بالميل الأدنى.

المفاهيم الأساسية

  • تدوير مستوى المدار بمقدار Δi عند السرعة v يكلّف Δv = 2v sin(Δi/2)، دون تغيير مقدار السرعة.
  • لأن الكلفة تتناسب مع السرعة، يكون تغيير المستوى أرخص حيث تكون المركبة أبطأ: عند الأوج أو في المدارات العالية.
  • الجمع بين تغيير المستوى وتغيير السرعة في احتراق واحد يستخدم قانون جيب التمام: Δv = √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos Δi)، وهو أرخص من إجرائهما منفصلين.
  • يبلغ الإطلاق المباشر ميلًا لا يقل عن خط عرض موقع الإطلاق، لذا يجب على أقمار GEO المطلقة من خطوط العرض المتوسطة إزالة الميل لاحقًا.
  • يستخدم تغيير العقدة والتغيير المركب للميل والعقدة فكرة مثلث السرعات نفسها مع حساب المثلثات الكروي.

المعادلات الأساسية

Δv=2vsin⁡Δi2\Delta v=2v\sin\frac{\Delta i}{2}
تغيير مستوى بسيط
Δv=v12+v22−2v1v2cos⁡Δi\Delta v=\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\Delta i}
مناورة مركبة
imin=ϕlaunchi_{min}=\phi_{launch}
أدنى ميل مباشر
cos⁡i=cos⁡ϕsin⁡β\cos i=\cos\phi\sin\beta
سمت الإطلاق β

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 أوجد Δv لإزالة 28.5° من الميل في GEO (v = 3.075 km/s).

اعرض الخطوات
  1. Δv = 2 × 3.075 × sin 14.25°.

الإجابة: Δv = 1.51 km/s.

مثال 5.2 اجمع تغيير المستوى هذا مع احتراق التدوير في GEO (v_a = 1.618 km/s).

اعرض الخطوات
  1. Δv = √(1.618² + 3.075² − 2 × 1.618 × 3.075 × cos 28.5°).

الإجابة: Δv = 1.82 km/s، بتوفير 1.15 km/s مقارنة بالاحتراقات المنفصلة (1.51 + 1.46).

مثال 5.3 أوجد كلفة تغيير مستوى بمقدار 10° في مدار على ارتفاع 400 km.

اعرض الخطوات
  1. Δv = 2 × 7.669 × sin 5°.

الإجابة: Δv = 1.34 km/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ما Δv الكلي من LEO إلى GEO مع الاحتراق النهائي المركب؟

    اعرض الإجابة

    2.40 + 1.82 = 4.22 km/s.

  2. أين أرخص مكان لتغيير المستوى على قطع ناقص؟

    اعرض الإجابة

    عند الأوج.

  3. تغيير مستوى بمقدار 60° يكلف كم ضعفًا من v؟

    اعرض الإجابة

    2 sin 30° = 1 × v.

  4. هل يمكن لإطلاق مباشر من خط عرض 28.5° بلوغ ميل 0°؟

    اعرض الإجابة

    No.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تغيير المستوى رخيص.

    في الحقيقة: في LEO، تكلف 10° مقدار 1.34 km/s.

  • خرافة: الاحتراقات المنفصلة جيدة كالمركبة.

    في الحقيقة: الاحتراقات المركبة توفر Δv.

  • خرافة: يمكن لأي موقع إطلاق بلوغ أي ميل مباشرة.

    في الحقيقة: ليس دون خط عرضه.

بطاقات تعليمية

  • تغيير المستوى

    2v sin(Δi/2).

  • مركب

    قانون جيب التمام.

  • أين

    عند السرعة المنخفضة.

  • خط عرض الإطلاق

    أدنى ميل.

  • تغيير العقدة

    حساب المثلثات الكروي.

  • GEO

    أزل الميل عند الأوج.

اختبار ذاتي

1. تغيير المستوى البسيط يكلف…

اعرض الإجابة

2v sin(Δi/2). مثلث السرعات.

2. أفضل مكان لتغيير المستوى…

اعرض الإجابة

الأوج. أدنى سرعة.

3. الاحتراقات المركبة…

اعرض الإجابة

أرخص. قانون جيب التمام.

4. أدنى ميل مباشر يساوي…

اعرض الإجابة

خط عرض الإطلاق. الهندسة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تذكر صفحة Landsat 9 لدى NASA أن القمر أُطلق إلى مدار Landsat 7 للحفاظ مع Landsat 8 على تغطية متكررة كل 8 أيام، وأن المركبة تحمل وقودًا يكفي للعمل 10 سنوات على الأقل مقابل عمر تصميمي قدره 5 سنوات.

وضع قمر صناعي بدقة في مستوى مدار قمر آخر وإبقاؤه هناك هو عمل تغيير المستوى والطور. والوقود الموفَّر بحسن تخطيط المناورات يتحول إلى سنوات إضافية من بيانات الأرض المجانية.

على Saving Planets: رصد الأرض · الجبر الخطي

المصادر: NASA Science: Landsat 9

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 8

الصواريخ وميزانيات Δv والمراحل

معادلة الصاروخ لتسيولكوفسكي، والدفع النوعي وسرعة العادم، ونسبة الكتلة وكسر الوقود الدافع، وقوة الدفع، والمراحل، وخسائر الجاذبية والسحب أثناء الصعود، وبناء ميزانية Δv للبعثة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تطبيق معادلة الصاروخ.
  • ربط الدفع النوعي وسرعة العادم وقوة الدفع.
  • بيان لماذا تفيد المراحل.
  • بناء ميزانية Δv بسيطة.

المفاهيم الأساسية

  • معادلة الصاروخ: Δv = I_sp g₀ ln(m₀/m_f)، حيث m₀/m_f نسبة الكتلة. وسرعة العادم v_e = I_sp g₀.
  • قوة الدفع F = ṁ v_e = ṁ I_sp g₀.
  • لأن Δv يزداد فقط مع لوغاريتم نسبة الكتلة، فإن صاروخًا بمرحلة واحدة إلى المدار يحتاج أن تكون معظم كتلته وقودًا دافعًا. وتتخلص المراحل من الخزانات الفارغة والمحركات فتدفع المراحل اللاحقة كتلة ميتة أقل.
  • يتطلب بلوغ المدار المنخفض عمليًا نحو 9.3–10 km/s من Δv (نطاق مرجعي): نحو 7.7–7.8 km/s سرعةً مدارية إضافة إلى خسائر الجاذبية والسحب، ناقص الدفعة من دوران الأرض في الإطلاقات نحو الشرق.
  • تجمع ميزانية Δv للبعثة كل مناورة: الإطلاق والانتقالات وتغييرات المستوى والحفاظ على الموقع والتخلص، إضافة إلى هامش.

المعادلات الأساسية

Δv=Ispg0ln⁡m0mf\Delta v=I_{sp}g_0\ln\frac{m_0}{m_f}
معادلة الصاروخ
ve=Ispg0v_e=I_{sp}g_0
سرعة العادم
F=m˙ Ispg0F=\dot m\,I_{sp}g_0
الدفع
m0mf=eΔv/(Ispg0)\frac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/(I_{sp}g_0)}
نسبة الكتلة المطلوبة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 مرحلة لها I_sp = 300 s ونسبة كتلة 4. أوجد Δv.

اعرض الخطوات
  1. Δv = 300 × 9.80665 × ln 4.

الإجابة: Δv = 4.08 km/s.

مثال 6.2 ما نسبة الكتلة التي تعطي 9.4 km/s مع I_sp = 350 s في مرحلة واحدة؟

اعرض الخطوات
  1. m₀/m_f = exp(9400/(350 × 9.80665)).

الإجابة: 15.5، أي إن 93.5% من كتلة الإقلاع وقود دافع.

مثال 6.3 مرحلتان، لكل منهما I_sp = 300 s ونسبة كتلة 3. ما Δv الكلي؟

اعرض الخطوات
  1. Δv = 2 × 300 × 9.80665 × ln 3.

الإجابة: Δv = 6.46 km/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد قوة الدفع عند ṁ = 100 kg/s وI_sp = 300 s.

    اعرض الإجابة

    294 kN.

  2. أوجد v_e عند I_sp = 450 s.

    اعرض الإجابة

    4.41 km/s.

  3. ضاعف نسبة الكتلة من 4 إلى 8. ما Δv؟

    اعرض الإجابة

    يرتفع بمقدار 300 × 9.807 × ln 2 = 2.04 km/s، ولا يتضاعف.

  4. لماذا تفيد المراحل؟

    اعرض الإجابة

    المراحل اللاحقة لا تحمل خزانات فارغة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: مضاعفة الوقود الدافع تضاعف Δv.

    في الحقيقة: يزداد Δv مع لوغاريتم نسبة الكتلة.

  • خرافة: يُقاس I_sp بوحدة m/s.

    في الحقيقة: بالثواني؛ v_e = I_spg₀.

  • خرافة: المدار يحتاج 7.7 km/s فقط.

    في الحقيقة: تضيف الخسائر 1.5–2 km/s.

بطاقات تعليمية

  • معادلة الصاروخ

    Δv = v_e ln(m₀/m_f).

  • I_sp

    ثوانٍ؛ v_e/g₀.

  • الدفع

    ṁ v_e.

  • نسبة الكتلة

    m₀/m_f.

  • التقسيم إلى مراحل

    التخلص من الكتلة الفارغة.

  • ميزانية Δv

    مجموع كل المناورات + هامش.

اختبار ذاتي

1. Δv = …

اعرض الإجابة

I_sp g₀ ln(m₀/m_f). تسيولكوفسكي.

2. قوة الدفع = …

اعرض الإجابة

ṁ I_sp g₀. تدفق كمية الحركة.

3. تفيد المراحل عبر…

اعرض الإجابة

التخلص من الكتلة الميتة. نسبة الكتلة.

4. Δv إلى المدار المنخفض نحو…

اعرض الإجابة

9.4 km/s. مع الخسائر.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد NASA بأن DART أُطلق في 24 نوفمبر 2021 (EST) على صاروخ SpaceX Falcon 9 من قاعدة Vandenberg التابعة لقوة الفضاء في كاليفورنيا، واصطدم في 26 سبتمبر 2022 بـ Dimorphos، وهو قمير قطره 160 مترًا فقط يدور حول الكويكب Didymos البالغ قطره 780 مترًا.

تشير NASA إلى أن الاصطدام وقع بسرعة نحو 22530 km/h. وإيصال مركبة إلى هناك بتلك السرعة وعلى المسار الصحيح بدأ بميزانية Δv في هذه الوحدة.

على Saving Planets: الديناميكا الحرارية · مقدمة في هندسة الطيران والفضاء

المصادر: NASA Science: Double Asteroid Redirection Test (DART) · NASA: NASA Confirms DART Mission Impact Changed Asteroid’s Motion in Space (Oct. 11, 2022)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوعان 9–10

الاضطرابات: انتفاخ الأرض والسحب والمدارات المتزامنة مع الشمس

لماذا تنجرف المدارات الحقيقية، وتفلطح الأرض وJ₂، وتراجع العقدة ودوران الحضيض، والمدارات المتزامنة مع الشمس، والمدارات المجمدة وذات الميل الحرج، والسحب الجوي وتضاؤل المدار، وتأثيرات الجسم الثالث وضغط الإشعاع الشمسي.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب تراجع العقدة الناتج عن J₂.
  • إيجاد الميل لمدار متزامن مع الشمس.
  • شرح تضاؤل المدار بفعل السحب.
  • تسمية اضطرابات أخرى.

المفاهيم الأساسية

  • تنتفخ الأرض عند خط الاستواء. ويجعل حدّها J₂ (1.0826 × 10⁻³) مستوى المدار يتحرك حركة مبادرة: dΩ/dt = −1.5 n J₂ (R/p)² cos i، حيث p = a(1 − e²).
  • تتراجع المدارات المباشرة (i < 90°) نحو الغرب؛ وتتقدم المدارات التراجعية (i > 90°) نحو الشرق.
  • يختار المدار المتزامن مع الشمس قيمة i بحيث يتقدم المستوى 360° في السنة، أي نحو 0.9856° يوميًا، فيحافظ على الوقت الشمسي المحلي نفسه عند كل مرور.
  • في المدار المنخفض يزيل السحب الجوي الطاقة ببطء ويخفض المدار حتى تعود المركبة إلى الغلاف الجوي. ويزداد السحب بحدة عندما يسخّن النشاط الشمسي الغلاف الجوي العلوي.
  • اضطرابات أخرى: جاذبية القمر والشمس (مهمة في GEO)، وضغط الإشعاع الشمسي، والتوافقيات العليا للجاذبية.

المعادلات الأساسية

Ω˙=−32nJ2(Rp)2cos⁡i\dot\Omega=-\frac32nJ_2\left(\frac Rp\right)^2\cos i
تراجع العقدة
Ω˙SS=360°365.2422 d\dot\Omega_{SS}=\frac{360°}{365.2422\ \text{d}}
معدل التزامن مع الشمس
cos⁡i=−Ω˙SS1.5nJ2(R/p)2\cos i=-\frac{\dot\Omega_{SS}}{1.5nJ_2(R/p)^2}
ميل التزامن مع الشمس
n=μ/a3n=\sqrt{\mu/a^3}
الحركة المتوسطة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 أوجد الميل لمدار دائري متزامن مع الشمس على ارتفاع 705 km.

اعرض الخطوات
  1. r = 7083 km; n = √(μ/r³).
  2. المعدل المطلوب 0.9856°/يوم = 1.991 × 10⁻⁷ rad/s.
  3. cos i = −rate/(1.5nJ₂(R/r)²).

الإجابة: i = 98.2°، وهو تمامًا ميل Landsat 9.

مثال 7.2 تحقق من معدل العقدة لـ Landsat 9 (705 km، 98.2°).

اعرض الخطوات
  1. dΩ/dt = −1.5nJ₂(R/r)² cos 98.2°.

الإجابة: +0.985° يوميًا، مطابقًا لـ 0.9856° يوميًا التي تتحركها الشمس.

مثال 7.3 أوجد تراجع العقدة لمدار على ارتفاع 400 km بميل 51.6°.

اعرض الخطوات
  1. المعادلة نفسها مع r = 6778 km وcos 51.6°.

الإجابة: −5.00° يوميًا (نحو الغرب).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل المدار المتزامن مع الشمس مباشر أم تراجعي؟

    اعرض الإجابة

    تراجعي قليلًا (i > 90°).

  2. ماذا يفعل J₂ بالمدار القطبي (i = 90°)؟

    اعرض الإجابة

    لا شيء بالعقدة: cos 90° = 0.

  3. لماذا تحتاج الأقمار المنخفضة إلى رفع مداري؟

    اعرض الإجابة

    السحب يخفضها.

  4. أي اضطراب أهم لميل GEO؟

    اعرض الإجابة

    جاذبية القمر والشمس.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: مستويات المدارات ثابتة في الفضاء.

    في الحقيقة: J₂ يجعلها تتحرك حركة مبادرة.

  • خرافة: التزامن مع الشمس يعني أن القمر يرى الشمس طوال الوقت.

    في الحقيقة: يعني الوقت الشمسي المحلي نفسه عند كل مرور.

  • خرافة: السحب مهم فقط تحت 100 km.

    في الحقيقة: إنه يشكّل المدارات حتى عدة مئات من km.

بطاقات تعليمية

  • J₂

    1.0826 × 10⁻³.

  • معدل العقدة

    −1.5nJ₂(R/p)² cos i.

  • متزامن مع الشمس

    +0.9856°/يوم.

  • العقدة التراجعية

    تتقدم نحو الشرق.

  • السحب

    التضاؤل والعودة إلى الغلاف الجوي.

  • اضطراب GEO

    الشمس والقمر.

اختبار ذاتي

1. يسبب J₂…

اعرض الإجابة

مبادرة العقدة. التفلطح.

2. معدل العقدة للتزامن مع الشمس…

اعرض الإجابة

0.9856°/يوم. دورة واحدة في السنة.

3. ميول التزامن مع الشمس…

اعرض الإجابة

أكبر قليلًا من 90°. cos i < 0.

4. يجعل السحب مدارات LEO…

اعرض الإجابة

تتضاءل. فقدان الطاقة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تذكر NASA أن Landsat 9 في مدار قريب من القطبي ومتزامن مع الشمس على ارتفاع 705 km وبميل 98.2°، ويعبر خط الاستواء نحو الساعة 10:12 صباحًا بالتوقيت المحلي. ويصوّر Landsat 9 وLandsat 8 معًا المكان نفسه كل 8 أيام، ما يتيح تنبيهات شبه أسبوعية بإزالة الغابات ورصد جودة المياه وتقارير المحاصيل.

تشير NASA إلى أن بيانات Landsat العامة المجانية أسهمت بما يقدّر بـ 25.6 مليار دولار في الاقتصاد الأمريكي في 2023. والضوء الصباحي الثابت الذي يجعل تلك الصور قابلة للمقارنة ينبع مباشرة من J₂ وشرط التزامن مع الشمس في هذه الوحدة.

على Saving Planets: رصد الأرض · المحيطات

المصادر: NASA Science: Landsat 9

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوع 11

المسارات الأرضية والتغطية والكوكبات

المسارات الأرضية وانزياحها غربًا في كل مدار، ومدارات المسار الأرضي المتكرر، وعرض النطاق وزمن إعادة الزيارة، والتغطية من GEO، وتصميم الكوكبات لإعادة الزيارة والتغطية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب انزياح المسار الأرضي في كل مدار.
  • إيجاد عدد المدارات في كل دورة تكرار.
  • ربط عرض النطاق بإعادة الزيارة.
  • شرح لماذا يقسم قمران زمن إعادة الزيارة على اثنين.

المفاهيم الأساسية

  • مع دوران الأرض تحت المدار، ينزاح كل مسار أرضي غربًا بمقدار Δλ = 360° × T/T_sidereal في كل مدار.
  • مدار المسار الأرضي المتكرر يكمل عددًا صحيحًا من المدارات في عدد صحيح من الأيام، فيتكرر النمط تمامًا.
  • يغطي مستشعر عرض نطاقه w خط الاستواء في نحو (المحيط)/w مرورًا، وهذا يحدد أدنى دورة تكرار.
  • إضافة أقمار في المدار نفسه بتباعد متساوٍ يقسم زمن إعادة الزيارة.
  • يرى قمر GEO واحد نحو 40% من سطح الأرض (قيمة مرجعية)، لكن بدقة منخفضة قرب الأطراف؛ وبضعة أقمار موزعة حول خط الاستواء تغطي كل خطوط الطول عدا المناطق القطبية.

المعادلات الأساسية

Δλ=360°TTsid\Delta\lambda=360°\frac{T}{T_{sid}}
انزياح المسار الأرضي
kT=jTdaykT=jT_{day}
شرط التكرار
Npass≈2πRwN_{pass}\approx\frac{2\pi R}{w}
عدد المرورات لتغطية خط الاستواء
trevisit=trepeatNsatt_{revisit}=\frac{t_{repeat}}{N_{sat}}
إعادة زيارة الكوكبة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 أوجد انزياح المسار الأرضي في كل مدار لمدار مدته 98.87 min.

اعرض الخطوات
  1. Δλ = 360 × 98.87 × 60/86,164.1.

الإجابة: Δλ = 24.8°، أي نحو 2760 km عند خط الاستواء.

مثال 8.2 كم مدارًا يكمل ذلك القمر في 16 يومًا؟

اعرض الخطوات
  1. 16 × 14.564.

الإجابة: نحو 233 مدارًا، لذا تناسبه دورة تكرار مدتها 16 يومًا.

مثال 8.3 قمران متطابقان يتشاركان مدار تكرار مدته 16 يومًا بتباعد متساوٍ. ما زمن إعادة الزيارة؟

اعرض الخطوات
  1. 16/2.

الإجابة: 8 أيام، كما تذكر NASA لـ Landsat 8 و9.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كم نطاقًا بعرض 185 km يغطي خط الاستواء (40075 km)؟

    اعرض الإجابة

    40075/185 = 216.6، أي نحو 217.

  2. لماذا تنزاح المسارات الأرضية غربًا؟

    اعرض الإجابة

    الأرض تدور شرقًا تحت المدار.

  3. كيف يبدو المسار الأرضي لقمر GEO؟

    اعرض الإجابة

    نقطة (أو شكل ثمانية صغير إذا كان مائلًا).

  4. كيف تغيّر ثلاثة أقمار إعادة الزيارة البالغة 16 يومًا؟

    اعرض الإجابة

    نحو 5.33 أيام.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تتكرر المسارات الأرضية كل مدار.

    في الحقيقة: فقط بعد دورة تكرار كاملة.

  • خرافة: الارتفاع الأكبر يعني دائمًا تغطية أفضل.

    في الحقيقة: الدقة تنخفض مع الارتفاع.

  • خرافة: GEO يرى الأرض كلها.

    في الحقيقة: نحو 40%، وبشكل ضعيف قرب القطبين.

بطاقات تعليمية

  • انزياح المسار

    360°T/T_sid.

  • مدار التكرار

    kT = jT_day.

  • النطاق

    العرض المصوَّر.

  • إعادة الزيارة

    التكرار/N_sat.

  • الرؤية من GEO

    ≈ 40% من الأرض.

  • الكوكبة

    أقمار متباعدة.

اختبار ذاتي

1. تنزاح المسارات الأرضية…

اعرض الإجابة

الغرب. الأرض تدور شرقًا.

2. الانزياح في كل مدار هو…

اعرض الإجابة

360°T/T_sid. دوران الأرض.

3. قمران متباعدان بالتساوي…

اعرض الإجابة

ينصّفان زمن إعادة الزيارة. التباعد.

4. لمدار التكرار…

اعرض الإجابة

مدارات كاملة في أيام كاملة. التعريف.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد NASA بأن لـ Landsat 9 دورة تكرار مدتها 16 يومًا بنطاق عرضه 185 km، ويجمع نحو 740 مشهدًا يوميًا (قرابة ضعف المطلوب البالغ 400 مشهد)، ويرصد مع Landsat 8 الموقع نفسه كل 8 أيام.

تشير NOAA إلى أن GOES East وGOES West معًا يغطيان أكثر من نصف الكرة الأرضية من المدار الثابت. تعطي المدارات القطبية المنخفضة خرائط حادة ومتكررة؛ ويعطي GEO مراقبة مستمرة. والرصد الجيد للأرض يستخدم الاثنين.

على Saving Planets: رصد الأرض · المحيطات

المصادر: NASA Science: Landsat 9 · NOAA NESDIS: GOES-R Series mission

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسابيع 12–13

الانتقالات بين الكواكب والقطوع المخروطية الموصولة

انتقالات هوهمان حول الشمس، وزمن الانتقال إلى المريخ، وv∞ وC₃ عند المغادرة، وطريقة القطوع المخروطية الموصولة، ومجالات التأثير، والإفلات من مدار انتظار، والأدوار الاقترانية ونوافذ الإطلاق، ومساعدات الجاذبية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب انتقال هوهمان من الأرض إلى المريخ.
  • إيجاد v∞ وC₃.
  • إيجاد Δv لمغادرة المدار الأرضي المنخفض.
  • حساب الأدوار الاقترانية وشرح نوافذ الإطلاق.

المفاهيم الأساسية

  • بعيدًا عن الكواكب، تتبع المركبة قطعًا مخروطيًا حول الشمس مع μ_Sun = 1.327 × 10²⁰ m³/s². وانتقال هوهمان من الأرض إلى المريخ قطع ناقص من 1 AU إلى 1.524 AU.
  • القطوع المخروطية الموصولة: قرب كل كوكب يُستخدم قطع زائد بالنسبة إلى الكوكب؛ وبعيدًا يُستخدم القطع الناقص حول الشمس؛ وتُطابق السرعات عند مجال التأثير.
  • سرعة الفائض الزائدية عند المغادرة v∞ هي السرعة المطلوبة حول الشمس ناقص السرعة المدارية للأرض. وC₃ = v∞² هي طاقة الإطلاق.
  • من مدار انتظار دائري، احتراق المغادرة Δv = √(v∞² + 2μ/r) − √(μ/r)، مستفيدًا من أثر أوبرث للاحتراق في عمق بئر الجاذبية.
  • تتكرر نوافذ الإطلاق كل دور اقتراني، 1/(1/T₁ − 1/T₂): نحو 2.1 سنة للمريخ. وتغيّر مساعدات الجاذبية سرعة المركبة حول الشمس مجانًا بالتحليق قرب كوكب.

المعادلات الأساسية

t=πa3μ⊙t=\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu_\odot}}
زمن الانتقال
v∞=μ⊙(2r1−1a)−μ⊙r1v_\infty=\sqrt{\mu_\odot\left(\frac2{r_1}-\frac1a\right)}-\sqrt{\frac{\mu_\odot}{r_1}}
سرعة الفائض عند المغادرة
Δv=v∞2+2μr−μr\Delta v=\sqrt{v_\infty^2+\frac{2\mu}{r}}-\sqrt{\frac\mu r}
احتراق المغادرة
S=11/T1−1/T2S=\frac{1}{1/T_1-1/T_2}
الدور الاقتراني

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 أوجد زمن انتقال هوهمان من الأرض إلى المريخ.

اعرض الخطوات
  1. a = (1 + 1.524)/2 AU = 1.888 × 10¹¹ m.
  2. t = π√(a³/μ_Sun).

الإجابة: t = 259 يومًا.

مثال 9.2 أوجد v∞ وC₃ عند المغادرة.

اعرض الخطوات
  1. سرعة الأرض √(μ_Sun/1 AU) = 29.78 km/s.
  2. سرعة الحضيض الشمسي للانتقال من vis-viva.

الإجابة: v∞ = 2.95 km/s; C₃ = 8.68 km²/s².

مثال 9.3 أوجد احتراق المغادرة من مدار انتظار على ارتفاع 400 km.

اعرض الخطوات
  1. Δv = √(2946² + 2μ/6.778 × 10⁶) − 7669.

الإجابة: Δv = 3.57 km/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد الدور المداري للمريخ من قانون كبلر الثالث.

    اعرض الإجابة

    1.524^1.5 = 1.88 سنة.

  2. أوجد الدور الاقتراني بين الأرض والمريخ.

    اعرض الإجابة

    1/(1 − 1/1.881) = 2.13 سنة.

  3. لماذا الاحتراق في عمق بئر الجاذبية؟

    اعرض الإجابة

    أثر أوبرث: طاقة حركية أكبر لكل Δv.

  4. هل تغيّر مساعدة الجاذبية السرعة بالنسبة إلى الكوكب؟

    اعرض الإجابة

    لا، بالنسبة إلى الشمس فقط.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: يمكنك الإطلاق إلى المريخ بتكلفة منخفضة في أي وقت.

    في الحقيقة: فقط في نوافذ كل 2.1 سنة.

  • خرافة: v∞ تساوي Δv الاحتراق.

    في الحقيقة: الاحتراق من LEO أكبر.

  • خرافة: مساعدات الجاذبية تخرق حفظ الطاقة.

    في الحقيقة: يفقد الكوكب مقدارًا ضئيلًا.

بطاقات تعليمية

  • حول الشمس

    μ_Sun = 1.327 × 10²⁰.

  • القطوع المخروطية الموصولة

    قطع زائد + قطع ناقص.

  • v∞

    سرعة الفائض.

  • C₃

    v∞².

  • الدور الاقتراني

    1/(1/T₁ − 1/T₂).

  • مساعدة الجاذبية

    Δv حول الشمس مجانًا.

اختبار ذاتي

1. يستغرق انتقال هوهمان من الأرض إلى المريخ نحو…

اعرض الإجابة

259 يومًا. نصف دور القطع الناقص.

2. C₃ هي…

اعرض الإجابة

v∞². طاقة الإطلاق.

3. تتكرر نوافذ المريخ كل…

اعرض الإجابة

2.1 سنة. الدور الاقتراني.

4. تبدّل القطوع المخروطية الموصولة الإطار عند…

اعرض الإجابة

مجال التأثير. التعريف.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تصف NASA بعثة DART بأنها أول بعثة على الإطلاق مخصصة لإثبات حرف كويكب بتغيير حركته عبر الاصطدام الحركي. وقبل اللقاء، عرّفت NASA النجاح بأنه تغير في دور مدار Dimorphos بمقدار 73 ثانية أو أكثر؛ وقد تجاوز التغير المقيس البالغ 32 دقيقة ذلك بأكثر من 25 مرة.

تشير NASA إلى أن Dimorphos وDidymos لم يشكلا أي خطر على الأرض قبل الاختبار أو بعده. ويعتمد الدفاع الكوكبي تحديدًا على أدوات المسارات بين الكواكب في هذه الوحدة.

على Saving Planets: الفيزياء I · الحلول

المصادر: NASA: NASA Confirms DART Mission Impact Changed Asteroid’s Motion in Space (Oct. 11, 2022)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسبوعان 14–15

استدامة الفضاء: الحطام والتخلص والدفاع الكوكبي

بيئة الحطام المداري، وسرعات التصادم وطاقاته، وتتالي كيسلر، والتخلص عند نهاية العمر وΔv الخروج من المدار، ومدارات المقبرة لـ GEO، وفحص الاقترانات وتجنب التصادم، والدفاع الكوكبي بالاصطدام الحركي.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب طاقة اصطدام الحطام.
  • تحديد حجم احتراق الخروج من المدار.
  • شرح تتالي كيسلر.
  • تكميم نتيجة DART.

المفاهيم الأساسية

  • يحوي المدار الأرضي المنخفض ملايين القطع من الحطام: أقمار ميتة وأجزاء صواريخ وشظايا ورقائق طلاء. وعند السرعات المدارية تحمل حتى القطع الصغيرة جدًا طاقة هائلة.
  • الطاقة الحركية ½mv² تزداد مع مربع السرعة: شظية كتلتها 1 g بسرعة 10 km/s (سرعة نسبية نموذجية) تحمل 50 kJ.
  • تُنتج التصادمات مزيدًا من الشظايا، فتسبب مزيدًا من التصادمات: تتالي كيسلر. والحد من الحطام الجديد أرخص بكثير من إزالته.
  • التخلص: تخفض أقمار LEO حضيضها ليُسقطها السحب؛ وتُرفع أقمار GEO إلى مدار مقبرة أعلى ببضع مئات من الكيلومترات.
  • يفحص المشغلون الاقترابات (الاقترانات) ويُجرون احتراقات تجنب صغيرة عندما يكون احتمال التصادم مرتفعًا جدًا.

المعادلات الأساسية

Ek=12mv2E_k=\tfrac12mv^2
طاقة الاصطدام
Δvdeorbit=vc−va\Delta v_{deorbit}=v_c-v_a
احتراق خفض الحضيض
ΔTT\frac{\Delta T}{T}
التغير النسبي في الدور
va=μ(2r−1a)v_a=\sqrt{\mu\left(\frac2{r}-\frac1a\right)}
vis-viva بعد الاحتراق

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 حوّل سرعة الحطام التي تذكرها NASA وهي 18000 mph إلى km/s.

اعرض الخطوات
  1. 18,000 × 0.44704 m/s.

الإجابة: 8.05 km/s.

مثال 10.2 أوجد الطاقة الحركية لشظية كتلتها 1 g بسرعة نسبية 10 km/s (قيمة نموذجية).

اعرض الخطوات
  1. E = ½ × 0.001 × 10,000².

الإجابة: E = 50 kJ من شظية بكتلة مشبك ورق.

مثال 10.3 قصّر DART مدار Dimorphos البالغ 11 h 55 min (715 min) بمقدار 32 دقيقة. أوجد التغير النسبي والهامش فوق عتبة النجاح لدى NASA البالغة 73 s.

اعرض الخطوات
  1. 32/715.
  2. 1920 s/73 s.

الإجابة: أقصر بنسبة 4.48%؛ 26.3 ضعف العتبة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد Δv الخروج من المدار من 700 km إلى حضيض 200 km.

    اعرض الإجابة

    139 m/s (الوحدة 4).

  2. خلال كم سنة يجب التخلص من أقمار LEO بموجب قاعدة FCC؟

    اعرض الإجابة

    5 سنوات بعد انتهاء البعثة.

  3. لماذا منع الحطام أرخص من إزالته؟

    اعرض الإجابة

    الإزالة تتطلب مركبة مخصصة لكل جسم.

  4. إلى أين تذهب أقمار GEO في نهاية عمرها؟

    اعرض الإجابة

    إلى مدار مقبرة فوق GEO.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الفضاء أكبر من أن يمتلئ.

    في الحقيقة: المدارات المفيدة محدودة ومزدحمة.

  • خرافة: الحطام الصغير غير ضار.

    في الحقيقة: الطاقة تزداد مع v².

  • خرافة: الخروج من المدار يحتاج احتراقات ضخمة.

    في الحقيقة: خفض الحضيض من 700 km يحتاج نحو 139 m/s.

بطاقات تعليمية

  • الحطام

    ملايين القطع في LEO.

  • طاقة الاصطدام

    ½mv².

  • كيسلر

    تتالي التصادمات.

  • الخروج من المدار

    خفض الحضيض.

  • المقبرة

    فوق GEO.

  • DART

    تغير في الدور قدره 32 دقيقة.

اختبار ذاتي

1. تزداد طاقة الحطام مع…

اعرض الإجابة

v². ½mv².

2. تتالي كيسلر هو…

اعرض الإجابة

تصادمات تُنتج مزيدًا من الحطام. تفاعل متسلسل.

3. قاعدة FCC للتخلص في LEO…

اعرض الإجابة

5 سنوات. FCC-22-74.

4. غيّر DART الدور بمقدار…

اعرض الإجابة

32 min. نتيجة NASA.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تذكر مكتبة مقر NASA أن هناك ملايين القطع من الخردة الفضائية في المدار الأرضي المنخفض، تتحرك بسرعة تصل إلى 18000 ميل في الساعة، أي أسرع من الرصاصة بنحو سبع مرات، مع ما يقارب 6000 طن من المواد في المدار المنخفض. وبدأ برنامج NASA للحطام المداري عام 1979 في Johnson Space Center.

تُلزم قاعدة FCC لعام 2022 مشغلي المدار الأرضي المنخفض بالتخلص من الأقمار خلال 5 سنوات من انتهاء بعثاتها. وأصبح تخطيط احتراق التخلص منذ اليوم الأول جزءًا من التصميم المسؤول للبعثات.

على Saving Planets: الحلول · رصد الأرض

المصادر: NASA Headquarters Library: Space Debris · FCC: FCC Adopts New ‘5-Year Rule’ for Deorbiting Satellites (Report and Order FCC-22-74)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Astrodynamics lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

يُجرى كل مختبر في محاكاة مجانية أو جدول بيانات، فلا توجد مخاطر مادية. خذ فترات راحة من الشاشة، واجلس بوضعية سليمة، وأبعد الكابلات عن الممرات.

مرجع السلامة: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

المختبر A: المدارات الدائرية في PhET

الأسبوع 1

الهدف: استكشف كيف تتغير سرعة المدار ودوره مع المسافة في PhET Gravity and Orbits، ثم احسب مدارات أرضية حقيقية.

vc=μ/r,  T=2πr3/μv_c=\sqrt{\mu/r},\ \ T=2\pi\sqrt{r^3/\mu}
المدارات الدائرية

الإجراء

  1. افتح PhET Gravity and Orbits؛ وأطلق القمر الصناعي على مسافات وسرعات مختلفة.
  2. أوجد السرعة التي تعطي دائرة عند كل مسافة.
  3. احسب v وT لمدار على ارتفاع 400 km، ومدار Landsat على ارتفاع 705 km، وGEO.
  4. قارن الاتجاه بالمحاكاة.

جدول البيانات

المدارv (km/s)T
400 km7.6792.6 min
705 km7.5098.9 min
GEO (35,786 km)3.0723.93 h

قيم محسوبة.

مثال حسابي

  1. v(705 km) = √(3.986 × 10¹⁴/7.083 × 10⁶) = 7.50 km/s.
  2. T(GEO) = 86,164 s = 23.93 h.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي متصفح.

PhET: Gravity and Orbits

الصلة بالكوكب: تذكر NOAA أن أقمار GOES تدور على ارتفاع 22236 ميلًا فوق خط الاستواء. NOAA NESDIS: GOES-R Series mission

المختبر B: قانون كبلر الثالث مع كواكب حقيقية

الأسبوع 3

الهدف: تحقق من T² ∝ a³ للكواكب واستكشف المدارات الإهليلجية في PhET Kepler’s Laws.

Tyr=aAU3/2T_{yr}=a_{AU}^{3/2}
قانون كبلر الثالث (الشمس)

الإجراء

  1. استكشف PhET Kepler’s Laws: غيّر الاختلاف المركزي وراقب المساحات المتساوية الممسوحة في أزمنة متساوية.
  2. أدخل أنصاف المحاور الكبرى للكواكب بوحدة AU.
  3. احسب T = a^1.5 بالسنوات.
  4. ارسم log T مقابل log a وأوجد الميل.

جدول البيانات

الكوكبa (AU)T (سنوات)
الأرض1.0001.000
المريخ1.5241.881
المشتري5.20311.87

أنصاف المحاور الكبرى قيم مرجعية؛ وميل log T مقابل log a يساوي 1.5.

مثال حسابي

  1. T(المريخ) = 1.524^1.5 = 1.881 سنة.
  2. T(المشتري) = 5.203^1.5 = 11.87 سنة.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي متصفح وجدول بيانات.

PhET: Kepler’s Laws · PhET: My Solar System

الصلة بالكوكب: وقّتت NASA مدار Dimorphos قبل DART وبعده لقياس تغير قدره 32 دقيقة. NASA: NASA Confirms DART Mission Impact Changed Asteroid’s Motion in Space (Oct. 11, 2022)

المختبر C: حاسبة انتقال هوهمان

الأسبوع 6

الهدف: أنشئ جدول بيانات يحسب الاحتراقين وΔv الكلي وزمن الانتقال لأي زوج من المدارات الدائرية.

a=r1+r22,  v2=μ(2r−1a)a=\frac{r_1+r_2}{2},\ \ v^2=\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)
مناورة هوهمان

الإجراء

  1. أدخل μ ونصفي القطرين.
  2. احسب السرعات الدائرية وسرعات مدار الانتقال والاحتراقين وزمن الانتقال.
  3. نفّذ من LEO (400 km) إلى GEO ومن LEO إلى مدار متوسط على ارتفاع 20200 km.
  4. أضف خيار تغيير المستوى للاحتراق الثاني.

جدول البيانات

الانتقالΔv₁ (km/s)Δv₂ (km/s)المجموعالزمن (h)
400 km → GEO2.3981.4563.8545.29
400 km → 20,200 km2.0121.4043.4162.98

قيم محسوبة، في مستوى واحد.

مثال حسابي

  1. Δv₁(GEO) = 10.066 − 7.669 = 2.398 km/s.
  2. الزمن(20200 km) = π√(a³/μ) = 2.98 h.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

NASA’s Eyes on the Solar System

الصلة بالكوكب: تشترط FCC التخلص من أقمار LEO خلال 5 سنوات من انتهاء البعثة. FCC: FCC Adopts New ‘5-Year Rule’ for Deorbiting Satellites (Report and Order FCC-22-74)

المختبر D: معادلة الصاروخ والمراحل

الأسبوع 8

الهدف: شاهد كيف يزداد Δv مع نسبة الكتلة وكيف تتفوق المراحل على المرحلة الواحدة.

Δv=Ispg0ln⁡m0mf\Delta v=I_{sp}g_0\ln\frac{m_0}{m_f}
معادلة الصاروخ

الإجراء

  1. اضبط I_sp = 300 s.
  2. احسب Δv لنسب كتلة 2 و4 و8.
  3. قارن مرحلة واحدة بنسبة 9 بمرحلتين بنسبة 3.
  4. أوجد نسبة الكتلة اللازمة لـ 9.4 km/s عند I_sp = 350 s.

جدول البيانات

نسبة الكتلةΔv (km/s)
22.04
44.08
86.12

قيم محسوبة؛ مرحلة واحدة بنسبة 9 ومرحلتان بنسبة 3 تعطيان Δv المثالي نفسه (6.46 km/s)، لكن الصاروخ متعدد المراحل يحتاج هيكلًا أقل بكثير لكل مرحلة.

مثال حسابي

  1. Δv(8) = 300 × 9.80665 × ln 8 = 6.12 km/s.
  2. مرحلتان بنسبة 3: 2 × 300 × 9.80665 × ln 3 = 6.46 km/s.

السلامة

  • على الحاسوب فقط. لا تبنِ صواريخ بالوقود الدافع ولا تطلقها في هذا المختبر.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

NASA Glenn: Rocket thrust

الصلة بالكوكب: أُطلقت بعثة DART التابعة لـ NASA على Falcon 9 من Vandenberg في نوفمبر 2021. NASA Science: Double Asteroid Redirection Test (DART)

المختبر E: تصميم مدار متزامن مع الشمس

الأسبوع 10

الهدف: احسب الميل المتزامن مع الشمس لعدة ارتفاعات وقارنه بـ Landsat 9.

cos⁡i=−Ω˙SS1.5nJ2(R/r)2\cos i=-\frac{\dot\Omega_{SS}}{1.5nJ_2(R/r)^2}
شرط التزامن مع الشمس

الإجراء

  1. أدخل μ وR وJ₂ والقيمة المطلوبة 0.9856°/يوم.
  2. احسب i لمدارات دائرية على ارتفاعات 500 و705 و800 km.
  3. قارن 705 km بقيمة Landsat 9 المنشورة 98.2°.
  4. ارسم i مقابل الارتفاع.

جدول البيانات

الارتفاع (km)i (درجة)
50097.40
70598.21
80098.60

قيم محسوبة؛ الميل المنشور لـ Landsat 9 هو 98.2°.

مثال حسابي

  1. n(705 km) = √(μ/7.083³ × 10¹⁸) = 1.059 × 10⁻³ rad/s.
  2. i(705) = 98.21°.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

NASA Science: Landsat 9

الصلة بالكوكب: تذكر NASA أن Landsat 9 يعبر خط الاستواء نحو الساعة 10:12 صباحًا بالتوقيت المحلي. NASA Science: Landsat 9

المختبر F: المسارات الأرضية في NASA’s Eyes

الأسبوع 11

الهدف: راقب أقمارًا حقيقية لرصد الأرض في NASA’s Eyes واحسب إزاحة مسارها الأرضي ودورة تكراره.

Δλ=360°TTsid\Delta\lambda=360°\frac{T}{T_{sid}}
انزياح المسار الأرضي

الإجراء

  1. افتح NASA’s Eyes وتابع قمرًا لرصد الأرض لبضعة مدارات.
  2. لاحظ كيف يقع كل مسار غرب سابقه.
  3. احسب الإزاحة لمدار مدته 98.87 min.
  4. أوجد عدد المدارات في 16 يومًا.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
الدورة98.87 min
الإزاحة لكل مدار24.8°
الإزاحة عند خط الاستواء2760 km
المدارات في 16 يومًا233

محسوب لمدار دائري على ارتفاع 705 km.

مثال حسابي

  1. Δλ = 360 × 5932/86,164 = 24.8°.
  2. 16 × 14.564 = 233 مدارًا.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي متصفح.

NASA’s Eyes on the Solar System

الصلة بالكوكب: تذكر NASA أن Landsat 8 و9 معًا يعيدان زيارة كل مكان كل 8 أيام. NASA Science: Landsat 9

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. أوجد السرعة الدائرية على ارتفاع 1000 km فوق الأرض.

    اعرض الحل الكامل
    1. √(3.986 × 10¹⁴/7.378 × 10⁶).

    الإجابة: 7.35 km/s.

  2. أوجد دور ذلك المدار.

    اعرض الحل الكامل
    1. 2π√(r³/μ).

    الإجابة: 105.1 min.

  3. مدار فيه r_p = 7000 km وr_a = 14000 km. أوجد e.

    اعرض الحل الكامل
    1. 7000/21,000.

    الإجابة: 0.333.

  4. أوجد السرعة عند الحضيض لذلك المدار.

    اعرض الحل الكامل
    1. √(μ(2/7 × 10⁶ − 1/1.05 × 10⁷)).

    الإجابة: 8.71 km/s.

  5. أوجد Δv اللازم لتغيير الميل بمقدار 5° عند 7.5 km/s.

    اعرض الحل الكامل
    1. 2 × 7.5 × sin 2.5°.

    الإجابة: 0.654 km/s.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. أوجد Δv عند I_sp = 320 s ونسبة كتلة 5.

    اعرض الحل الكامل
    1. 320 × 9.80665 × ln 5.

    الإجابة: 5.05 km/s.

  2. أوجد معدل العقدة عند 600 km، i = 97.8°.

    اعرض الحل الكامل
    1. −1.5nJ₂(R/r)² cos i.

    الإجابة: +0.987°/يوم.

  3. أوجد إزاحة المسار الأرضي لكل مدار لمدار مدته 100 min.

    اعرض الحل الكامل
    1. 360 × 6000/86,164.1.

    الإجابة: 25.1°.

  4. أوجد زمن انتقال هوهمان بين الأرض والزهرة (الزهرة عند 0.723 AU).

    اعرض الحل الكامل
    1. π√(a³/μ_Sun) مع a = 0.8615 AU.

    الإجابة: 146 يومًا.

  5. أوجد طاقة شظية كتلتها 10 g بسرعة 8 km/s.

    اعرض الحل الكامل
    1. ½ × 0.01 × 8000².

    الإجابة: 320 kJ.

  6. أوجد الدور الاقتراني للأرض والمشتري (11.87 سنة).

    اعرض الحل الكامل
    1. 1/(1 − 1/11.87).

    الإجابة: 1.092 سنة.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

vc=μ/r, T=2πa3/μ, vesc=2μ/rv_c=\sqrt{\mu/r},\ T=2\pi\sqrt{a^3/\mu},\ v_{esc}=\sqrt{2\mu/r}
ε=−μ/(2a), v2=μ(2/r−1/a)\varepsilon=-\mu/(2a),\ v^2=\mu(2/r-1/a)
r=(h2/μ)/(1+ecos⁡ν), e=(ra−rp)/(ra+rp)r=(h^2/\mu)/(1+e\cos\nu),\ e=(r_a-r_p)/(r_a+r_p)
M=E−esin⁡E, n=μ/a3M=E-e\sin E,\ n=\sqrt{\mu/a^3}
ΔvHohmann=(vp−vc1)+(vc2−va)\Delta v_{Hohmann}=(v_{p}-v_{c1})+(v_{c2}-v_{a})
Δv=2vsin⁡(Δi/2), Δv2=v12+v22−2v1v2cos⁡Δi\Delta v=2v\sin(\Delta i/2),\ \Delta v^2=v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\Delta i
Δv=Ispg0ln⁡(m0/mf)\Delta v=I_{sp}g_0\ln(m_0/m_f)
Ω˙=−32nJ2(R/p)2cos⁡i\dot\Omega=-\tfrac32nJ_2(R/p)^2\cos i
Δλ=360°T/Tsid\Delta\lambda=360°T/T_{sid}
v∞=vtransfer−vplanet, C3=v∞2, S=1/(1/T1−1/T2)v_\infty=v_{transfer}-v_{planet},\ C_3=v_\infty^2,\ S=1/(1/T_1-1/T_2)
Ek=12mv2E_k=\tfrac12mv^2

الثوابت

الثابتالقيمة
الأرض (قيم مرجعية)μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6378 km, J₂ = 1.0826 × 10⁻³، اليوم النجمي 86164.1 s
الشمس (قيمة مرجعية)μ = 1.327 × 10²⁰ m³/s², 1 AU = 1.496 × 10¹¹ m
مدار المريخ (قيمة مرجعية)a = 1.524 AU
الجاذبية المعياريةg₀ = 9.80665 m/s²
1 ميل1.609344 km
1 mph0.44704 m/s

المصدر: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه المحاضرات المجانية وأدلة NASA والمحاكاة إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الأوج
أبعد نقطة في المدار.
الاقتران
اقتراب بين جسمين فضائيين.
C₃
طاقة الإطلاق، مربع v∞.
الاختلاف المركزي
مدى استطالة المدار.
المدار الثابت بالنسبة للأرض
مدار استوائي دورته يوم نجمي واحد.
المسار الأرضي
مسار النقطة الواقعة مباشرة أسفل القمر الصناعي.
مناورة هوهمان
انتقال باحتراقين على قطع ناقص مماس.
الميل
ميل مستوى المدار عن خط الاستواء.
J₂
حد تفلطح الأرض.
معادلة كبلر
M = E − e sin E.
تتالي كيسلر
تفاعل متسلسل من تصادمات الحطام.
الشذوذ المتوسط
زاوية تزداد بانتظام مع الزمن.
القطوع المخروطية الموصولة
وصل القطوع المخروطية المتمركزة حول الكوكب وحول الشمس.
الحضيض
أقرب نقطة في المدار.
الدفع النوعي
الدفع لكل معدل تدفق وزن الوقود الدافع، بالثواني.
مدار متزامن مع الشمس
مدار يحافظ مستواه على زاوية ثابتة مع الشمس.
الدور الاقتراني
الزمن بين اصطفافين متكررين لجسمين يدوران.
الشذوذ الحقيقي
الزاوية من الحضيض إلى المركبة.
معادلة vis-viva
v² = μ(2/r − 1/a).
Δv
تغير السرعة الذي تتطلبه المناورة.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيرسم المدار والمناورات، ويختار معادلة vis-viva أو كبلر أو معادلة الصاروخ بشكل صحيح، ويحافظ على الوحدات بنظام SI، ويتحقق من الإجابات بالحالات الحدية.
3 · متمكنيحل التمارين مع أخطاء عرضية في الوحدات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يخلط بين السرعات الدائرية وسرعات الانتقال.
1 · مبتدئيعوّض الأرقام في الصيغ دون رسم تخطيطي؛ يحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين20%
المختبرات25%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع