الطرق العددية

حل رياضيات الهندسة على الحاسوب: خطأ التقريب، وجذور المعادلات، والأنظمة الخطية، وملاءمة المنحنيات، والمشتقات والتكاملات من البيانات، وحلول المعادلات التفاضلية العادية، والفروق المنتهية والتحسين، مع ستة مختبرات. مجاني وبالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بتنبؤات الطقس لدى NOAA وسجل CO₂ في ماونا لوا ونماذج المياه الجوفية لدى USGS.

NASA/Michael Hopkins (ISS065-E-009492, Spaceborne Computer-2 on the ISS, April 29, 2021)NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA Blue Marble

الدورات › MATH 340

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع محتواه مقررًا فصليًا في الطرق العددية للسنة الثالثة للمهندسين. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 18.330 Introduction to Numerical Analysis وMIT 2.086 Numerical Computation for Mechanical Engineers وMIT 10.34 (مجانًا على MIT OpenCourseWare)، ويستخدم أقسامًا مجانية من حساب التفاضل والتكامل في OpenStax نربطها حيث تفيد. لا يؤيد أيٌّ من هؤلاء المؤلفين أو المدارس أو الجهات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي مع مصدر عام موثّق (نظام Global Forecast System والحواسيب الفائقة لدى NOAA، وسجل CO₂ في ماونا لوا، ونماذج المياه الجوفية لدى USGS، ونماذج المناخ لدى NASA)، وكل رقم في الصفحة يُعاد حسابه بنص تحقق قبل النشر، ولكل مختبر محاكاة مجانية أو جدول بيانات.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

تنبؤات الطقس وإسقاطات المناخ وخطط المياه الجوفية كلها طرق عددية تعمل على الحواسيب: لا يمكن حل المعادلات يدويًا، لذا تُقسَّم إلى شبكات وخطوات زمنية وأنظمة خطية ضخمة.

معرفة كيف تعمل هذه الطرق وكيف تفشل هي ما يمكّن المهندسين من الحكم على تنبؤ أو نموذج. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثّق بالمصادر. القيم التي لا تأتي من مصدر موسومة بأنها قيم مثال أو قيم من الكتب المدرسية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • حساب التفاضل والتكامل I وII: المشتقات والتكاملات ومتسلسلات تايلور.
  • المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والثانية.
  • الجبر الخطي: المصفوفات والمحددات والقيم الذاتية.
  • مقدمة في البرمجة: الحلقات والدوال والمصفوفات (يصلح جدول البيانات أيضًا).

كيف تذاكر

  • قبل الحساب، قدّر الإجابة وحدد الدقة التي تحتاجها.
  • قارن دائمًا بإجابة دقيقة في مسألة اختبار قبل أن تثق بطريقة في مسألة حقيقية.
  • تتبّع الخطأ عند تنصيف الخطوة: النسبة تخبرك برتبة الطريقة.
  • استخدم وحدات النظام الدولي واكتب حجم الخطوة مع وحداته.
  • احذر من طرح أعداد متقاربة جدًا؛ أعد كتابة الصيغة إن أمكن.
  • حل كل تمرين على الورق أو في جدول بيانات قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي لمحاكاة PhET المجانية Least-Squares Regression وCurve Fitting وCalculus Grapher وProjectile Motion.
  • برنامج جداول بيانات (أي برنامج مجاني يصلح)، أو Python إن كنت تعرفها.
  • ملف بيانات CO₂ في Mauna Loa من NOAA في متصفح ويب.
  • آلة حاسبة.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1الأخطاء وأعداد الفاصلة العائمة ومتسلسلات تايلورالأخطاء، الفاصلة العائمة، متسلسلات تايلور؛ المختبر AMIT 18.330
2جذور المعادلات: التنصيف ونيوتن والقاطعالتنصيف وتكرار النقطة الثابتةMIT 18.330
3جذور المعادلات: التنصيف ونيوتن والقاطعطريقتا نيوتن والقاطع؛ المختبر BOpenStax Calculus 1، 4.9
4الأنظمة الخطية: حذف غاوس وتحليل LU والتكييفحذف غاوس وتحليل LU والتكييفMIT 2.086
5الحلول التكرارية: جاكوبي وغاوس–زايدل والتقاربجاكوبي وغاوس–زايدل والأنظمة المتناثرةMIT 18.330
6الاستيفاء والشرائح والملاءمة بالمربعات الصغرىالاستيفاء والشرائحMIT 18.330
7الاستيفاء والشرائح والملاءمة بالمربعات الصغرىالمربعات الصغرى؛ المختبر C؛ تدريب لاختبار منتصف الفصلNOAA GML
8الاشتقاق العدديالاشتقاق العدديMIT 18.330
9التكامل العدديالتكامل العددي؛ المختبر DOpenStax Calculus 2، 3.6
10المعادلات التفاضلية العادية: أويلر ورونغه–كوتا والاستقرارأويلر وهيون وRK4MIT 10.34
11المعادلات التفاضلية العادية: أويلر ورونغه–كوتا والاستقرارالاستقرار والصلابة والأنظمة؛ المختبر EMIT 10.34
12المعادلات التفاضلية الجزئية: الفروق المنتهيةالفروق المنتهية لمعادلة الحرارةMIT 2.086
13المعادلات التفاضلية الجزئية: الفروق المنتهيةلابلاس والموجات وCFL؛ المختبر FNOAA EMC
14التحسين والقيم الذاتية والحوسبة على نطاق واسعالتحسين وطريقة القوةMIT 18.330
15التحسين والقيم الذاتية والحوسبة على نطاق واسعالحوسبة على نطاق واسع والتحقق والمصادقة؛ تدريب للاختبار النهائيNOAA; NASA GISS

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوع 1

الأخطاء وأعداد الفاصلة العائمة ومتسلسلات تايلور

الخطأ المطلق والنسبي، والأرقام المعنوية، وأعداد الفاصلة العائمة IEEE 754، وإبسيلون الآلة، والتقريب والإلغاء، وخطأ البتر من متسلسلات تايلور.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب الخطأ المطلق والنسبي.
  • شرح إبسيلون الآلة في الدقة المفردة والمزدوجة.
  • اكتشاف الإلغاء الكارثي وإصلاحه.
  • تحديد خطأ البتر بالحد التالي في متسلسلة تايلور.

المفاهيم الأساسية

  • الخطأ المطلق هو |التقريبي − الدقيق|؛ والخطأ النسبي يقسم على |الدقيق|. يخبرك الخطأ النسبي بعدد الأرقام الصحيحة.
  • تخزّن الحواسيب الأعداد بالفاصلة العائمة الثنائية. للدقة المزدوجة إبسيلون آلة 2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ (نحو 16 رقمًا)؛ وللدقة المفردة 2⁻²³ ≈ 1.19 × 10⁻⁷ (نحو 7 أرقام).
  • معظم الأعداد العشرية، مثل 0.1، ليس لها تمثيل ثنائي دقيق، لذا ينتج 0.1 + 0.2 − 0.3 نحو 5.55 × 10⁻¹⁷ بدلًا من 0.
  • طرح أعداد متقاربة جدًا يُفقد أرقامًا (الإلغاء الكارثي). وإعادة كتابة الصيغة جبريًا تصلح ذلك غالبًا.
  • ينشأ خطأ البتر من قطع عملية لانهائية، مثل متسلسلة تايلور. والحد الأول المحذوف يقدّر الخطأ.

المعادلات الأساسية

erel=∣x~−x∣∣x∣e_{rel}=\frac{|\tilde x-x|}{|x|}
الخطأ النسبي
εmach=2−52≈2.22×10−16\varepsilon_{mach}=2^{-52}\approx2.22\times10^{-16}
إبسيلون الدقة المزدوجة
f(x+h)=f(x)+hf′(x)+h22f′′(x)+…f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\dots
متسلسلة تايلور
x+1−x=1x+1+x\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
تجنّب الإلغاء

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 أوجد الخطأ النسبي لـ22/7 كتقريب لـπ.

اعرض الخطوات
  1. |22/7 − π| = 0.001264.
  2. اقسم على π.

الإجابة: الخطأ النسبي = 4.02 × 10⁻⁴، أي نحو 3 أرقام صحيحة.

مثال 1.2 احسب √(10⁸ + 1) − √(10⁸) بأمان.

اعرض الخطوات
  1. الطرح المباشر يلغي معظم الأرقام.
  2. Use 1/(√(10⁸ + 1) + √(10⁸)).

الإجابة: 5.0 × 10⁻⁵ (وبدقة أكبر 4.99999999875 × 10⁻⁵).

مثال 1.3 قدّر خطأ e^0.1 ≈ 1 + 0.1.

اعرض الخطوات
  1. الحد التالي هو 0.1²/2 = 0.005.
  2. الخطأ الحقيقي هو e^0.1 − 1.1.

الإجابة: الخطأ = 0.00517، قريب من التقدير 0.005.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كم رقمًا صحيحًا تعطي الدقة المزدوجة؟

    اعرض الإجابة

    نحو 16 (ε = 2.22 × 10⁻¹⁶).

  2. أضف الحد 0.1³/6 إلى e^0.1 ≈ 1.1. ما الخطأ الجديد؟

    اعرض الإجابة

    1.71 × 10⁻⁴.

  3. لماذا لا يساوي 0.1 + 0.2 − 0.3 0 تمامًا على الحاسوب؟

    اعرض الإجابة

    ليس لـ0.1 و0.2 تمثيل ثنائي دقيق؛ والنتيجة نحو 5.55 × 10⁻¹⁷.

  4. ما إبسيلون الدقة المفردة؟

    اعرض الإجابة

    2⁻²³ = 1.19 × 10⁻⁷.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الحواسيب تجري حسابًا دقيقًا.

    في الحقيقة: كل عملية تُقرَّب إلى أقرب عدد بالفاصلة العائمة.

  • خرافة: الخطوات الأصغر تعني دائمًا خطأً أصغر.

    في الحقيقة: يزداد خطأ التقريب كلما صغرت الخطوات.

  • خرافة: الخطأ النسبي والمطلق متماثلان.

    في الحقيقة: الخطأ النسبي يقسم على المقدار الحقيقي.

بطاقات تعليمية

  • الخطأ المطلق

    |التقريبي − الدقيق|.

  • الخطأ النسبي

    الخطأ المطلق / |الدقيق|.

  • إبسيلون الآلة

    2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ في الدقة المزدوجة.

  • الإلغاء

    فقدان الأرقام عند طرح أعداد متقاربة.

  • خطأ البتر

    ينشأ من قطع عملية لانهائية.

  • الدقة المفردة

    نحو 7 أرقام.

اختبار ذاتي

1. إبسيلون الدقة المزدوجة نحو…

اعرض الإجابة

2.2 × 10⁻¹⁶. 2⁻⁵².

2. طرح أعداد متقاربة جدًا يسبب…

اعرض الإجابة

الإلغاء. أرقام مفقودة.

3. ينشأ خطأ البتر من…

اعرض الإجابة

قطع متسلسلة. التعريف.

4. الخطأ النسبي يقسم على…

اعرض الإجابة

القيمة الحقيقية. التعريف.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يصف Environmental Modeling Center لدى NOAA تشغيلًا عالميًا مقترنًا للتنبؤ بدقة مكانية نحو 3 km نفّذ ديناميكا الغلاف الجوي بدقة 32 بت وكل ما عداها بدقة 64 بت، في موازنة مقصودة بين السرعة والدقة.

هذا هو اختيار إبسيلون في هذه الوحدة عمليًا: الدقة المفردة (نحو 7 أرقام) أسرع وتستهلك نصف الذاكرة، لذا يستخدمها مطوّرو النماذج حيث يبقى الخطأ الذي تضيفه أقل من خطأ النموذج نفسه.

على Saving Planets: رصد الأرض · مقدمة في البرمجة

المصادر: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسابيع 2–3

جذور المعادلات: التنصيف ونيوتن والقاطع

الحصر بالتنصيف، وطريقة نيوتن، وطريقة القاطع، وتكرار النقطة الثابتة، ورتبة التقارب، وقواعد التوقف.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إيجاد جذر بالتنصيف والتنبؤ بعدد الخطوات.
  • تطبيق طريقة نيوتن والتعرّف على التقارب التربيعي.
  • استخدام طريقة القاطع عندما تكون المشتقة مجهولة.
  • اختيار قاعدة توقف.

المفاهيم الأساسية

  • يقسم التنصيف الفترة [a, b] التي تغيّر فيها f إشارتها إلى نصفين. وهو يتقارب دائمًا، لكن برقم ثنائي واحد في كل خطوة: n ≥ log₂((b − a)/tol).
  • تتبع طريقة نيوتن خط المماس: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n). وقرب جذر بسيط تتقارب تربيعيًا، فتضاعف الأرقام الصحيحة في كل خطوة.
  • تستبدل طريقة القاطع f′ بالميل المار بآخر نقطتين. لا تحتاج إلى مشتقة وتتقارب برتبة نحو 1.618.
  • قد تفشل طريقة نيوتن إذا كانت f′ قريبة من الصفر أو كانت البداية بعيدة؛ والرجوع إلى الحصر يجعلها آمنة.
  • توقّف عندما يكون |x_{n+1} − x_n| و|f(x_n)| كلاهما دون حد التسامح، وضع دائمًا حدًا أقصى لعدد التكرارات.

المعادلات الأساسية

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
طريقة نيوتن
xn+1=xn−f(xn)xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
طريقة القاطع
n≥log⁡2b−atoln\ge\log_2\frac{b-a}{tol}
خطوات التنصيف
∣en+1∣≈C∣en∣2|e_{n+1}|\approx C|e_n|^2
التقارب التربيعي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 استخدم التنصيف على f(x) = x³ − x − 2 في [1, 2]. أعط أول ثلاث نقاط منتصف والجذر.

اعرض الخطوات
  1. f(1) = −2, f(2) = 4.
  2. نقاط المنتصف 1.5 و1.75 و1.625.

الإجابة: الجذر x = 1.5214.

مثال 2.2 كم خطوة تنصيف تقلّص فترة عرضها 1 إلى ما دون 10⁻⁶؟

اعرض الخطوات
  1. log₂(10⁶) = 19.93.

الإجابة: 20 خطوة.

مثال 2.3 استخدم طريقة نيوتن على x² − 2 بدءًا من x₀ = 1.

اعرض الخطوات
  1. x₁ = 1.5, x₂ = 1.41667.
  2. x₃ = 1.414216.

الإجابة: x₃ = 1.414216، أي 6 أرقام صحيحة بالفعل.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. طبّق نيوتن على x³ − x − 2 بدءًا من x₀ = 1.5. ما الخطوة الأولى؟

    اعرض الإجابة

    1.52174.

  2. طبّق طريقة القاطع على x² − 2 بدءًا من 1 و2. ما أول ثلاث تكرارات؟

    اعرض الإجابة

    1.3333, 1.4000, 1.4146.

  3. ما رتبة تقارب طريقة القاطع؟

    اعرض الإجابة

    نحو 1.618.

  4. لماذا نضع حدًا أقصى لعدد التكرارات؟

    اعرض الإجابة

    قد تتباعد الطريقة أو تدور في حلقة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: طريقة نيوتن تتقارب دائمًا.

    في الحقيقة: قد تتباعد من بداية سيئة.

  • خرافة: التنصيف سريع.

    في الحقيقة: يكسب بتًا واحدًا في كل خطوة.

  • خرافة: قيمة f(x) الصغيرة تعني أن x قريب من الجذر.

    في الحقيقة: ليس إذا كانت f مسطحة جدًا.

بطاقات تعليمية

  • التنصيف

    تنصيف فترة يحدث فيها تغيّر إشارة.

  • النيوتن

    x − f/f′.

  • القاطع

    نيوتن بميل من نقطتين.

  • التقارب التربيعي

    تتضاعف الأرقام في كل خطوة.

  • فترة الحصر

    فترة فيها تغيّر إشارة.

  • قاعدة التوقف

    الخطوة والباقي دون حد التسامح.

اختبار ذاتي

1. تتقارب طريقة نيوتن…

اعرض الإجابة

تربيعيًا. قرب جذر بسيط.

2. يحتاج التنصيف إلى…

اعرض الإجابة

تغيّر في الإشارة. الحصر.

3. يتجنب القاطع…

اعرض الإجابة

المشتقة. ميل من نقطتين.

4. عدد خطوات التنصيف للوصول إلى 10⁻⁶ من عرض 1…

اعرض الإجابة

20. log₂ 10⁶.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول USGS إن MODFLOW يُعدّ معيارًا دوليًا لمحاكاة المياه الجوفية. وتستخدم إحدى نسخه، MODFLOW-NWT، صياغة نيوتن-رافسون لتحسين حل مسائل جريان المياه الجوفية غير المحصورة.

تجعل الطبقات المائية غير المحصورة المعادلات غير خطية، لأن السُمك المشبع يعتمد على منسوب الماء المطلوب حسابه. وطريقة نيوتن في هذه الوحدة هي ما يجعل تلك الحسابات تتقارب بموثوقية.

على Saving Planets: المحيطات · التفاضل والتكامل 1

المصادر: USGS: MODFLOW and Related Programs

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 4

الأنظمة الخطية: حذف غاوس وتحليل LU والتكييف

حذف غاوس مع الارتكاز الجزئي، وتحليل LU، وعدد العمليات، وعدد التكييف وكيف يحدّ من الدقة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حل نظام 3 × 3 بالحذف.
  • شرح تحليل LU وإعادة استخدامه.
  • تقدير تكلفة الحذف.
  • استخدام عدد التكييف للحكم على الدقة.

المفاهيم الأساسية

  • يختزل حذف غاوس Ax = b إلى نظام مثلثي علوي، ثم يجري التعويض الخلفي. ويبدّل الارتكاز الجزئي الصفوف لاستخدام أكبر محور، مما يضبط خطأ التقريب.
  • يخزّن تحليل LU عملية الحذف على صورة A = LU. وبعد التحليل، لا يكلّف كل طرف أيمن جديد سوى حلّين مثلثيين.
  • يكلّف الحذف نحو 2n³/3 عملية بالفاصلة العائمة: مضاعفة n تضرب العمل في 8.
  • يقيس عدد التكييف κ(A) = ‖A‖‖A⁻¹‖ الحساسية. ويمكن أن تفقد نحو log₁₀ κ رقمًا من الدقة.
  • لا تحسب A⁻¹ أبدًا لحل نظام؛ بل حلّل ثم حُلّ.

المعادلات الأساسية

A=LUA=LU
تحليل LU
cost≈23n3\text{cost}\approx\tfrac23n^3
عمليات الحذف
κ(A)=∥A∥∥A−1∥\kappa(A)=\|A\|\|A^{-1}\|
عدد الشرط
∥δx∥∥x∥≤κ∥δb∥∥b∥\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le\kappa\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}
حد الخطأ

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 حُلّ 2x + y − z = 8، −3x − y + 2z = −11، −2x + y + 2z = −3.

اعرض الخطوات
  1. احذف x من الصفين 2 و3، ثم y من الصف 3.
  2. أجرِ التعويض الخلفي.

الإجابة: x = 2, y = 3, z = −1.

مثال 3.2 قدّر تكلفة الحذف عند n = 1000.

اعرض الخطوات
  1. 2 × 1000³/3.

الإجابة: نحو 6.67 × 10⁸ عملية.

مثال 3.3 أوجد عدد التكييف بالمعيار 2 للمصفوفة [[1, 1], [1, 1.0001]].

اعرض الخطوات
  1. الصفوف شبه متوازية.
  2. κ = σ_max/σ_min.

الإجابة: κ ≈ 40,002، لذا قد يُفقد نحو 4–5 أرقام.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كم يزيد العمل عند n = 2000 مقارنة بـn = 1000؟

    اعرض الإجابة

    8 أضعاف.

  2. عمليات الحذف عند n = 3؟

    اعرض الإجابة

    2 × 27/3 = 18.

  3. لماذا الارتكاز؟

    اعرض الإجابة

    لتجنّب القسمة على أعداد صغيرة وتضخيم التقريب.

  4. كم رقمًا يُفقد عند κ = 10⁸ في الدقة المزدوجة؟

    اعرض الإجابة

    نحو 8 من 16.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: استخدام A⁻¹ لحل الأنظمة.

    في الحقيقة: حلّل ثم حُلّ؛ فذلك أرخص وأدق.

  • خرافة: المحدد الصغير يعني سوء التكييف.

    في الحقيقة: استخدم عدد التكييف.

  • خرافة: الارتكاز اختياري.

    في الحقيقة: من دونه قد يفشل الحذف أو يفقد الدقة.

بطاقات تعليمية

  • حذف غاوس

    الاختزال إلى صورة مثلثية.

  • LU

    A = LU.

  • الارتكاز

    تبديل الصفوف من أجل الاستقرار.

  • عدد الشرط

    ‖A‖‖A⁻¹‖.

  • التعويض العكسي

    حل الأنظمة المثلثية.

  • التكلفة

    ≈ 2n³/3.

اختبار ذاتي

1. يكلّف الحذف نحو…

اعرض الإجابة

2n³/3. حلقة ثلاثية.

2. يفيد LU عندما…

اعرض الإجابة

تتعدد الأطراف اليمنى. إعادة استخدام العوامل.

3. κ الكبير يعني…

اعرض الإجابة

حساس. يضخّم الأخطاء.

4. يختار الارتكاز الجزئي…

اعرض الإجابة

أكبر محور. الاستقرار.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول USGS إن من السمات الأساسية لـMODFLOW 6 قدرته على حل عدة نماذج عددية مترابطة بإحكام في نظام معادلات واحد.

جاءت خريطتها لعمق منسوب المياه الجوفية عبر الولايات المتحدة القارية من محاكاة متوازية لـ256 نطاق نموذج مترابطًا بإحكام على 256 نواة في حاسوب فائق لدى USGS. وكل نطاق نظام خطي متناثر كبير مثل أنظمة هذه الوحدة.

على Saving Planets: الجبر الخطي · المحيطات

المصادر: USGS: MODFLOW and Related Programs

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوع 5

الحلول التكرارية: جاكوبي وغاوس–زايدل والتقارب

تكرار جاكوبي وغاوس–زايدل، والهيمنة القطرية، ومصفوفة التكرار ونصف القطر الطيفي، والأنظمة المتناثرة ولماذا تتوسع الطرق التكرارية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تنفيذ خطوات جاكوبي وغاوس–زايدل.
  • اختبار الهيمنة القطرية.
  • استخدام نصف القطر الطيفي للتنبؤ بسرعة التقارب.
  • شرح سبب استخدام التكرار في الأنظمة المتناثرة الكبيرة.

المفاهيم الأساسية

  • يحدّث جاكوبي كل مجهول من التكرار السابق؛ ويستخدم غاوس–زايدل القيم الجديدة فور حسابها.
  • إذا كانت A ذات هيمنة قطرية صارمة، تتقارب الطريقتان من أي بداية.
  • يتقلص الخطأ في كل خطوة بنحو نصف القطر الطيفي ρ لمصفوفة التكرار. وغالبًا ما يكون لغاوس–زايدل ρ_GS = ρ_J².
  • تنتج الشبكات الكبيرة مصفوفات متناثرة فيها عناصر غير صفرية قليلة في كل صف. تخزّن الطرق التكرارية تلك العناصر فقط، بينما يُحدث الحذف امتلاءً.
  • توقّف عندما يكون الباقي ‖b − Ax‖ صغيرًا نسبةً إلى ‖b‖.

المعادلات الأساسية

xi(k+1)=1aii(bi−∑j≠iaijxj(k))x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\Big)
جاكوبي
∣aii∣>∑j≠i∣aij∣|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|
الهيمنة القطرية
∥ek∥≈ρk∥e0∥\|e_{k}\|\approx\rho^k\|e_0\|
معدل التقارب
r=b−Axr=b-Ax
الباقي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 نفّذ خطوتي جاكوبي على 4x + y = 1، x + 3y = 2 بدءًا من (0, 0).

اعرض الخطوات
  1. الخطوة 1: x = 1/4 = 0.25، y = 2/3 = 0.6667.
  2. الخطوة 2: x = (1 − 0.6667)/4، y = (2 − 0.25)/3.

الإجابة: x = 0.0833، y = 0.5833 (القيمة الدقيقة 0.0909، 0.6364).

مثال 4.2 نفّذ خطوتي غاوس–زايدل على النظام نفسه.

اعرض الخطوات
  1. الخطوة 1: x = 0.25، y = (2 − 0.25)/3 = 0.5833.
  2. الخطوة 2: x = 0.1042، y = 0.6319.

الإجابة: x = 0.1042، y = 0.6319، أقرب من جاكوبي.

مثال 4.3 أوجد نصفي القطر الطيفيين لجاكوبي وغاوس–زايدل لهذا النظام.

اعرض الخطوات
  1. ρ_J = √(1/12).
  2. ρ_GS = ρ_J² = 1/12.

الإجابة: ρ_J = 0.289; ρ_GS = 0.0833.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل [[4, 1], [1, 3]] ذات هيمنة قطرية؟

    اعرض الإجابة

    نعم: 4 > 1 و3 > 1.

  2. كم خطوة غاوس–زايدل (ρ = 0.0833) لتقليص الخطأ بمعامل 10⁶؟

    اعرض الإجابة

    نحو 6 (0.0833⁶ = 3.35 × 10⁻⁷).

  3. التكرار الثالث لغاوس–زايدل؟

    اعرض الإجابة

    x = 0.0920, y = 0.6360.

  4. لماذا لا نستخدم الحذف على شبكة بمليون مجهول؟

    اعرض الإجابة

    يستهلك الامتلاء ذاكرة ووقتًا أكثر مما ينبغي.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التكرار يتقارب دائمًا.

    في الحقيقة: يتطلب ρ < 1.

  • خرافة: جاكوبي وغاوس–زايدل متماثلان.

    في الحقيقة: يستخدم غاوس–زايدل القيم الجديدة فورًا.

  • خرافة: التغير الصغير بين الخطوات يعني التقارب.

    في الحقيقة: تحقق من الباقي أيضًا.

بطاقات تعليمية

  • جاكوبي

    تحديث الكل من القيم القديمة.

  • غاوس–زايدل

    استخدام القيم الجديدة فورًا.

  • نصف القطر الطيفي

    أكبر |قيمة ذاتية|.

  • الهيمنة القطرية

    |a_ii| > مجموع الصف.

  • متناثر

    معظمها أصفار.

  • الباقي

    b − Ax.

اختبار ذاتي

1. يتقارب إذا…

اعرض الإجابة

ρ < 1. يتقلص الخطأ.

2. يستخدم غاوس–زايدل…

اعرض الإجابة

أحدث القيم. التعريف.

3. المتناثر يعني…

اعرض الإجابة

معظمها أصفار. عناصر غير صفرية قليلة.

4. كافٍ للتقارب…

اعرض الإجابة

الهيمنة القطرية. مبرهنة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يقسّم GFS لدى NOAA الغلاف الجوي إلى 127 طبقة رأسية بتباعد أفقي نحو 13 km. وكل نقطة شبكة ترتبط بجيرانها فقط، لذا تكون الأنظمة التي تبنيها هذه النماذج ضخمة ومتناثرة.

بمساحة سطح أرض قياسية من الكتب المدرسية تبلغ 5.1 × 10⁸ km²، تضم شبكة 13 km نحو 3.0 ملايين عمود و383 مليون خلية. وتُعالَج أنظمة بهذا الحجم بالطرق التكرارية وغيرها من الطرق المتناثرة، لا بالحذف البسيط.

على Saving Planets: رصد الأرض · الجبر الخطي

المصادر: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوعان 6–7

الاستيفاء والشرائح والملاءمة بالمربعات الصغرى

الاستيفاء الخطي ومتعدد الحدود، وصيغة لاغرانج، وخطر كثيرات الحدود العالية الدرجة، والشرائح التكعيبية، وملاءمة خط أو كثيرة حدود بالمربعات الصغرى مع البواقي.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • الاستيفاء الخطي بين نقاط البيانات.
  • بناء كثيرة حدود لاغرانج.
  • ملاءمة خط بالمربعات الصغرى وتفسير ميله.
  • الاختيار بين الاستيفاء والملاءمة.

المفاهيم الأساسية

  • يمر الاستيفاء بالبيانات تمامًا؛ أما الملاءمة فتمر قرب البيانات المشوشة وتقلّل مجموع مربعات البواقي.
  • كثيرة الحدود من الدرجة n المارة بـn + 1 نقطة وحيدة. والدرجات العالية على نقاط متساوية التباعد قد تتذبذب بشدة قرب الأطراف (ظاهرة رونغه).
  • تربط الشرائح التكعيبية قطعًا تكعيبية متطابقة الميل والانحناء، فتعطي منحنيات ناعمة بلا تأرجحات عنيفة.
  • يحل خط المربعات الصغرى المعادلات الطبيعية AᵀAc = Aᵀy. والميل معدّل له وحدات.
  • ارسم البواقي: وجود نمط فيها يعني أن النموذج يفتقد شيئًا، مثل الانحناء.

المعادلات الأساسية

y=y0+x−x0x1−x0(y1−y0)y=y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)
الاستيفاء الخطي
p(x)=∑iyi∏j≠ix−xjxi−xjp(x)=\sum_i y_i\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
صيغة لاغرانج
ATA c=ATyA^TA\,c=A^Ty
المعادلات الطبيعية
min⁡∑iri2\min\sum_i r_i^2
المربعات الصغرى

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 المتوسطان السنويان لماونا لوا لدى NOAA هما 390.10 ppm (2010) و414.21 ppm (2020). استوفِ قيمة 2015.

اعرض الخطوات
  1. y = 390.10 + 0.5 × 24.11.

الإجابة: 402.16 ppm؛ وقيمة NOAA لعام 2015 هي 401.01، لذا ينحني السجل إلى الأعلى.

مثال 5.2 لائم خطًا بالمربعات الصغرى للقيم العقدية 1960–2020 (316.91، 325.68، 338.76، 354.45، 369.71، 390.10، 414.21 ppm).

اعرض الخطوات
  1. حُلّ المعادلات الطبيعية لإيجاد الميل والمقطع.

الإجابة: الميل 1.613 ppm في السنة؛ ويتنبأ الخط بـ415.0 ppm لعام 2025.

مثال 5.3 لائم بدلًا من ذلك دالة تربيعية في t = السنة − 1960.

اعرض الخطوات
  1. المربعات الصغرى بالأعمدة 1 وt وt².

الإجابة: c = 316.84 + 0.810t + 0.01338t²؛ وتتنبأ بـ426.0 ppm لعام 2025، قريبًا من 427.35 لدى NOAA.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. متوسط النمو 2010–2020 من القيم العقدية؟

    اعرض الإجابة

    2.41 ppm في السنة.

  2. متوسط النمو 2000–2010؟

    اعرض الإجابة

    2.04 ppm في السنة.

  3. لماذا يقلل الخط المستقيم من تقدير 2025؟

    اعرض الإجابة

    النمو يتسارع؛ والبواقي تنحني.

  4. الاستيفاء أم الملاءمة لبيانات مختبر مشوشة؟

    اعرض الإجابة

    Fit.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: كثيرات الحدود الأعلى درجة تلائم دائمًا أفضل.

    في الحقيقة: قد تتذبذب بين النقاط.

  • خرافة: قيمة R² الجيدة تعني نموذجًا جيدًا.

    في الحقيقة: تحقق من نمط البواقي.

  • خرافة: الاستكمال الخارجي آمن مثل الاستيفاء.

    في الحقيقة: إنه أخطر بكثير.

بطاقات تعليمية

  • الاستيفاء

    يمر بالبيانات تمامًا.

  • المربعات الصغرى

    تقليل مربعات البواقي.

  • الشريحة

    تكعيبية متقطعة وناعمة.

  • رونغه

    تذبذبات الملاءمات عالية الدرجة.

  • الباقي

    البيانات ناقص النموذج.

  • المعادلات الطبيعية

    AᵀAc = Aᵀy.

اختبار ذاتي

1. تقلّل المربعات الصغرى…

اعرض الإجابة

مجموع مربعات البواقي. التعريف.

2. ظاهرة رونغه هي…

اعرض الإجابة

التذبذب عند الأطراف. كثيرات حدود عالية الدرجة.

3. الشرائح هي…

اعرض الإجابة

تكعيبيات متقطعة. التعريف.

4. المعادلات الطبيعية هي…

اعرض الإجابة

AᵀAc = Aᵀy. المربعات الصغرى.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد NOAA بأن سجل ماونا لوا، الذي بدأه C. David Keeling من Scripps في مارس 1958، هو أطول سجل لقياسات CO₂ المباشرة في الغلاف الجوي. وبلغ المتوسط الشهري 426.07 ppm في سبتمبر 2026، ارتفاعًا من 424.37 ppm في سبتمبر 2025.

ارتفعت المتوسطات السنوية لدى NOAA من 316.91 ppm في 1960 إلى 427.35 ppm في 2025. ويظهر المنحنى الصاعد في بواقي هذه الوحدة: الخط المستقيم يخطئه، والدالة التربيعية تلائمه.

على Saving Planets: الحلول · رصد الأرض

المصادر: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa) · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 8

الاشتقاق العددي

الفروق الأمامية والخلفية والمركزية، وخطأ البتر فيها، والتوازن مع خطأ التقريب وأفضل حجم خطوة، والمشتقات الثانية، واستكمال ريتشاردسون.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تطبيق الفروق الأمامية والمركزية.
  • تحديد رتبة كل صيغة.
  • اختيار حجم خطوة يوازن بين البتر والتقريب.
  • تقدير مشتقة ثانية.

المفاهيم الأساسية

  • للفرق الأمامي (f(x + h) − f(x))/h خطأ يتناسب مع h (الرتبة الأولى).
  • للفرق المركزي (f(x + h) − f(x − h))/(2h) خطأ يتناسب مع h² (الرتبة الثانية)، لذا يقلّل تنصيف h الخطأ بمعامل 4.
  • يزداد خطأ التقريب مثل ε/h كلما صغر h. وأفضل h للفروق الأمامية نحو √ε ≈ 1.49 × 10⁻⁸؛ وللفروق المركزية نحو ε^(1/3) ≈ 6.06 × 10⁻⁶.
  • المشتقة الثانية هي (f(x + h) − 2f(x) + f(x − h))/h²، وهي أيضًا من الرتبة الثانية.
  • يجمع استكمال ريتشاردسون حجمي خطوة لإلغاء حد الخطأ الرئيسي.

المعادلات الأساسية

f′(x)≈f(x+h)−f(x)hf'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
الفرق الأمامي
f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2hf'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
الفرق المركزي
f′′(x)≈f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}
الفرق الثاني
hopt≈εh_{opt}\approx\sqrt{\varepsilon}
أفضل خطوة أمامية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 قدّر مشتقة sin x عند x = 1 بفرق أمامي، h = 0.1.

اعرض الخطوات
  1. (sin 1.1 − sin 1)/0.1.

الإجابة: 0.4974؛ القيمة الدقيقة cos 1 = 0.5403؛ الخطأ −0.0429.

مثال 6.2 أعد ذلك بفرق مركزي.

اعرض الخطوات
  1. (sin 1.1 − sin 0.9)/0.2.

الإجابة: 0.5394؛ الخطأ −0.00090، أصغر بنحو 47.7 مرة.

مثال 6.3 أوجد أفضل خطوة للفرق الأمامي في الدقة المزدوجة.

اعرض الخطوات
  1. h ≈ √(2.22 × 10⁻¹⁶).

الإجابة: h ≈ 1.49 × 10⁻⁸.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. نصّف h في فرق مركزي. ما الخطأ؟

    اعرض الإجابة

    نحو ¼ قدره.

  2. نصّف h في فرق أمامي. ما الخطأ؟

    اعرض الإجابة

    نحو ½ قدره.

  3. أفضل خطوة للفرق المركزي في الدقة المزدوجة؟

    اعرض الإجابة

    نحو ε^(1/3) = 6.06 × 10⁻⁶.

  4. لماذا لا نستخدم h = 10⁻¹⁵؟

    اعرض الإجابة

    يهيمن خطأ التقريب ε/h.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: h الأصغر أفضل دائمًا.

    في الحقيقة: تحت القيمة المثلى يتغلّب التقريب.

  • خرافة: الفروق الأمامية والمركزية متساوية الدقة.

    في الحقيقة: المركزي من الرتبة الثانية.

  • خرافة: اشتقاق بيانات مشوشة سهل.

    في الحقيقة: تضخّم الفروق التشويش؛ نعّم البيانات أو لائمها أولًا.

بطاقات تعليمية

  • الفرق الأمامي

    الرتبة الأولى.

  • الفرق المركزي

    الرتبة الثانية.

  • الفرق الثاني

    f(x+h) − 2f(x) + f(x−h) مقسومًا على h².

  • h الأمثل

    ≈ √ε للفرق الأمامي.

  • ريتشاردسون

    إلغاء الخطأ الرئيسي.

  • الرتبة

    أسّ h في الخطأ.

اختبار ذاتي

1. خطأ الفرق المركزي ∝…

اعرض الإجابة

h². متماثل.

2. الفرق الأمامي من الرتبة …

اعرض الإجابة

أولًا. الخطأ ∝ h.

3. أفضل h أمامي نحو…

اعرض الإجابة

√ε. التوازن.

4. التشويش في البيانات … بأخذ الفروق.

اعرض الإجابة

يتضخّم. يقسم على h.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول NOAA إن GFS ينتج مخرجات كل ساعة خلال أول 120 ساعة، ثم كل 3 ساعات للأيام 5 إلى 16. ويأخذ المتنبئون والنماذج اللاحقة فروق تلك المخرجات للحصول على معدلات مثل ميل الضغط ومعدل الهطول.

تبيّن هذه الوحدة لماذا تهم الخطوة الزمنية للمخرجات المحفوظة: المعدل المأخوذ من قيم كل 3 ساعات بفرق مركزي أدق بكثير من فرق أحادي الجانب على الفترة نفسها.

على Saving Planets: GOES-19 · التفاضل والتكامل 1

المصادر: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوع 9

التكامل العددي

قاعدتا شبه المنحرف وسيمبسون، والقواعد المركّبة ورتب الخطأ، واستكمال رومبرغ، وتربيع غاوس، وتكامل البيانات المقيسة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تطبيق قاعدتي شبه المنحرف وسيمبسون المركّبتين.
  • التنبؤ بكيفية تناقص الخطأ مع n.
  • استخدام رومبرغ لتحسين نتيجة.
  • تطبيق تربيع غاوس ذي النقطتين 2.

المفاهيم الأساسية

  • تصل قاعدة شبه المنحرف النقاط بخطوط مستقيمة. ويتناقص خطؤها مثل h²: مضاعفة n تقسمه على 4.
  • تلائم قاعدة سيمبسون قطوعًا مكافئة عبر أزواج من الفترات (n زوجي). ويتناقص خطؤها مثل h⁴: مضاعفة n تقسمه على 16.
  • استكمال رومبرغ: T₂ₙ + (T₂ₙ − Tₙ)/3 يلغي خطأ h² في قاعدة شبه المنحرف (ويساوي قاعدة سيمبسون).
  • يختار تربيع غاوس أفضل النقاط: نقطتان 2 عند ±1/√3 تكاملان التكعيبيات تمامًا.
  • للبيانات المقيسة بتباعد ثابت، طبّق قاعدة شبه المنحرف أو سيمبسون مباشرة على العينات.

المعادلات الأساسية

Tn=h[12f0+f1+⋯+fn−1+12fn]T_n=h\Big[\tfrac12f_0+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac12f_n\Big]
قاعدة شبه المنحرف
Sn=h3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\tfrac h3\big[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\big]
قاعدة سيمبسون
∫−11f≈f(−13)+f(13)\int_{-1}^{1}f\approx f(-\tfrac1{\sqrt3})+f(\tfrac1{\sqrt3})
غاوس بنقطتين 2
ET∝h2, ES∝h4E_T\propto h^2,\ E_S\propto h^4
رتب الخطأ

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 قدّر ∫₀¹ eˣ dx بقاعدة شبه المنحرف، n = 4.

اعرض الخطوات
  1. h = 0.25؛ اجمع القيم الموزونة.

الإجابة: T₄ = 1.72722؛ القيمة الدقيقة e − 1 = 1.71828؛ الخطأ 0.00894.

مثال 7.2 أعد ذلك بقاعدة سيمبسون، n = 4.

اعرض الخطوات
  1. الأوزان 1، 4، 2، 4، 1 مضروبة في h/3.

الإجابة: S₄ = 1.718319؛ الخطأ 3.70 × 10⁻⁵.

مثال 7.3 استخدم تربيع غاوس بنقطتين 2 على التكامل نفسه.

اعرض الخطوات
  1. حوّل [0, 1] إلى [−1, 1]: النقطتان 0.5 ± 0.5/√3، ووزن كل منهما ½.

الإجابة: 1.717896؛ الخطأ −3.85 × 10⁻⁴ بقيمتين 2 فقط للدالة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. خطأ شبه المنحرف عند n = 8؟

    اعرض الإجابة

    0.00224، نحو ¼ خطأ n = 4.

  2. رومبرغ من T₄ وT₈؟

    اعرض الإجابة

    1.718284.

  3. قاعدة سيمبسون عند n = 2؟

    اعرض الإجابة

    1.718861.

  4. لماذا يجب أن يكون n زوجيًا في سيمبسون؟

    اعرض الإجابة

    تستخدم أزواجًا من الفترات.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تعمل قاعدة سيمبسون مع أي n.

    في الحقيقة: يجب أن يكون n زوجيًا.

  • خرافة: زيادة النقاط تفيد دائمًا بالقدر نفسه.

    في الحقيقة: القواعد الأعلى رتبة تتحسن أسرع بكثير.

  • خرافة: يمكن أن تكون نقاط غاوس في أي مكان.

    في الحقيقة: إنها جذور ثابتة لكثيرات حدود ليجاندر.

بطاقات تعليمية

  • شبه المنحرف

    الخطأ ∝ h².

  • سيمبسون

    الخطأ ∝ h⁴.

  • رومبرغ

    استكمال نتائج شبه المنحرف.

  • تربيع غاوس

    نقاط وأوزان مثلى.

  • القاعدة المركّبة

    التطبيق على فترات جزئية كثيرة.

  • n زوجي

    ضروري لسيمبسون.

اختبار ذاتي

1. خطأ سيمبسون ∝…

اعرض الإجابة

h⁴. الرتبة الرابعة.

2. مضاعفة n في قاعدة شبه المنحرف تقسم الخطأ على…

اعرض الإجابة

4. h².

3. غاوس بنقطتين 2 دقيق لـ…

اعرض الإجابة

التكعيبيات. الدرجة 2n − 1.

4. يلغي رومبرغ…

اعرض الإجابة

الخطأ الرئيسي. الاستكمال.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح NOAA أن كل متوسط شهري في ماونا لوا هو متوسط متوسطات يومية، وهذه بدورها مبنية على متوسطات ساعية، باستخدام الساعات ذات ظروف «الخلفية» فقط.

المتوسط تكامل مقسوم على الفترة، لذا فإن بناء المتوسطات الشهرية من القيم الساعية تكامل عددي، أي فكرة شبه المنحرف من هذه الوحدة مطبّقة على قياسات حقيقية.

على Saving Planets: التفاضل والتكامل 2 · الحلول

المصادر: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوعان 10–11

المعادلات التفاضلية العادية: أويلر ورونغه–كوتا والاستقرار

طريقة أويلر، وطريقة هيون، ورونغه–كوتا من الرتبة الرابعة، والخطأ المحلي والكلي، وحدود الاستقرار، والمعادلات الصلبة والطرق الضمنية، وأنظمة المعادلات التفاضلية العادية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • التقدّم بمعادلة تفاضلية عادية بطريقتي أويلر وRK4.
  • ربط حجم الخطوة بالخطأ الكلي.
  • إيجاد حد الاستقرار الصريح لـy′ = −λy.
  • التعرّف على المسائل الصلبة.

المفاهيم الأساسية

  • لطريقة أويلر y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) خطأ كلي يتناسب مع h (الرتبة الأولى).
  • تستخدم رونغه–كوتا من الرتبة الرابعة (RK4) أربع عينات للميل في كل خطوة؛ ويتناقص خطؤها الكلي مثل h⁴.
  • بالنسبة لـy′ = −λy، تكون طريقة أويلر الصريحة مستقرة فقط إذا كان h < 2/λ. وخارج ذلك ينمو الحل العددي مع أن الحل الحقيقي يضمحل.
  • للمسائل الصلبة أجزاء سريعة جدًا وأخرى بطيئة جدًا. وتبقى الطرق الضمنية مثل أويلر الخلفية مستقرة بخطوات كبيرة.
  • تتحول المعادلات التفاضلية العادية ذات الرتب الأعلى إلى أنظمة من الرتبة الأولى تحلّها الطرق نفسها.

المعادلات الأساسية

yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
أويلر
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1}=y_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
RK4
h<2λh<\frac{2}{\lambda}
استقرار أويلر لـy′ = −λy
yn+1=yn+hf(tn+1,yn+1)y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1})
أويلر الخلفية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 حُلّ y′ = −y، y(0) = 1 حتى t = 1 بطريقة أويلر، h = 0.1.

اعرض الخطوات
  1. كل خطوة تضرب في 0.9.
  2. y(1) ≈ 0.9¹⁰.

الإجابة: 0.34868 مقابل القيمة الدقيقة 0.36788؛ الخطأ −0.0192.

مثال 8.2 نفّذ خطوة RK4 واحدة بـh = 0.1 على المسألة نفسها.

اعرض الخطوات
  1. k₁ = −1, k₂ = −0.95, k₃ = −0.9525, k₄ = −0.90475.

الإجابة: y(0.1) = 0.9048375 مقابل القيمة الدقيقة 0.9048374.

مثال 8.3 تبرد قهوة وفق T′ = −0.1(T − 20) من 90 °C (قيم مثال). استخدم أويلر بـh = 1 min لمدة 10 min.

اعرض الخطوات
  1. في كل خطوة يتقلص T − 20 بمعامل 0.9.

الإجابة: 44.41 °C مقابل القيمة الدقيقة 45.75 °C.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أويلر بـh = 0.05 حتى t = 1 على y′ = −y؟

    اعرض الإجابة

    0.95²⁰ = 0.35849، والخطأ نحو النصف.

  2. حد الاستقرار لـy′ = −50y بطريقة أويلر؟

    اعرض الإجابة

    h < 0.04.

  3. خطوة هيون واحدة بـh = 0.1 على y′ = −y؟

    اعرض الإجابة

    0.905.

  4. كيف تحل y″ = −y بهذه الطرق؟

    اعرض الإجابة

    اكتبها على صورة y′ = v، v′ = −y.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الخطوة الأصغر مستقرة دائمًا.

    في الحقيقة: فقط دون الحد، ويزداد التقريب مع كثرة الخطوات.

  • خرافة: RK4 دقيقة تمامًا.

    في الحقيقة: خطؤها صغير لكنه ليس صفرًا.

  • خرافة: الطرق الضمنية أبطأ دائمًا.

    في الحقيقة: في المسائل الصلبة تكون أسرع بكثير إجمالًا.

بطاقات تعليمية

  • أويلر

    صريحة من الرتبة الأولى.

  • RK4

    الرتبة الرابعة، 4 ميول.

  • الاستقرار

    الأخطاء لا تنمو.

  • صلب

    مقاييس سريعة وبطيئة معًا.

  • أويلر الخلفية

    ضمنية، مستقرة جدًا.

  • النظام

    رتبة أعلى → رتبة أولى.

اختبار ذاتي

1. الخطأ الكلي لأويلر ∝…

اعرض الإجابة

h. الرتبة الأولى.

2. تستخدم RK4 … ميول.

اعرض الإجابة

4. من k₁ إلى k₄.

3. أويلر مستقرة لـy′ = −λy إذا…

اعرض الإجابة

h < 2/λ. التضخيم |1 − hλ| < 1.

4. المسائل الصلبة تفضّل…

اعرض الإجابة

الطرق الضمنية. الاستقرار.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول NOAA إن GFS يعمل أربع مرات يوميًا ويتنبأ حتى 16 يومًا مقدمًا. وتصف صفحة EMC أيضًا تشغيلًا بحثيًا مقترنًا بدقة 3 km استغرق نحو 40,000 ثانية من وقت الحاسوب لكل تنبؤ مدته 24 ساعة، باستخدام 233 عقدة.

هذا نحو 11.1 ساعة حوسبة لكل يوم تنبؤ، أي أن النموذج عمل أسرع من الزمن الحقيقي بنحو 2.16 مرة فقط. وكل تنبؤ حلٌّ بخطوات زمنية لمعادلات تفاضلية عادية وجزئية، والخطوة المستقرة هي ما يحدد التكلفة.

على Saving Planets: المعادلات التفاضلية · GOES-19

المصادر: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسابيع 12–13

المعادلات التفاضلية الجزئية: الفروق المنتهية

الشبكات والقوالب، ومعادلة الحرارة الصريحة وحد استقرارها، والمخططات الضمنية ومخطط كرانك–نيكلسون، ومعادلة لابلاس وحلها التكراري، وشرط CFL للموجات، وتكلفة الدقة.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • كتابة قوالب الفروق المنتهية لمعادلتي الحرارة ولابلاس.
  • تطبيق حد الاستقرار الصريح r ≤ ½.
  • شرح شرط CFL.
  • تقدير كيف تنمو التكلفة مع الدقة.

المفاهيم الأساسية

  • استبدل المشتقات بفروق على شبكة. بالنسبة لـu_t = αu_xx، المخطط الصريح هو u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n) حيث r = αΔt/Δx².
  • مخطط الحرارة الصريح مستقر فقط إذا كان r ≤ ½، لذا فإن تنصيف Δx يجبر Δt على النقصان بمعامل 4.
  • المخططات الضمنية ومخطط كرانك–نيكلسون مستقرة لأي Δt لكنها تحتاج إلى حل خطي في كل خطوة.
  • تعطي معادلة لابلاس u_xx + u_yy = 0 قالبًا من 5 نقاط؛ ويحلها جاكوبي أو غاوس–زايدل (الوحدة 4).
  • للموجات والجريان، يربط شرط CFL c Δt/Δx ≤ 1 الخطوة الزمنية بتباعد الشبكة. وتحسين شبكة أفقية 2D بمعامل k يكلّف نحو k² أضعاف الأعمدة وk أضعاف الخطوات الزمنية.

المعادلات الأساسية

r=αΔtΔx2≤12r=\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12
استقرار الحرارة الصريح
ui,j=14(ui+1,j+ui−1,j+ui,j+1+ui,j−1)u_{i,j}=\tfrac14(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1})
لابلاس بـ5 نقاط
cΔtΔx≤1\frac{c\Delta t}{\Delta x}\le1
شرط CFL
cost∝k3\text{cost}\propto k^3
التحسين الأفقي بمعامل k

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 أوجد أكبر خطوة زمنية صريحة مستقرة لـα = 1.0 × 10⁻⁴ m²/s وΔx = 0.01 m (قيم مثال).

اعرض الخطوات
  1. Δt ≤ 0.5Δx²/α.

الإجابة: Δt ≤ 0.5 s.

مثال 9.2 تخطط NOAA لتحسين GFS من 13 km إلى 9 km. قدّر التغير في عدد الأعمدة الأفقية.

اعرض الخطوات
  1. (13/9)².

الإجابة: نحو 2.09 ضعف الأعمدة.

مثال 9.3 مع خطوة زمنية محدودة بشرط CFL، قدّر الزيادة الكلية في التكلفة.

اعرض الخطوات
  1. (13/9)³.

الإجابة: نحو 3.01 ضعف العمل.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. نصّف Δx في مخطط الحرارة الصريح. ما الحد الجديد لـΔt؟

    اعرض الإجابة

    ¼ قدره.

  2. عدد الأعمدة على شبكة عالمية بدقة 13 km (الأرض 5.1 × 10⁸ km²، قيمة الكتب المدرسية)؟

    اعرض الإجابة

    نحو 3.02 مليون.

  3. عدد الخلايا مع 127 طبقة؟

    اعرض الإجابة

    نحو 3.83 × 10⁸.

  4. عدد الخلايا بدقة 9 km مع 127 طبقة؟

    اعرض الإجابة

    نحو 8.0 × 10⁸.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: أي خطوة زمنية تصلح إذا كانت الشبكة دقيقة.

    في الحقيقة: الشبكات الأدق تتطلب خطوات صريحة أصغر.

  • خرافة: المخططات الضمنية أدق دائمًا.

    في الحقيقة: إنها أكثر استقرارًا، لا أدق تلقائيًا.

  • خرافة: مضاعفة الدقة تضاعف التكلفة.

    في الحقيقة: في 2D مع الزمن تكون نحو 8×.

بطاقات تعليمية

  • القالب

    نمط النقاط المجاورة.

  • r

    αΔt/Δx².

  • CFL

    cΔt/Δx ≤ 1.

  • كرانك–نيكلسون

    ضمني، من الرتبة الثانية.

  • اللابلاسي بـ5 نقاط

    متوسط الجيران.

  • تكلفة الدقة

    ≈ k³ لتحسين بمعامل k.

اختبار ذاتي

1. استقرار الحرارة الصريح…

اعرض الإجابة

r ≤ ½. فون نويمان.

2. يربط CFL…

اعرض الإجابة

Δt وΔx. سرعة المعلومات.

3. يستخدم قالب لابلاس … نقاط.

اعرض الإجابة

5. المركز + 4.

4. كرانك–نيكلسون…

اعرض الإجابة

مستقر دون شروط. متوسط ضمني.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

كان الهدف من ترقية الحواسيب الفائقة لدى NOAA في 2023 تمكين GFS من الانتقال إلى دقة أفقية تبلغ تسعة كيلومترات، مقارنةً بـ13 في النسخة الحالية، كي تُرى الظواهر الأصغر حجمًا وتُحاكى.

يبيّن قياس هذه الوحدة لماذا احتاج ذلك إلى حواسيب جديدة: 2.09 ضعف الأعمدة، ومع خطوة زمنية محدودة بشرط CFL، نحو 3 أضعاف العمل لكل تنبؤ.

على Saving Planets: ميكانيكا الموائع · الديناميكا الحرارية

المصادر: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسبوعان 14–15

التحسين والقيم الذاتية والحوسبة على نطاق واسع

البحث بالنسبة الذهبية، والانحدار التدرجي وطريقة نيوتن للتصغير، وطريقة القوة للقيم الذاتية، وعدد العمليات، والحوسبة المتوازية، والتحقق من النماذج والمصادقة عليها.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تصغير دالة 1D بالبحث بالنسبة الذهبية.
  • تطبيق الانحدار التدرجي واختيار خطوة.
  • إيجاد قيمة ذاتية مهيمنة بطريقة القوة.
  • تقدير زمن التشغيل من عدد العمليات وسرعة الآلة.

المفاهيم الأساسية

  • يقلّص البحث بالنسبة الذهبية الفترة بمعامل 0.618 في كل خطوة دون مشتقات.
  • يتجه الانحدار التدرجي نحو الأسفل: x ← x − α∇f. وقيمة α الكبيرة جدًا تتباعد؛ والصغيرة جدًا تزحف.
  • تحل طريقة نيوتن للتصغير ∇f = 0 باستخدام مصفوفة هيس؛ وتتقارب تربيعيًا قرب القيمة الصغرى.
  • تضرب طريقة القوة في A مرارًا؛ فيصطف المتجه مع المتجه الذاتي المهيمن، ويعطي حاصل رايلي قيمته الذاتية.
  • يسأل التحقق هل يحل الكود المعادلات بشكل صحيح؛ وتسأل المصادقة هل هي المعادلات الصحيحة، بمقارنتها بالرصد.

المعادلات الأساسية

τ=5−12≈0.618\tau=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618
معامل النسبة الذهبية
xk+1=xk−α∇f(xk)x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)
الانحدار التدرجي
λ≈vTAvvTv\lambda\approx\frac{v^TAv}{v^Tv}
حاصل رايلي
t=flopsflop ratet=\frac{\text{flops}}{\text{flop rate}}
زمن التشغيل

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 بكم يقلّص البحث بالنسبة الذهبية الفترة في 10 خطوات؟

اعرض الخطوات
  1. 0.618¹⁰.

الإجابة: إلى 0.0081 (0.81%) من عرضها.

مثال 10.2 صغّر f = (x − 3)² بالانحدار التدرجي مع α = 0.1 بدءًا من x = 0. أين تكون بعد 5 خطوات؟

اعرض الخطوات
  1. في كل خطوة يتقلص x − 3 بمعامل 0.8.
  2. x₅ = 3(1 − 0.8⁵).

الإجابة: x₅ = 2.017.

مثال 10.3 طبّق طريقة القوة على [[2, 1], [1, 2]] من (1, 0)، 5 خطوات.

اعرض الخطوات
  1. v = (122, 121).
  2. حاصل رايلي.

الإجابة: λ ≈ 2.99997 (القيمة الدقيقة 3).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. كم يستغرق حل كثيف بـ10,000 مجهول (2n³/3 flops) بسرعة 14.5 بيتافلوبس؟

    اعرض الإجابة

    6.67 × 10¹¹/1.45 × 10¹⁶ = 4.6 × 10⁻⁵ s.

  2. السرعة المجمّعة لحاسوبَي NOAA بقدرة 14.5 بيتافلوبس لكل منهما؟

    اعرض الإجابة

    29 بيتافلوبس.

  3. القدرة التشغيلية مع البحثية (20 بيتافلوبس)؟

    اعرض الإجابة

    49 بيتافلوبس.

  4. تحقق أم مصادقة: مقارنة نموذج ببيانات ماونا لوا؟

    اعرض الإجابة

    مصادقة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: الخطوة الأكبر تسرّع الانحدار التدرجي دائمًا.

    في الحقيقة: قد يتجاوز الهدف ويتباعد.

  • خرافة: طريقة القوة تجد كل القيم الذاتية.

    في الحقيقة: المهيمنة فقط.

  • خرافة: الكود المتقارب نموذج صحيح.

    في الحقيقة: لا يزال يحتاج إلى مصادقة.

بطاقات تعليمية

  • النسبة الذهبية

    تتقلص الفترة بمعامل 0.618.

  • الانحدار التدرجي

    x − α∇f.

  • طريقة القوة

    القيمة الذاتية المهيمنة.

  • حاصل رايلي

    vᵀAv/vᵀv.

  • التحقق

    حل المعادلات بشكل صحيح.

  • التحقق

    حل المعادلات الصحيحة.

اختبار ذاتي

1. تقلّص النسبة الذهبية بمعامل…

اعرض الإجابة

0.618. النسبة الذهبية.

2. تجد طريقة القوة…

اعرض الإجابة

القيمة الذاتية المهيمنة. ضرب متكرر.

3. تقارن المصادقة بـ…

اعرض الإجابة

الرصد. اختبار الواقع.

4. يتحرك الانحدار التدرجي…

اعرض الإجابة

نزولًا. −∇f.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد NOAA بأن حاسوبيها الفائقين التوأمين للطقس والمناخ، Dogwood في ماناساس بولاية فرجينيا وCactus في فينيكس بولاية أريزونا، رُقّيا في أغسطس 2023 إلى 14.5 بيتافلوبس لكل منهما، فيستطيع نظام التنبؤ معًا معالجة 29 كوادريليون عملية حسابية في الثانية. ومع آلات بحثية مجموعها 20 بيتافلوبس، تبلغ قدرة NOAA 49 بيتافلوبس، ويعمل على النظام أكثر من 20 نموذجًا تشغيليًا للتنبؤ العددي بالطقس.

يتيح NASA GISS مجانًا كود نموذجه لنظام الأرض ModelE، ويُحدَّث تحليله لحرارة السطح GISTEMP نحو اليوم 10 من كل شهر. ويتيح الكود والبيانات المفتوحة لأي شخص التحقق من الطرق العددية وراء علم المناخ والمصادقة عليها.

على Saving Planets: الحلول · مقدمة في البرمجة

المصادر: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · NASA GISS: نموذج نظام الأرض GISS، ModelE · NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Computation lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

يُجرى كل مختبر في محاكاة مجانية أو جدول بيانات، فلا توجد مخاطر مادية. خذ فترات راحة من الشاشة، واجلس بوضعية سليمة، وأبعد الكابلات عن الممرات.

مرجع السلامة: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

المختبر A: إبسيلون الآلة ومتسلسلة تايلور في جدول بيانات

الأسبوع 1

الهدف: أوجد إبسيلون الآلة تجريبيًا وراقب متسلسلة تايلور تتقارب إلى e.

e≈∑k=0n−11k!e\approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}
متسلسلة تايلور لـe

الإجراء

  1. في عمود، ابدأ من 1 ونصّف في كل صف.
  2. في العمود التالي، اختبر هل 1 + القيمة > 1.
  3. آخر قيمة تجتاز الاختبار هي إبسيلون الآلة.
  4. اجمع 1/k! لـ5 و10 حدود وقارن بـe.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
إبسيلون الآلة (مزدوجة)2.22 × 10⁻¹⁶
e، 5 حدود2.70833
e، 10 حدود2.7182815
e2.7182818

قيم محسوبة؛ تستخدم معظم جداول البيانات الدقة المزدوجة.

مثال حسابي

  1. التنصيف 52 مرة يعطي 2⁻⁵² = 2.22 × 10⁻¹⁶.
  2. 1 + 1 + ½ + ⅙ + 1/24 = 2.70833.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

MIT OpenCourseWare 18.330 Introduction to Numerical Analysis (ربيع 2012)

الصلة بالكوكب: تصف NOAA تشغيل تنبؤ تكون فيه الديناميكا بدقة 32 بت وكل ما عداها بدقة 64 بت. NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

المختبر B: التنصيف مقابل نيوتن

الأسبوع 3

الهدف: حل cos x = x بالتنصيف وبطريقة نيوتن، وعدّ الأرقام الصحيحة في كل خطوة.

xn+1=xn−cos⁡xn−xn−sin⁡xn−1x_{n+1}=x_n-\frac{\cos x_n-x_n}{-\sin x_n-1}
نيوتن لـcos x − x = 0

الإجراء

  1. احصر الجذر في [0, 1].
  2. نفّذ 20 خطوة تنصيف في جدول بيانات.
  3. شغّل نيوتن من x₀ = 1.
  4. ارسم log₁₀ للخطأ مقابل رقم الخطوة لكليهما.

جدول البيانات

خطوة نيوتنx
10.750364
20.739113
30.739085133
40.739085133

قيم محسوبة. يحتاج التنصيف إلى نحو 20 خطوة لـ6 أرقام؛ ويحتاج نيوتن إلى 3.

مثال حسابي

  1. x₁ = 1 − (cos 1 − 1)/(−sin 1 − 1) = 0.750364.
  2. الجذر 0.7390851.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

OpenStax Calculus Volume 1، 4.9 طريقة نيوتن

الصلة بالكوكب: تقول USGS إن MODFLOW-NWT يستخدم صياغة نيوتن–رافسون لجريان المياه الجوفية غير المحصورة. USGS: MODFLOW and Related Programs

المختبر C: ملاءمة سجل CO₂ في ماونا لوا

الأسبوع 7

الهدف: لائم نموذجًا خطيًا وآخر تربيعيًا مع المتوسطات السنوية لماونا لوا من NOAA واحكم عليهما ببواقيهما.

ATA c=ATyA^TA\,c=A^Ty
المربعات الصغرى

الإجراء

  1. استكشف PhET Least-Squares Regression وCurve Fitting لترى كيف تتغير البواقي مع النموذج.
  2. افتح ملف المتوسطات السنوية من NOAA وانسخ قيم العقود 1960–2020.
  3. لائم خطًا مستقيمًا ودالة تربيعية (LINEST في جدول البيانات أو خط الاتجاه).
  4. تنبأ بقيمة 2025 وقارنها بقيمة NOAA البالغة 427.35 ppm.

جدول البيانات

النموذجالمعامل الرئيسيتنبؤ 2025 (ppm)
المستقيمالميل 1.613 ppm/سنة415.0
تربيعي0.01338 ppm/سنة²426.0
NOAA 2025—427.35

البيانات من NOAA GML؛ الملاءمات محسوبة.

مثال حسابي

  1. يقلل الخط تقدير 2025 بمقدار 12.3 ppm.
  2. التربيعي ضمن 1.3 ppm.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

PhET: Least-Squares Regression · PhET: Curve Fitting · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

الصلة بالكوكب: تفيد NOAA بأن المتوسط الشهري في ماونا لوا كان 426.07 ppm في سبتمبر 2026. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

المختبر D: شبه المنحرف مقابل سيمبسون

الأسبوع 9

الهدف: كامل sin x من 0 إلى π بالقاعدتين، ونصّف الخطوة وقِس رتبة الخطأ.

∫0πsin⁡x dx=2\int_0^{\pi}\sin x\,dx=2
تكامل الاختبار

الإجراء

  1. استخدم PhET Calculus Grapher لترى المساحة تحت منحنى.
  2. أنشئ أعمدة لـx وsin x وأوزان القاعدتين.
  3. احسب T وS لـn = 4، ثم n = 8.
  4. أوجد نسب الخطأ.

جدول البيانات

القاعدة، n = 4التقديرالخطأ
شبه المنحرف1.89612−0.10388
سيمبسون2.00456+0.00456

قيم محسوبة؛ المضاعفة إلى n = 8 تقلل الخطأين بمعاملي 4.03 و16.9، قريبًا من القيمتين النظريتين 4 و16.

مثال حسابي

  1. T₄ = (π/4)(sin π/4 + sin π/2 + sin 3π/4) = 1.89612.
  2. S₄ = (π/12)(4 sin π/4 + 2 sin π/2 + 4 sin 3π/4) = 2.00456.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

PhET: Calculus Grapher · OpenStax Calculus Volume 2، 3.6 التكامل العددي

الصلة بالكوكب: تبني NOAA كل متوسط شهري في ماونا لوا من متوسطات يومية مبنية على متوسطات ساعية. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

المختبر E: رتب خطأ أويلر وRK4

الأسبوع 11

الهدف: حل y′ = −y حتى t = 1 بعدة أحجام خطوة وتأكد من التقارب من الرتبتين الأولى والرابعة.

y(1)=e−1=0.367879y(1)=e^{-1}=0.367879
الإجابة الدقيقة

الإجراء

  1. أنشئ عمود أويلر لـh = 0.2 و0.1 و0.05.
  2. أنشئ كتلة RK4 لـh = 0.2 و0.1.
  3. سجّل الخطأ عند t = 1.
  4. قارن نسب الخطأ عند تنصيف h؛ ثم جرّب الحلّال نفسه على حالة انعدام السحب في PhET Projectile Motion.

جدول البيانات

الطريقة، hالخطأ عند t = 1
أويلر، 0.2−0.0402
أويلر، 0.1−0.0192
أويلر، 0.05−0.00939
RK4, 0.25.80 × 10⁻⁶
RK4, 0.13.33 × 10⁻⁷

قيم محسوبة. يتنصف خطأ أويلر مع h؛ ويهبط خطأ RK4 بنحو 17 (قرب 2⁴ = 16).

مثال حسابي

  1. أويلر h = 0.1: 0.9¹⁰ − e⁻¹ = −0.0192.
  2. نسبة RK4 5.80 × 10⁻⁶/3.33 × 10⁻⁷ = 17.4.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

PhET: Projectile Motion · MIT OpenCourseWare 10.34 Numerical Methods Applied to Chemical Engineering (خريف 2015)

الصلة بالكوكب: يعمل GFS لدى NOAA أربع مرات يوميًا ويتنبأ حتى 16 يومًا مقدمًا. NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

المختبر F: معادلة الحرارة وحد استقرارها

الأسبوع 13

الهدف: طبّق مخطط الحرارة الصريح على قضيب فيه بقعة ساخنة وشاهد ما يحدث فوق r = ½.

uin+1=uin+r(ui+1n−2uin+ui−1n)u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)
المخطط الصريح

الإجراء

  1. ضع 7 عقد طرفاها عند 0 والعقدة الوسطى عند 100 (قيم مثال).
  2. تقدّم بـr = 0.25 لـ10 خطوات.
  3. كرر مع r = 0.6.
  4. صف النتيجتين.

جدول البيانات

الحالةالقيمة الوسطى بعد خطوة 1بعد 10 خطوات
r = 0.2550.016.7
r = 0.6−20.0290.5

قيم محسوبة. مع r = 0.6 تتذبذب القيم وتنمو: المخطط غير مستقر.

مثال حسابي

  1. r = 0.25: 100 + 0.25(0 − 200 + 0) = 50.
  2. r = 0.6: 100 + 0.6(−200) = −20.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

MIT OpenCourseWare 2.086 Numerical Computation for Mechanical Engineers (خريف 2014)

الصلة بالكوكب: خططت NOAA لنقل GFS من دقة 13 km إلى 9 km بعد ترقية 2023. NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023)

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. أوجد الخطأ النسبي لـ3.14 كتقريب لـπ.

    اعرض الحل الكامل
    1. |3.14 − π|/π.

    الإجابة: 5.07 × 10⁻⁴.

  2. نفّذ خطوتي نيوتن على x² − 5 من x₀ = 2.

    اعرض الحل الكامل
    1. x₁ = 2 − (−1)/4.
    2. x₂ = 2.25 − 0.0625/4.5.

    الإجابة: x₁ = 2.25; x₂ = 2.23611.

  3. كم خطوة تنصيف تقلّص فترة عرضها 4 إلى ما دون 10⁻³؟

    اعرض الحل الكامل
    1. log₂(4000) = 11.97.

    الإجابة: 12 خطوة.

  4. كم يزيد عمل الحذف لـn = 500 عن n = 100؟

    اعرض الحل الكامل
    1. (500/100)³.

    الإجابة: 125 مرة.

  5. استكمل داخليًا CO₂ في ماونا لوا لعام 2023 من متوسطي NOAA السنويين لعامي 2020 (414.21) و2025 (427.35).

    اعرض الحل الكامل
    1. 414.21 + 0.6 × 13.14.

    الإجابة: 422.09 ppm (قيمة NOAA لعام 2023 هي 421.08).

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. قدّر ∫₀² x² dx بقاعدة شبه المنحرف، n = 2.

    اعرض الحل الكامل
    1. h = 1: 0.5 × 0 + 1 + 0.5 × 4.

    الإجابة: 3 (القيمة الدقيقة 2.667).

  2. كرر بقاعدة سيمبسون، n = 2.

    اعرض الحل الكامل
    1. (1/3)(0 + 4 + 4).

    الإجابة: 2.667، دقيق لدالة تربيعية.

  3. نفّذ خطوتي أويلر بـh = 0.1 على y′ = −2y، y(0) = 1.

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.8².

    الإجابة: 0.64 (القيمة الدقيقة 0.670).

  4. أوجد أكبر خطوة زمنية صريحة للحرارة لـα = 2 × 10⁻⁵ m²/s، Δx = 0.005 m.

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.5 × 0.005²/2 × 10⁻⁵.

    الإجابة: 0.625 s.

  5. قدّر مشتقة eˣ عند 0 بالفرق المركزي، h = 0.01.

    اعرض الحل الكامل
    1. (e^0.01 − e^−0.01)/0.02.

    الإجابة: 1.0000167.

  6. بكم يقلّص البحث بالنسبة الذهبية الفترة في 20 خطوة؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.618²⁰.

    الإجابة: إلى 6.6 × 10⁻⁵ من عرضها.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

erel=∣x~−x∣/∣x∣, εmach=2−52e_{rel}=|\tilde x-x|/|x|,\ \varepsilon_{mach}=2^{-52}
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn), n≥log⁡2((b−a)/tol)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n),\ n\ge\log_2((b-a)/tol)
A=LU, cost≈23n3, κ=∥A∥∥A−1∥A=LU,\ \text{cost}\approx\tfrac23n^3,\ \kappa=\|A\|\|A^{-1}\|
∥ek∥≈ρk∥e0∥\|e_k\|\approx\rho^k\|e_0\|
ATAc=ATyA^TAc=A^Ty
f′≈(f(x+h)−f(x−h))/(2h), hopt≈εf'\approx(f(x+h)-f(x-h))/(2h),\ h_{opt}\approx\sqrt{\varepsilon}
Tn: E∝h2, Sn: E∝h4T_n:\ E\propto h^2,\ S_n:\ E\propto h^4
yn+1=yn+hf, h<2/λy_{n+1}=y_n+hf,\ h<2/\lambda
r=αΔt/Δx2≤12, cΔt/Δx≤1r=\alpha\Delta t/\Delta x^2\le\tfrac12,\ c\Delta t/\Delta x\le1
xk+1=xk−α∇f, λ≈vTAv/vTvx_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f,\ \lambda\approx v^TAv/v^Tv

الثوابت

الثابتالقيمة
الدقة المزدوجة (IEEE 754)إبسيلون الآلة 2⁻⁵² = 2.22 × 10⁻¹⁶، نحو 16 رقمًا معنويًا
الدقة المفردة (IEEE 754)إبسيلون الآلة 2⁻²³ = 1.19 × 10⁻⁷، نحو 7 أرقام معنوية
e2.718281828
π3.141592654
مساحة سطح الأرض (قيمة الكتب المدرسية)5.1 × 10⁸ km²
1 بيتافلوب10¹⁵ عملية فاصلة عائمة في الثانية

المصدر: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه المحاضرات وأقسام الكتب والمحاكاة المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الخطأ المطلق
مقدار الفرق عن القيمة الحقيقية.
التنصيف
إيجاد الجذور بتنصيف فترة يتغير فيها الإشارة.
شرط CFL
حد الخطوة الزمنية cΔt/Δx ≤ 1.
الإلغاء الكارثي
فقدان الأرقام عند طرح أعداد متقاربة.
عدد الشرط
مقدار تضخيم المسألة لأخطاء المدخلات.
كرانك–نيكلسون
مخطط زمني ضمني من الرتبة الثانية.
الهيمنة القطرية
كل عنصر قطري يفوق بقية صفه.
تربيع غاوس
تكامل بنقاط وأوزان مثلى.
غاوس–زايدل
حلّال تكراري يستخدم القيم الجديدة فورًا.
تحليل LU
A = LU، حذف قابل لإعادة الاستخدام.
المربعات الصغرى
ملاءمة تصغّر مجموع مربعات البواقي.
إبسيلون الآلة
الفجوة بين 1 والعدد العائم التالي.
طريقة نيوتن
إيجاد الجذور على امتداد المماسات.
طريقة القوة
ضرب متكرر لإيجاد القيمة الذاتية المهيمنة.
رونغ–كوتا (RK4)
حلّال معادلات تفاضلية عادية من الرتبة الرابعة.
قاعدة سيمبسون
تكامل من الرتبة الرابعة بالقطوع المكافئة.
الشريحة
منحنى تكعيبي أملس متعدد القطع.
معادلة صلبة
معادلة تفاضلية عادية بأجزاء سريعة جدًا وبطيئة جدًا.
خطأ البتر
خطأ ناتج عن قطع عملية لانهائية.
التحقق
فحص نموذج مقابل الرصد.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيختار طريقة تناسب الدقة المطلوبة، ويختبرها على مسألة معلومة الإجابة، ويقيس رتبتها، ويشرح حدود استقرارها.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع هفوات عرضية في حجم الخطوة أو الوحدات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه لا يميّز خطأ القطع من خطأ التقريب.
1 · مبتدئيطبّق الصيغ دون التحقق من الخطأ أو الاستقرار؛ ويحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين20%
المختبرات25%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع