ميكانيكا الموائع

كيف تتدفق السوائل والغازات: خواص الموائع واللزوجة، والضغط والطفو، وبرنولي ومعادلة الطاقة بدلالة العلو، وكمية الحركة على النفثات والريش والتوربينات، ومعادلات نافييه–ستوكس والتدفقات الدقيقة، والتحليل البعدي واختبار النماذج، واحتكاك الأنابيب وفواقدها، والمضخات ومنحنيات النظام، والسحب على الأجسام، والتدفق في القنوات المفتوحة، مع ستة مختبرات. مجاني وبالسرعة التي تناسبك، ومرتبط بالطاقة الكهرومائية والتخزين بالضخ والطاقة البحرية وتسربات المياه والتيارات المحيطية وتوربينات الرياح.

CNES (PIA25623)NASA (STS102-357-031, March 18, 2001)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)NASA Blue Marble

الدورات › ENGR 330

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقررًا فصليًا في ميكانيكا الموائع للسنة الثالثة. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 2.06 Fluid Dynamics وMIT 1.060 Engineering Mechanics II (وكلاهما مجاني على MIT OpenCourseWare)، وعلى مقررات مثل Purdue ME 309 وGeorgia Tech CEE 3040، مستخدمًا فصل الموائع المجاني في OpenStax University Physics ومحاكاة PhET، ونضع روابطها حيث تفيد. لا يؤيد أي من هؤلاء المؤلفين أو الجامعات هذه الصفحة.

ما نضيفه: كل وحدة مرتبطة بعمل حقيقي مع مصدر عام موثق (الطاقة الكهرومائية، والتخزين بالضخ، والطاقة البحرية، وتسربات المياه المنزلية، والدوران المحيطي، وتوربينات الرياح)، وكل رقم في الصفحة يعاد حسابه ببرنامج تحقق قبل نشره، ولكل مختبر محاكاة مجانية أو نسخة منزلية آمنة.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

يحمل الماء والهواء المتحركان معظم الطاقة المتجددة في العالم: الأنهار عبر توربينات الطاقة الكهرومائية، والرياح عبر شفرات التوربينات، والمد والجزر والأمواج إلى أجهزة الطاقة البحرية. وتحدد ميكانيكا الموائع أيضًا مقدار الطاقة اللازمة لضخ المياه إلى المدن والمزارع، ومقدار ما يضيع بالتسرب والاحتكاك.

تنقل التيارات المحيطية الحرارة حول الكوكب وتشكّل المناخ. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثق المصادر. القيم التي لا تأتي من مصدر معلّمة على أنها قيم توضيحية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • التفاضل والتكامل III: المشتقات الجزئية والتباعد والتكاملات المتعددة.
  • المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية من الرتبتين الأولى والثانية.
  • الاستاتيكا والديناميكا: مخططات الجسم الحر وقوانين نيوتن وكمية الحركة.
  • الديناميكا الحرارية تساعد في معادلة الطاقة لكنها ليست مطلوبة.

كيف تذاكر

  • ابدأ كل مسألة برسم: حجم تحكم أو خط انسياب أو مخطط جسم حر للمائع.
  • اكتب المعادلة الحاكمة بالكلمات أولًا (الكتلة أو كمية الحركة أو الطاقة)، ثم احذف الحدود التي يمكنك تبرير حذفها.
  • اعمل بالعلو (أمتار من المائع) في أنظمة السوائل؛ فهو يسهّل مقارنة المضخات والأنابيب والتوربينات.
  • احسب عدد رينولدز قبل اختيار علاقة للاحتكاك أو السحب.
  • تحقق من الوحدات والحالات الحدية: التدفق الصفري يعني فقدًا صفريًا؛ ومضاعفة السرعة تضاعف الفواقد المضطربة أربع مرات تقريبًا.
  • حل كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي لمحاكاة PhET المجانية Density وBuoyancy وUnder Pressure وFluid Pressure and Flow.
  • زجاجة بلاستيكية شفافة، ومسمار أو سيخ، ومسطرة، وشريط لاصق.
  • ميزان مطبخ، وإبريق قياس، ودلو، وساعة إيقاف.
  • خرطوم حديقة أو صنبور حوض.
  • برنامج جداول بيانات لمختبرات الأنابيب والمضخات.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1خواص الموائع: الكثافة واللزوجة والتوتر السطحيخواص الموائع، اللزوجة، التوتر السطحيOpenStax UP1 14.1, 14.7
2استاتيكا الموائع والمانومترات والطفوالهيدروستاتيكا والمانومتراتUP1 14.2
3استاتيكا الموائع والمانومترات والطفوالقوى على السطوح المغمورة، الطفو، الاستقرار؛ المختبر AUP1 14.4
4برنولي وعلو الضغط ومعادلة الطاقةالاستمرارية، برنولي، العلو، معادلة الطاقة؛ المختبر BUP1 14.5–14.6
5كمية الحركة التكاملية: النفثات والريش والأكواع والتوربيناتمبرهنة رينولدز للنقل، كمية الحركة، النفثات، الريش، بلتونMIT 2.06
6التحليل التفاضلي: الاستمرارية ونافييه–ستوكس والتدفقات الدقيقةالكينماتيكا، الاستمرارية، دالة الانسيابMIT 2.06
7التحليل التفاضلي: الاستمرارية ونافييه–ستوكس والتدفقات الدقيقةنافييه–ستوكس، كويت وبوازوي؛ المختبر C؛ تدريب لامتحان منتصف الفصلMIT 2.25
8التحليل البعدي والتشابه واختبار النماذجالتحليل البعدي والتشابهMIT 1.060
9التدفق في الأنابيب: الاحتكاك ومخطط مودي والفواقد الثانويةالتدفق الطباقي والمضطرب في الأنابيب، مخطط موديMIT 1.060
10التدفق في الأنابيب: الاحتكاك ومخطط مودي والفواقد الثانويةالفواقد الثانوية، الشبكات؛ المختبر DMIT 1.060
11المضخات والتوربينات وأنظمة الضخالمضخات، منحنيات النظام، قوانين التشابه، التوربينات؛ المختبر Fأنظمة الضخ لدى DOE
12التدفق الخارجي: الطبقات الحدية والسحب والرفعالطبقات الحدية، السحب، تدفق ستوكسNASA Glenn
13التدفق الخارجي: الطبقات الحدية والسحب والرفعالرفع، طاقة الرياح، حد بيتز؛ المختبر ENASA Glenn; DOE wind
14التدفق في القنوات المفتوحة: الأنهار والقنوات والقفزات الهيدروليكيةالقنوات المفتوحة، عدد فرود، مانينغMIT 1.060
15التدفق في القنوات المفتوحة: الأنهار والقنوات والقفزات الهيدروليكيةالطاقة النوعية، القفزات الهيدروليكية، الهدارات؛ تدريب للامتحان النهائيMIT 1.060

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوع 1

خواص الموائع: الكثافة واللزوجة والتوتر السطحي

ما الذي يجعل المادة مائعًا، وافتراض الاستمرارية، والكثافة والوزن النوعي، والضغط، واللزوجة وقانون نيوتن للزوجة، واللزوجة الكينماتيكية، والموائع غير النيوتونية، والتوتر السطحي والارتفاع الشعري، وضغط البخار والتكهف.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تعريف المائع واستخدام افتراض الاستمرارية.
  • استخدام قانون نيوتن للزوجة لإيجاد إجهاد القص.
  • حساب الارتفاع الشعري من التوتر السطحي.
  • شرح كيف تولّد فروق الكثافة التدفقات.

المفاهيم الأساسية

  • يتشوه المائع باستمرار تحت أي إجهاد قص مهما صغر. ومعاملته كوسط متصل تتيح تعريف الكثافة والسرعة والضغط عند كل نقطة.
  • الكثافة ρ (kg/m³) والوزن النوعي SG = ρ/ρ_water. للماء عند 20 °C كثافة ρ = 998 kg/m³؛ وللهواء عند 15 °C ‏1.225 kg/m³.
  • قانون نيوتن للزوجة: إجهاد القص τ = μ du/dy. تقيس اللزوجة الديناميكية μ مقاومة القص؛ واللزوجة الكينماتيكية ν = μ/ρ. الماء أكثر لزوجة من الهواء بنحو 56 مرة لكن قيمة ν له أقل بنحو 15 مرة.
  • للموائع غير النيوتونية (الطلاء والدم ومعجون الأسنان) لزوجة تتغير مع معدل القص.
  • يشد التوتر السطحي σ أسطح السوائل؛ وفي أنبوب رفيع يرتفع الماء h = 4σ cos θ/(ρgD). وإذا انخفض الضغط الموضعي إلى ضغط البخار يغلي السائل: إنه التكهف، الذي يتلف المضخات والمراوح.

المعادلات الأساسية

τ=μdudy\tau=\mu\frac{du}{dy}
قانون نيوتن للزوجة
ν=μρ\nu=\frac{\mu}{\rho}
اللزوجة الحركية
SG=ρρwaterSG=\frac{\rho}{\rho_{water}}
الوزن النوعي
h=4σcos⁡θρgDh=\frac{4\sigma\cos\theta}{\rho gD}
الارتفاع الشعري

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 يملأ ماء (μ = 1.002 × 10⁻³ kg/(m·s)) فجوة عرضها 1 mm بين لوح ثابت ولوح يتحرك بسرعة 2 m/s. أوجد إجهاد القص.

اعرض الخطوات
  1. du/dy = 2/0.001 = 2000 s⁻¹.
  2. τ = 1.002 × 10⁻³ × 2000.

الإجابة: τ = 2.00 Pa.

مثال 1.2 أوجد الارتفاع الشعري للماء (σ = 0.0728 N/m، θ = 0) في أنبوب زجاجي قطره 1 mm.

اعرض الخطوات
  1. h = 4 × 0.0728/(998 × 9.81 × 0.001).

الإجابة: h = 29.7 mm.

مثال 1.3 أوجد ν للماء عند 20 °C.

اعرض الخطوات
  1. ν = 1.002 × 10⁻³/998.

الإجابة: ν = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد الوزن النوعي SG لماء البحر (1025 kg/m³).

    اعرض الإجابة

    1025/998 = 1.027.

  2. أوجد الارتفاع الشعري في أنبوب قطره 0.5 mm.

    اعرض الإجابة

    الضعف: 59.5 mm.

  3. أوجد μ_water/μ_air.

    اعرض الإجابة

    1.002 × 10⁻³/1.789 × 10⁻⁵ = 56.0.

  4. ما الجزء من جبل الجليد الذي يطفو تحت ماء البحر؟

    اعرض الإجابة

    917/1025 = 89.5%.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: اللزوجة والكثافة شيء واحد.

    في الحقيقة: العسل لزج؛ والزئبق كثيف لكنه غير لزج كثيرًا.

  • خرافة: تقاوم الموائع القص مثل المواد الصلبة.

    في الحقيقة: إنها تتدفق تحت أي إجهاد قص.

  • خرافة: التكهف يحتاج إلى درجة حرارة عالية.

    في الحقيقة: يكفي الضغط المنخفض.

بطاقات تعليمية

  • المائع

    يتشوه باستمرار تحت القص.

  • اللزوجة

    τ = μ du/dy.

  • اللزوجة الحركية

    ν = μ/ρ.

  • الوزن النوعي

    ρ/ρ_water.

  • الارتفاع الشعري

    4σ cos θ/(ρgD).

  • التكهف

    الغليان عند ضغط منخفض.

اختبار ذاتي

1. إجهاد القص في مائع نيوتوني هو…

اعرض الإجابة

μ du/dy. قانون نيوتن للزوجة.

2. اللزوجة الكينماتيكية هي…

اعرض الإجابة

μ/ρ. ν = μ/ρ.

3. يزداد الارتفاع الشعري عندما يكون الأنبوب…

اعرض الإجابة

أضيق. h ∝ 1/D.

4. يحدث التكهف عندما ينخفض الضغط إلى…

اعرض الإجابة

ضغط البخار. غليان موضعي.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح NOAA أن الرياح تحرك التيارات المحيطية في الـ100 متر العليا، أما التيارات العميقة على أعماق آلاف الأمتار فتحركها فروق كثافة الماء التي تتحكم فيها درجة الحرارة والملوحة: الدوران الحراري الملحي.

في المناطق القطبية يتكون الجليد البحري تاركًا الملح خلفه، فيصبح الماء المحيط أكثر ملوحة وكثافة ويغوص؛ ويتدفق الماء السطحي ليحل محله، فيبدأ الحزام الناقل العالمي. والكثافة، أول خاصية في هذه الوحدة، تنقل الحرارة حول الكوكب كله.

على Saving Planets: المحيطات · رصد الأرض

المصادر: NOAA National Ocean Service: Thermohaline circulation

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسابيع 2–3

استاتيكا الموائع والمانومترات والطفو

الضغط عند نقطة، ومعادلة الهيدروستاتيكا، والضغط المقياسي والمطلق، والمانومترات، والقوى الهيدروستاتيكية على السطوح المستوية المغمورة ومركز الضغط، والقوى على السطوح المنحنية، ومبدأ أرخميدس، واستقرار الأجسام الطافية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب الضغط على عمق وقراءة المانومترات.
  • إيجاد القوة المحصلة ومركز الضغط على بوابة مغمورة.
  • تطبيق مبدأ أرخميدس.
  • الحكم على استقرار جسم طافٍ.

المفاهيم الأساسية

  • يؤثر الضغط عند نقطة بالتساوي في جميع الاتجاهات. في مائع ساكن dp/dz = −ρg، لذا مع كثافة ثابتة p = p₀ + ρgh عند العمق h. ويُقاس الضغط المقياسي نسبةً إلى الغلاف الجوي.
  • توازن المانومترات أعمدة من الموائع: تتبع الأنبوب مضيفًا ρgh عند النزول وطارحًا إياه عند الصعود.
  • على سطح مستوٍ تكون القوة المحصلة F = ρg h_c A (حيث h_c عمق المركز الهندسي). وتؤثر عند مركز الضغط، أسفل المركز الهندسي: y_cp = y_c + I_xc/(y_c A).
  • على السطوح المنحنية، المركبة الأفقية هي القوة على الإسقاط الرأسي، والمركبة الرأسية هي وزن المائع فوق السطح.
  • أرخميدس: قوة الطفو تساوي وزن المائع المزاح، F_B = ρ_fluid g V_displaced. ويكون الجسم الطافي مستقرًا إذا كان مركزه المتري فوق مركز ثقله.

المعادلات الأساسية

p=p0+ρghp=p_0+\rho gh
الضغط الهيدروستاتيكي
F=ρghcAF=\rho g h_cA
القوة على سطح مستوٍ
ycp=yc+IxcycAy_{cp}=y_c+\frac{I_{xc}}{y_cA}
مركز الضغط
FB=ρfgVdispF_B=\rho_f gV_{disp}
قوة الطفو

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 أوجد الضغط المقياسي على عمق 10 m تحت سطح ماء عذب (ρ = 998 kg/m³).

اعرض الخطوات
  1. p = 998 × 9.81 × 10.

الإجابة: p = 97.9 kPa (نحو ضغط جوي واحد).

مثال 2.2 بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m وارتفاعها 3 m حافتها العليا عند سطح الماء. أوجد القوة وعمق مركز الضغط.

اعرض الخطوات
  1. h_c = 1.5 m; A = 6 m².
  2. F = 998 × 9.81 × 1.5 × 6 = 88.1 kN.
  3. I_xc = 2 × 3³/12 = 4.5 m⁴; y_cp = 1.5 + 4.5/(1.5 × 6).

الإجابة: F = 88.1 kN تؤثر على عمق 2.0 m تحت السطح (ثلثا العمق).

مثال 2.3 مانومتر زئبقي (ρ = 13600 kg/m³) موصول عبر أنبوب ماء يُظهر فرقًا قدره 0.1 m. أوجد فرق الضغط.

اعرض الخطوات
  1. Δp = (13600 − 1000) × 9.81 × 0.1 (ماء فوق الزئبق، ρ_water ≈ 1000 kg/m³).

الإجابة: Δp = 12.4 kPa.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد قوة الطفو على جسم حجمه 2 L مغمور كليًا في الماء (ρ ≈ 1000 kg/m³).

    اعرض الإجابة

    1000 × 9.81 × 0.002 = 19.6 N.

  2. ما الضغط المطلق على عمق 10 m إذا كان p_atm = 101.3 kPa؟

    اعرض الإجابة

    199.2 kPa.

  3. هل تعتمد القوة على السد على طول الخزان؟

    اعرض الإجابة

    لا؛ تعتمد فقط على العمق ومساحة الجدار.

  4. لماذا يقع مركز الضغط أسفل المركز الهندسي؟

    اعرض الإجابة

    يزداد الضغط مع العمق.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: يعتمد الضغط على شكل الوعاء.

    في الحقيقة: يعتمد على العمق فقط (المفارقة الهيدروستاتيكية).

  • خرافة: يعتمد الطفو على وزن الجسم.

    في الحقيقة: يعتمد على الحجم المزاح.

  • خرافة: تؤثر القوة على البوابة عند مركزها.

    في الحقيقة: تؤثر عند مركز الضغط، في موضع أدنى.

بطاقات تعليمية

  • الهيدروستاتيكا

    p = p₀ + ρgh.

  • الضغط المقياسي

    نسبةً إلى الغلاف الجوي.

  • القوة على سطح مستوٍ

    ρg h_c A.

  • مركز الضغط

    y_c + I/(y_c A).

  • أرخميدس

    F_B = ρgV.

  • الاستقرار

    المركز المتري فوق G.

اختبار ذاتي

1. الضغط على العمق h هو…

اعرض الإجابة

ρgh. الهيدروستاتيكا (مقياسي).

2. قوة الطفو تساوي…

اعرض الإجابة

وزن المائع المزاح. أرخميدس.

3. لبوابة رأسية تبدأ من السطح، يقع مركز الضغط عند…

اعرض الإجابة

ثلثي العمق. حمل مثلثي.

4. يكون الجسم الطافي مستقرًا إذا كان…

اعرض الإجابة

M فوق G. المركز المتري.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تشير وزارة الطاقة الأمريكية إلى أن في الولايات المتحدة أكثر من 90000 سد، وأن أقل من 3% منها ينتج الكهرباء؛ والبقية تخدم الترفيه وبرك المزارع ومكافحة الفيضانات وإمدادات المياه والري. وكل واحد منها مصمم بمعادلات هذه الوحدة: حمل الماء على السد يزداد مع مربع العمق ويؤثر في الجزء السفلي من الجدار.

وتصف الوزارة أكثر محطات الطاقة الكهرومائية شيوعًا، وهي منشأة الحجز، بأنها سد يخزن مياه النهر في خزان؛ ويدير الماء المطلق عبر توربين مولدًا، ويمكن أن تخدم الإطلاقات أيضًا مكافحة الفيضانات والترفيه ومرور الأسماك وجودة المياه. وضغط الماء المخزن على السد وعلوه عند التوربين يأتيان مباشرة من p = ρgh.

على Saving Planets: الاستاتيكا · المحيطات

المصادر: U.S. DOE: Types of hydropower plants

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 4

برنولي وعلو الضغط ومعادلة الطاقة

خطوط الانسياب وتصوير التدفق، والاستمرارية Q = AV، ومعادلة برنولي وحدودها، وعلو الضغط والسرعة والارتفاع، وخط الطاقة، وقانون تورشيلي، ومعادلة الطاقة للتدفق المستقر مع علو المضخة والتوربين والفواقد، وإنتاج الطاقة الكهرومائية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تطبيق الاستمرارية وبرنولي على طول خط انسياب.
  • العمل بالعلو: الضغط والسرعة والارتفاع.
  • استخدام معادلة الطاقة مع علو المضخة والتوربين والفواقد.
  • حساب القدرة الكهرومائية وقدرة الضخ.

المفاهيم الأساسية

  • في التدفق المستقر غير القابل للانضغاط، يكون التدفق الحجمي Q = AV واحدًا عند كل مقطع من الأنبوب (الاستمرارية).
  • برنولي على طول خط انسياب (مستقر، عديم اللزوجة، غير قابل للانضغاط): p/(ρg) + V²/(2g) + z = ثابت. وكل حد هو علو بالأمتار.
  • تورشيلي: النفث الخارج من خزان على عمق h سرعته V = √(2gh).
  • تضيف الأنظمة الحقيقية مضخات وتوربينات وتفقد طاقة بالاحتكاك: p₁/(ρg) + V₁²/(2g) + z₁ + h_pump = p₂/(ρg) + V₂²/(2g) + z₂ + h_turbine + h_L.
  • القدرة من العلو: P = ρgQH. توصل التوربينات P = ηρgQH؛ وتحتاج المضخات P = ρgQH/η. وتشير الوزارة إلى أن إنتاج الطاقة الكهرومائية يعتمد على التدفق والعلو.

المعادلات الأساسية

Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2
الاتصال
pρg+V22g+z=const\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=\text{const}
برنولي بدلالة العلو
V=2ghV=\sqrt{2gh}
تورشيلي
P=ηρgQHP=\eta\rho gQH
الطاقة الكهرومائية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 أوجد سرعة النفث من ثقب يقع 5 m تحت سطح خزان.

اعرض الخطوات
  1. V = √(2 × 9.81 × 5).

الإجابة: V = 9.90 m/s.

مثال 3.2 لمحطة كهرومائية Q = 50 m³/s وعلو H = 100 m وكفاءة كلية 0.9 (قيم توضيحية؛ ρ = 1000 kg/m³). أوجد القدرة.

اعرض الخطوات
  1. P = 0.9 × 1000 × 9.81 × 50 × 100.

الإجابة: P = 44.1 MW، أي محطة «كبيرة» وفق تعريف الوزارة البالغ 30 MW.

مثال 3.3 ترفع مضخة 0.05 m³/s من الماء مسافة 20 m مع فواقد أنابيب قدرها 5 m وكفاءة 75%. أوجد القدرة الداخلة.

اعرض الخطوات
  1. h_pump = 20 + 5 = 25 m.
  2. P = 1000 × 9.81 × 0.05 × 25/0.75.

الإجابة: P = 16.4 kW.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ينقل خرطوم 0.4 L/s عبر قطر داخلي 20 mm إلى فوهة قطرها 10 mm. أوجد السرعتين.

    اعرض الإجابة

    1.27 m/s و5.09 m/s.

  2. حوّل 200 kPa إلى أمتار من علو الماء.

    اعرض الإجابة

    200,000/(1000 × 9.81) = 20.4 m.

  3. ضاعِف علو محطة كهرومائية عند Q نفسه. ما القدرة؟

    اعرض الإجابة

    تتضاعف.

  4. لماذا يقرأ أنبوب بيتو قيمة أعلى من فتحة الضغط الساكن؟

    اعرض الإجابة

    لأنه يضيف علو السرعة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: ينطبق برنولي عبر المضخة.

    في الحقيقة: استخدم معادلة الطاقة مع h_pump.

  • خرافة: التدفق الأسرع يعني ضغطًا أعلى.

    في الحقيقة: على طول خط انسياب، الأسرع يعني ضغطًا ساكنًا أقل.

  • خرافة: العلو ضغط.

    في الحقيقة: إنه طاقة لكل وحدة وزن، بالأمتار.

بطاقات تعليمية

  • الاتصال

    Q = AV.

  • برنولي

    p/ρg + V²/2g + z = ثابت.

  • تورشيلي

    V = √(2gh).

  • معادلة الطاقة

    تضيف h_pump وh_turbine وh_L.

  • الطاقة الكهرومائية

    P = ηρgQH.

  • قدرة المضخة

    ρgQH/η.

اختبار ذاتي

1. علو السرعة هو…

اعرض الإجابة

V²/(2g). الطاقة الحركية لكل وحدة وزن.

2. تنصيف مساحة الأنبوب يضاعف…

اعرض الإجابة

السرعة. الاستمرارية.

3. القدرة الكهرومائية تتناسب مع…

اعرض الإجابة

Q × H. P = ηρgQH.

4. سرعة نفث تورشيلي هي…

اعرض الإجابة

√(2gh). برنولي من الخزان إلى النفث.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح وزارة الطاقة الأمريكية أن الطاقة الكهرومائية تعتمد على الطاقة الحركية للماء المتدفق، وأن الطاقة المتاحة تعتمد على حجم التدفق والتغير في الارتفاع، أي العلو: كلما زاد التدفق وارتفع العلو أمكن توليد مزيد من الكهرباء. يتدفق الماء عبر أنبوب الضغط ويدير توربينًا متصلًا بمولد.

وتصنف الوزارة المحطات حسب الحجم: كهرومائية كبيرة فوق 30 MW، وصغيرة من 100 kW إلى 10 MW، وميكروية حتى 100 kW، وهي تكفي لمنزل واحد أو مزرعة أو قرية. وتتيح P = ηρgQH تحديد حجم أي منها من قياس للتدفق ومسح للانحدار.

على Saving Planets: الحلول · الديناميكا الحرارية

المصادر: U.S. DOE: How hydropower works · U.S. DOE: Types of hydropower plants

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوع 5

كمية الحركة التكاملية: النفثات والريش والأكواع والتوربينات

مبرهنة رينولدز للنقل، ومعادلة كمية الحركة الخطية لأحجام التحكم، وقوى النفثات على الألواح والريش، والقوى على أكواع الأنابيب والفوهات، وأحجام التحكم المتحركة، وتوربينات الدفع (عجلات بلتون)، ومعادلة كمية الحركة الزاوية للآلات التوربينية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ذكر مبرهنة رينولدز للنقل.
  • تطبيق معادلة كمية الحركة على النفثات والريش.
  • تحليل ريشة متحركة وعجلة بلتون.
  • استخدام كمية الحركة الزاوية لعزم التوربينات والمضخات.

المفاهيم الأساسية

  • مبرهنة رينولدز للنقل: معدل تغير خاصية لنظام مائع = معدل التغير داخل حجم التحكم + صافي التدفق الخارج عبر سطحه.
  • كمية الحركة الخطية المستقرة: ΣF = Σṁ_out V_out − Σṁ_in V_in (متجهات). أدرج قوى الضغط على المقاطع المقطوعة وقوة الإسناد.
  • نفث سرعته V وتدفقه Q يصطدم مباشرة بلوح مستوٍ يؤثر بقوة F = ρQV. وريشة تحرف النفث بزاوية θ تؤثر بقوة F = ρQV(1 − cos θ) على امتداد النفث.
  • لريشة تتحرك بسرعة U، استخدم السرعة النسبية (V − U). تحرف دلاء عجلة بلتون النفث بنحو 180°؛ وتكون القدرة F·U أكبر ما يمكن عند U = V/2.
  • كمية الحركة الزاوية: العزم = ṁ(r₂V_θ2 − r₁V_θ1) (معادلة أويلر للآلات التوربينية)، وهي أساس تصميم المضخات والتوربينات.

المعادلات الأساسية

∑F=∑m˙Vout−∑m˙Vin\sum\mathbf F=\sum\dot m\mathbf V_{out}-\sum\dot m\mathbf V_{in}
كمية الحركة المستقرة
F=ρQV(1−cos⁡θ)F=\rho QV(1-\cos\theta)
قوة النفث المحرَف
F=ρQ(V−U)(1−cos⁡β)F=\rho Q(V-U)(1-\cos\beta)
الريشة المتحركة
T=m˙(r2Vθ2−r1Vθ1)T=\dot m(r_2V_{\theta2}-r_1V_{\theta1})
معادلة أويلر للآلات التوربينية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 نفث ماء قطره 50 mm بسرعة 20 m/s يصطدم مباشرة بلوح مستوٍ. أوجد القوة.

اعرض الخطوات
  1. A = π × 0.05²/4 = 1.963 × 10⁻³ m².
  2. F = ρAV² = 1000 × 1.963 × 10⁻³ × 400.

الإجابة: F = 785 N.

مثال 4.2 يُحرف النفث نفسه بزاوية 120° بريشة ثابتة. أوجد القوة على امتداد النفث.

اعرض الخطوات
  1. F = ρAV²(1 − cos 120°) = 785 × 1.5.

الإجابة: F = 1178 N.

مثال 4.3 دلو بلتون يتحرك بسرعة 15 m/s يستقبل نفثًا قدره 0.01 m³/s بسرعة 30 m/s ويحرفه بزاوية 165°. أوجد القوة والقدرة.

اعرض الخطوات
  1. F = 1000 × 0.01 × (30 − 15)(1 − cos 165°) = 294.9 N.
  2. P = F × U.

الإجابة: F = 294.9 N؛ P = 4.42 kW (يحمل النفث ½ρQV² = 4.5 kW).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. عند أي سرعة للدلاء تعطي عجلة بلتون أكبر قدرة؟

    اعرض الإجابة

    نصف سرعة النفث.

  2. ضاعِف سرعة النفث عند المساحة نفسها. ما القوة على اللوح؟

    اعرض الإجابة

    4 أضعاف.

  3. سمِّ القوى في موازنة كمية الحركة لكوع أنبوب.

    اعرض الإجابة

    قوى الضغط عند المدخل والمخرج، والوزن، وقوة الإسناد.

  4. لماذا تُقسم دلاء بلتون من المنتصف؟

    اعرض الإجابة

    لتحرف النفث بنحو 180° دون أن يصطدم بالدلو التالي.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تعتمد القوة على اللوح على حجم اللوح.

    في الحقيقة: لنفث محرَف كليًا، تعتمد على ρQV فقط.

  • خرافة: ترى الريشة المتحركة سرعة النفث كاملة.

    في الحقيقة: إنها ترى V − U.

  • خرافة: كمية الحركة كمية قياسية.

    في الحقيقة: إنها متجه؛ حلّلها إلى مركبات.

بطاقات تعليمية

  • RTT

    معدل النظام = معدل حجم التحكم + صافي التدفق الخارج.

  • كمية الحركة

    ΣF = Σṁ V_out − Σṁ V_in.

  • اللوح

    ρQV.

  • الريشة

    ρQV(1 − cos θ).

  • بلتون

    الأفضل عند U = V/2.

  • توربين أويلر

    T = ṁ Δ(rV_θ).

اختبار ذاتي

1. قوة النفث على لوح مستوٍ هي…

اعرض الإجابة

ρQV. تدفق كمية الحركة.

2. حرف النفث بزاوية 180° يعطي قوة قدرها…

اعرض الإجابة

2ρQV. 1 − cos 180° = 2.

3. أفضل نسبة U/V لعجلة بلتون هي…

اعرض الإجابة

0.5. تجعل (V − U)U أكبر ما يمكن.

4. تعطي معادلة أويلر للآلة التوربينية…

اعرض الإجابة

العزم. كمية الحركة الزاوية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح وزارة الطاقة الأمريكية أن التخزين الكهرومائي بالضخ يعمل كبطارية عملاقة: عندما يكون الطلب منخفضًا يضخ الماء إلى خزان علوي، وعندما يرتفع الطلب يعود الماء نازلًا عبر توربين. وتفيد الوزارة بأن التخزين بالضخ يمثل 88% من كل تخزين الطاقة على نطاق الشبكات في الولايات المتحدة، في 43 محطة، مع مجال لأكثر من مضاعفة السعة.

تُصمم كل مضخة-توربين بمعادلات كمية الحركة وكمية الحركة الزاوية في هذه الوحدة: زوايا شفرات الدوّار تحدد مقدار العزم الذي يتخلى عنه الماء أو يتلقاه. وتخزين طاقة الشمس والرياح بهذه الطريقة يعتمد على إتقان تلك الشفرات.

على Saving Planets: الحلول · الديناميكا

المصادر: U.S. DOE: Pumped storage hydropower

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوعان 6–7

التحليل التفاضلي: الاستمرارية ونافييه–ستوكس والتدفقات الدقيقة

كينماتيكا الموائع (حقل السرعة والتسارع والدوامية والانفعال)، ومعادلة الاستمرارية التفاضلية، ودالة الانسياب، ومعادلتا أويلر ونافييه–ستوكس، والشروط الحدية، والحلول الطباقية الدقيقة: تدفق كويت، وتدفق بوازوي المستوي، وتدفق هاغن–بوازوي في الأنابيب.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب التسارع المادي لحقل سرعة.
  • التحقق من الاستمرارية وإيجاد دالة انسياب.
  • ذكر معادلات نافييه–ستوكس وشروطها الحدية.
  • حل تدفقي كويت وهاغن–بوازوي.

المفاهيم الأساسية

  • في الوصف الأويلري للتسارع جزء موضعي ∂V/∂t وجزء حملي (V·∇)V؛ ومجموعهما هو المشتقة المادية DV/Dt.
  • الاستمرارية غير القابلة للانضغاط: ∇·V = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0. وفي 2D، تحققها تلقائيًا دالة انسياب ψ حيث u = ∂ψ/∂y وv = −∂ψ/∂x.
  • نافييه–ستوكس (غير قابل للانضغاط، نيوتوني): ρ DV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V. ومع شرط عدم الانزلاق عند الجدران، تحكم تقريبًا كل تدفق في هذا المقرر؛ ولا يُحل منها بدقة إلا حالات قليلة.
  • تدفق كويت بين لوح ثابت ولوح متحرك: مقطع سرعة خطي، وإجهاد قص τ = μU/h.
  • تدفق هاغن–بوازوي في أنبوب: مقطع قطعي مكافئ، وu_max = 2V_avg، وQ = πR⁴Δp/(8μL). ويصح ما دام التدفق طباقيًا (Re أقل من نحو 2300).

المعادلات الأساسية

DVDt=∂V∂t+(V⋅∇)V\frac{D\mathbf V}{Dt}=\frac{\partial\mathbf V}{\partial t}+(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V
التسارع المادي
∇⋅V=0\nabla\cdot\mathbf V=0
الاستمرارية غير الانضغاطية
ρDVDt=−∇p+ρg+μ∇2V\rho\frac{D\mathbf V}{Dt}=-\nabla p+\rho\mathbf g+\mu\nabla^2\mathbf V
نافييه–ستوكس
Q=πR4Δp8μLQ=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}
هاغن–بوازوي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 يتدفق ماء في أنبوب قطره 4 mm مع Δp/L = 100 Pa/m. أوجد Q وV_avg وu_max وRe.

اعرض الخطوات
  1. Q = π × 0.002⁴ × 100/(8 × 1.002 × 10⁻³) = 6.27 × 10⁻⁷ m³/s.
  2. V = Q/(π × 0.002²) = 0.0499 m/s؛ u_max = 2V.
  3. Re = 998 × 0.0499 × 0.004/1.002 × 10⁻³.

الإجابة: Q = 6.27 × 10⁻⁷ m³/s، V = 0.0499 m/s، u_max = 0.0998 m/s، Re = 199 (طباقي).

مثال 5.2 يتحرك لوح بسرعة 1 m/s فوق طبقة ماء سمكها 2 mm. أوجد إجهاد القص.

اعرض الخطوات
  1. τ = μU/h = 1.002 × 10⁻³ × 1/0.002.

الإجابة: τ = 0.501 Pa.

مثال 5.3 هل V = (2x, −2y) غير قابل للانضغاط، وما تسارعه عند (1, 1)؟

اعرض الخطوات
  1. ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2 − 2 = 0.
  2. a_x = u ∂u/∂x = 2x × 2 = 4x; a_y = v ∂v/∂y = (−2y)(−2) = 4y.

الإجابة: Yes; a = (4, 4) m/s².

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. نصّف نصف قطر الأنبوب عند Δp/L نفسه. ما Q؟

    اعرض الإجابة

    1/16 من القيمة.

  2. أوجد ψ عندما u = 1 وv = 0.

    اعرض الإجابة

    ψ = y.

  3. أين يكون القص أكبر ما يمكن في تدفق بوازوي؟

    اعرض الإجابة

    عند الجدار.

  4. سمِّ الشرط الحدي عند جدار صلب.

    اعرض الإجابة

    عدم الانزلاق: سرعة المائع تساوي سرعة الجدار.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التدفق المستقر تسارعه صفر.

    في الحقيقة: يمكن أن يكون التسارع الحملي غير صفري.

  • خرافة: لمعادلات نافييه–ستوكس حلول دقيقة كثيرة.

    في الحقيقة: لبضعة أشكال هندسية بسيطة فقط.

  • خرافة: قانون بوازوي يصلح لأي تدفق في الأنابيب.

    في الحقيقة: للتدفق الطباقي فقط.

بطاقات تعليمية

  • المشتقة المادية

    ∂/∂t + V·∇.

  • الاتصال

    ∇·V = 0.

  • دالة الانسياب

    u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x.

  • نافييه–ستوكس

    ρDV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V.

  • كويت

    τ = μU/h.

  • بوازوي

    Q = πR⁴Δp/8μL.

اختبار ذاتي

1. يتغير Q في هاغن–بوازوي مع نصف القطر بحسب…

اعرض الإجابة

R⁴. πR⁴Δp/(8μL).

2. في تدفق كويت يكون المقطع…

اعرض الإجابة

خطيًا. لا يوجد تدرج ضغط.

3. التسارع الحملي هو…

اعرض الإجابة

(V·∇)V. التغير المكاني.

4. u_max/V_avg في التدفق الطباقي في الأنابيب يساوي…

اعرض الإجابة

2. قطع مكافئ.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تفيد وكالة حماية البيئة الأمريكية (EPA) بأن التسربات المنزلية قد تهدر نحو 1 تريليون غالون من الماء سنويًا على مستوى البلاد، وأن تسربات المنزل المتوسط قد تهدر أكثر من 9300 غالون سنويًا، وأن 9% من المنازل فيها تسربات تهدر 50 غالونًا أو أكثر يوميًا.

التسربات الصغيرة عبر الحشوات والوصلات البالية غالبًا ما تكون تدفقات بطيئة طباقية عبر فجوات دقيقة، حيث يبين قانون R⁴ أعلاه لماذا يُحدث اتساع صغير في الشق فرقًا كبيرًا. وتقول الوكالة إن إصلاح التسربات المنزلية سهلة الإصلاح قد يوفر نحو 10% من فواتير المياه.

على Saving Planets: المعادلات التفاضلية · التفاضل والتكامل 3

المصادر: U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 8

التحليل البعدي والتشابه واختبار النماذج

التجانس البعدي، ومبرهنة باكنغهام باي، والمجموعات اللابعدية الشائعة (رينولدز وفرود وماخ وويبر وأويلر)، والتشابه الهندسي والكينماتيكي والديناميكي، وقوانين النماذج وتأثيرات المقياس، وجعل المعادلات الحاكمة لابعدية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • إيجاد المجموعات اللابعدية بمبرهنة باي.
  • بيان ما يقارنه كل من Re وFr وMa وWe.
  • تحويل نتائج اختبار النماذج إلى الحجم الكامل بتشابه فرود أو رينولدز.
  • شرح سبب استحالة التشابه الكامل غالبًا.

المفاهيم الأساسية

  • كل معادلة صحيحة متجانسة بعديًا. تنص مبرهنة باكنغهام باي على أن مسألة فيها n متغيرًا وk أبعاد أساسية لها n − k مجموعة لابعدية مستقلة.
  • مجموعات شائعة: Re = ρVL/μ (القصور/اللزوجة)، Fr = V/√(gL) (القصور/الجاذبية)، Ma = V/a (الانضغاطية)، We = ρV²L/σ (القصور/التوتر السطحي)، Eu = Δp/(ρV²) (الضغط).
  • التشابه الديناميكي: إذا كان للنموذج والنموذج الأصلي الشكل الهندسي نفسه والمجموعات اللابعدية الحاكمة نفسها، تطابقت نتائجهما اللابعدية (C_D وC_p والكفاءة).
  • تستخدم التدفقات ذات السطح الحر (السفن والمفيضات والأمواج) مقياس فرود: V_m = V_p√(L_m/L_p)؛ وتتغير القوى مع مكعب مقياس الطول والقدرة مع المقياس مرفوعًا إلى الأس 3.5.
  • مطابقة Re وFr معًا تتطلب عادةً مائعًا مستحيلًا، لذا يطابق المهندسون المجموعة الغالبة ويصححون الأخرى (تأثيرات المقياس).

المعادلات الأساسية

Π groups=n−k\Pi\text{ groups}=n-k
مبرهنة باكنغهام باي
Re=ρVLμ, Fr=VgLRe=\frac{\rho VL}{\mu},\ Fr=\frac{V}{\sqrt{gL}}
عددا رينولدز وفرود
Vm=VpLm/LpV_m=V_p\sqrt{L_m/L_p}
مقياس فرود
FpFm=(LpLm)3\frac{F_p}{F_m}=\left(\frac{L_p}{L_m}\right)^3
مقياس القوى (فرود، المائع نفسه)

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 يعتمد السحب F على كرة على ρ وV وD وμ. كم مجموعة باي، وما هي؟

اعرض الخطوات
  1. n = 5 متغيرات، k = 3 أبعاد (M, L, T).
  2. المجموعات: F/(ρV²D²) وρVD/μ.

الإجابة: مجموعتان (2): C_D = f(Re).

مثال 6.2 يُختبر نموذج لطاقة الأمواج بمقياس 1:20 وفق مقياس فرود. سرعة الموجة بالحجم الكامل 10 m/s. أوجد سرعة النموذج.

اعرض الخطوات
  1. V_m = 10/√20.

الإجابة: V_m = 2.24 m/s.

مثال 6.3 لذلك النموذج، كيف تتغير القوى والقدرة؟

اعرض الخطوات
  1. F_p/F_m = 20³.
  2. P_p/P_m = 20^3.5.

الإجابة: القوى × 8000؛ القدرة × 35777.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أي مجموعة هي الأهم لأمواج السفينة؟

    اعرض الإجابة

    عدد فرود.

  2. وأيها للتدفق في أنبوب صغير؟

    اعرض الإجابة

    عدد رينولدز.

  3. يجب أن يطابق نموذج 1:10 في المائع نفسه قيمة Re. ما سرعة النموذج مقارنة بالحجم الكامل؟

    اعرض الإجابة

    أسرع 10 مرات.

  4. ماذا يقارن We؟

    اعرض الإجابة

    القصور بالتوتر السطحي.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: تستخدم اختبارات النماذج السرعة نفسها للحجم الكامل.

    في الحقيقة: إنها تستخدم سرعات مقيسة.

  • خرافة: اللابعدي يعني غير مهم.

    في الحقيقة: المجموعات اللابعدية تتحكم في الفيزياء.

  • خرافة: أي نموذج يعطي نتائج دقيقة للحجم الكامل.

    في الحقيقة: تبقى تأثيرات المقياس عندما لا تتطابق كل المجموعات.

بطاقات تعليمية

  • مبرهنة باي

    n − k مجموعة.

  • رينولدز

    القصور/اللزوجة.

  • فرود

    القصور/الجاذبية.

  • ويبر

    القصور/التوتر السطحي.

  • التشابه

    المجموعات نفسها، المعاملات نفسها.

  • مقياس فرود

    V ∝ √L.

اختبار ذاتي

1. يقارن عدد فرود القصور بـ…

اعرض الإجابة

الجاذبية. V/√(gL).

2. مع 6 متغيرات و3 أبعاد يوجد…

اعرض الإجابة

3. n − k.

3. تتغير القوى وفق مقياس فرود (المائع نفسه) مع الطول مرفوعًا إلى…

اعرض الإجابة

3rd. L³.

4. يعتمد C_D لكرة ملساء أساسًا على…

اعرض الإجابة

Re. تأثيرات اللزوجة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تصف وزارة الطاقة الأمريكية الطاقة البحرية بأنها طاقة مستخلصة من الأمواج والمد والجزر وتيارات الأنهار والمحيطات ومن فروق درجات حرارة المحيط. وتقول إن إجمالي مورد الطاقة البحرية الأمريكي يعادل نحو 57% من كل توليد الكهرباء في الولايات المتحدة عام 2019، وإن هذه الموارد قابلة للتنبؤ إلى حد كبير.

وتشير الوزارة إلى أن الباحثين يختبرون تقنيات جديدة وينشرونها لتسخير هذا المورد. وتُطوَّر محولات طاقة الأمواج وتوربينات المد والجزر بنماذج مصغرة في أحواض الأمواج والقنوات قبل وقت طويل من نزول الأجهزة الكاملة إلى البحر، باستخدام مقياسي فرود ورينولدز في هذه الوحدة.

على Saving Planets: المحيطات · الحلول

المصادر: U.S. DOE: Marine energy basics

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوعان 9–10

التدفق في الأنابيب: الاحتكاك ومخطط مودي والفواقد الثانوية

التدفق الطباقي والمضطرب في الأنابيب، وطول المدخل، ومعادلة دارسي–فايسباخ، ومعامل الاحتكاك الطباقي 64/Re، ومخطط مودي وعلاقتا كولبروك وهالاند، والفواقد الثانوية، والمجاري غير الدائرية والقطر الهيدروليكي، والأنابيب على التوالي وعلى التوازي وفي شبكات.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تحديد ما إذا كان التدفق في الأنبوب طباقيًا أم مضطربًا.
  • حساب فواقد الاحتكاك بمعادلة دارسي–فايسباخ وصيغة هالاند.
  • إضافة الفواقد الثانوية من الوصلات والصمامات.
  • حل مسائل بسيطة لأنابيب على التوالي وعلى التوازي.

المفاهيم الأساسية

  • في الأنابيب يكون التدفق طباقيًا دون Re ≈ 2300 ومضطربًا فوق نحو 4000. والتدفق المضطرب يخلط كمية الحركة بقوة وله مقطع أكثر تسطحًا.
  • دارسي–فايسباخ: h_L = f(L/D)(V²/2g). وللتدفق الطباقي f = 64/Re.
  • في التدفق المضطرب يعتمد f على Re والخشونة النسبية ε/D (مخطط مودي). وصيغة هالاند صريحة: 1/√f = −1.8 log₁₀[(ε/D/3.7)^1.11 + 6.9/Re].
  • تضيف الوصلات والصمامات والأكواع والمداخل فواقد ثانوية h_m = K V²/(2g). في خطوط الأنابيب الطويلة يغلب الاحتكاك؛ وفي السباكة المنزلية تهم الوصلات.
  • تستخدم المجاري غير الدائرية القطر الهيدروليكي D_h = 4A/P. والأنابيب على التوالي تتشارك Q وتجمع الفواقد؛ وعلى التوازي تتشارك فاقد العلو وتجمع التدفقات.

المعادلات الأساسية

Re=ρVDμRe=\frac{\rho VD}{\mu}
عدد رينولدز للأنبوب
hL=fLDV22gh_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}
دارسي–فايسباخ
1f=−1.8log⁡10[(ε/D3.7)1.11+6.9Re]\frac{1}{\sqrt f}=-1.8\log_{10}\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}+\frac{6.9}{Re}\right]
هالاند
hm=KV22gh_m=K\frac{V^2}{2g}
الفاقد الثانوي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 يتدفق ماء بسرعة 2 m/s في أنبوب فولاذ تجاري قطره 50 mm (ε = 0.045 mm). أوجد Re وf.

اعرض الخطوات
  1. Re = 998 × 2 × 0.05/1.002 × 10⁻³ = 99,600.
  2. ε/D = 0.0009؛ وتعطي صيغة هالاند f.

الإجابة: Re = 9.96 × 10⁴ (مضطرب)؛ f = 0.0216.

مثال 7.2 أوجد فاقد العلو بالاحتكاك على طول 100 m من ذلك الأنبوب.

اعرض الخطوات
  1. h_L = 0.0216 × (100/0.05) × 2²/(2 × 9.81).

الإجابة: h_L = 8.82 m.

مثال 7.3 أوجد معامل الاحتكاك الطباقي عند Re = 1500، وفاقد مدخل حاد الحافة (K = 0.5) عند 2 m/s.

اعرض الخطوات
  1. f = 64/1500.
  2. h_m = 0.5 × 4/19.62.

الإجابة: f = 0.0427; h_m = 0.102 m.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أوجد D_h لمجرى أبعاده 0.2 m × 0.1 m.

    اعرض الإجابة

    4 × 0.02/0.6 = 0.133 m.

  2. ضاعِف V في تدفق مضطرب خشن كليًا. ما h_L؟

    اعرض الإجابة

    نحو 4 أضعاف.

  3. أنبوبان متماثلان على التوازي ينقلان Q كليًا. ما التدفق في كل منهما؟

    اعرض الإجابة

    Q/2، مع فاقد العلو نفسه.

  4. هل Re = 3000 طباقي أم مضطرب؟

    اعرض الإجابة

    انتقالي.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: معامل الاحتكاك ثابت.

    في الحقيقة: يعتمد على Re والخشونة.

  • خرافة: الفواقد الثانوية ثانوية دائمًا.

    في الحقيقة: ليس في الأنابيب القصيرة كثيرة الوصلات.

  • خرافة: للتدفق الطباقي فواقد أعلى.

    في الحقيقة: في نطاق Re نفسه يكون f له أقل، لكن التدفق الطباقي لا يحدث إلا عند السرعات المنخفضة.

بطاقات تعليمية

  • الانتقال

    Re ≈ 2300–4000.

  • دارسي–فايسباخ

    f(L/D)V²/2g.

  • f الطباقي

    64/Re.

  • هالاند

    f صريح.

  • الفاقد الثانوي

    KV²/2g.

  • القطر الهيدروليكي

    4A/P.

اختبار ذاتي

1. معامل الاحتكاك الطباقي هو…

اعرض الإجابة

64/Re. بوازوي.

2. يتغير فاقد دارسي–فايسباخ مع…

اعرض الإجابة

V². عند f ثابت.

3. القطر الهيدروليكي هو…

اعرض الإجابة

4A/P. التعريف.

4. تتشارك الأنابيب على التوازي في…

اعرض الإجابة

فاقد العلو. نقاط نهاية مشتركة.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تشير وكالة حماية البيئة إلى أن صنبورًا يقطر مرة في الثانية قد يهدر أكثر من 3000 غالون سنويًا، وهو ما يكفي لأكثر من 180 حمامًا، وأن رأس دش يسرب 10 قطرات في الدقيقة يهدر أكثر من 500 غالون سنويًا. وتسرب ري عرضه 1/32 من البوصة قد يهدر نحو 6300 غالون شهريًا.

كل غالون يُوصَّل يجب أيضًا ضخه عبر كيلومترات من الأنابيب، في مواجهة فواقد الاحتكاك في هذه الوحدة. وإصلاح التسربات يوفر الماء وطاقة الضخ معًا؛ فـ3000 غالون تعادل نحو 11355 L، أي 31.1 L كل يوم.

على Saving Planets: الحلول · ميكانيكا المواد

المصادر: U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوع 11

المضخات والتوربينات وأنظمة الضخ

المضخات الطاردة المركزية والمحورية، وعلو المضخة، والقدرة والكفاءة، ومنحنيات أداء المضخة، ومنحنيات النظام ونقطة التشغيل، والمضخات على التوالي وعلى التوازي، وقوانين التشابه ومحركات السرعة المتغيرة، والتكهف وNPSH، والتوربينات الهيدروليكية (بلتون وفرانسيس وكابلان).

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • قراءة منحنى المضخة وإيجاد نقطة التشغيل مع منحنى النظام.
  • حساب قدرة المضخة وكفاءتها.
  • تطبيق قوانين التشابه على تغيرات السرعة.
  • شرح NPSH وكيفية تجنب التكهف.

المفاهيم الأساسية

  • تضيف المضخة علوًا h_p إلى التدفق؛ والقدرة المائية ρgQh_p وقدرة العمود ρgQh_p/η.
  • يلتقي منحنى المضخة (علو يتناقص مع زيادة التدفق) بمنحنى النظام (الرفع الساكن مضافًا إليه فواقد تزداد مع Q²) عند نقطة التشغيل.
  • قوانين التشابه للمضخة نفسها عند سرعة جديدة N: Q ∝ N، H ∝ N²، P ∝ N³. وإبطاء المضخة بمحرك سرعة متغيرة بدلًا من خنق صمام يوفر كثيرًا من الطاقة.
  • يبدأ التكهف عندما ينخفض ضغط المدخل قرب ضغط البخار. ويجب أن يتجاوز صافي علو السحب الموجب المتاح (NPSH_A) ما تحتاجه المضخة (NPSH_R).
  • التوربينات الهيدروليكية مضخات معكوسة: بلتون (دفعي) للعلو العالي، وفرانسيس للعلو المتوسط، وكابلان (مروحي) للعلو المنخفض والتدفق الكبير؛ وكثير من وحدات التخزين بالضخ مضخات-توربينات عكوسة.

المعادلات الأساسية

Pshaft=ρgQhpηP_{shaft}=\frac{\rho gQh_p}{\eta}
قدرة المضخة
Hsys=Hstatic+kQ2H_{sys}=H_{static}+kQ^2
منحنى النظام
Q2Q1=N2N1, H2H1=(N2N1)2, P2P1=(N2N1)3\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{N_2}{N_1},\ \frac{H_2}{H_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2,\ \frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3
قوانين التشابه
NPSHA>NPSHRNPSH_A>NPSH_R
لا تكهف

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 منحنى مضخة H = 40 − 7000Q² ومنحنى النظام H = 10 + 5000Q² (H بالمتر، Q بوحدة m³/s). أوجد نقطة التشغيل.

اعرض الخطوات
  1. 40 − 7000Q² = 10 + 5000Q²، إذن Q² = 30/12000.
  2. Q = 0.05 m³/s; H = 10 + 5000 × 0.0025.

الإجابة: Q = 0.05 m³/s, H = 22.5 m.

مثال 8.2 أوجد قدرة العمود عند تلك النقطة مع η = 0.75 (ρ = 1000 kg/m³).

اعرض الخطوات
  1. P = 1000 × 9.81 × 0.05 × 22.5/0.75.

الإجابة: P = 14.7 kW.

مثال 8.3 مضخة توصل 0.05 m³/s عند علو 30 m تُبطأ من 1800 إلى 1500 rpm. أوجد التدفق الجديد والعلو الجديد ونسبة القدرة.

اعرض الخطوات
  1. Q = 0.05 × 1500/1800.
  2. H = 30 × (1500/1800)².
  3. نسبة P = (1500/1800)³.

الإجابة: Q = 0.0417 m³/s، H = 20.8 m، والقدرة 57.9% من الأصلية.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. مضختان متماثلتان على التوالي: ما الذي يُجمع؟

    اعرض الإجابة

    العلو عند التدفق نفسه.

  2. واثنتان على التوازي؟

    اعرض الإجابة

    التدفقات عند العلو نفسه.

  3. خفّض السرعة بنسبة 20%. ما القدرة؟

    اعرض الإجابة

    0.8³ = 51.2%.

  4. أي توربين يناسب علوًا قدره 500 m؟

    اعرض الإجابة

    بلتون.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: خنق الصمام طريقة كفؤة لتقليل التدفق.

    في الحقيقة: إنه يهدر العلو؛ وإبطاء المضخة أفضل.

  • خرافة: المضخة الأكبر أفضل دائمًا.

    في الحقيقة: المضخات كبيرة الحجم تعمل بعيدًا عن نقطة أفضل كفاءة لها.

  • خرافة: التكهف يصدر ضجيجًا فقط.

    في الحقيقة: إنه يُحدث تآكلًا في الدوّارات ويقلل الأداء.

بطاقات تعليمية

  • قدرة المضخة

    ρgQh/η.

  • منحنى النظام

    H_static + kQ².

  • نقطة التشغيل

    تقاطع المنحنيين.

  • التشابه

    Q ∝ N, H ∝ N², P ∝ N³.

  • NPSH

    تجنب التكهف.

  • التوربينات

    بلتون، فرانسيس، كابلان.

اختبار ذاتي

1. تتغير قدرة المضخة مع السرعة بحسب…

اعرض الإجابة

N³. قوانين التشابه.

2. نقطة التشغيل هي حيث…

اعرض الإجابة

يلتقي منحنى المضخة بمنحنى النظام. التوازن.

3. لتجنب التكهف…

اعرض الإجابة

NPSH_A > NPSH_R. الهامش.

4. العلو المنخفض والتدفق العالي يناسبان…

اعرض الإجابة

كابلان. توربين مروحي.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يذكر مكتب الكفاءة الصناعية في وزارة الطاقة الأمريكية أنه يمكن تحقيق وفورات كبيرة في الطاقة والتكلفة في أنظمة الضخ بتطبيق أفضل ممارسات إدارة الطاقة وشراء معدات موفرة للطاقة، ويقدم مجانًا أداة Pumping System Assessment Tool (PSAT) وبرنامج MEASUR لاكتشافها.

تبيّن قوانين التشابه مصدر جزء كبير من هذه الوفورات: فالمضخة التي تُبطأ بنسبة 20% بمحرك سرعة متغيرة لا تحتاج إلا إلى نحو نصف القدرة. وتضيف صفحة الوزارة عن التخزين بالضخ أن المضخات-التوربينات ترفع الماء إلى أعلى حين تكون الكهرباء رخيصة وتولّد حين يُحتاج إليها.

على Saving Planets: الحلول · الدوائر الكهربائية

المصادر: U.S. DOE: Pump systems · U.S. DOE: Pumped storage hydropower

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسابيع 12–13

التدفق الخارجي: الطبقات الحدية والسحب والرفع

التدفق حول الأجسام، والطبقات الحدية على الألواح المستوية، وسحب الاحتكاك وسحب الضغط، ومعاملات السحب للكرات والأسطوانات والأجسام الانسيابية، وأزمة السحب، وتدفق ستوكس والترسيب، والرفع، والقدرة المتاحة في تيار من الرياح أو الماء.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • حساب السحب من معامل السحب.
  • شرح دور سحب الاحتكاك وسحب الضغط.
  • استخدام قانون ستوكس للجسيمات الصغيرة.
  • إيجاد قدرة تيار الرياح وحد بيتز.

المفاهيم الأساسية

  • السحب F_D = C_D ½ρV²A والرفع F_L = C_L ½ρV²A، حيث A مساحة مرجعية. ويعتمد C_D على الشكل وعلى Re.
  • الأجسام الانسيابية يغلب عليها سحب الاحتكاك؛ أما الأجسام غير الانسيابية (الكرات والأسطوانات والشاحنات) فيغلب عليها سحب الضغط الناتج عن أثر منفصل.
  • لكرة ملساء C_D ≈ 0.47 عندما 10³ < Re < 2 × 10⁵؛ وقرب Re ≈ 3 × 10⁵ تصبح الطبقة الحدية مضطربة وتنفصل متأخرة، فينخفض C_D بشدة (أزمة السحب).
  • عند Re منخفض جدًا (Re < 1)، سحب ستوكس F = 3πμVD؛ وتترسب الجسيمة الصغيرة بسرعة V = (ρ_p − ρ)gD²/(18μ).
  • يحمل تيار مساحته A قدرة ½ρAV³. ولا يمكن لأي توربين أن يلتقط أكثر من 16/27 ≈ 59.3% منها (حد بيتز).

المعادلات الأساسية

FD=CD12ρV2AF_D=C_D\tfrac12\rho V^2A
السحب
F=3πμVDF=3\pi\mu VD
سحب ستوكس
Vs=(ρp−ρ)gD218μV_s=\frac{(\rho_p-\rho)gD^2}{18\mu}
سرعة الترسيب
P=12ρAV3,  CP,max=1627P=\tfrac12\rho AV^3,\ \ C_{P,max}=\frac{16}{27}
قدرة الرياح وحد بيتز

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 كرة قطرها 0.22 m تتحرك بسرعة 20 m/s في الهواء (C_D = 0.47، قيمة مثال). أوجد Re والسحب.

اعرض الخطوات
  1. Re = 1.225 × 20 × 0.22/1.789 × 10⁻⁵ = 3.01 × 10⁵.
  2. F = 0.47 × ½ × 1.225 × 400 × π × 0.11².

الإجابة: Re = 3.01 × 10⁵ (قرب أزمة السحب)؛ F = 4.38 N.

مثال 9.2 أوجد سرعة ترسيب حبة رمل قطرها 50 µm (ρ_p = 2500 kg/m³) في الماء.

اعرض الخطوات
  1. V = (2500 − 998) × 9.81 × (50 × 10⁻⁶)²/(18 × 1.002 × 10⁻³).
  2. تحقق: Re = 998 × 0.00204 × 50 × 10⁻⁶/1.002 × 10⁻³ = 0.102.

الإجابة: V = 2.04 mm/s؛ وRe < 1، إذن قانون ستوكس صالح.

مثال 9.3 أوجد قدرة الرياح عبر دوّار قطره 100 m عند 10 m/s، والحد الأقصى لبيتز.

اعرض الخطوات
  1. A = π × 50² = 7854 m².
  2. P = ½ × 1.225 × 7854 × 1000.
  3. P_max = P × 16/27.

الإجابة: P = 4.81 MW؛ والحد الأقصى لبيتز 2.85 MW.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ضاعف سرعة الرياح. ما قدرة الرياح؟

    اعرض الإجابة

    8 أضعاف.

  2. لماذا تستخدم الشاحنات الأغطية الانسيابية؟

    اعرض الإجابة

    لتقليل سحب الضغط الناتج عن الأثر.

  3. نصّف قطر جسيم. ما سرعة ترسيب ستوكس؟

    اعرض الإجابة

    1/4.

  4. ما أزمة السحب؟

    اعرض الإجابة

    الانخفاض المفاجئ في C_D عندما تصبح الطبقة الحدية مضطربة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: السحب يتناسب دائمًا مع V².

    في الحقيقة: عند Re منخفض جدًا يتناسب مع V.

  • خرافة: يمكن للتوربين استخلاص كل قدرة الرياح.

    في الحقيقة: حد بيتز يقيدها بـ59.3%.

  • خرافة: الأسطح الخشنة تزيد السحب دائمًا.

    في الحقيقة: على الكرات قد تُطلق أزمة السحب مبكرًا.

بطاقات تعليمية

  • السحب

    C_D ½ρV²A.

  • سحب الضغط

    الأثر خلف الأجسام غير الانسيابية.

  • أزمة السحب

    ينخفض C_D قرب Re 3 × 10⁵.

  • ستوكس

    F = 3πμVD.

  • قدرة الرياح

    ½ρAV³.

  • بيتز

    59.3%.

اختبار ذاتي

1. تتغير قدرة الرياح مع V بحسب…

اعرض الإجابة

V³. ½ρAV³.

2. حد بيتز يساوي نحو…

اعرض الإجابة

59%. 16/27.

3. ينطبق سحب ستوكس عندما يكون Re…

اعرض الإجابة

< 1. التدفق الزاحف.

4. سحب الجسم غير الانسيابي معظمه…

اعرض الإجابة

الضغط. أثر منفصل.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تشرح وزارة الطاقة الأمريكية أن شفرات توربينات الرياح تعمل مثل جناح الطائرة أو دوّار المروحية: فرق الضغط على جانبي الشفرة يولّد رفعًا وسحبًا، ولأن الرفع أقوى من السحب يدور الدوّار مولدًا كهربائيًا. وتشير الوزارة إلى أن التوربينات البرية تتراوح بين 100 كيلوواط وعدة ميغاواطات.

يفسر قانون ½ρAV³ سبب ازدياد ارتفاع التوربينات وعرضها: فمضاعفة قطر الدوّار تضاعف المساحة أربع مرات، والمحاور الأعلى تبلغ رياحًا أسرع، والقدرة تزداد مع مكعب السرعة. ويحدد حد بيتز الهدف الذي يسعى إليه كل مصمم شفرات.

على Saving Planets: الديناميكا الهوائية 1 · الحلول

المصادر: وزارة الطاقة الأمريكية: كيف تعمل توربينات الرياح؟ (بالإنجليزية)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسبوعان 14–15

التدفق في القنوات المفتوحة: الأنهار والقنوات والقفزات الهيدروليكية

القنوات المكشوفة، ونصف القطر الهيدروليكي، وعدد فرود والتدفق دون الحرج والحرج وفوق الحرج، والطاقة النوعية والعمق الحرج، والتدفق المنتظم ومعادلة مانينغ، والقفزات الهيدروليكية وتبديد الطاقة، والهدارات لقياس التدفق.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • تصنيف التدفق في القنوات بعدد فرود.
  • إيجاد العمق الحرج والطاقة النوعية.
  • استخدام معادلة مانينغ للتدفق المنتظم.
  • حساب العمق بعد القفزة الهيدروليكية والطاقة المفقودة فيها.

المفاهيم الأساسية

  • في القنوات المكشوفة تدفع الجاذبية التدفق ويكون السطح الحر عند الضغط الجوي. ونصف القطر الهيدروليكي R_h = A/P (المحيط المبلل).
  • عدد فرود Fr = V/√(gy): ‏Fr < 1 دون الحرج (بطيء وعميق)، Fr = 1 حرج، Fr > 1 فوق الحرج (سريع وضحل). ولا تنتقل الموجات السطحية عكس التيار إلا في التدفق دون الحرج.
  • الطاقة النوعية E = y + V²/(2g). ولتدفق لكل وحدة عرض q، تحدث أدنى قيمة لـE عند العمق الحرج y_c = (q²/g)^(1/3).
  • التدفق المنتظم (مانينغ، SI): ‏V = (1/n) R_h^(2/3) S^(1/2)، مع معامل الخشونة n (نحو 0.013 للخرسانة المشطبة) وميل القاع S.
  • تحوّل القفزة الهيدروليكية التدفق فوق الحرج إلى دون الحرج: y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr₁²) − 1)، وتبدد علوًا h_L = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂). وتستخدم المفيضات القفزات لحماية مجاري الأنهار أسفل السدود.

المعادلات الأساسية

Fr=VgyFr=\frac{V}{\sqrt{gy}}
عدد فرود
E=y+V22g,  yc=(q2g)1/3E=y+\frac{V^2}{2g},\ \ y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}
الطاقة النوعية والعمق الحرج
V=1nRh2/3S1/2V=\frac1n R_h^{2/3}S^{1/2}
معادلة مانينغ (SI)
y2y1=12(1+8Fr12−1)\frac{y_2}{y_1}=\tfrac12\left(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1\right)
القفزة الهيدروليكية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 قناة خرسانية عرضها 2 m ‏(n = 0.013) يجري فيها الماء بعمق 1 m على ميل 0.001. أوجد V وQ.

اعرض الخطوات
  1. A = 2 m², P = 4 m, R_h = 0.5 m.
  2. V = (1/0.013) × 0.5^(2/3) × 0.001^0.5.
  3. Q = VA.

الإجابة: V = 1.53 m/s; Q = 3.06 m³/s.

مثال 10.2 يجري الماء بعمق 0.5 m وبسرعة 6 m/s أسفل مفيض. أوجد Fr والعمق بعد القفزة الهيدروليكية والعلو المفقود.

اعرض الخطوات
  1. Fr = 6/√(9.81 × 0.5) = 2.71.
  2. y₂ = 0.25 × (√(1 + 8 × 2.71²) − 1).
  3. h_L = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂).

الإجابة: Fr = 2.71; y₂ = 1.68 m; h_L = 0.491 m.

مثال 10.3 أوجد العمق الحرج عند q = 2 m²/s.

اعرض الخطوات
  1. y_c = (4/9.81)^(1/3).

الإجابة: y_c = 0.742 m.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. هل V = 3 m/s عند عمق 1 m دون الحرج أم فوقه؟

    اعرض الإجابة

    Fr = 0.958، دون الحرج.

  2. أوجد E عند y = 1 m و V = 3 m/s.

    اعرض الإجابة

    1 + 9/19.62 = 1.459 m.

  3. أي عمق ينقل q = 2 m²/s عند V = 1.53 m/s؟

    اعرض الإجابة

    2/1.532 = 1.31 m.

  4. لماذا يُبنى حوض تهدئة أسفل السد؟

    اعرض الإجابة

    لفرض قفزة تبدد الطاقة.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التدفق السريع فوق الحرج دائمًا.

    في الحقيقة: قارن V مع √(gy).

  • خرافة: القفزة تكسب طاقة.

    في الحقيقة: إنها تفقد طاقة.

  • خرافة: معامل مانينغ n واحد في كل مكان.

    في الحقيقة: يعتمد على السطح.

بطاقات تعليمية

  • فرود

    V/√(gy).

  • نصف القطر الهيدروليكي

    A/P.

  • الطاقة النوعية

    y + V²/2g.

  • العمق الحرج

    (q²/g)^(1/3).

  • مانينغ

    (1/n)R^(2/3)S^(1/2).

  • القفزة

    y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr²) − 1).

اختبار ذاتي

1. التدفق فوق الحرج…

اعرض الإجابة

Fr > 1. سريع وضحل.

2. نصف القطر الهيدروليكي هو…

اعرض الإجابة

A/P. التعريف.

3. تكون الطاقة النوعية في أدنى قيمها عند…

اعرض الإجابة

العمق الحرج. dE/dy = 0.

4. القفزة الهيدروليكية…

اعرض الإجابة

تبدد الطاقة. خلط مضطرب.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تصف وزارة الطاقة الأمريكية محطة الطاقة الكهرومائية التحويلية، أو الجارية على النهر، بأنها منشأة توجّه جزءًا من النهر عبر قناة و/أو أنبوب ضغط، مستفيدة من الانحدار الطبيعي لمجرى النهر لإنتاج الطاقة، أحيانًا دون سد. وتصميم تلك القناة مسألة تدفق في قناة مكشوفة: تحدد معادلة مانينغ أبعادها وفق التدفق، ويحدد فرق المنسوب العلو.

وتضيف الوزارة أن تصريفات الخزانات يمكن أن تخدم مرور الأسماك وجودة المياه. ويستخدم المهندسون عدد فرود والقفزات الهيدروليكية لتشكيل المفيضات والقنوات التي تحمي مجاري الأنهار وتُبقي التدفقات آمنة للحياة البرية.

على Saving Planets: المحيطات · رصد الأرض

المصادر: U.S. DOE: Types of hydropower plants · U.S. DOE: How hydropower works

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Fluid mechanics lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

يمكن إجراء كل مختبر في محاكاة مجانية أو بأدوات من المطبخ والحديقة. اعمل فوق حوض أو في الخارج، وامسح أي انسكاب فورًا لتجنب الانزلاق، واستخدم ماء الصنبور البارد فقط، وأبعد الماء عن المقابس والأجهزة الكهربائية.

مرجع السلامة: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

المختبر A: الكثافة والطفو بالوزن

الأسبوع 3

الهدف: إيجاد حجم جسم وكثافته من وزنه في الهواء ووزنه الظاهري في الماء، باستخدام مبدأ أرخميدس.

V=mair−mwaterρw,  ρ=mairVV=\frac{m_{air}-m_{water}}{\rho_w},\ \ \rho=\frac{m_{air}}{V}
مبدأ أرخميدس

الإجراء

  1. استكشف PhET Buoyancy: غيّر كثافة الجسم وكثافة المائع وراقب القوى.
  2. في المنزل: زن جسمًا صغيرًا كثيفًا (حجرًا أو ملعقة معدنية) على ميزان مطبخ.
  3. علّقه بخيط مغمورًا كليًا في الماء داخل إبريق موضوع على الميزان (اضبط الصفر أولًا)، أو استخدم ميزان أمتعة معلقًا؛ وسجّل الكتلة الظاهرية.
  4. احسب الحجم والكثافة.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
الكتلة في الهواء200 g
الكتلة الظاهرية في الماء120 g
الحجم80 cm³
الكثافة2500 kg/m³

قيم مثال (نموذجية للحجر أو الزجاج).

مثال حسابي

  1. V = (200 − 120)/1.00 = 80 cm³.
  2. ρ = 200/80 = 2.50 g/cm³ = 2500 kg/m³.

السلامة

  • امسح أي انسكاب فورًا.

بديل منزلي أو افتراضي

  • هذا مختبر منزلي.

PhET: Buoyancy · PhET: Density

الصلة بالكوكب: توضح NOAA أن فروق الكثافة الناتجة عن الحرارة والملوحة تحرك الحزام الناقل في أعماق المحيط. NOAA National Ocean Service: Thermohaline circulation

المختبر B: زجاجة تورشيلي

الأسبوع 4

الهدف: التحقق من قانون تورشيلي بقياس المسافة التي يقطعها نفث ماء من ثقب في زجاجة.

V=2gh,  x=2hYV=\sqrt{2gh},\ \ x=2\sqrt{hY}
سرعة النفث ومداه من الارتفاع Y

الإجراء

  1. اثقب ثقبًا صغيرًا في جانب زجاجة بلاستيكية قرب القاع؛ وغطّه بشريط لاصق.
  2. املأ الزجاجة وضعها على صندوق فوق حوض أو في الخارج، بحيث يكون الثقب على ارتفاع Y = 0.3 m فوق سطح السقوط.
  3. انزع الشريط؛ وعندما يكون منسوب الماء h = 0.2 m فوق الثقب، علّم موضع سقوط النفث.
  4. قارن بالتنبؤ؛ وكرر عند أعماق أخرى.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
العلو h0.20 m
سرعة النفث1.98 m/s
ارتفاع السقوط Y0.30 m
المدى المتوقع0.49 m

قيم متوقعة؛ النفث الحقيقي يسقط أقرب قليلًا بسبب الفواقد عند الثقب.

مثال حسابي

  1. V = √(2 × 9.81 × 0.2) = 1.98 m/s.
  2. x = 2√(0.2 × 0.3) = 0.49 m.

السلامة

  • نفّذ ذلك فوق حوض أو في الخارج؛ وامسح الماء لتجنب الانزلاق.
  • استخدم سيخًا بحذر، موجهًا بعيدًا عن يدك.

بديل منزلي أو افتراضي

  • هذا مختبر منزلي.

PhET: Fluid Pressure and Flow · PhET: Under Pressure

الصلة بالكوكب: تشير وزارة الطاقة الأمريكية إلى أن إنتاج الطاقة الكهرومائية يزداد مع العلو؛ وسرعة نفث الزجاجة تزداد مع √h للسبب نفسه. U.S. DOE: How hydropower works

المختبر C: قياس معدل التدفق وعدد رينولدز

الأسبوع 7

الهدف: قياس معدل تدفق صنبور أو خرطوم بدلو وساعة إيقاف، وتحديد ما إذا كان التدفق داخله طباقيًا أم مضطربًا.

Q=Vbuckett,  Re=ρVDμQ=\frac{V_{bucket}}{t},\ \ Re=\frac{\rho VD}{\mu}
معدل التدفق وعدد رينولدز

الإجراء

  1. قِس الزمن الذي يستغرقه خرطوم أو صنبور لملء 10 L.
  2. قِس القطر الداخلي للخرطوم أو لمخرج الصنبور.
  3. احسب Q والسرعة المتوسطة وRe.
  4. اخفض الصنبور حتى يبدو التيار أملس وزجاجيًا، ثم كرر.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
10 L خلال25 s
Q0.4 L/s
قطر الخرطوم الداخلي16 mm
V1.99 m/s
Re31,700

قيم مثال؛ Re أعلى بكثير من 4000 يعني تدفقًا مضطربًا داخل الخرطوم.

مثال حسابي

  1. V = 0.0004/(π × 0.008²) = 1.99 m/s.
  2. Re = 998 × 1.99 × 0.016/1.002 × 10⁻³ = 31,700.

السلامة

  • أغلق الصنبور عند الانتهاء؛ وانتبه للأرض الزلقة.

بديل منزلي أو افتراضي

  • هذا مختبر منزلي.

PhET: Fluid Pressure and Flow

الصلة بالكوكب: تقترح وكالة حماية البيئة فحص عداد المياه خلال ساعتين دون استخدام أي ماء؛ وأي تغير يعني وجود تسرب. U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

المختبر D: جدول بيانات احتكاك الأنابيب

الأسبوع 10

الهدف: بناء جدول بيانات لعدد رينولدز ومعامل الاحتكاك وفاقد العلو مقابل السرعة، ومعرفة كيف تزداد الفواقد.

hL=fLDV22gh_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}
دارسي–فايسباخ

الإجراء

  1. اجعل D = 50 mm و L = 100 m و ε = 0.045 mm، والماء عند 20 °C.
  2. احسب Re ومعامل f لهالاند عند V من 0.5 إلى 3 m/s.
  3. احسب h_L وارسمه مقابل V.
  4. وائم h_L ∝ V^n وأوجد n.

جدول البيانات

V (m/s)Refh_L (m)
149,8000.02352.39
299,6000.02168.82
3149,4000.020919.2

قيم محسوبة؛ تأتي n أقل قليلًا من 2 لأن f ينخفض ببطء مع ازدياد Re.

مثال حسابي

  1. h_L(2 m/s) = 0.0216 × 2000 × 4/19.62 = 8.82 m.
  2. مضاعفة V ثلاث مرات ترفع h_L بمقدار 19.2/2.39 = 8.0 مرات.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

MIT OpenCourseWare 1.060 Engineering Mechanics II (Spring 2006)

الصلة بالكوكب: تقول وزارة الطاقة الأمريكية إن أفضل الممارسات في أنظمة الضخ توفر طاقة هائلة؛ والفواقد الأقل تعني مضخات أصغر. U.S. DOE: Pump systems

المختبر E: ترسب الرمل في الماء

الأسبوع 13

الهدف: مراقبة ترسب الرمل الناعم والخشن في كأس طويلة من الماء ومقارنته بقانون ستوكس.

Vs=(ρp−ρ)gD218μV_s=\frac{(\rho_p-\rho)gD^2}{18\mu}
ترسيب ستوكس

الإجراء

  1. املأ كأسًا طويلة أو زجاجة شفافة بالماء.
  2. أسقط قليلًا من الرمل الناعم وقِس الزمن الذي تستغرقه الحبيبات لتهبط 0.2 m.
  3. كرر بالرمل الأخشن.
  4. قارن السرعات بقانون ستوكس ولاحظ متى يتوقف عن الانطباق.

جدول البيانات

قطر الحبيبةسرعة ستوكسRe
50 µm2.04 mm/s0.102
100 µm8.17 mm/s0.81

محسوبة لحبيبات شبيهة بالكوارتز (ρ = 2500 kg/m³)؛ والحبيبات الأخشن التي يتجاوز Re فيها نحو 1 تسقط أبطأ مما يتنبأ به ستوكس.

مثال حسابي

  1. V(50 µm) = 1502 × 9.81 × 2.5 × 10⁻⁹/(18 × 1.002 × 10⁻³) = 2.04 mm/s.
  2. مضاعفة D تزيد السرعة 4 أضعاف.

السلامة

  • استخدم رمل لعب نظيفًا؛ واغسل يديك بعد ذلك.

بديل منزلي أو افتراضي

  • هذا مختبر منزلي.

NASA Glenn: Drag of a sphere

الصلة بالكوكب: تشير وزارة الطاقة الأمريكية إلى أن تصريفات الخزانات تخدم جودة المياه؛ والترسيب يحدد كيف تمتلئ الخزانات وكيف تحمل الأنهار الطمي. U.S. DOE: Types of hydropower plants

المختبر F: نظام الضخ والسرعة المتغيرة

الأسبوع 11

الهدف: إيجاد نقطة تشغيل مضخة واستخدام قوانين التشابه للمقارنة بين الخنق وإبطاء المضخة.

P2P1=(N2N1)3\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3
قانون التشابه للقدرة

الإجراء

  1. أدخل منحنى المضخة H = 40 − 7000Q² ومنحنى النظام H = 10 + 5000Q².
  2. أوجد نقطة التشغيل وقدرة العمود.
  3. طبّق قوانين التشابه عند 1500 و1200 rpm على نقطة 1800 rpm ‏(0.05 m³/s، 30 m).
  4. قارن القدرات المطلوبة.

جدول البيانات

N (rpm)Q (m³/s)H (m)نسبة القدرة
18000.05030.01.000
15000.041720.80.579
12000.033313.30.296

تحجيم تشابه مثالي؛ والرفع الساكن في النظام يحد من مقدار إبطاء المضخة الحقيقية.

مثال حسابي

  1. Q(1200) = 0.05 × 2/3 = 0.0333 m³/s.
  2. نسبة القدرة = (2/3)³ = 0.296.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

U.S. DOE: Pump systems

الصلة بالكوكب: تساعد أداتا PSAT وMEASUR المجانيتان من وزارة الطاقة المصانعَ على إيجاد وفورات المضخات هذه تحديدًا. U.S. DOE: Pump systems

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. أوجد إجهاد القص في الماء بين لوحين المسافة بينهما 0.5 mm عندما يتحرك أحدهما بسرعة 1 m/s.

    اعرض الحل الكامل
    1. τ = 1.002 × 10⁻³ × 1/0.0005.

    الإجابة: 2.00 Pa.

  2. أوجد الضغط المقيس على عمق 25 m في ماء البحر (1025 kg/m³).

    اعرض الحل الكامل
    1. 1025 × 9.81 × 25.

    الإجابة: 251.4 kPa.

  3. أوجد قدرة محطة كهرومائية مع Q = 20 m³/s و H = 40 m و η = 0.88 ‏(ρ = 1000).

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.88 × 1000 × 9.81 × 20 × 40.

    الإجابة: 6.91 MW.

  4. نفث ماء 0.01 m³/s بسرعة 25 m/s تحرفه ريشة ثابتة بزاوية 180°. ما القوة؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 2ρQV = 2 × 1000 × 0.01 × 25.

    الإجابة: 500 N.

  5. أوجد Q الطباقي في أنبوب نصف قطره 2 mm، مع Δp/L = 200 Pa/m، والمائع ماء.

    اعرض الحل الكامل
    1. π × 0.002⁴ × 200/(8 × 1.002 × 10⁻³).

    الإجابة: 1.25 × 10⁻⁶ m³/s.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. نموذج سفينة بمقياس 1:25 محجّم وفق فرود. السرعة الحقيقية 10 m/s. ما سرعة النموذج؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 10/5.

    الإجابة: 2 m/s.

  2. أوجد h_L في 200 m من أنبوب قطره 0.1 m مع f = 0.02 عند 1.5 m/s.

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.02 × 2000 × 2.25/19.62.

    الإجابة: 4.59 m.

  3. مضخة عند 1200 rpm تعطي علوًا 25 m. ما العلو عند 1500 rpm؟

    اعرض الحل الكامل
    1. 25 × (1.25)².

    الإجابة: 39.1 m.

  4. أوجد قدرة الرياح عبر دوّار قطره 80 m عند 8 m/s ‏(ρ = 1.225).

    اعرض الحل الكامل
    1. ½ × 1.225 × π × 40² × 512.

    الإجابة: 1.58 MW.

  5. أوجد Fr لتدفق سرعته 4 m/s وعمقه 0.4 m.

    اعرض الحل الكامل
    1. 4/√(9.81 × 0.4).

    الإجابة: 2.02، فوق الحرج.

  6. أوجد y_c عند q = 3 m²/s.

    اعرض الحل الكامل
    1. (9/9.81)^(1/3).

    الإجابة: 0.972 m.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

τ=μ du/dy, ν=μ/ρ\tau=\mu\,du/dy,\ \nu=\mu/\rho
p=p0+ρgh, F=ρghcA, FB=ρgVp=p_0+\rho gh,\ F=\rho gh_cA,\ F_B=\rho gV
Q=AV, p/ρg+V2/2g+z=constQ=AV,\ p/\rho g+V^2/2g+z=\text{const}
P=ηρgQH, V=2ghP=\eta\rho gQH,\ V=\sqrt{2gh}
∑F=∑m˙Vout−∑m˙Vin, F=ρQV(1−cos⁡θ)\sum F=\sum\dot mV_{out}-\sum\dot mV_{in},\ F=\rho QV(1-\cos\theta)
∇⋅V=0, Q=πR4Δp/(8μL)\nabla\cdot\mathbf V=0,\ Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)
Re=ρVL/μ, Fr=V/gLRe=\rho VL/\mu,\ Fr=V/\sqrt{gL}
hL=f(L/D)V2/2g, flam=64/Reh_L=f(L/D)V^2/2g,\ f_{lam}=64/Re
hm=KV2/2g, Dh=4A/Ph_m=KV^2/2g,\ D_h=4A/P
P=ρgQh/η, Q∝N, H∝N2, P∝N3P=\rho gQh/\eta,\ Q\propto N,\ H\propto N^2,\ P\propto N^3
FD=CD12ρV2A, Pwind=12ρAV3F_D=C_D\tfrac12\rho V^2A,\ P_{wind}=\tfrac12\rho AV^3
V=(1/n)Rh2/3S1/2, yc=(q2/g)1/3V=(1/n)R_h^{2/3}S^{1/2},\ y_c=(q^2/g)^{1/3}
y2/y1=12(1+8Fr12−1)y_2/y_1=\tfrac12(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1)

الثوابت

الثابتالقيمة
الماء عند 20 °C (قيم مرجعية)ρ = 998 kg/m³، μ = 1.002 × 10⁻³ kg/(m·s)، ν = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s، التوتر السطحي σ = 0.0728 N/m
الهواء عند 15 °C (قيم مرجعية)ρ = 1.225 kg/m³, μ = 1.789 × 10⁻⁵ kg/(m·s)
ماء البحر والجليد (قيم مرجعية)ρ_sea = 1025 kg/m³، ρ_ice = 917 kg/m³
الزئبق (قيمة مرجعية)ρ = 13,600 kg/m³
الجاذبيةg = 9.81 m/s²
1 غالون أمريكي3.785 L

المصدر: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه المحاضرات وأقسام الكتب والمحاكاة المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

الطبقة الحدية
طبقة رقيقة قرب الجدار تكون فيها اللزوجة مؤثرة.
الطفو
قوة صاعدة تساوي وزن المائع المزاح.
التكهف
فقاعات بخار تتكون حيث ينخفض الضغط إلى ضغط البخار.
الاتصال
حفظ الكتلة في التدفق.
معامل السحب
السحب مقسومًا على ½ρV²A.
عدد فرود
V/√(gL)، القصور الذاتي إلى الجاذبية.
العلو
الطاقة لكل وحدة وزن من المائع، بالأمتار.
فاقد العلو
الطاقة الميكانيكية المفقودة بالاحتكاك، لكل وحدة وزن.
القفزة الهيدروليكية
تحول مفاجئ من تدفق فوق الحرج إلى دون الحرج.
نصف القطر الهيدروليكي
مساحة التدفق مقسومة على المحيط المبلل.
التدفق الطباقي
تدفق منتظم على هيئة طبقات عند عدد رينولدز منخفض.
المانومتر
أنبوب سائل يُستخدم لقياس فروق الضغط.
معادلات نافييه–ستوكس
معادلات كمية الحركة لمائع لزج.
نقطة التشغيل
حيث يلتقي منحنى المضخة بمنحنى النظام.
عدد رينولدز
ρVL/μ، القصور الذاتي إلى القوى اللزجة.
الوزن النوعي
الكثافة نسبةً إلى الماء.
تدفق ستوكس
تدفق زاحف عند Re أقل بكثير من 1.
التوتر السطحي
القوة لكل وحدة طول على امتداد سطح سائل.
التدفق المضطرب
تدفق فوضوي خالط عند عدد رينولدز مرتفع.
اللزوجة
مقاومة المائع للقص.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيرسم أحجام التحكم، ويختار القانون الصحيح (الهيدروستاتيكا، برنولي، الطاقة، كمية الحركة، نافييه–ستوكس)، ويتحقق من Re وFr، ويحافظ على اتساق الوحدات، وينفذ المختبرات بأمان.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع أخطاء عرضية في الوحدات أو الإشارات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يطبق برنولي عبر المضخات أو يتجاهل الفواقد.
1 · مبتدئيعوّض الأرقام في الصيغ دون رسم تخطيطي؛ يحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين20%
المختبرات25%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع