Mécanique des fluides

Comment s’écoulent les liquides et les gaz : propriétés des fluides et viscosité, pression et poussée d’Archimède, Bernoulli et l’équation de l’énergie en charges, quantité de mouvement sur les jets, aubes et turbines, les équations de Navier–Stokes et les écoulements exacts, analyse dimensionnelle et essais sur maquette, frottement et pertes en conduite, pompes et courbes de réseau, traînée des corps, et écoulement à surface libre, avec six TP. Gratuit, à votre rythme, et relié à l’hydroélectricité, au stockage par pompage, aux énergies marines, aux fuites d’eau, aux courants océaniques et aux éoliennes.

CNES (PIA25623)NASA (STS102-357-031, March 18, 2001)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)NASA Blue Marble

Cours › ENGR 330

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À propos de ce cours

Ceci est le plan d’un cours gratuit en autonomie rédigé par Saving Planets. Ce n’est pas un cours universitaire : il ne donne aucun crédit académique et aucun établissement n’y participe.

Son contenu suit un cours de mécanique des fluides d’un semestre de troisième année. Il s’inspire des thèmes et du niveau de MIT 2.06 Fluid Dynamics et de MIT 1.060 Engineering Mechanics II (tous deux gratuits sur MIT OpenCourseWare), ainsi que de cours comme Purdue ME 309 et Georgia Tech CEE 3040, en s’appuyant sur le chapitre gratuit d’OpenStax University Physics consacré aux fluides et sur les simulations PhET, que nous citons lorsqu’ils sont utiles. Aucun de ces auteurs ou établissements n’approuve cette page.

Ce que nous ajoutons : chaque module est relié à des applications réelles avec une source publique citée (hydroélectricité, stockage par pompage, énergies marines, fuites d’eau domestiques, circulation océanique et éoliennes), chaque nombre de la page est recalculé par un script de vérification avant sa mise en ligne, et chaque TP dispose d’une simulation gratuite ou d’une version sûre à faire chez soi.

Suivez-le dans l’ordre. Chaque unité comporte des objectifs, des notions clés, des équations, des exemples pas à pas, des exercices corrigés en détail, des erreurs fréquentes, des cartes mémoire et un quiz. Votre progression est enregistrée uniquement dans ce navigateur.

Comment ce cours aide à sauver la planète

L’eau et l’air en mouvement transportent l’essentiel de l’énergie renouvelable du monde : les rivières à travers les turbines hydroélectriques, le vent sur les pales des éoliennes, les marées et les vagues dans les dispositifs d’énergie marine. La mécanique des fluides détermine aussi l’énergie nécessaire pour pomper l’eau vers les villes et les exploitations agricoles, et la part perdue en fuites et en frottement.

Les courants océaniques transportent la chaleur autour de la planète et façonnent le climat. Chaque module se termine par une courte section sourcée. Les valeurs qui ne proviennent pas d’une source sont signalées comme valeurs d’exemple.

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Avant de commencer

Prérequis

  • Analyse III : dérivées partielles, divergence et intégrales multiples.
  • Équations différentielles : EDO du premier et du second ordre.
  • Statique et dynamique : diagrammes du corps libre, lois de Newton et quantité de mouvement.
  • La thermodynamique aide pour l’équation de l’énergie mais n’est pas obligatoire.

Comment étudier

  • Commencez chaque problème par un schéma : volume de contrôle, ligne de courant ou diagramme du corps libre du fluide.
  • Écrivez d’abord l’équation qui gouverne le problème en mots (masse, quantité de mouvement ou énergie), puis éliminez les termes que vous pouvez justifier.
  • Travaillez en charges (mètres de fluide) pour les systèmes liquides ; elles facilitent la comparaison des pompes, conduites et turbines.
  • Calculez le nombre de Reynolds avant de choisir une corrélation de frottement ou de traînée.
  • Vérifiez les unités et les cas limites : un débit nul signifie une perte nulle ; doubler la vitesse quadruple à peu près les pertes turbulentes.
  • Faites chaque exercice sur papier avant d’ouvrir la réponse, et refaites les quiz quelques jours plus tard.

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

  • Un ordinateur ou une tablette pour les simulations gratuites PhET Density, Buoyancy, Under Pressure et Fluid Pressure and Flow.
  • Une bouteille en plastique transparent, un clou ou une brochette, une règle et du ruban adhésif.
  • Une balance de cuisine, un pichet gradué, un seau et un chronomètre.
  • Un tuyau d’arrosage ou un robinet d’évier.
  • Un tableur pour les TP sur les conduites et les pompes.

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Programme suggéré sur 15 semaines

Environ 6 à 9 heures par semaine : lecture, exercices et, les semaines de TP, le TP.

SemaineUnitéThèmesLecture
1Propriétés des fluides : masse volumique, viscosité et tension superficiellePropriétés des fluides, viscosité, tension superficielleOpenStax UP1 14.1, 14.7
2Statique des fluides, manomètres et poussée d’ArchimèdeHydrostatique et manomètresUP1 14.2
3Statique des fluides, manomètres et poussée d’ArchimèdeForces sur les surfaces immergées, poussée d’Archimède, stabilité ; TP AUP1 14.4
4Bernoulli, charges et équation de l’énergieContinuité, Bernoulli, charges, équation de l’énergie ; TP BUP1 14.5–14.6
5Quantité de mouvement intégrale : jets, aubes, coudes et turbinesThéorème de transport de Reynolds, quantité de mouvement, jets, aubes, PeltonMIT 2.06
6Analyse différentielle : continuité, Navier–Stokes et écoulements exactsCinématique, continuité, fonction de courantMIT 2.06
7Analyse différentielle : continuité, Navier–Stokes et écoulements exactsNavier–Stokes, Couette et Poiseuille ; TP C ; entraînement pour le partielMIT 2.25
8Analyse dimensionnelle, similitude et essais sur maquetteAnalyse dimensionnelle et similitudeMIT 1.060
9Écoulement en conduite : frottement, diagramme de Moody et pertes singulièresÉcoulement laminaire et turbulent en conduite, diagramme de MoodyMIT 1.060
10Écoulement en conduite : frottement, diagramme de Moody et pertes singulièresPertes singulières, réseaux ; TP DMIT 1.060
11Pompes, turbines et réseaux de pompagePompes, courbes de réseau, lois de similitude, turbines ; TP FSystèmes de pompage du DOE
12Écoulement externe : couches limites, traînée et portanceCouches limites, traînée, écoulement de StokesNASA Glenn
13Écoulement externe : couches limites, traînée et portancePortance, énergie éolienne, limite de Betz ; TP ENASA Glenn; DOE wind
14Écoulement à surface libre : rivières, canaux et ressauts hydrauliquesCanaux à surface libre, nombre de Froude, ManningMIT 1.060
15Écoulement à surface libre : rivières, canaux et ressauts hydrauliquesÉnergie spécifique, ressauts hydrauliques, déversoirs ; entraînement pour l’examen finalMIT 1.060

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Votre progression

Cochez les unités et les TP à mesure que vous les terminez, et faites les quiz. La progression et les scores sont enregistrés uniquement dans ce navigateur et ne nous sont jamais envoyés.

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Unité 1 · Semaine 1

Propriétés des fluides : masse volumique, viscosité et tension superficielle

Ce qui fait un fluide, l’hypothèse du milieu continu, masse volumique et densité, pression, viscosité et loi de Newton de la viscosité, viscosité cinématique, fluides non newtoniens, tension superficielle et ascension capillaire, et pression de vapeur et cavitation.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Définir un fluide et utiliser l’hypothèse du milieu continu.
  • Utiliser la loi de Newton de la viscosité pour trouver la contrainte de cisaillement.
  • Calculer l’ascension capillaire à partir de la tension superficielle.
  • Expliquer comment les différences de masse volumique entraînent des écoulements.

Notions clés

  • Un fluide se déforme continûment sous toute contrainte de cisaillement, si petite soit-elle. Le traiter comme un milieu continu permet de définir la masse volumique, la vitesse et la pression en chaque point.
  • Masse volumique ρ (kg/m³) et densité SG = ρ/ρ_water. L’eau à 20 °C a ρ = 998 kg/m³ ; l’air à 15 °C a 1.225 kg/m³.
  • Loi de Newton de la viscosité : contrainte de cisaillement τ = μ du/dy. La viscosité dynamique μ mesure la résistance au cisaillement ; la viscosité cinématique ν = μ/ρ. L’eau est environ 56 fois plus visqueuse que l’air mais a un ν environ 15 fois plus faible.
  • Les fluides non newtoniens (peinture, sang, dentifrice) ont une viscosité qui varie avec le taux de cisaillement.
  • La tension superficielle σ tend les surfaces liquides ; dans un tube fin, l’eau monte de h = 4σ cos θ/(ρgD). Si la pression locale tombe à la pression de vapeur, le liquide bout : c’est la cavitation, qui endommage pompes et hélices.

Équations clés

τ=μdudy\tau=\mu\frac{du}{dy}
Loi de Newton de la viscosité
ν=μρ\nu=\frac{\mu}{\rho}
Viscosité cinématique
SG=ρρwaterSG=\frac{\rho}{\rho_{water}}
Densité
h=4σcos⁡θρgDh=\frac{4\sigma\cos\theta}{\rho gD}
Ascension capillaire

Exemples résolus pas à pas

Exemple 1.1 De l’eau (μ = 1.002 × 10⁻³ kg/(m·s)) remplit un interstice de 1 mm entre une plaque fixe et une plaque se déplaçant à 2 m/s. Trouvez la contrainte de cisaillement.

Afficher les étapes
  1. du/dy = 2/0.001 = 2000 s⁻¹.
  2. τ = 1.002 × 10⁻³ × 2000.

Réponse : τ = 2.00 Pa.

Exemple 1.2 Trouvez l’ascension capillaire de l’eau (σ = 0.0728 N/m, θ = 0) dans un tube de verre de 1 mm.

Afficher les étapes
  1. h = 4 × 0.0728/(998 × 9.81 × 0.001).

Réponse : h = 29.7 mm.

Exemple 1.3 Trouvez ν pour l’eau à 20 °C.

Afficher les étapes
  1. ν = 1.002 × 10⁻³/998.

Réponse : ν = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trouvez la densité SG de l’eau de mer (1025 kg/m³).

    Afficher la réponse

    1025/998 = 1.027.

  2. Trouvez l’ascension capillaire dans un tube de 0.5 mm.

    Afficher la réponse

    Deux fois plus : 59.5 mm.

  3. Trouvez μ_water/μ_air.

    Afficher la réponse

    1.002 × 10⁻³/1.789 × 10⁻⁵ = 56.0.

  4. Quelle fraction d’un iceberg se trouve sous la surface de l’eau de mer ?

    Afficher la réponse

    917/1025 = 89.5%.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La viscosité et la masse volumique sont la même chose.

    En réalité : Le miel est visqueux ; le mercure est dense mais peu visqueux.

  • Idée reçue : Les fluides résistent au cisaillement comme les solides.

    En réalité : Ils s’écoulent sous toute contrainte de cisaillement.

  • Idée reçue : La cavitation nécessite une température élevée.

    En réalité : Une basse pression suffit.

Cartes mémoire

  • Fluide

    Se déforme continûment sous cisaillement.

  • Viscosité

    τ = μ du/dy.

  • Viscosité cinématique

    ν = μ/ρ.

  • Densité

    ρ/ρ_water.

  • Ascension capillaire

    4σ cos θ/(ρgD).

  • Cavitation

    Ébullition à basse pression.

Quiz d’autocontrôle

1. La contrainte de cisaillement dans un fluide newtonien est…

Afficher la réponse

μ du/dy. Loi de Newton de la viscosité.

2. La viscosité cinématique est…

Afficher la réponse

μ/ρ. ν = μ/ρ.

3. L’ascension capillaire augmente quand le tube est…

Afficher la réponse

plus étroit. h ∝ 1/D.

4. La cavitation se produit quand la pression tombe à…

Afficher la réponse

la pression de vapeur. Ébullition locale.

Comment cela aide à sauver la planète

La NOAA explique que les vents entraînent les courants océaniques dans les 100 premiers mètres, mais que les courants profonds, à des milliers de mètres, sont entraînés par des différences de masse volumique de l’eau, contrôlées par la température et la salinité : la circulation thermohaline.

Dans les régions polaires, la banquise se forme en laissant le sel derrière elle ; l’eau environnante devient plus salée et plus dense et plonge ; l’eau de surface afflue pour la remplacer, ce qui lance le tapis roulant océanique mondial. La masse volumique, première propriété de ce module, déplace la chaleur sur toute la planète.

Sur Saving Planets : Océans · Observation de la Terre

Sources : NOAA National Ocean Service: Thermohaline circulation

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 2 · Semaines 2–3

Statique des fluides, manomètres et poussée d’Archimède

Pression en un point, équation de l’hydrostatique, pression relative et absolue, manomètres, forces hydrostatiques sur les surfaces planes immergées et centre de poussée, forces sur les surfaces courbes, principe d’Archimède, et stabilité des corps flottants.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer la pression en profondeur et lire les manomètres.
  • Trouver la force résultante et le centre de poussée sur une vanne immergée.
  • Appliquer le principe d’Archimède.
  • Juger si un corps flottant est stable.

Notions clés

  • La pression en un point agit de la même façon dans toutes les directions. Dans un fluide au repos dp/dz = −ρg, donc avec une masse volumique constante p = p₀ + ρgh à la profondeur h. La pression relative est mesurée par rapport à l’atmosphère.
  • Les manomètres équilibrent des colonnes de fluide : parcourez le tube en ajoutant ρgh en descendant et en le soustrayant en montant.
  • Sur une surface plane, la force résultante vaut F = ρg h_c A (h_c = profondeur du centroïde). Elle s’applique au centre de poussée, sous le centroïde : y_cp = y_c + I_xc/(y_c A).
  • Sur les surfaces courbes, la composante horizontale est la force sur la projection verticale et la composante verticale est le poids du fluide situé au-dessus.
  • Archimède : la poussée est égale au poids du fluide déplacé, F_B = ρ_fluid g V_displaced. Un corps flottant est stable si son métacentre est au-dessus de son centre de gravité.

Équations clés

p=p0+ρghp=p_0+\rho gh
Pression hydrostatique
F=ρghcAF=\rho g h_cA
Force sur une surface plane
ycp=yc+IxcycAy_{cp}=y_c+\frac{I_{xc}}{y_cA}
Centre de poussée
FB=ρfgVdispF_B=\rho_f gV_{disp}
Poussée d’Archimède

Exemples résolus pas à pas

Exemple 2.1 Trouvez la pression relative à 10 m sous la surface d’une eau douce (ρ = 998 kg/m³).

Afficher les étapes
  1. p = 998 × 9.81 × 10.

Réponse : p = 97.9 kPa (environ une atmosphère).

Exemple 2.2 Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large et 3 m de haut a son bord supérieur à la surface de l’eau. Trouvez la force et la profondeur du centre de poussée.

Afficher les étapes
  1. h_c = 1.5 m; A = 6 m².
  2. F = 998 × 9.81 × 1.5 × 6 = 88.1 kN.
  3. I_xc = 2 × 3³/12 = 4.5 m⁴; y_cp = 1.5 + 4.5/(1.5 × 6).

Réponse : F = 88.1 kN appliquée à 2.0 m sous la surface (aux deux tiers de la profondeur).

Exemple 2.3 Un manomètre à mercure (ρ = 13600 kg/m³) branché sur une conduite d’eau indique une différence de 0.1 m. Trouvez la différence de pression.

Afficher les étapes
  1. Δp = (13600 − 1000) × 9.81 × 0.1 (eau au-dessus du mercure, ρ_water ≈ 1000 kg/m³).

Réponse : Δp = 12.4 kPa.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trouvez la poussée sur un objet de 2 L entièrement immergé dans l’eau (ρ ≈ 1000 kg/m³).

    Afficher la réponse

    1000 × 9.81 × 0.002 = 19.6 N.

  2. Quelle est la pression absolue à 10 m de profondeur si p_atm = 101.3 kPa ?

    Afficher la réponse

    199.2 kPa.

  3. La force sur un barrage dépend-elle de la longueur de la retenue ?

    Afficher la réponse

    Non ; seulement de la profondeur et de la surface de la paroi.

  4. Pourquoi le centre de poussée est-il sous le centroïde ?

    Afficher la réponse

    La pression augmente avec la profondeur.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La pression dépend de la forme du récipient.

    En réalité : Seulement de la profondeur (le paradoxe hydrostatique).

  • Idée reçue : La poussée d’Archimède dépend du poids de l’objet.

    En réalité : Elle dépend du volume déplacé.

  • Idée reçue : La force sur une vanne s’applique en son centre.

    En réalité : Elle s’applique au centre de poussée, plus bas.

Cartes mémoire

  • Hydrostatique

    p = p₀ + ρgh.

  • Pression relative

    Par rapport à l’atmosphère.

  • Force sur une surface plane

    ρg h_c A.

  • Centre de poussée

    y_c + I/(y_c A).

  • Archimède

    F_B = ρgV.

  • Stabilité

    Métacentre au-dessus de G.

Quiz d’autocontrôle

1. La pression à la profondeur h est…

Afficher la réponse

ρgh. Hydrostatique (relative).

2. La poussée d’Archimède est égale…

Afficher la réponse

au poids du fluide déplacé. Archimède.

3. Pour une vanne verticale partant de la surface, le centre de poussée est…

Afficher la réponse

aux deux tiers de la profondeur. Charge triangulaire.

4. Un corps flottant est stable si…

Afficher la réponse

M est au-dessus de G. Métacentre.

Comment cela aide à sauver la planète

Le DOE note que les États-Unis comptent plus de 90000 barrages et que moins de 3 % d’entre eux produisent de l’électricité ; les autres servent aux loisirs, aux étangs agricoles, à la maîtrise des crues, à l’approvisionnement en eau et à l’irrigation. Chacun est conçu avec les équations de ce module : la charge de l’eau sur un barrage croît avec le carré de la profondeur et s’applique bas sur la paroi.

Le DOE décrit la centrale hydroélectrique la plus courante, une centrale à retenue, comme un barrage qui stocke l’eau d’une rivière dans un réservoir ; l’eau relâchée à travers une turbine fait tourner un alternateur, et les lâchers peuvent aussi servir à la maîtrise des crues, aux loisirs, au passage des poissons et à la qualité de l’eau. La pression de l’eau stockée sur le barrage et sa charge à la turbine découlent directement de p = ρgh.

Sur Saving Planets : Statique · Océans

Sources : U.S. DOE: Types of hydropower plants

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 3 · Semaine 4

Bernoulli, charges et équation de l’énergie

Lignes de courant et visualisation des écoulements, continuité Q = AV, équation de Bernoulli et ses limites, charges de pression, de vitesse et d’altitude, ligne de charge, loi de Torricelli, équation de l’énergie en écoulement permanent avec charges de pompe, de turbine et de pertes, et production hydroélectrique.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Appliquer la continuité et Bernoulli le long d’une ligne de courant.
  • Travailler en charges : pression, vitesse et altitude.
  • Utiliser l’équation de l’énergie avec les charges de pompe, de turbine et de pertes.
  • Calculer la puissance hydroélectrique et la puissance de pompage.

Notions clés

  • Pour un écoulement permanent incompressible, le débit volumique Q = AV est le même dans chaque section d’une conduite (continuité).
  • Bernoulli le long d’une ligne de courant (permanent, non visqueux, incompressible) : p/(ρg) + V²/(2g) + z = constante. Chaque terme est une charge en mètres.
  • Torricelli : un jet sortant d’un réservoir à la profondeur h a une vitesse V = √(2gh).
  • Les systèmes réels ajoutent pompes et turbines et perdent de l’énergie par frottement : p₁/(ρg) + V₁²/(2g) + z₁ + h_pump = p₂/(ρg) + V₂²/(2g) + z₂ + h_turbine + h_L.
  • Puissance d’une charge : P = ρgQH. Les turbines fournissent P = ηρgQH ; les pompes nécessitent P = ρgQH/η. Le DOE note que la production hydroélectrique dépend du débit et de la charge.

Équations clés

Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2
Continuité
pρg+V22g+z=const\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=\text{const}
Bernoulli en charges
V=2ghV=\sqrt{2gh}
Torricelli
P=ηρgQHP=\eta\rho gQH
Hydroélectricité

Exemples résolus pas à pas

Exemple 3.1 Trouvez la vitesse du jet sortant d’un trou situé 5 m sous la surface d’un réservoir.

Afficher les étapes
  1. V = √(2 × 9.81 × 5).

Réponse : V = 9.90 m/s.

Exemple 3.2 Une centrale hydroélectrique a Q = 50 m³/s, une charge H = 100 m et un rendement global de 0.9 (valeurs d’exemple ; ρ = 1000 kg/m³). Trouvez la puissance.

Afficher les étapes
  1. P = 0.9 × 1000 × 9.81 × 50 × 100.

Réponse : P = 44.1 MW, une « grande » centrale selon la définition du DOE (30 MW).

Exemple 3.3 Une pompe élève 0.05 m³/s d’eau de 20 m avec 5 m de pertes en conduite et un rendement de 75 %. Trouvez la puissance absorbée.

Afficher les étapes
  1. h_pump = 20 + 5 = 25 m.
  2. P = 1000 × 9.81 × 0.05 × 25/0.75.

Réponse : P = 16.4 kW.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Un tuyau débite 0.4 L/s à travers un alésage de 20 mm vers une buse de 10 mm. Trouvez les deux vitesses.

    Afficher la réponse

    1.27 m/s et 5.09 m/s.

  2. Convertissez 200 kPa en mètres de colonne d’eau.

    Afficher la réponse

    200,000/(1000 × 9.81) = 20.4 m.

  3. On double la charge d’une centrale hydroélectrique à Q constant. Puissance ?

    Afficher la réponse

    Elle double.

  4. Pourquoi un tube de Pitot indique-t-il plus qu’une prise statique ?

    Afficher la réponse

    Il ajoute la charge de vitesse.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Bernoulli s’applique à travers une pompe.

    En réalité : Utilisez l’équation de l’énergie avec h_pump.

  • Idée reçue : Un écoulement plus rapide signifie une pression plus élevée.

    En réalité : Le long d’une ligne de courant, plus rapide signifie une pression statique plus basse.

  • Idée reçue : La charge est une pression.

    En réalité : C’est une énergie par unité de poids, en mètres.

Cartes mémoire

  • Continuité

    Q = AV.

  • Bernoulli

    p/ρg + V²/2g + z = const.

  • Torricelli

    V = √(2gh).

  • Équation de l’énergie

    Ajoute h_pump, h_turbine, h_L.

  • Hydroélectricité

    P = ηρgQH.

  • Puissance de pompe

    ρgQH/η.

Quiz d’autocontrôle

1. La charge de vitesse est…

Afficher la réponse

V²/(2g). L’énergie cinétique par unité de poids.

2. Diviser par deux la section d’une conduite double…

Afficher la réponse

la vitesse. Continuité.

3. La puissance hydroélectrique est proportionnelle à…

Afficher la réponse

Q × H. P = ηρgQH.

4. La vitesse du jet de Torricelli est…

Afficher la réponse

√(2gh). Bernoulli du réservoir au jet.

Comment cela aide à sauver la planète

Le DOE explique que l’hydroélectricité est alimentée par l’énergie cinétique de l’eau qui s’écoule, et que l’énergie disponible dépend à la fois du volume d’écoulement et de la dénivellation, la chute : plus le débit est grand et la chute haute, plus on peut produire d’électricité. L’eau traverse une conduite forcée et fait tourner une turbine reliée à un alternateur.

Le DOE classe les centrales par taille : grande hydraulique au-dessus de 30 MW, petite hydraulique de 100 kW à 10 MW, et micro-hydraulique jusqu’à 100 kW, assez pour une maison, une ferme ou un village. P = ηρgQH permet de dimensionner chacune à partir d’une mesure de débit et d’un relevé de la chute.

Sur Saving Planets : Solutions · Thermodynamique

Sources : U.S. DOE: How hydropower works · U.S. DOE: Types of hydropower plants

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 4 · Semaine 5

Quantité de mouvement intégrale : jets, aubes, coudes et turbines

Théorème de transport de Reynolds, équation de la quantité de mouvement pour les volumes de contrôle, forces des jets sur les plaques et les aubes, forces sur les coudes et les buses, volumes de contrôle mobiles, turbines à action (roues Pelton), et équation du moment cinétique pour les turbomachines.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Énoncer le théorème de transport de Reynolds.
  • Appliquer l’équation de la quantité de mouvement aux jets et aux aubes.
  • Analyser une aube mobile et une roue Pelton.
  • Utiliser le moment cinétique pour le couple des turbines et des pompes.

Notions clés

  • Théorème de transport de Reynolds : le taux de variation d’une propriété d’un système fluide = taux de variation dans un volume de contrôle + flux sortant net à travers sa surface.
  • Quantité de mouvement en régime permanent : ΣF = Σṁ_out V_out − Σṁ_in V_in (vecteurs). Incluez les forces de pression sur les sections coupées et la force d’appui.
  • Un jet de vitesse V et de débit Q frappant une plaque plane de face exerce F = ρQV. Une aube déviant le jet d’un angle θ exerce F = ρQV(1 − cos θ) le long du jet.
  • Pour une aube se déplaçant à la vitesse U, utilisez la vitesse relative (V − U). Les augets d’une roue Pelton dévient le jet de près de 180° ; la puissance F·U est maximale pour U = V/2.
  • Moment cinétique : couple = ṁ(r₂V_θ2 − r₁V_θ1) (équation d’Euler des turbomachines), base de la conception des pompes et des turbines.

Équations clés

∑F=∑m˙Vout−∑m˙Vin\sum\mathbf F=\sum\dot m\mathbf V_{out}-\sum\dot m\mathbf V_{in}
Quantité de mouvement en régime permanent
F=ρQV(1−cos⁡θ)F=\rho QV(1-\cos\theta)
Force d’un jet dévié
F=ρQ(V−U)(1−cos⁡β)F=\rho Q(V-U)(1-\cos\beta)
Aube mobile
T=m˙(r2Vθ2−r1Vθ1)T=\dot m(r_2V_{\theta2}-r_1V_{\theta1})
Équation d’Euler des turbomachines

Exemples résolus pas à pas

Exemple 4.1 Un jet d’eau de 50 mm à 20 m/s frappe une plaque plane de face. Trouvez la force.

Afficher les étapes
  1. A = π × 0.05²/4 = 1.963 × 10⁻³ m².
  2. F = ρAV² = 1000 × 1.963 × 10⁻³ × 400.

Réponse : F = 785 N.

Exemple 4.2 Le même jet est dévié de 120° par une aube fixe. Trouvez la force le long du jet.

Afficher les étapes
  1. F = ρAV²(1 − cos 120°) = 785 × 1.5.

Réponse : F = 1178 N.

Exemple 4.3 Un auget Pelton se déplaçant à 15 m/s reçoit un jet de 0.01 m³/s à 30 m/s et le dévie de 165°. Trouvez la force et la puissance.

Afficher les étapes
  1. F = 1000 × 0.01 × (30 − 15)(1 − cos 165°) = 294.9 N.
  2. P = F × U.

Réponse : F = 294.9 N ; P = 4.42 kW (le jet transporte ½ρQV² = 4.5 kW).

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. À quelle vitesse d’auget une roue Pelton donne-t-elle la puissance maximale ?

    Afficher la réponse

    La moitié de la vitesse du jet.

  2. On double la vitesse du jet à section égale. Force sur une plaque ?

    Afficher la réponse

    4 fois plus.

  3. Citez les forces d’un bilan de quantité de mouvement sur un coude.

    Afficher la réponse

    Forces de pression à l’entrée et à la sortie, poids et force d’appui.

  4. Pourquoi les augets Pelton sont-ils divisés au milieu ?

    Afficher la réponse

    Pour dévier le jet de près de 180° sans qu’il frappe l’auget suivant.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La force sur la plaque dépend de la taille de la plaque.

    En réalité : Pour un jet entièrement dévié, elle ne dépend que de ρQV.

  • Idée reçue : Une aube mobile voit toute la vitesse du jet.

    En réalité : Elle voit V − U.

  • Idée reçue : La quantité de mouvement est un scalaire.

    En réalité : C’est un vecteur ; décomposez-la en composantes.

Cartes mémoire

  • RTT

    Taux du système = taux dans le VC + flux sortant net.

  • Quantité de mouvement

    ΣF = Σṁ V_out − Σṁ V_in.

  • Plaque

    ρQV.

  • Aube

    ρQV(1 − cos θ).

  • Pelton

    Optimale pour U = V/2.

  • Turbine d’Euler

    T = ṁ Δ(rV_θ).

Quiz d’autocontrôle

1. La force d’un jet sur une plaque plane est…

Afficher la réponse

ρQV. Le flux de quantité de mouvement.

2. Dévier un jet de 180° donne une force de…

Afficher la réponse

2ρQV. 1 − cos 180° = 2.

3. Le meilleur rapport U/V pour une roue Pelton est…

Afficher la réponse

0.5. Il maximise (V − U)U.

4. L’équation d’Euler donne, pour une turbomachine, …

Afficher la réponse

le moment d’une force. Moment cinétique.

Comment cela aide à sauver la planète

Le DOE explique que le stockage hydraulique par pompage fonctionne comme une batterie géante : quand la demande est faible, il pompe l’eau vers un réservoir supérieur, et quand la demande est forte, l’eau redescend à travers une turbine. Selon le DOE, le stockage par pompage représente 88 % de tout le stockage d’énergie à l’échelle des réseaux aux États-Unis, avec 43 centrales, et la capacité pourrait plus que doubler.

Chaque pompe-turbine est conçue avec les équations de quantité de mouvement et de moment cinétique de ce module : les angles des aubes de la roue fixent le couple que l’eau cède ou reçoit. Stocker ainsi l’énergie solaire et éolienne dépend de la justesse de ces aubes.

Sur Saving Planets : Solutions · Dynamique

Sources : U.S. DOE: Pumped storage hydropower

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 5 · Semaines 6–7

Analyse différentielle : continuité, Navier–Stokes et écoulements exacts

Cinématique des fluides (champ de vitesse, accélération, vorticité, déformation), équation de continuité différentielle, fonction de courant, équations d’Euler et de Navier–Stokes, conditions aux limites, et solutions laminaires exactes : écoulement de Couette, écoulement de Poiseuille plan et écoulement de Hagen–Poiseuille en conduite.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer l’accélération particulaire d’un champ de vitesse.
  • Vérifier la continuité et trouver une fonction de courant.
  • Énoncer les équations de Navier–Stokes et leurs conditions aux limites.
  • Résoudre les écoulements de Couette et de Hagen–Poiseuille.

Notions clés

  • Du point de vue eulérien, l’accélération a une partie locale ∂V/∂t et une partie convective (V·∇)V ; leur somme est la dérivée particulaire DV/Dt.
  • Continuité incompressible : ∇·V = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0. En 2D, une fonction de courant ψ avec u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x la satisfait automatiquement.
  • Navier–Stokes (incompressible, newtonien) : ρ DV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V. Avec la condition de non-glissement aux parois, elle gouverne presque tous les écoulements de ce cours ; seuls quelques cas se résolvent exactement.
  • Écoulement de Couette entre une plaque fixe et une plaque mobile : profil de vitesse linéaire, cisaillement τ = μU/h.
  • Écoulement de Hagen–Poiseuille en conduite : profil parabolique, u_max = 2V_avg, et Q = πR⁴Δp/(8μL). Il reste valable tant que l’écoulement est laminaire (Re inférieur à environ 2300).

Équations clés

DVDt=∂V∂t+(V⋅∇)V\frac{D\mathbf V}{Dt}=\frac{\partial\mathbf V}{\partial t}+(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V
Accélération particulaire
∇⋅V=0\nabla\cdot\mathbf V=0
Continuité incompressible
ρDVDt=−∇p+ρg+μ∇2V\rho\frac{D\mathbf V}{Dt}=-\nabla p+\rho\mathbf g+\mu\nabla^2\mathbf V
Navier–Stokes
Q=πR4Δp8μLQ=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}
Hagen–Poiseuille

Exemples résolus pas à pas

Exemple 5.1 De l’eau s’écoule dans un tube de 4 mm de diamètre avec Δp/L = 100 Pa/m. Trouvez Q, V_avg, u_max et Re.

Afficher les étapes
  1. Q = π × 0.002⁴ × 100/(8 × 1.002 × 10⁻³) = 6.27 × 10⁻⁷ m³/s.
  2. V = Q/(π × 0.002²) = 0.0499 m/s ; u_max = 2V.
  3. Re = 998 × 0.0499 × 0.004/1.002 × 10⁻³.

Réponse : Q = 6.27 × 10⁻⁷ m³/s, V = 0.0499 m/s, u_max = 0.0998 m/s, Re = 199 (laminaire).

Exemple 5.2 Une plaque se déplace à 1 m/s sur un film d’eau de 2 mm. Trouvez la contrainte de cisaillement.

Afficher les étapes
  1. τ = μU/h = 1.002 × 10⁻³ × 1/0.002.

Réponse : τ = 0.501 Pa.

Exemple 5.3 V = (2x, −2y) est-il incompressible, et quelle est son accélération en (1, 1) ?

Afficher les étapes
  1. ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2 − 2 = 0.
  2. a_x = u ∂u/∂x = 2x × 2 = 4x; a_y = v ∂v/∂y = (−2y)(−2) = 4y.

Réponse : Yes; a = (4, 4) m/s².

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. On divise par deux le rayon de la conduite à Δp/L égal. Q ?

    Afficher la réponse

    1/16 du débit initial.

  2. Trouvez ψ pour u = 1, v = 0.

    Afficher la réponse

    ψ = y.

  3. Où le cisaillement est-il maximal dans un écoulement de Poiseuille ?

    Afficher la réponse

    À la paroi.

  4. Nommez la condition aux limites sur une paroi solide.

    Afficher la réponse

    Non-glissement : la vitesse du fluide est égale à celle de la paroi.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Un écoulement permanent a une accélération nulle.

    En réalité : L’accélération convective peut être non nulle.

  • Idée reçue : Navier–Stokes a de nombreuses solutions exactes.

    En réalité : Seulement pour quelques géométries simples.

  • Idée reçue : La loi de Poiseuille s’applique à tout écoulement en conduite.

    En réalité : Seulement en écoulement laminaire.

Cartes mémoire

  • Dérivée particulaire

    ∂/∂t + V·∇.

  • Continuité

    ∇·V = 0.

  • Fonction de courant

    u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x.

  • Navier–Stokes

    ρDV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V.

  • Couette

    τ = μU/h.

  • Poiseuille

    Q = πR⁴Δp/8μL.

Quiz d’autocontrôle

1. Le Q de Hagen–Poiseuille varie avec le rayon comme…

Afficher la réponse

R⁴. πR⁴Δp/(8μL).

2. Dans un écoulement de Couette, le profil est…

Afficher la réponse

linéaire. Pas de gradient de pression.

3. L’accélération convective est…

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(V·∇)V. La variation spatiale.

4. u_max/V_avg en écoulement laminaire en conduite vaut…

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2. Parabolique.

Comment cela aide à sauver la planète

L’EPA indique que les fuites domestiques peuvent gaspiller près de 1 billion de gallons d’eau par an à l’échelle du pays, que les fuites d’un foyer moyen peuvent gaspiller plus de 9300 gallons par an, et que 9 % des logements ont des fuites gaspillant 50 gallons ou plus par jour.

Les petites fuites à travers des joints et raccords usés sont souvent des écoulements lents et laminaires dans de minuscules interstices, où la loi en R⁴ ci-dessus montre pourquoi un léger élargissement d’une fissure change beaucoup. Selon l’EPA, réparer les fuites domestiques faciles à corriger peut faire économiser environ 10 % sur les factures d’eau.

Sur Saving Planets : Équations différentielles · Analyse III

Sources : U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

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Unité 6 · Semaine 8

Analyse dimensionnelle, similitude et essais sur maquette

Homogénéité dimensionnelle, théorème Pi de Buckingham, nombres sans dimension courants (Reynolds, Froude, Mach, Weber, Euler), similitude géométrique, cinématique et dynamique, lois de similitude et effets d’échelle, et adimensionnalisation des équations qui gouvernent les écoulements.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Trouver les nombres sans dimension avec le théorème Pi.
  • Dire ce que comparent Re, Fr, Ma et We.
  • Transposer les résultats d’essais sur maquette à l’échelle réelle par similitude de Froude ou de Reynolds.
  • Expliquer pourquoi une similitude complète est souvent impossible.

Notions clés

  • Toute équation valide est dimensionnellement homogène. Le théorème Pi de Buckingham dit qu’un problème à n variables et k dimensions de base a n − k nombres sans dimension indépendants.
  • Nombres courants : Re = ρVL/μ (inertie/viscosité), Fr = V/√(gL) (inertie/gravité), Ma = V/a (compressibilité), We = ρV²L/σ (inertie/tension superficielle), Eu = Δp/(ρV²) (pression).
  • Similitude dynamique : si la maquette et le prototype ont la même géométrie et les mêmes nombres sans dimension déterminants, leurs résultats adimensionnels (C_D, C_p, rendement) coïncident.
  • Les écoulements à surface libre (navires, évacuateurs de crues, vagues) utilisent la similitude de Froude : V_m = V_p√(L_m/L_p) ; les forces varient comme le cube de l’échelle des longueurs et la puissance comme cette échelle à la puissance 3.5.
  • Respecter à la fois Re et Fr exige généralement un fluide impossible ; les ingénieurs respectent donc le nombre dominant et corrigent l’autre (effets d’échelle).

Équations clés

Π groups=n−k\Pi\text{ groups}=n-k
Théorème Pi de Buckingham
Re=ρVLμ, Fr=VgLRe=\frac{\rho VL}{\mu},\ Fr=\frac{V}{\sqrt{gL}}
Nombres de Reynolds et de Froude
Vm=VpLm/LpV_m=V_p\sqrt{L_m/L_p}
Similitude de Froude
FpFm=(LpLm)3\frac{F_p}{F_m}=\left(\frac{L_p}{L_m}\right)^3
Échelle des forces (Froude, même fluide)

Exemples résolus pas à pas

Exemple 6.1 La traînée F d’une sphère dépend de ρ, V, D et μ. Combien de nombres Pi, et lesquels ?

Afficher les étapes
  1. n = 5 variables, k = 3 dimensions (M, L, T).
  2. Nombres : F/(ρV²D²) et ρVD/μ.

Réponse : 2 nombres : C_D = f(Re).

Exemple 6.2 Une maquette houlomotrice au 1:20 est testée en similitude de Froude. La vitesse des vagues en vraie grandeur est de 10 m/s. Trouvez la vitesse sur maquette.

Afficher les étapes
  1. V_m = 10/√20.

Réponse : V_m = 2.24 m/s.

Exemple 6.3 Pour cette maquette, comment varient les forces et la puissance ?

Afficher les étapes
  1. F_p/F_m = 20³.
  2. P_p/P_m = 20^3.5.

Réponse : Forces × 8000 ; puissance × 35777.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Quel nombre compte le plus pour les vagues d’un navire ?

    Afficher la réponse

    Le nombre de Froude.

  2. Et pour l’écoulement dans une petite conduite ?

    Afficher la réponse

    Le nombre de Reynolds.

  3. Une maquette au 1:10 dans le même fluide doit respecter Re. Vitesse sur maquette par rapport à la vraie grandeur ?

    Afficher la réponse

    10 fois plus rapide.

  4. Que compare We ?

    Afficher la réponse

    L’inertie à la tension superficielle.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Les essais sur maquette utilisent la même vitesse qu’en vraie grandeur.

    En réalité : Ils utilisent des vitesses mises à l’échelle.

  • Idée reçue : Sans dimension signifie sans importance.

    En réalité : Les nombres sans dimension gouvernent la physique.

  • Idée reçue : Toute maquette donne des résultats exacts en vraie grandeur.

    En réalité : Des effets d’échelle subsistent quand tous les nombres ne coïncident pas.

Cartes mémoire

  • Théorème Pi

    n − k nombres.

  • Reynolds

    Inertie/viscosité.

  • Froude

    Inertie/gravité.

  • Weber

    Inertie/tension superficielle.

  • Similitude

    Mêmes nombres, mêmes coefficients.

  • Similitude de Froude

    V ∝ √L.

Quiz d’autocontrôle

1. Le nombre de Froude compare l’inertie à…

Afficher la réponse

la gravité. V/√(gL).

2. Avec 6 variables et 3 dimensions, il y a…

Afficher la réponse

3. n − k.

3. En similitude de Froude (même fluide), les forces varient avec la longueur à la puissance…

Afficher la réponse

3rd. L³.

4. Le C_D d’une sphère lisse dépend surtout de…

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Re. Effets visqueux.

Comment cela aide à sauver la planète

Le DOE décrit l’énergie marine comme l’énergie tirée des vagues, des marées, des courants fluviaux et océaniques, et des différences de température de l’océan. Il indique que la ressource marine totale des États-Unis équivaut à environ 57 % de toute la production d’électricité américaine en 2019, et que ces ressources sont très prévisibles.

Le DOE note que des chercheurs testent et déploient de nouvelles technologies pour exploiter cette ressource. Les houlomoteurs et les hydroliennes sont développés avec des maquettes dans des bassins à houle et des canaux bien avant que les dispositifs grandeur nature partent en mer, en utilisant les similitudes de Froude et de Reynolds de ce module.

Sur Saving Planets : Océans · Solutions

Sources : U.S. DOE: Marine energy basics

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Unité 7 · Semaines 9–10

Écoulement en conduite : frottement, diagramme de Moody et pertes singulières

Écoulement laminaire et turbulent en conduite, longueur d’établissement, équation de Darcy–Weisbach, coefficient de frottement laminaire 64/Re, diagramme de Moody et corrélations de Colebrook et de Haaland, pertes singulières, conduites non circulaires et diamètre hydraulique, et conduites en série, en parallèle et en réseau.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Déterminer si un écoulement en conduite est laminaire ou turbulent.
  • Calculer les pertes par frottement avec Darcy–Weisbach et la formule de Haaland.
  • Ajouter les pertes singulières des raccords et des vannes.
  • Résoudre des problèmes simples de conduites en série et en parallèle.

Notions clés

  • En conduite, l’écoulement est laminaire en dessous de Re ≈ 2300, turbulent au-delà d’environ 4000. L’écoulement turbulent mélange fortement la quantité de mouvement et a un profil plus plat.
  • Darcy–Weisbach : h_L = f(L/D)(V²/2g). En laminaire f = 64/Re.
  • En turbulent, f dépend de Re et de la rugosité relative ε/D (diagramme de Moody). La formule de Haaland est explicite : 1/√f = −1.8 log₁₀[(ε/D/3.7)^1.11 + 6.9/Re].
  • Raccords, vannes, coudes et entrées ajoutent des pertes singulières h_m = K V²/(2g). Dans les longues canalisations le frottement domine ; dans la plomberie domestique, les raccords comptent.
  • Les conduites non circulaires utilisent le diamètre hydraulique D_h = 4A/P. Des conduites en série ont le même Q et leurs pertes s’additionnent ; en parallèle, elles ont la même perte de charge et leurs débits s’additionnent.

Équations clés

Re=ρVDμRe=\frac{\rho VD}{\mu}
Nombre de Reynolds en conduite
hL=fLDV22gh_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}
Darcy–Weisbach
1f=−1.8log⁡10[(ε/D3.7)1.11+6.9Re]\frac{1}{\sqrt f}=-1.8\log_{10}\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}+\frac{6.9}{Re}\right]
Haaland
hm=KV22gh_m=K\frac{V^2}{2g}
Perte singulière

Exemples résolus pas à pas

Exemple 7.1 De l’eau s’écoule à 2 m/s dans une conduite en acier commercial de 50 mm (ε = 0.045 mm). Trouvez Re et f.

Afficher les étapes
  1. Re = 998 × 2 × 0.05/1.002 × 10⁻³ = 99,600.
  2. ε/D = 0.0009 ; Haaland donne f.

Réponse : Re = 9.96 × 10⁴ (turbulent) ; f = 0.0216.

Exemple 7.2 Trouvez la perte de charge par frottement sur 100 m de cette conduite.

Afficher les étapes
  1. h_L = 0.0216 × (100/0.05) × 2²/(2 × 9.81).

Réponse : h_L = 8.82 m.

Exemple 7.3 Trouvez le coefficient de frottement laminaire à Re = 1500, et la perte d’une entrée à arête vive (K = 0.5) à 2 m/s.

Afficher les étapes
  1. f = 64/1500.
  2. h_m = 0.5 × 4/19.62.

Réponse : f = 0.0427; h_m = 0.102 m.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trouvez D_h pour un conduit de 0.2 m × 0.1 m.

    Afficher la réponse

    4 × 0.02/0.6 = 0.133 m.

  2. On double V en régime turbulent entièrement rugueux. h_L ?

    Afficher la réponse

    Environ 4 fois plus.

  3. Deux conduites identiques en parallèle transportent un Q total. Débit dans chacune ?

    Afficher la réponse

    Q/2, avec la même perte de charge.

  4. Re = 3000 est-il laminaire ou turbulent ?

    Afficher la réponse

    Transitoire.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Le coefficient de frottement est constant.

    En réalité : Il dépend de Re et de la rugosité.

  • Idée reçue : Les pertes singulières sont toujours mineures.

    En réalité : Pas dans les conduites courtes avec beaucoup de raccords.

  • Idée reçue : L’écoulement laminaire a des pertes plus élevées.

    En réalité : À Re comparable, son f est plus faible, mais l’écoulement laminaire n’existe qu’à basse vitesse.

Cartes mémoire

  • Transition

    Re ≈ 2300–4000.

  • Darcy–Weisbach

    f(L/D)V²/2g.

  • f laminaire

    64/Re.

  • Haaland

    f explicite.

  • Perte singulière

    KV²/2g.

  • Diamètre hydraulique

    4A/P.

Quiz d’autocontrôle

1. Le coefficient de frottement laminaire est…

Afficher la réponse

64/Re. Poiseuille.

2. La perte de Darcy–Weisbach varie comme…

Afficher la réponse

V². À f fixé.

3. Le diamètre hydraulique vaut…

Afficher la réponse

4A/P. Définition.

4. Des conduites en parallèle ont en commun le même…

Afficher la réponse

la perte de charge. Extrémités communes.

Comment cela aide à sauver la planète

L’EPA note qu’un robinet qui goutte une fois par seconde peut gaspiller plus de 3000 gallons par an, de quoi prendre plus de 180 douches, et qu’un pommeau de douche qui fuit à raison de 10 gouttes par minute gaspille plus de 500 gallons par an. Une fuite d’arrosage de 1/32 de pouce peut gaspiller environ 6300 gallons par mois.

Chaque gallon livré doit aussi être pompé à travers des kilomètres de conduites, contre les pertes par frottement de ce module. Réparer les fuites économise à la fois l’eau et l’énergie de pompage ; 3000 gallons représentent environ 11355 L, soit 31.1 L par jour.

Sur Saving Planets : Solutions · Résistance des matériaux

Sources : U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

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Unité 8 · Semaine 11

Pompes, turbines et réseaux de pompage

Pompes centrifuges et axiales, hauteur manométrique, puissance et rendement, courbes caractéristiques des pompes, courbes de réseau et point de fonctionnement, pompes en série et en parallèle, lois de similitude et variateurs de vitesse, cavitation et NPSH, et turbines hydrauliques (Pelton, Francis, Kaplan).

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Lire une courbe de pompe et trouver le point de fonctionnement avec une courbe de réseau.
  • Calculer la puissance et le rendement d’une pompe.
  • Appliquer les lois de similitude aux changements de vitesse.
  • Expliquer le NPSH et comment éviter la cavitation.

Notions clés

  • Une pompe ajoute une charge h_p à l’écoulement ; la puissance hydraulique vaut ρgQh_p et la puissance sur l’arbre ρgQh_p/η.
  • La courbe de la pompe (charge décroissante quand le débit augmente) croise la courbe du réseau (hauteur statique plus pertes croissant avec Q²) au point de fonctionnement.
  • Lois de similitude pour la même pompe à une nouvelle vitesse N : Q ∝ N, H ∝ N², P ∝ N³. Ralentir une pompe avec un variateur de vitesse plutôt que de fermer une vanne économise beaucoup d’énergie.
  • La cavitation commence quand la pression d’aspiration approche la pression de vapeur. La charge nette disponible à l’aspiration (NPSH_A) doit dépasser celle requise par la pompe (NPSH_R).
  • Les turbines hydrauliques sont des pompes fonctionnant à l’envers : Pelton (à action) pour les hautes chutes, Francis pour les chutes moyennes, Kaplan (hélice) pour les basses chutes et les grands débits ; beaucoup de groupes de stockage par pompage sont des pompes-turbines réversibles.

Équations clés

Pshaft=ρgQhpηP_{shaft}=\frac{\rho gQh_p}{\eta}
Puissance de pompe
Hsys=Hstatic+kQ2H_{sys}=H_{static}+kQ^2
Courbe de réseau
Q2Q1=N2N1, H2H1=(N2N1)2, P2P1=(N2N1)3\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{N_2}{N_1},\ \frac{H_2}{H_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2,\ \frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3
Lois de similitude
NPSHA>NPSHRNPSH_A>NPSH_R
Pas de cavitation

Exemples résolus pas à pas

Exemple 8.1 Une courbe de pompe est H = 40 − 7000Q² et la courbe de réseau H = 10 + 5000Q² (H en m, Q en m³/s). Trouvez le point de fonctionnement.

Afficher les étapes
  1. 40 − 7000Q² = 10 + 5000Q², donc Q² = 30/12000.
  2. Q = 0.05 m³/s; H = 10 + 5000 × 0.0025.

Réponse : Q = 0.05 m³/s, H = 22.5 m.

Exemple 8.2 Trouvez la puissance sur l’arbre en ce point avec η = 0.75 (ρ = 1000 kg/m³).

Afficher les étapes
  1. P = 1000 × 9.81 × 0.05 × 22.5/0.75.

Réponse : P = 14.7 kW.

Exemple 8.3 Une pompe qui débite 0.05 m³/s sous 30 m de charge est ralentie de 1800 à 1500 tr/min. Trouvez le nouveau débit, la nouvelle charge et le rapport de puissance.

Afficher les étapes
  1. Q = 0.05 × 1500/1800.
  2. H = 30 × (1500/1800)².
  3. Rapport de P = (1500/1800)³.

Réponse : Q = 0.0417 m³/s, H = 20.8 m, puissance à 57.9 % de l’originale.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Deux pompes identiques en série : qu’est-ce qui s’additionne ?

    Afficher la réponse

    Les charges à débit égal.

  2. Deux en parallèle ?

    Afficher la réponse

    Les débits à charge égale.

  3. On réduit la vitesse de 20 %. Puissance ?

    Afficher la réponse

    0.8³ = 51.2%.

  4. Quelle turbine convient à une chute de 500 m ?

    Afficher la réponse

    Pelton.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Fermer une vanne est un moyen efficace de réduire le débit.

    En réalité : Cela gaspille de la charge ; ralentir la pompe est préférable.

  • Idée reçue : Une pompe plus grosse est toujours meilleure.

    En réalité : Les pompes surdimensionnées fonctionnent loin de leur point de rendement optimal.

  • Idée reçue : La cavitation ne fait que du bruit.

    En réalité : Elle érode les roues et réduit les performances.

Cartes mémoire

  • Puissance de pompe

    ρgQh/η.

  • Courbe de réseau

    H_static + kQ².

  • Point de fonctionnement

    Les courbes se croisent.

  • Similitude

    Q ∝ N, H ∝ N², P ∝ N³.

  • NPSH

    Éviter la cavitation.

  • Turbines

    Pelton, Francis, Kaplan.

Quiz d’autocontrôle

1. La puissance d’une pompe varie avec la vitesse comme…

Afficher la réponse

N³. Lois de similitude.

2. Le point de fonctionnement est là où…

Afficher la réponse

la courbe de la pompe croise celle du réseau. Équilibre.

3. Pour éviter la cavitation…

Afficher la réponse

NPSH_A > NPSH_R. Marge.

4. Une faible chute et un grand débit conviennent à une…

Afficher la réponse

Kaplan. Turbine à hélice.

Comment cela aide à sauver la planète

Le bureau de l’efficacité industrielle du DOE indique que des économies spectaculaires d’énergie et de coûts sont possibles dans les systèmes de pompage en appliquant les meilleures pratiques de gestion de l’énergie et en achetant des équipements économes, et il propose gratuitement l’outil Pumping System Assessment Tool (PSAT) et le logiciel MEASUR pour les trouver.

Les lois de similitude montrent d’où vient une grande partie de ces économies : une pompe ralentie de 20 % par un variateur de vitesse n’a besoin que d’environ la moitié de la puissance. La page du DOE sur le stockage par pompage ajoute que les pompes-turbines remontent l’eau quand l’électricité est bon marché et produisent quand on en a besoin.

Sur Saving Planets : Solutions · Circuits

Sources : U.S. DOE: Pump systems · U.S. DOE: Pumped storage hydropower

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 9 · Semaines 12–13

Écoulement externe : couches limites, traînée et portance

Écoulement autour des corps, couches limites sur plaques planes, traînée de frottement et de pression, coefficients de traînée des sphères, cylindres et corps profilés, crise de traînée, écoulement de Stokes et sédimentation, portance, et puissance disponible dans un courant d’air ou d’eau.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer la traînée à partir d’un coefficient de traînée.
  • Expliquer le rôle de la traînée de frottement et de la traînée de pression.
  • Utiliser la loi de Stokes pour les petites particules.
  • Trouver la puissance d’un courant de vent et la limite de Betz.

Notions clés

  • Traînée F_D = C_D ½ρV²A et portance F_L = C_L ½ρV²A, où A est une aire de référence. C_D dépend de la forme et de Re.
  • Les corps profilés subissent surtout une traînée de frottement ; les corps non profilés (sphères, cylindres, camions) subissent surtout une traînée de pression due à un sillage décollé.
  • Pour une sphère lisse, C_D ≈ 0.47 pour 10³ < Re < 2 × 10⁵ ; vers Re ≈ 3 × 10⁵ la couche limite devient turbulente, décolle plus tard, et C_D chute brusquement (la crise de traînée).
  • À très faible Re (Re < 1), traînée de Stokes F = 3πμVD ; une petite particule sédimente à V = (ρ_p − ρ)gD²/(18μ).
  • Un courant de section A transporte une puissance ½ρAV³. Aucune turbine ne peut en capter plus de 16/27 ≈ 59.3 % (la limite de Betz).

Équations clés

FD=CD12ρV2AF_D=C_D\tfrac12\rho V^2A
Traînée
F=3πμVDF=3\pi\mu VD
Traînée de Stokes
Vs=(ρp−ρ)gD218μV_s=\frac{(\rho_p-\rho)gD^2}{18\mu}
Vitesse de sédimentation
P=12ρAV3,  CP,max=1627P=\tfrac12\rho AV^3,\ \ C_{P,max}=\frac{16}{27}
Puissance éolienne et limite de Betz

Exemples résolus pas à pas

Exemple 9.1 Un ballon de 0.22 m se déplace à 20 m/s dans l’air (C_D = 0.47, valeur d’exemple). Trouvez Re et la traînée.

Afficher les étapes
  1. Re = 1.225 × 20 × 0.22/1.789 × 10⁻⁵ = 3.01 × 10⁵.
  2. F = 0.47 × ½ × 1.225 × 400 × π × 0.11².

Réponse : Re = 3.01 × 10⁵ (près de la crise de traînée) ; F = 4.38 N.

Exemple 9.2 Trouvez la vitesse de sédimentation d’un grain de sable de 50 µm (ρ_p = 2500 kg/m³) dans l’eau.

Afficher les étapes
  1. V = (2500 − 998) × 9.81 × (50 × 10⁻⁶)²/(18 × 1.002 × 10⁻³).
  2. Vérifiez Re = 998 × 0.00204 × 50 × 10⁻⁶/1.002 × 10⁻³ = 0.102.

Réponse : V = 2.04 mm/s ; Re < 1, donc la loi de Stokes s’applique.

Exemple 9.3 Trouvez la puissance du vent traversant un rotor de 100 m de diamètre à 10 m/s, et le maximum de Betz.

Afficher les étapes
  1. A = π × 50² = 7854 m².
  2. P = ½ × 1.225 × 7854 × 1000.
  3. P_max = P × 16/27.

Réponse : P = 4.81 MW ; maximum de Betz 2.85 MW.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. On double la vitesse du vent. Puissance du vent ?

    Afficher la réponse

    8 fois plus.

  2. Pourquoi les camions ont-ils des carénages ?

    Afficher la réponse

    Pour réduire la traînée de pression due au sillage.

  3. On divise par deux le diamètre d’une particule. Vitesse de sédimentation de Stokes ?

    Afficher la réponse

    1/4.

  4. Qu’est-ce que la crise de traînée ?

    Afficher la réponse

    La chute soudaine de C_D quand la couche limite devient turbulente.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La traînée est toujours proportionnelle à V².

    En réalité : À très faible Re, elle est proportionnelle à V.

  • Idée reçue : Une turbine peut extraire toute la puissance du vent.

    En réalité : La limite de Betz la plafonne à 59.3 %.

  • Idée reçue : Les surfaces rugueuses augmentent toujours la traînée.

    En réalité : Sur les sphères, elles peuvent déclencher plus tôt la crise de traînée.

Cartes mémoire

  • Traînée

    C_D ½ρV²A.

  • Traînée de pression

    Sillage derrière les corps non profilés.

  • Crise de traînée

    C_D chute vers Re 3 × 10⁵.

  • Stokes

    F = 3πμVD.

  • Puissance éolienne

    ½ρAV³.

  • Betz

    59.3%.

Quiz d’autocontrôle

1. La puissance du vent varie avec V comme…

Afficher la réponse

V³. ½ρAV³.

2. La limite de Betz vaut environ…

Afficher la réponse

59%. 16/27.

3. La traînée de Stokes s’applique quand Re est…

Afficher la réponse

< 1. Écoulement rampant.

4. La traînée d’un corps non profilé est surtout…

Afficher la réponse

de la pression. Sillage décollé.

Comment cela aide à sauver la planète

Le DOE explique que les pales d’éolienne fonctionnent comme une aile d’avion ou un rotor d’hélicoptère : la différence de pression de part et d’autre d’une pale crée de la portance et de la traînée, et comme la portance l’emporte sur la traînée, le rotor fait tourner un générateur. Le DOE indique que les éoliennes terrestres vont de 100 kilowatts à plusieurs mégawatts.

La loi ½ρAV³ explique pourquoi les éoliennes sont de plus en plus hautes et larges : doubler le diamètre du rotor quadruple la surface, et des moyeux plus hauts atteignent des vents plus rapides, la puissance croissant comme le cube de la vitesse. La limite de Betz fixe l’objectif que poursuit tout concepteur de pales.

Sur Saving Planets : Aérodynamique I · Solutions

Sources : DOE des États-Unis : comment fonctionnent les éoliennes ? (en anglais)

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Unité 10 · Semaines 14–15

Écoulement à surface libre : rivières, canaux et ressauts hydrauliques

Canaux à surface libre, rayon hydraulique, nombre de Froude et écoulements fluvial, critique et torrentiel, charge spécifique et hauteur critique, écoulement uniforme et formule de Manning, ressauts hydrauliques et dissipation d’énergie, et déversoirs pour la mesure des débits.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Classer un écoulement en canal avec le nombre de Froude.
  • Trouver la hauteur critique et la charge spécifique.
  • Utiliser la formule de Manning pour l’écoulement uniforme.
  • Calculer la hauteur après un ressaut hydraulique et l’énergie qui y est perdue.

Notions clés

  • Dans les canaux, la gravité entraîne l’écoulement et la surface libre est à la pression atmosphérique. Le rayon hydraulique vaut R_h = A/P (périmètre mouillé).
  • Nombre de Froude Fr = V/√(gy) : Fr < 1 fluvial (lent, profond), Fr = 1 critique, Fr > 1 torrentiel (rapide, peu profond). Les ondes de surface ne peuvent remonter vers l’amont qu’en écoulement fluvial.
  • Charge spécifique E = y + V²/(2g). Pour un débit par unité de largeur q, le minimum de E a lieu à la hauteur critique y_c = (q²/g)^(1/3).
  • Écoulement uniforme (Manning, SI) : V = (1/n) R_h^(2/3) S^(1/2), avec la rugosité n (environ 0.013 pour du béton fini) et la pente du fond S.
  • Un ressaut hydraulique rend fluvial un écoulement torrentiel : y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr₁²) − 1), et dissipe la charge h_L = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂). Les évacuateurs de crue utilisent les ressauts pour protéger le lit des rivières sous les barrages.

Équations clés

Fr=VgyFr=\frac{V}{\sqrt{gy}}
Nombre de Froude
E=y+V22g,  yc=(q2g)1/3E=y+\frac{V^2}{2g},\ \ y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}
Charge spécifique et hauteur critique
V=1nRh2/3S1/2V=\frac1n R_h^{2/3}S^{1/2}
Formule de Manning (SI)
y2y1=12(1+8Fr12−1)\frac{y_2}{y_1}=\tfrac12\left(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1\right)
Ressaut hydraulique

Exemples résolus pas à pas

Exemple 10.1 Un canal en béton de 2 m de large (n = 0.013) s’écoule sur 1 m de profondeur avec une pente de 0.001. Trouvez V et Q.

Afficher les étapes
  1. A = 2 m², P = 4 m, R_h = 0.5 m.
  2. V = (1/0.013) × 0.5^(2/3) × 0.001^0.5.
  3. Q = VA.

Réponse : V = 1.53 m/s; Q = 3.06 m³/s.

Exemple 10.2 L’eau s’écoule sur 0.5 m de profondeur à 6 m/s au pied d’un évacuateur. Trouvez Fr, la hauteur après un ressaut hydraulique et la charge perdue.

Afficher les étapes
  1. Fr = 6/√(9.81 × 0.5) = 2.71.
  2. y₂ = 0.25 × (√(1 + 8 × 2.71²) − 1).
  3. h_L = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂).

Réponse : Fr = 2.71; y₂ = 1.68 m; h_L = 0.491 m.

Exemple 10.3 Trouvez la hauteur critique pour q = 2 m²/s.

Afficher les étapes
  1. y_c = (4/9.81)^(1/3).

Réponse : y_c = 0.742 m.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. V = 3 m/s sous 1 m de profondeur : fluvial ou torrentiel ?

    Afficher la réponse

    Fr = 0.958, fluvial.

  2. Trouvez E pour y = 1 m, V = 3 m/s.

    Afficher la réponse

    1 + 9/19.62 = 1.459 m.

  3. Quelle hauteur transporterait q = 2 m²/s à V = 1.53 m/s ?

    Afficher la réponse

    2/1.532 = 1.31 m.

  4. Pourquoi construire un bassin de dissipation sous un barrage ?

    Afficher la réponse

    Pour forcer un ressaut qui dissipe l’énergie.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Un écoulement rapide est toujours torrentiel.

    En réalité : Comparez V à √(gy).

  • Idée reçue : Un ressaut gagne de l’énergie.

    En réalité : Il perd de l’énergie.

  • Idée reçue : Le n de Manning est le même partout.

    En réalité : Il dépend de la surface.

Cartes mémoire

  • Froude

    V/√(gy).

  • Rayon hydraulique

    A/P.

  • Charge spécifique

    y + V²/2g.

  • Hauteur critique

    (q²/g)^(1/3).

  • Manning

    (1/n)R^(2/3)S^(1/2).

  • Ressaut

    y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr²) − 1).

Quiz d’autocontrôle

1. Un écoulement torrentiel est…

Afficher la réponse

Fr > 1. Rapide, peu profond.

2. Le rayon hydraulique vaut…

Afficher la réponse

A/P. Définition.

3. La charge spécifique est minimale à…

Afficher la réponse

la hauteur critique. dE/dy = 0.

4. Un ressaut hydraulique…

Afficher la réponse

dissipe de l’énergie. Mélange turbulent.

Comment cela aide à sauver la planète

Le DOE décrit une centrale hydroélectrique de dérivation, ou au fil de l’eau, comme une installation qui détourne une partie d’une rivière par un canal et/ou une conduite forcée, en utilisant la pente naturelle du lit pour produire de l’énergie, parfois sans barrage. Concevoir ce canal est un problème d’écoulement à surface libre : la formule de Manning le dimensionne pour le débit, et la dénivellation fixe la chute.

Le DOE ajoute que les lâchers des retenues peuvent servir au passage des poissons et à la qualité de l’eau. Les ingénieurs utilisent le nombre de Froude et les ressauts hydrauliques pour concevoir des évacuateurs et des canaux qui protègent le lit des rivières et maintiennent des débits sûrs pour la faune.

Sur Saving Planets : Océans · Observation de la Terre

Sources : U.S. DOE: Types of hydropower plants · U.S. DOE: How hydropower works

Ressources d’apprentissage gratuites

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Le laboratoire (Fluid mechanics lab)

Le labo est la partie pratique du cours. Ici, il est gratuit et sert uniquement à s’entraîner, sans crédits.

Chaque TP peut se faire dans une simulation gratuite ou avec des objets de la cuisine et du jardin. Travaillez au-dessus d’un évier ou dehors, essuyez immédiatement tout liquide renversé pour éviter de glisser, utilisez uniquement de l’eau froide du robinet, et tenez l’eau éloignée des prises et appareils électriques.

Référence de sécurité : OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

TP A : Masse volumique et flottabilité par pesée

Semaine 3

Objectif : Trouver le volume et la masse volumique d’un objet à partir de son poids dans l’air et de son poids apparent dans l’eau, grâce au principe d’Archimède.

V=mair−mwaterρw,  ρ=mairVV=\frac{m_{air}-m_{water}}{\rho_w},\ \ \rho=\frac{m_{air}}{V}
Principe d’Archimède

Mode opératoire

  1. Explorez PhET Buoyancy : modifiez la masse volumique de l’objet et celle du fluide et observez les forces.
  2. À la maison : pesez un petit objet dense (une pierre ou une cuillère en métal) sur une balance de cuisine.
  3. Suspendez-le par un fil entièrement immergé dans un pichet posé sur la balance (faites la tare d’abord), ou utilisez un peson à bagages ; notez la masse apparente.
  4. Calculez le volume et la masse volumique.

Tableau de données

GrandeurValeur
Masse dans l’air200 g
Masse apparente dans l’eau120 g
Volume80 cm³
Masse volumique2500 kg/m³

Valeurs d’exemple (typiques de la pierre ou du verre).

Exemple de calcul

  1. V = (200 − 120)/1.00 = 80 cm³.
  2. ρ = 200/80 = 2.50 g/cm³ = 2500 kg/m³.

Sécurité

  • Essuyez immédiatement tout liquide renversé.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • C’est un TP à la maison.

PhET : Buoyancy · PhET: Density

Lien avec la planète : La NOAA explique que les différences de masse volumique dues à la température et à la salinité entraînent la circulation thermohaline des grands fonds. NOAA National Ocean Service: Thermohaline circulation

TP B : La bouteille de Torricelli

Semaine 4

Objectif : Vérifier la loi de Torricelli en mesurant jusqu’où va un jet d’eau sortant d’un trou dans une bouteille.

V=2gh,  x=2hYV=\sqrt{2gh},\ \ x=2\sqrt{hY}
Vitesse et portée du jet depuis la hauteur Y

Mode opératoire

  1. Percez un petit trou sur le côté d’une bouteille en plastique près du fond ; couvrez-le de ruban adhésif.
  2. Remplissez la bouteille et posez-la sur une boîte au-dessus d’un évier ou dehors, le trou étant à Y = 0.3 m au-dessus de la surface de réception.
  3. Retirez le ruban ; quand le niveau d’eau est à h = 0.2 m au-dessus du trou, marquez le point d’impact du jet.
  4. Comparez avec la prédiction ; recommencez à d’autres hauteurs d’eau.

Tableau de données

GrandeurValeur
Charge h0.20 m
Vitesse du jet1.98 m/s
Hauteur de chute Y0.30 m
Portée prédite0.49 m

Valeurs prédites ; les jets réels tombent un peu plus court à cause des pertes au trou.

Exemple de calcul

  1. V = √(2 × 9.81 × 0.2) = 1.98 m/s.
  2. x = 2√(0.2 × 0.3) = 0.49 m.

Sécurité

  • Faites-le au-dessus d’un évier ou dehors ; essuyez l’eau pour éviter de glisser.
  • Utilisez une brochette avec précaution, pointe éloignée de votre main.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • C’est un TP à la maison.

PhET: Fluid Pressure and Flow · PhET : Under Pressure

Lien avec la planète : Le DOE note que la production hydroélectrique croît avec la chute ; la vitesse du jet de la bouteille croît comme √h pour la même raison. U.S. DOE: How hydropower works

TP C : Mesurer le débit et le nombre de Reynolds

Semaine 7

Objectif : Mesurer le débit d’un robinet ou d’un tuyau avec un seau et un chronomètre, et déterminer si l’écoulement à l’intérieur est laminaire ou turbulent.

Q=Vbuckett,  Re=ρVDμQ=\frac{V_{bucket}}{t},\ \ Re=\frac{\rho VD}{\mu}
Débit et nombre de Reynolds

Mode opératoire

  1. Chronométrez le temps qu’il faut à un tuyau ou un robinet pour remplir 10 L.
  2. Mesurez le diamètre intérieur du tuyau ou de la sortie du robinet.
  3. Calculez Q, la vitesse moyenne et Re.
  4. Baissez le robinet jusqu’à ce que le filet paraisse lisse et vitreux, et recommencez.

Tableau de données

GrandeurValeur
10 L en25 s
Q0.4 L/s
Diamètre intérieur du tuyau16 mm
V1.99 m/s
Re31,700

Valeurs d’exemple ; un Re bien supérieur à 4000 signifie un écoulement turbulent dans le tuyau.

Exemple de calcul

  1. V = 0.0004/(π × 0.008²) = 1.99 m/s.
  2. Re = 998 × 1.99 × 0.016/1.002 × 10⁻³ = 31,700.

Sécurité

  • Fermez le robinet à la fin ; attention au sol glissant.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • C’est un TP à la maison.

PhET: Fluid Pressure and Flow

Lien avec la planète : L’EPA suggère de vérifier votre compteur d’eau sur deux heures sans aucune utilisation d’eau ; tout changement signale une fuite. U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

TP D : Tableur de frottement en conduite

Semaine 10

Objectif : Construire un tableur du nombre de Reynolds, du coefficient de frottement et de la perte de charge en fonction de la vitesse, et voir comment les pertes augmentent.

hL=fLDV22gh_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}
Darcy–Weisbach

Mode opératoire

  1. Prenez D = 50 mm, L = 100 m, ε = 0.045 mm, eau à 20 °C.
  2. Calculez Re et le f de Haaland pour V de 0.5 à 3 m/s.
  3. Calculez h_L et tracez-le en fonction de V.
  4. Ajustez h_L ∝ V^n et trouvez n.

Tableau de données

V (m/s)Refh_L (m)
149,8000.02352.39
299,6000.02168.82
3149,4000.020919.2

Valeurs calculées ; n est un peu inférieur à 2 car f diminue lentement quand Re augmente.

Exemple de calcul

  1. h_L(2 m/s) = 0.0216 × 2000 × 4/19.62 = 8.82 m.
  2. Tripler V multiplie h_L par 19.2/2.39 = 8.0.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel tableur convient.

MIT OpenCourseWare 1.060 Engineering Mechanics II (Spring 2006)

Lien avec la planète : Le DOE affirme que les bonnes pratiques dans les systèmes de pompage économisent énormément d’énergie ; moins de pertes signifie des pompes plus petites. U.S. DOE: Pump systems

TP E : Sédimentation du sable dans l’eau

Semaine 13

Objectif : Observer du sable fin et du sable grossier se déposer dans un grand verre d’eau et comparer avec la loi de Stokes.

Vs=(ρp−ρ)gD218μV_s=\frac{(\rho_p-\rho)gD^2}{18\mu}
Sédimentation de Stokes

Mode opératoire

  1. Remplissez d’eau un grand verre ou une bouteille transparente.
  2. Laissez tomber une pincée de sable fin et chronométrez la chute des grains sur 0.2 m.
  3. Recommencez avec du sable plus grossier.
  4. Comparez les vitesses avec la loi de Stokes et notez quand elle cesse de s’appliquer.

Tableau de données

Diamètre des grainsVitesse de StokesRe
50 µm2.04 mm/s0.102
100 µm8.17 mm/s0.81

Calculé pour des grains de type quartz (ρ = 2500 kg/m³) ; les grains plus grossiers, avec Re supérieur à environ 1, tombent plus lentement que ne le prévoit Stokes.

Exemple de calcul

  1. V(50 µm) = 1502 × 9.81 × 2.5 × 10⁻⁹/(18 × 1.002 × 10⁻³) = 2.04 mm/s.
  2. Doubler D multiplie la vitesse par 4.

Sécurité

  • Utilisez du sable de jeu propre ; lavez-vous les mains ensuite.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • C’est un TP à la maison.

NASA Glenn: Drag of a sphere

Lien avec la planète : Le DOE note que les lâchers des retenues servent la qualité de l’eau ; la sédimentation détermine comment les réservoirs se comblent et comment les rivières charrient le limon. U.S. DOE: Types of hydropower plants

TP F : Système de pompage et vitesse variable

Semaine 11

Objectif : Trouver le point de fonctionnement d’une pompe et utiliser les lois de similitude pour comparer le vannage et le ralentissement de la pompe.

P2P1=(N2N1)3\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3
Loi de similitude pour la puissance

Mode opératoire

  1. Saisissez la courbe de pompe H = 40 − 7000Q² et la courbe de réseau H = 10 + 5000Q².
  2. Trouvez le point de fonctionnement et la puissance sur l’arbre.
  3. Appliquez les lois de similitude à 1500 et 1200 tr/min au point à 1800 tr/min (0.05 m³/s, 30 m).
  4. Comparez les puissances nécessaires.

Tableau de données

N (tr/min)Q (m³/s)H (m)Rapport de puissance
18000.05030.01.000
15000.041720.80.579
12000.033313.30.296

Similitude idéale ; la hauteur statique du réseau limite jusqu’où une vraie pompe peut être ralentie.

Exemple de calcul

  1. Q(1200) = 0.05 × 2/3 = 0.0333 m³/s.
  2. Rapport de puissance = (2/3)³ = 0.296.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel tableur convient.

U.S. DOE: Pump systems

Lien avec la planète : Les outils gratuits PSAT et MEASUR du DOE aident les usines à trouver précisément ces économies sur les pompes. U.S. DOE: Pump systems

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Séries d’entraînement aux examens

Chronométrez-vous : environ 10 minutes par problème. Comparez ensuite avec les solutions complètes.

Série d’exercices de mi-parcours (unités 1–5)

  1. Trouvez la contrainte de cisaillement dans l’eau entre deux plaques distantes de 0.5 mm quand l’une se déplace à 1 m/s.

    Afficher la solution complète
    1. τ = 1.002 × 10⁻³ × 1/0.0005.

    Réponse : 2.00 Pa.

  2. Trouvez la pression relative à 25 m de profondeur dans l’eau de mer (1025 kg/m³).

    Afficher la solution complète
    1. 1025 × 9.81 × 25.

    Réponse : 251.4 kPa.

  3. Trouvez la puissance d’une centrale hydroélectrique avec Q = 20 m³/s, H = 40 m, η = 0.88 (ρ = 1000).

    Afficher la solution complète
    1. 0.88 × 1000 × 9.81 × 20 × 40.

    Réponse : 6.91 MW.

  4. Un jet d’eau de 0.01 m³/s à 25 m/s est dévié de 180° par une aube fixe. Force ?

    Afficher la solution complète
    1. 2ρQV = 2 × 1000 × 0.01 × 25.

    Réponse : 500 N.

  5. Trouvez le Q laminaire dans un tube de rayon 2 mm, Δp/L = 200 Pa/m, eau.

    Afficher la solution complète
    1. π × 0.002⁴ × 200/(8 × 1.002 × 10⁻³).

    Réponse : 1.25 × 10⁻⁶ m³/s.

Série d’entraînement finale (toutes les unités)

  1. Une maquette de navire au 1:25 est à similitude de Froude. Vitesse réelle 10 m/s. Vitesse de la maquette ?

    Afficher la solution complète
    1. 10/5.

    Réponse : 2 m/s.

  2. Trouvez h_L dans 200 m de conduite de 0.1 m avec f = 0.02 à 1.5 m/s.

    Afficher la solution complète
    1. 0.02 × 2000 × 2.25/19.62.

    Réponse : 4.59 m.

  3. Une pompe à 1200 tr/min donne 25 m de charge. Charge à 1500 tr/min ?

    Afficher la solution complète
    1. 25 × (1.25)².

    Réponse : 39.1 m.

  4. Trouvez la puissance du vent traversant un rotor de 80 m à 8 m/s (ρ = 1.225).

    Afficher la solution complète
    1. ½ × 1.225 × π × 40² × 512.

    Réponse : 1.58 MW.

  5. Trouvez Fr pour un écoulement à 4 m/s sur 0.4 m de profondeur.

    Afficher la solution complète
    1. 4/√(9.81 × 0.4).

    Réponse : 2.02, torrentiel.

  6. Trouvez y_c pour q = 3 m²/s.

    Afficher la solution complète
    1. (9/9.81)^(1/3).

    Réponse : 0.972 m.

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Fiche de formules

τ=μ du/dy, ν=μ/ρ\tau=\mu\,du/dy,\ \nu=\mu/\rho
p=p0+ρgh, F=ρghcA, FB=ρgVp=p_0+\rho gh,\ F=\rho gh_cA,\ F_B=\rho gV
Q=AV, p/ρg+V2/2g+z=constQ=AV,\ p/\rho g+V^2/2g+z=\text{const}
P=ηρgQH, V=2ghP=\eta\rho gQH,\ V=\sqrt{2gh}
∑F=∑m˙Vout−∑m˙Vin, F=ρQV(1−cos⁡θ)\sum F=\sum\dot mV_{out}-\sum\dot mV_{in},\ F=\rho QV(1-\cos\theta)
∇⋅V=0, Q=πR4Δp/(8μL)\nabla\cdot\mathbf V=0,\ Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)
Re=ρVL/μ, Fr=V/gLRe=\rho VL/\mu,\ Fr=V/\sqrt{gL}
hL=f(L/D)V2/2g, flam=64/Reh_L=f(L/D)V^2/2g,\ f_{lam}=64/Re
hm=KV2/2g, Dh=4A/Ph_m=KV^2/2g,\ D_h=4A/P
P=ρgQh/η, Q∝N, H∝N2, P∝N3P=\rho gQh/\eta,\ Q\propto N,\ H\propto N^2,\ P\propto N^3
FD=CD12ρV2A, Pwind=12ρAV3F_D=C_D\tfrac12\rho V^2A,\ P_{wind}=\tfrac12\rho AV^3
V=(1/n)Rh2/3S1/2, yc=(q2/g)1/3V=(1/n)R_h^{2/3}S^{1/2},\ y_c=(q^2/g)^{1/3}
y2/y1=12(1+8Fr12−1)y_2/y_1=\tfrac12(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1)

Constantes

ConstanteValeur
Eau à 20 °C (valeurs de manuel)ρ = 998 kg/m³, μ = 1.002 × 10⁻³ kg/(m·s), ν = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s, tension superficielle σ = 0.0728 N/m
Air à 15 °C (valeurs de manuel)ρ = 1.225 kg/m³, μ = 1.789 × 10⁻⁵ kg/(m·s)
Eau de mer et glace (valeurs de manuel)ρ_sea = 1025 kg/m³, ρ_ice = 917 kg/m³
Mercure (valeur de manuel)ρ = 13,600 kg/m³
La gravitég = 9.81 m/s²
1 gallon américain3.785 L

Source : NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

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Textes et simulations gratuits

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Glossaire

Couche limite
Couche mince près d’une paroi où la viscosité compte.
Flottabilité
Force ascendante égale au poids du fluide déplacé.
Cavitation
Bulles de vapeur qui se forment là où la pression tombe à la pression de vapeur.
Continuité
Conservation de la masse dans un écoulement.
Coefficient de traînée
Traînée divisée par ½ρV²A.
Nombre de Froude
V/√(gL), inertie sur gravité.
Charge
Énergie par unité de poids de fluide, en mètres.
Perte de charge
Énergie mécanique perdue par frottement, par unité de poids.
Ressaut hydraulique
Passage brusque d’un écoulement torrentiel à un écoulement fluvial.
Rayon hydraulique
Aire d’écoulement divisée par le périmètre mouillé.
Écoulement laminaire
Écoulement régulier, en couches, à faible nombre de Reynolds.
Manomètre
Tube de liquide servant à mesurer des différences de pression.
Équations de Navier–Stokes
Équations de quantité de mouvement d’un fluide visqueux.
Point de fonctionnement
Là où la courbe de la pompe croise la courbe du réseau.
Nombre de Reynolds
ρVL/μ, inertie sur forces visqueuses.
Densité
Masse volumique rapportée à celle de l’eau.
Écoulement de Stokes
Écoulement rampant à Re très inférieur à 1.
Tension superficielle
Force par unité de longueur le long d’une surface liquide.
Écoulement turbulent
Écoulement chaotique et mélangeant à grand nombre de Reynolds.
Viscosité
Résistance d’un fluide au cisaillement.

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Grille d’autoévaluation

Aucune note ni aucun crédit ne sont attribués. Utilisez cette grille pour juger honnêtement où vous en êtes dans chaque unité.

NiveauÀ quoi cela ressemble
4 · MaîtriseTrace des volumes de contrôle, choisit la bonne loi (hydrostatique, Bernoulli, énergie, quantité de mouvement, Navier–Stokes), vérifie Re et Fr, garde des unités cohérentes et mène les TP en sécurité.
3 · CompétentRésout les exercices avec quelques erreurs occasionnelles d’unité ou de signe.
2 · En progressionSuit les exemples résolus mais applique Bernoulli à travers les pompes ou ignore les pertes.
1 · DébutantInjecte des nombres dans les formules sans schéma ; doit revoir le module.

Pondération suggérée si vous voulez une note

PartiePoids
Exercices20%
Travaux pratiques25%
Série d’entraînement de mi-parcours25%
Série d’entraînement finale30%

Visez le niveau 3 ou mieux dans chaque unité avant de passer au cours suivant.

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