מכניקת זורמים

איך זורמים נוזלים וגזים: תכונות זורמים וצמיגות, לחץ וציפה, ברנולי ומשוואת האנרגיה במונחי גובה, תנע על סילונים, להבים וטורבינות, משוואות נאוויה–סטוקס וזרימות מדויקות, ניתוח ממדים וניסויי מודל, חיכוך והפסדים בצינורות, משאבות ועקומות מערכת, גרר על גופים, וזרימה בתעלות פתוחות, עם שש מעבדות. חינמי, בקצב אישי, וקשור לאנרגיה הידרואלקטרית, אגירה שאובה, אנרגיה ימית, דליפות מים, זרמי אוקיינוס וטורבינות רוח.

CNES (PIA25623)NASA (STS102-357-031, March 18, 2001)NASA/JPL-Caltech (PIA22431)NASA Blue Marble

קורסים › ENGR 330

הורדת מדריך הלימוד כ־PDF (באנגלית)

על הקורס

זהו מתווה של קורס חינמי ללימוד עצמי שנכתב על ידי Saving Planets. הוא אינו קורס אוניברסיטאי, אינו מעניק נקודות זכות אקדמיות, ואף מוסד לימודים אינו מעורב בו.

היקפו תואם קורס סמסטריאלי במכניקת זורמים לשנה השלישית. הוא מבוסס על הנושאים והעומק של MIT 2.06 Fluid Dynamics ו־MIT 1.060 Engineering Mechanics II (שניהם חינמיים ב־MIT OpenCourseWare), ועל קורסים כמו Purdue ME 309 ו־Georgia Tech CEE 3040, תוך שימוש בפרק הזורמים החינמי של OpenStax University Physics ובסימולציות PhET, שאליהם אנו מקשרים היכן שהם מועילים. אף אחד מהמחברים או המוסדות האלה אינו תומך בדף זה.

מה שאנו מוסיפים: כל יחידה קשורה לעבודה אמיתית עם מקור ציבורי מצוטט (אנרגיה הידרואלקטרית, אגירה שאובה, אנרגיה ימית, דליפות מים ביתיות, מחזור אוקייני וטורבינות רוח), כל מספר בדף מחושב מחדש בסקריפט בדיקה לפני פרסומו, ולכל מעבדה יש סימולציה חינמית או גרסה ביתית בטוחה.

עברו עליו לפי הסדר. בכל יחידה יש מטרות, רעיונות מרכזיים, משוואות, דוגמאות צעד אחר צעד, תרגול עם תשובות מלאות, טעויות נפוצות, כרטיסיות ובוחן. ההתקדמות שלכם נשמרת רק בדפדפן הזה.

איך הקורס הזה עוזר להציל את כדור הארץ

מים ואוויר בתנועה נושאים את רוב האנרגיה המתחדשת בעולם: נהרות דרך טורבינות הידרואלקטריות, רוח על להבי טורבינות, גאות וגלים אל התקני אנרגיה ימית. מכניקת זורמים קובעת גם כמה אנרגיה נדרשת לשאיבת מים לערים ולחוות, וכמה הולכת לאיבוד בדליפות ובחיכוך.

זרמי אוקיינוס מסיעים חום סביב כדור הארץ ומעצבים את האקלים. כל יחידה מסתיימת בקטע קצר עם מקורות. ערכים שאינם ממקור מסומנים כערכים לדוגמה.

חזרה למעלה

לפני שמתחילים

ידע מוקדם

  • חדו״א III: נגזרות חלקיות, דיברגנץ ואינטגרלים מרובים.
  • משוואות דיפרנציאליות: מד״ר מסדר ראשון ושני.
  • סטטיקה ודינמיקה: דיאגרמות גוף חופשי, חוקי ניוטון ותנע.
  • תרמודינמיקה עוזרת במשוואת האנרגיה אך אינה חובה.

איך ללמוד

  • התחילו כל בעיה בשרטוט: נפח בקרה, קו זרם או דיאגרמת גוף חופשי של הזורם.
  • כתבו קודם במילים את המשוואה השולטת (מסה, תנע או אנרגיה), ואז בטלו איברים שתוכלו להצדיק.
  • עבדו בגבהים (מטרים של זורם) במערכות נוזל; הם מקלים על השוואת משאבות, צינורות וטורבינות.
  • חשבו את מספר ריינולדס לפני שבוחרים קורלציה לחיכוך או לגרר.
  • בדקו יחידות ומקרי קצה: ספיקה אפס פירושה הפסד אפס; הכפלת המהירות מגדילה פי ארבעה בערך את ההפסדים הטורבולנטיים.
  • פתרו כל תרגיל על נייר לפני שאתם פותחים את התשובה, וחזרו על הבחנים כעבור כמה ימים.

ציוד מעבדה (למעבדות הרטובות)

  • מחשב או טאבלט לסימולציות החינמיות של PhET‏: Density, ‏Buoyancy, ‏Under Pressure ו־Fluid Pressure and Flow.
  • בקבוק פלסטיק שקוף, מסמר או שיפוד, סרגל וסרט הדבקה.
  • משקל מטבח, כד מדידה, דלי וסטופר.
  • צינור גינה או ברז כיור.
  • תוכנת גיליון אלקטרוני למעבדות הצינורות והמשאבות.

חזרה למעלה

לוח זמנים מוצע ל־15 שבועות

כ־6 עד 9 שעות בשבוע: קריאה, תרגילים, ובשבועות המעבדה גם המעבדה.

שבועיחידהנושאיםקריאה
1תכונות זורמים: צפיפות, צמיגות ומתח פניםתכונות זורמים, צמיגות, מתח פניםOpenStax UP1 14.1, 14.7
2סטטיקה של זורמים, מנומטרים וציפההידרוסטטיקה ומנומטריםUP1 14.2
3סטטיקה של זורמים, מנומטרים וציפהכוחות על משטחים טבולים, ציפה, יציבות; מעבדה AUP1 14.4
4ברנולי, גבהים ומשוואת האנרגיהרציפות, ברנולי, גבהים, משוואת האנרגיה; מעבדה BUP1 14.5–14.6
5תנע אינטגרלי: סילונים, להבים, ברכיים וטורבינותמשפט ההסעה של ריינולדס, תנע, סילונים, להבים, פלטוןMIT 2.06
6ניתוח דיפרנציאלי: רציפות, נאוויה–סטוקס וזרימות מדויקותקינמטיקה, רציפות, פונקציית זרםMIT 2.06
7ניתוח דיפרנציאלי: רציפות, נאוויה–סטוקס וזרימות מדויקותנאוויה–סטוקס, קואט ופואזיי; מעבדה C; תרגול לבחינת אמצעMIT 2.25
8ניתוח ממדים, דמיון וניסויי מודלניתוח ממדים ודמיוןMIT 1.060
9זרימה בצינורות: חיכוך, דיאגרמת מודי והפסדים מקומייםזרימה למינרית וטורבולנטית בצינורות, דיאגרמת מודיMIT 1.060
10זרימה בצינורות: חיכוך, דיאגרמת מודי והפסדים מקומייםהפסדים מקומיים, רשתות; מעבדה DMIT 1.060
11משאבות, טורבינות ומערכות שאיבהמשאבות, עקומות מערכת, חוקי דמיון, טורבינות; מעבדה Fמערכות שאיבה של DOE
12זרימה חיצונית: שכבות גבול, גרר ועילוישכבות גבול, גרר, זרימת סטוקסNASA Glenn
13זרימה חיצונית: שכבות גבול, גרר ועילויעילוי, אנרגיית רוח, גבול בץ; מעבדה ENASA Glenn; DOE wind
14זרימה בתעלות פתוחות: נהרות, תעלות וקפיצות הידראוליותתעלות פתוחות, מספר פרוד, מנינגMIT 1.060
15זרימה בתעלות פתוחות: נהרות, תעלות וקפיצות הידראוליותאנרגיה סגולית, קפיצות הידראוליות, גלישים; תרגול לבחינה הסופיתMIT 1.060

חזרה למעלה

ההתקדמות שלכם

סמנו יחידות ומעבדות כשאתם מסיימים אותן, ועשו את הבחנים. ההתקדמות והציונים נשמרים רק בדפדפן הזה ולעולם לא נשלחים אלינו.

הפעילו JavaScript כדי לעקוב אחר ההתקדמות.

חזרה למעלה

יחידה 1 · שבוע 1

תכונות זורמים: צפיפות, צמיגות ומתח פנים

מה הופך חומר לזורם, הנחת הרצף, צפיפות וכובד סגולי, לחץ, צמיגות וחוק הצמיגות של ניוטון, צמיגות קינמטית, זורמים לא־ניוטוניים, מתח פנים ועלייה נימית, ולחץ אדים וקוויטציה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • להגדיר זורם ולהשתמש בהנחת הרצף.
  • להשתמש בחוק הצמיגות של ניוטון כדי למצוא מאמץ גזירה.
  • לחשב עלייה נימית ממתח הפנים.
  • להסביר כיצד הבדלי צפיפות מניעים זרימות.

מושגי מפתח

  • זורם מתעוות ברציפות תחת כל מאמץ גזירה, קטן ככל שיהיה. התייחסות אליו כרצף מאפשרת להגדיר צפיפות, מהירות ולחץ בכל נקודה.
  • צפיפות ρ ‏(kg/m³) וכובד סגולי SG = ρ/ρ_water. למים ב־20 °C ‏ρ = 998 kg/m³; לאוויר ב־15 °C ‏1.225 kg/m³.
  • חוק הצמיגות של ניוטון: מאמץ גזירה τ = μ du/dy. הצמיגות הדינמית μ מודדת התנגדות לגזירה; הצמיגות הקינמטית ν = μ/ρ. מים צמיגים פי 56 בערך מאוויר, אך ה־ν שלהם נמוך פי 15 בערך.
  • לזורמים לא־ניוטוניים (צבע, דם, משחת שיניים) יש צמיגות המשתנה עם קצב הגזירה.
  • מתח הפנים σ מותח משטחי נוזל; בצינור דק מים עולים h = 4σ cos θ/(ρgD). אם הלחץ המקומי יורד ללחץ האדים, הנוזל רותח: זוהי קוויטציה, הפוגעת במשאבות ובמדחפים.

משוואות מפתח

τ=μdudy\tau=\mu\frac{du}{dy}
חוק הצמיגות של ניוטון
ν=μρ\nu=\frac{\mu}{\rho}
צמיגות קינמטית
SG=ρρwaterSG=\frac{\rho}{\rho_{water}}
כובד סגולי
h=4σcos⁡θρgDh=\frac{4\sigma\cos\theta}{\rho gD}
עלייה נימית

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 1.1 מים (μ = 1.002 × 10⁻³ kg/(m·s)) ממלאים מרווח של 1 mm בין לוח קבוע ללוח הנע ב־2 m/s. מצאו את מאמץ הגזירה.

הצג את השלבים
  1. du/dy = 2/0.001 = 2000 s⁻¹.
  2. τ = 1.002 × 10⁻³ × 2000.

תשובה: τ = 2.00 Pa.

דוגמה 1.2 מצאו את העלייה הנימית של מים (σ = 0.0728 N/m, ‏θ = 0) בצינור זכוכית של 1 mm.

הצג את השלבים
  1. h = 4 × 0.0728/(998 × 9.81 × 0.001).

תשובה: h = 29.7 mm.

דוגמה 1.3 מצאו את ν למים ב־20 °C.

הצג את השלבים
  1. ν = 1.002 × 10⁻³/998.

תשובה: ν = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את ה־SG של מי ים (1025 kg/m³).

    הצג תשובה

    1025/998 = 1.027.

  2. מצאו את העלייה הנימית בצינור של 0.5 mm.

    הצג תשובה

    פי שניים: 59.5 mm.

  3. מצאו את μ_water/μ_air.

    הצג תשובה

    1.002 × 10⁻³/1.789 × 10⁻⁵ = 56.0.

  4. איזה חלק של קרחון צף מתחת למי הים?

    הצג תשובה

    917/1025 = 89.5%.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: צמיגות וצפיפות הן אותו דבר.

    בפועל: דבש צמיג; כספית צפופה אך אינה צמיגה במיוחד.

  • מיתוס: זורמים מתנגדים לגזירה כמו מוצקים.

    בפועל: הם זורמים תחת כל מאמץ גזירה.

  • מיתוס: קוויטציה דורשת טמפרטורה גבוהה.

    בפועל: לחץ נמוך מספיק.

כרטיסיות

  • זורם

    מתעוות ברציפות תחת גזירה.

  • צמיגות

    τ = μ du/dy.

  • צמיגות קינמטית

    ν = μ/ρ.

  • כובד סגולי

    ρ/ρ_water.

  • עלייה נימית

    4σ cos θ/(ρgD).

  • קוויטציה

    רתיחה בלחץ נמוך.

בוחן לבדיקה עצמית

1. מאמץ הגזירה בזורם ניוטוני הוא…

הצג תשובה

μ du/dy. חוק הצמיגות של ניוטון.

2. צמיגות קינמטית היא…

הצג תשובה

μ/ρ. ν = μ/ρ.

3. העלייה הנימית גדלה כשהצינור…

הצג תשובה

צר יותר. h ∝ 1/D.

4. קוויטציה מתרחשת כשהלחץ יורד ל…

הצג תשובה

לחץ האדים. רתיחה מקומית.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

NOAA מסבירה שרוחות מניעות את זרמי האוקיינוס ב־100 המטרים העליונים, אך זרמי העומק, באלפי מטרים, מונעים מהבדלי צפיפות של המים הנשלטים על ידי טמפרטורה ומליחות: המחזור התרמוהליני.

באזורי הקטבים נוצר קרח ים המשאיר את המלח מאחור, ולכן המים שמסביב נעשים מלוחים וצפופים יותר ושוקעים; מי פני השטח זורמים פנימה להחליפם, וכך מתחיל המסוע העולמי. הצפיפות, התכונה הראשונה ביחידה זו, מניעה חום סביב כל כדור הארץ.

ב־Saving Planets: אוקיינוסים · תצפית על כדור הארץ

מקורות: NOAA National Ocean Service: Thermohaline circulation

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 2 · שבועות 2–3

סטטיקה של זורמים, מנומטרים וציפה

לחץ בנקודה, משוואת ההידרוסטטיקה, לחץ מדיד ולחץ מוחלט, מנומטרים, כוחות הידרוסטטיים על משטחים מישוריים טבולים ומרכז הלחץ, כוחות על משטחים מעוקלים, עקרון ארכימדס ויציבות גופים צפים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לחשב לחץ בעומק ולקרוא מנומטרים.
  • למצוא את הכוח השקול ואת מרכז הלחץ על שער טבול.
  • ליישם את עקרון ארכימדס.
  • לשפוט אם גוף צף יציב.

מושגי מפתח

  • לחץ בנקודה פועל באופן שווה בכל הכיוונים. בזורם סטטי dp/dz = −ρg, ולכן בצפיפות קבועה p = p₀ + ρgh בעומק h. לחץ מדיד נמדד ביחס לאטמוספרה.
  • מנומטרים מאזנים עמודות זורם: עברו לאורך הצינור והוסיפו ρgh בירידה והחסירו בעלייה.
  • על משטח מישורי הכוח השקול הוא F = ρg h_c A (h_c = עומק המרכז הגאומטרי). הוא פועל במרכז הלחץ, מתחת למרכז הגאומטרי: y_cp = y_c + I_xc/(y_c A).
  • על משטחים מעוקלים, הרכיב האופקי הוא הכוח על ההיטל האנכי, והרכיב האנכי הוא משקל הזורם שמעל.
  • ארכימדס: כוח הציפה שווה למשקל הזורם שנדחק, F_B = ρ_fluid g V_displaced. גוף צף יציב אם המטצנטר שלו נמצא מעל מרכז הכובד.

משוואות מפתח

p=p0+ρghp=p_0+\rho gh
לחץ הידרוסטטי
F=ρghcAF=\rho g h_cA
כוח על משטח מישורי
ycp=yc+IxcycAy_{cp}=y_c+\frac{I_{xc}}{y_cA}
מרכז הלחץ
FB=ρfgVdispF_B=\rho_f gV_{disp}
כוח ציפה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 2.1 מצאו את הלחץ המדיד 10 m מתחת לפני מים מתוקים (ρ = 998 kg/m³).

הצג את השלבים
  1. p = 998 × 9.81 × 10.

תשובה: p = 97.9 kPa (בערך אטמוספרה אחת).

דוגמה 2.2 לשער מלבני אנכי ברוחב 2 m ובגובה 3 m שפתו העליונה בפני המים. מצאו את הכוח ואת עומק מרכז הלחץ.

הצג את השלבים
  1. h_c = 1.5 m; A = 6 m².
  2. F = 998 × 9.81 × 1.5 × 6 = 88.1 kN.
  3. I_xc = 2 × 3³/12 = 4.5 m⁴; y_cp = 1.5 + 4.5/(1.5 × 6).

תשובה: F = 88.1 kN הפועל 2.0 m מתחת לפני המים (בשני שלישים מהעומק).

דוגמה 2.3 מנומטר כספית (ρ = 13600 kg/m³) המחובר לצינור מים מראה הפרש של 0.1 m. מצאו את הפרש הלחצים.

הצג את השלבים
  1. Δp = (13600 − 1000) × 9.81 × 0.1 (מים מעל הכספית, ρ_water ≈ 1000 kg/m³).

תשובה: Δp = 12.4 kPa.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את כוח הציפה על עצם של 2 L הטבול כולו במים (ρ ≈ 1000 kg/m³).

    הצג תשובה

    1000 × 9.81 × 0.002 = 19.6 N.

  2. מהו הלחץ המוחלט בעומק 10 m אם p_atm = 101.3 kPa?

    הצג תשובה

    199.2 kPa.

  3. האם הכוח על סכר תלוי באורך המאגר?

    הצג תשובה

    לא; רק בעומק ובשטח הקיר.

  4. מדוע מרכז הלחץ נמצא מתחת למרכז הגאומטרי?

    הצג תשובה

    הלחץ גדל עם העומק.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הלחץ תלוי בצורת הכלי.

    בפועל: רק בעומק (הפרדוקס ההידרוסטטי).

  • מיתוס: כוח הציפה תלוי במשקל הגוף.

    בפועל: הוא תלוי בנפח שנדחק.

  • מיתוס: הכוח על שער פועל במרכזו.

    בפועל: הוא פועל במרכז הלחץ, נמוך יותר.

כרטיסיות

  • הידרוסטטיקה

    p = p₀ + ρgh.

  • לחץ מדיד

    ביחס לאטמוספרה.

  • כוח על משטח מישורי

    ρg h_c A.

  • מרכז הלחץ

    y_c + I/(y_c A).

  • ארכימדס

    F_B = ρgV.

  • יציבות

    מטצנטר מעל G.

בוחן לבדיקה עצמית

1. הלחץ בעומק h הוא…

הצג תשובה

ρgh. הידרוסטטיקה (מדיד).

2. כוח הציפה שווה ל…

הצג תשובה

משקל הזורם שנדחק. ארכימדס.

3. בשער אנכי היוצא מפני המים, מרכז הלחץ נמצא ב…

הצג תשובה

שני שלישים מהעומק. עומס משולש.

4. גוף צף יציב אם…

הצג תשובה

M מעל G. מטצנטר.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

משרד האנרגיה של ארה״ב מציין שבארצות הברית יש יותר מ־90000 סכרים, ופחות מ־3% מהם מייצרים חשמל; השאר משמשים לנופש, לבריכות חקלאיות, לבקרת שיטפונות, לאספקת מים ולהשקיה. כל אחד מהם מתוכנן במשוואות של יחידה זו: עומס המים על סכר גדל עם ריבוע העומק ופועל נמוך על הקיר.

משרד האנרגיה מתאר את תחנת הכוח ההידרואלקטרית הנפוצה ביותר, מתקן אגירה, כסכר האוגר מי נהר במאגר; מים המשוחררים דרך טורבינה מסובבים גנרטור, והשחרורים יכולים לשמש גם לבקרת שיטפונות, לנופש, למעבר דגים ולאיכות המים. לחץ המים האגורים על הסכר והגובה שלהם בטורבינה נובעים ישירות מ־p = ρgh.

ב־Saving Planets: סטטיקה · אוקיינוסים

מקורות: U.S. DOE: Types of hydropower plants

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 3 · שבוע 4

ברנולי, גבהים ומשוואת האנרגיה

קווי זרם והדמיית זרימה, רציפות Q = AV, משוואת ברנולי ומגבלותיה, גובה לחץ, גובה מהירות וגובה טופוגרפי, קו האנרגיה, חוק טוריצ׳לי, משוואת האנרגיה לזרימה יציבה עם גובה משאבה, טורבינה והפסדים, והפקת אנרגיה הידרואלקטרית.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • ליישם רציפות וברנולי לאורך קו זרם.
  • לעבוד בגבהים: לחץ, מהירות וגובה.
  • להשתמש במשוואת האנרגיה עם גובה משאבה, טורבינה והפסדים.
  • לחשב הספק הידרואלקטרי והספק שאיבה.

מושגי מפתח

  • בזרימה יציבה בלתי דחיסה, הספיקה הנפחית Q = AV זהה בכל חתך של צינור (רציפות).
  • ברנולי לאורך קו זרם (יציב, לא צמיג, בלתי דחיס): p/(ρg) + V²/(2g) + z = קבוע. כל איבר הוא גובה במטרים.
  • טוריצ׳לי: לסילון היוצא ממכל בעומק h יש מהירות V = √(2gh).
  • מערכות אמיתיות מוסיפות משאבות וטורבינות ומאבדות אנרגיה בחיכוך: p₁/(ρg) + V₁²/(2g) + z₁ + h_pump = p₂/(ρg) + V₂²/(2g) + z₂ + h_turbine + h_L.
  • הספק מגובה: P = ρgQH. טורבינות מספקות P = ηρgQH; משאבות דורשות P = ρgQH/η. משרד האנרגיה מציין שתפוקה הידרואלקטרית תלויה בספיקה ובגובה.

משוואות מפתח

Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2
רציפות
pρg+V22g+z=const\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=\text{const}
ברנולי בגבהים
V=2ghV=\sqrt{2gh}
טוריצ׳לי
P=ηρgQHP=\eta\rho gQH
אנרגיה הידרואלקטרית

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 3.1 מצאו את מהירות הסילון מחור הנמצא 5 m מתחת לפני המים במכל.

הצג את השלבים
  1. V = √(2 × 9.81 × 5).

תשובה: V = 9.90 m/s.

דוגמה 3.2 לתחנה הידרואלקטרית Q = 50 m³/s, גובה H = 100 m ונצילות כוללת 0.9 (ערכים לדוגמה; ρ = 1000 kg/m³). מצאו את ההספק.

הצג את השלבים
  1. P = 0.9 × 1000 × 9.81 × 50 × 100.

תשובה: P = 44.1 MW, תחנה „גדולה” לפי ההגדרה של משרד האנרגיה (30 MW).

דוגמה 3.3 משאבה מעלה 0.05 m³/s מים לגובה 20 m עם 5 m הפסדי צנרת בנצילות 75%. מצאו את הספק הכניסה.

הצג את השלבים
  1. h_pump = 20 + 5 = 25 m.
  2. P = 1000 × 9.81 × 0.05 × 25/0.75.

תשובה: P = 16.4 kW.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. צינור גינה מעביר 0.4 L/s דרך קדח של 20 mm אל נחיר של 10 mm. מצאו את שתי המהירויות.

    הצג תשובה

    1.27 m/s ו־5.09 m/s.

  2. המירו 200 kPa למטרים של עמוד מים.

    הצג תשובה

    200,000/(1000 × 9.81) = 20.4 m.

  3. מכפילים את הגובה של תחנה הידרואלקטרית באותה Q. מהו ההספק?

    הצג תשובה

    הוא מוכפל.

  4. מדוע צינור פיטו מראה יותר מפתח לחץ סטטי?

    הצג תשובה

    הוא מוסיף את גובה המהירות.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: ברנולי חל לרוחב משאבה.

    בפועל: השתמשו במשוואת האנרגיה עם h_pump.

  • מיתוס: זרימה מהירה יותר פירושה לחץ גבוה יותר.

    בפועל: לאורך קו זרם, מהיר יותר פירושו לחץ סטטי נמוך יותר.

  • מיתוס: גובה הוא לחץ.

    בפועל: זוהי אנרגיה ליחידת משקל, במטרים.

כרטיסיות

  • רציפות

    Q = AV.

  • ברנולי

    p/ρg + V²/2g + z = const.

  • טוריצ׳לי

    V = √(2gh).

  • משוואת האנרגיה

    מוסיפה h_pump, ‏h_turbine, ‏h_L.

  • אנרגיה הידרואלקטרית

    P = ηρgQH.

  • הספק משאבה

    ρgQH/η.

בוחן לבדיקה עצמית

1. גובה המהירות הוא…

הצג תשובה

V²/(2g). אנרגיה קינטית ליחידת משקל.

2. חציית שטח הצינור מכפילה את…

הצג תשובה

המהירות. רציפות.

3. הספק הידרואלקטרי פרופורציוני ל…

הצג תשובה

Q × H. P = ηρgQH.

4. מהירות הסילון של טוריצ׳לי היא…

הצג תשובה

√(2gh). ברנולי מהמכל לסילון.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

משרד האנרגיה של ארה״ב מסביר שאנרגיה הידרואלקטרית מונעת באנרגיה הקינטית של מים זורמים, ושהאנרגיה הזמינה תלויה הן בנפח הזרימה והן בשינוי הגובה, המפל: ככל שהספיקה גדולה והמפל גבוה יותר, אפשר לייצר יותר חשמל. המים זורמים בצינור לחץ ומסובבים טורבינה המחוברת לגנרטור.

משרד האנרגיה מסווג תחנות לפי גודל: הידרו גדול מעל 30 MW, הידרו קטן מ־100 kW עד 10 MW, ומיקרו־הידרו עד 100 kW, מספיק לבית אחד, לחווה או לכפר. P = ηρgQH מאפשר לקבוע את גודלה של כל אחת מהן ממדידת ספיקה ומסקר של המפל.

ב־Saving Planets: פתרונות · תרמודינמיקה

מקורות: U.S. DOE: How hydropower works · U.S. DOE: Types of hydropower plants

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 4 · שבוע 5

תנע אינטגרלי: סילונים, להבים, ברכיים וטורבינות

משפט ההסעה של ריינולדס, משוואת התנע הקווי לנפחי בקרה, כוחות של סילונים על לוחות ולהבים, כוחות על ברכי צינור ונחירים, נפחי בקרה נעים, טורבינות דחף (גלגלי פלטון), ומשוואת התנע הזוויתי למכונות טורבו.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לנסח את משפט ההסעה של ריינולדס.
  • ליישם את משוואת התנע על סילונים ולהבים.
  • לנתח להב נע וגלגל פלטון.
  • להשתמש בתנע זוויתי למומנט של טורבינות ומשאבות.

מושגי מפתח

  • משפט ההסעה של ריינולדס: קצב השינוי של תכונה של מערכת זורם = קצב השינוי בתוך נפח בקרה + השטף היוצא נטו דרך שטחו.
  • תנע קווי יציב: ΣF = Σṁ_out V_out − Σṁ_in V_in (וקטורים). כללו את כוחות הלחץ על החתכים ואת כוח התמיכה.
  • סילון במהירות V ובספיקה Q הפוגע חזיתית בלוח שטוח מפעיל F = ρQV. להב המסיט את הסילון בזווית θ מפעיל F = ρQV(1 − cos θ) לאורך הסילון.
  • ללהב הנע במהירות U, השתמשו במהירות היחסית (V − U). הדליים של גלגל פלטון מסיטים את הסילון בכמעט 180°; ההספק F·U מרבי ב־U = V/2.
  • תנע זוויתי: מומנט = ṁ(r₂V_θ2 − r₁V_θ1) (משוואת אוילר למכונות טורבו), הבסיס לתכנון משאבות וטורבינות.

משוואות מפתח

∑F=∑m˙Vout−∑m˙Vin\sum\mathbf F=\sum\dot m\mathbf V_{out}-\sum\dot m\mathbf V_{in}
תנע יציב
F=ρQV(1−cos⁡θ)F=\rho QV(1-\cos\theta)
כוח של סילון מוסט
F=ρQ(V−U)(1−cos⁡β)F=\rho Q(V-U)(1-\cos\beta)
להב נע
T=m˙(r2Vθ2−r1Vθ1)T=\dot m(r_2V_{\theta2}-r_1V_{\theta1})
משוואת אוילר למכונות טורבו

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 4.1 סילון מים של 50 mm ב־20 m/s פוגע חזיתית בלוח שטוח. מצאו את הכוח.

הצג את השלבים
  1. A = π × 0.05²/4 = 1.963 × 10⁻³ m².
  2. F = ρAV² = 1000 × 1.963 × 10⁻³ × 400.

תשובה: F = 785 N.

דוגמה 4.2 אותו סילון מוסט ב־120° על ידי להב קבוע. מצאו את הכוח לאורך הסילון.

הצג את השלבים
  1. F = ρAV²(1 − cos 120°) = 785 × 1.5.

תשובה: F = 1178 N.

דוגמה 4.3 דלי פלטון הנע ב־15 m/s מקבל סילון של 0.01 m³/s ב־30 m/s ומסיט אותו ב־165°. מצאו את הכוח ואת ההספק.

הצג את השלבים
  1. F = 1000 × 0.01 × (30 − 15)(1 − cos 165°) = 294.9 N.
  2. P = F × U.

תשובה: F = 294.9 N; ‏P = 4.42 kW (הסילון נושא ½ρQV² = 4.5 kW).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. באיזו מהירות דליים נותן גלגל פלטון הספק מרבי?

    הצג תשובה

    מחצית ממהירות הסילון.

  2. מכפילים את מהירות הסילון באותו שטח. מהו הכוח על לוח?

    הצג תשובה

    פי 4.

  3. מנו את הכוחות במאזן תנע של ברך צינור.

    הצג תשובה

    כוחות לחץ בכניסה וביציאה, משקל וכוח התמיכה.

  4. מדוע דלי פלטון מחולקים באמצע?

    הצג תשובה

    כדי להסיט את הסילון בכמעט 180° בלי שיפגע בדלי הבא.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הכוח על הלוח תלוי בגודל הלוח.

    בפועל: בסילון המוסט כולו, רק ב־ρQV.

  • מיתוס: להב נע רואה את מלוא מהירות הסילון.

    בפועל: הוא רואה V − U.

  • מיתוס: תנע הוא סקלר.

    בפועל: הוא וקטור; פרקו לרכיבים.

כרטיסיות

  • RTT

    קצב המערכת = קצב בנפח הבקרה + שטף יוצא נטו.

  • תנע

    ΣF = Σṁ V_out − Σṁ V_in.

  • לוח

    ρQV.

  • להב

    ρQV(1 − cos θ).

  • פלטון

    מיטבי ב־U = V/2.

  • טורבינת אוילר

    T = ṁ Δ(rV_θ).

בוחן לבדיקה עצמית

1. הכוח של סילון על לוח שטוח הוא…

הצג תשובה

ρQV. שטף תנע.

2. הסטת סילון ב־180° נותנת כוח של…

הצג תשובה

2ρQV. 1 − cos 180° = 2.

3. יחס U/V המיטבי לגלגל פלטון הוא…

הצג תשובה

0.5. ממקסם את (V − U)U.

4. משוואת אוילר נותנת למכונת טורבו את…

הצג תשובה

מומנט הכוח. תנע זוויתי.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

משרד האנרגיה של ארה״ב מסביר שאגירה הידרואלקטרית שאובה פועלת כמו סוללה ענקית: כשהביקוש נמוך היא שואבת מים למאגר עליון, וכשהביקוש גבוה המים זורמים חזרה למטה דרך טורבינה. לפי משרד האנרגיה, אגירה שאובה מהווה 88% מכל אגירת האנרגיה בקנה מידה של רשת בארצות הברית, ב־43 תחנות, ויש מקום ליותר מהכפלת ההספק המותקן.

כל משאבה־טורבינה מתוכננת במשוואות התנע והתנע הזוויתי של יחידה זו: זוויות הלהבים של הרוטור קובעות כמה מומנט המים מוסרים או מקבלים. אגירת אנרגיית שמש ורוח בדרך זו תלויה בתכנון נכון של הלהבים האלה.

ב־Saving Planets: פתרונות · דינמיקה

מקורות: U.S. DOE: Pumped storage hydropower

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 5 · שבועות 6–7

ניתוח דיפרנציאלי: רציפות, נאוויה–סטוקס וזרימות מדויקות

קינמטיקה של זורמים (שדה מהירות, תאוצה, ערבוליות, עיבור), משוואת הרציפות הדיפרנציאלית, פונקציית הזרם, משוואות אוילר ונאוויה–סטוקס, תנאי שפה, ופתרונות למינריים מדויקים: זרימת קואט, זרימת פואזיי מישורית וזרימת הגן–פואזיי בצינור.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לחשב את התאוצה החומרית של שדה מהירות.
  • לבדוק רציפות ולמצוא פונקציית זרם.
  • לנסח את משוואות נאוויה–סטוקס ואת תנאי השפה שלהן.
  • לפתור את זרימות קואט והגן–פואזיי.

מושגי מפתח

  • בתיאור האוילריאני לתאוצה יש חלק מקומי ∂V/∂t וחלק הסעתי (V·∇)V; סכומם הוא הנגזרת החומרית DV/Dt.
  • רציפות בלתי דחיסה: ∇·V = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0. ב־2D, פונקציית זרם ψ עם u = ∂ψ/∂y, ‏v = −∂ψ/∂x מקיימת אותה אוטומטית.
  • נאוויה–סטוקס (בלתי דחיס, ניוטוני): ρ DV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V. עם תנאי אי־החלקה בקירות, היא שולטת כמעט בכל זרימה בקורס הזה; רק מקרים מעטים נפתרים במדויק.
  • זרימת קואט בין לוח קבוע ללוח נע: פרופיל מהירות לינארי, גזירה τ = μU/h.
  • זרימת הגן–פואזיי בצינור: פרופיל פרבולי, u_max = 2V_avg, ו־Q = πR⁴Δp/(8μL). היא תקפה כל עוד הזרימה למינרית (Re מתחת לכ־2300).

משוואות מפתח

DVDt=∂V∂t+(V⋅∇)V\frac{D\mathbf V}{Dt}=\frac{\partial\mathbf V}{\partial t}+(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V
תאוצה חומרית
∇⋅V=0\nabla\cdot\mathbf V=0
רציפות לא דחיסה
ρDVDt=−∇p+ρg+μ∇2V\rho\frac{D\mathbf V}{Dt}=-\nabla p+\rho\mathbf g+\mu\nabla^2\mathbf V
נאוויה–סטוקס
Q=πR4Δp8μLQ=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}
הגן–פואזיי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 5.1 מים זורמים בצינור בקוטר 4 mm עם Δp/L = 100 Pa/m. מצאו את Q, ‏V_avg, ‏u_max ו־Re.

הצג את השלבים
  1. Q = π × 0.002⁴ × 100/(8 × 1.002 × 10⁻³) = 6.27 × 10⁻⁷ m³/s.
  2. V = Q/(π × 0.002²) = 0.0499 m/s; ‏u_max = 2V.
  3. Re = 998 × 0.0499 × 0.004/1.002 × 10⁻³.

תשובה: Q = 6.27 × 10⁻⁷ m³/s, ‏V = 0.0499 m/s, ‏u_max = 0.0998 m/s, ‏Re = 199 (למינרית).

דוגמה 5.2 לוח נע ב־1 m/s מעל שכבת מים של 2 mm. מצאו את מאמץ הגזירה.

הצג את השלבים
  1. τ = μU/h = 1.002 × 10⁻³ × 1/0.002.

תשובה: τ = 0.501 Pa.

דוגמה 5.3 האם V = (2x, −2y) בלתי דחיס, ומהי התאוצה שלו ב־(1, 1)?

הצג את השלבים
  1. ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2 − 2 = 0.
  2. a_x = u ∂u/∂x = 2x × 2 = 4x; a_y = v ∂v/∂y = (−2y)(−2) = 4y.

תשובה: Yes; a = (4, 4) m/s².

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. חוצים את רדיוס הצינור באותו Δp/L. מהי Q?

    הצג תשובה

    1/16 מהקודם.

  2. מצאו את ψ עבור u = 1, ‏v = 0.

    הצג תשובה

    ψ = y.

  3. היכן הגזירה הגדולה ביותר בזרימת פואזיי?

    הצג תשובה

    בקיר.

  4. מהו תנאי השפה בקיר מוצק?

    הצג תשובה

    אי־החלקה: מהירות הזורם שווה למהירות הקיר.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: לזרימה יציבה יש תאוצה אפס.

    בפועל: תאוצה הסעתית יכולה להיות שונה מאפס.

  • מיתוס: למשוואות נאוויה–סטוקס יש פתרונות מדויקים רבים.

    בפועל: רק לגאומטריות פשוטות מעטות.

  • מיתוס: חוק פואזיי תקף לכל זרימה בצינור.

    בפועל: רק לזרימה למינרית.

כרטיסיות

  • נגזרת חומרית

    ∂/∂t + V·∇.

  • רציפות

    ∇·V = 0.

  • פונקציית זרם

    u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x.

  • נאוויה–סטוקס

    ρDV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V.

  • קואט

    τ = μU/h.

  • פואזיי

    Q = πR⁴Δp/8μL.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ה־Q של הגן–פואזיי משתנה עם הרדיוס כמו…

הצג תשובה

R⁴. πR⁴Δp/(8μL).

2. בזרימת קואט הפרופיל הוא…

הצג תשובה

לינארי. אין מפל לחץ.

3. התאוצה ההסעתית היא…

הצג תשובה

(V·∇)V. שינוי במרחב.

4. u_max/V_avg בזרימה למינרית בצינור הוא…

הצג תשובה

2. פרבולי.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה־EPA מדווחת שדליפות ביתיות עלולות לבזבז כמעט 1 טריליון גלונים של מים בשנה בכל המדינה, שדליפות של משק בית ממוצע עלולות לבזבז יותר מ־9300 גלונים בשנה, ושב־9% מהבתים יש דליפות המבזבזות 50 גלונים או יותר ביום.

דליפות קטנות דרך אטמים ומחברים שחוקים הן לעיתים קרובות זרימות איטיות ולמינריות דרך מרווחים זעירים, שבהן חוק ה־R⁴ שלמעלה מראה מדוע הרחבה קטנה של סדק משנה הרבה. לפי ה־EPA, תיקון דליפות ביתיות שקל לתקן יכול לחסוך כ־10% בחשבונות המים.

ב־Saving Planets: משוואות דיפרנציאליות · חשבון אינפיניטסימלי 3

מקורות: U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 6 · שבוע 8

ניתוח ממדים, דמיון וניסויי מודל

הומוגניות ממדית, משפט פאי של בקינגהם, קבוצות חסרות ממד נפוצות (ריינולדס, פרוד, מאך, ובר, אוילר), דמיון גאומטרי, קינמטי ודינמי, חוקי מודל ואפקטי קנה מידה, והפיכת המשוואות השולטות לחסרות ממד.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • למצוא קבוצות חסרות ממד בעזרת משפט פאי.
  • לומר מה משווים Re, ‏Fr, ‏Ma ו־We.
  • להעביר תוצאות ניסויי מודל לגודל מלא בדמיון פרוד או ריינולדס.
  • להסביר מדוע דמיון מלא בלתי אפשרי לעיתים קרובות.

מושגי מפתח

  • כל משוואה תקפה היא הומוגנית ממדית. משפט פאי של בקינגהם קובע שלבעיה עם n משתנים ו־k ממדי יסוד יש n − k קבוצות חסרות ממד בלתי תלויות.
  • קבוצות נפוצות: Re = ρVL/μ (התמדה/צמיגות), Fr = V/√(gL) (התמדה/כובד), Ma = V/a (דחיסות), We = ρV²L/σ (התמדה/מתח פנים), Eu = Δp/(ρV²) (לחץ).
  • דמיון דינמי: אם למודל ולאב־הטיפוס אותה גאומטריה ואותן קבוצות חסרות ממד שולטות, התוצאות חסרות הממד שלהם (C_D, ‏C_p, נצילות) זהות.
  • זרימות עם פני שטח חופשיים (ספינות, מגלשי שפך, גלים) משתמשות בקנה מידה של פרוד: V_m = V_p√(L_m/L_p); כוחות משתנים כחזקה שלישית של קנה המידה של האורך, והספק כחזקה 3.5 שלו.
  • התאמה של Re ו־Fr יחד דורשת בדרך כלל זורם בלתי אפשרי, ולכן מהנדסים מתאימים את הקבוצה הדומיננטית ומתקנים את האחרת (אפקטי קנה מידה).

משוואות מפתח

Π groups=n−k\Pi\text{ groups}=n-k
משפט פאי של בקינגהם
Re=ρVLμ, Fr=VgLRe=\frac{\rho VL}{\mu},\ Fr=\frac{V}{\sqrt{gL}}
מספרי ריינולדס ופרוד
Vm=VpLm/LpV_m=V_p\sqrt{L_m/L_p}
קנה מידה של פרוד
FpFm=(LpLm)3\frac{F_p}{F_m}=\left(\frac{L_p}{L_m}\right)^3
קנה מידה של כוחות (פרוד, אותו זורם)

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 6.1 הגרר F על כדור תלוי ב־ρ, ‏V, ‏D ו־μ. כמה קבוצות פאי יש, ומהן?

הצג את השלבים
  1. n = 5 משתנים, k = 3 ממדים (M, L, T).
  2. קבוצות: F/(ρV²D²) ו־ρVD/μ.

תשובה: 2 קבוצות: C_D = f(Re).

דוגמה 6.2 מודל אנרגיית גלים בקנה מידה 1:20 נבחן בקנה מידה של פרוד. מהירות הגל בגודל מלא היא 10 m/s. מצאו את מהירות המודל.

הצג את השלבים
  1. V_m = 10/√20.

תשובה: V_m = 2.24 m/s.

דוגמה 6.3 עבור מודל זה, איך משתנים הכוחות וההספק?

הצג את השלבים
  1. F_p/F_m = 20³.
  2. P_p/P_m = 20^3.5.

תשובה: כוחות × 8000; הספק × 35777.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. איזו קבוצה חשובה ביותר לגלים של ספינה?

    הצג תשובה

    מספר פרוד.

  2. ואיזו לזרימה בצינור קטן?

    הצג תשובה

    מספר ריינולדס.

  3. מודל 1:10 באותו זורם חייב להתאים את Re. מהירות המודל לעומת הגודל המלא?

    הצג תשובה

    מהירה פי 10.

  4. מה משווה We?

    הצג תשובה

    התמדה למתח פנים.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: ניסויי מודל משתמשים באותה מהירות כמו בגודל מלא.

    בפועל: הם משתמשים במהירויות מותאמות לקנה המידה.

  • מיתוס: חסר ממד פירושו לא חשוב.

    בפועל: קבוצות חסרות ממד שולטות בפיזיקה.

  • מיתוס: כל מודל נותן תוצאות מדויקות לגודל מלא.

    בפועל: אפקטי קנה מידה נשארים כשלא כל הקבוצות מותאמות.

כרטיסיות

  • משפט פאי

    n − k קבוצות.

  • ריינולדס

    התמדה/צמיגות.

  • פרוד

    התמדה/כובד.

  • ובר

    התמדה/מתח פנים.

  • דמיון

    אותן קבוצות, אותם מקדמים.

  • קנה מידה של פרוד

    V ∝ √L.

בוחן לבדיקה עצמית

1. מספר פרוד משווה התמדה ל…

הצג תשובה

כבידה. V/√(gL).

2. עם 6 משתנים ו־3 ממדים יש…

הצג תשובה

3. n − k.

3. כוחות בקנה מידה של פרוד (אותו זורם) משתנים עם האורך בחזקת…

הצג תשובה

3rd. L³.

4. ה־C_D של כדור חלק תלוי בעיקר ב…

הצג תשובה

Re. השפעות צמיגות.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

משרד האנרגיה של ארה״ב מתאר אנרגיה ימית כאנרגיה המופקת מגלים, מגאות ושפל, מזרמי נהרות ואוקיינוסים ומהבדלי טמפרטורה באוקיינוס. לדבריו, סך משאב האנרגיה הימית של ארה״ב שווה לכ־57% מכל ייצור החשמל בארה״ב ב־2019, ומשאבים אלה צפויים מאוד.

משרד האנרגיה מציין שחוקרים בודקים ופורסים טכנולוגיות חדשות לניצול המשאב. ממירי אנרגיית גלים וטורבינות גאות מפותחים בעזרת מודלים מוקטנים במיכלי גלים ובתעלות הרבה לפני שהתקנים בגודל מלא יוצאים לים, תוך שימוש בקנה המידה של פרוד ושל ריינולדס מיחידה זו.

ב־Saving Planets: אוקיינוסים · פתרונות

מקורות: U.S. DOE: Marine energy basics

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 7 · שבועות 9–10

זרימה בצינורות: חיכוך, דיאגרמת מודי והפסדים מקומיים

זרימה למינרית וטורבולנטית בצינורות, אורך כניסה, משוואת דארסי–וייסבך, מקדם חיכוך למינרי 64/Re, דיאגרמת מודי וקורלציות קולברוק והאלנד, הפסדים מקומיים, תעלות לא מעגליות וקוטר הידראולי, וצנרת בטור, במקביל וברשת.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • להחליט אם זרימה בצינור למינרית או טורבולנטית.
  • לחשב הפסדי חיכוך בדארסי–וייסבך ובנוסחת האלנד.
  • להוסיף הפסדים מקומיים של אביזרים ושסתומים.
  • לפתור בעיות פשוטות של צינורות בטור ובמקביל.

מושגי מפתח

  • בצינורות הזרימה למינרית מתחת ל־Re ≈ 2300, וטורבולנטית מעל כ־4000. זרימה טורבולנטית מערבבת תנע בחוזקה ובעלת פרופיל שטוח יותר.
  • דארסי–וייסבך: h_L = f(L/D)(V²/2g). בזרימה למינרית f = 64/Re.
  • בזרימה טורבולנטית f תלוי ב־Re ובחספוס היחסי ε/D (דיאגרמת מודי). נוסחת האלנד מפורשת: 1/√f = −1.8 log₁₀[(ε/D/3.7)^1.11 + 6.9/Re].
  • אביזרים, שסתומים, ברכיים וכניסות מוסיפים הפסדים מקומיים h_m = K V²/(2g). בקווי צנרת ארוכים החיכוך שולט; בצנרת ביתית האביזרים חשובים.
  • תעלות לא מעגליות משתמשות בקוטר ההידראולי D_h = 4A/P. בצינורות בטור Q משותף וההפסדים מתחברים; במקביל הפסד הגובה משותף והספיקות מתחברות.

משוואות מפתח

Re=ρVDμRe=\frac{\rho VD}{\mu}
מספר ריינולדס בצינור
hL=fLDV22gh_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}
דארסי–וייסבך
1f=−1.8log⁡10[(ε/D3.7)1.11+6.9Re]\frac{1}{\sqrt f}=-1.8\log_{10}\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}+\frac{6.9}{Re}\right]
האלנד
hm=KV22gh_m=K\frac{V^2}{2g}
הפסד מקומי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 7.1 מים זורמים ב־2 m/s בצינור פלדה מסחרי של 50 mm (ε = 0.045 mm). מצאו את Re ואת f.

הצג את השלבים
  1. Re = 998 × 2 × 0.05/1.002 × 10⁻³ = 99,600.
  2. ε/D = 0.0009; האלנד נותן את f.

תשובה: Re = 9.96 × 10⁴ (טורבולנטית); ‏f = 0.0216.

דוגמה 7.2 מצאו את הפסד הגובה בחיכוך לאורך 100 m של אותו צינור.

הצג את השלבים
  1. h_L = 0.0216 × (100/0.05) × 2²/(2 × 9.81).

תשובה: h_L = 8.82 m.

דוגמה 7.3 מצאו את מקדם החיכוך הלמינרי ב־Re = 1500, ואת ההפסד של כניסה חדה (K = 0.5) ב־2 m/s.

הצג את השלבים
  1. f = 64/1500.
  2. h_m = 0.5 × 4/19.62.

תשובה: f = 0.0427; h_m = 0.102 m.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מצאו את D_h לתעלה של 0.2 m × 0.1 m.

    הצג תשובה

    4 × 0.02/0.6 = 0.133 m.

  2. מכפילים את V בזרימה טורבולנטית מחוספסת לחלוטין. h_L?

    הצג תשובה

    בערך פי 4.

  3. שני צינורות זהים במקביל מעבירים Q כולל. מהי הספיקה בכל אחד?

    הצג תשובה

    Q/2, עם אותו הפסד גובה.

  4. האם Re = 3000 למינרי או טורבולנטי?

    הצג תשובה

    מעברי.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: מקדם החיכוך קבוע.

    בפועל: הוא תלוי ב־Re ובחספוס.

  • מיתוס: הפסדים מקומיים תמיד שוליים.

    בפועל: לא בצינורות קצרים עם אביזרים רבים.

  • מיתוס: לזרימה למינרית הפסדים גבוהים יותר.

    בפועל: באותו תחום Re ה־f שלה נמוך יותר, אבל זרימה למינרית מתרחשת רק במהירויות נמוכות.

כרטיסיות

  • מעבר

    Re ≈ 2300–4000.

  • דארסי–וייסבך

    f(L/D)V²/2g.

  • f למינרי

    64/Re.

  • האלנד

    f מפורש.

  • הפסד מקומי

    KV²/2g.

  • קוטר הידראולי

    4A/P.

בוחן לבדיקה עצמית

1. מקדם החיכוך הלמינרי הוא…

הצג תשובה

64/Re. פואזיי.

2. הפסד דארסי–וייסבך משתנה עם…

הצג תשובה

V². ב־f קבוע.

3. הקוטר ההידראולי הוא…

הצג תשובה

4A/P. הגדרה.

4. לצינורות במקביל משותף/ת אותו/אותה…

הצג תשובה

הפסד הגובה. נקודות קצה משותפות.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה־EPA מציינת שברז המטפטף פעם בשנייה עלול לבזבז יותר מ־3000 גלונים בשנה, די ליותר מ־180 מקלחות, ושראש מקלחת הדולף 10 טיפות בדקה מבזבז יותר מ־500 גלונים בשנה. דליפת השקיה ברוחב 1/32 אינץ׳ עלולה לבזבז כ־6300 גלונים בחודש.

כל גלון שמסופק צריך גם להישאב דרך קילומטרים של צנרת, נגד הפסדי החיכוך של יחידה זו. תיקון דליפות חוסך גם את המים וגם את אנרגיית השאיבה; 3000 גלונים הם כ־11355 L, או 31.1 L בכל יום.

ב־Saving Planets: פתרונות · חוזק חומרים

מקורות: U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 8 · שבוע 11

משאבות, טורבינות ומערכות שאיבה

משאבות צנטריפוגליות וציריות, עומד המשאבה, הספק ונצילות, עקומות ביצועים של משאבה, עקומות מערכת ונקודת העבודה, משאבות בטור ובמקביל, חוקי דמיון והנעה במהירות משתנה, קוויטציה ו־NPSH, וטורבינות הידראוליות (פלטון, פרנסיס, קפלן).

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לקרוא עקומת משאבה ולמצוא את נקודת העבודה עם עקומת מערכת.
  • לחשב הספק ונצילות של משאבה.
  • ליישם את חוקי הדמיון על שינויי מהירות.
  • להסביר את ה־NPSH ואיך נמנעים מקוויטציה.

מושגי מפתח

  • משאבה מוסיפה לזרימה עומד h_p; ההספק ההידראולי הוא ρgQh_p והספק הציר ρgQh_p/η.
  • עקומת המשאבה (עומד היורד ככל שהספיקה עולה) פוגשת את עקומת המערכת (הרמה סטטית ועוד הפסדים העולים עם Q²) בנקודת העבודה.
  • חוקי דמיון לאותה משאבה במהירות חדשה N: ‏Q ∝ N, ‏H ∝ N², ‏P ∝ N³. האטת משאבה בהנעה במהירות משתנה במקום חניקת שסתום חוסכת אנרגיה רבה.
  • קוויטציה מתחילה כשלחץ הכניסה יורד קרוב ללחץ האדים. העומד הנקי החיובי הזמין ביניקה (NPSH_A) חייב לעלות על הנדרש למשאבה (NPSH_R).
  • טורבינות הידראוליות הן משאבות הפוכות: פלטון (דחף) למפל גבוה, פרנסיס למפל בינוני, קפלן (מדחף) למפל נמוך וספיקה גדולה; יחידות אגירה שאובה רבות הן משאבות־טורבינות הפיכות.

משוואות מפתח

Pshaft=ρgQhpηP_{shaft}=\frac{\rho gQh_p}{\eta}
הספק משאבה
Hsys=Hstatic+kQ2H_{sys}=H_{static}+kQ^2
עקומת מערכת
Q2Q1=N2N1, H2H1=(N2N1)2, P2P1=(N2N1)3\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{N_2}{N_1},\ \frac{H_2}{H_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2,\ \frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3
חוקי דמיון
NPSHA>NPSHRNPSH_A>NPSH_R
ללא קוויטציה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 8.1 עקומת משאבה היא H = 40 − 7000Q² ועקומת המערכת H = 10 + 5000Q² (H במטרים, Q ב־m³/s). מצאו את נקודת העבודה.

הצג את השלבים
  1. 40 − 7000Q² = 10 + 5000Q², ולכן Q² = 30/12000.
  2. Q = 0.05 m³/s; H = 10 + 5000 × 0.0025.

תשובה: Q = 0.05 m³/s, H = 22.5 m.

דוגמה 8.2 מצאו את הספק הציר בנקודה זו עם η = 0.75 (ρ = 1000 kg/m³).

הצג את השלבים
  1. P = 1000 × 9.81 × 0.05 × 22.5/0.75.

תשובה: P = 14.7 kW.

דוגמה 8.3 משאבה המספקת 0.05 m³/s בעומד של 30 m מואטת מ־1800 ל־1500 סל״ד. מצאו את הספיקה החדשה, את העומד החדש ואת יחס ההספקים.

הצג את השלבים
  1. Q = 0.05 × 1500/1800.
  2. H = 30 × (1500/1800)².
  3. יחס P = (1500/1800)³.

תשובה: Q = 0.0417 m³/s, ‏H = 20.8 m, הספק של 57.9% מהמקורי.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. שתי משאבות זהות בטור: מה מתחבר?

    הצג תשובה

    העומדים באותה ספיקה.

  2. שתיים במקביל?

    הצג תשובה

    הספיקות באותו עומד.

  3. מורידים את המהירות ב־20%. מהו ההספק?

    הצג תשובה

    0.8³ = 51.2%.

  4. איזו טורבינה מתאימה למפל של 500 m?

    הצג תשובה

    פלטון.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: חניקת שסתום היא דרך יעילה להקטין ספיקה.

    בפועל: היא מבזבזת עומד; עדיף להאט את המשאבה.

  • מיתוס: משאבה גדולה יותר תמיד עדיפה.

    בפועל: משאבות גדולות מדי פועלות רחוק מנקודת הנצילות המיטבית שלהן.

  • מיתוס: קוויטציה רק עושה רעש.

    בפועל: היא שוחקת אימפלרים ופוגעת בביצועים.

כרטיסיות

  • הספק משאבה

    ρgQh/η.

  • עקומת מערכת

    H_static + kQ².

  • נקודת עבודה

    העקומות נחתכות.

  • דמיון

    Q ∝ N, H ∝ N², P ∝ N³.

  • NPSH

    הימנעות מקוויטציה.

  • טורבינות

    פלטון, פרנסיס, קפלן.

בוחן לבדיקה עצמית

1. הספק משאבה משתנה עם המהירות כמו…

הצג תשובה

N³. חוקי דמיון.

2. נקודת העבודה היא היכן ש…

הצג תשובה

עקומת המשאבה פוגשת את עקומת המערכת. איזון.

3. כדי להימנע מקוויטציה…

הצג תשובה

NPSH_A > NPSH_R. מרווח.

4. מפל נמוך וספיקה גבוהה מתאימים ל…

הצג תשובה

קפלן. טורבינת מדחף.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

משרד היעילות התעשייתית של ה־DOE מציין שניתן להשיג חיסכון דרמטי באנרגיה ובעלויות במערכות שאיבה באמצעות יישום שיטות מיטביות לניהול אנרגיה ורכישת ציוד חסכוני, ומציע בחינם את Pumping System Assessment Tool (PSAT) ואת תוכנת MEASUR כדי לאתר אותו.

חוקי הדמיון מראים מאין בא חלק גדול מהחיסכון: משאבה שהואטה ב־20% בהנעה במהירות משתנה צריכה רק כמחצית מההספק. דף ה־DOE על אגירה שאובה מוסיף שמשאבות־טורבינות מעלות מים במעלה כשהחשמל זול ומייצרות חשמל כשצריך.

ב־Saving Planets: פתרונות · מעגלים חשמליים

מקורות: U.S. DOE: Pump systems · U.S. DOE: Pumped storage hydropower

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 9 · שבועות 12–13

זרימה חיצונית: שכבות גבול, גרר ועילוי

זרימה סביב גופים, שכבות גבול על לוחות שטוחים, גרר חיכוך וגרר לחץ, מקדמי גרר של כדורים, גלילים וגופים זורמניים, משבר הגרר, זרימת סטוקס ושקיעה, עילוי, וההספק הזמין בזרם רוח או מים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לחשב גרר ממקדם גרר.
  • להסביר את תפקידי גרר החיכוך וגרר הלחץ.
  • להשתמש בחוק סטוקס לחלקיקים קטנים.
  • למצוא את ההספק בזרם רוח ואת גבול בץ.

מושגי מפתח

  • גרר F_D = C_D ½ρV²A ועילוי F_L = C_L ½ρV²A, כאשר A שטח ייחוס. ‏C_D תלוי בצורה וב־Re.
  • בגופים זורמניים שולט בעיקר גרר החיכוך; בגופים קהים (כדורים, גלילים, משאיות) שולט בעיקר גרר הלחץ מעקבה מנותקת.
  • לכדור חלק C_D ≈ 0.47 עבור 10³ < Re < 2 × 10⁵; סביב Re ≈ 3 × 10⁵ שכבת הגבול הופכת לטורבולנטית, מתנתקת מאוחר יותר, ו־C_D צונח בחדות (משבר הגרר).
  • ב־Re נמוך מאוד (Re < 1), גרר סטוקס F = 3πμVD; חלקיק קטן שוקע במהירות V = (ρ_p − ρ)gD²/(18μ).
  • זרם בשטח A נושא הספק ½ρAV³. שום טורבינה אינה יכולה ללכוד יותר מ־16/27 ≈ 59.3% ממנו (גבול בץ).

משוואות מפתח

FD=CD12ρV2AF_D=C_D\tfrac12\rho V^2A
גרר
F=3πμVDF=3\pi\mu VD
גרר סטוקס
Vs=(ρp−ρ)gD218μV_s=\frac{(\rho_p-\rho)gD^2}{18\mu}
מהירות שקיעה
P=12ρAV3,  CP,max=1627P=\tfrac12\rho AV^3,\ \ C_{P,max}=\frac{16}{27}
הספק רוח וגבול בץ

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 9.1 כדור בקוטר 0.22 m נע ב־20 m/s באוויר (C_D = 0.47, ערך לדוגמה). מצאו את Re ואת הגרר.

הצג את השלבים
  1. Re = 1.225 × 20 × 0.22/1.789 × 10⁻⁵ = 3.01 × 10⁵.
  2. F = 0.47 × ½ × 1.225 × 400 × π × 0.11².

תשובה: Re = 3.01 × 10⁵ (קרוב למשבר הגרר); F = 4.38 N.

דוגמה 9.2 מצאו את מהירות השקיעה של גרגר חול בקוטר 50 µm ‏(ρ_p = 2500 kg/m³) במים.

הצג את השלבים
  1. V = (2500 − 998) × 9.81 × (50 × 10⁻⁶)²/(18 × 1.002 × 10⁻³).
  2. בדקו: Re = 998 × 0.00204 × 50 × 10⁻⁶/1.002 × 10⁻³ = 0.102.

תשובה: V = 2.04 mm/s; ‏Re < 1, ולכן חוק סטוקס תקף.

דוגמה 9.3 מצאו את הספק הרוח דרך רוטור בקוטר 100 m ב־10 m/s, ואת מקסימום בץ.

הצג את השלבים
  1. A = π × 50² = 7854 m².
  2. P = ½ × 1.225 × 7854 × 1000.
  3. P_max = P × 16/27.

תשובה: P = 4.81 MW; מקסימום בץ 2.85 MW.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. מכפילים את מהירות הרוח. מהו הספק הרוח?

    הצג תשובה

    פי 8.

  2. למה למשאיות יש חיפויים אווירודינמיים?

    הצג תשובה

    כדי להקטין את גרר הלחץ מהעקבה.

  3. מקטינים בחצי את קוטר החלקיק. מהי מהירות השקיעה לפי סטוקס?

    הצג תשובה

    1/4.

  4. מהו משבר הגרר?

    הצג תשובה

    הצניחה הפתאומית של C_D כששכבת הגבול הופכת לטורבולנטית.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: הגרר תמיד פרופורציוני ל־V².

    בפועל: ב־Re נמוך מאוד הוא פרופורציוני ל־V.

  • מיתוס: טורבינה יכולה להפיק את כל הספק הרוח.

    בפועל: גבול בץ מגביל זאת ל־59.3%.

  • מיתוס: משטחים מחוספסים תמיד מגדילים גרר.

    בפועל: בכדורים הם יכולים לעורר את משבר הגרר מוקדם יותר.

כרטיסיות

  • גרר

    C_D ½ρV²A.

  • גרר לחץ

    עקבה מאחורי גופים קהים.

  • משבר הגרר

    ‏C_D צונח סביב Re 3 × 10⁵.

  • סטוקס

    F = 3πμVD.

  • הספק רוח

    ½ρAV³.

  • בץ

    59.3%.

בוחן לבדיקה עצמית

1. הספק הרוח משתנה עם V כמו…

הצג תשובה

V³. ½ρAV³.

2. גבול בץ הוא בערך…

הצג תשובה

59%. 16/27.

3. גרר סטוקס חל כאשר Re…

הצג תשובה

< 1. זרימה זוחלת.

4. גרר של גוף קהה הוא בעיקר…

הצג תשובה

לחץ. עקבה מנותקת.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה־DOE מסביר שלהבי טורבינת רוח פועלים כמו כנף מטוס או רוטור מסוק: הפרש הלחצים משני צידי הלהב יוצר עילוי וגרר, ומכיוון שהעילוי חזק מהגרר הרוטור מסובב גנרטור. ה־DOE מציין שטורבינות יבשתיות נעות בין 100 קילוואט לכמה מגוואט.

החוק ½ρAV³ מסביר מדוע טורבינות נעשות גבוהות ורחבות יותר: הכפלת קוטר הרוטור מכפילה פי ארבעה את השטח, וטבורים גבוהים יותר מגיעים לרוחות מהירות יותר, וההספק עולה כחזקה שלישית של המהירות. גבול בץ קובע את היעד שכל מתכנן להבים שואף אליו.

ב־Saving Planets: אווירודינמיקה 1 · פתרונות

מקורות: משרד האנרגיה האמריקאי: איך פועלות טורבינות רוח? (באנגלית)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 10 · שבועות 14–15

זרימה בתעלות פתוחות: נהרות, תעלות וקפיצות הידראוליות

תעלות פתוחות, רדיוס הידראולי, מספר פרוד וזרימה תת־קריטית, קריטית ועל־קריטית, אנרגיה סגולית ועומק קריטי, זרימה אחידה ומשוואת מאנינג, קפיצות הידראוליות ופיזור אנרגיה, וגלשנים למדידת ספיקה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לסווג זרימה בתעלה לפי מספר פרוד.
  • למצוא עומק קריטי ואנרגיה סגולית.
  • להשתמש במשוואת מאנינג לזרימה אחידה.
  • לחשב את העומק אחרי קפיצה הידראולית ואת האנרגיה שאובדת בה.

מושגי מפתח

  • בתעלות פתוחות הכבידה מניעה את הזרימה והמשטח החופשי נמצא בלחץ האטמוספרי. הרדיוס ההידראולי הוא R_h = A/P (היקף רטוב).
  • מספר פרוד Fr = V/√(gy): ‏Fr < 1 תת־קריטית (איטית, עמוקה), Fr = 1 קריטית, Fr > 1 על־קריטית (מהירה, רדודה). גלי שטח יכולים לנוע במעלה הזרם רק בזרימה תת־קריטית.
  • אנרגיה סגולית E = y + V²/(2g). עבור ספיקה ליחידת רוחב q, המינימום של E מתקבל בעומק הקריטי y_c = (q²/g)^(1/3).
  • זרימה אחידה (מאנינג, SI): ‏V = (1/n) R_h^(2/3) S^(1/2), עם חספוס n (כ־0.013 לבטון מוחלק) ושיפוע קרקעית S.
  • קפיצה הידראולית הופכת זרימה על־קריטית לתת־קריטית: y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr₁²) − 1), ומפזרת עומד h_L = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂). מגלשי שפך משתמשים בקפיצות כדי להגן על אפיקי נהרות מתחת לסכרים.

משוואות מפתח

Fr=VgyFr=\frac{V}{\sqrt{gy}}
מספר פרוד
E=y+V22g,  yc=(q2g)1/3E=y+\frac{V^2}{2g},\ \ y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}
אנרגיה סגולית ועומק קריטי
V=1nRh2/3S1/2V=\frac1n R_h^{2/3}S^{1/2}
משוואת מאנינג (SI)
y2y1=12(1+8Fr12−1)\frac{y_2}{y_1}=\tfrac12\left(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1\right)
קפיצה הידראולית

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 10.1 בתעלת בטון ברוחב 2 m ‏(n = 0.013) זורמים מים בעומק 1 m בשיפוע 0.001. מצאו את V ואת Q.

הצג את השלבים
  1. A = 2 m², P = 4 m, R_h = 0.5 m.
  2. V = (1/0.013) × 0.5^(2/3) × 0.001^0.5.
  3. Q = VA.

תשובה: V = 1.53 m/s; Q = 3.06 m³/s.

דוגמה 10.2 מים זורמים בעומק 0.5 m ב־6 m/s מתחת למגלש שפך. מצאו את Fr, את העומק אחרי קפיצה הידראולית ואת העומד שאבד.

הצג את השלבים
  1. Fr = 6/√(9.81 × 0.5) = 2.71.
  2. y₂ = 0.25 × (√(1 + 8 × 2.71²) − 1).
  3. h_L = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂).

תשובה: Fr = 2.71; y₂ = 1.68 m; h_L = 0.491 m.

דוגמה 10.3 מצאו את העומק הקריטי עבור q = 2 m²/s.

הצג את השלבים
  1. y_c = (4/9.81)^(1/3).

תשובה: y_c = 0.742 m.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. האם V = 3 m/s בעומק 1 m היא זרימה תת־קריטית או על־קריטית?

    הצג תשובה

    Fr = 0.958, תת־קריטית.

  2. מצאו את E עבור y = 1 m, ‏V = 3 m/s.

    הצג תשובה

    1 + 9/19.62 = 1.459 m.

  3. איזה עומק יוביל q = 2 m²/s ב־V = 1.53 m/s?

    הצג תשובה

    2/1.532 = 1.31 m.

  4. למה בונים אגן הרגעה מתחת לסכר?

    הצג תשובה

    כדי לכפות קפיצה שמפזרת אנרגיה.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: זרימה מהירה היא תמיד על־קריטית.

    בפועל: השוו את V ל־√(gy).

  • מיתוס: קפיצה מרוויחה אנרגיה.

    בפועל: היא מאבדת אנרגיה.

  • מיתוס: מקדם n של מאנינג זהה בכל מקום.

    בפועל: הוא תלוי במשטח.

כרטיסיות

  • פרוד

    V/√(gy).

  • רדיוס הידראולי

    A/P.

  • אנרגיה סגולית

    y + V²/2g.

  • עומק קריטי

    (q²/g)^(1/3).

  • מאנינג

    (1/n)R^(2/3)S^(1/2).

  • קפיצה

    y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr²) − 1).

בוחן לבדיקה עצמית

1. זרימה על־קריטית היא…

הצג תשובה

Fr > 1. מהירה, רדודה.

2. הרדיוס ההידראולי הוא…

הצג תשובה

A/P. הגדרה.

3. האנרגיה הסגולית מינימלית ב…

הצג תשובה

עומק קריטי. dE/dy = 0.

4. קפיצה הידראולית…

הצג תשובה

מפזרת אנרגיה. ערבול טורבולנטי.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה־DOE מתאר תחנת כוח הידרו־אלקטרית מסוג הסטה, או זרימת נהר, כמתקן המוליך חלק מהנהר דרך תעלה ו/או צינור לחץ, ומנצל את השיפוע הטבעי של אפיק הנהר להפקת אנרגיה, לעיתים בלי סכר. תכנון התעלה הזו הוא בעיה של תעלה פתוחה: משוואת מאנינג קובעת את מידותיה לפי הספיקה, והירידה קובעת את המפל.

ה־DOE מוסיף ששחרורי מים ממאגרים יכולים לשרת מעבר דגים ואיכות מים. מהנדסים משתמשים במספר פרוד ובקפיצות הידראוליות כדי לעצב מגלשי שפך ותעלות שמגנים על אפיקי נהרות ושומרים על זרימות בטוחות לחיות הבר.

ב־Saving Planets: אוקיינוסים · תצפית על כדור הארץ

מקורות: U.S. DOE: Types of hydropower plants · U.S. DOE: How hydropower works

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

המעבדה (Fluid mechanics lab)

המעבדה היא החלק המעשי של הקורס. כאן היא חינמית ולתרגול בלבד, ללא נקודות זכות.

כל מעבדה אפשר לבצע בסימולציה חינמית או בעזרת חפצים מהמטבח ומהגינה. עבדו מעל כיור או בחוץ, נגבו מיד כל שפיכה כדי למנוע החלקה, השתמשו רק במי ברז קרים, והרחיקו מים משקעים וממכשירים חשמליים.

מקור בטיחות: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

מעבדה A: צפיפות וציפה בשקילה

שבוע 3

מטרה: למצוא נפח וצפיפות של עצם ממשקלו באוויר וממשקלו הנראה במים, בעזרת עקרון ארכימדס.

V=mair−mwaterρw,  ρ=mairVV=\frac{m_{air}-m_{water}}{\rho_w},\ \ \rho=\frac{m_{air}}{V}
עקרון ארכימדס

מהלך הניסוי

  1. חקרו את PhET Buoyancy: שנו את צפיפות העצם ואת צפיפות הנוזל וצפו בכוחות.
  2. בבית: שקלו עצם קטן וצפוף (אבן או כפית מתכת) במשקל מטבח.
  3. תלו אותו בחוט כשהוא שקוע כולו במים בקנקן המונח על המשקל (אפסו קודם), או השתמשו במשקל מזוודות תלוי; רשמו את המסה הנראית.
  4. חשבו את הנפח ואת הצפיפות.

טבלת נתונים

גודלערך
מסה באוויר200 g
מסה נראית במים120 g
נפח80 cm³
צפיפות2500 kg/m³

ערכים לדוגמה (אופייניים לאבן או לזכוכית).

חישוב לדוגמה

  1. V = (200 − 120)/1.00 = 80 cm³.
  2. ρ = 200/80 = 2.50 g/cm³ = 2500 kg/m³.

בטיחות

  • נגבו מיד כל שפיכה.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • זוהי מעבדה ביתית.

PhET: Buoyancy · PhET: Density

הקשר לכדור הארץ: NOAA מסבירה שהבדלי צפיפות הנובעים מטמפרטורה וממליחות מניעים את ״המסוע״ של מעמקי האוקיינוס. NOAA National Ocean Service: Thermohaline circulation

מעבדה B: הבקבוק של טוריצ׳לי

שבוע 4

מטרה: לבדוק את חוק טוריצ׳לי על ידי מדידת המרחק שסילון מים מחור בבקבוק מגיע אליו.

V=2gh,  x=2hYV=\sqrt{2gh},\ \ x=2\sqrt{hY}
מהירות הסילון וטווחו מגובה Y

מהלך הניסוי

  1. נקבו חור קטן בדופן בקבוק פלסטיק סמוך לתחתית; כסו אותו בסרט הדבקה.
  2. מלאו את הבקבוק והניחו אותו על קופסה מעל כיור או בחוץ, כשהחור בגובה Y = 0.3 m מעל משטח הנחיתה.
  3. הסירו את הסרט; כשמפלס המים h = 0.2 m מעל החור, סמנו היכן הסילון נוחת.
  4. השוו לחיזוי; חזרו בעומקים אחרים.

טבלת נתונים

גודלערך
עומד h0.20 m
מהירות הסילון1.98 m/s
גובה נפילה Y0.30 m
טווח חזוי0.49 m

ערכים חזויים; סילונים אמיתיים נוחתים מעט קרוב יותר בגלל הפסדים בחור.

חישוב לדוגמה

  1. V = √(2 × 9.81 × 0.2) = 1.98 m/s.
  2. x = 2√(0.2 × 0.3) = 0.49 m.

בטיחות

  • עשו זאת מעל כיור או בחוץ; נגבו מים כדי למנוע החלקה.
  • השתמשו בשיפוד בזהירות, כשהוא מופנה הרחק מהיד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • זוהי מעבדה ביתית.

PhET: Fluid Pressure and Flow · PhET: Under Pressure

הקשר לכדור הארץ: ה־DOE מציין שתפוקת ההידרו־חשמל גדלה עם המפל; מהירות הסילון מהבקבוק גדלה עם √h מאותה סיבה. U.S. DOE: How hydropower works

מעבדה C: מדידת ספיקה ומספר ריינולדס

שבוע 7

מטרה: למדוד ספיקה של ברז או צינור גינה בעזרת דלי ושעון עצר, ולקבוע אם הזרימה בתוכו למינרית או טורבולנטית.

Q=Vbuckett,  Re=ρVDμQ=\frac{V_{bucket}}{t},\ \ Re=\frac{\rho VD}{\mu}
ספיקה ומספר ריינולדס

מהלך הניסוי

  1. מדדו כמה זמן לוקח לצינור או לברז למלא 10 L.
  2. מדדו את הקוטר הפנימי של הצינור או של פתח הברז.
  3. חשבו את Q, את המהירות הממוצעת ואת Re.
  4. סגרו את הברז עד שהזרם נראה חלק וזגוגי, וחזרו.

טבלת נתונים

גודלערך
10 L ב־25 s
Q0.4 L/s
קוטר פנימי של הצינור16 mm
V1.99 m/s
Re31,700

ערכים לדוגמה; Re גבוה בהרבה מ־4000 פירושו זרימה טורבולנטית בתוך הצינור.

חישוב לדוגמה

  1. V = 0.0004/(π × 0.008²) = 1.99 m/s.
  2. Re = 998 × 1.99 × 0.016/1.002 × 10⁻³ = 31,700.

בטיחות

  • סגרו את הברז בסיום; היזהרו מרצפה חלקה.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • זוהי מעבדה ביתית.

PhET: Fluid Pressure and Flow

הקשר לכדור הארץ: ה־EPA מציעה לבדוק את מד המים במשך שעתיים בלי שימוש במים; כל שינוי מעיד על דליפה. U.S. EPA WaterSense: Fix a Leak Week

מעבדה D: גיליון אלקטרוני של חיכוך בצינורות

שבוע 10

מטרה: לבנות גיליון אלקטרוני של מספר ריינולדס, מקדם החיכוך והפסד העומד כפונקציה של המהירות, ולראות כיצד ההפסדים גדלים.

hL=fLDV22gh_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}
דארסי–וייסבך

מהלך הניסוי

  1. קבעו D = 50 mm, ‏L = 100 m, ‏ε = 0.045 mm, מים ב־20 °C.
  2. חשבו את Re ואת f של הלנד עבור V מ־0.5 עד 3 m/s.
  3. חשבו את h_L ושרטטו אותו כפונקציה של V.
  4. התאימו h_L ∝ V^n ומצאו את n.

טבלת נתונים

V (m/s)Refh_L (m)
149,8000.02352.39
299,6000.02168.82
3149,4000.020919.2

ערכים מחושבים; n יוצא מעט מתחת ל־2 כי f יורד לאט כש־Re עולה.

חישוב לדוגמה

  1. h_L(2 m/s) = 0.0216 × 2000 × 4/19.62 = 8.82 m.
  2. שילוש V מגדיל את h_L פי 19.2/2.39 = 8.0.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

MIT OpenCourseWare 1.060 Engineering Mechanics II (Spring 2006)

הקשר לכדור הארץ: ה־DOE אומר ששיטות מיטביות במערכות שאיבה חוסכות אנרגיה רבה מאוד; פחות הפסדים פירושם משאבות קטנות יותר. U.S. DOE: Pump systems

מעבדה E: שקיעת חול במים

שבוע 13

מטרה: לצפות בשקיעת חול דק וחול גס בכוס גבוהה של מים ולהשוות לחוק סטוקס.

Vs=(ρp−ρ)gD218μV_s=\frac{(\rho_p-\rho)gD^2}{18\mu}
שקיעת סטוקס

מהלך הניסוי

  1. מלאו במים כוס גבוהה או בקבוק שקוף.
  2. הפילו קורט חול דק ומדדו כמה זמן לוקח לגרגרים לרדת 0.2 m.
  3. חזרו עם חול גס יותר.
  4. השוו את המהירויות לחוק סטוקס ושימו לב מתי הוא מפסיק לחול.

טבלת נתונים

קוטר הגרגרמהירות סטוקסRe
50 µm2.04 mm/s0.102
100 µm8.17 mm/s0.81

חושב לגרגרים דמויי קוורץ (ρ = 2500 kg/m³); גרגרים גסים יותר, עם Re מעל כ־1, נופלים לאט יותר משסטוקס חוזה.

חישוב לדוגמה

  1. V(50 µm) = 1502 × 9.81 × 2.5 × 10⁻⁹/(18 × 1.002 × 10⁻³) = 2.04 mm/s.
  2. הכפלת D נותנת פי 4 במהירות.

בטיחות

  • השתמשו בחול משחק נקי; רחצו ידיים אחר כך.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • זוהי מעבדה ביתית.

NASA Glenn: Drag of a sphere

הקשר לכדור הארץ: ה־DOE מציין ששחרורי מים ממאגרים משרתים את איכות המים; שקיעת סחף קובעת כיצד מאגרים מתמלאים וכיצד נהרות נושאים טין. U.S. DOE: Types of hydropower plants

מעבדה F: מערכת שאיבה ומהירות משתנה

שבוע 11

מטרה: למצוא את נקודת העבודה של משאבה ולהשתמש בחוקי הדמיון כדי להשוות חניקה להאטת המשאבה.

P2P1=(N2N1)3\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^3
חוק דמיון להספק

מהלך הניסוי

  1. הזינו את עקומת המשאבה H = 40 − 7000Q² ואת עקומת המערכת H = 10 + 5000Q².
  2. מצאו את נקודת העבודה ואת הספק הציר.
  3. יישמו את חוקי הדמיון ב־1500 וב־1200 סל״ד על הנקודה ב־1800 סל״ד (0.05 m³/s, 30 m).
  4. השוו את ההספקים הנדרשים.

טבלת נתונים

N (סל״ד)Q (m³/s)H (m)יחס הספקים
18000.05030.01.000
15000.041720.80.579
12000.033313.30.296

קנה מידה דמיון אידיאלי; ההרמה הסטטית במערכת מגבילה עד כמה אפשר להאט משאבה אמיתית.

חישוב לדוגמה

  1. Q(1200) = 0.05 × 2/3 = 0.0333 m³/s.
  2. יחס הספקים = (2/3)³ = 0.296.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

U.S. DOE: Pump systems

הקשר לכדור הארץ: הכלים החינמיים PSAT ו־MEASUR של ה־DOE עוזרים למפעלים למצוא בדיוק את החיסכון הזה במשאבות. U.S. DOE: Pump systems

חזרה למעלה

מערכי תרגול למבחן

מדדו זמן: כ־10 דקות לבעיה. אחר כך השוו לפתרונות המלאים.

סט תרגול לבחינת אמצע (יחידות 1–5)

  1. מצאו את מאמץ הגזירה במים בין לוחות במרחק 0.5 mm זה מזה כשאחד נע ב־1 m/s.

    הצג פתרון מלא
    1. τ = 1.002 × 10⁻³ × 1/0.0005.

    תשובה: 2.00 Pa.

  2. מצאו את הלחץ היחסי בעומק 25 m במי ים (1025 kg/m³).

    הצג פתרון מלא
    1. 1025 × 9.81 × 25.

    תשובה: 251.4 kPa.

  3. מצאו את ההספק של תחנת הידרו עם Q = 20 m³/s, ‏H = 40 m, ‏η = 0.88 ‏(ρ = 1000).

    הצג פתרון מלא
    1. 0.88 × 1000 × 9.81 × 20 × 40.

    תשובה: 6.91 MW.

  4. סילון מים של 0.01 m³/s ב־25 m/s מוסט ב־180° על ידי להב קבוע. מהו הכוח?

    הצג פתרון מלא
    1. 2ρQV = 2 × 1000 × 0.01 × 25.

    תשובה: 500 N.

  5. מצאו את Q הלמינרי בצינורית ברדיוס 2 mm, ‏Δp/L = 200 Pa/m, מים.

    הצג פתרון מלא
    1. π × 0.002⁴ × 200/(8 × 1.002 × 10⁻³).

    תשובה: 1.25 × 10⁻⁶ m³/s.

מערך תרגול מסכם (כל היחידות)

  1. דגם ספינה בקנה מידה 1:25 מוקטן לפי פרוד. מהירות מלאה 10 m/s. מהי מהירות הדגם?

    הצג פתרון מלא
    1. 10/5.

    תשובה: 2 m/s.

  2. מצאו את h_L ב־200 m של צינור בקוטר 0.1 m עם f = 0.02 ב־1.5 m/s.

    הצג פתרון מלא
    1. 0.02 × 2000 × 2.25/19.62.

    תשובה: 4.59 m.

  3. משאבה ב־1200 סל״ד נותנת עומד של 25 m. מהו העומד ב־1500 סל״ד?

    הצג פתרון מלא
    1. 25 × (1.25)².

    תשובה: 39.1 m.

  4. מצאו את הספק הרוח דרך רוטור של 80 m ב־8 m/s ‏(ρ = 1.225).

    הצג פתרון מלא
    1. ½ × 1.225 × π × 40² × 512.

    תשובה: 1.58 MW.

  5. מצאו את Fr לזרימה של 4 m/s בעומק 0.4 m.

    הצג פתרון מלא
    1. 4/√(9.81 × 0.4).

    תשובה: 2.02, על־קריטית.

  6. מצאו את y_c עבור q = 3 m²/s.

    הצג פתרון מלא
    1. (9/9.81)^(1/3).

    תשובה: 0.972 m.

חזרה למעלה

דף נוסחאות

τ=μ du/dy, ν=μ/ρ\tau=\mu\,du/dy,\ \nu=\mu/\rho
p=p0+ρgh, F=ρghcA, FB=ρgVp=p_0+\rho gh,\ F=\rho gh_cA,\ F_B=\rho gV
Q=AV, p/ρg+V2/2g+z=constQ=AV,\ p/\rho g+V^2/2g+z=\text{const}
P=ηρgQH, V=2ghP=\eta\rho gQH,\ V=\sqrt{2gh}
∑F=∑m˙Vout−∑m˙Vin, F=ρQV(1−cos⁡θ)\sum F=\sum\dot mV_{out}-\sum\dot mV_{in},\ F=\rho QV(1-\cos\theta)
∇⋅V=0, Q=πR4Δp/(8μL)\nabla\cdot\mathbf V=0,\ Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)
Re=ρVL/μ, Fr=V/gLRe=\rho VL/\mu,\ Fr=V/\sqrt{gL}
hL=f(L/D)V2/2g, flam=64/Reh_L=f(L/D)V^2/2g,\ f_{lam}=64/Re
hm=KV2/2g, Dh=4A/Ph_m=KV^2/2g,\ D_h=4A/P
P=ρgQh/η, Q∝N, H∝N2, P∝N3P=\rho gQh/\eta,\ Q\propto N,\ H\propto N^2,\ P\propto N^3
FD=CD12ρV2A, Pwind=12ρAV3F_D=C_D\tfrac12\rho V^2A,\ P_{wind}=\tfrac12\rho AV^3
V=(1/n)Rh2/3S1/2, yc=(q2/g)1/3V=(1/n)R_h^{2/3}S^{1/2},\ y_c=(q^2/g)^{1/3}
y2/y1=12(1+8Fr12−1)y_2/y_1=\tfrac12(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1)

קבועים

קבועערך
מים ב־20 °C (ערכי ספר לימוד)ρ = 998 kg/m³, μ = 1.002 × 10⁻³ kg/(m·s), ν = 1.004 × 10⁻⁶ m²/s, מתח פנים σ = 0.0728 N/m
אוויר ב־15 °C (ערכי ספר לימוד)ρ = 1.225 kg/m³, μ = 1.789 × 10⁻⁵ kg/(m·s)
מי ים וקרח (ערכי ספר לימוד)ρ_sea = 1025 kg/m³, ρ_ice = 917 kg/m³
כספית (ערך ספר לימוד)ρ = 13,600 kg/m³
הכבידהg = 9.81 m/s²
1 גלון אמריקאי3.785 L

מקור: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

חזרה למעלה

טקסטים וסימולציות בחינם

השתמשו בהרצאות, בפרקי ספרי הלימוד ובסימולציות החינמיים האלה לצד הקורס.

חזרה למעלה

מילון מונחים

שכבת גבול
שכבה דקה ליד דופן שבה הצמיגות משמעותית.
ציפה
כוח כלפי מעלה השווה למשקל הנוזל שנדחק.
קוויטציה
בועות אדים הנוצרות במקום שבו הלחץ יורד ללחץ האדים.
רציפות
שימור מסה בזרימה.
מקדם גרר
גרר מחולק ב־½ρV²A.
מספר פרוד
V/√(gL), אינרציה חלקי כבידה.
עומד
אנרגיה ליחידת משקל של נוזל, במטרים.
הפסד עומד
אנרגיה מכנית שאובדת לחיכוך, ליחידת משקל.
קפיצה הידראולית
מעבר פתאומי מזרימה על־קריטית לתת־קריטית.
רדיוס הידראולי
שטח הזרימה חלקי ההיקף הרטוב.
זרימה למינרית
זרימה חלקה בשכבות במספר ריינולדס נמוך.
מנומטר
צינור נוזל המשמש למדידת הפרשי לחצים.
משוואות נאוויה–סטוקס
משוואות התנע לנוזל צמיג.
נקודת עבודה
המקום שבו עקומת המשאבה פוגשת את עקומת המערכת.
מספר ריינולדס
ρVL/μ, אינרציה חלקי כוחות צמיגות.
כובד סגולי
צפיפות ביחס למים.
זרימת סטוקס
זרימה זוחלת ב־Re קטן בהרבה מ־1.
מתח פנים
כוח ליחידת אורך לאורך משטח נוזל.
זרימה טורבולנטית
זרימה כאוטית ומערבלת במספר ריינולדס גבוה.
צמיגות
התנגדות של נוזל לגזירה.

חזרה למעלה

מחוון להערכה עצמית

לא ניתנים ציון או נקודות זכות. השתמשו בזה כדי להעריך בכנות איפה אתם עומדים בכל יחידה.

רמהאיך זה נראה
4 · שליטה מלאהמשרטט נפחי בקרה, בוחר את החוק הנכון (הידרוסטטיקה, ברנולי, אנרגיה, תנע, נאוויה–סטוקס), בודק Re ו־Fr, שומר על יחידות עקביות ומבצע מעבדות בבטחה.
3 · מיומןפותר את תרגילי התרגול עם טעויות מזדמנות ביחידות או בסימנים.
2 · מתפתחעוקב אחר דוגמאות פתורות אך מיישם את ברנולי לרוחב משאבות או מתעלם מהפסדים.
1 · מתחילמציב/ה מספרים בנוסחאות בלי שרטוט; צריך/ה לחזור על היחידה.

שקלול מוצע אם רוצים ציון

חלקמשקל
תרגילים20%
מעבדות25%
מערך תרגול לאמצע הקורס25%
מערך תרגול מסכם30%

שאפו לרמה 3 ומעלה בכל יחידה לפני שעוברים לקורס הבא.

חזרה למעלה