שיטות נומריות

פתרון מתמטיקה הנדסית במחשב: שגיאת עיגול, שורשי משוואות, מערכות ליניאריות, התאמת עקומות, נגזרות ואינטגרלים מנתונים, פותרי מד״ר, הפרשים סופיים ואופטימיזציה, עם שש מעבדות. חינם, בקצב שלכם, ומקושר לתחזיות מזג האוויר של NOAA, לרישום ה-CO₂ במאונה לואה ולמודלי מי התהום של USGS.

NASA/Michael Hopkins (ISS065-E-009492, Spaceborne Computer-2 on the ISS, April 29, 2021)NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA Blue Marble

קורסים › MATH 340

הורדת מדריך הלימוד כ־PDF (באנגלית)

על הקורס

זהו מתווה של קורס חינמי ללימוד עצמי שנכתב על ידי Saving Planets. הוא אינו קורס אוניברסיטאי, אינו מעניק נקודות זכות אקדמיות, ואף מוסד לימודים אינו מעורב בו.

היקפו תואם קורס סמסטריאלי בשיטות נומריות לשנה השלישית למהנדסים. הוא בנוי על הנושאים והעומק של MIT 18.330 Introduction to Numerical Analysis, MIT 2.086 Numerical Computation for Mechanical Engineers ו-MIT 10.34 (חינם ב-MIT OpenCourseWare), ומשתמש בפרקי חשבון חינמיים של OpenStax, שאליהם אנו מקשרים היכן שהם עוזרים. אף אחד מהמחברים, המוסדות או הגופים האלה אינו מאשר דף זה.

מה שאנחנו מוסיפים: כל יחידה מקושרת לעבודה אמיתית עם מקור ציבורי מצוטט (Global Forecast System ומחשבי העל של NOAA, רישום ה-CO₂ במאונה לואה, מודלי מי התהום של USGS ומודלי האקלים של NASA), כל מספר בדף מחושב מחדש בסקריפט בדיקה לפני הפרסום, ולכל מעבדה יש סימולציה חינמית או גיליון אלקטרוני.

עברו עליו לפי הסדר. בכל יחידה יש מטרות, רעיונות מרכזיים, משוואות, דוגמאות צעד אחר צעד, תרגול עם תשובות מלאות, טעויות נפוצות, כרטיסיות ובוחן. ההתקדמות שלכם נשמרת רק בדפדפן הזה.

איך הקורס הזה עוזר להציל את כדור הארץ

תחזיות מזג אוויר, תחזיות אקלים ותוכניות מי תהום הן כולן שיטות נומריות שרצות על מחשבים: את המשוואות אי אפשר לפתור ביד, ולכן מפרקים אותן לרשתות, לצעדי זמן ולמערכות ליניאריות ענקיות.

הבנה של איך השיטות האלה עובדות, ואיך הן נכשלות, היא מה שמאפשר למהנדסים לשפוט תחזית או מודל. כל יחידה מסתיימת בפרק קצר עם מקורות. ערכים שאינם ממקור מסומנים כערכי דוגמה או ערכי ספר לימוד.

חזרה למעלה

לפני שמתחילים

ידע מוקדם

  • חשבון אינפיניטסימלי I ו-II: נגזרות, אינטגרלים וטורי טיילור.
  • משוואות דיפרנציאליות: מד״ר מסדר ראשון ושני.
  • אלגברה ליניארית: מטריצות, דטרמיננטות וערכים עצמיים.
  • מבוא לתכנות: לולאות, פונקציות ומערכים (גם גיליון אלקטרוני מתאים).

איך ללמוד

  • לפני שמחשבים, העריכו את התשובה והחליטו איזה דיוק אתם צריכים.
  • השוו תמיד לתשובה מדויקת בבעיית מבחן לפני שסומכים על שיטה בבעיה אמיתית.
  • עקבו אחרי השגיאה כשמחצים את הצעד: היחס מגלה את סדר השיטה.
  • השתמשו ביחידות SI וכתבו את גודל הצעד עם היחידות שלו.
  • היזהרו מחיסור של מספרים כמעט שווים; כתבו מחדש את הנוסחה אם אפשר.
  • פתרו כל תרגיל על נייר או בגיליון אלקטרוני לפני שפותחים את התשובה, וחזרו על הבחנים כעבור כמה ימים.

ציוד מעבדה (למעבדות הרטובות)

  • מחשב או טאבלט לסימולציות PhET החינמיות Least-Squares Regression, Curve Fitting, Calculus Grapher ו-Projectile Motion.
  • תוכנת גיליון אלקטרוני (כל תוכנה חינמית מתאימה), או Python אם אתם מכירים.
  • קובץ נתוני ה־CO₂ של Mauna Loa מ־NOAA בדפדפן.
  • מחשבון.

חזרה למעלה

לוח זמנים מוצע ל־15 שבועות

כ־6 עד 9 שעות בשבוע: קריאה, תרגילים, ובשבועות המעבדה גם המעבדה.

שבועיחידהנושאיםקריאה
1שגיאות, מספרי נקודה צפה וטורי טיילורשגיאות, נקודה צפה, טורי טיילור; מעבדה AMIT 18.330
2שורשי משוואות: חציה, ניוטון ומיתרחציה ואיטרציית נקודת שבתMIT 18.330
3שורשי משוואות: חציה, ניוטון ומיתרשיטות ניוטון והמיתר; מעבדה BOpenStax Calculus 1, 4.9
4מערכות ליניאריות: אלימינציית גאוס, LU ומספר מצבאלימינציית גאוס, LU ומספר מצבMIT 2.086
5פותרים איטרטיביים: יעקובי, גאוס–זיידל והתכנסותיעקובי, גאוס–זיידל ומערכות דלילותMIT 18.330
6אינטרפולציה, ספליינים והתאמה בריבועים פחותיםאינטרפולציה וספלייניםMIT 18.330
7אינטרפולציה, ספליינים והתאמה בריבועים פחותיםריבועים פחותים; מעבדה C; תרגול לבוחן אמצעNOAA GML
8גזירה נומריתגזירה נומריתMIT 18.330
9אינטגרציה נומריתאינטגרציה נומרית; מעבדה DOpenStax Calculus 2, 3.6
10משוואות דיפרנציאליות רגילות: אוילר, רונגה–קוטה ויציבותאוילר, הוין ו-RK4MIT 10.34
11משוואות דיפרנציאליות רגילות: אוילר, רונגה–קוטה ויציבותיציבות, קשיחות ומערכות; מעבדה EMIT 10.34
12משוואות דיפרנציאליות חלקיות: הפרשים סופייםהפרשים סופיים למשוואת החוםMIT 2.086
13משוואות דיפרנציאליות חלקיות: הפרשים סופייםלפלס, גלים ו-CFL; מעבדה FNOAA EMC
14אופטימיזציה, ערכים עצמיים וחישוב בקנה מידה גדולאופטימיזציה ושיטת החזקהMIT 18.330
15אופטימיזציה, ערכים עצמיים וחישוב בקנה מידה גדולחישוב בקנה מידה גדול, אימות ותיקוף; תרגול לבחינה הסופיתNOAA; NASA GISS

חזרה למעלה

ההתקדמות שלכם

סמנו יחידות ומעבדות כשאתם מסיימים אותן, ועשו את הבחנים. ההתקדמות והציונים נשמרים רק בדפדפן הזה ולעולם לא נשלחים אלינו.

הפעילו JavaScript כדי לעקוב אחר ההתקדמות.

חזרה למעלה

יחידה 1 · שבוע 1

שגיאות, מספרי נקודה צפה וטורי טיילור

שגיאה מוחלטת ויחסית, ספרות משמעותיות, מספרי נקודה צפה IEEE 754, אפסילון מכונה, עיגול וביטול, ושגיאת קטיעה מטורי טיילור.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לחשב שגיאה מוחלטת ויחסית.
  • להסביר את אפסילון המכונה בדיוק יחיד וכפול.
  • לזהות ולתקן ביטול קטסטרופלי.
  • לחסום את שגיאת הקטיעה באמצעות האיבר הבא בטור טיילור.

מושגי מפתח

  • השגיאה המוחלטת היא |מקורב − מדויק|; השגיאה היחסית מחלקת ב-|מדויק|. השגיאה היחסית אומרת כמה ספרות נכונות.
  • מחשבים שומרים מספרים בנקודה צפה בינארית. לדיוק כפול יש אפסילון מכונה 2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ (כ-16 ספרות); לדיוק יחיד יש 2⁻²³ ≈ 1.19 × 10⁻⁷ (כ-7 ספרות).
  • לרוב השברים העשרוניים, כמו 0.1, אין צורה בינארית מדויקת, ולכן 0.1 + 0.2 − 0.3 יוצא כ-5.55 × 10⁻¹⁷ במקום 0.
  • חיסור של מספרים כמעט שווים מאבד ספרות (ביטול קטסטרופלי). כתיבה מחדש של הנוסחה באופן אלגברי פותרת זאת לרוב.
  • שגיאת קטיעה נובעת מעצירת תהליך אינסופי, כמו טור טיילור. האיבר הראשון שהושמט מעריך את השגיאה.

משוואות מפתח

erel=∣x~−x∣∣x∣e_{rel}=\frac{|\tilde x-x|}{|x|}
שגיאה יחסית
εmach=2−52≈2.22×10−16\varepsilon_{mach}=2^{-52}\approx2.22\times10^{-16}
אפסילון בדיוק כפול
f(x+h)=f(x)+hf′(x)+h22f′′(x)+…f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\dots
טור טיילור
x+1−x=1x+1+x\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
הימנעות מביטול

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 1.1 מצאו את השגיאה היחסית של 22/7 כקירוב ל-π.

הצג את השלבים
  1. |22/7 − π| = 0.001264.
  2. חלקו ב-π.

תשובה: שגיאה יחסית = 4.02 × 10⁻⁴, כלומר כ-3 ספרות נכונות.

דוגמה 1.2 חשבו את √(10⁸ + 1) − √(10⁸) בבטחה.

הצג את השלבים
  1. חיסור ישיר מבטל את רוב הספרות.
  2. Use 1/(√(10⁸ + 1) + √(10⁸)).

תשובה: 5.0 × 10⁻⁵ (ליתר דיוק 4.99999999875 × 10⁻⁵).

דוגמה 1.3 העריכו את השגיאה של e^0.1 ≈ 1 + 0.1.

הצג את השלבים
  1. האיבר הבא הוא 0.1²/2 = 0.005.
  2. השגיאה האמיתית היא e^0.1 − 1.1.

תשובה: שגיאה = 0.00517, קרוב להערכה של 0.005.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. כמה ספרות נכונות נותן דיוק כפול?

    הצג תשובה

    כ-16 (ε = 2.22 × 10⁻¹⁶).

  2. הוסיפו את האיבר 0.1³/6 ל-e^0.1 ≈ 1.1. מה השגיאה החדשה?

    הצג תשובה

    1.71 × 10⁻⁴.

  3. למה 0.1 + 0.2 − 0.3 אינו בדיוק 0 במחשב?

    הצג תשובה

    ל-0.1 ול-0.2 אין צורה בינארית מדויקת; התוצאה היא כ-5.55 × 10⁻¹⁷.

  4. מהו האפסילון בדיוק יחיד?

    הצג תשובה

    2⁻²³ = 1.19 × 10⁻⁷.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: מחשבים מבצעים חשבון מדויק.

    בפועל: כל פעולה מעוגלת למספר הנקודה הצפה הקרוב ביותר.

  • מיתוס: צעדים קטנים יותר תמיד פירושם שגיאה קטנה יותר.

    בפועל: שגיאת העיגול גדלה כשהצעדים קטנים.

  • מיתוס: שגיאה יחסית ומוחלטת הן אותו הדבר.

    בפועל: השגיאה היחסית מחלקת בגודל האמיתי.

כרטיסיות

  • שגיאה מוחלטת

    |מקורב − מדויק|.

  • שגיאה יחסית

    שגיאה מוחלטת / |מדויק|.

  • אפסילון מכונה

    2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ בדיוק כפול.

  • ביטול

    אובדן ספרות בחיסור מספרים קרובים.

  • שגיאת קטיעה

    נובעת מעצירת תהליך אינסופי.

  • דיוק יחיד

    כ-7 ספרות.

בוחן לבדיקה עצמית

1. האפסילון בדיוק כפול הוא בערך…

הצג תשובה

2.2 × 10⁻¹⁶. 2⁻⁵².

2. חיסור של מספרים כמעט שווים גורם ל…

הצג תשובה

ביטול. ספרות אבודות.

3. שגיאת קטיעה נובעת מ…

הצג תשובה

קטיעת טור. הגדרה.

4. השגיאה היחסית מחלקת ב…

הצג תשובה

הערך האמיתי. הגדרה.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה-Environmental Modeling Center של NOAA מתאר הרצת תחזית גלובלית מצומדת ברזולוציה של כ-3 km שהריצה את הדינמיקה האטמוספרית בדיוק של 32 ביט וכל השאר ב-64 ביט, פשרה מכוונת בין מהירות לדיוק.

זו בחירת האפסילון של היחידה הזו בפועל: דיוק יחיד (כ-7 ספרות) מהיר יותר וצורך חצי זיכרון, ולכן ממדלים משתמשים בו היכן שהשגיאה שהוא מוסיף נשארת מתחת לשגיאה שכבר יש במודל.

ב־Saving Planets: תצפית על כדור הארץ · מבוא לתכנות

מקורות: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 2 · שבועות 2–3

שורשי משוואות: חציה, ניוטון ומיתר

תיחום בשיטת החציה, שיטת ניוטון, שיטת המיתר, איטרציית נקודת שבת, סדר התכנסות וכללי עצירה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • למצוא שורש בשיטת החציה ולחזות את מספר הצעדים.
  • להפעיל את שיטת ניוטון ולזהות התכנסות ריבועית.
  • להשתמש בשיטת המיתר כשהנגזרת אינה ידועה.
  • לבחור כלל עצירה.

מושגי מפתח

  • שיטת החציה מחצה קטע [a, b] שבו f מחליפה סימן. היא תמיד מתכנסת, אבל רק ספרה בינארית אחת בכל צעד: n ≥ log₂((b − a)/tol).
  • שיטת ניוטון עוקבת אחרי המשיק: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n). ליד שורש פשוט היא מתכנסת ריבועית, ומכפילה את מספר הספרות הנכונות בכל צעד.
  • שיטת המיתר מחליפה את f′ בשיפוע דרך שתי הנקודות האחרונות. היא אינה דורשת נגזרת ומתכנסת בסדר של כ-1.618.
  • ניוטון עלולה להיכשל אם f′ קרובה לאפס או שנקודת ההתחלה רחוקה; גיבוי בתיחום הופך אותה לבטוחה.
  • עצרו כאשר |x_{n+1} − x_n| וגם |f(x_n)| נמוכים מהסבולת, ותמיד הגבילו את מספר האיטרציות.

משוואות מפתח

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
שיטת ניוטון
xn+1=xn−f(xn)xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
שיטת המיתר
n≥log⁡2b−atoln\ge\log_2\frac{b-a}{tol}
צעדי חציה
∣en+1∣≈C∣en∣2|e_{n+1}|\approx C|e_n|^2
התכנסות ריבועית

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 2.1 השתמשו בשיטת החציה על f(x) = x³ − x − 2 בקטע [1, 2]. תנו את שלוש נקודות האמצע הראשונות ואת השורש.

הצג את השלבים
  1. f(1) = −2, f(2) = 4.
  2. נקודות אמצע 1.5, 1.75, 1.625.

תשובה: שורש x = 1.5214.

דוגמה 2.2 כמה צעדי חציה מקטינים קטע ברוחב 1 אל מתחת ל-10⁻⁶?

הצג את השלבים
  1. log₂(10⁶) = 19.93.

תשובה: 20 צעדים.

דוגמה 2.3 השתמשו בשיטת ניוטון על x² − 2 החל מ-x₀ = 1.

הצג את השלבים
  1. x₁ = 1.5, x₂ = 1.41667.
  2. x₃ = 1.414216.

תשובה: x₃ = 1.414216, כבר 6 ספרות נכונות.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. הפעילו את ניוטון על x³ − x − 2 החל מ-x₀ = 1.5. מהו הצעד הראשון?

    הצג תשובה

    1.52174.

  2. הפעילו את שיטת המיתר על x² − 2 החל מ-1 ו-2. מהן שלוש האיטרציות הראשונות?

    הצג תשובה

    1.3333, 1.4000, 1.4146.

  3. מהו סדר ההתכנסות של שיטת המיתר?

    הצג תשובה

    כ-1.618.

  4. למה להגביל את מספר האיטרציות?

    הצג תשובה

    שיטה עלולה להתבדר או להיכנס למחזור.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: ניוטון תמיד מתכנסת.

    בפועל: היא עלולה להתבדר מנקודת התחלה גרועה.

  • מיתוס: שיטת החציה מהירה.

    בפועל: היא מרוויחה ביט אחד בכל צעד.

  • מיתוס: f(x) קטן פירושו ש-x קרוב לשורש.

    בפועל: לא אם f שטוחה מאוד.

כרטיסיות

  • שיטת החציה

    חציית קטע שבו יש החלפת סימן.

  • ניוטון

    x − f/f′.

  • מיתר

    ניוטון עם שיפוע משתי נקודות.

  • התכנסות ריבועית

    הספרות מוכפלות בכל צעד.

  • קטע תיחום

    קטע עם החלפת סימן.

  • כלל עצירה

    הצעד והשארית מתחת לסבולת.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ניוטון מתכנסת…

הצג תשובה

ריבועית. ליד שורש פשוט.

2. שיטת החציה דורשת…

הצג תשובה

החלפת סימן. תיחום.

3. שיטת המיתר חוסכת את…

הצג תשובה

הנגזרת. שיפוע משתי נקודות.

4. מספר צעדי חציה עד 10⁻⁶ מרוחב 1…

הצג תשובה

20. log₂ 10⁶.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

USGS מציין ש-MODFLOW נחשב לתקן בינלאומי להדמיית מי תהום. אחת מגרסאותיו, MODFLOW-NWT, משתמשת בניסוח ניוטון-רפסון כדי לשפר את פתרון בעיות זרימת מי תהום לא כלואים.

אקוויפרים לא כלואים הופכים את המשוואות ללא ליניאריות, כי העובי הרווי תלוי במפלס המים שפותרים עבורו. שיטת ניוטון מהיחידה הזו היא מה שגורם להרצות האלה להתכנס באמינות.

ב־Saving Planets: אוקיינוסים · חשבון אינפיניטסימלי 1

מקורות: USGS: MODFLOW and Related Programs

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 3 · שבוע 4

מערכות ליניאריות: אלימינציית גאוס, LU ומספר מצב

אלימינציית גאוס עם עידון חלקי, פירוק LU, ספירת פעולות, מספר המצב ואיך הוא מגביל את הדיוק.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לפתור מערכת 3 × 3 באלימינציה.
  • להסביר את פירוק LU ושימוש חוזר בו.
  • להעריך את עלות האלימינציה.
  • להשתמש במספר המצב כדי לשפוט את הדיוק.

מושגי מפתח

  • אלימינציית גאוס מצמצמת את Ax = b למערכת משולשית עליונה, ואז מבצעת הצבה לאחור. עידון חלקי מחליף שורות כדי להשתמש בציר הגדול ביותר, וכך שולט בשגיאת העיגול.
  • פירוק LU שומר את האלימינציה בצורה A = LU. אחרי הפירוק, כל אגף ימין חדש עולה רק שני פתרונות משולשיים.
  • אלימינציה עולה כ-2n³/3 פעולות נקודה צפה: הכפלת n מכפילה את העבודה פי 8.
  • מספר המצב κ(A) = ‖A‖‖A⁻¹‖ מודד רגישות. אפשר לאבד כ-log₁₀ κ ספרות של דיוק.
  • לעולם אל תחשבו את A⁻¹ כדי לפתור מערכת; פרקו ופתרו במקום זאת.

משוואות מפתח

A=LUA=LU
פירוק LU
cost≈23n3\text{cost}\approx\tfrac23n^3
פעולות אלימינציה
κ(A)=∥A∥∥A−1∥\kappa(A)=\|A\|\|A^{-1}\|
מספר מצב
∥δx∥∥x∥≤κ∥δb∥∥b∥\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le\kappa\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}
חסם שגיאה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 3.1 פתרו 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3.

הצג את השלבים
  1. סלקו את x משורות 2 ו-3, ואז את y משורה 3.
  2. בצעו הצבה לאחור.

תשובה: x = 2, y = 3, z = −1.

דוגמה 3.2 העריכו את עלות האלימינציה עבור n = 1000.

הצג את השלבים
  1. 2 × 1000³/3.

תשובה: כ-6.67 × 10⁸ פעולות.

דוגמה 3.3 מצאו את מספר המצב בנורמה 2 של [[1, 1], [1, 1.0001]].

הצג את השלבים
  1. השורות כמעט מקבילות.
  2. κ = σ_max/σ_min.

תשובה: κ ≈ 40,002, ולכן עלולות לאבד כ-4–5 ספרות.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. כמה יותר עבודה יש ב-n = 2000 לעומת n = 1000?

    הצג תשובה

    פי 8.

  2. פעולות אלימינציה עבור n = 3?

    הצג תשובה

    2 × 27/3 = 18.

  3. למה לבצע עידון?

    הצג תשובה

    כדי להימנע מחלוקה במספרים קטנים ומהגברת העיגול.

  4. כמה ספרות אובדות עם κ = 10⁸ בדיוק כפול?

    הצג תשובה

    כ-8 מתוך 16.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: להשתמש ב-A⁻¹ לפתרון מערכות.

    בפועל: פרקו ופתרו; זה זול ומדויק יותר.

  • מיתוס: דטרמיננטה קטנה פירושה מספר מצב גרוע.

    בפועל: השתמשו במספר המצב.

  • מיתוס: העידון הוא אופציונלי.

    בפועל: בלעדיו האלימינציה עלולה להיכשל או לאבד דיוק.

כרטיסיות

  • אלימינציית גאוס

    צמצום לצורה משולשית.

  • LU

    A = LU.

  • עידון

    החלפת שורות לשם יציבות.

  • מספר מצב

    ‖A‖‖A⁻¹‖.

  • הצבה לאחור

    פתרון מערכות משולשיות.

  • עלות

    ≈ 2n³/3.

בוחן לבדיקה עצמית

1. אלימינציה עולה בערך…

הצג תשובה

2n³/3. לולאה משולשת.

2. LU עוזר כאשר…

הצג תשובה

יש אגפי ימין רבים. שימוש חוזר בגורמים.

3. κ גדול פירושו…

הצג תשובה

רגיש. מגביר שגיאות.

4. עידון חלקי בוחר…

הצג תשובה

את הציר הגדול ביותר. יציבות.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

USGS מציין שתכונה מרכזית של MODFLOW 6 היא היכולת לפתור כמה מודלים נומריים מצומדים היטב במערכת משוואות אחת.

המפה שלו של עומק מפלס מי התהום ברחבי ארצות הברית היבשתית הגיעה מהדמיה מקבילית של 256 תחומי מודל מצומדים היטב על 256 ליבות של מחשב-על של USGS. כל תחום הוא מערכת ליניארית דלילה גדולה כמו אלה שביחידה הזו.

ב־Saving Planets: אלגברה לינארית · אוקיינוסים

מקורות: USGS: MODFLOW and Related Programs

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 4 · שבוע 5

פותרים איטרטיביים: יעקובי, גאוס–זיידל והתכנסות

איטרציות יעקובי וגאוס–זיידל, דומיננטיות אלכסונית, מטריצת האיטרציה והרדיוס הספקטרלי, מערכות דלילות ולמה שיטות איטרטיביות מתאימות לקנה מידה גדול.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לבצע צעדי יעקובי וגאוס–זיידל.
  • לבדוק דומיננטיות אלכסונית.
  • להשתמש ברדיוס הספקטרלי לחיזוי מהירות ההתכנסות.
  • להסביר למה מערכות דלילות גדולות משתמשות באיטרציה.

מושגי מפתח

  • יעקובי מעדכן כל נעלם מהאיטרציה הקודמת; גאוס–זיידל משתמש בערכים החדשים מיד כשהם מחושבים.
  • אם A בעלת דומיננטיות אלכסונית חזקה, שתי השיטות מתכנסות מכל נקודת התחלה.
  • השגיאה קטנה בכל צעד בערך פי הרדיוס הספקטרלי ρ של מטריצת האיטרציה. לגאוס–זיידל יש לעיתים קרובות ρ_GS = ρ_J².
  • רשתות גדולות יוצרות מטריצות דלילות עם מעט איברים שונים מאפס בכל שורה. שיטות איטרטיביות שומרות רק אותם, בעוד שאלימינציה יוצרת מילוי.
  • עצרו כשהשארית ‖b − Ax‖ קטנה ביחס ל-‖b‖.

משוואות מפתח

xi(k+1)=1aii(bi−∑j≠iaijxj(k))x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\Big)
יעקובי
∣aii∣>∑j≠i∣aij∣|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|
דומיננטיות אלכסונית
∥ek∥≈ρk∥e0∥\|e_{k}\|\approx\rho^k\|e_0\|
קצב התכנסות
r=b−Axr=b-Ax
שארית

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 4.1 בצעו שני צעדי יעקובי על 4x + y = 1, x + 3y = 2 החל מ-(0, 0).

הצג את השלבים
  1. צעד 1: x = 1/4 = 0.25, y = 2/3 = 0.6667.
  2. צעד 2: x = (1 − 0.6667)/4, y = (2 − 0.25)/3.

תשובה: x = 0.0833, y = 0.5833 (מדויק 0.0909, 0.6364).

דוגמה 4.2 בצעו שני צעדי גאוס–זיידל על אותה מערכת.

הצג את השלבים
  1. צעד 1: x = 0.25, y = (2 − 0.25)/3 = 0.5833.
  2. צעד 2: x = 0.1042, y = 0.6319.

תשובה: x = 0.1042, y = 0.6319, קרוב יותר מיעקובי.

דוגמה 4.3 מצאו את הרדיוסים הספקטרליים של יעקובי וגאוס–זיידל עבור המערכת הזו.

הצג את השלבים
  1. ρ_J = √(1/12).
  2. ρ_GS = ρ_J² = 1/12.

תשובה: ρ_J = 0.289; ρ_GS = 0.0833.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. האם [[4, 1], [1, 3]] בעלת דומיננטיות אלכסונית?

    הצג תשובה

    כן: 4 > 1 ו-3 > 1.

  2. כמה צעדי גאוס–זיידל (ρ = 0.0833) כדי להקטין את השגיאה פי 10⁶?

    הצג תשובה

    כ-6 (0.0833⁶ = 3.35 × 10⁻⁷).

  3. האיטרציה השלישית של גאוס–זיידל?

    הצג תשובה

    x = 0.0920, y = 0.6360.

  4. למה לא לבצע אלימינציה על רשת עם מיליון נעלמים?

    הצג תשובה

    המילוי צורך יותר מדי זיכרון וזמן.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: איטרציה תמיד מתכנסת.

    בפועל: נדרש ρ < 1.

  • מיתוס: יעקובי וגאוס–זיידל זהות.

    בפועל: גאוס–זיידל משתמשת בערכים החדשים מיד.

  • מיתוס: שינוי קטן בין צעדים פירושו התכנסות.

    בפועל: בדקו גם את השארית.

כרטיסיות

  • יעקובי

    עדכון הכול מהערכים הישנים.

  • גאוס–זיידל

    שימוש מיידי בערכים החדשים.

  • רדיוס ספקטרלי

    ה-|ערך העצמי| הגדול ביותר.

  • דומיננטיות אלכסונית

    |a_ii| > סכום השורה.

  • דליל

    בעיקר אפסים.

  • שארית

    b − Ax.

בוחן לבדיקה עצמית

1. מתכנס אם…

הצג תשובה

ρ < 1. השגיאה קטנה.

2. גאוס–זיידל משתמשת ב…

הצג תשובה

הערכים העדכניים ביותר. הגדרה.

3. דליל פירושו…

הצג תשובה

בעיקר אפסים. מעט איברים שונים מאפס.

4. מספיק להתכנסות…

הצג תשובה

דומיננטיות אלכסונית. משפט.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

ה-GFS של NOAA מחלק את האטמוספרה ל-127 שכבות אנכיות במרווח אופקי של כ-13 km. כל נקודת רשת מצומדת רק לשכנותיה, ולכן המערכות שמודלים כאלה בונים ענקיות ודלילות.

עם שטח פני כדור הארץ מספר הלימוד של 5.1 × 10⁸ km², לרשת של 13 km יש כ-3.0 מיליון עמודות ו-383 מיליון תאים. מערכות בגודל כזה מטופלות בשיטות איטרטיביות ובשיטות דלילות אחרות, לא באלימינציה פשוטה.

ב־Saving Planets: תצפית על כדור הארץ · אלגברה לינארית

מקורות: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 5 · שבועות 6–7

אינטרפולציה, ספליינים והתאמה בריבועים פחותים

אינטרפולציה ליניארית ופולינומית, צורת לגרנז׳, הסכנה בפולינומים ממעלה גבוהה, ספליינים קוביים, והתאמות קו ופולינום בריבועים פחותים עם שאריות.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לבצע אינטרפולציה ליניארית בין נקודות נתונים.
  • לבנות פולינום לגרנז׳.
  • להתאים קו בריבועים פחותים ולפרש את שיפועו.
  • לבחור בין אינטרפולציה להתאמה.

מושגי מפתח

  • אינטרפולציה עוברת בדיוק דרך הנתונים; התאמה עוברת קרוב לנתונים רועשים וממזערת את סכום ריבועי השאריות.
  • פולינום ממעלה n דרך n + 1 נקודות הוא יחיד. מעלות גבוהות בנקודות במרווחים שווים עלולות לתנודות פרועות ליד הקצוות (תופעת רונגה).
  • ספליינים קוביים מחברים חלקים קוביים עם שיפוע ועקמומיות תואמים, ונותנים עקומות חלקות בלי תנודות פרועות.
  • קו הריבועים הפחותים פותר את המשוואות הנורמליות AᵀAc = Aᵀy. השיפוע הוא קצב, עם יחידות.
  • שרטטו את השאריות: דפוס בהן פירושו שחסר משהו במודל, כמו עקמומיות.

משוואות מפתח

y=y0+x−x0x1−x0(y1−y0)y=y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)
אינטרפולציה לינארית
p(x)=∑iyi∏j≠ix−xjxi−xjp(x)=\sum_i y_i\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
צורת לגרנז׳
ATA c=ATyA^TA\,c=A^Ty
משוואות נורמליות
min⁡∑iri2\min\sum_i r_i^2
ריבועים פחותים

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 5.1 הממוצעים השנתיים של מאונה לואה של NOAA הם 390.10 ppm (2010) ו-414.21 ppm (2020). בצעו אינטרפולציה ל-2015.

הצג את השלבים
  1. y = 390.10 + 0.5 × 24.11.

תשובה: 402.16 ppm; ערך NOAA ל-2015 הוא 401.01, כך שהרישום מתעקל כלפי מעלה.

דוגמה 5.2 התאימו קו בריבועים פחותים לערכי העשורים 1960–2020 (316.91, 325.68, 338.76, 354.45, 369.71, 390.10, 414.21 ppm).

הצג את השלבים
  1. פתרו את המשוואות הנורמליות לשיפוע ולחיתוך.

תשובה: שיפוע 1.613 ppm לשנה; הקו חוזה 415.0 ppm ל-2025.

דוגמה 5.3 התאימו במקום זאת פרבולה ב-t = שנה − 1960.

הצג את השלבים
  1. ריבועים פחותים עם העמודות 1, t, t².

תשובה: c = 316.84 + 0.810t + 0.01338t²; היא חוזה 426.0 ppm ל-2025, קרוב ל-427.35 של NOAA.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. הגידול הממוצע 2010–2020 לפי ערכי העשורים?

    הצג תשובה

    2.41 ppm לשנה.

  2. הגידול הממוצע 2000–2010?

    הצג תשובה

    2.04 ppm לשנה.

  3. למה הקו הישר מעריך בחסר את 2025?

    הצג תשובה

    הגידול מואץ; השאריות מתעקלות.

  4. אינטרפולציה או התאמה לנתוני מעבדה רועשים?

    הצג תשובה

    Fit.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: פולינומים ממעלה גבוהה יותר תמיד מתאימים טוב יותר.

    בפועל: הם עלולים לתנודות בין הנקודות.

  • מיתוס: R² טוב פירושו מודל טוב.

    בפועל: בדקו את דפוס השאריות.

  • מיתוס: אקסטרפולציה בטוחה כמו אינטרפולציה.

    בפועל: היא מסוכנת הרבה יותר.

כרטיסיות

  • אינטרפולציה

    בדיוק דרך הנתונים.

  • ריבועים פחותים

    מזעור ריבועי השאריות.

  • ספליין

    קובית למקוטעין וחלקה.

  • רונגה

    תנודות של התאמות ממעלה גבוהה.

  • שארית

    נתונים פחות מודל.

  • משוואות נורמליות

    AᵀAc = Aᵀy.

בוחן לבדיקה עצמית

1. ריבועים פחותים ממזערים את…

הצג תשובה

סכום ריבועי השאריות. הגדרה.

2. תופעת רונגה היא…

הצג תשובה

תנודה בקצוות. פולינומים ממעלה גבוהה.

3. ספליינים הם…

הצג תשובה

פולינומים קוביים למקוטעין. הגדרה.

4. המשוואות הנורמליות הן…

הצג תשובה

AᵀAc = Aᵀy. ריבועים פחותים.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

NOAA מדווחת שרישום מאונה לואה, שהחל C. David Keeling מ-Scripps במרץ 1958, הוא הרישום הארוך ביותר של מדידות CO₂ ישירות באטמוספרה. הממוצע החודשי היה 426.07 ppm בספטמבר 2026, לעומת 424.37 ppm בספטמבר 2025.

הממוצעים השנתיים של NOAA עלו מ-316.91 ppm ב-1960 ל-427.35 ppm ב-2025. העקומה העולה מופיעה בשאריות של היחידה הזו: קו ישר מחמיץ אותה, ופרבולה מתאימה לה.

ב־Saving Planets: פתרונות · תצפית על כדור הארץ

מקורות: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa) · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 6 · שבוע 8

גזירה נומרית

הפרשים קדמיים, אחוריים ומרכזיים, שגיאת הקטיעה שלהם, האיזון מול שגיאת העיגול וגודל הצעד הטוב ביותר, נגזרות שניות ואקסטרפולציית ריצ׳רדסון.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • להפעיל הפרשים קדמיים ומרכזיים.
  • לציין את הסדר של כל נוסחה.
  • לבחור גודל צעד שמאזן בין קטיעה לעיגול.
  • להעריך נגזרת שנייה.

מושגי מפתח

  • להפרש הקדמי (f(x + h) − f(x))/h יש שגיאה פרופורציונלית ל-h (סדר ראשון).
  • להפרש המרכזי (f(x + h) − f(x − h))/(2h) יש שגיאה פרופורציונלית ל-h² (סדר שני), ולכן חציית h מקטינה את השגיאה פי 4.
  • שגיאת העיגול גדלה כמו ε/h כש-h קטן. להפרשים קדמיים ה-h הטוב ביותר הוא כ-√ε ≈ 1.49 × 10⁻⁸; להפרשים מרכזיים כ-ε^(1/3) ≈ 6.06 × 10⁻⁶.
  • הנגזרת השנייה היא (f(x + h) − 2f(x) + f(x − h))/h², גם היא מסדר שני.
  • אקסטרפולציית ריצ׳רדסון משלבת שני גדלי צעד כדי לבטל את איבר השגיאה המוביל.

משוואות מפתח

f′(x)≈f(x+h)−f(x)hf'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
הפרש קדמי
f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2hf'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
הפרש מרכזי
f′′(x)≈f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}
הפרש שני
hopt≈εh_{opt}\approx\sqrt{\varepsilon}
הצעד הקדמי הטוב ביותר

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 6.1 העריכו את הנגזרת של sin x ב-x = 1 בהפרש קדמי, h = 0.1.

הצג את השלבים
  1. (sin 1.1 − sin 1)/0.1.

תשובה: 0.4974; מדויק cos 1 = 0.5403; שגיאה −0.0429.

דוגמה 6.2 חזרו על כך בהפרש מרכזי.

הצג את השלבים
  1. (sin 1.1 − sin 0.9)/0.2.

תשובה: 0.5394; שגיאה −0.00090, קטנה בערך פי 47.7.

דוגמה 6.3 מצאו את צעד ההפרש הקדמי הטוב ביותר בדיוק כפול.

הצג את השלבים
  1. h ≈ √(2.22 × 10⁻¹⁶).

תשובה: h ≈ 1.49 × 10⁻⁸.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. חצו את h בהפרש מרכזי. מה השגיאה?

    הצג תשובה

    בערך ¼ מגודלה.

  2. חצו את h בהפרש קדמי. מה השגיאה?

    הצג תשובה

    בערך ½ מגודלה.

  3. צעד ההפרש המרכזי הטוב ביותר בדיוק כפול?

    הצג תשובה

    בערך ε^(1/3) = 6.06 × 10⁻⁶.

  4. למה לא להשתמש ב-h = 10⁻¹⁵?

    הצג תשובה

    שגיאת העיגול ε/h שולטת.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: h קטן יותר תמיד עדיף.

    בפועל: מתחת לאופטימום, העיגול גובר.

  • מיתוס: הפרשים קדמיים ומרכזיים מדויקים באותה מידה.

    בפועל: המרכזי הוא מסדר שני.

  • מיתוס: גזירה של נתונים רועשים קלה.

    בפועל: הפרשים מגבירים רעש; החליקו או התאימו קודם.

כרטיסיות

  • הפרש קדמי

    סדר ראשון.

  • הפרש מרכזי

    סדר שני.

  • הפרש שני

    f(x+h) − 2f(x) + f(x−h) חלקי h².

  • h אופטימלי

    ≈ √ε להפרש קדמי.

  • ריצ׳רדסון

    ביטול השגיאה המובילה.

  • סדר

    המעריך של h בשגיאה.

בוחן לבדיקה עצמית

1. שגיאת ההפרש המרכזי ∝…

הצג תשובה

h². סימטרי.

2. ההפרש הקדמי הוא מסדר …

הצג תשובה

קודם. שגיאה ∝ h.

3. ה-h הקדמי הטוב ביותר הוא בערך…

הצג תשובה

√ε. איזון.

4. הרעש בנתונים … על ידי לקיחת הפרשים.

הצג תשובה

מוגבר. מחלק ב-h.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

NOAA מציינת שה-GFS מפיק פלט שעתי ל-120 השעות הראשונות, ואז פלט כל 3 שעות לימים 5 עד 16. חזאים ומודלים במורד הזרם לוקחים הפרשים של הפלטים האלה כדי לקבל קצבים כמו מגמת לחץ וקצב גשם.

היחידה הזו מראה למה צעד הזמן של הפלט השמור חשוב: קצב שמחושב מערכים כל 3 שעות בהפרש מרכזי מדויק הרבה יותר מהפרש חד-צדדי על אותו מרווח.

ב־Saving Planets: GOES-19 · חשבון אינפיניטסימלי 1

מקורות: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 7 · שבוע 9

אינטגרציה נומרית

כלל הטרפז וכלל סימפסון, כללים מורכבים וסדרי שגיאה, אקסטרפולציית רומברג, קוודרטורת גאוס, ואינטגרציה של נתונים מדודים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • להפעיל את כללי הטרפז וסימפסון המורכבים.
  • לחזות איך השגיאה יורדת עם n.
  • להשתמש ברומברג לשיפור תוצאה.
  • להפעיל קוודרטורת גאוס בת 2 נקודות.

מושגי מפתח

  • כלל הטרפז מחבר נקודות בקווים ישרים. השגיאה שלו יורדת כמו h²: הכפלת n מקטינה אותה פי 4.
  • כלל סימפסון מתאים פרבולות דרך זוגות של קטעים (n זוגי). השגיאה שלו יורדת כמו h⁴: הכפלת n מקטינה אותה פי 16.
  • אקסטרפולציית רומברג: T₂ₙ + (T₂ₙ − Tₙ)/3 מבטלת את שגיאת ה-h² של כלל הטרפז (היא שווה לכלל סימפסון).
  • קוודרטורת גאוס בוחרת את הנקודות הטובות ביותר: 2 נקודות ב-±1/√3 מבצעות אינטגרציה מדויקת לפולינומים קוביים.
  • לנתונים מדודים במרווח קבוע, הפעילו את כלל הטרפז או סימפסון ישירות על הדגימות.

משוואות מפתח

Tn=h[12f0+f1+⋯+fn−1+12fn]T_n=h\Big[\tfrac12f_0+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac12f_n\Big]
כלל הטרפז
Sn=h3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\tfrac h3\big[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\big]
כלל סימפסון
∫−11f≈f(−13)+f(13)\int_{-1}^{1}f\approx f(-\tfrac1{\sqrt3})+f(\tfrac1{\sqrt3})
גאוס 2 נקודות
ET∝h2, ES∝h4E_T\propto h^2,\ E_S\propto h^4
סדרי שגיאה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 7.1 העריכו את ∫₀¹ eˣ dx בכלל הטרפז, n = 4.

הצג את השלבים
  1. h = 0.25; סכמו את הערכים המשוקללים.

תשובה: T₄ = 1.72722; מדויק e − 1 = 1.71828; שגיאה 0.00894.

דוגמה 7.2 חזרו על כך בכלל סימפסון, n = 4.

הצג את השלבים
  1. משקלים 1, 4, 2, 4, 1 כפול h/3.

תשובה: S₄ = 1.718319; שגיאה 3.70 × 10⁻⁵.

דוגמה 7.3 השתמשו בקוודרטורת גאוס בת 2 נקודות על אותו אינטגרל.

הצג את השלבים
  1. מפו את [0, 1] ל-[−1, 1]: נקודות 0.5 ± 0.5/√3, משקל ½ לכל אחת.

תשובה: 1.717896; שגיאה −3.85 × 10⁻⁴ עם 2 ערכי פונקציה בלבד.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. שגיאת הטרפז עם n = 8?

    הצג תשובה

    0.00224, בערך ¼ מהשגיאה ב-n = 4.

  2. רומברג מ-T₄ ו-T₈?

    הצג תשובה

    1.718284.

  3. כלל סימפסון עם n = 2?

    הצג תשובה

    1.718861.

  4. למה n בסימפסון חייב להיות זוגי?

    הצג תשובה

    הוא משתמש בזוגות של קטעים.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: סימפסון עובד לכל n.

    בפועל: n חייב להיות זוגי.

  • מיתוס: יותר נקודות תמיד עוזרות באותה מידה.

    בפועל: כללים מסדר גבוה יותר משתפרים מהר הרבה יותר.

  • מיתוס: נקודות גאוס יכולות להיות בכל מקום.

    בפועל: הן שורשים קבועים של פולינומי לז׳נדר.

כרטיסיות

  • טרפז

    שגיאה ∝ h².

  • סימפסון

    שגיאה ∝ h⁴.

  • רומברג

    אקסטרפולציה של תוצאות הטרפז.

  • קוודרטורת גאוס

    נקודות ומשקלים אופטימליים.

  • כלל מורכב

    הפעלה על תתי-קטעים רבים.

  • n זוגי

    נחוץ לסימפסון.

בוחן לבדיקה עצמית

1. שגיאת סימפסון ∝…

הצג תשובה

h⁴. סדר רביעי.

2. הכפלת n בכלל הטרפז מקטינה את השגיאה פי…

הצג תשובה

4. h².

3. גאוס בת 2 נקודות מדויקת עבור…

הצג תשובה

פולינומים קוביים. מעלה 2n − 1.

4. רומברג מבטל את…

הצג תשובה

השגיאה המובילה. אקסטרפולציה.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

NOAA מסבירה שכל ממוצע חודשי במאונה לואה הוא ממוצע של ממוצעים יומיים, שבתורם מבוססים על ממוצעים שעתיים, תוך שימוש רק בשעות בתנאי ״רקע״.

ממוצע הוא אינטגרל חלקי המרווח, ולכן בניית ממוצעים חודשיים מערכים שעתיים היא אינטגרציה נומרית, רעיון הטרפז מהיחידה הזו מיושם על מדידות אמיתיות.

ב־Saving Planets: חשבון אינפיניטסימלי 2 · פתרונות

מקורות: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 8 · שבועות 10–11

משוואות דיפרנציאליות רגילות: אוילר, רונגה–קוטה ויציבות

שיטת אוילר, שיטת הוין, רונגה–קוטה מסדר רביעי, שגיאה מקומית וגלובלית, גבולות יציבות, משוואות קשיחות ושיטות סתומות, ומערכות מד״ר.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לקדם מד״ר בשיטות אוילר ו-RK4.
  • לקשר בין גודל הצעד לשגיאה הגלובלית.
  • למצוא את גבול היציבות המפורש עבור y′ = −λy.
  • לזהות בעיות קשיחות.

מושגי מפתח

  • לשיטת אוילר y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) יש שגיאה גלובלית פרופורציונלית ל-h (סדר ראשון).
  • רונגה–קוטה מסדר רביעי (RK4) משתמשת בארבע דגימות שיפוע בכל צעד; השגיאה הגלובלית שלה יורדת כמו h⁴.
  • עבור y′ = −λy, אוילר מפורש יציב רק אם h < 2/λ. מחוץ לזה הפתרון הנומרי גדל אף שהפתרון האמיתי דועך.
  • לבעיות קשיחות יש חלקים מהירים מאוד ואיטיים מאוד. שיטות סתומות כמו אוילר אחורי נשארות יציבות עם צעדים גדולים.
  • מד״ר מסדר גבוה הופכות למערכות מסדר ראשון, שאותן השיטות פותרות.

משוואות מפתח

yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
אוילר
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1}=y_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
RK4
h<2λh<\frac{2}{\lambda}
יציבות אוילר עבור y′ = −λy
yn+1=yn+hf(tn+1,yn+1)y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1})
אוילר אחורי

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 8.1 פתרו את y′ = −y, y(0) = 1 עד t = 1 באוילר, h = 0.1.

הצג את השלבים
  1. כל צעד מכפיל ב-0.9.
  2. y(1) ≈ 0.9¹⁰.

תשובה: 0.34868 לעומת 0.36788 מדויק; שגיאה −0.0192.

דוגמה 8.2 בצעו צעד RK4 אחד של h = 0.1 על אותה בעיה.

הצג את השלבים
  1. k₁ = −1, k₂ = −0.95, k₃ = −0.9525, k₄ = −0.90475.

תשובה: y(0.1) = 0.9048375 לעומת 0.9048374 מדויק.

דוגמה 8.3 קפה מתקרר לפי T′ = −0.1(T − 20) מ-90 °C (ערכי דוגמה). השתמשו באוילר עם h = 1 min למשך 10 min.

הצג את השלבים
  1. בכל צעד T − 20 מוכפל ב-0.9.

תשובה: 44.41 °C לעומת 45.75 °C מדויק.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. אוילר עם h = 0.05 עד t = 1 על y′ = −y?

    הצג תשובה

    0.95²⁰ = 0.35849, השגיאה בערך חצי.

  2. גבול היציבות עבור y′ = −50y באוילר?

    הצג תשובה

    h < 0.04.

  3. צעד הוין אחד של h = 0.1 על y′ = −y?

    הצג תשובה

    0.905.

  4. איך פותרים את y″ = −y בשיטות האלה?

    הצג תשובה

    כתבו אותה כ-y′ = v, v′ = −y.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: צעד קטן יותר תמיד יציב.

    בפועל: רק מתחת לגבול, והעיגול גדל עם צעדים רבים.

  • מיתוס: RK4 מדויקת.

    בפועל: השגיאה שלה קטנה אבל לא אפס.

  • מיתוס: שיטות סתומות תמיד איטיות יותר.

    בפועל: בבעיות קשיחות הן מהירות הרבה יותר בסך הכול.

כרטיסיות

  • אוילר

    מפורשת מסדר ראשון.

  • RK4

    סדר רביעי, 4 שיפועים.

  • יציבות

    השגיאות אינן גדלות.

  • קשיח

    סקאלות מהירות ואיטיות יחד.

  • אוילר אחורי

    סתומה, יציבה מאוד.

  • מערכת

    סדר גבוה → סדר ראשון.

בוחן לבדיקה עצמית

1. השגיאה הגלובלית של אוילר ∝…

הצג תשובה

h. סדר ראשון.

2. RK4 משתמשת ב-… שיפועים.

הצג תשובה

4. k₁ עד k₄.

3. אוילר יציבה עבור y′ = −λy אם…

הצג תשובה

h < 2/λ. הגברה |1 − hλ| < 1.

4. בעיות קשיחות מעדיפות…

הצג תשובה

שיטות סתומות. יציבות.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

NOAA מציינת שה-GFS רץ ארבע פעמים ביום וחוזה עד 16 ימים קדימה. דף ה-EMC מתאר גם הרצת מחקר מצומדת ב-3 km שלקחה כ-40,000 שניות זמן מחשב לכל תחזית של 24 שעות, על 233 צמתים.

זה כ-11.1 שעות חישוב לכל יום תחזית, כך שהמודל רץ רק כ-2.16 פעמים מהר יותר מהזמן האמיתי. כל תחזית היא פתרון מד״ר ומד״ח בצעדי זמן, וצעד היציבות קובע את העלות.

ב־Saving Planets: משוואות דיפרנציאליות · GOES-19

מקורות: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 9 · שבועות 12–13

משוואות דיפרנציאליות חלקיות: הפרשים סופיים

רשתות ותבניות, משוואת החום המפורשת וגבול היציבות שלה, סכמות סתומות וקרנק–ניקולסון, משוואת לפלס ופתרון איטרטיבי, תנאי CFL לגלים, ועלות הרזולוציה.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • לכתוב תבניות הפרשים סופיים למשוואות החום ולפלס.
  • להפעיל את גבול היציבות המפורש r ≤ ½.
  • להסביר את תנאי CFL.
  • להעריך איך העלות גדלה עם הרזולוציה.

מושגי מפתח

  • החליפו נגזרות בהפרשים על רשת. עבור u_t = αu_xx, הסכמה המפורשת היא u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n) עם r = αΔt/Δx².
  • סכמת החום המפורשת יציבה רק אם r ≤ ½, ולכן חציית Δx מחייבת הקטנת Δt פי 4.
  • סכמות סתומות וקרנק–ניקולסון יציבות לכל Δt אבל דורשות פתרון ליניארי בכל צעד.
  • משוואת לפלס u_xx + u_yy = 0 נותנת תבנית של 5 נקודות; יעקובי או גאוס–זיידל (יחידה 4) פותרות אותה.
  • לגלים ולזרימה, תנאי CFL c Δt/Δx ≤ 1 קושר בין צעד הזמן למרווח הרשת. עידון רשת אופקית 2D פי k עולה בערך פי k² עמודות ופי k צעדי זמן.

משוואות מפתח

r=αΔtΔx2≤12r=\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12
יציבות חום מפורשת
ui,j=14(ui+1,j+ui−1,j+ui,j+1+ui,j−1)u_{i,j}=\tfrac14(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1})
לפלס 5 נקודות
cΔtΔx≤1\frac{c\Delta t}{\Delta x}\le1
תנאי CFL
cost∝k3\text{cost}\propto k^3
עידון אופקי פי k

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 9.1 מצאו את צעד הזמן המפורש היציב הגדול ביותר עבור α = 1.0 × 10⁻⁴ m²/s ו-Δx = 0.01 m (ערכי דוגמה).

הצג את השלבים
  1. Δt ≤ 0.5Δx²/α.

תשובה: Δt ≤ 0.5 s.

דוגמה 9.2 NOAA מתכננת לעדן את ה-GFS מ-13 km ל-9 km. העריכו את השינוי במספר העמודות האופקיות.

הצג את השלבים
  1. (13/9)².

תשובה: בערך פי 2.09 עמודות.

דוגמה 9.3 כולל צעד זמן המוגבל על ידי CFL, העריכו את הגידול הכולל בעלות.

הצג את השלבים
  1. (13/9)³.

תשובה: בערך פי 3.01 עבודה.

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. חצו את Δx בסכמת החום המפורשת. מהו גבול Δt החדש?

    הצג תשובה

    ¼ מגודלו.

  2. מספר העמודות ברשת גלובלית של 13 km (כדור הארץ 5.1 × 10⁸ km², ערך ספר לימוד)?

    הצג תשובה

    כ-3.02 מיליון.

  3. מספר התאים עם 127 שכבות?

    הצג תשובה

    כ-3.83 × 10⁸.

  4. מספר התאים ב-9 km עם 127 שכבות?

    הצג תשובה

    כ-8.0 × 10⁸.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: כל צעד זמן מתאים אם הרשת עדינה.

    בפועל: רשתות עדינות יותר דורשות צעדים מפורשים קטנים יותר.

  • מיתוס: סכמות סתומות תמיד מדויקות יותר.

    בפועל: הן יציבות יותר, לא בהכרח מדויקות יותר.

  • מיתוס: הכפלת הרזולוציה מכפילה את העלות.

    בפועל: ב-2D ועוד זמן זה בערך 8×.

כרטיסיות

  • תבנית

    דפוס של נקודות שכנות.

  • r

    αΔt/Δx².

  • CFL

    cΔt/Δx ≤ 1.

  • קרנק–ניקולסון

    סתומה, סדר שני.

  • לפלסיאן 5 נקודות

    ממוצע השכנים.

  • עלות הרזולוציה

    ≈ k³ לעידון פי k.

בוחן לבדיקה עצמית

1. יציבות חום מפורשת…

הצג תשובה

r ≤ ½. פון נוימן.

2. CFL קושר בין…

הצג תשובה

Δt ו-Δx. מהירות המידע.

3. תבנית לפלס משתמשת ב-… נקודות.

הצג תשובה

5. מרכז + 4.

4. קרנק–ניקולסון היא…

הצג תשובה

יציבה ללא תנאי. ממוצע סתום.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

שדרוג מחשבי העל של NOAA ב-2023 נועד לאפשר ל-GFS לעבור לרזולוציה אופקית של תשעה קילומטרים, לעומת 13 בגרסה הנוכחית, כדי שתופעות בקנה מידה קטן יותר ייראו ויודמו.

קנה המידה ביחידה הזו מראה למה זה דרש מחשבים חדשים: פי 2.09 עמודות, ועם צעד זמן המוגבל על ידי CFL, בערך פי 3 עבודה לכל תחזית.

ב־Saving Planets: מכניקת זורמים · תרמודינמיקה

מקורות: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

יחידה 10 · שבועות 14–15

אופטימיזציה, ערכים עצמיים וחישוב בקנה מידה גדול

חיפוש חתך הזהב, ירידה במורד הגרדיאנט ושיטת ניוטון למזעור, שיטת החזקה לערכים עצמיים, ספירת פעולות, חישוב מקבילי, ואימות ותיקוף של מודלים.

מטרות הלמידה

בסוף היחידה הזו תוכלו:

  • למזער פונקציה 1D בחיפוש חתך הזהב.
  • להפעיל ירידה במורד הגרדיאנט ולבחור צעד.
  • למצוא ערך עצמי דומיננטי בשיטת החזקה.
  • להעריך זמן ריצה מספירת פעולות וממהירות המכונה.

מושגי מפתח

  • חיפוש חתך הזהב מכווץ קטע פי 0.618 בכל צעד בלי נגזרות.
  • ירידה במורד הגרדיאנט צועדת במורד: x ← x − α∇f. α גדול מדי מתבדר; קטן מדי זוחל.
  • שיטת ניוטון למזעור פותרת את ∇f = 0 בעזרת ההסיאן; היא מתכנסת ריבועית ליד המינימום.
  • שיטת החזקה מכפילה שוב ושוב ב-A; הווקטור מתיישר עם הווקטור העצמי הדומיננטי, ומנת ריילי נותנת את הערך העצמי שלו.
  • אימות שואל אם הקוד פותר את המשוואות נכון; תיקוף שואל אם אלה המשוואות הנכונות, בבדיקה מול תצפיות.

משוואות מפתח

τ=5−12≈0.618\tau=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618
מקדם יחס הזהב
xk+1=xk−α∇f(xk)x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)
ירידה במורד הגרדיאנט
λ≈vTAvvTv\lambda\approx\frac{v^TAv}{v^Tv}
מנת ריילי
t=flopsflop ratet=\frac{\text{flops}}{\text{flop rate}}
זמן ריצה

דוגמאות פתורות שלב אחר שלב

דוגמה 10.1 בכמה מכווץ חיפוש חתך הזהב קטע ב-10 צעדים?

הצג את השלבים
  1. 0.618¹⁰.

תשובה: ל-0.0081 (0.81%) מרוחבו.

דוגמה 10.2 מזערו את f = (x − 3)² בירידה במורד הגרדיאנט עם α = 0.1 מ-x = 0. היכן תהיו אחרי 5 צעדים?

הצג את השלבים
  1. בכל צעד x − 3 מוכפל ב-0.8.
  2. x₅ = 3(1 − 0.8⁵).

תשובה: x₅ = 2.017.

דוגמה 10.3 הפעילו את שיטת החזקה על [[2, 1], [1, 2]] מ-(1, 0), 5 צעדים.

הצג את השלבים
  1. v = (122, 121).
  2. מנת ריילי.

תשובה: λ ≈ 2.99997 (מדויק 3).

תרגילים

פתרו כל אחד קודם על נייר, ואז בדקו.

  1. כמה זמן לוקח פתרון צפוף של 10,000 נעלמים (2n³/3 flops) ב-14.5 פטה-פלופס?

    הצג תשובה

    6.67 × 10¹¹/1.45 × 10¹⁶ = 4.6 × 10⁻⁵ s.

  2. המהירות המשולבת של שני המחשבים של NOAA, 14.5 פטה-פלופס כל אחד?

    הצג תשובה

    29 פטה-פלופס.

  3. קיבולת מבצעית ועוד מחקר (20 פטה-פלופס)?

    הצג תשובה

    49 פטה-פלופס.

  4. אימות או תיקוף: השוואת מודל לנתוני מאונה לואה?

    הצג תשובה

    תיקוף.

תפיסות שגויות נפוצות

  • מיתוס: צעד גדול יותר תמיד מאיץ ירידה במורד הגרדיאנט.

    בפועל: הוא עלול לחרוג ולהתבדר.

  • מיתוס: שיטת החזקה מוצאת את כל הערכים העצמיים.

    בפועל: רק את הדומיננטי.

  • מיתוס: קוד שמתכנס הוא מודל נכון.

    בפועל: הוא עדיין צריך תיקוף.

כרטיסיות

  • חתך הזהב

    הקטע מתכווץ פי 0.618.

  • ירידה במורד הגרדיאנט

    x − α∇f.

  • שיטת החזקה

    ערך עצמי דומיננטי.

  • מנת ריילי

    vᵀAv/vᵀv.

  • אימות

    לפתור את המשוואות נכון.

  • אימות

    לפתור את המשוואות הנכונות.

בוחן לבדיקה עצמית

1. חתך הזהב מכווץ פי…

הצג תשובה

0.618. יחס הזהב.

2. שיטת החזקה מוצאת…

הצג תשובה

הערך העצמי הדומיננטי. הכפלה חוזרת.

3. תיקוף משווה ל…

הצג תשובה

תצפיות. בדיקת מציאות.

4. ירידה במורד הגרדיאנט נעה…

הצג תשובה

במורד. −∇f.

איך זה עוזר להציל את כדור הארץ

NOAA מדווחת שמחשבי העל התאומים שלה למזג אוויר ואקלים, Dogwood במנסס, וירג׳יניה, ו-Cactus בפיניקס, אריזונה, שודרגו באוגוסט 2023 ל-14.5 פטה-פלופס כל אחד, כך שיחד מערכת התחזית יכולה לעבד 29 קוודריליון חישובים בשנייה. עם מכונות מחקר בסך 20 פטה-פלופס, הקיבולת של NOAA היא 49 פטה-פלופס, ויותר מ-20 מודלים מבצעיים של חיזוי מזג אוויר נומרי רצים על המערכת.

NASA GISS מעמידה לרשות הציבור בחינם את הקוד של מודל מערכת כדור הארץ ModelE, וניתוח טמפרטורת פני השטח GISTEMP שלה מתעדכן בסביבות ה-10 בכל חודש. קוד ונתונים פתוחים מאפשרים לכל אחד לאמת ולתקף את השיטות הנומריות שמאחורי מדע האקלים.

ב־Saving Planets: פתרונות · מבוא לתכנות

מקורות: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · NASA GISS: מודל מערכת כדור הארץ GISS, ModelE · NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

מקורות לימוד חינמיים

חזרה למעלה

המעבדה (Computation lab)

המעבדה היא החלק המעשי של הקורס. כאן היא חינמית ולתרגול בלבד, ללא נקודות זכות.

כל מעבדה פועלת בסימולציה חינמית או בגיליון אלקטרוני, כך שאין סכנות פיזיות. קחו הפסקות ממסך, שבו ביציבה טובה והרחיקו כבלים ממעברים.

מקור בטיחות: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

מעבדה A: אפסילון מכונה וטור טיילור בגיליון אלקטרוני

שבוע 1

מטרה: מצאו את אפסילון המכונה בניסוי וצפו בטור טיילור מתכנס ל-e.

e≈∑k=0n−11k!e\approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}
טור טיילור עבור e

מהלך הניסוי

  1. בעמודה, התחילו ב-1 וחצו בכל שורה.
  2. בעמודה הבאה, בדקו אם 1 + ערך > 1.
  3. הערך האחרון שעובר הוא אפסילון המכונה.
  4. סכמו 1/k! עבור 5 ו-10 איברים והשוו ל-e.

טבלת נתונים

גודלערך
אפסילון מכונה (כפולה)2.22 × 10⁻¹⁶
e, 5 איברים2.70833
e, 10 איברים2.7182815
e2.7182818

ערכים מחושבים; רוב הגיליונות האלקטרוניים משתמשים בדיוק כפול.

חישוב לדוגמה

  1. חציה 52 פעמים נותנת 2⁻⁵² = 2.22 × 10⁻¹⁶.
  2. 1 + 1 + ½ + ⅙ + 1/24 = 2.70833.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

MIT OpenCourseWare 18.330 Introduction to Numerical Analysis (אביב 2012)

הקשר לכדור הארץ: NOAA מתארת הרצת תחזית שבה הדינמיקה בדיוק 32 סיביות וכל השאר ב-64 סיביות. NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מעבדה B: חציה מול ניוטון

שבוע 3

מטרה: פתרו את cos x = x בחציה ובשיטת ניוטון, וספרו את הספרות הנכונות בכל צעד.

xn+1=xn−cos⁡xn−xn−sin⁡xn−1x_{n+1}=x_n-\frac{\cos x_n-x_n}{-\sin x_n-1}
ניוטון עבור cos x − x = 0

מהלך הניסוי

  1. תחמו את השורש ב-[0, 1].
  2. הריצו 20 צעדי חציה בגיליון אלקטרוני.
  3. הריצו את ניוטון מ-x₀ = 1.
  4. שרטטו את log₁₀ של השגיאה מול מספר הצעד עבור שתיהן.

טבלת נתונים

צעד ניוטוןx
10.750364
20.739113
30.739085133
40.739085133

ערכים מחושבים. חציה צריכה כ-20 צעדים ל-6 ספרות; ניוטון צריך 3.

חישוב לדוגמה

  1. x₁ = 1 − (cos 1 − 1)/(−sin 1 − 1) = 0.750364.
  2. שורש 0.7390851.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

OpenStax Calculus Volume 1, 4.9 שיטת ניוטון

הקשר לכדור הארץ: ה-USGS מציין ש-MODFLOW-NWT משתמש בניסוח ניוטון-רפסון לזרימת מי תהום לא כלואים. USGS: MODFLOW and Related Programs

מעבדה C: התאמת רשומת ה-CO₂ של מאונה לואה

שבוע 7

מטרה: התאימו מודל קווי ומודל ריבועי לממוצעים השנתיים של מאונה לואה מ-NOAA ושפטו אותם לפי השאריות.

ATA c=ATyA^TA\,c=A^Ty
ריבועים פחותים

מהלך הניסוי

  1. חקרו את PhET Least-Squares Regression ו-Curve Fitting כדי לראות איך השאריות משתנות עם המודל.
  2. פתחו את קובץ הממוצעים השנתיים של NOAA והעתיקו את ערכי העשורים 1960–2020.
  3. התאימו קו ופונקציה ריבועית (LINEST בגיליון או קו מגמה).
  4. חזו את 2025 והשוו ל-427.35 ppm של NOAA.

טבלת נתונים

מודלמקדם מרכזיתחזית 2025 (ppm)
ישרשיפוע 1.613 ppm/שנה415.0
ריבועי0.01338 ppm/שנה²426.0
NOAA 2025—427.35

נתונים מ-NOAA GML; ההתאמות מחושבות.

חישוב לדוגמה

  1. הקו מעריך את 2025 בחסר של 12.3 ppm.
  2. הריבועי בטווח של 1.3 ppm.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

PhET: Least-Squares Regression · PhET: Curve Fitting · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

הקשר לכדור הארץ: NOAA מדווחת שהממוצע החודשי במאונה לואה היה 426.07 ppm בספטמבר 2026. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

מעבדה D: טרפז מול סימפסון

שבוע 9

מטרה: בצעו אינטגרציה של sin x מ-0 עד π בשני הכללים, חצו את הצעד ומדדו את סדר השגיאה.

∫0πsin⁡x dx=2\int_0^{\pi}\sin x\,dx=2
אינטגרל בדיקה

מהלך הניסוי

  1. השתמשו ב-PhET Calculus Grapher כדי לראות את השטח מתחת לעקומה.
  2. בנו עמודות ל-x, ל-sin x ולמשקלות הכללים.
  3. חשבו את T ו-S עבור n = 4, ואז n = 8.
  4. מצאו את יחסי השגיאה.

טבלת נתונים

כלל, n = 4הערכהשגיאה
טרפז1.89612−0.10388
סימפסון2.00456+0.00456

ערכים מחושבים; הכפלה ל-n = 8 מקטינה את השגיאות פי 4.03 ו-16.9, קרוב ל-4 ול-16 התאורטיים.

חישוב לדוגמה

  1. T₄ = (π/4)(sin π/4 + sin π/2 + sin 3π/4) = 1.89612.
  2. S₄ = (π/12)(4 sin π/4 + 2 sin π/2 + 4 sin 3π/4) = 2.00456.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

PhET: Calculus Grapher · OpenStax Calculus Volume 2, 3.6 אינטגרציה נומרית

הקשר לכדור הארץ: NOAA בונה כל ממוצע חודשי במאונה לואה מממוצעים יומיים המבוססים על ממוצעים שעתיים. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

מעבדה E: סדרי שגיאה של אוילר ו-RK4

שבוע 11

מטרה: פתרו את y′ = −y עד t = 1 בכמה גדלי צעד ואשרו התכנסות מסדר ראשון ומסדר רביעי.

y(1)=e−1=0.367879y(1)=e^{-1}=0.367879
תשובה מדויקת

מהלך הניסוי

  1. בנו עמודת אוילר עבור h = 0.2, 0.1 ו-0.05.
  2. בנו בלוק RK4 עבור h = 0.2 ו-0.1.
  3. רשמו את השגיאה ב-t = 1.
  4. השוו את יחסי השגיאה כש-h נחצה; אחר כך נסו את אותו הפותר על מקרה ללא גרר ב-PhET Projectile Motion.

טבלת נתונים

שיטה, hשגיאה ב-t = 1
אוילר, 0.2−0.0402
אוילר, 0.1−0.0192
אוילר, 0.05−0.00939
RK4, 0.25.80 × 10⁻⁶
RK4, 0.13.33 × 10⁻⁷

ערכים מחושבים. השגיאה של אוילר נחצית עם h; של RK4 יורדת פי 17 בערך (קרוב ל-2⁴ = 16).

חישוב לדוגמה

  1. אוילר h = 0.1: 0.9¹⁰ − e⁻¹ = −0.0192.
  2. יחס RK4 5.80 × 10⁻⁶/3.33 × 10⁻⁷ = 17.4.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

PhET: Projectile Motion · MIT OpenCourseWare 10.34 Numerical Methods Applied to Chemical Engineering (סתיו 2015)

הקשר לכדור הארץ: ה-GFS של NOAA רץ ארבע פעמים ביום וחוזה עד 16 ימים קדימה. NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

מעבדה F: משוואת החום וגבול היציבות שלה

שבוע 13

מטרה: הריצו את סכמת החום המפורשת על מוט עם נקודה חמה וראו מה קורה מעל r = ½.

uin+1=uin+r(ui+1n−2uin+ui−1n)u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)
סכמה מפורשת

מהלך הניסוי

  1. קבעו 7 צמתים עם קצוות ב-0 והצומת האמצעי ב-100 (ערכי דוגמה).
  2. התקדמו עם r = 0.25 במשך 10 צעדים.
  3. חזרו עם r = 0.6.
  4. תארו את שתי התוצאות.

טבלת נתונים

מקרההערך האמצעי אחרי צעד 1אחרי 10 צעדים
r = 0.2550.016.7
r = 0.6−20.0290.5

ערכים מחושבים. עם r = 0.6 הערכים מתנודדים וגדלים: הסכמה אינה יציבה.

חישוב לדוגמה

  1. r = 0.25: 100 + 0.25(0 − 200 + 0) = 50.
  2. r = 0.6: 100 + 0.6(−200) = −20.

בטיחות

  • מחשב בלבד.

חלופה ביתית או וירטואלית

  • כל גיליון אלקטרוני מתאים.

MIT OpenCourseWare 2.086 Numerical Computation for Mechanical Engineers (סתיו 2014)

הקשר לכדור הארץ: NOAA תכננה להעביר את ה-GFS מרזולוציה של 13 km ל-9 km אחרי שדרוג 2023. NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023)

חזרה למעלה

מערכי תרגול למבחן

מדדו זמן: כ־10 דקות לבעיה. אחר כך השוו לפתרונות המלאים.

סט תרגול לבחינת אמצע (יחידות 1–5)

  1. מצאו את השגיאה היחסית של 3.14 כקירוב ל-π.

    הצג פתרון מלא
    1. |3.14 − π|/π.

    תשובה: 5.07 × 10⁻⁴.

  2. בצעו שני צעדי ניוטון על x² − 5 מ-x₀ = 2.

    הצג פתרון מלא
    1. x₁ = 2 − (−1)/4.
    2. x₂ = 2.25 − 0.0625/4.5.

    תשובה: x₁ = 2.25; x₂ = 2.23611.

  3. כמה צעדי חציה מכווצים קטע ברוחב 4 אל מתחת ל-10⁻³?

    הצג פתרון מלא
    1. log₂(4000) = 11.97.

    תשובה: 12 צעדים.

  4. כמה יותר עבודת חילוץ דורש n = 500 לעומת n = 100?

    הצג פתרון מלא
    1. (500/100)³.

    תשובה: פי 125.

  5. בצעו אינטרפולציה ל-CO₂ במאונה לואה ל-2023 מהממוצעים השנתיים של NOAA ל-2020 (414.21) ול-2025 (427.35).

    הצג פתרון מלא
    1. 414.21 + 0.6 × 13.14.

    תשובה: 422.09 ppm (הערך של NOAA ל-2023 הוא 421.08).

מערך תרגול מסכם (כל היחידות)

  1. העריכו את ∫₀² x² dx בכלל הטרפז, n = 2.

    הצג פתרון מלא
    1. h = 1: 0.5 × 0 + 1 + 0.5 × 4.

    תשובה: 3 (מדויק 2.667).

  2. חזרו עם כלל סימפסון, n = 2.

    הצג פתרון מלא
    1. (1/3)(0 + 4 + 4).

    תשובה: 2.667, מדויק לפונקציה ריבועית.

  3. בצעו שני צעדי אוילר עם h = 0.1 על y′ = −2y, y(0) = 1.

    הצג פתרון מלא
    1. 0.8².

    תשובה: 0.64 (מדויק 0.670).

  4. מצאו את צעד הזמן המפורש הגדול ביותר לחום עבור α = 2 × 10⁻⁵ m²/s, Δx = 0.005 m.

    הצג פתרון מלא
    1. 0.5 × 0.005²/2 × 10⁻⁵.

    תשובה: 0.625 s.

  5. העריכו את הנגזרת של eˣ ב-0 בהפרש מרכזי, h = 0.01.

    הצג פתרון מלא
    1. (e^0.01 − e^−0.01)/0.02.

    תשובה: 1.0000167.

  6. בכמה מכווץ חיפוש חתך הזהב קטע ב-20 צעדים?

    הצג פתרון מלא
    1. 0.618²⁰.

    תשובה: ל-6.6 × 10⁻⁵ מרוחבו.

חזרה למעלה

דף נוסחאות

erel=∣x~−x∣/∣x∣, εmach=2−52e_{rel}=|\tilde x-x|/|x|,\ \varepsilon_{mach}=2^{-52}
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn), n≥log⁡2((b−a)/tol)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n),\ n\ge\log_2((b-a)/tol)
A=LU, cost≈23n3, κ=∥A∥∥A−1∥A=LU,\ \text{cost}\approx\tfrac23n^3,\ \kappa=\|A\|\|A^{-1}\|
∥ek∥≈ρk∥e0∥\|e_k\|\approx\rho^k\|e_0\|
ATAc=ATyA^TAc=A^Ty
f′≈(f(x+h)−f(x−h))/(2h), hopt≈εf'\approx(f(x+h)-f(x-h))/(2h),\ h_{opt}\approx\sqrt{\varepsilon}
Tn: E∝h2, Sn: E∝h4T_n:\ E\propto h^2,\ S_n:\ E\propto h^4
yn+1=yn+hf, h<2/λy_{n+1}=y_n+hf,\ h<2/\lambda
r=αΔt/Δx2≤12, cΔt/Δx≤1r=\alpha\Delta t/\Delta x^2\le\tfrac12,\ c\Delta t/\Delta x\le1
xk+1=xk−α∇f, λ≈vTAv/vTvx_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f,\ \lambda\approx v^TAv/v^Tv

קבועים

קבועערך
דיוק כפול (IEEE 754)אפסילון מכונה 2⁻⁵² = 2.22 × 10⁻¹⁶, כ-16 ספרות משמעותיות
דיוק יחיד (IEEE 754)אפסילון מכונה 2⁻²³ = 1.19 × 10⁻⁷, כ-7 ספרות משמעותיות
e2.718281828
π3.141592654
שטח פני כדור הארץ (ערך ספר לימוד)5.1 × 10⁸ km²
1 פטה-פלופ10¹⁵ פעולות נקודה צפה בשנייה

מקור: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

חזרה למעלה

טקסטים וסימולציות בחינם

השתמשו בהרצאות, בפרקי ספרי הלימוד ובסימולציות החינמיים האלה לצד הקורס.

חזרה למעלה

מילון מונחים

שגיאה מוחלטת
גודל ההפרש מהערך האמיתי.
שיטת החציה
מציאת שורשים בחציית קטע עם החלפת סימן.
תנאי CFL
גבול צעד הזמן cΔt/Δx ≤ 1.
ביטול קטסטרופלי
אובדן ספרות בחיסור מספרים קרובים.
מספר מצב
כמה בעיה מגבירה שגיאות קלט.
קרנק–ניקולסון
סכמת זמן סתומה מסדר שני.
דומיננטיות אלכסונית
כל איבר אלכסוני גובר על שאר השורה שלו.
קוודרטורת גאוס
אינטגרציה עם נקודות ומשקלות אופטימליים.
גאוס–זיידל
פותר איטרטיבי שמשתמש בערכים החדשים מיד.
פירוק LU
A = LU, חילוץ לשימוש חוזר.
ריבועים פחותים
התאמה הממזערת את סכום ריבועי השאריות.
אפסילון מכונה
הפער בין 1 למספר הצף הבא.
שיטת ניוטון
מציאת שורשים לאורך משיקים.
שיטת החזקה
הכפלה חוזרת למציאת הערך העצמי הדומיננטי.
רונגה–קוטה (RK4)
פותר מד״ר מסדר רביעי.
כלל סימפסון
אינטגרציה מסדר רביעי בעזרת פרבולות.
ספליין
עקומה קובית חלקה למקוטעין.
משוואה קשיחה
מד״ר עם חלקים מהירים מאוד ואיטיים מאוד.
שגיאת קטיעה
שגיאה מקיטוע של תהליך אינסופי.
אימות
בדיקת מודל מול תצפיות.

חזרה למעלה

מחוון להערכה עצמית

לא ניתנים ציון או נקודות זכות. השתמשו בזה כדי להעריך בכנות איפה אתם עומדים בכל יחידה.

רמהאיך זה נראה
4 · שליטה מלאהבוחר שיטה לפי הדיוק הנדרש, בודק אותה על בעיה עם תשובה ידועה, מודד את הסדר שלה ומסביר את גבולות היציבות שלה.
3 · מיומןפותר את תרגילי התרגול עם טעויות מזדמנות בגודל הצעד או ביחידות.
2 · מתפתחעוקב אחרי הדוגמאות הפתורות אבל לא מבחין בין שגיאת קיטוע לשגיאת עיגול.
1 · מתחילמפעיל נוסחאות בלי לבדוק שגיאה או יציבות; צריך לחזור על היחידה.

שקלול מוצע אם רוצים ציון

חלקמשקל
תרגילים20%
מעבדות25%
מערך תרגול לאמצע הקורס25%
מערך תרגול מסכם30%

שאפו לרמה 3 ומעלה בכל יחידה לפני שעוברים לקורס הבא.

חזרה למעלה