Metodi numerici

Risolvere la matematica per l’ingegneria al computer: errore di arrotondamento, radici di equazioni, sistemi lineari, adattamento di curve, derivate e integrali da dati, risolutori di EDO, differenze finite e ottimizzazione, con sei laboratori. Gratuito, al tuo ritmo e collegato alle previsioni meteo della NOAA, alla serie di CO₂ di Mauna Loa e ai modelli delle acque sotterranee dell’USGS.

NASA/Michael Hopkins (ISS065-E-009492, Spaceborne Computer-2 on the ISS, April 29, 2021)NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA Blue Marble

Corsi › MATH 340

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Informazioni sul corso

Questo è lo schema di un corso gratuito di autoapprendimento scritto da Saving Planets. Non è un corso universitario, non dà crediti accademici e nessuna scuola è coinvolta.

Il programma segue un corso semestrale di metodi numerici del terzo anno per ingegneri. Si ispira ad argomenti e livello di MIT 18.330 Introduction to Numerical Analysis, MIT 2.086 Numerical Computation for Mechanical Engineers e MIT 10.34 (gratuiti su MIT OpenCourseWare), e usa sezioni gratuite di analisi di OpenStax, che colleghiamo dove aiutano. Nessuno di questi autori, scuole o enti approva questa pagina.

Cosa aggiungiamo: ogni unità è collegata a un lavoro reale con una fonte pubblica citata (il Global Forecast System e i supercomputer della NOAA, la serie di CO₂ di Mauna Loa, i modelli delle acque sotterranee dell’USGS e i modelli climatici della NASA), ogni numero della pagina viene ricalcolato da uno script di verifica prima della pubblicazione e ogni laboratorio ha una simulazione gratuita o un foglio di calcolo.

Seguilo in ordine. Ogni unità ha obiettivi, idee chiave, equazioni, esempi passo per passo, esercizi con soluzioni complete, errori comuni, flashcard e un quiz. I tuoi progressi sono salvati solo in questo browser.

Come questo corso aiuta a salvare il pianeta

Previsioni meteo, proiezioni climatiche e piani per le acque sotterranee sono tutti metodi numerici eseguiti al computer: le equazioni non si possono risolvere a mano, quindi vengono suddivise in griglie, passi temporali ed enormi sistemi lineari.

Sapere come funzionano questi metodi, e come falliscono, è ciò che permette agli ingegneri di giudicare una previsione o un modello. Ogni unità termina con una breve sezione con fonti. I valori che non provengono da una fonte sono indicati come valori di esempio o da manuale.

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Prima di iniziare

Prerequisiti

  • Analisi I e II: derivate, integrali e serie di Taylor.
  • Equazioni differenziali: EDO del primo e del secondo ordine.
  • Algebra lineare: matrici, determinanti e autovalori.
  • Introduzione alla programmazione: cicli, funzioni e array (va bene anche un foglio di calcolo).

Come studiare

  • Prima di calcolare, stima la risposta e decidi quale precisione ti serve.
  • Confronta sempre con una risposta esatta su un problema di prova prima di fidarti di un metodo su un problema reale.
  • Segui l’errore mentre dimezzi il passo: il rapporto ti dà l’ordine del metodo.
  • Usa le unità SI e scrivi il passo con le sue unità.
  • Attenzione a sottrarre numeri quasi uguali; riscrivi la formula se puoi.
  • Svolgi ogni esercizio su carta o in un foglio di calcolo prima di aprire la risposta, e ripeti i quiz qualche giorno dopo.

Attrezzatura di laboratorio (per i laboratori reali)

  • Un computer o un tablet per le simulazioni gratuite PhET Least-Squares Regression, Curve Fitting, Calculus Grapher e Projectile Motion.
  • Un foglio di calcolo (va bene qualsiasi gratuito), oppure Python se lo conosci.
  • Il file di dati CO₂ di Mauna Loa della NOAA in un browser.
  • Una calcolatrice.

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Programma suggerito di 15 settimane

Circa 6-9 ore a settimana: lettura, esercizi e, nelle settimane di laboratorio, il laboratorio.

SettimanaUnitàArgomentiLettura
1Errori, numeri in virgola mobile e serie di TaylorErrori, virgola mobile, serie di Taylor; Laboratorio AMIT 18.330
2Radici di equazioni: bisezione, Newton e secanteBisezione e iterazione di punto fissoMIT 18.330
3Radici di equazioni: bisezione, Newton e secanteMetodi di Newton e delle secanti; Laboratorio BOpenStax Calculus 1, 4.9
4Sistemi lineari: eliminazione di Gauss, LU e condizionamentoEliminazione di Gauss, LU e condizionamentoMIT 2.086
5Metodi iterativi: Jacobi, Gauss–Seidel e convergenzaJacobi, Gauss–Seidel e sistemi sparsiMIT 18.330
6Interpolazione, spline e adattamento ai minimi quadratiInterpolazione e splineMIT 18.330
7Interpolazione, spline e adattamento ai minimi quadratiMinimi quadrati; Laboratorio C; preparazione al compito intermedioNOAA GML
8Derivazione numericaDerivazione numericaMIT 18.330
9Integrazione numericaIntegrazione numerica; Laboratorio DOpenStax Calculus 2, 3.6
10Equazioni differenziali ordinarie: Eulero, Runge–Kutta e stabilitàEulero, Heun e RK4MIT 10.34
11Equazioni differenziali ordinarie: Eulero, Runge–Kutta e stabilitàStabilità, rigidità e sistemi; Laboratorio EMIT 10.34
12Equazioni alle derivate parziali: differenze finiteDifferenze finite per l’equazione del caloreMIT 2.086
13Equazioni alle derivate parziali: differenze finiteLaplace, onde e CFL; Laboratorio FNOAA EMC
14Ottimizzazione, autovalori e calcolo su larga scalaOttimizzazione e metodo delle potenzeMIT 18.330
15Ottimizzazione, autovalori e calcolo su larga scalaCalcolo su larga scala, verifica e validazione; preparazione all’esame finaleNOAA; NASA GISS

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I tuoi progressi

Spunta unità e laboratori man mano che li finisci, e fai i quiz. Progressi e punteggi sono salvati solo in questo browser e non ci vengono mai inviati.

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Unità 1 · Settimana 1

Errori, numeri in virgola mobile e serie di Taylor

Errore assoluto e relativo, cifre significative, numeri in virgola mobile IEEE 754, epsilon di macchina, arrotondamento e cancellazione, ed errore di troncamento dalle serie di Taylor.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Calcolare l’errore assoluto e relativo.
  • Spiegare l’epsilon di macchina in precisione singola e doppia.
  • Individuare e correggere la cancellazione catastrofica.
  • Limitare l’errore di troncamento con il termine di Taylor successivo.

Concetti chiave

  • L’errore assoluto è |approssimato − esatto|; l’errore relativo divide per |esatto|. L’errore relativo ti dice quante cifre sono corrette.
  • I computer memorizzano i numeri in virgola mobile binaria. La doppia precisione ha epsilon di macchina 2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ (circa 16 cifre); la singola precisione ha 2⁻²³ ≈ 1.19 × 10⁻⁷ (circa 7 cifre).
  • La maggior parte dei decimali, come 0.1, non ha una forma binaria esatta, quindi 0.1 + 0.2 − 0.3 risulta circa 5.55 × 10⁻¹⁷ invece di 0.
  • Sottrarre numeri quasi uguali fa perdere cifre (cancellazione catastrofica). Riscrivere la formula algebricamente spesso risolve.
  • L’errore di troncamento deriva dall’interrompere un processo infinito, come una serie di Taylor. Il primo termine scartato stima l’errore.

Equazioni chiave

erel=∣x~−x∣∣x∣e_{rel}=\frac{|\tilde x-x|}{|x|}
Errore relativo
εmach=2−52≈2.22×10−16\varepsilon_{mach}=2^{-52}\approx2.22\times10^{-16}
Epsilon in doppia precisione
f(x+h)=f(x)+hf′(x)+h22f′′(x)+…f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\dots
Serie di Taylor
x+1−x=1x+1+x\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
Evitare la cancellazione

Esempi svolti passo passo

Esempio 1.1 Trova l’errore relativo di 22/7 come approssimazione di π.

Mostra i passaggi
  1. |22/7 − π| = 0.001264.
  2. Dividi per π.

Risposta: Errore relativo = 4.02 × 10⁻⁴, quindi circa 3 cifre corrette.

Esempio 1.2 Calcola √(10⁸ + 1) − √(10⁸) in modo sicuro.

Mostra i passaggi
  1. La sottrazione diretta cancella la maggior parte delle cifre.
  2. Use 1/(√(10⁸ + 1) + √(10⁸)).

Risposta: 5.0 × 10⁻⁵ (più esattamente 4.99999999875 × 10⁻⁵).

Esempio 1.3 Stima l’errore di e^0.1 ≈ 1 + 0.1.

Mostra i passaggi
  1. Il termine successivo è 0.1²/2 = 0.005.
  2. L’errore vero è e^0.1 − 1.1.

Risposta: Errore = 0.00517, vicino alla stima di 0.005.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Quante cifre corrette dà la doppia precisione?

    Mostra la risposta

    Circa 16 (ε = 2.22 × 10⁻¹⁶).

  2. Aggiungi il termine 0.1³/6 a e^0.1 ≈ 1.1. Nuovo errore?

    Mostra la risposta

    1.71 × 10⁻⁴.

  3. Perché 0.1 + 0.2 − 0.3 non è esattamente 0 su un computer?

    Mostra la risposta

    0.1 e 0.2 non hanno forma binaria esatta; il risultato è circa 5.55 × 10⁻¹⁷.

  4. Qual è l’epsilon in precisione singola?

    Mostra la risposta

    2⁻²³ = 1.19 × 10⁻⁷.

Errori concettuali comuni

  • Mito: I computer fanno aritmetica esatta.

    In realtà: Ogni operazione arrotonda al numero in virgola mobile più vicino.

  • Mito: Passi più piccoli significano sempre errore minore.

    In realtà: L’errore di arrotondamento cresce quando i passi si riducono.

  • Mito: Errore relativo e assoluto sono la stessa cosa.

    In realtà: L’errore relativo divide per la grandezza vera.

Flashcard

  • Errore assoluto

    |approssimato − esatto|.

  • Errore relativo

    Errore assoluto / |esatto|.

  • Epsilon di macchina

    2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ in doppia precisione.

  • Cancellazione

    Perdita di cifre sottraendo numeri vicini.

  • Errore di troncamento

    Deriva dall’interrompere un processo infinito.

  • Precisione singola

    Circa 7 cifre.

Quiz di autoverifica

1. L’epsilon in doppia precisione è circa…

Mostra la risposta

2.2 × 10⁻¹⁶. 2⁻⁵².

2. Sottrarre numeri quasi uguali provoca…

Mostra la risposta

cancellazione. Cifre perse.

3. L’errore di troncamento deriva da…

Mostra la risposta

interrompere una serie. Definizione.

4. L’errore relativo divide per…

Mostra la risposta

il valore vero. Definizione.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’Environmental Modeling Center della NOAA descrive una previsione globale accoppiata a circa 3 km di risoluzione che calcolava la dinamica atmosferica in precisione a 32 bit e tutto il resto a 64 bit, un compromesso voluto tra velocità e precisione.

È la scelta di epsilon di questa unità nella pratica: la precisione singola (circa 7 cifre) è più veloce e usa metà memoria, quindi i modellisti la usano dove l’errore che aggiunge resta sotto quello che il modello ha già.

Su Saving Planets: Osservazione della Terra · Introduzione alla programmazione

Fonti: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 2 · Settimane 2–3

Radici di equazioni: bisezione, Newton e secante

Intervalli con la bisezione, metodo di Newton, metodo delle secanti, iterazione di punto fisso, ordine di convergenza e criteri di arresto.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Trovare una radice con la bisezione e prevedere il numero di passi.
  • Applicare il metodo di Newton e riconoscere la convergenza quadratica.
  • Usare il metodo delle secanti quando la derivata non è nota.
  • Scegliere un criterio di arresto.

Concetti chiave

  • La bisezione dimezza un intervallo [a, b] in cui f cambia segno. Converge sempre, ma solo di una cifra binaria per passo: n ≥ log₂((b − a)/tol).
  • Il metodo di Newton segue la retta tangente: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n). Vicino a una radice semplice converge quadraticamente, raddoppiando le cifre corrette a ogni passo.
  • Il metodo delle secanti sostituisce f′ con la pendenza tra gli ultimi due punti. Non richiede la derivata e converge con ordine di circa 1.618.
  • Newton può fallire se f′ è vicino a zero o il punto iniziale è lontano; un ripiego con intervallo lo rende sicuro.
  • Fermati quando |x_{n+1} − x_n| e |f(x_n)| sono entrambi sotto la tolleranza, e limita sempre il numero di iterazioni.

Equazioni chiave

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Metodo di Newton
xn+1=xn−f(xn)xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
Metodo delle secanti
n≥log⁡2b−atoln\ge\log_2\frac{b-a}{tol}
Passi di bisezione
∣en+1∣≈C∣en∣2|e_{n+1}|\approx C|e_n|^2
Convergenza quadratica

Esempi svolti passo passo

Esempio 2.1 Usa la bisezione su f(x) = x³ − x − 2 in [1, 2]. Indica i primi tre punti medi e la radice.

Mostra i passaggi
  1. f(1) = −2, f(2) = 4.
  2. Punti medi 1.5, 1.75, 1.625.

Risposta: Radice x = 1.5214.

Esempio 2.2 Quanti passi di bisezione riducono un intervallo di ampiezza 1 sotto 10⁻⁶?

Mostra i passaggi
  1. log₂(10⁶) = 19.93.

Risposta: 20 passi.

Esempio 2.3 Usa il metodo di Newton su x² − 2 partendo da x₀ = 1.

Mostra i passaggi
  1. x₁ = 1.5, x₂ = 1.41667.
  2. x₃ = 1.414216.

Risposta: x₃ = 1.414216, già 6 cifre corrette.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Applica Newton a x³ − x − 2 partendo da x₀ = 1.5. Primo passo?

    Mostra la risposta

    1.52174.

  2. Applica il metodo delle secanti a x² − 2 partendo da 1 e 2. Prime tre iterate?

    Mostra la risposta

    1.3333, 1.4000, 1.4146.

  3. Che ordine di convergenza ha il metodo delle secanti?

    Mostra la risposta

    Circa 1.618.

  4. Perché limitare il numero di iterazioni?

    Mostra la risposta

    Un metodo può divergere o entrare in ciclo.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Newton converge sempre.

    In realtà: Può divergere da un cattivo punto iniziale.

  • Mito: La bisezione è veloce.

    In realtà: Guadagna un bit per passo.

  • Mito: Un f(x) piccolo significa che x è vicino alla radice.

    In realtà: Non se f è molto piatta.

Flashcard

  • Bisezione

    Dimezzare un intervallo con cambio di segno.

  • Newton

    x − f/f′.

  • Secante

    Newton con una pendenza su due punti.

  • Convergenza quadratica

    Le cifre raddoppiano a ogni passo.

  • Intervallo di confinamento

    Intervallo con un cambio di segno.

  • Criterio di arresto

    Passo e residuo sotto la tolleranza.

Quiz di autoverifica

1. Newton converge…

Mostra la risposta

quadraticamente. Vicino a una radice semplice.

2. La bisezione richiede…

Mostra la risposta

un cambio di segno. Intervallo.

3. La secante evita…

Mostra la risposta

la derivata. Pendenza da due punti.

4. Passi fino a 10⁻⁶ da ampiezza 1 con la bisezione…

Mostra la risposta

20. log₂ 10⁶.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’USGS afferma che MODFLOW è considerato uno standard internazionale per simulare le acque sotterranee. Una delle sue versioni, MODFLOW-NWT, usa una formulazione di Newton-Raphson per migliorare la soluzione dei problemi di flusso sotterraneo non confinato.

Gli acquiferi liberi rendono le equazioni non lineari, perché lo spessore saturo dipende dal livello dell’acqua che si sta cercando. Il metodo di Newton di questa unità è ciò che fa convergere quei calcoli in modo affidabile.

Su Saving Planets: Oceani · Analisi I

Fonti: USGS: MODFLOW and Related Programs

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Unità 3 · Settimana 4

Sistemi lineari: eliminazione di Gauss, LU e condizionamento

Eliminazione di Gauss con pivoting parziale, fattorizzazione LU, conteggio delle operazioni, il numero di condizionamento e come limita la precisione.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Risolvere un sistema 3 × 3 per eliminazione.
  • Spiegare la fattorizzazione LU e il suo riuso.
  • Stimare il costo dell’eliminazione.
  • Usare il numero di condizionamento per giudicare la precisione.

Concetti chiave

  • L’eliminazione di Gauss riduce Ax = b a un sistema triangolare superiore, poi esegue la sostituzione all’indietro. Il pivoting parziale scambia le righe per usare il pivot più grande, il che controlla l’errore di arrotondamento.
  • La fattorizzazione LU memorizza l’eliminazione come A = LU. Una volta fattorizzata, ogni nuovo termine noto costa solo due risoluzioni triangolari.
  • L’eliminazione costa circa 2n³/3 operazioni in virgola mobile: raddoppiare n moltiplica il lavoro per 8.
  • Il numero di condizionamento κ(A) = ‖A‖‖A⁻¹‖ misura la sensibilità. Si possono perdere circa log₁₀ κ cifre di precisione.
  • Non calcolare mai A⁻¹ per risolvere un sistema; fattorizza e risolvi.

Equazioni chiave

A=LUA=LU
Fattorizzazione LU
cost≈23n3\text{cost}\approx\tfrac23n^3
Operazioni di eliminazione
κ(A)=∥A∥∥A−1∥\kappa(A)=\|A\|\|A^{-1}\|
Numero di condizionamento
∥δx∥∥x∥≤κ∥δb∥∥b∥\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le\kappa\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}
Limite d’errore

Esempi svolti passo passo

Esempio 3.1 Risolvi 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3.

Mostra i passaggi
  1. Elimina x dalle righe 2 e 3, poi y dalla riga 3.
  2. Esegui la sostituzione all’indietro.

Risposta: x = 2, y = 3, z = −1.

Esempio 3.2 Stima il costo dell’eliminazione per n = 1000.

Mostra i passaggi
  1. 2 × 1000³/3.

Risposta: Circa 6.67 × 10⁸ operazioni.

Esempio 3.3 Trova il numero di condizionamento in norma 2 di [[1, 1], [1, 1.0001]].

Mostra i passaggi
  1. Le righe sono quasi parallele.
  2. κ = σ_max/σ_min.

Risposta: κ ≈ 40,002, quindi si possono perdere circa 4–5 cifre.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Quanto lavoro in più è n = 2000 rispetto a n = 1000?

    Mostra la risposta

    8 volte.

  2. Operazioni di eliminazione per n = 3?

    Mostra la risposta

    2 × 27/3 = 18.

  3. Perché fare pivoting?

    Mostra la risposta

    Per evitare di dividere per numeri piccoli e amplificare l’arrotondamento.

  4. Cifre perse con κ = 10⁸ in doppia precisione?

    Mostra la risposta

    Circa 8 su 16.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Usare A⁻¹ per risolvere sistemi.

    In realtà: Fattorizza e risolvi; costa meno ed è più preciso.

  • Mito: Un determinante piccolo significa mal condizionamento.

    In realtà: Usa il numero di condizionamento.

  • Mito: Il pivoting è facoltativo.

    In realtà: Senza di esso, l’eliminazione può fallire o perdere precisione.

Flashcard

  • Eliminazione di Gauss

    Ridurre a forma triangolare.

  • LU

    A = LU.

  • Pivoting

    Scambi di righe per la stabilità.

  • Numero di condizionamento

    ‖A‖‖A⁻¹‖.

  • Sostituzione all’indietro

    Risolvere sistemi triangolari.

  • Costo

    ≈ 2n³/3.

Quiz di autoverifica

1. L’eliminazione costa circa…

Mostra la risposta

2n³/3. Triplo ciclo.

2. LU aiuta quando…

Mostra la risposta

molti termini noti. Riutilizzare i fattori.

3. Un κ grande significa…

Mostra la risposta

sensibile. Amplifica gli errori.

4. Il pivoting parziale sceglie…

Mostra la risposta

il pivot più grande. Stabilità.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’USGS afferma che una caratteristica chiave di MODFLOW 6 è la capacità di risolvere più modelli numerici strettamente accoppiati in un unico sistema di equazioni.

La sua mappa della profondità della falda negli Stati Uniti continentali è venuta da una simulazione parallela di 256 domini di modello strettamente accoppiati su 256 core di un supercomputer dell’USGS. Ogni dominio è un grande sistema lineare sparso come quelli di questa unità.

Su Saving Planets: Algebra lineare · Oceani

Fonti: USGS: MODFLOW and Related Programs

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 4 · Settimana 5

Metodi iterativi: Jacobi, Gauss–Seidel e convergenza

Iterazione di Jacobi e Gauss–Seidel, dominanza diagonale, matrice di iterazione e raggio spettrale, sistemi sparsi e perché i metodi iterativi scalano.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Eseguire passi di Jacobi e Gauss–Seidel.
  • Verificare la dominanza diagonale.
  • Usare il raggio spettrale per prevedere la velocità di convergenza.
  • Spiegare perché i grandi sistemi sparsi usano l’iterazione.

Concetti chiave

  • Jacobi aggiorna ogni incognita dall’iterata precedente; Gauss–Seidel usa i nuovi valori appena calcolati.
  • Se A è a dominanza diagonale stretta, entrambi i metodi convergono da qualsiasi punto iniziale.
  • L’errore si riduce a ogni passo di circa il raggio spettrale ρ della matrice di iterazione. Gauss–Seidel spesso ha ρ_GS = ρ_J².
  • Le griglie grandi danno matrici sparse con pochi elementi non nulli per riga. I metodi iterativi memorizzano solo quelli, mentre l’eliminazione crea riempimento.
  • Fermati quando il residuo ‖b − Ax‖ è piccolo rispetto a ‖b‖.

Equazioni chiave

xi(k+1)=1aii(bi−∑j≠iaijxj(k))x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\Big)
Jacobi
∣aii∣>∑j≠i∣aij∣|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|
Dominanza diagonale
∥ek∥≈ρk∥e0∥\|e_{k}\|\approx\rho^k\|e_0\|
Velocità di convergenza
r=b−Axr=b-Ax
Residuo

Esempi svolti passo passo

Esempio 4.1 Esegui due passi di Jacobi su 4x + y = 1, x + 3y = 2 partendo da (0, 0).

Mostra i passaggi
  1. Passo 1: x = 1/4 = 0.25, y = 2/3 = 0.6667.
  2. Passo 2: x = (1 − 0.6667)/4, y = (2 − 0.25)/3.

Risposta: x = 0.0833, y = 0.5833 (esatto 0.0909, 0.6364).

Esempio 4.2 Esegui due passi di Gauss–Seidel sullo stesso sistema.

Mostra i passaggi
  1. Passo 1: x = 0.25, y = (2 − 0.25)/3 = 0.5833.
  2. Passo 2: x = 0.1042, y = 0.6319.

Risposta: x = 0.1042, y = 0.6319, più vicino di Jacobi.

Esempio 4.3 Trova i raggi spettrali di Jacobi e Gauss–Seidel per quel sistema.

Mostra i passaggi
  1. ρ_J = √(1/12).
  2. ρ_GS = ρ_J² = 1/12.

Risposta: ρ_J = 0.289; ρ_GS = 0.0833.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. [[4, 1], [1, 3]] è a dominanza diagonale?

    Mostra la risposta

    Sì: 4 > 1 e 3 > 1.

  2. Passi di Gauss–Seidel (ρ = 0.0833) per ridurre l’errore di 10⁶?

    Mostra la risposta

    Circa 6 (0.0833⁶ = 3.35 × 10⁻⁷).

  3. Terza iterata di Gauss–Seidel?

    Mostra la risposta

    x = 0.0920, y = 0.6360.

  4. Perché non eliminare su una griglia da un milione di incognite?

    Mostra la risposta

    Il riempimento usa troppa memoria e tempo.

Errori concettuali comuni

  • Mito: L’iterazione converge sempre.

    In realtà: Serve ρ < 1.

  • Mito: Jacobi e Gauss–Seidel sono uguali.

    In realtà: Gauss–Seidel usa subito i nuovi valori.

  • Mito: Un piccolo cambiamento tra i passi significa convergenza.

    In realtà: Controlla anche il residuo.

Flashcard

  • Jacobi

    Aggiornare tutto dai vecchi valori.

  • Gauss–Seidel

    Usare subito i nuovi valori.

  • Raggio spettrale

    Il più grande |autovalore|.

  • Dominanza diagonale

    |a_ii| > somma della riga.

  • Sparso

    Quasi tutti zeri.

  • Residuo

    b − Ax.

Quiz di autoverifica

1. Converge se…

Mostra la risposta

ρ < 1. L’errore si riduce.

2. Gauss–Seidel usa…

Mostra la risposta

i valori più recenti. Definizione.

3. Sparso significa…

Mostra la risposta

quasi tutti zeri. Pochi elementi non nulli.

4. Sufficiente per la convergenza…

Mostra la risposta

dominanza diagonale. Teorema.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

Il GFS della NOAA divide l’atmosfera in 127 strati verticali con una spaziatura orizzontale di circa 13 km. Ogni punto di griglia è accoppiato solo ai vicini, quindi i sistemi che tali modelli costruiscono sono enormi e sparsi.

Con una superficie terrestre da manuale di 5.1 × 10⁸ km², una griglia di 13 km ha circa 3.0 milioni di colonne e 383 milioni di celle. Sistemi di queste dimensioni si trattano con metodi iterativi e altri metodi sparsi, non con la semplice eliminazione.

Su Saving Planets: Osservazione della Terra · Algebra lineare

Fonti: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

Risorse di apprendimento gratuite

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Unità 5 · Settimane 6–7

Interpolazione, spline e adattamento ai minimi quadrati

Interpolazione lineare e polinomiale, forma di Lagrange, il pericolo dei polinomi di grado elevato, spline cubiche, e adattamenti ai minimi quadrati di rette e polinomi con residui.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Interpolare linearmente tra punti dati.
  • Costruire un polinomio di Lagrange.
  • Adattare una retta ai minimi quadrati e interpretarne la pendenza.
  • Scegliere tra interpolazione e adattamento.

Concetti chiave

  • L’interpolazione passa esattamente per i dati; l’adattamento passa vicino a dati rumorosi e minimizza la somma dei quadrati dei residui.
  • Un polinomio di grado n per n + 1 punti è unico. I gradi elevati su punti equispaziati possono oscillare fortemente vicino agli estremi (fenomeno di Runge).
  • Le spline cubiche uniscono pezzi cubici con pendenza e curvatura coincidenti, dando curve lisce senza oscillazioni selvagge.
  • La retta dei minimi quadrati risolve le equazioni normali AᵀAc = Aᵀy. La pendenza è un tasso, con unità.
  • Traccia i residui: uno schema in essi significa che al modello manca qualcosa, come la curvatura.

Equazioni chiave

y=y0+x−x0x1−x0(y1−y0)y=y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)
Interpolazione lineare
p(x)=∑iyi∏j≠ix−xjxi−xjp(x)=\sum_i y_i\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
Forma di Lagrange
ATA c=ATyA^TA\,c=A^Ty
Equazioni normali
min⁡∑iri2\min\sum_i r_i^2
Minimi quadrati

Esempi svolti passo passo

Esempio 5.1 Le medie annuali di Mauna Loa della NOAA sono 390.10 ppm (2010) e 414.21 ppm (2020). Interpola il 2015.

Mostra i passaggi
  1. y = 390.10 + 0.5 × 24.11.

Risposta: 402.16 ppm; il valore NOAA del 2015 è 401.01, quindi la serie curva verso l’alto.

Esempio 5.2 Adatta una retta ai minimi quadrati ai valori decennali 1960–2020 (316.91, 325.68, 338.76, 354.45, 369.71, 390.10, 414.21 ppm).

Mostra i passaggi
  1. Risolvi le equazioni normali per pendenza e intercetta.

Risposta: Pendenza 1.613 ppm all’anno; la retta prevede 415.0 ppm per il 2025.

Esempio 5.3 Adatta invece una parabola in t = anno − 1960.

Mostra i passaggi
  1. Minimi quadrati con colonne 1, t, t².

Risposta: c = 316.84 + 0.810t + 0.01338t²; prevede 426.0 ppm per il 2025, vicino ai 427.35 della NOAA.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Crescita media 2010–2020 dai valori decennali?

    Mostra la risposta

    2.41 ppm all’anno.

  2. Crescita media 2000–2010?

    Mostra la risposta

    2.04 ppm all’anno.

  3. Perché la retta sottostima il 2025?

    Mostra la risposta

    La crescita accelera; i residui formano una curva.

  4. Interpolare o adattare dati di laboratorio rumorosi?

    Mostra la risposta

    Fit.

Errori concettuali comuni

  • Mito: I polinomi di grado più alto adattano sempre meglio.

    In realtà: Possono oscillare tra i punti.

  • Mito: Un buon R² significa un buon modello.

    In realtà: Controlla lo schema dei residui.

  • Mito: L’estrapolazione è sicura quanto l’interpolazione.

    In realtà: È molto più rischiosa.

Flashcard

  • Interpolazione

    Esattamente per i dati.

  • Minimi quadrati

    Minimizzare i quadrati dei residui.

  • Spline

    Cubica a tratti e liscia.

  • Runge

    Oscillazioni degli adattamenti di grado elevato.

  • Residuo

    Dati meno modello.

  • Equazioni normali

    AᵀAc = Aᵀy.

Quiz di autoverifica

1. I minimi quadrati minimizzano…

Mostra la risposta

la somma dei quadrati dei residui. Definizione.

2. Il fenomeno di Runge è…

Mostra la risposta

un’oscillazione agli estremi. Polinomi di grado elevato.

3. Le spline sono…

Mostra la risposta

cubiche a tratti. Definizione.

4. Le equazioni normali servono per…

Mostra la risposta

AᵀAc = Aᵀy. Minimi quadrati.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

La NOAA riferisce che la serie di Mauna Loa, avviata da C. David Keeling di Scripps nel marzo 1958, è la più lunga serie di misure dirette di CO₂ nell’atmosfera. La media mensile era 426.07 ppm a settembre 2026, rispetto a 424.37 ppm a settembre 2025.

Le medie annuali della NOAA sono salite da 316.91 ppm nel 1960 a 427.35 ppm nel 2025. La curva ascendente compare nei residui di questa unità: una retta la manca, una parabola la adatta.

Su Saving Planets: Soluzioni · Osservazione della Terra

Fonti: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa) · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

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Unità 6 · Settimana 8

Derivazione numerica

Differenze in avanti, all’indietro e centrate, il loro errore di troncamento, l’equilibrio con l’errore di arrotondamento e il passo migliore, derivate seconde ed estrapolazione di Richardson.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Applicare differenze in avanti e centrate.
  • Indicare l’ordine di ogni formula.
  • Scegliere un passo che bilanci troncamento e arrotondamento.
  • Stimare una derivata seconda.

Concetti chiave

  • La differenza in avanti (f(x + h) − f(x))/h ha errore proporzionale a h (primo ordine).
  • La differenza centrata (f(x + h) − f(x − h))/(2h) ha errore proporzionale a h² (secondo ordine), quindi dimezzare h riduce l’errore di 4 volte.
  • L’errore di arrotondamento cresce come ε/h quando h diminuisce. Per le differenze in avanti il miglior h è circa √ε ≈ 1.49 × 10⁻⁸; per quelle centrate circa ε^(1/3) ≈ 6.06 × 10⁻⁶.
  • La derivata seconda è (f(x + h) − 2f(x) + f(x − h))/h², anch’essa del secondo ordine.
  • L’estrapolazione di Richardson combina due passi per cancellare il termine d’errore dominante.

Equazioni chiave

f′(x)≈f(x+h)−f(x)hf'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Differenza in avanti
f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2hf'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
Differenza centrata
f′′(x)≈f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}
Differenza seconda
hopt≈εh_{opt}\approx\sqrt{\varepsilon}
Miglior passo in avanti

Esempi svolti passo passo

Esempio 6.1 Stima la derivata di sin x in x = 1 con una differenza in avanti, h = 0.1.

Mostra i passaggi
  1. (sin 1.1 − sin 1)/0.1.

Risposta: 0.4974; esatto cos 1 = 0.5403; errore −0.0429.

Esempio 6.2 Ripeti con una differenza centrata.

Mostra i passaggi
  1. (sin 1.1 − sin 0.9)/0.2.

Risposta: 0.5394; errore −0.00090, circa 47.7 volte più piccolo.

Esempio 6.3 Trova il miglior passo di differenza in avanti in doppia precisione.

Mostra i passaggi
  1. h ≈ √(2.22 × 10⁻¹⁶).

Risposta: h ≈ 1.49 × 10⁻⁸.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Dimezza h in una differenza centrata. Errore?

    Mostra la risposta

    Circa ¼ di quello iniziale.

  2. Dimezza h in una differenza in avanti. Errore?

    Mostra la risposta

    Circa ½ di quello iniziale.

  3. Miglior passo di differenza centrata in doppia precisione?

    Mostra la risposta

    Circa ε^(1/3) = 6.06 × 10⁻⁶.

  4. Perché non usare h = 10⁻¹⁵?

    Mostra la risposta

    Domina l’errore di arrotondamento ε/h.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Un h più piccolo è sempre meglio.

    In realtà: Sotto l’ottimo vince l’arrotondamento.

  • Mito: Le differenze in avanti e centrate sono ugualmente precise.

    In realtà: Quella centrata è del secondo ordine.

  • Mito: Derivare dati rumorosi è facile.

    In realtà: Le differenze amplificano il rumore; prima leviga o adatta.

Flashcard

  • Differenza in avanti

    Primo ordine.

  • Differenza centrata

    Secondo ordine.

  • Differenza seconda

    f(x+h) − 2f(x) + f(x−h) diviso h².

  • h ottimale

    ≈ √ε per la differenza in avanti.

  • Richardson

    Cancellare l’errore dominante.

  • Ordine

    Esponente di h nell’errore.

Quiz di autoverifica

1. Errore della differenza centrata ∝…

Mostra la risposta

h². Simmetrica.

2. La differenza in avanti è di ordine …

Mostra la risposta

prima. Errore ∝ h.

3. Il miglior h in avanti è circa…

Mostra la risposta

√ε. Equilibrio.

4. Il rumore nei dati viene … dalla differenziazione.

Mostra la risposta

amplificato. Divide per h.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

La NOAA afferma che il GFS produce output orari per le prime 120 ore, poi ogni 3 ore per i giorni da 5 a 16. Previsori e modelli a valle fanno differenze su quegli output per ottenere tassi come la tendenza della pressione e l’intensità di pioggia.

Questa unità mostra perché conta il passo temporale degli output salvati: un tasso ricavato da valori ogni 3 ore con una differenza centrata è molto più preciso di una differenza unilaterale sullo stesso intervallo.

Su Saving Planets: GOES-19 · Analisi I

Fonti: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

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Unità 7 · Settimana 9

Integrazione numerica

Regole dei trapezi e di Simpson, regole composite e ordini d’errore, estrapolazione di Romberg, quadratura di Gauss e integrazione di dati misurati.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Applicare le regole composite dei trapezi e di Simpson.
  • Prevedere come l’errore diminuisce con n.
  • Usare Romberg per migliorare un risultato.
  • Applicare la quadratura di Gauss a 2 punti.

Concetti chiave

  • La regola dei trapezi unisce i punti con segmenti. Il suo errore cala come h²: raddoppiare n lo divide per 4.
  • La regola di Simpson adatta parabole su coppie di intervalli (n pari). Il suo errore cala come h⁴: raddoppiare n lo divide per 16.
  • Estrapolazione di Romberg: T₂ₙ + (T₂ₙ − Tₙ)/3 cancella l’errore h² della regola dei trapezi (coincide con la regola di Simpson).
  • La quadratura di Gauss sceglie i punti migliori: 2 punti in ±1/√3 integrano esattamente le cubiche.
  • Per dati misurati a passo fisso, applica direttamente la regola dei trapezi o di Simpson ai campioni.

Equazioni chiave

Tn=h[12f0+f1+⋯+fn−1+12fn]T_n=h\Big[\tfrac12f_0+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac12f_n\Big]
Regola dei trapezi
Sn=h3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\tfrac h3\big[f_0+4f_1+2f_2+\dots+4f_{n-1}+f_n\big]
Regola di Simpson
∫−11f≈f(−13)+f(13)\int_{-1}^{1}f\approx f(-\tfrac1{\sqrt3})+f(\tfrac1{\sqrt3})
Gauss a 2 punti
ET∝h2, ES∝h4E_T\propto h^2,\ E_S\propto h^4
Ordini d’errore

Esempi svolti passo passo

Esempio 7.1 Stima ∫₀¹ eˣ dx con la regola dei trapezi, n = 4.

Mostra i passaggi
  1. h = 0.25; somma i valori pesati.

Risposta: T₄ = 1.72722; esatto e − 1 = 1.71828; errore 0.00894.

Esempio 7.2 Ripeti con la regola di Simpson, n = 4.

Mostra i passaggi
  1. Pesi 1, 4, 2, 4, 1 per h/3.

Risposta: S₄ = 1.718319; errore 3.70 × 10⁻⁵.

Esempio 7.3 Usa la quadratura di Gauss a 2 punti sullo stesso integrale.

Mostra i passaggi
  1. Porta [0, 1] su [−1, 1]: punti 0.5 ± 0.5/√3, peso ½ ciascuno.

Risposta: 1.717896; errore −3.85 × 10⁻⁴ con solo 2 valori della funzione.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Errore dei trapezi con n = 8?

    Mostra la risposta

    0.00224, circa ¼ dell’errore con n = 4.

  2. Romberg da T₄ e T₈?

    Mostra la risposta

    1.718284.

  3. Regola di Simpson con n = 2?

    Mostra la risposta

    1.718861.

  4. Perché in Simpson n deve essere pari?

    Mostra la risposta

    Usa coppie di intervalli.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Simpson funziona per qualsiasi n.

    In realtà: n deve essere pari.

  • Mito: Più punti aiutano sempre allo stesso modo.

    In realtà: Le regole di ordine più alto guadagnano molto più in fretta.

  • Mito: I punti di Gauss possono essere ovunque.

    In realtà: Sono radici fisse dei polinomi di Legendre.

Flashcard

  • Trapezi

    Errore ∝ h².

  • Simpson

    Errore ∝ h⁴.

  • Romberg

    Estrapolare i risultati dei trapezi.

  • Quadratura di Gauss

    Punti e pesi ottimali.

  • Regola composita

    Applicare su molti sottointervalli.

  • n pari

    Necessario per Simpson.

Quiz di autoverifica

1. Errore di Simpson ∝…

Mostra la risposta

h⁴. Quarto ordine.

2. Raddoppiare n nella regola dei trapezi divide l’errore per…

Mostra la risposta

4. h².

3. Gauss a 2 punti è esatta per…

Mostra la risposta

cubiche. Grado 2n − 1.

4. Romberg cancella…

Mostra la risposta

l’errore dominante. Estrapolazione.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

La NOAA spiega che ogni media mensile di Mauna Loa è la media di medie giornaliere, a loro volta basate su medie orarie, usando solo le ore in condizioni di “fondo”.

Una media è un integrale diviso per l’intervallo, quindi costruire medie mensili da valori orari è integrazione numerica, l’idea dei trapezi di questa unità applicata a misure reali.

Su Saving Planets: Analisi II · Soluzioni

Fonti: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

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Unità 8 · Settimane 10–11

Equazioni differenziali ordinarie: Eulero, Runge–Kutta e stabilità

Metodo di Eulero, metodo di Heun, Runge–Kutta del quarto ordine, errore locale e globale, limiti di stabilità, equazioni rigide e metodi impliciti, e sistemi di EDO.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Far avanzare una EDO con Eulero e RK4.
  • Collegare il passo all’errore globale.
  • Trovare il limite di stabilità esplicito per y′ = −λy.
  • Riconoscere i problemi rigidi.

Concetti chiave

  • Il metodo di Eulero y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) ha errore globale proporzionale a h (primo ordine).
  • Runge–Kutta del quarto ordine (RK4) usa quattro campioni di pendenza per passo; il suo errore globale cala come h⁴.
  • Per y′ = −λy, Eulero esplicito è stabile solo se h < 2/λ. Oltre, la soluzione numerica cresce mentre quella vera decade.
  • I problemi rigidi hanno parti molto veloci e molto lente. I metodi impliciti come Eulero all’indietro restano stabili con passi grandi.
  • Le EDO di ordine superiore diventano sistemi del primo ordine, risolti dagli stessi metodi.

Equazioni chiave

yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)
Euler
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1}=y_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
RK4
h<2λh<\frac{2}{\lambda}
Stabilità di Eulero per y′ = −λy
yn+1=yn+hf(tn+1,yn+1)y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1})
Eulero all’indietro

Esempi svolti passo passo

Esempio 8.1 Risolvi y′ = −y, y(0) = 1 fino a t = 1 con Eulero, h = 0.1.

Mostra i passaggi
  1. Ogni passo moltiplica per 0.9.
  2. y(1) ≈ 0.9¹⁰.

Risposta: 0.34868 contro 0.36788 esatto; errore −0.0192.

Esempio 8.2 Esegui un passo RK4 di h = 0.1 sullo stesso problema.

Mostra i passaggi
  1. k₁ = −1, k₂ = −0.95, k₃ = −0.9525, k₄ = −0.90475.

Risposta: y(0.1) = 0.9048375 contro 0.9048374 esatto.

Esempio 8.3 Un caffè si raffredda secondo T′ = −0.1(T − 20) da 90 °C (valori di esempio). Usa Eulero con h = 1 min per 10 min.

Mostra i passaggi
  1. A ogni passo, T − 20 si riduce di un fattore 0.9.

Risposta: 44.41 °C contro 45.75 °C esatto.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Eulero con h = 0.05 fino a t = 1 su y′ = −y?

    Mostra la risposta

    0.95²⁰ = 0.35849, errore circa la metà.

  2. Limite di stabilità per y′ = −50y con Eulero?

    Mostra la risposta

    h < 0.04.

  3. Un passo di Heun di h = 0.1 su y′ = −y?

    Mostra la risposta

    0.905.

  4. Come si risolve y″ = −y con questi metodi?

    Mostra la risposta

    Scrivila come y′ = v, v′ = −y.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Un passo più piccolo è sempre stabile.

    In realtà: Solo sotto il limite, e l’arrotondamento cresce con molti passi.

  • Mito: RK4 è esatto.

    In realtà: Il suo errore è piccolo ma non nullo.

  • Mito: I metodi impliciti sono sempre più lenti.

    In realtà: Per i problemi rigidi sono molto più veloci nel complesso.

Flashcard

  • Euler

    Esplicito del primo ordine.

  • RK4

    Quarto ordine, 4 pendenze.

  • Stabilità

    Gli errori non crescono.

  • Rigido

    Scale veloci e lente insieme.

  • Eulero all’indietro

    Implicito, molto stabile.

  • Sistema

    Ordine superiore → primo ordine.

Quiz di autoverifica

1. Errore globale di Eulero ∝…

Mostra la risposta

h. Primo ordine.

2. RK4 usa … pendenze.

Mostra la risposta

4. da k₁ a k₄.

3. Eulero è stabile per y′ = −λy se…

Mostra la risposta

h < 2/λ. Amplificazione |1 − hλ| < 1.

4. I problemi rigidi favoriscono…

Mostra la risposta

i metodi impliciti. Stabilità.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

La NOAA afferma che il GFS gira quattro volte al giorno e prevede fino a 16 giorni. La pagina dell’EMC descrive anche un calcolo di ricerca accoppiato a 3 km che ha richiesto circa 40,000 secondi di calcolo per ogni previsione di 24 ore, usando 233 nodi.

Sono circa 11.1 ore di calcolo per giorno di previsione, quindi il modello girava solo circa 2.16 volte più veloce del tempo reale. Ogni previsione è una soluzione di EDO ed EDP a passi temporali, e il passo stabile fissa il costo.

Su Saving Planets: Equazioni differenziali · GOES-19

Fonti: NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

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Unità 9 · Settimane 12–13

Equazioni alle derivate parziali: differenze finite

Griglie e stencil, l’equazione del calore esplicita e il suo limite di stabilità, schemi impliciti e di Crank–Nicolson, l’equazione di Laplace e la soluzione iterativa, la condizione CFL per le onde, e il costo della risoluzione.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Scrivere stencil alle differenze finite per le equazioni del calore e di Laplace.
  • Applicare il limite di stabilità esplicito r ≤ ½.
  • Spiegare la condizione CFL.
  • Stimare come cresce il costo con la risoluzione.

Concetti chiave

  • Sostituisci le derivate con differenze su una griglia. Per u_t = αu_xx, lo schema esplicito è u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n) con r = αΔt/Δx².
  • Lo schema esplicito del calore è stabile solo se r ≤ ½, quindi dimezzare Δx costringe a ridurre Δt di 4 volte.
  • Gli schemi impliciti e di Crank–Nicolson sono stabili per qualsiasi Δt ma richiedono una risoluzione lineare a ogni passo.
  • L’equazione di Laplace u_xx + u_yy = 0 dà uno stencil a 5 punti; Jacobi o Gauss–Seidel (Unità 4) la risolvono.
  • Per onde e flussi, la condizione CFL c Δt/Δx ≤ 1 lega il passo temporale alla spaziatura della griglia. Raffinare una griglia orizzontale 2D di un fattore k costa circa k² colonne in più e k passi temporali in più.

Equazioni chiave

r=αΔtΔx2≤12r=\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\le\frac12
Stabilità esplicita del calore
ui,j=14(ui+1,j+ui−1,j+ui,j+1+ui,j−1)u_{i,j}=\tfrac14(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1})
Laplace a 5 punti
cΔtΔx≤1\frac{c\Delta t}{\Delta x}\le1
Condizione CFL
cost∝k3\text{cost}\propto k^3
Raffinamento orizzontale di k

Esempi svolti passo passo

Esempio 9.1 Trova il massimo passo temporale esplicito stabile per α = 1.0 × 10⁻⁴ m²/s e Δx = 0.01 m (valori di esempio).

Mostra i passaggi
  1. Δt ≤ 0.5Δx²/α.

Risposta: Δt ≤ 0.5 s.

Esempio 9.2 La NOAA prevede di raffinare il GFS da 13 km a 9 km. Stima la variazione delle colonne orizzontali.

Mostra i passaggi
  1. (13/9)².

Risposta: Circa 2.09 volte più colonne.

Esempio 9.3 Includendo un passo temporale limitato dalla CFL, stima l’aumento totale del costo.

Mostra i passaggi
  1. (13/9)³.

Risposta: Circa 3.01 volte il lavoro.

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Dimezza Δx nello schema esplicito del calore. Nuovo limite di Δt?

    Mostra la risposta

    ¼ di quello iniziale.

  2. Colonne su una griglia globale di 13 km (Terra 5.1 × 10⁸ km², valore da manuale)?

    Mostra la risposta

    Circa 3.02 milioni.

  3. Celle con 127 strati?

    Mostra la risposta

    Circa 3.83 × 10⁸.

  4. Celle a 9 km con 127 strati?

    Mostra la risposta

    Circa 8.0 × 10⁸.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Qualsiasi passo temporale va bene se la griglia è fine.

    In realtà: Le griglie più fini richiedono passi espliciti più piccoli.

  • Mito: Gli schemi impliciti sono sempre più precisi.

    In realtà: Sono più stabili, non automaticamente più precisi.

  • Mito: Raddoppiare la risoluzione raddoppia il costo.

    In realtà: In 2D più il tempo è circa 8×.

Flashcard

  • Stencil

    Schema di punti vicini.

  • r

    αΔt/Δx².

  • CFL

    cΔt/Δx ≤ 1.

  • Crank–Nicolson

    Implicito, secondo ordine.

  • Laplaciano a 5 punti

    Media dei vicini.

  • Costo della risoluzione

    ≈ k³ per un raffinamento di k volte.

Quiz di autoverifica

1. Stabilità esplicita del calore…

Mostra la risposta

r ≤ ½. Von Neumann.

2. La CFL lega…

Mostra la risposta

Δt e Δx. Velocità dell’informazione.

3. Lo stencil di Laplace usa … punti.

Mostra la risposta

5. Centro + 4.

4. Crank–Nicolson è…

Mostra la risposta

incondizionatamente stabile. Media implicita.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

L’aggiornamento dei supercomputer della NOAA del 2023 doveva permettere al GFS di passare a una risoluzione orizzontale di nove chilometri, rispetto ai 13 della versione attuale, per vedere e simulare fenomeni a scala più piccola.

Lo scaling di questa unità mostra perché servivano nuovi computer: 2.09 volte più colonne e, con un passo temporale limitato dalla CFL, circa 3 volte il lavoro per ogni previsione.

Su Saving Planets: Meccanica dei fluidi · Termodinamica

Fonti: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

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Unità 10 · Settimane 14–15

Ottimizzazione, autovalori e calcolo su larga scala

Ricerca della sezione aurea, discesa del gradiente e metodo di Newton per la minimizzazione, il metodo delle potenze per gli autovalori, conteggio delle operazioni, calcolo parallelo, e verifica e validazione dei modelli.

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa unità saprai:

  • Minimizzare una funzione 1D con la ricerca della sezione aurea.
  • Applicare la discesa del gradiente e scegliere un passo.
  • Trovare un autovalore dominante con il metodo delle potenze.
  • Stimare il tempo di esecuzione dal conteggio delle operazioni e dalla velocità della macchina.

Concetti chiave

  • La ricerca della sezione aurea riduce un intervallo di 0.618 a ogni passo senza derivate.
  • La discesa del gradiente scende lungo il pendio: x ← x − α∇f. Un α troppo grande diverge; troppo piccolo procede lentissimo.
  • Il metodo di Newton per la minimizzazione risolve ∇f = 0 usando l’hessiana; converge quadraticamente vicino al minimo.
  • Il metodo delle potenze moltiplica ripetutamente per A; il vettore si allinea all’autovettore dominante e il quoziente di Rayleigh dà il suo autovalore.
  • La verifica chiede se il codice risolve bene le equazioni; la validazione chiede se sono le equazioni giuste, confrontandole con le osservazioni.

Equazioni chiave

τ=5−12≈0.618\tau=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618
Fattore del rapporto aureo
xk+1=xk−α∇f(xk)x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)
Discesa del gradiente
λ≈vTAvvTv\lambda\approx\frac{v^TAv}{v^Tv}
Quoziente di Rayleigh
t=flopsflop ratet=\frac{\text{flops}}{\text{flop rate}}
Tempo di esecuzione

Esempi svolti passo passo

Esempio 10.1 Di quanto la ricerca della sezione aurea riduce un intervallo in 10 passi?

Mostra i passaggi
  1. 0.618¹⁰.

Risposta: A 0.0081 (0.81%) della sua ampiezza.

Esempio 10.2 Minimizza f = (x − 3)² con la discesa del gradiente con α = 0.1 da x = 0. Dove sei dopo 5 passi?

Mostra i passaggi
  1. A ogni passo x − 3 si riduce di 0.8.
  2. x₅ = 3(1 − 0.8⁵).

Risposta: x₅ = 2.017.

Esempio 10.3 Applica il metodo delle potenze a [[2, 1], [1, 2]] da (1, 0), 5 passi.

Mostra i passaggi
  1. v = (122, 121).
  2. Quoziente di Rayleigh.

Risposta: λ ≈ 2.99997 (esatto 3).

Esercizi

Svolgi ciascuno prima su carta, poi controlla.

  1. Quanto richiede una risoluzione densa con 10,000 incognite (2n³/3 flops) a 14.5 petaflops?

    Mostra la risposta

    6.67 × 10¹¹/1.45 × 10¹⁶ = 4.6 × 10⁻⁵ s.

  2. Velocità combinata dei due computer da 14.5 petaflops della NOAA?

    Mostra la risposta

    29 petaflops.

  3. Capacità operativa più ricerca (20 petaflops)?

    Mostra la risposta

    49 petaflops.

  4. Verifica o validazione: confrontare un modello con i dati di Mauna Loa?

    Mostra la risposta

    Validazione.

Errori concettuali comuni

  • Mito: Un passo più grande accelera sempre la discesa del gradiente.

    In realtà: Può oltrepassare e divergere.

  • Mito: Il metodo delle potenze trova tutti gli autovalori.

    In realtà: Solo quello dominante.

  • Mito: Un codice che converge è un modello corretto.

    In realtà: Serve comunque la validazione.

Flashcard

  • Sezione aurea

    L’intervallo si riduce di 0.618.

  • Discesa del gradiente

    x − α∇f.

  • Metodo delle potenze

    Autovalore dominante.

  • Quoziente di Rayleigh

    vᵀAv/vᵀv.

  • Verifica

    Risolvere bene le equazioni.

  • Validazione

    Risolvere le equazioni giuste.

Quiz di autoverifica

1. La sezione aurea riduce di…

Mostra la risposta

0.618. Rapporto aureo.

2. Il metodo delle potenze trova…

Mostra la risposta

l’autovalore dominante. Moltiplicazione ripetuta.

3. La validazione confronta con…

Mostra la risposta

le osservazioni. Verifica con la realtà.

4. La discesa del gradiente si muove…

Mostra la risposta

in discesa. −∇f.

Come questo aiuta a salvare il pianeta

La NOAA riferisce che i suoi supercomputer gemelli per meteo e clima, Dogwood a Manassas (Virginia) e Cactus a Phoenix (Arizona), sono stati aggiornati nell’agosto 2023 a 14.5 petaflops ciascuno, quindi insieme il sistema di previsione può elaborare 29 biliardi di calcoli al secondo. Con macchine di ricerca per un totale di 20 petaflops, la capacità della NOAA è di 49 petaflops, e oltre 20 modelli operativi di previsione numerica del tempo girano sul sistema.

Il NASA GISS rende liberamente disponibile il codice del suo modello del sistema Terra ModelE, e la sua analisi delle temperature superficiali GISTEMP viene aggiornata intorno al 10 di ogni mese. Codice e dati aperti permettono a chiunque di verificare e validare i metodi numerici della scienza del clima.

Su Saving Planets: Soluzioni · Introduzione alla programmazione

Fonti: NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023) · NASA GISS: modello del sistema Terra GISS, ModelE · NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

Risorse di apprendimento gratuite

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Il laboratorio (Computation lab)

Il laboratorio è la parte pratica del corso. Qui è gratuito e solo per esercitarsi, senza crediti.

Ogni laboratorio si svolge in una simulazione gratuita o in un foglio di calcolo, quindi non ci sono rischi fisici. Fai pause dallo schermo, siediti con una buona postura e tieni i cavi lontano dai passaggi.

Riferimento per la sicurezza: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

Laboratorio A: epsilon di macchina e serie di Taylor in un foglio di calcolo

Settimana 1

Obiettivo: Trova l’epsilon di macchina sperimentalmente e guarda una serie di Taylor convergere a e.

e≈∑k=0n−11k!e\approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}
Serie di Taylor per e

Procedimento

  1. In una colonna, parti da 1 e dimezza a ogni riga.
  2. Nella colonna successiva, verifica se 1 + valore > 1.
  3. L’ultimo valore che supera il test è l’epsilon di macchina.
  4. Somma 1/k! per 5 e 10 termini e confronta con e.

Tabella dei dati

GrandezzaValore
Epsilon di macchina (doppia)2.22 × 10⁻¹⁶
e, 5 termini2.70833
e, 10 termini2.7182815
e2.7182818

Valori calcolati; la maggior parte dei fogli di calcolo usa la doppia precisione.

Calcolo di esempio

  1. Dimezzare 52 volte dà 2⁻⁵² = 2.22 × 10⁻¹⁶.
  2. 1 + 1 + ½ + ⅙ + 1/24 = 2.70833.

Sicurezza

  • Solo computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene qualsiasi foglio di calcolo.

MIT OpenCourseWare 18.330 Introduction to Numerical Analysis (primavera 2012)

Legame con il pianeta: La NOAA descrive una previsione con la dinamica in precisione a 32 bit e tutto il resto a 64 bit. NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

Laboratorio B: bisezione contro Newton

Settimana 3

Obiettivo: Risolvi cos x = x con la bisezione e con il metodo di Newton, e conta le cifre corrette a ogni passo.

xn+1=xn−cos⁡xn−xn−sin⁡xn−1x_{n+1}=x_n-\frac{\cos x_n-x_n}{-\sin x_n-1}
Newton per cos x − x = 0

Procedimento

  1. Racchiudi la radice in [0, 1].
  2. Esegui 20 passi di bisezione in un foglio di calcolo.
  3. Esegui Newton da x₀ = 1.
  4. Traccia log₁₀ dell’errore rispetto al numero di passo per entrambi.

Tabella dei dati

Passo di Newtonx
10.750364
20.739113
30.739085133
40.739085133

Valori calcolati. La bisezione richiede circa 20 passi per 6 cifre; Newton ne richiede 3.

Calcolo di esempio

  1. x₁ = 1 − (cos 1 − 1)/(−sin 1 − 1) = 0.750364.
  2. Radice 0.7390851.

Sicurezza

  • Solo computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene qualsiasi foglio di calcolo.

OpenStax Calculus Volume 1, 4.9 Metodo di Newton

Legame con il pianeta: L’USGS afferma che MODFLOW-NWT usa una formulazione di Newton-Raphson per il flusso sotterraneo non confinato. USGS: MODFLOW and Related Programs

Laboratorio C: adattare la serie di CO₂ di Mauna Loa

Settimana 7

Obiettivo: Adatta modelli lineare e quadratico alle medie annuali di Mauna Loa della NOAA e giudicali dai residui.

ATA c=ATyA^TA\,c=A^Ty
Minimi quadrati

Procedimento

  1. Esplora PhET Least-Squares Regression e Curve Fitting per vedere come cambiano i residui con il modello.
  2. Apri il file delle medie annuali della NOAA e copia i valori decennali 1960–2020.
  3. Adatta una retta e una quadratica (LINEST del foglio o linea di tendenza).
  4. Prevedi il 2025 e confronta con i 427.35 ppm della NOAA.

Tabella dei dati

ModelloCoefficiente chiavePrevisione 2025 (ppm)
Rettapendenza 1.613 ppm/anno415.0
Quadratico0.01338 ppm/anno²426.0
NOAA 2025—427.35

Dati NOAA GML; adattamenti calcolati.

Calcolo di esempio

  1. La retta sottostima il 2025 di 12.3 ppm.
  2. La quadratica è entro 1.3 ppm.

Sicurezza

  • Solo computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene qualsiasi foglio di calcolo.

PhET: Least-Squares Regression · PhET: Curve Fitting · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

Legame con il pianeta: La NOAA riferisce che la media mensile di Mauna Loa era 426.07 ppm a settembre 2026. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

Laboratorio D: trapezi contro Simpson

Settimana 9

Obiettivo: Integra sin x da 0 a π con entrambe le regole, dimezza il passo e misura l’ordine dell’errore.

∫0πsin⁡x dx=2\int_0^{\pi}\sin x\,dx=2
Integrale di prova

Procedimento

  1. Usa PhET Calculus Grapher per vedere l’area sotto una curva.
  2. Crea colonne per x, sin x e i pesi delle regole.
  3. Calcola T e S per n = 4, poi n = 8.
  4. Trova i rapporti degli errori.

Tabella dei dati

Regola, n = 4StimaErrore
Trapezi1.89612−0.10388
Simpson2.00456+0.00456

Valori calcolati; raddoppiare a n = 8 riduce gli errori di 4.03 e 16.9, vicini ai teorici 4 e 16.

Calcolo di esempio

  1. T₄ = (π/4)(sin π/4 + sin π/2 + sin 3π/4) = 1.89612.
  2. S₄ = (π/12)(4 sin π/4 + 2 sin π/2 + 4 sin 3π/4) = 2.00456.

Sicurezza

  • Solo computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene qualsiasi foglio di calcolo.

PhET: Calculus Grapher · OpenStax Calculus Volume 2, 3.6 Integrazione numerica

Legame con il pianeta: La NOAA costruisce ogni media mensile di Mauna Loa da medie giornaliere basate su medie orarie. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

Laboratorio E: ordini di errore di Eulero e RK4

Settimana 11

Obiettivo: Risolvi y′ = −y fino a t = 1 con diversi passi e conferma la convergenza del primo e del quarto ordine.

y(1)=e−1=0.367879y(1)=e^{-1}=0.367879
Risposta esatta

Procedimento

  1. Crea una colonna di Eulero per h = 0.2, 0.1 e 0.05.
  2. Crea un blocco RK4 per h = 0.2 e 0.1.
  3. Registra l’errore a t = 1.
  4. Confronta i rapporti degli errori quando h si dimezza; poi prova lo stesso risolutore sul caso senza attrito di PhET Projectile Motion.

Tabella dei dati

Metodo, hErrore a t = 1
Eulero, 0.2−0.0402
Eulero, 0.1−0.0192
Eulero, 0.05−0.00939
RK4, 0.25.80 × 10⁻⁶
RK4, 0.13.33 × 10⁻⁷

Valori calcolati. L’errore di Eulero si dimezza con h; quello di RK4 cala di circa 17 (vicino a 2⁴ = 16).

Calcolo di esempio

  1. Eulero h = 0.1: 0.9¹⁰ − e⁻¹ = −0.0192.
  2. Rapporto RK4 5.80 × 10⁻⁶/3.33 × 10⁻⁷ = 17.4.

Sicurezza

  • Solo computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene qualsiasi foglio di calcolo.

PhET: Projectile Motion · MIT OpenCourseWare 10.34 Numerical Methods Applied to Chemical Engineering (autunno 2015)

Legame con il pianeta: Il GFS della NOAA gira quattro volte al giorno e prevede fino a 16 giorni. NOAA Environmental Modeling Center: Global Forecast System (GFS)

Laboratorio F: l’equazione del calore e il suo limite di stabilità

Settimana 13

Obiettivo: Applica lo schema esplicito del calore a una barra con un punto caldo e guarda cosa succede sopra r = ½.

uin+1=uin+r(ui+1n−2uin+ui−1n)u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)
Schema esplicito

Procedimento

  1. Imposta 7 nodi con gli estremi a 0 e il nodo centrale a 100 (valori di esempio).
  2. Avanza con r = 0.25 per 10 passi.
  3. Ripeti con r = 0.6.
  4. Descrivi entrambi i risultati.

Tabella dei dati

CasoValore centrale dopo 1 passoDopo 10 passi
r = 0.2550.016.7
r = 0.6−20.0290.5

Valori calcolati. Con r = 0.6 i valori oscillano e crescono: lo schema è instabile.

Calcolo di esempio

  1. r = 0.25: 100 + 0.25(0 − 200 + 0) = 50.
  2. r = 0.6: 100 + 0.6(−200) = −20.

Sicurezza

  • Solo computer.

Alternativa a casa o virtuale

  • Va bene qualsiasi foglio di calcolo.

MIT OpenCourseWare 2.086 Numerical Computation for Mechanical Engineers (autunno 2014)

Legame con il pianeta: La NOAA prevedeva di portare il GFS da 13 km a 9 km di risoluzione dopo l’aggiornamento del 2023. NOAA: NOAA completes upgrade to weather and climate supercomputer system (Aug. 10, 2023)

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Serie di esercizi per gli esami

Cronometrati: circa 10 minuti per problema. Poi confronta con le soluzioni complete.

Esercizi di preparazione all’esame intermedio (unità 1–5)

  1. Trova l’errore relativo di 3.14 come approssimazione di π.

    Mostra la soluzione completa
    1. |3.14 − π|/π.

    Risposta: 5.07 × 10⁻⁴.

  2. Fai due passi di Newton su x² − 5 da x₀ = 2.

    Mostra la soluzione completa
    1. x₁ = 2 − (−1)/4.
    2. x₂ = 2.25 − 0.0625/4.5.

    Risposta: x₁ = 2.25; x₂ = 2.23611.

  3. Quanti passi di bisezione riducono un intervallo di ampiezza 4 sotto 10⁻³?

    Mostra la soluzione completa
    1. log₂(4000) = 11.97.

    Risposta: 12 passi.

  4. Quanto lavoro di eliminazione in più richiede n = 500 rispetto a n = 100?

    Mostra la soluzione completa
    1. (500/100)³.

    Risposta: 125 volte.

  5. Interpola il CO₂ di Mauna Loa per il 2023 dalle medie annuali NOAA del 2020 (414.21) e del 2025 (427.35).

    Mostra la soluzione completa
    1. 414.21 + 0.6 × 13.14.

    Risposta: 422.09 ppm (il valore NOAA del 2023 è 421.08).

Serie di esercizi finale (tutte le unità)

  1. Stima ∫₀² x² dx con la regola dei trapezi, n = 2.

    Mostra la soluzione completa
    1. h = 1: 0.5 × 0 + 1 + 0.5 × 4.

    Risposta: 3 (esatto 2.667).

  2. Ripeti con la regola di Simpson, n = 2.

    Mostra la soluzione completa
    1. (1/3)(0 + 4 + 4).

    Risposta: 2.667, esatto per una quadratica.

  3. Fai due passi di Eulero con h = 0.1 su y′ = −2y, y(0) = 1.

    Mostra la soluzione completa
    1. 0.8².

    Risposta: 0.64 (esatto 0.670).

  4. Trova il massimo passo temporale esplicito del calore per α = 2 × 10⁻⁵ m²/s, Δx = 0.005 m.

    Mostra la soluzione completa
    1. 0.5 × 0.005²/2 × 10⁻⁵.

    Risposta: 0.625 s.

  5. Stima la derivata di eˣ in 0 con la differenza centrale, h = 0.01.

    Mostra la soluzione completa
    1. (e^0.01 − e^−0.01)/0.02.

    Risposta: 1.0000167.

  6. Di quanto la ricerca della sezione aurea riduce un intervallo in 20 passi?

    Mostra la soluzione completa
    1. 0.618²⁰.

    Risposta: A 6.6 × 10⁻⁵ della sua ampiezza.

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Formulario

erel=∣x~−x∣/∣x∣, εmach=2−52e_{rel}=|\tilde x-x|/|x|,\ \varepsilon_{mach}=2^{-52}
xn+1=xn−f(xn)/f′(xn), n≥log⁡2((b−a)/tol)x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n),\ n\ge\log_2((b-a)/tol)
A=LU, cost≈23n3, κ=∥A∥∥A−1∥A=LU,\ \text{cost}\approx\tfrac23n^3,\ \kappa=\|A\|\|A^{-1}\|
∥ek∥≈ρk∥e0∥\|e_k\|\approx\rho^k\|e_0\|
ATAc=ATyA^TAc=A^Ty
f′≈(f(x+h)−f(x−h))/(2h), hopt≈εf'\approx(f(x+h)-f(x-h))/(2h),\ h_{opt}\approx\sqrt{\varepsilon}
Tn: E∝h2, Sn: E∝h4T_n:\ E\propto h^2,\ S_n:\ E\propto h^4
yn+1=yn+hf, h<2/λy_{n+1}=y_n+hf,\ h<2/\lambda
r=αΔt/Δx2≤12, cΔt/Δx≤1r=\alpha\Delta t/\Delta x^2\le\tfrac12,\ c\Delta t/\Delta x\le1
xk+1=xk−α∇f, λ≈vTAv/vTvx_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f,\ \lambda\approx v^TAv/v^Tv

Costanti

CostanteValore
Doppia precisione (IEEE 754)epsilon di macchina 2⁻⁵² = 2.22 × 10⁻¹⁶, circa 16 cifre significative
Precisione singola (IEEE 754)epsilon di macchina 2⁻²³ = 1.19 × 10⁻⁷, circa 7 cifre significative
e2.718281828
π3.141592654
Superficie della Terra (valore da manuale)5.1 × 10⁸ km²
1 petaflop10¹⁵ operazioni in virgola mobile al secondo

Fonte: NIST Guide to the SI, Appendix B.9: conversion factors

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Testi e simulazioni gratuiti

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Glossario

Errore assoluto
Ampiezza della differenza dal valore vero.
Bisezione
Ricerca di radici dimezzando un intervallo con cambio di segno.
Condizione CFL
Limite del passo temporale cΔt/Δx ≤ 1.
Cancellazione catastrofica
Perdita di cifre sottraendo numeri vicini.
Numero di condizionamento
Quanto un problema amplifica gli errori in ingresso.
Crank–Nicolson
Schema temporale implicito del secondo ordine.
Dominanza diagonale
Ogni elemento diagonale supera il resto della sua riga.
Quadratura di Gauss
Integrazione con punti e pesi ottimali.
Gauss–Seidel
Risolutore iterativo che usa subito i nuovi valori.
Fattorizzazione LU
A = LU, eliminazione riutilizzabile.
Minimi quadrati
Adattamento che minimizza la somma dei quadrati dei residui.
Epsilon di macchina
Distanza tra 1 e il float successivo.
Metodo di Newton
Ricerca di radici lungo le tangenti.
Metodo delle potenze
Moltiplicazione ripetuta per trovare l’autovalore dominante.
Runge–Kutta (RK4)
Risolutore di EDO del quarto ordine.
Regola di Simpson
Integrazione del quarto ordine con parabole.
Spline
Curva cubica a tratti liscia.
Equazione rigida
EDO con parti molto veloci e molto lente.
Errore di troncamento
Errore dovuto al troncamento di un processo infinito.
Validazione
Verificare un modello rispetto alle osservazioni.

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Griglia di autovalutazione

Non si assegnano voti né crediti. Usala per valutare onestamente a che punto sei in ogni unità.

LivelloCome si presenta
4 · PadronanzaSceglie un metodo per l’accuratezza richiesta, lo prova su un problema con risposta nota, ne misura l’ordine e spiega i suoi limiti di stabilità.
3 · CompetenteRisolve gli esercizi con errori occasionali nel passo o nelle unità.
2 · In sviluppoSegue gli esempi svolti ma non distingue l’errore di troncamento da quello di arrotondamento.
1 · PrincipianteApplica formule senza controllare errore o stabilità; deve rivedere l’unità.

Pesi suggeriti se vuoi un punteggio

PartePeso
Esercizi20%
Laboratori25%
Serie di esercizi di metà corso25%
Serie di esercizi finale30%

Punta al livello 3 o superiore in ogni unità prima di passare al corso successivo.

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