الاحتمالات والإحصاء

عدم اليقين والبيانات والموثوقية: وصف البيانات، وقواعد الاحتمال، ومبرهنة بايز، والنماذج ذات الحدين وبواسون والطبيعية والأسية، والمعاينة ومبرهنة النهاية المركزية، وفترات الثقة، واختبارات الفرضيات، والانحدار، وموثوقية الأنظمة، مع ستة مختبرات. مجاني، بالسرعة التي تناسبك، ومرتبط باحتمالات الفيضانات والزلازل لدى USGS، وتوقعات الأعاصير لدى NOAA، وسجل CO₂ في Mauna Loa.

NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASA Blue MarbleNASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

الدورات › MATH 350

تنزيل دليل الدراسة بصيغة PDF (بالإنجليزية)

عن هذه الدورة

هذا مخطط دورة مجانية للتعلّم الذاتي كتبته Saving Planets. وهو ليس مقررًا جامعيًا، ولا يمنح ساعات معتمدة، ولا تشارك فيه أي مؤسسة تعليمية.

يتبع نطاقه مقررًا فصليًا في الاحتمالات والإحصاء للسنة الثالثة للمهندسين. وهو مبني على موضوعات وعمق MIT 18.05 Introduction to Probability and Statistics وMIT 6.041 Probabilistic Systems Analysis (مجانيان على MIT OpenCourseWare)، ويستخدم الكتاب المجاني OpenStax Introductory Statistics وNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods، ونضع روابطهما حيث يفيدان. لا يؤيد أيٌّ من هؤلاء المؤلفين أو المؤسسات أو الهيئات هذه الصفحة.

ما نضيفه: ترتبط كل وحدة بعمل حقيقي مع مصدر عام موثق (احتمالات الفيضانات والزلازل لدى USGS، وتوقعات الأعاصير ومخاريط التنبؤ لدى NOAA، وسجل CO₂ في Mauna Loa وتحليل NASA لدرجات الحرارة)، ويُعاد حساب كل رقم في الصفحة بسكربت تحقق قبل النشر، ولكل مختبر محاكاة مجانية أو جدول بيانات.

تابعها بالترتيب. في كل وحدة أهداف وأفكار أساسية ومعادلات وأمثلة خطوة بخطوة وتمارين بإجابات كاملة وأخطاء شائعة وبطاقات تعليمية واختبار قصير. يُحفظ تقدّمك في هذا المتصفح فقط.

كيف تساعد هذه الدورة في إنقاذ الكوكب

حماية الناس والكوكب مسألة احتمالات: ما مدى احتمال حدوث فيضان أو زلزال أو إعصار، وما مدى يقيننا بأن CO₂ يرتفع بشكل أسرع، وما مدى موثوقية الأنظمة التي تحذرنا.

يحوّل الإحصاء البيانات إلى تلك الاحتمالات ويخبرنا بمدى الثقة بها. تنتهي كل وحدة بقسم قصير موثق. القيم التي ليست من مصدر يُشار إليها كقيم نموذجية أو مرجعية.

العودة إلى الأعلى

قبل أن تبدأ

المتطلبات السابقة

  • التفاضل والتكامل I وII: المشتقات والتكاملات والمتسلسلات.
  • الجبر الخطي: المتجهات والمربعات الصغرى (مفيد للانحدار).
  • مقدمة في البرمجة أو مهارات جداول البيانات: الصيغ والنطاقات والمخططات.
  • الطرق العددية (مفيد، غير مطلوب).

كيف تذاكر

  • اكتب المتغير العشوائي ووحداته قبل أي حساب.
  • ارسم التوزيع أو مخططًا شجريًا أولًا.
  • تحقق من أن الاحتمالات تقع بين 0 و1 ومجموعها 1.
  • صرّح بالافتراضات مثل الاستقلال؛ فمعظم الأخطاء تبدأ هناك.
  • عند الشك، حاكِ: جدول بيانات مع RAND() يمكنه التحقق من أي احتمال تقريبًا.
  • حل كل تمرين على الورق قبل فتح الإجابة، وأعد الاختبارات القصيرة بعد بضعة أيام.

معدات المختبر (للمختبرات العملية)

  • حاسوب أو جهاز لوحي للمحاكاة المجانية PhET Center and Variability وPlinko Probability وLeast-Squares Regression.
  • برنامج جداول بيانات (أي برنامج مجاني يفي بالغرض) مع RAND() وNORM.DIST وLINEST، أو Python.
  • ملف بيانات CO₂ في Mauna Loa من NOAA في متصفح ويب.
  • آلة حاسبة؛ وزوج من النرد اختياري.

العودة إلى الأعلى

جدول مقترح من 15 أسبوعًا

نحو 6 إلى 9 ساعات أسبوعيًا: قراءة وتمارين، وفي أسابيع المختبر، المختبر.

الأسبوعالوحدةالموضوعاتالقراءة
1وصف البيانات: المركز والتشتت والرسوموصف البيانات؛ المختبر AOpenStax Intro Stats
2قواعد الاحتمال والعدّ والاستقلالقواعد الاحتمال والعدّMIT 18.05
3الاحتمال الشرطي ومبرهنة بايزالاحتمال الشرطي وبايزMIT 6.041
4المتغيرات العشوائية المتقطعة: ذات الحدين وبواسونالمتغيرات المتقطعة وذات الحدين؛ المختبر BMIT 18.05
5المتغيرات العشوائية المتقطعة: ذات الحدين وبواسوننموذجا بواسون والهندسيMIT 18.05
6التوزيعات المتصلة: الطبيعي والأسي والقيم القصوىالتوزيعات المتصلة؛ المختبر CUSGS 100-year flood
7المعاينة والمحاكاة ومبرهنة النهاية المركزيةالمعاينة ومبرهنة النهاية المركزية؛ المختبر D؛ تدريب لامتحان منتصف الفصلMIT 18.05
8فترات الثقةفترات الثقة للمتوسطاتOpenStax Intro Stats
9فترات الثقةفترات النسب وحجم العينةNOAA CPC
10اختبارات الفرضيات والقيم الاحتمالية pاختبارات الفرضيات والقيم الاحتمالية pMIT 18.05
11الارتباط والانحدار الخطيالارتباط والانحدارOpenStax Intro Stats
12الارتباط والانحدار الخطيالبواقي وفحص النموذج؛ المختبر ENOAA GML
13الموثوقية والمخاطرالموثوقية وMTBFNIST e-Handbook
14الموثوقية والمخاطرموثوقية الأنظمة؛ المختبر FNIST e-Handbook
15الموثوقية والمخاطرالمخاطر والمراجعة؛ تدريب للامتحان النهائيNOAA CPC; USGS

العودة إلى الأعلى

تقدّمك

ضع علامة على الوحدات والمختبرات عند إنهائها، وخض الاختبارات. يُحفظ التقدم ونتائج الاختبارات في هذا المتصفح فقط، ولا تُرسل إلينا أبدًا.

فعّل JavaScript لتتبّع تقدّمك.

العودة إلى الأعلى

الوحدة 1 · الأسبوع 1

وصف البيانات: المركز والتشتت والرسوم

أنواع البيانات، والمدرجات التكرارية والمخططات الصندوقية، والمتوسط والوسيط، والمدى، والتباين والانحراف المعياري، والربيعيات والقيم الشاذة، ولماذا يُقسم الانحراف المعياري للعينة على n − 1.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب المتوسط والوسيط والمدى والانحراف المعياري للعينة.
  • اختر بين المتوسط والوسيط.
  • اقرأ مدرجًا تكراريًا ومخططًا صندوقيًا.
  • حدد القيم الشاذة بقاعدة 1.5 IQR.

المفاهيم الأساسية

  • المتوسط x̄ = Σx/n هو نقطة التوازن؛ والوسيط هو القيمة الوسطى ويقاوم القيم الشاذة.
  • تباين العينة s² = Σ(x − x̄)²/(n − 1) يقيس التشتت؛ وجذره التربيعي s له وحدات البيانات نفسها. القسمة على n − 1 تصحح استخدام x̄ بدل المتوسط الحقيقي.
  • المدى هو max − min؛ والمدى الربيعي IQR = Q3 − Q1 يضم النصف الأوسط من البيانات.
  • تُعلَّم النقاط التي تبعد أكثر من 1.5 IQR خارج الربيعيات كقيم شاذة محتملة: افحصها ولا تكتفِ بحذفها.
  • ارسم دائمًا أولًا: يُظهر المدرج التكراري أو المخطط الصندوقي الالتواء والفجوات والقيم الشاذة التي يخفيها رقم واحد.

المعادلات الأساسية

xˉ=1n∑xi\bar x=\frac1n\sum x_i
متوسط العينة
s2=1n−1∑(xi−xˉ)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2
تباين العينة
IQR=Q3−Q1IQR=Q_3-Q_1
المدى الربيعي
z=x−xˉsz=\frac{x-\bar x}{s}
الدرجة المعيارية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1.1 تعطي المتوسطات السنوية لدى NOAA في Mauna Loa زيادات سنوية في CO₂ للفترة 2021–2025 قدرها 2.20 و2.12 و2.55 و3.53 و2.74 ppm. أوجد المتوسط والوسيط.

اعرض الخطوات
  1. المجموع = 13.14؛ اقسم على 5.
  2. رتّب: 2.12، 2.20، 2.55، 2.74، 3.53.

الإجابة: المتوسط 2.628 ppm/سنة؛ الوسيط 2.55 ppm/سنة.

مثال 1.2 أوجد المدى والانحراف المعياري للعينة.

اعرض الخطوات
  1. المدى = 3.53 − 2.12.
  2. s = √(Σ(x − 2.628)²/4).

الإجابة: المدى 1.41 ppm/سنة؛ s = 0.564 ppm/سنة.

مثال 1.3 أوجد الدرجة z لزيادة 3.53 ppm (2024).

اعرض الخطوات
  1. z = (3.53 − 2.628)/0.564.

الإجابة: z = 1.60.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. أيهما يتأثر أكثر بالقيمة 3.53، المتوسط أم الوسيط؟

    اعرض الإجابة

    المتوسط (2.628 مقابل 2.55).

  2. لماذا نقسم على n − 1؟

    اعرض الإجابة

    الانحرافات عن x̄ أصغر قليلًا من اللازم؛ وn − 1 يصحح التحيز.

  3. ما وحدات s لزيادات CO₂؟

    اعرض الإجابة

    ppm في السنة.

  4. ما أثر ذيل أيمن طويل على المتوسط والوسيط؟

    اعرض الإجابة

    المتوسط > الوسيط.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: المتوسط دائمًا ممثِّل.

    في الحقيقة: قد يبعده الالتواء أو القيم الشاذة.

  • خرافة: القيم الشاذة أخطاء.

    في الحقيقة: قد تكون أحداثًا حقيقية؛ تحقق منها.

  • خرافة: يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالبًا.

    في الحقيقة: إنه جذر تربيعي، فلا يكون سالبًا أبدًا.

بطاقات تعليمية

  • المتوسط

    Σx/n.

  • الوسيط

    القيمة الوسطى.

  • الانحراف المعياري

    √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)).

  • IQR

    Q3 − Q1.

  • قاعدة القيم الشاذة

    1.5 IQR خارج الربيعيات.

  • الدرجة z

    (x − x̄)/s.

اختبار ذاتي

1. يقاوم القيم الشاذة…

اعرض الإجابة

الوسيط. القيمة الوسطى.

2. تباين العينة يُقسم على…

اعرض الإجابة

n − 1. تصحيح التحيز.

3. IQR هو…

اعرض الإجابة

Q3 − Q1. النصف الأوسط.

4. ارسم البيانات…

اعرض الإجابة

أولًا. لرؤية الشكل.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تذكر NOAA أن سجل CO₂ في Mauna Loa، الذي بدأه C. David Keeling من Scripps في مارس 1958، هو أطول سجل للقياسات المباشرة لـ CO₂ في الغلاف الجوي. وارتفعت المتوسطات السنوية لدى NOAA من 414.21 ppm عام 2020 إلى 427.35 ppm عام 2025.

تحوّل الإحصاءات الوصفية في هذه الوحدة ذلك السجل إلى معدل: متوسط الزيادات السنوية الخمس 2.628 ppm في السنة، بانحراف معياري قدره 0.564 ppm في السنة ناتج عن التباين من سنة لأخرى.

على Saving Planets: الحلول · رصد الأرض

المصادر: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa) · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 2 · الأسبوع 2

قواعد الاحتمال والعدّ والاستقلال

فضاءات العينة والأحداث، والمسلّمات، والمتممات، وقاعدتا الجمع والضرب، والاستقلال، والتباديل والتوافيق، ومسائل «واحد على الأقل».

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • طبّق قواعد المتمم والجمع والضرب.
  • اختبر الاستقلال.
  • احسب بالتباديل والتوافيق.
  • حل مسائل «واحد على الأقل».

المفاهيم الأساسية

  • تقع الاحتمالات بين 0 و1، واحتمال فضاء العينة كله 1. P(ليس A) = 1 − P(A).
  • قاعدة الجمع: P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A و B).
  • يكون A وB مستقلين إذا كان P(A و B) = P(A)P(B)؛ وعندها لا تخبرك معرفة أحدهما شيئًا عن الآخر.
  • لـ«واحد على الأقل» في n من المحاولات المستقلة، استخدم المتمم: 1 − (1 − p)ⁿ.
  • التوافيق C(n, k) = n!/(k!(n − k)!) تعدّ الاختيارات غير المرتبة؛ والتباديل تعدّ المرتبة.

المعادلات الأساسية

P(Ac)=1−P(A)P(A^c)=1-P(A)
المتمم
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
قاعدة الجمع
P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
الاستقلال
P(≥1)=1−(1−p)nP(\ge1)=1-(1-p)^n
واحد على الأقل

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 2.1 لفيضان 100 عام احتمال 1% كل سنة. أوجد احتمال حدوث واحد على الأقل خلال قرض عقاري مدته 30 سنة.

اعرض الخطوات
  1. P(لا شيء) = 0.99³⁰ = 0.740.
  2. P(واحد على الأقل) = 1 − 0.740.

الإجابة: 26.0%.

مثال 2.2 أوجد احتمال حدوث فيضان 100 عام واحد على الأقل خلال 100 سنة.

اعرض الخطوات
  1. 1 − 0.99¹⁰⁰.

الإجابة: 63.4%، وليس 100%.

مثال 2.3 أوجد احتمال حدوث فيضان 50 عامًا واحد على الأقل (2% سنويًا) خلال 30 سنة.

اعرض الخطوات
  1. 1 − 0.98³⁰.

الإجابة: 45.5%.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. فيضان 250 عامًا واحد على الأقل (0.4% سنويًا) خلال 30 سنة؟

    اعرض الإجابة

    1 − 0.996³⁰ = 11.3%.

  2. بكم طريقة يمكن اختيار 6 من 9 عناصر؟

    اعرض الإجابة

    C(9, 6) = 84.

  3. هل يمكن أن يقع فيضانا 100 عام في سنتين متتاليتين؟

    اعرض الإجابة

    نعم: تبدأ كل سنة بالاحتمال نفسه 1%.

  4. هل تُعامل الفيضانات السنوية هنا على أنها مستقلة؟

    اعرض الإجابة

    نعم؛ تشير USGS إلى أن الفيضان النادر لا يقلل احتمال حدوث آخر بعده بقليل.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: يحدث فيضان 100 عام مرة كل 100 سنة.

    في الحقيقة: له احتمال 1% كل سنة.

  • خرافة: بعد الفيضان يصبح التالي أقل احتمالًا.

    في الحقيقة: كل سنة مستقلة.

  • خرافة: P(A أو B) = P(A) + P(B) دائمًا.

    في الحقيقة: فقط إذا لم يمكن حدوث A وB معًا.

بطاقات تعليمية

  • المتمم

    1 − P(A).

  • قاعدة الجمع

    اطرح التقاطع.

  • الاستقلال

    P(A∩B) = P(A)P(B).

  • واحد على الأقل

    1 − (1 − p)ⁿ.

  • التوفيق

    n!/(k!(n − k)!).

  • AEP

    احتمال التجاوز السنوي.

اختبار ذاتي

1. P(واحد على الأقل في n)…

اعرض الإجابة

1 − (1 − p)ⁿ. المتمم.

2. المستقل يعني…

اعرض الإجابة

P(A∩B) = P(A)P(B). التعريف.

3. الاحتمال السنوي لفيضان 100 عام…

اعرض الإجابة

1%. USGS.

4. C(n, k) يعدّ…

اعرض الإجابة

اختيارات غير مرتبة. التوصيلات.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

توضح USGS أن «فيضان 100 عام» هو فيضان احتمال حدوثه 1 بالمئة في أي سنة، وأن فيضانات 100 عام يمكن أن تقع في سنتين متتاليتين. ويقرن جدولها كل فترة تكرار باحتمال تجاوز سنوي: 2 سنة مع 50%، و10 سنوات مع 10%، و100 سنة مع 1%، و500 سنة مع 0.2%.

تشير USGS إلى أن الولايات المتحدة اختارت في عقد 1960 الفيضان ذا احتمال التجاوز السنوي 1 بالمئة أساسًا لـ National Flood Insurance Program. وتُظهر قاعدة المتمم في هذه الوحدة أن منزلًا يُسكن 30 سنة في تلك المنطقة لديه احتمال 26% لمواجهة فيضان كهذا مرة على الأقل.

على Saving Planets: المحيطات · الحلول

المصادر: USGS Water Science School: The 100-Year Flood

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 3 · الأسبوع 3

الاحتمال الشرطي ومبرهنة بايز

الاحتمال الشرطي، وقاعدة الضرب، والمخططات الشجرية، وقانون الاحتمال الكلي، ومبرهنة بايز، والمعدلات الأساسية، وتحويل احتمال على 30 سنة إلى معدل سنوي.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب الاحتمالات الشرطية من جدول أو شجرة.
  • طبّق قانون الاحتمال الكلي.
  • استخدم مبرهنة بايز واشرح أثر المعدل الأساسي.
  • حوّل الاحتمالات متعددة السنوات إلى معدلات سنوية.

المفاهيم الأساسية

  • P(A | B) = P(A و B)/P(B) هو احتمال A بعد أن نعلم أن B قد وقع.
  • يجمع قانون الاحتمال الكلي فروع الشجرة: P(A) = Σ P(A | Bᵢ)P(Bᵢ).
  • تعكس مبرهنة بايز الشرط: P(B | A) = P(A | B)P(B)/P(A).
  • الأحداث النادرة تعطي إنذارات كاذبة كثيرة: حتى الاختبار الجيد له قيمة تنبؤية إيجابية منخفضة عندما يكون المعدل الأساسي صغيرًا.
  • إذا وقعت الأحداث بمعدل ثابت λ، فإن احتمال حدوث واحد على الأقل في t سنة هو 1 − e^(−λt)، إذن λ = −ln(1 − P)/t.

المعادلات الأساسية

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
الاحتمال الشرطي
P(A)=∑iP(A∣Bi)P(Bi)P(A)=\sum_i P(A|B_i)P(B_i)
الاحتمال الكلي
P(B∣A)=P(A∣B)P(B)P(A)P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}
مبرهنة بايز
λ=−ln⁡(1−P)t\lambda=-\frac{\ln(1-P)}{t}
المعدل من احتمال على t سنة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 3.1 يُنبّه مستشعر إلى العطل في 95% من الحالات عند وجوده، وخطأً في 5% من الحالات خلاف ذلك؛ و2% من الوحدات بها العطل (قيم نموذجية). أوجد P(عطل | تنبيه).

اعرض الخطوات
  1. P(تنبيه) = 0.95 × 0.02 + 0.05 × 0.98 = 0.068.
  2. بايز: 0.019/0.068.

الإجابة: 27.9%: معظم التنبيهات إنذارات كاذبة.

مثال 3.2 تعطي USGS احتمال 72% لزلزال واحد على الأقل M ≥ 6.7 في منطقة خليج San Francisco خلال 30 سنة. أوجد المعدل السنوي بافتراض معدل ثابت.

اعرض الخطوات
  1. λ = −ln(0.28)/30.

الإجابة: λ = 0.0424 في السنة.

مثال 3.3 أوجد احتمال حدوث زلزال كهذا مرة على الأقل في سنة واحدة.

اعرض الخطوات
  1. 1 − e^(−0.0424).

الإجابة: 4.15% في السنة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. احتمال حدوث واحد في السنوات الـ10 القادمة بهذا المعدل؟

    اعرض الإجابة

    1 − e^(−0.424) = 34.6%.

  2. المعدل السنوي لاحتمال 60% في 30 سنة لمنطقة Los Angeles؟

    اعرض الإجابة

    −ln(0.4)/30 = 0.0305 في السنة.

  3. لماذا P(عطل | تنبيه) منخفض إلى هذا الحد؟

    اعرض الإجابة

    المعدل الأساسي (2%) صغير.

  4. هل P(A | B) يساوي P(B | A)؟

    اعرض الإجابة

    عمومًا لا.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: P(A | B) = P(B | A).

    في الحقيقة: تربط مبرهنة بايز بينهما عبر المعدلات الأساسية.

  • خرافة: الاختبار الدقيق بنسبة 95% يصيب في 95% من مرات تنبيهه.

    في الحقيقة: ليس عندما تكون الحالة نادرة.

  • خرافة: الاحتمال على 30 سنة يُقسم ببساطة على 30.

    في الحقيقة: استخدم صيغة المعدل.

بطاقات تعليمية

  • الشرطي

    P(A∩B)/P(B).

  • الاحتمال الكلي

    الجمع على الفروع.

  • بايز

    P(A|B)P(B)/P(A).

  • المعدل الأساسي

    التكرار القبلي.

  • المعدل

    λ = −ln(1 − P)/t.

  • المخطط الشجري

    تُضرب الفروع وتُجمع المسارات.

اختبار ذاتي

1. بايز يعكس…

اعرض الإجابة

شرطًا. P(B|A) من P(A|B).

2. المعدلات الأساسية المنخفضة تسبب…

اعرض الإجابة

إنذارات كاذبة. قليل من الإيجابيات الحقيقية.

3. P(A|B) هو…

اعرض الإجابة

P(A∩B)/P(B). التعريف.

4. احتمال M ≥ 6.7 خلال 30 سنة في منطقة الخليج…

اعرض الإجابة

72%. USGS.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تعطي USGS، باستخدام Uniform California Earthquake Rupture Forecast 3، احتمالات على 30 سنة قدرها 72% لزلزال بقوة 6.7 في منطقة خليج San Francisco و60% في منطقة Los Angeles. وتشير أيضًا إلى أن احتمال أن يتبع الزلزالَ زلزالٌ أكبر قريبًا منه خلال أسبوع هو نحو 5% حول العالم.

تحويل أرقام الـ30 سنة هذه إلى معدل سنوي يقارب 4% هو الطريقة التي يقارن بها المهندسون ومخططو الطوارئ خطر الزلازل بالمخاطر الأخرى.

على Saving Planets: الحلول · رصد الأرض

المصادر: USGS FAQ: What is the probability that an earthquake will occur in the Los Angeles area? In the San Francisco Bay area?

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 4 · الأسبوعان 4–5

المتغيرات العشوائية المتقطعة: ذات الحدين وبواسون

المتغيرات العشوائية، ودوال الكتلة الاحتمالية، والقيمة المتوقعة والتباين، وتوزيعا برنولي وذي الحدين، وتوزيع بواسون للأحداث النادرة، والتوزيع الهندسي.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب القيمة المتوقعة والتباين.
  • طبّق توزيع ذي الحدين.
  • طبّق توزيع بواسون على الأحداث النادرة.
  • اختر النموذج المتقطع المناسب.

المفاهيم الأساسية

  • يُسند المتغير العشوائي رقمًا لكل نتيجة. وقيمته المتوقعة E[X] = Σx p(x) هي المتوسط على المدى الطويل.
  • Var(X) = E[(X − μ)²]؛ والانحراف المعياري هو جذره التربيعي.
  • ذو الحدين: عدد النجاحات في n من المحاولات المستقلة باحتمال p. P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ، المتوسط np، التباين np(1 − p).
  • بواسون: عدد الأحداث النادرة بمعدل λ لكل فترة. P(X = k) = e^(−λ)λᵏ/k!، والمتوسط والتباين كلاهما λ.
  • الهندسي: عدد المحاولات حتى أول نجاح، بمتوسط 1/p، ومن هنا جاء مفهوم «فترة التكرار».

المعادلات الأساسية

E[X]=∑x p(x)E[X]=\sum x\,p(x)
القيمة المتوقعة
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}
ذو الحدين
P(X=k)=e−λλkk!P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
بواسون
E[T]=1/pE[T]=1/p
متوسط الانتظار الهندسي

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 4.1 تحدد NOAA حجم مخروط توقع الأعاصير بحيث يقع ثلثا أخطاء المسارات التاريخية داخله. على مدى 9 توقعات مستقلة، أوجد العدد المتوقع داخله وP(جميع الـ9 داخله).

اعرض الخطوات
  1. E = 9 × 2/3.
  2. P = (2/3)⁹.

الإجابة: E = 6؛ P(جميع الـ9) = 2.60%.

مثال 4.2 أوجد P(6 بالضبط من 9 داخله).

اعرض الخطوات
  1. C(9, 6)(2/3)⁶(1/3)³ = 84 × 0.0878 × 0.0370.

الإجابة: 27.3%.

مثال 4.3 نمذج فيضانات 100 عام خلال 100 سنة بتوزيع بواسون مع λ = 1. أوجد P(لا شيء) وP(2 أو أكثر).

اعرض الخطوات
  1. P(0) = e⁻¹.
  2. P(≥2) = 1 − 2e⁻¹.

الإجابة: P(0) = 36.8%; P(≥2) = 26.4%.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. الانحراف المعياري لعدد التوقعات داخل المخروط، n = 9؟

    اعرض الإجابة

    √(9 × 2/3 × 1/3) = 1.414.

  2. متوسط الانتظار لحدث احتماله 1% سنويًا (هندسي)؟

    اعرض الإجابة

    1/0.01 = 100 سنة.

  3. P(واحد على الأقل) لبواسون مع λ = 1؟

    اعرض الإجابة

    1 − e⁻¹ = 63.2%، قريب من 63.4% لذي الحدين.

  4. متى يقرّب بواسون ذا الحدين جيدًا؟

    اعرض الإجابة

    n كبير وp صغير.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: القيمة المتوقعة هي القيمة الأكثر احتمالًا.

    في الحقيقة: إنها المتوسط على المدى الطويل.

  • خرافة: المخروط = حيث تبقى آثار العاصفة.

    في الحقيقة: يُظهر فقط المسار المحتمل للمركز.

  • خرافة: يحتاج بواسون عددًا ثابتًا من المحاولات.

    في الحقيقة: يعدّ الأحداث في فترة.

بطاقات تعليمية

  • المتغير العشوائي

    رقم لكل نتيجة.

  • E[X]

    المتوسط على المدى الطويل.

  • ذو الحدين

    النجاحات في n محاولة.

  • بواسون

    عدد الأحداث النادرة.

  • الهندسي

    المحاولات حتى أول نجاح.

  • التباين

    E[(X − μ)²].

اختبار ذاتي

1. متوسط ذي الحدين…

اعرض الإجابة

np. مجموع متغيرات برنولي.

2. متوسط بواسون وتباينه…

اعرض الإجابة

كلاهما λ. خاصية.

3. دوائر مخروط NHC تحتوي…

اعرض الإجابة

ثلثي الأخطاء. تعريف NOAA.

4. متوسط الانتظار الهندسي…

اعرض الإجابة

1/p. فترة التكرار.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يبني National Hurricane Center التابع لـ NOAA مخروط توقع المسار من دوائر يُحدد حجمها بحيث يقع ثلثا أخطاء التوقعات الرسمية التاريخية على عينة 5 سنوات داخلها. ولعام 2026 في الأطلسي، استنادًا إلى أخطاء 2021–2025، يزداد نصف قطر الدائرة من 25 ميلًا بحريًا عند 12 ساعة إلى 95 عند 72 ساعة و200 عند 120 ساعة.

لذا سيكون مركز العاصفة خارج المخروط نحو مرة من كل ثلاث، وهي حقيقة من توزيع ذي الحدين تستحق المعرفة قبل الحكم بأن المخروط يعني «آمن» أو «غير آمن».

على Saving Planets: GOES-19 · المحيطات

المصادر: NOAA National Hurricane Center: Definition of the NHC Track Forecast Cone

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 5 · الأسبوع 6

التوزيعات المتصلة: الطبيعي والأسي والقيم القصوى

دوال الكثافة الاحتمالية والتوزيع التراكمي، والتوزيعات المنتظم والطبيعي والأسي، والتوحيد المعياري بـ z، وخاصية انعدام الذاكرة، وفترات تكرار القيم القصوى.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • استخدم دالة الكثافة ودالة التوزيع التراكمي.
  • أوجد الاحتمالات الطبيعية بالدرجات z.
  • طبّق التوزيع الأسي على أزمنة الانتظار.
  • اربط فترة التكرار باحتمال التجاوز السنوي.

المفاهيم الأساسية

  • لمتغير متصل، الاحتمالات مساحات تحت الكثافة f(x)؛ ودالة التوزيع التراكمي F(x) = P(X ≤ x).
  • التوزيع الطبيعي جرسي الشكل بمتوسط μ وانحراف معياري σ. نحو 68% و95% و99.7% من القيم تقع ضمن 1 و2 و3σ.
  • وحّد معياريًا بـ z = (x − μ)/σ واقرأ Φ(z) من جدول أو بـ NORM.S.DIST.
  • أزمنة الانتظار بين أحداث بمعدل ثابت λ أسية: P(T > t) = e^(−λt)، بمتوسط 1/λ. العملية بلا ذاكرة: الانتظار السابق لا يغيّر الاحتمالات المستقبلية.
  • فترة التكرار T واحتمال التجاوز السنوي مقلوبان: حدث AEP له 0.2 فترة تكراره 5 سنوات.

المعادلات الأساسية

P(a<X<b)=∫abf(x) dxP(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx
الاحتمال كمساحة
z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}
التوحيد المعياري
P(T>t)=e−λtP(T>t)=e^{-\lambda t}
البقاء الأسي
T=1AEPT=\frac{1}{AEP}
فترة التكرار

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 5.1 أوجد P(Z < 1) والنسبة ضمن ±1σ في التوزيع الطبيعي.

اعرض الخطوات
  1. Φ(1) = 0.8413.
  2. Φ(1) − Φ(−1).

الإجابة: 0.8413؛ 68.3% ضمن ±1σ.

مثال 5.2 بمعدل منطقة الخليج λ = 0.0424 في السنة من الوحدة 3، أوجد متوسط ووسيط الانتظار لزلزال M ≥ 6.7.

اعرض الخطوات
  1. المتوسط = 1/λ.
  2. الوسيط = ln 2/λ.

الإجابة: المتوسط 23.6 سنة؛ الوسيط 16.3 سنة.

مثال 5.3 ما فترة التكرار المقابلة لاحتمال تجاوز سنوي 0.2، ولاحتمال 0.002؟

اعرض الخطوات
  1. T = 1/AEP.

الإجابة: 5 سنوات و500 سنة، بما يطابق جدول USGS.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. P(Z < −1.5)?

    اعرض الإجابة

    0.0668.

  2. النسبة ضمن ±2σ؟

    اعرض الإجابة

    95.4%.

  3. Φ(1.96)?

    اعرض الإجابة

    0.975.

  4. لم يقع زلزال منذ 20 سنة. هل يرفع النموذج الأسي الاحتمال في السنة القادمة؟

    اعرض الإجابة

    لا: إنه بلا ذاكرة (وقد تختلف الصدوع الحقيقية).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: P(X = x) > 0 لمتغير X متصل.

    في الحقيقة: للنقاط المفردة احتمال 0.

  • خرافة: كل البيانات طبيعية.

    في الحقيقة: تحقق برسم؛ فالقيم القصوى غالبًا ملتوية.

  • خرافة: انعدام الذاكرة يعني أن الأحداث مجدولة.

    في الحقيقة: بل يعني العكس.

بطاقات تعليمية

  • PDF

    الكثافة؛ المساحة = الاحتمال.

  • CDF

    P(X ≤ x).

  • العمودي

    منحنى جرسي، μ وσ.

  • z

    (x − μ)/σ.

  • الأسي

    زمن انتظار بلا ذاكرة.

  • فترة التكرار

    1/AEP.

اختبار ذاتي

1. ضمن ±2σ في التوزيع الطبيعي…

اعرض الإجابة

نحو 95%. القاعدة التجريبية.

2. متوسط التوزيع الأسي…

اعرض الإجابة

1/λ. خاصية.

3. فترة تكرار AEP بنسبة 1%…

اعرض الإجابة

100 سنة. مقلوب.

4. Φ(1) يساوي…

اعرض الإجابة

0.8413. جدول.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تقول USGS إن فترات التكرار تأتي من تحليل تكرار البيانات التاريخية، وإن الأمر يتطلب عشر سنوات أو أكثر من البيانات، وإن التحليل المبني على سجل 30 سنة يستحق ثقة أكبر من المبني على 10. وتعرّف فيضان 1000 عام بأنه فيضان احتمال حدوثه 0.1% في أي سنة.

لأن مستويات الفيضان تُقدَّر من بيانات سابقة، تشير USGS إلى أن مستوى فيضان 100 عام يتغير كلما سُجلت فيضانات جديدة أو غيّرت السدود والتنمية الحوض، لذا فالتوزيع وراء خريطة الفيضانات تقدير وليس حقيقة ثابتة.

على Saving Planets: المحيطات · التفاضل والتكامل 2

المصادر: USGS Water Science School: The 100-Year Flood

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 6 · الأسبوع 7

المعاينة والمحاكاة ومبرهنة النهاية المركزية

المجتمعات والعينات، والتحيز والمعاينة العشوائية، وتوزيع المعاينة للمتوسط، والخطأ المعياري، ومبرهنة النهاية المركزية، وقانون الأعداد الكبيرة، ومحاكاة مونت كارلو.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ميّز بين كميات المجتمع والعينة.
  • احسب خطأً معياريًا.
  • اذكر مبرهنة النهاية المركزية وطبّقها.
  • قدّر احتمالًا بمحاكاة مونت كارلو.

المفاهيم الأساسية

  • الإحصاءة المحسوبة من عينة تتغير من عينة لأخرى؛ وتوزيعها هو توزيع المعاينة.
  • الخطأ المعياري للمتوسط هو σ/√n: مضاعفة البيانات أربع مرات تنصّفه.
  • مبرهنة النهاية المركزية: عندما يكون n كبيرًا، يكون متوسط العينة طبيعيًا تقريبًا أيًا كان شكل البيانات.
  • قانون الأعداد الكبيرة: تستقر متوسطات العينة وتكراراتها نحو قيمها الحقيقية مع ازدياد n.
  • تكرر محاكاة مونت كارلو تجربة عشوائية مرات عديدة على الحاسوب؛ وينخفض خطؤها أيضًا مثل 1/√n.

المعادلات الأساسية

SE=σnSE=\frac{\sigma}{\sqrt n}
الخطأ المعياري
Xˉ≈N ⁣(μ,σ2n)\bar X\approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
مبرهنة النهاية المركزية
p^=#hitsN\hat p=\frac{\#\text{hits}}{N}
تقدير مونت كارلو
SEp^=p(1−p)NSE_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}
الخطأ المعياري للنسبة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 6.1 القياسات لها σ = 10 (قيمة نموذجية). أوجد الخطأ المعياري لمتوسط 25 قياسًا.

اعرض الخطوات
  1. 10/√25.

الإجابة: SE = 2.

مثال 6.2 لنرد عادل متوسط 3.5 وσ = 1.708. أوجد الخطأ المعياري لمتوسط 25 رمية.

اعرض الخطوات
  1. 1.708/5.

الإجابة: SE = 0.342.

مثال 6.3 كم تشغيلة مونت كارلو تقدّر احتمالًا قريبًا من 0.5 بدقة ±0.05 (95%)؟

اعرض الخطوات
  1. n = 1.96² × 0.25/0.05².

الإجابة: نحو 384 تشغيلة.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. الخطأ المعياري لمتوسط النرد على 100 رمية؟

    اعرض الإجابة

    0.171.

  2. ضاعف حجم العينة. الخطأ المعياري؟

    اعرض الإجابة

    مقسوم على √2.

  3. هل تجعل مبرهنة النهاية المركزية البيانات طبيعية؟

    اعرض الإجابة

    لا، بل متوسط العينة فقط.

  4. هامش 95% للمتوسط مع σ = 10 وn = 25؟

    اعرض الإجابة

    1.96 × 2 = 3.92.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: العينة الكبيرة تصلح التحيز.

    في الحقيقة: إنها تقلل الخطأ العشوائي فقط.

  • خرافة: n = 30 تكفي دائمًا.

    في الحقيقة: قد تحتاج البيانات الملتوية إلى أكثر.

  • خرافة: المحاكاة دقيقة تمامًا.

    في الحقيقة: لها خطأ معاينة خاص بها.

بطاقات تعليمية

  • المجتمع

    المجموعة كلها.

  • العينة

    الجزء المقاس.

  • الخطأ المعياري

    σ/√n.

  • CLT

    تصبح المتوسطات طبيعية.

  • قانون الأعداد الكبيرة

    تستقر المتوسطات.

  • مونت كارلو

    كرّر محاولات عشوائية.

اختبار ذاتي

1. الخطأ المعياري للمتوسط…

اعرض الإجابة

σ/√n. صيغة.

2. مبرهنة النهاية المركزية تتعلق بـ…

اعرض الإجابة

متوسط العينة. توزيع المعاينة.

3. ينخفض خطأ مونت كارلو مثل…

اعرض الإجابة

1/√n. SE.

4. المعاينة العشوائية تمنع…

اعرض الإجابة

تحيز الاختيار. التصميم.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يقدّر تحليل درجة حرارة السطح لدى GISS التابع لـ NASA ‏(GISTEMP v4) تغير درجة حرارة السطح العالمية من بيانات محطات NOAA والمحيطات، ويُحدَّث نحو اليوم 10 من كل شهر. وتنشر NASA أيضًا مجموعة عدم يقين لعام 2024 له.

مجموعة عدم اليقين هي فكرة مونت كارلو في هذه الوحدة على نطاق كوكبي: نسخ معقولة كثيرة من السجل، يُظهر تشتتها مدى يقيننا بقيمة كل سنة.

على Saving Planets: رصد الأرض · الحلول

المصادر: NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 7 · الأسبوعان 8–9

فترات الثقة

التقديرات النقطية والفترية، وفترات z وt للمتوسط، وفترات النسبة، وهامش الخطأ وحجم العينة، وما يعنيه مستوى الثقة وما لا يعنيه.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • ابنِ فترة t للمتوسط.
  • ابنِ فترة للنسبة.
  • اختر حجم عينة لهامش مستهدف.
  • فسّر مستوى الثقة تفسيرًا صحيحًا.

المفاهيم الأساسية

  • فترة الثقة هي التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري.
  • عندما تكون σ مجهولة وn صغيرًا، استخدم توزيع t لستودنت بدرجات حرية n − 1؛ ولـ t ذيول أثقل من z.
  • للنسبة: p̂ ± z√(p̂(1 − p̂)/n).
  • مستوى 95% يعني أن 95% من الفترات المبنية بهذه الطريقة ستحتوي القيمة الحقيقية؛ وليس احتمال 95% لفترة محسوبة واحدة.
  • تنصيف الهامش يتطلب أربعة أضعاف حجم العينة.

المعادلات الأساسية

xˉ±tn−1sn\bar x\pm t_{n-1}\frac{s}{\sqrt n}
فترة t
p^±zp^(1−p^)n\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
فترة النسبة
n=z2p(1−p)E2n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}
حجم العينة
E=zσnE=z\frac{\sigma}{\sqrt n}
هامش الخطأ

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 7.1 ابنِ فترة 95% لمتوسط الزيادة السنوية في CO₂ من الوحدة 1 (x̄ = 2.628، s = 0.564، n = 5، t = 2.776).

اعرض الخطوات
  1. الهامش = 2.776 × 0.564/√5.

الإجابة: 2.628 ± 0.700: من 1.93 إلى 3.33 ppm/سنة.

مثال 7.2 تقول NOAA إن 22 من 31 موسمًا أطلسيًا منذ 1995 كانت فوق المعدل. أعطِ فترة 95% لتلك النسبة.

اعرض الخطوات
  1. p̂ = 0.710; SE = √(0.710 × 0.290/31).

الإجابة: 0.710 ± 0.160: من 0.55 إلى 0.87.

مثال 7.3 ما حجم العينة الذي يعطي هامش ±0.05 لنسبة قريبة من 0.5؟

اعرض الخطوات
  1. 1.96² × 0.25/0.05².

الإجابة: نحو 385 (384.2، مقرّبًا للأعلى).

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. لماذا t بدل z عندما n = 5؟

    اعرض الإجابة

    لأن σ تُقدَّر من نقاط قليلة.

  2. أثر 99% بدل 95%؟

    اعرض الإجابة

    فترة أعرض.

  3. هل يعني نطاق NOAA بنسبة 70% للعواصف المسماة 70% من العواصف؟

    اعرض الإجابة

    لا: يقع مجموع الموسم ضمن النطاق في 7 من كل 10 مواسم مشابهة.

  4. الهامش للنسبة مع n = 124؟

    اعرض الإجابة

    نحو النصف (0.080).

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: احتمال 95% أن القيمة الحقيقية في هذه الفترة.

    في الحقيقة: الإجراء يلتقطها في 95% من المرات.

  • خرافة: الأعرض أسوأ.

    في الحقيقة: الأعرض أمين عندما تكون البيانات قليلة.

  • خرافة: الفترات تصلح التحيز.

    في الحقيقة: إنها تصف الخطأ العشوائي فقط.

بطاقات تعليمية

  • فترة الثقة

    التقدير ± الهامش.

  • توزيع t

    ذيول أثقل، n − 1 درجة حرية.

  • هامش الخطأ

    القيمة الحرجة × الخطأ المعياري.

  • مستوى الثقة

    معدل الالتقاط على المدى الطويل.

  • فترة النسبة

    p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n).

  • حجم العينة

    z²p(1−p)/E².

اختبار ذاتي

1. n صغير وσ مجهولة: استخدم…

اعرض الإجابة

t. ستودنت.

2. تنصيف الهامش…

اعرض الإجابة

4× البيانات. √n.

3. النطاقات المرجحة لدى NOAA تصح في…

اعرض الإجابة

7 من كل 10 مواسم مشابهة. CPC.

4. فترة الثقة = التقدير ± …

اعرض الإجابة

القيمة الحرجة × الخطأ المعياري. البنية.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يعطي توقع Climate Prediction Center التابع لـ NOAA لعام 2026، المحدّث في 6 أغسطس، احتمال 75% لموسم أطلسي دون المعدل، و20% قريب من المعدل، و5% فوق المعدل، واحتمال 70% لكل نطاق، بما في ذلك 7–13 عاصفة مسماة و2–6 أعاصير.

توضح NOAA أن من المتوقع أن يقع الموسم ضمن هذه النطاقات في 7 من كل 10 مواسم ذات ظروف مشابهة، وهذه بالضبط طريقة قراءة فترة 70%. وتؤكد أيضًا أن إعصارًا واحدًا يكفي لإحداث كارثة.

على Saving Planets: GOES-19 · المحيطات

المصادر: NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 8 · الأسبوع 10

اختبارات الفرضيات والقيم الاحتمالية p

الفرضيتان الصفرية والبديلة، وإحصاءات الاختبار، والقيم الاحتمالية p، والاختبارات أحادية وثنائية الطرف، واختبارات t واختبارات النسب، وأخطاء النوع الأول والثاني، والقوة، والدلالة الإحصائية مقابل الدلالة العملية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • صُغ الفرضيتين الصفرية والبديلة.
  • نفّذ اختبار t لعينة واحدة واختبار نسبة.
  • فسّر القيمة الاحتمالية p.
  • اشرح أخطاء النوع الأول والثاني والقوة.

المفاهيم الأساسية

  • يسأل الاختبار هل البيانات مفاجئة لو كانت الفرضية الصفرية H₀ صحيحة.
  • القيمة p هي الاحتمال، في ظل H₀، لنتيجة متطرفة على الأقل بقدر النتيجة المشاهدة. p الصغيرة دليل ضد H₀؛ وليست احتمال أن H₀ صحيحة.
  • خطأ النوع الأول يرفض H₀ صحيحة (معدل α)؛ وخطأ النوع الثاني يفوّت H₀ خاطئة (معدل β). القوة = 1 − β.
  • البيانات الأكثر ترفع القوة؛ وقد يكون أثر ضئيل غير مهم «دالًا» مع بيانات كافية.
  • حدّد α والاختبار قبل النظر في البيانات.

المعادلات الأساسية

t=xˉ−μ0s/nt=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}
إحصاءة t
z=p^−p0p0(1−p0)/nz=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
z للنسبة
power=1−β\text{power}=1-\beta
القدرة
p=P(as extreme∣H0)p=P(\text{as extreme}\mid H_0)
القيمة p

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 8.1 اختبر H₀: μ = 2 ppm/سنة مقابل μ > 2 للزيادات الخمس في CO₂ ‏(x̄ = 2.628، s = 0.564).

اعرض الخطوات
  1. t = (2.628 − 2)/(0.564/√5).

الإجابة: t = 2.49 بـ 4 درجات حرية، فوق الحد أحادي الطرف عند 5% وهو 2.132: نرفض H₀.

مثال 8.2 لو كان لكل موسم أطلسي احتمال 1/3 أن يكون فوق المعدل، فكم نتوقع من 31؟

اعرض الخطوات
  1. 31/3.

الإجابة: نحو 10.3؛ وتذكر NOAA أنها 22.

مثال 8.3 أوجد احتمال ذي الحدين الدقيق P(22 أو أكثر من 31) مع p = 1/3.

اعرض الخطوات
  1. اجمع C(31, k)(1/3)ᵏ(2/3)³¹⁻ᵏ لـ k ≥ 22.

الإجابة: p ≈ 2.06 × 10⁻⁵: دليل قوي على أن حقبة النشاط المرتفع حقيقية.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. z للنسبة لـ 22 من 31 مقابل p₀ = 1/3؟

    اعرض الإجابة

    z = 4.45.

  2. هل p = 0.03 هو احتمال أن H₀ صحيحة؟

    اعرض الإجابة

    No.

  3. خطأ النوع الأول في اختبار للإنذار بالفيضانات؟

    اعرض الإجابة

    إنذار كاذب.

  4. كيف ترفع القوة؟

    اعرض الإجابة

    بيانات أكثر، أو أثر أكبر، أو α أكبر.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: p > 0.05 تثبت H₀.

    في الحقيقة: إنها فقط تخفق في الرفض.

  • خرافة: الدال يعني المهم.

    في الحقيقة: افحص حجم الأثر.

  • خرافة: اختبر أشياء كثيرة وأبلغ عن الفائز.

    في الحقيقة: هذا يضخّم الإيجابيات الكاذبة.

بطاقات تعليمية

  • H₀

    الفرضية الصفرية.

  • القيمة p

    المفاجأة في ظل H₀.

  • α

    معدل النوع الأول.

  • β

    معدل النوع الثاني.

  • القدرة

    1 − β.

  • حجم الأثر

    كم حجمه، لا مجرد وجوده.

اختبار ذاتي

1. القيمة p هي…

اعرض الإجابة

P(بيانات بهذا التطرف | H₀). التعريف.

2. خطأ النوع الأول…

اعرض الإجابة

رفض H₀ صحيحة. إنذار كاذب.

3. القوة هي…

اعرض الإجابة

1 − β. اكتشاف أثر حقيقي.

4. البيانات الأكثر…

اعرض الإجابة

ترفع القوة. خطأ معياري أصغر.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يذكر Climate Prediction Center التابع لـ NOAA أنه منذ بدء حقبة النشاط الأطلسي المرتفع الحالية عام 1995، كان 22 من 31 موسمًا (71%) فوق المعدل، و5 (16%) قريبة من المعدل، و4 (13%) دون المعدل.

وتشير NOAA أيضًا إلى أن كل موسم أعاصير تزامن مع ظاهرة El Niño قوية منذ 1950 شهد نشاطًا دون المعدل. واختبار ادعاءات كهذه مقابل الصدفة هو ما يحدد به المتنبئون أي الإشارات تستحق الإدراج في التوقع.

على Saving Planets: GOES-19 · الحلول

المصادر: NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 9 · الأسبوعان 11–12

الارتباط والانحدار الخطي

مخططات الانتشار، والارتباط r، وانحدار المربعات الصغرى، وتفسير الميل، وR²، والبواقي، والتنبؤ مقابل الاستقراء، والارتباط مقابل السببية.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب r وR² وفسّرهما.
  • وفّق خط المربعات الصغرى وفسّره.
  • استخدم مخططات البواقي لفحص النموذج.
  • افصل بين الارتباط والسببية.

المفاهيم الأساسية

  • يقيس الارتباط r العلاقة الخطية من −1 إلى 1؛ وليست له وحدات.
  • خط المربعات الصغرى ŷ = b₀ + b₁x ميله b₁ = Sxy/Sxx ويمر بالنقطة (x̄, ȳ).
  • R² = r² هو نسبة التباين في y التي يفسرها الخط.
  • تكشف مخططات البواقي الانحناء أو التشتت المتغير الذي يخفيه r.
  • الارتباط ليس سببية؛ فهذه تحتاج آليات فيزيائية ودراسات مصممة. والاستقراء خارج البيانات محفوف بالمخاطر.

المعادلات الأساسية

b1=SxySxxb_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}
الميل
b0=yˉ−b1xˉb_0=\bar y-b_1\bar x
المقطع
r=SxySxxSyyr=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}
الارتباط
R2=r2R^2=r^2
النسبة المفسَّرة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 9.1 وفّق خطًا لمتوسطات العقود في Mauna Loa لدى NOAA للفترة 1960–2020 (316.91، 325.68، 338.76، 354.45، 369.71، 390.10، 414.21 ppm)، مع x بالسنوات منذ 1960.

اعرض الخطوات
  1. x̄ = 30, ȳ = 358.55.
  2. b₁ = Sxy/Sxx.

الإجابة: ŷ = 310.15 + 1.613x ppm.

مثال 9.2 أوجد r وR².

اعرض الخطوات
  1. r = Sxy/√(SxxSyy).

الإجابة: r = 0.990; R² = 0.979.

مثال 9.3 هل تدعم البواقي خطًا مستقيمًا؟

اعرض الخطوات
  1. البواقي موجبة عند الطرفين وسالبة في الوسط.

الإجابة: لا: المنحنى ينحني للأعلى، فالنمو يتسارع رغم أن R² = 0.979.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. وحدات الميل؟

    اعرض الإجابة

    ppm في السنة.

  2. تنبؤ الخط لعام 2025 (x = 65)؟

    اعرض الإجابة

    415.0 ppm مقابل 427.35 لدى NOAA.

  3. هل يثبت r = 0.99 أن الخط صحيح؟

    اعرض الإجابة

    لا؛ افحص البواقي.

  4. هل يثبت الاتجاه الزمني وحده سببه؟

    اعرض الإجابة

    لا؛ السبب يأتي من الفيزياء وأدلة أخرى.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: r المرتفع يعني نموذجًا جيدًا.

    في الحقيقة: قد يختبئ الانحناء خلف r مرتفع.

  • خرافة: لـ r وحدات.

    في الحقيقة: إنه بلا وحدات.

  • خرافة: الاستقراء آمن إذا كان R² مرتفعًا.

    في الحقيقة: ليس خارج نطاق البيانات.

بطاقات تعليمية

  • الارتباط

    من −1 إلى 1، بلا وحدات.

  • الميل

    Sxy/Sxx.

  • R²

    النسبة المفسَّرة.

  • الباقي

    y − ŷ.

  • الاستقراء

    التنبؤ خارج البيانات.

  • السببية

    تحتاج آلية أو تصميمًا.

اختبار ذاتي

1. R² هو…

اعرض الإجابة

نسبة التباين المفسَّرة. التعريف.

2. يمر الخط بـ…

اعرض الإجابة

(x̄, ȳ). خاصية.

3. البواقي المنحنية تعني…

اعرض الإجابة

شكل نموذج خاطئ. نمط.

4. يُظهر الارتباط…

اعرض الإجابة

ارتباطًا. حذر.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

تشير NOAA إلى أن بيانات Mauna Loa تؤخذ على ارتفاع 3400 m وقد تختلف عن المتوسط العالمي، وأنه أثناء ثوران Mauna Loa عام 2022 نُقلت القياسات إلى Maunakea، على بعد نحو 21 ميلًا شمالًا، حتى يوليو 2023.

معرفة أين وكيف جُمعت البيانات جزء من الانحدار أيضًا: فالتوفيق لا يكون أفضل من السجل الذي وراءه، وتوثّق NOAA فجواتها وتغييرات مواقعها علنًا.

على Saving Planets: الحلول · الجبر الخطي

المصادر: NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

الوحدة 10 · الأسابيع 13–15

الموثوقية والمخاطر

دوال الموثوقية، ومعدلات الأعطال وMTBF، والأنظمة على التوالي وعلى التوازي، والتكرار الاحتياطي، ونموذجا العمر الأسي وWeibull، ودمج الاحتمال مع العواقب في المخاطر.

أهداف التعلّم

في نهاية هذه الوحدة ستستطيع أن:

  • احسب موثوقية الأنظمة على التوالي وعلى التوازي.
  • استخدم نموذج العمر الأسي مع MTBF.
  • اشرح منحنى حوض الاستحمام وأشكال Weibull.
  • ادمج الاحتمال والعاقبة في المخاطر.

المفاهيم الأساسية

  • الموثوقية R(t) هي احتمال أن يبقى الجزء حتى الزمن t. مع معدل أعطال ثابت λ، R(t) = e^(−λt) وMTBF = 1/λ.
  • الأنظمة على التوالي تحتاج كل جزء: R = R₁R₂…Rₙ، وهي دائمًا أسوأ من أضعف جزء.
  • الأنظمة على التوازي (الاحتياطية) تحتاج جزءًا واحدًا فقط: R = 1 − (1 − R₁)(1 − R₂)….
  • يغطي نموذج Weibull الأعطال المبكرة (الشكل < 1) والعشوائية (الشكل = 1، أسي) والناتجة عن البلى (الشكل > 1)، وهي الأجزاء الثلاثة لمنحنى حوض الاستحمام.
  • تجمع المخاطر بين الاحتمال والعاقبة؛ ويقللها التكرار الاحتياطي والإنذارات، لكن فقط إذا كانت الأعطال مستقلة.

المعادلات الأساسية

R(t)=e−λt, MTBF=1/λR(t)=e^{-\lambda t},\ MTBF=1/\lambda
الموثوقية الأسية
Rs=∏RiR_s=\prod R_i
نظام على التوالي
Rp=1−∏(1−Ri)R_p=1-\prod(1-R_i)
نظام على التوازي
R(t)=e−(t/η)βR(t)=e^{-(t/\eta)^\beta}
Weibull

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 10.1 ثلاثة أجزاء على التوالي لكل منها R = 0.99 (قيم نموذجية). أوجد موثوقية النظام.

اعرض الخطوات
  1. 0.99³.

الإجابة: R = 0.9703.

مثال 10.2 مضختان احتياطيتان لكل منهما R = 0.9. أوجد موثوقية النظام.

اعرض الخطوات
  1. 1 − 0.1².

الإجابة: R = 0.99.

مثال 10.3 لمستشعر MTBF قدره 50000 h. أوجد موثوقيته خلال مهمة مدتها 1000 ساعة.

اعرض الخطوات
  1. e^(−1000/50,000).

الإجابة: R = 0.980.

تمارين

حلّ كلًّا منها على الورق أولًا، ثم تحقق.

  1. ثلاث وحدات احتياطية بقيمة 0.9؟

    اعرض الإجابة

    1 − 0.1³ = 0.999.

  2. جزء بقيمة 0.9 على التوالي مع زوج احتياطي بقيمة 0.9؟

    اعرض الإجابة

    0.9 × 0.99 = 0.891.

  3. الموثوقية خلال سنة (8760 h) مع MTBF قدره 100000 h؟

    اعرض الإجابة

    e^(−0.0876) = 0.916.

  4. وحدتان بقيمة 0.95 على التوازي؟

    اعرض الإجابة

    0.9975.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • خرافة: التكرار الاحتياطي يساعد دائمًا.

    في الحقيقة: ليس ضد أعطال السبب المشترك.

  • خرافة: MTBF هو مدة بقاء كل وحدة.

    في الحقيقة: إنه متوسط؛ وكثير منها يتعطل أبكر.

  • خرافة: النظام على التوالي موثوق بقدر أفضل أجزائه.

    في الحقيقة: بل هو أسوأ من أضعفها.

بطاقات تعليمية

  • الموثوقية

    P(البقاء حتى t).

  • MTBF

    1/λ.

  • متسلسلة

    اضرب قيم R.

  • التوازي

    1 − Π(1 − R).

  • Weibull

    أشكال حوض الاستحمام.

  • المخاطر

    الاحتمال × العاقبة.

اختبار ذاتي

1. الموثوقية على التوالي…

اعرض الإجابة

حاصل الضرب. يجب أن يعمل كل شيء.

2. MTBF الأسي…

اعرض الإجابة

1/λ. متوسط العمر.

3. شكل Weibull > 1 يعني…

اعرض الإجابة

البلى. خطر متزايد.

4. يفشل التكرار الاحتياطي أمام…

اعرض الإجابة

الأسباب المشتركة. عطل مشترك.

كيف يساعد هذا في إنقاذ الكوكب

يذكّر توقع NOAA للأعاصير لعام 2026 السكان والشركات والحكومات بأن الكوارث المرتبطة بالأعاصير قد تقع في أي موسم، حتى الموسم قليل النشاط، وبأن على المجتمعات الساحلية الاستعداد كل سنة بغض النظر عن التوقع.

هذا هو التفكير بمنطق الموثوقية: الاحتمال المنخفض ليس صفرًا، لذا تُصمَّم أنظمة الإنذار والبدائل والخطط لتعمل في السنة السيئة النادرة، لا في السنة المتوسطة فقط.

على Saving Planets: GOES-19 · الحلول

المصادر: NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

مصادر تعلّم مجانية

العودة إلى الأعلى

المختبر (Statistics lab)

المختبر هو الجزء العملي من المقرر. وهو هنا مجاني وللتدريب فقط، دون ساعات معتمدة.

يُجرى كل مختبر في محاكاة مجانية أو جدول بيانات، فلا توجد مخاطر مادية. خذ فترات راحة من الشاشة، واجلس بوضعية سليمة، وأبعد الكابلات عن الممرات.

مرجع السلامة: OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

المختبر A: مركز سجل CO₂ وتشتته

الأسبوع 1

الهدف: استكشف المتوسط والوسيط والتشتت في PhET Center and Variability، ثم لخّص الزيادات السنوية الأخيرة في CO₂ لدى NOAA.

s=∑(x−xˉ)2n−1s=\sqrt{\frac{\sum(x-\bar x)^2}{n-1}}
الانحراف المعياري للعينة

الإجراء

  1. في PhET Center and Variability، اسحب القيم وراقب تحرك المتوسط والوسيط.
  2. افتح المتوسطات السنوية لـ Mauna Loa لدى NOAA واحسب الزيادات السنوية للفترة 2021–2025.
  3. احسب المتوسط والوسيط والمدى وs.
  4. ارسم مخططًا نقطيًا وصِف قيمة 2024.

جدول البيانات

الإحصاءةالقيمة (ppm/سنة)
المتوسط2.628
الوسيط2.55
المدى1.41
الانحراف المعياري0.564

البيانات من NOAA GML؛ والإحصاءات محسوبة.

مثال حسابي

  1. الزيادات: 2.20، 2.12، 2.55، 3.53، 2.74.
  2. s = √(1.2735/4) = 0.564.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

PhET: Center and Variability · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

الصلة بالكوكب: كان المتوسط الشهري لـ Mauna Loa لدى NOAA ‏426.07 ppm في سبتمبر 2026. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

المختبر B: Plinko وتوزيع ذي الحدين

الأسبوع 4

الهدف: أسقط الكرات في PhET Plinko Probability وقارن المدرج التكراري بنموذج ذي الحدين.

μ=np, σ=np(1−p)\mu=np,\ \sigma=\sqrt{np(1-p)}
متوسط ذي الحدين وتشتته

الإجراء

  1. اضبط 12 صفًا وp = 0.5.
  2. أسقط 1000 كرة وسجّل المتوسط والانحراف المعياري.
  3. احسب قيم ذي الحدين.
  4. غيّر p إلى 0.7 وتنبأ بالمتوسط الجديد قبل الإسقاط.

جدول البيانات

الكميةقيمة ذي الحدين
الخانة المتوسطة6
الانحراف المعياري1.732
P(الخانة 6)0.2256

قيم محسوبة؛ ينبغي أن تقترب محاكاتك منها.

مثال حسابي

  1. σ = √(12 × 0.25) = 1.732.
  2. P(6) = C(12, 6)/2¹² = 924/4096 = 0.2256.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • يصلح أي متصفح.

PhET: Plinko Probability

الصلة بالكوكب: تحدد NOAA حجم مخروط الأعاصير بحيث يقع ثلثا أخطاء المسارات السابقة داخله. NOAA National Hurricane Center: Definition of the NHC Track Forecast Cone

المختبر C: محاكاة فيضانات 100 عام

الأسبوع 6

الهدف: استخدم مونت كارلو في جدول بيانات لتقدير احتمال فيضان واحد على الأقل باحتمال 1% سنويًا خلال 30 سنة.

P=1−0.9930P=1-0.99^{30}
الإجابة الدقيقة

الإجراء

  1. أنشئ 30 عمودًا من =RAND()<0.01 (عمود لكل سنة).
  2. في كل صف، اختبر ما إذا وقع فيضان في أي سنة.
  3. انسخ إلى 1000 صف واحسب متوسط النتيجة.
  4. قارن بالإجابة الدقيقة وبخطأ مونت كارلو المتوقع.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
الاحتمال الدقيق0.260
الخطأ المعياري لمونت كارلو، N = 10000.0139
النطاق المتوقع (±2 خطأ معياري)0.232 إلى 0.288

قيم محسوبة؛ سيتغير تقديرك مع كل إعادة حساب.

مثال حسابي

  1. SE = √(0.26 × 0.74/1000) = 0.0139.
  2. 0.260 ± 0.0278.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

MIT OpenCourseWare 18.05 Introduction to Probability and Statistics (Spring 2022)

الصلة بالكوكب: تؤكد USGS أن فيضانات 100 عام يمكن أن تقع في سنتين متتاليتين. USGS Water Science School: The 100-Year Flood

المختبر D: النرد ومبرهنة النهاية المركزية

الأسبوع 7

الهدف: احسب متوسط رميات نرد محاكاة (أو حقيقية) وراقب توزيع المتوسطات يصبح طبيعيًا.

SE=σnSE=\frac{\sigma}{\sqrt n}
الخطأ المعياري

الإجراء

  1. حاكِ الرميات بـ =RANDBETWEEN(1,6).
  2. احسب متوسط مجموعات من 1 و5 و25 و100 رمية، 500 مرة لكل منها.
  3. ارسم المدرجات التكرارية واحسب انحرافاتها المعيارية.
  4. قارن بـ σ/√n.

جدول البيانات

الرميات لكل متوسطالخطأ المعياري المتوقع
11.708
250.342
1000.171

قيم محسوبة؛ للنرد متوسط 3.5 وσ = √(35/12).

مثال حسابي

  1. σ = √(35/12) = 1.708.
  2. SE(25) = 1.708/5 = 0.342.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • النرد الحقيقي يصلح أيضًا.

PhET: Plinko Probability

الصلة بالكوكب: تنشر NASA مجموعة عدم يقين لسجل درجات الحرارة GISTEMP. NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

المختبر E: الانحدار والبواقي

الأسبوع 12

الهدف: وفّق خطًا في PhET Least-Squares Regression، ثم وفّق متوسطات العقود لـ Mauna Loa لدى NOAA وادرس البواقي.

y^=b0+b1x\hat y=b_0+b_1x
خط المربعات الصغرى

الإجراء

  1. في PhET، ضع النقاط وقارن خطك بأفضل توفيق.
  2. أدخل متوسطات العقود 1960–2020 مع x = السنوات منذ 1960.
  3. استخدم LINEST أو خط اتجاه للحصول على b₀ وb₁ وr.
  4. ارسم البواقي وصِف النمط.

جدول البيانات

الكميةالقيمة
الميل1.613 ppm/سنة
المقطع310.15 ppm
r0.990
البواقي 1960 / 2000 / 2020+6.76 / −4.97 / +7.27 ppm

البيانات من NOAA GML؛ والتوفيق محسوب. البواقي على شكل U تُظهر انحناءً للأعلى.

مثال حسابي

  1. b₁ = Sxy/Sxx = 1.613.
  2. الباقي 2020 = 414.21 − (310.15 + 1.613 × 60) = 7.27.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

PhET: Least-Squares Regression · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

الصلة بالكوكب: تشير NOAA إلى أن Mauna Loa تأخذ عينات الهواء على ارتفاع 3400 m، وقد يختلف ذلك عن المتوسط العالمي. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

المختبر F: موثوقية نظام إنذار

الأسبوع 14

الهدف: ابنِ جدول بيانات للموثوقية على التوالي وعلى التوازي واختبر كيف يغيّر التكرار الاحتياطي سلسلة إنذار بالفيضانات نموذجية.

Rs=∏Ri, Rp=1−∏(1−Ri)R_s=\prod R_i,\ R_p=1-\prod(1-R_i)
موثوقية النظام

الإجراء

  1. نمذج سلسلة نموذجية: مستشعر ووصلة لاسلكية وصفارة على التوالي.
  2. احسب R مع كل منها عند 0.99، ثم مع زوج صفارات احتياطي.
  3. استخدم e^(−t/MTBF) لمهمة مدتها 1000 h مع MTBF قدره 50000 h.
  4. أوجد أي تحسين منفرد يفيد أكثر.

جدول البيانات

التكوينالموثوقية
ثلاثة أجزاء على التوالي (0.99 لكل منها)0.9703
وحدتان احتياطيتان (0.9 لكل منهما)0.99
جزء 0.9 + زوج احتياطي 0.90.891
1000 h مع MTBF قدره 50000 h0.980

قيم نموذجية؛ محسوبة.

مثال حسابي

  1. 0.99³ = 0.9703.
  2. 0.9 × (1 − 0.1²) = 0.891.

السلامة

  • حاسوب فقط.

بديل منزلي أو افتراضي

  • أي برنامج جداول بيانات يفي بالغرض.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

الصلة بالكوكب: تقول NOAA إن الكوارث قد تقع حتى في مواسم الأعاصير قليلة النشاط، فاستعد كل سنة. NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

العودة إلى الأعلى

مجموعات تدريب للامتحان

وقّت نفسك: نحو 10 دقائق لكل مسألة. ثم قارن بالحلول الكاملة.

مجموعة تمارين منتصف الفصل (الوحدات 1–5)

  1. أوجد المتوسط والوسيط والانحراف المعياري للعينة لـ 4، 8، 6، 10، 12.

    اعرض الحل الكامل
    1. المتوسط = 40/5.
    2. s = √(40/4).

    الإجابة: المتوسط 8، الوسيط 8، s = 3.16.

  2. أوجد احتمال فيضان 25 عامًا واحد على الأقل (4% سنويًا) خلال 10 سنوات.

    اعرض الحل الكامل
    1. 1 − 0.96¹⁰.

    الإجابة: 33.5%.

  3. يكتشف اختبار حالةً في 90% من المرات ويعطي إنذارًا كاذبًا في 10%؛ والمعدل الأساسي 1%. أوجد P(الحالة | إيجابي).

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.009/(0.009 + 0.099).

    الإجابة: 8.33%.

  4. أوجد P(X = 0) لتوزيع ذي الحدين مع n = 5 وp = 0.2.

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.8⁵.

    الإجابة: 0.328.

  5. أوجد P(X = 0) لتوزيع بواسون مع λ = 2.

    اعرض الحل الكامل
    1. e⁻².

    الإجابة: 0.135.

مجموعة التدريب النهائية (كل الوحدات)

  1. أوجد P(Z > 1.96).

    اعرض الحل الكامل
    1. 1 − 0.975.

    الإجابة: 0.025.

  2. أوجد الخطأ المعياري لـ σ = 6 وn = 36.

    اعرض الحل الكامل
    1. 6/6.

    الإجابة: 1.

  3. ابنِ فترة 95% لـ x̄ = 50 وs = 4 وn = 16 ‏(t = 2.131).

    اعرض الحل الكامل
    1. 2.131 × 4/4.

    الإجابة: 50 ± 2.13.

  4. اختبر H₀: μ = 50 مع x̄ = 52 وs = 4 وn = 16.

    اعرض الحل الكامل
    1. t = 2/(4/4).

    الإجابة: t = 2.0، أقل بقليل من 2.131: لا نرفض عند 5% (ثنائي الطرف).

  5. أوجد موثوقية أربعة أجزاء بقيمة 0.95 على التوالي.

    اعرض الحل الكامل
    1. 0.95⁴.

    الإجابة: 0.815.

  6. لجزء MTBF قدره 2000 h. أوجد P(يبقى 500 h).

    اعرض الحل الكامل
    1. e^(−0.25).

    الإجابة: 0.779.

العودة إلى الأعلى

ورقة الصيغ

xˉ=∑x/n, s2=∑(x−xˉ)2/(n−1)\bar x=\sum x/n,\ s^2=\sum(x-\bar x)^2/(n-1)
P(≥1)=1−(1−p)n, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(\ge1)=1-(1-p)^n,\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
P(B∣A)=P(A∣B)P(B)/P(A), λ=−ln⁡(1−P)/tP(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A),\ \lambda=-\ln(1-P)/t
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k, P(X=k)=e−λλk/k!P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\ P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!
z=(x−μ)/σ, P(T>t)=e−λt, T=1/AEPz=(x-\mu)/\sigma,\ P(T>t)=e^{-\lambda t},\ T=1/AEP
SE=σ/nSE=\sigma/\sqrt n
xˉ±t s/n, p^±zp^(1−p^)/n\bar x\pm t\,s/\sqrt n,\ \hat p\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}
t=(xˉ−μ0)/(s/n)t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)
b1=Sxy/Sxx, r=Sxy/SxxSyyb_1=S_{xy}/S_{xx},\ r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
Rs=∏Ri, Rp=1−∏(1−Ri), MTBF=1/λR_s=\prod R_i,\ R_p=1-\prod(1-R_i),\ MTBF=1/\lambda

الثوابت

الثابتالقيمة
التوزيع الطبيعي المعياري (قيم مرجعية)Φ(1) = 0.8413, Φ(1.96) = 0.975, Φ(2) − Φ(−2) = 0.9545
توزيع t لستودنت، 4 درجات حرية (قيمة مرجعية)t₀.₉₇₅ = 2.776
e2.718281828
قاعدة 68–95–99.7نسبة التوزيع الطبيعي ضمن 1 و2 و3 انحرافات معيارية
1 ppmجزء واحد في المليون بالكسر المولي
احتمال التجاوز السنوي1/(فترة التكرار)

المصدر: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

العودة إلى الأعلى

نصوص ومحاكاة مجانية

استخدم هذه المحاضرات والكتب والأدلة والمحاكاة المجانية إلى جانب المقرر.

العودة إلى الأعلى

مسرد المصطلحات

احتمال التجاوز السنوي
احتمال أن يُعادَل حدث أو يُتجاوز في سنة.
مبرهنة بايز
يعكس احتمالًا شرطيًا.
توزيع ذي الحدين
النجاحات في n محاولة مستقلة.
مبرهنة النهاية المركزية
تصبح متوسطات العينات طبيعية.
الاحتمال الشرطي
الاحتمال بشرط وقوع حدث آخر.
فترة الثقة
نطاق من إجراء يلتقط القيمة الحقيقية بمعدل محدد.
الارتباط
قوة العلاقة الخطية.
القيمة المتوقعة
المتوسط على المدى الطويل.
التوزيع الأسي
زمن انتظار بلا ذاكرة.
الاستقلال
لا يغيّر حدثٌ احتمالَ حدث آخر.
MTBF
متوسط الزمن بين الأعطال.
الوسيط
القيمة الوسطى.
مونت كارلو
التقدير بمحاكاة عشوائية متكررة.
التوزيع الطبيعي
توزيع جرسي الشكل.
توزيع بواسون
عدد الأحداث النادرة.
فترة التكرار
متوسط السنوات بين أحداث بحجم معين.
الموثوقية
احتمال البقاء حتى زمن معين.
الخطأ المعياري
الانحراف المعياري لإحصاءة.
خطأ النوع الأول
رفض فرضية صفرية صحيحة.
القيمة p
احتمال بيانات بهذا التطرف إذا صحت H₀.

العودة إلى الأعلى

معايير التقييم الذاتي

لا تُمنح درجة ولا ساعات معتمدة. استخدم هذا لتقيّم بصدق أين أنت في كل وحدة.

المستوىكيف يبدو
4 · إتقانيسمّي المتغير العشوائي، ويصرّح بالافتراضات، ويختار النموذج الصحيح، ويذكر عدم اليقين، ويفسر النتائج بلغة واضحة.
3 · متمكنيحل مسائل التدريب مع هفوات عرضية في الافتراضات أو الوحدات.
2 · قيد التطوريتبع الأمثلة المحلولة لكنه يسيء قراءة القيم p أو مستويات الثقة.
1 · مبتدئيعوّض الأرقام في الصيغ دون فحص الافتراضات؛ يحتاج إلى مراجعة الوحدة.

الأوزان المقترحة إذا أردت درجة

الجزءالوزن
تمارين20%
المختبرات25%
مجموعة تدريب منتصف الفصل25%
مجموعة التدريب النهائية30%

استهدف المستوى 3 أو أعلى في كل وحدة قبل الانتقال إلى الدورة التالية.

العودة إلى الأعلى

ساعد / تبرّع