Probabilités et statistiques

Incertitude, données et fiabilité : décrire les données, règles de probabilité, théorème de Bayes, modèles binomial, de Poisson, normal et exponentiel, échantillonnage et théorème central limite, intervalles de confiance, tests d’hypothèses, régression et fiabilité des systèmes, avec six TP. Gratuit, à votre rythme, et relié aux probabilités de crues et de séismes de l’USGS, aux prévisions d’ouragans de la NOAA et à la série de CO₂ de Mauna Loa.

NASA/Ben Smegelsky (KSC-20240124-PH-JBS01_0071)NASA Blue MarbleNASA (ISS066-E-080762, Nov. 8, 2021)NASA/Kim Shiflett (KSC-20210927-PH-KLS04_0013, Sept. 27, 2021)

Cours › MATH 350

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À propos de ce cours

Ceci est le plan d’un cours gratuit en autonomie rédigé par Saving Planets. Ce n’est pas un cours universitaire : il ne donne aucun crédit académique et aucun établissement n’y participe.

Son contenu suit un cours semestriel de probabilités et statistiques de troisième année pour ingénieurs. Il s’inspire des thèmes et du niveau de MIT 18.05 Introduction to Probability and Statistics et MIT 6.041 Probabilistic Systems Analysis (gratuits sur MIT OpenCourseWare), et utilise le manuel gratuit OpenStax Introductory Statistics et le NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, vers lesquels nous renvoyons quand ils sont utiles. Aucun de ces auteurs, établissements ou organismes ne cautionne cette page.

Notre apport : chaque module est relié à un travail réel avec une source publique citée (probabilités de crues et de séismes de l’USGS, prévisions d’ouragans et cônes de prévision de la NOAA, série de CO₂ de Mauna Loa et analyse des températures de la NASA), chaque nombre de la page est recalculé par un script de vérification avant publication, et chaque TP dispose d’une simulation gratuite ou d’un tableur.

Suivez-le dans l’ordre. Chaque unité comporte des objectifs, des notions clés, des équations, des exemples pas à pas, des exercices corrigés en détail, des erreurs fréquentes, des cartes mémoire et un quiz. Votre progression est enregistrée uniquement dans ce navigateur.

Comment ce cours aide à sauver la planète

Protéger les personnes et la planète est une question de probabilités : quelle est la probabilité d’une crue, d’un séisme ou d’un ouragan, à quel point sommes-nous sûrs que le CO₂ augmente plus vite, et quelle est la fiabilité des systèmes qui nous alertent.

La statistique transforme les données en probabilités et nous dit à quel point leur faire confiance. Chaque module se termine par une courte section sourcée. Les valeurs qui ne proviennent pas d’une source sont indiquées comme valeurs d’exemple ou de manuel.

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Avant de commencer

Prérequis

  • Analyse I et II : dérivées, intégrales et séries.
  • Algèbre linéaire : vecteurs et moindres carrés (utile pour la régression).
  • Initiation à la programmation ou maîtrise du tableur : formules, plages et graphiques.
  • Méthodes numériques (utile, non obligatoire).

Comment étudier

  • Écrivez la variable aléatoire et ses unités avant tout calcul.
  • Dessinez d’abord la loi ou un arbre de probabilités.
  • Vérifiez que les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et que leur somme vaut 1.
  • Énoncez explicitement les hypothèses comme l’indépendance : la plupart des erreurs commencent là.
  • En cas de doute, simulez : un tableur avec RAND() peut vérifier presque n’importe quelle probabilité.
  • Faites chaque exercice sur papier avant d’ouvrir la réponse, et refaites les quiz quelques jours plus tard.

Matériel de TP (pour les TP en laboratoire)

  • Un ordinateur ou une tablette pour les simulations gratuites PhET Center and Variability, Plinko Probability et Least-Squares Regression.
  • Un tableur (n’importe quel tableur gratuit) avec RAND(), NORM.DIST et LINEST, ou Python.
  • Le fichier de données CO₂ de Mauna Loa de la NOAA dans un navigateur web.
  • Une calculatrice ; une paire de dés est facultative.

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Programme suggéré sur 15 semaines

Environ 6 à 9 heures par semaine : lecture, exercices et, les semaines de TP, le TP.

SemaineUnitéThèmesLecture
1Décrire les données : tendance centrale, dispersion et graphiquesDécrire les données ; TP AOpenStax Intro Stats
2Règles de probabilité, dénombrement et indépendanceRègles de probabilité et dénombrementMIT 18.05
3Probabilité conditionnelle et théorème de BayesProbabilité conditionnelle et BayesMIT 6.041
4Variables aléatoires discrètes : binomiale et PoissonVariables discrètes et loi binomiale ; TP BMIT 18.05
5Variables aléatoires discrètes : binomiale et PoissonModèles de Poisson et géométriqueMIT 18.05
6Lois continues : normale, exponentielle et extrêmesLois continues ; TP CUSGS 100-year flood
7Échantillonnage, simulation et théorème central limiteÉchantillonnage et TCL ; TP D ; entraînement au partielMIT 18.05
8Intervalles de confianceIntervalles de confiance pour les moyennesOpenStax Intro Stats
9Intervalles de confianceIntervalles pour les proportions et taille d’échantillonNOAA CPC
10Tests d’hypothèses et valeurs pTests d’hypothèses et valeurs pMIT 18.05
11Corrélation et régression linéaireCorrélation et régressionOpenStax Intro Stats
12Corrélation et régression linéaireRésidus et validation du modèle ; TP ENOAA GML
13Fiabilité et risqueFiabilité et MTBFNIST e-Handbook
14Fiabilité et risqueFiabilité des systèmes ; TP FNIST e-Handbook
15Fiabilité et risqueRisque et révision ; entraînement à l’examen finalNOAA CPC; USGS

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Votre progression

Cochez les unités et les TP à mesure que vous les terminez, et faites les quiz. La progression et les scores sont enregistrés uniquement dans ce navigateur et ne nous sont jamais envoyés.

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Unité 1 · Semaine 1

Décrire les données : tendance centrale, dispersion et graphiques

Types de données, histogrammes et boîtes à moustaches, moyenne et médiane, étendue, variance et écart-type, quartiles et valeurs aberrantes, et pourquoi l’écart-type d’échantillon divise par n − 1.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer la moyenne, la médiane, l’étendue et l’écart-type d’échantillon.
  • Choisir entre moyenne et médiane.
  • Lire un histogramme et une boîte à moustaches.
  • Repérer les valeurs aberrantes avec la règle 1.5 IQR.

Notions clés

  • La moyenne x̄ = Σx/n est le point d’équilibre ; la médiane est la valeur centrale et résiste aux valeurs aberrantes.
  • La variance d’échantillon s² = Σ(x − x̄)²/(n − 1) mesure la dispersion ; s, sa racine carrée, a les unités des données. Diviser par n − 1 corrige l’utilisation de x̄ au lieu de la vraie moyenne.
  • L’étendue vaut max − min ; l’écart interquartile IQR = Q3 − Q1 contient la moitié centrale des données.
  • Les points situés à plus de 1.5 IQR au-delà des quartiles sont signalés comme valeurs aberrantes possibles : vérifiez-les, ne vous contentez pas de les supprimer.
  • Tracez toujours d’abord : un histogramme ou une boîte à moustaches montre l’asymétrie, les lacunes et les valeurs aberrantes qu’un seul nombre masque.

Équations clés

xˉ=1n∑xi\bar x=\frac1n\sum x_i
Moyenne d’échantillon
s2=1n−1∑(xi−xˉ)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2
Variance d’échantillon
IQR=Q3−Q1IQR=Q_3-Q_1
Écart interquartile
z=x−xˉsz=\frac{x-\bar x}{s}
Score standard

Exemples résolus pas à pas

Exemple 1.1 Les moyennes annuelles de la NOAA à Mauna Loa donnent des hausses annuelles de CO₂ pour 2021–2025 de 2.20, 2.12, 2.55, 3.53 et 2.74 ppm. Trouvez la moyenne et la médiane.

Afficher les étapes
  1. Somme = 13.14 ; divisez par 5.
  2. Tri : 2.12, 2.20, 2.55, 2.74, 3.53.

Réponse : Moyenne 2.628 ppm/an ; médiane 2.55 ppm/an.

Exemple 1.2 Trouvez l’étendue et l’écart-type d’échantillon.

Afficher les étapes
  1. Étendue = 3.53 − 2.12.
  2. s = √(Σ(x − 2.628)²/4).

Réponse : Étendue 1.41 ppm/an ; s = 0.564 ppm/an.

Exemple 1.3 Trouvez le score z de la hausse de 3.53 ppm (2024).

Afficher les étapes
  1. z = (3.53 − 2.628)/0.564.

Réponse : z = 1.60.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Laquelle est la plus influencée par la valeur 3.53, la moyenne ou la médiane ?

    Afficher la réponse

    La moyenne (2.628 contre 2.55).

  2. Pourquoi diviser par n − 1 ?

    Afficher la réponse

    Les écarts à x̄ sont légèrement trop petits ; n − 1 corrige le biais.

  3. Unités de s pour les hausses de CO₂ ?

    Afficher la réponse

    ppm par an.

  4. Quel est l’effet d’une longue queue à droite sur la moyenne et la médiane ?

    Afficher la réponse

    Moyenne > médiane.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La moyenne est toujours représentative.

    En réalité : L’asymétrie ou les valeurs aberrantes peuvent l’éloigner.

  • Idée reçue : Les valeurs aberrantes sont des erreurs.

    En réalité : Elles peuvent être des événements réels ; enquêtez.

  • Idée reçue : L’écart-type peut être négatif.

    En réalité : C’est une racine carrée, jamais négative.

Cartes mémoire

  • Moyenne

    Σx/n.

  • Médiane

    Valeur centrale.

  • Écart-type

    √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)).

  • IQR

    Q3 − Q1.

  • Règle des valeurs aberrantes

    1.5 IQR au-delà des quartiles.

  • Score z

    (x − x̄)/s.

Quiz d’autocontrôle

1. Résiste aux valeurs aberrantes…

Afficher la réponse

la médiane. Valeur centrale.

2. La variance d’échantillon divise par…

Afficher la réponse

n − 1. Correction du biais.

3. L’IQR est…

Afficher la réponse

Q3 − Q1. La moitié centrale.

4. Tracez les données…

Afficher la réponse

d’abord. Voir la forme.

Comment cela aide à sauver la planète

La NOAA indique que la série de CO₂ de Mauna Loa, lancée par C. David Keeling de Scripps en mars 1958, est la plus longue série de mesures directes du CO₂ atmosphérique. Les moyennes annuelles de la NOAA sont passées de 414.21 ppm en 2020 à 427.35 ppm en 2025.

Les statistiques descriptives de ce module transforment cette série en taux : les cinq hausses annuelles valent en moyenne 2.628 ppm par an, avec un écart-type de 0.564 ppm par an dû à la variabilité d’une année à l’autre.

Sur Saving Planets : Solutions · Observation de la Terre

Sources : NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa) · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 2 · Semaine 2

Règles de probabilité, dénombrement et indépendance

Univers et événements, axiomes, complémentaires, règles d’addition et de multiplication, indépendance, permutations et combinaisons, et problèmes « au moins un ».

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Appliquer les règles du complémentaire, d’addition et de multiplication.
  • Tester l’indépendance.
  • Dénombrer avec permutations et combinaisons.
  • Résoudre les problèmes « au moins un ».

Notions clés

  • Les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et l’univers entier a une probabilité de 1. P(non A) = 1 − P(A).
  • Règle d’addition : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B).
  • A et B sont indépendants si P(A et B) = P(A)P(B) ; connaître l’un n’apprend alors rien sur l’autre.
  • Pour « au moins un » sur n essais indépendants, utilisez le complémentaire : 1 − (1 − p)ⁿ.
  • Les combinaisons C(n, k) = n!/(k!(n − k)!) dénombrent les sélections non ordonnées ; les permutations dénombrent les sélections ordonnées.

Équations clés

P(Ac)=1−P(A)P(A^c)=1-P(A)
Complémentaire
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
Règle d’addition
P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
Indépendance
P(≥1)=1−(1−p)nP(\ge1)=1-(1-p)^n
Au moins un

Exemples résolus pas à pas

Exemple 2.1 Une crue de 100 ans a 1% de chances de se produire chaque année. Trouvez la probabilité d’au moins une crue pendant un prêt immobilier de 30 ans.

Afficher les étapes
  1. P(aucune) = 0.99³⁰ = 0.740.
  2. P(au moins une) = 1 − 0.740.

Réponse : 26.0%.

Exemple 2.2 Trouvez la probabilité d’au moins une crue de 100 ans en 100 ans.

Afficher les étapes
  1. 1 − 0.99¹⁰⁰.

Réponse : 63.4%, pas 100%.

Exemple 2.3 Trouvez la probabilité d’au moins une crue de 50 ans (2% par an) en 30 ans.

Afficher les étapes
  1. 1 − 0.98³⁰.

Réponse : 45.5%.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Au moins une crue de période de retour 250 ans (0.4% par an) en 30 ans ?

    Afficher la réponse

    1 − 0.996³⁰ = 11.3%.

  2. De combien de façons peut-on choisir 6 éléments parmi 9 ?

    Afficher la réponse

    C(9, 6) = 84.

  3. Deux crues de 100 ans peuvent-elles survenir deux années de suite ?

    Afficher la réponse

    Oui : chaque année commence avec la même probabilité de 1%.

  4. Les crues annuelles sont-elles traitées comme indépendantes ici ?

    Afficher la réponse

    Oui ; l’USGS note qu’une crue rare ne réduit pas la probabilité d’une autre peu après.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Une crue de 100 ans se produit une fois tous les 100 ans.

    En réalité : Elle a 1% de chances chaque année.

  • Idée reçue : Après une crue, la suivante est moins probable.

    En réalité : Chaque année est indépendante.

  • Idée reçue : P(A ou B) = P(A) + P(B) toujours.

    En réalité : Seulement si A et B ne peuvent pas se produire ensemble.

Cartes mémoire

  • Complémentaire

    1 − P(A).

  • Règle d’addition

    Soustraire l’intersection.

  • Indépendance

    P(A∩B) = P(A)P(B).

  • Au moins un

    1 − (1 − p)ⁿ.

  • Combinaison

    n!/(k!(n − k)!).

  • AEP

    Probabilité annuelle de dépassement.

Quiz d’autocontrôle

1. P(au moins un sur n)…

Afficher la réponse

1 − (1 − p)ⁿ. Complémentaire.

2. Indépendant signifie…

Afficher la réponse

P(A∩B) = P(A)P(B). Définition.

3. Probabilité annuelle d’une crue de 100 ans…

Afficher la réponse

1%. USGS.

4. C(n, k) dénombre…

Afficher la réponse

les choix non ordonnés. Associations.

Comment cela aide à sauver la planète

L’USGS explique qu’une « crue de 100 ans » est une crue qui a 1 pour cent de chances de se produire chaque année, et que des crues de 100 ans peuvent survenir deux années de suite. Son tableau associe à chaque période de retour une probabilité annuelle de dépassement : 2 ans avec 50%, 10 ans avec 10%, 100 ans avec 1% et 500 ans avec 0.2%.

L’USGS note que dans les années 1960 les États-Unis ont choisi la crue de probabilité annuelle de dépassement de 1 pour cent comme base du National Flood Insurance Program. La règle du complémentaire de ce module montre qu’une maison habitée 30 ans dans cette zone a 26% de chances de connaître au moins une telle crue.

Sur Saving Planets : Océans · Solutions

Sources : USGS Water Science School: The 100-Year Flood

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 3 · Semaine 3

Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes

Probabilité conditionnelle, règle de multiplication, arbres de probabilités, formule des probabilités totales, théorème de Bayes, taux de base, et conversion d’une probabilité sur 30 ans en taux annuel.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer des probabilités conditionnelles à partir d’un tableau ou d’un arbre.
  • Appliquer la formule des probabilités totales.
  • Utiliser le théorème de Bayes et expliquer l’effet du taux de base.
  • Convertir des probabilités pluriannuelles en taux annuels.

Notions clés

  • P(A | B) = P(A et B)/P(B) est la probabilité de A une fois que l’on sait que B s’est produit.
  • La formule des probabilités totales additionne les branches d’un arbre : P(A) = Σ P(A | Bᵢ)P(Bᵢ).
  • Le théorème de Bayes inverse un conditionnement : P(B | A) = P(A | B)P(B)/P(A).
  • Les événements rares donnent beaucoup de fausses alertes : même un bon test a une faible valeur prédictive positive quand le taux de base est faible.
  • Si les événements surviennent à un taux constant λ, la probabilité d’au moins un en t ans est 1 − e^(−λt), donc λ = −ln(1 − P)/t.

Équations clés

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Probabilité conditionnelle
P(A)=∑iP(A∣Bi)P(Bi)P(A)=\sum_i P(A|B_i)P(B_i)
Probabilités totales
P(B∣A)=P(A∣B)P(B)P(A)P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}
Théorème de Bayes
λ=−ln⁡(1−P)t\lambda=-\frac{\ln(1-P)}{t}
Taux à partir d’une probabilité sur t ans

Exemples résolus pas à pas

Exemple 3.1 Un capteur signale une panne 95% du temps quand elle existe et à tort 5% du temps sinon ; 2% des unités ont la panne (valeurs d’exemple). Trouvez P(panne | signal).

Afficher les étapes
  1. P(signal) = 0.95 × 0.02 + 0.05 × 0.98 = 0.068.
  2. Bayes : 0.019/0.068.

Réponse : 27.9% : la plupart des signaux sont de fausses alertes.

Exemple 3.2 L’USGS donne 72% de chances d’au moins un séisme M ≥ 6.7 dans la région de la baie de San Francisco en 30 ans. Trouvez le taux annuel, en supposant un taux constant.

Afficher les étapes
  1. λ = −ln(0.28)/30.

Réponse : λ = 0.0424 par an.

Exemple 3.3 Trouvez la probabilité d’au moins un tel séisme en une seule année.

Afficher les étapes
  1. 1 − e^(−0.0424).

Réponse : 4.15% par an.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Probabilité d’un séisme dans les 10 prochaines années à ce taux ?

    Afficher la réponse

    1 − e^(−0.424) = 34.6%.

  2. Taux annuel correspondant aux 60% en 30 ans de la région de Los Angeles ?

    Afficher la réponse

    −ln(0.4)/30 = 0.0305 par an.

  3. Pourquoi P(panne | signal) est-elle si faible ?

    Afficher la réponse

    Le taux de base (2%) est faible.

  4. P(A | B) est-elle égale à P(B | A) ?

    Afficher la réponse

    En général, non.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : P(A | B) = P(B | A).

    En réalité : Le théorème de Bayes les relie par les taux de base.

  • Idée reçue : Un test fiable à 95% a raison 95% du temps quand il se déclenche.

    En réalité : Pas quand la condition est rare.

  • Idée reçue : Une probabilité sur 30 ans se divise simplement par 30.

    En réalité : Utilisez la formule du taux.

Cartes mémoire

  • Conditionnelle

    P(A∩B)/P(B).

  • Probabilités totales

    Somme sur les branches.

  • Bayes

    P(A|B)P(B)/P(A).

  • Taux de base

    Fréquence a priori.

  • Taux

    λ = −ln(1 − P)/t.

  • Arbre de probabilités

    On multiplie le long des branches, on additionne les chemins.

Quiz d’autocontrôle

1. Bayes inverse…

Afficher la réponse

un conditionnement. P(B|A) à partir de P(A|B).

2. Des taux de base faibles provoquent…

Afficher la réponse

de fausses alertes. Peu de vrais positifs.

3. P(A|B) est…

Afficher la réponse

P(A∩B)/P(B). Définition.

4. Probabilité sur 30 ans d’un séisme M ≥ 6.7 dans la baie de San Francisco…

Afficher la réponse

72%. USGS.

Comment cela aide à sauver la planète

L’USGS, à l’aide de l’Uniform California Earthquake Rupture Forecast 3, donne des probabilités sur 30 ans de 72% pour un séisme de magnitude 6.7 dans la région de la baie de San Francisco et de 60% dans la région de Los Angeles. Il note aussi que dans le monde, la probabilité qu’un séisme soit suivi d’un plus fort à proximité dans la semaine est d’environ 5%.

Convertir ces chiffres sur 30 ans en un taux annuel d’environ 4% permet aux ingénieurs et aux planificateurs d’urgence de comparer le risque sismique aux autres aléas.

Sur Saving Planets : Solutions · Observation de la Terre

Sources : USGS FAQ: What is the probability that an earthquake will occur in the Los Angeles area? In the San Francisco Bay area?

Ressources d’apprentissage gratuites

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Unité 4 · Semaines 4–5

Variables aléatoires discrètes : binomiale et Poisson

Variables aléatoires, fonctions de masse, espérance et variance, lois de Bernoulli et binomiale, loi de Poisson pour les événements rares, et loi géométrique.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer l’espérance et la variance.
  • Appliquer la loi binomiale.
  • Appliquer la loi de Poisson aux événements rares.
  • Choisir le bon modèle discret.

Notions clés

  • Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue. Son espérance E[X] = Σx p(x) est la moyenne à long terme.
  • Var(X) = E[(X − μ)²] ; l’écart-type est sa racine carrée.
  • Binomiale : nombre de succès en n essais indépendants de probabilité p. P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, moyenne np, variance np(1 − p).
  • Poisson : comptage d’événements rares au taux λ par intervalle. P(X = k) = e^(−λ)λᵏ/k!, moyenne et variance toutes deux égales à λ.
  • Géométrique : nombre d’essais jusqu’au premier succès, de moyenne 1/p, d’où vient la notion de « période de retour ».

Équations clés

E[X]=∑x p(x)E[X]=\sum x\,p(x)
Espérance
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}
Binomiale
P(X=k)=e−λλkk!P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
Poisson
E[T]=1/pE[T]=1/p
Attente moyenne géométrique

Exemples résolus pas à pas

Exemple 4.1 La NOAA dimensionne son cône de prévision des ouragans pour que deux tiers des erreurs de trajectoire historiques tombent à l’intérieur. Sur 9 prévisions indépendantes, trouvez le nombre attendu à l’intérieur et P(les 9 à l’intérieur).

Afficher les étapes
  1. E = 9 × 2/3.
  2. P = (2/3)⁹.

Réponse : E = 6 ; P(les 9) = 2.60%.

Exemple 4.2 Trouvez P(exactement 6 sur 9 à l’intérieur).

Afficher les étapes
  1. C(9, 6)(2/3)⁶(1/3)³ = 84 × 0.0878 × 0.0370.

Réponse : 27.3%.

Exemple 4.3 Modélisez les crues de 100 ans sur 100 ans par une loi de Poisson avec λ = 1. Trouvez P(aucune) et P(2 ou plus).

Afficher les étapes
  1. P(0) = e⁻¹.
  2. P(≥2) = 1 − 2e⁻¹.

Réponse : P(0) = 36.8%; P(≥2) = 26.4%.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Écart-type du nombre à l’intérieur du cône, n = 9 ?

    Afficher la réponse

    √(9 × 2/3 × 1/3) = 1.414.

  2. Attente moyenne pour un événement à 1% par an (géométrique) ?

    Afficher la réponse

    1/0.01 = 100 ans.

  3. P(au moins un) de Poisson avec λ = 1 ?

    Afficher la réponse

    1 − e⁻¹ = 63.2%, proche des 63.4% de la binomiale.

  4. Quand la loi de Poisson approche-t-elle bien la binomiale ?

    Afficher la réponse

    n grand, p petit.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : L’espérance est la valeur la plus probable.

    En réalité : C’est la moyenne à long terme.

  • Idée reçue : Cône = zone où restent les impacts de la tempête.

    En réalité : Il montre seulement la trajectoire probable du centre.

  • Idée reçue : La loi de Poisson exige un nombre fixe d’essais.

    En réalité : Elle compte des événements dans un intervalle.

Cartes mémoire

  • Variable aléatoire

    Un nombre par issue.

  • E[X]

    Moyenne à long terme.

  • Binomiale

    Succès en n essais.

  • Poisson

    Comptage d’événements rares.

  • Géométrique

    Essais jusqu’au premier succès.

  • Variance

    E[(X − μ)²].

Quiz d’autocontrôle

1. Moyenne de la binomiale…

Afficher la réponse

np. Somme de variables de Bernoulli.

2. Moyenne et variance de Poisson…

Afficher la réponse

toutes deux λ. Propriété.

3. Les cercles du cône du NHC contiennent…

Afficher la réponse

deux tiers des erreurs. Définition de la NOAA.

4. Attente moyenne géométrique…

Afficher la réponse

1/p. Période de retour.

Comment cela aide à sauver la planète

Le National Hurricane Center de la NOAA construit son cône de prévision de trajectoire à partir de cercles dimensionnés pour que deux tiers des erreurs de prévision officielles historiques sur un échantillon de 5 ans tombent à l’intérieur. Pour 2026 dans l’Atlantique, d’après les erreurs de 2021–2025, le rayon du cercle passe de 25 milles nautiques à 12 heures à 95 à 72 heures et 200 à 120 heures.

Le centre d’une tempête sera donc hors du cône environ une fois sur trois, un fait binomial à connaître avant de décider que le cône signifie « sûr » ou « dangereux ».

Sur Saving Planets : GOES-19 · Océans

Sources : NOAA National Hurricane Center: Definition of the NHC Track Forecast Cone

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Unité 5 · Semaine 6

Lois continues : normale, exponentielle et extrêmes

Densités de probabilité et fonctions de répartition, lois uniforme, normale et exponentielle, centrage-réduction avec z, absence de mémoire et périodes de retour des extrêmes.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Utiliser une densité et une fonction de répartition.
  • Trouver des probabilités normales avec les scores z.
  • Appliquer la loi exponentielle aux temps d’attente.
  • Relier période de retour et probabilité annuelle de dépassement.

Notions clés

  • Pour une variable continue, les probabilités sont des aires sous la densité f(x) ; la fonction de répartition est F(x) = P(X ≤ x).
  • La loi normale est en cloche, de moyenne μ et d’écart-type σ. Environ 68%, 95% et 99.7% des valeurs se trouvent à moins de 1, 2 et 3σ.
  • Centrez-réduisez avec z = (x − μ)/σ et lisez Φ(z) dans une table ou avec NORM.S.DIST.
  • Les temps d’attente entre événements à taux constant λ sont exponentiels : P(T > t) = e^(−λt), de moyenne 1/λ. Le processus est sans mémoire : l’attente passée ne change pas les probabilités futures.
  • La période de retour T et la probabilité annuelle de dépassement sont inverses l’une de l’autre : un événement d’AEP 0.2 a une période de retour de 5 ans.

Équations clés

P(a<X<b)=∫abf(x) dxP(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx
Probabilité comme aire
z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}
Centrage-réduction
P(T>t)=e−λtP(T>t)=e^{-\lambda t}
Survie exponentielle
T=1AEPT=\frac{1}{AEP}
Période de retour

Exemples résolus pas à pas

Exemple 5.1 Trouvez P(Z < 1) et la part à moins de ±1σ pour une loi normale.

Afficher les étapes
  1. Φ(1) = 0.8413.
  2. Φ(1) − Φ(−1).

Réponse : 0.8413 ; 68.3% à moins de ±1σ.

Exemple 5.2 Avec le taux de la baie λ = 0.0424 par an du module 3, trouvez l’attente moyenne et médiane d’un séisme M ≥ 6.7.

Afficher les étapes
  1. Moyenne = 1/λ.
  2. Médiane = ln 2/λ.

Réponse : Moyenne 23.6 ans ; médiane 16.3 ans.

Exemple 5.3 Quelle période de retour correspond à une probabilité annuelle de dépassement de 0.2, et de 0.002 ?

Afficher les étapes
  1. T = 1/AEP.

Réponse : 5 ans et 500 ans, comme dans le tableau de l’USGS.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. P(Z < −1.5)?

    Afficher la réponse

    0.0668.

  2. Part à moins de ±2σ ?

    Afficher la réponse

    95.4%.

  3. Φ(1.96)?

    Afficher la réponse

    0.975.

  4. Aucun séisme ne s’est produit depuis 20 ans. Le modèle exponentiel augmente-t-il la probabilité l’an prochain ?

    Afficher la réponse

    Non : il est sans mémoire (les failles réelles peuvent différer).

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : P(X = x) > 0 pour X continue.

    En réalité : Les points isolés ont une probabilité 0.

  • Idée reçue : Toutes les données sont normales.

    En réalité : Vérifiez avec un graphique ; les extrêmes sont souvent asymétriques.

  • Idée reçue : Sans mémoire signifie que les événements sont programmés.

    En réalité : Cela signifie le contraire.

Cartes mémoire

  • PDF

    Densité ; aire = probabilité.

  • CDF

    P(X ≤ x).

  • Normale

    Courbe en cloche, μ et σ.

  • z

    (x − μ)/σ.

  • Exponentielle

    Temps d’attente sans mémoire.

  • Période de retour

    1/AEP.

Quiz d’autocontrôle

1. À moins de ±2σ pour une loi normale…

Afficher la réponse

environ 95%. Règle empirique.

2. Moyenne de l’exponentielle…

Afficher la réponse

1/λ. Propriété.

3. Période de retour d’une AEP de 1%…

Afficher la réponse

100 ans. Inverse.

4. Φ(1) vaut…

Afficher la réponse

0.8413. Table.

Comment cela aide à sauver la planète

L’USGS indique que les périodes de retour proviennent d’une analyse fréquentielle de données historiques, qu’il faut au moins dix ans de données, et qu’une analyse fondée sur 30 ans de relevés inspire plus de confiance qu’une analyse fondée sur 10. Il définit une crue de 1000 ans comme une crue ayant 0.1% de chances de se produire chaque année.

Comme les niveaux de crue sont estimés à partir de données passées, l’USGS note que le niveau de la crue de 100 ans change à mesure que de nouvelles crues sont enregistrées ou que des barrages et l’urbanisation modifient un bassin : la loi derrière une carte des crues est donc une estimation, pas un fait figé.

Sur Saving Planets : Océans · Analyse II

Sources : USGS Water Science School: The 100-Year Flood

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Unité 6 · Semaine 7

Échantillonnage, simulation et théorème central limite

Populations et échantillons, biais et échantillonnage aléatoire, loi d’échantillonnage de la moyenne, erreur type, théorème central limite, loi des grands nombres et simulation de Monte-Carlo.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Distinguer les grandeurs de population et d’échantillon.
  • Calculer une erreur type.
  • Énoncer et appliquer le théorème central limite.
  • Estimer une probabilité par simulation de Monte-Carlo.

Notions clés

  • Une statistique calculée sur un échantillon varie d’un échantillon à l’autre ; sa loi est la loi d’échantillonnage.
  • L’erreur type de la moyenne est σ/√n : quadrupler les données la divise par deux.
  • Théorème central limite : pour n grand, la moyenne d’échantillon est approximativement normale quelle que soit la forme des données.
  • Loi des grands nombres : les moyennes et fréquences d’échantillon se stabilisent vers leurs vraies valeurs quand n augmente.
  • La simulation de Monte-Carlo répète une expérience aléatoire de nombreuses fois sur ordinateur ; son erreur décroît aussi comme 1/√n.

Équations clés

SE=σnSE=\frac{\sigma}{\sqrt n}
Erreur type
Xˉ≈N ⁣(μ,σ2n)\bar X\approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
Théorème central limite
p^=#hitsN\hat p=\frac{\#\text{hits}}{N}
Estimation de Monte-Carlo
SEp^=p(1−p)NSE_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}
Erreur type d’une proportion

Exemples résolus pas à pas

Exemple 6.1 Des mesures ont σ = 10 (valeur d’exemple). Trouvez l’erreur type de la moyenne de 25 mesures.

Afficher les étapes
  1. 10/√25.

Réponse : SE = 2.

Exemple 6.2 Un dé équilibré a une moyenne de 3.5 et σ = 1.708. Trouvez l’erreur type de la moyenne de 25 lancers.

Afficher les étapes
  1. 1.708/5.

Réponse : SE = 0.342.

Exemple 6.3 Combien de simulations de Monte-Carlo pour estimer une probabilité proche de 0.5 à ±0.05 près (95%) ?

Afficher les étapes
  1. n = 1.96² × 0.25/0.05².

Réponse : Environ 384 simulations.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Erreur type de la moyenne d’un dé sur 100 lancers ?

    Afficher la réponse

    0.171.

  2. Doublez la taille de l’échantillon. Erreur type ?

    Afficher la réponse

    Divisée par √2.

  3. Le TCL rend-il les données normales ?

    Afficher la réponse

    Non, seulement la moyenne d’échantillon.

  4. Marge à 95% pour la moyenne avec σ = 10, n = 25 ?

    Afficher la réponse

    1.96 × 2 = 3.92.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Un grand échantillon corrige le biais.

    En réalité : Il ne réduit que l’erreur aléatoire.

  • Idée reçue : n = 30 suffit toujours.

    En réalité : Des données asymétriques peuvent en exiger plus.

  • Idée reçue : La simulation est exacte.

    En réalité : Elle a sa propre erreur d’échantillonnage.

Cartes mémoire

  • Population

    L’ensemble du groupe.

  • Échantillon

    La partie mesurée.

  • Erreur type

    σ/√n.

  • CLT

    Les moyennes deviennent normales.

  • Loi des grands nombres

    Les moyennes se stabilisent.

  • Monte-Carlo

    Répéter des essais aléatoires.

Quiz d’autocontrôle

1. L’erreur type de la moyenne…

Afficher la réponse

σ/√n. Formule.

2. Le TCL concerne…

Afficher la réponse

la moyenne d’échantillon. Loi d’échantillonnage.

3. L’erreur de Monte-Carlo décroît comme…

Afficher la réponse

1/√n. SE.

4. L’échantillonnage aléatoire évite…

Afficher la réponse

le biais de sélection. Conception.

Comment cela aide à sauver la planète

L’analyse des températures de surface du GISS de la NASA (GISTEMP v4) estime l’évolution de la température de surface mondiale à partir des données des stations et des océans de la NOAA, et elle est mise à jour vers le 10 de chaque mois. La NASA publie aussi un ensemble d’incertitude 2024 associé.

Un ensemble d’incertitude, c’est l’idée de Monte-Carlo de ce module à l’échelle planétaire : de nombreuses versions plausibles de la série, dont la dispersion montre à quel point nous sommes sûrs de la valeur de chaque année.

Sur Saving Planets : Observation de la Terre · Solutions

Sources : NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

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Unité 7 · Semaines 8–9

Intervalles de confiance

Estimations ponctuelles et par intervalle, intervalles z et t pour une moyenne, intervalles pour une proportion, marge d’erreur et taille d’échantillon, et ce que signifie et ne signifie pas un niveau de confiance.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Construire un intervalle t pour une moyenne.
  • Construire un intervalle pour une proportion.
  • Choisir une taille d’échantillon pour une marge visée.
  • Interpréter correctement un niveau de confiance.

Notions clés

  • Un intervalle de confiance s’écrit estimation ± valeur critique × erreur type.
  • Avec σ inconnu et n petit, utilisez la loi de Student t à n − 1 degrés de liberté ; t a des queues plus épaisses que z.
  • Pour une proportion, p̂ ± z√(p̂(1 − p̂)/n).
  • Un niveau de 95% signifie que 95% des intervalles construits ainsi contiendraient la vraie valeur ; ce n’est pas une probabilité de 95% pour un intervalle calculé.
  • Diviser la marge par deux exige quatre fois plus d’échantillons.

Équations clés

xˉ±tn−1sn\bar x\pm t_{n-1}\frac{s}{\sqrt n}
Intervalle t
p^±zp^(1−p^)n\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
Intervalle pour une proportion
n=z2p(1−p)E2n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}
Taille d’échantillon
E=zσnE=z\frac{\sigma}{\sqrt n}
Marge d’erreur

Exemples résolus pas à pas

Exemple 7.1 Construisez un intervalle à 95% pour la hausse annuelle moyenne de CO₂ du module 1 (x̄ = 2.628, s = 0.564, n = 5, t = 2.776).

Afficher les étapes
  1. Marge = 2.776 × 0.564/√5.

Réponse : 2.628 ± 0.700 : de 1.93 à 3.33 ppm/an.

Exemple 7.2 La NOAA indique que 22 des 31 saisons atlantiques depuis 1995 ont été supérieures à la normale. Donnez un intervalle à 95% pour cette proportion.

Afficher les étapes
  1. p̂ = 0.710; SE = √(0.710 × 0.290/31).

Réponse : 0.710 ± 0.160 : de 0.55 à 0.87.

Exemple 7.3 Quelle taille d’échantillon donne une marge de ±0.05 pour une proportion proche de 0.5 ?

Afficher les étapes
  1. 1.96² × 0.25/0.05².

Réponse : Environ 385 (384.2, arrondi au supérieur).

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Pourquoi t plutôt que z pour n = 5 ?

    Afficher la réponse

    σ est estimé à partir de peu de points.

  2. Effet de 99% au lieu de 95% ?

    Afficher la réponse

    Intervalle plus large.

  3. La fourchette à 70% de la NOAA pour les tempêtes nommées signifie-t-elle 70% des tempêtes ?

    Afficher la réponse

    Non : le total de la saison tombe dans la fourchette pour 7 saisons similaires sur 10.

  4. Marge pour la proportion avec n = 124 ?

    Afficher la réponse

    Environ la moitié (0.080).

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Probabilité de 95% que la vraie valeur soit dans cet intervalle.

    En réalité : La procédure la capture 95% du temps.

  • Idée reçue : Plus large, c’est pire.

    En réalité : Plus large, c’est honnête quand les données sont rares.

  • Idée reçue : Les intervalles corrigent le biais.

    En réalité : Ils ne décrivent que l’erreur aléatoire.

Cartes mémoire

  • Intervalle de confiance

    Estimation ± marge.

  • Loi t

    Queues plus épaisses, n − 1 ddl.

  • Marge d’erreur

    Valeur critique × erreur type.

  • Niveau de confiance

    Taux de capture à long terme.

  • Intervalle pour une proportion

    p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n).

  • Taille d’échantillon

    z²p(1−p)/E².

Quiz d’autocontrôle

1. n petit, σ inconnu : utilisez…

Afficher la réponse

t. Student.

2. Diviser la marge par deux…

Afficher la réponse

4× les données. √n.

3. Les fourchettes probables de la NOAA se vérifient dans…

Afficher la réponse

7 saisons similaires sur 10. CPC.

4. IC = estimation ± …

Afficher la réponse

valeur critique × erreur type. Structure.

Comment cela aide à sauver la planète

La prévision 2026 du Climate Prediction Center de la NOAA, mise à jour le 6 août, donne 75% de chances d’une saison atlantique inférieure à la normale, 20% proche de la normale et 5% supérieure à la normale, et une probabilité de 70% pour chaque fourchette, dont 7–13 tempêtes nommées et 2–6 ouragans.

La NOAA explique que la saison devrait se situer dans ces fourchettes pour 7 saisons sur 10 aux conditions similaires, ce qui est exactement la façon dont il faut lire un intervalle à 70%. Elle souligne aussi qu’il suffit d’un seul ouragan pour provoquer une catastrophe.

Sur Saving Planets : GOES-19 · Océans

Sources : NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

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Unité 8 · Semaine 10

Tests d’hypothèses et valeurs p

Hypothèses nulle et alternative, statistiques de test, valeurs p, tests unilatéraux et bilatéraux, tests t et tests de proportion, erreurs de première et de deuxième espèce, puissance, et significativité statistique contre significativité pratique.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Poser les hypothèses nulle et alternative.
  • Réaliser un test t à un échantillon et un test de proportion.
  • Interpréter une valeur p.
  • Expliquer les erreurs de première et de deuxième espèce et la puissance.

Notions clés

  • Un test se demande si les données sont surprenantes dans le cas où l’hypothèse nulle H₀ serait vraie.
  • La valeur p est la probabilité, sous H₀, d’un résultat au moins aussi extrême que celui observé. Un p petit est une preuve contre H₀ ; ce n’est pas la probabilité que H₀ soit vraie.
  • Une erreur de première espèce rejette une H₀ vraie (taux α) ; une erreur de deuxième espèce ne détecte pas une H₀ fausse (taux β). Puissance = 1 − β.
  • Plus de données augmentent la puissance ; un effet minuscule et sans importance peut être « significatif » avec assez de données.
  • Choisissez α et le test avant de regarder les données.

Équations clés

t=xˉ−μ0s/nt=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}
Statistique t
z=p^−p0p0(1−p0)/nz=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
z de proportion
power=1−β\text{power}=1-\beta
Puissance
p=P(as extreme∣H0)p=P(\text{as extreme}\mid H_0)
Valeur p

Exemples résolus pas à pas

Exemple 8.1 Testez H₀ : μ = 2 ppm/an contre μ > 2 pour les cinq hausses de CO₂ (x̄ = 2.628, s = 0.564).

Afficher les étapes
  1. t = (2.628 − 2)/(0.564/√5).

Réponse : t = 2.49 avec 4 ddl, au-dessus du seuil unilatéral de 5% de 2.132 : on rejette H₀.

Exemple 8.2 Si chaque saison atlantique avait 1/3 de chances d’être supérieure à la normale, combien sur 31 en attendrait-on ?

Afficher les étapes
  1. 31/3.

Réponse : Environ 10.3 ; la NOAA en rapporte 22.

Exemple 8.3 Trouvez la probabilité binomiale exacte P(22 ou plus sur 31) avec p = 1/3.

Afficher les étapes
  1. Somme de C(31, k)(1/3)ᵏ(2/3)³¹⁻ᵏ pour k ≥ 22.

Réponse : p ≈ 2.06 × 10⁻⁵ : forte preuve que l’ère de forte activité est réelle.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. z de proportion pour 22 sur 31 contre p₀ = 1/3 ?

    Afficher la réponse

    z = 4.45.

  2. p = 0.03 est-il la probabilité que H₀ soit vraie ?

    Afficher la réponse

    No.

  3. Erreur de première espèce dans un test d’alerte aux crues ?

    Afficher la réponse

    Une fausse alerte.

  4. Comment augmenter la puissance ?

    Afficher la réponse

    Plus de données, un effet plus grand ou un α plus grand.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : p > 0.05 prouve H₀.

    En réalité : On ne fait qu’échouer à rejeter.

  • Idée reçue : Significatif veut dire important.

    En réalité : Vérifiez la taille d’effet.

  • Idée reçue : Tester beaucoup de choses et rapporter la gagnante.

    En réalité : Cela gonfle les faux positifs.

Cartes mémoire

  • H₀

    Hypothèse nulle.

  • Valeur p

    Surprise sous H₀.

  • α

    Taux d’erreur de première espèce.

  • β

    Taux d’erreur de deuxième espèce.

  • Puissance

    1 − β.

  • Taille d’effet

    Quelle ampleur, pas seulement si.

Quiz d’autocontrôle

1. La valeur p est…

Afficher la réponse

P(données aussi extrêmes | H₀). Définition.

2. Erreur de première espèce…

Afficher la réponse

rejeter une H₀ vraie. Fausse alerte.

3. La puissance est…

Afficher la réponse

1 − β. Détecter un effet réel.

4. Plus de données…

Afficher la réponse

augmentent la puissance. Erreur type plus petite.

Comment cela aide à sauver la planète

Le Climate Prediction Center de la NOAA indique que depuis le début de l’ère actuelle de forte activité atlantique en 1995, 22 saisons sur 31 (71%) ont été supérieures à la normale, 5 (16%) proches de la normale et 4 (13%) inférieures à la normale.

La NOAA note aussi que chaque saison cyclonique coïncidant avec un fort El Niño depuis 1950 a connu une activité inférieure à la normale. Confronter de telles affirmations au hasard est la façon dont les prévisionnistes décident quels signaux ont leur place dans une prévision.

Sur Saving Planets : GOES-19 · Solutions

Sources : NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

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Unité 9 · Semaines 11–12

Corrélation et régression linéaire

Nuages de points, corrélation r, régression des moindres carrés, interprétation de la pente, R², résidus, prédiction contre extrapolation, et corrélation contre causalité.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer et interpréter r et R².
  • Ajuster et interpréter une droite des moindres carrés.
  • Utiliser les graphiques de résidus pour vérifier un modèle.
  • Distinguer corrélation et causalité.

Notions clés

  • La corrélation r mesure l’association linéaire de −1 à 1 ; elle n’a pas d’unité.
  • La droite des moindres carrés ŷ = b₀ + b₁x a pour pente b₁ = Sxy/Sxx et passe par (x̄, ȳ).
  • R² = r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
  • Les graphiques de résidus révèlent une courbure ou une dispersion variable que r masque.
  • Corrélation n’est pas causalité ; il faut pour cela des mécanismes physiques et des études planifiées. L’extrapolation au-delà des données est risquée.

Équations clés

b1=SxySxxb_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}
Pente
b0=yˉ−b1xˉb_0=\bar y-b_1\bar x
Ordonnée à l’origine
r=SxySxxSyyr=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}
Corrélation
R2=r2R^2=r^2
Part expliquée

Exemples résolus pas à pas

Exemple 9.1 Ajustez une droite aux moyennes décennales de Mauna Loa de la NOAA 1960–2020 (316.91, 325.68, 338.76, 354.45, 369.71, 390.10, 414.21 ppm), avec x en années depuis 1960.

Afficher les étapes
  1. x̄ = 30, ȳ = 358.55.
  2. b₁ = Sxy/Sxx.

Réponse : ŷ = 310.15 + 1.613x ppm.

Exemple 9.2 Trouvez r et R².

Afficher les étapes
  1. r = Sxy/√(SxxSyy).

Réponse : r = 0.990; R² = 0.979.

Exemple 9.3 Les résidus confirment-ils une droite ?

Afficher les étapes
  1. Les résidus sont positifs aux deux extrémités et négatifs au milieu.

Réponse : Non : la courbe s’infléchit vers le haut, donc la croissance s’accélère malgré R² = 0.979.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Unités de la pente ?

    Afficher la réponse

    ppm par an.

  2. Prédiction de la droite pour 2025 (x = 65) ?

    Afficher la réponse

    415.0 ppm contre 427.35 pour la NOAA.

  3. r = 0.99 prouve-t-il que la droite est correcte ?

    Afficher la réponse

    Non ; vérifiez les résidus.

  4. Une tendance temporelle prouve-t-elle à elle seule sa cause ?

    Afficher la réponse

    Non ; la cause vient de la physique et d’autres preuves.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : Un r élevé signifie un bon modèle.

    En réalité : Une courbure peut se cacher derrière un r élevé.

  • Idée reçue : r a une unité.

    En réalité : Il est sans unité.

  • Idée reçue : Extrapoler est sûr si R² est élevé.

    En réalité : Pas en dehors de la plage des données.

Cartes mémoire

  • Corrélation

    De −1 à 1, sans unité.

  • Pente

    Sxy/Sxx.

  • R²

    Part expliquée.

  • Résidu

    y − ŷ.

  • Extrapolation

    Prédire en dehors des données.

  • Causalité

    Exige un mécanisme ou un protocole.

Quiz d’autocontrôle

1. R² est…

Afficher la réponse

la part de variation expliquée. Définition.

2. La droite passe par…

Afficher la réponse

(x̄, ȳ). Propriété.

3. Des résidus courbés signifient…

Afficher la réponse

une mauvaise forme de modèle. Motif.

4. La corrélation montre…

Afficher la réponse

une association. Prudence.

Comment cela aide à sauver la planète

La NOAA note que les données de Mauna Loa sont prises à une altitude de 3400 m et peuvent différer de la moyenne mondiale, et que lors de l’éruption du Mauna Loa en 2022 les mesures ont été déplacées au Maunakea, à environ 21 milles au nord, jusqu’en juillet 2023.

Savoir où et comment les données ont été recueillies fait aussi partie de la régression : un ajustement ne vaut que ce que vaut la série derrière lui, et la NOAA documente ouvertement ses lacunes et changements de site.

Sur Saving Planets : Solutions · Algèbre linéaire

Sources : NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

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Unité 10 · Semaines 13–15

Fiabilité et risque

Fonctions de fiabilité, taux de défaillance et MTBF, systèmes en série et en parallèle, redondance, modèles de durée de vie exponentiel et de Weibull, et combinaison de la probabilité et des conséquences en risque.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette unité, vous saurez :

  • Calculer la fiabilité de systèmes en série et en parallèle.
  • Utiliser le modèle de durée de vie exponentiel avec le MTBF.
  • Expliquer la courbe en baignoire et les formes de Weibull.
  • Combiner probabilité et conséquence en risque.

Notions clés

  • La fiabilité R(t) est la probabilité qu’une pièce survive jusqu’au temps t. Avec un taux de défaillance constant λ, R(t) = e^(−λt) et MTBF = 1/λ.
  • Les systèmes en série exigent que chaque pièce fonctionne : R = R₁R₂…Rₙ, toujours moins bon que la pièce la plus faible.
  • Les systèmes en parallèle (redondants) n’en exigent qu’une : R = 1 − (1 − R₁)(1 − R₂)….
  • Le modèle de Weibull couvre les défaillances précoces (forme < 1), aléatoires (forme = 1, exponentielle) et d’usure (forme > 1), les trois parties de la courbe en baignoire.
  • Le risque combine probabilité et conséquence ; la redondance et les alertes le réduisent, mais seulement si les défaillances sont indépendantes.

Équations clés

R(t)=e−λt, MTBF=1/λR(t)=e^{-\lambda t},\ MTBF=1/\lambda
Fiabilité exponentielle
Rs=∏RiR_s=\prod R_i
Système en série
Rp=1−∏(1−Ri)R_p=1-\prod(1-R_i)
Système en parallèle
R(t)=e−(t/η)βR(t)=e^{-(t/\eta)^\beta}
Weibull

Exemples résolus pas à pas

Exemple 10.1 Trois pièces en série ont chacune R = 0.99 (valeurs d’exemple). Trouvez la fiabilité du système.

Afficher les étapes
  1. 0.99³.

Réponse : R = 0.9703.

Exemple 10.2 Deux pompes redondantes ont chacune R = 0.9. Trouvez la fiabilité du système.

Afficher les étapes
  1. 1 − 0.1².

Réponse : R = 0.99.

Exemple 10.3 Un capteur a un MTBF de 50000 h. Trouvez sa fiabilité sur une mission de 1000 heures.

Afficher les étapes
  1. e^(−1000/50,000).

Réponse : R = 0.980.

Exercices

Faites chacun d’abord sur papier, puis vérifiez.

  1. Trois unités redondantes de 0.9 ?

    Afficher la réponse

    1 − 0.1³ = 0.999.

  2. Une pièce de 0.9 en série avec une paire redondante de 0.9 ?

    Afficher la réponse

    0.9 × 0.99 = 0.891.

  3. Fiabilité sur un an (8760 h) avec un MTBF de 100000 h ?

    Afficher la réponse

    e^(−0.0876) = 0.916.

  4. Deux unités de 0.95 en parallèle ?

    Afficher la réponse

    0.9975.

Idées reçues fréquentes

  • Idée reçue : La redondance aide toujours.

    En réalité : Pas contre les défaillances de cause commune.

  • Idée reçue : Le MTBF est la durée de vie de chaque unité.

    En réalité : C’est une moyenne ; beaucoup lâchent plus tôt.

  • Idée reçue : Un système en série est aussi fiable que sa meilleure pièce.

    En réalité : Il est moins fiable que la plus faible.

Cartes mémoire

  • Fiabilité

    P(survivre jusqu’à t).

  • MTBF

    1/λ.

  • Série

    Multiplier les R.

  • Parallèle

    1 − Π(1 − R).

  • Weibull

    Formes de baignoire.

  • Risque

    Probabilité × conséquence.

Quiz d’autocontrôle

1. Fiabilité en série…

Afficher la réponse

produit. Tout doit fonctionner.

2. MTBF exponentiel…

Afficher la réponse

1/λ. Durée de vie moyenne.

3. Une forme de Weibull > 1 signifie…

Afficher la réponse

l’usure. Taux de défaillance croissant.

4. La redondance échoue face aux…

Afficher la réponse

causes communes. Défaillance partagée.

Comment cela aide à sauver la planète

La prévision cyclonique 2026 de la NOAA rappelle aux habitants, aux entreprises et aux pouvoirs publics que des catastrophes liées aux ouragans peuvent survenir pendant n’importe quelle saison, même peu active, et que les communautés côtières doivent se préparer chaque année, quelle que soit la prévision.

C’est le raisonnement de la fiabilité : une probabilité faible n’est pas nulle, donc les systèmes d’alerte, les secours et les plans sont conçus pour fonctionner lors de la rare mauvaise année, pas seulement lors de l’année moyenne.

Sur Saving Planets : GOES-19 · Solutions

Sources : NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

Ressources d’apprentissage gratuites

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Le laboratoire (Statistics lab)

Le labo est la partie pratique du cours. Ici, il est gratuit et sert uniquement à s’entraîner, sans crédits.

Chaque TP se déroule dans une simulation gratuite ou un tableur : il n’y a donc aucun risque physique. Faites des pauses d’écran, tenez-vous bien assis et gardez les câbles hors des zones de passage.

Référence de sécurité : OSHA: Walking-working surfaces (slip, trip and fall hazards)

TP A : Tendance centrale et dispersion de la série de CO₂

Semaine 1

Objectif : Explorez moyenne, médiane et dispersion dans PhET Center and Variability, puis résumez les hausses annuelles récentes de CO₂ de la NOAA.

s=∑(x−xˉ)2n−1s=\sqrt{\frac{\sum(x-\bar x)^2}{n-1}}
Écart-type d’échantillon

Mode opératoire

  1. Dans PhET Center and Variability, faites glisser des valeurs et observez la moyenne et la médiane bouger.
  2. Ouvrez les moyennes annuelles de Mauna Loa de la NOAA et calculez les hausses annuelles pour 2021–2025.
  3. Calculez moyenne, médiane, étendue et s.
  4. Tracez un diagramme en points et décrivez la valeur de 2024.

Tableau de données

StatistiqueValeur (ppm/an)
Moyenne2.628
Médiane2.55
Portée1.41
Écart-type0.564

Données de NOAA GML ; statistiques calculées.

Exemple de calcul

  1. Hausses : 2.20, 2.12, 2.55, 3.53, 2.74.
  2. s = √(1.2735/4) = 0.564.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel tableur convient.

PhET: Center and Variability · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

Lien avec la planète : La moyenne mensuelle de Mauna Loa de la NOAA était de 426.07 ppm en septembre 2026. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

TP B : Plinko et la loi binomiale

Semaine 4

Objectif : Lâchez des billes dans PhET Plinko Probability et comparez l’histogramme au modèle binomial.

μ=np, σ=np(1−p)\mu=np,\ \sigma=\sqrt{np(1-p)}
Moyenne et dispersion binomiales

Mode opératoire

  1. Réglez 12 rangées et p = 0.5.
  2. Lâchez 1000 billes et notez la moyenne et l’écart-type.
  3. Calculez les valeurs binomiales.
  4. Passez p à 0.7 et prédisez la nouvelle moyenne avant de lâcher.

Tableau de données

GrandeurValeur binomiale
Case moyenne6
Écart-type1.732
P(case 6)0.2256

Valeurs calculées ; votre simulation devrait s’en approcher.

Exemple de calcul

  1. σ = √(12 × 0.25) = 1.732.
  2. P(6) = C(12, 6)/2¹² = 924/4096 = 0.2256.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel navigateur convient.

PhET: Plinko Probability

Lien avec la planète : La NOAA dimensionne son cône cyclonique pour que deux tiers des erreurs de trajectoire passées tombent à l’intérieur. NOAA National Hurricane Center: Definition of the NHC Track Forecast Cone

TP C : Simuler des crues de 100 ans

Semaine 6

Objectif : Utilisez un Monte-Carlo sur tableur pour estimer la probabilité d’au moins une crue à 1% par an en 30 ans.

P=1−0.9930P=1-0.99^{30}
Réponse exacte

Mode opératoire

  1. Créez 30 colonnes de =RAND()<0.01 (une par année).
  2. Sur chaque ligne, testez si une année a connu une crue.
  3. Copiez sur 1000 lignes et faites la moyenne du résultat.
  4. Comparez à la réponse exacte et à l’erreur de Monte-Carlo attendue.

Tableau de données

GrandeurValeur
Probabilité exacte0.260
Erreur type de Monte-Carlo, N = 10000.0139
Plage attendue (±2 erreurs types)0.232 à 0.288

Valeurs calculées ; votre estimation variera à chaque recalcul.

Exemple de calcul

  1. SE = √(0.26 × 0.74/1000) = 0.0139.
  2. 0.260 ± 0.0278.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel tableur convient.

MIT OpenCourseWare 18.05 Introduction to Probability and Statistics (Spring 2022)

Lien avec la planète : L’USGS souligne que des crues de 100 ans peuvent survenir deux années de suite. USGS Water Science School: The 100-Year Flood

TP D : Dés et théorème central limite

Semaine 7

Objectif : Faites la moyenne de lancers de dés simulés (ou réels) et regardez la loi des moyennes devenir normale.

SE=σnSE=\frac{\sigma}{\sqrt n}
Erreur type

Mode opératoire

  1. Simulez des lancers avec =RANDBETWEEN(1,6).
  2. Faites la moyenne de groupes de 1, 5, 25 et 100 lancers, 500 fois chacun.
  3. Tracez des histogrammes et calculez leurs écarts-types.
  4. Comparez avec σ/√n.

Tableau de données

Lancers par moyenneErreur type prédite
11.708
250.342
1000.171

Valeurs calculées ; un dé a une moyenne de 3.5 et σ = √(35/12).

Exemple de calcul

  1. σ = √(35/12) = 1.708.
  2. SE(25) = 1.708/5 = 0.342.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • De vrais dés conviennent aussi.

PhET: Plinko Probability

Lien avec la planète : La NASA publie un ensemble d’incertitude pour sa série de températures GISTEMP. NASA GISS: GISS Surface Temperature Analysis (GISTEMP v4)

TP E : Régression et résidus

Semaine 12

Objectif : Ajustez une droite dans PhET Least-Squares Regression, puis ajustez les moyennes décennales de Mauna Loa de la NOAA et étudiez les résidus.

y^=b0+b1x\hat y=b_0+b_1x
Droite des moindres carrés

Mode opératoire

  1. Dans PhET, placez des points et comparez votre droite au meilleur ajustement.
  2. Saisissez les moyennes décennales 1960–2020 avec x = années depuis 1960.
  3. Utilisez LINEST ou une courbe de tendance pour obtenir b₀, b₁ et r.
  4. Tracez les résidus et décrivez le motif.

Tableau de données

GrandeurValeur
Pente1.613 ppm/an
Ordonnée à l’origine310.15 ppm
r0.990
Résidus 1960 / 2000 / 2020+6.76 / −4.97 / +7.27 ppm

Données de NOAA GML ; ajustement calculé. Les résidus en U montrent une courbure vers le haut.

Exemple de calcul

  1. b₁ = Sxy/Sxx = 1.613.
  2. Résidu 2020 = 414.21 − (310.15 + 1.613 × 60) = 7.27.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel tableur convient.

PhET: Least-Squares Regression · NOAA GML: Mauna Loa annual mean CO₂ data

Lien avec la planète : La NOAA note que Mauna Loa échantillonne l’air à 3400 m, ce qui peut différer de la moyenne mondiale. NOAA Global Monitoring Laboratory: Trends in atmospheric CO₂ (Mauna Loa)

TP F : Fiabilité d’un système d’alerte

Semaine 14

Objectif : Construisez un tableur de fiabilité série et parallèle et testez comment la redondance modifie une chaîne d’alerte aux crues d’exemple.

Rs=∏Ri, Rp=1−∏(1−Ri)R_s=\prod R_i,\ R_p=1-\prod(1-R_i)
Fiabilité du système

Mode opératoire

  1. Modélisez une chaîne d’exemple : capteur, liaison radio et sirène en série.
  2. Calculez R avec chacun à 0.99, puis avec une paire de sirènes redondantes.
  3. Utilisez e^(−t/MTBF) pour une mission de 1000 h avec un MTBF de 50000 h.
  4. Trouvez l’amélioration unique la plus utile.

Tableau de données

ConfigurationFiabilité
Trois pièces en série (0.99 chacune)0.9703
Deux unités redondantes (0.9 chacune)0.99
Pièce de 0.9 + paire redondante de 0.90.891
1000 h avec MTBF de 50000 h0.980

Valeurs d’exemple ; calculées.

Exemple de calcul

  1. 0.99³ = 0.9703.
  2. 0.9 × (1 − 0.1²) = 0.891.

Sécurité

  • Ordinateur uniquement.

Alternative à la maison ou virtuelle

  • N’importe quel tableur convient.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

Lien avec la planète : La NOAA indique que des catastrophes peuvent survenir même lors de saisons cycloniques peu actives : préparez-vous chaque année. NOAA Climate Prediction Center: Atlantic Hurricane Outlook (updated Aug. 6, 2026)

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Séries d’entraînement aux examens

Chronométrez-vous : environ 10 minutes par problème. Comparez ensuite avec les solutions complètes.

Série d’exercices de mi-parcours (unités 1–5)

  1. Trouvez la moyenne, la médiane et l’écart-type d’échantillon de 4, 8, 6, 10, 12.

    Afficher la solution complète
    1. Moyenne = 40/5.
    2. s = √(40/4).

    Réponse : Moyenne 8, médiane 8, s = 3.16.

  2. Trouvez la probabilité d’au moins une crue de 25 ans (4% par an) en 10 ans.

    Afficher la solution complète
    1. 1 − 0.96¹⁰.

    Réponse : 33.5%.

  3. Un test détecte une condition 90% du temps et donne une fausse alerte 10% du temps ; le taux de base est de 1%. Trouvez P(condition | positif).

    Afficher la solution complète
    1. 0.009/(0.009 + 0.099).

    Réponse : 8.33%.

  4. Trouvez P(X = 0) pour une binomiale avec n = 5, p = 0.2.

    Afficher la solution complète
    1. 0.8⁵.

    Réponse : 0.328.

  5. Trouvez P(X = 0) pour une loi de Poisson avec λ = 2.

    Afficher la solution complète
    1. e⁻².

    Réponse : 0.135.

Série d’entraînement finale (toutes les unités)

  1. Trouvez P(Z > 1.96).

    Afficher la solution complète
    1. 1 − 0.975.

    Réponse : 0.025.

  2. Trouvez l’erreur type pour σ = 6, n = 36.

    Afficher la solution complète
    1. 6/6.

    Réponse : 1.

  3. Construisez un intervalle à 95% pour x̄ = 50, s = 4, n = 16 (t = 2.131).

    Afficher la solution complète
    1. 2.131 × 4/4.

    Réponse : 50 ± 2.13.

  4. Testez H₀ : μ = 50 avec x̄ = 52, s = 4, n = 16.

    Afficher la solution complète
    1. t = 2/(4/4).

    Réponse : t = 2.0, juste sous 2.131 : on ne rejette pas au seuil de 5% (bilatéral).

  5. Trouvez la fiabilité de quatre pièces de 0.95 en série.

    Afficher la solution complète
    1. 0.95⁴.

    Réponse : 0.815.

  6. Une pièce a un MTBF de 2000 h. Trouvez P(elle survit 500 h).

    Afficher la solution complète
    1. e^(−0.25).

    Réponse : 0.779.

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Fiche de formules

xˉ=∑x/n, s2=∑(x−xˉ)2/(n−1)\bar x=\sum x/n,\ s^2=\sum(x-\bar x)^2/(n-1)
P(≥1)=1−(1−p)n, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(\ge1)=1-(1-p)^n,\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
P(B∣A)=P(A∣B)P(B)/P(A), λ=−ln⁡(1−P)/tP(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A),\ \lambda=-\ln(1-P)/t
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k, P(X=k)=e−λλk/k!P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\ P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!
z=(x−μ)/σ, P(T>t)=e−λt, T=1/AEPz=(x-\mu)/\sigma,\ P(T>t)=e^{-\lambda t},\ T=1/AEP
SE=σ/nSE=\sigma/\sqrt n
xˉ±t s/n, p^±zp^(1−p^)/n\bar x\pm t\,s/\sqrt n,\ \hat p\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}
t=(xˉ−μ0)/(s/n)t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)
b1=Sxy/Sxx, r=Sxy/SxxSyyb_1=S_{xy}/S_{xx},\ r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
Rs=∏Ri, Rp=1−∏(1−Ri), MTBF=1/λR_s=\prod R_i,\ R_p=1-\prod(1-R_i),\ MTBF=1/\lambda

Constantes

ConstanteValeur
Loi normale centrée réduite (valeurs de manuel)Φ(1) = 0.8413, Φ(1.96) = 0.975, Φ(2) − Φ(−2) = 0.9545
Loi t de Student, 4 degrés de liberté (valeur de manuel)t₀.₉₇₅ = 2.776
e2.718281828
Règle 68–95–99.7part d’une loi normale à moins de 1, 2 et 3 écarts-types
1 ppmune partie par million en fraction molaire
Probabilité annuelle de dépassement1/(période de retour)

Source : NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

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Textes et simulations gratuits

Utilisez ces cours, manuels, guides et simulations gratuits en parallèle du cours.

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Glossaire

Probabilité annuelle de dépassement
Probabilité qu’un événement soit égalé ou dépassé au cours d’une année.
Théorème de Bayes
Inverse une probabilité conditionnelle.
Loi binomiale
Succès en n essais indépendants.
Théorème central limite
Les moyennes d’échantillon deviennent normales.
Probabilité conditionnelle
Probabilité sachant qu’un autre événement s’est produit.
Intervalle de confiance
Intervalle issu d’une procédure qui capture la vraie valeur à un taux fixé.
Corrélation
Force de l’association linéaire.
Espérance
Moyenne à long terme.
Loi exponentielle
Temps d’attente sans mémoire.
Indépendance
Un événement ne modifie pas la probabilité d’un autre.
MTBF
Temps moyen entre défaillances.
Médiane
Valeur centrale.
Monte-Carlo
Estimation par simulation aléatoire répétée.
Loi normale
Loi en forme de cloche.
Loi de Poisson
Comptages d’événements rares.
Période de retour
Nombre moyen d’années entre événements d’une taille donnée.
Fiabilité
Probabilité de survivre jusqu’à un temps donné.
Erreur type
Écart-type d’une statistique.
Erreur de première espèce
Rejeter une hypothèse nulle vraie.
Valeur p
Probabilité de données aussi extrêmes si H₀ est vraie.

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Grille d’autoévaluation

Aucune note ni aucun crédit ne sont attribués. Utilisez cette grille pour juger honnêtement où vous en êtes dans chaque unité.

NiveauÀ quoi cela ressemble
4 · MaîtriseNomme la variable aléatoire, énonce les hypothèses, choisit le bon modèle, indique l’incertitude et interprète les résultats en langage clair.
3 · CompétentRésout les exercices avec des erreurs occasionnelles sur les hypothèses ou les unités.
2 · En progressionSuit les exemples résolus mais interprète mal les valeurs p ou les niveaux de confiance.
1 · DébutantApplique les formules sans vérifier les hypothèses ; doit revoir le module.

Pondération suggérée si vous voulez une note

PartiePoids
Exercices20%
Travaux pratiques25%
Série d’entraînement de mi-parcours25%
Série d’entraînement finale30%

Visez le niveau 3 ou mieux dans chaque unité avant de passer au cours suivant.

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